GSEB Class 12 Physics Solutions Chapter 2 સ્થિત વિદ્યુતસ્થિતિમાન અને કેપેસિટન્સ

GSEB Solutions Class 12 Physics Chapter 2 स्थित विद्युतस्थितिमान अने केपेसिटन्स

Question 1. 5 x 10^-8C અને -3 × 10^-8C ના બે વિધુતભારો એકબીજાથી 16 cm અંતરે રહેલા છે. આ બે વિધુતભારોને જોડતી રેખા પરના કયા બિંદુ(ઓ) એ વિધુત સ્થિતિમાન શૂન્ય છે ? અનંત અંતરે સ્થિતિમાન શૂન્ય લો.

Answer: આ સમસ્યા માટે બે સંભવિત પરિસ્થિતિઓ છે.
પ્રથમ શક્યતા :
ચાલો q₁ = \(5 \times 10^{-8}\) C અને q₂ = \(-3 \times 10^{-8}\) C ને બિંદુઓ A અને B પર મૂકીએ. તેમની વચ્ચેનું અંતર AB = 0.16 m છે.
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): આ આકૃતિમાં બિંદુ A પર ધન વિદ્યુતભાર q1 અને બિંદુ B પર ઋણ વિદ્યુતભાર q2 દર્શાવેલ છે. તેમની વચ્ચેનું કુલ અંતર 0.16m છે. બિંદુ P એ AB રેખા પર આવેલું છે, જે A થી x અંતરે અને B થી (0.16-x) અંતરે છે, જ્યાં વિદ્યુત સ્થિતિમાન શૂન્ય છે. ધારો કે P બિંદુ પર વિદ્યુત સ્થિતિમાન શૂન્ય છે. તેથી P બિંદુ પરનું વિદ્યુત સ્થિતિમાન, \[ V_p = \frac{k q_1}{x} + \frac{k q_2}{0.16 - x} \] \[ 0 = \frac{k q_1}{x} + \frac{k q_2}{0.16 - x} \] \[ 0 = \frac{k (5 \times 10^{-8})}{x} + \frac{k (-3 \times 10^{-8})}{0.16 - x} \] \[ 0 = \frac{5 \times 10^{-8}}{x} - \frac{3 \times 10^{-8}}{0.16 - x} \] \[ \frac{5 \times 10^{-8}}{x} = \frac{3 \times 10^{-8}}{0.16 - x} \] \[ \frac{5}{x} = \frac{3}{0.16 - x} \]
\( \implies \) \(5 (0.16 - x) = 3x\)
\( \implies \) \(0.8 - 5x = 3x\)
\( \implies \) \(0.8 = 8x\)
\( \implies \) \(x = 0.1\) m આમ, 5 x 10^-8 C વિદ્યુતભારથી 0.1 m (એટલે કે 10 cm) અંતરે અને -3 x 10^-8 C વિદ્યુતભારથી 0.06 m (એટલે કે 6 cm) અંતરે વિદ્યુત સ્થિતિમાન શૂન્ય થાય છે.
બીજી શક્યતા :
શૂન્ય વિદ્યુત સ્થિતિમાન AB રેખાને લંબાવવાથી A થી દૂર આવેલા P બિંદુ આગળ પણ મળે.
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): આ આકૃતિમાં બિંદુ A પર ધન વિદ્યુતભાર q1 અને બિંદુ B પર ઋણ વિદ્યુતભાર q2 દર્શાવેલ છે. તેમની વચ્ચેનું કુલ અંતર 0.16m છે. બિંદુ P એ AB રેખાની બહાર A થી x અંતરે અને B થી (x-0.16) અંતરે આવેલું છે, જ્યાં વિદ્યુત સ્થિતિમાન શૂન્ય છે. ધારો કે P બિંદુ પર વિદ્યુત સ્થિતિમાન શૂન્ય છે. તેથી P બિંદુ પરનું વિદ્યુત સ્થિતિમાન, \[ V = V_1 + V_2 \] \[ 0 = \frac{k (5 \times 10^{-8})}{x} + \frac{k (-3 \times 10^{-8})}{x - 0.16} \] \[ 0 = \frac{5 \times 10^{-8}}{x} - \frac{3 \times 10^{-8}}{x - 0.16} \] \[ \frac{5 \times 10^{-8}}{x} = \frac{3 \times 10^{-8}}{x - 0.16} \] \[ \frac{5}{x} = \frac{3}{x - 0.16} \]
\( \implies \) \(5(x - 0.16) = 3x\)
\( \implies \) \(5x - 0.8 = 3x\)
\( \implies \) \(0.8 = 2x\)
\( \implies \) \(x = 0.4\) m આમ, 5 x 10^-8 C વિદ્યુતભારથી 0.4 m (એટલે કે 40 cm) અંતરે અને -3 x 10^-8 C વિદ્યુતભારથી (0.4 - 0.16) = 0.24 m (એટલે કે 24 cm) અંતરે વિદ્યુત સ્થિતિમાન શૂન્ય થાય છે.In simple words: વિદ્યુત સ્થિતિમાન શૂન્ય થવા માટે, ધન અને ઋણ વિદ્યુતભારો દ્વારા ઉદ્ભવતું સ્થિતિમાન એકબીજાને રદ કરવું જોઈએ. આ બિંદુઓ વિદ્યુતભારોને જોડતી રેખા પર અથવા તેના વિસ્તરણ પર હોઈ શકે છે.

🎯 Exam Tip: આવા દાખલામાં, તમારે વિદ્યુતભારોને જોડતી રેખા પર અને તેના વિસ્તરણ પર બંને શક્યતાઓને ધ્યાનમાં લેવી જોઈએ. ગણતરી કરતી વખતે અંતર યોગ્ય રીતે લેવું મહત્વનું છે.

 

Question 2. 10 cm ની બાજુવાળા નિયમિત ષટકોણના દરેક શિરોબિંદુએ 5 μC વિધુતભાર છે. ષટકોણના કેન્દ્ર પર સ્થિતિમાન ગણો.

Answer: ષટકોણ ABCDEE ની દરેક બાજુ 0.1 m છે અને તેનું કેન્દ્ર O છે. અહીં છ સમબાજુ ત્રિકોણ બને છે.
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): આ આકૃતિમાં એક નિયમિત ષટકોણ ABCDEE દર્શાવેલ છે, જેના દરેક શિરોબિંદુ પર સમાન ધન વિદ્યુતભાર q મૂકવામાં આવેલો છે. ષટકોણનું કેન્દ્ર O છે. કેન્દ્રથી દરેક શિરોબિંદુનું અંતર r છે. ષટકોણની બાજુનું માપ 0.1 m છે, અને કેન્દ્ર પર 60° નો ખૂણો બને છે. દરેક શિરોબિંદુ પર 5 μC નો વિદ્યુતભાર છે. તેથી કેન્દ્ર O પાસે કુલ વિદ્યુત સ્થિતિમાન: \[ V = \frac{6 k q}{r} \] અહીં, બાજુનું માપ r = 0.1 m (કારણ કે ષટકોણના કેન્દ્રથી દરેક શિરોબિંદુનું અંતર બાજુના માપ જેટલું હોય છે) q = \(5 \times 10^{-6}\) C k = \(9 \times 10^9\) Nm²/C²\[ V = \frac{6 \times 9 \times 10^9 \times 5 \times 10^{-6}}{0.1} \] \[ V = \frac{270 \times 10^3}{0.1} \] \[ V = 2700 \times 10^3 \] \[ V = 2.7 \times 10^6 \text{ V} \]In simple words: ષટકોણના કેન્દ્ર પરનું કુલ વિદ્યુત સ્થિતિમાન, દરેક શિરોબિંદુ પરના વિદ્યુતભારને કારણે ઉદ્ભવતા સ્થિતિમાનનો સરવાળો છે. નિયમિત ષટકોણમાં, કેન્દ્રથી દરેક શિરોબિંદુનું અંતર બાજુના માપ જેટલું હોય છે.

🎯 Exam Tip: નિયમિત બહુકોણના કેન્દ્ર પર સ્થિતિમાન શોધતી વખતે, યાદ રાખો કે કેન્દ્રથી દરેક શિરોબિંદુનું અંતર સમાન હોય છે. જો બહુકોણ નિયમિત હોય અને વિદ્યુતભાર પણ સમાન હોય, તો બધા વિદ્યુતભારોનો સીધો સરવાળો કરી શકાય.

 

Question 3. બે વિધુતભારો 2 μC અને – 2μC એકબીજાથી 6 cm દૂર આવેલા બિંદુઓ A અને B પર મૂકેલા છે. (a) તંત્રના કોઈ સમસ્થિતિમાન પૃષ્ઠની ઓળખ કરો. (b) આ સપાટી પર દરેક બિંદુએ વિધુતક્ષેત્રની દિશા કઈ છે?

Answer:
(a) રેખા AB ના મધ્યબિંદુ C માંથી પસાર થતું સમતલ AB ને લંબ હોય છે.
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): આ આકૃતિમાં બિંદુ A પર 2 μC અને બિંદુ B પર -2 μC વિદ્યુતભાર દર્શાવેલ છે. બિંદુ C એ AB રેખાનું મધ્યબિંદુ છે. C માંથી પસાર થતું સમસ્થિતિમાન પૃષ્ઠ AB ને લંબ છે, જે દર્શાવે છે કે આ પૃષ્ઠ પરનું વિદ્યુત સ્થિતિમાન શૂન્ય છે. C બિંદુ પર વિદ્યુત સ્થિતિમાન: અહીં, A અને B વચ્ચેનું અંતર 6 cm છે. તેથી C થી A અને C થી B નું અંતર 3 cm (0.03 m) થશે. \[ V_C = \frac{k (2 \times 10^{-6})}{0.03} + \frac{k (-2 \times 10^{-6})}{0.03} \] \[ V_C = \frac{2k \times 10^{-6}}{0.03} - \frac{2k \times 10^{-6}}{0.03} \] \[ V_C = 0 \] તેથી C બિંદુમાંથી પસાર થતું સમતલ એ સમસ્થિતિમાન સપાટી છે. તેના દરેક બિંદુ પર વિદ્યુત સ્થિતિમાન શૂન્ય છે.
(b) આપણે જાણીએ છીએ કે વિદ્યુતક્ષેત્ર ધન વિદ્યુતભારથી ઋણ વિદ્યુતભાર તરફ હોય છે. તેથી અહીં વિદ્યુતક્ષેત્રની દિશા A બિંદુથી B બિંદુ તરફની અને સમસ્થિતિમાન સપાટી (સમતલ)ને લંબરૂપે હોય છે.
આમ, તંત્રની સમસ્થિતિમાન સપાટી તેની તે જ છે.In simple words: બે સમાન અને વિરુદ્ધ વિદ્યુતભારોને કારણે બનતી ડાયપોલમાં, તેમને જોડતી રેખાના મધ્યબિંદુમાંથી પસાર થતું લંબ સમતલ સમસ્થિતિમાન પૃષ્ઠ હોય છે. વિદ્યુતક્ષેત્ર હંમેશાં ધનથી ઋણ તરફ હોય છે અને સમસ્થિતિમાન પૃષ્ઠને લંબ હોય છે.

🎯 Exam Tip: ડાયપોલના સમસ્થિતિમાન પૃષ્ઠ વિશે પ્રશ્ન પૂછાય ત્યારે, યાદ રાખો કે તે પૃષ્ઠ ડાયપોલના મધ્યબિંદુમાંથી પસાર થતું અને ડાયપોલ અક્ષને લંબ હોય છે. વિદ્યુતક્ષેત્રની દિશા હંમેશાં ધનથી ઋણ વિદ્યુતભાર તરફ અને સમસ્થિતિમાન પૃષ્ઠને કાટખૂણે હોય છે.

