GSEB Class 6 Maths Solutions Chapter 3 સંખ્યા સાથે Exercise 3.2

Gujarat Board Textbook Solutions Class 6 Maths Chapter 3 સંખ્યા સાથે Ex 3.2

Question 1. કોઈ પણ બે સંખ્યાઓ માટે, નીચેનાનો સરવાળો શું થાય છે?
(a) એકી સંખ્યાઓનો સરવાળો
(b) બેકી સંખ્યાઓનો સરવાળો
Answer:
(a) બે એકી સંખ્યાઓનો સરવાળો હંમેશાં બેકી સંખ્યા જ મળે છે.
ઉદાહરણ તરીકે: \( 3 + 5 = 8 \) (એક બેકી સંખ્યા છે); \( 7 + 9 = 16 \) (એક બેકી સંખ્યા છે).
(b) બે બેકી સંખ્યાઓનો સરવાળો પણ હંમેશાં બેકી સંખ્યા જ હોય છે.
ઉદાહરણ તરીકે: \( 4 + 6 = 10 \) (એક બેકી સંખ્યા છે); \( 8 + 10 = 18 \) (એક બેકી સંખ્યા છે).

Exam Tip: આ નિયમો યાદ રાખવાથી સંખ્યાઓના ગુણધર્મો સમજવામાં મદદ મળે છે. કોઈપણ બે એકી સંખ્યાઓનો સરવાળો બેકી હોય છે અને કોઈપણ બે બેકી સંખ્યાઓનો સરવાળો પણ બેકી હોય છે.

Question 2. નીચે જણાવેલાં વાક્યો સાચાં છે કે ખોટાં તે જણાવો:
(a) ત્રણ એકી સંખ્યાનો સરવાળો બેકી સંખ્યા છે.
Answer: ખોટું, કારણ કે ત્રણ એકી સંખ્યાનો સરવાળો હંમેશાં એકી સંખ્યા જ હોય છે. ઉદાહરણ: \( 5 + 7 + 9 = 21 \) (જે એક એકી સંખ્યા છે).

Exam Tip: એકી-બેકી સંખ્યાઓના સરવાળાના નિયમો યાદ રાખો. ત્રણ એકી સંખ્યાઓનો સરવાળો હંમેશાં એકી સંખ્યા જ હોય છે.

Question 2. (b) બે એકી સંખ્યા અને એક બેકી સંખ્યાઓનો સરવાળો બેકી સંખ્યા છે.
Answer: સાચું. બે એકી સંખ્યાઓ અને એક બેકી સંખ્યાનો સરવાળો હંમેશાં બેકી સંખ્યા જ હોય છે. ઉદાહરણ: \( 3 \) (એકી) \( + 7 \) (એકી) \( + 4 \) (બેકી) \( = 14 \) (એક બેકી સંખ્યા છે).

Exam Tip: જ્યારે બે એકી સંખ્યાઓનો સરવાળો થાય છે, ત્યારે પરિણામ બેકી સંખ્યા હોય છે. તેમાં એક બેકી સંખ્યા ઉમેરવાથી પણ પરિણામ બેકી જ રહે છે.

Question 2. (c) ત્રણ એકી સંખ્યાનો ગુણાકાર એકી સંખ્યા છે.
Answer: સાચું. ત્રણ એકી સંખ્યાઓનો ગુણાકાર હંમેશાં એકી સંખ્યા જ હોય છે. ઉદાહરણ: \( 3 \times 5 \times 7 = 105 \) (જે એક એકી સંખ્યા છે).

Exam Tip: એકી સંખ્યાઓનો ગુણાકાર હંમેશાં એકી સંખ્યા હોય છે, ભલે ગમે તેટલી એકી સંખ્યાઓનો ગુણાકાર કરવામાં આવે.

Question 2. (d) જો બેકી સંખ્યાને 2 વડે ભાગવામાં આવે, તો ભાગાકાર હંમેશાં એકી સંખ્યા હોય છે.
Answer: ખોટું. બેકી સંખ્યાને 2 વડે ભાગવામાં આવે ત્યારે ભાગાકાર હંમેશાં એકી સંખ્યા જ મળે તે જરૂરી નથી. તે એકી અથવા બેકી હોઈ શકે છે. ઉદાહરણ: \( 10 \div 2 = 5 \) (એકી), \( 14 \div 2 = 7 \) (એકી), પરંતુ \( 16 \div 2 = 8 \) (બેકી), \( 20 \div 2 = 10 \) (બેકી).

