GSEB Class 6 Maths Solutions Chapter 12 ગુણોત્તર અને પ્રમાણ Exercise 12.1

Question 1. એક વર્ગમાં 20 છોકરીઓ અને 15 છોકરાઓ છે:
(a) છોકરીઓની સંખ્યા અને છોકરાઓની સંખ્યાનો ગુણોત્તર કેટલો છે?
(b) છોકરીઓ અને વર્ગના કુલ વિદ્યાર્થીઓનો ગુણોત્તર કેટલો હશે?

Answer:
વર્ગમાં છોકરીઓની કુલ સંખ્યા = 20
વર્ગમાં છોકરાઓની કુલ સંખ્યા = 15
વર્ગમાં વિદ્યાર્થીઓની કુલ સંખ્યા = \( 20 + 15 = 35 \)
(a) છોકરીઓની સંખ્યા અને છોકરાઓની સંખ્યાનો ગુણોત્તર
\( = \frac{20}{15} \)
\( = \frac{20 \div 5}{15 \div 5} \)
\( = \frac{4}{3} \) [કારણ કે 20 અને 15નો ગુરુત્તમ સામાન્ય અવયવ 5 છે]
\( = 4:3 \)
(b) છોકરીઓની સંખ્યા અને વર્ગના કુલ વિદ્યાર્થીઓનો ગુણોત્તર
\( = \frac{20}{35} \)
\( = \frac{20 \div 5}{35 \div 5} \)
\( = \frac{4}{7} \) [કારણ કે 20 અને 35નો ગુરુત્તમ સામાન્ય અવયવ 5 છે]
\( = 4:7 \)
In simple words: First, count the girls, boys, and all students. Then, to find the ratio of girls to boys, divide the number of girls by the number of boys and simplify it. To find the ratio of girls to total students, divide the number of girls by the total number of students and simplify that.

Exam Tip: Always make sure to simplify ratios to their lowest possible terms by dividing both numbers by their greatest common factor.

Question 2. વર્ગના 30 વિદ્યાર્થીઓમાંથી 6ને ફૂટબૉલ, 12ને ક્રિકેટ અને બાકીનાને ટેનિસ ગમે છે, તો નીચેના ગુણોત્તર શોધોઃ
(a) ફૂટબૉલ ગમે છે તેવા વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા અને ટેનિસ ગમે છે તેવા વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા
(b) ક્રિકેટ ગમે છે તેવા વિધાર્થીઓની સંખ્યા અને કુલ વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા

Answer:
વર્ગમાં વિદ્યાર્થીઓની કુલ સંખ્યા = 30
ફૂટબૉલ ગમે છે તેવા વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા = 6
ક્રિકેટ ગમે છે તેવા વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા = 12
ટેનિસ ગમે છે તેવા વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા = \( 30 - (6 + 12) \)
\( = 30 - 18 \)
\( = 12 \)
(a) ફૂટબૉલ ગમે છે તેવા વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યાનો અને ટેનિસ ગમે છે તેવા વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યાનો ગુણોત્તર
\( = \frac{6}{12} \)
\( = \frac{6 \div 6}{12 \div 6} \)
\( = \frac{1}{2} \) [કારણ કે 6 અને 12નો ગુરુત્તમ સામાન્ય અવયવ 6 છે]
\( = 1:2 \)
(b) ક્રિકેટ ગમે છે તેવા વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યાનો અને વર્ગના કુલ વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યાનો ગુણોત્તર
\( = \frac{12}{30} \)
\( = \frac{12 \div 6}{30 \div 6} \)
\( = \frac{2}{5} \) [કારણ કે 12 અને 30નો ગુરુત્તમ સામાન્ય અવયવ 6 છે]
\( = 2:5 \)
In simple words: First, find out how many students like each sport, especially tennis. Then, make ratios by dividing the numbers of students for each requested pair of sports and simplify them to the smallest whole numbers.

Exam Tip: Remember to calculate the number of students for all categories (like tennis in this case) before forming any ratios. Always simplify the final ratio.