 

Question 4. 12 cm ત્રિજ્યાના એક ગોળાકાર સુવાહકની સપાટી પર \(1.6 \times 10^{-7}\) c વિધુતભાર નિયમિત રીતે વિતરીત થયેલો છે. (a) ગોળાની અંદર (b) ગોળાની તરત બહાર (c) ગોળાના કેન્દ્રથી 18 cm અંતરે આવેલા બિંદુએ – વિધુતક્ષેત્ર કેટલું છે ?

Answer:
(a) ગોળાની અંદરના દરેક બિંદુએ વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય હોય છે.
(b) ગોળાની સપાટી પરનો વિદ્યુતભાર તેના કેન્દ્ર પર કેન્દ્રિત થયેલો ગણી શકાય. ગોળાની સપાટી પર (r = R = 12 cm = 0.12 m) વિદ્યુતક્ષેત્ર, \[ E(R) = \frac{k q}{R^2} \] જ્યાં q = \(1.6 \times 10^{-7}\) C અને k = \(9 \times 10^9\) Nm²/C²\[ E(R) = \frac{9 \times 10^9 \times 1.6 \times 10^{-7}}{(0.12)^2} \] \[ E(R) = \frac{14.4 \times 10^2}{0.0144} \] \[ E(R) = 1000 \times 10^2 \] \[ E(R) = 10^5 \text{ NC}^{-1} \]
(c) ગોળાના કેન્દ્રથી x = 18 cm (0.18 m) દૂર આવેલા બિંદુએ વિદ્યુતક્ષેત્ર, \[ E(x) = \frac{k q}{x^2} \] \[ E(x) = \frac{9 \times 10^9 \times 1.6 \times 10^{-7}}{(0.18)^2} \] \[ E(x) = \frac{14.4 \times 10^2}{0.0324} \] \[ E(x) \approx 44444.44 \text{ NC}^{-1} \] \[ E(x) \approx 4.44 \times 10^4 \text{ NC}^{-1} \]In simple words: સુવાહક ગોળાની અંદર વિદ્યુતક્ષેત્ર હંમેશા શૂન્ય હોય છે. ગોળાની બહાર, વિદ્યુતક્ષેત્ર એવું વર્તે છે કે જાણે બધો વિદ્યુતભાર તેના કેન્દ્ર પર કેન્દ્રિત થયેલો હોય.

🎯 Exam Tip: ગોળાકાર સુવાહકના વિદ્યુતક્ષેત્રની ગણતરી કરતી વખતે, ગોળાની અંદર, સપાટી પર, અને સપાટીની બહારના બિંદુઓ માટેના સૂત્રો યાદ રાખવા. અંદર શૂન્ય, સપાટી પર મહત્તમ, અને બહાર અંતરના વર્ગના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં ઘટે છે.

 

Question 5. પ્લેટો વચ્ચે હવા હોય તેવા સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ 8 pF (1 pF = 10^-12 F) છે. જે પ્લેટો વચ્ચેનું અંતર અડધું કરવામાં આવે અને તેમની વચ્ચેના અવકાશને ડાયઇલેક્ટ્રિક અચળાંક 6 ધરાવતા દ્રવ્ય વડે ભરી દેવામાં આવે તો તેનું કેપેસિટન્સ કેટલું થશે ?

Answer: હવામાં કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ: \[ C_0 = \frac{\varepsilon_0 A}{d} \] આપેલ છે, C₀ = \(8 \times 10^{-12}\) F \[ 8 \times 10^{-12} = \frac{\varepsilon_0 A}{d} \quad \ldots(1) \] હવે કેપેસિટરની બે પ્લેટો વચ્ચે ડાયઇલેક્ટ્રિક દ્રવ્ય ભર્યા બાદ અને પ્લેટો વચ્ચેનું અંતર અડધું કરીએ તો તેનું કેપેસિટન્સ (C) નીચે મુજબ થશે: નવું અંતર d' = d/2 ડાયઇલેક્ટ્રિક અચળાંક K = 6 \[ C = \frac{K \varepsilon_0 A}{d'} \] \[ C = \frac{K \varepsilon_0 A}{d/2} \] \[ C = \frac{2 K \varepsilon_0 A}{d} \] સમીકરણ (1) પરથી, \(\frac{\varepsilon_0 A}{d} = 8 \times 10^{-12}\) F \[ C = 2 K (8 \times 10^{-12}) \] \[ C = 2 \times 6 \times (8 \times 10^{-12}) \] \[ C = 12 \times 8 \times 10^{-12} \] \[ C = 96 \times 10^{-12} \text{ F} \] \[ C = 96 \text{ pF} \]In simple words: જો સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરમાં પ્લેટો વચ્ચેનું અંતર ઘટાડવામાં આવે અને ડાયઇલેક્ટ્રિક દ્રવ્ય ભરવામાં આવે, તો તેનું કેપેસિટન્સ વધે છે. અંતર અડધું કરવાથી અને ડાયઇલેક્ટ્રિક ભરવાથી કેપેસિટન્સ બાર ગણું વધે છે.

🎯 Exam Tip: કેપેસિટન્સની ગણતરી કરતી વખતે, ડાયઇલેક્ટ્રિક અચળાંક (K) અને પ્લેટો વચ્ચેના અંતર (d) ના ફેરફારોની અસર યાદ રાખો. C એ K ના સમપ્રમાણમાં અને d ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે. pF ને F માં રૂપાંતરિત કરવાનું ભૂલશો નહીં.

 

Question 6. દરેક 9 pF કેપેસિટન્સ ધરાવતા ત્રણ કેપેસિટરોને શ્રેણીમાં જોડેલ છે. (a) સંયોજનનું કુલ કેપેસિટન્સ કેટલું હશે ? (b) આ સંયોજનને 120 V ના સપ્લાય સાથે જોડવામાં આવે તો દરેક કેપેસિટરને સમાંતર સ્થિતિમાનનો તફાવત કેટલો થશે ?

Answer:
(a) શ્રેણીમાં જોડેલા કેપેસિટરોનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ (C_s) માટેનું સૂત્ર: \[ \frac{1}{C_s} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + \frac{1}{C_3} \] અહીં C₁ = C₂ = C₃ = 9 pF \[ \frac{1}{C_s} = \frac{1}{9} + \frac{1}{9} + \frac{1}{9} \] \[ \frac{1}{C_s} = \frac{3}{9} \] \[ \frac{1}{C_s} = \frac{1}{3} \]
\( \implies \) C_s = 3 pF
(b)
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): આ આકૃતિમાં ત્રણ કેપેસિટરો C1, C2, અને C3 શ્રેણીમાં જોડેલા દર્શાવેલ છે, દરેકનું કેપેસિટન્સ 9 pF છે. આ સંયોજનને 120 V ના સપ્લાય સાથે જોડવામાં આવેલું છે. દરેક કેપેસિટર પર અનુક્રમે q1, q2, q3 વિદ્યુતભાર અને V1, V2, V3 વિદ્યુત સ્થિતિમાનનો તફાવત દર્શાવેલ છે. ત્રણેય કેપેસિટરોનું કેપેસિટન્સ સમાન છે અને ત્રણેય કેપેસિટરો શ્રેણીમાં છે. શ્રેણી જોડાણમાં દરેક કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર સમાન હોય છે અને કુલ વોલ્ટેજ દરેક કેપેસિટર પર વિભાજીત થાય છે. ધારો કે C₁, C₂ અને C₃ ની આસપાસનો વિદ્યુત સ્થિતિમાનનો તફાવત અનુક્રમે V₁, V₂ અને V₃ છે. કુલ વોલ્ટેજ V = V₁ + V₂ + V₃કારણ કે C₁ = C₂ = C₃, તેથી V₁ = V₂ = V₃. \[ V = V_1 + V_1 + V_1 \] \[ V = 3V_1 \] આપેલ છે V = 120 V \[ 120 = 3V_1 \]
\( \implies \) V₁ = 40 V તેથી, V₁ = 40 V, V₂ = 40 V અને V₃ = 40 V. બીજી રીત: શ્રેણી જોડાણ માટે V = V₁ + V₂ + V₃ધારો કે દરેક કેપેસિટર પર q વિદ્યુતભાર છે. \[ V = \frac{q}{C_1} + \frac{q}{C_2} + \frac{q}{C_3} \] કારણ કે C₁ = C₂ = C₃ = C = \(9 \times 10^{-12}\) F \[ V = \frac{3q}{C} \] \[ 120 = \frac{3q}{9 \times 10^{-12}} \]
\( \implies \) \(q = \frac{120 \times 9 \times 10^{-12}}{3}\)
\( \implies \) \(q = 40 \times 9 \times 10^{-12}\)
\( \implies \) \(q = 360 \times 10^{-12}\) C દરેક કેપેસિટર પરનો વિદ્યુત સ્થિતિમાનનો તફાવત, \[ V_1 = V_2 = V_3 = \frac{q}{C} \] \[ V_1 = \frac{360 \times 10^{-12}}{9 \times 10^{-12}} \] \[ V_1 = 40 \text{ V} \] ત્રીજી રીત: શ્રેણીમાં જોડેલા સમાન કેપેસિટરો માટે, એક કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર (Q) એ કુલ વિદ્યુતભાર (Q_s) જેટલો હોય છે. Q = Q_sQ = C V જ્યાં C એ કુલ સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ અને V એ સપ્લાય વોલ્ટેજ છે. Q = C_s V_sઅહીં, C_s = 3 pF = \(3 \times 10^{-12}\) F V_s = 120 V \[ Q = (3 \times 10^{-12}) \times 120 \] \[ Q = 360 \times 10^{-12} \text{ C} \] દરેક કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર સમાન હોવાથી, V = q / C \[ V = \frac{360 \times 10^{-12}}{9 \times 10^{-12}} \] \[ V = 40 \text{ V} \]In simple words: શ્રેણીમાં જોડાયેલા કેપેસિટરોમાં, કુલ કેપેસિટન્સ દરેક કેપેસિટરના કેપેસિટન્સ કરતાં ઓછું હોય છે, અને કુલ વોલ્ટેજ દરેક કેપેસિટર પર વિભાજીત થાય છે. જો કેપેસિટન્સ સમાન હોય, તો વોલ્ટેજ પણ સમાન રીતે વહેંચાય છે.

🎯 Exam Tip: શ્રેણી જોડાણમાં સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ અને દરેક કેપેસિટર પરના વોલ્ટેજ ડ્રોપની ગણતરી કરતી વખતે, યાદ રાખો કે શ્રેણીમાં વિદ્યુતભાર સમાન રહે છે અને કુલ વોલ્ટેજ વિભાજીત થાય છે. જો કેપેસિટન્સ સમાન હોય, તો વોલ્ટેજ ડ્રોપ પણ સમાન હોય છે. એકમોનું ખાસ ધ્યાન રાખો.

 

Question 7. 2 pF, 3 pF અને 4 pF કેપેસિટન્સના ત્રણ કેપેસિટરોને સમાંતરમાં જોડેલ છે. (માર્ચ - 2020) (a) સંયોજનનું કુલ કેપેસિટન્સ કેટલું ? (b) જો આ સંયોજનને 100 V સપ્લાય સાથે જોડવામાં આવે તો દરેક કેપેસિટર પરનો વિધુતભાર શોધો.

