GSEB Class 12 Physics Solutions Chapter 7 પ્રત્યાવર્તી પ્રવાહ

 

Question 1. 220 V, 50 Hz ac સપ્લાય સાથે 100 Ω અવરોધ જોડેલ છે.
(a) પરિપથમાં પ્રવાહનું rms મૂલ્ય શું હશે ?
(b) એક પૂર્ણચક્ર દરમિયાન ખર્ચાતો કુલ (ચોખ્ખો-Net) પાવર કેટલો હશે ?
Answer:For the given circuit, R = 100 Ω, Vrms = 220 V, and the frequency v = 50 Hz.
(a) The RMS value of current in the circuit can be found using Ohm's Law: \[I_{rms} = \frac{V_{rms}}{R} = \frac{220}{100} = 2.2 A\]
(b) The total (net) power consumed over a complete cycle in an A.C. circuit is given by: \(P = V_{rms} \cdot I_{rms} \cdot \cos\Phi\), where \(\Phi\) is the phase difference between current and voltage.
For a circuit with only resistance, the phase difference \(\Phi = 0\).
So, \(\cos\Phi = \cos0° = 1\).
The power in the circuit is \(P = V_{rms} \cdot I_{rms} = 220 \times 2.2 = 484 W\).
In simple words: We used Ohm's law to find the current. Since it's a resistive circuit, voltage and current are in phase, meaning maximum power is consumed. The total power consumed over a full cycle is calculated using the RMS voltage and current.

🎯 Exam Tip: Remember to use RMS values for current and voltage when calculating average power in AC circuits. For a purely resistive circuit, the power factor (\(\cos\Phi\)) is 1.

 

Question 2. (a) ac સપ્લાયના વોલ્ટેજનું મહત્તમ મૂલ્ય 300V છે. તેનો rms વોલ્ટેજ કેટલો હશે ?
(b) ac પરિપથમાં પ્રવાહનું rms મૂલ્ય 10 A છે. તેનું મહત્તમ મૂલ્ય કેટલું હશે ?
Answer:
(a) The peak voltage for the AC supply \(V_m = 300 V\).
To find the RMS voltage, we use the relationship: \(V_{rms} = \frac{V_m}{\sqrt{2}}\).
So, \(V_{rms} = \frac{300}{\sqrt{2}} = \frac{300}{1.414} \approx 212.1 V\).
(b) The RMS current in the AC circuit \(I_{rms} = 10 A\).
To find the peak current, we use the relationship: \(I_{rms} = \frac{I_m}{\sqrt{2}}\), which means \(I_m = I_{rms} \cdot \sqrt{2}\).
So, \(I_m = 10 \cdot \sqrt{2} = 10 \cdot 1.414 \approx 14.14 A\).
In simple words: To find RMS voltage from peak voltage, divide by square root of 2. To find peak current from RMS current, multiply by square root of 2. These formulas show the connection between peak and effective values in AC circuits.

🎯 Exam Tip: Always remember the relationship between peak and RMS values: \(V_{rms} = V_m / \sqrt{2}\) and \(I_{rms} = I_m / \sqrt{2}\). This is a fundamental concept for AC circuit analysis.

 

Question 3. 220 V, 50 Hz ના ac સ્રોત સાથે 44 mHનું ઇન્ડકટર જોડેલ છે. પરિપથમાં પ્રવાહનું rms મૂલ્ય શોધો.
Answer:Given inductance \(L = 44 mH = 44 \times 10^{-3} H\).
The frequency of the AC source \(f = 50 Hz\).
The RMS voltage \(V_{rms} = 220 V\).
We need to find the RMS current \(I_{rms}\).
First, calculate the inductive reactance \(X_L = 2\pi f L\).
\(X_L = 2 \times 3.14 \times 50 \times 44 \times 10^{-3}\).
\(X_L = 13.816 \Omega\).
For an inductor, the impedance \(|Z| = X_L\).
The RMS current is \(I_{rms} = \frac{V_{rms}}{|Z|} = \frac{V_{rms}}{X_L}\).
\(I_{rms} = \frac{220}{13.816} \approx 15.92 A\).
So, \(I_{rms} \approx 15.9 A\).
In simple words: First, calculate how much the inductor "resists" the AC current, which is called inductive reactance. Then, use Ohm's law with this reactance and the given voltage to find the RMS current flowing through the circuit.

🎯 Exam Tip: In a purely inductive AC circuit, impedance is equal to inductive reactance (\(X_L = 2\pi fL\)). Remember that the RMS current is simply RMS voltage divided by impedance.

 

Question 4. 110 V, 60 Hzના ac સ્રોત સાથે 60μF નું કેપેસિટર જોડેલ છે. પરિપથમાં પ્રવાહનું rms મૂલ્ય શોધો.
Answer:Given capacitance \(C = 60 \mu F = 60 \times 10^{-6} F\).
The frequency of the AC source \(f = 60 Hz\).
The RMS voltage \(V_{rms} = 110 V\).
We need to find the RMS current \(I_{rms}\).
First, calculate the capacitive reactance \(X_C = \frac{1}{2\pi fC}\).
\(X_C = \frac{1}{2 \times 3.14 \times 60 \times 60 \times 10^{-6}}\).
\(X_C = \frac{1}{2.2608 \times 10^{-2}}\).
\(X_C \approx 44.23 \Omega\).
For a capacitor, the impedance \(|Z| = X_C\).
The RMS current is \(I_{rms} = \frac{V_{rms}}{|Z|} = \frac{V_{rms}}{X_C}\).
\(I_{rms} = \frac{110}{44.23} \approx 2.487 A\).
So, \(I_{rms} \approx 2.49 A\).
In simple words: First, calculate the capacitive reactance, which is the opposition a capacitor offers to AC current. Then, use this reactance along with the given RMS voltage to calculate the RMS current flowing through the circuit, similar to Ohm's law.

🎯 Exam Tip: In a purely capacitive AC circuit, the impedance equals the capacitive reactance (\(X_C = 1/(2\pi fC)\)). Ensure correct unit conversions for capacitance (microfarads to farads) before calculation.

 

Question 5. સ્વાધ્યાય 7.3 અને 7.4 માં એક પૂર્ણચક્ર દરમિયાન દરેક પરિપથમાં શોષાતો ચોખ્ખો પાવર કેટલો હશે ? તમારા જવાબની સમજૂતી આપો.
Answer:
In Question 7.3, the circuit had only an inductor. In such a circuit, the current lags the voltage by a phase of \(\frac{\pi}{2}\) radians (or 90 degrees).
The power consumed \(P = V_{rms} \cdot I_{rms} \cdot \cos\Phi\).
Since \(\Phi = \frac{\pi}{2}\), \(\cos\Phi = \cos(\frac{\pi}{2}) = 0\).
Therefore, the power \(P = 220 \times 15.9 \times 0 = 0\).

In Question 7.4, the circuit had only a capacitor. In such a circuit, the current leads the voltage by a phase of \(\frac{\pi}{2}\) radians (or 90 degrees).
The power consumed \(P = V_{rms} \cdot I_{rms} \cdot \cos\Phi\).
Since \(\Phi = \frac{\pi}{2}\), \(\cos\Phi = \cos(\frac{\pi}{2}) = 0\).
Therefore, the power \(P = 110 \times 2.49 \times 0 = 0\).

In both these cases (pure inductor or pure capacitor), power is consumed during the first half of a cycle and then returned to the source during the second half. This means no net power is used up in pure inductive or pure capacitive circuits over a full cycle.
In simple words: For circuits with only an inductor or only a capacitor, the current and voltage are 90 degrees out of phase. This means that over one complete cycle, no energy is permanently lost; it is stored and then returned, so the average power consumed is zero.

🎯 Exam Tip: Remember that ideal inductors and capacitors do not dissipate energy; they only store it. The average power consumed over a full cycle in a purely inductive or capacitive circuit is zero because the power factor \(\cos\Phi = 0\).

 

Question 6. L = 2.0 H, C = 32 µF અને R = 10 Ω વાળા L-C-R શ્રેણી પરિપથ માટે અનુનાદ આવૃત્તિ w_r મેળવો. આ પરિપથનું Q મૂલ્ય કેટલું હશે ?
Answer:Given inductance \(L = 2.0 H\).
Capacitance \(C = 32 \mu F = 32 \times 10^{-6} F\).
Resistance \(R = 10 \Omega\).

The resonant angular frequency (\(\omega_r\)) for an L-C-R series circuit is given by: \[\omega_r = \frac{1}{\sqrt{LC}}\] Substitute the values: \[\omega_r = \frac{1}{\sqrt{2.0 \times 32 \times 10^{-6}}}\] \[\omega_r = \frac{1}{\sqrt{64 \times 10^{-6}}}\] \[\omega_r = \frac{1}{8 \times 10^{-3}} = \frac{1000}{8} = 125 \text{ rad/s}\]
The Q-factor of the circuit is given by: \[Q = \frac{\omega_r L}{R}\] Substitute the calculated \(\omega_r\) and given L and R: \[Q = \frac{125 \times 2}{10} = \frac{250}{10} = 25\]
In simple words: We first find the resonant frequency where the circuit allows maximum current to flow. Then, we calculate the Q-factor, which tells us how sharp or selective the resonance is.

🎯 Exam Tip: The Q-factor is a measure of the sharpness of resonance in an L-C-R circuit. A higher Q-factor means a sharper resonance. Remember the formula for resonant angular frequency (\(1/\sqrt{LC}\)) and Q-factor (\(\omega_r L/R\)).

 

Question 7. 27 mH ઇન્ડક્ટર સાથે 30 μF નું સંપૂર્ણ વિધુતભારિત કેપેસિટર જોડેલ છે, તો પરિપથમાં થતાં મુક્ત વિધુતભારના દોલનોની કોણીય આવૃત્તિ કેટલી હશે ?
Answer:Given capacitance \(C = 30 \mu F = 30 \times 10^{-6} F\).
Given inductance \(L = 27 mH = 27 \times 10^{-3} H\).
We need to find the angular frequency (\(\omega_0\)) of free oscillations.
The angular frequency of free oscillations in an LC circuit is given by: \[\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}\] Substitute the given values: \[\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{27 \times 10^{-3} \times 30 \times 10^{-6}}}\] \[\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{810 \times 10^{-9}}} = \frac{1}{\sqrt{8.1 \times 10^{-7}}}\] \[\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{81 \times 10^{-8}}} = \frac{1}{9 \times 10^{-4}}\] \[\omega_0 = \frac{10^4}{9} \approx 1111.11 \text{ rad/s}\]
So, \(\omega_0 \approx 1.1 \times 10^3 \text{ rad/s}\).
In simple words: We calculate the natural frequency at which charges would swing back and forth in a circuit with an inductor and capacitor, like a pendulum. This is called the angular frequency of free oscillations.

🎯 Exam Tip: For an LC circuit, the angular frequency of free oscillations (also known as resonant angular frequency) is a key parameter. Ensure precise calculations, especially with exponents, using the formula \(\omega_0 = 1/\sqrt{LC}\).

 

Question 8. સ્વાધ્યાય 7.7 માં કેપેસિટર પરના પ્રારંભિક વિદ્યુતભારનું મૂલ્ય ધારો કે 6mC છે. તો પ્રારંભમાં પરિપથમાં સંગ્રહિત કુલ ઊર્જા કેટલી હશે ? પછીનાં કોઈ સમયે કુલ ઊર્જા કેટલી હશે ?
Answer:Given initial charge on the capacitor \(Q_1 = 6 mC = 6 \times 10^{-3} C\).
Capacitance \(C = 30 \mu F = 30 \times 10^{-6} F\).

The initial total energy stored in the circuit is the energy stored in the capacitor: \[U_1 = \frac{1}{2} \frac{Q_1^2}{C}\] Substitute the values: \[U_1 = \frac{1}{2} \times \frac{(6 \times 10^{-3})^2}{30 \times 10^{-6}}\] \[U_1 = \frac{1}{2} \times \frac{36 \times 10^{-6}}{30 \times 10^{-6}}\] \[U_1 = \frac{1}{2} \times \frac{36}{30} = \frac{18}{30} = 0.6 J\]
Since the problem states that this is an ideal LC circuit (implied by previous context and lack of resistance), the total resistance is considered zero. This means there are no damped oscillations, and the total energy in the circuit remains constant during LC oscillations.
Therefore, the total energy \(U_2\) at any later time will also be 0.6 J.
In simple words: The initial energy is all stored in the capacitor. Because there is no resistance to waste energy, the total energy in the circuit stays the same over time. So, the energy will always be 0.6 J.

🎯 Exam Tip: In an ideal LC circuit (with no resistance), energy is conserved. It continuously oscillates between being stored in the electric field of the capacitor and the magnetic field of the inductor, but the total energy remains constant.

 

Question 9. R = 20 Ω, L = 1.5 H અને C = 35 uF ધરાવતાં L-C-R શ્રેણી પરિપથ સાથે ચલિત (બદલી શકાય તેવી) સપ્લાય જોડેલ છે. જ્યારે સપ્લાયની આવૃત્તિ પરિપથની પ્રાકૃતિક આવૃત્તિ જેટલી થાય ત્યારે એક પૂર્ણચક્ર દરમિયાન પરિપથમાં રૂપાંતર પામતો સરેરાશ પાવર કેટલો હશે ?
Answer:Given resistance \(R = 20 \Omega\).
Inductance \(L = 1.5 H\).
Capacitance \(C = 35 \mu F = 35 \times 10^{-6} F\).
RMS voltage \(V_{rms} = 200 V\).

When the supply frequency matches the natural frequency of the circuit, resonance occurs.
At resonance, the circuit's impedance (Z) becomes equal to its resistance (R).
So, \(Z = R = 20 \Omega\).

Also, at resonance in an L-C-R series circuit, the phase difference (\(\Phi\)) between current and voltage is zero, because the circuit behaves purely resistively.
Thus, \(\Phi = 0°\).
The RMS current at resonance is: \[I_{rms} = \frac{V_{rms}}{|Z|} = \frac{200}{20} = 10 A\]
The average power dissipated over one cycle is given by: \[P = V_{rms} \cdot I_{rms} \cdot \cos\Phi\] Since \(\cos\Phi = \cos0° = 1\): \[P = 200 \times 10 \times 1 = 2000 W\]
In simple words: When the circuit is at resonance, it acts like a pure resistor, so the current and voltage are in sync. This means maximum power is used up. We find the current at this point and then multiply it by the voltage to get the power.

🎯 Exam Tip: At resonance in an L-C-R series circuit, impedance is minimum (equal to R), current is maximum, and the power factor is 1 (\(\Phi = 0\)). This leads to maximum power dissipation, calculated as \(P = V_{rms} \cdot I_{rms}\).

 

Question 10. એક રેડિયો MW બ્રોડકાસ્ટ બેન્ડ (800 Hz થી 1200 Hz) જેટલી આવૃત્તિનાં ગાળામાં ટ્યૂન કરી શકાય છે. જો તેના LC પરિપથમાં 200 uH નું અસરકારક ઇન્ડકટર હોય તો તેનાં ચલ કેપેસિટરની રેન્જ કેટલી હોવી જોઈએ ?
(Hint : ટ્યૂનિંગ કરવા માટે પ્રાકૃતિક આવૃત્તિ એટલે કે LC પરિપથમાં મુક્ત દોલનોની આવૃત્તિ, રેડિયો તરંગની આવૃત્તિ જેટલી થવી જોઈએ.)
Answer:The radio can tune frequencies from \(f_{min} = 800 Hz\) to \(f_{max} = 1200 Hz\).
The effective inductance \(L = 200 \mu H = 200 \times 10^{-6} H\).

For tuning, the natural frequency of the LC circuit must match the radio wave frequency.
The formula for resonant frequency (\(f\)) in an LC circuit is: \[f = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}\] From this, we can express capacitance \(C\) as: \[C = \frac{1}{4\pi^2 f^2 L}\] We need to find the range of capacitance, so we will calculate \(C_{max}\) (corresponding to \(f_{min}\)) and \(C_{min}\) (corresponding to \(f_{max}\)).

For \(f_{min} = 800 Hz\): \[C_{max} = \frac{1}{4 \times (3.14)^2 \times (800)^2 \times 200 \times 10^{-6}}\] \[C_{max} = \frac{1}{4 \times 9.8596 \times 640000 \times 200 \times 10^{-6}}\] \[C_{max} = \frac{1}{5047859.2 \times 10^{-6}} = \frac{1}{5.0478592}\] \[C_{max} \approx 0.19809 \times 10^{-6} F = 198.09 \times 10^{-12} F \approx 198 \text{ pF}\]
For \(f_{max} = 1200 Hz\): \[C_{min} = \frac{1}{4 \times (3.14)^2 \times (1200)^2 \times 200 \times 10^{-6}}\] \[C_{min} = \frac{1}{4 \times 9.8596 \times 1440000 \times 200 \times 10^{-6}}\] \[C_{min} = \frac{1}{11357683.2 \times 10^{-6}} = \frac{1}{11.3576832}\] \[C_{min} \approx 0.08804 \times 10^{-6} F = 88.04 \times 10^{-12} F \approx 88 \text{ pF}\]
Therefore, the variable capacitor's range should be from 88 pF to 198 pF.
In simple words: To tune the radio to different frequencies, the capacitor's value must change. We use the formula that connects frequency, inductance, and capacitance to find the minimum and maximum capacitance needed for the given frequency range.

🎯 Exam Tip: Remember the inverse relationship between resonant frequency and capacitance (\(f \propto 1/\sqrt{C}\)). This means a lower frequency requires a larger capacitance, and a higher frequency requires a smaller capacitance. Pay attention to unit conversions (uH to H, pF to F).

 

Question 11. આકૃતિમાં દર્શાવ્યા પ્રમાણે ચલિત (બદલી શકાય તેવી) આવૃત્તિવાળો 230 V ac સ્રોત L-C-R પરિપથ સાથે જોડેલ છે. L = 5.0 H, C = 80 μF. R = 40 Ω Θ.
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह एक श्रृंखला LCR परिपथ का आरेख है। इसमें एक AC स्रोत, एक रोकनेवाला (R), एक प्रेरक (L), और एक संधारित्र (C) श्रृंखला में जुड़े हुए हैं। AC स्रोत को 230 V दिखाया गया है, और R, L, C के मान भी दिए गए हैं।
(a) પરિપથને અનુનાદની સ્થિતિમાં લાવવા માટે સ્રોતની આવૃત્તિ નક્કી કરો.
Answer:Given inductance \(L = 5.0 H\).
Capacitance \(C = 80 \mu F = 80 \times 10^{-6} F\).
Resistance \(R = 40 \Omega\).
RMS voltage \(V_{rms} = 230 V\).

(a) To bring the circuit to resonance, the source's angular frequency (\(\omega\)) must be equal to the natural angular frequency (\(\omega_0\)) of the A.C. source.
The natural angular frequency is given by: \[\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}\] Substitute the values: \[\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{5.0 \times 80 \times 10^{-6}}}\] \[\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{400 \times 10^{-6}}} = \frac{1}{\sqrt{4 \times 10^{-4}}}\] \[\omega_0 = \frac{1}{2 \times 10^{-2}} = \frac{100}{2} = 50 \text{ rad/s}\]
The frequency (\(v\)) is related to angular frequency by \(\omega_0 = 2\pi v\).
So, \(v = \frac{\omega_0}{2\pi} = \frac{50}{2 \times 3.14}\).
\(v = \frac{50}{6.28} \approx 7.9617 Hz\).
Therefore, the source frequency must be approximately 7.96 Hz.
In simple words: To make the circuit resonate, we need to match the source's frequency to the circuit's natural frequency. This natural frequency is calculated using the values of the inductor and capacitor in the circuit.

🎯 Exam Tip: Resonance occurs when the inductive reactance equals the capacitive reactance, leading to minimum impedance in a series LCR circuit. The resonant angular frequency is always calculated as \(1/\sqrt{LC}\).

 

Question 11. (b) અનુનાદ સમયે L-C-R પરિપથનો ઇમ્પિડન્સ Z છે.
Answer:
(b) At resonance, for an L-C-R series circuit, the impedance Z is equal to the resistance R.
So, \(Z = R = 40 \Omega\).

To find the current amplitude \(I_m\):
First, find the peak voltage \(V_m\). Since \(V_{rms} = \frac{V_m}{\sqrt{2}}\), then \(V_m = V_{rms} \times \sqrt{2}\).
\(V_m = 230 \times 1.414 \approx 325.22 V\).
Now, the current amplitude \(I_m = \frac{V_m}{Z}\).
\(I_m = \frac{325.22}{40} \approx 8.1305 A\).
So, \(I_m \approx 8.1 A\).

Alternatively, find the RMS current first: \(I_{rms} = \frac{V_{rms}}{Z} = \frac{230}{40} = 5.75 A\).
Then, \(I_m = I_{rms} \times \sqrt{2} = 5.75 \times 1.414 \approx 8.1305 A\).
In simple words: At resonance, the circuit's total opposition to current (impedance) is just its resistance. We then use this resistance and the peak voltage to find the peak current flowing through the circuit.

🎯 Exam Tip: At resonance, the impedance \(Z = R\). It's crucial to correctly calculate the peak voltage (\(V_m = V_{rms} \times \sqrt{2}\)) before finding the current amplitude (\(I_m = V_m / Z\)).

 

Question 11. (c) પરિપથનાં ત્રણેય ઘટકોનાં બે છેડા વચ્ચેનો rms વોલ્ટેજ (સ્થિતિમાન તફાવત) શોધો. દર્શાવો કે અનુનાદ આવૃત્તિએ LC સંયોજનના બે છેડા વચ્ચેનો સ્થિતિમાન તફાવત (વોલ્ટેજ ડ્રોપ) શૂન્ય છે.
Answer:The RMS current at resonance \(I_{rms} = 5.75 A\).
The resistance \(R = 40 \Omega\).
The inductive reactance \(X_L = \omega_r L = 50 \times 5 = 250 \Omega\).
The capacitive reactance \(X_C = \frac{1}{\omega_r C} = \frac{1}{50 \times 80 \times 10^{-6}} = \frac{1}{4000 \times 10^{-6}} = \frac{1}{0.004} = 250 \Omega\).

The RMS voltage across the resistor: \[V_{rms(R)} = I_{rms} \times R = 5.75 \times 40 = 230 V\]
The RMS voltage across the inductor: \[V_{rms(L)} = I_{rms} \times X_L = 5.75 \times 250 = 1437.5 V\]
The RMS voltage across the capacitor: \[V_{rms(C)} = I_{rms} \times X_C = 5.75 \times 250 = 1437.5 V\]
The RMS voltage across the L-C combination: \[V_{LC} = V_{rms(L)} - V_{rms(C)}\] \[V_{LC} = 1437.5 - 1437.5 = 0 V\]
This shows that at resonance, the total voltage drop across the L and C components is zero.
*Note:* In an L-C-R series AC circuit, at resonance, the voltage phasors across the inductor and capacitor are equal in magnitude and opposite in direction. This causes their combined voltage to cancel out, resulting in a zero voltage drop across the LC combination.
In simple words: We calculate the voltage across each component (resistor, inductor, capacitor). At resonance, the voltage across the inductor and capacitor are equal but point in opposite directions, so they cancel each other out, making the total voltage across them zero.

🎯 Exam Tip: At resonance, \(X_L = X_C\), which means \(V_{rms(L)} = V_{rms(C)}\). Since these voltages are 180° out of phase, their vector sum is zero. This is a crucial characteristic of series resonance.

 

Question 12. 20 mH ઇન્ડકટર અને 50 uF કેપેસિટન્સ ધરાવતાં LC પરિપથમાં કેપેસિટર પર પ્રારંભિક વિધુતભાર 10 mC છે. પરિપથનો અવરોધ અવગણી શકાય તેટલો છે. ધારો કે પરિપથ પૂર્ણ કરવામાં આવે છે તે ક્ષણ t = 0 છે.
(a) કુલ પ્રારંભિક સંગ્રહિત ઊર્જા કેટલી હશે ? શું તેનું L-C દોલનો દરમિયાન સંરક્ષણ થશે ?
Answer:Given inductance \(L = 20 mH = 20 \times 10^{-3} H\).
Capacitance \(C = 50 \mu F = 50 \times 10^{-6} F\).
Initial charge on the capacitor \(q_0 = 10 mC = 10 \times 10^{-3} C\).

