GSEB Class 12 Physics Solutions Chapter 4 ગતિમાન વિધુતભારો અને ચુંબકત્વ

GSEB Solutions Class 12 Physics Chapter 4 ગતિમાન વિદ્યુતભારો અને ચુંબકત્વ

GSEB Class 12 Physics ગતિમાન વિદ્યુતભારો અને ચુંબકત્વ Text Book Questions and Answers

Question 1. 8.0 cm ત્રિજ્યાવાળા 100 આંટા ધરાવતા તારના એક વર્તુળાકાર ગૂંચળામાંથી 0.40 A વિદ્યુતપ્રવાહ વહે છે. ગૂંચળાના કેન્દ્ર પાસે ચુંબકીય ક્ષેત્ર \( \overrightarrow{\mathbf{B}} \) નું મૂલ્ય કેટલું હશે?
Answer: વિદ્યુતપ્રવાહધારિત લૂપના કેન્દ્ર પાસે ચુંબકીય ક્ષેત્ર,
\[ \overrightarrow{\mathrm{B}}=\frac{\mathrm{N} \mu_0 \mathrm{I}}{2 r} \]
\[ = \frac{100 \times 4 \times 3.14 \times 10^{-7} \times 0.4}{2 \times 8 \times 10^{-2}} \]
\( \therefore \overrightarrow{\mathbf{B}} = 3.14 \times 10^{-4} T = \pi \times 10^{-4} T \)
In simple words: The magnetic field at the center of a circular coil depends on the number of turns, current, and its radius. We use a specific formula to calculate this field.
🎯 Exam Tip: Remember the formula for the magnetic field at the center of a circular coil. Pay attention to unit conversions for radius (cm to m) during calculations.

Question 2. એક લાંબા સીધા તારમાંથી 35 A વિદ્યુતપ્રવાહ વહે છે. તારથી 20 cm અંતરે રહેલા કોઈ બિંદુ પાસે ચુંબકીય ક્ષેત્ર \( \overrightarrow{\mathbf{B}} \) નું મૂલ્ય કેટલું હશે?
Answer: લાંબા સીધા તારથી \( y \) અંતરે આવેલા બિંદુ પાસે ચુંબકીય ક્ષેત્ર,
\[ \overrightarrow{\mathbf{B}}=\frac{\mu_0 I}{2 \pi y} \]
\[ = \frac{4 \pi \times 10^{-7} \times 35}{2 \pi \times 0.2} \]
\( = 3.5 \times 10^{-5} T \)
In simple words: The magnetic field around a long straight wire gets weaker as you move further away from it. The field is directly proportional to the current and inversely proportional to the distance.
🎯 Exam Tip: Make sure to convert all distance units to meters before applying the formula for magnetic field due to a straight wire. The constant \( \mu_0 \) value is important.

Question 3. સમક્ષિતિજ સમતલમાં રહેલા એક લાંબા સીધા તારમાંથી 50 A જેટલો વિદ્યુતપ્રવાહ, ઉત્તરથી દક્ષિણ દિશા તરફ વહે છે. તારની પૂર્વમાં 2.5 m અંતરે આવેલા કોઈ બિંદુ પાસે \( \overrightarrow{\mathbf{B}} \) નું મૂલ્ય અને દિશા શોધો.
Answer:
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): આ ચિત્ર એક લાંબા સીધા તારમાં વહેતા વિદ્યુતપ્રવાહની દિશા (ઉત્તરથી દક્ષિણ) અને તેના કારણે પૂર્વ દિશામાં આવેલા P બિંદુ પર ચુંબકીય ક્ષેત્રની દિશા દર્શાવે છે. તારથી P બિંદુનું અંતર 2.5 m છે.
P બિંદુ પાસે ચુંબકીય ક્ષેત્રનું મૂલ્ય,
\[ \overrightarrow{\mathrm{B}}=\frac{\mu_0 \mathrm{I}}{2 \pi y} \]
\[ = \frac{4 \pi \times 10^{-7} \times 50}{2 \pi \times 2.5} \]
\( = 4 \times 10^{-6} T \)
અને ચુંબકીય ક્ષેત્રની દિશા જમણા હાથના અંગૂઠાના નિયમ પરથી, પાનાના સમતલને લંબ ઊર્ધ્વદિશામાં હોય છે.
In simple words: A current flowing in a straight wire creates a magnetic field around it. You can find the strength of this field using a formula and its direction using your right hand.
🎯 Exam Tip: For magnetic field direction, always use the Right-Hand Thumb Rule. Ensure correct conversion of units and precision in calculations.

Question 4. માથા પરથી પસાર થતા વીજળીના તારમાંથી 90 A વિદ્યુતપ્રવાહ પૂર્વથી પશ્ચિમ દિશા તરફ વહે છે. આ તારથી 1.5 m નીચે ચુંબકીય ક્ષેત્રનું મૂલ્ય અને દિશા શું હશે?
Answer:
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): આ ચિત્ર એક વીજળીના તારને દર્શાવે છે જેમાં 90 A નો પ્રવાહ પૂર્વથી પશ્ચિમ દિશામાં વહે છે. તારથી 1.5 m નીચે એક બિંદુ P દર્શાવેલું છે જ્યાં ચુંબકીય ક્ષેત્રની ગણતરી કરવાની છે. દિશાઓ પણ દર્શાવેલી છે.
P બિંદુએ ચુંબકીય ક્ષેત્ર \( \overrightarrow{\mathrm{B}} \)
\[ \overrightarrow{\mathrm{B}}=\frac{\mu_0 \mathrm{I}}{2 \pi y} \]
\[ = \frac{4 \pi \times 10^{-7} \times 90}{2 \pi \times 1.5} \]
\( = 1.2 \times 10^{-5} T \)
અને ચુંબકીય ક્ષેત્રની દિશા જમણા હાથના નિયમ પરથી તાર (લાઈન)ની નીચે દક્ષિણ દિશા તરફ હશે.
In simple words: Moving electricity creates a magnetic field. We can measure its strength and direction at any point using specific formulas and rules.
🎯 Exam Tip: The direction of current flow is crucial when applying the Right-Hand Thumb Rule. Always state both the magnitude and direction of the magnetic field.

Question 5. 0.15 T ના નિયમિત ચુંબકીય ક્ષેત્ર સાથે 30° કોણ બનાવતી દિશામાં રહેલા તારમાંથી 8.0 A વિદ્યુતપ્રવાહ વહે છે. આ તાર પર એકમ લંબાઈ દીઠ લાગતા ચુંબકીય બળનું મૂલ્ય કેટલું હશે?
Answer: એમ્પિયરના નિયમ પરથી, એકમ લંબાઈ દીઠ લાગતું બળ,
\( \frac{F}{l} = BI\sin\theta \)
\( = 0.15 \times 8 \times \sin30^\circ \)
\( = 1.2 \times \frac{1}{2} \)
\( = 0.6 \text{ N/m} \)
In simple words: A wire carrying current in a magnetic field experiences a force. The strength of this force depends on the field strength, current, and the angle between them.
🎯 Exam Tip: When calculating force on a current-carrying wire in a magnetic field, remember the `sinθ` term, which accounts for the angle between the current direction and the magnetic field. Units are critical.

Question 6. 3.0 cm લંબાઈના તારમાંથી 10 A વિદ્યુતપ્રવાહ પસાર થાય છે, જેને એક સોલેનોઇડમાં તેની અક્ષને લંબરૂપે મૂકેલો છે. સોલેનોઇડની અંદર ચુંબકીય ક્ષેત્ર 0.27 T આપેલ છે. તાર પર કેટલું ચુંબકીય બળ લાગતું હશે?
Answer:
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): આ આકૃતિ એક સોલેનોઇડની અક્ષને દર્શાવે છે જેમાં એક તાર લંબરૂપે મૂકેલો છે. તારમાં પ્રવાહ વહે છે અને સોલેનોઇડની અંદર ચુંબકીય ક્ષેત્ર છે, જેના કારણે તાર પર બળ લાગશે.
તાર પર લાગતું ચુંબકીય બળ,
\( F = BIL\sin\theta \)
\( = 0.27 \times 10 \times (3 \times 10^{-2}) \times \sin90^\circ \)
\( = 8.1 \times 10^{-2} \times 1 \)
\( = 8.1 \times 10^{-2} \text{ N} \)
અને બળની દિશા ફલૅમિંગના ડાબા હાથના નિયમ પરથી મળે.
In simple words: A current in a wire placed inside a magnetic field (like in a solenoid) feels a push or pull. If the wire is straight across the field, the force is strongest.
🎯 Exam Tip: Always convert given lengths to meters before calculation. The angle `\(\theta\)` is `90^\circ` when the wire is placed perpendicular to the magnetic field, simplifying `\(\sin\theta\)` to 1.

Question 7. 4 cm અંતરે રહેલા બે લાંબા સીધા અને સમાંતર તાર A અને B માંથી 8.0 A અને 5.0 A વિદ્યુતપ્રવાહો એક જ (સમાન) દિશામાં વહે છે. તારના 10 cm લંબાઈના વિભાગ પર લાગતું બળ શોધો.
Answer:
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): આ ચિત્ર બે સમાંતર તાર A અને B દર્શાવે છે, જેમાંથી સમાન દિશામાં વિદ્યુતપ્રવાહ વહે છે. તાર A માં \( I_1 = 8 \text{ A} \) અને તાર B માં \( I_2 = 5 \text{ A} \) પ્રવાહ છે. તેમની વચ્ચેનું અંતર \( d = 4 \text{ cm} \) છે અને 10 cm લંબાઈના વિભાગ પર લાગતું બળ શોધવાનું છે.
એકમ લંબાઈ દીઠ લાગતું બળ,
\[ \frac{\mathrm{F}}{l}=\frac{\mu_0 \mathrm{I}_1 \mathrm{I}_2}{2 \pi d} \]
\[ = \frac{4 \pi \times 10^{-7} \times 8 \times 5}{2 \pi \times 4 \times 10^{-2}} \]
\( = 2 \times 10^{-4} \text{ Nm}^{-1} \)
હવે A તારની 10 cm લંબાઈ પર લાગતું બળ,
\[ F = \left(\frac{\mathrm{F}}{l}\right) \times L \]
\( = 2 \times 10^{-4} \times 10 \times 10^{-2} \)
\( = 2 \times 10^{-5} \text{ N} \), A ને લંબરૂપે B તરફ આકર્ષી બળ.
In simple words: Wires carrying current near each other exert forces. If currents flow in the same direction, they pull towards each other; if opposite, they push apart.
🎯 Exam Tip: Remember that parallel currents attract and anti-parallel currents repel. Convert all lengths to meters for accurate force calculations per unit length and total force.

Question 8. 80 cm લંબાઈના એક સોલેનોઇડ પર પાસ-પાસે દરેક 400 આંટાવાળા 5 આવરણ વીંટાળ્યા છે. સોલેનોઇડનો વ્યાસ 1.8 cm છે. જો સોલેનોઇડમાં 8.0 A વિદ્યુતપ્રવાહ વહેતો હોય, તો તેના કેન્દ્ર પાસે \( \overrightarrow{\mathbf{B}} \) નું મૂલ્ય શોધો.
Answer: સોલેનોઇડના અંદરના વિસ્તારમાં ચુંબકીય ક્ષેત્ર,
\[ \overrightarrow{\mathbf{B}} = \mu_0 n I = \mu_0 p n_1 I \], જ્યાં \( p = \text{આવરણની સંખ્યા} \)
\[ = \frac{\mu_0 p N I}{l} \]
\[ = \frac{4 \times 3.14 \times 10^{-7} \times 5 \times 400 \times 8}{80 \times 10^{-2}} \]
\( = 8 \times 10^{-3} T \)
In simple words: A solenoid is a coil of wire that makes a strong magnetic field inside it when current flows. The strength depends on how many turns of wire, the current, and its length.
🎯 Exam Tip: For a solenoid, the magnetic field inside is approximately uniform. The formula for the magnetic field `\( B = \mu_0 n I \)` requires `\( n \)` to be the total number of turns per unit length, considering all layers.

Question 9. 10 cm બાજુઓવાળા એક ચોરસ ગૂંચળાને 20 આંટા છે અને તેમાંથી 12 A વિદ્યુતપ્રવાહ પસાર થાય છે. આ ગૂંચળું શિરોલંબ લટકાવેલું છે અને ગૂંચળાના સમતલનો લંબ 0.80 T મૂલ્યના સમક્ષિતિજ નિયમિત ચુંબકીય ક્ષેત્ર સાથે 30° કોણ બનાવે છે. ગૂંચળું કેટલા મૂલ્યનું ટોર્ક અનુભવશે?
Answer:
\( \tau = NIAB\sin\theta \)
\( = 20 \times 12 \times (0.1)^2 \times 0.8 \times \sin30^\circ \)
\( = 240 \times 0.01 \times 0.8 \times \frac{1}{2} \)
\( \therefore \tau = 0.96 \text{ Nm} \)
In simple words: When a current loop is in a magnetic field, it feels a twisting force called torque. The torque depends on the coil's properties, current, field strength, and its angle.
🎯 Exam Tip: Ensure that the area `\(A\)` is correctly calculated for the given shape (e.g., square side length to area). The angle `\(\theta\)` is between the normal to the coil's plane and the magnetic field.

Question 10. બે ચલિત ગૂંચળાવાળા મીટરો \( M_1 \) અને \( M_2 \) ની વિગત આ મુજબ છે :
\( R_1 = 10 \text{ Ω} \), \( N_1 = 30 \),
\( A_1 = 3.6 \times 10^{-3} \text{ m}^2 \), \( B_1 = 0.25 \text{ T} \)
\( R_2 = 14 \text{ Ω} \), \( N_2 = 42 \),
\( A_2 = 1.8 \times 10^{-3} \text{ m}^2 \), \( B_2 = 0.50 \text{ T} \)
(બંને મીટર માટે સ્પ્રિંગ અચળાંક સરખા છે.)
\( M_2 \) અને \( M_1 \) માટે,
(a) વિદ્યુતપ્રવાહ સંવેદિતાનો ગુણોત્તર અને
(b) વોલ્ટેજ સંવેદિતાનો ગુણોત્તર શોધો.
Answer: પ્રવાહ સંવેદિતા \( S_I = \frac{NBA}{k} \) અને વોલ્ટેજ સંવેદિતા \( S_V = \frac{NBA}{kR} \)
(a) \( M_1 \) માટે પ્રવાહ સંવેદિતા \( S_1 = \frac{N_1 B_1 A_1}{k} \frac{\text{rad}}{A} \) અને \( M_2 \) માટે પ્રવાહ સંવેદિતા \( S_2 = \frac{N_2 B_2 A_2}{k} \frac{\text{rad}}{A} \)
\[ \therefore \text{પ્રવાહ સંવેદિતાનો ગુણોત્તર} = \frac{N_2 B_2 A_2}{N_1 B_1 A_1} \]
\[ = \frac{42 \times 0.5 \times 1.8 \times 10^{-3}}{30 \times 0.25 \times 3.6 \times 10^{-3}} \]
\( = \frac{7}{5} \)
\( = 1.4 \)
(b) \( M_1 \) માટે વોલ્ટેજ સંવેદિતા \( S_V = \frac{N_1 B_1 A_1}{k R_1} \frac{\text{rad}}{V} \) અને \( M_2 \) માટે વોલ્ટેજ સંવેદિતા \( S_V = \frac{N_2 B_2 A_2}{k R_2} \frac{\text{rad}}{V} \)
\[ \therefore \text{વોલ્ટેજ સંવેદિતાનો ગુણોત્તર} = \frac{N_2 B_2 A_2}{N_1 B_1 A_1} \times \frac{R_1}{R_2} \]
\[ = \frac{42 \times 0.5 \times 1.8 \times 10^{-3} \times 10}{30 \times 0.25 \times 3.6 \times 10^{-3} \times 14} \]
\[ = \frac{42 \times 10}{30 \times 14} \]
\[ = \frac{420}{420} \]
\( = 1 \)
In simple words: Current and voltage sensitivity measure how much a meter moves for a given current or voltage. We compare these sensitivities for two different meters using their coil details.
🎯 Exam Tip: Understand the definitions of current sensitivity `\( (S_I = NBA/k) \)` and voltage sensitivity `\( (S_V = NBA/(kR)) \)` and their ratios. Pay close attention to cancelling common terms and unit conversions.

Question 11. એક ઓરડામાં 6.5 G (\(1 \text{ G} = 10^{-4} T\)) જેટલું નિયમિત ચુંબકીય ક્ષેત્ર રાખેલું છે. આ ક્ષેત્રમાં લંબ રૂપે એક ઇલેક્ટ્રોન \( 4.8 \times 10^6 \text{ ms}^{-1} \) ઝડપે છોડવામાં આવે છે. ઇલેકટ્રોનનો માર્ગ વર્તુળાકાર કેમ હશે તે સમજાવો. વર્તુળાકાર કક્ષાની ત્રિજ્યા શોધો. (\(e = 1.6 \times 10^{-19} \text{ C}\), \(m_e = 9.1 \times 10^{-31} \text{ kg}\))
Answer: સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ક્ષેત્રને લંબરૂપે દાખલ થતાં ઇલેક્ટ્રૉન પર લાગતું બળ,
\[ \overrightarrow{\mathrm{F}} = e(\vec{v} \times \overrightarrow{\mathrm{B}}) \]
\( = evB\sin\theta \)
\( = evB\sin90^\circ \)
\( |\overrightarrow{\mathrm{F}}| = evB \)
આ બળની દિશા, વેગ \( \vec{v} \) અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર \( \vec{B} \) ને લંબરૂપે મળે છે. તેથી આ બળ ઇલેક્ટ્રોનના ગતિની માત્ર દિશા બદલે છે પણ તેની ઝડપ પર કોઈ અસર થતી નથી અને ગતિ કરતાં ઇલેક્ટ્રૉનને જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે તેથી ઇલેક્ટ્રૉનનો ગતિપથ વર્તુળાકાર રહેશે.
હવે ઇલેક્ટ્રોનના વર્તુળાકાર ગતિ માર્ગની ત્રિજ્યા માટે, કેન્દ્રગામી બળ = ચુંબકીય બળ
\[ \frac{mv^2}{r} = Bev \]
\[ \therefore r = \frac{mv}{Be} \] \([m_e = m = 9.1 \times 10^{-31} \text{ kg}] \)
\[ = \frac{9.1 \times 10^{-31} \times 4.8 \times 10^6}{6.5 \times 10^{-4} \times 1.6 \times 10^{-19}} \]
\( = 4.2 \times 10^{-2} \text{ m} \)
\( = 4.2 \text{ cm} \)
In simple words: When an electron moves sideways into a magnetic field, the field pushes it in a circle. This push changes the direction but not the speed, making it move in a circular path.
🎯 Exam Tip: Understand that the magnetic force provides the necessary centripetal force for circular motion when the velocity is perpendicular to the magnetic field. Remember to convert Gauss to Tesla for calculations.

Question 12. સ્વાધ્યાય 4.11 માં વર્તુળાકાર કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનના ભ્રમણની આવૃત્તિ શોધો. શું આ જવાબ ઇલેક્ટ્રોનની ઝડપ પર આધાર રાખે છે? સમજાવો.
Answer: ધારો કે ઇલેક્ટ્રૉનની વર્તુળાકાર કક્ષામાં પરિભ્રમણની આવૃત્તિ \( \nu \) છે.
કેન્દ્રગામી બળ = ચુંબકીય બળ
\[ \frac{mv^2}{r} = Bev \]
\[ \therefore \frac{mv}{r} = Be \]
કારણ કે \( v = r\omega = r(2\pi\nu) \),
\[ \therefore m \times 2\pi\nu = Be \]
\[ \therefore \nu = \frac{Be}{2 \pi m} \quad \text{(1)} \]
\[ = \frac{6.5 \times 10^{-4} \times 1.6 \times 10^{-19}}{2 \times 3.14 \times 9.1 \times 10^{-31}} \]
\( = 18.18 \times 10^6 \text{ Hz} \)
\( = 18.18 \text{ MHz} \)
સમીકરણ (1) માં આવૃત્તિના સૂત્રમાં ઇલેક્ટ્રૉનની ઝડપવાળું પદ આવતું નથી તેથી આવૃત્તિ એ ઇલેક્ટ્રૉનની ઝડપ પર આધારિત નથી.
In simple words: The number of times an electron goes around in a circle in a magnetic field (its frequency) does not depend on how fast it is moving. It only depends on the magnetic field, electron's charge, and its mass.
🎯 Exam Tip: The cyclotron frequency (and thus the electron's frequency) is independent of its speed, as long as it's moving perpendicular to a uniform magnetic field. This is a key concept in particle physics.

Question 13. (a) 1.0 T જેટલા નિયમિત સમક્ષિતિજ ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં 8.0 cm ત્રિજ્યા અને 30 આંટા ધરાવતું વર્તુળાકાર ગૂંચળું લટકાવેલ છે, જેમાંથી 6.0 A વિદ્યુતપ્રવાહ પસાર થાય છે. ક્ષેત્રરેખાઓ ગૂંચળાના લંબ સાથે 60° કોણ બનાવે છે. ગૂંચળાનું આવર્તન ન થાય તે માટે તેના પર લગાડવા પડતા જરૂરી વિરુદ્ધ દિશાના ટોર્કનું મૂલ્ય શોધો.
(b) જો (a) માં દર્શાવેલ ગૂંચળાની જગ્યાએ અનિયમિત આકારનું બીજું કોઈ સમતલ ગૂંચળું રાખવામાં આવે કે જેનું ક્ષેત્રફળ પણ એટલું જ હોય તો તમારો જવાબ બદલાશે? (બંનેની બીજી વિગતોમાં કોઈ ફેરફાર કર્યો નથી.)
Answer:
(a) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં મૂકેલા વિદ્યુતપ્રવાહધારિત ગૂંચળા પર લાગતાં ટૉર્કનું મૂલ્ય,
\( \tau = NIAB\sin\theta \)
\( = 30 \times 6 \times 3.14 \times (8.0 \times 10^{-2})^2 \times 1.0 \times \sin60^\circ \)
\( = 30 \times 6 \times 3.14 \times 64 \times 10^{-4} \times \frac{\sqrt{3}}{2} \)
\( = 31325.6 \times 10^{-4} \)
\( \approx 3.133 \text{ Nm} \)
ગૂંચળાને ફરતું અટકાવવા માટે સમાન મૂલ્યનું પણ વિરુદ્ધ દિશાનું ટૉર્ક લગાડવું પડે.
\( \therefore \text{ફરતું અટકાવવા જરૂરી ટૉર્કનું મૂલ્ય} = 3.133 \text{ Nm} \)
(b) ના, કારણ કે ટૉર્કનું સૂત્ર \( \tau = NIAB \sin\theta \) છે. જો ગૂંચળાનું ક્ષેત્રફળ અને અભિવિન્યાસ સમાન રહે, તો ટૉર્કનું મૂલ્ય બદલાશે નહીં, પછી ભલે તેનો આકાર અનિયમિત હોય.
In simple words: A current loop in a magnetic field feels a twist. To stop it from turning, an equal and opposite twist is needed. The shape of the loop doesn't change this twist, as long as its area is the same.
🎯 Exam Tip: Torque on a current loop depends only on the magnetic moment (`\(NIA\)`), the magnetic field `\(B\)`, and the angle `\(\theta\)` between the area vector and the field, not on the specific shape of the loop for a given area.

Question 14. બે સમકેન્દ્રિત વર્તુળાકાર ગૂંચળાઓ X અને Y ની ત્રિજ્યા અનુક્રમે 16 cm અને 10 cm છે, જે ઉત્તરથી દક્ષિણ દિશામાં રહેલા એક જ શિરોલંબ સમતલમાં રહેલા છે. ગૂંચળા X ને 20 આંટા છે અને તેમાંથી પસાર થતો વિદ્યુતપ્રવાહ 16A છે; જ્યારે ગૂંચળા Y ને 25 આંટા છે અને તેમાંથી 18 A વિદ્યુતપ્રવાહ પસાર થાય છે. તરફ મોઢું રાખીને ઊભેલા અવલોકનકારની દૃષ્ટિએ X માંથી પસાર થતો પ્રવાહ વિષમઘડી અને Y માંથી સમઘડી દિશામાં છે. આ ગૂંચળાઓ વડે તેમના કેન્દ્ર પાસે ઉદ્ભવતા પરિણામી (ચોખ્ખા) ચુંબકીય ક્ષેત્રનું મૂલ્ય અને દિશા શોધો.
Answer:
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): આ ચિત્ર બે સમકેન્દ્રિત વર્તુળાકાર ગૂંચળાઓ X અને Y દર્શાવે છે જે એક જ શિરોલંબ સમતલમાં છે. ગૂંચળા X માં વિષમઘડી પ્રવાહ અને ગૂંચળા Y માં સમઘડી પ્રવાહ છે. કેન્દ્ર O પર બંને ગૂંચળાઓના કારણે ઉદ્ભવતા ચુંબકીય ક્ષેત્રની દિશા અને મૂલ્ય નક્કી કરવાનું છે.
ગૂંચળા X માટે : \( r_x = 16 \text{ cm} = 0.16 \text{ m} \), \( N_x = 20 \), \( I_x = 16 \text{ A} \)
X ગૂંચળાના લીધે કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર,
\[ B_x = \frac{\mu_0 I_x N_x}{2 r_x} = \frac{4 \pi \times 10^{-7}}{2} \times \frac{16 \times 20}{0.16} \]
\( \therefore B_x = 4\pi \times 10^{-4} T \quad \text{(1)} \)
X-ગૂંચળામાં વિષમઘડી દિશામાં પ્રવાહ વહે છે તેથી ચુંબકીય ક્ષેત્ર પૂર્વ તરફ છે.
ગૂંચળા Y માટે : \( r_y = 10 \text{ cm} = 0.1 \text{ m} \), \( N_y = 25 \), \( I_y = 18 \text{ A} \)
Y ગૂંચળાના લીધે કેન્દ્ર પાસે ચુંબકીય ક્ષેત્ર,
\[ B_y = \frac{\mu_0 I_y N_y}{2 r_y} = \frac{4 \pi \times 10^{-7} \times 18 \times 25}{0.1} \]
\( B_y = 9\pi \times 10^{-4} T \quad \text{(2)} \)
Y-ગૂંચળામાં સમઘડી દિશામાં પ્રવાહ વહે છે તેથી ચુંબકીય ક્ષેત્ર પશ્ચિમ તરફ છે.
હવે \( B_y > B_x \) હોવાથી પરિણામી ચુંબકીય ક્ષેત્ર પશ્ચિમ તરફ મળે.
\[ \therefore B = B_y - B_x = 9\pi \times 10^{-4} - 4\pi \times 10^{-4} = 5\pi \times 10^{-4} T \]
\( = 1.6 \times 10^{-3} T \) પશ્ચિમ તરફ.
In simple words: When two coils with current are placed together, their magnetic fields combine. We calculate each field separately and then find their total effect, considering their directions.
🎯 Exam Tip: For multiple coils, calculate the magnetic field due to each coil separately, paying attention to the direction (clockwise/anticlockwise current determines direction). Then, add them vectorially to find the net field.

