GSEB Class 6 Maths Solutions Chapter 4 ભૂમિતિના પાયાના ખ્યાલો Exercise 4.1

Question 1. બાજુમાં દર્શાવેલ આકૃતિનો ઉપયોગ કરીને લખો:
(a) પાંચ બિંદુઓ
(b) રેખા
(c) ચાર કિરણો
(d) પાંચ રેખાખંડો

Answer: ઉપરની આકૃતિ પરથી
(a) આકૃતિમાં પાંચ બિંદુઓ O, B, C, D અને E છે.
(b) આકૃતિમાં રેખાઓ આ પ્રમાણે છેઃ \( \overleftrightarrow{\mathrm{DE}} \), \( \overleftrightarrow{\mathrm{DO}} \), \( \overleftrightarrow{\mathrm{DB}} \), \( \overleftrightarrow{\mathrm{EO}} \) વગેરે
(c) આકૃતિમાં કિરણો આ પ્રમાણે છેઃ \( \overrightarrow{\mathrm{DB}} \), \( \overrightarrow{\mathrm{DE}} \), \( \overrightarrow{\mathrm{OB}} \), \( \overrightarrow{\mathrm{OE}} \), \( \overrightarrow{\mathrm{EB}} \) વગેરે
(d) આકૃતિમાં રેખાખંડો આ પ્રમાણે છેઃ \( \overline{\mathrm{DE}} \), \( \overline{\mathrm{DO}} \), \( \overline{\mathrm{EO}} \), \( \overline{\mathrm{OB}} \), \( \overline{\mathrm{EB}} \) વગેરે.
In simple words: To answer this, carefully look at the drawing. Identify all the single points, the complete straight lines, the lines starting at one point and going one way, and the small pieces of lines with ends.

Exam Tip: When listing geometric figures from a diagram, always ensure you use the correct notation (e.g., arrows for lines and rays, a bar for line segments) and include all possible valid examples.

 

Question 2. આપેલા ચાર મૂળાક્ષરોમાંથી દરેક વખતે માત્ર બે મળાક્ષરોનો ઉપયોગ કરી આપેલ રેખાના શક્ય તેટલી (બાર રીતે) રીતે નામ આપો.

Answer:
(a) એક બિંદુ A થી: \( \overleftrightarrow{\mathrm{AB}} \), \( \overleftrightarrow{\mathrm{AC}} \), અને \( \overleftrightarrow{\mathrm{AD}} \)
(b) એક બિંદુ B થી: \( \overleftrightarrow{\mathrm{BA}} \), \( \overleftrightarrow{\mathrm{BC}} \), અને \( \overleftrightarrow{\mathrm{BD}} \)
(c) એક બિંદુ C થી: \( \overleftrightarrow{\mathrm{CA}} \), \( \overleftrightarrow{\mathrm{CB}} \), અને \( \overleftrightarrow{\mathrm{CD}} \)
(d) એક બિંદુ D થી: \( \overleftrightarrow{\mathrm{DA}} \), \( \overleftrightarrow{\mathrm{DB}} \), અને \( \overleftrightarrow{\mathrm{DC}} \).
In simple words: A straight line can be called by using any two points on it. It doesn't matter which two points you pick or what order they are in, as long as they are on the same line.

Exam Tip: Remember that the order of the points does not change the name of a line, so \(\overleftrightarrow{\mathrm{AB}}\) is the same as \(\overleftrightarrow{\mathrm{BA}}\). Be sure to list all unique combinations.

 

Question 3. આકૃતિનો ઉપયોગ કરીને લખો :
(a) E બિંદુને સમાવતી રેખાઓ
(b) A બિંદુમાંથી પસાર થતી રેખાઓ
(c) O બિંદુ જેમાં છે તેવી રેખા
(d) એકબીજીને છેદતી હોય તેવી રેખાની બે જોડ

Answer:
(a) E બિંદુમાં હોય તેવી: \( \overleftrightarrow{\mathrm{AE}} \), \( \overleftrightarrow{\mathrm{FE}} \), \( \overleftrightarrow{\mathrm{BE}} \) અને \( \overleftrightarrow{\mathrm{DE}} \).
(b) A માંથી પસાર થતી હોય તેવી: \( \overleftrightarrow{\mathrm{AE}} \). (અહીં ઘણા જવાબો શક્ય છે.)
(c) O બિંદુ જેમાં હોય તેવી: \( \overleftrightarrow{\mathrm{CO}} \) (અથવા \( \overleftrightarrow{\mathrm{OC}} \)).
(d) એકબીજીને છેદતી હોય તેવી બે રેખાઓની જોડ: \( \overleftrightarrow{\mathrm{AE}} \) અને \( \overleftrightarrow{\mathrm{CO}} \), જે O બિંદુમાં છેદે છે તથા \( \overleftrightarrow{\mathrm{EF}} \) અને \( \overleftrightarrow{\mathrm{AE}} \), જે E બિંદુમાં છેદે છે.
In simple words: To find lines that have a point, look for all the straight paths that go through that specific dot. For intersecting lines, find two lines that cross each other at a single spot.