(a) The initial energy stored in the circuit is primarily in the capacitor, as the circuit is just completed at \(t=0\). \[U_0 = \frac{q_0^2}{2C}\] Substitute the values: \[U_0 = \frac{(10 \times 10^{-3})^2}{2 \times 50 \times 10^{-6}}\] \[U_0 = \frac{100 \times 10^{-6}}{100 \times 10^{-6}} = 1 J\]
Yes, the total energy will be conserved during the L-C oscillations because the resistance of the circuit is negligible (ideal LC circuit). Energy will continuously exchange between the electric field of the capacitor and the magnetic field of the inductor without loss.
In simple words: The starting energy is calculated from the charge on the capacitor. Because there is no resistance, this total energy will always stay the same as it moves between the capacitor and the inductor.

🎯 Exam Tip: In an ideal LC circuit (where resistance is negligible), the total energy is conserved. It is important to remember the formula for energy stored in a capacitor, \(U = q^2/(2C)\).

 

Question 12. (b) પરિપથની પ્રાકૃતિક આવૃત્તિ કેટલી હશે ?
Answer:Given inductance \(L = 20 mH = 20 \times 10^{-3} H\).
Capacitance \(C = 50 \mu F = 50 \times 10^{-6} F\).

(b) The natural frequency (\(v_0\)) of the circuit is given by: \[v_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}\] Substitute the values: \[v_0 = \frac{1}{2 \times 3.14 \times \sqrt{20 \times 10^{-3} \times 50 \times 10^{-6}}}\] \[v_0 = \frac{1}{2 \times 3.14 \times \sqrt{1000 \times 10^{-9}}} = \frac{1}{2 \times 3.14 \times \sqrt{10^{-6}}}\] \[v_0 = \frac{1}{2 \times 3.14 \times 10^{-3}} = \frac{1}{0.00628}\] \[v_0 = \frac{1000}{6.28} \approx 159.23 Hz\]
So, the natural frequency \(v_0 \approx 159 Hz\).
In simple words: We calculate how many times per second the charge would naturally oscillate back and forth in the LC circuit. This is called the natural frequency.

🎯 Exam Tip: The natural frequency of an LC circuit is a crucial parameter for understanding its oscillations. Ensure accurate calculation of the square root and proper unit conversions.

 

Question 12. (c) કયા સમયે સંગ્રહિત ઊર્જા :
(i) સંપૂર્ણ વિધુતઊર્જા રૂપે (એટલે કે કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત) હશે ?
(ii) સંપૂર્ણ ચુંબકીયઊર્જા રૂપે (એટલે કે ઇન્ડક્ટરમાં સંગ્રહિત) હશે ?
Answer:The charge on the capacitor at any time \(t\) during L-C oscillations is given by: \[q = q_0 \cos(\omega t) = q_0 \cos\left(\frac{2\pi}{T}t\right)\] where \(T\) is the time period, and \(T = 1/v_0 = 1/159.23 \approx 6.28 \times 10^{-3} s \approx 6.3 ms\).

(i) The energy will be entirely electrical (stored in the capacitor) when the charge on the capacitor is maximum, i.e., \(q = \pm q_0\).
This happens when \(\cos\left(\frac{2\pi}{T}t\right) = \pm 1\).
So, \(\frac{2\pi}{T}t = n\pi\), where \(n = 0, 1, 2, 3, 4, \dots\).
This gives \(t = n \frac{T}{2}\).
Thus, the energy is entirely electrical at \(t = 0, \frac{T}{2}, T, \frac{3T}{2}, 2T, \dots\).

(ii) The energy will be entirely magnetic (stored in the inductor) when the electrical energy is zero, meaning the charge on the capacitor \(q = 0\).
This happens when \(\cos\left(\frac{2\pi}{T}t\right) = 0\).
So, \(\frac{2\pi}{T}t = (2n+1)\frac{\pi}{2}\), where \(n = 0, 1, 2, 3, 4, \dots\).
This gives \(t = (2n+1)\frac{T}{4}\).
Thus, the energy is entirely magnetic at \(t = \frac{T}{4}, \frac{3T}{4}, \frac{5T}{4}, \frac{7T}{4}, \dots\).
In simple words: The energy is fully electrical when the capacitor has maximum charge, which happens at times like 0, T/2, T, etc. The energy is fully magnetic when the capacitor has no charge, which happens at times like T/4, 3T/4, etc.

🎯 Exam Tip: In LC oscillations, electrical and magnetic energies are out of phase. When one is maximum, the other is minimum (zero). The total energy is conserved, oscillating between these two forms.

 

Question 12. (d) ઇન્ડકટર અને કેપેસિટર વચ્ચે કયા-કયા સમયે કુલ (માર્ચ – 2020) ઊર્જા સમાન રીતે વહેંચાશે ?
Answer:(d) The total energy stored initially in the capacitor is \(U = \frac{1}{2}\frac{q_0^2}{C}\).
The energy will be equally divided between the capacitor and the inductor when the energy in the capacitor \(U' = \frac{1}{2}U\).
So, \(\frac{1}{2}\frac{q^2}{C} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}\frac{q_0^2}{C}\right)\).
This simplifies to \(q^2 = \frac{q_0^2}{2}\), which means \(q = \pm \frac{q_0}{\sqrt{2}}\).

Using the charge equation: \(q = q_0 \cos\left(\frac{2\pi}{T}t\right)\).
So, \(\pm \frac{q_0}{\sqrt{2}} = q_0 \cos\left(\frac{2\pi}{T}t\right)\).
This means \(\cos\left(\frac{2\pi}{T}t\right) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}\).
The general solutions for this are \(\frac{2\pi}{T}t = n\pi \pm \frac{\pi}{4}\).
So, \(t = (n \pm \frac{1}{4})\frac{T}{2} = (4n \pm 1)\frac{T}{8}\).
For \(n = 0, 1, 2, 3, 4, \dots\), the times are \(t = \frac{T}{8}, \frac{3T}{8}, \frac{5T}{8}, \frac{7T}{8}, \dots\).
At these times, the energy will be equally distributed between the inductor and the capacitor.
In simple words: The energy is equally split when the charge on the capacitor is \(q_0/\sqrt{2}\). This happens at specific times within each cycle, like T/8, 3T/8, and so on.

🎯 Exam Tip: For equal energy distribution, the charge on the capacitor is \(q_0/\sqrt{2}\) and the current is \(I_{max}/\sqrt{2}\). The phase difference between current and voltage is \(\pm \pi/4\) at these moments.

 

Question 12. (e) જો આ પરિપથમાં એક અવરોધ દાખલ કરવામાં આવે તો છેવટે કેટલી ઊર્જા ઉષ્મા સ્વરૂપે વ્યય પામશે ?
Answer:(e) If a resistor R is introduced into this LC circuit, the oscillations will become damped.
The resistor will dissipate energy as heat.
Eventually, all the initial energy stored in the circuit (1.0 J, calculated in part (a)) will be converted into heat by the resistor.
Therefore, in the end, the entire initial energy of 1.0 J will be dissipated as heat, and the oscillations will stop.
In simple words: If we add a resistor, it will convert all the circuit's energy into heat over time. So, the initial energy of 1.0 J will be completely lost as heat, and the oscillations will stop.

🎯 Exam Tip: Real-world LC circuits always have some resistance, leading to damped oscillations and eventual energy dissipation as heat. The total initial energy will be lost due to this resistance.

 

Question 13. 240 V, 50 Hz ac સ્રોત સાથે 0.50 H ઇન્ડક્ટન્સ ધરાવતી કોઇલ અને 100 Ω અવરોધને જોડેલ છે.
(a) ઉત્તમ પ્રવાહ કેટલો હશે ?
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह एक AC परिपथ का आरेख है जिसमें एक प्रेरक (L = 0.5 H) और एक रोकनेवाला (R = 100 Ω) श्रृंखला में जुड़े हुए हैं। स्रोत 240 V, 50 Hz का है। आरेख में इंडक्टिव रिएक्टेंस (\(X_L\)) और प्रतिरोध (R) के मान दिखाए गए हैं।
Answer:Given RMS voltage \(V_{rms} = 240 V\).
Frequency \(v = 50 Hz\).
Inductance \(L = 0.50 H\).
Resistance \(R = 100 \Omega\).

First, calculate the inductive reactance \(X_L\): \[X_L = 2\pi v L\] \[X_L = 2 \times 3.14 \times 50 \times 0.5\] \[X_L = 157 \Omega\]
Now, calculate the impedance \(Z\) of the series R-L circuit: \[Z = \sqrt{R^2 + X_L^2}\] \[Z = \sqrt{(100)^2 + (157)^2}\] \[Z = \sqrt{10000 + 24649}\] \[Z = \sqrt{34649} \approx 186.14 \Omega\]
(a) The maximum (peak) current \(I_m\).
First, find the peak voltage \(V_m = V_{rms} \times \sqrt{2}\).
\(V_m = 240 \times 1.414 \approx 339.36 V\).
Now, the maximum current is: \[I_m = \frac{V_m}{Z}\] \[I_m = \frac{339.36}{186.14} \approx 1.823 A\]
So, \(I_m \approx 1.82 A\).
In simple words: We first calculate the inductive resistance and then the total circuit resistance (impedance). Then, we convert the given RMS voltage to peak voltage and use it with the impedance to find the peak current.

🎯 Exam Tip: For an R-L series circuit, the impedance is \(Z = \sqrt{R^2 + X_L^2}\). Ensure you calculate the peak voltage (\(V_m\)) from the given RMS voltage (\(V_{rms}\)) to find the peak current (\(I_m\)).

 

Question 13. (b) મહત્તમ વોલ્ટેજ અને મહત્તમ પ્રવાહ વચ્ચે સમય તફાવત કેટલો હશે ?
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह एक फेजर आरेख है जो AC R-L श्रृंखला परिपथ में अधिकतम वोल्टेज और अधिकतम धारा के बीच कला संबंध को दर्शाता है। इसमें रोकनेवाला (VR) के पार वोल्टेज, प्रेरक (VL) के पार वोल्टेज, और कुल वोल्टेज (V) और धारा (Im) के फेजर शामिल हैं, जो कला अंतर (Φ) दिखाते हैं।
Answer:
(b) The phase difference (\(\Phi\)) between the maximum voltage and maximum current in an R-L series circuit is given by: \[\tan\Phi = \frac{V_L}{V_R} = \frac{I_m X_L}{I_m R} = \frac{X_L}{R}\] We already calculated \(X_L = 157 \Omega\) and \(R = 100 \Omega\). \[\tan\Phi = \frac{157}{100} = 1.57\] \[\Phi = \tan^{-1}(1.57) \approx 57.5°\]
To find the time difference (\(\Delta t\)), we use the relationship: \(\Phi = \omega \Delta t\), where \(\omega = 2\pi v\).
So, \(\Delta t = \frac{\Phi}{\omega} = \frac{\Phi}{2\pi v}\).
Convert \(\Phi\) to radians: \(\Phi = 57.5° \times \frac{\pi}{180°} \approx 1.003 \text{ rad}\).
Frequency \(v = 50 Hz\). \[\Delta t = \frac{1.003}{2 \times 3.14 \times 50} = \frac{1.003}{314} \approx 0.00319 s\] \[\Delta t \approx 3.2 \times 10^{-3} s = 3.2 ms\]
In simple words: We find the phase difference angle between voltage and current using the inductive resistance and actual resistance. Then, we use this angle and the circuit's frequency to calculate the time difference.

🎯 Exam Tip: In an R-L circuit, the voltage leads the current, so \(\Phi\) is positive. Make sure to convert the phase angle from degrees to radians when using \(\Delta t = \Phi / (2\pi v)\).

 

Question 14. સ્વાધ્યાય 7.13માં જે પરિપથને ઊંચી આવૃત્તિવાળા સ્રોત (240 V, -10 kHz) સાથે જોડવામાં આવે તો (a) અને (b) સ્વાધ્યાયનાં જવાબ મેળવો. "ખૂબ જ ઊંચી આવૃત્તિએ પરિપથમાં રહેલ ઇન્ડકટર ખુલ્લા પરિપથ (Open Circuit) ની માફક વર્તે છે.” આ વિધાન સમજાવો. dc પરિપથમાં સ્થાયી અવસ્થા આવે પછી ઇન્ડકટરની વર્તણૂક કેવી હશે ?
Answer:Given RMS voltage \(V_{rms} = 240 V\).
Frequency \(v = 10 kHz = 10 \times 10^3 Hz = 10^4 Hz\).
Inductance \(L = 0.5 H\).
Resistance \(R = 100 \Omega\).

First, calculate the inductive reactance \(X_L\) at this high frequency: \[X_L = 2\pi v L\] \[X_L = 2 \times 3.14 \times 10^4 \times 0.5\] \[X_L = 31400 \Omega\]
Now, calculate the impedance \(Z\) of the series R-L circuit: \[Z = \sqrt{R^2 + X_L^2}\] \[Z = \sqrt{(100)^2 + (31400)^2}\] \[Z = \sqrt{10000 + 985960000}\] \[Z = \sqrt{985970000} \approx 31400.16 \Omega\]
(a) Maximum current \(I_m\).
Peak voltage \(V_m = V_{rms} \times \sqrt{2} = 240 \times 1.414 \approx 339.36 V\). \[I_m = \frac{V_m}{Z}\] \[I_m = \frac{339.36}{31400.16} \approx 0.0108 A\] \[I_m \approx 1.08 \times 10^{-2} A \approx 1.1 \times 10^{-2} A\]
(b) Phase difference (\(\Phi\)) between V and I. \[\tan\Phi = \frac{X_L}{R}\] \[\tan\Phi = \frac{31400}{100} = 314\]
Since \(\tan\Phi\) is very large, \(\Phi\) is close to 90 degrees or \(\frac{\pi}{2}\) radians.
\[\Phi = \tan^{-1}(314) \approx 89.82°\]
Convert to radians: \(\Phi = 89.82 \times \frac{\pi}{180} \text{ rad}\).
The time difference \(\Delta t = \frac{\Phi}{\omega} = \frac{\Phi}{2\pi v}\). \[\Delta t = \frac{89.82 \times (\pi/180)}{2\pi \times 10^4} = \frac{89.82}{360 \times 10^4} \approx 2.495 \times 10^{-5} s\] \[\Delta t \approx 25 \mu s\]
**Explanation of the statement:** "At a very high frequency, the inductor in the circuit behaves like an open circuit."
At very high frequencies, the inductive reactance \(X_L = 2\pi v L\) becomes very large, approaching infinity. An infinite reactance means that the inductor opposes the flow of AC current almost completely, effectively blocking it. Therefore, at very high frequencies, an inductor acts like an open circuit, preventing current from flowing through the circuit.

**Behavior of an inductor in a DC circuit after steady state is reached:**
For a DC circuit, the frequency \(v = 0\).
So, the inductive reactance \(X_L = 2\pi (0) L = 0 \Omega\).
This means that after the steady state is reached (i.e., once the current has become constant and reached its maximum value), the inductor offers no resistance to the DC current. It behaves like a pure conductor (a short circuit), allowing current to flow freely without any opposition.
In simple words: At very high AC frequencies, an inductor blocks current like an open switch because its resistance becomes huge. In a DC circuit, once the current is steady, an inductor acts like a normal wire, letting current pass easily because its resistance is zero.

🎯 Exam Tip: Remember that an inductor acts as an open circuit at very high AC frequencies (\(X_L \to \infty\)) and as a short circuit (pure conductor) at DC steady state (\(X_L = 0\)). This dual behavior is fundamental to understanding inductors in AC and DC circuits.

 

Question 15. 110V, 60 Hz ac સ્રોત સાથે 100 μF નું કેપેસિટર અને 40 Ω અવરોધ શ્રેણીમાં જોડેલ છે.
(a) પરિપથમાં મહત્તમ પ્રવાહ કેટલો હશે ?
(b) મહત્તમ પ્રવાહ અને મહત્તમ વોલ્ટેજ વચ્ચેનો સમય તફાવત કેટલો હશે ?
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह एक AC परिपथ का आरेख है जिसमें एक संधारित्र (C = 100 μF) और एक रोकनेवाला (R = 40 Ω) श्रृंखला में जुड़े हुए हैं। स्रोत 110 V, 60 Hz का है। आरेख में कैपेसिटिव रिएक्टेंस (\(X_C\)) और प्रतिरोध (R) के मान दिखाए गए हैं।
Answer:Given RMS voltage \(V_{rms} = 110 V\).
Frequency \(v = 60 Hz\).
Capacitance \(C = 100 \mu F = 100 \times 10^{-6} F\).
Resistance \(R = 40 \Omega\).

First, calculate the capacitive reactance \(X_C\): \[X_C = \frac{1}{2\pi v C}\] \[X_C = \frac{1}{2 \times 3.14 \times 60 \times 100 \times 10^{-6}}\] \[X_C = \frac{1}{0.03768} \approx 26.54 \Omega\]
Now, calculate the impedance \(Z\) of the series R-C circuit: \[Z = \sqrt{R^2 + X_C^2}\] \[Z = \sqrt{(40)^2 + (26.54)^2}\] \[Z = \sqrt{1600 + 704.3716}\] \[Z = \sqrt{2304.3716} \approx 48.00 \Omega\]
(a) The maximum (peak) current \(I_m\).
Peak voltage \(V_m = V_{rms} \times \sqrt{2} = 110 \times 1.414 \approx 155.54 V\). \[I_m = \frac{V_m}{Z}\] \[I_m = \frac{155.54}{48.00} \approx 3.24 A\]
So, \(I_m \approx 3.24 A\).

(b) Phase difference (\(\Phi\)) between the maximum current and maximum voltage.
In an R-C circuit, the voltage lags the current. The phase difference is given by: \[\tan\Phi = \frac{X_C}{R}\] \[\tan\Phi = \frac{26.54}{40} = 0.6635\] \[\Phi = \tan^{-1}(0.6635) \approx 33.5°\]
To find the time difference (\(\Delta t\)), we use \(\Phi = \omega \Delta t\), where \(\omega = 2\pi v\).
So, \(\Delta t = \frac{\Phi}{2\pi v}\).
Convert \(\Phi\) to radians: \(\Phi = 33.5° \times \frac{\pi}{180°} \approx 0.5847 \text{ rad}\).
Frequency \(v = 60 Hz\). \[\Delta t = \frac{0.5847}{2 \times 3.14 \times 60} = \frac{0.5847}{376.8} \approx 0.00155 s\] \[\Delta t \approx 1.55 \times 10^{-3} s = 1.55 ms\]
In simple words: First, we calculate the capacitive resistance and then the circuit's total resistance (impedance). Then, we convert the RMS voltage to peak voltage and use it with the impedance to find the peak current. Finally, we calculate the phase angle between voltage and current and convert it into a time difference.

🎯 Exam Tip: For an R-C series circuit, the impedance is \(Z = \sqrt{R^2 + X_C^2}\), and the voltage lags the current. Ensure you correctly calculate \(X_C\) and convert the phase angle to radians for time difference calculations.

 

Question 16. સ્વાધ્યાય 7.15માં પરિપથ સાથે 110 V, 12 kHz નો સ્રોત જોડવામાં આવે તો (a) અને (b) નાં જવાબો મેળવો તે પરથી “ખૂબ જ ઊંચી આવૃત્તિએ કેપેસિટર વાહક બને છે” – આ વિધાન સમજાવો. dc પરિપથમાં સ્થાયી અવસ્થા આવે પછી કેપેસિટરની વર્તણૂકની સરખામણી આ વર્તણૂક સાથે કરો.
Answer:Given RMS voltage \(V_{rms} = 110 V\).
Frequency \(v = 12 kHz = 12 \times 10^3 Hz\).
Capacitance \(C = 100 \mu F = 100 \times 10^{-6} F\).
Resistance \(R = 40 \Omega\).

(a) First, calculate the capacitive reactance \(X_C\) at this high frequency: \[X_C = \frac{1}{2\pi v C}\] \[X_C = \frac{1}{2 \times 3.14 \times 12 \times 10^3 \times 100 \times 10^{-6}}\] \[X_C = \frac{1}{2 \times 3.14 \times 1.2} = \frac{1}{7.536} \approx 0.133 \Omega\]
Now, calculate the impedance \(Z\) of the series R-C circuit: \[Z = \sqrt{R^2 + X_C^2}\] \[Z = \sqrt{(40)^2 + (0.133)^2}\] \[Z = \sqrt{1600 + 0.017689}\] \[Z = \sqrt{1600.017689} \approx 40.00 \Omega\]
Peak voltage \(V_m = V_{rms} \times \sqrt{2} = 110 \times 1.414 \approx 155.54 V\).
Maximum current \(I_m = \frac{V_m}{Z}\). \[I_m = \frac{155.54}{40.00} \approx 3.8885 A\]
So, \(I_m \approx 3.89 A\).

(b) Phase difference (\(\Phi\)) between the maximum current and maximum voltage. \[\tan\Phi = \frac{X_C}{R}\] \[\tan\Phi = \frac{0.133}{40} \approx 0.003325\]
Since \(\tan\Phi\) is very small, \(\Phi\) is close to 0 degrees. \[\Phi = \tan^{-1}(0.003325) \approx 0.19°\]
Convert to radians: \(\Phi = 0.19 \times \frac{\pi}{180} \text{ rad} \approx 0.0033 \text{ rad}\).
The time difference \(\Delta t = \frac{\Phi}{2\pi v}\). \[\Delta t = \frac{0.0033}{2 \times 3.14 \times 12 \times 10^3} \approx 4.38 \times 10^{-8} s\] \[\Delta t \approx 0.044 \mu s\]
**Explanation of the statement:** "At very high frequencies, a capacitor acts as a conductor."
At very high frequencies, the capacitive reactance \(X_C = \frac{1}{2\pi v C}\) becomes very small, approaching zero. A very low reactance means the capacitor offers very little opposition to the flow of AC current, allowing it to pass through almost freely. Therefore, at very high frequencies, a capacitor behaves like a conductor (or a short circuit).

**Comparison with DC circuit behavior at steady state:**
For a DC circuit, the frequency \(v = 0\).
So, the capacitive reactance \(X_C = \frac{1}{2\pi (0) C}\) becomes infinitely large.
This means that after the steady state is reached in a DC circuit, the capacitor completely blocks the flow of DC current. It behaves like an open circuit, preventing any current from passing through.
In simple words: At very high AC frequencies, a capacitor lets current pass almost freely because its resistance becomes very small, making it act like a wire. In a DC circuit, once steady, a capacitor completely blocks current, acting like an open switch.

🎯 Exam Tip: A capacitor acts as a short circuit (conductor) at very high AC frequencies (\(X_C \to 0\)) and as an open circuit at DC steady state (\(X_C \to \infty\)). This contrasting behavior for AC and DC is vital to remember.

Question 17. L-C-R શ્રેણી પરિપથમાં સ્રોતની આવૃત્તિને અનુનાદ આવૃત્તિ જેટલી રાખીને જો L, C અને ત્રણેય ઘટકોને સમાંતર જોડવામાં આવે તો દર્શાવો કે આ આવૃત્તિઓ L-C-R સમાંતર પરિપથમાં કુલ પ્રવાહ લઘુતમ હોય છે. સ્વાધ્યાય 7.11 માં દર્શાવેલ ઘટકો અને સ્રોત માટે આ આવૃત્તિઓ પરિપથની દરેક શાખાનાં પ્રવાહનું rms મૂલ્ય મેળવો.

ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र L-C-R श्रेणी परिपथ को दर्शाता है। इसमें एक इंडक्टर (L), एक कैपेसिटर (C) और एक अवरोधक (R) एक साथ श्रेणी क्रम में जुड़े हुए हैं, जो AC वोल्टेज स्रोत से संचालित होते हैं।
Answer: For the L-C-R series circuit, when the source frequency is made equal to the resonant frequency, and if L, C, and all three components are connected in parallel, the total current in the L-C-R parallel circuit is minimum at these frequencies. Let's find the RMS current for each branch using the values from Exercise 7.11. Given: Voltage \( \text{V} = 230 \, \text{V} \) Inductance \( \text{L} = 5.0 \, \text{H} \) Capacitance \( \text{C} = 80 \, \mu\text{F} = 80 \times 10^{-6} \, \text{F} \) Resistance \( \text{R} = 40 \, \Omega \) The resonant angular frequency (\( \omega_r \)) is given by: \[ \omega_r = \frac{1}{\sqrt{\text{LC}}} = \frac{1}{\sqrt{5 \times 80 \times 10^{-6}}} = \frac{1}{\sqrt{400 \times 10^{-6}}} = \frac{1}{20 \times 10^{-3}} = \frac{1}{0.02} \]
\( \implies \omega_r = 50 \, \text{rad/s} \) In a parallel L-C-R circuit at resonance, the total impedance is maximum, and thus the total current is minimum. At resonance, the inductive reactance (\( \text{X}_{\text{L}} \)) equals the capacitive reactance (\( \text{X}_{\text{C}} \)). \[ \text{X}_{\text{L}} = \omega_r \text{L} = 50 \times 5 = 250 \, \Omega \] \[ \text{X}_{\text{C}} = \frac{1}{\omega_r \text{C}} = \frac{1}{50 \times 80 \times 10^{-6}} = \frac{1}{4 \times 10^{-3}} = 250 \, \Omega \] Since \( \text{X}_{\text{L}} = \text{X}_{\text{C}} \), the current through the inductor branch and the capacitor branch cancel each other out. The RMS current flowing through the resistor branch is: \[ (\text{I}_{\text{rms}})_{\text{R}} = \frac{\text{V}_{\text{rms}}}{\text{R}} = \frac{230}{40} = 5.75 \, \text{A} \] The RMS current flowing through the inductor branch is: \[ (\text{I}_{\text{rms}})_{\text{L}} = \frac{\text{V}_{\text{rms}}}{\text{X}_{\text{L}}} = \frac{230}{250} = 0.92 \, \text{A} \] The RMS current flowing through the capacitor branch is: \[ (\text{I}_{\text{rms}})_{\text{C}} = \frac{\text{V}_{\text{rms}}}{\text{X}_{\text{C}}} = \frac{230}{250} = 0.92 \, \text{A} \] The total RMS current in the parallel circuit is the vector sum of currents. At resonance, \( (\text{I}_{\text{rms}})_{\text{L}} \) and \( (\text{I}_{\text{rms}})_{\text{C}} \) are 180° out of phase and cancel each other. So, the total RMS current \( \text{I}_{\text{rms}} = (\text{I}_{\text{rms}})_{\text{R}} = 5.75 \, \text{A} \).In simple words: When the frequency matches the circuit's natural frequency in a parallel LCR setup, the current is lowest. The current in the resistor part is 5.75 A, while in the inductor and capacitor parts, it's 0.92 A. The currents in the inductor and capacitor cancel each other out, leaving only the current through the resistor.

🎯 Exam Tip: Understanding the behavior of parallel L-C-R circuits at resonance, especially the current distribution and impedance characteristics, is crucial for scoring well. Remember that at resonance, current is minimal in parallel circuits, unlike series circuits where it's maximal.

Question 18. 230 V, 50 Hz ac સ્રોત સાથે 80 mH ઇન્ડક્ટર અને 60 μF કેપેસિટરને શ્રેણીમાં જોડેલ છે. પરિપથનો અવરોધ અવગણ્ય છે. (a) પ્રવાહ કંપવિસ્તાર અને rms મૂલ્ય મેળવો. (b) ઇન્ડક્ટર અને કેપેસિટરના બે છેડા વચ્ચેનાં વોલ્ટેજ ડ્રૉપનું rms મૂલ્ય મેળવો. (c) ઇન્ડક્ટરમાં સ્થાનાંતરિત થયેલ સરેરાશ પાવર કેટલો હશે ? (d) કેપેસિટરમાં સ્થાનાંતરિત થયેલ સરેરાશ પાવર કેટલો હશે ? (e) પરિપથ વડે શોષાતો કુલ સરેરાશ પાવર કેટલો હશે ? (સરેરાશ એક ચક્ર ઉપરનું સરેરાશ દર્શાવે છે.)

Answer: We have an L-C series circuit with negligible resistance. Given: \( \text{L} = 80 \, \text{mH} = 80 \times 10^{-3} \, \text{H} \) \( \text{C} = 60 \, \mu\text{F} = 60 \times 10^{-6} \, \text{F} \) \( \text{V}_{\text{rms}} = 230 \, \text{V} \) Frequency \( \text{v} = 50 \, \text{Hz} \) (or \( \text{f} \)) First, calculate the inductive reactance (\( \text{X}_{\text{L}} \)) and capacitive reactance (\( \text{X}_{\text{C}} \)). \[ \text{X}_{\text{L}} = 2 \pi \text{vL} = 2 \times 3.14 \times 50 \times 80 \times 10^{-3} \]
\( \implies \text{X}_{\text{L}} = 25.12 \, \Omega \approx 25.13 \, \Omega \) \[ \text{X}_{\text{C}} = \frac{1}{2 \pi \text{vC}} = \frac{1}{2 \times 3.14 \times 50 \times 60 \times 10^{-6}} = \frac{1}{0.01884} \approx 53.08 \, \Omega \] The impedance (Z) of the series L-C circuit (with \( R=0 \)) is: \[ \text{Z} = |\text{X}_{\text{L}} - \text{X}_{\text{C}}| = |25.13 - 53.08| = |-27.95| = 27.95 \, \Omega \] (a) Calculate the RMS current and peak current. RMS current: \( \text{I}_{\text{rms}} = \frac{\text{V}_{\text{rms}}}{\text{Z}} = \frac{230}{27.95} \approx 8.2289 \, \text{A} \approx 8.23 \, \text{A} \) Peak current: \( \text{I}_{\text{m}} = \sqrt{2} \times \text{I}_{\text{rms}} = 1.414 \times 8.23 = 11.637 \, \text{A} \approx 11.64 \, \text{A} \) (b) Calculate the RMS voltage drop across the inductor (\( (\text{V}_{\text{rms}})_{\text{L}} \)) and capacitor (\( (\text{V}_{\text{rms}})_{\text{C}} \)). \[ (\text{V}_{\text{rms}})_{\text{L}} = \text{I}_{\text{rms}} \times \text{X}_{\text{L}} = 8.23 \times 25.13 = 206.8 \, \text{V} \approx 207 \, \text{V} \] \[ (\text{V}_{\text{rms}})_{\text{C}} = \text{I}_{\text{rms}} \times \text{X}_{\text{C}} = 8.23 \times 53.08 = 436.84 \, \text{V} \approx 437 \, \text{V} \] The phase difference between the capacitor voltage and inductor voltage is 180°. The net voltage drop across L-C is \( |(\text{V}_{\text{rms}})_{\text{C}} - (\text{V}_{\text{rms}})_{\text{L}}| = |437 - 207| = 230 \, \text{V} \), which matches the applied voltage. (c) Average power transferred to the inductor: In an inductor, the voltage leads the current by \( \frac{\pi}{2} \) radians (90°). Average power \( \langle \text{P}_{\text{L}} \rangle = \text{V}_{\text{rms}} \text{I}_{\text{rms}} \cos(\frac{\pi}{2}) = 0 \) (d) Average power transferred to the capacitor: In a capacitor, the voltage lags the current by \( \frac{\pi}{2} \) radians (90°). Average power \( \langle \text{P}_{\text{C}} \rangle = \text{V}_{\text{rms}} \text{I}_{\text{rms}} \cos(-\frac{\pi}{2}) = 0 \) (e) Total average power absorbed by the circuit: Total average power \( \langle \text{P} \rangle = \langle \text{P}_{\text{L}} \rangle + \langle \text{P}_{\text{C}} \rangle = 0 + 0 = 0 \)In simple words: This circuit has an inductor and a capacitor connected to an AC power source. The current flowing is about 8.23 A RMS, with a peak of 11.64 A. The voltage across the inductor is 207 V RMS, and across the capacitor is 437 V RMS. Since there is no resistance, no power is used up by the inductor or capacitor over a full cycle. So, the total power used by the circuit is zero.

🎯 Exam Tip: For L-C circuits, remember that in pure inductive or capacitive circuits, the average power consumed over a full cycle is zero because energy is only stored and returned, not dissipated. This is a key concept for solving related problems.

Question 19. ધારો કે સ્વાધ્યાય 7.18નાં પરિપથમાં 15 Ω અવરોધ છે. પરિપથનાં દરેક ઘટકમાં સ્થાનાંતરિત સરેરાશ પાવર અને શોષાતો કુલ પાવર મેળવો.

Answer: Let's consider the circuit from Exercise 7.18, but now with a resistance R. Given: \( \text{R} = 15 \, \Omega \) \( \text{L} = 80 \, \text{mH} = 80 \times 10^{-3} \, \text{H} \) \( \text{C} = 60 \, \mu\text{F} = 60 \times 10^{-6} \, \text{F} \) \( \text{V}_{\text{rms}} = 230 \, \text{V} \) Frequency \( \text{v} = 50 \, \text{Hz} \) From Exercise 7.18, we already calculated the reactances: \( \text{X}_{\text{L}} = 25.14 \, \Omega \) \( \text{X}_{\text{C}} = 53.03 \, \Omega \) Now, calculate the impedance (Z) of the R-L-C series circuit: \[ \text{Z} = \sqrt{\text{R}^2 + (\text{X}_{\text{L}} - \text{X}_{\text{C}})^2} = \sqrt{(15)^2 + (25.14 - 53.03)^2} \]
\( \implies \text{Z} = \sqrt{225 + (-27.89)^2} = \sqrt{225 + 777.8521} = \sqrt{1002.8521} \approx 31.67 \, \Omega \) Calculate the RMS current in the circuit: \[ \text{I}_{\text{rms}} = \frac{\text{V}_{\text{rms}}}{\text{Z}} = \frac{230}{31.67} \approx 7.26 \, \text{A} \] Average power transferred to the inductor (\( \text{P}_{\text{L}} \)): In an inductor, the phase difference between voltage and current is \( \frac{\pi}{2} \). \( \text{P}_{\text{L}} = \text{V}_{\text{rms}} \text{I}_{\text{rms}} \cos(\frac{\pi}{2}) = 0 \) Average power transferred to the capacitor (\( \text{P}_{\text{C}} \)): In a capacitor, the phase difference between voltage and current is \( -\frac{\pi}{2} \). \( \text{P}_{\text{C}} = \text{V}_{\text{rms}} \text{I}_{\text{rms}} \cos(-\frac{\pi}{2}) = 0 \) Average power dissipated by the resistor (\( \text{P}_{\text{R}} \)): For a resistor, the voltage and current are in phase, so the phase difference is 0. \( \text{P}_{\text{R}} = \text{I}_{\text{rms}}^2 \text{R} = (7.26)^2 \times 15 = 52.7076 \times 15 = 790.614 \, \text{W} \approx 791 \, \text{W} \) Alternatively, using the power factor \( \cos \Phi \): \[ \cos \Phi = \frac{\text{R}}{\text{Z}} = \frac{15}{31.67} \approx 0.473 \]
\( \implies \text{P}_{\text{R}} = \text{V}_{\text{rms}} \text{I}_{\text{rms}} \cos \Phi = 230 \times 7.26 \times 0.473 = 790.2 \, \text{W} \approx 791 \, \text{W} \) Total power absorbed by the circuit: Total power \( \text{P}_{\text{total}} = \text{P}_{\text{L}} + \text{P}_{\text{C}} + \text{P}_{\text{R}} = 0 + 0 + 791 \, \text{W} = 791 \, \text{W} \)In simple words: When a 15 Ω resistor is added to the circuit from Exercise 7.18, the total circuit resistance changes. The circuit now draws an RMS current of about 7.26 A. The inductor and capacitor still don't use up any average power. All the average power, about 791 W, is used by the resistor.

🎯 Exam Tip: Remember that in an AC circuit, only the resistive component dissipates average power. Inductors and capacitors store and release energy, resulting in zero average power dissipation over a complete cycle.

Question 20. L = 0.12 H, C = 480 nF તથા R = 23 Ω ધરાવતા L-C-R શ્રેણી પરિપથ સાથે ચલ આવૃત્તિવાળો 230 V નો સ્રોત જોડેલ છે. (a) પ્રવાહનો કંપવિસ્તાર મહત્તમ બને તે માટે સ્રોત આવૃત્તિ કેટલી હશે ? આ મહત્તમ મૂલ્ય મેળવો. (b) પરિપથ વડે શોષાતા સરેરાશ પાવરનું મૂલ્ય મહત્તમ બને તે માટે સ્રોત આવૃત્તિ કેટલી હશે ? આ મહત્તમ પાવરનું મૂલ્ય મેળવો. (c) પરિપથમાં સ્થાનાંતરિત પાવર, અનુનાદ આવૃત્તિ માટેના પાવર કરતાં અડધો હોય તે આવૃત્તિઓના મૂલ્યો કયા કયા છે ? આ આવૃત્તિએ પ્રવાહનો કંપવિસ્તાર કેટલો હશે ? (d) આપેલ પરિપથનો Q ફેક્ટર કેટલો હશે ? અહીં,

Answer: We have an L-C-R series circuit connected to a variable frequency AC source. Given: \( \text{L} = 0.12 \, \text{H} \) \( \text{C} = 480 \, \text{nF} = 480 \times 10^{-9} \, \text{F} \) \( \text{R} = 23 \, \Omega \) \( \text{V}_{\text{rms}} = 230 \, \text{V} \) (a) Frequency for maximum current amplitude: The current amplitude is maximum at resonance. The resonant angular frequency (\( \omega_r \)) is: \[ \omega_r = \frac{1}{\sqrt{\text{LC}}} = \frac{1}{\sqrt{0.12 \times 480 \times 10^{-9}}} = \frac{1}{\sqrt{57.6 \times 10^{-9}}} = \frac{1}{\sqrt{576 \times 10^{-10}}} \]
\( \implies \omega_r = \frac{1}{24 \times 10^{-5}} = \frac{10^5}{24} = \frac{100000}{24} \approx 4166.67 \, \text{rad/s} \approx 4167 \, \text{rad/s} \) The resonant frequency (\( \text{v}_{\text{r}} \)) is: \[ \text{v}_{\text{r}} = \frac{\omega_r}{2 \pi} = \frac{4167}{2 \times 3.14} = \frac{4167}{6.28} \approx 663.53 \, \text{Hz} \approx 663 \, \text{Hz} \] At resonance, the impedance \( \text{Z} = \text{R} = 23 \, \Omega \). The maximum current amplitude (\( \text{I}_{\text{m}} \)) is: \[ \text{I}_{\text{m}} = \frac{\text{V}_{\text{m}}}{\text{Z}} = \frac{\sqrt{2} \times \text{V}_{\text{rms}}}{\text{R}} = \frac{1.414 \times 230}{23} = 1.414 \times 10 = 14.14 \, \text{A} \] (b) Frequency for maximum average power: The average power dissipated by the circuit is maximum at resonance, which occurs at the resonant frequency calculated in part (a). So, the source frequency for maximum power is \( \text{v}_{\text{r}} = 663 \, \text{Hz} \). The maximum average power (\( \text{P}_{\text{max}} \)) is: \[ \text{P}_{\text{max}} = \text{V}_{\text{rms}} \text{I}_{\text{rms}} \cos \Phi \] At resonance, \( \cos \Phi = 1 \) and \( \text{I}_{\text{rms}} = \frac{\text{V}_{\text{rms}}}{\text{R}} = \frac{230}{23} = 10 \, \text{A} \).
\( \implies \text{P}_{\text{max}} = 230 \times 10 \times 1 = 2300 \, \text{W} \) (c) Frequencies where transferred power is half of the power at resonance: The power becomes half of the maximum power at the half-power frequencies, which are \( \omega_1 = \omega_r - \Delta \omega \) and \( \omega_2 = \omega_r + \Delta \omega \), where \( \Delta \omega = \frac{\text{R}}{2\text{L}} \). \[ \Delta \omega = \frac{23}{2 \times 0.12} = \frac{23}{0.24} \approx 95.83 \, \text{rad/s} \] So, \( \omega_1 = 4167 - 95.83 = 4071.17 \, \text{rad/s} \) And \( \omega_2 = 4167 + 95.83 = 4262.83 \, \text{rad/s} \) Converting these angular frequencies to normal frequencies: \[ \text{v}_1 = \frac{\omega_1}{2 \pi} = \frac{4071.17}{2 \times 3.14} \approx \frac{4071.17}{6.28} \approx 648.27 \, \text{Hz} \approx 648 \, \text{Hz} \] \[ \text{v}_2 = \frac{\omega_2}{2 \pi} = \frac{4262.83}{2 \times 3.14} \approx \frac{4262.83}{6.28} \approx 678.80 \, \text{Hz} \approx 679 \, \text{Hz} \] At these frequencies, the current amplitude (\( \text{I}_{\text{rms}} \)) is \( \frac{\text{I}_{\text{m}}}{\sqrt{2}} \). \[ \text{I}_{\text{rms}} = \frac{14.14}{\sqrt{2}} = \frac{14.14}{1.414} = 10 \, \text{A} \] (d) Q-factor of the circuit: \[ \text{Q} = \frac{1}{\text{R}} \sqrt{\frac{\text{L}}{\text{C}}} = \frac{1}{23} \sqrt{\frac{0.12}{480 \times 10^{-9}}} = \frac{1}{23} \sqrt{\frac{0.12}{0.00000048}} = \frac{1}{23} \sqrt{250000} \]
\( \implies \text{Q} = \frac{1}{23} \times 500 = \frac{500}{23} \approx 21.739 \approx 21.74 \)In simple words: For this LCR circuit, the current and power are highest when the source frequency is about 663 Hz. At this frequency, the peak current is 14.14 A, and the maximum power is 2300 W. When the power drops to half of this maximum, the frequencies are approximately 648 Hz and 679 Hz, and the RMS current at these points is 10 A. The Q-factor, which shows how sharp the resonance is, is about 21.74.

🎯 Exam Tip: Questions involving resonance frequency, maximum current/power, half-power frequencies, and Q-factor are common. Remember the formulas for these parameters and how they relate to each other, especially for series LCR circuits.

Question 21. L = 3.0 H, C = 27 μF અને R = 7.4 Q ધરાવતાં L-C-R શ્રેણી પરિપથ માટે અનુનાદ આવૃત્તિ અને Q ફેક્ટર મેળવો. પરિપથના અનુનાદની તીક્ષ્ણતામાં સુધારો કરવા માટે તેની “અર્ધ મહત્તમ આગળ સંપૂર્ણ પહોળાઈ″ ઘટાડીને અડધી કરવામાં આવે છે. આમ કરવા માટેનો યોગ્ય રસ્તો સૂચવો.

Answer: We have an L-C-R series circuit. Given: \( \text{L} = 3.0 \, \text{H} \) \( \text{C} = 27 \, \mu\text{F} = 27 \times 10^{-6} \, \text{F} \) \( \text{R} = 7.4 \, \Omega \) First, calculate the resonant angular frequency (\( \omega_r \)): \[ \omega_r = \frac{1}{\sqrt{\text{LC}}} = \frac{1}{\sqrt{3.0 \times 27 \times 10^{-6}}} = \frac{1}{\sqrt{81 \times 10^{-6}}} = \frac{1}{9 \times 10^{-3}} = \frac{1000}{9} \approx 111.1 \, \text{rad/s} \] Next, calculate the Q-factor of the circuit: \[ \text{Q} = \frac{\omega_r \text{L}}{\text{R}} = \frac{111.1 \times 3.0}{7.4} = \frac{333.3}{7.4} \approx 45.04 \approx 45 \] Alternatively, using the formula \( \text{Q} = \frac{1}{\text{R}} \sqrt{\frac{\text{L}}{\text{C}}} \): \[ \text{Q} = \frac{1}{7.4} \sqrt{\frac{3.0}{27 \times 10^{-6}}} = \frac{1}{7.4} \sqrt{\frac{1}{9 \times 10^{-6}}} = \frac{1}{7.4} \sqrt{\frac{10^6}{9}} = \frac{1}{7.4} \times \frac{1000}{3} = \frac{1000}{22.2} \approx 45.04 \approx 45 \] To improve the sharpness of resonance (make it narrower), which means reducing the "full width at half maximum", we need to increase the Q-factor. The Q-factor is given by \( \text{Q} = \frac{\omega_r \text{L}}{\text{R}} \). If we want to reduce the bandwidth (full width at half maximum) to half, we need to double the Q-factor. To double the Q-factor while keeping \( \omega_r \) constant (by not changing L and C), the resistance (R) must be halved. So, the new resistance \( \text{R}' = \frac{\text{R}}{2} = \frac{7.4}{2} = 3.7 \, \Omega \).In simple words: For this LCR circuit, the natural frequency is around 111.1 rad/s, and its Q-factor is about 45. To make the resonance sharper (narrower peak), we need to make the Q-factor twice as big. This can be done by cutting the resistance of the circuit in half, from 7.4 Ω to 3.7 Ω, while keeping the inductor and capacitor values the same.

🎯 Exam Tip: The Q-factor determines the sharpness of resonance. A higher Q-factor means a sharper and narrower resonance curve. Knowing how to manipulate R, L, and C to achieve a desired Q-factor is a common problem-solving skill.

Question 22. નીચેના પ્રશ્નોના જવાબ આપો : (a) પરિપથમાં લાગુ પાડેલ તાત્ક્ષણિક વોલ્ટેજ, તે પરિપથમા શ્રણા જોડાણમાં રહેલાં ઘટકોના બે છેડાઓ વચ્ચેનાં તાત્ક્ષણિક વોલ્ટેજના બૈજિક સરવાળા બરાબર હોય છે ? આ જ પરિણામ rms વોલ્ટેજ માટે સત્ય હોય છે ? (b) ઇન્ડક્શન કૉઇલનાં પ્રાથમિક પરિપથમાં કેપેસિટરનો ઉપયોગ થાય છે. (c) લાગુ પાડેલ વોલ્ટેજ સિગ્નલ dc વોલ્ટેજ અને ઊંચી આવૃત્તિવાળા ac વોલ્ટેજના સંપાતથી બનેલું છે. પરિપથ ઇન્ડક્ટર અને કેપેસિટરનું શ્રેણી જોડાણ ધરાવે છે. દર્શાવો કે dc સિગ્નલ કેપેસિટરનાં બે છેડા વચ્ચે અને ac સિગ્નલ ઇન્ડકટરનાં બે છેડા વચ્ચે પ્રદર્શિત (Appear) થશે. (d) એક ચોક કોઇલ અને બલ્બ શ્રેણીમાં dc લાઇન (સ્રોત) સાથે જોડેલ છે. બલ્બ પ્રકાશિત થતો દેખાય છે. ચોક કોઇલમાં લોખંડનું ગર્ભ (Core) દાખલ કરતાં બલ્બની પ્રકાશિતતામાં કોઈ જ ફેરફાર થતો નથી. જો આ જ જોડાણ ac લાઈન સાથે કરવામાં આવ્યું હોય તો અનુરૂપ અવલોકનનું અનુમાન કરો. (e) ac સપ્લાય (મેઇન્સ) સાથે જોડેલ ફ્લોરેસન્ટ ટ્યૂબનો ઉપયોગ કરવા માટે ચોક કોઇલ શા માટે જરૂરી છે ? આપણે ચોક કોઇલને બદલે સામાન્ય અવરોધનો ઉપયોગ શા માટે ન કરી શકીએ ?