Exam Tip: સાચા-ખોટા પ્રશ્નોમાં, એક પણ વિરોધાભાસી ઉદાહરણ નિવેદનને ખોટું સાબિત કરવા માટે પૂરતું છે.

Question 2. (e) બધી અવિભાજ્ય સંખ્યા એકી સંખ્યા છે.
Answer: ખોટું. બધી અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ એકી હોતી નથી. ઉદાહરણ તરીકે, \( 2 \) એ એક અવિભાજ્ય સંખ્યા છે જે બેકી છે. તેથી, દરેક અવિભાજ્ય સંખ્યા એકી જ હોય એમ કહી શકાય નહીં.

Exam Tip: હંમેશા યાદ રાખો કે \( 2 \) એ એકમાત્ર બેકી અવિભાજ્ય સંખ્યા છે. આ એક સામાન્ય અપવાદ છે.

Question 2. (f) અવિભાજ્ય સંખ્યાને અવયવ હોતો નથી.
Answer: ખોટું. અવિભાજ્ય સંખ્યાને અવયવ હોય છે. દરેક અવિભાજ્ય સંખ્યાને \( 1 \) અને તે સંખ્યા પોતે એમ બે જ અવયવ હોય છે. ઉદાહરણ તરીકે: \( 7 \) એ એક અવિભાજ્ય સંખ્યા છે, અને તેના અવયવો \( 1 \) અને \( 7 \) છે.

Exam Tip: અવિભાજ્ય સંખ્યાની વ્યાખ્યા મુજબ, તેને \( 1 \) અને પોતે એમ બરાબર બે જ અલગ ધન અવયવો હોય છે.

Question 2. (g) બે અવિભાજ્ય સંખ્યાનો સરવાળો હંમેશાં બેકી સંખ્યા છે.
Answer: ખોટું. બે અવિભાજ્ય સંખ્યાઓનો સરવાળો હંમેશાં બેકી સંખ્યા હોય તેવું જરૂરી નથી. તે એકી અથવા બેકી હોઈ શકે છે. ઉદાહરણ: \( 2 \) અને \( 3 \) અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ છે, અને \( 2 + 3 = 5 \) (જે એક એકી સંખ્યા છે); \( 3 \) અને \( 7 \) પણ અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ છે, અને \( 3 + 7 = 10 \) (જે એક બેકી સંખ્યા છે).

Exam Tip: અવિભાજ્ય સંખ્યા \( 2 \) અહીં મહત્વની છે. જો \( 2 \) એ અવિભાજ્ય સંખ્યાઓમાંની એક હોય, તો બે અવિભાજ્ય સંખ્યાઓનો સરવાળો એકી પણ હોઈ શકે છે.

Question 2. (h) 2 એ એકમાત્ર બેકી અવિભાજ્ય સંખ્યા છે.
Answer: સાચું. \( 2 \) એ ખરેખર એકમાત્ર બેકી અવિભાજ્ય સંખ્યા છે, કારણ કે તે બેકી છે અને સૌથી નાની અવિભાજ્ય સંખ્યા છે. અન્ય કોઈપણ બેકી સંખ્યાને \( 2 \) વડે ભાગી શકાય છે, તેથી તે અવિભાજ્ય ન હોઈ શકે.

Exam Tip: આ અવિભાજ્ય સંખ્યાઓનો એક મૂળભૂત ગુણધર્મ છે. બીજી બધી બેકી સંખ્યાઓ \( 2 \) વડે વિભાજ્ય હોવાથી, તે અવિભાજ્ય નથી.

Question 2. (i) બધી બેકી સંખ્યા વિભાજ્ય સંખ્યા છે.
Answer: ખોટું. બધી બેકી સંખ્યાઓ વિભાજ્ય સંખ્યા હોતી નથી. \( 2 \) એ એક બેકી સંખ્યા છે, પરંતુ તે અવિભાજ્ય સંખ્યા છે, વિભાજ્ય નથી. વિભાજ્ય સંખ્યા એટલે કે જેને \( 1 \) અને પોતે સિવાય અન્ય કોઈ અવયવ હોય.

Exam Tip: વિભાજ્ય અને અવિભાજ્ય સંખ્યાઓની વ્યાખ્યા યાદ રાખો. \( 2 \) અહીં એક મુખ્ય અપવાદ છે.