Question 15. 10 cm લંબાઈ અને \( 10^{-3} \text{ m}^2 \) આડછેદના ક્ષેત્રફળ ધરાવતા વિસ્તારમાં 100 G (\(1 \text{ G} = 10^{-4} T\)) જેટલું નિયમિત ચુંબકીય ક્ષેત્ર જરૂરી છે. એક ગૂંચળાના તારની મહત્તમ વિદ્યુતપ્રવાહ ધારણક્ષમતા 15 A છે તથા તેના કેન્દ્ર (Core) ની આસપાસ એકમ લંબાઈ દીઠ વધુમાં વધુ 1000 આંટા/m વીંટાળી શકાય છે. આ માટે જરૂરી એવા સોલેનોઇડની યોગ્ય રચના સમજાવો. ધારો કે તેનાં કેન્દ્રમાં Core માં ફેરોમેગ્નેટિક નથી.
Answer: અહીં \( B = 100 \text{ G} = 100 \times 10^{-4} T = 10^{-2} T \)
\( I = 15 \text{ A} \), \( n = 1000 \text{ આંટા/m} \)
સોલેનોઇડની અંદર ચુંબકીય ક્ષેત્ર,
\( B = \mu_0 n I \)
\[ \therefore nl = \frac{B}{\mu_0}=\frac{10^{-2}}{4 \pi \times 10^{-7}} \]
\[ \therefore nl = \frac{7 \times 10^{-2}}{4 \times 22 \times 10^{-7}} = 0.0795454 \times 10^5 \]
\( \therefore n \approx \frac{7955}{10} = 795.5 \)
\( \therefore n = 800 \) નજીકનું મૂલ્ય
તેથી, આ સોલેનોઇડની લંબાઈ 50 cm, ત્રિજ્યા આશરે 4 cm, આશરે 400 આંટા, વિદ્યુતપ્રવાહ આશરે 10 A અને છેડાઓની અસર અવગણતાં આડછેદનું ક્ષેત્રફળ \( 5 \times 10^{-3} m^2 \) આ મૂલ્યો અનન્ય નથી. અમુક મર્યાદામાં થોડાક ફેરફાર શક્ય છે.
In simple words: To make a strong magnetic field using a solenoid, you need to choose the right length, radius, and number of wire turns, ensuring the current capacity is not exceeded.
🎯 Exam Tip: This question tests your understanding of solenoid design parameters. Emphasize that the field `\(B\)` within a solenoid depends on `\(n\)` (turns per unit length) and `\(I\)` (current). Practical considerations for wire gauge and current limit are important.

Question 16. R ત્રિજ્યા અને N આંટા ધરાવતા એક વર્તુળાકાર ગૂંચળામાંથી વિદ્યુતપ્રવાહ \( I \) પસાર થાય છે; અને તેની અક્ષ પર તેના કેન્દ્રથી \( x \) અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્રનું મૂલ્ય \( B = \frac{\mu_0 I R^2 N}{2\left(x^2+R^2\right)^{3 / 2}} \) મળે છે.
(a) દર્શાવો કે ગૂંચળાના કેન્દ્ર પાસે આ સમીકરણ જાણીતા સમીકરણ જેવું બને છે.
(b) બે સમાંતર અને સમઅક્ષીય (coaxial) ગૂંચળા, સમાન ત્રિજ્યા \( R \) અને આંટાની સંખ્યા \( N \) ધરાવે છે. તે સમાન દિશામાં સમાન વિદ્યુતપ્રવાહ \( I \) ધરાવે છે અને તેમની વચ્ચેનું અંતર \( R \) છે. દર્શાવો કે બે ગૂંચળાના મધ્યમાં, તેમની અક્ષ પર આવેલા બિંદુની આસપાસ \( R \) ની સરખામણીમાં નાના અંતર સુધી ચુંબકીય ક્ષેત્ર નિયમિત હોય છે, જે લગભગ \( B = 0.72 \frac{\mu_0 NI}{R} \) વડે દર્શાવી શકાય. (આ ગોઠવણીને હેલ્મહોલ્ટ્ઝ ગૂંચળા કહે છે.)
Answer:
(a) \( B = \frac{N \mu_0 I R^2}{2(x^2+R^2)^{3/2}} \) આપેલું છે.
ગૂંચળાના કેન્દ્ર પર \( x = 0 \)
\[ B_{\text{કેન્દ્ર}} = \frac{N \mu_0 I R^2}{2 R^3} = \frac{N \mu_0 I}{2 R} \]
જે ગૂંચળાના કેન્દ્ર પાસે ચુંબકીય ક્ષેત્ર માટેનું પ્રમાણિત પરિણામ છે.
(b)
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): આ આકૃતિમાં બે સમકેન્દ્રિત વર્તુળાકાર ગૂંચળાઓ (ગૂંચળું-1 અને ગૂંચળું-2) દર્શાવ્યા છે. બંને ગૂંચળા સમાન ત્રિજ્યા \( R \), આંટા \( N \), અને સમાન પ્રવાહ \( I \) ધરાવે છે. તેમની વચ્ચેનું અંતર \( 2d \) છે. O કેન્દ્ર પરથી P અને Q બિંદુઓ \( d \) અંતરે છે. ગૂંચળું-1 x-અક્ષ પર અને ગૂંચળું-2 y-અક્ષ પર સ્થિત છે. આ હેલ્મહોલ્ટ્ઝ ગૂંચળાની ગોઠવણી છે.
આપેલ સૂત્ર \( B = \frac{\mu_0 I N R^2}{2(R^2+x^2)^{3/2}} \) છે.
O બિંદુથી P અને Q બિંદુઓ \( d \) અંતરે છે.
ગૂંચળા-1 ના લીધે P પાસે ચુંબકીય ક્ષેત્ર,
\[ B_1 = \frac{\mu_0 I R^2 N}{2\left[R^2 + \left(\frac{R}{2}+d\right)^2\right]^{3/2}} \quad \text{PO2 દિશામાં} \]
ગૂંચળા-2 ના લીધે P પાસે ચુંબકીય ક્ષેત્ર,
\[ B_2 = \frac{\mu_0 I R^2 N}{2\left[R^2 + \left(\frac{R}{2}-d\right)^2\right]^{3/2}} \quad \text{PO2 તરફ} \]
P બિંદુ પાસે કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર \( B_P = B_1 + B_2 \)
\[ B_P = \frac{\mu_0 I N R^2}{2} \left[ \frac{1}{\left(R^2 + \left(\frac{R}{2}+d\right)^2\right)^{3/2}} + \frac{1}{\left(R^2 + \left(\frac{R}{2}-d\right)^2\right)^{3/2}} \right] \]
\[ B_P = \frac{\mu_0 I N R^2}{2} \left[ \frac{1}{\left(\frac{5R^2}{4} + d^2 + Rd\right)^{3/2}} + \frac{1}{\left(\frac{5R^2}{4} + d^2 - Rd\right)^{3/2}} \right] \]
\( d << R \) હોવાથી \( d^2 \) ને અવગણતા, દ્વિપદી પ્રમેય અનુસાર વિસ્તાર કરતાં,
\[ B_P \approx \frac{\mu_0 I N}{R} \times 0.72 \text{ T} \]
ગૂંચળાના મધ્યબિંદુ O થી P અને Q સમાન અંતરે હોવાથી Q બિંદુ પાસે પણ \( B_Q = \frac{\mu_0 I N}{R} \times 0.72 \text{ T} \) ચુંબકીય ક્ષેત્ર મળે.
In simple words: For a single loop, the magnetic field is strongest at its center. For two special loops placed a certain distance apart (Helmholtz coils), the field in the middle becomes nearly uniform, useful for experiments.
🎯 Exam Tip: For Helmholtz coils, remember that the separation between coils is equal to their radius, `\(d = R\)`. This arrangement creates a highly uniform magnetic field in the central region, which is a key characteristic.

Question 17. 25 cm આંતરિક ત્રિજ્યા અને 26 cm બહારની ત્રિજ્યા ધરાવતા એક ટોરોઇડના Core (ગર્ભ જે ફેરોમેગ્નેટિક નથી) ની આસપાસ તારના 3500 આંટા વીંટાળેલા છે. જો તારમાંથી 11 A વિદ્યુતપ્રવાહ પસાર થતો હોય, તો
(a) ટોરોઇડની બહાર
(b) ટોરોઇડના Core ની અંદર અને
(c) ટોરોઇડ વડે ઘેરાયેલી ખાલી જગ્યામાં ચુંબકીય ક્ષેત્ર કેટલું હશે?
Answer: અહીં, વિદ્યુતપ્રવાહ \( I = 11 \text{ A} \), આંટાની સંખ્યા \( N = 3500 \)
ટોરોઇડની બહારની ત્રિજ્યા \( r_2 = 26 \text{ cm} \) અને અંદરની ત્રિજ્યા \( r_1 = 25 \text{ cm} \)
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): આ ચિત્ર એક ટોરોઇડનો આડછેદ દર્શાવે છે, જેમાં આંતરિક ત્રિજ્યા \( r_1 \), બાહ્ય ત્રિજ્યા \( r_2 \) અને સરેરાશ ત્રિજ્યા \( r \) દર્શાવવામાં આવી છે. ટોરોઇડની બહાર, અંદર અને ખાલી જગ્યામાં ચુંબકીય ક્ષેત્રની ગણતરી કરવા માટેના વિસ્તારો પણ દર્શાવ્યા છે.
\[ \therefore \text{ટોરોઇડની સરેરાશ ત્રિજ્યા}, r = \frac{r_1+r_2}{2}=\frac{25+26}{2} = 25.5 \text{ cm} \]
\( \therefore r = 0.255 \text{ m} \)
ટોરોઇડનો પરિઘ \( = 2\pi r = 2\pi \times 0.255 = 0.51\pi \text{ m} \)
એકમ લંબાઈ દીઠ આંટાની સંખ્યા,
\[ n = \frac{N}{2\pi r} = \frac{3500 \text{ આંટા}}{0.51\pi \text{ મીટર}} \]
(a) ટોરોઇડની બહાર ચુંબકીય ક્ષેત્ર \( B_0 = \text{શૂન્ય} \).
(b) ટોરોઇડની અંદર ચુંબકીય ક્ષેત્ર,
\( B_1 = \mu_0 n I \)
\[ = 4\pi \times 10^{-7} \times \frac{3500}{0.51\pi} \times 11 \]
\( \approx 201960 \times 10^{-7} \)
\( \approx 2.0 \times 10^{-2} T \)
(c) ટોરોઇડ વડે ઘેરાયેલી ખાલી જગ્યામાં ચુંબકીય ક્ષેત્ર શૂન્ય છે. નોંધો કે, ટોરોઇડમાં જેમ સરેરાશ ત્રિજ્યાનું મૂલ્ય અંદરથી બહારની ત્રિજ્યા તરફ બદલાય તેમ તેના આડછેદમાં ક્ષેત્ર થોડુંક બદલાય છે.
In simple words: A toroid is a doughnut-shaped coil. Magnetic field is inside the coil, zero outside it, and zero in the empty space it encloses.
🎯 Exam Tip: For an ideal toroid, the magnetic field is confined entirely within its core, zero outside, and zero in the empty space enclosed by the turns. Remember `\(B = \mu_0 n I\)` for the field inside the core.

Question 18. આપેલા પ્રશ્નોના જવાબ આપો :
(a) એક ચેમ્બરમાં એવું ચુંબકીય ક્ષેત્ર પ્રસ્થાપિત કરેલ છે કે જે જુદા જુદા બિંદુએ જુદું હોય પરંતુ તેની દિશા એક જ હોય (પૂર્વથી પશ્ચિમ). એક વિદ્યુતભારિત કણ આ ચેમ્બરમાં દાખલ થાય છે અને આવર્તન અનુભવ્યા વગર અચળ ઝડપે સુરેખ માર્ગે પસાર થાય છે. આ કણના પ્રારંભિક વેગ વિશે તમે શું કહેશો?
(b) તીવ્ર અને અનિયમિત ચુંબકીય ક્ષેત્ર ધરાવતા વાતાવરણમાં ચુંબકીય ક્ષેત્રનું મૂલ્ય અને દિશા જુદા જુદા બિંદુએ જુદાં જુદાં છે, તેમાં એક વિદ્યુતભારિત કણ દાખલ થાય છે અને જટિલ માર્ગે બહાર આવે છે. જો તેણે આ વાતાવરણ સાથે કોઈ પણ અથડામણ ન અનુભવી હોય તો શું તેની અંતિમ ઝડપ, તેની પ્રારંભિક ઝડપ જેટલી હશે?
(c) પશ્ચિમથી પૂર્વ તરફ ગતિ કરતો એક ઇલેક્ટ્રોન ઉત્તરથી દક્ષિણ દિશામાં નિયમિત વિદ્યુતક્ષેત્ર ધરાવતી ચેમ્બરમાં દાખલ થાય છે. નિયમિત ચુંબકીય ક્ષેત્રને કઈ દિશામાં લગાડવું જોઈએ કે જેથી ઇલેક્ટ્રોન કોઈ પણ કોણાવર્તન અનુભવ્યા વગર સીધી રેખામાં ગતિ કરે?
Answer:
(a) કણનો પ્રારંભિક વેગ ચુંબકીય ક્ષેત્ર \( \overrightarrow{\mathrm{B}} \) ને સમાંતર કે પ્રતિ-સમાંતર હશે. તેથી તે ક્ષેત્રમાં થોડું પણ વિચલન પામ્યા વગર સીધા પથ પર ગતિ કરે છે.
(b) હા, વિદ્યુતભારિત કણની અંતિમ ઝડપ તેની પ્રારંભિક ઝડપ જેટલી થશે કારણ કે ચુંબકીય બળ તેના વેગની દિશા બદલે છે પણ તેનું મૂલ્ય બદલતું નથી.
(c) પશ્ચિમથી પૂર્વ દિશા તરફ ગતિ કરતો ઇલેક્ટ્રૉન નિયમિત વિદ્યુતક્ષેત્ર ધરાવતી ચેમ્બરમાં ઉત્તરથી દક્ષિણ દિશામાં દાખલ થાય છે. આ ગતિમાન ઇલેક્ટ્રૉન પર જો વિદ્યુત બળ ચુંબકીય બળ જેટલું અને વિરુદ્ધ દિશામાં હોય તો તેનું વિચલન થતું નથી. ચુંબકીય બળ દક્ષિણ દિશા તરફ હોય છે. ફ્લેમિંગના ડાબા હાથના નિયમ મુજબ ચુંબકીય ક્ષેત્ર \( \overrightarrow{\mathrm{B}} \) નીચેની દિશા તરફ લંબરૂપે હોવું જોઈએ.
In simple words: Magnetic fields can change a particle's direction but not its speed. For a particle to move straight without bending in a magnetic field, its velocity must be parallel to the field. If both electric and magnetic fields are present, their forces must cancel out for straight motion.
🎯 Exam Tip: Recall that the magnetic force `\( \vec{F}_m = q(\vec{v} \times \vec{B}) \)` is always perpendicular to velocity `\( \vec{v} \)` and thus does no work, implying kinetic energy (and speed) remains constant. In a velocity selector, the electric and magnetic forces are equal and opposite: `\( q\vec{E} = q(\vec{v} \times \vec{B}) \)`.

Question 19. કેથોડ ગરમ થવાથી ઉત્સર્જાયેલ એક ઇલેક્ટ્રૉન \( 2.0 \text{ KV} \) વિદ્યુતસ્થિતિમાન તફાવત વડે પ્રવેગિત થઈને \( 0.15 \text{ T} \) જેટલા નિયમિત ચુંબકીય ક્ષેત્રના વિસ્તારમાં દાખલ થાય છે. જો આ ક્ષેત્ર,
(a) પ્રારંભિક વેગને લંબ રૂપે હોય,
(b) પ્રારંભિક વેગ સાથે 30° કોણ બનાવતું હોય,
તો ઇલેક્ટ્રૉનના ગતિપથની ગણતરી કરો.
Answer: અહીં, \( V = 2.0 \text{ kV} = 2 \times 10^3 \text{ V} \), \( B = 0.15 \text{ T} \)
p.d. ના લીધે ઇલેક્ટ્રૉનને આપેલી ઊર્જા,
\[ \frac{1}{2}mv^2 = eV \]
\[ \therefore v = \sqrt{\frac{2eV}{m}} \] (ઇલેક્ટ્રોનને મળેલો વેગ)
\[ = \sqrt{\frac{2 \times 1.6 \times 10^{-19} \times 2 \times 10^3}{9.1 \times 10^{-31}}} \]
\[ = \sqrt{\frac{6.4}{9.1} \times 10^{15}} = \sqrt{7.033} \times 10^7 \]
\( \therefore v = 2.65197 \times 10^7 \text{ ms}^{-1} \)
\( \therefore v \approx 2.65 \times 10^7 \text{ ms}^{-1} \)
(a) ક્ષેત્ર \( \overrightarrow{\mathrm{B}} \) પ્રારંભિક વેગને વાંકુ વાળે છે.
\[ e(\vec{v} \times \overrightarrow{\mathrm{B}}) = \frac{mv^2}{r} \]
\[ evB\sin90^\circ = \frac{mv^2}{r} \]
\[ evB = \frac{mv^2}{r} \]
\[ r = \frac{mv}{eB} \]
\[ = \frac{9.1 \times 10^{-31} \times 2.65 \times 10^7}{1.6 \times 10^{-19} \times 0.15} \]
\( \therefore r = 100.479 \times 10^{-5} \text{ m} \)
\( \therefore r \approx 1 \text{ mm} \)
ઇલેક્ટ્રોન ચુંબકીય ક્ષેત્રને લંબરૂપે \( 1 \text{ mm} \) ત્રિજ્યાના વર્તુળાકાર ગતિપથ પર ગતિ કરે છે.
(b) જ્યારે પ્રારંભિક વેગ, ચુંબકીય ક્ષેત્ર \( \overrightarrow{\mathrm{B}} \) સાથે 30° નો ખૂણો બનાવે છે ત્યારે
\( v_\perp = v\sin30^\circ = 2.65 \times 10^7 \times \frac{1}{2} \)
\( \therefore v_\perp = 1.33 \times 10^7 \text{ ms}^{-1} \) અને
\( v_\parallel = v\cos30^\circ = 2.65 \times 10^7 \times 0.866 \)
\( \therefore v_\parallel = 2.294 \times 10^7 \text{ ms}^{-1} \approx 2.3 \times 10^7 \text{ ms}^{-1} \)
હેલિકલ માર્ગની ત્રિજ્યા,
\[ r = \frac{mv_\perp}{Be} \]
\[ \therefore r = \frac{mv\sin30^\circ}{Be} = \frac{9.1 \times 10^{-31} \times 2.65 \times 10^7}{0.15 \times 1.6 \times 10^{-19}} \times \frac{1}{2} \]
\( \therefore r = 0.50 \text{ mm} \)
\( \overrightarrow{\mathrm{B}} \) ની દિશામાં ત્રિજ્યાનો હેલિકલ ગતિપથ અને તેનો વેગ ઘટક \( 2.3 \times 10^7 \text{ ms}^{-1} \) છે.
In simple words: When an electron speeds up due to voltage and enters a magnetic field, its path changes. If it enters straight into the field, it moves in a circle. If it enters at an angle, it moves in a helix (a spiral path).
🎯 Exam Tip: Remember to calculate the velocity of the electron first using the work-energy theorem `\(eV = \frac{1}{2}mv^2\)`. For helical motion, the velocity component perpendicular to `\(B\)` determines the radius, and the component parallel to `\(B\)` determines the pitch.

 

Question 20. હેલ્મહોલ્ટઝ ગૂંચળાઓની મદદથી નાના વિસ્તારમાં 0.75T મૂલ્યનું નિયમિત ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરવામાં આવ્યું છે. આ જ વિસ્તારમાં, ગૂંચળાઓની સામાન્ય અક્ષને લંબરૂપે નિયમિત સ્થિર વિદ્યુતક્ષેત્ર જાળવી રાખવામાં આવે છે. 15kV વડે પ્રવેગિત થયેલ (એક જ પ્રકારના) વિદ્યુતભારિત કણોની એક સાંકડી કિરણાવાલી આ વિસ્તારમાં બંને ગૂંચળાઓની અક્ષ તથા સ્થિર વિદ્યુતક્ષેત્ર બંનેને લંબરૂપે દાખલ થાય છે. જો 9.0 × 10⁵ Vm^-1 જેટલા સ્થિર વિદ્યુતક્ષેત્રમાં આ કિરણાવાલી આવર્તન ન અનુભવે તો વિચારો કે આ કિરણાવલી શાની બનેલી હશે? શા માટે જવાબ અનન્ય નથી ?
Answer:Here, the magnetic field \( B = 0.75 \, \text{T} \), electric field \( E = 9.0 \times 10^5 \, \text{Vm}^{-1} \), and accelerating voltage \( V = 15 \, \text{kV} = 15 \times 10^3 \, \text{V} \). For an undeflected beam (where the charged particles move in a straight line), the velocity \( \upsilon \) of the charged particle is given by the ratio of the electric field to the magnetic field. \[ \upsilon = \frac{E}{B} = \frac{9.0 \times 10^5}{0.75} = 12 \times 10^5 \, \text{ms}^{-1} \] The kinetic energy of the charged particle is gained from the accelerating voltage. \[ \frac{1}{2}m\upsilon^2 = qV \] We can find the charge-to-mass ratio \( \frac{q}{m} \): \[ \frac{q}{m} = \frac{\upsilon^2}{2V} = \frac{(12 \times 10^5)^2}{2 \times 15 \times 10^3} \] \[ = \frac{144 \times 10^{10}}{30 \times 10^3} = \frac{144}{30} \times 10^7 = 4.8 \times 10^7 \, \text{C kg}^{-1} \] This charge-to-mass ratio is approximately equal to that of a proton \( \left( \frac{e}{m_p} = \frac{1.6 \times 10^{-19}}{1.67 \times 10^{-27}} \approx 0.958 \times 10^8 \, \text{C kg}^{-1} \right) \), a deuteron \( \left( \frac{e}{2m_p} \approx 0.479 \times 10^8 \, \text{C kg}^{-1} \right) \), or an alpha particle \( \left( \frac{2e}{4m_p} = \frac{e}{2m_p} \approx 0.479 \times 10^8 \, \text{C kg}^{-1} \right) \). Therefore, the beam could be composed of protons, deuterons, or alpha particles. The answer is not unique because the charge-to-mass ratio is determined, not the charge and mass separately. Different particles can have the same charge-to-mass ratio. For example, a proton has \( \frac{q}{m} \approx 0.958 \times 10^8 \, \text{C kg}^{-1} \). A deuteron (heavy hydrogen nucleus) has \( \frac{q}{m} \approx 0.479 \times 10^8 \, \text{C kg}^{-1} \). The calculated value \( 4.8 \times 10^7 \, \text{C kg}^{-1} \) is approximately \( 0.48 \times 10^8 \, \text{C kg}^{-1} \), which is close to the charge-to-mass ratio of a deuteron.In simple words: When charged particles move straight in electric and magnetic fields, their speed is the electric field strength divided by the magnetic field strength. Using this speed and the voltage that made them move, we can find their charge-to-mass ratio. This ratio tells us what kind of particles they might be, like protons or deuterons, but it doesn't give a single, exact particle type.

🎯 Exam Tip: Remember that for undeflected motion in crossed electric and magnetic fields, \( \upsilon = E/B \). The kinetic energy from acceleration relates to \( qV \). Calculating the charge-to-mass ratio is key to identifying possible particles, but it doesn't uniquely identify them if multiple particles share that ratio.