Answer: Let's answer these questions related to AC circuits. (a) Instantaneous voltage vs. RMS voltage summation: Yes, the instantaneous voltage across the series combination of components in a circuit is equal to the algebraic sum of the instantaneous voltages across the individual components. This is due to Kirchhoff's voltage law. However, this result is generally not true for RMS voltages. RMS voltages across different components in an AC circuit may not be in phase with each other. For example, in a series LCR circuit, \( \text{V}_{\text{R}} \), \( \text{V}_{\text{L}} \), and \( \text{V}_{\text{C}} \) are out of phase. So, \( \text{V}_{\text{rms, total}} \ne \text{V}_{\text{rms,R}} + \text{V}_{\text{rms,L}} + \text{V}_{\text{rms,C}} \). Instead, it's a phasor sum: \( \text{V}_{\text{rms, total}} = \sqrt{\text{V}_{\text{rms,R}}^2 + (\text{V}_{\text{rms,L}} - \text{V}_{\text{rms,C}})^2} \). (b) Capacitor in the primary circuit of an induction coil: A capacitor is used in the primary circuit of an induction coil to prevent sparking. When the primary circuit is broken, a high induced voltage is produced in the primary coil. This voltage charges the capacitor, which absorbs the energy that would otherwise cause a spark. This helps to make the breaking of the circuit sharp and improves efficiency. (c) DC and high-frequency AC signals in series L-C circuit: Consider a series L-C circuit. For a DC signal, the frequency \( \text{v} = 0 \). Inductive reactance \( \text{X}_{\text{L}} = 2 \pi \text{vL} \). So, for DC, \( \text{X}_{\text{L}} = 0 \). The inductor acts like a short circuit (pure conductor). Capacitive reactance \( \text{X}_{\text{C}} = \frac{1}{2 \pi \text{vC}} \). So, for DC, \( \text{X}_{\text{C}} = \infty \). The capacitor acts like an open circuit. Therefore, a DC signal will appear across the capacitor. For a high-frequency AC signal, \( \text{v} \) is very large. For high-frequency AC, \( \text{X}_{\text{L}} = 2 \pi \text{vL} \) becomes very large. The inductor acts like an open circuit. For high-frequency AC, \( \text{X}_{\text{C}} = \frac{1}{2 \pi \text{vC}} \) becomes very small. The capacitor acts like a short circuit. Therefore, a high-frequency AC signal will appear across the inductor. (d) Choke coil with a bulb in series with DC and AC lines: **With DC line:** When a choke coil and a bulb are connected in series with a DC line (v=0), the inductive reactance \( \text{X}_{\text{L}} = 2 \pi \text{vL} = 0 \). So, the choke coil offers no resistance to DC current, acting as a pure conductor. The bulb will glow brightly. If an iron core is inserted into the choke coil, it will not affect the bulb's brightness because the reactance remains zero for DC. **With AC line:** When the same setup is connected to an AC line, the choke coil will have significant inductive reactance \( \text{X}_{\text{L}} = 2 \pi \text{vL} \). This reactance adds to the circuit's impedance. The total impedance increases, reducing the current, so the bulb will glow dimly. If an iron core is inserted, the inductance L increases, leading to an even higher \( \text{X}_{\text{L}} \). This further increases the impedance, reducing the current even more, and the bulb will glow even dimmer. (e) Necessity of choke coil for fluorescent tube with AC mains: A choke coil is necessary with a fluorescent tube connected to AC mains (230V) because the tube needs a high voltage to start and then a limited current to operate. Without a choke, the tube would draw a very large current, damaging it. The choke coil provides a high inductive reactance, which effectively reduces the voltage across the tube and limits the current, without significant power loss. We cannot use a normal resistor instead of a choke coil because a resistor would dissipate a large amount of energy as heat (\( \text{I}^2\text{R} \) loss), making it inefficient. A choke coil, being inductive, consumes almost no average power over a cycle, thus conserving energy.In simple words: (a) Instantaneous voltages add up directly, but RMS voltages don't because they are out of phase. (b) Capacitors stop sparks in induction coils. (c) A capacitor blocks DC but lets AC pass, and an inductor blocks AC but lets DC pass. (d) A bulb with a choke coil glows brightly with DC because the choke has no effect, but dimly with AC because the choke adds resistance to AC. Adding an iron core makes it even dimmer for AC. (e) Choke coils are used in fluorescent lights to control current without wasting much energy, unlike resistors which waste energy as heat.

🎯 Exam Tip: This multi-part question covers fundamental concepts of AC circuits, including instantaneous vs. RMS values, behavior of L and C with DC and AC, and practical applications like choke coils. A clear understanding of reactance and impedance is key here.

Question 23. પાવર ટ્રાન્સમિશન લાઈનમાં 4000 આંટા ધરાવતા પ્રાઇમરી કૉઇલવાળા સ્ટેપ-ડાઉન ટ્રાન્સફોર્મરને 2300V જેટલા વોલ્ટેજે ઇનપુટ પાવર પૂરો પાડવામાં આવે છે. જો આઉટપુટ વોલ્ટેજ 230V મેળવવો હોય તો ગૌણ ગૂંચળામાં આંટાની સંખ્યા કેટલી રાખવી જોઈએ ?

Answer: We are dealing with a step-down transformer used in power transmission. Given: Primary voltage \( \text{V}_{\text{P}} = 2300 \, \text{V} \) Number of turns in primary coil \( \text{N}_{\text{P}} = 4000 \) Desired output (secondary) voltage \( \text{V}_{\text{S}} = 230 \, \text{V} \) We need to find the number of turns in the secondary coil \( \text{N}_{\text{S}} \). For an ideal transformer, the ratio of voltages is equal to the ratio of turns: \[ \frac{\text{V}_{\text{S}}}{\text{V}_{\text{P}}} = \frac{\text{N}_{\text{S}}}{\text{N}_{\text{P}}} \] Rearranging to find \( \text{N}_{\text{S}} \): \[ \text{N}_{\text{S}} = \text{N}_{\text{P}} \times \frac{\text{V}_{\text{S}}}{\text{V}_{\text{P}}} \] Substitute the given values: \[ \text{N}_{\text{S}} = 4000 \times \frac{230}{2300} = 4000 \times \frac{1}{10} = 400 \] So, the number of turns in the secondary coil should be 400.In simple words: A step-down transformer takes 2300V input with 4000 turns in its primary coil. To get an output of 230V, we need to find how many turns should be in the secondary coil. Using the transformer rule, the secondary coil needs 400 turns.

🎯 Exam Tip: The transformer equation \( \frac{V_S}{V_P} = \frac{N_S}{N_P} \) is fundamental. Remember that for a step-down transformer, \( V_S < V_P \) and \( N_S < N_P \). This relationship is crucial for solving problems involving voltage and turns ratios.

Question 24. એક હાઇડ્રોઇલેક્ટ્રિક પાવર પ્લાન્ટમાં દબાણ કરતું પાણીનું હેડ (સ્તંભ) 300 m ની ઊંચાઈ પર છે અને મળતો પાણીનો પ્રવાહ 100 m³ s-1 છે. જો ટર્બાઇન જનરેટરની કાર્યક્ષમતા 60% હોય તો પ્લાન્ટમાંથી વિદ્યુત પાવરનું ઉત્પાદન કરો. (g = 9.8 ms-2)

Answer: We need to calculate the electrical power produced by a hydroelectric power plant. Given: Height of water head \( \text{h} = 300 \, \text{m} \) Volume flow rate of water \( \frac{\text{V}}{\text{t}} = 100 \, \text{m}^3\text{s}^{-1} \) Density of water \( \rho = 10^3 \, \text{kgm}^{-3} \) (standard value) Efficiency of turbine-generator \( \eta = 60\% = 0.6 \) Acceleration due to gravity \( \text{g} = 9.8 \, \text{m/s}^2 \) First, calculate the hydraulic power (power available from water): Power from water \( \text{P}_{\text{hydraulic}} = \text{Force} \times \text{Velocity} \) This can also be expressed as \( \text{P}_{\text{hydraulic}} = \text{pressure} \times \text{volume flow rate} \). Or, more commonly, as the rate of potential energy conversion: \[ \text{P}_{\text{hydraulic}} = \frac{\text{mgh}}{\text{t}} = \frac{(\rho \text{V})\text{gh}}{\text{t}} = \rho \text{gh} \left(\frac{\text{V}}{\text{t}}\right) \] Substitute the given values: \[ \text{P}_{\text{hydraulic}} = 10^3 \, \text{kg/m}^3 \times 9.8 \, \text{m/s}^2 \times 300 \, \text{m} \times 100 \, \text{m}^3/\text{s} \]
\( \implies \text{P}_{\text{hydraulic}} = 294 \times 10^6 \, \text{W} \) Now, calculate the electrical power produced, considering the efficiency: \( \text{Efficiency} \, (\eta) = \frac{\text{Electrical Power}}{\text{Hydraulic Power}} \) So, \( \text{Electrical Power} = \eta \times \text{Hydraulic Power} \) \[ \text{Electrical Power} = 0.6 \times 294 \times 10^6 \, \text{W} \]
\( \implies \text{Electrical Power} = 176.4 \times 10^6 \, \text{W} \approx 176.4 \, \text{MW} \)In simple words: This question asks for the electricity produced by a hydroelectric plant. We know the water's height (300m) and how fast it flows (100 m³/s). The plant is 60% efficient. First, we calculate the total power from the water, which is about 294 MW. Then, we multiply this by the efficiency (0.6) to get the actual electrical power generated, which is about 176.4 MW.

🎯 Exam Tip: For hydroelectric power problems, remember the formula for hydraulic power \( P = \rho g h (\frac{V}{t}) \). Efficiency is crucial to convert this hydraulic power into usable electrical power. Don't forget to use consistent units.

Question 25. 440 V ઉત્પાદન શક્તિ ધરાવતા વિધુત પ્લાન્ટની 15 km દૂર 220 V જેટલા વોલ્ટેજ 800 kW વિધુત પાવરની જરૂરિયાતવાળું એક નાનું શહેર આવેલું છે. પાવર લઈ જતી બે તારની લાઈનનો અવરોધ 0.5 Ω/km છે. શહેરમાંના સબ-સ્ટેશને આવેલા 4000 – 220V ના સ્ટેપ-ડાઉન ટ્રાન્સફોર્મર દ્વારા શહેરને પાવર મળે છે. (a) પાવર લાઈનમાં ઉષ્મા સ્વરૂપે વ્યય થતા પાવરનો અંદાજ મેળવો. (b) લીકેજને કારણે થતો પાવર અવગણ્ય છે તેમ ધારતાં પ્લાન્ટ દ્વારા કેટલો પાવર પૂરો પડાવવો જોઈએ ? (c) પ્લાન્ટ પાસે જરૂરી સ્ટેપઅપ ટ્રાન્સફોર્મરની લાક્ષણિકતા જણાવો.

ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र एक पावर ट्रांसमिशन सिस्टम को दर्शाता है। इसमें एक पावर स्टेशन 220V पर बिजली उत्पन्न करता है, जिसे 4000V तक स्टेप-अप ट्रांसफॉर्मर द्वारा बढ़ाया जाता है। बिजली 15 km दूर केबल के माध्यम से भेजी जाती है, और फिर शहर के सब-स्टेशन पर एक स्टेप-डाउन ट्रांसफॉर्मर (4000V से 220V तक) द्वारा इसे 800 kW के लोड के लिए कम किया जाता है।
Answer: We are analyzing a power transmission system. Given: Power plant output voltage \( \text{V}_1 = 440 \, \text{V} \) (though the diagram shows 220V, the question implies 440V generation and then transmission at 4000V. Let's assume 4000V is the transmission voltage as per typical step-up transformer usage for long distances). City load power required \( \text{P}_{\text{load}} = 800 \, \text{kW} = 800 \times 10^3 \, \text{W} \) Distance to city \( \text{d} = 15 \, \text{km} \) Resistance per km of each wire \( \text{r}_{\text{km}} = 0.5 \, \Omega/\text{km} \) Step-down transformer at city: 4000V to 220V. **Correction in understanding input voltage:** The question implies the plant generates at 440V, but the diagram shows it's stepped up to 4000V for transmission. We should use the transmission voltage for line calculations. The diagram also shows the final step-down to 220V for the city, which is for the load. Total resistance of the two-wire line: Since there are two wires (outgoing and return), the total length is \( 2 \times 15 \, \text{km} = 30 \, \text{km} \). Total line resistance \( \text{R}_{\text{line}} = (2 \times \text{d}) \times \text{r}_{\text{km}} = (2 \times 15 \, \text{km}) \times 0.5 \, \Omega/\text{km} = 30 \times 0.5 \, \Omega = 15 \, \Omega \). Current in the transmission line: The city receives 800 kW of power at 4000V (from the step-down transformer secondary which is the primary for the city load, assuming an ideal transformer at the city substation). The power received by the city is \( \text{P}_{\text{city}} = 800 \, \text{kW} \). The voltage at which this power is delivered *to the city's substation primary* is 4000 V. Current in the transmission line \( \text{I}_{\text{rms}} = \frac{\text{P}_{\text{city at substation primary}}}{\text{V}_{\text{transmission}}} = \frac{800 \times 10^3 \, \text{W}}{4000 \, \text{V}} = 200 \, \text{A} \). This current is the current in the high-voltage transmission line. (a) Power loss in the transmission lines (as heat): \[ \text{P}_{\text{loss}} = \text{I}_{\text{rms}}^2 \text{R}_{\text{line}} = (200 \, \text{A})^2 \times 15 \, \Omega = 40000 \times 15 \, \text{W} = 600000 \, \text{W} = 600 \, \text{kW} \] (b) Total power the plant must supply (assuming negligible leakage power): The plant must supply the power needed by the city load plus the power lost in the lines. \[ \text{P}_{\text{supplied}} = \text{P}_{\text{load}} + \text{P}_{\text{loss}} = 800 \, \text{kW} + 600 \, \text{kW} = 1400 \, \text{kW} \] (c) Characteristics of the step-up transformer at the plant: The plant generates power at 440 V. This voltage must be stepped up to a higher voltage for transmission. The voltage at the end of the transmission line (at the city substation primary) is 4000 V. However, there is a voltage drop along the transmission line. Voltage drop in the line \( \Delta \text{V} = \text{I}_{\text{rms}} \times \text{R}_{\text{line}} = 200 \, \text{A} \times 15 \, \Omega = 3000 \, \text{V} \). So, the voltage at the sending end of the transmission line (output of the step-up transformer) must be: \[ \text{V}_{\text{transmission, plant output}} = \text{V}_{\text{transmission, city input}} + \Delta \text{V} \] \[ \text{V}_{\text{transmission, plant output}} = 4000 \, \text{V} + 3000 \, \text{V} = 7000 \, \text{V} \] Therefore, the step-up transformer at the plant converts 440 V (plant generation voltage) to 7000 V (transmission line voltage). The characteristics of the step-up transformer are: 440 V to 7000 V.In simple words: A power plant sends 800 kW of power to a city 15 km away, using wires with 15 Ω total resistance. The current in the wires is 200 A. (a) About 600 kW of power is lost as heat in the wires. (b) To deliver 800 kW, the plant needs to produce 1400 kW of power (800 kW for the city + 600 kW lost). (c) The plant's transformer steps up the voltage from 440 V to 7000 V to compensate for the 3000 V drop along the transmission line.

🎯 Exam Tip: Power transmission calculations involve understanding power loss (\( I^2R \)), total power supplied, and voltage drops. Remember to calculate total resistance for both wires and consider the voltage required at the sending end to ensure desired voltage at the receiving end after line losses.

Question 26. ઉપરોક્ત 7.25 સ્વાધ્યાયમાં અગાઉના ટ્રાન્સફોર્મરને બદલે 40000-220 V સ્ટેપ-ડાઉન ટ્રાન્સફોર્મરનો ઉપયોગ કરવામાં આવે તો તમામ જવાબો મેળવો. (અગાઉની જેમજ ક્ષરણ (લીકેજ) પાવર અવગણો. જો કે આવી ધારણા સારી નથી કારણ કે ટ્રાન્સમિશનમાં ઉચ્ચ વોલ્ટેજ સંકળાયેલ છે.) તે પરથી, સમજાવો કે શા માટે ઉચ્ચ વોલ્ટેજે પાવર ટ્રાન્સમિશન કરવાનું પસંદ કરવામાં આવે છે ?

Answer: Let's re-evaluate the problem from Exercise 7.25 with a higher transmission voltage. New step-down transformer at the city: 40000 V to 220 V. This implies the transmission voltage is now 40000 V. Other given values remain the same: City load power required \( \text{P}_{\text{load}} = 800 \, \text{kW} = 800 \times 10^3 \, \text{W} \) Total line resistance \( \text{R}_{\text{line}} = 15 \, \Omega \) Plant generation voltage \( \text{V}_{\text{gen}} = 440 \, \text{V} \) Current in the transmission line: The power delivered to the city substation primary is 800 kW at 40000 V. \[ \text{I}_{\text{rms}} = \frac{\text{P}_{\text{load}}}{\text{V}_{\text{transmission}}} = \frac{800 \times 10^3 \, \text{W}}{40000 \, \text{V}} = 20 \, \text{A} \] (a) Power loss in the transmission lines (as heat): \[ \text{P}_{\text{loss}} = \text{I}_{\text{rms}}^2 \text{R}_{\text{line}} = (20 \, \text{A})^2 \times 15 \, \Omega = 400 \times 15 \, \text{W} = 6000 \, \text{W} = 6 \, \text{kW} \] This is significantly lower than the 600 kW loss in the previous problem. (b) Total power the plant must supply: \[ \text{P}_{\text{supplied}} = \text{P}_{\text{load}} + \text{P}_{\text{loss}} = 800 \, \text{kW} + 6 \, \text{kW} = 806 \, \text{kW} \] (c) Characteristics of the step-up transformer at the plant: Voltage drop in the line \( \Delta \text{V} = \text{I}_{\text{rms}} \times \text{R}_{\text{line}} = 20 \, \text{A} \times 15 \, \Omega = 300 \, \text{V} \). The voltage at the sending end of the transmission line (output of the step-up transformer) must be: \[ \text{V}_{\text{transmission, plant output}} = \text{V}_{\text{transmission, city input}} + \Delta \text{V} \] \[ \text{V}_{\text{transmission, plant output}} = 40000 \, \text{V} + 300 \, \text{V} = 40300 \, \text{V} \] Therefore, the step-up transformer at the plant converts 440 V to 40300 V. The characteristics of the step-up transformer are: 440 V to 40300 V. **Why high voltage is preferred for power transmission:** Let's compare the results with Exercise 7.25:

Parameter	Exercise 7.25 (4000V transmission)	Exercise 7.26 (40000V transmission)
Transmission Voltage	4000 V	40000 V
Transmission Current	200 A	20 A
Power Loss in lines	600 kW	6 kW
% Power Loss	\( \frac{600}{1400} \times 100 \approx 42.85\% \)	\( \frac{6}{806} \times 100 \approx 0.74\% \)
Total Power Supplied	1400 kW	806 kW
Step-up Transformer	440 V to 7000 V	440 V to 40300 V

From this comparison, it's clear that transmitting power at a higher voltage (40000 V) drastically reduces power loss in the transmission lines (from 600 kW to 6 kW) and increases efficiency (from ~43% loss to ~0.74% loss). This is because power loss is proportional to \( \text{I}^2\text{R} \). For a given power P, if the voltage V is increased, the current I \( (\text{I} = \frac{\text{P}}{\text{V}}) \) decreases. A smaller current leads to much lower \( \text{I}^2\text{R} \) losses, saving significant amounts of energy. This is why power transmission is done at very high voltages.In simple words: When we increase the transmission voltage from 4000V to 40000V, the current in the power lines drops from 200A to 20A. This significantly reduces the power lost as heat in the wires, from 600 kW to just 6 kW. So, the power plant needs to generate less total power (806 kW instead of 1400 kW) to deliver the same 800 kW to the city. This huge saving in energy loss is why electricity is always transmitted at very high voltages over long distances.

🎯 Exam Tip: This problem beautifully illustrates the practical importance of high-voltage transmission. The key takeaway is that power loss in transmission lines is proportional to the square of the current (\( I^2R \)). By stepping up voltage, current is reduced, leading to vastly lower losses and improved efficiency, which is a critical concept in electrical engineering.

બહુવિકલ્પ પ્રશ્નોત્તર (MCQ-I)

Question 1. 50 Hz ac પરિપથમાં rms પ્રવાહ 5 A છે, તો પ્રવાહનું મૂલ્ય શૂન્ય થયા બાદ \(\frac{1}{300}\) સેકન્ડ પછી પ્રવાહનું મૂલ્ય કેટલું હશે ?
(A) \(5\sqrt{2}\) A
(B) \(5\sqrt{\frac{3}{2}}\) A
(C) \(\frac{5}{6}\) A
(D) \(\frac{5}{\sqrt{2}}\) A
Answer: (B) \(5\sqrt{\frac{3}{2}}\) A
In simple words: If an AC circuit has an RMS current of 5 A at 50 Hz, we need to find the current value after \( \frac{1}{300} \) seconds from when the current was zero. First, find the peak current using RMS current, then use the sine function with the given frequency and time to calculate the instantaneous current.
Calculation:
Given RMS current \( \text{I}_{\text{rms}} = 5 \, \text{A} \).
The peak current \( \text{I}_{\text{m}} = \sqrt{2} \times \text{I}_{\text{rms}} = \sqrt{2} \times 5 = 5\sqrt{2} \, \text{A} \).
Frequency \( \text{v} = 50 \, \text{Hz} \).
The angular frequency \( \omega = 2\pi\text{v} = 2\pi \times 50 = 100\pi \, \text{rad/s} \).
The instantaneous current \( \text{I} = \text{I}_{\text{m}} \sin(\omega \text{t}) \).
Given time \( \text{t} = \frac{1}{300} \, \text{s} \).
\[ \text{I} = 5\sqrt{2} \sin(100\pi \times \frac{1}{300}) = 5\sqrt{2} \sin(\frac{\pi}{3}) \] We know \( \sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2} \).
\[ \text{I} = 5\sqrt{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{5\sqrt{6}}{2} \, \text{A} = 5\sqrt{\frac{6}{4}} \, \text{A} = 5\sqrt{\frac{3}{2}} \, \text{A} \]

🎯 Exam Tip: For AC circuits, remember the relationship between RMS current and peak current (\( I_m = \sqrt{2} I_{rms} \)) and the formula for instantaneous current (\( I = I_m \sin(\omega t) \)). Proper calculation of angular frequency and sine values is essential.

Question 2. આંતરિક અવરોધ \( \text{R}_{\text{g}} \) અને આંતરિક રિએકટન્સ \( \text{X}_{\text{g}} \) ધરાવતું એક AC જનરેટર છે. આ જનરેટરનો ઉપયોગ નિષ્ક્રિય અવરોધ \( \text{R} \) અને રિએકટન્સ \( \text{X}_{\text{L}} \) ને પાવર સપ્લાય આપવા માટે થાય છે. જનરેટર વડે લોડ અવરોધને મહત્તમ પાવર સપ્લાય કરવા માટે \( \text{X}_{\text{L}} \) નુ મૂલ્ય ................... જેટલું રાખવું જોઈએ.
(A) શૂન્ય
(B) \( \text{X}_{\text{g}} \)
(C) \( -\text{X}_{\text{g}} \)
(D) \( \text{R}_{\text{g}} \)
Answer: (C) \( -\text{X}_{\text{g}} \)
In simple words: To get the most power from an AC generator to a load, the load's reactance must be the negative of the generator's internal reactance. This is part of the maximum power transfer theorem for AC circuits.
Explanation:
According to the maximum power transfer theorem for AC circuits, to deliver maximum average power to a load impedance \( \text{Z}_{\text{L}} = \text{R} + \text{jX} \) from a source with internal impedance \( \text{Z}_{\text{g}} = \text{R}_{\text{g}} + \text{jX}_{\text{g}} \), the load impedance must be the complex conjugate of the source impedance. That is, \( \text{Z}_{\text{L}} = \text{Z}_{\text{g}}^* \).
So, \( \text{R} + \text{jX} = \text{R}_{\text{g}} - \text{jX}_{\text{g}} \).
This implies \( \text{R} = \text{R}_{\text{g}} \) and \( \text{X} = -\text{X}_{\text{g}} \).
In this problem, the load reactance is \( \text{X}_{\text{L}} \). So, \( \text{X}_{\text{L}} \) should be \( -\text{X}_{\text{g}} \) for maximum power transfer.

🎯 Exam Tip: For maximum power transfer in AC circuits, the load impedance must be the complex conjugate of the source impedance. This means the load's resistance must match the source's resistance, and the load's reactance must be the negative of the source's reactance.

Question 3. જ્યારે એક વોલ્ટેજમાપક રચના AC સ્રોત સાથે જોડવામાં આવે ત્યારે તે મીટર 220 V સ્થિર ઇનપુટ વોલ્ટેજ દર્શાવે છે. તેનો અર્થ થાયકે,
(A) ઇનપુટ વોલ્ટેજ AC વોલ્ટેજ નથી, પરંતુ તે DC વોલ્ટેજ છે.
(B) મહત્તમ ઇનપુટ વોલ્ટેજ 220V છે.
(C) મીટર V નહીં, પરંતુ \( \langle \text{V}^2 \rangle \) નું અવલોકન આપે છે અને તેને \( \sqrt{\langle \text{V}^2 \rangle} \) ના અવલોકન માટે અંકિત કરેલ છે.
(D) કોઈ યાંત્રિક ખામીને લીધે તેનો દર્શક અટકી ગયો હશે.
Answer: (C) મીટર V નહીં, પરંતુ \( \langle \text{V}^2 \rangle \) નું અવલોકન આપે છે અને તેને \( \sqrt{\langle \text{V}^2 \rangle} \) ના અવલોકન માટે અંકિત કરેલ છે.
In simple words: An AC voltmeter shows the Root Mean Square (RMS) value of a voltage. It works by measuring the average of the squared voltage and then displays its square root, not the instantaneous voltage or the peak voltage. So, a reading of 220V means the RMS value is 220V.
Explanation:
An AC voltmeter is designed to measure the RMS (Root Mean Square) value of an AC voltage. It does not measure the instantaneous voltage or the peak voltage directly. The instrument typically responds to the square of the voltage (or current) and displays the square root of the mean of the square, which is the RMS value. So, a reading of 220 V means that the RMS voltage is 220 V, and the meter is calibrated to show this value, which is \( \text{V}_{\text{rms}} = \frac{\text{V}_{\text{m}}}{\sqrt{2}} \). This means it observes \( \langle \text{V}^2 \rangle \) and displays \( \sqrt{\langle \text{V}^2 \rangle} \).