Answer:
(a) સમાંતરમાં જોડેલા કેપેસિટરોનું પરિણામી કેપેસિટન્સ (C_p) માટેનું સૂત્ર: \[ C_p = C_1 + C_2 + C_3 \] અહીં C₁ = 2 pF, C₂ = 3 pF અને C₃ = 4 pF \[ C_p = 2 + 3 + 4 \] \[ C_p = 9 \text{ pF} \] \[ C_p = 9 \times 10^{-12} \text{ F} \]
(b)
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): આ આકૃતિમાં ત્રણ કેપેસિટરો C1, C2, અને C3 સમાંતરમાં જોડેલા દર્શાવેલ છે. આ સંયોજનને 100 V ના સપ્લાય સાથે જોડવામાં આવેલું છે. દરેક કેપેસિટર પર અનુક્રમે q1, q2, q3 વિદ્યુતભાર દર્શાવેલ છે. સમાંતર જોડાણમાં દરેક કેપેસિટર પરનો વોલ્ટેજ સમાન રહે છે, જે સપ્લાય વોલ્ટેજ (V = 100 V) જેટલો હોય છે. દરેક કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર q = CV ના સૂત્ર પરથી શોધી શકાય. q₁ = C₁V q₁ = \(2 \times 10^{-12} \times 100\) q₁ = \(2 \times 10^{-10}\) C q₂ = C₂V q₂ = \(3 \times 10^{-12} \times 100\) q₂ = \(3 \times 10^{-10}\) C q₃ = C₃V q₃ = \(4 \times 10^{-12} \times 100\) q₃ = \(4 \times 10^{-10}\) CIn simple words: સમાંતર જોડાણમાં, કુલ કેપેસિટન્સ એ બધા કેપેસિટન્સનો સરવાળો હોય છે અને દરેક કેપેસિટર પર સપ્લાય વોલ્ટેજ જેટલો જ વોલ્ટેજ હોય છે. દરેક કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર તેના કેપેસિટન્સ અને લાગુ પડતા વોલ્ટેજ પર આધાર રાખે છે.

🎯 Exam Tip: સમાંતર જોડાણમાં કેપેસિટન્સ અને વિદ્યુતભારની ગણતરી કરતી વખતે, યાદ રાખો કે સમાંતરમાં વોલ્ટેજ સમાન રહે છે. કુલ કેપેસિટન્સ શોધવા માટે સીધો સરવાળો કરો અને દરેક કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર શોધવા માટે q=CV સૂત્રનો ઉપયોગ કરો. એકમોને યોગ્ય રીતે રૂપાંતરિત કરવાનું ભૂલશો નહીં.

 

Question 8. બે પ્લેટો વચ્ચે હવા હોય તેવા સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરમાં દરેક પ્લેટનું ક્ષેત્રફળ \(6 \times 10^{-3}\)m² અને બે પ્લેટો વચ્ચેનું અંતર 3 mm છે. આ કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ ગણો. જો આ કેપેસિટરને 100 V સપ્લાય સાથે જોડવામાં આવે તો તેની દરેક પ્લેટ પરનો વિધુતભાર કેટલો હશે?

Answer: હવાના માધ્યમવાળા કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ (C₀) માટેનું સૂત્ર: \[ C_0 = \frac{\varepsilon_0 A}{d} \] અહીં, A = \(6 \times 10^{-3}\) m² d = 3 mm = \(3 \times 10^{-3}\) m \(\varepsilon_0 = 8.854 \times 10^{-12}\) C²N^-1m^-2\[ C_0 = \frac{8.854 \times 10^{-12} \times 6 \times 10^{-3}}{3 \times 10^{-3}} \] \[ C_0 = 8.854 \times 2 \times 10^{-12} \] \[ C_0 = 17.708 \times 10^{-12} \text{ F} \]
\( \implies \) C₀ \(\approx 17.7 \times 10^{-12}\) F
\( \implies \) C₀ \(\approx 17.7\) pF \(\approx 18\) pF ધારો કે કેપેસિટરની દરેક પ્લેટ પરનો વિદ્યુતભાર q₀ છે. q₀ = C₀V અહીં V = 100 V \[ q_0 = 17.7 \times 10^{-12} \times 100 \] \[ q_0 = 17.7 \times 10^{-10} \text{ C} \]
\( \implies \) q₀ \(\approx 1.8 \times 10^{-9}\) CIn simple words: સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ તેની પ્લેટોના ક્ષેત્રફળ અને તેમની વચ્ચેના અંતર પર આધાર રાખે છે. વિદ્યુતભાર શોધવા માટે કેપેસિટન્સને વોલ્ટેજ વડે ગુણવામાં આવે છે.

🎯 Exam Tip: સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરમાં કેપેસિટન્સ અને વિદ્યુતભારની ગણતરી કરતી વખતે, \(\varepsilon_0\) નું મૂલ્ય અને એકમોને યોગ્ય રીતે રૂપાંતરિત કરવાનું યાદ રાખો. \(C = \frac{\varepsilon_0 A}{d}\) અને \(Q = CV\) સૂત્રો મહત્વના છે.

 

Question 9. સ્વાધ્યાય 2.8 માં આપેલ કેપેસિટરમાં 3 mm જાડાઈની માઈકા (અબરખ)ની પ્લેટ (ડાયઇલેક્ટ્રિક અચળાંક = 6) કેપેસિટરની બે પ્લેટ વચ્ચે મૂકવામાં આવે છે. (a) વોલ્ટેજ સપ્લાય જોડેલો રહે ત્યારે, (b) વોલ્ટેજ સપ્લાયનું જોડાણ દૂર કર્યા બાદ-દાખલ કરવામાં આવે તો, દરેક કિસ્સામાં શું થાય તે સમજાવો.

Answer: કેપેસિટન્સ C₀ \(\approx 18\) pF છે (પ્રશ્ન 8 માંથી). માઈકા (અબરખ)નો ડાયઇલેક્ટ્રિક અચળાંક K = 6 છે.
(a) 100V નો સપ્લાય જોડેલો હોય ત્યારે કેપેસિટન્સ C' : જ્યારે ડાયઇલેક્ટ્રિક દ્રવ્ય ભરવામાં આવે ત્યારે નવું કેપેસિટન્સ, C' = KC₀C' = \(6 \times 18 \times 10^{-12}\) F C' = \(108 \times 10^{-12}\) F
\( \implies \) C' \(\approx 108\) pF અને જ્યારે ડાયઇલેક્ટ્રિક દાખલ કરીએ અને સપ્લાય વોલ્ટેજ ચાલુ રાખીએ તો દરેક પ્લેટો પરનો વિદ્યુતભાર (q') નીચે મુજબ થશે: q' = C'V q' = \(108 \times 10^{-12} \times 100\) q' = \(1.08 \times 10^{-8}\) C આ કિસ્સામાં, પ્લેટો પરનો વિદ્યુતભાર છ ગણો વધી જાય છે. (કારણ કે C છ ગણું વધ્યું અને V અચળ રહ્યું). બૅટરીનો સપ્લાય જોડેલો રહે ત્યારે કેપેસિટરની બે પ્લેટો વચ્ચેનો વોલ્ટેજ તફાવત (p.d.) અચળ રહેશે.
(b) જો કેપેસિટરને બૅટરીથી અલગ કરવામાં આવે તો કેપેસિટરની પ્લેટો પરનો વિદ્યુતભાર, હવાના માધ્યમ વખતે જેટલો વિદ્યુતભાર હોય તેટલો જ રહે છે, પરંતુ કેપેસિટન્સ બદલાય છે. C = \(108\) pF (જે ઉપર ગણ્યું છે) અને વિદ્યુતભાર q'' = \(1.8 \times 10^{-9}\) C અથવા \(1.8\) nC અચળ રહે છે (કારણ કે બેટરી ડિસ્કનેક્ટ થઈ ગઈ છે). જ્યારે કેપેસિટરની બે પ્લેટો વચ્ચે અબરખની પ્લેટ દાખલ કરતાં બે પ્લેટો વચ્ચેનો વોલ્ટેજ તફાવત (p.d.) V'' = V₀/K થશે. V₀ = 100 V (પ્રારંભિક વોલ્ટેજ) K = 6 \[ V'' = \frac{100}{6} \] \[ V'' \approx 16.67 \text{ V} \]In simple words: જ્યારે ડાયઇલેક્ટ્રિક દાખલ કરવામાં આવે છે, ત્યારે જો બેટરી જોડાયેલી રહે તો વોલ્ટેજ સમાન રહે છે અને વિદ્યુતભાર વધે છે. જો બેટરી ડિસ્કનેક્ટ કરવામાં આવે, તો વિદ્યુતભાર સમાન રહે છે અને વોલ્ટેજ ઘટે છે.

🎯 Exam Tip: ડાયઇલેક્ટ્રિક દાખલ કરતી વખતે, બેટરી જોડાયેલી છે કે ડિસ્કનેક્ટ થયેલી છે તે તપાસવું નિર્ણાયક છે. બેટરી જોડાયેલી હોય તો V અચળ, Q વધે. બેટરી ડિસ્કનેક્ટ હોય તો Q અચળ, V ઘટે. આ મૂળભૂત સિદ્ધાંતો યાદ રાખો.

 

Question 10. 12 pF નું એક કેપેસિટર 50 V ની બેટરી સાથે જોડેલું છે. કેપેસિટરમાં કેટલી સ્થિતવિધુતઊર્જા સંગ્રહ પામી હશે ?

Answer: કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત સ્થિત વિદ્યુતઊર્જા (U) માટેનું સૂત્ર: \[ U = \frac{1}{2} C V^2 \] અહીં C = 12 pF = \(12 \times 10^{-12}\) F V = 50 V \[ U = \frac{1}{2} \times 12 \times 10^{-12} \times (50)^2 \] \[ U = 6 \times 10^{-12} \times 2500 \] \[ U = 15000 \times 10^{-12} \] \[ U = 15 \times 10^{-9} \text{ J} \]In simple words: કેપેસિટરમાં વિદ્યુત ઊર્જા સંગ્રહિત થાય છે. આ ઊર્જા કેપેસિટન્સ અને તેના પર લાગુ પડતા વોલ્ટેજના વર્ગ પર આધાર રાખે છે.

🎯 Exam Tip: કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત ઊર્જાની ગણતરી કરતી વખતે, \(U = \frac{1}{2} CV^2\) સૂત્ર યાદ રાખો. કેપેસિટન્સના એકમ (pF ને F માં) અને વોલ્ટેજના એકમ (V) ને યોગ્ય રીતે રૂપાંતરિત કરો.

 

Question 11. 600 pF નું એક કેપેસિટર 200 V ના સપ્લાય વડે વિધુતભારિત કરવામાં આવે છે. પછી તેનું સપ્લાય સાથેનું જોડાણ દૂર કરવામાં આવે છે અને બીજા વિધુતભારિત ન હોય તેવા 600 pF ના કેપેસિટર સાથે જોડવામાં આવે છે. આ પ્રક્રિયામાં કેટલી ઊર્જા ગુમાવાઈ હશે ?

