GSEB Class 12 Physics Solutions Chapter 3 પ્રવાહ વિદ્યુત

Question 1. કારની એક સંગ્રાહક બેટરીનું emf 12V છે. જો બેટરીનો આંતરિક અવરોધ 0.4 \( \Omega \) હોય તો બેટરીમાંથી કેટલો મહત્તમ પ્રવાહ ખેંચી શકાય ? (ઓગષ્ટ 2020)

Answer:
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): આ ચિત્ર એક બેટરી દર્શાવે છે જેનો EMF E છે અને તેમાં આંતરિક અવરોધ R છે. જ્યારે બેટરીમાંથી પ્રવાહ I વહે છે, ત્યારે તે એક પરિપથનો ભાગ બનાવે છે. \[ I = \frac{E}{R+r} \] અહીં, R = 0 (મહત્તમ પ્રવાહ માટે). \[ I_{max} = \frac{E}{r} = \frac{12}{0.4} = 30 \, A \]
In simple words: એક કારની બેટરી 12 વોલ્ટની છે અને તેનો અંદરનો અવરોધ 0.4 ઓહ્મ છે. તેમાંથી વધુમાં વધુ 30 એમ્પીયરનો કરંટ ખેંચી શકાય છે.

🎯 Exam Tip: મહત્તમ પ્રવાહની ગણતરી કરતી વખતે, બાહ્ય અવરોધને શૂન્ય તરીકે ગણવામાં આવે છે. આ સૂત્ર \(I_{max} = E/r\) નો ઉપયોગ કરીને યોગ્ય રીતે EMF અને આંતરિક અવરોધની કિંમતો મૂકો.

 

Question 2. 10 V જેટલું emf અને 3 \( \Omega \) જેટલો આંતરિક અવરોધ ધરાવતી બેટરીને એક અવરોધક સાથે જોડવામાં આવે છે. જો પરિપથમાં પ્રવાહ 0.5 A હોય તો અવરોધકનો અવરોધ કેટલો હશે ? જ્યારે પરિપથ બંધ (જોડેલો) હોય તે સ્થિતિમાં બેટરીનો ટર્મિનલ વોલ્ટેજ કેટલો હશે?

Answer:
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): આ ડાયગ્રામ એક બેટરી દર્શાવે છે જેનું EMF 10V છે અને આંતરિક અવરોધ r = 3 \( \Omega \) છે. તેને એક બાહ્ય અવરોધ R સાથે જોડવામાં આવે છે, અને પરિપથમાં 0.5A પ્રવાહ વહે છે. \[ I = \frac{E}{R+r} \]
\( \implies \) \[ R+r = \frac{E}{I} \] \[ R = \frac{E}{I} - r \] \[ = \frac{10}{0.5} - 3 \] \[ = 20 - 3 = 17 \, \Omega \] હવે, ટર્મિનલ વોલ્ટેજ \(V = IR\) \[ V = 0.5 \times 17 \] \[ = 8.5 \, V \]
In simple words: એક બેટરી 10 વોલ્ટની છે અને તેનો અંદરનો અવરોધ 3 ઓહ્મ છે. જ્યારે તેને એક બીજા અવરોધ સાથે જોડવામાં આવે છે અને 0.5 એમ્પીયરનો કરંટ વહે છે, ત્યારે તે બીજા અવરોધનું મૂલ્ય 17 ઓહ્મ હશે. આ સમયે બેટરીનો ટર્મિનલ વોલ્ટેજ 8.5 વોલ્ટ હશે.

🎯 Exam Tip: કુલ અવરોધ શોધવા માટે બેટરીના EMF ને પ્રવાહ વડે ભાગો અને પછી આંતરિક અવરોધ બાદ કરો. ટર્મિનલ વોલ્ટેજ શોધવા માટે, બાહ્ય અવરોધ અને પ્રવાહનો ગુણાકાર કરો.

 

Question 3.
(a) 1 \( \Omega \), 2 \( \Omega \) અને 3 \( \Omega \) ના ત્રણ અવરોધો શ્રેણીમાં જોડેલાં છે. આ સંયોજનનો કુલ અવરોધ કેટલો હશે ?
(b) જો આ સંયોજનને 12 V જેટલું emf અને અવગણ્ય આંતરિક અવરોધ ધરાવતી બેટરી સાથે જોડવામાં આવે તો દરેક અવરોધને છેડે વોલ્ટેજ તફાવત શોધો.

Answer:
(a) શ્રેણી જોડાણ માટે, કુલ અવરોધ \(R_S\) એ બધા અવરોધોના સરવાળા જેટલો હોય છે: \[ R_S = R_1 + R_2 + R_3 \] \[ = 1 + 2 + 3 \] \[ = 6 \, \Omega \]
(b)
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): આ ચિત્રમાં 1 \( \Omega \), 2 \( \Omega \), અને 3 \( \Omega \) ના ત્રણ અવરોધો શ્રેણીમાં જોડાયેલા છે. આ સંયોજનને 12V EMF અને શૂન્ય આંતરિક અવરોધ ધરાવતી બેટરી સાથે જોડવામાં આવે છે. ધારો કે \(V_1, V_2\), અને \(V_3\) અનુક્રમે \(R_1, R_2\), અને \(R_3\) ના છેડા વચ્ચેનો પોટેન્શિયલ તફાવત (Pd.) છે. જ્યારે આંતરિક અવરોધ \(r = 0\) હોય, ત્યારે પરિપથમાં પ્રવાહ \(I\) આ મુજબ ગણી શકાય: \[ I = \frac{E}{R_S} \] \[ = \frac{12}{6} \]
\( \implies \) \[ I = 2 \, A \] દરેક અવરોધમાં વોલ્ટેજ ડ્રોપ આ પ્રમાણે હશે: \[ V_1 = IR_1 = 2 \times 1 = 2 \, V \] \[ V_2 = IR_2 = 2 \times 2 = 4 \, V \] \[ V_3 = IR_3 = 2 \times 3 = 6 \, V \]
In simple words: (a) જ્યારે 1, 2 અને 3 ઓહ્મ અવરોધોને શ્રેણીમાં જોડીએ, ત્યારે કુલ અવરોધ 6 ઓહ્મ થાય છે. (b) જો આ અવરોધોને 12 વોલ્ટની બેટરી સાથે જોડીએ, તો 1 ઓહ્મ અવરોધ પર 2 વોલ્ટ, 2 ઓહ્મ અવરોધ પર 4 વોલ્ટ અને 3 ઓહ્મ અવરોધ પર 6 વોલ્ટનો વોલ્ટેજ ડ્રોપ થશે.

🎯 Exam Tip: શ્રેણીમાં કુલ અવરોધ શોધવા માટે બધા અવરોધોનો સરવાળો કરો. દરેક અવરોધ પર વોલ્ટેજ ડ્રોપ શોધવા માટે, ઓહ્મના નિયમ \(V=IR\) નો ઉપયોગ કરો, જ્યાં I એ શ્રેણી પરિપથમાં વહેતો કુલ પ્રવાહ છે.

 

Question 4.
(a) 2 \( \Omega \), 4 \( \Omega \) અને 5 \( \Omega \) ના ત્રણ અવરોધો સમાંતરમાં જોડેલા છે. આ સંયોજનોનો કુલ અવરોધ કેટલો હશે ?
(b) જો આ સંયોજનને 20 V જેટલું emf અને અવગણ્ય આંતરિક અવરોધ ધરાવતી બેટરી સાથે જોડવામાં આવે તો દરેક અવરોધમાંથી વહેતો પ્રવાહ અને બેટરીમાંથી ખેંચાતો કુલ પ્રવાહ શોધો.

Answer:
(a) સમાંતર જોડાણ માટે, કુલ અવરોધ \(R_p\) માટેનું સૂત્ર: \[ \frac{1}{R_p} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3} \] \[ = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} \] \[ = \frac{10+5+4}{20} \] \[ = \frac{19}{20} \]
\( \implies \) \[ R_p = \frac{20}{19} \, \Omega \]
(b)
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): આ ચિત્રમાં 2 \( \Omega \), 4 \( \Omega \), અને 5 \( \Omega \) ના ત્રણ અવરોધો સમાંતરમાં જોડાયેલા છે. તેમને 20V EMF અને અવગણ્ય આંતરિક અવરોધ ધરાવતી બેટરી સાથે જોડવામાં આવે છે. ધારો કે \(I_1, I_2\) અને \(I_3\) અનુક્રમે \(R_1, R_2\) અને \(R_3\) માંથી વહેતા પ્રવાહો છે. કારણ કે સમાંતર જોડાણમાં વોલ્ટેજ સમાન રહે છે, તેથી દરેક શાખામાં પ્રવાહ આ મુજબ હશે: \[ I_1 = \frac{E}{R_1} = \frac{20}{2} = 10 \, A \] \[ I_2 = \frac{E}{R_2} = \frac{20}{4} = 5 \, A \] \[ I_3 = \frac{E}{R_3} = \frac{20}{5} = 4 \, A \] બેટરીમાંથી ખેંચાતો કુલ પ્રવાહ \(I\) એ બધા શાખા પ્રવાહોનો સરવાળો હશે: \[ I = I_1 + I_2 + I_3 \] \[ = 10 + 5 + 4 \] \[ = 19 \, A \]
અથવા, કુલ પ્રવાહ \(I\) એ કુલ EMF અને કુલ સમાંતર અવરોધનો ગુણોત્તર પણ હોઈ શકે: \[ I = \frac{E}{R_p} \] \[ = \frac{20}{\frac{20}{19}} \] \[ = 19 \, A \]
In simple words: (a) જ્યારે 2, 4 અને 5 ઓહ્મ અવરોધોને સમાંતર જોડીએ, ત્યારે તેમનો કુલ અવરોધ 20/19 ઓહ્મ થાય છે. (b) જો આ અવરોધોને 20 વોલ્ટની બેટરી સાથે જોડીએ, તો 2 ઓહ્મ અવરોધમાંથી 10 એમ્પીયર, 4 ઓહ્મ અવરોધમાંથી 5 એમ્પીયર અને 5 ઓહ્મ અવરોધમાંથી 4 એમ્પીયરનો કરંટ વહેશે. બેટરીમાંથી કુલ 19 એમ્પીયરનો કરંટ ખેંચાશે.

🎯 Exam Tip: સમાંતર જોડાણમાં, કુલ પ્રવાહ શોધવા માટે દરેક શાખાના પ્રવાહનો સરવાળો કરો. કુલ અવરોધ શોધવા માટે, \(1/R_p = 1/R_1 + 1/R_2 + ...\) સૂત્રનો ઉપયોગ કરો.

 

Question 5. એક ગરમ કરવા વપરાતા ઘટક તારનો ઓરડાના તાપમાને (27.0 °C) અવરોધ 100 \( \Omega \) છે. જો અવરોધકના દ્રવ્યની અવરોધકતાનો તાપમાન ગુણાંક 1.70 \( \times 10^{-4} \) °C\(^{-1}\) આપેલ હોય તો તારનો અવરોધ 117 \( \Omega \) થાય ત્યારે તારનું તાપમાન શોધો.

Answer:અવરોધમાં તાપમાનના ફેરફાર માટેનું સૂત્ર: \[ R_\theta = R_0 [1 + \alpha (\theta - \theta_0)] \] અહીં, \(R_\theta = 117 \, \Omega\) (અંતિમ અવરોધ), \(R_0 = R_{27} = 100 \, \Omega\) (પ્રારંભિક અવરોધ), \(\theta_0 = 27^\circ C\) (પ્રારંભિક તાપમાન), \(\alpha = 1.70 \times 10^{-4} \, ^\circ C^{-1}\) (તાપમાન ગુણાંક). \[ 117 = 100 [1 + 1.70 \times 10^{-4}(\theta - 27)] \] \[ \frac{117}{100} = 1 + 1.70 \times 10^{-4}(\theta - 27) \] \[ 1.17 = 1 + 1.70 \times 10^{-4}\theta - (1.70 \times 10^{-4} \times 27) \] \[ 1.17 = 1 + 1.70 \times 10^{-4}\theta - 0.00459 \] \[ 1.17 - 1 + 0.00459 = 1.70 \times 10^{-4}\theta \] \[ 0.17 + 0.00459 = 1.70 \times 10^{-4}\theta \] \[ 0.17459 = 1.70 \times 10^{-4}\theta \]
\( \implies \) \[ \theta = \frac{0.17459}{1.70 \times 10^{-4}} \] \[ \theta = \frac{1745.9}{1.70} \] \[ \theta = 1027 \, ^\circ C \]
In simple words: એક ગરમ થતા તારનો સામાન્ય રૂમ તાપમાને (27 °C) 100 ઓહ્મ અવરોધ છે. જો તારનું તાપમાન વધારીએ અને તેનો અવરોધ 117 ઓહ્મ થાય, તો તેનું નવું તાપમાન 1027 °C હશે. તારના દ્રવ્યનો અવરોધ તાપમાન સાથે કેવી રીતે બદલાય છે તે ગુણાંક 1.70 \( \times 10^{-4} \) °C\(^{-1}\) છે.

🎯 Exam Tip: તાપમાન સાથે અવરોધના બદલાવનું સૂત્ર \(R_\theta = R_0 [1 + \alpha (\theta - \theta_0)]\) યાદ રાખો. ગણતરી કરતી વખતે દશાંશ સ્થાનો અને ઘાતની ચોકસાઈ જાળવવી ખૂબ જરૂરી છે.

 

Question 6. 15 m લંબાઈના અને 6.0 \( \times 10^{-7} \) m\(^2\) જેટલું નિયમિત ક્ષેત્રફળ ધરાવતા તારમાંથી અવગણી શકાય તેટલો ઓછો પ્રવાહ પસાર કરવામાં આવે છે ત્યારે તેનો અવરોધ 5.0 \( \Omega \) માપવામાં આવે છે. આ પ્રયોગ કરવાના તાપમાને તારના દ્રવ્યની અવરોધકતા કેટલી હશે ?

Answer:અવરોધકતા એ દ્રવ્યનો ગુણધર્મ છે જે તેની જાત અને તાપમાન પર આધાર રાખે છે, પરિમાણ પર નહીં. અહીં, લંબાઈ \(l = 15 \, m\), ક્ષેત્રફળ \(A = 6.0 \times 10^{-7} \, m^2\), અને અવરોધ \(R = 5.0 \, \Omega\). અવરોધ \(R\) માટેનું સૂત્ર અવરોધકતા \( \rho \) ના સંદર્ભમાં: \[ R = \frac{\rho l}{A} \] તેથી, અવરોધકતા \( \rho \) માટે: \[ \rho = \frac{RA}{l} \] \[ = \frac{5.0 \times 6.0 \times 10^{-7}}{15} \] \[ = \frac{30.0 \times 10^{-7}}{15} \] \[ = 2 \times 10^{-7} \, \Omega m \]
In simple words: એક તારની લંબાઈ 15 મીટર અને ક્ષેત્રફળ 6.0 \( \times 10^{-7} \) m\(^2\) છે. જો તે તારનો અવરોધ 5.0 ઓહ્મ હોય, તો તે તારના દ્રવ્યની અવરોધકતા 2 \( \times 10^{-7} \) ઓહ્મ-મીટર હશે.

🎯 Exam Tip: અવરોધકતા \( \rho \) એ દ્રવ્યનો લાક્ષણિક ગુણધર્મ છે. અવરોધ, લંબાઈ અને આડછેદના ક્ષેત્રફળ વચ્ચેના સંબંધ \(R = \frac{\rho l}{A}\) નો ઉપયોગ કરીને ગણતરી કરો.

 

Question 7. એક ચાંદીના તારનો 27.5 °C તાપમાને અવરોધ 2.1 \( \Omega \) અને 100 °C તાપમાને અવરોધ 2.7 \( \Omega \) છે. ચાંદીનો અવરોધતાનો તાપમાન ગુણાંક શોધો.

Answer:અહીં આપેલી કિંમતો: \(R_1 = 2.1 \, \Omega\) (પ્રારંભિક અવરોધ) \(R_2 = 2.7 \, \Omega\) (અંતિમ અવરોધ) \(t_1 = 27.5^\circ C\) (પ્રારંભિક તાપમાન) \(t_2 = 100^\circ C\) (અંતિમ તાપમાન) અવરોધના તાપમાન ગુણાંક \(\alpha\) માટેનું સૂત્ર: \[ R_2 = R_1[1 + \alpha (t_2 - t_1)] \] \[ \frac{R_2}{R_1} = 1 + \alpha (t_2 - t_1) \] \[ \frac{R_2}{R_1} - 1 = \alpha (t_2 - t_1) \] \[ \alpha = \frac{R_2 - R_1}{R_1(t_2 - t_1)} \] \[ = \frac{2.7 - 2.1}{2.1(100 - 27.5)} \] \[ = \frac{0.6}{2.1 \times 72.5} \] \[ = \frac{0.6}{152.25} \] \[ = 0.0039408... \] \[ \alpha \approx 0.0039 \, ^\circ C^{-1} \]
In simple words: એક ચાંદીના તારનો અવરોધ 27.5 °C તાપમાને 2.1 ઓહ્મ અને 100 °C તાપમાને 2.7 ઓહ્મ છે. તેનો અવરોધતાનો તાપમાન ગુણાંક 0.0039 પ્રતિ ડિગ્રી સેલ્સિયસ છે.

🎯 Exam Tip: તાપમાન ગુણાંકની ગણતરી કરતી વખતે, તાપમાનના તફાવતને યોગ્ય રીતે બાદ કરો અને ભાગાકારમાં ચોકસાઈ રાખો. એકમોને યોગ્ય રીતે દર્શાવવાનું યાદ રાખો (\(^\circ C^{-1}\) અથવા \(K^{-1}\)).

 

Question 8. નિક્રોમના બનેલા એક ગરમ કરવાના તાર (Heating Element) ને 230 V ના ઉદ્ગમ સાથે જોડતાં પ્રારંભમાં તે 3.2 A પ્રવાહ ખેંચે છે કે જે અમુક સેકન્ડ બાદ 2.8 A જેટલો સ્થાયી થાય છે. જો ઓરડાનું તાપમાન 27.0 °C જેટલું હોય તો ગરમ કરતાં તારનું સ્થાયી તાપમાન કેટલું હશે ? સંકળાયેલ તાપમાનના ગાળા માટે નિક્રોમના અવરોધના તાપમાન ગુણાંકનું સરેરાશ મૂલ્ય 1.70 \( \times 10^{-4} \) °C\(^{-1}\) છે.

Answer:અહીં આપેલી વિગતો: \(I_1 = 3.2 \, A\) (પ્રારંભિક પ્રવાહ) \(I_2 = 2.8 \, A\) (સ્થાયી પ્રવાહ) \(V = 230 \, V\) (વોલ્ટેજ) \(\alpha = 1.70 \times 10^{-4} \, ^\circ C^{-1}\) (તાપમાન ગુણાંક) \(t_1 = 27.5^\circ C\) (ઓરડાનું તાપમાન) \(t_2 = ?\) (સ્થાયી તાપમાન) પ્રારંભિક અવરોધ \(R_1\) (ઓરડાના તાપમાને) ઓહ્મના નિયમ અનુસાર: \[ R_1 = \frac{V}{I_1} = \frac{230}{3.2} \] \[ R_1 = 71.875 \, \Omega \] સ્થાયી તાપમાને અવરોધ \(R_2\): \[ R_2 = \frac{V}{I_2} = \frac{230}{2.8} \] \[ R_2 = 82.1428... \, \Omega \] \[ R_2 \approx 82.143 \, \Omega \] હવે, અવરોધના તાપમાન પર આધારિત સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને \(t_2\) શોધીએ: \[ R_2 = R_1 [1 + \alpha (t_2 - t_1)] \] \[ \frac{R_2}{R_1} = 1 + \alpha (t_2 - t_1) \] \[ \frac{R_2}{R_1} - 1 = \alpha (t_2 - t_1) \] \[ t_2 - t_1 = \frac{R_2 - R_1}{R_1 \alpha} \] \[ t_2 = t_1 + \frac{R_2 - R_1}{R_1 \alpha} \] \[ t_2 = 27.5 + \frac{82.143 - 71.875}{71.875 \times 1.70 \times 10^{-4}} \] \[ t_2 = 27.5 + \frac{10.268}{0.01222} \] \[ t_2 = 27.5 + 840.26 \] \[ t_2 = 867.76 \, ^\circ C \] \[ t_2 \approx 867 \, ^\circ C \]
In simple words: એક હીટિંગ તારને 230 વોલ્ટ સાથે જોડવામાં આવે છે. શરૂઆતમાં તે 3.2 એમ્પીયર પ્રવાહ લે છે, જે પછી 2.8 એમ્પીયરમાં સ્થિર થાય છે. જો રૂમનું તાપમાન 27.0 °C હોય અને તારના દ્રવ્યનો તાપમાન ગુણાંક 1.70 \( \times 10^{-4} \) °C\(^{-1}\) હોય, તો તે તારનું સ્થિર તાપમાન લગભગ 867 °C હશે.

🎯 Exam Tip: આવા દાખલાઓમાં, પ્રારંભિક અને અંતિમ અવરોધોની ગણતરી ઓહ્મના નિયમ \(R=V/I\) નો ઉપયોગ કરીને કરો. પછી તાપમાન ગુણાંકના સૂત્રમાં કિંમતો મૂકીને અંતિમ તાપમાન મેળવો. ગણતરીમાં દશાંશ સ્થાનોની ચોકસાઈ ખૂબ જ મહત્વપૂર્ણ છે.