Question 3. નીચેની આકૃતિ પરથી ગુણોત્તર શોધોઃ
(a) લંબચોરસની અંદર આવેલા ત્રિકોણની સંખ્યા અને વર્તુળની સંખ્યાનો
(b) લંબચોરસની અંદર આવેલા ચોરસની સંખ્યા અને કુલ આકારોની સંખ્યાનો
(c) લંબચોરસની અંદર આવેલા વર્તુળની સંખ્યા અને કુલ આકારોની સંખ્યાનો

Answer:
અહીં, આપેલા ત્રિકોણની કુલ સંખ્યા = 3
અહીં, આપેલા ચોરસની કુલ સંખ્યા = 2
અહીં, આપેલા વર્તુળની કુલ સંખ્યા = 2
અહીં, આપેલાં કુલ આકારોની સંખ્યા = \( 3 + 2 + 2 = 7 \)
(a) ત્રિકોણની સંખ્યા અને વર્તુળની સંખ્યાનો ગુણોત્તર \( = \frac{3}{2} = 3:2 \)
(b) ચોરસની સંખ્યા અને કુલ આકારની સંખ્યાનો ગુણોત્તર \( = \frac{2}{7} = 2:7 \)
(c) વર્તુળની સંખ્યા અને કુલ આકારની સંખ્યાનો ગુણોત્તર \( = \frac{2}{7} = 2:7 \)
In simple words: Count how many of each shape (triangles, squares, circles) are present. Then, add them up to find the total number of shapes. After that, create the ratios asked for by dividing the counts and showing them in the simplest form.

Exam Tip: When dealing with diagrams, count each type of shape carefully to avoid errors in the initial numbers, which would affect all subsequent ratios.

Question 4. હમીદ અને અખ્તર અનુક્રમે 1 કલાકમાં 9 કિમી અને 12 કિમી અંતર કાપે છે. હમીદની ઝડપ અને અખ્તરની ઝડપનો ગુણોત્તર શોધો.

Answer:
હમીદની ઝડપ = 9 કિમી/કલાક
અખ્તરની ઝડપ = 12 કિમી/કલાક
હમીદની ઝડપ અને અખ્તરની ઝડપનો ગુણોત્તર \( = \frac{\text{9 કિમી/કલાક}}{\text{12 કિમી/કલાક}} \)
\( = \frac{9 \div 3}{12 \div 3} \)
\( = \frac{3}{4} \) [કારણ કે 9 અને 12નો ગુરુત્તમ સામાન્ય અવયવ 3 છે]
\( = 3:4 \)
In simple words: Find the speed of Hamid and Akhtar. Then, divide Hamid's speed by Akhtar's speed to make a ratio. Simplify this ratio to its most basic form.

Exam Tip: Ratios of speeds are calculated by directly comparing the distances covered in the same amount of time. Ensure units are consistent.

Question 5. નીચેનાં ખાનાં પૂર્ણ કરો: \( \frac{15}{18} = \frac{\Box}{6} = \frac{10}{\Box} = \frac{\Box}{30} \) (શું આ ગુણોત્તરો સરખા છે?)

Answer:
દરેકમાં ચોકડી ગુણાકાર કરતાં,
પહેલા ખાના માટે: \( \frac{15}{18} = \frac{\Box}{6} \)
\( \implies 15 \times 6 = \Box \times 18 \)
\( \implies \Box = \frac{15 \times 6}{18} \)
\( \implies \Box = 5 \)
બીજા ખાના માટે: \( \frac{15}{18} = \frac{10}{\Box} \)
\( \implies 15 \times \Box = 10 \times 18 \)
\( \implies \Box = \frac{10 \times 18}{15} \)
\( \implies \Box = 12 \)
ત્રીજા ખાના માટે: \( \frac{15}{18} = \frac{\Box}{30} \)
\( \implies 15 \times 30 = \Box \times 18 \)
\( \implies \Box = \frac{15 \times 30}{18} \)
\( \implies \Box = 25 \)
આમ, ભરેલા ખાના સાથે:
\( \frac{15}{18} = \frac{5}{6} = \frac{10}{12} = \frac{25}{30} \)
હવે, આપણે ચકાસીએ કે આ બધા ગુણોત્તરો સરખા ગુણોત્તર છે કે કેમ, દરેક ગુણોત્તરનું અતિસંક્ષિપ્ત સ્વરૂપ આપીએ.
\( \frac{15}{18} = \frac{15 \div 3}{18 \div 3} = \frac{5}{6} \) [કારણ કે 15 અને 18નો ગુરુત્તમ સામાન્ય અવયવ 3 છે]
\( \frac{10}{12} = \frac{10 \div 2}{12 \div 2} = \frac{5}{6} \) [કારણ કે 10 અને 12નો ગુરુત્તમ સામાન્ય અવયવ 2 છે]
\( \frac{25}{30} = \frac{25 \div 5}{30 \div 5} = \frac{5}{6} \) [કારણ કે 25 અને 30નો ગુરુત્તમ સામાન્ય અવયવ 5 છે]
આમ, બધા ગુણોત્તરોનું અતિસંક્ષિપ્ત સ્વરૂપ \( \frac{5}{6} \) છે, તેથી બધા ગુણોત્તરો સરખા છે.
In simple words: To fill in the blanks, use cross-multiplication with the first fraction. Then, simplify each resulting fraction to its simplest form to see if they are all equal. If all simplified forms are the same, then the ratios are equal.