Answer: આપેલ છે: C₁ = 600 pF, C₂ = 600 pF પ્રારંભિક વોલ્ટેજ V₁ = 200 V, V₂ = 0 V C₁ કેપેસિટરને V₁ વોલ્ટથી સંપૂર્ણ ચાર્જ કરી બેટરીથી અલગ કરીને C₂ કેપેસિટર સાથે જોડતાં તેમની ઊર્જામાં ઘટાડો (ΔU) માટેનું સૂત્ર: \[ \Delta U = \frac{C_1 C_2 (V_1 - V_2)^2}{2 (C_1 + C_2)} \] \[ \Delta U = \frac{(600 \times 10^{-12}) \times (600 \times 10^{-12}) \times (200 - 0)^2}{2 \times (600 \times 10^{-12} + 600 \times 10^{-12})} \] \[ \Delta U = \frac{360000 \times 10^{-24} \times 40000}{2 \times 1200 \times 10^{-12}} \] \[ \Delta U = \frac{144 \times 10^{10} \times 10^{-24}}{2400 \times 10^{-12}} \] \[ \Delta U = \frac{144 \times 10^{-14}}{24 \times 10^{-10}} \] \[ \Delta U = 6 \times 10^{-4} \text{ J} \]In simple words: જ્યારે ચાર્જ થયેલ કેપેસિટરને ડિસ્કનેક્ટ કરીને અનચાર્જ કેપેસિટર સાથે જોડવામાં આવે છે, ત્યારે વિદ્યુતભારનું પુનર્વિતરણ થાય છે અને આ પ્રક્રિયામાં ઊર્જાનો થોડો ભાગ ગરમી અથવા ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક વિકિરણ સ્વરૂપે ગુમાવાય છે.

🎯 Exam Tip: કેપેસિટરોના પુનર્વિતરણમાં ઊર્જાના નુકસાનની ગણતરી કરતી વખતે, ΔU સૂત્ર યાદ રાખો. આ નુકસાન હંમેશા હકારાત્મક હોય છે, જે દર્શાવે છે કે ઊર્જાનો વ્યય થાય છે. એકમોને યોગ્ય રીતે રૂપાંતરિત કરવાનું ભૂલશો નહીં.

 

Question 12. એક 8 mC વિધુતભાર ઊગમબિંદુએ રહેલો છે. એક નાના \(-2 \times 10^{-9}\) C વિધુતભારને P(0, 0, 3 cm) બિંદુથી R(0, 6, 9 cm) બિંદુએ થઈ Q(0, 4 cm, 0) બિંદુએ લાવવા માટે કરેલું કાર્ય શોધો.

Answer: વિદ્યુતભારને એક બિંદુથી બીજા બિંદુ પર લઈ જતાં કરવું પડતું કાર્ય એ માર્ગ પર આધારિત નથી, તે માત્ર પ્રારંભિક અને અંતિમ બિંદુઓ પર આધાર રાખે છે. તેથી P થી Q પર લઈ જતાં કરવું પડતું કાર્ય, \[ W = q_0 (V_Q - V_P) \] જ્યાં \(V_Q\) અને \(V_P\) એ Q અને P બિંદુઓ પરના વિદ્યુત સ્થિતિમાન છે. ઊગમબિંદુ પર 8 mC વિદ્યુતભાર q મૂકેલો છે. P(0, 0, 3 cm) બિંદુથી Q(0, 4 cm, 0) બિંદુ પર -2 x 10^-9 C વિદ્યુતભાર q₀ ને ખસેડવામાં આવે છે. P બિંદુનું ઊગમબિંદુથી અંતર r₁ = 3 cm = \(3 \times 10^{-2}\) m Q બિંદુનું ઊગમબિંદુથી અંતર r₂ = 4 cm = \(4 \times 10^{-2}\) m \[ V_P = \frac{k q}{r_1} \] \[ V_Q = \frac{k q}{r_2} \] \[ W = q_0 \left( \frac{k q}{r_2} - \frac{k q}{r_1} \right) \] \[ W = k q q_0 \left( \frac{1}{r_2} - \frac{1}{r_1} \right) \quad \ldots(1) \]
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): આ આકૃતિમાં Z-અક્ષ, Y-અક્ષ, અને X-અક્ષ દર્શાવેલ છે. ઊગમબિંદુ પર 8 mC નો વિદ્યુતભાર q મૂકેલો છે. P(0, 0, 3) બિંદુ Z-અક્ષ પર, R(0, 6, 9) બિંદુ ZY-સમતલમાં અને Q(0, 4, 0) બિંદુ Y-અક્ષ પર દર્શાવેલ છે. આકૃતિમાં વિદ્યુતભારને P થી Q સુધી લઈ જવાનો માર્ગ દર્શાવેલો છે. અહીં k = \(9 \times 10^9\) Nm² C^-2q₀ = \(-2 \times 10^{-9}\) C q = 8 mC = \(8 \times 10^{-3}\) C r₁ = 3 cm = \(3 \times 10^{-2}\) m r₂ = 4 cm = \(4 \times 10^{-2}\) m સૂત્ર (1) માં ઉપરની કિંમતો મૂકતાં, \[ W = (9 \times 10^9) \times (8 \times 10^{-3}) \times (-2 \times 10^{-9}) \left( \frac{1}{4 \times 10^{-2}} - \frac{1}{3 \times 10^{-2}} \right) \] \[ W = (9 \times 8 \times -2) \times 10^{-3} \left( \frac{1}{0.04} - \frac{1}{0.03} \right) \] \[ W = -144 \times 10^{-3} \left( 25 - 33.33 \right) \] \[ W = -144 \times 10^{-3} \times (-8.33) \] \[ W \approx 1199.52 \times 10^{-3} \text{ J} \] \[ W \approx 1.2 \text{ J} \] R બિંદુને જવાબ સાથે કોઈ સંબંધ નથી. બીજી રીત: અહીં q = \(8 \times 10^{-3}\) C, q₀ = \(-2 \times 10^{-9}\) C r₁ = 3 cm = 0.03 m, r₂ = 4 cm = 0.04 m કુલંબ અચળાંક k = \(9 \times 10^9\) Nm² C^-2q અને q₀ વિદ્યુતભાર તંત્રની પ્રારંભિક સ્થિતિઊર્જા (U₁) અને અંતિમ સ્થિતિઊર્જા (U₂): \[ U_1 = \frac{k q q_0}{r_1} \] \[ U_2 = \frac{k q q_0}{r_2} \] કાર્ય ઊર્જા પ્રમેય પરથી, W = ΔU W = U₂ - U₁\[ W = \frac{k q q_0}{r_2} - \frac{k q q_0}{r_1} \] \[ W = k q q_0 \left( \frac{1}{r_2} - \frac{1}{r_1} \right) \] \[ W = (9 \times 10^9) \times (8 \times 10^{-3}) \times (-2 \times 10^{-9}) \left( \frac{1}{0.04} - \frac{1}{0.03} \right) \] \[ W = -144 \times 10^{-3} \left( \frac{100}{4} - \frac{100}{3} \right) \] \[ W = -144 \times 10^{-3} \left( 25 - 33.33 \right) \] \[ W = -144 \times 10^{-3} \times \left( -\frac{8.33}{1} \right) \] \[ W \approx 1199.52 \times 10^{-3} \text{ J} \] \[ W \approx 1.2 \text{ J} \]In simple words: વિદ્યુતક્ષેત્રમાં કોઈ વિદ્યુતભારને એક બિંદુથી બીજા બિંદુએ ખસેડવા માટે થયેલું કાર્ય ફક્ત પ્રારંભિક અને અંતિમ બિંદુઓ પર આધાર રાખે છે, તે ખસેડવાના માર્ગ પર આધાર રાખતું નથી.

🎯 Exam Tip: સંરક્ષી બળ ક્ષેત્રમાં થયેલું કાર્ય માર્ગ-સ્વતંત્ર હોય છે, જેનો અર્થ છે કે તે ફક્ત પ્રારંભિક અને અંતિમ સ્થિતિ પર આધાર રાખે છે. આવા દાખલાઓમાં, માત્ર પ્રારંભિક અને અંતિમ અંતરનો ઉપયોગ કરીને ગણતરી કરો. ભૂલશો નહીં કે \(1/r_2 - 1/r_1\) એ અંતિમ ઓછા પ્રારંભિક સ્થિતિમાન સાથે સંબંધિત છે.

 

Question 13. b બાજુવાળા એક ઘનના દરેક બિંદુએ વિધુતભાર છે. આ વિધુતભારના તંત્રને લીધે ઘનના કેન્દ્ર પર સ્થિતિમાન અને વિધુતક્ષેત્ર શોધો.

Answer: ધારો કે, સમઘનની બાજુ b છે. સમઘનના લાંબા વિકર્ણની લંબાઈ \(\sqrt{3} b\) હોય છે.
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): આ આકૃતિમાં b બાજુવાળો એક સમઘન દર્શાવેલ છે, જેના દરેક શિરોબિંદુ પર સમાન વિદ્યુતભાર q મૂકવામાં આવેલો છે. સમઘનનું કેન્દ્ર O છે. કેન્દ્રથી દરેક શિરોબિંદુનું અંતર r દર્શાવેલું છે, જે સમઘનના વિકર્ણના અડધા ભાગ જેટલું છે. સમઘનના દરેક શિરોબિંદુનું તેના કેન્દ્રથી અંતર \(r = \frac{\sqrt{3} b}{2}\) હોય છે. સમઘનના કેન્દ્ર પર કુલ વિદ્યુત સ્થિતિમાન: સમઘનમાં 8 શિરોબિંદુઓ હોય છે અને દરેક શિરોબિંદુ પર q વિદ્યુતભાર છે. \[ V = \sum_{i=1}^{8} \frac{k q_i}{r_i} \] અહીં, બધા \(q_i\) સમાન છે અને બધા \(r_i\) સમાન છે. \[ V = \frac{8 k q}{r} \] \[ V = \frac{8 k q}{\frac{\sqrt{3} b}{2}} \] \[ V = \frac{16 k q}{\sqrt{3} b} \] આમ, વિદ્યુત સ્થિતિમાન: \[ V = \frac{16}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q}{\sqrt{3} b} \] \[ V = \frac{4 q}{\pi \varepsilon_0 \sqrt{3} b} \] અને કેન્દ્ર પાસે સામસામેના વિદ્યુતભારોની જોડના લીધે ઉદ્ભવતા વિદ્યુતક્ષેત્રો પરસ્પર વિરુદ્ધ દિશામાં અને સમાન મૂલ્યના હોવાથી પરિણામી વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય હોય છે.In simple words: સમઘનના કેન્દ્ર પર કુલ વિદ્યુત સ્થિતિમાન દરેક શિરોબિંદુના વિદ્યુતભારને કારણે ઉદ્ભવતા સ્થિતિમાનનો સરવાળો છે. કેન્દ્ર પર વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય હોય છે કારણ કે સમરૂપતાને લીધે, દરેક વિદ્યુતભારનું વિદ્યુતક્ષેત્ર વિરુદ્ધ દિશાના વિદ્યુતભારના ક્ષેત્ર દ્વારા રદ થાય છે.

🎯 Exam Tip: સમરૂપ આકૃતિઓમાં કેન્દ્ર પર વિદ્યુત સ્થિતિમાન શોધતી વખતે, બધા વિદ્યુતભારોનો સરવાળો કરો અને અંતર સમાન હોય તો તેને n-ગણું કરો. જો વિદ્યુતભારો સમરૂપ રીતે વિતરિત હોય, તો કેન્દ્ર પરનું વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય હોય છે, કારણ કે બળ સંતુલિત થઈ જાય છે.

 

Question 14. 1.5 μC અને 2.5 μC વિધુતભાર ધરાવતા બે નાના ગોળાઓ એકબીજાથી 30 cm અંતરે રહેલા છે. નીચેના સ્થાનોએ સ્થિતિમાન અને વિધુતક્ષેત્ર શોધો. (a) બે વિધુતભારોને જોડતી રેખાના મધ્યબિંદુએ અને (b) આ રેખાના મધ્યબિંદુમાંથી પસાર થતી અને રેખાને લંબ સમતલમાં મધ્યબિંદુથી 10 cm અંતરે આવેલા બિંદુએ.