Question 2. (j) બે બેકી સંખ્યાઓનો ગુણાકાર હંમેશાં બેકી સંખ્યા હોય છે.
Answer: સાચું. બે બેકી સંખ્યાઓનો ગુણાકાર હંમેશાં બેકી સંખ્યા જ હોય છે. ઉદાહરણ: \( 4 \times 2 = 8 \), \( 6 \times 10 = 60 \), \( 12 \times 14 = 168 \). આ બધા ગુણાકાર બેકી સંખ્યાઓ છે.

Exam Tip: કોઈપણ સંખ્યાને બેકી સંખ્યા વડે ગુણવામાં આવે તો પરિણામ હંમેશાં બેકી સંખ્યા જ મળે છે. જ્યારે બંને સંખ્યાઓ બેકી હોય, ત્યારે ગુણાકાર હંમેશાં બેકી જ હોય છે.

Question 3. 13 અને 31 એ અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ છે. આ બંને સંખ્યાઓમાં અંકો 1 અને 3 સમાન છે. 100 સુધીની એવી અવિભાજ્ય સંખ્યાઓની જોડીઓ શોધો.
Answer: 100 સુધીની અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ નીચે મુજબ છે: \( 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97 \).
ઉપરની અવિભાજ્ય સંખ્યાઓમાં સરખા અંકો ધરાવતી જોડીઓ આ પ્રમાણે છે:
1. 13, 31
2. 17, 71
3. 37, 73
4. 79, 97
આમ, આવી કુલ ચાર જોડીઓ બને છે.

Exam Tip: અંકોની અદલાબદલી કરીને જોડીઓ શોધવા માટે, પહેલા આપેલ શ્રેણીમાં બધી અવિભાજ્ય સંખ્યાઓની સૂચિ બનાવો અને પછી વ્યવસ્થિત રીતે તપાસ કરો.

Question 4. 20થી નાની અવિભાજ્ય અને વિભાજ્ય સંખ્યાઓ અલગથી લખો.
Answer: અવિભાજ્ય સંખ્યા એટલે એવી સંખ્યા જેને માત્ર બે જ અવયવો હોય: \( 1 \) અને સંખ્યા પોતે. 20થી નાની અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ: \( 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 \) અને \( 19 \) છે.
વિભાજ્ય સંખ્યા એટલે એવી સંખ્યા જેને બે કરતાં વધુ અવયવો હોય. 20થી નાની વિભાજ્ય સંખ્યાઓ: \( 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16 \) અને \( 18 \) છે.

Exam Tip: યાદ રાખો કે \( 1 \) એ ન તો અવિભાજ્ય છે કે ન તો વિભાજ્ય. અવિભાજ્ય અને વિભાજ્ય સંખ્યાઓની વ્યાખ્યા સ્પષ્ટપણે જાણવી મહત્વપૂર્ણ છે.

Question 5. 1 અને 10 વચ્ચે સૌથી મોટી અવિભાજ્ય સંખ્યા કઈ છે?
Answer: \( 1 \) અને \( 10 \) વચ્ચેની અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ \( 2, 3, 5 \) અને \( 7 \) છે. આ અવિભાજ્ય સંખ્યાઓમાં \( 7 \) એ સૌથી મોટી અવિભાજ્ય સંખ્યા છે.

Exam Tip: આપેલ શ્રેણીમાં સૌથી મોટી અવિભાજ્ય સંખ્યા શોધવા માટે, તે શ્રેણીમાંની બધી અવિભાજ્ય સંખ્યાઓની યાદી બનાવો અને પછી તેમાંથી સૌથી મોટી ઓળખો.

Question 6. નીચેની સંખ્યાઓને બે એકી અવિભાજ્ય સંખ્યાના સરવાળા તરીકે દર્શાવો:
(a) 44
(b) 36
(c) 24
(d) 18
Answer:
(a) \( 44 = 13 + 31 \)
(b) \( 36 = 5 + 31 \) અથવા \( 36 = 13 + 23 \) અથવા \( 36 = 29 + 7 \)
(c) \( 24 = 5 + 19 \) અથવા \( 24 = 7 + 17 \) અથવા \( 24 = 13 + 11 \)
(d) \( 18 = 5 + 13 \) અથવા \( 18 = 7 + 11 \)

Exam Tip: આવી જોડીઓ શોધવા માટે, નાની એકી અવિભાજ્ય સંખ્યાઓથી શરૂ કરો (જેમ કે 3, 5, 7, 11, 13, ...), અને તેમને આપેલ સંખ્યામાંથી બાદ કરીને જુઓ કે શું બાકી રહેલી સંખ્યા પણ એકી અવિભાજ્ય છે.