Exam Tip: When comparing ratios, always reduce them to their simplest form to easily check if they are equivalent. Cross-multiplication is a useful technique to find missing terms in equivalent ratios.

Question 6. નીચેનાનો ગુણોત્તર શોધોઃ
(a) 81 અને 108
(b) 98 અને 63
(c) 33 કિમી અને 121 કિમી
(d) 30 મિનિટ અને 45 મિનિટ

Answer:
(a) ગુણોત્તર \( = \frac{81}{108} \)
\( = \frac{81 \div 27}{108 \div 27} = \frac{3}{4} \) [કારણ કે 81 અને 108નો ગુરુત્તમ સામાન્ય અવયવ 27 છે]
\( = 3:4 \)
(b) ગુણોત્તર \( = \frac{98}{63} \)
\( = \frac{98 \div 7}{63 \div 7} = \frac{14}{9} \) [કારણ કે 98 અને 63નો ગુરુત્તમ સામાન્ય અવયવ 7 છે]
\( = 14:9 \)
(c) ગુણોત્તર \( = \frac{\text{33 કિમી}}{\text{121 કિમી}} \)
\( = \frac{33 \div 11}{121 \div 11} = \frac{3}{11} \) [કારણ કે 33 અને 121નો ગુરુત્તમ સામાન્ય અવયવ 11 છે]
\( = 3:11 \)
(d) ગુણોત્તર \( = \frac{\text{30 મિનિટ}}{\text{45 મિનિટ}} \)
\( = \frac{30 \div 15}{45 \div 15} = \frac{2}{3} \) [કારણ કે 30 અને 45નો ગુરુત્તમ સામાન્ય અવયવ 15 છે]
\( = 2:3 \)
In simple words: For each pair of numbers or quantities, write them as a fraction. Then, find the largest number that divides into both of them evenly and divide both parts of the fraction by that number. This will give you the simplified ratio.

Exam Tip: Always look for the greatest common divisor (GCD) to simplify ratios effectively. Ensure units are consistent before finding the ratio, especially in (c) and (d).

Question 7. નીચેનાનો ગુણોત્તર શોધોઃ
(a) 30 મિનિટ અને 1.5 કલાક
(b) 40 સેમી અને 1.5 મીટર
(c) 55 પૈસા અને 1 રૂપિયો
(d) 500 મિલિ અને 2 લિટર