Answer:
(a) ધારો કે, A અને B બિંદુઓ પર અનુક્રમે 1.5 μC (q₁) અને 2.5 μC (q₂) ના વિદ્યુતભારો છે. તેમની વચ્ચેનું અંતર 30 cm છે. તેનું મધ્યબિંદુ O છે.
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): આ આકૃતિમાં બિંદુ A પર q1 = 1.5 μC અને બિંદુ B પર q2 = 2.5 μC વિદ્યુતભારો દર્શાવેલ છે. તેમની વચ્ચેનું કુલ અંતર 30 cm છે. O એ AB રેખાનું મધ્યબિંદુ છે, જે A અને B થી 15 cm દૂર છે. વિદ્યુતક્ષેત્ર E1 અને E2 ની દિશાઓ પણ દર્શાવેલ છે. O બિંદુ પાસે વિદ્યુત સ્થિતિમાન: અહીં r₁ = r₂ = 15 cm = 0.15 m q₁ = \(1.5 \times 10^{-6}\) C q₂ = \(2.5 \times 10^{-6}\) C \[ V_O = k \left( \frac{q_1}{r_1} + \frac{q_2}{r_2} \right) \] \[ V_O = (9 \times 10^9) \left( \frac{1.5 \times 10^{-6}}{0.15} + \frac{2.5 \times 10^{-6}}{0.15} \right) \] \[ V_O = (9 \times 10^9) \times \frac{1}{0.15} \times (1.5 + 2.5) \times 10^{-6} \] \[ V_O = (9 \times 10^9) \times \frac{4 \times 10^{-6}}{0.15} \] \[ V_O = \frac{36 \times 10^3}{0.15} \] \[ V_O = 240 \times 10^3 \] \[ V_O = 2.4 \times 10^5 \text{ V} \] O બિંદુ પાસે વિદ્યુતક્ષેત્ર: q₁ (ધન) દ્વારા O બિંદુ પરનું વિદ્યુતક્ષેત્ર E₁ એ B તરફ હશે. q₂ (ધન) દ્વારા O બિંદુ પરનું વિદ્યુતક્ષેત્ર E₂ એ A તરફ હશે. તેથી, O બિંદુ પરનું કુલ વિદ્યુતક્ષેત્ર E_O = E₂ - E₁ (કારણ કે E₂ > E₁) \[ E_O = \frac{k q_2}{r^2} - \frac{k q_1}{r^2} \] \[ E_O = k \frac{(q_2 - q_1)}{r^2} \] \[ E_O = (9 \times 10^9) \frac{(2.5 \times 10^{-6} - 1.5 \times 10^{-6})}{(0.15)^2} \] \[ E_O = (9 \times 10^9) \frac{1.0 \times 10^{-6}}{0.0225} \] \[ E_O = \frac{9 \times 10^3}{0.0225} \] \[ E_O = 400 \times 10^3 \] \[ E_O = 4 \times 10^5 \text{ Vm}^{-1} \] દિશા: 2.5 μC થી 1.5 μC વિદ્યુતભાર તરફ (B થી A તરફ).
(b) ધારો કે, AB ના લંબદ્વિભાજક પર તેના મધ્યબિંદુ O થી 10 cm અંતરે P બિંદુ છે.
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): આ આકૃતિમાં બિંદુ A અને B પર અનુક્રમે q1 અને q2 વિદ્યુતભારો દર્શાવેલ છે. O એ AB નું મધ્યબિંદુ છે. બિંદુ P એ AB ના લંબદ્વિભાજક પર O થી 10 cm ઊપર છે. AP અને BP અંતર સમાન છે. E1 અને E2 વિદ્યુતક્ષેત્રોની દિશા અને ખૂણો α દર્શાવેલ છે. અંતર AP અને BP ની ગણતરી: O થી A = 15 cm O થી P = 10 cm ત્રિકોણ APO માં, \[ AP = \sqrt{(OA)^2 + (OP)^2} \] \[ AP = \sqrt{(15)^2 + (10)^2} \] \[ AP = \sqrt{225 + 100} \] \[ AP = \sqrt{325} \text{ cm} \] \[ AP = 18.027 \text{ cm} \approx 0.18 \text{ m} \] તેથી, AP = BP = 0.18 m. P બિંદુએ વિદ્યુત સ્થિતિમાન (V_P): \[ V_P = k \left( \frac{q_1}{AP} + \frac{q_2}{BP} \right) \] \[ V_P = (9 \times 10^9) \left( \frac{1.5 \times 10^{-6}}{0.18} + \frac{2.5 \times 10^{-6}}{0.18} \right) \] \[ V_P = (9 \times 10^9) \times \frac{(1.5 + 2.5) \times 10^{-6}}{0.18} \] \[ V_P = (9 \times 10^9) \times \frac{4 \times 10^{-6}}{0.18} \] \[ V_P = \frac{36 \times 10^3}{0.18} \] \[ V_P = 200 \times 10^3 \] \[ V_P = 2 \times 10^5 \text{ V} \] P પાસે q₁ ના લીધે વિદ્યુતક્ષેત્રનું મૂલ્ય (E₁): \[ E_1 = \frac{k q_1}{(AP)^2} \] \[ E_1 = \frac{9 \times 10^9 \times 1.5 \times 10^{-6}}{(0.18)^2} \] \[ E_1 = \frac{13.5 \times 10^3}{0.0324} \] \[ E_1 \approx 416666.67 \text{ Vm}^{-1} \] \[ E_1 \approx 0.42 \times 10^6 \text{ Vm}^{-1} \] દિશા: A થી P તરફ. P પાસે q₂ ના લીધે વિદ્યુતક્ષેત્રનું મૂલ્ય (E₂): \[ E_2 = \frac{k q_2}{(BP)^2} \] \[ E_2 = \frac{9 \times 10^9 \times 2.5 \times 10^{-6}}{(0.18)^2} \] \[ E_2 = \frac{22.5 \times 10^3}{0.0324} \] \[ E_2 \approx 694444.44 \text{ Vm}^{-1} \] \[ E_2 \approx 0.69 \times 10^6 \text{ Vm}^{-1} \] દિશા: B થી P તરફ. ધારો કે ∠APO = ∠BPO = \(\frac{\theta}{2}\) ત્રિકોણ AOP માં, \[ \tan \frac{\theta}{2} = \frac{OA}{OP} = \frac{15}{10} = 1.5 \] \[ \frac{\theta}{2} = \tan^{-1}(1.5) \approx 56.3^\circ \] તેથી, \(\theta = 2 \times 56.3^\circ = 112.6^\circ\) આ \(E_1\) અને \(E_2\) વચ્ચેનો ખૂણો છે. પરિણામી વિદ્યુતક્ષેત્ર (E): \[ E = \sqrt{E_1^2 + E_2^2 + 2 E_1 E_2 \cos \theta} \] \[ E = \sqrt{(0.42 \times 10^6)^2 + (0.69 \times 10^6)^2 + 2 \times (0.42 \times 10^6) \times (0.69 \times 10^6) \cos(112.6^\circ)} \] \[ E = 10^6 \sqrt{(0.42)^2 + (0.69)^2 + 2 \times 0.42 \times 0.69 \times \cos(112.6^\circ)} \] \[ E = 10^6 \sqrt{0.1764 + 0.4761 + 0.5796 \times (-0.3843)} \] \[ E = 10^6 \sqrt{0.6525 - 0.2227} \] \[ E = 10^6 \sqrt{0.4298} \] \[ E \approx 10^6 \times 0.6556 \] \[ E \approx 6.56 \times 10^5 \text{ Vm}^{-1} \] ધારો કે, પરિણામી વિદ્યુતક્ષેત્ર \(\vec{E}\) એ \(\vec{E_1}\) સાથે α ખૂણો બનાવે છે. \[ \tan \alpha = \frac{E_2 \sin \theta}{E_1 + E_2 \cos \theta} \] \[ \tan \alpha = \frac{0.69 \times 10^6 \sin(112.6^\circ)}{0.42 \times 10^6 + 0.69 \times 10^6 \cos(112.6^\circ)} \] \[ \tan \alpha = \frac{0.69 \times \sin(112.6^\circ)}{0.42 + 0.69 \times \cos(112.6^\circ)} \] \[ \tan \alpha = \frac{0.69 \times 0.9234}{0.42 + 0.69 \times (-0.3843)} \] \[ \tan \alpha = \frac{0.6373}{0.42 - 0.2652} \] \[ \tan \alpha = \frac{0.6373}{0.1548} \] \[ \tan \alpha \approx 4.117 \] \[ \alpha = \tan^{-1}(4.117) \approx 76.3^\circ \] ધારો કે, \(\vec{E}\) એ \(\vec{BA}\) રેખા સાથે β ખૂણો બનાવે છે. અહીં, ∠PCO = β ∠POC માં β + α - \(\frac{\theta}{2}\) = \(90^\circ\) \[ \beta = 90^\circ + \frac{\theta}{2} - \alpha \] \[ \beta = 90^\circ + 56.3^\circ - 76.3^\circ \] \[ \beta = 70^\circ \] આમ, પરિણામી વિદ્યુતક્ષેત્ર એ બંને વિદ્યુતભારોને જોડતી રેખા સાથે 70° નો ખૂણો બનાવે છે.In simple words: બે વિદ્યુતભારોને કારણે ઉદ્ભવતું કુલ સ્થિતિમાન અને વિદ્યુતક્ષેત્ર શોધવા માટે, દરેક વિદ્યુતભારના વ્યક્તિગત યોગદાનનો સરવાળો કરવામાં આવે છે. મધ્યબિંદુ પર વિદ્યુતક્ષેત્ર બે વિદ્યુતભારોના ક્ષેત્રના સદિશ સરવાળા દ્વારા મળે છે. લંબદ્વિભાજક પર પણ આ જ સિદ્ધાંત લાગુ પડે છે, જ્યાં અંતર અને ખૂણાની ગણતરી કરવી પડે છે.

🎯 Exam Tip: આવા જટિલ પ્રશ્નોમાં, દરેક વિદ્યુતભાર દ્વારા ઉદ્ભવતું સ્થિતિમાન અને વિદ્યુતક્ષેત્ર અલગ-અલગ ગણીને પછી તેમનો સદિશ સરવાળો કરો. ખૂણાઓ અને અંતરની ગણતરીમાં ચોકસાઈ રાખવી ખૂબ જ જરૂરી છે. એકમો અને દિશાઓ સ્પષ્ટપણે દર્શાવો.