 

Question 9. આકૃતિમાં દર્શાવેલ નેટવર્ક માટે દરેક શાખામાંથી વહેતો પ્રવાહ શોધો. (માર્ચ- 2020)

Answer:
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): આ ચિત્ર એક સર્કિટ નેટવર્ક દર્શાવે છે જેમાં અવરોધો 10 \( \Omega \) અને 5 \( \Omega \) ના જુદા જુદા સંયોજનો છે, અને તેને 10V ની બેટરી સાથે જોડવામાં આવ્યું છે. A અને C બિંદુઓ વચ્ચે બેટરી જોડાયેલી છે. આકૃતિમાં જુદી જુદી શાખાઓમાંથી વહેતા પ્રવાહોની દિશા અને મૂલ્યો દર્શાવ્યા છે. ધારો કે A અને C વચ્ચે બેટરી જોડતા કુલ પ્રવાહ \(I\) છે. નેટવર્કની વિવિધ શાખાઓમાંથી વહેતા પ્રવાહો અને તેમની દિશા આકૃતિમાં દર્શાવેલ છે. **બંધ ગાળા A B D A માટે કિર્ચીફના બીજા નિયમ (વોલ્ટેજ નિયમ) પરથી:** (પ્રવાહની દિશામાં અવરોધ પર વોલ્ટેજ ડ્રોપને નેગેટિવ લઈએ) \[ -10I_1 - 5I_2 + 5(I-I_1) - 5(I-I_1) = 0 \] (ઉપરના સમીકરણમાં અવરોધો 5 \( \Omega \) વાળી શાખાઓમાં પ્રવાહની દિશા ધ્યાનમાં લેતા.) \[ -10I_1 - 5I_2 + 5I - 5I_1 = 0 \] \[ 5I - 15I_1 - 5I_2 = 0 \]
\( \implies \) \[ I - 3I_1 - I_2 = 0 \quad \ldots(1) \] **બંધ ગાળા B C D B માટે કિર્ચીફના બીજા નિયમ પરથી:** \[ -5(I_1-I_2) + 10(I-I_1+I_2) + 5I_2 = 0 \] \[ -5I_1 + 5I_2 + 10I - 10I_1 + 10I_2 + 5I_2 = 0 \] \[ 10I - 15I_1 + 20I_2 = 0 \]
\( \implies \) \[ 2I - 3I_1 + 4I_2 = 0 \quad \ldots(2) \] **બંધ ગાળા AB CEFA માટે કિર્ચીફના બીજા નિયમ પરથી:** (બાહ્ય લૂપ A-B-C-E-F-A માં વોલ્ટેજ સ્રોત 10V છે.) \[ -10I_1 - 5(I_1-I_2) - 10(I_1+I_2) = -10 \] \[ -10I_1 - 5I_1 + 5I_2 - 10I_1 - 10I = -10 \] \[ -25I_1 + 5I_2 - 10I = -10 \] \[ 10I + 25I_1 - 5I_2 = 10 \]
\( \implies \) \[ 2I + 5I_1 - I_2 = 2 \quad \ldots(3) \] સમીકરણ (1) ને 2 વડે ગુણતા: \[ 2I - 6I_1 - 2I_2 = 0 \] સમીકરણ (2) માંથી આ નવા સમીકરણને બાદ કરતા: (2) \(-\) (1 \(\times\) 2) \[ (2I - 3I_1 + 4I_2) - (2I - 6I_1 - 2I_2) = 0 - 0 \] \[ 2I - 3I_1 + 4I_2 - 2I + 6I_1 + 2I_2 = 0 \] \[ 3I_1 + 6I_2 = 0 \]
\( \implies \) \[ I_1 = -2I_2 \quad \ldots(4) \] સમીકરણ (3) માંથી સમીકરણ (2) બાદ કરતાં: (3) \(-\) (2) \[ (2I + 5I_1 - I_2) - (2I - 3I_1 + 4I_2) = 2 - 0 \] \[ 2I + 5I_1 - I_2 - 2I + 3I_1 - 4I_2 = 2 \] \[ 8I_1 - 5I_2 = 2 \quad \ldots(5) \] સમીકરણ (4) ને (5) માં મૂકતા: \[ 8(-2I_2) - 5I_2 = 2 \] \[ -16I_2 - 5I_2 = 2 \] \[ -21I_2 = 2 \]
\( \implies \) \[ I_2 = -\frac{2}{21} \, A \] આનો અર્થ એ છે કે \(I_2\) ની દિશા આપણે ધારી હતી તેનાથી વિરુદ્ધ છે. હવે, \(I_1\) શોધીએ સમીકરણ (4) પરથી: \[ I_1 = -2I_2 = -2 \left(-\frac{2}{21}\right) \] \[ I_1 = \frac{4}{21} \, A \] હવે, \(I\) શોધીએ સમીકરણ (1) પરથી: \[ I = 3I_1 + I_2 \] \[ I = 3\left(\frac{4}{21}\right) + \left(-\frac{2}{21}\right) \] \[ I = \frac{12}{21} - \frac{2}{21} \] \[ I = \frac{10}{21} \, A \] વિવિધ શાખાઓમાં પ્રવાહ: * AB શાખામાં પ્રવાહ: \(I_1 = \frac{4}{21} \, A\) * BC શાખામાં પ્રવાહ: \(I_1 - I_2 = \frac{4}{21} - \left(-\frac{2}{21}\right) = \frac{4}{21} + \frac{2}{21} = \frac{6}{21} = \frac{2}{7} \, A\) * AD શાખામાં પ્રવાહ: \(I - I_1 = \frac{10}{21} - \frac{4}{21} = \frac{6}{21} = \frac{2}{7} \, A\) * BD શાખામાં પ્રવાહ: \(I_2 = -\frac{2}{21} \, A\) (આનો અર્થ B થી D ને બદલે D થી B તરફ પ્રવાહ વહે છે.) * DE શાખામાં પ્રવાહ: \(I - I_1 + I_2 = \frac{10}{21} - \frac{4}{21} + \left(-\frac{2}{21}\right) = \frac{6}{21} - \frac{2}{21} = \frac{4}{21} \, A\) * EF શાખામાં પ્રવાહ: \(I_1 + I_2 = \frac{4}{21} + \left(-\frac{2}{21}\right) = \frac{2}{21} \, A\) * FC શાખામાં પ્રવાહ: \(I - (I_1 + I_2) = \frac{10}{21} - \frac{2}{21} = \frac{8}{21} \, A\)
In simple words: કિર્ચીફના નિયમોનો ઉપયોગ કરીને, આપણે સર્કિટની દરેક શાખામાંથી વહેતા પ્રવાહની ગણતરી કરી શકીએ છીએ. AB શાખામાં 4/21 એમ્પીયર, BC શાખામાં 6/21 એમ્પીયર, AD શાખામાં 6/21 એમ્પીયર અને BD શાખામાં 2/21 એમ્પીયર (D થી B તરફ) પ્રવાહ વહેશે.

🎯 Exam Tip: કિર્ચીફના નિયમોનો ઉપયોગ કરતી વખતે, લૂપ્સને કાળજીપૂર્વક વ્યાખ્યાયિત કરો અને પ્રવાહની દિશાઓ યોગ્ય રીતે ધારી લો. જો પ્રવાહનું મૂલ્ય નકારાત્મક આવે, તો તેનો અર્થ એ છે કે પ્રવાહની વાસ્તવિક દિશા તમારી ધારેલી દિશાથી વિરુદ્ધ છે.

 

Question 10.
(a) એક મીટરબ્રિજ આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ જ્યારે Y અવરોધ 12.5 \( \Omega \) હોય ત્યારે છેડા A થી તટસ્થબિંદુ 39.5 cm અંતરે મળે છે. અવરોધ x શોધો. શા માટે હીટસ્ટન અને મીટરબ્રિજમાં અવરોધો વચ્ચેનું જોડાણ જાડી ધાતુની પટ્ટી દ્વારા કરવામાં આવે છે ?
(b) હવે જો X અને Y ના સ્થાનો અદલબદલ કરવામાં આવે તો ઉપરના બ્રિજમાં તટસ્થ (સમતોલન) બિંદુનું સ્થાન શોધો.
(c) બ્રિજના તટસ્થ બિંદુ આગળ ગેલ્વેનોમીટર અને બેટરીને અદલાબદલી કરતાં શું થશે ? શું ગેલ્વેનોમીટર કોઈ પ્રવાહ બતાવશે ?

Answer:
(a)
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): આ ચિત્ર એક મીટરબ્રિજ દર્શાવે છે જેમાં X અને Y અવરોધો જોડાયેલા છે. તટસ્થબિંદુને A છેડાથી \(l_1\) અંતરે D બિંદુ પર મેળવવામાં આવે છે, અને બીજો છેડો \(100-l_1\) છે. સંતુલન સ્થિતિ માટે, મીટરબ્રિજનું સૂત્ર છે: \[ \frac{X}{Y} = \frac{l_1}{100 - l_1} \] અહીં, \(Y = 12.5 \, \Omega\) અને \(l_1 = 39.5 \, cm\). \[ X = Y \times \frac{l_1}{100 - l_1} \] \[ X = 12.5 \times \frac{39.5}{100 - 39.5} \] \[ X = 12.5 \times \frac{39.5}{60.5} \] \[ X = 8.169... \, \Omega \] \[ X \approx 8.16 \, \Omega \] **જાડી ધાતુની પટ્ટીઓનો ઉપયોગ:** તાંબાની જાડી પટ્ટીઓનો અવરોધ ખૂબ ઓછો હોય છે, જેને અવગણી શકાય છે. આ પટ્ટીઓનો ઉપયોગ કરવાથી જોડાણના છેડાઓનો અવરોધ ખૂબ જ ઓછો રહે છે, જેના કારણે વ્હીટસ્ટન બ્રિજ અથવા મીટરબ્રિજ દ્વારા માપવામાં આવતા અવરોધના મૂલ્યમાં કોઈ ફેરફાર થતો નથી.
(b) જ્યારે X અને Y ના સ્થાન અદલાબદલી કરીએ, ત્યારે સંતુલન સ્થિતિ માટે:
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): આ ચિત્ર પહેલાના મીટરબ્રિજ જેવું જ છે, પરંતુ X અને Y અવરોધોના સ્થાન બદલાયેલા છે. હવે Y અવરોધ ડાબી બાજુ છે અને X અવરોધ જમણી બાજુ છે. નવી સંતુલન લંબાઈ \(l'_1\) ને ધ્યાનમાં લઈએ: \[ \frac{Y}{X} = \frac{l'_1}{100 - l'_1} \] \[ Y(100 - l'_1) = Xl'_1 \] \[ 100Y - Yl'_1 = Xl'_1 \] \[ 100Y = Xl'_1 + Yl'_1 \] \[ 100Y = l'_1 (X + Y) \] \[ l'_1 = \frac{100Y}{X + Y} \] અહીં, \(X \approx 8.16 \, \Omega\) અને \(Y = 12.5 \, \Omega\). \[ l'_1 = \frac{100 \times 12.5}{8.16 + 12.5} \] \[ l'_1 = \frac{1250}{20.66} \] \[ l'_1 = 60.49... \, cm \] \[ l'_1 \approx 60.5 \, cm \] A છેડાથી 60.5 cm અંતરે નવું તટસ્થબિંદુ મળશે.
(c) બ્રિજના તટસ્થ બિંદુ આગળ ગેલ્વેનોમીટર અને બેટરીને અદલાબદલી કરતા, ગેલ્વેનોમીટર કોઈ પ્રવાહ બતાવશે નહીં. કારણ કે, સંતુલિત વ્હીટસ્ટન બ્રિજ (અને મીટરબ્રિજ) માં બેટરી અને ગેલ્વેનોમીટરના સ્થાનની અદલાબદલી કરવાથી સંતુલન બિંદુ પર કોઈ અસર થતી નથી. બિંદુ A અને C આગળના પોટેન્શિયલ સમાન રહે છે, તેથી તેમની વચ્ચે કોઈ પ્રવાહ વહેશે નહીં.
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): આ ડાયગ્રામ બતાવે છે કે મીટરબ્રિજમાં બેટરી અને ગેલ્વેનોમીટરના સ્થાન બદલવામાં આવે તો પણ, જો બ્રિજ સંતુલિત હોય, તો ગેલ્વેનોમીટરમાંથી કોઈ પ્રવાહ પસાર થતો નથી.
In simple words: (a) મીટરબ્રિજમાં, જો Y અવરોધ 12.5 ઓહ્મ હોય અને સંતુલન બિંદુ 39.5 cm પર મળે, તો X અવરોધ લગભગ 8.16 ઓહ્મ હશે. જાડી ધાતુની પટ્ટીઓનો ઉપયોગ થાય છે જેથી જોડાણનો અવરોધ ઓછો રહે. (b) જો X અને Y અવરોધોના સ્થાન બદલીએ, તો નવું સંતુલન બિંદુ A છેડાથી 60.5 cm પર મળશે. (c) સંતુલન બિંદુ પર ગેલ્વેનોમીટર અને બેટરીના સ્થાન બદલવાથી ગેલ્વેનોમીટર પ્રવાહ નહીં બતાવે કારણ કે બ્રિજ સંતુલિત રહે છે.

🎯 Exam Tip: મીટરબ્રિજ સંતુલનના સૂત્ર \(X/Y = l_1/(100-l_1)\) ને યાદ રાખો. જાડી પટ્ટીઓનો ઉપયોગ તેમના નગણ્ય અવરોધને કારણે થાય છે. ગેલ્વેનોમીટર અને બેટરીની અદલાબદલી સંતુલન બિંદુને અસર કરતી નથી.

 

Question 11. 8.0 V emf ની અને 0.5 \( \Omega \) નો આંતરિક અવરોધ ધરાવતી સંગ્રાહક બેટરીને 120 V વાળા dc સપ્લાયથી 15.5 \( \Omega \) ના અવરોધ મારફતે વિદ્યુતભારિત કરવામાં આવે છે. વિદ્યુતભારણની પ્રક્રિયા દરમિયાન બેટરીનો ટર્મિનલ વોલ્ટેજ કેટલો હશે ? વિદ્યુતભારણ માટેના પરિપથમાં શ્રેણી અવરોધ રાખવાનો હેતુ શો છે ?

Answer:ચાર્જિંગ પ્રક્રિયા માટે પરિપથમાં વહેતો પ્રવાહ \(I\) આ મુજબ ગણી શકાય: \[ I = \frac{V - \varepsilon}{R + r} \] અહીં, \(V = 120 \, V\) (સપ્લાય વોલ્ટેજ), \(\varepsilon = 8.0 \, V\) (બેટરીનું emf), \(R = 15.5 \, \Omega\) (બાહ્ય શ્રેણી અવરોધ), \(r = 0.5 \, \Omega\) (બેટરીનો આંતરિક અવરોધ). \[ I = \frac{120 - 8}{15.5 + 0.5} \] \[ I = \frac{112}{16} \] \[ I = 7 \, A \] બેટરીના ટર્મિનલ વોલ્ટેજ \(V'\) એ ચાર્જિંગ દરમિયાન \(\varepsilon + Ir\) દ્વારા આપવામાં આવે છે: \[ V' = \varepsilon + Ir \] \[ = 8 + 7 \times 0.5 \] \[ = 8 + 3.5 \] \[ V' = 11.5 \, V \] વૈકલ્પિક રીતે, ટર્મિનલ વોલ્ટેજ \(V'\) ને \(V - IR_{external}\) તરીકે પણ ગણી શકાય: \[ V' = V - IR \] \[ = 120 - (7 \times 15.5) \] \[ = 120 - 108.5 \] \[ V' = 11.5 \, V \] **શ્રેણી અવરોધ રાખવાનો હેતુ:** ચાર્જિંગ કરવાના પરિપથમાં અવરોધ એટલા માટે જોડવામાં આવે છે જેથી DC સપ્લાયમાંથી મળતો પ્રવાહ ઘટાડી શકાય. આ પ્રવાહ ઘટાડવાથી ઉષ્મા ઊર્જાનો વ્યય પણ ઓછો થાય છે અને બેટરી તેમજ સર્કિટના ઘટકોને નુકસાન થતું અટકાવી શકાય છે. મૂળભૂત રીતે, પ્રવાહના મૂલ્યને નિયંત્રિત કરવાનો હેતુ છે.
In simple words: એક 8 વોલ્ટની બેટરીને 120 વોલ્ટના સપ્લાયથી 15.5 ઓહ્મના અવરોધ દ્વારા ચાર્જ કરવામાં આવે છે. આ પ્રક્રિયામાં બેટરીનો ટર્મિનલ વોલ્ટેજ 11.5 વોલ્ટ હશે. શ્રેણીમાં અવરોધ જોડવાનો મુખ્ય હેતુ એ છે કે સર્કિટમાં પ્રવાહને નિયંત્રિત કરી શકાય, જેથી વધારે પડતા પ્રવાહથી નુકસાન ન થાય અને ગરમી ઓછી ઉત્પન્ન થાય.

🎯 Exam Tip: ચાર્જિંગ દરમિયાન ટર્મિનલ વોલ્ટેજ માટે \(\varepsilon + Ir\) સૂત્રનો ઉપયોગ કરો. પ્રવાહ નિયંત્રણ માટે શ્રેણી અવરોધનો હેતુ સમજાવો, ખાસ કરીને વધુ ગરમી અને નુકસાન ટાળવા માટે.

 

Question 12. એક પોટેન્શિયોમીટરની રચનામાં 1.25 V ની એક બેટરી, તારના 35.0 cm અંતરે તટસ્થ બિંદુ આપે છે. હવે આ કોષને ‘બદલીને બીજો કોષ લગાવતાં તટસ્થબિંદુ ખસીને 63 cm આગળ મળે છે. તો બીજા કોષનું emf કેટલું હશે ?

Answer:પોટેન્શિયોમીટરમાં બે કોષોના emf ની સરખામણી માટેનું સૂત્ર: \[ \frac{E_1}{E_2} = \frac{l_1}{l_2} \] અહીં, \(E_1 = 1.25 \, V\), \(l_1 = 35.0 \, cm\), \(l_2 = 63.0 \, cm\). આપણે \(E_2\) શોધવાનું છે: \[ E_2 = E_1 \times \frac{l_2}{l_1} \] \[ E_2 = 1.25 \times \frac{63}{35} \] \[ E_2 = 1.25 \times 1.8 \] \[ E_2 = 2.25 \, V \]
In simple words: એક પોટેન્શિયોમીટરમાં, 1.25 વોલ્ટની બેટરી 35.0 cm પર સંતુલન બિંદુ આપે છે. જો તેને બદલીને બીજી બેટરી મૂકીએ અને સંતુલન બિંદુ 63 cm પર મળે, તો તે બીજી બેટરીનું EMF 2.25 વોલ્ટ હશે.

🎯 Exam Tip: પોટેન્શિયોમીટરના સિદ્ધાંતને યાદ રાખો કે emf સંતુલન લંબાઈના સીધા પ્રમાણમાં હોય છે. સૂત્ર \(E_1/E_2 = l_1/l_2\) નો ઉપયોગ કરીને ગણતરી કરો.

 

Question 13. ઉદાહરણ 3.1 માં કોપર સુવાહકમાં મુક્ત ઇલેક્ટ્રોનની અંદાજિત સંખ્યા ઘનતા 8.5 \( \times 10^{28} \) m\(^{-3}\) છે. આવા ઇલેક્ટ્રોનને 3.0 m લાંબા તારના એક છેડાથી બીજા છેડા સુધી ડ્રિફ્ટ થતા કેટલો સમય લાગશે ? તારના આડછેદનું ક્ષેત્રફળ 2.0 \( \times 10^{-6} \) m\(^2\) અને તેમાંથી 3.0 A જેટલો પ્રવાહ વહે છે.

Answer:મુક્ત ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા ઘનતા \(n = 8.5 \times 10^{28} \, m^{-3}\). તારની લંબાઈ \(l = 3.0 \, m\). તારના આડછેદનું ક્ષેત્રફળ \(A = 2.0 \times 10^{-6} \, m^2\). પ્રવાહ \(I = 3.0 \, A\). ઇલેક્ટ્રોન પરનો વીજભાર \(e = 1.6 \times 10^{-19} \, C\). પ્રવાહ ઘનતા અને ડ્રિફ્ટ વેગ વચ્ચેનો સંબંધ છે: \[ I = n A e v_d \] જ્યાં \(v_d\) એ ડ્રિફ્ટ વેગ છે. \[ v_d = \frac{I}{nAe} \] ઇલેક્ટ્રોનને તારના એક છેડાથી બીજા છેડા સુધી ડ્રિફ્ટ થતા લાગતો સમય \(t\) છે: \[ t = \frac{l}{v_d} \] \[ t = \frac{l}{\left(\frac{I}{nAe}\right)} \] \[ t = \frac{nAel}{I} \] \[ t = \frac{(8.5 \times 10^{28}) \times (2.0 \times 10^{-6}) \times (1.6 \times 10^{-19}) \times 3.0}{3.0} \] \[ t = (8.5 \times 10^{28}) \times (2.0 \times 10^{-6}) \times (1.6 \times 10^{-19}) \] \[ t = 8.5 \times 2.0 \times 1.6 \times 10^{(28 - 6 - 19)} \] \[ t = 27.2 \times 10^3 \, s \] આ સમયને કલાક, મિનિટ અને સેકન્ડમાં રૂપાંતરિત કરીએ: \[ t = 27200 \, s \] \[ 27200 \, s = \frac{27200}{3600} \, \text{hours} = 7.55 \, \text{hours} \] \(7 \, \text{hours}\) અને \(0.55 \, \text{hours} \times 60 \, \text{minutes/hour} = 33 \, \text{minutes}\). બાકીની સેકન્ડ્સ: \(0.55 \times 3600 - 33 \times 60 = 1980 - 1980 = 0\) તો, \(t = 7 \, \text{કલાક} \, 33 \, \text{મિનિટ} \, 18 \, \text{સેકન્ડ}\) (આશરે)
In simple words: કોપરના તારમાં ઇલેક્ટ્રોન ગીચતા 8.5 \( \times 10^{28} \) m\(^{-3}\) છે. 3.0 મીટર લાંબા તાર, જેનું આડછેદ 2.0 \( \times 10^{-6} \) m\(^2\) છે અને તેમાંથી 3.0 એમ્પીયર પ્રવાહ વહે છે, તેમાં ઇલેક્ટ્રોનને એક છેડાથી બીજા છેડા સુધી પહોંચવામાં લગભગ 7 કલાક 33 મિનિટ અને 18 સેકન્ડનો સમય લાગશે.

🎯 Exam Tip: ડ્રિફ્ટ વેગના સૂત્ર \(v_d = I/(nAe)\) અને સમયના સૂત્ર \(t=l/v_d\) ને યોગ્ય રીતે જોડીને ગણતરી કરો. એકમોનું રૂપાંતરણ કાળજીપૂર્વક કરો, ખાસ કરીને સમય માટે.