🎯 Exam Tip: Always remember that AC voltmeters and ammeters measure and display RMS values, not peak or average values. This is a fundamental concept for understanding AC circuit measurements.

Question 4. એક જનરેટર સાથે શ્રેણીમાં જોડેલ LCR પરિપથની અનુનાદીય આવૃત્તિ ઘટાડવા માટે,
(A) જનરેટરની આવૃત્તિ ઘટાડવી જોઈએ.
(B) પ્રથમ કૅપેસિટર સાથે સમાંતર જોડાણમાં બીજું કૅપેસિટર જોડવું જોઈએ.
(C) ઇન્ડકટરમાં રહેલા લોખંડના ગર્ભને દૂર કરવો જોઈએ.
(D) કૅપેસિટરમાં રહેલા ડાયઇલેકિટ્રકને દૂર કરવું જોઈએ.
Answer: (B) પ્રથમ કૅપેસિટર સાથે સમાંતર જોડાણમાં બીજું કૅપેસિટર જોડવું જોઈએ.
In simple words: To lower the natural frequency of an LCR circuit, you need to increase either its inductance (L) or its capacitance (C). Adding another capacitor in parallel increases the total capacitance, which lowers the resonant frequency. Removing an iron core from an inductor or removing a dielectric from a capacitor would decrease L or C, respectively, thus increasing the resonant frequency. Changing the generator's frequency only changes the operating point, not the circuit's resonant frequency.
Explanation:
The resonant frequency (\( \text{v}_{\text{r}} \)) of a series LCR circuit is given by: \[ \text{v}_{\text{r}} = \frac{1}{2\pi\sqrt{\text{LC}}} \] To decrease \( \text{v}_{\text{r}} \), either L or C (or both) must be increased. (A) Decreasing the generator's frequency changes the operating frequency, not the resonant frequency of the circuit. (B) Adding another capacitor in parallel with the first capacitor increases the total capacitance (\( \text{C}_{\text{total}} = \text{C}_1 + \text{C}_2 \)). An increase in C will decrease \( \text{v}_{\text{r}} \). So, this option is correct. (C) Removing an iron core from an inductor decreases its inductance (L). A decrease in L would increase \( \text{v}_{\text{r}} \). So, this option is incorrect. (D) Removing a dielectric from a capacitor decreases its capacitance (C). A decrease in C would increase \( \text{v}_{\text{r}} \). So, this option is incorrect.

🎯 Exam Tip: Understand how L and C affect the resonant frequency. \( v_r \) is inversely proportional to \( \sqrt{LC} \). Therefore, to decrease \( v_r \), L or C must increase. Remember that parallel capacitors add up, while series inductors add up.

Question 5. કૉમ્યુનિકેશન માટે ઉપયોગમાં લેવાતા LCR પરિપથમાં વધુ સારા ટ્યૂનિંગ માટે નીચેના પૈકી કયા સંયોજનને પસંદ કરવું જોઈએ ? (AIPMT JULY-2016)
(A) R = 20 Ω, L = 1.5 H, C = 35 μF
(B) R = 25 Ω, L =2.5 H, C = 45 μF
(C) R = 15 Ω, L = 3.5 H, C = 30 μF
(D) R = 25 Ω, L = 1.5 H, C = 45 μF
Answer: (C) R = 15 Ω, L = 3.5 H, C = 30 μF
In simple words: For better tuning in a communication circuit, the Q-factor must be high. A high Q-factor means the resistance (R) should be small, and the inductance (L) should be large, while the capacitance (C) should be small. We need to calculate the Q-factor for each option and choose the one with the highest value.
Explanation:
For better tuning in an LCR circuit, a high Q-factor is desired. The Q-factor (quality factor) for a series LCR circuit is given by: \[ \text{Q} = \frac{1}{\text{R}} \sqrt{\frac{\text{L}}{\text{C}}} \] Let's calculate the Q-factor for each option: (A) \( \text{R} = 20 \, \Omega \), \( \text{L} = 1.5 \, \text{H} \), \( \text{C} = 35 \times 10^{-6} \, \text{F} \) \[ \text{Q}_{\text{A}} = \frac{1}{20} \sqrt{\frac{1.5}{35 \times 10^{-6}}} = \frac{1}{20} \sqrt{42857.14} \approx \frac{1}{20} \times 207.02 \approx 10.35 \] (B) \( \text{R} = 25 \, \Omega \), \( \text{L} = 2.5 \, \text{H} \), \( \text{C} = 45 \times 10^{-6} \, \text{F} \) \[ \text{Q}_{\text{B}} = \frac{1}{25} \sqrt{\frac{2.5}{45 \times 10^{-6}}} = \frac{1}{25} \sqrt{55555.56} \approx \frac{1}{25} \times 235.70 \approx 9.43 \] (C) \( \text{R} = 15 \, \Omega \), \( \text{L} = 3.5 \, \text{H} \), \( \text{C} = 30 \times 10^{-6} \, \text{F} \) \[ \text{Q}_{\text{C}} = \frac{1}{15} \sqrt{\frac{3.5}{30 \times 10^{-6}}} = \frac{1}{15} \sqrt{116666.67} \approx \frac{1}{15} \times 341.56 \approx 22.77 \] (D) \( \text{R} = 25 \, \Omega \), \( \text{L} = 1.5 \, \text{H} \), \( \text{C} = 45 \times 10^{-6} \, \text{F} \) \[ \text{Q}_{\text{D}} = \frac{1}{25} \sqrt{\frac{1.5}{45 \times 10^{-6}}} = \frac{1}{25} \sqrt{33333.33} \approx \frac{1}{25} \times 182.57 \approx 7.30 \] Comparing the Q-factors, option (C) has the highest Q-factor (22.77). Therefore, this combination would provide better tuning.

🎯 Exam Tip: For communication circuits requiring sharp tuning, a high Q-factor is essential. Remember the Q-factor formula for a series LCR circuit and how R, L, and C affect it. To maximize Q, R should be small, and the ratio L/C should be large.

બહુવિકલ્પ પ્રશ્નોત્તર (MCQ-I)

Question 6. 6V(rms) ac સ્રોત સાથે 1 Ω રિએક્ટન્સ ધરાવતું ઇન્ડક્ટર અને 2 Ω અવરોધ-શ્રેણીમાં જોડેલ છે, તો પરિપથમાં વ્યય થતો પાવર કયા વિકલ્પ દ્વારા રજૂ થાય છે?
(A) 8 W
(B) 12 W
(C) 14.4 W
(D) 18 W
Answer: (C) 14.4W
એ.સી. સ્ત્રોત સાથે જોડાયેલા સર્કિટમાં ખર્ચ થતો સરેરાશ પાવર આ રીતે મળે છે:
\( P = V_{\text{rms}} I_{\text{rms}} \cos \phi \) ...(1)
જ્યાં \( I_{\text{rms}} = \frac{V_{\text{rms}}}{Z} \)
અહીં \( Z = \sqrt{R^2 + X_L^2} \)
આપેલા મૂલ્યો \( R = 2 \, \Omega \) અને \( X_L = 1 \, \Omega \) છે.
તેથી, \( Z = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{4+1} = \sqrt{5} \, \Omega \)
પાવર સ્ત્રોતનો rms વોલ્ટેજ \( V_{\text{rms}} = 6 \, V \) છે.
હવે, \( I_{\text{rms}} = \frac{6}{\sqrt{5}} \, A \) ...(2)
પાવર ફેક્ટર \( \cos \phi = \frac{R}{Z} = \frac{2}{\sqrt{5}} \) ...(3)
સમીકરણ (1) માં (2) અને (3) ના મૂલ્યો મુકતા:
\( P = 6 \times \frac{6}{\sqrt{5}} \times \frac{2}{\sqrt{5}} \)
\( P = \frac{72}{5} \)
\( P = 14.4 \, W \)
In simple words: વીજપરિપથમાં પાવર ગણવા માટે, આપણે કુલ અવરોધ (ઈમ્પિડન્સ) શોધવો પડશે અને પછી વોલ્ટેજ અને પ્રવાહના ગુણાકાર સાથે પાવર ફેક્ટરનો ઉપયોગ કરી સરેરાશ પાવર શોધી શકાય.

🎯 Exam Tip: AC સર્કિટમાં પાવર ગણતરી માટે RMS મૂલ્યો અને પાવર ફેક્ટરનો ઉપયોગ કરવો મહત્વપૂર્ણ છે. ઇમ્પિડન્સની યોગ્ય ગણતરીથી જ સાચો પાવર મળે છે.

Question 7. 12 વોટના વિદ્યુતગોળા સાથે જોડેલા સ્ટેપ-ડાઉન ટ્રાન્સફોર્મરનો આઉટપુટ વોલ્ટેજ 24V મળે છે, તો મહત્તમ પ્રવાહનું મૂલ્ય શું હશે?
(A) \( \frac{1}{\sqrt{2}} \) A
(B) \( \sqrt{2} \) A
(C) 2 A
(D) \( 2\sqrt{2} \) A
Answer: (A) \( \frac{1}{\sqrt{2}} \) A
ગૌણ વોલ્ટેજ \( V_S = 24 \, V \)
ગૌણ કુંડળી સાથે સંકળાયેલ પાવર \( P_S = 12 \, W \)
અહીં, \( P_S = V_S I_S \)
તેથી, ગૌણ કુંડળીમાં rms પ્રવાહ \( I_S = \frac{P_S}{V_S} = \frac{12}{24} = 0.5 \, A \)
ગૌણ કુંડળીમાં મહત્તમ પ્રવાહનું મૂલ્ય,
\( I_m = I_S \times \sqrt{2} \)
\( I_m = 0.5 \times \sqrt{2} \)
\( I_m = \frac{1}{2} \times \sqrt{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}} \, A \)
In simple words: ટ્રાન્સફોર્મરમાં, પાવર અને વોલ્ટેજ પરથી આપણે RMS પ્રવાહ શોધી શકીએ. પછી, મહત્તમ પ્રવાહ શોધવા માટે, RMS પ્રવાહને \(\sqrt{2}\) વડે ગુણવો પડે છે.

🎯 Exam Tip: ટ્રાન્સફોર્મરના દાખલામાં RMS અને મહત્તમ મૂલ્યો વચ્ચેનો સંબંધ યાદ રાખવો જરૂરી છે, ખાસ કરીને વોલ્ટેજ અને પ્રવાહ માટે. પાવરના સૂત્રમાં RMS મૂલ્યો વપરાય છે.

બહુવિકલ્પ પ્રશ્નોત્તર (MCQ-II)

Question 1. જ્યારે AC પરિપથની આવૃત્તિમાં વધારો થાય ત્યારે પરિપથમાં વહેતો પ્રવાહ પ્રથમ વધે છે અને પછી ઘટે છે, તો આ પરિપથમાં કયા ઘટકોના જોડાણની સંભાવના સૌથી વધુ હોઈ શકે?
(A) ઇન્ડક્ટર અને કૅપેસિટર
(B) અવરોધક અને ઇન્ડક્ટર
(C) અવરોધક અને કૅપેસિટર
(D) અવરોધક, ઇન્ડક્ટર અને કૅપેસિટર
Answer: (A, D)
• ઇન્ડક્ટરનું રિએક્ટન્સ \( X_L = 2\pi\nu L \). અહીં \( X_L \propto \nu \), જ્યાં \( \nu \) એ AC પરિપથની આવૃત્તિ છે.
• કેપેસિટરનું રિએક્ટન્સ \( X_C = \frac{1}{2\pi\nu C} \). અહીં \( X_C \propto \frac{1}{\nu} \).
• પરિપથની આવૃત્તિ \( \nu \) વધારવા માટે \( X_L \) વધારવું જોઈએ અને \( X_C \) ઘટાડવું જોઈએ.
• L-C-R પરિપથ માટે, ઇમ્પિડન્સ \( Z \) આ રીતે અપાય છે: \( Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2} \).
\( Z = \sqrt{R^2 + (2\pi\nu L - \frac{1}{2\pi\nu C})^2} \)
જેમ જેમ આવૃત્તિ \( \nu \) વધે છે તેમ, ચોક્કસ અનુનાદીય આવૃત્તિ \( \nu_r \) ના મૂલ્ય સુધી \( Z \) ઘટે છે અને \( Z_{\text{min}} = R \) થાય છે. જ્યાં સુધી ઇમ્પિડન્સ \( Z \) ઘટે છે ત્યાં સુધી પ્રવાહ વધે છે, કારણ કે પ્રવાહ ઇમ્પિડન્સના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે. પછી, આવૃત્તિ વધતાં \( Z \) વધે છે અને પ્રવાહ ઘટે છે.
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): આ આકૃતિમાં, X-અક્ષ પર આવૃત્તિ (\(\nu\)) અને Y-અક્ષ પર પ્રવાહ (\(I\)) દર્શાવવામાં આવ્યો છે. વક્ર બતાવે છે કે જેમ આવૃત્તિ વધે છે, તેમ પ્રવાહ પહેલા વધે છે, મહત્તમ મૂલ્ય \(I_{\text{max}}\) સુધી પહોંચે છે અને પછી ફરી ઘટવા લાગે છે. આ વર્તન L-C-R શ્રેણી પરિપથમાં અનુનાદ દર્શાવે છે જ્યાં \(X_L\) અને \(X_C\) નું મૂલ્ય સમાન હોય ત્યારે પ્રવાહ મહત્તમ હોય છે.
આવૃત્તિ વધારવાથી પ્રવાહ પહેલા વધે અને પછી ઘટે છે, તે સૂચવે છે કે પરિપથમાં ઇન્ડક્ટર અને કેપેસિટર બંને હાજર છે. તેથી વિકલ્પો (A) અને (D) સાચા છે.
In simple words: જો પરિપથમાં ઇન્ડક્ટર અને કેપેસિટર બંને હોય, તો આવૃત્તિ બદલાવવાથી પ્રવાહ પહેલા વધે છે અને પછી ઘટે છે. આને અનુનાદ કહેવાય છે.

🎯 Exam Tip: અનુનાદની ઘટના ત્યારે જ જોવા મળે છે જ્યારે L અને C બંને સર્કિટમાં હાજર હોય. આ કિસ્સામાં, પ્રવાહ મહત્તમ હોય છે જ્યારે \(X_L = X_C\).

Question 2. AC પરિપથમાં પરિપથ ઘટકો શ્રેણી-જોડાણમાં જોડેલ છે. સપ્લાય સ્રોતની આવૃત્તિ વધારતાં પ્રવાહમાં વધારો થાય છે, તો નીચે પૈકી કયા ઘટકો પરિપથમાં જોડેલ હોવાની સંભાવના છે?
(A) માત્ર અવરોધ
(B) અવરોધ અને ઇન્ડક્ટર
(C) અવરોધ અને કૅપેસિટર
(D) માત્ર કૅપેસિટર
Answer: (C, D)
• સપ્લાયની આવૃત્તિ વધારતાં પ્રવાહમાં વધારો થાય છે, તેથી આવૃત્તિ વધારતાં પરિપથનો રિએક્ટન્સ ઘટવો જોઈએ.
• કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ \( X_C = \frac{1}{2\pi\nu C} \) છે. આવૃત્તિ વધે તો \( X_C \) ઘટે છે અને પ્રવાહ વધે છે.
• R-C પરિપથ માટે, ઇમ્પિડન્સ \( Z = \sqrt{R^2 + X_C^2} = \sqrt{R^2 + (\frac{1}{2\pi\nu C})^2} \).
આવૃત્તિ વધે તો \( Z \) ઘટે છે.
માત્ર અવરોધકવાળા પરિપથમાં આવૃત્તિ બદલાવવાથી અવરોધમાં કોઈ ફેરફાર થતો નથી, તેથી પ્રવાહમાં પણ કોઈ ફેરફાર થતો નથી.
ઇન્ડક્ટરવાળા પરિપથમાં આવૃત્તિ વધારતાં તેનો રિએક્ટન્સ વધે છે, તેથી પ્રવાહ ઘટે છે, વધતો નથી. આથી, સાચા વિકલ્પો (C) અને (D) છે.
In simple words: જો AC પરિપથમાં આવૃત્તિ વધારવાથી પ્રવાહ વધે છે, તો તેનો અર્થ એ છે કે પરિપથમાં કેપેસિટર હોવું જોઈએ. કેપેસિટરનો અવરોધ આવૃત્તિ વધતાં ઘટે છે, જેથી પ્રવાહ વધે છે.

🎯 Exam Tip: કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ (\(X_C\)) આવૃત્તિના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે, જ્યારે ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ (\(X_L\)) આવૃત્તિના સીધા પ્રમાણમાં હોય છે. આ સંબંધોને યાદ રાખવાથી આવા MCQ પ્રશ્નો ઉકેલવામાં સરળતા રહે છે.

Question 3. ઉચ્ચ AC વોલ્ટેજે વિદ્યુતપાવરને લાંબા અંતર સુધી મોકલવામાં આવે છે, તો નીચે પૈકી કયા વિધાનો સાચું/સાચા હશે?
(A) આપેલ પાવર સ્તરને અનુરૂપ પ્રવાહ ઓછો હશે.
(B) ઊર્જાનો વ્યય ઓછો હોવાનો અર્થ તે છે કે પાવર વ્યય ઓછો હશે.
(C) પાતળા તારની બનેલી હશે.
(D) સ્ટેપ-ડાઉન ટ્રાન્સફોર્મરનો ઉપયોગ કરી પાવર પ્રાપ્ત થતો હોય તે છેડે વોલ્ટેજ ઘટાડવાનું સરળ બને છે.
Answer: (A, B, C, D)
• આપેલા પાવર માટે તારમાંથી વહેતો પ્રવાહ ઓછો હોય, તો ઊંચા A.C. વોલ્ટેજે ખૂબ મોટા અંતર સુધી ઊર્જા (પાવર)ને મોકલી શકીએ છીએ.
• પાવર \( P = V_{\text{rms}} I_{\text{rms}} \). જો \( P \) આપેલ હોય તો \( V_{\text{rms}} I_{\text{rms}} \) અચળ રહે છે.
તેથી, જો \( V_{\text{rms}} \) ઊંચો હોય તો \( I_{\text{rms}} \) નીચો હોય. તેથી, પાવર વ્યય \( = I_{\text{rms}}^2 R \) અનુસાર પાવર વ્યય ઓછો થશે.
• જો પરિવહન માટે પાતળો તાર લઈએ તો તેનો અવરોધ \( R \) વધે છે. તેથી, ઊંચા વોલ્ટેજને આપેલ સ્થાને સ્ટેપ-ડાઉન ટ્રાન્સફોર્મરના ઉપયોગથી વોલ્ટેજ ઘટાડી શકાય છે.
આમ, વિકલ્પો (A), (B), (C) અને (D) સાચાં છે.
In simple words: લાંબા અંતર સુધી વીજળી મોકલવા માટે ઊંચા વોલ્ટેજનો ઉપયોગ કરવો સારો છે. કારણ કે ઊંચા વોલ્ટેજથી પ્રવાહ ઓછો થાય છે, જેનાથી તારમાં ગરમી ઓછી ઉત્પન્ન થાય છે અને પાવરનો બગાડ ઓછો થાય છે. છેડે વોલ્ટેજ ઘટાડવા માટે ટ્રાન્સફોર્મર વપરાય છે.

🎯 Exam Tip: પાવર ટ્રાન્સમિશનમાં ઊંચા વોલ્ટેજનો મુખ્ય ફાયદો પાવર લોસ (\(I^2R\)) ઘટાડવાનો છે. આ ઉપરાંત, ટ્રાન્સફોર્મરના કાર્ય અને RMS મૂલ્યોના સંબંધોની સ્પષ્ટતા રાખો.

Question 4. LCR પરિપથમાં વાહક સ્રોતથી વહન ઑસ્ટિલેટરમાં સ્થાનાંતરિત થતો પાવર \( P = I^2 Z \cos \Phi \) છે, તો
(A) અહીં પાવર ફેક્ટર \( \cos \Phi \ge 0 \), \( P \ge 0 \)
(B) કેટલાક કિસ્સામાં વાહકબળ ઑસ્ટિલેટરને ઊર્જા આપતું નથી. (\( P = 0 \))
(C) વાહકબળ ઑસ્ટિલેટરમાંથી ઊર્જા બહાર કાઢવી શકતું નથી. (\( P < 0 \))
(D) વાહકબળ ઑસ્ટિલેટરમાંથી ઊર્જા બહાર કાઢવી શકે છે.
Answer: (A, B, C)
• વાહક સ્રોતથી વહન ઑસ્ટિલેટરમાં સ્થાનાંતરિત થતો પાવર \( P = I^2 Z \cos \Phi \) છે, તેથી પાવર ફેક્ટર \( \cos \Phi \ge 0 \) હોવો જોઈએ.
કારણ કે \( \cos \Phi = \frac{R}{Z} \). અહીં \( R > 0 \) અને \( Z > 0 \) છે, તેથી પાવર \( P \ge 0 \).
• વૉટલેસ ઘટક માટે (એટલે ​​કે શુદ્ધ ઇન્ડક્ટર અથવા શુદ્ધ કેપેસિટર), વાહક બળ ઑસ્ટિલેટરમાંથી કોઈ ઊર્જા આપતું નથી (\( P = 0 \) જ્યારે \( \Phi = 90^\circ \) હોય છે).
• વાહક બળ ઑસ્ટિલેટરમાંથી ઊર્જા બહાર કાઢી શકતું નથી, તેથી સાચા વિકલ્પો (A), (B), (C) છે.
In simple words: AC સર્કિટમાં પાવર હંમેશાં સ્ત્રોતમાંથી સર્કિટમાં જાય છે, બહાર આવતો નથી. જો અવરોધ ન હોય તો પાવર શૂન્ય હોય છે, અને અવરોધ હોય તો પાવર ધન હોય છે.

🎯 Exam Tip: પાવર ફેક્ટર (\(\cos \Phi\)) AC પરિપથમાં પાવર ટ્રાન્સફરની દિશા નક્કી કરે છે. શુદ્ધ રિએક્ટિવ ઘટકો (ઇન્ડક્ટર, કેપેસિટર) પાવરનો વપરાશ કરતા નથી, તેથી તેમના માટે પાવર શૂન્ય હોય છે.

Question 5. જ્યારે કેપેસિટરને 220 V AC વોલ્ટેજ લાગુ પાડવામાં આવે છે ત્યારે
(A) બે પ્લેટ વચ્ચે મહત્તમ વોલ્ટેજ 220V હોય છે.
(B) પ્રવાહ તથા લાગુ પાડેલ વોલ્ટેજ સમાન કળામાં હોય છે.
(C) પ્લેટો પરનો વીજભાર અને વોલ્ટેજ સમાન કળામાં હોય છે.
(D) કૅપેસિટરને મળતો પાવર શૂન્ય હોય છે.
Answer: (C, D)
જ્યારે કેપેસિટરને AC વોલ્ટેજ આપવામાં આવે છે ત્યારે:
• ધન વિદ્યુતભારવાળી પ્લેટ ઊંચા સ્થિતિમાને અને ઋણ વિદ્યુતભારવાળી પ્લેટ નીચા સ્થિતિમાને હોય છે. તેથી, વિદ્યુતભાર એ લાગુ પાડેલ વોલ્ટેજ સાથે સમાન કળામાં હોય છે.
• પરિપથને લાગુ પાડેલ સરેરાશ પાવર \( P = V_{\text{rms}} I_{\text{rms}} \cos \Phi \). શુદ્ધ કેપેસિટિવ પરિપથ માટે \( \Phi = 90^\circ \).
તેથી \( P = V_{\text{rms}} I_{\text{rms}} \cos 90^\circ = 0 \).
આથી, વિકલ્પો (C) અને (D) સાચા છે.
In simple words: કેપેસિટરમાં, વીજળી સંગ્રહ થાય છે અને વોલ્ટેજ વધે કે ઘટે તેમ વીજભાર પણ બદલાય છે. શુદ્ધ કેપેસિટરમાં કોઈ વાસ્તવિક પાવર વપરાતો નથી, તેથી સરેરાશ પાવર શૂન્ય હોય છે.

🎯 Exam Tip: કેપેસિટિવ સર્કિટમાં, પ્રવાહ વોલ્ટેજ કરતા 90° આગળ હોય છે. આ કળા તફાવતને કારણે સરેરાશ પાવર હંમેશા શૂન્ય હોય છે. ચાર્જ અને વોલ્ટેજ વચ્ચે સીધો સંબંધ છે (\(Q=CV\)), તેથી તેઓ હંમેશા સમાન કળામાં હોય છે.