 

Question 21. 0.45 m લંબાઈ અને 60 g દળનો એક સીધો વાહક સળિયો તેના છેડે બાંધેલા બે તાર વડે સમક્ષિતિજ રીતે લટકાવેલ છે. આ તારોમાં થઈને સળિયામાં 5.0 A જેટલો વિદ્યુતપ્રવાહ વહે છે.
(a) આ વાહક સળિયાને લંબરૂપે કેટલું ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરવું જોઈએ કે જેથી (લટકાવેલ) તારોમાં તણાવ (Tension) શૂન્ય થાય ?
(b) જો ચુંબકીય ક્ષેત્ર એમ જ રહેવા દઈને વિદ્યુતપ્રવાહની દિશા ઊલટાવવામાં આવે તો તારોમાં કુલ ટેન્શન (તણાવ) કેટલું હશે ? (તારોનું દળ અવગણો) \( g = 9.8 \, \text{ms}^{-2} \)
Answer:Here, the length of the conductor \( l = 0.45 \, \text{m} \), mass \( m = 60 \, \text{g} = 0.06 \, \text{kg} \), current \( I = 5.0 \, \text{A} \), and acceleration due to gravity \( g = 9.8 \, \text{ms}^{-2} \).

(a) When the upward magnetic force on the rod balances its weight, the tension in the supporting wires becomes zero. So, Magnetic force = Weight of the rod \( BIL = mg \) (1) Therefore, the magnetic field required is: \[ B = \frac{mg}{Il} = \frac{0.06 \times 9.8}{5 \times 0.45} = \frac{0.588}{2.25} = 0.2613 \, \text{T} \] So, \( B \approx 0.26 \, \text{T} \). The horizontal magnetic field of \( 0.26 \, \text{T} \) perpendicular to the conductor must be in a direction such that, according to Fleming's Left-Hand Rule, the magnetic force acts upwards.

(b) If the magnetic field remains the same, but the direction of the current in the rod is reversed, an additional downward magnetic force will act on the rod. In this case, the total tension in the supporting wires will be: \( T = BIL + mg \) From (1), we know that \( BIL = mg \). So, \( T = mg + mg = 2mg \) \[ T = 2 \times 0.06 \times 9.8 \] \[ T = 1.176 \, \text{N} \]In simple words: For part (a), to make the wires loose, the upward push from the magnetic field must exactly cancel the rod's weight. We calculate the magnetic field needed for this. For part (b), if the current reverses, the magnetic push also reverses to downwards, so the total pull on the wires becomes twice the rod's weight, making the wires tighter.

🎯 Exam Tip: Remember to consider the direction of current and magnetic field to determine the direction of the magnetic force using Fleming's Left-Hand Rule. For equilibrium (zero tension), magnetic force equals weight. If the force direction reverses, it adds to the weight.

 

Question 22. કારની બૅટરીને તેને ચાલુ કરતી મોટર સાથે જોડતા તાર 300 A વિદ્યુતપ્રવાહ વહન કરે છે (થોડાક સમય માટે). આ તાર 70 cm લાંબા હોય અને તેમની વચ્ચેનું અંતર 1.5 cm હોય તો એકમ લંબાઈ દીઠ આ તારો વચ્ચે લાગતું બળ કેટલું હશે ? આ બળ આકર્ષી કે અપાકર્ષી હશે ?
Answer:Here, \( I_1 = I_2 = 300 \, \text{A} \). Distance between wires \( r = 1.5 \, \text{cm} = 1.5 \times 10^{-2} \, \text{m} \). Length of the wires \( L = 70 \, \text{cm} = 0.7 \, \text{m} \). The current flows in opposite directions in the wires connecting the car battery to the starter motor (one wire carries current to the motor, the other carries it back). According to Ampere's law, when currents flow in opposite directions in two parallel wires, they repel each other. The force per unit length \( f \) between two parallel wires carrying currents \( I_1 \) and \( I_2 \) separated by a distance \( r \) is given by: \[ f = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2\pi r} \] Using \( \mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \, \text{Tm/A} \): \[ f = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times 300 \times 300}{2\pi \times 1.5 \times 10^{-2}} \] \[ f = \frac{2 \times 10^{-7} \times 90000}{1.5 \times 10^{-2}} \] \[ f = \frac{180000 \times 10^{-7}}{1.5 \times 10^{-2}} = \frac{1.8 \times 10^{-2}}{1.5 \times 10^{-2}} \] \[ f = 1.2 \, \text{N/m} \] The force is repulsive. The total force on the 70 cm long wire is: \( F = f \times L = 1.2 \times 0.7 \) \( F = 0.84 \, \text{N} \) and it is repulsive. *Note: The calculation in the OCR resulted in 1.2 N/m then 8.4 N, but the calculation has an extra \( 10^4 \) and \( 10^{-5} \) factor in original OCR and then applies to 70cm as 0.7. The calculation provided is \( \frac{4\pi \times 10^{-7} \times 300 \times (-300)}{2\pi \times 1.5 \times 10^{-2}} \) which simplifies to \( \frac{2 \times 10^{-7} \times (-90000)}{1.5 \times 10^{-2}} = -1.2 \text{ N/m} \). The negative sign indicates repulsion. The total force would then be \( 1.2 \text{ N/m} \times 0.7 \text{ m} = 0.84 \text{ N} \). The OCR output has a calculation inconsistency, but the final value of 1.2 N/m is correct for the force per unit length.*In simple words: When two wires carry current in opposite directions, they push each other away (repel). We calculate this pushing force per meter of wire. For these car wires, it's 1.2 Newtons for every meter of wire. Since the wires are 0.7 meters long, the total repulsive force is 0.84 Newtons.

🎯 Exam Tip: Remember that parallel currents attract, and anti-parallel (opposite) currents repel. Use the formula for force per unit length between two parallel conductors. Ensure correct unit conversion for distance and length.

 

Question 23. 10.0 cm ત્રિજ્યાના નળાકાર વિસ્તારમાં 1.5 T જેટલું નિયમિત ચુંબકીય ક્ષેત્ર છે જેની અક્ષ સમાંતર પૂર્વથી પશ્ચિમ તરફ છે. 7.0 A વિદ્યુતપ્રવાહધારિત એક તાર આ વિસ્તારમાંથી ઉત્તરથી દક્ષિણ તરફ પસાર થાય છે. જો,
(a) તાર આ અક્ષને છેદે,
(b) તારને ઉત્તર-દક્ષિણની જગ્યાએ ઉત્તરપૂર્વ-દક્ષિણ પશ્ચિમ દિશા તરફ ફેરવવામાં આવે (લઈ જવામાં આવે).
(c) ઉત્તર-દક્ષિણ દિશામાં રહેલા તારને અક્ષથી 6.0 cm જેટલો નીચે લેવામાં આવે, તો આ પરિસ્થિતિઓમાં તાર પર લાગતા (ચુંબકીય) બળનું મૂલ્ય અને દિશા શું હશે ?
Answer:Here, the magnetic field \( B = 1.5 \, \text{T} \), current \( I = 7.0 \, \text{A} \). The radius of the cylindrical region \( R = 10 \, \text{cm} = 0.1 \, \text{m} \). The magnetic field is along the east-west direction, and the current flows from north to south.

ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र एक बेलनाकार चुंबकीय क्षेत्र को दिखाता है जो पूर्व-पश्चिम दिशा में है. इसमें एक तार उत्तर-दक्षिण दिशा में धारा ले जा रहा है. यह अक्ष पर और अक्ष से नीचे होने पर बल की गणना को समझने में मदद करता है.

(a) The wire passes through the axis (center) of the cylindrical region. The length of the wire inside the cylindrical region is equal to the diameter of the cylindrical region, which is \( 2R = 2 \times 0.1 \, \text{m} = 0.2 \, \text{m} \). The wire is in the North-South direction, and the magnetic field is in the East-West direction. So, the angle \( \theta \) between the current and the magnetic field is \( 90^\circ \). The magnetic force acting on the wire is: \( F = BIL\sin\theta = 1.5 \times 7 \times 0.2 \times \sin90^\circ \) \( F = 1.5 \times 7 \times 0.2 \times 1 = 2.1 \, \text{N} \) According to Fleming's Left-Hand Rule, the force acts vertically upwards.

(b) If the wire is rotated from North-South to North-East-South-West or North-West-South-East, let's say the wire makes an angle \( \theta \) with the magnetic field as shown in the diagram. From the figure, \( l' = \frac{l}{\sin\theta} \), where \( l \) is the effective length perpendicular to the field. The force on the wire is \( F = BIL'\sin\theta = B \times I \times \left(\frac{L}{\sin\theta}\right) \times \sin\theta \) \( F = BIL = 1.5 \times 7 \times 0.2 = 2.1 \, \text{N} \) This force acts vertically downwards. The force is always perpendicular to both current and magnetic field. This is true for any angle between I and B, as long as the current-carrying segment is within the field.

(c) If the wire is moved 6.0 cm below the axis while remaining in the North-South direction, as shown in part (a). The length of the wire in the magnetic field is \( 2x \), where \( x = \sqrt{R^2 - h^2} \). Here, \( R = 10 \, \text{cm} = 0.1 \, \text{m} \) and \( h = 6 \, \text{cm} = 0.06 \, \text{m} \). So, \( x = \sqrt{(0.1)^2 - (0.06)^2} = \sqrt{0.01 - 0.0036} = \sqrt{0.0064} = 0.08 \, \text{m} \). The length of the wire in the field is \( L = 2x = 2 \times 0.08 = 0.16 \, \text{m} \). The angle \( \theta = 90^\circ \). The magnetic force on the wire is: \( F = BIL\sin\theta = 1.5 \times 7 \times 0.16 \times \sin90^\circ \) \( F = 1.5 \times 7 \times 0.16 = 1.68 \, \text{N} \) This force also acts vertically downwards.In simple words: For part (a), a wire cutting through the center of a magnetic field experiences an upward force of 2.1 Newtons. For part (b), if the wire is tilted, the force direction changes but its magnitude remains 2.1 Newtons. For part (c), if the wire is moved below the center, a shorter length of wire is inside the field, so the force is smaller, 1.68 Newtons, and still acts downwards.

🎯 Exam Tip: For magnetic force on a current-carrying wire \( F = BIL\sin\theta \), remember that \( L \) is the length *inside* the magnetic field, and \( \theta \) is the angle between the current direction and the magnetic field. Use Fleming's Left-Hand Rule to determine the force direction.

 

Question 24. 3000 G જેટલું નિયમિત ચુંબકીય ક્ષેત્ર ધન z-અક્ષની દિશામાં ઉત્પન્ન કરેલું છે. 10 cm અને 5 cm બાજુઓવાળા એક લંબચોરસ ગૂંચળામાંથી 12 A વિદ્યુતપ્રવાહ પસાર થાય છે. આકૃતિમાં દર્શાવેલ જુદા જુદા કિસ્સાઓમાં ગૂંચળા પર લાગતું ટોર્ક કેટલું હશે ? દરેક કિસ્સામાં કેટલું બળ લાગતું હશે ? કયો કિસ્સો સ્થાયી સંતુલન દર્શાવે છે ?
Answer:Here, the magnetic field \( B = 3000 \, \text{G} = 3000 \times 10^{-4} \, \text{T} = 0.3 \, \text{T} \). The area of the rectangular loop \( A = 10 \, \text{cm} \times 5 \, \text{cm} = 50 \, \text{cm}^2 = 50 \times 10^{-4} \, \text{m}^2 \). Current \( I = 12 \, \text{A} \). Magnetic dipole moment \( \vec{m} = IA = 12 \times 50 \times 10^{-4} = 0.06 \, \text{Am}^2 \). We can use the right-hand screw rule to find the direction of \( \vec{m} \). The magnetic force on a current loop in a uniform magnetic field is zero. So, the net force in all cases will be zero. We only need to calculate the torque \( \vec{\tau} = \vec{m} \times \vec{B} \).

ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): આ ચિત્રો એક સમાન Z-અક્ષીય ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં વિવિધ દિશાઓમાં રાખવામાં આવેલા લંબચોરસ ગૂંચળા દર્શાવે છે. આ ગૂંચળા પર લાગતા ટોર્કને સમજવા માટે ગૂંચળાના પૃષ્ઠ સદિશ \( \vec{m} \) અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર \( \vec{B} \) વચ્ચેનો સંબંધ દર્શાવવામાં આવે છે.

(a) In this case, the magnetic moment vector \( \vec{m} \) is along the x-axis, so \( \vec{m} = 0.06\hat{i} \, \text{Am}^2 \). The magnetic field is along the z-axis, so \( \vec{B} = 0.3\hat{k} \, \text{T} \). The torque is \( \vec{\tau} = \vec{m} \times \vec{B} = (0.06\hat{i}) \times (0.3\hat{k}) \) \( \vec{\tau} = 0.018 (\hat{i} \times \hat{k}) = 0.018 (-\hat{j}) \, \text{Nm} \) So, the torque is \( -0.018\hat{j} \, \text{Nm} \), which means it's along the negative y-axis. The magnitude is \( 0.018 \, \text{Nm} \).

(b) The setup is similar to (a), so the torque will be the same. \( \vec{m} = 0.06\hat{i} \, \text{Am}^2 \) and \( \vec{B} = 0.3\hat{k} \, \text{T} \). The torque is \( \vec{\tau} = 0.018 (-\hat{j}) \, \text{Nm} \), along the negative y-axis. Magnitude is \( 0.018 \, \text{Nm} \).

(c) The magnetic moment vector \( \vec{m} \) is along the negative y-axis, so \( \vec{m} = -0.06\hat{j} \, \text{Am}^2 \). The magnetic field is along the z-axis, so \( \vec{B} = 0.3\hat{k} \, \text{T} \). The torque is \( \vec{\tau} = \vec{m} \times \vec{B} = (-0.06\hat{j}) \times (0.3\hat{k}) \) \( \vec{\tau} = -0.018 (\hat{j} \times \hat{k}) = -0.018 (\hat{i}) \, \text{Nm} \) So, the torque is \( -0.018\hat{i} \, \text{Nm} \), which means it's along the negative x-axis. Magnitude is \( 0.018 \, \text{Nm} \).

(d) The magnetic moment vector \( \vec{m} \) is at an angle of \( 240^\circ \) with the x-axis in the x-y plane, but the diagram shows it perpendicular to the B field in the x-y plane. If \( \vec{m} \) is in the x-y plane, making \( 90^\circ \) with \( \vec{B} \) (which is along z-axis), then \( \theta = 90^\circ \). So, \( \tau = mB\sin\theta = 0.06 \times 0.3 \times \sin90^\circ = 0.018 \, \text{Nm} \). The direction will be along the x-axis, rotated by \( 240^\circ \) from the positive x-axis. The net force on the loop is zero, but it is not in equilibrium.

(e) The magnetic moment vector \( \vec{m} \) is along the positive z-axis, so \( \vec{m} = 0.06\hat{k} \, \text{Am}^2 \). The magnetic field is along the z-axis, so \( \vec{B} = 0.3\hat{k} \, \text{T} \). The torque is \( \vec{\tau} = \vec{m} \times \vec{B} = (0.06\hat{k}) \times (0.3\hat{k}) = 0 \) (since \( \hat{k} \times \hat{k} = 0 \)). The potential energy is \( U = -\vec{m} \cdot \vec{B} = -(0.06\hat{k}) \cdot (0.3\hat{k}) = -0.018 \, \text{J} \). Since the potential energy is negative (minimum), this is a stable equilibrium condition.

(f) The magnetic moment vector \( \vec{m} \) is along the negative z-axis, so \( \vec{m} = -0.06\hat{k} \, \text{Am}^2 \). The magnetic field is along the z-axis, so \( \vec{B} = 0.3\hat{k} \, \text{T} \). The torque is \( \vec{\tau} = \vec{m} \times \vec{B} = (-0.06\hat{k}) \times (0.3\hat{k}) = 0 \). The potential energy is \( U = -\vec{m} \cdot \vec{B} = -(-0.06\hat{k}) \cdot (0.3\hat{k}) = 0.018 \, \text{J} \). Since the potential energy is positive (maximum), this is an unstable equilibrium condition. The net force on the loop is zero in all cases. Case (e) represents stable equilibrium because the potential energy is at its minimum.In simple words: A loop in a magnetic field feels a turning force called torque, but no net pushing force if the field is uniform. We calculate this turning force for different positions of the loop. If the loop is lined up with the magnetic field (case e), there's no turning force, and it's in a stable position, like a ball at the bottom of a bowl. If it's lined up opposite to the field (case f), there's still no turning force, but it's an unstable position, like a ball on top of a hill.

🎯 Exam Tip: Remember that in a uniform magnetic field, the net force on a closed current loop is zero. Torque is given by \( \vec{\tau} = \vec{m} \times \vec{B} \), and potential energy by \( U = -\vec{m} \cdot \vec{B} \). Stable equilibrium occurs when \( U \) is minimum (i.e., \( \vec{m} \) is parallel to \( \vec{B} \)), and unstable equilibrium when \( U \) is maximum (i.e., \( \vec{m} \) is anti-parallel to \( \vec{B} \)).

 

Question 25. 20 આંટા અને 10 cm ત્રિજ્યા ધરાવતું એક વર્તુળાકાર ગૂંચળું તેનું સમતલ 0.10 T ના નિયમિત ચુંબકીય ક્ષેત્રને લંબરૂપે રહે તે રીતે મૂકેલું છે. જો ગૂંચળામાં 5.0 A વિદ્યુતપ્રવાહ વહેતો હોય, તો
(a) ગૂંચળા પરનું કુલ ટોર્ક,
(b) ગૂંચળા પરનું કુલ બળ,
(c) ચુંબકીય ક્ષેત્રના કારણે ગૂંચળાના તારમાંના દરેક ઇલેક્ટ્રોન પર લાગતું સરેરાશ બળ કેટલું હશે ? (તારમાંથી બનેલું છે, જેના આડછેદનું ક્ષેત્રફળ 10^-5 m² છે અને તાંબા માટે મુક્ત ઇલેક્ટ્રોન ધનતા લગભગ 10²⁹ m^-3 જેટલી આપેલ છે.)
Answer:Here, number of turns \( N = 20 \), radius \( r = 10 \, \text{cm} = 0.1 \, \text{m} \). Magnetic field \( B = 0.10 \, \text{T} \), current \( I = 5.0 \, \text{A} \). The plane of the coil is perpendicular to the magnetic field. This means the area vector (magnetic moment vector) is parallel to the magnetic field. So, the angle \( \theta = 0^\circ \). The area of the coil is \( A = \pi r^2 = \pi (0.1)^2 = 0.01\pi \, \text{m}^2 \).

ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): આ ચિત્ર એક વર્તુળાકાર ગૂંચળાને દર્શાવે છે જેમાં 5A પ્રવાહ વહે છે અને તે એક સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં મૂકેલું છે. ચુંબકીય ક્ષેત્ર B, ગૂંચળાના સમતલને લંબરૂપ છે, એટલે કે ગૂંચળાના ક્ષેત્રફળ સદિશને સમાંતર છે.

(a) The torque on the coil is: \( \tau = NIBA\sin\theta \) Since \( \theta = 0^\circ \), \( \sin0^\circ = 0 \). So, \( \tau = 20 \times 5 \times 0.1 \times 0.01\pi \times 0 = 0 \). The total torque on the loop is zero.

(b) In a uniform magnetic field, the forces on each segment of the coil are equal and opposite, and they cancel each other out. Therefore, the net force on the entire loop is zero.

(c) The average force on each electron due to the magnetic field is given by \( F = q\upsilon_d B\sin\phi \), where \( \upsilon_d \) is the drift velocity and \( \phi \) is the angle between \( \vec{\upsilon_d} \) and \( \vec{B} \). Since the plane of the coil is perpendicular to the magnetic field, the current flow (and hence drift velocity) is perpendicular to the magnetic field, so \( \phi = 90^\circ \), and \( \sin90^\circ = 1 \). The current \( I \) is also given by \( I = nAe\upsilon_d \), where \( n \) is the number of free electrons per unit volume, \( A \) is the cross-sectional area of the wire, and \( e \) is the charge of an electron. From this, the drift velocity \( \upsilon_d = \frac{I}{nAe} \). Given \( n = 10^{29} \, \text{m}^{-3} \), \( A = 10^{-5} \, \text{m}^2 \). \[ \upsilon_d = \frac{5}{10^{29} \times 10^{-5} \times 1.6 \times 10^{-19}} \] \[ \upsilon_d = \frac{5}{1.6 \times 10^5} = 3.125 \times 10^{-5} \, \text{ms}^{-1} \] Now, calculate the force on each electron: \( F = e\upsilon_d B \) \( F = 1.6 \times 10^{-19} \times 3.125 \times 10^{-5} \times 0.1 \) \( F = 5 \times 10^{-25} \, \text{N} \) This is the magnetic force on each electron.In simple words: For part (a), because the loop is flat against the magnetic field, there's no twisting force (torque). For part (b), in a uniform magnetic field, all the tiny forces on the wire cancel out, so there's no overall push or pull on the loop. For part (c), we first find how fast electrons move inside the wire (drift velocity). Then, we use the magnetic field and the electron's charge and speed to find the tiny force on each single electron, which is \( 5 \times 10^{-25} \, \text{Newtons} \).

🎯 Exam Tip: Remember that a coil whose area vector is parallel to a uniform magnetic field experiences zero torque. The net force on a current loop in a uniform field is always zero. For force on a charge, use \( F = qvB\sin\theta \), and relate current to drift velocity using \( I = nAe\upsilon_d \).

 

Question 26. 60 cm લંબાઈ અને 4.0 cm ત્રિજ્યા ધરાવતા સોલેનોઇડમાં દરેક 300 આંટાના હોય તેવા 3 સ્તર વીંટાળ્યા છે. 2.5 g દળ અને 2.0 cm લંબાઈનો એક તાર સોલેનોઇડમાં (તેનાં કેન્દ્ર પાસે) અક્ષને લંબરૂપે રહેલો છે; તાર અને સોલેનોઇડની અક્ષ બંને સમક્ષિતિજ સમતલમાં છે. આ તારને અક્ષને સમાંતર બે છેડાઓ વડે બાહ્ય બૅટરી સાથે જોડેલો છે, જેથી તારમાં 6.0 A વિદ્યુતપ્રવાહ વહે છે. સોલેનોઇડના આંટાઓમાંથી કેટલા મૂલ્યનો પ્રવાહ (વહનની યોગ્ય દિશા સાથે) વહન થવો જોઈએ કે જે તારના વજનને સમતોલે ? \( g = 9.8 \, \text{ms}^{-2} \).
Answer:Here, for the solenoid: Length \( l = 60 \, \text{cm} = 0.6 \, \text{m} \). Radius \( r = 4 \, \text{cm} = 0.04 \, \text{m} \). Number of layers = 3, turns per layer = 300. Total number of turns \( N = 3 \times 300 = 900 \). For the wire: Mass \( m' = 2.5 \, \text{g} = 2.5 \times 10^{-3} \, \text{kg} \). Length \( L' = 2.0 \, \text{cm} = 0.02 \, \text{m} \). Current in the wire \( I' = 6.0 \, \text{A} \). Acceleration due to gravity \( g = 9.8 \, \text{ms}^{-2} \). Let \( I \) be the current flowing through the solenoid. The number of turns per unit length for the solenoid is: \( n = \frac{N}{l} = \frac{900}{0.6} = 1500 \, \text{turns/meter} \). The magnetic field inside the solenoid is given by \( B = \mu_0 nI \). \( B = 4\pi \times 10^{-7} \times 1500 \times I = 6\pi \times 10^{-4} I \, \text{T} \). This magnetic field acts perpendicular to the current-carrying wire, so the magnetic force on the wire is: \( F = BI'L'\sin90^\circ = BI'L' \) \( F = (6\pi \times 10^{-4} I) \times 6 \times 0.02 = 0.72\pi I \times 10^{-4} \, \text{N} \). For the wire to be balanced, the magnetic force must equal its weight: \( F = m'g \) \( 0.72\pi I \times 10^{-4} = m'g \) \( 0.72 \times 3.14 \times I \times 10^{-4} = 2.5 \times 10^{-3} \times 9.8 \) \[ I = \frac{2.5 \times 10^{-3} \times 9.8}{0.72 \times 3.14 \times 10^{-4}} = \frac{0.0245}{2.2608 \times 10^{-4}} \] \[ I = 108.36 \, \text{A} \] So, \( I \approx 108.4 \, \text{A} \). The direction of current in the solenoid should be such that, by Fleming's Left-Hand Rule, the magnetic force on the wire acts upwards, balancing its weight.In simple words: We have a solenoid (a coil) and a wire inside it. We want the magnetic force on the wire to hold it up, canceling its weight. First, we find the magnetic field created by the solenoid. Then, we use this field and the current in the wire to calculate the magnetic force on the wire. We set this force equal to the wire's weight and solve for the current needed in the solenoid. This current is about 108.4 Amperes, and its direction must create an upward force on the wire.

🎯 Exam Tip: Remember the formula for the magnetic field inside a solenoid \( B = \mu_0 nI \). For equilibrium, balance the magnetic force \( F = BIL\sin\theta \) with gravity \( mg \). Be careful with units and conversions (cm to m, g to kg).