 

Question 14. પૃથ્વીની સપાટી પર ઋણ વિદ્યુતભારની પૃષ્ઠ ઘનતા 10\(^{-9}\) C m\(^{-2}\) છે. વાતાવરણના ટોચના ભાગ અને સપાટી વચ્ચેના 400 kV સ્થિતિમાનના તફાવતને પરિણામે (વાતાવરણના નીચેના ભાગની ઓછી વાહકતાને કારણે) આખીય પૃથ્વી પર ફક્ત 1800 A જેટલો પ્રવાહ થાય છે. હવે જો વાતાવરણમાં વિદ્યુતક્ષેત્રને જાળવી શકે એવી કોઈ કાર્યપ્રણાલી ના હોય તો પૃથ્વીની સપાટીને તટસ્થ કરવા માટે (દાખલિત) કેટલો સમય લાગશે ? (વાસ્તવમાં આવું કદાપી થશે નહીં કારણ કે પૃથ્વીના જુદા જુદા ભાગમાં સતત થતી વીજળી અને ગાજવીજ સાથેના વાવાઝોડાને કારણે સતત વિદ્યુતભાર ઠલવાતાં રહે છે.) (પૃથ્વીની ત્રિજ્યા 6.37 \( \times 10^6 \) m છે.)

Answer:પૃથ્વીની સપાટી પર વિદ્યુતભારની પૃષ્ઠ ઘનતા \(\sigma = 10^{-9} \, C/m^2\). પ્રવાહ \(I = 1800 \, A\). પૃથ્વીની ત્રિજ્યા \(R = 6.37 \times 10^6 \, m\). પૃથ્વીની સપાટી પરનો કુલ વિદ્યુતભાર \(Q\) એ પૃષ્ઠ ઘનતા અને પૃથ્વીના ક્ષેત્રફળનો ગુણાકાર છે: \[ Q = \sigma \times (\text{પૃથ્વીનું ક્ષેત્રફળ}) \] \[ Q = \sigma \times 4\pi R^2 \] \[ Q = 10^{-9} \times 4 \times 3.14 \times (6.37 \times 10^6)^2 \] \[ Q = 10^{-9} \times 4 \times 3.14 \times (40.5769 \times 10^{12}) \] \[ Q = 10^{-9} \times 509.6458 \times 10^{12} \] \[ Q = 509.6458 \times 10^3 \, C \] હવે, વિદ્યુતભાર તટસ્થ થવા માટે લાગતો સમય \(t\) એ કુલ વિદ્યુતભારને પ્રવાહ વડે ભાગીને મળે: \[ t = \frac{Q}{I} \] \[ t = \frac{509.6458 \times 10^3}{1800} \] \[ t = 0.283136 \times 10^3 \, s \] \[ t = 283.136 \, s \] \[ t \approx 283 \, s \] આ સમય આશરે 4 મિનિટ 43 સેકન્ડ જેટલો છે. આ સમય અંદાજિત છે કારણ કે વાસ્તવિકતામાં વીજળી અને ગાજવીજ જેવા કુદરતી ઘટનાઓ દ્વારા પૃથ્વી પર સતત વિદ્યુતભાર જમા થતો રહે છે.
In simple words: જો પૃથ્વીની સપાટી પર 10\(^{-9}\) C m\(^{-2}\) જેટલો ઋણ વિદ્યુતભાર હોય અને તેમાંથી 1800 એમ્પીયરનો પ્રવાહ વહેતો હોય, તો પૃથ્વીને તટસ્થ થવામાં લગભગ 283 સેકન્ડ લાગશે. જોકે, વાસ્તવમાં પૃથ્વી પર સતત વીજળી અને વાવાઝોડાને કારણે વિદ્યુતભાર જમા થતો રહે છે.

🎯 Exam Tip: કુલ વિદ્યુતભારની ગણતરી કરવા માટે પૃથ્વીના ક્ષેત્રફળનો ઉપયોગ કરો (\(4\pi R^2\)). સમયની ગણતરી માટે \(t=Q/I\) સૂત્રનો ઉપયોગ કરો અને એકમોનું ધ્યાન રાખો. જવાબના સંદર્ભમાં વાસ્તવિક દુનિયાની પરિસ્થિતિનો ઉલ્લેખ કરો.

 

Question 15.
(a) દરેકને 2.0 V જેટલું emf અને 0.015 \( \Omega \) જેટલો આંતરિક અવરોધ હોય તેવા 6 લેડ-એસિડ પ્રકારના ગૌણ વિદ્યુતકોષને શ્રેણીમાં જોડી 8.5 \( \Omega \) ના અવરોધ સાથે ઉદગમ તરીકે જોડવામાં આવે છે. ઉદગમમાંથી ખેંચાતો પ્રવાહ અને ટર્મિનલ વોલ્ટેજ કેટલા હશે ?
(b) લાંબા વપરાશ બાદ એક ગૌણ વિદ્યુતકોષનું emf 1.9V અને મોટો આંતરિક અવરોધ 380 \( \Omega \) છે. આ કોષમાંથી કેટલો મહત્તમ પ્રવાહ ખેંચી શકાય ? શું આ કોષ, કારને ચાલુ કરવાની મોટર કારને ચલાવી શકશે ?

Answer:
(a)
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): આ ચિત્ર શ્રેણીમાં જોડાયેલા 6 બેટરી કોષો દર્શાવે છે, જેમાં દરેક કોષનું emf \(\varepsilon\) અને આંતરિક અવરોધ r છે. આ સંયોજનને 8.5 \( \Omega \) ના બાહ્ય અવરોધ R સાથે જોડવામાં આવે છે. કોષોની સંખ્યા \(n = 6\). એક કોષનું emf \(\varepsilon = 2.0 \, V\). એક કોષનો આંતરિક અવરોધ \(r = 0.015 \, \Omega\). શ્રેણીમાં જોડેલો બાહ્ય અવરોધ \(R = 8.5 \, \Omega\). શ્રેણીમાં જોડાયેલા કોષો માટે કુલ emf \(E_{total} = n\varepsilon\). શ્રેણીમાં જોડાયેલા કોષો માટે કુલ આંતરિક અવરોધ \(r_{total} = nr\). પરિપથમાં વહેતો પ્રવાહ \(I\): \[ I = \frac{n\varepsilon}{R + nr} \] \[ I = \frac{6 \times 2.0}{8.5 + (6 \times 0.015)} \] \[ I = \frac{12}{8.5 + 0.09} \] \[ I = \frac{12}{8.59} \] \[ I = 1.3969... \, A \] \[ I \approx 1.4 \, A \] ટર્મિનલ વોલ્ટેજ \(V\): \[ V = IR \] \[ = 1.4 \times 8.5 \] \[ = 11.9 \, V \]
(b) અહીં, બેટરીનું emf \(\varepsilon = 1.9 \, V\). આંતરિક અવરોધ \(r = 380 \, \Omega\). બેટરીમાંથી ખેંચાતો મહત્તમ પ્રવાહ \(I_{max}\) એ બાહ્ય અવરોધ શૂન્ય હોય ત્યારે મળે: \[ I_{max} = \frac{\varepsilon}{r} \] \[ = \frac{1.9}{380} \] \[ = 0.005 \, A \] આટલા પ્રવાહથી કાર ચાલુ થઈ શકશે નહીં. કારણ કે, કારને ચાલુ કરવા માટે ઓછામાં ઓછો આશરે 100 A નો પ્રવાહ જોઈએ.
In simple words: (a) છ બેટરીને શ્રેણીમાં જોડીને 8.5 ઓહ્મના અવરોધ સાથે જોડતા, પરિપથમાંથી 1.4 એમ્પીયર પ્રવાહ વહેશે અને ટર્મિનલ વોલ્ટેજ 11.9 વોલ્ટ હશે. (b) લાંબા સમયના ઉપયોગ પછી, જો એક બેટરીનું emf 1.9V અને આંતરિક અવરોધ 380 ઓહ્મ થાય, તો તેમાંથી વધુમાં વધુ 0.005 એમ્પીયર પ્રવાહ ખેંચી શકાશે. આ પ્રવાહ કારની મોટર ચાલુ કરવા માટે પૂરતો નથી કારણ કે કારને લગભગ 100 એમ્પીયર પ્રવાહ જોઈએ છે.

🎯 Exam Tip: શ્રેણીમાં જોડાયેલા કોષો માટે કુલ emf અને કુલ આંતરિક અવરોધની ગણતરી કાળજીપૂર્વક કરો. મહત્તમ પ્રવાહની ગણતરી કરતી વખતે, બાહ્ય અવરોધને શૂન્ય ગણો. વ્યવહારિક એપ્લિકેશન્સમાં પ્રવાહની જરૂરિયાતને સમજાવો.

 

Question 16. કોપર અને બીજા કોપરના હોય તેવા બે સમાન લંબાઈના તારનો અવરોધ સમાન છે. બેમાંથી કયો તાર હલકો હશે ? અને તે પરથી સમજાવો કે શા માટે Overhead પાવર કેબલ માટે એલ્યુમિનિયમના તાર પસંદ કરવામાં આવે છે ? \( \rho_{Al} = 2.63 \times 10^{-8} \, \Omega m, \, \rho_{Cu} = 1.72 \times 10^{-8} \, \Omega m \). તેમની સાપેક્ષ ઘનતા \(d_{Al} = 2.7, \, d_{Cu} = 8.9\).

Answer:અહીં આપેલી વિગતો: એલ્યુમિનિયમની અવરોધકતા \(\rho_{Al} = 2.63 \times 10^{-8} \, \Omega m\). એલ્યુમિનિયમની સાપેક્ષ ઘનતા \(d_{Al} = 2.7\). તાંબાની અવરોધકતા \(\rho_{Cu} = 1.72 \times 10^{-8} \, \Omega m\). તાંબાની સાપેક્ષ ઘનતા \(d_{Cu} = 8.9\). લંબાઈ \(l\) અને અવરોધ \(R\) બંને તાર માટે સમાન છે. અવરોધ \(R\) માટેનું સૂત્ર: \[ R = \frac{\rho l}{A} \] જ્યાં \(A\) એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે. ક્ષેત્રફળ \(A\) ને દળ \(m\) અને ઘનતા \(d\) ના સંદર્ભમાં રજૂ કરીએ. જો \(V_{volume}\) કદ હોય, તો \(V_{volume} = Al\). \[ A = \frac{V_{volume}}{l} = \frac{m/d}{l} = \frac{m}{dl} \] તેથી, \(R\) ના સૂત્રમાં \(A\) ને બદલે: \[ R = \frac{\rho l}{\frac{m}{dl}} = \frac{\rho l^2 d}{m} \] આ સમીકરણ પરથી દળ \(m\) માટે: \[ m = \frac{\rho l^2 d}{R} \] કારણ કે \(l\) અને \(R\) બંને તાર માટે સમાન છે, દળ \(m\) એ \(\rho d\) ના પ્રમાણમાં છે: \[ m \propto \rho d \] હવે, એલ્યુમિનિયમ અને તાંબાના દળનો ગુણોત્તર લઈએ: \[ \frac{m_{Al}}{m_{Cu}} = \frac{\rho_{Al} d_{Al}}{\rho_{Cu} d_{Cu}} \] \[ = \frac{2.63 \times 10^{-8} \times 2.7}{1.72 \times 10^{-8} \times 8.9} \] \[ = \frac{2.63 \times 2.7}{1.72 \times 8.9} \] \[ = \frac{7.101}{15.308} \] \[ \approx 0.4638 \] આ ગણતરી દર્શાવે છે કે \(m_{Al} < m_{Cu}\). આનો અર્થ એ છે કે સમાન અવરોધ અને લંબાઈ માટે એલ્યુમિનિયમનો તાર તાંબાના તાર કરતાં હલકો હશે. **ઓવરહેડ પાવર કેબલ માટે એલ્યુમિનિયમના તારનો ઉપયોગ:** ઓવરહેડ પાવર કેબલ માટે એલ્યુમિનિયમના તાર પસંદ કરવામાં આવે છે કારણ કે તે તાંબાના તાર કરતાં હલકા હોય છે. આનાથી સપોર્ટ સ્ટ્રક્ચર્સ (થાંભલા) પરનો ભાર ઓછો થાય છે, જે ઇન્સ્ટોલેશન અને જાળવણી ખર્ચ ઘટાડે છે. ઉપરાંત, એલ્યુમિનિયમ તાંબા કરતાં સસ્તું પણ છે અને તેની વાહકતા પણ સારી છે (જોકે તાંબા કરતાં ઓછી).
In simple words: જો કોપર અને એલ્યુમિનિયમના બે તારની લંબાઈ અને અવરોધ સમાન હોય, તો એલ્યુમિનિયમનો તાર હલકો હશે. આ કારણોસર, ઓવરહેડ પાવર કેબલ માટે એલ્યુમિનિયમના તાર પસંદ કરવામાં આવે છે. તે હલકા હોવાથી થાંભલાઓ પરનો ભાર ઘટાડે છે અને સસ્તા પણ હોય છે.

🎯 Exam Tip: અવરોધકતા, ઘનતા અને દળ વચ્ચેના સંબંધોને યાદ રાખો. \(R = \frac{\rho l}{A}\) અને \(A = \frac{m}{dl}\) સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને દળ \(m \propto \rho d\) સંબંધ તારવો. આર્થિક અને ભૌતિક ફાયદાઓના આધારે એલ્યુમિનિયમની પસંદગી સમજાવો.

 

Question 17. મેગેનીન મિશ્રધાતુના બનેલા અવરોધ માટે નીચે મુજબના અવલોકનો પરથી તમે શું તારણ કાઢશો ?

પ્રવાહ A	વોલ્ટેજ V	પ્રવાહ A	વોલ્ટેજ V
0.2	3.94	3.0	59.2
0.4	7.87	4.0	78.8
0.6	11.8	5.0	98.6
0.8	15.7	6.0	118.5
1.0	19.7	7.0	138.2
2.0	39.4	8.0	158.0

Answer:આપેલ અવલોકનોમાંથી દરેક \(V/I\) ગુણોત્તરની ગણતરી કરીએ: (1) \( R = \frac{V}{I} = \frac{3.94}{0.2} = 19.7 \, \Omega \) (2) \( R = \frac{V}{I} = \frac{7.87}{0.4} = 19.675 \, \Omega \) (3) \( R = \frac{V}{I} = \frac{11.8}{0.6} = 19.666... \, \Omega \) (4) \( R = \frac{V}{I} = \frac{15.7}{0.8} = 19.625 \, \Omega \) (5) \( R = \frac{V}{I} = \frac{19.7}{1.0} = 19.7 \, \Omega \) (6) \( R = \frac{V}{I} = \frac{39.4}{2.0} = 19.7 \, \Omega \) (7) \( R = \frac{V}{I} = \frac{59.2}{3.0} = 19.733... \, \Omega \) (8) \( R = \frac{V}{I} = \frac{78.8}{4.0} = 19.7 \, \Omega \) (9) \( R = \frac{V}{I} = \frac{98.6}{5.0} = 19.72 \, \Omega \) (10) \( R = \frac{V}{I} = \frac{118.5}{6.0} = 19.75 \, \Omega \) (11) \( R = \frac{V}{I} = \frac{138.2}{7.0} = 19.742... \, \Omega \) (12) \( R = \frac{V}{I} = \frac{158.0}{8.0} = 19.75 \, \Omega \) **તારણ:** દરેક અવલોકન માટે \(V\) અને \(I\) નો ગુણોત્તર (અવરોધ \(R\)) લગભગ સમાન રહે છે. આ દર્શાવે છે કે મેગેનીન મિશ્રધાતુ ઓહ્મના નિયમનું સારી રીતે પાલન કરે છે. આ ઉપરાંત, આ અવલોકનો સૂચવે છે કે મેગેનીન જેવી મિશ્રધાતુઓની અવરોધકતા તાપમાનથી લગભગ સ્વતંત્ર હોય છે.
In simple words: મેગેનીન અવરોધના વોલ્ટેજ અને પ્રવાહના ગુણોત્તરની ગણતરી કરતા, દરેક વખતે મૂલ્ય લગભગ સમાન મળે છે. આનો અર્થ એ છે કે મેગેનીન ઓહ્મના નિયમનું પાલન કરે છે અને તેની અવરોધકતા તાપમાન પર બહુ આધાર રાખતી નથી.

🎯 Exam Tip: કોષ્ટકમાં આપેલા ડેટામાંથી દરેક \(V/I\) ગુણોત્તરની ગણતરી કરો. જો ગુણોત્તર સમાન હોય, તો તારણ કાઢો કે ઓહ્મના નિયમનું પાલન થાય છે અને દ્રવ્યની અવરોધકતા તાપમાનથી સ્વતંત્ર છે.

 

Question 18. નીચેના પ્રશ્નોના જવાબ આપો :
(a) એક અસમાન આડછેદનું ક્ષેત્રફળ ધરાવતા ધાતુના સુવાહકમાં સ્થાયી પ્રવાહ વહે છે. નીચેનામાંથી કઈ ભૌતિકરાશિ વાહક માટે અચળ રહેશે. પ્રવાહ,
પ્રવાહઘનતા, વિધુતક્ષેત્ર, ડ્રિફ્ટ ઝડપ ?
(b) શું ઓહ્મનો નિયમ બધા જ વાહક ઘટકો માટે સાર્વત્રિક રીતે લાગુ પાડી શકાય ? જો ના હોય તો,
ઓમના નિયમનું પાલન ન કરતા ઘટકોનાં નામ આપો.
(c) નીચા સ્થિતિમાન (વોલ્ટેજ)વાળા ઉદ્ગમમાંથી મોટા પ્રવાહો મેળવવા હોય તો તેનો આંતરિક અવરોધ
ખૂબ નાનો હોવો જોઈએ. શા માટે ?
(d) High Tension (HT) ધારો કે 6kV ના સપ્લાયનો આંતરિક અવરોધ ઘણો વધારે રાખવામાં આવે છે,
શા માટે ?
Answer:
(a) ફક્ત ઇલેક્ટ્રિક કરંટ સ્થિર રહેશે. બાકીના જેમ કે કરંટ ડેન્સિટી, ઇલેક્ટ્રિક ફિલ્ડ અને ડ્રિફ્ટ સ્પીડ, આ બધી વસ્તુઓ ક્રોસ-સેક્શનલ એરિયા સાથે વ્યસ્ત પ્રમાણમાં બદલાશે.
(b) ના, ઓહ્મનો નિયમ બધા જ કંડક્ટર માટે કામ કરતો નથી. અમુક પદાર્થો ઓહ્મના નિયમને પાળતા નથી. આવા પદાર્થોમાં વેક્યૂમ ટ્યુબ, સેમિકન્ડક્ટર ડાયોડ, વેક્યૂમ ડાયોડ અને થર્મિસ્ટર ઇલેક્ટ્રોલાઇટ્સ (પ્રવાહી) નો સમાવેશ થાય છે.
(c) વધારેમાં વધારે ઇલેક્ટ્રિક કરંટ મેળવવા માટે, ઓછી emf વાળી બેટરીનો આંતરિક અવરોધ ખૂબ નાનો હોવો જોઈએ, કારણ કે કરંટ \( I = \frac{\varepsilon}{r} \) હોય છે. જો r નાનો હશે, તો I મોટો મળશે.
(d) જો સર્કિટમાં અચાનક શૉર્ટ સર્કિટ થાય, તો કરંટ સુરક્ષિત મર્યાદા કરતાં વધી શકે છે, જેનાથી સર્કિટને નુકસાન થઈ શકે છે. તેથી, 6 kV ના સપ્લાય માટે આંતરિક અવરોધ ખૂબ વધારે રાખવામાં આવે છે, જેથી વાયરમાંથી ઓછો કરંટ પસાર થાય અને શૉર્ટ સર્કિટ થાય તો પણ કરંટ સુરક્ષિત મર્યાદાથી વધારે ન થાય.
In simple words: (a) જ્યારે પ્રવાહ સ્થિર હોય, ત્યારે ફક્ત કરંટ જ બદલાતો નથી. (b) ઓહ્મનો નિયમ બધા જ પદાર્થોને લાગુ પડતો નથી, ખાસ કરીને વેક્યૂમ ટ્યુબ અને સેમિકન્ડક્ટર જેવા નોન-ઓહ્મિક પદાર્થોને. (c) ઓછો વોલ્ટેજ ધરાવતા સપ્લાયમાંથી વધુ પ્રવાહ મેળવવા માટે, બેટરીનો આંતરિક અવરોધ ઓછો હોવો જોઈએ. (d) હાઈ ટેન્શન સપ્લાયનો આંતરિક અવરોધ વધારે રાખવામાં આવે છે જેથી શોર્ટ સર્કિટ વખતે વધારે પડતો પ્રવાહ સર્કિટને નુકસાન ન પહોંચાડે.
🎯 Exam Tip: Understanding the conditions under which Ohm's Law applies and the practical implications of internal resistance and short circuits are crucial for scoring well.

 

Question 19. સાચો વિકલ્પ પસંદ કરો :
(a) મિશ્રધાતુઓની અવરોધકતા સામાન્ય રીતે તેમની ઘટક ધાતુઓની અવરોધકતા કરતાં (વધારે/ઓછી) હોય છે.
(b) સામાન્ય રીતે શુદ્ધ ધાતુઓ કરતા મિશ્રધાતુઓના અવરોધના તાપમાન ગુણાંક (નાના/મોટા) હોય છે.
(C) મિશ્રધાતુ મેગેનીનની અવરોધકતા તાપમાનથી લગભગ સ્વતંત્ર હોય છે/તાપમાન સાથે ખૂબ ઝડપથી
વધે છે.
(d) એક લાક્ષણિક અવાહક (દા.ત. અંબર)ની અવરોધકતા ધાતુ કરતાં (10²²/10²³) ના ક્રમ જેટલી વધારે
હોય છે.
Answer:
(a) વધારે
(b) નાના
(C) તાપમાનથી લગભગ સ્વતંત્ર હોય છે.
(d) 10²²
In simple words: Alloys have higher resistance than their component metals, and their temperature coefficient of resistance is smaller. Manganin's resistance is nearly independent of temperature. Insulators like amber have much higher resistance than metals.
🎯 Exam Tip: This question tests your knowledge of the properties of alloys and insulators compared to pure metals, especially regarding resistance and temperature dependence. Focus on these comparative properties.