GSEB Class 12 Physics Chapter 2 સ્થિત વિદ્યુતસ્થિતિમાન અને કેપેસિટન્સ Text Book Questions and Answers

Question 15. અંદરની ત્રિજ્યા \(r_1\) અને બહારની ત્રિજ્યા \(r_2\) ધરાવતી એક ગોળાકાર સુવાહક કવચ પરનો વિધુતભાર Q છે. (a) કવચના કેન્દ્ર પર વિધુતભાર q મૂકવામાં આવે છે. કવચની અંદરની અને બહારની સપાટીઓ પર વિધુતભારની પૃષ્ઠઘનતા કેટલી હશે ? (b) જો કવચ ગોળાકાર ન હોય પણ ગમે તેવો અનિયમિત આકાર ધરાવતી હોય તો પણ બખોલ (જેમાં કોઈ વિધુતભાર નથી)ની અંદરનું વિધુતક્ષેત્ર શૂન્ય છે ? સમજાવો.
Answer:
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): આ ચિત્ર એક ગોળાકાર સુવાહક કવચ દર્શાવે છે. તેની અંદરના ભાગમાં \(+q\) વિદ્યુતભાર મૂકેલો છે. આ કવચ પર કુલ વિદ્યુતભાર \(Q\) છે. અંદરની સપાટી પર પ્રેરિત \(-q\) વિદ્યુતભાર અને બહારની સપાટી પર \((Q+q)\) વિદ્યુતભાર દેખાય છે.
(a) જ્યારે આપણે કવચના કેન્દ્રમાં \(q\) વિદ્યુતભાર મૂકીએ છીએ, ત્યારે કવચની અંદરની સપાટી પાસે \(-q\) વિદ્યુતભાર પ્રેરિત થાય છે. તેવી જ રીતે, કવચની બહારની સપાટી પર \((+q)\) વિદ્યુતભાર પ્રેરિત થાય છે. આ ઉપરાંત, કવચ પર પહેલેથી જ \(Q\) વિદ્યુતભાર હતો. તેથી, કવચની બહારની સપાટી પરનો કુલ વિદ્યુતભાર \((Q+q)\) થશે.
અંદરની સપાટી પર વિદ્યુતભારની પૃષ્ઠ ઘનતા \(\sigma_1\) આ પ્રમાણે મળે છે:
\[\sigma_1 = \frac{\text{આંતરિક સપાટી પરનો વિદ્યુતભાર}}{\text{આંતરિક સપાટીનું ક્ષેત્રફળ}} = \frac{-q}{4 \pi r_1^2}\]
બહારની સપાટી પર વિદ્યુતભારની પૃષ્ઠ ઘનતા \(\sigma_2\) આ પ્રમાણે મળે છે:
\[\sigma_2 = \frac{\text{બાહ્ય સપાટી પરનો કુલ વિદ્યુતભાર}}{\text{બાહ્ય સપાટીનું ક્ષેત્રફળ}} = \frac{Q+q}{4 \pi r_2^2}\]
(b) હા, કવચ ભલે ગોળાકાર ન હોય અને અનિયમિત આકાર ધરાવતી હોય, તો પણ તેની અંદરના ખાલી ભાગમાં વિદ્યુતક્ષેત્ર હંમેશાં શૂન્ય જ હોય છે. આનું કારણ એ છે કે બંધ માર્ગ પર વિદ્યુતક્ષેત્ર દ્વારા થતું કાર્ય શૂન્ય હોય છે, જે ગૉસના નિયમ અને સંરક્ષી વિદ્યુતક્ષેત્રના ગુણધર્મો પરથી સમજી શકાય છે. તેથી, કવચની અંદરના પોલાણ (જેમાં કોઈ વિદ્યુતભાર નથી)માં વિદ્યુતક્ષેત્ર હંમેશાં શૂન્ય રહે છે.
In simple words: જ્યારે ગોળાકાર કવચના કેન્દ્રમાં ચાર્જ મૂકવામાં આવે છે, ત્યારે અંદરની સપાટી પર વિપરીત ચાર્જ અને બહારની સપાટી પર કુલ ચાર્જ વહેંચાઈ જાય છે, જે તેમની સપાટી પર ઘનતા બનાવે છે. વાહકની અંદર, ભલે તેનો આકાર અનિયમિત હોય, ઇલેક્ટ્રિક ફિલ્ડ હંમેશાં શૂન્ય રહે છે કારણ કે ચાર્જ સપાટી પર જ રહે છે.

🎯 Exam Tip: આવા પ્રશ્નોમાં વિદ્યુતભારનું પ્રેરણ, પૃષ્ઠ ઘનતાની ગણતરી અને વાહકના પોલાણમાં વિદ્યુતક્ષેત્રના ગુણધર્મો સમજવા મહત્ત્વના છે.

Question 16. (a) દર્શાવો કે સ્થિતવિધુતક્ષેત્રના લંબ ઘટકનું, વિધુતભારિત સપાટીની એક બાજુથી બીજી બાજુ સુધી \(\frac{\sigma}{\varepsilon_0}\) &ા। અપાય छे. જ્યાં, \(\hat{n}\) બિંદુએ સપાટીને લંબ એકમ સદિશ છે. – તે બિંદુએ વિધુતભારની પૃષ્ઠ ઘનતા \(\sigma\) છે. (તેની દિશા બાજુ 1 થી બાજુ 2 તરફ છે.) આ પરથી દર્શાવો કે સુવાહકની તરત બહાર વિધુતક્ષેત્ર \(\frac{\sigma \hat{n}}{\varepsilon_0}\). (b) દર્શાવો કે સ્થિતવિધુત ક્ષેત્રનો સ્પર્શીય (Tangential) ઘટક, વિધુતભારિત સપાટીની એક બાજુથી બીજી બાજુ સુધી સતત હોય છે. (સૂચનઃ (a) માટે ગોસના નિયમનો ઉપયોગ કરો. (b) માટે સ્થિતવિધુત ક્ષેત્ર વડે બંધ ગાળા પર કરેલું કાર્ય શૂન્ય છે તે હકીકતનો ઉપયોગ કરો.)
Answer:
(a) વિદ્યુતભારિત સમતલ પ્લેટની નજીક વિદ્યુતક્ષેત્ર \((E)\) આ પ્રમાણે મળે છે:
\[E = \frac{\sigma}{2 \varepsilon_0}\]
જો વિદ્યુતક્ષેત્રને સદિશ તરીકે દર્શાવીએ તો સમતલની એક બાજુનો એકમ સદિશ \(\hat{n}\) હોય તો બીજી બાજુનો એકમ સદિશ \((-\hat{n})\) થાય.

ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): આ ચિત્ર એક વિધુતભારિત સપાટીને દર્શાવે છે. એરો (1) અને (2) સપાટીની બંને બાજુઓ પરના એકમ સદિશ \(\hat{n}\) ની દિશા દર્શાવે છે. આ દિશાઓ સપાટીને લંબ છે અને વિદ્યુતક્ષેત્રની દિશા સૂચવે છે.
\((1)\) બાજુથી \((2)\) બાજુ માટે વિદ્યુતક્ષેત્ર, \(\overrightarrow{E_2} = \frac{\sigma}{2 \varepsilon_0} \hat{n}\)
\((2)\) બાજુથી \((1)\) બાજુ માટે વિદ્યુતક્ષેત્ર, \(\overrightarrow{E_1} = \frac{\sigma}{2 \varepsilon_0} (-\hat{n})\)
પરિણામે, લંબ ઘટકનું વિદ્યુતક્ષેત્ર \((\overrightarrow{E_2} - \overrightarrow{E_1})\) આ પ્રમાણે મળે છે:
\[(\overrightarrow{E_2} - \overrightarrow{E_1}) = \frac{\sigma}{2 \varepsilon_0} \hat{n} - \left( \frac{-\sigma}{2 \varepsilon_0} \hat{n} \right) = \frac{2\sigma}{2 \varepsilon_0} \hat{n} = \frac{\sigma}{\varepsilon_0} \hat{n}\]
જ્યાં \(\sigma\) એ વિદ્યુતભારની પૃષ્ઠ ઘનતા છે અને એકમ સદિશ \(\hat{n}\) ની દિશા \((1)\) બાજુથી \((2)\) બાજુ તરફની છે.
\(\overrightarrow{E_1}\) અને \(\overrightarrow{E_2}\) પરસ્પર વિરુદ્ધ દિશામાં હોવાથી વિદ્યુતભારિત પ્લેટ પર અસતત છે અને વાહકની અંદર વિદ્યુતક્ષેત્ર અદ્રશ્ય થઈ જાય છે. તેથી,
\[\overrightarrow{E_1} = 0\]
તેથી વાહકની બહાર વિદ્યુતક્ષેત્ર, \[\overrightarrow{E} = \overrightarrow{E_2} = \frac{\sigma}{\varepsilon_0} \hat{n}\]
(b) ધારો કે, \((xy)\) એ ડાયઇલેકિટ્રકની વિદ્યુતભારિત સપાટી છે. આ સપાટીની ઉપર અને નીચે અનુક્રમે \(\overrightarrow{E_1}\) અને \(\overrightarrow{E_2}\) વિદ્યુતક્ષેત્ર છે.
\[E_1 \cos\theta^\circ = E_T, \quad E_2 \cos180^\circ = -E_T\]
જ્યાં \(E_T\) એ સ્પર્શીય ઘટકો છે.
\((xy)\) સપાટીની આસપાસ એક લંબચોરસ બંધ લૂપ \(ABCD\) વિચારો કે જેની લંબાઈ \(l\) અને પહોળાઈ \(b = 0\) છે (આપણે \((b)\) ને અવગણી શકીએ છીએ).
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): આ આકૃતિમાં એક ડાયઇલેક્ટ્રિક સપાટી દર્શાવવામાં આવી છે. તેના પર વિદ્યુતક્ષેત્રની રેખાઓ સપાટીને લંબ અને સપાટીને સમાંતર બંને દિશામાં હોય છે. લંબ ઘટક \(E_N\) અને સ્પર્શીય ઘટક \(E_T\) દર્શાવવામાં આવ્યા છે.
લૂપ \(DC\) માર્ગ પરનું રેખા સંકલન શૂન્ય થાય છે કારણ કે \(\overrightarrow{E_1}\) અને \(\overrightarrow{E_2}\) એ \(\vec{b}\) ને લંબ છે. તેથી, \(E_1 \perp \vec{b}\) અને \(E_2 \perp \vec{b}\) છે.
બંધ માર્ગ \(ADCB\) પરનું રેખા સંકલન આ પ્રમાણે મળે છે:
\[\oint_A^D \overrightarrow{E_1} \cdot d\vec{l} + \oint_C^B \overrightarrow{E_2} \cdot d\vec{l} = 0\]
\[\int_A^B E_1 \cos0^\circ dl + \int_C^D E_2 \cos180^\circ dl = 0\]
જ્યાં \(E_1 \cos0^\circ = E_T\) અને \(E_2 \cos180^\circ = -E_T\) તથા \(\int dl = l\).
\[E_T l - E_T l = 0\]
\[\implies E_T = E_T\]
આમ, વિદ્યુતભારિત ડાયઇલેક્ટ્રિક સપાટી પરના સ્પર્શીય ઘટકો અચળ (સમાન) રહે છે એટલે કે સ્પર્શીય સપાટીના એક બાજુથી બીજી બાજુ સુધી સતત રહે છે.
In simple words: ઇલેક્ટ્રિક ફિલ્ડના લંબ ભાગમાં, તે ચાર્જ ડેન્સિટી પર આધાર રાખે છે અને વાહકની બહાર તે ચાર્જ ડેન્સિટી અને પરમિટિવિટીના ગુણોત્તર જેટલું હોય છે. ઇલેક્ટ્રિક ફિલ્ડનો સ્પર્શીય ભાગ સપાટી પર સતત રહે છે કારણ કે તે દિશામાં કોઈ કાર્ય થતું નથી.

🎯 Exam Tip: આ પ્રશ્નમાં વિદ્યુતક્ષેત્રના લંબ અને સ્પર્શીય ઘટકોની સતતતા અને અસતતતાને સમજવા માટે ગૉસનો નિયમ અને કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેયનો ઉપયોગ કેવી રીતે થાય છે તે જાણવું મહત્ત્વનું છે.