Answer:
(a) 30 મિનિટ અને 1.5 કલાક
અહીં, 1.5 કલાકને મિનિટમાં ફેરવીશું. 1 કલાક = 60 મિનિટ છે.
\( \implies \) 1.5 કલાક \( = 1.5 \times 60 \) મિનિટ \( = 90 \) મિનિટ
માગેલો ગુણોત્તર \( = \frac{\text{30 મિનિટ}}{\text{90 મિનિટ}} \)
\( = \frac{30 \div 30}{90 \div 30} \)
\( = \frac{1}{3} \) [કારણ કે 30 અને 90નો ગુરુત્તમ સામાન્ય અવયવ 30 છે]
\( = 1:3 \)
(b) 40 સેમી અને 1.5 મીટર
અહીં, 1.5 મીટરને સેમીમાં ફેરવીશું. 1 મીટર = 100 સેમી છે.
\( \implies \) 1.5 મીટર \( = 1.5 \times 100 \) સેમી \( = 150 \) સેમી
માગેલો ગુણોત્તર \( = \frac{\text{40 સેમી}}{\text{150 સેમી}} \)
\( = \frac{40 \div 10}{150 \div 10} \)
\( = \frac{4}{15} \) [કારણ કે 40 અને 150નો ગુરુત્તમ સામાન્ય અવયવ 10 છે]
\( = 4:15 \)
(c) 55 પૈસા અને 1 રૂપિયો
અહીં 1 રૂપિયાને પૈસામાં ફેરવીશું. 1 રૂપિયો = 100 પૈસા
માગેલો ગુણોત્તર \( = \frac{\text{55 પૈસા}}{\text{100 પૈસા}} \)
\( = \frac{55 \div 5}{100 \div 5} \) [કારણ કે 55 અને 100નો ગુરુત્તમ સામાન્ય અવયવ 5 છે]
\( = \frac{11}{20} \)
\( = 11:20 \)
(d) 500 મિલિ અને 2 લિટર
અહીં, 2 લિટરને મિલિમાં ફેરવીશું. 1 લિટર = 1000 મિલિ છે.
\( \implies \) 2 લિટર \( = 2 \times 1000 \) મિલિ \( = 2000 \) મિલિ
માગેલો ગુણોત્તર \( = \frac{\text{500 મિલિ}}{\text{2000 મિલિ}} \)
\( = \frac{500 \div 500}{2000 \div 500} \) [કારણ કે 500 અને 2000નો ગુરુત્તમ સામાન્ય અવયવ 500 છે]
\( = \frac{1}{4} \)
\( = 1:4 \)
In simple words: Before you can make a ratio, both amounts must be in the same type of unit. Convert one unit to match the other (like hours to minutes, or meters to centimeters). Once the units are the same, divide the first amount by the second and simplify the fraction to get your ratio.

Exam Tip: Unit conversion is the most common pitfall in these problems. Always convert the larger unit into the smaller unit to avoid decimals and simplify calculations. For example, convert hours to minutes, meters to centimeters, rupees to paisa, and liters to milliliters.

Question 8. એક વર્ષમાં સીમા Rs. 1,50,000 કમાય છે અને Rs. 50,000 બચત કરે છે. તો નીચેના ગુણોત્તર શોધોઃ
(a) સીમા કમાય છે તે રકમ અને તે બચત કરે છે તે રકમનો
(b) તેણે બચાવેલ રકમ અને તેણે ખર્ચ કરેલ રકમનો

Answer:
સીમાની કુલ આવક = Rs. 1,50,000
સીમાની કુલ બચત = Rs. 50,000
સીમાનો કુલ ખર્ચ = \( \text{Rs. } 1,50,000 - \text{Rs. } 50,000 = \text{Rs. } 1,00,000 \)
(a) આવકનો બચત સાથેનો ગુણોત્તર \( = \frac{\text{આવક}}{\text{બચત}} \)
\( = \frac{\text{Rs. } 1,50,000}{\text{Rs. } 50,000} \)
\( = \frac{1,50,000 \div 50,000}{50,000 \div 50,000} \) [કારણ કે 1,50,000 અને 50,000નો ગુરુત્તમ સામાન્ય અવયવ 50,000 છે]
\( = \frac{3}{1} = 3:1 \)
(b) બચતનો ખર્ચ સાથેનો ગુણોત્તર \( = \frac{\text{બચત}}{\text{ખર્ચ}} \)
\( = \frac{\text{Rs. } 50,000}{\text{Rs. } 1,00,000} \)
\( = \frac{50,000 \div 50,000}{1,00,000 \div 50,000} \) [કારણ કે 50,000 અને 1,00,000નો ગુરુત્તમ સામાન્ય અવયવ 50,000 છે]
\( = \frac{1}{2} = 1:2 \)
In simple words: First, figure out how much Seema earns, saves, and spends. Then, to find the ratio of her income to savings, divide income by savings. To find the ratio of savings to expenses, divide savings by expenses. Always simplify these ratios to their simplest form.

Exam Tip: In financial ratio problems, carefully calculate all components like income, savings, and expenditure first. Remember to convert amounts to a common unit (if necessary) and simplify ratios by dividing by their greatest common divisor.

Question 9. 3300 વિદ્યાર્થીઓની એક શાળામાં 102 શિક્ષકો છે. શિક્ષકોની સંખ્યા અને વિધાર્થીઓની સંખ્યાનો ગુણોત્તર શોધો.