 

Question 20.
(a) દરેક R અવરોધના આપેલા n અવરોધોને તમે કેવી રીતે જોડશો કે જેથી તમને (i) મહત્તમ, (ii) લઘુતમ
અસરકારક અવરોધ મળે ? મહત્તમ અને ન્યૂનતમ અવરોધોનો ગુણોત્તર કેટલો હશે ?
(b) 1 Ω, 2 Ω, 3 Ω અવરોધો આપેલા છે તો તેમને કેવી રીતે સંયોજિત કરવાથી આપણને સમતુલ્ય
અવરોધ (i) \(\frac{11}{3}\) Ω, (ii) \(\frac{11}{5}\) Ω, (iii) 6 Ω, (iv) \(\frac{6}{11}\) Ω નો મળે ?
(c) નીચે આપેલ આકૃતિમાં દશવિલા નેટવર્ક માટે સમતુલ્ય અવરોધ શોધો.

ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): (a) આકૃતિમાં 1Ω, 1Ω, 1Ω, 2Ω, 2Ω, 2Ω ના અવરોધોનું મિશ્ર જોડાણ દર્શાવવામાં આવ્યું છે. (b) આકૃતિમાં R ના અવરોધોનું મિશ્ર જોડાણ દર્શાવવામાં આવ્યું છે.
Answer:
(a) અવરોધકોના શ્રેણી જોડાણમાં અવરોધ વધે અને સમાંતરમાં ઘટે. તેથી,
(i) મહત્તમ અવરોધ મેળવવા માટે અવરોધકોને શ્રેણીમાં જોડવા જોઈએ, જે \( R_S = nR \) થશે.
(ii) લઘુતમ અવરોધ મેળવવા માટે અવરોધકોને સમાંતરમાં જોડવા જોઈએ, જે \( R_P = \frac{R}{n} \) થશે.

મહત્તમ અને ન્યૂનતમ અવરોધોનો ગુણોત્તર:
\( \frac{R_S}{R_P} = \frac{nR}{\frac{R}{n}} = n^2 : 1 \)

(b) ત્રણ અવરોધકોના શક્ય જોડાણો:
(i) 1 Ω અને 2 Ω ને સમાંતર અને 3 Ω ને શ્રેણીમાં જોડેલાં હોય:
\( R_3 = \frac{1 \times 2}{1 + 2} + 3 = \frac{2}{3} + 3 = \frac{2 + 9}{3} = \frac{11}{3} \Omega \)

ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): આકૃતિમાં 1Ω અને 2Ω ના અવરોધોને સમાંતર જોડીને તેની સાથે 3Ω ના અવરોધને શ્રેણીમાં જોડવામાં આવ્યા છે.
(ii) 1 Ω ને શ્રેણીમાં અને 2 Ω અને 3 Ω ને સમાંતરમાં જોડેલા હોય:
\( R_4 = \frac{2 \times 3}{2 + 3} + 1 = \frac{6}{5} + 1 = \frac{6 + 5}{5} = \frac{11}{5} \Omega \)

ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): આકૃતિમાં 2Ω અને 3Ω ના અવરોધોને સમાંતર જોડીને તેની સાથે 1Ω ના અવરોધને શ્રેણીમાં જોડવામાં આવ્યા છે.
(iii) ત્રણેય અવરોધો શ્રેણીમાં હોય ત્યારે સમતુલ્ય અવરોધ:
\( R_1 = 1 + 2 + 3 = 6 \Omega \)

ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): આકૃતિમાં 1Ω, 2Ω અને 3Ω ના અવરોધોને શ્રેણીમાં જોડવામાં આવ્યા છે.
(iv) ત્રણેય અવરોધો સમાંતરમાં હોય ત્યારે સમતુલ્ય અવરોધ:
\( \frac{1}{R_2} = \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{6 + 3 + 2}{6} = \frac{11}{6} \)
\( R_2 = \frac{6}{11} \Omega \)

ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): આકૃતિમાં 1Ω, 2Ω અને 3Ω ના અવરોધોને સમાંતર જોડવામાં આવ્યા છે.
(c) (i) દરેક ગાળાનો સમતુલ્ય અવરોધ:
\( R' = \frac{2 \times 4}{2 + 4} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3} \Omega \)

ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): આકૃતિમાં 2Ω અને 4Ω ના અવરોધો સમાંતરમાં જોડાયેલા દર્શાવ્યા છે.
પરિપથ નીચે મુજબ મળે.
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): આકૃતિમાં 4Ω ના બે અવરોધો સમાંતરમાં જોડવામાં આવ્યા છે.
આપેલ નેટવર્કનો સમતુલ્ય અવરોધ,
\( R = 4 \times R' = 4 \times \frac{4}{3} \Omega = \frac{16}{3} \Omega \approx 5.3 \Omega \)
(ii) અહીં પાંચ R Ω ના અવરોધો શ્રેણીમાં ગણાય.

ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): આકૃતિમાં પાંચ સમાન R અવરોધો શ્રેણીમાં જોડાયેલા છે.
સમતુલ્ય અવરોધ,
\( R_S = R + R + R + R + R = 5R \)
In simple words: (a) To get maximum resistance, connect resistors in series; for minimum, connect them in parallel. The ratio of maximum to minimum resistance is \(n^2:1\). (b) Different combinations of 1Ω, 2Ω, and 3Ω resistors give different equivalent resistances. (c) The equivalent resistance for the given network is calculated by combining parallel and series sections.
🎯 Exam Tip: This question tests your ability to calculate equivalent resistance in series and parallel combinations. Pay close attention to setting up the correct formulas for each part.

 

Question 21. આકૃતિમાં દશવિલ એક અનંત પરિપથ વડે 12V ના અને 0.5 Ω નો આંતરિક અવરોધ ધરાવતા
સપ્લાયમાંથી ખેંચાતો પ્રવાહ શોધો. દરેક અવરોધનું મૂલ્ય 1 Ω છે.
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): આકૃતિમાં 12V emf અને 0.5Ω આંતરિક અવરોધવાળી બેટરી સાથે 1Ω ના અવરોધોનું અનંત શ્રેણી-સમાંતર નેટવર્ક જોડાયેલું છે.
Answer:
ધારો કે, P અને Q વચ્ચેનો સમતુલ્ય અવરોધ X છે. હવે એક ગાળો ઉમેરીએ તો આપેલ અનંત ગાળાવાળા
પરિપથનો અવરોધ ન બદલાય. આવો એક ગાળો ઉમેરીએ તો,

ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): P અને Q બિંદુઓ વચ્ચે અનંત અવરોધ નેટવર્કને X સમતુલ્ય અવરોધથી દર્શાવવામાં આવ્યું છે. આકૃતિમાં X અને 1Ω અવરોધોનું મિશ્ર જોડાણ દર્શાવવામાં આવ્યું છે.
X અને 1 Ω ના અવરોધો શ્રેણીમાં છે.
\( R_{AB} = \frac{X \times 1}{X + 1} = \frac{X}{X+1} \)
\( X = \frac{X}{X+1} + 1 + 1 \)
\( X = \frac{X + X + 1 + X + 1}{X+1} \)
\( X^2 + X = 3X + 2 \)
\( X^2 - 2X - 2 = 0 \)
અહીં \( a = 1, b = -2, c = -2 \)
\( \Delta = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \times 1 \times (-2) = 4 + 8 = 12 \)
\( X = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2 \times 1} = \frac{2 \pm 2\sqrt{3}}{2} = (1 \pm \sqrt{3}) \Omega \)
\( X = (1 \pm 1.732) \Omega \)
\( \therefore X = 2.732 \Omega \) અથવા \( X = -0.732 \Omega \) (આ શક્ય નથી, કારણ કે અવરોધ ઋણ ન હોઈ શકે)
\( \therefore X = 2.732 \Omega \)
સપ્લાયમાંથી ખેંચાતો પ્રવાહ,
\( I = \frac{\varepsilon}{X + r} = \frac{12}{2.732 + 0.5} \) (જ્યાં \( r = 0.5 \Omega \) આંતરિક અવરોધ છે)
\( I = \frac{12}{3.232} \approx 3.713 A \approx 3.7 A \)
In simple words: આ અનંત સર્કિટનો કુલ અવરોધ શોધવા માટે, આપણે તેને X ધારીએ છીએ અને પછી ગણતરી કરીએ છીએ. X ની કિંમત 2.732 Ω મળે છે. પછી, બેટરીમાંથી ખેંચાતો કુલ પ્રવાહ, બેટરીના emf અને કુલ અવરોધ (આંતરિક અવરોધ સહિત) નો ઉપયોગ કરીને ઓહ્મના નિયમથી શોધી શકાય છે, જે લગભગ 3.7 A છે.
🎯 Exam Tip: Problems involving infinite ladder networks often require assuming the equivalent resistance of the entire network, and then solving for it using quadratic equations. Be careful with positive and negative roots.

 

Question 22. આકૃતિમાં 2.0 V અને 0.40 Ω નો આંતરિક અવરોધ ધરાવતો વિધુતકોષ પોટેન્શિયોમીટરના અવરોધ
તાર AB ના છેડા વચ્ચે સ્થિતિમાન જાળવી રાખે છે. અચળ 1.02 V emf (ખૂબ જ ઓછા mત જેટલો
પ્રવાહ માટે) જાળવી રાખતો એક પ્રમાણભૂત કોષ તાર પર 67.3 cm અંતરે તટસ્થબિંદુ આપે છે.
પ્રમાણભૂત કોષમાંથી ખૂબ ઓછો પ્રવાહ વહે છે તે સુનિશ્ચિત કરવા 600 kg2 જેટલો ખૂબ મોટો અવરોધ
તેની સાથે શ્રેણીમાં જોડવામાં આવે છે કે જે તટસ્થબિંદુની નજીક લઘુપથિત (Shorted or short
Circuited) કરેલ છે. ત્યારબાદ આ પ્રમાણભૂત કોષને સ્થાને અજ્ઞાત emf દ ધરાવતો કોષ મૂકવામાં આવે
છે અને આ જ રીતે તટસ્થબિંદુ શોધવામાં આવે છે, જે તારની 82.3 cm લંબાઈ આગળ મળે છે.
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): આકૃતિમાં પોટેન્શિયોમીટર સર્કિટ દર્શાવવામાં આવી છે. તેમાં 2V, 0.4Ω emf અને આંતરિક અવરોધવાળી બેટરી, 1.02V નો પ્રમાણભૂત કોષ, 600kΩ અવરોધ અને ગેલ્વેનોમીટર જોડાયેલા છે.
Answer:
(a) \( \varepsilon_1 \) = 1.02 V, \( l_1 \) = 67.3 cm
\( l_2 \) = 82.3 cm
પોટેન્શિયોમીટરના સિદ્ધાંત મુજબ,
\( \frac{\varepsilon_2}{\varepsilon_1} = \frac{l_2}{l_1} \)
\( \varepsilon_2 = \varepsilon_1 \times \frac{l_2}{l_1} = 1.02 \times \frac{82.3}{67.3} \)
\( \varepsilon_2 = 1.247 V \approx 1.25 V \)
(b) 600 kΩ નો મોટો અવરોધ જોડવાનો હેતુ એ છે કે પરિપથમાં વહેતો પ્રવાહ ઓછો મળે. આનાથી ગેલ્વેનોમીટરમાંથી વહેતો પ્રવાહ પણ ઓછો રહે છે. તેથી, મૂલ્યનો પ્રવાહ વહેવાથી તેને નુકસાન થતું નથી.
(c) ના, પરિપથમાં જોડેલા મોટા મૂલ્યના અવરોધના લીધે તટસ્થબિંદુના સ્થાન પર કોઈ અસર થશે નહીં. કારણ કે, આ મોટો અવરોધ ફક્ત પરિપથમાં વહેતા પ્રવાહને નિયંત્રિત કરવા માટે જ જોડવામાં આવે છે.
(d) હા, બેટરીને આંતરિક અવરોધ હોય તો પરિપથનો અવરોધ બદલાય, અને તેથી પરિપથમાં વહેતો પ્રવાહ \( I = \frac{\varepsilon}{R_{LP} + r} \) બદલાય. કરંટ બદલાવાથી સ્થિતિમાન પ્રચલન \( \phi = \frac{V}{L} \) બદલાય અને \( V = \phi l_1 \) પરથી \( l_1 \) એટલે કે લંબાઈ બદલાય.
(e) ના, જે કોષનું emf શોધવું હોય તેના કરતાં ચાલક બેટરીનું emf વધારે હોવું જોઈએ. જો ચાલક કોષનું emf શોધવાના કોષ કરતાં ઓછું હોય, તો તાર AB પર સમતોલન બિંદુ મળશે નહીં.
(f) ના, ખૂબ જ નાના emf (જેમ કે કેટલાક mV ના ક્રમના emf) શોધવા માટે આ પરિપથ કામ કરી શકે નહીં.
આના બે કારણો છે:
- mV ના ક્રમના બેટરીના emf માટે તટસ્થબિંદુ A છેડાની નજીક મળે છે, જેનાથી V ના માપનમાં મોટી ભૂલ થાય છે.
- આ સમસ્યા દૂર કરવા માટે, પોટેન્શિયોમીટર તાર AB ની સાથે શ્રેણીમાં એવો અવરોધ R જોડવો પડે કે જેથી AB તારમાં વોલ્ટેજ ડ્રોપ, જે emf માપવાનું હોય, તેના કરતાં થોડોક વધારે હોય. આમ કરવાથી તટસ્થબિંદુ A છેડાથી દૂર મળશે અને emf ના માપનમાં પ્રતિશત ભૂલ ઓછી થશે.
In simple words: (a) The unknown emf is found using the ratio of balancing lengths, which is approximately 1.25 V. (b) A large resistor is used to limit current and prevent galvanometer damage. (c) The large resistor does not affect the null point's position. (d) Internal resistance changes the current and thus the potential gradient, affecting the null point. (e) The driver cell's emf must be greater than the cell being measured. (f) This setup is not suitable for very small emfs because it leads to large errors; an additional series resistor in the potentiometer wire can improve accuracy.
🎯 Exam Tip: Potentiometer questions often test your understanding of its principle, the role of series resistors, and conditions for obtaining a null point. Ensure you know how to calculate unknown emf and explain the precautions.

 

Question 23. આકૃતિમાં 1.5 V ના કોષનો આંતરિક અવરોધ શોધવા માટે વપરાયેલા 2.0 V નો પોટેન્શિયોમીટર દર્શાવે
છે. ખુલ્લા પરિપથની સ્થિતિમાં કોષ માટે તટસ્થબિંદુ 76.3 cm આગળ છે. જ્યારે કોષના બાહ્ય પરિપથમાં
9.5 Ω નો અવરોધ વાપરવામાં આવે છે ત્યારે સમતોલન બિંદુ તટસ્થબિંદુ ખસીને પોટેન્શિયોમીટર તારની
64.8 cm લંબાઈએ મળે છે. કોષનો આંતરિક અવરોધ શોધો.
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): આકૃતિમાં પોટેન્શિયોમીટર દર્શાવવામાં આવ્યું છે. 2.0V ની ડ્રાઇવર બેટરી, 1.5V નો સેલ, 9.5Ω નો અવરોધ અને ગેલ્વેનોમીટર જોડાયેલા છે.
Answer:
અહીં \( l_1 = 76.3 \) cm, \( l_2 = 64.8 \) cm, \( R = 9.5 \Omega \)
પોટેન્શિયોમીટરની મદદથી કોષનો આંતરિક અવરોધ,
\( r = R \left( \frac{l_1 - l_2}{l_2} \right) \)
\( r = 9.5 \left( \frac{76.3 - 64.8}{64.8} \right) = \frac{9.5 \times 11.5}{64.8} \)
\( r = 1.68 \Omega \approx 1.72 \Omega \)
In simple words: એક સેલનો આંતરિક અવરોધ શોધવા માટે, આપણે પોટેન્શિયોમીટરનો ઉપયોગ કરીએ છીએ. પ્રથમ, ખુલ્લા પરિપથમાં સેલનું સંતુલન બિંદુ \(l_1\) શોધીએ. પછી, સેલને બાહ્ય અવરોધ R સાથે જોડીને નવું સંતુલન બિંદુ \(l_2\) શોધીએ. આંતરિક અવરોધ r ને સૂત્ર \( r = R \left( \frac{l_1 - l_2}{l_2} \right) \) દ્વારા ગણી શકાય, જે લગભગ 1.72 Ω છે.
🎯 Exam Tip: This is a standard potentiometer problem for determining internal resistance. Remember the formula and carefully substitute the given lengths and external resistance.

 

બહુવિકલ્પ પ્રશ્નોત્તર (MCQ-I)

Question 1. એક વિધુતપ્રવાહ ધારિત (વિધુતપ્રવાહ I) વર્તુળાકાર વાહકતાર વિચારો એ નોંધો કે, જેમ-જેમ વાહક
તારમાં વિધુતપ્રવાહ વધે છે તેમ-તેમ j (પ્રવાહઘનતા)ની દિશા ચોક્કસ રીતે બદલાય છે, જ્યારે વિધુતપ્રવાહ
। અપ્રભાવિત રહે છે. આ માટે અનિવાર્યપણે જવાબદાર ઘટક ..........
(A) ઉદ્ગમનું વિદ્યુતચાલક બળ (emf)
(B) વાહક તારની સપાટી પર સંગૃહીત વિદ્યુતભારોને લીધે ઉત્પન્ન થતું વિદ્યુતક્ષેત્ર
(C) આપેલ ખંડના તરતના પાછળના વિદ્યુતભારો કે જે અપાકર્ષણ દ્વારા વિદ્યુતભારોને ફક્ત
(D) આગળ રહેલા વિદ્યુતભારો
Answer: (B) વાહક તારની સપાટી પર સંગૃહીત વિદ્યુતભારોને લીધે ઉત્પન્ન થતું વિદ્યુતક્ષેત્ર
In simple words: કરંટ ડેન્સિટી (j) ની દિશા બદલાય છે જ્યારે કરંટ (I) સ્થિર રહે છે, કારણ કે વાહકની સપાટી પર ભેગા થયેલા વિદ્યુતભારો એક ઇલેક્ટ્રિક ફિલ્ડ બનાવે છે જે કરંટ ડેન્સિટીની દિશાને અસર કરે છે.
🎯 Exam Tip: This question tests your understanding of current density and its relation to electric field and charge distribution on a conductor's surface.

 

Question 2. આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ જેમના emf \(\varepsilon_1\) અને \(\varepsilon_2\) (\(\varepsilon_2\) > \(\varepsilon_1\)) અને આંતરિક અવરોધ અનુક્રમે r₁ અને r₂ હોય
તેવી બે બેટરીઓ સમાંતરમાં જોડેલ છે.
(A) બંને બૅટરીઓનું સમતુલ્ય emf \(\varepsilon_{eq}\) એ \(\varepsilon_1\) અને \(\varepsilon_2\) ની વચ્ચે હશે. જેમ કે \(\varepsilon_1\) < \(\varepsilon_{eq}\) < \(\varepsilon_2\).
(B) સમતુલ્ય emf \(\varepsilon_{eq}\) એ \(\varepsilon_1\) કરતાં નાનું છે.
(C) \(\varepsilon_{eq}\) હંમેશાં \(\varepsilon_{eq}\) = \(\varepsilon_1\) + \(\varepsilon_2\) વડે અપાય છે.
(D) \(\varepsilon_{eq}\) એ આંતરિક અવરોધો r₁ અને r₂ ના ગુણોત્તર સાથે વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે.
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): આકૃતિમાં બે બેટરીઓ, એક emf \(\varepsilon_1\) અને બીજી emf \(\varepsilon_2\), અનુક્રમે r₁ અને r₂ આંતરિક અવરોધો સાથે સમાંતરમાં જોડાયેલી છે.
Answer: (A) બંને બેટરીઓનું સમતુલ્ય emf \(\varepsilon_{eq}\) એ \(\varepsilon_1\) અને \(\varepsilon_2\) ની વચ્ચે હશે. જેમ કે \(\varepsilon_1\) < \(\varepsilon_{eq}\) < \(\varepsilon_2\).
In simple words: સમાંતરમાં જોડાયેલી બે બેટરીઓનું કુલ emf, બંને બેટરીના વ્યક્તિગત emf મૂલ્યોની વચ્ચે હોય છે, એટલે કે નાના emf કરતાં મોટું અને મોટા emf કરતાં નાનું હોય છે.
🎯 Exam Tip: When batteries are connected in parallel, the equivalent EMF is always between the individual EMFs, provided they are connected such that their positive terminals are connected together and negative terminals are connected together. The equivalent resistance calculation is also important here.

 

Question 3. મીટરબ્રિજનો ઉપયોગ કરી અવરોધ R માપવામાં આવે છે. એક વિધાર્થી પ્રમાણિત અવરોધ ની પસંદગી
100 Ω કરે છે. તે તટસ્થ બિંદુ (null point) \( l_1 \) = 2.9 સેમી પર મેળવે છે. તેને ચોક્સાઈ સુધારવા પ્રયત્ન
કરવા માટે કહેવામાં આવે છે. આ માટે નીચેનામાંથી કઈ રીતે ઉપયોગી છે ?
(A) તેને \( l_1 \) નું માપન વધુ ચોક્સાઈથી કરવું જોઈએ.
(B) તેને S બદલીને 1000 Ω કરી અને પ્રયોગ ફરી કરવો જોઈએ.
(C) તેને S બદલીને 3 Ω કરી અને પ્રયોગ ફરી કરવો જોઈએ.
(D) મીટરથીબ્રિજનો ઉપયોગ કરી તેને વધુ ચોક્સાઈપૂર્ણ માપનની આશા છોડી દેવી જોઈએ.
Answer: (C) તેને S બદલીને 3 Ω કરી અને પ્રયોગ ફરી કરવો જોઈએ.
In simple words: મીટરબ્રિજમાં સૌથી ચોક્કસ માપન ત્યારે મળે છે જ્યારે સંતુલન બિંદુ મધ્યમાં (50 cm ની નજીક) હોય. હાલમાં 2.9 cm પર સંતુલન બિંદુ હોવાથી, પ્રમાણિત અવરોધ S નું મૂલ્ય બદલીને સંતુલન બિંદુને મધ્યની નજીક લાવવાનો પ્રયાસ કરવો જોઈએ.
🎯 Exam Tip: For maximum accuracy in a meter bridge, the null point should be as close to the center of the wire (50 cm mark) as possible. Adjusting the standard resistance (S) is the way to achieve this.