Question 6. સડકથી તમારા ઘર સુધી પાવર લાવતી પાવરલાઇનના તારમાં
(A) પસાર થતો સરેરાશ પ્રવાહ શૂન્ય હોય છે.
(B) સરેરાશ વોલ્ટેજ 220V હોય છે.
(C) વોલ્ટેજ અને પ્રવાહ વચ્ચે કળા-તફાવત 90° હોય છે.
(D) વોલ્ટેજ અને પ્રવાહ વચ્ચેનો કળા-તફાવત \( 0 \) અને \( \frac{\pi}{2} \) ની વચ્ચે હોય.
Answer: (A, D)
• AC પ્રવાહનો સપ્લાય હોય છે અને AC પ્રવાહનું એક ચક્ર પરનું સરેરાશ મૂલ્ય શૂન્ય હોય છે.
• તાર (કેબલ)ને થોડો અવરોધ હોય છે. તેથી, વોલ્ટેજ અને પ્રવાહની કળામાં થોડો ફેરફાર હોય છે.
• તેથી, પાવર ફેક્ટર \( \cos \Phi = \frac{R}{Z} \ne 0 \).
તેથી \( \Phi \ne \frac{\pi}{2} \).
આથી, \( 0 < \Phi < \frac{\pi}{2} \).
આમ, વિકલ્પો (A) અને (D) સાચા છે.
In simple words: AC વીજળીમાં એક પૂરા ચક્ર માટે પ્રવાહનું સરેરાશ મૂલ્ય શૂન્ય હોય છે. વીજળીના તારમાં થોડો અવરોધ હોવાથી, વોલ્ટેજ અને પ્રવાહ વચ્ચેનો કળા તફાવત 0 અને 90 ડિગ્રીની વચ્ચે હોય છે, 90 ડિગ્રી નહીં.

🎯 Exam Tip: પાવરલાઇન્સમાં AC પ્રવાહનું સરેરાશ મૂલ્ય એક ચક્ર પર શૂન્ય હોય છે, પરંતુ RMS મૂલ્ય શૂન્ય હોતું નથી. તારમાં અવરોધ હંમેશા હાજર હોય છે, તેથી વોલ્ટેજ અને પ્રવાહ વચ્ચે હંમેશા થોડો કળા તફાવત હોય છે જે 0 અને 90 ડિગ્રીની વચ્ચે આવે છે.

અતિટૂંક જવાબી પ્રશ્નો (VSA)

Question 1. જો કોઈ LC પરિપથને આવર્તદોલનો કરતાં સ્પ્રિંગ-બ્લૉક તંત્રને સમતુલ્ય સ્વીકારવામાં આવે, તો આ LC પરિપથની કઈ ઊર્જા તેની સ્થિતિઊર્જા અને કઈ ઊર્જા તેની ગતિઊર્જાને સમતુલ્ય ગણી શકાય?
Answer:
• જો આપણે L-C દોલનોને સ્પ્રિંગ-બ્લૉકના તંત્રના આવર્ત દોલનો તરીકે વિચારીએ, તો કેપેસિટરમાં સંગ્રહ પામતી સ્થિતિ વિદ્યુતઊર્જા \( \frac{1}{2}CV^2 \) ને સ્પ્રિંગ-બ્લૉક તંત્રની સ્થિતિઊર્જા જેવી ગણી શકાય.
• અને ગતિ કરતાં (પ્રવાહ) વિદ્યુતભાર સાથે સંકળાયેલી ઊર્જા એટલે ચુંબકીય ઊર્જા \( \frac{1}{2}LI^2 \) એ સ્પ્રિંગ-બ્લૉક તંત્રની ગતિઊર્જા જેવી છે.
In simple words: LC સર્કિટમાં, કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત થતી વિદ્યુતઊર્જા સ્પ્રિંગ-બ્લૉક સિસ્ટમમાં સ્થિતિઊર્જા જેવી હોય છે. જ્યારે ઇન્ડક્ટરમાં સંગ્રહિત થતી ચુંબકીય ઊર્જા ગતિઊર્જા જેવી હોય છે.

🎯 Exam Tip: LC દોલનો અને સ્પ્રિંગ-બ્લૉક સિસ્ટમ વચ્ચેની સમાનતા એ ભૌતિકશાસ્ત્રમાં એક મહત્વપૂર્ણ વિભાવના છે. વિદ્યુતઊર્જાને સ્થિતિઊર્જા સાથે અને ચુંબકીય ઊર્જાને ગતિઊર્જા સાથે જોડવાનું યાદ રાખો.

Question 2. આકૃતિમાં દર્શાવેલ પરિપથનો અસરકારક સમતુલ્ય પરિપથ અતિઉચ્ચ આવૃત્તિ માટે દોરો અને તેનો અસરકારક ઇમ્પિડન્સ શોધો.
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): આકૃતિમાં એક AC પરિપથ દર્શાવવામાં આવ્યો છે જેમાં અવરોધો R1, R2, R3, ઇન્ડક્ટર્સ L1, L2 અને કેપેસિટર્સ C1, C2 નો ઉપયોગ કરીને જટિલ જોડાણ બનાવવામાં આવ્યું છે. આકૃતિમાં, C1 અને R1 શ્રેણીમાં છે, L1 અને C2 સમાંતર છે, અને L2 અને R3 શ્રેણીમાં છે. R2 આ બધા સાથે સમાંતર છે.
Answer:
• ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ \( X_L = 2\pi\nu L \).
• કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ \( X_C = \frac{1}{2\pi\nu C} \).
અતિઉચ્ચ આવૃત્તિએ (\( \nu \to \infty \)):
\( X_L \to \infty \) (અનંત)
\( X_C \to 0 \)
જ્યારે પરિપથનો રિએક્ટન્સ અનંત હોય તો તે પરિપથને ઑપન સર્કિટ તરીકે ગણાય છે.
જો પરિપથનો રિએક્ટન્સ શૂન્ય હોય, તો તે પરિપથ શૉર્ટ સર્કિટ ગણાય છે.
તેથી, \( C_1 \), \( C_2 \) – શૉર્ટ કરેલા છે અને \( L_1 \), \( L_2 \) – ઑપન છે.
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): આ આકૃતિમાં મૂળ સર્કિટને અતિઉચ્ચ આવૃત્તિ માટે સરળ બનાવવામાં આવી છે. કેપેસિટર્સ (C1, C2) શોર્ટ સર્કિટ તરીકે અને ઇન્ડક્ટર્સ (L1, L2) ઓપન સર્કિટ તરીકે કાર્ય કરે છે. પરિણામે, માત્ર અવરોધો R1 અને R3 જ સક્રિય રહે છે, જે દર્શાવે છે કે આ બંને અવરોધો શ્રેણીમાં જોડાયેલા છે.
તેથી, અસરકારક ઇમ્પિડન્સ \( Z_{\text{eq}} = R_1 + R_3 \).
In simple words: ખૂબ ઊંચી આવૃત્તિ પર, ઇન્ડક્ટર્સ ખુલ્લા વાયર જેવા વર્તે છે અને કેપેસિટર્સ શોર્ટ સર્કિટ જેવા વર્તે છે. તેથી, આ જટિલ સર્કિટમાં માત્ર R1 અને R3 જ બાકી રહે છે અને તે શ્રેણીમાં જોડાયેલા હોય છે, જેથી કુલ અવરોધ R1 + R3 થાય.

🎯 Exam Tip: ઊંચી આવૃત્તિ પર ઇન્ડક્ટર્સનો અવરોધ ખૂબ વધી જાય છે અને કેપેસિટર્સનો અવરોધ ઘટી જાય છે. આ વિભાવનાનો ઉપયોગ કરીને જટિલ AC સર્કિટને સરળ બનાવવામાં મદદ મળે છે.

Question 3. આકૃતિમાં દર્શાવેલ પરિપથ (a) અને (b) નો અભ્યાસ કરી નીચેના પ્રશ્નોના જવાબ આપો :
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): આકૃતિમાં બે જુદા જુદા AC પરિપથ દર્શાવવામાં આવ્યા છે. પરિપથ (a) માં એક અવરોધ R સાથે AC સ્ત્રોત જોડાયેલો છે. પરિપથ (b) માં એક અવરોધ R, એક કેપેસિટર C અને એક ઇન્ડક્ટર L શ્રેણીમાં જોડાયેલા છે. આકૃતિ બંને પરિપથમાં વોલ્ટેજ સ્ત્રોત અને ઘટકોના જોડાણની પદ્ધતિ સમજાવે છે.
(a) બંને પરિપથમાં rms પ્રવાહનું મૂલ્ય કઈ શરત હેઠળ સમાન હશે?
(b) પરિપથ (b) માં rms પ્રવાહ પરિપથ (a) કરતાં વધુ હોઈ શકે?
Answer:
ધારો કે, પરિપથ (a) માં rms પ્રવાહ \( I_a \) અને પરિપથ (b) માં rms પ્રવાહ \( I_b \) છે.
પરિપથ (a) માટે: \( I_a = \frac{V_{\text{rms}}}{R} \)
પરિપથ (b) માટે: \( I_b = \frac{V_{\text{rms}}}{Z} \), જ્યાં \( Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2} \).
(a) \( I_a = I_b \)
તેથી \( \frac{V_{\text{rms}}}{R} = \frac{V_{\text{rms}}}{\sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}} \)
આનો અર્થ એ થાય કે \( R = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2} \).
વર્ગ કરવાથી, \( R^2 = R^2 + (X_L - X_C)^2 \)
\( (X_L - X_C)^2 = 0 \)
\( X_L - X_C = 0 \)
\( X_L = X_C \)
આ શરત હેઠળ બંને પરિપથમાં rms પ્રવાહ સમાન હશે, જે અનુનાદની સ્થિતિ છે.
(b) \( Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2} \).
અહીં \( (X_L - X_C)^2 \ge 0 \) હોવાથી, \( Z \ge R \).
પરિણામે, \( \frac{V_{\text{rms}}}{Z} \le \frac{V_{\text{rms}}}{R} \).
તેથી, \( I_b \le I_a \).
આનો અર્થ એ છે કે પરિપથ (b) માં rms પ્રવાહ પરિપથ (a) કરતાં વધુ હોઈ શકે નહીં.
In simple words: (a) બે પરિપથમાં પ્રવાહ ત્યારે સરખો હોય જ્યારે ઇન્ડક્ટરનો અવરોધ અને કેપેસિટરનો અવરોધ એકબીજાને રદ કરે, જેને અનુનાદ કહેવાય છે. (b) LCR પરિપથનો કુલ અવરોધ (ઈમ્પિડન્સ) હંમેશા અવરોધ કરતા મોટો અથવા તેના જેટલો હોય છે, તેથી તેમાં પ્રવાહ શુદ્ધ અવરોધવાળા પરિપથ કરતા ઓછો કે સરખો હોય, વધુ નહીં.

🎯 Exam Tip: AC સર્કિટમાં અનુનાદની સ્થિતિ ખૂબ મહત્વની છે કારણ કે ત્યારે ઇમ્પિડન્સ ન્યૂનતમ અને પ્રવાહ મહત્તમ હોય છે. હંમેશા યાદ રાખો કે LCR સર્કિટમાં ઇમ્પિડન્સ (\(Z\)) હંમેશા \(R\) કરતા મોટો અથવા બરાબર હોય છે.

Question 4. AC સ્રોતનો તાત્ક્ષણિક પાવર આઉટપુટ ઋણ હોઈ શકે? સરેરાશ આઉટપુટ પાવર ઋણ હોઈ શકે?
Answer:
ધારો કે, લાગુ પાડેલ emf, \( E = E_m \sin \omega t \) અને રચાતો પ્રવાહ \( I = I_m \sin (\omega t + \Phi) \).
AC સ્ત્રોતમાંથી મળતો તાત્ક્ષણિક આઉટપુટ પાવર \( P = EI \).
\( P = E_m \sin \omega t \times I_m \sin (\omega t + \Phi) \)
\( P = \frac{E_m I_m}{2} [2 \sin \omega t \sin (\omega t + \Phi)] \)
(\( 2 \sin A \sin B = \cos (A-B) - \cos (A+B) \))
\( P = \frac{E_m I_m}{2} [\cos \Phi - \cos (2\omega t + \Phi)] \) ...(1)
(i) હા, સમીકરણ (1) પરથી, જો \( \cos \Phi < \cos (2\omega t + \Phi) \) હોય, તો \( P \) ઋણ હોઈ શકે. આનો અર્થ એ થાય કે AC સ્ત્રોતમાંથી મળતો તાત્ક્ષણિક પાવર (ઇનપુટ પાવર) ઋણ હોઈ શકે છે.
(ii) ના, સરેરાશ આઉટપુટ પાવર \( \langle P \rangle = \frac{V_{\text{rms}} I_{\text{rms}} \cos \Phi}{\sqrt{2} \sqrt{2}} \)
\( \langle P \rangle = V_{\text{rms}} I_{\text{rms}} \cos \Phi \)
જ્યાં \( \Phi \) એ વોલ્ટેજ અને પ્રવાહ વચ્ચેનો કળા તફાવત છે. આથી, એક પૂર્ણ ચક્ર દરમિયાન સરેરાશ પાવર ઋણ ન મળે પરંતુ ધન કાં તો શૂન્ય મળે છે.
કારણ કે \( \cos \Phi = \frac{R}{Z} \). અહીં \( R \ge 0 \) અને \( Z > 0 \). તેથી \( \cos \Phi \ge 0 \).
આથી, \( \langle P \rangle \ge 0 \).
In simple words: AC સર્કિટમાં પાવર ક્યારેક ઋણ હોઈ શકે છે, એટલે કે સર્કિટ સ્ત્રોતને પાવર પાછો આપી શકે છે. પરંતુ સરેરાશ પાવર ક્યારેય ઋણ હોતો નથી; તે કાં તો ધન હોય છે (સર્કિટ પાવર વાપરે છે) અથવા શૂન્ય હોય છે (સર્કિટ પાવર વાપરતી નથી).

🎯 Exam Tip: તાત્ક્ષણિક પાવર અને સરેરાશ પાવર વચ્ચેનો તફાવત સમજવો અગત્યનો છે. તાત્ક્ષણિક પાવર ઋણ હોઈ શકે છે જ્યારે રિએક્ટિવ ઘટકો ઊર્જા સંગ્રહિત કરે અને મુક્ત કરે, પરંતુ સરેરાશ પાવર હંમેશા નોન-નેગેટિવ હોય છે.

Question 5. આકૃતિમાં LCR શ્રેણી-પરિપથ માટે \( I_{\text{max}} \) વિરુદ્ધ \( \omega \) નો આલેખ દર્શાવેલ છે. તે પરથી બેન્ડવિડ્થ શોધો અને તેને આલેખમાં દર્શાવો.
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): આકૃતિમાં એક AC પરિપથ માટે પ્રવાહનો આવૃત્તિ (\(\omega\)) સાથેનો આલેખ દર્શાવવામાં આવ્યો છે. Y-અક્ષ પર પ્રવાહ (\(I\)) અને X-અક્ષ પર કોણીય આવૃત્તિ (\(\omega\)) છે. આલેખ એક શિખર દર્શાવે છે જ્યાં પ્રવાહ મહત્તમ (1.0 A) હોય છે, જે અનુનાદીય આવૃત્તિ (\(\omega_0\) = 1.0 rad/s) પર થાય છે. બેન્ડવિડ્થ (0.4 rad/s) એ આવૃત્તિનો ગાળો છે જ્યાં પ્રવાહ મહત્તમ પ્રવાહના \(1/\sqrt{2}\) ગણો (0.7 A) હોય છે.
Answer:
• ધારો કે, પરિપથમાં વહેતા પ્રવાહનું rms મૂલ્ય, મહત્તમ પ્રવાહના \( \frac{1}{\sqrt{2}} \) ગણું થાય ત્યારે મળતી બે કોણીય આવૃત્તિઓ \( \omega_1 \) અને \( \omega_2 \) છે.
અહીં, \( I_{\text{rms}} = \frac{(I_{\text{rms}})_{\text{max}}}{\sqrt{2}} = \frac{1.0}{\sqrt{2}} \approx 0.707 \, A \).
આલેખ પરથી જોઈ શકાય છે કે, \( \omega_1 \) અને \( \omega_2 \) ને અનુરૂપ કોણીય આવૃત્તિઓ 0.8 rad/s અને 1.2 rad/s છે.
તેથી બેન્ડવિડ્થ \( \Delta\omega = \omega_2 - \omega_1 = 1.2 - 0.8 = 0.4 \, \text{rad/s} \).
In simple words: બેન્ડવિડ્થ એ આવૃત્તિનો ગાળો છે જ્યાં પ્રવાહ તેનું મહત્તમ મૂલ્યના \(1/\sqrt{2}\) ગણો હોય છે. આલેખમાંથી આ આવૃત્તિઓ શોધીને તેમની બાદબાકી કરવાથી બેન્ડવિડ્થ મળે છે.

🎯 Exam Tip: LCR સર્કિટમાં બેન્ડવિડ્થ એ અનુનાદની તીક્ષ્ણતાનું માપ છે. તે \( \omega_2 - \omega_1 \) તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે, જ્યાં \( \omega_1 \) અને \( \omega_2 \) એ પાવરના અડધા-મહત્તમ બિંદુઓ પરની કોણીય આવૃત્તિઓ છે. આ બિંદુઓ પર પ્રવાહ મહત્તમ પ્રવાહના \(1/\sqrt{2}\) ગણો હોય છે.

Question 6. આકૃતિમાં દર્શાવેલ આલેખ એક પરિપથનો ઊલટસૂલટ (AC) પ્રવાહ દર્શાવે છે. આ આલેખમાં rms પ્રવાહ દર્શાવો.
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): આકૃતિમાં સમય (\(t\)) સાથે બદલાતો AC પ્રવાહ (\(I\)) દર્શાવવામાં આવ્યો છે. Y-અક્ષ પર પ્રવાહ (એમ્પિયરમાં) અને X-અક્ષ પર સમય છે. આલેખ દર્શાવે છે કે પ્રવાહ પહેલા ધન (1 A) અને પછી ઋણ (-2 A) થાય છે, જે ચક્રીય રીતે બદલાય છે. આલેખનો અડધો ચક્ર \(T/2\) સમયગાળામાં પૂર્ણ થાય છે અને પૂર્ણ ચક્ર \(T\) સમયગાળામાં પૂર્ણ થાય છે.
Answer:
• આલેખ પરથી, \( t=0 \) થી \( t=\frac{T}{2} \) સમય દરમિયાન મહત્તમ પ્રવાહ \( I_1 = 1 \, A \).
• અને \( t=\frac{T}{2} \) થી \( t=T \) સમય દરમિયાન મહત્તમ પ્રવાહ \( I_2 = -2 \, A \).
સરેરાશ મહત્તમ પ્રવાહ \( I_m = \sqrt{I_1^2 + I_2^2} \)
\( I_m = \sqrt{(1)^2 + (-2)^2} = \sqrt{1+4} = \sqrt{5} \, A \)
rms પ્રવાહ \( I_{\text{rms}} = \frac{I_m}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} = \sqrt{2.5} \, A \approx 1.58 \, A \).
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): આ આકૃતિમાં, X-અક્ષ પર સમય અને Y-અક્ષ પર પ્રવાહ દર્શાવવામાં આવ્યો છે. લાલ રંગની આડી રેખા \(I_{\text{rms}}\) નું મૂલ્ય 1.58A દર્શાવે છે, જે AC પ્રવાહના અસરકારક મૂલ્યનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે. આ રેખા બતાવે છે કે પ્રવાહનું RMS મૂલ્ય કેવી રીતે ગણવામાં આવે છે અને ગ્રાફમાં તેને ક્યાં સ્થાન આપવામાં આવે છે.
In simple words: AC પ્રવાહનું RMS મૂલ્ય શોધવા માટે, આપણે પ્રવાહના જુદા જુદા ભાગોના વર્ગ કરીને તેમનો સરેરાશ લઈએ છીએ અને પછી વર્ગમૂળ કાઢીએ છીએ. અહીં, ધન અને ઋણ પ્રવાહના ભાગોને અલગ-અલગ ગણીને આ ગણતરી કરવામાં આવે છે.

🎯 Exam Tip: AC પ્રવાહ માટે RMS મૂલ્ય એ સરેરાશ મૂલ્ય કરતાં વધુ ઉપયોગી છે, ખાસ કરીને પાવર ગણતરી માટે. અસમાન મહત્તમ મૂલ્યો ધરાવતા AC તરંગો માટે, RMS મૂલ્ય ગણવા માટે દરેક ભાગના વર્ગનો સરવાળો કરવામાં આવે છે.

Question 7. લાગુ પાડેલ આવૃત્તિ ખૂબ નાના મૂલ્યથી ધીમી-ધીમે ખૂબ ઊંચા મૂલ્ય સુધી વધારવામાં આવે ત્યારે કળા ખૂણો \( \Phi \) કે જે LCR શ્રેણી-પરિપથમાં સપ્લાય વોલ્ટેજ પ્રવાહથી આગળ છે. તેની નિશાની (sign)માં શું પરિવર્તન થશે?
Answer:
LCR શ્રેણી પરિપથમાં વોલ્ટેજ, પ્રવાહ કરતાં કળા કોણ \( \Phi \) જેટલો આગળ હોય, તો તે નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે.
\( \tan \Phi = \frac{X_L - X_C}{R} \)
જ્યારે આવૃત્તિ (\( \nu \)) ખૂબ ઓછી હોય, એટલે કે \( \nu < \nu_r \), ત્યારે \( X_C > X_L \) હોય છે. આથી \( \tan \Phi \) ઋણ થશે, એટલે કે \( \Phi \) ઋણ હશે. આનો અર્થ એ કે પ્રવાહ વોલ્ટેજ કરતા આગળ છે.
જ્યારે આવૃત્તિ (\( \nu \)) ખૂબ વધારે હોય, એટલે કે \( \nu > \nu_r \), ત્યારે \( X_L > X_C \) હોય છે. આથી \( \tan \Phi \) ધન થશે, એટલે કે \( \Phi \) ધન હશે. આનો અર્થ એ કે પ્રવાહ વોલ્ટેજ કરતા પાછળ છે.
જ્યારે આવૃત્તિ (\( \nu \)) અનુનાદીય આવૃત્તિ (\( \nu_r \)) જેટલી હોય છે, ત્યારે \( X_L = X_C \) હોય છે. આથી \( \tan \Phi = 0 \), એટલે કે \( \Phi = 0 \). આનો અર્થ એ કે પ્રવાહ અને વોલ્ટેજ સમાન કળામાં છે.
આમ, જેમ આવૃત્તિ ઓછીથી વધુ થાય છે તેમ \( \Phi \) ની નિશાની ઋણથી શૂન્ય અને પછી ધન થશે, એટલે કે ઋણથી ધનમાં પરિવર્તન થશે.
In simple words: LCR સર્કિટમાં, આવૃત્તિ બદલવાથી વોલ્ટેજ અને પ્રવાહ વચ્ચેનો કળા તફાવત બદલાય છે. ઓછી આવૃત્તિ પર કળા ઋણ હોય છે, અનુનાદ પર શૂન્ય હોય છે, અને ઊંચી આવૃત્તિ પર ધન હોય છે. તેથી, કળા તફાવતની નિશાની બદલાય છે.

🎯 Exam Tip: LCR સર્કિટમાં કળા તફાવત (\(\Phi\)) અને આવૃત્તિ (\(\nu\)) વચ્ચેનો સંબંધ સમજવો ખૂબ જરૂરી છે. અનુનાદીય આવૃત્તિ એ બિંદુ છે જ્યાં \(X_L = X_C\) અને \(\Phi = 0\). આ સંબંધ AC સર્કિટના વર્તનને સમજવા માટે પાયાનો છે.