Exam Tip: When identifying lines, remember that lines extend infinitely in both directions. For intersecting lines, clearly state the point of intersection.

 

Question 4. કેટલી રેખાઓ પસાર થાય?
(a) એક બિંદુમાંથી
(b) બે બિંદુમાંથી

Answer:
(a) એક બિંદુમાંથી અસંખ્ય રેખાઓ પસાર થાય. અહીં આકૃતિમાં સમતલમાં એક બિંદુ O છે. જુઓ O બિંદુમાંથી અસંખ્ય રેખાઓ પસાર થાય છે.

In simple words: Many, many lines can pass through just one point. Think of a dot, and you can draw countless straight lines through it in all directions.
(b) બે બિંદુઓમાંથી એક અને માત્ર એક જ રેખા પસાર થાય. જુઓ:
અહીં બે બિંદુઓ P અને Q છે તેમાંથી એક અને માત્ર એક જ રેખા PQ પસાર થાય છે.
In simple words: Only one straight line can go through any two given points. If you have two dots, there's only one way to connect them with a single straight line.

Exam Tip: This is a fundamental postulate in geometry. Understanding these basic properties of points and lines is essential for more complex concepts.

 

Question 5. નીચેની દરેક પરિસ્થિતિને અનુરૂપ કાચી આકૃતિ દોરોઃ
(a) બિંદુ P \( \overline{\mathbf{A B}} \) પર છે.
(b) \( \overleftrightarrow{\mathbf{X Y}} \) અને \( \overleftrightarrow{\mathbf{P Q}} \), M બિંદુમાં છેદે છે.
(c) રેખા l પર E અને F બિંદુ છે, પણ D નથી.
(d) \( \overleftrightarrow{\text { OP }} \) અને \( \overleftrightarrow{\text { OQ }} \) બિંદુ O માં મળે છે.

Answer:
(a) બિંદુ P એ \( \overline{\mathbf{A B}} \) પર છે.

(b) \( \overleftrightarrow{\mathbf{X Y}} \) અને \( \overleftrightarrow{\mathbf{P Q}} \), M બિંદુમાં છેદે છે.

(c) રેખા l પર E અને F બિંદુ છે, પણ D નથી.

(d) \( \overleftrightarrow{\text { OP }} \) અને \( \overleftrightarrow{\text { OQ }} \) બિંદુ O માં મળે છે.

In simple words: Imagine the shapes and points described. Draw a simple picture that shows exactly what each sentence says, even if it's just a rough sketch.

Exam Tip: For geometry drawing questions, clearly label all points and lines. Use arrows for lines and rays, and distinct points for segments and intersections. Rough sketches don't need to be perfect, but must accurately represent the given conditions.

 

Question 6. નીચે \( \overleftrightarrow{\mathrm{MN}} \) ની આકૃતિ દોરેલ છે. આપેલી આકૃતિના આધારે આપેલાં વિધાનો સાચાં છે કે ખોટાં તે જણાવો?

(a) Q, M, O, N અને P એ \( \overleftrightarrow{\mathrm{MN}} \) પર આવેલાં છે.
(b) M, O અને N એ \( \overline{\mathrm{MN}} \) ઉપર આવેલાં છે.
(c) M અને N એ \( \overline{\mathrm{MN}} \)નાં અંત્યબિંદુઓ છે.
(d) O અને N એ \( \overline{\mathbf{O P}} \) નાં અંત્યબિંદુઓ છે.
(e) M એ \( \overline{\mathbf{Q O}} \)નું એક અંત્યબિંદુ છે.
(f) M \( \overrightarrow{\mathbf{Q P}} \) પરનું બિંદુ છે.
(g) \( \overrightarrow{\mathbf{O P}} \) એ \( \overrightarrow{\mathbf{Q P}} \)થી ભિન્ન છે.
(h) \( \overrightarrow{\mathbf{O P}} \) અને \( \overrightarrow{\mathbf{O M}} \) એ સમાન છે.
(i) \( \overrightarrow{\mathrm{OM}} \) એ \( \overrightarrow{\mathbf{O P}} \) નું વિરુદ્ધ કિરણ નથી.
(j) \( \overrightarrow{\mathbf{O P}} \)નું ઉદ્ભવબિંદુ નથી.
(k) N \( \overrightarrow{\mathbf{N P}} \) અને \( \overrightarrow{\mathbf{N M}} \)નું ઉદ્ભવબિંદુ છે.