 

Question 27. ગૅલ્વેનોમીટરના ગૂંચળાનો અવરોધ 12 \( \Omega \) છે અને 3mA વિદ્યુતપ્રવાહ માટે તે પૂર્ણ સ્કેલનું આવર્તન દર્શાવે છે. આ મીટરને 0 થી 18V ની અવધિના વોલ્ટમીટરમાં તમે કેવી રીતે રૂપાંતરિત કરશો ?
Answer:Here, the galvanometer resistance \( R_g = 12 \, \Omega \). Full-scale deflection current \( I_g = 3 \, \text{mA} = 3 \times 10^{-3} \, \text{A} \). Desired voltage range \( V = 18 \, \text{V} \). To convert a galvanometer into a voltmeter, a high resistance \( R \) is connected in series with it. The formula for this series resistance is: \[ R = \frac{V}{I_g} - R_g \] \[ R = \frac{18}{3 \times 10^{-3}} - 12 \] \[ R = 6000 - 12 \] \[ R = 5988 \, \Omega \] So, to convert the galvanometer into a voltmeter with a range of 0 to 18V, a resistance of \( 5988 \, \Omega \) must be connected in series with it.In simple words: To change a galvanometer into a voltmeter that can measure up to 18 Volts, you need to add a very large resistor in a line with it. This resistor helps the galvanometer handle the higher voltage safely. We calculated that this extra resistor should be 5988 Ohms.

🎯 Exam Tip: Converting a galvanometer to a voltmeter involves adding a high resistance in series. Use the formula \( R = \frac{V}{I_g} - R_g \). Remember to convert current to Amperes for calculations.

 

Question 28. ગૅલ્વેનોમીટરના ગૂંચળાનો અવરોધ 15 \( \Omega \) છે અને 4 mA વિદ્યુતપ્રવાહ માટે તે પૂર્ણ સ્કેલનું આવર્તન દર્શાવે છે. તેને 0 થી 6 A અવધિના એમીટરમાં તમે કેવી રીતે રૂપાંતરિત કરશો ?
Answer:Here, the galvanometer resistance \( R_g = 15 \, \Omega \). Full-scale deflection current \( I_g = 4 \, \text{mA} = 4 \times 10^{-3} \, \text{A} \). Desired current range \( I = 6 \, \text{A} \). To convert a galvanometer into an ammeter, a small resistance called a shunt resistance \( R_s \) is connected in parallel with it. The formula for the shunt resistance is: \[ R_s = \frac{I_g R_g}{I - I_g} \] \[ R_s = \frac{4 \times 10^{-3} \times 15}{6 - (4 \times 10^{-3})} \] \[ R_s = \frac{60 \times 10^{-3}}{6 - 0.004} = \frac{0.06}{5.996} \] \[ R_s = 0.010006 \, \Omega \] So, \( R_s \approx 0.01 \, \Omega \) or \( 10 \, \text{m}\Omega \). To convert the galvanometer into an ammeter with a range of 0 to 6A, a shunt resistance of \( 0.01 \, \Omega \) (or \( 10 \, \text{m}\Omega \)) must be connected in parallel with it.In simple words: To turn a galvanometer into an ammeter that can measure up to 6 Amperes, you need to add a very small resistor, called a shunt, next to it (in parallel). This shunt resistor allows most of the current to bypass the galvanometer, protecting it while still allowing a small part of the current to go through the galvanometer to measure the total current. We found this shunt resistor should be about 0.01 Ohms.

🎯 Exam Tip: Converting a galvanometer to an ammeter requires a low resistance shunt in parallel. Use the formula \( R_s = \frac{I_g R_g}{I - I_g} \). Always convert currents to Amperes for calculations.

 

Multiple Choice Questions (MCQ-I)
In the following questions, only one option is correct.

Question 1. એકસમાન ચુંબકીય ક્ષેત્ર \( \vec{B} = B_0\hat{k} \) માં બે વિદ્યુતભારિત કણો સંપૂર્ણ રીતે પરસ્પર વિરુદ્ધ દિશામાં હોય એવા સમાન સર્પિલાકાર (helical) માર્ગો પર ગતિ કરે છે.
(A) તેમના વેગમાનનાં z-ઘટકો સમાન હોવા જોઈએ.
(B) તેમના વિદ્યુતભારો સમાન હોવા જોઈએ.
(C) તેઓ અનિવાર્યપણે કણ-પ્રતિકણની જોડી રજૂ કરે છે.
(D) વિદ્યુતભાર અને દળ ગુણોત્તર : \( \left(\frac{e}{m}\right)_1 + \left(\frac{e}{m}\right)_2 = 0 \) ને સંતોષે છે.
Answer: (D) વિદ્યુતભાર અને દળ ગુણોત્તર : \( \left(\frac{e}{m}\right)_1 + \left(\frac{e}{m}\right)_2 = 0 \) ને સંતોષે છે.From the characteristics of the helical path of a charged particle in a magnetic field: The pitch P of the helix is given by \( P = \frac{2\pi m\upsilon\cos\theta}{Bq} \). The radius of the helix is given by \( r = \frac{m\upsilon\sin\theta}{Bq} \). Since both particles travel on identical helical paths, their radius \( r \) and pitch \( P \) must be the same. So, for the same B and identical paths, the term \( \frac{m\upsilon\sin\theta}{q} \) and \( \frac{m\upsilon\cos\theta}{q} \) must be the same. This implies that \( \frac{m}{q} \) for both particles must be the same if \( \upsilon \) and \( \theta \) are same, or \( \frac{q}{m} \) for both particles must be proportional to \( \frac{\upsilon\sin\theta}{rB} \) and \( \frac{\upsilon\cos\theta}{PB} \). Given that the particles move in completely opposite directions, their velocities \( \vec{\upsilon_1} \) and \( \vec{\upsilon_2} \) are opposite. Since the paths are identical, their radii and pitches are the same. The magnetic force \( \vec{F} = q(\vec{\upsilon} \times \vec{B}) \). For identical helical paths but opposite directions, the force should be opposite. This implies the charges must be opposite. So, \( q_1 = -q_2 \). Also, for identical paths, the magnitude of the charge-to-mass ratio \( |\frac{q}{m}| \) must be the same. Thus, \( \frac{q_1}{m_1} = - \frac{q_2}{m_2} \).
\( \implies \frac{q_1}{m_1} + \frac{q_2}{m_2} = 0 \) Therefore, option (D) is correct.In simple words: When two charged particles move in the same spiral path but in opposite directions in a magnetic field, it means their charges must be opposite, and their charge-to-mass ratios must be equal in magnitude. So, when you add their charge-to-mass ratios, they should sum to zero.

🎯 Exam Tip: For charged particles moving in identical helical paths in the same magnetic field but in opposite directions, it implies they have opposite charges and the same magnitude of charge-to-mass ratio. Remember the formulas for the radius and pitch of a helical path.

 

Question 2. બાયો-સાવરનો નિયમ સૂચવે છે કે, ગતિશીલ ઇલેક્ટ્રોન (વેગ \( \vec{\upsilon} \)) ચુંબકીય ક્ષેત્ર \( \vec{B} \) ઉત્પન્ન કરે છે, જેવા
(A) \( \vec{B} \perp \vec{\upsilon} \)
(B) \( \vec{B} \parallel \vec{\upsilon} \)
(C) તે વ્યસ્ત ધનના નિયમનું પાલન કરે છે.
(D) તે ઇલેક્ટ્રોન અને અવલોકન બિંદુને જોડતી રેખાની દિશામાં હોય છે.
Answer: (A) \( \vec{B} \perp \vec{\upsilon} \)According to Biot-Savart's law, the magnetic field \( \vec{B} \) produced by a current element \( I\vec{dl} \) at a point is perpendicular to both \( I\vec{dl} \) and the position vector \( \vec{r} \) from the element to the point. For a moving electron, the current element can be represented as \( q\vec{\upsilon} \). So, the magnetic field is perpendicular to the velocity \( \vec{\upsilon} \). Therefore, \( \vec{B} \perp \vec{\upsilon} \). Also, according to the right-hand rule, the magnetic field is perpendicular to the direction of current \( I\vec{dl} \). Thus, \( \vec{B} \perp \vec{\upsilon} \).In simple words: Biot-Savart's law states that a moving electron creates a magnetic field. This magnetic field is always at a right angle (perpendicular) to the direction the electron is moving.

🎯 Exam Tip: Remember Biot-Savart's law. The magnetic field \( d\vec{B} \) due to a current element \( I d\vec{l} \) is proportional to \( I d\vec{l} \times \vec{r} \). This cross product inherently means \( d\vec{B} \) is perpendicular to both \( d\vec{l} \) (or velocity \( \vec{\upsilon} \) for a point charge) and \( \vec{r} \).

 

Question 3. R ત્રિજ્યાની પ્રવાહધારિત વર્તુળાકાર લૂપ x – y સમતલમાં એવી રીતે મૂકી છે કે તેનું કેન્દ્ર ઊગમબિંદુ પર હોય. હવે x > 0 માટે લૂપનો અડધો ભાગ એવી રીતે વાળવામાં આવે છે કે તે ભાગ y – z સમતલમાં રહે
(A) ચુંબકીય ચાકમાત્રાનું મૂલ્ય હવે ઘટી જશે.
(B) ચુંબકીય ચાકમાત્રા બદલાતી નથી.
(C) (0. 0. z), z >> R પાસે \( \vec{B} \) નું મૂલ્ય વધી જશે.
(D) (0. 0. z), z >> R પાસે \( \vec{B} \) નું મૂલ્ય ઘટતું નથી.
Answer: (A) ચુંબકીય ચાકમાત્રાનું મૂલ્ય હવે ઘટી જશે.ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): આ ચિત્ર એક વર્તુળાકાર લૂપને દર્શાવે છે જે શરૂઆતમાં xy-સમતલમાં છે, અને પછી તેનો x>0 વાળો અડધો ભાગ yz-સમતલમાં વાળી દેવામાં આવે છે. આનાથી ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટની દિશા અને મૂલ્ય કેવી રીતે બદલાય છે તે સમજાવી શકાય.

Initially, the current-carrying ring is in the xy-plane. Its magnetic dipole moment vector \( \vec{M} \) is along the z-axis. The magnitude is \( M = IA = I(\pi R^2) \). Now, as per the problem, half of the loop (for x > 0) is bent into the yz-plane. Let's consider the magnetic moment for each half. The magnetic moment for each half-ring is \( M' = I \pi \left(\frac{R}{2}\right)^2 \) - *Correction: The area of a semicircle is \( \frac{1}{2}\pi R^2 \). If \( R \) is the radius of the full circle, then for each half, it's \( M' = I \times \frac{1}{2}\pi R^2 \).* Let's re-evaluate the area for a half-ring of radius R. For the half-ring remaining in the xy-plane (x < 0), its area vector is \( \vec{A}_{xy} = \frac{1}{2}\pi R^2 (-\hat{k}) \). So, its magnetic moment is \( \vec{M}_{xy} = I\vec{A}_{xy} = \frac{1}{2}I\pi R^2 (-\hat{k}) \). For the half-ring bent into the yz-plane (x > 0), its area vector is \( \vec{A}_{yz} = \frac{1}{2}\pi R^2 (\hat{i}) \). So, its magnetic moment is \( \vec{M}_{yz} = I\vec{A}_{yz} = \frac{1}{2}I\pi R^2 (\hat{i}) \). The total magnetic moment is the vector sum: \( \vec{M}_{net} = \vec{M}_{xy} + \vec{M}_{yz} = \frac{1}{2}I\pi R^2 (\hat{i} - \hat{k}) \). The magnitude of the net magnetic moment is: \[ M_{net} = \left| \frac{1}{2}I\pi R^2 (\hat{i} - \hat{k}) \right| = \frac{1}{2}I\pi R^2 \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \frac{1}{2}I\pi R^2 \sqrt{2} \] \[ M_{net} = \frac{\sqrt{2}}{2} I\pi R^2 \] Since \( M_{initial} = I\pi R^2 \), we have \( M_{net} = \frac{\sqrt{2}}{2} M_{initial} \). Since \( \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0.707 \), which is less than 1, the magnitude of the magnetic moment decreases. Therefore, option (A) is correct.In simple words: When you bend half of a circular wire loop, its magnetic strength (magnetic moment) becomes smaller. This is because the two halves, even though they still carry current, now have their magnetic effects pointing in different directions, and they don't add up as strongly as when they were both flat in one plane.

🎯 Exam Tip: Remember that magnetic moment is a vector quantity \( \vec{m} = I\vec{A} \). When a loop is bent, its total magnetic moment is the vector sum of the moments of its parts. If the parts are perpendicular, the magnitude will be \( \sqrt{M_1^2 + M_2^2} \), usually resulting in a decrease from the original planar value.

 

Question 4. એક ઇલેક્ટ્રોનને પ્રવાહધારિત લાંબા સોલેનોઇડની અક્ષ પર અચળ વેગથી પ્રક્ષેપિત કરવામાં આવે છે. નીચેનામાંથી કયું વિધાન સત્ય છે ?
(A) ઇલેક્ટ્રોન અક્ષની દિશામાં પ્રવેગિત થશે.
(B) ઇલેક્ટ્રોનનો માર્ગ અક્ષને અનુલક્ષીને વર્તુળાકાર હશે.
(C) ઇલેક્ટ્રોન અક્ષ સાથે 45°ના ખૂણે બળ અનુભવશે અને તેથી હેલિકલ (સ્પાઇરલ) માર્ગે ગતિ કરશે.
(D) સૉલેનોઇડની અક્ષ પર ઇલેક્ટ્રોન અચળવેગથી ગતિ ચાલુ રાખશે.
Answer: (D) સૉલેનોઇડની અક્ષ પર ઇલેક્ટ્રોન અચળવેગથી ગતિ ચાલુ રાખશે.ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): આ ચિત્ર એક લાંબા સોલેનોઇડની અક્ષને દર્શાવે છે. ઇલેક્ટ્રોન સોલેનોઇડની અક્ષ સાથે સમાંતર રીતે ગતિ કરે છે. આ ગોઠવણી ઇલેક્ટ્રોન પર લાગતા ચુંબકીય બળને સમજવામાં મદદ કરે છે.

Inside a current-carrying solenoid, the magnetic field \( \vec{B} \) is uniform and directed along the axis of the solenoid. When an electron is projected along the axis of the solenoid, its velocity \( \vec{\upsilon} \) is parallel to the magnetic field \( \vec{B} \). The magnetic force on the electron is \( \vec{F} = q(\vec{\upsilon} \times \vec{B}) \). Since \( \vec{\upsilon} \) is parallel to \( \vec{B} \), the angle \( \theta \) between them is \( 0^\circ \). So, \( F = q\upsilon B\sin0^\circ = 0 \). Thus, no magnetic force acts on the electron. According to Newton's first law of motion, if no force acts on an object, it continues to move with constant velocity. Therefore, the electron will continue to move with a constant velocity along the axis of the solenoid. Option (D) is correct.In simple words: Inside a long solenoid, the magnetic field is straight and points along its center. If an electron moves exactly along this center line, it travels in the same direction as the magnetic field. Because of this, the magnetic force on the electron is zero, so it keeps moving at a steady speed without changing direction.

🎯 Exam Tip: Remember that the magnetic force \( F = qvB\sin\theta \) is zero when the velocity of the charged particle is parallel or anti-parallel to the magnetic field. This is a common concept for understanding particle motion in magnetic fields.

 

Question 5. સાઇક્લોટ્રોનમાં, કોઈ વિદ્યુતભારિત કણ
(A) સતત પ્રવેગિત થશે.
(B) ની ચુંબકીય ક્ષેત્રને કારણે ‘D’ વચ્ચેના અવકાશમાં ઝડપ વધે છે.
(C) ની ‘D’ માં ઝડપ વધે છે.
(D) ‘D’ માં ઝડપ ઘટે છે અને ‘D’ વચ્ચેના અવકાશમાં ઝડપ વધે છે.
Answer: (A) સતત પ્રવેગિત થશે.In a cyclotron, a charged particle is continuously accelerated due to two main reasons: (i) Between the two 'Dees' (D-shaped electrodes), there is an oscillating electric field. The particle gains energy and its speed increases as it crosses this gap, hence it is accelerated. (ii) Inside the 'Dees', there is a uniform magnetic field perpendicular to the particle's velocity. This magnetic field makes the particle move in a circular path. Although the magnitude of the velocity (speed) remains constant inside the Dees, its direction continuously changes, which means the velocity vector changes. Since acceleration is the rate of change of velocity, the particle is continuously accelerated even inside the Dees due to the change in direction of its velocity. Therefore, a charged particle in a cyclotron is continuously accelerated. Option (A) is correct.In simple words: In a cyclotron, a charged particle is always speeding up. This happens because electric forces push it faster when it crosses a gap, and magnetic forces keep bending its path in a circle. Even when moving in a circle, the change in direction means it's always accelerating.

🎯 Exam Tip: Understand that acceleration is a change in either speed or direction. In a cyclotron, particles gain speed in the electric field between the Dees and experience centripetal acceleration due to the magnetic field within the Dees, meaning they are *always* accelerating.

 

Question 6. \( \vec{M} \) ચુંબકીય ચાકમાત્રા ધરાવતી પ્રવાહધારિત વર્તુળાકાર લૂપને બાહ્ય ચુંબકીય ક્ષેત્ર \( \vec{B} \) માં યાદૈચ્છિક રીતે ગોઠવેલ છે. લૂપને તેના સમતલને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને 30° નું ભ્રમણ કરાવવા માટે કરવું પડતું કાર્ય
(A) MB
(B) \( \frac{\sqrt{3}\mathrm{MB}}{2} \)
(C) \( \frac{\mathrm{MB}}{2} \)
(D) શૂન્ય
Answer: (D) શૂન્યℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): આ ચિત્ર એક વર્તુળાકાર લૂપને દર્શાવે છે જેમાં ચુંબકીય ચાકમાત્રા \( \vec{M} \) છે અને તે એક બાહ્ય ચુંબકીય ક્ષેત્ર \( \vec{B} \) માં મૂકેલી છે. લૂપને તેના સમતલને લંબ અક્ષની આસપાસ ભ્રમણ કરાવવામાં આવે છે.

The work done in rotating a current-carrying loop in a magnetic field is given by \( W = U_f - U_i = (-\vec{M} \cdot \vec{B})_f - (-\vec{M} \cdot \vec{B})_i \). \( W = -MB(\cos\theta_f - \cos\theta_i) \). If the loop is rotated about an axis perpendicular to its plane, its magnetic moment vector \( \vec{M} \) does not change its angle with the magnetic field \( \vec{B} \). This means the initial angle \( \theta_i \) and final angle \( \theta_f \) between \( \vec{M} \) and \( \vec{B} \) remain the same. So, \( \theta_i = \theta_f \). Therefore, the work done \( W = -MB(\cos\theta_i - \cos\theta_i) = 0 \). The work done is zero. Option (D) is correct.In simple words: When a current loop is spun around an axis that goes straight through its flat surface, the angle between its magnetic "face" and the outside magnetic field does not change. Since the twisting force (torque) depends on this angle, and the angle isn't changing relative to the field, no work is needed to spin it this way.

🎯 Exam Tip: The work done to rotate a magnetic dipole in a magnetic field depends on the change in its potential energy, which is \( -MB\cos\theta \). If the rotation axis is parallel to the magnetic moment vector (i.e., perpendicular to the loop's plane), the angle \( \theta \) between \( \vec{M} \) and \( \vec{B} \) does not change, so the work done is zero.

 

Multiple Choice Questions (MCQ-II)
In the following questions, one or more options may be correct:

Question 1. બોહ્ર મોડેલ અનુસાર H-પરમાણુમાં ઇલેક્ટ્રોન માટે ગાયરોમૅગ્નેટિક રેશિયો
(A) તે કઈ કક્ષામાં છે તેના પર આધારિત નથી.
(B) ઋણ છે.
(C) \( \propto n \)
(D) ક્વૉન્ટમ નંબર \( n \) સાથે વધે છે.
Answer: (A, B)The gyromagnetic ratio \( \mu_l \) for an electron is defined as the ratio of its magnetic moment \( \mu_e \) to its orbital angular momentum \( L_e \). For an electron revolving in an orbit, its magnetic moment is \( \mu_e = \frac{e\upsilon r}{2} \). Its orbital angular momentum is \( L_e = m_e\upsilon r \). So, the gyromagnetic ratio \( \frac{\mu_e}{L_e} = \frac{e\upsilon r / 2}{m_e\upsilon r} = \frac{e}{2m_e} \). The gyromagnetic ratio is actually \( \frac{\mu_e}{L_e} = -\frac{e}{2m_e} \) (the negative sign indicates that the magnetic moment is opposite to the angular momentum due to the negative charge of the electron). Thus, \( \frac{\mu_e}{L_e} = -\frac{e}{2m_e} \). This ratio depends only on the charge \( e \) and mass \( m_e \) of the electron, which are fundamental constants. It does not depend on the velocity \( \upsilon \) or radius \( r \) of the electron's orbit, nor on the quantum number \( n \). Also, due to the negative charge of the electron, the gyromagnetic ratio is negative. Therefore, options (A) and (B) are correct.In simple words: For an electron in a hydrogen atom, the gyromagnetic ratio tells us how its magnetic strength relates to its spin. This ratio is a fixed value that depends only on the electron's charge and mass, so it doesn't change with the electron's orbit or speed. Also, because the electron is negatively charged, this ratio is negative.

🎯 Exam Tip: Remember the definition of the gyromagnetic ratio \( \frac{\mu_e}{L_e} = -\frac{e}{2m_e} \). It is a fundamental constant for an electron and independent of orbital parameters like radius or quantum number, and its negative sign is due to the electron's negative charge.

 

Question 2. એક સ્થાયી પ્રવાહધારિત તાર વિચારો કે, જે તેની લંબાઈને લંબ સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્ર \( \vec{B} \) માં મૂકેલ છે. તારમાં રહેલા વિદ્યુતભારો ધ્યાનમાં લો. એ જ્ઞાત છે કે ચુંબકીય બળ કોઈ કાર્ય કરતું નથી. આ સૂચવે છે કે,
(A) વાહકની અંદર વિદ્યુતભારોની ગતિ \( \vec{B} \) દ્વારા પ્રભાવિત (અસરગ્રસ્ત) થતી નથી, કારણ કે તે ઊર્જાનું શોષણ કરતા નથી.
(B) \( \vec{B} \) ના કારણે તારની અંદરથી વહેતા વિદ્યુતભારો સપાટી તરફ ખેંચાઈ જાય છે.
(C) જો તાર \( \vec{B} \) ની અસર હેઠળ ગતિ કરે તો, બળ દ્વારા કોઈ કાર્ય થતું નથી.
(D) જો તાર \( \vec{B} \) ની અસર હેઠળ ગતિ કરે તો, ચુંબકીય બળ દ્વારા આયનો સ્થિર માનવામાં આવે છે, તેમની ઉપર કોઈ કાર્ય થતું નથી.
Answer: (B, D)It is given that a current-carrying wire is placed in a uniform magnetic field \( \vec{B} \) perpendicular to its length. The magnetic force on the current element \( I\vec{dl} \) is \( \vec{F} = I(\vec{dl} \times \vec{B}) \). Since \( \vec{dl} \perp \vec{B} \), the force \( F = BIL \). The direction of this force is perpendicular to both \( \vec{dl} \) and \( \vec{B} \), as per Fleming's Left-Hand Rule. The magnetic force on a charged particle is \( \vec{F}_m = q(\vec{\upsilon} \times \vec{B}) \). The work done by this force is \( dW = \vec{F}_m \cdot d\vec{l} \). Since \( \vec{F}_m \) is always perpendicular to \( \vec{\upsilon} \) (and thus to \( d\vec{l} \)), the work done by the magnetic force is always zero. \( W = 0 \). This means magnetic force does not change the kinetic energy of the particles. However, this force can change the direction of motion. In a current-carrying wire, the free electrons are constantly moving. The magnetic force on these moving electrons (Lorentz force) will push them towards one side of the conductor. This is known as the Hall effect. This accumulation of charge at the surface creates an electric field that balances the magnetic force, preventing further sideways movement of charge. So, option (B) is correct. The metallic ions (the lattice structure) are considered fixed in the conductor. Since they are stationary, \( \vec{\upsilon} = 0 \), and thus the magnetic force on them \( \vec{F}_m = q(0 \times \vec{B}) = 0 \). Therefore, no work is done on the ions by the magnetic force. So, option (D) is correct. Option (A) is incorrect because the motion of charges *is* affected (changed direction) by \( \vec{B} \), even if no energy is absorbed. Option (C) is a consequence of the magnetic force doing no work on the *moving charges*, not necessarily on the wire's motion in general.In simple words: When a wire with current is in a magnetic field, the magnetic force doesn't do any work, meaning it doesn't add or remove energy. However, it does push the moving electrons to one side of the wire, like pushing water to the side of a river (option B). Also, the atoms that form the wire's structure don't move, so the magnetic field doesn't push them at all (option D).

🎯 Exam Tip: Remember that the magnetic force \( \vec{F}_m = q(\vec{\upsilon} \times \vec{B}) \) is always perpendicular to the velocity \( \vec{\upsilon} \), so it does no work on a charged particle. This force can cause the Hall effect (charges drifting to surfaces) and does not affect stationary ions in a conductor.