Answer:
શાળામાં શિક્ષકોની કુલ સંખ્યા = 102
શાળામાં વિદ્યાર્થીઓની કુલ સંખ્યા = 3300
શિક્ષકોની સંખ્યાનો વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા સાથેનો ગુણોત્તર \( = \frac{102}{3300} \)
\( = \frac{102 \div 6}{3300 \div 6} \) [કારણ કે 102 અને 3300નો ગુરુત્તમ સામાન્ય અવયવ 6 છે]
\( = \frac{17}{550} = 17:550 \)
શિક્ષકોની સંખ્યા અને વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યાનો ગુણોત્તર 17:550 છે.
In simple words: To find the ratio of teachers to students, simply divide the number of teachers by the number of students. Then, make sure to simplify the fraction to its smallest possible whole numbers.

Exam Tip: When forming ratios like "teachers to students," the first quantity (teachers) should be the numerator and the second (students) should be the denominator. Always simplify the ratio.

Question 10. એક કૉલેજના 4320 વિદ્યાર્થીઓમાંથી 2300 છોકરીઓ છે, તો નીચેના ગુણોત્તર શોધોઃ
(a) છોકરીઓની સંખ્યા અને કુલ વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યાનો
(b) છોકરાઓની સંખ્યા અને છોકરીઓની સંખ્યાનો
(c) છોકરાઓની સંખ્યા અને કુલ વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યાનો

Answer:
કૉલેજમાં વિદ્યાર્થીઓની કુલ સંખ્યા = 4320
તેમાંથી છોકરીઓની સંખ્યા = 2300
છોકરાઓની સંખ્યા = \( 4320 - 2300 = 2020 \)
(a) છોકરીઓની સંખ્યા અને કુલ વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યાનો ગુણોત્તર
\( = \frac{\text{છોકરીઓની સંખ્યા}}{\text{કુલ વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા}} \)
\( = \frac{2300}{4320} \)
\( = \frac{2300 \div 20}{4320 \div 20} \) [કારણ કે 2300 અને 4320નો ગુરુત્તમ સામાન્ય અવયવ 20 છે]
\( = \frac{115}{216} \)
\( = 115:216 \)
(b) છોકરાઓની સંખ્યા અને છોકરીઓની સંખ્યાનો ગુણોત્તર
\( = \frac{\text{છોકરાઓની સંખ્યા}}{\text{છોકરીઓની સંખ્યા}} \)
\( = \frac{2020}{2300} \)
\( = \frac{2020 \div 20}{2300 \div 20} \) [કારણ કે 2020 અને 2300નો ગુરુત્તમ સામાન્ય અવયવ 20 છે]
\( = \frac{101}{115} \)
\( = 101:115 \)
(c) છોકરાઓની સંખ્યા અને કુલ વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યાનો ગુણોત્તર
\( = \frac{\text{છોકરાઓની સંખ્યા}}{\text{કુલ વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા}} \)
\( = \frac{2020}{4320} \)
\( = \frac{2020 \div 20}{4320 \div 20} \) [કારણ કે 2020 અને 4320નો ગુરુત્તમ સામાન્ય અવયવ 20 છે]
\( = \frac{101}{216} \)
\( = 101:216 \)
In simple words: First, determine the total number of students, the number of girls, and then calculate the number of boys by subtracting the girls from the total. Next, set up the requested ratios as fractions (number of specific group divided by another specific group). Finally, simplify each fraction by dividing the top and bottom by their largest common factor to get the simplest ratio.

Exam Tip: Clearly identify and calculate all necessary counts (total students, boys, girls) before attempting to form ratios. Always simplify your ratios to their lowest terms for full marks.

Question 11. શાળાના 1800 વિદ્યાર્થીઓમાંથી 750એ બાસ્કેટ બૉલ, 800એ ક્રિકેટ અને બાકીનાએ ટેબલ ટેનિસની રમત પસંદ કરી. જો દરેક વિદ્યાર્થીએ માત્ર એક જ રમત પસંદ કરી હોય, તો નીચેના ગુણોત્તર શોધોઃ
(a) બાસ્કેટ બૉલ પસંદ કરનાર વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા અને ટેબલ ટેનિસ પસંદ કરનાર વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યાનો ગુણોત્તર
(b) ક્રિકેટ પસંદ કરનાર વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા અને બાસ્કેટ બૉલ પસંદ કરનાર વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યાનો ગુણોત્તર
(c) બાસ્કેટ બૉલ પસંદ કરનાર વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યાનો અને કુલ વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યાનો ગુણોત્તર