Answer:
(a) સાચું, બિંદુઓ Q, M, O, N અને P એ \( \overleftrightarrow{\mathrm{MN}} \) ઉપર આવેલાં બિંદુઓ છે.
In simple words: This statement is true because all the named points are on the same straight line, which extends infinitely in both directions.
(b) સાચું, બિંદુઓ M, O અને N એ \( \overline{\mathrm{MN}} \) ઉપર આવેલાં છે.
In simple words: This is true as points M, O, and N are all found within the section of the line starting at M and ending at N.
(c) સાચું, \( \overline{\mathrm{MN}} \)નાં અંત્યબિંદુઓ M અને N છે.
In simple words: This is a true statement because M and N are the specific points that define the beginning and end of the line segment MN.
(d) ખોટું, \( \overline{\mathbf{O P}} \)નાં અંત્યબિંદુઓ Q અને P છે. O અને N એ \( \overline{\mathrm{ON}} \) નાં અંત્યબિંદુઓ છે.
In simple words: This is false because for the segment OP, O and P should be the endpoints, not Q and P. O and N are the endpoints for segment ON.
(e) ખોટું, \( \overline{\mathbf{Q O}} \)નાં અંત્યબિંદુઓ Q અને O છે. M એ \( \overline{\mathbf{Q O}} \) પર આવેલું એક બિંદુ છે.
In simple words: This statement is false because Q and O are the endpoints of segment QO. M is simply a point located on that segment.
(f) સાચું, M એ \( \overrightarrow{\mathbf{Q P}} \) ઉપર આવેલું બિંદુ છે.
In simple words: This is true because M lies on the ray that starts at Q and extends through P.
(g) સાચું, કારણ કે \( \overrightarrow{\mathbf{O P}} \) અને \( \overrightarrow{\mathbf{Q P}} \) નાં ઉદ્ભવબિંદુ ભિન્ન છે તેથી \( \overrightarrow{\mathbf{O P}} \)નો માર્ગ અને \( \overrightarrow{\mathbf{Q P}} \)નો માર્ગ જુદો જુદો છે.
In simple words: This is true because these two rays start from different points (O and Q), meaning they follow different paths even if they go in the same general direction.
(h) ખોટું, કારણ કે \( \overrightarrow{\mathbf{O P}} \) અને \( \overrightarrow{\mathbf{O M}} \) એ વિરુદ્ધ કિરણો છે.
In simple words: This is false because ray OP and ray OM start from the same point O but go in opposite directions, making them opposite rays.
(i) ખોટું, કારણ કે \( \overrightarrow{\mathrm{OM}} \) અને \( \overrightarrow{\mathbf{O P}} \) (અથવા \( \overrightarrow{\mathbf{O N}} \)) એ વિરુદ્ધ કિરણો છે.
In simple words: This is false. Ray OM and ray OP (or ON) are opposite rays because they start at the same point O and extend in exactly opposite directions.
(j) ખોટું, બિંદુ O છે એ \( \overrightarrow{\mathbf{O P}} \)નું ઉદ્ભવબિંદુ છે.
In simple words: This is false. The point O is indeed the starting point, or origin, of the ray OP, as indicated by its notation.
(k) સાચું, બિંદુ N એ \( \overrightarrow{\mathbf{N P}} \) અને \( \overrightarrow{\mathbf{N M}} \)નું ઉદ્ભવબિંદુ છે.
In simple words: This is true because N is the common starting point for both ray NP (extending towards P) and ray NM (extending towards M).

Exam Tip: Pay close attention to the notation: \( \overleftrightarrow{\mathrm{AB}} \) (line), \( \overline{\mathrm{AB}} \) (line segment), and \( \overrightarrow{\mathrm{AB}} \) (ray) have distinct properties regarding endpoints and extension. Carefully read the labels and directions in the diagram.