 

Question 3. બે સમાન પ્રવાહધારિત સમાક્ષી લૂપોમાં, વિરુદ્ધ દિશાઓમાં પ્રવાહ \( I \) વહે છે. એક સરળ ઍમ્પિરિયન લૂપ બંનેમાંથી એક વખત પસાર થાય છે. આ લૂપને C કહીએ, તો
(A) \( \oint_C \vec{B} \cdot \vec{dl} = \pm 2\mu_0 I \)
(B) \( \oint_C \vec{B} \cdot \vec{dl} \) નું મૂલ્ય C ની પસંદગીથી સ્વતંત્ર છે.
(C) C ઉપર કોઈ એવું બિંદુ હોઈ શકે છે, જ્યાં \( \vec{B} \) અને \( \vec{dl} \) સમાંતર હશે.
(D) C ના દરેક બિંદુ પર \( \vec{B} \) (શૂન્ય બને) છે.
Answer: (B, C)Two identical coaxial loops carry equal currents \( I \) in opposite directions. According to Ampere's circuital law, \( \oint_C \vec{B} \cdot \vec{dl} = \mu_0 \Sigma I \), where \( \Sigma I \) is the net current enclosed by the Amperean loop C. Since the Amperean loop C passes through *one* of the two loops (which carry currents in opposite directions), let's assume it encloses only one current \( I \). Then, \( \oint_C \vec{B} \cdot \vec{dl} = \mu_0 I \). If the Amperean loop C encloses both loops, and the currents are equal and opposite, then the net enclosed current is \( I - I = 0 \). In this case, \( \oint_C \vec{B} \cdot \vec{dl} = 0 \). Option (A) is incorrect because \( \Sigma I \) is \( I \) or \( 0 \), not \( \pm 2I \). Option (B): The value of \( \oint_C \vec{B} \cdot \vec{dl} \) only depends on the net current enclosed by the loop C, not on the shape or specific path of C. So, if C encloses the same net current, its value will be independent of the choice of C. This is a property of Ampere's law. So, option (B) is correct. Option (D) is incorrect. Even if \( \oint_C \vec{B} \cdot \vec{dl} = 0 \) (when both currents are enclosed), it does not mean that \( \vec{B} \) is zero at every point on C. It just means the line integral of \( \vec{B} \) around C is zero. There could be non-zero magnetic fields that cancel out when integrated. Option (C): If \( \oint_C \vec{B} \cdot \vec{dl} = 0 \) (e.g., if C encloses both loops), it's possible that at some points, \( \vec{B} \) and \( \vec{dl} \) are perpendicular, making \( \vec{B} \cdot \vec{dl} = 0 \). It's also possible that \( \vec{B} \) itself is zero at some points. However, the statement says "where \( \vec{B} \) and \( \vec{dl} \) are parallel," which implies \( \vec{B} \cdot \vec{dl} = B dl \). For the total integral to be zero, there must be parts where \( \vec{B} \cdot \vec{dl} \) is positive and parts where it's negative, or points where \( \vec{B} \) is zero, or points where \( \vec{B} \) is perpendicular to \( \vec{dl} \). The current loops create a complex magnetic field pattern. It is possible that at some point, \( \vec{B} \) could be parallel to \( \vec{dl} \). Considering the field patterns for two coaxial loops with opposite currents, there would be points where \( \vec{B} \) is perpendicular to the plane of the loops, and if the Amperean loop is in that plane, \( \vec{B} \cdot \vec{dl} \) could be zero or parallel if \( \vec{B} \) lines bend. A more robust interpretation is that there could be points where \( \vec{B} \) is perpendicular to \( \vec{dl} \), making \( \vec{B} \cdot \vec{dl} = 0 \). Thus, option (C) is often interpreted as possible.In simple words: When two coils carry current in opposite directions, the total magnetic effect depends on how many currents the imaginary loop (Amperean loop) surrounds. The total magnetic effect around this loop depends only on the currents inside, not the loop's exact shape (option B). It's also possible that at some spots on this imaginary loop, the magnetic field is perfectly lined up with the path of the loop (option C).

🎯 Exam Tip: Ampere's Law \( \oint \vec{B} \cdot \vec{dl} = \mu_0 I_{enc} \) implies that the line integral depends only on the net enclosed current, not the path. A zero integral does not mean zero field everywhere, but it could mean the field is zero or perpendicular at certain points, or that contributions cancel out.

 

Question 4. અવકાશનો કોઈ સમઘન વિભાગ કેટલાક સમાન વિદ્યુત અને ચુંબકીય ક્ષેત્રોથી ભરેલો છે. આ સમઘનની કોઈ એક સપાટીને લંબરૂપે એક ઇલેક્ટ્રોન \( +\upsilon \) વેગથી સમઘનમાં દાખલ થાય છે અને આ સમતલથી વિરુદ્ધ સમતલમાંથી પોઝિટ્રોન \( -\upsilon \) વેગથી દાખલ થાય છે. આ ક્ષણે
(A) બંને કણો પર વિદ્યુત બળોને લીધે સમાન પ્રવેગ ઉત્પન્ન થશે.
(B) બંને કણો પર ચુંબકીય બળોને લીધે સમાન પ્રવેગ ઉત્પન્ન થશે.
(C) બંને કણો સમાન દરથી ઊર્જા મેળવશે અથવા ગુમાવશે.
(D) દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર (CM) ની ગતિ ફક્ત \( \vec{B} \) દ્વારા નક્કી થાય છે.
Answer: (B, C, D)Let the electric field be \( \vec{E} \) and the magnetic field be \( \vec{B} \). An electron (charge \( -e \)) enters with velocity \( +\vec{\upsilon} \). A positron (charge \( +e \)) enters with velocity \( -\vec{\upsilon} \) (opposite to the electron's velocity). The force on a charged particle is given by the Lorentz force: \( \vec{F} = q\vec{E} + q(\vec{\upsilon} \times \vec{B}) \). For the electron: \( \vec{F}_e = -e\vec{E} - e(\vec{\upsilon} \times \vec{B}) \). For the positron: \( \vec{F}_p = +e\vec{E} + e(-\vec{\upsilon} \times \vec{B}) = +e\vec{E} - e(\vec{\upsilon} \times \vec{B}) \). Now let's analyze the options:
(A) **Electric forces and acceleration:** The electric force on the electron is \( \vec{F}_{Ee} = -e\vec{E} \). The electric force on the positron is \( \vec{F}_{Ep} = +e\vec{E} \). These forces are equal in magnitude but opposite in direction. So, the accelerations due to the electric field are \( \vec{a}_{Ee} = \frac{-e\vec{E}}{m} \) and \( \vec{a}_{Ep} = \frac{+e\vec{E}}{m} \). These accelerations are not the same (they are opposite in direction). Thus, (A) is incorrect.
(B) **Magnetic forces and acceleration:** The magnetic force on the electron is \( \vec{F}_{Me} = -e(\vec{\upsilon} \times \vec{B}) \). The magnetic force on the positron is \( \vec{F}_{Mp} = +e(-\vec{\upsilon} \times \vec{B}) = -e(\vec{\upsilon} \times \vec{B}) \). The magnetic forces on both particles are identical: \( \vec{F}_{Me} = \vec{F}_{Mp} = -e(\vec{\upsilon} \times \vec{B}) \). Since their masses are also identical (electron and positron are antiparticles), their accelerations due to the magnetic field will be the same. So, (B) is correct.
(C) **Energy change:** The rate of change of energy (power) for a charged particle is \( P = \vec{F} \cdot \vec{\upsilon} = (q\vec{E} + q(\vec{\upsilon} \times \vec{B})) \cdot \vec{\upsilon} \). Since \( (\vec{\upsilon} \times \vec{B}) \) is always perpendicular to \( \vec{\upsilon} \), the term \( q(\vec{\upsilon} \times \vec{B}) \cdot \vec{\upsilon} = 0 \). So, \( P = q\vec{E} \cdot \vec{\upsilon} \). For the electron: \( P_e = (-e)\vec{E} \cdot (+\vec{\upsilon}) = -e(\vec{E} \cdot \vec{\upsilon}) \). For the positron: \( P_p = (+e)\vec{E} \cdot (-\vec{\upsilon}) = -e(\vec{E} \cdot \vec{\upsilon}) \). Both particles gain or lose energy at the same rate. So, (C) is correct.
(D) **Motion of the center of mass (CM):** The acceleration of the center of mass \( \vec{a}_{CM} = \frac{\vec{F}_{net}}{2m} \), where \( \vec{F}_{net} = \vec{F}_e + \vec{F}_p \). \( \vec{F}_{net} = (-e\vec{E} - e(\vec{\upsilon} \times \vec{B})) + (+e\vec{E} - e(\vec{\upsilon} \times \vec{B})) \) \( \vec{F}_{net} = -2e(\vec{\upsilon} \times \vec{B}) \). So, \( \vec{a}_{CM} = \frac{-2e(\vec{\upsilon} \times \vec{B})}{2m} = -\frac{e}{m}(\vec{\upsilon} \times \vec{B}) \). This acceleration depends only on the magnetic field \( \vec{B} \) and the common velocity \( \vec{\upsilon} \). The electric field term cancels out for the center of mass. So, the motion of the center of mass is determined solely by \( \vec{B} \). Thus, (D) is correct.In simple words: When an electron and a positron enter a space with both electric and magnetic fields, they experience forces. The magnetic forces on them are identical in strength and direction (option B). Both particles gain or lose energy at the same rate due to the electric field (option C). The overall movement of their combined center point (center of mass) is only influenced by the magnetic field, because the electric forces on the electron and positron cancel each other out (option D).

🎯 Exam Tip: When dealing with particle-antiparticle pairs, remember they have equal mass and opposite charge. Magnetic force is velocity-dependent and does no work. Electric force is charge-dependent and can do work. For the center of mass, forces that are equal and opposite on the individual particles (like the electric force here) will cancel out, simplifying the net force calculation.

બહુવિકલ્પ પ્રશ્નોત્તર (MCQ-II)

 

Question 5. એક વિસ્તારમાં વિદ્યુતભારિત કણ સતત એકસરખી ઝડપથી આગળ વધે છે. નીચે આપેલા કયા સંજોગોમાં આ શક્ય છે?

(A) \( \overrightarrow{\mathrm{E}} = 0, \overrightarrow{\mathrm{B}} ≠ 0 \)
(B) \( \overrightarrow{\mathrm{E}} ≠ 0, \overrightarrow{\mathrm{B}} ≠ 0 \)
(C) \( \overrightarrow{\mathrm{E}} ≠ 0, \overrightarrow{\mathrm{B}} = 0 \)
(D) \( \overrightarrow{\mathrm{E}} = 0, \overrightarrow{\mathrm{B}} = 0 \)
Answer: (A, B, D)
જો કોઈ વિદ્યુતભારિત કણ એકસરખા વેગથી ગતિ કરતો હોય, તો તેના પર લાગતું કુલ બળ શૂન્ય હોવું જોઈએ. વિદ્યુતભાર પર લાગતું બળ વિદ્યુતક્ષેત્ર \(\overrightarrow{\mathrm{F}_{\mathrm{E}}}=q \overrightarrow{\mathrm{E}}\) અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર \(\overrightarrow{\mathrm{F}_{\mathrm{m}}}=q(\vec{v} \times \overrightarrow{\mathrm{B}})\) વડે મળે છે.
જો વિદ્યુતક્ષેત્ર \(\overrightarrow{\mathrm{E}} = 0\) હોય, તો વિદ્યુતબળ \(F_E = 0\). આ સ્થિતિમાં, જો કણનો વેગ ચુંબકીય ક્ષેત્ર \(\overrightarrow{\mathrm{B}}\) ને સમાંતર હોય (\(\theta = 0^\circ\) અથવા \(180^\circ\)), તો ચુંબકીય બળ \(F_m = 0\) થશે. આમ, જો \( \overrightarrow{\mathrm{E}} = 0 \) અને \( \overrightarrow{\mathrm{B}} ≠ 0 \) હોય, અને કણનો વેગ \(\overrightarrow{\mathrm{B}}\) ને સમાંતર હોય, તો કણ સ્થિર વેગથી ગતિ કરશે. આથી વિકલ્પ (A) સાચો છે.
જો વિદ્યુતક્ષેત્ર \(\overrightarrow{\mathrm{E}} = 0\) અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર \(\overrightarrow{\mathrm{B}} = 0\) બંને શૂન્ય હોય, તો કણ પર કોઈ બળ લાગશે નહીં, તેથી તે સ્થિર વેગથી ગતિ કરશે. આથી વિકલ્પ (D) સાચો છે.
જો વિદ્યુતક્ષેત્ર \(\overrightarrow{\mathrm{E}} ≠ 0\) અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર \(\overrightarrow{\mathrm{B}} ≠ 0\) હોય, તો પણ કણ સ્થિર વેગથી ગતિ કરી શકે છે. આ ત્યારે થાય છે જ્યારે વિદ્યુતબળ અને ચુંબકીય બળ પરસ્પર વિરુદ્ધ દિશામાં હોય અને તેમનું મૂલ્ય સમાન હોય, જેથી ચોખ્ખું બળ શૂન્ય બને. આ ગોઠવણીને "વેલોસિટી સિલેક્ટર" માં જોઈ શકાય છે. આથી વિકલ્પ (B) પણ સાચો છે.
જો વિદ્યુતક્ષેત્ર \(\overrightarrow{\mathrm{E}} ≠ 0\) અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર \(\overrightarrow{\mathrm{B}} = 0\) હોય, તો કણ પર ફક્ત વિદ્યુતબળ \(q\overrightarrow{\mathrm{E}}\) લાગશે. જો \(\overrightarrow{\mathrm{E}}\) શૂન્ય ન હોય, તો કણ પ્રવેગિત થશે અને તેનો વેગ સ્થિર રહેશે નહીં. આથી વિકલ્પ (C) ખોટો છે.
In simple words: એક કણ સ્થિર વેગથી આગળ વધશે જો તેના પર લાગતું કુલ બળ શૂન્ય હોય. આ ત્યારે થાય છે જ્યારે વિદ્યુત અને ચુંબકીય બળો કાં તો ગેરહાજર હોય અથવા એકબીજાને બરાબર રદ કરતા હોય.

🎯 Exam Tip: આવા પ્રશ્નોમાં, વિદ્યુત અને ચુંબકીય બળોના સંયોજનને કારણે કણની ગતિ સમજવી મહત્વપૂર્ણ છે. વેલોસિટી સિલેક્ટરનો ખ્યાલ યાદ રાખવાથી આવા MCQs ઉકેલવામાં મદદ મળે છે.

 

અતિટૂંક જવાબી પ્રશ્નો (VSA)

 

Question 1. સાઇક્લોટ્રોનની આવૃત્તિ \( \omega = \frac{e \mathrm{~B}}{m} \) નું સાચું પરિમાણ \( [\mathrm{T}]^{-1} \) છે તે ચકાસો.

Answer:
જ્યારે વિદ્યુતભારિત કણ ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં કાટખૂણે દાખલ થાય છે, ત્યારે ચુંબકીય બળ તેને જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે.
\[ \frac{m v^2}{R} = qvB \]
\[ \implies \frac{m v}{R} = qB \]
આપણને ખબર છે કે વેગ \( v = \omega R \) અને \( q = e \) છે, જ્યાં \( e \) ઇલેક્ટ્રોનનો વિદ્યુતભાર છે.
\[ \implies \frac{m (\omega R)}{R} = eB \]
\[ \implies m \omega = eB \]
\[ \implies \omega = \frac{e B}{m} \]
હવે, આપણે \( \omega \) નું પારિમાણિક સૂત્ર શોધીએ:
\[ [e] = [\mathrm{IT}] \] (વિદ્યુતભારનું પારિમાણિક સૂત્ર)
\[ [B] = [\frac{F}{IL}] = [\frac{MLT^{-2}}{ITL}] = [\mathrm{MT}^{-2}\mathrm{I}^{-1}] \] (ચુંબકીય ક્ષેત્રનું પારિમાણિક સૂત્ર)
\[ [m] = [\mathrm{M}] \] (દળનું પારિમાણિક સૂત્ર)
\[ [\omega] = [\frac{e B}{m}] = [\frac{(\mathrm{IT}) (\mathrm{MT}^{-2}\mathrm{I}^{-1})}{\mathrm{M}}] = [\mathrm{T}^{-1}] \]
આમ, \( \omega \) નું પારિમાણિક સૂત્ર \( [\mathrm{T}]^{-1} \) છે, જે આવૃત્તિનું પારિમાણિક સૂત્ર છે.
In simple words: સાઇક્લોટ્રોનની આવૃત્તિનો આધાર કણના વિદ્યુતભાર, ચુંબકીય ક્ષેત્ર અને કણના દળ પર છે. તેનું પારિમાણિક સૂત્ર \( [\mathrm{T}]^{-1} \) છે, જે દર્શાવે છે કે તે સમયના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે, એટલે કે તે આવર્તન સૂચવે છે.

🎯 Exam Tip: આવા પ્રશ્નોમાં, ભૌતિક રાશિઓના પારિમાણિક સૂત્રો યાદ રાખવા અને તેમની યોગ્ય રીતે ગણતરી કરવી મહત્ત્વપૂર્ણ છે. કેન્દ્રગામી બળ અને ચુંબકીય બળ વચ્ચેના સંબંધનો ઉપયોગ ઘણીવાર થાય છે.

 

Question 2. દર્શાવો કે જે બળ કોઈ કાર્ય નથી કરતું તે વેગ આધારિત બળ હોવું આવશ્યક છે.

Answer:
જો કોઈ બળ \( \overrightarrow{\mathrm{F}} \) કોઈ કાર્ય કરતું નથી, તો કાર્ય \(\mathrm{dW} = 0\) થાય છે.
કાર્યનો નિયમ છે: \( dW = \overrightarrow{\mathrm{F}} \cdot \overrightarrow{d l} \)
જ્યાં \( \overrightarrow{d l} \) એ સ્થાનાંતર સદિશ છે.
જો \( dW = 0 \), તો \( \overrightarrow{\mathrm{F}} \cdot \overrightarrow{d l} = 0 \).
\[ \implies \overrightarrow{\mathrm{F}} \cdot \frac{\overrightarrow{d l}}{dt} dt = 0 \]
આપણે જાણીએ છીએ કે \( \frac{\overrightarrow{d l}}{dt} = \vec{v} \) (વેગ) છે.
\[ \implies \overrightarrow{\mathrm{F}} \cdot \vec{v} dt = 0 \]
જો \( dt ≠ 0 \) હોય, તો \( \overrightarrow{\mathrm{F}} \cdot \vec{v} = 0 \) હોવું જોઈએ.
આનો અર્થ એ છે કે બળ \( \overrightarrow{\mathrm{F}} \) હંમેશા કણના વેગ \( \vec{v} \) ને લંબ હોય છે.
જ્યારે બળ વેગને લંબ હોય છે, ત્યારે તે કણની ગતિની દિશા બદલે છે, પરંતુ તેની ગતિઊર્જા અથવા ઝડપમાં ફેરફાર કરતું નથી, તેથી કોઈ કાર્ય થતું નથી. ચુંબકીય બળ \( \overrightarrow{\mathrm{F}_{\mathrm{m}}} = q(\vec{v} \times \overrightarrow{\mathrm{B}}) \) એ વેગ-આધારિત બળનું ઉદાહરણ છે, કારણ કે તે હંમેશા વેગને લંબ હોય છે અને કોઈ કાર્ય કરતું નથી.
In simple words: જો કોઈ બળ કાર્ય ન કરતું હોય, તો તેનો અર્થ છે કે તે બળ હંમેશા કણના ગતિની દિશાને કાટખૂણે હોય છે. ચુંબકીય બળ આવું જ એક બળ છે.

🎯 Exam Tip: કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય અને સદિશ ગુણાકારના નિયમોની સ્પષ્ટ સમજણ આવા પ્રશ્નોના ઉકેલ માટે જરૂરી છે. ચુંબકીય બળની લાક્ષણિકતાઓનું જ્ઞાન પણ ઉપયોગી છે.

 

Question 3. ચુંબકીય બળ \( v \) પર આધારિત છે જે પોતે \( (v) \) જડત્વીય નિર્દેશ ફ્રેમ પર આધારિત છે, તો શું દરેક જડત્વીય નિર્દેશ ફ્રેમથી ફ્રેમ સાથે ચુંબકીય બળ જુદું-જુદું હશે? તો શું એ તર્કસંગત (વ્યાજબી) છે કે જુદી-જુદી નિર્દેશ ફ્રેમોમાં પરિણામી પ્રવેગનું મૂલ્ય જુદું જુદું હોય?

Answer:
હા, વિદ્યુતભાર પર લાગતું ચુંબકીય બળ \( \overrightarrow{\mathrm{F}}=q\left(\vec{v} \times \overrightarrow{\mathrm{B}^{\prime}}\right) \) છે. અહીં \( \vec{v} \) એ કણનો વેગ છે જે નિરીક્ષકની નિર્દેશ ફ્રેમ પર આધાર રાખે છે. તેથી, ચુંબકીય બળ વેગ પર આધારિત હોવાથી, તે એક જડત્વીય નિર્દેશ ફ્રેમથી બીજી ફ્રેમમાં બદલાય છે.
જોકે, જુદી-જુદી જડત્વીય નિર્દેશ ફ્રેમમાં ચુંબકીય બળનું મૂલ્ય જુદું-જુદું હોઈ શકે છે, પરંતુ કણ પર લાગતા કુલ બળને કારણે થતો પ્રવેગ બધી જડત્વીય નિર્દેશ ફ્રેમમાં સમાન રહે છે. કુલ બળમાં વિદ્યુત અને ચુંબકીય બંને બળોનો સમાવેશ થાય છે: \( \overrightarrow{\mathrm{F}_{\mathrm{total}}} = q\overrightarrow{\mathrm{E}} + q(\vec{v} \times \overrightarrow{\mathrm{B}}) \). જ્યારે આપણે એક ફ્રેમમાંથી બીજી ફ્રેમમાં જઈએ છીએ, ત્યારે વિદ્યુતક્ષેત્ર \(\overrightarrow{\mathrm{E}}\) અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર \(\overrightarrow{\mathrm{B}}\) બંને બદલાઈ શકે છે (ટ્રાન્સફોર્મેશન નિયમો અનુસાર), પરંતુ \( \overrightarrow{\mathrm{E}} + (\vec{v} \times \overrightarrow{\mathrm{B}}) \) નું સંયોજન એવું રહે છે કે પ્રવેગ (\( \vec{a} = \overrightarrow{\mathrm{F}_{\mathrm{total}}} / m \)) તમામ જડત્વીય નિર્દેશ ફ્રેમમાં સમાન રહે. આથી, જુદી-જુદી નિર્દેશ ફ્રેમમાં પરિણામી પ્રવેગનું મૂલ્ય જુદું જુદું હોવું વ્યાજબી નથી.
In simple words: ચુંબકીય બળ કણના વેગ પર આધાર રાખે છે, તેથી તે અલગ-અલગ નિરીક્ષકો માટે અલગ હોઈ શકે છે. પરંતુ, કણનો કુલ પ્રવેગ, જેમાં વિદ્યુત અને ચુંબકીય બળોનો સમાવેશ થાય છે, તે હંમેશા બધા નિરીક્ષકો માટે સમાન રહે છે.

🎯 Exam Tip: સાપેક્ષવાદના સિદ્ધાંતો અને લોરેન્ઝ રૂપાંતરણની મૂળભૂત સમજણ આ પ્રશ્ન માટે જરૂરી છે. બળ અને પ્રવેગ વચ્ચેનો સંબંધ ધ્યાનમાં રાખો.

 

Question 4. સાઇક્લોટ્રોનમાં જો રેડિયો આવૃત્તિ (rf) વિદ્યુતક્ષેત્રની આવૃત્તિ કરતાં બમણી થાય, તો તેમાં કોઈ વિદ્યુતભારિત કણની ગતિનું વર્ણન કરો.

Answer:
સાઇક્લોટ્રોનમાં, વિદ્યુતભારિત કણ ફક્ત ત્યારે જ પ્રવેગિત થાય છે જ્યારે DEEs (ડિઝ) વચ્ચેના વિદ્યુતક્ષેત્રની આવૃત્તિ અને કણના ભ્રમણની આવૃત્તિ સમાન હોય (અનુનાદની સ્થિતિ). આને સાઇક્લોટ્રોન આવૃત્તિ કહેવાય છે.
જો રેડિયો આવૃત્તિ (rf) વિદ્યુતક્ષેત્રની આવૃત્તિ (જે કણની ભ્રમણ આવૃત્તિ જેટલી હોવી જોઈએ) કરતાં બમણી થાય, તો કણ પર યોગ્ય સમયે બળ લાગશે નહીં.
આપણને ખબર છે કે DEEs વચ્ચે વિદ્યુતક્ષેત્ર કણના દરેક અર્ધ-ભ્રમણ દરમિયાન તેની ગતિઊર્જામાં વધારો કરે છે. જો rf આવૃત્તિ બમણી થઈ જાય, તો DEEs વચ્ચે વિદ્યુતક્ષેત્ર કણના અડધા ભ્રમણ દરમિયાન તેને પ્રવેગિત કરશે, પરંતુ પછીના અડધા ભ્રમણ દરમિયાન તે કણને પ્રતિપ્રવેગિત (ધીમું) કરશે કારણ કે ક્ષેત્રની દિશા હવે કણની ગતિની દિશાની વિરુદ્ધ હશે.
આમ, કણની ગતિઊર્જામાં ચોખ્ખો વધારો શૂન્ય થશે. કણની ગતિમાર્ગની ત્રિજ્યા વધશે અને પછી ઘટશે, તેથી અંતે, તેની ત્રિજ્યા સમાન રહેશે અને તે DEEs માંથી બહાર નીકળી શકશે નહીં. કણ સાઇક્લોટ્રોનમાંથી બહાર નીકળી શકશે નહીં.
In simple words: જો સાઇક્લોટ્રોનમાં રેડિયો આવૃત્તિ બમણી થાય, તો કણ સાચા સમયે ઊર્જા મેળવી શકશે નહીં. તે એક ચક્રમાં પ્રવેગિત થશે અને બીજામાં ધીમો પડશે, જેથી તેની ઊર્જા અને વેગ વધશે નહીં અને તે સાઇક્લોટ્રોનમાંથી બહાર નહીં નીકળે.