Question 7. અવિભાજ્ય સંખ્યાની ત્રણ જોડીઓ આપો જેનો તફાવત \( 2 \) હોય.
Answer: અવિભાજ્ય સંખ્યાઓની એવી જોડીઓ જેનો તફાવત \( 2 \) હોય તે નીચે મુજબ છે:
1. \( 3, 5 \): \( 5 - 3 = 2 \)
2. \( 5, 7 \): \( 7 - 5 = 2 \)
3. \( 11, 13 \): \( 13 - 11 = 2 \)
4. \( 17, 19 \): \( 19 - 17 = 2 \)
5. \( 29, 31 \): \( 31 - 29 = 2 \)
6. \( 41, 43 \): \( 43 - 41 = 2 \)

Exam Tip: જે અવિભાજ્ય સંખ્યાઓની જોડીઓનો તફાવત \( 2 \) હોય તેમને 'ટ્વીન પ્રાઇમ્સ' કહેવાય છે. તેમને સૂચિબદ્ધ કરતી વખતે વ્યવસ્થિત રહો.

Question 8. નીચેનામાંથી કઈ સંખ્યા અવિભાજ્ય છે?
(a) 23
(b) 51
(c) 37
(d) 26
Answer: (a) 23
(a) \( 23 \) ને અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ \( 2, 3, 5, 7, 11, 17 \) અને \( 19 \) વડે સંપૂર્ણપણે ભાગી શકાતી નથી. તેથી, \( 23 \) એ એક અવિભાજ્ય સંખ્યા છે.
(b) \( 51 \) ને \( 3 \) વડે સંપૂર્ણપણે ભાગી શકાય છે (\( 51 \div 3 = 17 \)). તેથી, \( 51 \) એ અવિભાજ્ય સંખ્યા નથી.
(c) \( 37 \) ને અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ \( 2, 3, 5, 7, 11, 17, 19, 23, 29 \) અને \( 31 \) વડે સંપૂર્ણપણે ભાગી શકાતી નથી. તેથી, \( 37 \) પણ એક અવિભાજ્ય સંખ્યા છે.
(d) \( 26 \) ને \( 2 \) વડે સંપૂર્ણપણે ભાગી શકાય છે (\( 26 \div 2 = 13 \)). તેથી, \( 26 \) એ અવિભાજ્ય સંખ્યા નથી.
In simple words: એક અવિભાજ્ય સંખ્યાને ફક્ત \( 1 \) અને તે સંખ્યા પોતે જ ભાગી શકે છે. \( 23 \) અને \( 37 \) બંને આ નિયમનું પાલન કરે છે, જ્યારે \( 51 \) ને \( 3 \) વડે અને \( 26 \) ને \( 2 \) વડે ભાગી શકાય છે.

Exam Tip: કોઈ સંખ્યા અવિભાજ્ય છે કે નહીં તે તપાસવા માટે, તેને નાની અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ (જેમ કે 2, 3, 5, 7, 11, ...) વડે ભાગવાનો પ્રયાસ કરો. જો તે તેમાંથી કોઈપણ વડે વિભાજ્ય ન હોય, તો તે અવિભાજ્ય હોઈ શકે છે.

Question 9. 100 કરતાં નાની ક્રમિક સાત વિભાજ્ય સંખ્યાઓ લખો કે જેમની વચ્ચે કોઈ પણ અવિભાજ્ય સંખ્યા નહિ આવે.
Answer: 100 કરતાં નાની એવી સાત ક્રમિક વિભાજ્ય સંખ્યાઓ જેમની વચ્ચે કોઈ અવિભાજ્ય સંખ્યા આવતી નથી, તે નીચે મુજબ છે: \( 90, 91, 92, 93, 94, 95 \) અને \( 96 \).

Exam Tip: ક્રમિક વિભાજ્ય સંખ્યાઓ શોધવા માટે, તમે સામાન્ય રીતે મોટી અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ પછીની શ્રેણીઓ જુઓ છો. 90-100 ની આસપાસની સંખ્યાઓનું પરીક્ષણ કરવું એ સારી વ્યૂહરચના છે.

Question 10. નીચેની દરેક સંખ્યાઓને ત્રણ એકી અવિભાજ્ય સંખ્યાના સરવાળા તરીકે દર્શાવો:
(a) 21
(b) 31
(c) 53
(d) 61
Answer:
(a) \( 21 = 3 + 5 + 13 \)
જ્યાં \( 3, 5 \) અને \( 13 \) એકી અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ છે.
(b) \( 31 = 3 + 5 + 23 \)
જ્યાં \( 3, 5 \) અને \( 23 \) એકી અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ છે.
(c) \( 53 = 13 + 17 + 23 \)
જ્યાં \( 13, 17 \) અને \( 23 \) એકી અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ છે.
(d) \( 61 = 7 + 13 + 41 \)
જ્યાં \( 7, 13 \) અને \( 41 \) એકી અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ છે.