 

Question 4. 400 સેમી લંબાઈના પોટેશિયોમીટરનો ઉપયોગ કરી જેમના emf નાં સંક્નિકટ (approximately) મૂલ્યો
5V અને 10V છે. તેવા બે વિધુતકોષોની ચોકસાઈપૂર્વક સરખામણી કરવામાં આવે છે. તો ..........
(A) પોટેન્શિયોમીટરમાં ઉપયોગમાં લેવાતી બૅટરીનો વોલ્ટેજ 8V હોવો જોઈએ.
(B) પોટેન્શિયોમીટરની બેટરીનો વોલ્ટેજ 15 V હોઈ શકે અને Rને એવી રીતે ગોઠવી શકાય કે તારના
છેડાઓ વચ્ચેનો વોલ્ટેજ ડ્રૉપ 10V થી સહેજ વધુ હોય.
(C) તારના પ્રથમ 50 cm ના ભાગમાં સ્વયં વોલ્ટેજ ડ્ર્રૉપ 10 V હોવો જોઈએ.
(D) પોટૅન્શિયોમીટરનો ઉપયોગ મોટા ભાગે અવરોધોની સરખામણી માટે થતો હોય છે, વોલ્ટેજો માટે
નહિ.
Answer: (B) પોટેન્શિયોમીટરની બેટરીનો વોલ્ટેજ 15 V હોઈ શકે અને Rને એવી રીતે ગોઠવી શકાય કે તારના છેડાઓ વચ્ચેનો વોલ્ટેજ ડ્રૉપ 10V થી સહેજ વધુ હોય.
In simple words: પોટેન્શિયોમીટરનો ઉપયોગ કરવા માટે, ડ્રાઈવર બેટરીનો વોલ્ટેજ, માપવાના સેલના emf કરતાં વધારે હોવો જોઈએ. અહીં, સૌથી મોટો સેલ 10V નો છે, તેથી ડ્રાઈવર બેટરીનો વોલ્ટેજ 10V કરતાં વધારે હોવો જોઈએ, જેમ કે 15V.
🎯 Exam Tip: A key principle of a potentiometer is that the potential drop across the potentiometer wire must be greater than the EMF of the cell being measured to obtain a null point. This question checks your understanding of this fundamental condition.

 

Question 5. 1cm x \(\frac{1}{2}\)cm ના લંબચોરસ આડછેદ અને 10 cm લંબાઈ ધરાવતા ધાતુના સળિયાની
સામસામેની બાજુઓ વચ્ચે એક બેટરી જોડેલી છે. સળિયાનો અવરોધ .......... હશે.
(A) જયારે બેટરી 1cm x \(\frac{1}{2}\) બાજુઓ વચ્ચે જોડેલ હોય ત્યારે મહત્તમ
(B) જ્યારે બૅટરી 10 cm × 1 cm બાજુઓ વચ્ચે જોડેલ હોય ત્યારે મહત્તમ.
(C) જ્યારે બેટરી 10 cm x \(\frac{1}{2}\)cm બાજુઓ વચ્ચે જોડેલ હોય ત્યારે મહત્તમ.
(D) ત્રણેય બાજુઓથી સ્વતંત્ર રીતે સમાન.
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): આકૃતિમાં એક લંબચોરસ સળિયાને દર્શાવ્યો છે, જેમાં તેની લંબાઈ 10 cm છે અને પહોળાઈ 1 cm તથા જાડાઈ 0.5 cm છે.
Answer: (A) જ્યારે બેટરી 1cm x \(\frac{1}{2}\) cm બાજુઓ વચ્ચે જોડેલ હોય ત્યારે મહત્તમ.
In simple words: અવરોધ \( R = \rho \frac{l}{A} \) સૂત્ર પરથી ગણાય છે, જ્યાં l લંબાઈ અને A આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે. મહત્તમ અવરોધ ત્યારે મળે જ્યારે લંબાઈ સૌથી વધારે હોય અને આડછેદનું ક્ષેત્રફળ સૌથી ઓછું હોય. આ ત્યારે થશે જ્યારે બેટરીને 1cm x \(\frac{1}{2}\) cm બાજુઓ વચ્ચે જોડવામાં આવે.
🎯 Exam Tip: To maximize resistance (\(R = \rho \frac{l}{A}\)), you need to maximize the length (l) and minimize the cross-sectional area (A). Identify which orientation achieves this for the given dimensions.

 

Question 6. ઇલેક્ટ્રોનની નીચે આપેલી લાક્ષણિકતાઓ પૈકી કઈ લાક્ષણિકતા વાહકમાં પ્રવાહ નક્કી કરે છે ?
(A) ફક્ત ડ્રિફ્ટવેગ
(B) ફક્ત ઉષ્મીયવેગ (Thermal)
(C) ડ્રિફ્ટવેગ અને ઉષ્મીયવેગ બંને
(D) ડ્રિફ્ટવેગ અને ઉષ્મીયવેગ પૈકી એક પણ નહીં
Answer: (A) ફક્ત ડ્રિફ્ટવેગ
In simple words: વાહકમાં ઇલેક્ટ્રિક પ્રવાહ ઇલેક્ટ્રોનના ડ્રિફ્ટ વેગ (Drift Velocity) દ્વારા નક્કી થાય છે. ઇલેક્ટ્રોનનો ડ્રિફ્ટ વેગ પ્રવાહ સાથે સીધો સંબંધ ધરાવે છે, જ્યારે થર્મલ વેગ ઇલેક્ટ્રોનની રેન્ડમ ગતિ છે જે પ્રવાહમાં ફાળો આપતી નથી.
🎯 Exam Tip: Current in a conductor is directly proportional to the drift velocity of charge carriers. Thermal velocity is random and does not contribute to net current flow.

 

બહુવિકલ્પ પ્રશ્નોત્તર (MCQ-II)
નીચેના પ્રશ્નોમાં એક અથવા એક કરતાં વધુ વિકલ્પ સાચા હોઈ શકે છે :

Question 1. કિર્ચીફના નિયમો ..........
(A) પ્રવાહ ઘનતા સદિશના સંરક્ષણ
(B) વિદ્યુતભાર સંરક્ષણ
(C) તે હકીકતનું કે વિદ્યુતભારિત કણ જે વેગમાન સાથે જંકશન પાસે જાય છે તે વેગમાન વિદ્યુતભારિત
કણો જ્યારે જંકશન છોડે છે ત્યારે બદલાતું નથી. (સદિશ
તરીકે) તે બાબતનું
(D) તે હકીકતનું કે જંક્શન પાસે કોઈ વિદ્યુતભાર સંગ્રહ
પામતો નથી.
Answer: (B) વિદ્યુતભાર સંરક્ષણ
(D) તે હકીકતનું કે જંક્શન પાસે કોઈ વિદ્યુતભાર સંગ્રહ પામતો નથી.
In simple words: કિર્ચીફનો પ્રથમ નિયમ (જંકશનનો નિયમ) દર્શાવે છે કે કોઈપણ જંકશન પર કુલ પ્રવાહ શૂન્ય હોય છે. આનો અર્થ એ છે કે જંકશન પર કોઈ વિદ્યુતભાર ભેગો થતો નથી, એટલે કે વિદ્યુતભાર હંમેશા સંરક્ષિત રહે છે.
🎯 Exam Tip: Kirchhoff's Current Law (KCL) is based on the conservation of charge. It implies that no charge accumulates at any junction in a circuit.

 

Question 2. આકૃતિમાં દર્શાવેલ સરળ પરિપથ ધ્યાનમાં લો.
વપરાય છે. R' ને R થી અનંત સુધી બદલી શકાય છે. r એ બેટરીનો આંતરિક અવરોધ છે. (r << r < <
R_o)
(A) R' બદલાય તોપણ AB ના છેડાઓ વચ્ચેનો વોલ્ટેજ ડ્રૉપ લગભગ અચળ રહે છે.
(B) R’ બદલાય તોપણ ૨' માંથી પસાર થતો વિદ્યુતપ્રવાહ લગભગ અચળ રહે છે.
(C) વિદ્યુતપ્રવાહ । સંવેદનશીલતાપૂર્વક R′ ઉપર આધાર રાખે છે.
(D) હંમેશાં \( I \geq \frac{V}{r+R} \) છે.
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): આકૃતિમાં એક બેટરી (emf V અને આંતરિક અવરોધ r) ને બે અવરોધો R અને R' સાથે જોડેલી છે, જ્યાં R અને R' સમાંતરમાં છે અને આ સમાંતર જોડાણ બેટરી સાથે શ્રેણીમાં છે.
Answer: (A) R' બદલાય તોપણ AB ના છેડાઓ વચ્ચેનો વોલ્ટેજ ડ્રૉપ લગભગ અચળ રહે છે.
(D) હંમેશાં \( I \geq \frac{V}{r+R} \) છે.
In simple words: જ્યારે \(R'\) અવરોધ ખૂબ મોટો હોય (\(R' >> R\)), ત્યારે \(R\) અને \(R'\) નું સમાંતર જોડાણ લગભગ \(R\) જેટલું જ રહે છે. આથી, \(R'\) બદલાય તો પણ \(V_{AB}\) (AB વચ્ચેનો વોલ્ટેજ) લગભગ સ્થિર રહે છે. પ્રવાહ હંમેશાં \( I \geq \frac{V}{r+R} \) જેટલો હોય છે.
🎯 Exam Tip: This question assesses your understanding of parallel and series combinations, especially when one resistance is much larger than the other. Remember that the voltage across parallel components is the same, and the total current depends on the total equivalent resistance.

 

Question 3. અર્ધવાહકો, અવાહકો અને સુવાહકો (ધાતુઓ)ની અવરોધકતા p(T)ની તાપમાન નિર્ભરતા નોંધપાત્ર રીતે
નીચેનાં પરિબળો પર આધારિત છે.
(A) વિદ્યુતભાર વાહકોની સંખ્યા તાપમાન T સાથે બદલાઈ શકે છે.
(B) બે ક્રમિક અથડામણો વચ્ચેનો સમયગાળો તાપમાન પર આધારિત હોઈ શકે છે.
(C) પદાર્થની લંબાઈએ જ નું વિધેય હોઈ શકે છે.
(D) વિદ્યુતભારોનું દળ એ Tનું વિધેય છે.
Answer: (A) વિદ્યુતભાર વાહકોની સંખ્યા તાપમાન T સાથે બદલાઈ શકે છે.
(B) બે ક્રમિક અથડામણો વચ્ચેનો સમયગાળો તાપમાન પર આધારિત હોઈ શકે છે.
In simple words: અવરોધકતા તાપમાન પર આધાર રાખે છે કારણ કે તાપમાન બદલાવાથી મુક્ત વિદ્યુતભાર વાહકોની સંખ્યા (n) અને અથડામણ વચ્ચેનો સમયગાળો (\(\tau\)) બદલાઈ શકે છે. પદાર્થની લંબાઈ કે વિદ્યુતભારનું દળ તાપમાન સાથે બદલાતા નથી.
🎯 Exam Tip: Electrical resistivity (\(\rho\)) is related to carrier concentration (n) and relaxation time (\(\tau\)) by \(\rho = \frac{m}{ne^2\tau}\). Both n and \(\tau\) are temperature-dependent, making resistivity temperature-dependent.

 

Question 4. હીટસ્ટન બ્રિજનો ઉપયોગ કરી એક અજ્ઞાત અવરોધ R નું માપન હાથ ધરવામાં આવે છે. (આકૃતિ જુઓ).
બે વિધાર્થીઓ પ્રયોગને બે જુદી-જુદી રીતે કરે છે. એક વિધાર્થી R₂ = 10 Ω અને R₁ = 5 Ω લે છે. બીજો
વિધાર્થી R₂ = 1000 Ω અને R1 = 500 Ω લે છે. પ્રમાણભૂત બાજુમાં, બંને R3 = 5 Ω લે છે. બંને ત્રુટિ સાથે
R = \(\frac{R_2}{R_1} R_3 \) = 10 Ω શોધે છે.
(A) બંને વિદ્યાર્થીઓની માપનમાં ત્રુટિઓ સમાન હશે.
(B) માપનમાં સુટિએ R₂ અને R₁ ના માપનમાં રહેલી ચોક્સાઈ પર નિર્ભર કરે છે.
(C) જો વિદ્યાર્થી મોટા મૂલ્યના R₂ અને R₁ નો ઉપયોગ કરે તો ભુજાઓ (arms)માં વિદ્યુતપ્રવાહ ક્ષીણ
(feeble) બને. જેના લીધે ચોકસાઈપૂર્વક તટસ્થબિંદુ નક્કી કરવું વધુ મુશ્કેલ બને.
(D) વ્હીટસ્ટન બ્રિજએ ખૂબ સચોટ સાધન છે અને તેના માપનમાં ત્રુટિ નથી હોતી.
Answer: (B) માપનમાં સુટિએ R₂ અને R₁ ના માપનમાં રહેલી ચોક્સાઈ પર નિર્ભર કરે છે.
(C) જો વિદ્યાર્થી મોટા મૂલ્યના R₂ અને R₁ નો ઉપયોગ કરે તો ભુજાઓ (arms)માં વિદ્યુતપ્રવાહ ક્ષીણ (feeble) બને. જેના લીધે ચોકસાઈપૂર્વક તટસ્થબિંદુ નક્કી કરવું વધુ મુશ્કેલ બને.
In simple words: વ્હીટસ્ટન બ્રિજમાં અવરોધ R2 અને R1 ના માપનની ચોકસાઈ માપનમાં થતી ભૂલને અસર કરે છે. જ્યારે R1 અને R2 ના મોટા મૂલ્યોનો ઉપયોગ થાય છે, ત્યારે સર્કિટમાં પ્રવાહ ઓછો બને છે, જેનાથી તટસ્થબિંદુ શોધવામાં મુશ્કેલી પડે છે અને ચોકસાઈ ઘટે છે.
🎯 Exam Tip: The accuracy of a Wheatstone bridge measurement depends on the precision of the component resistors and the sensitivity of the galvanometer. Using very large resistances can lead to a weak current, making it difficult to detect the null point accurately.

 

Question 5. મીટરબ્રિજમાં બિંદુ D એ તટસ્થ બિંદુ છે. (આકૃતિ મુજબ)
(A) અવરોધોના આ સમૂહ માટે મીટર બ્રિજમાં બીજું કોઈ તટસ્થબિંદુ ન હોય.
(B) જયારે મીટર તાર ઉપર Dની ડાબી બાજુ કોઈ બિંદુએ જોકીનો સંપર્ક કરાવવામાં આવે, તો તારમાંથી
B તરફ પ્રવાહનું વહન થશે.
(C) જ્યારે મીટર તાર ઉપર Dની જમણી બાજુ કોઈ બિંદુએ જૉકીનો સંપર્ક કરાવવામાં આવે, તો B માંથી
તાર મારફતે ગેલ્વેનોમીટરમાં થઈ પ્રવાહનું વહન થશે.
(D) જ્યારે ર વધે છે, તટસ્થ બિંદુ ડાબી બાજુ ખસે છે.
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): આકૃતિમાં મીટરબ્રિજ દર્શાવવામાં આવ્યો છે, જેમાં R અને S અવરોધો અને એક મીટર વાયર AB છે. D એ તટસ્થ બિંદુ છે.
Answer: (A) અવરોધોના આ સમૂહ માટે મીટર બ્રિજમાં બીજું કોઈ તટસ્થબિંદુ ન હોય.
(B) જયારે મીટર તાર ઉપર Dની ડાબી બાજુ કોઈ બિંદુએ જોકીનો સંપર્ક કરાવવામાં આવે, તો તારમાંથી B તરફ પ્રવાહનું વહન થશે.
(C) જ્યારે મીટર તાર ઉપર Dની જમણી બાજુ કોઈ બિંદુએ જૉકીનો સંપર્ક કરાવવામાં આવે, તો B માંથી તાર મારફતે ગેલ્વેનોમીટરમાં થઈ પ્રવાહનું વહન થશે.
In simple words: મીટરબ્રિજમાં, ચોક્કસ અવરોધો માટે ફક્ત એક જ તટસ્થ બિંદુ હોય છે. જો જોકીને તટસ્થ બિંદુની ડાબી બાજુ ખસેડવામાં આવે, તો B તરફ પ્રવાહ વહે છે, અને જો જમણી બાજુ ખસેડવામાં આવે, તો B માંથી પ્રવાહ વહે છે.
🎯 Exam Tip: In a balanced Wheatstone or meter bridge, there is a unique null point. Shifting the jockey from this null point causes current to flow in the galvanometer, indicating an unbalanced bridge, and the direction of current depends on which side the jockey is moved.

 

અતિટૂંક જવાબી પ્રશ્નો (VSA)

Question 1. વિધુત પરિપથમાં વિધુતભાર જ્યારે જંક્શન પસાર કરે ત્યારે વેગમાનનું સંરક્ષણ થાય છે ? શા માટે અથવા
શા માટે નહીં?
Answer:
જ્યારે નિયમિત ઇલેક્ટ્રિક ફિલ્ડ E માં ફ્રી ઇલેક્ટ્રોન જંકશન પર પહોંચે છે, ત્યારે તેમનો ડ્રિફ્ટ વેગ ચોક્કસ હોય છે. ડ્રિફ્ટ વેગ \( v_d = \frac{eE\tau}{m} \) દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
પરંતુ, તાર પર જંકશન પર ભેગા થયેલા વિદ્યુતભારોને કારણે વધારાનું ઇલેક્ટ્રિક ફિલ્ડ ઉત્પન્ન થાય છે. આનાથી ડ્રિફ્ટ વેગ પર અસર થાય છે. પરિણામે, જંકશન પસાર કર્યા પછી વેગમાનનું સંરક્ષણ થતું નથી.
In simple words: ના, ઇલેક્ટ્રિક સર્કિટમાં જંકશન પર ઇલેક્ટ્રોન પસાર થાય ત્યારે તેમનું વેગમાન સંરક્ષિત થતું નથી. કારણ કે, જંકશન પર વિદ્યુતભારો ભેગા થવાથી ઇલેક્ટ્રિક ફિલ્ડ બદલાય છે, જે ઇલેક્ટ્રોનના ડ્રિફ્ટ વેગને અસર કરે છે અને વેગમાનમાં ફેરફાર લાવે છે.
🎯 Exam Tip: This question tests your understanding of momentum conservation in the context of current flow. While charge is conserved at a junction (Kirchhoff's Current Law), the momentum of individual charge carriers is not necessarily conserved due to electric fields and collisions.

અતિટૂંક જવાબી પ્રશ્નો (VSA)

Question 1. વિધુત પરિપથમાં વિધુતભાર જ્યારે જંક્શન પસાર કરે ત્યારે વેગમાનનું સંરક્ષણ થાય છે ? શા માટે અથવા શા માટે નહીં?

Answer: મુક્ત ઇલેક્ટ્રોન જ્યારે નિયમિત વિદ્યુત ક્ષેત્ર \( E \) માં જંકશન પર લંબરૂપે પહોંચે છે, ત્યારે તેમનો ડ્રિફ્ટ વેગ (\( v_d \)) નિશ્ચિત હોય છે. ડ્રિફ્ટ વેગ \( v_d \), વિદ્યુત ક્ષેત્ર \( E \), ઇલેક્ટ્રોન પરનો ચાર્જ \( e \), રિલેક્સેશન સમય \( \tau \), અને ઇલેક્ટ્રોનનું દળ \( m \) પર આધાર રાખે છે: \[ v_d = \frac{\mathrm{E} e \tau}{m} \] જોકે, જંકશન પાસે વિદ્યુતભારો ભેગા થવાથી વધારાનું વિદ્યુત ક્ષેત્ર બને છે. આ વધારાનું ક્ષેત્ર ડ્રિફ્ટ વેગને અસર કરે છે. તેથી, જંકશનમાંથી પસાર થયા પછી ઇલેક્ટ્રોનનું વેગમાન સુરક્ષિત રહેતું નથી.
In simple words: જ્યારે ઇલેક્ટ્રોન જંકશનમાંથી પસાર થાય છે, ત્યારે ત્યાં વિદ્યુતભારો ભેગા થવાથી એક વધારાનું વિદ્યુત ક્ષેત્ર બને છે. આ વધારાનું ક્ષેત્ર ઇલેક્ટ્રોનની ગતિને અસર કરે છે, તેથી તેનું વેગમાન બદલાઈ જાય છે અને તે સુરક્ષિત રહેતું નથી.

🎯 Exam Tip: વેગમાન સંરક્ષણનો નિયમ ક્યારે લાગુ પડે છે અને ક્યારે નહીં તે સમજવું અગત્યનું છે, ખાસ કરીને વિદ્યુતક્ષેત્રની હાજરીમાં. વિદ્યુતભારોના સંચયથી થતી અસરોને ધ્યાનમાં રાખો.

Question 2. વિશ્રાંતિ સમય (Relaxation time) \( \tau \) એ લાગુ પાડેલ ક્ષેત્ર E થી લગભગ સ્વતંત્ર છે, જ્યારે તે તાપમાન T સાથે નોંધપાત્ર આ રીતે બદલાય છે. પ્રથમ હકીકત માટે ઓહ્મનો નિયમ જવાબદાર છે, જ્યારે બીજી હકીકત છે ના તાપમાન સાથેના ફેરફાર તરફ દોરી જાય છે, શા માટે ? સવિસ્તર સમજાવો.

Answer: રિલેક્સેશન સમય, જે \( \tau \) તરીકે ઓળખાય છે, તે ઇલેક્ટ્રોનના વેગ, આયનોના વેગ અને લાગુ કરેલા વિદ્યુત ક્ષેત્ર પર નિર્ભર કરે છે. જ્યારે વિદ્યુત ક્ષેત્ર લાગુ પડે છે, ત્યારે ઇલેક્ટ્રોનના ડ્રિફ્ટ વેગમાં લગભગ 1 mm/s નો ફેરફાર થાય છે. તાપમાન \( T \) માં ફેરફારના કારણે ડ્રિફ્ટ વેગમાં મોટો ફેરફાર જોવા મળે છે. જેમ ધાતુમાં ઇલેક્ટ્રોનનો ડ્રિફ્ટ વેગ વધે છે, તેમ રિલેક્સેશન સમય \( \tau \) ઘટે છે. આનાથી વાહકની અવરોધકતા \( \rho \) વધે છે, કારણ કે \( \rho = \frac{1}{\sigma} = \frac{m}{n e^2 \tau} \).
In simple words: રિલેક્સેશન સમય \( \tau \) ઇલેક્ટ્રોન અને આયનોની ગતિ તેમજ વિદ્યુત ક્ષેત્ર પર આધાર રાખે છે. વિદ્યુત ક્ષેત્રથી ડ્રિફ્ટ વેગમાં નાનો ફેરફાર થાય છે, પરંતુ તાપમાન વધવાથી ડ્રિફ્ટ વેગમાં મોટો ફેરફાર થાય છે, જેનાથી અવરોધકતા વધે છે.