🎯 Exam Tip: સાઇક્લોટ્રોન રેઝોનન્સ (અનુનાદ)ની શરત સ્પષ્ટપણે સમજવી મહત્ત્વપૂર્ણ છે. આવૃત્તિમાં ફેરફાર કણની ઊર્જા અને ગતિમાર્ગને કેવી રીતે અસર કરે છે તે જાણો.

 

Question 5. \(I_1\) અને \(I_2\) પ્રવાહધારિત બે લાંબા તારોને આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ ગોઠવેલ છે. એક \(I_1\) પ્રવાહધારિત તાર x-અક્ષ ઉપર છે અને બીજો \(I_2\) પ્રવાહધારિત તાર કે જેને y-અક્ષને સમાંતર કોઈ રેખા ઉપર છે, જેને x = 0 દર્શાવેલ છે. x-અક્ષ ઉપર રહેલા તારને લીધે બિંદુ \(O_2\) પર લાગતું બળ શોધો.

Answer:
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): આ ચિત્ર બે સમાંતર પ્રવાહધારિત તારો, \(I_1\) અને \(I_2\), ને દર્શાવે છે. \(I_1\) તાર x-અક્ષ પર છે અને \(I_2\) તાર y-અક્ષને સમાંતર છે, z-અક્ષ પર \(d\) અંતરે \(O_2\) બિંદુ દર્શાવેલું છે. \(O_1\) એ ઊગમબિંદુ (0,0,0) છે.
બાયો-સાવર્ટના નિયમ મુજબ, \( \mathrm{I} \overrightarrow{d I} \times \vec{r} \) ની દિશા ચુંબકીય ક્ષેત્ર \( \overrightarrow{\mathrm{B}} \) ને સમાંતર હોય છે, અને \( \mathrm{I} \overrightarrow{d} I \) પ્રવાહની દિશામાં હોય છે.
\(I_1\) પ્રવાહધારિત તારના કારણે \(O_2\) બિંદુ પાસે ચુંબકીય ક્ષેત્ર:
ધારો કે \( I_1 \) તાર x-અક્ષ પર છે અને \( \overrightarrow{d I_1} = dl_1 \hat{i} \).
\(O_2\) બિંદુ \( (0, 0, d) \) પર છે. તેથી, \( \vec{r} = d \hat{k} \).
ચુંબકીય ક્ષેત્ર \( \overrightarrow{\mathrm{B}}_1 \) માટે: \( \overrightarrow{\mathrm{B}}_1 \) x-અક્ષને સમાંતર \( \overrightarrow{d l_1} \) અને \( \vec{r} = d \hat{k} \) ના ક્રોસ પ્રોડક્ટની દિશામાં હશે.
\( \overrightarrow{d l_1} \times \vec{r} = (dl_1 \hat{i}) \times (d \hat{k}) = -dl_1 d (\hat{j}) \).
તેથી, \( \overrightarrow{\mathrm{B}}_1 \) એ y-અક્ષની નકારાત્મક દિશામાં હશે.
\(I_2\) પ્રવાહધારિત તાર \(O_2\) બિંદુ પર છે અને y-અક્ષને સમાંતર છે, તેથી \( \overrightarrow{d I_2} = dl_2 \hat{j} \).
\(I_1\) પ્રવાહને કારણે \(O_2\) બિંદુ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર \( \overrightarrow{\mathrm{B}}_1 \) નું મૂલ્ય \( B_1 = \frac{\mu_0 I_1}{2\pi d} \) છે, અને તેની દિશા \( -\hat{j} \) માં છે.
હવે, \(I_2\) તારના \(O_2\) બિંદુ પર લાગતું બળ શોધીએ.
બળ \( \overrightarrow{\mathrm{F}}_2 = I_2 (\overrightarrow{d l_2} \times \overrightarrow{\mathrm{B}}_1) \)
\( \overrightarrow{\mathrm{F}}_2 = I_2 (dl_2 \hat{j} \times (-\frac{\mu_0 I_1}{2\pi d} \hat{j})) \)
\( \implies \overrightarrow{\mathrm{F}}_2 = -\frac{\mu_0 I_1 I_2 dl_2}{2\pi d} (\hat{j} \times \hat{j}) \)
આપણે જાણીએ છીએ કે \( \hat{j} \times \hat{j} = 0 \).
તેથી, \( \overrightarrow{\mathrm{F}}_2 = 0 \).
આનો અર્થ એ છે કે, x-અક્ષ પર રહેલા \(I_1\) તારને કારણે \(O_2\) બિંદુ પર y-અક્ષને સમાંતર રહેલા \(I_2\) તારના નાના ખંડ \(dl_2\) પર કોઈ બળ લાગશે નહીં કારણ કે \(I_2\) તારનો પ્રવાહ ક્ષેત્ર \( \overrightarrow{\mathrm{B}}_1 \) ને સમાંતર છે.
In simple words: જો એક તારમાંથી પ્રવાહ વહેતો હોય અને બીજો તાર ચુંબકીય ક્ષેત્રની દિશામાં જ હોય, તો બીજા તાર પર કોઈ ચુંબકીય બળ લાગતું નથી. આ કિસ્સામાં, \(I_1\) ને કારણે \(\overrightarrow{B}\) ની દિશા \(I_2\) ના પ્રવાહની દિશાને સમાંતર છે, તેથી બળ શૂન્ય છે.

🎯 Exam Tip: બાયો-સાવર્ટનો નિયમ અને સદિશ ગુણાકારના નિયમોનું યોગ્ય જ્ઞાન આવા પ્રશ્નોના ઉકેલ માટે જરૂરી છે. જ્યારે પ્રવાહ સદિશ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર સમાંતર હોય ત્યારે બળ શૂન્ય હોય છે તે યાદ રાખો.

 

ટૂંક જવાબી પ્રશ્નો (SA)

 

Question 1. કોઈ પ્રવાહધારિત લૂપ \(R\) ત્રિજ્યાના વર્તુળના ત્રણ સમાન ચતુર્થાંસ (\(\frac{1}{4}\) ભાગ) થી બનેલી છે. તે x-y, y-z અને z-x સમતલોના ધન ચરણમાં આવેલા છે. એકબીજા સાથે જોડાયેલા આ ચતુર્થાંસોનાં કેન્દ્રો ઊગમબિંદુ પર છે. ઊગમબિંદુ પાસે \( \overrightarrow{\mathrm{B}} \) નું મૂલ્ય અને દિશા શોધો.

Answer:
પ્રવાહધારિત \(R\) ત્રિજ્યાવાળી ચાપ વર્તુળના કેન્દ્ર સાથે \( \theta \) ખૂણો આંતરે તો ચાપના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર \( B = \frac{\mu_0 \mathrm{I} \theta}{4 \pi \mathrm{R}} \) મળે છે.
અહીં, ત્રણ ચાપોમાંથી દરેક \( \frac{1}{4} \) ભાગ છે, તેથી દરેક ચાપ દ્વારા કેન્દ્ર પર બનતો ખૂણો \( \theta = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2} \) છે.
(i) x-y સમતલના પ્રવાહગાળાથી ઊગમબિંદુ \(O\) પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર:
\( \overrightarrow{\mathrm{B}}_1 = \frac{\mu_0 \mathrm{I} (\pi/2)}{4 \pi \mathrm{R}} \hat{k} = \frac{\mu_0 \mathrm{I}}{8 \mathrm{R}} \hat{k} \)
(ii) y-z સમતલના પ્રવાહગાળાથી ઊગમબિંદુ \(O\) પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર:
\( \overrightarrow{\mathrm{B}}_2 = \frac{\mu_0 \mathrm{I} (\pi/2)}{4 \pi \mathrm{R}} \hat{i} = \frac{\mu_0 \mathrm{I}}{8 \mathrm{R}} \hat{i} \)
(iii) z-x સમતલના પ્રવાહગાળાથી ઊગમબિંદુ \(O\) પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર:
\( \overrightarrow{\mathrm{B}}_3 = \frac{\mu_0 \mathrm{I} (\pi/2)}{4 \pi \mathrm{R}} \hat{j} = \frac{\mu_0 \mathrm{I}}{8 \mathrm{R}} \hat{j} \)
ઉગમબિંદુ પરનું કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર આ ત્રણેય ક્ષેત્રોનો સદિશ સરવાળો હશે:
\[ \overrightarrow{\mathrm{B}} = \overrightarrow{\mathrm{B}}_1 + \overrightarrow{\mathrm{B}}_2 + \overrightarrow{\mathrm{B}}_3 \]
\[ \implies \overrightarrow{\mathrm{B}} = \frac{\mu_0 \mathrm{I}}{8 \mathrm{R}} \hat{k} + \frac{\mu_0 \mathrm{I}}{8 \mathrm{R}} \hat{i} + \frac{\mu_0 \mathrm{I}}{8 \mathrm{R}} \hat{j} \]
\[ \implies \overrightarrow{\mathrm{B}} = \frac{\mu_0 \mathrm{I}}{8 \mathrm{R}} (\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) \]
આમ, કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્રનું મૂલ્ય:
\[ |\overrightarrow{\mathrm{B}}| = \frac{\mu_0 \mathrm{I}}{8 \mathrm{R}} \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \frac{\mu_0 \mathrm{I} \sqrt{3}}{8 \mathrm{R}} \]
અને દિશા વેક્ટર \( (\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) \) ની દિશામાં હશે.
In simple words: ત્રણ વર્તુળાકાર ચાપ, જે જુદા જુદા સમતલોમાં છે, દરેક કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર બનાવે છે. કુલ ક્ષેત્ર શોધવા માટે આ બધા ક્ષેત્રોનો સદિશ સરવાળો કરીએ છીએ.

🎯 Exam Tip: બાયો-સાવર્ટના નિયમનો ઉપયોગ કરીને વર્તુળાકાર ચાપ દ્વારા ઉદ્ભવતા ચુંબકીય ક્ષેત્રની ગણતરી કરવી અને સદિશ સરવાળાની રીત જાણવી આ પ્રશ્ન માટે ખૂબ જ મહત્વપૂર્ણ છે.

 

Question 2. જેનો વિદ્યુતભાર \(e\) અને દળ \(m\) છે તેવો વિદ્યુતભારિત કણ વિદ્યુતક્ષેત્ર \( \overrightarrow{\mathrm{E}} \) અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર \( \overrightarrow{\mathrm{B}} \) માં ગતિ કરે છે. ગતિસંબંધિત પરિમાણરહિત રાશિઓ અને \( [\mathrm{T}]^{-1} \) પરિમાણ ધરાવતી રાશિઓની રચના કરો. (મેળવો.)

Answer:
(a) \( [\mathrm{T}]^{-1} \) પરિમાણ ધરાવતી રાશિ:
જ્યારે વિદ્યુતભારિત કણ ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં કાટખૂણે ગતિ કરે છે, ત્યારે ચુંબકીય બળ તેને કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે.
\[ \frac{m v^2}{R} = qvB \]
\[ \implies \frac{v}{R} = \frac{qB}{m} \]
આપણે જાણીએ છીએ કે \( \frac{v}{R} \) એ કોણીય આવૃત્તિ \( \omega \) છે.
\[ \implies \omega = \frac{qB}{m} \]
કોણીય આવૃત્તિ \( \omega \) નું પારિમાણિક સૂત્ર:
\[ [\omega] = [\frac{qB}{m}] = [\frac{(\mathrm{IT}) (\mathrm{MT}^{-2}\mathrm{I}^{-1})}{\mathrm{M}}] = [\mathrm{T}^{-1}] \]
આથી, કોણીય આવૃત્તિ \( \omega \) એ \( [\mathrm{T}]^{-1} \) પરિમાણ ધરાવતી રાશિ છે.
(b) પરિમાણરહિત રાશિ:
વિદ્યુતક્ષેત્ર \( \overrightarrow{\mathrm{E}} \) માં કણ પર લાગતું વિદ્યુતબળ \( F_E = qE \).
ચુંબકીય ક્ષેત્ર \( \overrightarrow{\mathrm{B}} \) માં કણ પર લાગતું ચુંબકીય બળ \( F_m = qvB \).
આ બંને બળોનો ગુણોત્તર એક પરિમાણરહિત રાશિ આપી શકે છે.
\[ \frac{F_E}{F_m} = \frac{qE}{qvB} = \frac{E}{vB} \]
હવે, \( [\frac{E}{vB}] = [\frac{MLT^{-3}I^{-1}}{(LT^{-1})(MT^{-2}I^{-1})}] = [\frac{MLT^{-3}I^{-1}}{MLT^{-3}I^{-1}}] = [\mathrm{M}^0\mathrm{L}^0\mathrm{T}^0] \)
આમ, \( \frac{E}{vB} \) એ પરિમાણરહિત રાશિ છે.
In simple words: કણની કોણીય આવૃત્તિ \( \frac{qB}{m} \) એ \( [\mathrm{T}]^{-1} \) પરિમાણ ધરાવે છે. વિદ્યુતબળ અને ચુંબકીય બળનો ગુણોત્તર \( \frac{E}{vB} \) એ પરિમાણરહિત રાશિ છે.

🎯 Exam Tip: ભૌતિક રાશિઓના પારિમાણિક સૂત્રોને યાદ રાખવા અને બળ, વેગ, ક્ષેત્રોના પારિમાણિક સંબંધોને સમજવા આવા પ્રશ્નોના ઉકેલ માટે ખૂબ જ મદદરૂપ થાય છે.

 

Question 3. જેમાં સમાન વિદ્યુતક્ષેત્ર અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર છે તેવા એક સમઘન વિસ્તારમાં (જેનાં સમતલો યામ પદ્ધતિનાં અક્ષોને સમાંતર છે) એક ઇલેક્ટ્રોન \( \vec{v} = v_0 \hat{i} \) વેગથી દાખલ થાય છે. સમઘનમાં ઇલેક્ટ્રોનની કક્ષા x-y સમતલને સમાંતર સમતલમાં નીચે તરફ સર્પિલ મળે, તો ક્ષેત્રો \( \overrightarrow{\mathbf{E}} \) અને \( \overrightarrow{\mathbf{B}} \) નું રેખાંકન (ગોઠવણી) સૂચવો કે જેની અસર ઇલેક્ટ્રોનને આવી ગતિ કરવા પ્રેરી શકે.

Answer:
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): આ આકૃતિ ઇલેક્ટ્રોન પર લાગતા વિદ્યુત (\(F_E\)) અને ચુંબકીય (\(F_m\)) બળોની દિશાઓ દર્શાવે છે. ચુંબકીય ક્ષેત્ર (\(B_0\)) ધન z-દિશામાં છે, વિદ્યુતક્ષેત્ર (\(E_0\)) x-દિશામાં છે. ઇલેક્ટ્રોનનો પ્રારંભિક વેગ x-દિશામાં છે.
ઇલેક્ટ્રોનની કક્ષા x-y સમતલને સમાંતર સમતલમાં નીચે તરફ સર્પિલ મળે, તે માટે નીચેની ગોઠવણી જરૂરી છે:
1. ચુંબકીય ક્ષેત્ર:
ધારો કે ચુંબકીય ક્ષેત્ર \( \overrightarrow{\mathbf{B}} = B_0 \hat{k} \) (ધન z-દિશામાં) છે.
ઇલેક્ટ્રોનનો પ્રારંભિક વેગ \( \vec{v} = v_0 \hat{i} \) (ધન x-દિશામાં) છે.
ઇલેક્ટ્રોન પર લાગતું ચુંબકીય બળ:
\[ \overrightarrow{\mathrm{F}_{\mathrm{m}}} = e (\vec{v} \times \overrightarrow{\mathrm{B}}) = -e (v_0 \hat{i} \times B_0 \hat{k}) \]
\[ \implies \overrightarrow{\mathrm{F}_{\mathrm{m}}} = -e v_0 B_0 (\hat{i} \times \hat{k}) \]
\[ \implies \overrightarrow{\mathrm{F}_{\mathrm{m}}} = -e v_0 B_0 (-\hat{j}) = e v_0 B_0 \hat{j} \]
આ ચુંબકીય બળ ઇલેક્ટ્રોનને x-y સમતલમાં વર્તુળાકાર ગતિ કરાવશે (y-દિશામાં).
2. વિદ્યુતક્ષેત્ર:
સર્પિલ ગતિમાં ઇલેક્ટ્રોનને નીચે તરફ (z-દિશામાં) ખેંચવા માટે, વિદ્યુતક્ષેત્ર ઋણ z-દિશામાં હોવું જોઈએ.
ધારો કે વિદ્યુતક્ષેત્ર \( \overrightarrow{\mathrm{E}} = -E_0 \hat{k} \) (ઋણ z-દિશામાં) છે.
ઇલેક્ટ્રોન પર લાગતું વિદ્યુતબળ:
\[ \overrightarrow{\mathrm{F}_{\mathrm{E}}} = e \overrightarrow{\mathrm{E}} = e (-E_0 \hat{k}) = -e E_0 \hat{k} \]
આ વિદ્યુતબળ ઇલેક્ટ્રોનને z-દિશામાં પ્રવેગિત કરશે, જેના કારણે તેનો વેગ z-દિશામાં વધશે અને સર્પિલ ગતિ નીચે તરફ થશે.
આમ, ઇલેક્ટ્રોન x-y સમતલમાં વર્તુળાકાર ગતિ કરશે અને ઋણ z-દિશામાં પ્રવેગિત થશે, પરિણામે નીચે તરફ સર્પિલ ગતિ થશે.
In simple words: ઇલેક્ટ્રોનને સર્પિલ ગતિ કરાવવા માટે, ચુંબકીય ક્ષેત્રને z-અક્ષ પર (જેથી તે વર્તુળાકાર ગતિ કરાવે) અને વિદ્યુતક્ષેત્રને z-અક્ષની વિરુદ્ધ દિશામાં (જેથી તે નીચે તરફ ખેંચે) ગોઠવવા જોઈએ.

🎯 Exam Tip: લોરેન્ઝ બળના ઘટકો (વિદ્યુત અને ચુંબકીય) અને તેમની દિશાઓની સ્પષ્ટ સમજ હોવી જોઈએ. જમણા હાથના નિયમનો ઉપયોગ કરીને બળની દિશા નક્કી કરવી મહત્ત્વપૂર્ણ છે.

 

Question 4. શું ચુંબકીય બળ ન્યૂટનના ત્રીજા નિયમને અનુસરે છે? ઊગમબિંદુ પર આવેલા \( \overrightarrow{d I_1} = dl \hat{i} \) અને \( (0, R, 0) \) પર આવેલા \( \overrightarrow{d I_2} = dl \hat{j} \) બે પ્રવાહ ખંડો માટે ચકાસો. બંનેમાં પ્રવાહ \(I\) છે.

Answer:
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): આ ચિત્ર x-અક્ષ પર \(O_1 (0,0,0)\) પર \(dl_1\) પ્રવાહખંડ અને y-અક્ષ પર \(O_2 (0,R,0)\) પર \(dl_2\) પ્રવાહખંડ દર્શાવે છે. \(dl_1\) માં પ્રવાહ x-દિશામાં છે અને \(dl_2\) માં પ્રવાહ y-દિશામાં છે.
ચુંબકીય બળો ન્યૂટનના ત્રીજા નિયમનું પાલન કરતા નથી. આપણે તેને નીચે મુજબ ચકાસી શકીએ:
1. \(dl_1\) ખંડ દ્વારા \(dl_2\) ખંડ પર લાગતું બળ:
\(dl_1\) ખંડ \( (0, 0, 0) \) પર છે, \( \overrightarrow{d l_1} = dl \hat{i} \).
\(dl_2\) ખંડ \( (0, R, 0) \) પર છે, \( \overrightarrow{d l_2} = dl \hat{j} \).
\(dl_1\) થી \(dl_2\) સુધીનો સ્થાન સદિશ \( \vec{r}_{12} = R \hat{j} \).
\(dl_1\) ખંડ દ્વારા \(dl_2\) ખંડ પર ઉદ્ભવતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર \( \overrightarrow{\mathrm{B}}_1 \):
બાયો-સાવર્ટના નિયમ મુજબ, \( \overrightarrow{\mathrm{B}}_1 = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I (\overrightarrow{d l_1} \times \vec{r}_{12})}{|\vec{r}_{12}|^3} \)
\[ \overrightarrow{d l_1} \times \vec{r}_{12} = (dl \hat{i}) \times (R \hat{j}) = dl R (\hat{i} \times \hat{j}) = dl R \hat{k} \]
\[ \implies \overrightarrow{\mathrm{B}}_1 = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I dl R \hat{k}}{R^3} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I dl}{R^2} \hat{k} \]
હવે, \(dl_2\) ખંડ પર \(dl_1\) ખંડ દ્વારા લાગતું બળ \( \overrightarrow{\mathrm{F}}_{12} \):
\[ \overrightarrow{\mathrm{F}}_{12} = I (\overrightarrow{d l_2} \times \overrightarrow{\mathrm{B}}_1) = I (dl \hat{j} \times \frac{\mu_0 I dl}{4\pi R^2} \hat{k}) \]
\[ \implies \overrightarrow{\mathrm{F}}_{12} = \frac{\mu_0 I^2 dl^2}{4\pi R^2} (\hat{j} \times \hat{k}) = \frac{\mu_0 I^2 dl^2}{4\pi R^2} \hat{i} \]
આ બળ ધન x-દિશામાં છે.
2. \(dl_2\) ખંડ દ્વારા \(dl_1\) ખંડ પર લાગતું બળ:
\(dl_2\) ખંડથી \(dl_1\) ખંડ સુધીનો સ્થાન સદિશ \( \vec{r}_{21} = -R \hat{j} \).
\(dl_2\) ખંડ દ્વારા \(dl_1\) ખંડ પર ઉદ્ભવતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર \( \overrightarrow{\mathrm{B}}_2 \):
\[ \overrightarrow{\mathrm{B}}_2 = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I (\overrightarrow{d l_2} \times \vec{r}_{21})}{|\vec{r}_{21}|^3} \]
\[ \overrightarrow{d l_2} \times \vec{r}_{21} = (dl \hat{j}) \times (-R \hat{j}) = -dl R (\hat{j} \times \hat{j}) = 0 \]
\[ \implies \overrightarrow{\mathrm{B}}_2 = 0 \]
કારણ કે \(dl_2\) ખંડ દ્વારા \(dl_1\) ખંડ પર કોઈ ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઉદ્ભવતું નથી, તેથી \(dl_1\) ખંડ પર લાગતું બળ \( \overrightarrow{\mathrm{F}}_{21} = 0 \) થશે.
અહીં \( \overrightarrow{\mathrm{F}}_{12} \neq -\overrightarrow{\mathrm{F}}_{21} \) છે.
આમ, ચુંબકીય બળો ન્યૂટનના ત્રીજા નિયમનું પાલન કરતા નથી.
In simple words: ચુંબકીય બળો હંમેશા ન્યૂટનના ત્રીજા નિયમનું પાલન કરતા નથી. આ ઉદાહરણમાં, એક પ્રવાહ ખંડ બીજા પર બળ લગાડે છે, પરંતુ બીજા પ્રવાહ ખંડને કારણે પ્રથમ પર લાગતું બળ શૂન્ય છે, કારણ કે ક્ષેત્ર શૂન્ય બને છે.

🎯 Exam Tip: ન્યૂટનના ત્રીજા નિયમની ચકાસણી કરતી વખતે, બંને બળોને અલગથી ગણવા અને તેમની તુલના કરવી. બાયો-સાવર્ટનો નિયમ અને સદિશ ક્રોસ પ્રોડક્ટનો ઉપયોગ ધ્યાનથી કરો.

 

Question 5. આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ ગેલ્વેનોમીટર પરિપથનો ઉપયોગ કરીને મલ્ટિરેન્જ વોલ્ટમીટરની રચના કરી શકાય છે. આપણે 10 Ω અવરોધ ધરાવતા ગેલ્વેનોમીટરનો ઉપયોગ કરી એવા વોલ્ટમીટરની રચના કરવી છે જે 2V, 20 V અને 200 V માપી શકે અને 1 mA પ્રવાહ માટે તે મહત્તમ કોણાવર્તન (deflection) ઉત્પન્ન કરે એના માટે ઉપયોગમાં લીધેલ \(R_1, R_2\) અને \(R_3\) શોધો.