Answer:
શાળાના કુલ વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા = 1800
બાસ્કેટ બૉલ પસંદ કરનાર વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા = 750
ક્રિકેટ પસંદ કરનાર વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા = 800
ટેબલ ટેનિસ પસંદ કરનાર વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા
\( = 1800 - [750 + 800] \)
\( = 1800 - 1550 \)
\( = 250 \)
(a) બાસ્કેટ બૉલ પસંદ કરનાર વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા અને ટેબલ ટેનિસ પસંદ કરનાર વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યાનો ગુણોત્તર
\( = \frac{750}{250} \)
\( = \frac{750 \div 250}{250 \div 250} \) [કારણ કે 750 અને 250નો ગુરુત્તમ સામાન્ય અવયવ 250 છે]
\( = \frac{3}{1} = 3:1 \)
(b) ક્રિકેટ પસંદ કરનાર વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા અને બાસ્કેટ બૉલ પસંદ કરનાર વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યાનો ગુણોત્તર
\( = \frac{800}{750} \)
\( = \frac{800 \div 50}{750 \div 50} \) [કારણ કે 800 અને 750નો ગુરુત્તમ સામાન્ય અવયવ 50 છે]
\( = \frac{16}{15} = 16:15 \)
(c) બાસ્કેટ બૉલ પસંદ કરનાર વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યાનો અને કુલ વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યાનો ગુણોત્તર
\( = \frac{750}{1800} \)
\( = \frac{750 \div 150}{1800 \div 150} \) [કારણ કે 750 અને 1800નો ગુરુત્તમ સામાન્ય અવયવ 150 છે]
\( = \frac{5}{12} = 5:12 \)
In simple words: First, find out how many students play each sport, especially table tennis by subtracting. Then, for each part, set up a fraction with the first group's count over the second group's count. Simplify these fractions by dividing the top and bottom numbers by their biggest common factor.

Exam Tip: When given total students and counts for some activities, always calculate the count for the remaining activity (like table tennis here) before proceeding. Simplification of ratios is key.

Question 12. એક ડઝન પેનની કિંમત 180 રૂપિયા અને 8 બૉલપેનની કિંમત 50 રૂપિયા છે. પેન અને બૉલપેનની કિંમતનો ગુણોત્તર શોધો.

Answer:
1 ડઝન પેનની કિંમત Rs. 180 છે.
એટલે કે 12 પેનની કિંમત Rs. 180 છે.
\( \implies \) 1 પેનની કિંમત \( = \frac{\text{Rs. } 180}{12} = \text{Rs. } 15 \)
8 બૉલપેનની કિંમત Rs. 56 છે.
\( \implies \) 1 બૉલપેનની કિંમત \( = \frac{\text{Rs. } 56}{8} = \text{Rs. } 7 \)
પેનની કિંમત અને બૉલપેનની કિંમતનો ગુણોત્તર \( = \frac{\text{Rs. } 15}{\text{Rs. } 7} \)
\( = \frac{15}{7} = 15:7 \)
પેનની કિંમત અને બૉલપેનની કિંમતનો ગુણોત્તર 15:7 છે.
In simple words: To compare the costs, first find the price of one pen and one ballpen. A dozen means 12 items. Once you have the price per item for both, divide the pen's price by the ballpen's price and write it as a ratio.

Exam Tip: Always calculate the unit price (price per single item) for both quantities before finding their ratio. Ensure you use the correct number of items per dozen or other groupings.

Question 13. આપેલું વિધાન વિચારોઃ એક સભાખંડની પહોળાઈ અને લંબાઈનો ગુણોત્તર 2 : 5 છે. હૉલની આપેલ પહોળાઈ અને લંબાઈના આધારે નીચેનું કોષ્ટક પૂર્ણ કિરો:

Answer:
પહોળાઈ અને લંબાઈનો ગુણોત્તર 2:5 છે, એટલે કે \( \frac{\text{પહોળાઈ}}{\text{લંબાઈ}} = \frac{2}{5} \).
પહેલા ખાના માટે, જ્યારે પહોળાઈ 10 મી હોય:
\( \frac{10}{25} = \frac{2}{5} \) (આ યોગ્ય છે)
બીજા ખાના માટે, જ્યારે લંબાઈ 50 મી હોય:
\( \frac{\Box}{50} = \frac{2}{5} \)
ચોકડી ગુણાકાર કરતાં:
\( \Box \times 5 = 50 \times 2 \)
\( \implies \Box = \frac{100}{5} \)
\( \implies \Box = 20 \)
તેથી, જ્યારે લંબાઈ 50 મી હોય, ત્યારે પહોળાઈ 20 મી હોય.
ત્રીજા ખાના માટે, જ્યારે પહોળાઈ 40 મી હોય:
\( \frac{40}{\Box} = \frac{2}{5} \)
ચોકડી ગુણાકાર કરતાં:
\( 40 \times 5 = \Box \times 2 \)
\( \implies \Box = \frac{200}{2} \)
\( \implies \Box = 100 \)
તેથી, જ્યારે પહોળાઈ 40 મી હોય, ત્યારે લંબાઈ 100 મી હોય.
હવે, કોષ્ટક નીચે પ્રમાણે થાય :

Exam Tip: Remember that the ratio of width to length must remain constant throughout the table. Use cross-multiplication or scaling (multiplying both parts of the ratio by the same factor) to find missing values in equivalent ratios.

Question 14. શીલા અને સંગીતા વચ્ચે 20 પેન 3 : 2ના ગુણોત્તરમાં વહેચો.

Answer:
શીલા અને સંગીતા વચ્ચે કુલ 20 પેન 3:2ના ગુણોત્તરમાં વહેંચવાની છે.
ગુણોત્તરનાં બંને પદોનો સરવાળો = \( 3 + 2 = 5 \)
આમ, શીલાને કુલ પેનનો \( \frac{3}{5} \) ભાગ મળે અને સંગીતાને કુલ પેનનો \( \frac{2}{5} \) ભાગ મળે.
શીલાને મળતી પેન = \( 20 \times \frac{3}{5} = 12 \)
અને સંગીતાને મળતી પેન = \( 20 \times \frac{2}{5} = 8 \)
શીલાને 12 પેન અને સંગીતાને 8 પેન મળે.
In simple words: Add the two parts of the ratio together to get a total number of parts. Then, divide the total number of pens by this sum. Multiply that result by each part of the ratio to find out how many pens each person receives.

Exam Tip: When distributing items in a given ratio, first find the sum of the ratio terms. Then, divide the total quantity by this sum to find the value of one 'part' of the ratio. Multiply this value by each term in the ratio to get the individual shares.

Question 15. એક માતા પોતાની બે દીકરીઓ શ્રેયા અને ભૂમિકા વચ્ચે Rs. 36 તેમની ઉંમરના ગુણોત્તરને આધારે વહેંચવા માગે છે. જો શ્રેયાની ઉંમર 15 વર્ષ અને ભૂમિકાની ઉંમર 12 વર્ષ છે, તો ભૂમિકા અને શ્રેયાને કેટલા રૂપિયા મળશે?

Answer:
માતા તેમની બંને પુત્રીઓ વચ્ચે Rs. 36 તેમની ઉંમરના ગુણોત્તરમાં વહેંચવા ઇચ્છે છે.
શ્રેયાની ઉંમર = 15 વર્ષ
ભૂમિકાની ઉંમર = 12 વર્ષ
શ્રેયાની ઉંમર અને ભૂમિકાની ઉંમરનો ગુણોત્તર
\( = \frac{\text{15 વર્ષ}}{\text{12 વર્ષ}} \)
\( = \frac{15 \div 3}{12 \div 3} \) [કારણ કે 15 અને 12નો ગુરુત્તમ સામાન્ય અવયવ 3 છે]
\( = \frac{5}{4} = 5:4 \)
આ ગુણોત્તરનાં બંને પદોનો સરવાળો \( = 5 + 4 = 9 \)
કુલ Rs. 36 બંને વચ્ચે વહેંચવાના છે.
શ્રેયાને મળતી રકમ = \( 36 \times \frac{5}{9} = \text{Rs. } 20 \)
ભૂમિકાને મળતી રકમ = \( 36 \times \frac{4}{9} = \text{Rs. } 16 \)
શ્રેયાને Rs. 20 અને ભૂમિકાને Rs. 16 મળે.
In simple words: First, find the ratio of Shreya's age to Bhumika's age and simplify it. Add the numbers in this ratio. Divide the total money (Rs. 36) by this sum. Then, multiply this result by each part of the simplified ratio to find how much money each daughter receives.