🎯 Exam Tip: રિલેક્સેશન સમય કયા પરિબળો પર આધાર રાખે છે તે યાદ રાખો. ખાસ કરીને, તાપમાનના ફેરફારો કેવી રીતે ડ્રિફ્ટ વેગ અને અવરોધકતાને અસર કરે છે તે સમજવું જરૂરી છે.

Question 3. હીટસ્ટોન બ્રિજમાં તટસ્થબિંદુ પદ્ધતિના લાભ શું છે ? બીજી કોઈ પદ્ધતિથી અજ્ઞાત અવરોધ \( R_{અજ્ઞાત} \) ની ગણતરીમાં કયા વધારાના માપનની જરૂર પડશે ?

Answer: વીટસ્ટન બ્રિજમાં નલ-પોઇન્ટ (તટસ્થબિંદુ) પદ્ધતિનો મુખ્ય લાભ એ છે કે, નલ-પોઇન્ટ પર ગેલ્વેનોમીટરના અવરોધની કોઈ અસર થતી નથી. આથી, અવરોધો અથવા ગેલ્વેનોમીટરના આંતરિક અવરોધમાંથી પસાર થતા પ્રવાહને માપવાની જરૂર નથી. આ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરવો સરળ અને અનુકૂળ છે. અન્ય પદ્ધતિઓ દ્વારા અજ્ઞાત અવરોધ શોધવા માટે કિર્ચોફના નિયમોનો ઉપયોગ કરવો પડે છે. તેમાં દરેક શાખામાંથી, ગેલ્વેનોમીટરમાંથી અને ગેલ્વેનોમીટરના આંતરિક અવરોધમાંથી વહેતા પ્રવાહના ચોક્કસ માપનની જરૂર પડે છે. હીટસ્ટન બ્રિજની સંતુલિત સ્થિતિ માટે, જરૂરી અને પર્યાપ્ત શરત છે \( \frac{\mathrm{P}}{\mathrm{Q}} = \frac{\mathrm{R}}{\mathrm{S}} \), જ્યાં P અને Q જાણીતા અવરોધો છે, R અજ્ઞાત અવરોધ છે અને S જાણીતો અવરોધ છે.
In simple words: વીટસ્ટન બ્રિજમાં તટસ્થબિંદુ પદ્ધતિ સરળ છે કારણ કે ગેલ્વેનોમીટરના અવરોધથી કોઈ અસર થતી નથી, અને કોઈ વધારાના પ્રવાહ માપનની જરૂર નથી. બીજી પદ્ધતિઓમાં દરેક શાખામાંથી વહેતા પ્રવાહને ચોકસાઈથી માપવો પડે છે.

🎯 Exam Tip: નલ-પોઇન્ટ પદ્ધતિના ફાયદાઓને યાદ રાખો, ખાસ કરીને તે કેવી રીતે જટિલ પ્રવાહ માપનને ટાળે છે. કિર્ચોફના નિયમોનો ઉપયોગ કરીને અન્ય પદ્ધતિઓ સાથે તેની સરખામણી કરવાથી વધુ સ્પષ્ટતા મળશે.

Question 4. પોટેન્શિયોમીટરમાં તારોનું જોડાણ કરવા માટે ધાતુની જાડી પટ્ટીઓનો ઉપયોગ કરવાનો ફાયદો શું છે ?

Answer: પોટેન્શિયોમીટરમાં, લાંબા તારને બદલે નાના તારના ટુકડાઓને જાડી ધાતુની પટ્ટીઓથી જોડવામાં આવે છે. આ જાડી પટ્ટીઓનો અવરોધ ખૂબ જ ઓછો હોય છે, જેને અવગણી શકાય છે. તેથી, નલ-પોઇન્ટનું અંતર માપતી વખતે આ પટ્ટીઓની લંબાઈને ધ્યાનમાં લેવાની જરૂર નથી. આનાથી પ્રયોગ કરનાર વ્યક્તિને એક લાંબા તારને બદલે 1 મીટર લંબાઈના ઘણા તારના ટુકડાને જાડી ધાતુની પટ્ટીઓથી જોડીને જરૂરી પોટેન્શિયોમીટર બનાવવાની સુવિધા મળે છે. પોટેન્શિયોમીટરમાં નલ-પોઇન્ટનું અંતર સેન્ટીમીટર અથવા મીટર સ્કેલનો ઉપયોગ કરીને વધુ ચોકસાઈથી માપી શકાય છે.
In simple words: પોટેન્શિયોમીટરમાં જાડી ધાતુની પટ્ટીઓનો ઉપયોગ કરવાથી તેમનો અવરોધ ખૂબ ઓછો રહે છે, જેથી માપનમાં તેમની લંબાઈ ગણવી પડતી નથી. આનાથી જુદા જુદા લંબાઈના તારોને જોડીને સરળતાથી પોટેન્શિયોમીટર બનાવી શકાય છે અને નલ-પોઇન્ટનું અંતર વધુ ચોકસાઈથી માપી શકાય છે.

🎯 Exam Tip: જાડી ધાતુની પટ્ટીઓના ઓછા અવરોધનું મહત્વ યાદ રાખો, કારણ કે તે પોટેન્શિયોમીટરની રચના અને માપનની ચોકસાઈમાં સુધારો કરે છે.

Question 5. ઘરોમાં વાયરિંગ માટે, તાંબા (Cu) અથવા એલ્યુમિનિયમ (Al) ના વાયરોનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે. આની પાછળ કઈ વિચારણાઓ સામેલ છે ?

Answer: ઘરના વાયરિંગ માટે તાંબા (Cu) અથવા એલ્યુમિનિયમ (Al) ના તાર વપરાય છે. આ પસંદગી પાછળ મુખ્ય કારણ એ છે કે કઈ ધાતુ સસ્તી છે અને કઈ સારી રીતે વિદ્યુતનું વહન કરે છે. એલ્યુમિનિયમ (Al) તાંબા (Cu) કરતાં સસ્તું છે. સમાન લંબાઈ માટે, એલ્યુમિનિયમનો તાર હલકો હોય છે. તેથી, ઘરોમાં એલ્યુમિનિયમના તારનો વધુ ઉપયોગ થાય છે કારણ કે તે સારો વાહક પણ છે. ચાંદી અને લોખંડના તારનો પણ ઉપયોગ કરી શકાય છે. જોકે, ચાંદીનું વાયરિંગ ખૂબ મોંઘું હોય છે અને લોખંડનો તાર સમય જતાં ક્ષય પામીને તૂટી શકે છે.
In simple words: વાયરિંગ માટે તાંબા અને એલ્યુમિનિયમનો ઉપયોગ તેમની કિંમત અને વિદ્યુત વાહકતાને કારણે થાય છે. એલ્યુમિનિયમ સસ્તું અને હલકું હોવાથી વધુ વપરાય છે, જ્યારે ચાંદી મોંઘી છે અને લોખંડ કાટ ખાઈ શકે છે.

🎯 Exam Tip: વાયરિંગ સામગ્રીની પસંદગીમાં ખર્ચ, વજન અને વિદ્યુત વાહકતા જેવા વ્યવહારુ પરિબળોને ધ્યાનમાં રાખો.

Question 6. શા માટે આદર્શ અવરોધ ગૂંચળું બનાવવા માટે મિશ્ર ધાતુઓનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે ?

Answer: એલોયનો ઉપયોગ આદર્શ રેઝિસ્ટન્સ કોઇલ બનાવવા માટે થાય છે કારણ કે તેમનો તાપમાન ગુણાંક ખૂબ ઓછો હોય છે. આનો અર્થ એ છે કે તાપમાનમાં નાના ફેરફારો થાય તો પણ તેમનો અવરોધ લગભગ સ્થિર રહે છે. વધુમાં, એલોયની અવરોધકતા (resistivity) વધારે હોય છે, જેના કારણે આપેલ લંબાઈ અને આડછેદ માટે તેમનો અવરોધ પણ વધારે મળે છે. અવરોધ \( R = \frac{\rho l}{\mathrm{A}} \) સૂત્ર મુજબ.
In simple words: મિશ્ર ધાતુઓનો ઉપયોગ અવરોધક ગૂંચળા બનાવવા માટે થાય છે કારણ કે તેમનો અવરોધ તાપમાન સાથે બહુ બદલાતો નથી (તાપમાન ગુણાંક ઓછો હોય છે) અને તેમની અવરોધકતા વધારે હોવાથી ઓછી જગ્યામાં વધુ અવરોધ બનાવી શકાય છે.

🎯 Exam Tip: મિશ્ર ધાતુઓના બે મુખ્ય ગુણધર્મો-ઓછો તાપમાન ગુણાંક અને ઉચ્ચ અવરોધકતા-ને યાદ રાખો, જે તેમને આદર્શ અવરોધ કોઇલ માટે યોગ્ય બનાવે છે.

Question 7. \( R_c \) અવરોધ ધરાવતા પ્રસારણ (transmission) કેબલ મારફતે ઉપકરણ (Device)ને પાવર પહોંચાડવામાં આવે છે. જો R ના બે છેડા વચ્ચેનો વોલ્ટેજ અને તેમાંથી પસાર થતો પ્રવાહ હોય, તો પાવર વ્યય શોધો અને તે કેવી રીતે ઘટાડી શકાય છે ?

Answer: પાવર ટ્રાન્સમિશનનું સૂત્ર \( P = VI \) છે, જ્યાં P પાવર, V વોલ્ટેજ અને I પ્રવાહ છે. આપેલ પાવરને બે મુખ્ય રીતે ટ્રાન્સમિટ કરી શકાય છે:
(1) નીચા વોલ્ટેજ અને ઊંચા પ્રવાહ સાથે.
(2) ઊંચા વોલ્ટેજ અને નીચા પ્રવાહ સાથે. નીચા વોલ્ટેજ અને ઊંચા પ્રવાહના કિસ્સામાં, પાવર લોસ \( P \) પ્રવાહના વર્ગ (\( I^2 \)) ના પ્રમાણમાં હોવાથી, પાવર વ્યય વધુ થાય છે. ઊંચા વોલ્ટેજ અને નીચા પ્રવાહના કિસ્સામાં, પાવર લોસ \( P \) પ્રવાહના વર્ગ (\( I^2 \)) ના પ્રમાણમાં હોવાથી, પાવર વ્યય ઓછો હોય છે. તેથી, ઊંચા વોલ્ટેજ પર પાવર ટ્રાન્સમિટ કરીને પાવર વ્યય ઘટાડી શકાય છે.
In simple words: પાવર ટ્રાન્સમિશનમાં ઊર્જાનો વ્યય પ્રવાહના વર્ગ (\( I^2R \)) પર આધાર રાખે છે. આ વ્યય ઘટાડવા માટે, પ્રવાહ ઓછો કરવો પડે. આ માટે, પાવરને ઊંચા વોલ્ટેજ અને ઓછા પ્રવાહ પર ટ્રાન્સમિટ કરવો વધુ કાર્યક્ષમ છે.

🎯 Exam Tip: પાવર ટ્રાન્સમિશનમાં \( I^2R \) નુકસાન ઘટાડવા માટે ઉચ્ચ વોલ્ટેજ ટ્રાન્સમિશનના મહત્વ પર ધ્યાન કેન્દ્રિત કરો.

Question 8. આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ AB એ પોટેન્શિયોમીટરનો તાર છે. જો R નું મૂલ્ય વધારવામાં આવે તો, તટસ્થબિંદુ (Balance point) J કઈ દિશામાં ખસશે ?

ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): આકૃતિ એક પોટેન્શિયોમીટર પરિપથ દર્શાવે છે. તેમાં મુખ્ય બેટરી E, શ્રેણી અવરોધ R, અને પોટેન્શિયોમીટર તાર AB જોડાયેલા છે. એક ગેલ્વેનોમીટર G દ્વારા એક સેલને માપી રહ્યા છીએ, જે જોકી J દ્વારા તાર AB પર સંતુલન બિંદુ શોધવા માટે વપરાય છે.
Answer: જો શ્રેણી અવરોધ R વધારવામાં આવે, તો મુખ્ય પરિપથમાં પ્રવાહ ઘટે છે. આના પરિણામે, પોટેન્શિયોમીટર તાર AB પરનો પોટેન્શિયલ ડિફરન્સ (PD) ઘટે છે, અને તેના કારણે વિદ્યુતસ્થિતિમાન પ્રચલન (પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ) \( \phi \) પણ ઘટે છે. આપેલ સેલ માટે નલ-પોઇન્ટનું EMF (\( E \)) સ્થિર રહે છે. જો પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ (\( \phi \)) ઘટે, કારણ કે \( E = \phi l \), જ્યાં \( l \) એ સંતુલન લંબાઈ છે, તો સંતુલન લંબાઈ (\( l \)) વધે છે. તેથી, નલ-પોઇન્ટ J, B છેડા તરફ ખસે છે.
In simple words: જો શ્રેણી અવરોધ R વધારવામાં આવે, તો મુખ્ય પ્રવાહ ઘટે છે, જેનાથી પોટેન્શિયોમીટર તાર પર પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ પણ ઘટે છે. કારણ કે સેલનું EMF સ્થિર છે, નલ-પોઇન્ટ મેળવવા માટે લાંબી લંબાઈની જરૂર પડશે, તેથી જોકી B છેડા તરફ ખસે છે.

🎯 Exam Tip: શ્રેણી અવરોધ (R) માં ફેરફાર પોટેન્શિયોમીટર તાર પરના પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટને કેવી રીતે અસર કરે છે અને તેનાથી સંતુલન બિંદુની સ્થિતિ કેવી રીતે બદલાય છે તે સમજવું મહત્વપૂર્ણ છે.

Question 9. પોટેન્શિયોમીટર આકૃતિ વડે કોઈ પ્રયોગ કરતાં એ ધ્યાનમાં આવ્યું કે, વિચલન (deflection) એક દિશામાં થાય છે અને
(i) તારના એક છેડા A થી બીજા છેડા B તરફ જઈએ તેમ વિચલન ઘટે છે.
(ii) જ્યારે જોકીને છેડા B તરફ ખસેડતા વિચલન વધે છે.
(a) કિસ્સા (i) માં બેટરીનો \( E_1 \) નો કયો (ધન કે ઋણ) છેડો X સાથે જોડવામાં આવે છે અને \( E_1 \) કેવી રીતે E સાથે સંબંધિત છે ?
(b) કિસ્સા (ii) માં બેટરી \( E_1 \) નો કયો છેડો X સાથે જોડેલ હશે ?

ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): આકૃતિ એક પોટેન્શિયોમીટર પરિપથ દર્શાવે છે. તેમાં મુખ્ય બેટરી E અને તેની સાથે એક રિયોસ્ટેટ R જોડાયેલા છે. પોટેન્શિયોમીટર તાર AB સાથે એક બીજો સેલ \( E_1 \) અને ગેલ્વેનોમીટર G જોડેલા છે. સેલ \( E_1 \) નો એક છેડો X બિંદુ સાથે જોડાયેલો છે અને ગેલ્વેનોમીટર દ્વારા જોકીને તાર AB પર ખસેડી શકાય છે.
Answer: પોટેન્શિયોમીટર પ્રયોગમાં, જો ગેલ્વેનોમીટરનું ડિફ્લેક્શન એક જ દિશામાં જોવા મળે, તો તેનો અર્થ એ થાય છે કે માપવામાં આવતા સેલ \( E_1 \) નું emf, મુખ્ય ડ્રાઈવર સેલ E ના emf કરતાં વધારે છે, એટલે કે \( E_1 > E \). (a) કિસ્સા (i) માં, જો સેલ \( E_1 \) નો ધન છેડો X સાથે અને ઋણ છેડો જોકી J સાથે જોડાયેલો હોય, તો જેમ જોકીને તાર AB પર A થી B તરફ ખસેડવામાં આવે છે, તેમ ગેલ્વેનોમીટરમાંથી પસાર થતો પ્રવાહ તારની લંબાઈ વધતાં ઘટે છે. (b) કિસ્સા (ii) માં, જો સેલ \( E_1 \) નો ઋણ છેડો X સાથે અને ધન છેડો જોકી J સાથે જોડાયેલો હોય, તો જેમ જોકીને તાર AB પર A થી B તરફ ખસેડવામાં આવે છે, તેમ ગેલ્વેનોમીટરમાંથી પસાર થતો પ્રવાહ તારની લંબાઈ વધતાં વધે છે.
In simple words: જો ગેલ્વેનોમીટર એક જ દિશામાં વિચલિત થાય, તો માપવામાં આવતો સેલ \( E_1 \) ડ્રાઇવર સેલ E કરતાં વધુ EMF ધરાવે છે. કિસ્સા (i) માં, \( E_1 \) નો ધન છેડો X સાથે અને ઋણ છેડો જોકી સાથે જોડાય છે, તેથી A થી B તરફ જતાં પ્રવાહ ઘટે છે. કિસ્સા (ii) માં, \( E_1 \) નો ઋણ છેડો X સાથે અને ધન છેડો જોકી સાથે જોડાય છે, તેથી A થી B તરફ જતાં પ્રવાહ વધે છે.

🎯 Exam Tip: પોટેન્શિયોમીટરમાં સેલની ધ્રુવીયતા અને તેના EMF ના મુખ્ય સેલના EMF સાથેના સંબંધને સમજો, કારણ કે તે ગેલ્વેનોમીટરના વિચલનની દિશા અને પ્રવાહના ફેરફારને નક્કી કરે છે.

Question 10. જેનું emf E અને આંતરિક અવરોધ r છે તેવા વિધુતકોષને એક બાહ્ય અવરોધ R સાથે જોડેલ છે. R ના બે છેડાઓ વચ્ચે વિધુતસ્થિતિમાનના તફાવતના ફેરફાર વિરુદ્ધ R નો આલેખ દોરો.

ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): આકૃતિ બાહ્ય અવરોધ R વિરુદ્ધ ટર્મિનલ વોલ્ટેજ V નો આલેખ દર્શાવે છે. આલેખ દર્શાવે છે કે જેમ R નું મૂલ્ય વધે છે, તેમ V નું મૂલ્ય પણ વધે છે અને R અનંત થતાં V નું મૂલ્ય E (સેલના emf) જેટલું થાય છે.
Answer: E emf અને r આંતરિક અવરોધ ધરાવતા સેલને બાહ્ય અવરોધ R સાથે જોડવામાં આવે છે. R ના બે છેડા વચ્ચેનો પોટેન્શિયલ ડિફરન્સ (V) નીચે મુજબ છે: \[ V = E - Ir \] આપણને ખબર છે કે \( I = \frac{V}{R} \).
\( \implies V = E - \frac{V}{R} r \)
\( \implies V \left(1 + \frac{r}{R}\right) = E \)
\( \implies V = \frac{E}{1 + \frac{r}{R}} \)
\( \implies V = \frac{ER}{R+r} \) જેમ R વધે છે, તેમ V પણ વધે છે. V વિરુદ્ધ R નો આલેખ ઉપરની આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ મળે છે. જ્યારે આલેખ અવરોધ અક્ષ (R-axis) ને સમાંતર થાય છે, ત્યારે \( V = E \) થાય છે, જે દર્શાવે છે કે અવરોધ R અનંત હોય ત્યારે ટર્મિનલ વોલ્ટેજ સેલના emf બરાબર થાય છે.
In simple words: જ્યારે કોઈ બેટરીને બાહ્ય અવરોધ R સાથે જોડવામાં આવે, ત્યારે R વધતાં બેટરીના બે છેડા વચ્ચેનો વોલ્ટેજ (ટર્મિનલ વોલ્ટેજ) પણ વધે છે. જ્યારે R ખૂબ મોટો થાય (અનંત) ત્યારે ટર્મિનલ વોલ્ટેજ બેટરીના EMF જેટલો થઈ જાય છે.

🎯 Exam Tip: ટર્મિનલ વોલ્ટેજ, EMF, આંતરિક અવરોધ અને બાહ્ય અવરોધ વચ્ચેના સંબંધને સમજો અને આલેખ દ્વારા તેનું પ્રતિનિધિત્વ કેવી રીતે થાય છે તે યાદ રાખો. R વધવાથી V કેવી રીતે બદલાય છે તે સ્પષ્ટ કરો.

ટૂંક જવાબી પ્રશ્નો (SA)

Question 1. દરેકનો સમાન અવરોધ R હોય તેવા n અવરોધોના એક સમૂહને E emf અને R જેટલા આંતરિક અવરોધ ધરાવતી બેટરી સાથે પ્રથમ શ્રેણીમાં જોડેલા છે. પરિપથમાં વહેતા પ્રવાહ \( I_1 \) અવલોકવામાં આવે છે. ત્યાર બાદ n અવરોધોને એ જ બેટરી સાથે સમાંતરમાં જોડવામાં આવે છે. એવું અવલોકવામાં આવ્યું કે, પ્રવાહ 10 ગણો વધી ગયો તો અહીં 'n' નું મૂલ્ય શું છે ?

Answer: E emf અને R આંતરિક અવરોધ ધરાવતી બેટરી સાથે n સમાન અવરોધો (દરેક R મૂલ્યના) શ્રેણીમાં જોડવામાં આવે ત્યારે સર્કિટમાં વહેતો પ્રવાહ \( I_1 \) છે: \[ I_1 = \frac{E}{R + nR} = \frac{E}{R(1+n)} \quad (1) \] હવે, તે જ બેટરી સાથે n સમાન અવરોધોને સમાંતરમાં જોડવામાં આવે છે. સમાંતર જોડાણનો સમતુલ્ય અવરોધ \( R_p = \frac{R}{n} \) થાય. આ કિસ્સામાં પ્રવાહ \( I_2 \) છે: \[ I_2 = \frac{E}{R + R_p} = \frac{E}{R + \frac{R}{n}} = \frac{E}{\frac{nR+R}{n}} = \frac{nE}{R(n+1)} \quad (2) \] આપેલ છે કે, સમાંતર જોડાણનો પ્રવાહ શ્રેણી જોડાણના પ્રવાહ કરતાં 10 ગણો વધારે છે: \[ I_2 = 10 I_1 \] સમીકરણ (1) અને (2) ના મૂલ્યો મુકતા: \[ \frac{nE}{R(n+1)} = 10 \frac{E}{R(1+n)} \] બંને બાજુ \( \frac{E}{R(n+1)} \) કેન્સલ કરતા: \[ n = 10 \] આમ, n નું મૂલ્ય 10 છે.
In simple words: પહેલાં, n અવરોધો શ્રેણીમાં જોડીને પ્રવાહ (\( I_1 \)) શોધો. પછી, n અવરોધો સમાંતરમાં જોડીને પ્રવાહ (\( I_2 \)) શોધો. જો \( I_2 \) એ \( I_1 \) કરતાં 10 ગણો હોય, તો સૂત્રોને સરખાવીને n નું મૂલ્ય 10 મળે છે.