Question 17. રેખીય વિધુતભાર ઘનતા \(\lambda\) ધરાવતો એક લાંબો નળાકાર એક પોલા, સમઅક્ષીય, સુવાહક નળાકાર વડે ઘેરાયેલ છે. બે નળાકારની વચ્ચેના અવકાશમાં વિધુતક્ષેત્ર કેટલું હશે ?
Answer:
બે સમઅક્ષીય વાહક નળાકારની અંદરની ત્રિજ્યા \(a\) અને બહારની ત્રિજ્યા \(b\) છે તથા નળાકારની લંબાઈ \(L\) છે. જો \(L >> a\) અને \(b\) હોય, તો નિયમિત વિદ્યુતભારની રેખીય ઘનતા \(\pm \lambda\) Cm\(^{-1}\) છે.
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): આકૃતિમાં એક લાંબા નળાકારને દર્શાવવામાં આવ્યો છે જે એક પોલા, સમઅક્ષીય સુવાહક નળાકારથી ઘેરાયેલો છે. અંદરના નળાકાર પર \(+\lambda\) રેખીય વિદ્યુતભાર ઘનતા છે અને બહારના નળાકાર પર \(-\lambda\) રેખીય વિદ્યુતભાર ઘનતા છે. આકૃતિ ગૉસિયન પૃષ્ઠ અને P બિંદુ દર્શાવે છે.
બે વાહકોની વચ્ચેના P બિંદુએ વિદ્યુતક્ષેત્ર શોધવા માટે \(r\) ત્રિજ્યાનું ગૉસિયન પૃષ્ઠ વિચારો.
ગૉસના પ્રમેય પરથી ગૉસિયન પૃષ્ઠમાંથી પસાર થતું ફ્લક્સ \(\oint \overrightarrow{E} \cdot d\overrightarrow{A} = \frac{Q}{\varepsilon_0}\) છે.
અહીં, \(\overrightarrow{E} \cdot \overrightarrow{A} = E \times (2\pi r L)\) અને \(Q = \lambda L\).
તેથી, \(E \times 2\pi r L = \frac{\lambda L}{\varepsilon_0}\) \([\because \cos0^\circ = 1]\)
\[\implies E = \frac{\lambda}{2 \pi \varepsilon_0 r}\]
જ્યાં \(r\) એ નળાકારોની સામાન્ય અક્ષથી બિંદુનું અંતર છે. ક્ષેત્ર ત્રિજ્યાવર્તી અને અક્ષને લંબરૂપે છે.
In simple words: જ્યારે એક લાંબો ચાર્જ થયેલો સિલિન્ડર બીજા પોલા સિલિન્ડરની અંદર હોય છે, ત્યારે તેમની વચ્ચેના ખાલી ભાગમાં ઇલેક્ટ્રિક ફિલ્ડ ત્રિજ્યાની દિશામાં બહાર નીકળે છે. આ ફિલ્ડ ચાર્જ ડેન્સિટી અને ત્રિજ્યાના વિપરિત પ્રમાણમાં હોય છે.

🎯 Exam Tip: આવા પ્રશ્નોમાં ગૉસના નિયમનો ઉપયોગ કરીને વિદ્યુતક્ષેત્રની ગણતરી કરવી અને નળાકારની ત્રિજ્યા તથા વિદ્યુતભાર ઘનતાના સંબંધને સમજવું મહત્ત્વનું છે.

Question 18. હાઇડ્રોજન પરમાણુમાં ઇલેક્ટ્રોન અને પ્રોટોન \(0.53\) Å અંતરે એકબીજા સાથે બંધિત અવસ્થામાં છે. (a) ઇલેક્ટ્રૉન અને પ્રોટોન વચ્ચેના અનંત અંતર માટે સ્થિતિઊર્જા શૂન્ય લઈને આ તંત્રની સ્થિતિઊર્જાનો eV માં અંદાજ કરો. (b) ઇલેક્ટ્રૉનને મુક્ત કરવા માટે કેટલું લઘુતમ કાર્ય કરવું પડે ? તેની કક્ષામાંની ગતિઊર્જા (a) માં મળેલી સ્થિતિઊર્જા કરતાં અડધી છે તેમ આપેલ છે. (c) બંને વચ્ચેના \(1.06\) Å અંતર માટે સ્થિતિઊર્જા શૂન્ય લેવામાં આવે તો ઉપર (a) અને (b) માટેના જવાબો શું હશે ?
Answer:
(a) ઇલેક્ટ્રૉન અને પ્રોટોનના તંત્રની સ્થિતિઊર્જા નીચે મુજબ ગણી શકાય છે:
ચાર્જ \(q_1 = -1.6 \times 10^{-19}\) C (ઇલેક્ટ્રૉન માટે)
ચાર્જ \(q_2 = +1.6 \times 10^{-19}\) C (પ્રોટોન માટે)
અંતર \(r = 0.53\) Å = \(0.53 \times 10^{-10}\) m
સ્થિતિઊર્જા \((U)\) માટેનું સૂત્ર છે: \[U = \frac{k q_1 q_2}{r}\]
\[U = \frac{9 \times 10^9 \times (-1.6 \times 10^{-19}) \times (1.6 \times 10^{-19})}{0.53 \times 10^{-10}}\]
\[U = -43.4717 \times 10^{-19}\text{ J}\]
આ ઊર્જાને eV માં રૂપાંતરિત કરવા માટે, \(1 \text{ eV} = 1.6 \times 10^{-19}\) J નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
\[U = \frac{-43.4717 \times 10^{-19}}{1.6 \times 10^{-19}}\text{ eV}\]
\[U \approx -27.1699\text{ eV} \approx -27.2\text{ eV}\]
(b) કક્ષામાં રહેલા ઇલેક્ટ્રૉનની ગતિઊર્જા \((KE)\) એ સ્થિતિઊર્જાના અડધા જેટલી અને વિરુદ્ધ ચિહ્નવાળી હોય છે:
\[KE = -\frac{1}{2} \times U = -\frac{1}{2} \times (-27.2\text{ eV}) = 13.6\text{ eV}\]
ઇલેક્ટ્રૉનની કુલ ઊર્જા \((E)\) એ ગતિઊર્જા અને સ્થિતિઊર્જાનો સરવાળો છે:
\[E = U + KE = -27.2\text{ eV} + 13.6\text{ eV} = -13.6\text{ eV}\]
ઇલેક્ટ્રૉનને મુક્ત કરવા માટે જરૂરી લઘુતમ કાર્ય \((W)\) એ કુલ ઊર્જાના મૂલ્ય જેટલું હોય છે, પરંતુ ધન ચિહ્ન સાથે (મુક્ત ઇલેક્ટ્રૉનની કુલ ઊર્જા શૂન્ય હોય છે).
\[W = 0 - E = 0 - (-13.6\text{ eV}) = 13.6\text{ eV}\]
(c) જો અનંત અંતરે સ્થિતિઊર્જા શૂન્ય લઈએ તો ઇલેક્ટ્રૉન અને પ્રોટોનના તંત્રની સ્થિતિઊર્જા માટે, અને \(r_2 = 1.06\) Å અંતર માટે ગણતરી કરીએ:
\[U = \frac{k q_1 q_2}{r_1} - \frac{k q_1 q_2}{r_2} = k q_1 q_2 \left( \frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2} \right)\]
\[U = 9 \times 10^9 \times (-1.6 \times 10^{-19}) \times (1.6 \times 10^{-19}) \left( \frac{1}{0.53 \times 10^{-10}} - \frac{1}{1.06 \times 10^{-10}} \right)\]
\[U = 9 \times 10^9 \times (-2.56 \times 10^{-38}) \times \frac{1}{10^{-10}} \left( \frac{1}{0.53} - \frac{1}{1.06} \right)\]
\[U = -23.04 \times 10^{-29} \times \frac{1}{10^{-10}} \times \left( \frac{1.06 - 0.53}{0.53 \times 1.06} \right)\]
\[U = -23.04 \times 10^{-19} \times \frac{0.53}{0.5618} = -21.72 \times 10^{-19}\text{ J}\]
eV માં: \[\frac{-21.72 \times 10^{-19}}{1.6 \times 10^{-19}}\text{ eV} = -13.57\text{ eV} \approx -13.6\text{ eV}\]
ગતિઊર્જા: \(KE = -\frac{1}{2} U = -\frac{1}{2} (-13.6\text{ eV}) = 6.8\text{ eV}\)
કુલ ઊર્જા: \(E = U + KE = -13.6\text{ eV} + 6.8\text{ eV} = -6.8\text{ eV}\)
મુક્ત કરવા માટેનું કાર્ય: \(W = -E = 6.8\text{ eV}\)
આમ, જો સંદર્ભ બિંદુ બદલવામાં આવે તો ઊર્જાના મૂલ્યો પણ બદલાય છે.
In simple words: ઇલેક્ટ્રોન અને પ્રોટોન વચ્ચેની સ્થિતિઊર્જા તેમના અંતર અને વિદ્યુતભારો પર આધાર રાખે છે. તેમને અલગ કરવા માટે, તેમની કુલ બંધન ઊર્જા જેટલું કાર્ય કરવું પડે છે. જ્યારે સંદર્ભ બિંદુ (શૂન્ય સ્થિતિઊર્જાનું સ્થાન) બદલાય છે, ત્યારે બધી ઊર્જાના મૂલ્યો પણ તે મુજબ બદલાય છે.

🎯 Exam Tip: સ્થિતિઊર્જાની ગણતરી કરતી વખતે ચાર્જના ચિહ્નો અને અંતરનો ચોક્કસપણે ઉપયોગ કરો. J થી eV માં રૂપાંતર કરતી વખતે \(1.6 \times 10^{-19}\) J = \(1\) eV નો ગુણોત્તર યાદ રાખો.