Answer:
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): આ ચિત્ર એક મલ્ટિરેન્જ વોલ્ટમીટર દર્શાવે છે જેમાં એક ગેલ્વેનોમીટર (\(G\)) અને તેની સાથે શ્રેણીમાં ત્રણ અવરોધો \(R_1, R_2, R_3\) જોડાયેલા છે. આ ગોઠવણી દ્વારા 2V, 20V, અને 200V ની અલગ-અલગ રેન્જ માપી શકાય છે.
ગેલ્વેનોમીટરને વોલ્ટમીટરમાં રૂપાંતરિત કરવા માટે ગેલ્વેનોમીટર સાથે શ્રેણીમાં એક મોટો અવરોધ જોડવામાં આવે છે.
આ માટેનું સમીકરણ છે: \( V = I_g (G + R_{eq}) \), જ્યાં \( I_g \) એ ગેલ્વેનોમીટરનો મહત્તમ પ્રવાહ છે, \( G \) એ ગેલ્વેનોમીટરનો અવરોધ છે, \( R_{eq} \) એ શ્રેણીમાં જોડેલો સમતુલ્ય અવરોધ છે, અને \( V \) એ વોલ્ટમીટરની માપવાની ક્ષમતા (રેન્જ) છે.
અહીં આપેલ માહિતી:
ગેલ્વેનોમીટરનો અવરોધ \( G = 10 \, \Omega \)
ગેલ્વેનોમીટરનો મહત્તમ પ્રવાહ \( I_g = 1 \, \mathrm{mA} = 1 \times 10^{-3} \, \mathrm{A} \)
1. \( V = 2 \, \mathrm{V} \) ની રેન્જ માટે:
\[ V = I_g (G + R_1) \]
\[ 2 = (1 \times 10^{-3}) (10 + R_1) \]
\[ 10 + R_1 = \frac{2}{1 \times 10^{-3}} = 2000 \]
\[ R_1 = 2000 - 10 = 1990 \, \Omega \]
2. \( V = 20 \, \mathrm{V} \) ની રેન્જ માટે:
આ રેન્જ માટે, ગેલ્વેનોમીટર સાથે \(R_1\) અને \(R_2\) બંને શ્રેણીમાં જોડાયેલા હશે.
\[ V = I_g (G + R_1 + R_2) \]
\[ 20 = (1 \times 10^{-3}) (10 + 1990 + R_2) \]
\[ 20 = (1 \times 10^{-3}) (2000 + R_2) \]
\[ 2000 + R_2 = \frac{20}{1 \times 10^{-3}} = 20000 \]
\[ R_2 = 20000 - 2000 = 18000 \, \Omega = 18 \, \mathrm{k}\Omega \]
3. \( V = 200 \, \mathrm{V} \) ની રેન્જ માટે:
આ રેન્જ માટે, ગેલ્વેનોમીટર સાથે \(R_1, R_2\) અને \(R_3\) ત્રણેય શ્રેણીમાં જોડાયેલા હશે.
\[ V = I_g (G + R_1 + R_2 + R_3) \]
\[ 200 = (1 \times 10^{-3}) (10 + 1990 + 18000 + R_3) \]
\[ 200 = (1 \times 10^{-3}) (20000 + R_3) \]
\[ 20000 + R_3 = \frac{200}{1 \times 10^{-3}} = 200000 \]
\[ R_3 = 200000 - 20000 = 180000 \, \Omega = 180 \, \mathrm{k}\Omega \]
આમ, જરૂરી અવરોધો \( R_1 = 1990 \, \Omega \), \( R_2 = 18 \, \mathrm{k}\Omega \), અને \( R_3 = 180 \, \mathrm{k}\Omega \) છે.
In simple words: ગેલ્વેનોમીટરને જુદી જુદી રેન્જના વોલ્ટમીટરમાં બદલવા માટે, તેની સાથે શ્રેણીમાં અલગ અલગ મૂલ્યના અવરોધો જોડવા પડે છે. દરેક રેન્જ માટે જરૂરી અવરોધની ગણતરી વોલ્ટમીટરના મૂળભૂત સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને કરી શકાય છે.

🎯 Exam Tip: ગેલ્વેનોમીટરને વોલ્ટમીટર અને એમીટરમાં રૂપાંતરિત કરવાના સિદ્ધાંતો અને સંબંધિત સૂત્રો યાદ રાખો. શ્રેણી અને સમાંતર અવરોધના જોડાણની ગણતરીમાં ચોકસાઈ રાખો.

 

Question 6. આકૃતિમાં દર્શાવ્યા અનુસાર 25 A પ્રવાહ ધારિત એક સુરેખ લાંબો તાર ટેબલ પર મૂકેલ છે. બીજો એક 1 m લંબાઈ અને 2.5 g દળ ધરાવતો તાર PQ છે જેમાંથી વિરુદ્ધ દિશામાં સમાન પ્રવાહ વહે છે. તાર PQ ઉપર અને નીચે તરફ સરકવા માટે મુક્ત (સ્વતંત્ર) છે. તાર PQ કેટલી ઊંચાઈ સુધી ઉપર જશે?

Answer:
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): આ ચિત્ર ટેબલ પર મૂકેલા એક લાંબા સીધા તાર અને તેની ઉપર \(h\) ઊંચાઈએ મુક્તપણે તરતા \(PQ\) તારને દર્શાવે છે. બંને તારોમાં પ્રવાહ \(I\) વિરુદ્ધ દિશામાં વહે છે.
આપેલ માહિતી:
પ્રવાહ \( I = 25 \, \mathrm{A} \) (બંને તારોમાં સમાન પ્રવાહ)
તાર PQ ની લંબાઈ \( l = 1 \, \mathrm{m} \)
તાર PQ નું દળ \( m = 2.5 \, \mathrm{g} = 2.5 \times 10^{-3} \, \mathrm{kg} \)
ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ \( g = 9.8 \, \mathrm{m/s}^2 \)
જ્યારે તાર PQ સ્થિર થાય છે, ત્યારે તેના પર લાગતું ઉપરની દિશામાંનું ચુંબકીય બળ તેના વજનબળને સમતોલશે.
1. ટેબલ પરના સ્થિર તારને કારણે \(h\) અંતરે ઉદ્ભવતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર (\(B\)):
\[ B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi h} \]
2. આ ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં \(PQ\) તાર પર લાગતું ચુંબકીય બળ (\(F_m\)):
બે તારોમાં પ્રવાહ વિરુદ્ધ દિશામાં વહેતો હોવાથી, તેઓ એકબીજાને અપાકર્ષિત કરશે. તેથી, \(PQ\) તાર પર લાગતું બળ ઉપરની દિશામાં હશે.
\[ F_m = BI l \sin\theta \]
અહીં, તાર \(PQ\) ચુંબકીય ક્ષેત્રને લંબરૂપે છે, તેથી \( \theta = 90^\circ \) અને \( \sin90^\circ = 1 \).
\[ F_m = (\frac{\mu_0 I}{2 \pi h}) I l = \frac{\mu_0 I^2 l}{2 \pi h} \]
3. સમતોલનની સ્થિતિ:
તાર PQ નું વજનબળ \( F_g = mg \) છે.
સમતોલન માટે, \( F_m = F_g \)
\[ \frac{\mu_0 I^2 l}{2 \pi h} = mg \]
\[ \implies h = \frac{\mu_0 I^2 l}{2 \pi mg} \]
મૂલ્યો મુકતા: \( \mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \, \mathrm{T \cdot m/A} \)
\[ h = \frac{(4\pi \times 10^{-7}) (25)^2 (1)}{2 \pi (2.5 \times 10^{-3}) (9.8)} \]
\[ h = \frac{2 \times 10^{-7} \times 625}{2.5 \times 10^{-3} \times 9.8} \]
\[ h = \frac{1250 \times 10^{-7}}{24.5 \times 10^{-3}} = \frac{1250}{24.5} \times 10^{-4} \]
\[ h \approx 51.02 \times 10^{-4} \, \mathrm{m} \]
\[ h \approx 0.51 \, \mathrm{cm} \]
આમ, તાર PQ ટેબલ પરના તારથી 0.51 cm ઊંચાઈ સુધી ઉપર જશે.
In simple words: ઉપરનો તાર નીચેના તારથી અપાકર્ષિત થશે કારણ કે પ્રવાહ વિરુદ્ધ દિશામાં છે. આ અપાકર્ષણ બળ ઉપરના તારના વજન જેટલું થાય ત્યારે તે હવામાં સ્થિર રહેશે. આપણે બળ અને વજનને સરખાવીને ઊંચાઈ શોધી શકીએ.

🎯 Exam Tip: સમાંતર પ્રવાહધારિત તારો વચ્ચેના બળનું સૂત્ર યાદ રાખો. સમતોલનની સ્થિતિમાં બળોને સમાન ગણો અને ગણતરીમાં એકમોની ચોકસાઈ રાખો.

 

દીર્ઘ જવાબી પ્રશ્નો (LA)

 

Question 1. 100 આંટા ધરાવતું એક લંબચોરસ ગૂંચળું (coil) ABCD (XY સમતલમાં) આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ તુલાની એક ભુજા સાથે લટકાવેલું છે. ગૂંચળાના વજનને સંતુલિત કરવા માટે બીજી ભુજા ઉપર 500 g દળ ઉમેરવામાં આવે છે. આ ગૂંચળામાંથી 4.9 A નો પ્રવાહ પસાર થાય છે અને 0.2 T નું અચળ ચુંબકીય ક્ષેત્ર અંદરની તરફ (xz સમતલમાં) એવી રીતે લાગુ પાડવામાં આવે છે કે ફક્ત 1 cm લંબાઈ ધરાવતી CD ભુજા જ ક્ષેત્રમાં રહે, તો વધારાનું કેટલું દળ ‘m' ઉમેરવું જોઈએ કે જેથી તુલા ફરી સંતુલન પ્રાપ્ત કરે?

Answer:
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): આ ચિત્ર એક લંબચોરસ કૉઇલ ABCD દર્શાવે છે જે તુલાની એક ભુજા સાથે લટકાવેલું છે. આ કૉઇલ એક સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં છે. ગૂંચળાના CD ભાગમાંથી પ્રવાહ I પસાર થાય છે અને તેના પર ચુંબકીય બળ લાગે છે.
આપેલ માહિતી:
આંટાની સંખ્યા \( N = 100 \)
પ્રવાહ \( I = 4.9 \, \mathrm{A} \)
ચુંબકીય ક્ષેત્ર \( B = 0.2 \, \mathrm{T} \)
CD ભુજાની લંબાઈ \( L = 1 \, \mathrm{cm} = 1 \times 10^{-2} \, \mathrm{m} \)
પ્રારંભિક દળ \( M_{initial} = 500 \, \mathrm{g} = 0.5 \, \mathrm{kg} \)
ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ \( g = 9.8 \, \mathrm{m/s}^2 \)
તુલાને સંતુલિત રાખવા માટે, તેના પર લાગતું કુલ ટોર્ક શૂન્ય હોવું જોઈએ.
1. ચુંબકીય ક્ષેત્રની ગેરહાજરીમાં:
જ્યારે કોઈ ચુંબકીય ક્ષેત્ર ન હોય, ત્યારે તુલાની એક ભુજા પર 500 g દળ ઉમેરીને સંતુલન કરવામાં આવે છે.
આપણને \(W_{coil} = M_{initial} g \) મળે છે.
2. ચુંબકીય ક્ષેત્રની હાજરીમાં:
CD ભુજા પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર દ્વારા લાગતું બળ (\(F_m\)):
\[ F_m = NIBL \sin\theta \]
અહીં, CD ભુજા ચુંબકીય ક્ષેત્રને લંબરૂપે છે, તેથી \( \theta = 90^\circ \) અને \( \sin90^\circ = 1 \).
\[ F_m = NIBL \]
\[ F_m = 100 \times 4.9 \times 0.2 \times (1 \times 10^{-2}) \]
\[ F_m = 100 \times 4.9 \times 0.2 \times 0.01 = 0.98 \, \mathrm{N} \]
આ ચુંબકીય બળ નીચેની દિશામાં લાગશે (ફ્લેમિંગના ડાબા હાથના નિયમ મુજબ).
તુલાને ફરીથી સંતુલિત કરવા માટે, વધારાનું દળ \(m\) ઉમેરવું પડશે, જેથી ચુંબકીય બળને કારણે થતા વધારાના ટોર્કને સમતોલી શકાય.
વધારાના દળ \(m\) દ્વારા ઉદ્ભવતું વજનબળ \( F_{add} = mg \) છે.
સંતુલન માટે, કુલ વજનબળ (ગૂંચળાનું વજન + વધારાનું વજન) ચુંબકીય બળ + પ્રારંભિક દળના વજનબળને સમતોલે છે.
\[ (M_{initial} + m)g = W_{coil} + F_m \]
\[ (M_{initial} + m)g = M_{initial}g + F_m \]
\[ mg = F_m \]
\[ m = \frac{F_m}{g} = \frac{0.98}{9.8} \]
\[ m = 0.1 \, \mathrm{kg} = 100 \, \mathrm{g} \]
આમ, 100 g વધારાનું દળ ઉમેરવું પડશે જેથી તુલા ફરી સંતુલન પ્રાપ્ત કરે.
In simple words: જ્યારે કૉઇલ ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં હોય, ત્યારે તેના પર એક બળ લાગે છે. આ બળના કારણે તુલાનું સંતુલન ખોરવાય છે. સંતુલન પાછું લાવવા માટે, આપણે એટલું જ વજન ઉમેરવું પડશે જેટલું ચુંબકીય બળ કૉઇલ પર નીચેની દિશામાં લગાડે છે.

🎯 Exam Tip: ટોર્કના સંતુલનનો સિદ્ધાંત અને પ્રવાહધારિત કંડક્ટર પર લાગતા ચુંબકીય બળનું સૂત્ર યાદ રાખો. ફ્લેમિંગના ડાબા હાથનો નિયમ બળની દિશા નક્કી કરવામાં મદદ કરશે.

 

Question 2. એક લંબચોરસ વાહક ગૂંચળું બે વિરુદ્ધ બાજુઓ પર \(l\) લંબાઈના બે તાર ધરાવે છે. એકબીજા સાથે \(d\) લંબાઈના સળિયા વડે જોડાયેલા બે તાર ધરાવે છે. દરેક તાર સમાન દ્રવ્યના બનેલા છે પરંતુ, આડછેદમાં પરિબળ 2 થી (1 : 2 ના પ્રમાણથી) અલગ પડે છે. જાડા તારનો અવરોધ \(R\) છે અને સળિયાઓ ઓછો અવરોધ ધરાવે છે. જે અચળ વોલ્ટેજ ઉદ્ગમ \(V_0\) સાથે જોડાયેલા છે. આ લૂપને સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્ર \(B\) માં તેના સમતલ સાથે 45° ના કોણે મૂકેલ છે. લૂપ ઉપર સળિયાના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અક્ષને અનુલક્ષીને ચુંબકીય ક્ષેત્ર દ્વારા લાગતું ટોર્ક (\(T\)) શોધો.

Answer:
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): આ ચિત્ર એક લંબચોરસ ગૂંચળું દર્શાવે છે જેમાં બે લાંબા પ્રવાહધારિત તારો અને તેમને જોડતા સળિયા છે. ગૂંચળું સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્ર B માં 45° ના કોણે મૂકેલું છે.
આપેલ માહિતી:
ગૂંચળાની લંબાઈ = \(l\)
સળિયાની લંબાઈ = \(d\)
જાડા તારનો અવરોધ \( R_1 = R \) છે.
પાતળા તારનો અવરોધ \( R_2 = 2R \) છે (આડછેદનો ગુણોત્તર 1:2 હોવાથી, અવરોધનો ગુણોત્તર 2:1 હશે).
વોલ્ટેજ ઉદ્ગમ \( V_0 \) છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર \( B \) છે.
કોણ \( \theta = 45^\circ \) (ચુંબકીય ક્ષેત્ર અને લૂપના સમતલ વચ્ચે). ટોર્ક માટે આપણે ક્ષેત્ર અને વિસ્તાર સદિશ વચ્ચેનો કોણ \( (90^\circ - \theta) \) વાપરવો પડશે, એટલે કે \( 45^\circ \).
1. જાડા તાર (\(R_1\)) માંથી પસાર થતો પ્રવાહ (\(I_1\)):
ઓહ્મના નિયમ મુજબ, \( I_1 = \frac{V_0}{R_1} = \frac{V_0}{R} \)
જાડા તાર પર લાગતું ચુંબકીય બળ (\(F_1\)):
\[ F_1 = I_1 l B \sin45^\circ = \frac{V_0}{R} l B \frac{1}{\sqrt{2}} \]
જાડા તાર પર લાગતું ટોર્ક (\(\tau_1\)):
\[ \tau_1 = F_1 \frac{d}{2} = \frac{V_0 l B}{R \sqrt{2}} \frac{d}{2} = \frac{V_0 l B d}{2 \sqrt{2} R} \]
આ ટોર્કની દિશા વિષમઘડી હશે.
2. પાતળા તાર (\(R_2\)) માંથી પસાર થતો પ્રવાહ (\(I_2\)):
ઓહ્મના નિયમ મુજબ, \( I_2 = \frac{V_0}{R_2} = \frac{V_0}{2R} \)
પાતળા તાર પર લાગતું ચુંબકીય બળ (\(F_2\)):
\[ F_2 = I_2 l B \sin45^\circ = \frac{V_0}{2R} l B \frac{1}{\sqrt{2}} \]
પાતળા તાર પર લાગતું ટોર્ક (\(\tau_2\)):
\[ \tau_2 = F_2 \frac{d}{2} = \frac{V_0 l B}{2R \sqrt{2}} \frac{d}{2} = \frac{V_0 l B d}{4 \sqrt{2} R} \]
આ ટોર્કની દિશા સમઘડી હશે.
3. પરિણામી ટોર્ક (\(\tau\)):
બંને ટોર્ક વિરુદ્ધ દિશામાં હોવાથી, ચોખ્ખું ટોર્ક બાદબાકી દ્વારા મળશે.
\[ \tau = \tau_1 - \tau_2 = \frac{V_0 l B d}{2 \sqrt{2} R} - \frac{V_0 l B d}{4 \sqrt{2} R} \]
\[ \tau = \frac{2 V_0 l B d - V_0 l B d}{4 \sqrt{2} R} = \frac{V_0 l B d}{4 \sqrt{2} R} \]
ચોખ્ખા ટોર્કની દિશા વિષમઘડી દિશામાં હશે (જે \( \tau_1 \) ની દિશા છે).
In simple words: લંબચોરસ ગૂંચળાના બે તારોમાં જુદા જુદા પ્રવાહ વહે છે, તેથી તેમના પર જુદા જુદા ચુંબકીય બળ અને ટોર્ક લાગે છે. આ ટોર્ક વિરુદ્ધ દિશામાં હોય છે, તેથી કુલ ટોર્ક શોધવા માટે તેમની બાદબાકી કરવી પડે છે.

🎯 Exam Tip: ઓહ્મનો નિયમ, ચુંબકીય બળનું સૂત્ર (\(F=IBL \sin\theta\)), અને ટોર્કનું સૂત્ર (\(\tau=Fd/2\)) યાદ રાખો. અવરોધના પ્રમાણ અને સદિશ દિશાઓનું ધ્યાન રાખવું.

 

Question 3. સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્ર \( \overrightarrow{\mathrm{B}} = B_0 \hat{i} \) માં ઇલેક્ટ્રોન અને પોઝિટ્રોનને અનુક્રમે \( (0, 0, 0) \) અને \( (0, 0, 1.5R) \) સ્થાનો પરથી ક્રમશઃ મુક્ત કરવામાં આવ્યા છે. દરેકના સમાન વેગમાનનું મૂલ્ય \( p = eBR \) છે. વેગમાનની દિશા પર કઈ શરત મૂકતાં તેમના ગતિપથ એકબીજાને છેદે નહીં તેવી વર્તુળાકાર કક્ષાઓ હશે?

Answer:
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): આ ચિત્ર એક ઇલેક્ટ્રોન (\(e^-\)) અને એક પોઝિટ્રોન (\(P^+\)) ના ગતિપથ દર્શાવે છે જે સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્ર (\(B\)) માં ગતિ કરે છે. તેમના પ્રારંભિક સ્થાનો અલગ છે, અને તેમની વર્તુળાકાર કક્ષાઓ એકબીજાને છેદે નહીં તે માટેની શરત દર્શાવવામાં આવી છે.
આપેલ માહિતી:
ચુંબકીય ક્ષેત્ર \( \overrightarrow{\mathrm{B}} = B_0 \hat{i} \) (x-દિશામાં)
ઇલેક્ટ્રોનનું પ્રારંભિક સ્થાન: \( (0, 0, 0) \)
પોઝિટ્રોનનું પ્રારંભિક સ્થાન: \( (0, 0, 1.5R) \)
વેગમાનનું મૂલ્ય: \( p = eBR \)
આપણને ખબર છે કે ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં વિદ્યુતભારિત કણની વર્તુળાકાર ગતિની ત્રિજ્યા \( r = \frac{p}{qB} \) હોય છે.
અહીં, \( q = e \) અને \( p = eBR \) છે, તેથી:
\[ r = \frac{eBR}{eB} = R \]
આમ, ઇલેક્ટ્રોન અને પોઝિટ્રોન બંને \(R\) ત્રિજ્યાની વર્તુળાકાર કક્ષાઓમાં ગતિ કરશે.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર \( \overrightarrow{\mathrm{B}} \) x-અક્ષની દિશામાં હોવાથી, બંને કણો માટે તેમની વર્તુળાકાર કક્ષાઓ y-z સમતલમાં હશે.
કણોના ગતિપથ એકબીજાને છેદે નહીં તે માટે, તેમના વર્તુળોના કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર તેમના ત્રિજ્યાના સરવાળા (અથવા બમણી ત્રિજ્યા) કરતાં વધારે હોવું જોઈએ.
ઇલેક્ટ્રોન \(e^-\) માટે:
પ્રારંભિક વેગમાન \( \vec{p}_1 \) y-z સમતલમાં હશે. ધારો કે \( \vec{p}_1 \) y-અક્ષ સાથે \( \theta \) ખૂણો બનાવે છે.
ઇલેક્ટ્રોનના વર્તુળનું કેન્દ્ર \( C_e = (0, -R\sin\theta, R\cos\theta) \) હશે.
પોઝિટ્રોન \(e^+\) માટે:
પોઝિટ્રોનનું પ્રારંભિક સ્થાન \( (0, 0, 1.5R) \) છે. તેનું વેગમાન \( \vec{p}_2 \) પણ y-z સમતલમાં હશે અને ધારો કે તે પણ y-અક્ષ સાથે \( \theta \) ખૂણો બનાવે છે, પરંતુ વિરુદ્ધ વિદ્યુતભારને કારણે તેની ગતિની દિશા વિરુદ્ધ હશે.
પોઝિટ્રોનના વર્તુળનું કેન્દ્ર \( C_p = (0, -R\sin\theta, 1.5R - R\cos\theta) \) હશે.
બંને વર્તુળોના કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર \(d\):
\[ d^2 = (0-0)^2 + (-R\sin\theta - (-R\sin\theta))^2 + (R\cos\theta - (1.5R - R\cos\theta))^2 \]
\[ d^2 = 0 + 0 + (R\cos\theta - 1.5R + R\cos\theta)^2 \]
\[ d^2 = (2R\cos\theta - 1.5R)^2 = R^2 (2\cos\theta - 1.5)^2 \]
કણોના ગતિપથ એકબીજાને છેદે નહીં તે માટે, \( d > 2R \) હોવું જોઈએ.
\[ R^2 (2\cos\theta - 1.5)^2 > (2R)^2 \]
\[ (2\cos\theta - 1.5)^2 > 4 \]
\[ 2\cos\theta - 1.5 > 2 \quad \text{અથવા} \quad 2\cos\theta - 1.5 < -2 \]
કેસ 1: \( 2\cos\theta - 1.5 > 2 \)
\[ 2\cos\theta > 3.5 \]
\[ \cos\theta > 1.75 \]
આ શક્ય નથી કારણ કે \( \cos\theta \) નું મહત્તમ મૂલ્ય 1 હોય છે.
કેસ 2: \( 2\cos\theta - 1.5 < -2 \)
\[ 2\cos\theta < -0.5 \]
\[ \cos\theta < -0.25 \]
આમ, ગતિપથ એકબીજાને છેદે નહીં તે માટેની શરત \( \cos\theta < -0.25 \) છે.
In simple words: ઇલેક્ટ્રોન અને પોઝિટ્રોન બંને સમાન ત્રિજ્યાના વર્તુળોમાં ફરે છે. તેમના ગતિપથ એકબીજાને ન છેદે તે માટે, તેમના વર્તુળના કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર તેમની ત્રિજ્યાના બમણા કરતાં વધારે હોવું જોઈએ. આ શરત \( \cos\theta < -0.25 \) આપે છે, જ્યાં \(\theta\) વેગમાનની દિશા છે.

🎯 Exam Tip: ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં કણની વર્તુળાકાર ગતિની ત્રિજ્યાનું સૂત્ર \( r = \frac{p}{qB} \) યાદ રાખો. વર્તુળના કેન્દ્રના યામોની ગણતરી અને બે વર્તુળોના છેદનની શરતોનું જ્ઞાન આ પ્રશ્ન માટે જરૂરી છે.

 

Question 4. \(R\) અવરોધ ધરાવતા \(12a\) લંબાઈના નિયમિત વાહક તારને પ્રવાહધારિત લૂપના સ્વરૂપમાં વાળવામાં આવે છે:
(i) \(a\) બાજુઓવાળો સમભુજ ત્રિકોણ
(ii) \(a\) બાજુઓવાળો ચોરસ
(iii) \(a\) બાજુઓવાળો નિયમિત ષટ્કોણ.
આ ગૂંચળાઓને વોલ્ટેજ ઉદ્ગમ \(V_0\) સાથે જોડેલ છે, તો દરેક કિસ્સામાં ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટ શોધો.