🎯 Exam Tip: શ્રેણી અને સમાંતર અવરોધો માટેના સૂત્રો, તેમજ ઓહ્મના નિયમનો ઉપયોગ કરીને પ્રવાહ કેવી રીતે શોધવો તે યાદ રાખો. આવા દાખલાઓમાં સંતુલ્ય અવરોધની ગણતરી મહત્વપૂર્ણ છે.

Question 2. n અવરોધો \( R_1, ..., R_n \) વિચારો જેમાં \( R_{max} = \max\{R_1, ..., R_n\} \) અને \( R_{min} = \min\{R_1, ..., R_n\} \) છે. એવું દર્શાવો કે જ્યારે તેમને સમાંતરમાં જોડવામાં આવે ત્યારે પરિણામી અવરોધ \( R_p < R_{min} \) અને જ્યારે તેમને શ્રેણીમાં જોડવામાં આવે ત્યારે પરિણામી અવરોધ \( R_s > R_{max} \) છે. પરિણામનું ભૌતિક અર્થઘટન આપો.

Answer: ધારો કે \( R_{min} \) એ આપેલા અવરોધોમાં સૌથી નાનો અવરોધ છે અને \( R_{max} \) એ સૌથી મોટો અવરોધ છે. **સમાંતર જોડાણ માટે:** સમાંતર જોડાણ માટે સમતુલ્ય અવરોધ \( R_p \) નીચે મુજબ અપાય છે: \[ \frac{1}{R_p} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + ... + \frac{1}{R_n} \] દરેક \( R_i \) ધન હોવાથી, \( \frac{1}{R_p} \) એ કોઈપણ એક અવરોધના વ્યસ્ત કરતાં વધારે હશે. ખાસ કરીને, તે \( \frac{1}{R_{min}} \) કરતાં વધારે હશે: \[ \frac{1}{R_p} > \frac{1}{R_{min}} \]
\( \implies R_p < R_{min} \) આનો અર્થ એ છે કે સમાંતર જોડાણમાં સમતુલ્ય અવરોધ હંમેશા શ્રેણીમાંના સૌથી નાના અવરોધ કરતાં પણ ઓછો હોય છે. આ ભૌતિક રીતે સમજાવે છે કે સમાંતર જોડાણ વધારાના પાથ પ્રદાન કરે છે જેનાથી કુલ પ્રવાહ વહેવા માટેનો પ્રતિકાર ઘટે છે. **શ્રેણી જોડાણ માટે:** શ્રેણી જોડાણ માટે સમતુલ્ય અવરોધ \( R_s \) નીચે મુજબ અપાય છે: \[ R_s = R_1 + R_2 + ... + R_n \] ધારો કે \( R_{max} \) એ આપેલા અવરોધોમાં સૌથી મોટો અવરોધ છે. આપણે \( R_s \) ને આ રીતે લખી શકીએ: \[ R_s = R_{max} + (\text{અન્ય અવરોધોનો સરવાળો}) \] કારણ કે કૌંસમાં રહેલા અન્ય અવરોધોનો સરવાળો ધન છે, તેથી: \[ R_s > R_{max} \] આનો અર્થ એ છે કે શ્રેણી જોડાણમાં સમતુલ્ય અવરોધ હંમેશા શ્રેણીમાંના સૌથી મોટા અવરોધ કરતાં પણ વધારે હોય છે. ભૌતિક રીતે, શ્રેણી જોડાણ કુલ અવરોધમાં વધારો કરે છે કારણ કે પ્રવાહને દરેક અવરોધમાંથી ક્રમિક રીતે પસાર થવું પડે છે.
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): આકૃતિ n અવરોધોને સમાંતર જોડવામાં આવે ત્યારે સમતુલ્ય અવરોધ \( R_p \) અને શ્રેણીમાં જોડવામાં આવે ત્યારે સમતુલ્ય અવરોધ \( R_s \) દર્શાવે છે.
In simple words: જ્યારે અવરોધો સમાંતરમાં જોડાયેલા હોય, ત્યારે કુલ અવરોધ સૌથી નાના અવરોધ કરતાં પણ ઓછો હોય છે કારણ કે પ્રવાહને ઘણા રસ્તા મળે છે. જ્યારે અવરોધો શ્રેણીમાં જોડાયેલા હોય, ત્યારે કુલ અવરોધ સૌથી મોટા અવરોધ કરતાં પણ વધુ હોય છે કારણ કે પ્રવાહને બધા અવરોધોમાંથી પસાર થવું પડે છે.

🎯 Exam Tip: સમાંતર અને શ્રેણી જોડાણમાં સંતુલ્ય અવરોધના મૂળભૂત સિદ્ધાંતોને સમજો અને તેનું ભૌતિક અર્થઘટન કેવી રીતે કરવું તે યાદ રાખો.

Question 3. આકૃતિમાં દર્શાવેલ પરિપથમાં બે વિધુતકોષોને એકબીજા સાથે વિરોધક સ્થિતિમાં જોડેલા છે. વિધુતકોષ \( E_1 \) નું emf 6V અને આંતરિક અવરોધ \( 2 \Omega \), વિધુતકોષ \( E_2 \) નું emf 4V અને આંતરિક અવરોધ \( 8 \Omega \) છે. A અને B બિંદુઓ વચ્ચેનો વિધુતસ્થિતિમાનનો તફાવત શોધો.

ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): આકૃતિમાં બે સેલ \( E_1 \) અને \( E_2 \) વિરોધક સ્થિતિમાં શ્રેણીમાં જોડાયેલા છે, તેમના આંતરિક અવરોધો અનુક્રમે \( r_1 \) અને \( r_2 \) છે. આ સર્કિટમાં A અને B બે બિંદુઓ દર્શાવેલા છે.
Answer: પરિપથનો કુલ આંતરિક અવરોધ \( r_{total} \) છે: \[ r_{total} = r_1 + r_2 = 2 \, \Omega + 8 \, \Omega = 10 \, \Omega \] સેલ વિરોધક સ્થિતિમાં જોડાયેલા હોવાથી, પરિપથનું અસરકારક emf \( E_{eff} \) છે: \[ E_{eff} = E_1 - E_2 \quad (\text{કારણ કે } E_1 > E_2) \] \[ = 6 \, \text{V} - 4 \, \text{V} = 2 \, \text{V} \] ઓહ્મના નિયમનો ઉપયોગ કરીને, પરિપથમાં વહેતો કુલ પ્રવાહ \( I \) શોધી શકાય છે: \[ I = \frac{E_{eff}}{r_{total}} = \frac{2 \, \text{V}}{10 \, \Omega} = 0.2 \, \text{A} \] આ પ્રવાહ વિષમઘડી દિશામાં વહે છે. પ્રવાહ ઉચ્ચ પોટેન્શિયલથી નીચલા પોટેન્શિયલ તરફ વહેતો હોવાથી, બિંદુ B નો પોટેન્શિયલ બિંદુ A ના પોટેન્શિયલ કરતાં વધારે છે, એટલે કે \( V_B > V_A \). હવે, કિર્ચોફના બીજા નિયમ (વોલ્ટેજ નિયમ) નો ઉપયોગ કરીને, બિંદુ B થી A તરફ જતાં, આપણે પોટેન્શિયલ ડિફરન્સ શોધી શકીએ છીએ: \[ V_B - E_2 - Ir_2 = V_A \]
\( \implies V_B - V_A = E_2 + Ir_2 \)
\( = 4 \, \text{V} + (0.2 \, \text{A} \times 8 \, \Omega) \)
\( = 4 \, \text{V} + 1.6 \, \text{V} \)
\( = 5.6 \, \text{V} \)
In simple words: સૌ પ્રથમ, બેટરીઓ વિરોધમાં હોવાથી તેમનું કુલ EMF અને કુલ આંતરિક અવરોધ શોધો. પછી, ઓહ્મના નિયમનો ઉપયોગ કરીને પરિપથનો કુલ પ્રવાહ ગણો. છેલ્લે, કિર્ચોફના વોલ્ટેજ નિયમનો ઉપયોગ કરીને A અને B બિંદુઓ વચ્ચેનો પોટેન્શિયલ ડિફરન્સ શોધો.

🎯 Exam Tip: વિરોધક રીતે જોડાયેલા સેલ માટે અસરકારક EMF અને આંતરિક અવરોધની ગણતરીમાં ધ્રુવીયતાનું ધ્યાન રાખો. કિર્ચોફના લૂપ નિયમનો યોગ્ય રીતે ઉપયોગ કરવાથી પોટેન્શિયલ ડિફરન્સની ગણતરી સરળ બનશે.

Question 4. સમાન emf E પરંતુ આંતરિક અવરોધ \( r_1 \) અને \( r_2 \) હોય એવા બે વિધુતકોષો બાહ્ય અવરોધ R સાથે શ્રેણીમાં જોડેલ છે (આકૃતિ મુજબ). પ્રથમ વિધુતકોષના બે છેડાઓ વચ્ચે વિધુતસ્થિતિમાન શૂન્ય થવા માટે R નું મૂલ્ય કેટલું હોવું જોઈએ ?

ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): આકૃતિમાં બે સેલ, દરેકનો emf E અને આંતરિક અવરોધ અનુક્રમે \( r_1 \) અને \( r_2 \) છે, તે એક બાહ્ય અવરોધ R સાથે શ્રેણીમાં જોડાયેલા છે. સર્કિટમાં વહેતો પ્રવાહ I દર્શાવેલ છે.
Answer: બે સેલ શ્રેણીમાં જોડાયેલા હોવાથી, અસરકારક EMF \( E_{eff} = E + E = 2E \) થશે. કુલ આંતરિક અવરોધ \( r_{total} = r_1 + r_2 \) થશે. પરિપથમાં કુલ અવરોધ \( R_{total} = R + r_1 + r_2 \) થશે. પરિપથમાં વહેતો પ્રવાહ \( I \) છે: \[ I = \frac{E_{eff}}{R_{total}} = \frac{2E}{R + r_1 + r_2} \] પ્રથમ કોષના ટર્મિનલ પોટેન્શિયલ ડિફરન્સ (p.d.) \( V_1 \) છે: \[ V_1 = E - Ir_1 \] રકમ મુજબ, પ્રથમ કોષના બે છેડા વચ્ચેનો પોટેન્શિયલ ડિફરન્સ શૂન્ય થવો જોઈએ, તેથી \( V_1 = 0 \): \[ 0 = E - \left( \frac{2E}{R + r_1 + r_2} \right) r_1 \]
\( \implies E = \frac{2E r_1}{R + r_1 + r_2} \)
\( \implies 1 = \frac{2 r_1}{R + r_1 + r_2} \quad (\text{E ને બંને બાજુથી કેન્સલ કરતા}) \)
\( \implies R + r_1 + r_2 = 2r_1 \)
\( \implies R = 2r_1 - r_1 - r_2 \)
\( \implies R = r_1 - r_2 \) તેથી, બાહ્ય અવરોધ R નું મૂલ્ય \( r_1 - r_2 \) જેટલું રાખવું જોઈએ.
In simple words: સૌ પ્રથમ, શ્રેણીમાં જોડાયેલા બેટરીઓના કુલ EMF અને કુલ અવરોધની ગણતરી કરો. પછી, પ્રથમ બેટરીના ટર્મિનલ વોલ્ટેજને શૂન્ય કરીને સૂત્ર બનાવો. આ સૂત્રમાં પ્રવાહની કિંમત મૂકીને R માટે ઉકેલ મેળવો, જે \( r_1 - r_2 \) બરાબર થશે.

🎯 Exam Tip: જ્યારે કોઈ સેલનો ટર્મિનલ વોલ્ટેજ શૂન્ય હોય ત્યારે તેની સ્થિતિને યાદ રાખો. પરિપથના સમીકરણોને યોગ્ય રીતે સેટ કરવા અને બાહ્ય અવરોધ માટે ઉકેલ મેળવવામાં સચોટ રહો.

Question 5. સમાન દ્રવ્યમાંથી બનેલા બે વાહકોની લંબાઈ સમાન છે. વાહક A એ 1 mm વ્યાસ ધરાવતો નક્કર તાર છે. વાહક B એ 2 mm બાહ્ય વ્યાસ અને 1 mm આંતરિક વ્યાસ ધરાવતી પોલી નળી છે. અવરોધો \( R_A \) અને \( R_B \) નો ગુણોત્તર શોધો.

Answer: સમાન દ્રવ્ય અને લંબાઈ માટે, અવરોધનું સૂત્ર \( R = \frac{\rho l}{A} \) છે. **વાહક A નો અવરોધ (\( R_A \)):** વાહક A એક નક્કર તાર છે. વ્યાસ \( d_A = 1 \, \text{mm} = 1 \times 10^{-3} \, \text{m} \) આડછેદનું ક્ષેત્રફળ \( A_A = \pi \left( \frac{d_A}{2} \right)^2 = \pi \left( \frac{1 \times 10^{-3}}{2} \right)^2 = \frac{\pi}{4} \times 10^{-6} \, \text{m}^2 \) તેથી, \( R_A = \frac{\rho l}{A_A} = \frac{\rho l}{\frac{\pi}{4} \times 10^{-6}} = \frac{4 \rho l}{\pi \times 10^{-6}} \quad (1) \) **વાહક B નો અવરોધ (\( R_B \)):** વાહક B એક પોલી નળી છે. બાહ્ય વ્યાસ \( d_{ext} = 2 \, \text{mm} = 2 \times 10^{-3} \, \text{m} \implies r_{ext} = 1 \times 10^{-3} \, \text{m} \) આંતરિક વ્યાસ \( d_{int} = 1 \, \text{mm} = 1 \times 10^{-3} \, \text{m} \implies r_{int} = 0.5 \times 10^{-3} \, \text{m} \) આડછેદનું ક્ષેત્રફળ \( A_B = \pi (r_{ext}^2 - r_{int}^2) \) \[ A_B = \pi \left[ (1 \times 10^{-3})^2 - (0.5 \times 10^{-3})^2 \right] \] \[ A_B = \pi \times 10^{-6} (1 - 0.25) = \pi \times 10^{-6} \times 0.75 = \frac{3\pi}{4} \times 10^{-6} \, \text{m}^2 \] તેથી, \( R_B = \frac{\rho l}{A_B} = \frac{\rho l}{\frac{3\pi}{4} \times 10^{-6}} = \frac{4 \rho l}{3\pi \times 10^{-6}} \quad (2) \) **ગુણોત્તર \( \frac{R_A}{R_B} \) શોધો:** સમીકરણ (1) અને (2) નો ગુણોત્તર લેતા: \[ \frac{R_A}{R_B} = \frac{\frac{4 \rho l}{\pi \times 10^{-6}}}{\frac{4 \rho l}{3\pi \times 10^{-6}}} \] \[ \frac{R_A}{R_B} = \frac{4 \rho l}{\pi \times 10^{-6}} \times \frac{3\pi \times 10^{-6}}{4 \rho l} \] \[ \frac{R_A}{R_B} = 3 \] આમ, અવરોધોનો ગુણોત્તર \( R_A : R_B = 3:1 \) છે.
In simple words: પહેલાં, નક્કર તાર (વાહક A) અને પોલી નળી (વાહક B) ના આડછેદના ક્ષેત્રફળની ગણતરી કરો. પછી, અવરોધના સૂત્ર \( R = \rho l / A \) નો ઉપયોગ કરીને બંને વાહકોના અવરોધ માટેના સમીકરણો મેળવો. છેલ્લે, આ બંને સમીકરણોનો ગુણોત્તર લઈને \( R_A : R_B = 3:1 \) ગુણોત્તર શોધો.

🎯 Exam Tip: નક્કર અને પોલી નળીના વાહકો માટે આડછેદના ક્ષેત્રફળની ગણતરીમાં સચોટ રહો. મિલીમીટરને મીટરમાં રૂપાંતરિત કરવાનું યાદ રાખો અને અવરોધના સૂત્રનો યોગ્ય રીતે ઉપયોગ કરો.

Question 6. ફક્ત અવરોધો અને બેટરીઓ ધરાવતો કોઈ પરિપથ છે. ધારો કે દરેકનો વોલ્ટેજ અને આંતરિક અવરોધ બમણો (અથવા તે 1-ગણો વધારો) કરવામાં આવે છે, તો દર્શાવો કે પ્રવાહ બદલાતો (અપરિવર્તિત રહે છે) નથી. (ધોરણ XIIની NCERT ના પાઠ્યપુસ્તકના દાખલા 3.7 ના પરિપથ માટે આ કરો.)

Answer: શરૂઆતમાં, પરિપથમાં સમતુલ્ય વોલ્ટેજ \( V_{eq} \), સમતુલ્ય આંતરિક અવરોધ \( R_{eq} \), અને બાહ્ય અવરોધ R છે. ઓહ્મના નિયમ મુજબ, પરિપથમાં વહેતો પ્રવાહ \( I_1 \) છે: \[ I_1 = \frac{V_{eq}}{R_{eq} + R} \quad (1) \] હવે, ધારો કે સર્કિટમાં દરેક વોલ્ટેજ અને દરેક અવરોધનું મૂલ્ય n ગણું કરવામાં આવે છે. નવો સમતુલ્ય વોલ્ટેજ \( V_{eq}' = nV_{eq} \) થશે. નવો સમતુલ્ય આંતરિક અવરોધ \( R_{eq}' = nR_{eq} \) થશે. નવો બાહ્ય અવરોધ \( R' = nR \) થશે. નવા પરિપથમાં પ્રવાહ \( I_2 \) છે: \[ I_2 = \frac{V_{eq}'}{R_{eq}' + R'} = \frac{nV_{eq}}{nR_{eq} + nR} \] \[ I_2 = \frac{n(V_{eq})}{n(R_{eq} + R)} = \frac{V_{eq}}{R_{eq} + R} \quad (2) \] સમીકરણ (1) અને (2) ની સરખામણી કરતાં, આપણે જોઈએ છીએ કે \( I_2 = I_1 \). આમ, જો બધા વોલ્ટેજ અને અવરોધોને n ગણા કરવામાં આવે તો પણ પરિપથમાં વહેતો પ્રવાહ બદલાતો નથી.
In simple words: જો પરિપથમાં બધા વોલ્ટેજ અને અવરોધોને સમાન ગણા (n ગણા) કરવામાં આવે, તો પ્રવાહ બદલાતો નથી. આવું એટલા માટે થાય છે કારણ કે ઓહ્મના નિયમમાં વોલ્ટેજ અને અવરોધ બંને n ગણા થતાં, n કેન્સલ થઈ જાય છે.

🎯 Exam Tip: યાદ રાખો કે પ્રવાહ એ વોલ્ટેજ અને અવરોધનો ગુણોત્તર છે. જો આ બંને પરિબળો સમાન ગુણાંકથી બદલાય, તો પ્રવાહ અપરિવર્તિત રહે છે. આ ખ્યાલને વિવિધ સર્કિટ સમસ્યાઓમાં લાગુ કરવા માટે તૈયાર રહો.

દીર્ઘ જવાબી પ્રશ્નો (LA)

Question 1. 10 V અને 2V ની બે બેટરીઓના આંતરિક અવરોધો અનુક્રમે 10 \( \Omega \) અને 5 \( \Omega \) છે. તેમને સમાંતર એવી રીતે જોડી છે કે, 10 V ની બેટરીનો ઋણ છેડો 2 V ની બેટરીના ધન છેડા સાથે જોડાય છે. આ સંયોજનનો અસરકારક વોલ્ટેજ અને અસરકારક અવરોધ શોધો.

ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): આકૃતિ બે બેટરીઓને સમાંતર જોડાણમાં દર્શાવે છે. બેટરી \( E_1 \) (10V, \( r_1 = 10\Omega \)) અને બેટરી \( E_2 \) (2V, \( r_2 = 5\Omega \)) ને એવી રીતે જોડેલી છે કે તેઓ એકબીજાના વિરોધમાં હોય. પરિપથમાં એક બાહ્ય અવરોધ R પણ જોડાયેલ છે અને કુલ પ્રવાહ I વહે છે.
Answer: બેટરીઓ સમાંતરમાં જોડેલી છે, અને 10V બેટરીનો ઋણ છેડો 2V બેટરીના ધન છેડા સાથે જોડાયેલો છે, જે દર્શાવે છે કે તેઓ એકબીજાના વિરોધમાં છે. **બેટરીઓનો સમતુલ્ય emf (\( E_{eq} \)) શોધો:** \[ E_{eq} = \frac{(E_1/r_1) - (E_2/r_2)}{1/r_1 + 1/r_2} \quad (\text{જ્યાં } E_1 \text{ અને } E_2 \text{ વિરોધમાં છે અને } E_1 > E_2) \] \[ E_{eq} = \frac{(10 \, \text{V} / 10 \, \Omega) - (2 \, \text{V} / 5 \, \Omega)}{1 / 10 \, \Omega + 1 / 5 \, \Omega} \] \[ E_{eq} = \frac{1 - 0.4}{0.1 + 0.2} = \frac{0.6}{0.3} = 2 \, \text{V} \] **બેટરીઓનો સમતુલ્ય આંતરિક અવરોધ (\( r_{eq} \)) શોધો:** \[ \frac{1}{r_{eq}} = \frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2} \] \[ \frac{1}{r_{eq}} = \frac{1}{10 \, \Omega} + \frac{1}{5 \, \Omega} = \frac{1+2}{10 \, \Omega} = \frac{3}{10 \, \Omega} \] \[ r_{eq} = \frac{10}{3} \, \Omega \] તેથી, સંયોજનનો અસરકારક વોલ્ટેજ 2 V અને અસરકારક અવરોધ \( \frac{10}{3} \, \Omega \) છે.
In simple words: જ્યારે બે બેટરીઓ વિરોધમાં સમાંતરમાં જોડાયેલી હોય, ત્યારે તેમની અસરકારક EMF અને આંતરિક અવરોધ શોધવા માટે વિશિષ્ટ સૂત્રોનો ઉપયોગ થાય છે. આ ગણતરીઓ દ્વારા, સંયોજનનો અસરકારક વોલ્ટેજ 2 V અને અસરકારક અવરોધ \( \frac{10}{3} \, \Omega \) મળે છે.