ટૂંક જવાબી પ્રશ્નો (SA)

Question 1. AC સ્રોત સાથે એક ઉપકરણ 'X' જોડેલ છે. આકૃતિમાં એક પૂર્ણ ચક્ર દરમિયાન વોલ્ટેજ, પ્રવાહ અને પાવરમાં થતા ફેરફારો દર્શાવેલ છે.
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): આ આકૃતિમાં, X-અક્ષ પર સમય અને Y-અક્ષ પર વોલ્ટેજ, પ્રવાહ અને પાવર દર્શાવવામાં આવ્યા છે. વક્ર A (વાદળી રંગ) પાવર, વક્ર B (લાલ રંગ) વોલ્ટેજ અને વક્ર C (લીલો રંગ) પ્રવાહ દર્શાવે છે. આલેખ દર્શાવે છે કે પાવર વક્ર A હંમેશા ધન રહે છે, જ્યારે વોલ્ટેજ અને પ્રવાહના વક્રો ધન અને ઋણ બંને મૂલ્યો ધરાવે છે.
(a) એક પૂર્ણ ચક્ર પર કયો વક્ર પાવર-વ્યય દર્શાવે છે?
(b) એક પૂર્ણ ચક્ર પર સરેરાશ પાવર-વ્યય કેટલો છે?
(c) ઉપકરણ 'X' ને ઓળખી બતાવો.
Answer:
(a) પાવર \( P = VI \) હોવાથી એક પૂર્ણ ચક્ર દરમિયાન વોલ્ટેજના મૂલ્ય અને પ્રવાહના મૂલ્યના ગુણાકાર જેટલો પાવર વ્યય છે. જે વક્ર A દર્શાવે છે.
(b) એક પૂર્ણ ચક્ર દરમિયાન સંમિતવાળા આલેખમાં ઉપરનો આલેખ ધન અને નીચેનો આલેખ ઋણ છે. તેથી, સરેરાશ પાવર શૂન્ય મળે છે.
(c) સરેરાશ પાવર શૂન્ય છે તેથી ઉપકરણ X એ ઇન્ડક્ટર (L) અથવા કેપેસિટર (C) અથવા L અને C નું સંયોજન હશે.
In simple words: (a) ગ્રાફમાં, વક્ર A પાવર દર્શાવે છે. (b) આ સર્કિટમાં એક આખા ચક્ર પર સરેરાશ પાવર શૂન્ય છે કારણ કે પાવર વક્ર ધન અને ઋણ બંને બાજુ સમાન રીતે ફેલાયેલો છે. (c) જો સરેરાશ પાવર શૂન્ય હોય, તો 'X' એ કાં તો ઇન્ડક્ટર, કેપેસિટર અથવા બંનેનું મિશ્રણ હોવું જોઈએ.

🎯 Exam Tip: AC સર્કિટમાં, શુદ્ધ ઇન્ડક્ટર કે કેપેસિટરમાં સરેરાશ પાવર વ્યય શૂન્ય હોય છે, કારણ કે તેઓ એક ચક્ર દરમિયાન ઊર્જા સંગ્રહિત કરે છે અને મુક્ત કરે છે. આથી, પાવર ફેક્ટર 90 ડિગ્રીના કળા તફાવતને કારણે શૂન્ય બને છે.

Question 2. AC પ્રવાહ અને DC પ્રવાહ બંને એમ્પિયરમાં માપવામાં આવે છે, પરંતુ AC પ્રવાહ માટે એમ્પિયરને કઈ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે?
Answer:
• AC પ્રવાહની દિશા દર અડધા ચક્ર બાદ ઉલટાય છે અને આકર્ષણ બળોનું સરેરાશ શૂન્ય હોઈ શકે છે. તેથી, AC પ્રવાહના એમ્પિયર એકમની વ્યાખ્યા કોઈક પ્રવાહની દિશાના સ્વતંત્ર ગુણધર્મ પરથી આપવી જોઈએ.
• આવો ગુણધર્મ જૂલ ઉષ્મા અસર છે. તેથી, તે AC પ્રવાહના rms મૂલ્યની વ્યાખ્યા આપવા ઉપયોગી છે.
• જૂલ ઉષ્મા અસર પરથી એમ્પિયરની વ્યાખ્યા: AC પ્રવાહમાં એક એમ્પિયર પ્રવાહ એટલે 1 Ω અવરોધમાં DC પ્રવાહ એક સેકન્ડમાં જેટલી ઉષ્મા ઉત્પન્ન કરે તેટલી ઉષ્મા ઉત્પન્ન થાય તો, તે રાશિને એક એમ્પિયર AC પ્રવાહ કહે છે. [\( H = I^2Rt \)]
In simple words: AC પ્રવાહ સતત દિશા બદલે છે, તેથી તેને સીધા માપી શકાતો નથી. તેના બદલે, AC પ્રવાહનો એમ્પિયર એ રીતે વ્યાખ્યાયિત થાય છે કે તે DC પ્રવાહ જેટલી જ ગરમી પેદા કરે.

🎯 Exam Tip: AC પ્રવાહનું RMS મૂલ્ય એ અસરકારક DC પ્રવાહ જેટલું હોય છે જે સમાન અવરોધમાં સમાન સમયગાળા માટે સમાન ઉષ્મા ઉત્પન્ન કરે છે. આ વ્યાખ્યા AC માપનનો આધાર છે.

Question 3. 200 વોલ્ટ, 50 Hz AC સ્રોત સાથે 1 Ω અવરોધ અને 0.01 H ઇન્ડક્ટન્સવાળું ગૂંચળું જોડવામાં આવેલ છે. પરિપથનો ઇમ્પિડન્સ તથા મહત્તમ વોલ્ટેજ અને પ્રવાહ વચ્ચેનો સમય-તફાવત શોધો.
Answer:
અહીં, \( L = 0.01 \, H \), \( R = 1 \, \Omega \), \( V = 200 \, V \)
આવૃત્તિ \( \nu = 50 \, Hz \)
ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ \( X_L = 2\pi\nu L \)
\( X_L = 2 \times 3.14 \times 50 \times 0.01 = 3.14 \, \Omega \)
પરિપથનો ઇમ્પિડન્સ \( Z = \sqrt{R^2 + X_L^2} \)
\( Z = \sqrt{(1)^2 + (3.14)^2} = \sqrt{1 + 9.8596} = \sqrt{10.8596} \)
\( Z \approx 3.295 \, \Omega \).
વોલ્ટેજ અને પ્રવાહ વચ્ચેનો કળા તફાવત \( \Phi \):
\( \tan \Phi = \frac{X_L}{R} \)
\( \tan \Phi = \frac{3.14}{1} = 3.14 \)
\( \Phi = \tan^{-1}(3.14) \approx 72^\circ \)
\( \Phi = 72^\circ \times \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{72 \pi}{180} \, \text{rad} \)
સમયનો તફાવત \( \Delta t \):
\( \Phi = \omega \Delta t \)
\( \Delta t = \frac{\Phi}{\omega} = \frac{\Phi}{2\pi\nu} \)
\( \Delta t = \frac{72 \pi / 180}{2 \pi \times 50} = \frac{72}{180 \times 2 \times 50} = \frac{72}{18000} \approx 0.004 \, s = 4 \, \text{ms} \)
In simple words: પહેલા ઇન્ડક્ટરનો અવરોધ ગણીને, પછી કુલ અવરોધ (ઈમ્પિડન્સ) શોધવામાં આવે છે. વોલ્ટેજ અને પ્રવાહ વચ્ચે કેટલો ફરક છે તે જાણવા માટે, આપણે કળા તફાવત અને તેમાંથી સમય તફાવત શોધી શકીએ છીએ.

🎯 Exam Tip: RL સર્કિટમાં ઇમ્પિડન્સ અને કળા તફાવતની ગણતરી માટેના સૂત્રો યાદ રાખો. કોણીય આવૃત્તિ (\(\omega\)) અને આવૃત્તિ (\(\nu\)) વચ્ચેના સંબંધ (\(\omega = 2\pi\nu\)) નો ઉપયોગ કરીને ગણતરીમાં ચોકસાઈ રાખવી.

Question 4. એક ટ્રાન્સફોર્મરનું પ્રાથમિક ગૂંચળું લાઇન વોલ્ટેજ સાથે જોડાયેલ છે. તેના ગૌણ ગૂંચળા સાથે 60 W લૉડ અવરોધ જોડેલ છે. જો લૉડમાંથી 0.54 A પ્રવાહ પસાર થતો હોય, તો પ્રાથમિક ગૂંચળામાંથી કેટલો પ્રવાહ વહેતો હશે? આ ટ્રાન્સફોર્મરના પ્રકાર પર ટિપ્પણી કરો.
Answer:
ગૌણ પાવર \( P_S = 60 \, W \)
ગૌણ પ્રવાહ \( I_S = 0.54 \, A \)
પ્રાથમિક પ્રવાહ \( I_P = ? \)
લાઇન વોલ્ટેજ (પ્રાથમિક વોલ્ટેજ) \( V_P = 220 \, V \)
ગૌણ વોલ્ટેજ \( V_S = \frac{P_S}{I_S} = \frac{60}{0.54} \approx 111.1 \, V \)
તેથી \( V_S \approx 110 \, V \).
અહીં \( V_S < V_P \) હોવાથી, આ સ્ટેપ-ડાઉન ટ્રાન્સફોર્મર છે.
ટ્રાન્સફોર્મર ગુણાંક (ratio) \( r = \frac{V_S}{V_P} = \frac{I_P}{I_S} \)
પ્રાથમિક પ્રવાહ \( I_P = I_S \times \frac{V_S}{V_P} \)
\( I_P = 0.54 \times \frac{110}{220} = 0.54 \times 0.5 = 0.27 \, A \)
In simple words: ટ્રાન્સફોર્મરમાં, પાવર આઉટપુટ અને ગૌણ પ્રવાહ પરથી આપણે ગૌણ વોલ્ટેજ શોધી શકીએ. જો ગૌણ વોલ્ટેજ પ્રાથમિક વોલ્ટેજ કરતા ઓછો હોય, તો તે સ્ટેપ-ડાઉન ટ્રાન્સફોર્મર છે. પછી, વોલ્ટેજના ગુણોત્તરનો ઉપયોગ કરીને પ્રાથમિક પ્રવાહ શોધી શકાય.

🎯 Exam Tip: ટ્રાન્સફોર્મરના દાખલામાં પાવર સંરક્ષણ (\(P_{in} = P_{out}\)) અને વોલ્ટેજ-પ્રવાહ ગુણોત્તર (\(\frac{V_S}{V_P} = \frac{I_P}{I_S}\)) ના નિયમોનો ઉપયોગ કરવો. ટ્રાન્સફોર્મરનો પ્રકાર (\(V_S > V_P\) માટે સ્ટેપ-અપ અને \(V_S < V_P\) માટે સ્ટેપ-ડાઉન) ઓળખવો મહત્વપૂર્ણ છે.

Question 5. “AC પ્રવાહને કેપેસિટર દ્વારા પૂરો પાડવામાં આવતો રિએક્ટન્સ આવૃત્તિ વધે છે.” સમજાવો.
Answer:
• કેપેસિટરમાં ખાલી જગ્યા હોવાથી તેનો અવરોધ અનંત છે. તેથી, કેપેસિટર DC પ્રવાહને પસાર થવા દેતું નથી. જ્યારે કેપેસિટર સાથે AC પ્રવાહ આપવામાં આવે ત્યારે, કેપેસિટરની પ્લેટો વિદ્યુતભારિત થાય છે અને ડિસ્ચાર્જ થાય છે. AC પ્રવાહ પસાર કરતાં કેપેસિટન્સ આ વોલ્ટેજ (અથવા વિદ્યુતભાર)ના ફેરફારના લીધે તેમાંથી પ્રવાહ પસાર થાય છે.
• જો વોલ્ટેજ વધારે (મોટા) દરથી બદલાતો હોય તો કેપેસિટરમાંથી વધારે પ્રવાહ પસાર થઈ શકે છે. એટલે કે જો સપ્લાયની આવૃત્તિ વધારે હોય. આ દર્શાવે છે કે, આવૃત્તિ વધવા સાથે કેપેસિટર ઓછો રિએક્ટન્સ ધરાવે છે.
• ગાણિતિક રીતે રિએક્ટન્સ \( X_C = \frac{1}{2\pi\nu C} \) છે.
In simple words: કેપેસિટર AC પ્રવાહને પસાર થવા દે છે કારણ કે તે સતત ચાર્જ અને ડિસ્ચાર્જ થાય છે. જો AC પ્રવાહની આવૃત્તિ વધે, તો કેપેસિટર ઝડપથી ચાર્જ-ડિસ્ચાર્જ થાય છે, જેના કારણે તેનો અવરોધ (રિએક્ટન્સ) ઘટે છે.

🎯 Exam Tip: કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ \(X_C\) આવૃત્તિ (\(\nu\)) ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે. આથી, આવૃત્તિ વધે તેમ \(X_C\) ઘટે છે. DC પ્રવાહ માટે \(\nu=0\) હોવાથી \(X_C\) અનંત થાય છે, એટલે કે કેપેસિટર DC ને અવરોધે છે.

Question 6. A.C. વોલ્ટેજની આવૃત્તિ વધારવામાં આવે ત્યારે ઇન્ડક્ટરનો રિએક્ટન્સ શા માટે વધે છે, તે સમજાવો.
Answer:
• લેન્ઝના નિયમ અનુસાર, ઇન્ડક્ટરમાં Back emf ઉત્પન્ન થવાથી તેમાંથી પસાર થતાં પ્રવાહનો વિરોધ કરે છે. પ્રેરિત વોલ્ટેજની ધ્રુવીયતા એવી હોય છે કે જેથી હાજર પ્રવાહનું મૂલ્ય જળવાઈ રહે.
• જો પ્રવાહ ઘટતો હોય તો પ્રેરિત emf ની ધ્રુવીયતા એવી હોય કે જેથી પ્રવાહ વધે અને જો પ્રવાહ વધતો હોય તો પ્રેરિત emf ની ધ્રુવત્વ એવી હોય કે જેથી પ્રવાહ ઘટે.
• જો કે પ્રેરિત emf એ પ્રવાહના ફેરફારના દરના સમપ્રમાણમાં હોય છે. જો પ્રવાહના ફેરફારનો દર ઝડપી હોય (આવૃત્તિ), તો પ્રવાહને વહેવા માટે મોટો રિએક્ટન્સ પૂરો પાડે છે. એટલે કે, મોટી આવૃત્તિ માટે ઇન્ડક્ટરનો રિએક્ટન્સ આવૃત્તિના સમપ્રમાણમાં છે.
• ગાણિતિક રીતે ઇન્ડક્ટરનો રિએક્ટન્સ \( X_L = 2\pi\nu L \) સૂત્રથી આપવામાં આવે છે.
In simple words: જ્યારે AC વોલ્ટેજની આવૃત્તિ વધે છે, ત્યારે ઇન્ડક્ટરમાં પ્રવાહ ખૂબ ઝડપથી બદલાય છે. લેન્ઝના નિયમ મુજબ, આ ઝડપી ફેરફારનો વિરોધ કરવા માટે ઇન્ડક્ટરમાં વધુ પ્રેરિત વોલ્ટેજ ઉત્પન્ન થાય છે, જેનાથી તેનો અવરોધ (રિએક્ટન્સ) પણ વધે છે.

🎯 Exam Tip: ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ (\(X_L\)) આવૃત્તિ (\(\nu\)) ના સીધા પ્રમાણમાં હોય છે. એટલે કે, આવૃત્તિ વધે તેમ \(X_L\) વધે છે. આ ગુણધર્મ AC સર્કિટના ડિઝાઇન અને વિશ્લેષણમાં મહત્વપૂર્ણ છે.

દીર્ઘ જવાબી પ્રશ્નો (LA)

Question 1. એક ઇલેક્ટ્રિક સંરચના, AC મેઇન્સ [223V (rms) \(\sqrt{50,000} \, V)\)] માંથી 2kW પાવર મેળવે છે. વોલ્ટેજ કરતાં પ્રવાહ કળામાં \( \Phi \) [\(\tan\Phi = -\frac{3}{4}\)] જેટલો પાછળ છે, તો
(i) R (ii) \( X_C - X_L \) અને (iii) \( I_m \) શોધો. અન્ય એક સંરચના માટે R, \( X_C \) અને \( X_L \) નાં મૂલ્યો બમણાં હોય, તો ઉપર્યુક્ત જવાબોમાં શું ફેરફાર થશે?
Answer:
આપેલ છે: પાવર \( P = 2 \, kW = 2000 \, W \)
\( \tan \Phi = -\frac{3}{4} \)
\( V_{\text{rms}} = V = 223 \, V \)
(i) ઇમ્પિડન્સ \( Z \):
\( P = \frac{V^2}{Z \cos \Phi} \)
અહીં, \( \tan \Phi = -\frac{3}{4} \) પરથી \( \cos \Phi = \frac{R}{Z} = \frac{4}{5} \)
તેથી, \( Z = \frac{V^2}{P} \cos \Phi = \frac{(223)^2}{2000} \times \frac{4}{5} = \frac{49729 \times 4}{10000} \approx 19.89 \, \Omega \approx 20 \, \Omega \)
(ii) અવરોધ \( R \):
\( R = Z \cos \Phi = 20 \times \frac{4}{5} = 16 \, \Omega \)
\( X_C - X_L \):
\( \tan \Phi = \frac{X_C - X_L}{R} \)
\( -\frac{3}{4} = \frac{X_C - X_L}{16} \)
\( X_C - X_L = -\frac{3}{4} \times 16 = -12 \, \Omega \)
(iii) મહત્તમ પ્રવાહ \( I_m \):
\( I_{\text{rms}} = \frac{V_{\text{rms}}}{Z} = \frac{223}{20} = 11.15 \, A \)
\( I_m = I_{\text{rms}} \sqrt{2} = 11.15 \times 1.414 \approx 15.76 \, A \)
અન્ય સંરચના માટે R, \( X_C \) અને \( X_L \) નાં મૂલ્યો બમણાં કરવામાં આવે તો:
નવો અવરોધ \( R' = 2R = 2 \times 16 = 32 \, \Omega \)
નવું રિએક્ટન્સ \( (X_C - X_L)' = 2(X_C - X_L) = 2 \times (-12) = -24 \, \Omega \)
નવું ઇમ્પિડન્સ \( Z' = \sqrt{(R')^2 + (X_C - X_L)'^2} = \sqrt{(32)^2 + (-24)^2} = \sqrt{1024 + 576} = \sqrt{1600} = 40 \, \Omega \)
નવો કળા તફાવત \( \tan \Phi' = \frac{(X_C - X_L)'}{R'} = \frac{-24}{32} = -\frac{3}{4} \)
તેથી \( \Phi' = \Phi \). કળા તફાવત બદલાશે નહીં.
નવો RMS પ્રવાહ \( I_{\text{rms}}' = \frac{V_{\text{rms}}}{Z'} = \frac{223}{40} = 5.575 \, A \)
નવો મહત્તમ પ્રવાહ \( I_m' = I_{\text{rms}}' \sqrt{2} = 5.575 \times 1.414 \approx 7.88 \, A \)
આમ, \( R \), \( (X_C - X_L) \) અને \( I_m \) ના મૂલ્યો બદલાશે, જ્યારે \( \Phi \) નું મૂલ્ય સમાન રહેશે.
In simple words: પહેલા પાવર, વોલ્ટેજ અને કળા તફાવતનો ઉપયોગ કરીને કુલ અવરોધ (ઈમ્પિડન્સ) અને વાસ્તવિક અવરોધ શોધવા પડે છે. પછી કળા તફાવત અને અવરોધનો ઉપયોગ કરીને \(X_C - X_L\) શોધી શકાય છે. છેલ્લે, RMS પ્રવાહ પરથી મહત્તમ પ્રવાહ મળે છે. જો બધા ઘટકોના મૂલ્યો બમણા કરવામાં આવે, તો ઈમ્પિડન્સ અને પ્રવાહ બદલાશે, પરંતુ કળા તફાવત સમાન રહેશે.

🎯 Exam Tip: AC સર્કિટના લાંબા પ્રશ્નો ઉકેલવા માટે, પાવર (\(P = V_{\text{rms}} I_{\text{rms}} \cos \Phi\)), ઇમ્પિડન્સ (\(Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}\)) અને કળા તફાવત (\(\tan \Phi = \frac{X_L - X_C}{R}\)) ના સૂત્રો ક્રમબદ્ધ રીતે લાગુ કરો. ઘટકોના મૂલ્યો બદલતી વખતે દરેક ગણતરી ફરીથી કરવી.

 

Question 1. એક ઇલેક્ટ્રિક સંરચના, AC મેઇન્સ 223V (rms) વોલ્ટેજમાંથી 2kW પાવર મેળવે છે. વોલ્ટેજ કરતાં પ્રવાહ કળામાં \(\phi\) (જ્યાં \(\tan\phi = -3/4\)) જેટલો પાછળ છે, તો (i) R (ii) \(X_C - X_L\) અને (iii) \(I_m\) શોધો. અન્ય એક સંરચના માટે R, \(X_C\) અને \(X_L\) નાં મૂલ્યો બમણાં હોય, તો ઉપર્યુક્ત જવાબોમાં શું ફેરફાર થશે ?
Answer: અહીં આપણને આપેલ છે કે \(P = 2 \, \text{kW} = 2000 \, \text{W}\), \(\tan\phi = -3/4\), અને \(V_{rms} = V = 223 \, \text{V}\). આપણે \(I_m\), R, અને \(X_C - X_L\) શોધવાના છે.

સમીકરણોનો ઉપયોગ કરીને, આપણે શોધી શકીએ છીએ:

\[ \frac{V^2}{Z} \implies Z = \frac{V^2}{P} = \frac{(223)^2}{2000} = 24.86 \, \Omega \approx 25 \, \Omega \] \[ \tan\phi = \frac{X_L - X_C}{R} = -\frac{X_C - X_L}{R} = -\frac{3}{4} \]
\( \implies X_L - X_C = -\frac{3R}{4} \)
\( \implies X_C - X_L = \frac{3R}{4} \)

ઇમ્પિડન્સ માટેનું સૂત્ર છે: \( Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2} \)
\( \implies Z^2 = R^2 + (X_L - X_C)^2 \)
\( \implies (25)^2 = R^2 + \left(-\frac{3R}{4}\right)^2 \)
\( \implies 625 = R^2 + \frac{9R^2}{16} \)
\( \implies 625 = \frac{16R^2 + 9R^2}{16} \)
\( \implies 625 = \frac{25R^2}{16} \)
\( \implies R^2 = \frac{625 \times 16}{25} = 25 \times 16 = 400 \)
\( \implies R = \sqrt{400} = 20 \, \Omega \)

(ii) \(X_L - X_C\) માટે:
\( X_L - X_C = -\frac{3R}{4} = -\frac{3 \times 20}{4} = -15 \, \Omega \)

(iii) મુખ્ય પ્રવાહ (\(I_m\)):
\( I_m = \frac{V_m}{Z} \) જ્યાં \(V_m = \sqrt{2} V_{rms} = \sqrt{2} \times 223 \, \text{V}\)
\( I_m = \frac{\sqrt{2} \times 223}{25} = \frac{1.414 \times 223}{25} = \frac{315.322}{25} = 12.6128 \, \text{A} \)
\( \implies I_m \approx 12.6 \, \text{A} \)

જો R, \(X_L\), \(X_C\) ના મૂલ્યો બમણા કરવામાં આવે તો, \(\tan\phi = \frac{X_L - X_C}{R}\) નું મૂલ્ય બદલાશે નહીં. Z પણ બમણું થશે.
\( Z' = \sqrt{(2R)^2 + (2X_L - 2X_C)^2} = \sqrt{4R^2 + 4(X_L - X_C)^2} = 2\sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2} = 2Z \) જો \(V\) અચળ રહે તો પ્રવાહ \(I = V/Z\) અડધો થશે, અને પાવર \(P = VI\cos\phi\) પણ અડધો થશે.
In simple words: આપણે પ્રારંભિક પાવર, વોલ્ટેજ અને કળાના તફાવત પરથી સર્કિટનો કુલ અવરોધ, પ્રતિકાર અને પ્રવાહ શોધીએ છીએ. જો સર્કિટના ઘટકોના મૂલ્યો બમણા કરવામાં આવે, તો સર્કિટનો કુલ અવરોધ બમણો થશે, જેનાથી પ્રવાહ અને પાવર અડધા થઈ જશે.
🎯 Exam Tip: આવા દાખલામાં પાવર, વોલ્ટેજ અને ફેઝ એંગલ (કળા તફાવત) ના સૂત્રો યાદ રાખવા મહત્વપૂર્ણ છે. ગણતરી કરતી વખતે \( \sqrt{2} \) જેવા પદોનું સાચું મૂલ્ય મૂકવું જોઈએ.