Answer:
ગૂંચળાની ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટનું સૂત્ર \( m = nIA \) છે, જ્યાં \(n\) એ આંટાની સંખ્યા, \(I\) એ પ્રવાહ અને \(A\) એ લૂપનો વિસ્તાર છે.
અહીં તારની કુલ લંબાઈ \( L = 12a \) છે.
આવર્તન \( I = \frac{V_0}{R_{total}} \) હશે, જ્યાં \(R_{total}\) એ દરેક આકારનો કુલ અવરોધ છે.
(i) સમભુજ ત્રિકોણ માટે:
આકાર: સમભુજ ત્રિકોણની દરેક બાજુની લંબાઈ \(a\) છે.
આંટાની સંખ્યા (\(n\)): જો તારની કુલ લંબાઈ \(12a\) હોય અને ત્રિકોણની પરિમિતિ \(3a\) હોય, તો આંટાની સંખ્યા \( n = \frac{12a}{3a} = 4 \) થશે.
ક્ષેત્રફળ (\(A\)): સમભુજ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ \( A = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 \) છે.
પ્રવાહ (\(I\)): જો \(R_{total}\) ત્રિકોણનો કુલ અવરોધ હોય, તો \( I = \frac{V_0}{R_{total}} \).
ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટ:
\[ m = nIA = 4 \times (\frac{V_0}{R_{total}}) \times \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 = \frac{\sqrt{3} V_0 a^2}{R_{total}} \]
(ii) ચોરસ માટે:
આકાર: ચોરસની દરેક બાજુની લંબાઈ \(a\) છે.
આંટાની સંખ્યા (\(n\)): જો તારની કુલ લંબાઈ \(12a\) હોય અને ચોરસની પરિમિતિ \(4a\) હોય, તો આંટાની સંખ્યા \( n = \frac{12a}{4a} = 3 \) થશે.
ક્ષેત્રફળ (\(A\)): ચોરસનું ક્ષેત્રફળ \( A = a^2 \) છે.
પ્રવાહ (\(I\)): \( I = \frac{V_0}{R_{total}} \).
ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટ:
\[ m = nIA = 3 \times (\frac{V_0}{R_{total}}) \times a^2 = \frac{3 V_0 a^2}{R_{total}} \]
(iii) નિયમિત ષટ્કોણ માટે:
આકાર: નિયમિત ષટ્કોણની દરેક બાજુની લંબાઈ \(a\) છે.
આંટાની સંખ્યા (\(n\)): જો તારની કુલ લંબાઈ \(12a\) હોય અને ષટ્કોણની પરિમિતિ \(6a\) હોય, તો આંટાની સંખ્યા \( n = \frac{12a}{6a} = 2 \) થશે.
ક્ષેત્રફળ (\(A\)): નિયમિત ષટ્કોણનું ક્ષેત્રફળ \( A = \frac{3\sqrt{3}}{2} a^2 \) છે.
પ્રવાહ (\(I\)): \( I = \frac{V_0}{R_{total}} \).
ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટ:
\[ m = nIA = 2 \times (\frac{V_0}{R_{total}}) \times \frac{3\sqrt{3}}{2} a^2 = \frac{3\sqrt{3} V_0 a^2}{R_{total}} \]
In simple words: એક જ તારની લંબાઈમાંથી અલગ-અલગ આકારના ગૂંચળા બનાવવામાં આવે ત્યારે તેમની આંટાની સંખ્યા અને ક્ષેત્રફળ બદલાય છે. આથી, દરેક આકાર માટે ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટ જુદી જુદી હોય છે, જે આંટાની સંખ્યા, પ્રવાહ અને ક્ષેત્રફળ પર આધાર રાખે છે.

🎯 Exam Tip: ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટનું સૂત્ર \( m = nIA \) યાદ રાખો. વિવિધ ભૌમિતિક આકારોની પરિમિતિ અને ક્ષેત્રફળની ગણતરીમાં ચોકસાઈ રાખો. કુલ લંબાઈમાંથી આંટાની સંખ્યા નક્કી કરવી મહત્વપૂર્ણ છે.

 

Question 4. R અવરોધ ધરાવતા \(12a\) લંબાઈના નિયમિત વાહક તારને પ્રવાહધારિત લૂપના સ્વરૂપમાં નીચે મુજબ વાળવામાં આવે છે : (i) \(a\) બાજુઓવાળો સમભુજ ત્રિકોણ (ii) \(a\) બાજુઓવાળો ચોરસ (iii) \(a\) બાજુઓવાળો નિયમિત ષટ્કોણ. આ ગૂંચળાઓને વોલ્ટેજ ઊગમ \(V_0\) સાથે જોડેલ છે, તો દરેક કિસ્સામાં ગૂંચળાની ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટ શોધો.
Answer: ગૂંચળાની ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટ \(m\) શોધવા માટે \(nIA\) સૂત્રનો ઉપયોગ થાય છે, જ્યાં \(n\) આંટાની સંખ્યા, \(I\) પ્રવાહ અને \(A\) ક્ષેત્રફળ છે.
(i) ત્રિકોણાકાર ગૂંચળા માટે :
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): આ ચિત્રમાં એક સમબાજુ ત્રિકોણ દર્શાવેલ છે, જેની દરેક બાજુની લંબાઈ \(a\) છે. તારને 3 આંટાવાળા ત્રિકોણના સ્વરૂપમાં વાળવામાં આવેલો છે, અને તેમાં પ્રવાહ વહે છે. સમભુજ ત્રિકોણની દરેક બાજુની લંબાઈ \(a\) છે. તારની કુલ લંબાઈ \(12a\) છે.
\( \implies \) ગૂંચળાના આંટાની સંખ્યા \(n = 3\) મળે. ગૂંચળાની ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટ, \(m = nIA = 4I(\frac{\sqrt{3}}{4}a^2)\) \[\text{જ્યાં } A = \frac{\sqrt{3} a^2}{4}\] \(m = Ia^2\sqrt{3}\)
(ii) ચોરસ ગૂંચળા માટે:
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): આ આકૃતિમાં 4 આંટાવાળો એક ચોરસ ગૂંચળો બતાવેલો છે, જેની દરેક બાજુની લંબાઈ \(a\) છે. કુલ તારની લંબાઈ \(12a\) છે અને આ ચોરસના આકારમાં 3 આંટા બનેલા છે. આંટાની સંખ્યા \(n = 3\) મળે. ચોરસનું ક્ષેત્રફળ \(A = a^2\) ચોરસ ગૂંચળાની ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટ = \(nIA\) \(m = 3I(a^2)\)
(iii) ષટ્કોણ ગૂંચળા માટે:
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): આ ચિત્રમાં 2 આંટાવાળો એક નિયમિત ષટ્કોણ દર્શાવેલ છે, જેની દરેક બાજુની લંબાઈ \(a\) છે. કુલ તારની લંબાઈ \(12a\) છે અને આ ષટ્કોણના આકારમાં 2 આંટા બનેલા છે. આંટાની સંખ્યા \(n = 2\) મળે. ગૂંચળાની ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટ \(m = nIA\) \(m = 2I(\frac{6 \sqrt{3}}{4}a^2)\) \[\text{જ્યાં } A = \frac{6 \sqrt{3} a^2}{4}\] \(m = 3\sqrt{3}I(a^2)\)In simple words: ધાતુના તારને અલગ-અલગ આકારમાં વાળવાથી તેનો ચુંબકીય મોમેન્ટ બદલાય છે. આ મોમેન્ટ વર્તમાન પ્રવાહ, આંટાની સંખ્યા અને ગૂંચળાના ક્ષેત્રફળ પર આધાર રાખે છે. લાંબા તારની નિશ્ચિત લંબાઈ માટે, આંટાઓની સંખ્યા અને ક્ષેત્રફળ અલગ-અલગ આકારો માટે અલગ હોય છે, જેનાથી ચુંબકીય મોમેન્ટ પણ બદલાય છે.

🎯 Exam Tip: ચુંબકીય દ્વિધ્રુવીય મોમેન્ટની ગણતરી કરતી વખતે, યાદ રાખો કે \(m = nIA\) છે. આપેલ તારની લંબાઈ માટે, મહત્તમ ચુંબકીય મોમેન્ટ મેળવવા માટે આકાર અને આંટાઓની સંખ્યાનું શ્રેષ્ઠ સંયોજન શોધો. જુદા-જુદા નિયમિત બહુકોણ માટે ક્ષેત્રફળ \(A\) કેવી રીતે બદલાય છે અને કુલ તારની લંબાઈ સાથે આંટાઓની સંખ્યા \(n\) કેવી રીતે સંબંધિત છે, તેના પર ધ્યાન આપો.

 

Question 4. માની લો કે \(z\)-અક્ષની દિશામાં રેખા સંકલન નીચે મુજબ છે : \[I(L) = \left|\int_{-L}^{L} \overrightarrow{B} \cdot \overrightarrow{dl}\right|\] (a) દર્શાવો કે, \(I(L)\) માં \(L\) સાથે એકસરખો વધારો થાય છે. (b) યોગ્ય એમ્પિરિયન લૂપનો ઉપયોગ કરી દર્શાવો કે \(I(\infty) = \mu_0I\) જ્યાં \(I\) એ તારમાંનો વિધુતપ્રવાહ છે. (c) ઉપરના પરિણામની સીધી ચકાસણી (પુષ્ટિ) કરો. (d) ધારો કે આપણે વર્તુળાકાર લૂપને બદલે સમાન પ્રવાહ \(I\) ધરાવતો \(R\) ભુજાઓવાળો ચોરસ લઈએ છીએ, તો તમે \(I(L)\) અને \(I(\infty)\) વિશે શું કહી શકશો ?
Answer:
(a) \(z\)-અક્ષ પર \(B(z)\) દરેક બિંદુએ સમાન દિશામાં છે. તેથી \(I\) એ \(L\) નું મોનોટોનીક્લી (મોનોટોનિકલી) વિધેય છે. \(\overrightarrow{B}\) અને \(\overrightarrow{dl}\) એક જ દિશામાં છે. તેથી, \(\overrightarrow{B} \cdot \overrightarrow{dl} = B dl \cos 0 = Bdl\)
(b) મોટા અંતરે પરિઘ રેખાના યોગદાન દ્વારા \(I(L) + \text{મોટા અંતરનું યોગદાન} \rightarrow \text{ (જ્યાં } B \propto \frac{1}{r^3})\) \(I(\infty) = \mu_0I\)
(c)
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): આ ચિત્રમાં R ત્રિજ્યાવાળી પ્રવાહધારિત વર્તુળાકાર રિંગ દર્શાવેલી છે, જે \(y-z\) સમતલમાં છે અને તેનું કેન્દ્ર ઉગમબિંદુ પર છે. \(-L\) થી \(L\) સુધીના z-અક્ષ પરના બિંદુઓ અને તેનાથી \(\text{P}\) બિંદુનું અંતર \(\sqrt{Z^2 + R^2}\) દર્શાવેલું છે. આ ચિત્ર કેન્દ્રથી z-અક્ષ પરના કોઈ બિંદુએ ચુંબકીય ક્ષેત્રની ગણતરી દર્શાવે છે. R ત્રિજ્યાની વિદ્યુતપ્રવાહધારિત રિંગ \(y-z\) સમતલમાં છે. તેનું કેન્દ્ર ઊગમબિંદુ પર છે, તો આ રિંગના કેન્દ્રથી કોઈ પણ બિંદુએ ચુંબકીય ક્ષેત્ર, \[B_z = \frac{\mu_0IR^2}{2(z^2 + R^2)^{3/2}}\] \[\int_{-\infty}^{\infty} B_zdz = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\mu_0IR^2}{2(z^2 + R^2)^{3/2}} dz\] \(z = R\tan\theta\) લેતાં, \(dz = R\sec^2\theta d\theta\) \[\int_{-\infty}^{\infty} B_zdz = \frac{\mu_0I}{2} \int_{-\pi/2}^{\pi/2} (\cos\theta)d\theta = \mu_0I\]
(d) ચોરસ લૂપ માટે, \(B(z)_{\text{ચોરસ}} < B(z)_{\text{વર્તુળાકાર ગૂંચળું}}\)
\( \implies I(L)_{\text{ચોરસ}} < I(L)_{\text{વર્તુળાકાર ગૂંચળું}}\) પરંતુ, વિકલ્પ (b) ની ચર્ચા પ્રમાણે, \(I(\infty)_{\text{ચોરસ}} < I(\infty)_{\text{વર્તુળાકાર ગૂંચળું}}\)In simple words: \(z\)-અક્ષ પર ચુંબકીય ક્ષેત્રનું રેખા સંકલન લંબાઈ \(L\) સાથે વધે છે. અનંત લંબાઈના સીધા તાર માટે, આ સંકલન \(\mu_0I\) બરાબર હોય છે. જો આપણે વર્તુળાકાર લૂપની સરખામણી સમાન પ્રવાહ અને \(R\) બાજુવાળા ચોરસ લૂપ સાથે કરીએ, તો ચોરસ લૂપ માટે ચુંબકીય ક્ષેત્ર અને તેનું રેખા સંકલન બંને ઓછા હશે.

🎯 Exam Tip: રેખા સંકલન ગણતી વખતે, ખાસ કરીને અનંત લંબાઈના કિસ્સામાં, એમ્પીયરનો સર્કિટલ નિયમ (\(\oint \overrightarrow{B} \cdot \overrightarrow{dl} = \mu_0I_{\text{enclosed}}\)) યાદ રાખો. વિવિધ ભૂમિતિઓ માટે ચુંબકીય ક્ષેત્રની ગણતરી માટે બાયો-સાવર્ટનો નિયમ અથવા સીધો સંકલન ઉપયોગી છે. સમપ્રમાણતા અને સીમાંત પરિસ્થિતિઓ પર ધ્યાન આપો.

 

Question 6. આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ ગેલ્વેનોમીટરનો ઉપયોગ કરી મલ્ટિરેન્જ પ્રવાહ મીટરની રચના કરી શકાય છે. 10 Ω અવરોધ ધરાવતું ગેલ્વેનોમીટર કે જે 1 mA પ્રવાહ માટે મહત્તમ કોણાવર્તન દર્શાવે છે તેનો ઉપયોગ કરી 10 mA, 100 mA અને 1A માપી શકે તેવા પ્રવાહ મીટરો બનાવવાં છે, તો તેના માટે ઉપયોગમાં લીધેલ \(S_1\), \(S_2\) અને \(S_3\) નાં મૂલ્યો શોધો.
Answer:
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): આ ચિત્ર એક મલ્ટિરેન્જ એમીટર સર્કિટ દર્શાવે છે જેમાં ગેલ્વેનોમીટર (G) 10 Ω અવરોધ ધરાવે છે અને તેની સાથે ત્રણ શંટ અવરોધો \(S_1\), \(S_2\) અને \(S_3\) સમાંતરમાં જોડાયેલા છે. આ વ્યવસ્થા 10 mA, 100 mA અને 1 A ની રેન્જમાં પ્રવાહ માપવા માટે ડિઝાઇન કરવામાં આવી છે. ગેલ્વેનોમીટરને એમીટરમાં રૂપાંતરિત કરવા માટે ગેલ્વેનોમીટરની સાથે નાના મૂલ્યનો અવરોધ (શંટ) જોડવામાં આવે છે. \(G\) અને \(S\) વચ્ચેનો સંબંધ: \[S = \frac{I_G G}{I - I_G}\] જ્યાં \(G\) = ગેલ્વેનોમીટરનો અવરોધ છે. \(I_G\) = ગેલ્વેનોમીટરની પ્રવાહક્ષમતા છે.
(1) \(I_1 = 10 \text{ mA}\) માટે: \(G = 10 \text{ Ω}\) \[S_1 + S_2 + S_3 = \frac{I_G G}{I_1 - I_G}\] \[S_1 + S_2 + S_3 = \frac{(1 \times 10) \text{ mA}}{(10 - 1) \text{ mA}} = \frac{10}{9} \quad \ldots (1)\]
(2) \(I_2 = 100 \text{ mA}\) માટે: \(G' = G + S_1\) \[S_2 + S_3 = \frac{I_G (G + S_1)}{I_2 - I_G}\] \[S_2 + S_3 = \frac{1 \text{ mA}(10 + S_1)}{(100 - 1) \text{ mA}} = \frac{10 + S_1}{99} \quad \ldots (2)\]
(3) \(I_3 = 1 \text{ A}\) માટે: \(G'' = G + S_1 + S_2\) \[S_3 = \frac{I_G (G + S_1 + S_2)}{I_3 - I_G}\] \[S_3 = \frac{1 \text{ mA}(10 + S_1 + S_2)}{(1000 - 1) \text{ mA}} = \frac{10 + S_1 + S_2}{999} \quad \ldots (3)\] સમીકરણ (1) અને સમીકરણ (2) પરથી, \(S_1 + \frac{10 + S_1}{99} = \frac{10}{9}\) \(S_1 + \frac{S_1}{99} = \frac{10}{9} - \frac{10}{99}\) \(\frac{100 S_1}{99} = \frac{110 - 10}{99}\) \(100 S_1 = 100\)
\( \implies S_1 = 1 \text{ Ω}\) \(\ldots (4)\) સમીકરણ (2) માં \(S_1 = 1 \text{ Ω}\) મૂકતાં, \(S_2 + S_3 = \frac{10 + 1}{99} = \frac{11}{99} = \frac{1}{9} \quad \ldots (5)\) સમીકરણ (3) અને સમીકરણ (5) પરથી, \(S_2 + \frac{10 + S_1 + S_2}{999} = \frac{1}{9}\) \(S_2 + \frac{10 + 1 + S_2}{999} = \frac{1}{9}\) \(S_2 + \frac{11 + S_2}{999} = \frac{1}{9}\) \(\frac{999 S_2 + 11 + S_2}{999} = \frac{1}{9}\) \(\frac{1000 S_2 + 11}{999} = \frac{1}{9}\) \(1000 S_2 + 11 = \frac{999}{9}\) \(1000 S_2 + 11 = 111\) \(1000 S_2 = 100\)
\( \implies S_2 = 0.1 \text{ Ω}\) સમીકરણ (5) માં \(S_2 = 0.1 \text{ Ω}\) મૂકતાં, \(0.1 + S_3 = \frac{1}{9}\) \(S_3 = \frac{1}{9} - 0.1 = \frac{1}{9} - \frac{1}{10} = \frac{10 - 9}{90} = \frac{1}{90}\)
\( \implies S_3 \approx 0.0111 \text{ Ω} \approx 0.01 \text{ Ω}\)In simple words: ગેલ્વેનોમીટરને અલગ-અલગ કરંટ રેન્જ માપવા માટે શંટ અવરોધો સમાંતરમાં જોડવામાં આવે છે. દરેક રેન્જ માટે શંટ અવરોધોના ચોક્કસ મૂલ્યોની ગણતરી કરવાની હોય છે. ગેલ્વેનોમીટરના ગુણધર્મો અને ઇચ્છિત કરંટ રેન્જ પર આધારિત સમીકરણોનો ઉપયોગ કરીને, આપણે શંટ અવરોધોના મૂલ્યો શોધી શકીએ છીએ.

🎯 Exam Tip: મલ્ટિ-રેન્જ એમીટર અથવા વોલ્ટમીટર ડિઝાઇન કરતી વખતે, શંટ અને શ્રેણી અવરોધો માટેના મૂળભૂત સૂત્રો યાદ રાખો. એમીટર માટે શંટ સમાંતરમાં હોય છે, જ્યારે વોલ્ટમીટર માટે શ્રેણી અવરોધોનો ઉપયોગ થાય છે. બહુવિધ રેન્જ માટે એકસાથે સમીકરણો ગોઠવવાની અને ઉકેલવાની પ્રેક્ટિસ કરો.

 

Question 7. દરેકમાંથી પ્રવાહ વહેતો હોય એવા પાંચ લાંબા તાર A, B, C, D અને E ને પંચકોણ પ્રિઝમની બાજુઓ બનાવે તે રીતે, આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ ગોઠવેલ છે. દરેકમાં પ્રવાહ કાગળના સમતલમાંથી બહાર તરફ વહે છે. (a) અક્ષ ઉપર આવેલા બિંદુ \(O\) પાસે ચુંબકીય પ્રેરણ કેટલું હશે ? અક્ષ દરેક તારથી સમાન \(R\) અંતરે આવેલી છે. (b) જો કોઈ એક તાર (જેમ કે A) માં પ્રવાહ બંધ કરવામાં આવે, તો \(O\) પાસે ચુંબકીય ક્ષેત્ર કેટલું હશે ? (c) જો કોઈ એક તાર (જેમ કે A) માં પ્રવાહની દિશા ઊલટાવવામાં આવે, તો પરિણામ શું થશે ?
Answer:
(a) આકૃતિમાં દર્શાવ્યા પ્રમાણે પાંચ તાર A, B, C, D, E પુસ્તકના પાનાને લંબરૂપે છે.
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): આ ચિત્ર એક નિયમિત પંચકોણ દર્શાવે છે જેના શિરોબિંદુઓ A, B, C, D, E પર લાંબા સીધા તાર ગોઠવેલા છે. આ દરેક તારમાંથી પ્રવાહ કાગળના સમતલમાંથી બહાર તરફ વહે છે અને પંચકોણના કેન્દ્ર \(O\) થી દરેક તારનું અંતર \(R\) છે. આ ગોઠવણીના કારણે કેન્દ્ર \(O\) પર ઉદ્ભવતું કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર સમજાવવા માટે સદિશોનો ઉપયોગ કરવામાં આવ્યો છે. આ તારના કારણે \(O\) પાસે મળતાં ચુંબકીય પ્રેરણના સદિશોને ક્રમાનુસાર ગોઠવતાં સમતલીય બંધ પંચકોણ મળે છે. જેથી, પરિણામી ચુંબકીય પ્રેરણ શૂન્ય મળે.
(b) વિકલ્પ (a) માં ચર્ચા કર્યા પ્રમાણે, પાંચ તારના કારણે \(O\) પાસે ચુંબકીય ક્ષેત્ર શૂન્ય મળે છે. \(\overrightarrow{B}_A + \overrightarrow{B}_B + \overrightarrow{B}_C + \overrightarrow{B}_D + \overrightarrow{B}_E = 0\) જ્યારે તાર A માં પ્રવાહ બંધ કરવામાં આવે, ત્યારે કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર \(\overrightarrow{B}'\) નીચે મુજબ મળે: \(\overrightarrow{B}' = \overrightarrow{B}_B + \overrightarrow{B}_C + \overrightarrow{B}_D + \overrightarrow{B}_E\) આથી, \(\overrightarrow{B}' = -\overrightarrow{B}_A\) ચાર તારના કારણે પરિણામી ચુંબકીય પ્રેરણનું મૂલ્ય \[|\overrightarrow{B}'| = |\overrightarrow{B}_A| = \frac{\mu_0I}{2\pi R}\] અને તેની દિશા \(\overrightarrow{B}_A\) ની વિરુદ્ધ દિશામાં, એટલે કે AO ને લંબ અંદર તરફ હશે.
(c) A માંથી પસાર થતાં પ્રવાહની દિશા ઊલટાવતા તેનાં કારણે મળતું ચુંબકીય પ્રેરણ મળે તેથી કેન્દ્ર પર પરિણામી ચુંબકીય ક્ષેત્ર, જ્યારે તાર A માં પ્રવાહની દિશા ઉલટાવવામાં આવે, ત્યારે તેનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર \(\overrightarrow{B}_A\) પણ ઉલટાઈ જશે. હવે, કેન્દ્ર \(O\) પર પરિણામી ચુંબકીય ક્ષેત્ર: \(\overrightarrow{B}_{\text{resultant}} = -\overrightarrow{B}_A + \overrightarrow{B}_B + \overrightarrow{B}_C + \overrightarrow{B}_D + \overrightarrow{B}_E\) આપણને ખબર છે કે \(\overrightarrow{B}_B + \overrightarrow{B}_C + \overrightarrow{B}_D + \overrightarrow{B}_E = -\overrightarrow{B}_A\) આથી, \(\overrightarrow{B}_{\text{resultant}} = -\overrightarrow{B}_A + (-\overrightarrow{B}_A) = -2\overrightarrow{B}_A\) આનો અર્થ એ છે કે પરિણામી ચુંબકીય ક્ષેત્રનું મૂલ્ય બે ગણું થઈ જશે અને તેની દિશા \(\overrightarrow{B}_A\) ની મૂળ દિશાની વિરુદ્ધ હશે. \[|\overrightarrow{B}_{\text{resultant}}| = \frac{2\mu_0I}{2\pi R} = \frac{\mu_0I}{\pi R}\] અને તેની દિશા AO ને લંબ અંદર તરફ હશે.In simple words: સમાન રીતે ગોઠવેલા પાંચ તાર, જેમાં દરેકમાંથી પ્રવાહ બહારની તરફ વહે છે, તેમના કારણે કેન્દ્ર પરનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર સદિશ સરવાળાને કારણે શૂન્ય બને છે. જો કોઈ એક તારમાંથી પ્રવાહ બંધ કરવામાં આવે, તો બાકીના તારોનું પરિણામી ક્ષેત્ર તે એક તારના ક્ષેત્રફળ જેટલું અને વિરુદ્ધ દિશામાં હશે. જો કોઈ એક તારના પ્રવાહની દિશા ઉલટાવવામાં આવે, તો કેન્દ્ર પરનું કુલ ક્ષેત્ર તે એક તારના ક્ષેત્રફળના બમણા જેટલું અને તેની ઉલટાવેલી દિશામાં હશે.

🎯 Exam Tip: સમપ્રમાણ પ્રવાહ વિતરણ માટે, ચુંબકીય ક્ષેત્રોના સદિશ સરવાળાને કાળજીપૂર્વક ધ્યાનમાં લો. ઘણીવાર, સમપ્રમાણતાને કારણે રદબાતલ થઈ શકે છે. જ્યારે પ્રવાહ દૂર કરવામાં આવે અથવા ઉલટાવવામાં આવે, ત્યારે પરિણામી ક્ષેત્રની ગણતરી વ્યક્તિગત ક્ષેત્રના ફાળોને સદિશરૂપે બાદ કરીને અથવા ઉમેરીને કરો.