🎯 Exam Tip: સમાંતર જોડાણમાં બેટરીઓ માટે સંતુલ્ય EMF અને આંતરિક અવરોધના સૂત્રોને યાદ રાખો, ખાસ કરીને જ્યારે તેઓ વિરોધમાં જોડાયેલી હોય. આ ગણતરીઓ કાળજીપૂર્વક કરવી જોઈએ.

Question 2. એક ઓરડામાં 220 V ના વોલ્ટેજ પર AC દરરોજ 5 કલાક ચાલુ રહે છે. ઓરડાનું વાયરિંગ 1 mm ત્રિજ્યા અને 10 m લંબાઈના તાંબાના તારથી કરેલું છે. દરરોજનો પાવર વપરાશ 10 વ્યાવસાયિક યુનિટ છે. તેનો કેટલામો ભાગ તારમાં જૂલઉષ્મા સ્વરૂપે વ્યય પામે ? જો વાયરિંગ એલ્યુમિનિયમના તારથી કરવામાં આવે તો શું થશે ? \( \rho_{Cu} = 1.7 \times 10^{-8} \Omega m, \rho_{Al} = 2.7 \times 10^{-8} \Omega m \)

Answer: **તાંબાના વાયર માટે પાવર વ્યય ગણતરી:** કુલ પાવર વપરાશ = 10 યુનિટ (kWh) દરરોજ ચાલવાનો સમય = 5 કલાક દરરોજ વપરાયેલ કુલ પાવર \( P_{total} = \frac{10 \, \text{kWh}}{5 \, \text{h}} = 2 \, \text{kW} = 2000 \, \text{W} \) સર્કિટમાં પ્રવાહ \( I \) શોધો: \[ P_{total} = VI \implies I = \frac{P_{total}}{V} = \frac{2000 \, \text{W}}{220 \, \text{V}} \approx 9.09 \, \text{A} \] તાંબાના તારનો અવરોધ \( R_{Cu} \) શોધો: ત્રિજ્યા \( r = 1 \, \text{mm} = 1 \times 10^{-3} \, \text{m} \) આડછેદનું ક્ષેત્રફળ \( A = \pi r^2 = \pi (1 \times 10^{-3})^2 = \pi \times 10^{-6} \, \text{m}^2 \) લંબાઈ \( l = 10 \, \text{m} \) \[ R_{Cu} = \frac{\rho_{Cu} l}{A} = \frac{1.7 \times 10^{-8} \, \Omega \text{m} \times 10 \, \text{m}}{\pi \times 10^{-6} \, \text{m}^2} = \frac{1.7 \times 10^{-7}}{\pi \times 10^{-6}} \, \Omega \approx 0.0541 \, \Omega \] તાંબાના તારમાં જૂલઉષ્મા સ્વરૂપે વ્યય પામતો પાવર \( P_{loss, Cu} \) શોધો: \[ P_{loss, Cu} = I^2 R_{Cu} = (9.09 \, \text{A})^2 \times 0.0541 \, \Omega \approx 4.47 \, \text{W} \] વ્યય પામેલ પાવરનો કુલ પાવર સાથેનો ગુણોત્તર ટકામાં: \[ \frac{P_{loss, Cu}}{P_{total}} \times 100\% = \frac{4.47 \, \text{W}}{2000 \, \text{W}} \times 100\% \approx 0.22\% \] **એલ્યુમિનિયમના વાયર માટે પાવર વ્યય ગણતરી (જો સમાન પરિમાણ હોય):** એલ્યુમિનિયમના તારમાં જૂલઉષ્મા સ્વરૂપે વ્યય પામતો પાવર \( P_{loss, Al} \) શોધો: \[ P_{loss, Al} = P_{loss, Cu} \times \frac{\rho_{Al}}{\rho_{Cu}} = 4.47 \, \text{W} \times \frac{2.7 \times 10^{-8} \, \Omega \text{m}}{1.7 \times 10^{-8} \, \Omega \text{m}} \] \[ P_{loss, Al} \approx 4.47 \times 1.588 \approx 7.10 \, \text{W} \] વ્યય પામેલ પાવરનો કુલ પાવર સાથેનો ગુણોત્તર ટકામાં: \[ \frac{P_{loss, Al}}{P_{total}} \times 100\% = \frac{7.10 \, \text{W}}{2000 \, \text{W}} \times 100\% \approx 0.35\% \]
In simple words: પહેલાં, વપરાયેલ કુલ પાવર અને સર્કિટમાં પ્રવાહ ગણો. પછી, તાંબાના તારનો અવરોધ ગણીને તેમાં થતો પાવર વ્યય અને તેની ટકાવારી શોધો. જો એલ્યુમિનિયમના તારનો ઉપયોગ થાય, તો અવરોધકતાના ગુણોત્તરને આધારે નવો પાવર વ્યય ગણો અને તેની ટકાવારી પણ શોધો.

🎯 Exam Tip: પાવર, અવરોધ અને પાવર વ્યય (\( I^2R \)) ના સૂત્રોને યાદ રાખો. અવરોધકતા અને આડછેદના ક્ષેત્રફળની ગણતરીમાં ચોકસાઈ રાખો. યુનિટ રૂપાંતરણો પર ધ્યાન આપો.

Question 3. પોટેન્શિયોમીટર સાથેના પ્રયોગમાં, \( V_g = 10V \) છે. R નું સંતુલન મૂલ્ય 50 \( \Omega \) રાખેલ છે (આકૃતિ મુજબ). એક વિધાર્થી બેટરીનો વોલ્ટેજ \( E_1 \) (લગભગ 8V) માપવા માંગે છે, તો તે જુએ છે કે તટસ્થબિંદુ શક્ય નથી. પછી તે R ને ઘટાડીને 10 \( \Omega \) કરે છે અને પોટેશિયોમીટરના અંતિમ (ચોથા) ભાગમાં તટસ્થબિંદુ મેળવે છે. બીજા કિસ્સામાં પોટેન્શિયોમીટરના તારનો અવરોધ અને તારની એકમ લંબાઈ દીઠ વોલ્ટેજ ડ્રૉપ શોધો.

ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): આકૃતિ એક પોટેન્શિયોમીટર પરિપથ દર્શાવે છે. તેમાં એક મુખ્ય બેટરી \( V_g \) (10V), એક ચલ અવરોધ R, અને પોટેન્શિયોમીટર તાર AB જોડાયેલા છે. એક સેલ \( E_1 \) (લગભગ 8V) અને ગેલ્વેનોમીટર G તાર AB સાથે જોડાયેલા છે.
Answer: ધારો કે પોટેન્શિયોમીટર તારનો કુલ અવરોધ \( R' \) અને કુલ લંબાઈ L છે. **પ્રથમ કિસ્સો: R = 50 \( \Omega \), તટસ્થબિંદુ શક્ય નથી.** મુખ્ય સર્કિટમાં કુલ અવરોધ \( R_{total} = R + R' = 50 + R' \) મુખ્ય પ્રવાહ \( I = \frac{V_g}{R_{total}} = \frac{10}{50+R'} \) તાર AB પરનો પોટેન્શિયલ ડ્રોપ \( V_{AB} = I R' = \frac{10R'}{50+R'} \) તટસ્થબિંદુ શોધવા માટે, \( V_{AB} \) એ સેલ \( E_1 \) ના emf (8V) કરતાં વધારે અથવા બરાબર હોવું જોઈએ. જો તટસ્થબિંદુ શક્ય નથી, તો \( V_{AB} < E_1 \): \[ \frac{10R'}{50+R'} < 8 \implies 10R' < 400 + 8R' \implies 2R' < 400 \implies R' < 200 \, \Omega \] **બીજો કિસ્સો: R = 10 \( \Omega \), તટસ્થબિંદુ અંતિમ (ચોથા) ભાગમાં મળે છે.** હવે, ચલ અવરોધ ઘટીને \( R = 10 \, \Omega \) થાય છે. તટસ્થબિંદુ મળવા માટે, \( V_{AB} \geq E_1 \): \[ \frac{10R'}{10+R'} \geq 8 \implies 10R' \geq 80 + 8R' \implies 2R' \geq 80 \implies R' \geq 40 \, \Omega \] આ બંને શરતોને જોડીએ તો \( 40 \, \Omega \leq R' < 200 \, \Omega \). OCR ના સંદર્ભ મુજબ, "તટસ્થબિંદુ અંતિમ (ચોથા) ભાગમાં" મળે છે અને અન્ય ગણતરીઓ સૂચવે છે કે પોટેન્શિયોમીટર તારનો અવરોધ આશરે 160 \( \Omega \) થી 200 \( \Omega \) વચ્ચે હોવો જોઈએ. આમ, તારનો અવરોધ \( R' \in (160, 200) \, \Omega \). તારની એકમ લંબાઈ દીઠ વોલ્ટેજ ડ્રોપ (\( \phi \)) (જો કુલ લંબાઈ L=4m ગણીએ તો): \[ \phi = \frac{V_{AB}}{L} = \frac{10R'}{(10+R')L} \] OCR માંથી તારવવામાં આવેલ પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટની રેન્જ: \[ 2 \, \text{V/m} < \Phi < \frac{8}{3} \, \text{V/m} \]
In simple words: પહેલાં, R=50 \( \Omega \) સાથે તાર AB પરનો વોલ્ટેજ ડ્રોપ ગણીને \( E_1 \) થી ઓછો હોય તેવી \( R' \) ની શરત શોધો. પછી, R=10 \( \Omega \) સાથે તાર AB પરનો વોલ્ટેજ ડ્રોપ ગણીને \( E_1 \) થી વધુ હોય તેવી \( R' \) ની શરત શોધો. આ શરતોને જોડીને \( R' \) ની શ્રેણી મેળવો. ત્યારબાદ, આ \( R' \) મૂલ્ય અને તારની લંબાઈનો ઉપયોગ કરીને એકમ લંબાઈ દીઠ વોલ્ટેજ ડ્રોપ (\( \phi \)) ની શ્રેણી શોધો.

🎯 Exam Tip: પોટેન્શિયોમીટરમાં નલ-પોઇન્ટ શોધવા માટેની શરતોને કાળજીપૂર્વક સમજો: તાર પરનો મહત્તમ પોટેન્શિયલ ડ્રોપ માપવામાં આવતા સેલના EMF કરતાં વધારે હોવો જોઈએ. જુદા જુદા અવરોધ મૂલ્યો માટે \( R' \) અને \( \phi \) ની ગણતરીમાં સચોટ રહો.

Question 4. (a) આકૃતિમાં દર્શાવેલ પરિપથ પર વિચાર કરો. શૂન્ય પ્રવાહની પ્રારંભિક અવસ્થામાંથી ડ્રિફ્ટવેગની અવસ્થા સુધી (ઉષ્મીય ગતિ અવગણો) ઇલેક્ટ્રોન્સ દ્વારા કેટલી ઊર્જાનું શોષણ થશે ?
(b) ઇલેક્ટ્રોન, ઉષ્મીય ઊર્જા માટે દર સેકન્ડે \( I^2R \) ના દરથી ઊર્જા પ્રદાન કરે છે. પ્રશ્ન (a)માં ઊર્જા સાથે કયા સમયગાળા (સ્કેલ)ને સાંકળી શકાય ? n = ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા/કદ = \( 10^{29}/\text{m}^3 \) પરિપથની લંબાઈ = 10 cm, આડછેદનું ક્ષેત્રફળ A = \( (1 \, \text{mm})^2 \).

ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): આકૃતિ એક સરળ સર્કિટ દર્શાવે છે જેમાં 6V ની બેટરી અને 6 \( \Omega \) નો અવરોધ શ્રેણીમાં જોડાયેલા છે. પ્રવાહ I સર્કિટમાંથી વહે છે.
Answer: **(a) ઇલેક્ટ્રોન દ્વારા શોષાયેલી ઊર્જા ગણતરી:** પરિપથમાં વહેતો પ્રવાહ \( I = \frac{V}{R} = \frac{6 \, \text{V}}{6 \, \Omega} = 1 \, \text{A} \) ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા ઘનતા \( n = 10^{29}/\text{m}^3 \) તારની લંબાઈ \( l = 10 \, \text{cm} = 0.1 \, \text{m} \) આડછેદનું ક્ષેત્રફળ \( A = (1 \, \text{mm})^2 = (1 \times 10^{-3} \, \text{m})^2 = 1 \times 10^{-6} \, \text{m}^2 \) ઇલેક્ટ્રોનનો ચાર્જ \( e = 1.6 \times 10^{-19} \, \text{C} \) **ડ્રિફ્ટ વેગ \( v_d \) શોધો:** આપણે જાણીએ છીએ કે \( I = n A v_d e \). તેથી, \( v_d = \frac{I}{nAe} \) \[ v_d = \frac{1 \, \text{A}}{10^{29} \, \text{m}^{-3} \times 1 \times 10^{-6} \, \text{m}^2 \times 1.6 \times 10^{-19} \, \text{C}} \] \[ v_d = \frac{1}{1.6 \times 10^{29-6-19}} = \frac{1}{1.6 \times 10^4} = 6.25 \times 10^{-5} \, \text{m/s} \] **ઇલેક્ટ્રોન દ્વારા શોષાયેલી ગતિ ઊર્જા \( K.E. \) શોધો:** ઇલેક્ટ્રોનનું દળ \( m = 9.1 \times 10^{-31} \, \text{kg} \) તારમાં કુલ ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા \( N = nAl = 10^{29} \times 1 \times 10^{-6} \times 0.1 = 10^{22} \) કુલ ગતિ ઊર્જા \( K.E. = N \times \frac{1}{2} m v_d^2 \) \[ K.E. = 10^{22} \times \frac{1}{2} \times 9.1 \times 10^{-31} \times (6.25 \times 10^{-5})^2 \] \[ K.E. = 10^{22} \times 0.5 \times 9.1 \times 10^{-31} \times 39.0625 \times 10^{-10} \] \[ K.E. = 177.7 \times 10^{-19} \, \text{J} \approx 1.78 \times 10^{-17} \, \text{J} \] **(b) સમયગાળાની ગણતરી:** સર્કિટમાં પાવર વ્યય \( P = I^2 R = (1 \, \text{A})^2 \times 6 \, \Omega = 6 \, \text{W} \) આ ગતિ ઊર્જાને શોષવા માટે લાગતો સમય \( t \) છે: \[ t = \frac{K.E.}{P} = \frac{1.78 \times 10^{-17} \, \text{J}}{6 \, \text{W}} \] \[ t \approx 0.296 \times 10^{-17} \, \text{s} \approx 3.0 \times 10^{-18} \, \text{s} \] આ સમયગાળો ઇલેક્ટ્રોનના ડ્રિફ્ટ વેગના નિર્માણ માટેનો છે.
In simple words: પહેલાં, પરિપથમાં પ્રવાહ શોધો. પછી, પ્રવાહ ઘનતાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ઇલેક્ટ્રોનનો ડ્રિફ્ટ વેગ ગણો. તારમાં રહેલા કુલ ઇલેક્ટ્રોનની કુલ ગતિ ઊર્જા ગણો. છેલ્લે, આ ગતિ ઊર્જાને બનાવવા માટે કેટલો સમય લાગે છે તે ગણવા માટે પાવર વ્યયનો ઉપયોગ કરો.

🎯 Exam Tip: યુનિટ રૂપાંતરણો અને ઘાતાંકીય ગણતરીઓમાં ચોક્કસ રહો. પાવર વ્યય અને ઇલેક્ટ્રોન દ્વારા પ્રાપ્ત ગતિ ઊર્જા વચ્ચેનો તફાવત સમજો. ડ્રિફ્ટ વેગ, પ્રવાહ અને કાઇનેટિક ઉર્જાના સૂત્રોનો યોગ્ય રીતે ઉપયોગ કરો.

 

Question 4. (a) આકૃતિમાં દંશવેલ પરિપથ પર વિચાર કરો. શૂન્ય પ્રવાહની પ્રારંભિક અવસ્થામાંથી ડ્રિફ્ટવેગની અવસ્થા સુધી (ઉષ્મીય ગતિ અવગણો) ઇલેક્ટ્રોન્સ દ્વારા કેટલી ઊર્જાનું શોષણ થશે ? (b) ઇલેક્ટ્રોન, ઉષ્મીય ઊર્જા માટે દર સેકન્ડે RI\(^{2}\) ના દરથી ઊર્જા પ્રદાન કરે છે. પ્રશ્ન (a)માં ઊર્જા સાથે કયા સમયગાળા (સ્કેલ)ને સાંકળી શકાય ? n = ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા/કદ = 10\(^{29}\)/m\(^{3}\) પરિપથની લંબાઈ = 10 cm, આડછેદનું ક્ષેત્રફળ A = (1 mm)\(^{2}\).
Answer:(a) ચાલો ઇલેક્ટ્રોન દ્વારા શોષાયેલી ઊર્જા શોધીએ. આપેલ છે: લંબાઈ \(l = 10 \text{ cm} = 0.1 \text{ m}\), આડછેદનું ક્ષેત્રફળ \(A = (1 \text{ mm})^2 = (1 \times 10^{-3} \text{ m})^2 = 1 \times 10^{-6} \text{ m}^2\), ઇલેક્ટ્રોન ઘનતા \(n = 10^{29} \text{ m}^{-3}\). પેજ 42 પરના સર્કિટ ડાયાગ્રામ મુજબ, \(V = 6 \text{ V}\) અને \(R = 6 \Omega\). પરિપથમાં પ્રવાહ \(I = \frac{V}{R} = \frac{6 \text{ V}}{6 \Omega} = 1 \text{ A}\) છે. ઇલેક્ટ્રોનનો ડ્રિફ્ટ વેગ (\(v_d\)) સૂત્ર \(I = n A e v_d\) નો ઉપયોગ કરીને ગણવામાં આવે છે. તેથી, \(v_d = \frac{I}{n A e}\). અહીં, \(e = 1.6 \times 10^{-19} \text{ C}\) (ઇલેક્ટ્રોનનો ચાર્જ). \(v_d = \frac{1 \text{ A}}{10^{29} \text{ m}^{-3} \times 1 \times 10^{-6} \text{ m}^2 \times 1.6 \times 10^{-19} \text{ C}} = \frac{1}{1.6 \times 10^4} \text{ m/s} = 0.625 \times 10^{-4} \text{ m/s} = 6.25 \times 10^{-5} \text{ m/s}\). હવે, તારમાં ઇલેક્ટ્રોન દ્વારા શોષાયેલી કુલ ગતિ ઊર્જા શોધીએ. \(l\) લંબાઈ અને \(A\) ક્ષેત્રફળ ધરાવતા તારમાં ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા \(N = n A l\) છે. \(N = 10^{29} \text{ m}^{-3} \times 1 \times 10^{-6} \text{ m}^2 \times 0.1 \text{ m} = 10^{22}\) ઇલેક્ટ્રોન. ઇલેક્ટ્રોનનું દળ \(m = 9.1 \times 10^{-31} \text{ kg}\). શોષાયેલી કુલ ગતિ ઊર્જા (K.E.) \(N \times \frac{1}{2} m v_d^2\) છે. \(K.E. = 10^{22} \times \frac{1}{2} \times 9.1 \times 10^{-31} \text{ kg} \times (6.25 \times 10^{-5} \text{ m/s})^2\) \(K.E. = 10^{22} \times 0.5 \times 9.1 \times 10^{-31} \times (39.0625 \times 10^{-10})\) \(K.E. = 177.78 \times 10^{(22-31-10)} \text{ J} = 177.78 \times 10^{-19} \text{ J} \approx 1.78 \times 10^{-17} \text{ J}\). (b) ઇલેક્ટ્રોન \(P = I^2 R\) ના દરે ઉષ્મીય ઊર્જા મુક્ત કરે છે. ગરમી તરીકે વિખેરાયેલી શક્તિ \(P = (1 \text{ A})^2 \times 6 \Omega = 6 \text{ W}\) છે. આપણે ભાગ (a) માં ગણતરી કરેલી ગતિ ઊર્જા સાથે સંકળાયેલ સમયગાળો (\(t\)) શોધવા માંગીએ છીએ. ધારી લઈએ કે ઊર્જા \(E = K.E. = 1.78 \times 10^{-17} \text{ J}\) છે. સમય \(t = \frac{\text{ઊર્જા (E)}}{\text{શક્તિ (P)}}\). દસ્તાવેજના ગણતરીના પગલામાંથી ઊર્જાના આશરે મૂલ્ય \(2 \times 10^{-17} \text{ J}\) નો ઉપયોગ કરીને: \(t = \frac{2 \times 10^{-17} \text{ J}}{6 \text{ W}} = \frac{1}{3} \times 10^{-17} \text{ s}\) આમ, \(t \approx 0.33 \times 10^{-17} \text{ s}\).
In simple words: સૌપ્રથમ, આપણે પ્રવાહ વહેતો હોય ત્યારે તારમાં ઇલેક્ટ્રોન કેટલી ઝડપથી ફરે છે તેની ગણતરી કરી. પછી, આપણે આ ફરતા ઇલેક્ટ્રોનની કુલ નાની ઊર્જા શોધી. છેલ્લે, આપણે ગણતરી કરી કે આ ઊર્જાને તારમાં ગરમી તરીકે મુક્ત થવામાં કેટલો સમય લાગશે.

🎯 Exam Tip: એકમોના રૂપાંતરણ (cm થી m, mm થી m) પર ધ્યાન આપો અને પ્રવાહ, ડ્રિફ્ટ વેગ, ગતિ ઊર્જા અને શક્તિ માટેના સૂત્રોનો યોગ્ય રીતે ઉપયોગ કરો. બહુ-ભાગીય સમસ્યાઓમાં ગણતરીઓ દરમિયાન મૂલ્યોનો સુસંગત ઉપયોગ સુનિશ્ચિત કરો, અને મધ્યવર્તી પગલાંઓમાં કોઈપણ રાઉન્ડિંગ નોંધો.