Exam Tip: When distributing money based on a ratio, simplify the ratio first to avoid large numbers. Always double-check that the sum of the distributed amounts equals the original total amount (20 + 16 = 36).

Question 16. પિતાની હાલની ઉંમર 42 વર્ષ છે અને તેના પુત્રની ઉંમર 14 વર્ષ છે. નીચેના ગુણોત્તર શોધોઃ
(a) પિતાની હાલની ઉંમર અને પુત્રની હાલની ઉંમર
(b) જો પુત્ર 12 વર્ષનો હોય, તો પિતાની ઉંમર અને પુત્રની ઉંમર
(c) 10 વર્ષ પછી પિતા અને પુત્રની ઉંમરનો
(d) પિતા 30 વર્ષના હતા, ત્યારે પિતા અને પુત્રની ઉંમરનો

Answer:
(a) પિતાની હાલની ઉંમર = 42 વર્ષ
પુત્રની હાલની ઉંમર = 14 વર્ષ
પિતાની હાલની ઉંમર અને પુત્રની હાલની ઉંમરનો ગુણોત્તર
\( = \frac{\text{42 વર્ષ}}{\text{14 વર્ષ}} \)
\( = \frac{42 \div 14}{14 \div 14} \) [કારણ કે 42 અને 14નો ગુરુત્તમ સામાન્ય અવયવ 14 છે]
\( = \frac{3}{1} = 3:1 \)
(b) જ્યારે પુત્રની ઉંમર 12 વર્ષ હતી એટલે કે
\( (14 \text{ વર્ષ} - 12 \text{ વર્ષ}) = 2 \text{ વર્ષ પહેલાં} \)
તે સમયે પિતાની ઉંમર \( = 42 \text{ વર્ષ} - 2 \text{ વર્ષ} = 40 \text{ વર્ષ} \) હશે.
પિતાની ઉંમર અને પુત્રની ઉંમરનો ગુણોત્તર
\( = \frac{\text{40 વર્ષ}}{\text{12 વર્ષ}} \)
\( = \frac{40 \div 4}{12 \div 4} \) [કારણ કે 40 અને 12નો ગુરુત્તમ સામાન્ય અવયવ 4 છે]
\( = \frac{10}{3} = 10:3 \)
(c) 10 વર્ષ પછી
પિતાની ઉંમર \( = 42 \text{ વર્ષ} + 10 \text{ વર્ષ} = 52 \text{ વર્ષ} \) થશે.
પુત્રની ઉંમર \( = 14 \text{ વર્ષ} + 10 \text{ વર્ષ} = 24 \text{ વર્ષ} \) થશે.
પિતાની ઉંમર અને પુત્રની ઉંમરનો ગુણોત્તર
\( = \frac{\text{52 વર્ષ}}{\text{24 વર્ષ}} \)
\( = \frac{52 \div 4}{24 \div 4} \) [કારણ કે 52 અને 24નો ગુરુત્તમ સામાન્ય અવયવ 4 છે]
\( = \frac{13}{6} = 13:6 \)
(d) જ્યારે પિતાની ઉંમર 30 વર્ષ હતી એટલે કે
\( (42 \text{ વર્ષ} - 30 \text{ વર્ષ}) = 12 \text{ વર્ષ પહેલાં} \)
તે સમયે પુત્રની ઉંમર \( = 14 \text{ વર્ષ} - 12 \text{ વર્ષ} = 2 \text{ વર્ષ} \) હોય.
પિતાની ઉંમર અને પુત્રની ઉંમરનો ગુણોત્તર
\( = \frac{\text{30 વર્ષ}}{\text{2 વર્ષ}} \)
\( = \frac{30 \div 2}{2 \div 2} \) [કારણ કે 30 અને 2નો ગુરુત્તમ સામાન્ય અવયવ 2 છે]
\( = \frac{15}{1} = 15:1 \)
In simple words: For each part, first calculate the actual ages of the father and son at that specific time (now, in the past, or in the future). Once you have their ages for that scenario, form a ratio by dividing the father's age by the son's age. Remember to simplify the ratio to its smallest whole numbers.

Exam Tip: Be very careful when calculating ages in the past or future. Always adjust both father's and son's ages relative to the current age and time period specified in the question before forming the ratio. Consistency in calculation is vital.