Exam Tip: આવી જોડીઓ શોધવા માટે, નાની એકી અવિભાજ્ય સંખ્યાઓથી શરૂ કરો અને તેમને આપેલ સંખ્યામાંથી બાદ કરીને જુઓ કે શું બાકી રહેલી સંખ્યાને અન્ય બે એકી અવિભાજ્ય સંખ્યાઓના સરવાળા તરીકે દર્શાવી શકાય છે.

Question 11. 20 કરતાં નાની અવિભાજ્ય સંખ્યાની પાંચ જોડીઓ લખો કે જેનો સરવાળો \( 5 \) વડે ભાગી શકાય તેવો હોય. (સૂચન: \( 3 + 7 = 10 \))
Answer: 20 કરતાં નાની અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ \( 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 \) અને \( 19 \) છે. હવે, આ સંખ્યાઓમાંથી એવી જોડીઓ બનાવીએ જેના સરવાળાને \( 5 \) વડે ભાગી શકાય.
\( 2 + 3 = 5 \), જે \( 5 \) વડે સંપૂર્ણપણે વિભાજ્ય છે.
\( 2 + 13 = 15 \), જે \( 5 \) વડે સંપૂર્ણપણે વિભાજ્ય છે.
\( 3 + 7 = 10 \), જે \( 5 \) વડે સંપૂર્ણપણે વિભાજ્ય છે.
\( 3 + 17 = 20 \), જે \( 5 \) વડે સંપૂર્ણપણે વિભાજ્ય છે.
\( 7 + 13 = 20 \), જે \( 5 \) વડે સંપૂર્ણપણે વિભાજ્ય છે.
\( 11 + 19 = 30 \), જે \( 5 \) વડે સંપૂર્ણપણે વિભાજ્ય છે.
આમ, માગ્યા મુજબની જોડીઓ નીચે મુજબ છે:
1. \( 2, 3 \)
2. \( 2, 13 \)
3. \( 3, 7 \)
4. \( 3, 17 \)
5. \( 7, 13 \)
6. \( 11, 19 \)

Exam Tip: આપેલ શ્રેણીમાં બધી અવિભાજ્ય સંખ્યાઓની યાદી બનાવો. પછી વ્યવસ્થિત રીતે જોડીઓ તપાસો, ખાતરી કરો કે બંને સંખ્યાઓ અવિભાજ્ય છે અને તેમનો સરવાળો વિભાજ્યતાના માપદંડને પૂર્ણ કરે છે.

Question 12. ખાલી જગ્યા પૂરો:
(a) જે સંખ્યાને ફક્ત બે અવયવો હોય, તેને .................... કહેવાય છે.
(b) જે સંખ્યાને બે કરતાં વધારે અવયવો હોય, તેને .................... કહેવાય છે.
(c) સંખ્યા 1 એ .................... સંખ્યા નથી.
(d) સૌથી નાની અવિભાજ્ય સંખ્યા .................. છે.
(e) સૌથી નાની વિભાજ્ય સંખ્યા .................. છે.
(f) સૌથી નાની બેકી સંખ્યા .................... છે.
Answer:
(a) જે સંખ્યાને ફક્ત બે અવયવો હોય, તેને અવિભાજ્ય સંખ્યા કહેવાય છે.
(b) જે સંખ્યાને બે કરતાં વધારે અવયવો હોય, તેને વિભાજ્ય સંખ્યા કહેવાય છે.
(c) સંખ્યા 1 એ અવિભાજ્ય કે વિભાજ્ય સંખ્યા નથી.
(d) સૌથી નાની અવિભાજ્ય સંખ્યા \( 2 \) છે.
(e) સૌથી નાની વિભાજ્ય સંખ્યા \( 4 \) છે.
(f) સૌથી નાની બેકી સંખ્યા \( 2 \) છે.

Exam Tip: સંખ્યાઓના મૂળભૂત ગુણધર્મો અને વ્યાખ્યાઓ યાદ રાખવી ખૂબ જ મહત્વપૂર્ણ છે. \( 1 \) એ ન તો અવિભાજ્ય છે કે ન તો વિભાજ્ય એ એક મુખ્ય બાબત છે.