 

Question 2. પાવર સ્ટેશનથી 10km દૂર આવેલા એક શહેરમાં 1 MW પાવર સ્થાનાંતરિત કરવો છે. આ માટે કોઈ વ્યક્તિ 0.5 cm ત્રિજ્યાવાળા તાંબાના તારની જોડનો ઉપયોગ કરે છે. ઓમિક વ્યય અને સ્થાનાંતરિત પાવરનો ગુણોત્તર શોધો. જો (i) પાવર 220 V પર સ્થાનાંતરિત થતો હોય. આ શક્યતા માટે તમારા મંતવ્ય જણાવો. (ii) પાવર સ્થાનાંતરિત કરવા માટે સ્ટેપઅપ ટ્રાન્સફોર્મરનો ઉપયોગ કરી વોલ્ટેજ 11,000V જેટલો વધારવામાં આવે છે. ત્યારબાદ સ્ટેપડાઉન ટ્રાન્સફોર્મરની મદદથી વોલ્ટેજ 220V કરવામાં આવે છે. (તાંબાની અવરોધકતા \(\rho = 1.7 \times 10^{-8} \, \Omega \cdot \text{m}\))
Answer: અહીં આપણને આપેલ છે:
પાવર \((P) = 1 \, \text{MW} = 10^6 \, \text{W}\)
અંતર \((d) = 10 \, \text{km}\)
તાંબાના તારની ત્રિજ્યા \((r) = 0.5 \, \text{cm} = 0.5 \times 10^{-2} \, \text{m}\)
તાંબાની અવરોધકતા \(( \rho ) = 1.7 \times 10^{-8} \, \Omega \cdot \text{m}\)

(i) જો પાવર 220 V પર સ્થાનાંતરિત થતો હોય:
તારની લંબાઈ \((L) = 2 \times 10 \, \text{km} = 20 \, \text{km} = 20000 \, \text{m}\)
તારનો આડછેદનો વિસ્તાર \((A) = \pi r^2 = 3.14 \times (0.5 \times 10^{-2})^2 = 3.14 \times 0.25 \times 10^{-4} \, \text{m}^2 \)
તારનો અવરોધ \((R) = \rho \frac{L}{A} = \frac{1.7 \times 10^{-8} \times 20000}{3.14 \times 0.25 \times 10^{-4}} = \frac{3.4 \times 10^{-4}}{0.785 \times 10^{-4}} = 4.3312 \, \Omega \approx 4 \, \Omega \)

પ્રવાહ \((I) = \frac{P}{V} = \frac{10^6}{220} = 4545.45 \, \text{A} \approx 0.45 \times 10^4 \, \text{A}\)
પાવર વ્યય \((P_{loss}) = I^2 R = (4545.45)^2 \times 4 = 20661199.75 \times 4 = 82644799 \, \text{W} \approx 82.6 \, \text{MW}\) આ પાવર વ્યય (લગભગ 82.6 MW) પ્રસારિત થતા કુલ પાવર (1 MW) કરતાં ઘણો વધારે છે. તેથી, 220 V પર પાવર ટ્રાન્સમિટ કરવો શક્ય નથી.
આ રીત યોગ્ય નથી.

(ii) જો પાવર 11,000 V પર સ્થાનાંતરિત થતો હોય:
પ્રવાહ \((I') = \frac{P}{V'} = \frac{10^6}{11000} = \frac{1000}{11} \, \text{A} \approx 90.91 \, \text{A}\)
પાવર વ્યય \((P'_{loss}) = (I')^2 R = \left(\frac{1000}{11}\right)^2 \times 4 = \frac{1000000}{121} \times 4 = 8264.46 \times 4 = 33057.8 \, \text{W} \approx 33.06 \, \text{kW}\)
પાવર વ્યયનો ગુણોત્તર = \(\frac{\text{Power Loss}}{\text{Total Power}} \times 100\% = \frac{33057.8}{10^6} \times 100\% \approx 3.3\% \) આ પાવર વ્યય સ્વીકાર્ય છે, તેથી ઉચ્ચ વોલ્ટેજ પર પાવર સ્થાનાંતરિત કરવો શક્ય છે.
In simple words: આપણે 1 MW પાવર 10 km દૂર મોકલવા માટે તાંબાના તારનો ઉપયોગ કરીએ છીએ. જો તેને 220 V પર મોકલીએ, તો ખૂબ જ ઊર્જા વેડફાઈ જાય છે, જે વ્યવહારુ નથી. પરંતુ જો વોલ્ટેજને 11,000 V સુધી વધારીને મોકલીએ, તો ઊર્જાનો વ્યય ઘણો ઓછો થાય છે, જે આ પદ્ધતિને કાર્યક્ષમ બનાવે છે.
🎯 Exam Tip: પાવર ટ્રાન્સમિશનમાં વોલ્ટેજ વધારવાથી પ્રવાહ ઘટે છે, જેનાથી \(I^2R\) પાવર લોસ ઘટે છે. આ સિદ્ધાંત ઉચ્ચ વોલ્ટેજ ટ્રાન્સમિશન માટે મહત્વનો છે.

 

Question 3. આકૃતિમાં દર્શાવેલ LCR પરિપથ માટે કુલ પ્રવાહ \(i\) અને \(i\) માટે કળા-તફાવત શોધો. દર્શાવો કે, \(i = V/Z\) તથા આ પરિપથ માટે \(Z\) શોધો.
Answer:
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): આકૃતિમાં AC વોલ્ટેજ સ્રોત સાથે સમાંતરમાં જોડાયેલા અવરોધ (R), ઇન્ડક્ટર (L) અને કેપેસિટર (C) નો પરિપથ દર્શાવવામાં આવ્યો છે. AC સ્રોતનો વોલ્ટેજ \(v_m \sin(\omega t)\) છે, અને પરિપથમાંથી વહેતો કુલ પ્રવાહ \(i\) છે. આકૃતિમાં \(i_1\) પ્રવાહ અવરોધમાંથી વહે છે, અને \(i_2\) પ્રવાહ ઇન્ડક્ટર અને કેપેસિટરના શ્રેણી જોડાણમાંથી વહે છે.

ધારો કે, AC સ્રોતમાંથી આવતો કુલ પ્રવાહ \(i\) છે. આ પ્રવાહ બે ભાગમાં વહેંચાય છે: \(i_1\) પ્રવાહ અવરોધ (R) માંથી વહે છે, અને \(i_2\) પ્રવાહ ઇન્ડક્ટર (L) અને કેપેસિટર (C) ના સંયોજનમાંથી વહે છે.
તેથી, કુલ પ્રવાહ \(i = i_1 + i_2\)

અવરોધ માટે: \(V = V_m \sin(\omega t)\)
\( i_1 R = V_m \sin(\omega t) \)
\( \implies i_1 = \frac{V_m \sin(\omega t)}{R} \)............. (1)

ઇન્ડક્ટર અને કેપેસિટરના શ્રેણી જોડાણ માટે, Kirchhoff ના નિયમ પરથી:
\( V_L + V_C = V_m \sin(\omega t) \)
જો કોઈ પણ સમયે કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર \(q_2\) હોય, તો
\( \frac{L \, di_2}{dt} + \frac{q_2}{C} = V_m \sin(\omega t) \)
કારણ કે \(i_2 = \frac{dq_2}{dt}\), તેથી \( \frac{d^2q_2}{dt^2} = \frac{di_2}{dt} \)
\( \implies L \frac{d^2q_2}{dt^2} + \frac{q_2}{C} = V_m \sin(\omega t) \) ............... (2)

ધારો કે, \(q_2 = q_m \sin(\omega t + \phi)\)
\( \frac{dq_2}{dt} = q_m \omega \cos(\omega t + \phi) \)
\( \frac{d^2q_2}{dt^2} = -q_m \omega^2 \sin(\omega t + \phi) \)
આ મૂલ્યોને સમીકરણ (2) માં મુકતા:
\( L(-q_m \omega^2 \sin(\omega t + \phi)) + \frac{q_m \sin(\omega t + \phi)}{C} = V_m \sin(\omega t) \)
\( q_m \sin(\omega t + \phi) \left( \frac{1}{C} - L\omega^2 \right) = V_m \sin(\omega t) \)
જો \(\phi = 0\) હોય અને \(\left( \frac{1}{C} - L\omega^2 \right) > 0\), તો
\( q_m = \frac{V_m}{\left( \frac{1}{C} - L\omega^2 \right)} \)
હવે, \( i_2 = q_m \omega \cos(\omega t + \phi) \)

જો કળા તફાવત \(\phi = 0^\circ\) લઈએ, તો
\( i_2 = \frac{V_m \omega \cos(\omega t)}{\left( \frac{1}{C} - L\omega^2 \right)} = \frac{V_m \cos(\omega t)}{\left( \frac{1}{\omega C} - L\omega \right)} \).............. (6)

સમીકરણ (1) અને (6) પરથી, \(i_1\) અને \(i_2\) વચ્ચેનો કળા તફાવત \(\frac{\pi}{2}\) છે.

કુલ પ્રવાહ \(i = i_1 + i_2\) ને આ રીતે પણ લખી શકાય:
\( i = C \cos\Phi \sin(\omega t) + C \sin\Phi \cos(\omega t) = C \sin(\omega t + \Phi) \).............. (7)
જ્યાં \(C\) એ પ્રવાહનો કંપવિસ્તાર છે અને \(\Phi\) એ કળા તફાવત છે.

આપણને \(i_1 = \frac{V_m}{R} \sin(\omega t)\) અને \(i_2 = \frac{V_m}{\left( \frac{1}{\omega C} - L\omega \right)} \cos(\omega t)\) મળ્યું છે.
તેથી, \(i = \frac{V_m}{R} \sin(\omega t) + \frac{V_m}{\left( \frac{1}{\omega C} - L\omega \right)} \cos(\omega t) \)
અહીં, \(A = \frac{V_m}{R}\) અને \(B = \frac{V_m}{\left( \frac{1}{\omega C} - L\omega \right)}\) મૂકતાં,
\( i = A \sin(\omega t) + B \cos(\omega t) \)
આ પ્રવાહનો કંપવિસ્તાર \(C_{total} = \sqrt{A^2 + B^2}\) અને કળા તફાવત \(\Phi = \tan^{-1} \left( \frac{B}{A} \right) \) થશે.
તેથી, \( i = V_m \sqrt{\frac{1}{R^2} + \frac{1}{\left( \frac{1}{\omega C} - L\omega \right)^2}} \sin(\omega t + \Phi) \)............. (9)
જ્યાં \(\Phi = \tan^{-1} \left( \frac{R}{\left( \frac{1}{\omega C} - L\omega \right)} \right) \)
અહીં, \(Z\) એ સમાંતર LCR પરિપથનો સમતુલ્ય ઇમ્પિડન્સ છે, તેથી \( \frac{1}{Z} = \sqrt{\frac{1}{R^2} + \left( \omega C - \frac{1}{\omega L} \right)^2} \)
આમ, \(i = \frac{V_m}{Z} \sin(\omega t + \Phi) \).............. (10)
સમીકરણ (9) અને (10) ને સરખાવતાં,
\( \frac{1}{Z} = \sqrt{\frac{1}{R^2} + \left( \omega C - \frac{1}{\omega L} \right)^2} \)
જે પરિપથનો જરૂરી ઇમ્પિડન્સ છે.
In simple words: એક LCR સમાંતર સર્કિટમાં, કુલ પ્રવાહ એ અવરોધ, ઇન્ડક્ટર અને કેપેસિટર દ્વારા વહેતા પ્રવાહનો સરવાળો છે. દરેક ઘટકમાંથી વહેતો પ્રવાહ તેના પોતાના કળા તફાવત સાથે હોય છે. આ પ્રવાહોને જોડીને, આપણે સર્કિટનો કુલ ઇમ્પિડન્સ અને પ્રવાહનો કંપવિસ્તાર શોધી શકીએ છીએ, તેમજ કુલ વોલ્ટેજ અને પ્રવાહ વચ્ચેનો કળા તફાવત પણ શોધી શકીએ છીએ.
🎯 Exam Tip: સમાંતર AC સર્કિટમાં, દરેક શાખામાં પ્રવાહનો કંપવિસ્તાર અને કળા તફાવત અલગ હોય છે. કુલ પ્રવાહ શોધવા માટે ફેઝર ડાયાગ્રામ અથવા ગણિતીય પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરી શકાય છે.

 

Question 4. \( \omega \) આવૃત્તિ પર કાર્યરત LCR પરિપથને નીચેનાં સમીકરણ વડે વ્યક્ત કરી શકાય છે : \(L \frac{di}{dt} + Ri + \frac{q}{C} = V_i = V_m \sin(\omega t) \) (i) સમીકરણને \(i\) વડે ગુણી શક્ય હોય ત્યાં સાદું રૂપ આપો. (ii) દરેક પદનું ભૌતિક અર્થઘટન કરો. (iii) સમીકરણને ઊર્જા-સંરક્ષણના કથન સ્વરૂપે દર્શાવો. (iv) વોલ્ટેજ \(V\) અને પ્રવાહ \(i\) વચ્ચેનો કળા-તફાવત ચોક્કસ હોવો જોઈએ તે નક્કી કરવા માટે સમીકરણનું સંકલન કરો.
Answer:
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): આકૃતિમાં AC વોલ્ટેજ સ્રોત સાથે શ્રેણીમાં જોડાયેલા ઇન્ડક્ટર (L), કેપેસિટર (C) અને અવરોધ (R) નો LCR શ્રેણી પરિપથ દર્શાવવામાં આવ્યો છે. AC સ્રોતનો વોલ્ટેજ \(V = V_m \sin(\omega t)\) છે, અને પરિપથમાંથી વહેતો કુલ પ્રવાહ \(i\) છે. આ પરિપથમાં, અવરોધ \(R\), ઇન્ડક્ટર \(L\) અને કેપેસિટર \(C\) ત્રણેય શ્રેણીમાં જોડાયેલા છે.

આપેલું સમીકરણ છે: \(L \frac{di}{dt} + Ri + \frac{q}{C} = V_i = V_m \sin(\omega t)\)

(i) સમીકરણને \(i\) વડે ગુણતા:
\( Li \frac{di}{dt} + Ri^2 + \frac{qi}{C} = V_i i \)

(ii) દરેક પદનું ભૌતિક અર્થઘટન:
* \( Li \frac{di}{dt} = \frac{d}{dt} \left( \frac{1}{2} L i^2 \right) \): આ પદ ઇન્ડક્ટરમાં સંગ્રહિત ચુંબકીય ઊર્જાના ફેરફારનો દર દર્શાવે છે.
* \( Ri^2 \): આ પદ અવરોધમાં જૂલ હીટિંગને કારણે વ્યય થતો પાવર દર્શાવે છે (ઉષ્માના સ્વરૂપમાં ઊર્જાનો વ્યય).
* \( \frac{qi}{C} = \frac{d}{dt} \left( \frac{q^2}{2C} \right) \): આ પદ કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત વિદ્યુતસ્થિતિ ઊર્જાના ફેરફારનો દર દર્શાવે છે.
* \( V_i i \): આ પદ સ્રોત દ્વારા પરિપથને પૂરો પાડવામાં આવતો તત્કાલીન પાવર દર્શાવે છે.

(iii) સમીકરણને ઊર્જા-સંરક્ષણના કથન સ્વરૂપે દર્શાવો:
સમીકરણ \( Li \frac{di}{dt} + Ri^2 + \frac{qi}{C} = V_i i \) એ ઊર્જા સંરક્ષણનો સિદ્ધાંત રજૂ કરે છે.
ઇન્ડક્ટરમાં સંગ્રહિત ઊર્જાના ફેરફારનો દર + કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત ઊર્જાના ફેરફારનો દર + અવરોધમાં વેડફાતી ઊર્જા = સ્રોત દ્વારા પૂરી પાડવામાં આવતી ઊર્જા.
આમ, પરિપથમાં કુલ ઊર્જા હંમેશા સંરક્ષિત રહે છે, જોકે તે વિવિધ સ્વરૂપોમાં રૂપાંતરિત થઈ શકે છે.

(iv) વોલ્ટેજ \(V\) અને પ્રવાહ \(i\) વચ્ચેનો કળા-તફાવત ચોક્કસ હોવો જોઈએ તે નક્કી કરવા માટે સમીકરણનું સંકલન:
સમીકરણ \( Li \frac{di}{dt} + Ri^2 + \frac{qi}{C} = V_m i \sin(\omega t) \) ના બંને બાજુનું એક પૂર્ણ ચક્ર \((0 - T)\) માટે સંકલન કરતાં:
\[ \int_0^T L i \frac{di}{dt} dt + \int_0^T R i^2 dt + \int_0^T \frac{q i}{C} dt = \int_0^T V_m i \sin(\omega t) dt \]
પ્રથમ પદ \(\int_0^T L i \frac{di}{dt} dt = \left[ \frac{1}{2} L i^2 \right]_0^T = 0 \) (કારણ કે એક પૂર્ણ ચક્રમાં \(i\) નું પ્રારંભિક અને અંતિમ મૂલ્ય સમાન હોય છે).
ત્રીજું પદ \(\int_0^T \frac{q i}{C} dt = \left[ \frac{q^2}{2C} \right]_0^T = 0 \) (કારણ કે એક પૂર્ણ ચક્રમાં \(q\) નું પ્રારંભિક અને અંતિમ મૂલ્ય સમાન હોય છે).
તેથી, \( \int_0^T R i^2 dt = \int_0^T V_m i \sin(\omega t) dt \)
\[ R \int_0^T i^2 dt = \int_0^T V_m i \sin(\omega t) dt \]
ડાબી બાજુ હંમેશા ધન હશે, કારણ કે \(R\) ધન છે અને \(i^2\) ધન છે.
જમણી બાજુ ધન ત્યારે જ શક્ય બને જ્યારે \(V_m i \sin(\omega t)\) નું સરેરાશ મૂલ્ય ધન હોય. આ ત્યારે જ શક્ય છે જ્યારે \(V\) અને \(i\) વચ્ચેનો કળા તફાવત લઘુકોણ હોય (\(-\frac{\pi}{2} < \phi < \frac{\pi}{2}\)).
In simple words: એક LCR સર્કિટમાં, વોલ્ટેજ અને પ્રવાહને જોડતું સમીકરણ ઊર્જા સંરક્ષણનો સિદ્ધાંત દર્શાવે છે. આ સમીકરણના દરેક ભાગનો ભૌતિક અર્થ હોય છે: ઇન્ડક્ટરમાં ચુંબકીય ઊર્જા, કેપેસિટરમાં વિદ્યુત ઊર્જા, અવરોધમાં ઉષ્મા ઊર્જા અને સ્રોત દ્વારા પૂરી પાડવામાં આવતી ઊર્જા. એક પૂર્ણ ચક્ર પર આ સમીકરણનું સંકલન દર્શાવે છે કે સ્રોત દ્વારા પૂરી પાડવામાં આવતી કુલ ઊર્જા અવરોધમાં વેડફાયેલી ઊર્જા જેટલી હોય છે, અને આ માટે વોલ્ટેજ અને પ્રવાહ વચ્ચેનો કળા તફાવત ચોક્કસ હોવો જોઈએ.
🎯 Exam Tip: Kirchhoff ના વોલ્ટેજ નિયમ, પાવર લોસ, અને ઊર્જા સંરક્ષણના સિદ્ધાંતોનો આ પ્રશ્નમાં ઉપયોગ થાય છે. દરેક પદના ભૌતિક અર્થને સમજવું મહત્વપૂર્ણ છે.

 

Question 5. આકૃતિમાં દર્શાવેલ LCR પરિપથમાં વાહક વોલ્ટેજ \(V = V_m \sin(\omega t)\) છે. (i) \(q(t)\) માટે ગલવિલ LCR પરિપથ લખો. (ii) \(t = t_0\) સમયે વોલ્ટેજ સ્રોત બંધ કરી R ને શૉર્ટસર્કિટ કરવામાં આવે, તો L અને C પ્રત્યેકમાં કેટલી ઊર્જા સંગ્રહિત થઈ હશે તે જણાવો. (iii) ત્યારબાદ વીજભારની ગતિનું વર્ણન કરો.
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): આકૃતિમાં એક LCR શ્રેણી પરિપથ દર્શાવવામાં આવ્યો છે જેમાં ઇન્ડક્ટર (L), કેપેસિટર (C) અને અવરોધ (R) એક AC વોલ્ટેજ સ્રોત \(V = V_m \sin(\omega t)\) સાથે શ્રેણીમાં જોડાયેલા છે. આ પરિપથમાં, એક સ્વીચ (K) પણ દર્શાવવામાં આવી છે જે પરિપથને ચાલુ કે બંધ કરી શકે છે.

Answer: આપેલ LCR શ્રેણી પરિપથમાં, Kirchhoff ના લૂપ નિયમનો ઉપયોગ કરીને:
\( V_R + V_L + V_C = V_m \sin(\omega t) \)
\( iR + L\frac{di}{dt} + \frac{q}{C} = V_m \sin(\omega t) \)
અહીં, \(i = \frac{dq}{dt}\) અને \( \frac{di}{dt} = \frac{d^2q}{dt^2} \). આ મૂલ્યોને સમીકરણમાં મૂકતા:
\( R\frac{dq}{dt} + L\frac{d^2q}{dt^2} + \frac{q}{C} = V_m \sin(\omega t) \)
આ સમીકરણ એ વિદ્યુતભારની ગતિ માટેનું જરૂરી સમીકરણ છે, જે સમય સાથે વિદ્યુતભારના ફેરફારને દર્શાવે છે.

(i) \(q(t)\) માટે ગતિનું સમીકરણ:
ઉપરનું સમીકરણ \(L\frac{d^2q}{dt^2} + R\frac{dq}{dt} + \frac{q}{C} = V_m \sin(\omega t)\) એ LCR શ્રેણી પરિપથમાં વિદ્યુતભાર \(q(t)\) માટેનું ગતિનું સમીકરણ છે.

(ii) \(t = t_0\) સમયે વોલ્ટેજ સ્રોત બંધ કરી R ને શૉર્ટસર્કિટ કરવામાં આવે:
જ્યારે \(R\) ને શૉર્ટસર્કિટ કરવામાં આવે અને સ્રોત દૂર કરવામાં આવે, ત્યારે પરિપથ ફક્ત L-C ઓસિલેટર બને છે.
આ સમયે, ઇન્ડક્ટરમાં સંગ્રહિત ઊર્જા \((U_L)\) અને કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત ઊર્જા \((U_C)\) નીચે મુજબ હશે:
\[ U_L = \frac{1}{2} L i^2 = \frac{1}{2} L \left( \frac{V_m}{\sqrt{R^2 + (X_C - X_L)^2}} \right)^2 \sin^2(\omega t_0 + \phi) \]
\[ U_C = \frac{1}{2} \frac{q^2}{C} = \frac{1}{2C} \left( q_m \cos(\omega t_0 + \phi) \right)^2 \]
જ્યાં \(q_m = \frac{V_m}{\omega \sqrt{R^2 + (X_C - X_L)^2}}\) અને \(i\) તથા \(q\) એ \(t_0\) સમયના પ્રવાહ અને વિદ્યુતભારના મૂલ્યો છે.

(iii) ત્યારબાદ વીજભારની ગતિનું વર્ણન કરો:
જ્યારે \(R\) ને શૉર્ટસર્કિટ કરવામાં આવે અને સ્રોત દૂર કરવામાં આવે, ત્યારે પરિપથ L-C ઓસિલેટર બની જાય છે.
આવા પરિપથમાં, કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત વિદ્યુત ઊર્જા ઇન્ડક્ટરમાં ચુંબકીય ઊર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે, અને પછી ચુંબકીય ઊર્જા ફરીથી વિદ્યુત ઊર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે.
આ પ્રક્રિયા સતત ચાલતી રહે છે, અને ઊર્જા એક સ્વરૂપમાંથી બીજા સ્વરૂપમાં અનંત સમય સુધી રૂપાંતરિત થતી રહે છે (આદર્શ પરિસ્થિતિમાં જ્યાં કોઈ ઊર્જાનો વ્યય નથી).

In simple words: LCR સર્કિટમાં, વિદ્યુતભારની ગતિનું સમીકરણ વોલ્ટેજ, પ્રવાહ અને ઘટકોના ગુણધર્મોને જોડે છે. જો સ્રોત દૂર કરવામાં આવે અને અવરોધ શૉર્ટસર્કિટ થાય, તો સર્કિટ એક LC ઓસિલેટર બની જાય છે. આ સ્થિતિમાં, કેપેસિટર અને ઇન્ડક્ટર વચ્ચે ઊર્જાનું સતત આદાનપ્રદાન થાય છે, જેમાં વિદ્યુત ઊર્જા ચુંબકીય ઊર્જામાં અને પછી ફરી વિદ્યુત ઊર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે, જ્યાં સુધી કોઈ ઊર્જાનો વ્યય ન થાય ત્યાં સુધી આ પ્રક્રિયા ચાલુ રહે છે.
🎯 Exam Tip: LC ઓસિલેશનનો સિદ્ધાંત ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક તરંગો અને રેડિયો ટ્યુનિંગ સર્કિટમાં મહત્વનો છે. LCR સર્કિટમાંથી ઊર્જાનો વ્યય થાય ત્યારે ઓસિલેશન અવમંદિત થાય છે.