Question 19. જો \(H_2\) અણુના બેમાંથી એક ઇલેક્ટ્રોન દૂર કરવામાં આવે તો આપણને હાઇડ્રોજન આણ્વિક આયન \(H_2^+\) મળે. \(H_2^+\) ની ધરાસ્થિતિમાં બે પ્રોટોન વચ્ચેનું અંતર લગભગ \(1.5\) Å છે અને ઇલેક્ટ્રોન દરેક પ્રોટોનથી લગભગ \(1\) Å અંતરે છે. આ તંત્રની સ્થિતિઊર્જા શોધો. સ્થિતિઊર્જાના શૂન્ય માટેની તમારી પસંદગી જણાવો.
Answer:
આપણને હાઇડ્રોજન આણ્વિક આયન \(H_2^+\) માટે સ્થિતિઊર્જા શોધવાની છે, જેમાં બે પ્રોટોન અને એક ઇલેક્ટ્રોન હોય છે.
વિદ્યુતભારોનું તંત્ર નીચે મુજબ આકૃતિમાં દર્શાવ્યું છે.
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): આ આકૃતિ \(H_2^+\) આયનના વિદ્યુતભારોનું સ્થાન દર્શાવે છે. તેમાં એક ઇલેક્ટ્રોન \((q_1 = -q)\) અને બે પ્રોટોન \((q_2 = +q, q_3 = +q)\) છે. ઇલેક્ટ્રોન બંને પ્રોટોનથી \(r_1 = 1\) Å અંતરે છે, અને બંને પ્રોટોન એકબીજાથી \(r_2 = 1.5\) Å અંતરે છે.
ઇલેક્ટ્રોન પરનો વિદ્યુતભાર \(q_1 = -1.6 \times 10^{-19}\) C
પ્રોટોન પરનો વિદ્યુતભાર \(q_2 = q_3 = +1.6 \times 10^{-19}\) C
અંતર \(r_1 = 1\) Å = \(1 \times 10^{-10}\) m
અંતર \(r_2 = 1.5\) Å = \(1.5 \times 10^{-10}\) m
જો અનંત અંતરે સ્થિતિઊર્જા શૂન્ય લઈએ તો તંત્રની કુલ સ્થિતિઊર્જા \((U)\) એ દરેક જોડની સ્થિતિઊર્જાનો સરવાળો છે:
\[U = U_{12} + U_{23} + U_{13}\]
\[U = \frac{k q_1 q_2}{r_1} + \frac{k q_2 q_3}{r_2} + \frac{k q_1 q_3}{r_1}\]
\[U = k \left( \frac{q_1 q_2}{r_1} + \frac{q_2 q_3}{r_2} + \frac{q_1 q_3}{r_1} \right)\]
\[U = 9 \times 10^9 \left( \frac{(-1.6 \times 10^{-19}) (1.6 \times 10^{-19})}{1 \times 10^{-10}} + \frac{(1.6 \times 10^{-19})^2}{1.5 \times 10^{-10}} + \frac{(-1.6 \times 10^{-19}) (1.6 \times 10^{-19})}{1 \times 10^{-10}} \right)\]
\[U = 9 \times 10^9 \left( \frac{-2.56 \times 10^{-38}}{10^{-10}} + \frac{2.56 \times 10^{-38}}{1.5 \times 10^{-10}} + \frac{-2.56 \times 10^{-38}}{10^{-10}} \right)\]
\[U = 9 \times 10^9 \times 2.56 \times 10^{-38} \times 10^{10} \left( -1 + \frac{1}{1.5} - 1 \right)\]
\[U = 23.04 \times 10^{-19} \left( -2 + \frac{1}{1.5} \right) = 23.04 \times 10^{-19} \left( \frac{-3+1}{1.5} \right)\]
\[U = 23.04 \times 10^{-19} \times \left( \frac{-2}{1.5} \right) = \frac{-46.08}{1.5} \times 10^{-19}\text{ J} = -30.72 \times 10^{-19}\text{ J}\]
eV માં રૂપાંતરિત કરવા: \[\frac{-30.72 \times 10^{-19}}{1.6 \times 10^{-19}}\text{ eV} = -19.2\text{ eV}\]
In simple words: \(H_2^+\) આયનની કુલ ઊર્જા શોધવા માટે, આપણે દરેક ચાર્જની જોડી વચ્ચેની સ્થિતિઊર્જાનો સરવાળો કરીએ છીએ. ઇલેક્ટ્રોન અને પ્રોટોન વચ્ચેના આકર્ષણ અને પ્રોટોન-પ્રોટોન વચ્ચેના અપાકર્ષણને ધ્યાનમાં લઈને ગણતરી કરતા, આપણને કુલ નેગેટિવ ઊર્જા મળે છે, જે દર્શાવે છે કે સિસ્ટમ બંધાયેલી છે.

🎯 Exam Tip: બહુ-ચાર્જ સિસ્ટમમાં સ્થિતિઊર્જાની ગણતરી કરતી વખતે, દરેક ચાર્જ જોડીની સ્થિતિઊર્જા અલગથી ગણો અને પછી સરવાળો કરો. કુલંબના નિયમમાં અંતર અને ચાર્જનું ચિહ્ન યોગ્ય રીતે લેવું.

Question 20. અને ત્રિજ્યાઓ ધરાવતા બે વિધુતભારિત સુવાહક ગોળાઓને એક તાર વડે જોડવામાં આવે છે. બે ગોળાઓની સપાટીઓ પરના વિધુતક્ષેત્રનો ગુણોત્તર કેટલો હશે ? આ પરિણામનો ઉપયોગ કરી સુવાહકના તીક્ષ્ણ અને ધારદાર છેડાઓ આગળ સપાટ વિભાગો કરતાં વિધુતભારની પૃષ્ઠ ઘનતા શા માટે વધારે હોય છે તે સમજાવો.
Answer:
ધારો કે, બે સુવાહક ગોળાઓની ત્રિજ્યા અનુક્રમે \(r_1\) અને \(r_2\) છે, અને તેમના પર વિદ્યુતભારો અનુક્રમે \(Q_1\) અને \(Q_2\) છે. તેમના કેપેસિટન્સ અનુક્રમે \(C_1\) અને \(C_2\) છે.
જ્યારે આ ગોળાઓને એક તાર વડે જોડવામાં આવે છે, ત્યારે તેમના સ્થિતિમાન સમાન થાય છે. ધારો કે, તેમનું સામાન્ય સ્થિતિમાન \(V\) છે.
\[V_1 = V_2 = V\]
અહીં, \(V = \frac{Q}{C}\) હોવાથી, આપણે લખી શકીએ:
\[\frac{Q_1}{C_1} = \frac{Q_2}{C_2} \implies \frac{Q_1}{Q_2} = \frac{C_1}{C_2}\]
ગોળાકાર સુવાહક માટે કેપેસિટન્સનું સૂત્ર \(C = 4\pi\varepsilon_0 r\) છે.
તેથી, \[\frac{Q_1}{Q_2} = \frac{4\pi\varepsilon_0 r_1}{4\pi\varepsilon_0 r_2} \implies \frac{Q_1}{Q_2} = \frac{r_1}{r_2} \quad \ldots(1)\]
હવે, બંને ગોળાઓની સપાટી પરના વિદ્યુતક્ષેત્રનો ગુણોત્તર શોધીએ. વિદ્યુતક્ષેત્ર \((E)\) માટેનું સૂત્ર છે: \(E = \frac{kQ}{r^2}\).
\[\frac{E_1}{E_2} = \frac{k Q_1 / r_1^2}{k Q_2 / r_2^2} = \frac{Q_1}{Q_2} \times \frac{r_2^2}{r_1^2}\]
સમીકરણ \((1)\) માંથી \(\frac{Q_1}{Q_2}\) ની કિંમત મૂકતાં:
\[\frac{E_1}{E_2} = \frac{r_1}{r_2} \times \frac{r_2^2}{r_1^2} = \frac{r_2}{r_1} \quad \ldots(2)\]
આમ, વિદ્યુતક્ષેત્રનો ગુણોત્તર \(\frac{r_2}{r_1}\) મળે છે.
હવે, પૃષ્ઠ ઘનતા \(\sigma = \frac{Q}{A} = \frac{Q}{4\pi r^2}\) છે. તેથી, \(\sigma_1 = \frac{Q_1}{4\pi r_1^2}\) અને \(\sigma_2 = \frac{Q_2}{4\pi r_2^2}\).
પૃષ્ઠ ઘનતાનો ગુણોત્તર: \[\frac{\sigma_1}{\sigma_2} = \frac{Q_1/4\pi r_1^2}{Q_2/4\pi r_2^2} = \frac{Q_1}{Q_2} \times \frac{r_2^2}{r_1^2}\]
ફરીથી સમીકરણ \((1)\) માંથી \(\frac{Q_1}{Q_2}\) ની કિંમત મૂકતાં:
\[\frac{\sigma_1}{\sigma_2} = \frac{r_1}{r_2} \times \frac{r_2^2}{r_1^2} = \frac{r_2}{r_1} \quad \ldots(3)\]
સમીકરણ \((2)\) અને \((3)\) પરથી, \(\frac{E_1}{E_2} = \frac{\sigma_1}{\sigma_2}\) એટલે કે \(\sigma \propto E\).
આમ, ગોળાની સપાટી પરની વિદ્યુતભારની પૃષ્ઠ ઘનતા તેની ત્રિજ્યાના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે: \(\sigma \propto \frac{1}{r}\).
આનો અર્થ એ થાય છે કે નાના ત્રિજ્યાવાળા (વધુ વક્રતાવાળા) ગોળા પર પૃષ્ઠ ઘનતા વધુ હોય છે, જ્યારે મોટી ત્રિજ્યાવાળા (ઓછી વક્રતાવાળા) ગોળા પર પૃષ્ઠ ઘનતા ઓછી હોય છે. આ જ કારણ છે કે સુવાહકના તીક્ષ્ણ અને ધારદાર છેડાઓ આગળ સપાટ વિભાગો કરતાં વિદ્યુતભારની પૃષ્ઠ ઘનતા વધુ હોય છે, કારણ કે તીક્ષ્ણ છેડાઓ પર વક્રતા વધુ હોય છે (એટલે કે ત્રિજ્યા ઓછી હોય છે).
In simple words: જ્યારે બે ચાર્જ થયેલા ગોળાને જોડવામાં આવે છે, ત્યારે તેમના ઇલેક્ટ્રિક પોટેન્શિયલ સમાન બને છે. ઇલેક્ટ્રિક ફિલ્ડ અને ચાર્જ ડેન્સિટી નાના ગોળા પર વધુ હોય છે કારણ કે તેની વક્રતા વધુ હોય છે. આનો અર્થ એ છે કે ચાર્જ ડેન્સિટી ગોળાની ત્રિજ્યાના વિપરિત પ્રમાણમાં હોય છે.

🎯 Exam Tip: વિદ્યુતભારની પૃષ્ઠ ઘનતા અને વિદ્યુતક્ષેત્રનો ત્રિજ્યા સાથેનો વ્યસ્ત સંબંધ સમજવો મહત્ત્વનો છે. તીક્ષ્ણ છેડાઓ પર વિદ્યુતભાર કેન્દ્રિત થવાનું કારણ આ ગુણધર્મ સાથે સંકળાયેલું છે.

Question 21. બે વિધુતભારો -q અને +q અનુક્રમે \((0, 0, – a)\) અને \((0, 0, a)\) બિંદુઓએ રહેલા છે (a) \((0, 0, z)\) અને \((x, y, 0)\) બિંદુઓએ વિધુતક્ષેત્ર કેટલું કેટલું છે ? (b) સ્થિતિમાન, ઊગમબિંદુથી કોઈ બિંદુના અંતર r પર, \(r/a >> 1\) હોય ત્યારે કેવી રીતે આધારિત છે તે દર્શાવતું સૂત્ર મેળવો. (c) એક નાના પરીક્ષણ વિધુતભારને z-અક્ષ પર \((5, 0, 0)\) બિંદુથી \((-7, 0, 0)\) બિંદુ સુધી લઈ જવામાં કેટલું કાર્ય થશે ? જો પરીક્ષણ વિધુતભારનો માર્ગ તે જ બે બિંદુઓ વચ્ચે x-અક્ષ પર ન હોત તો જવાબમાં ફેર
Answer:
(a) વિદ્યુતભારો \(-q\) અને \(+q\) અનુક્રમે \((0, 0, -a)\) અને \((0, 0, a)\) બિંદુઓએ મૂકેલા છે, જે એક વિદ્યુત ડાયપોલ બનાવે છે. ઊગમબિંદુ \((0, 0, 0)\) છે.

ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): આકૃતિ (a) z-અક્ષ પર \(+q\) અને \(-q\) વિદ્યુતભારોનું સ્થાન દર્શાવે છે. \(P(0,0,z)\) બિંદુ z-અક્ષ પર છે. \(r_1\) એ \(+q\) થી \(P\) સુધીનું અંતર છે અને \(r_2\) એ \(-q\) થી \(P\) સુધીનું અંતર છે.
જ્યારે \(P\) બિંદુ \((0, 0, z)\) પર હોય (એટલે કે z-અક્ષ પર):
\(+q\) થી \(P\) સુધીનું અંતર \(r_1 = z - a\).
\(-q\) થી \(P\) સુધીનું અંતર \(r_2 = z + a\).
P બિંદુએ કુલ વિદ્યુતસ્થિતિમાન \(V_P\):
\[V_P = k \left( \frac{q}{r_1} + \frac{-q}{r_2} \right) = k q \left( \frac{1}{z-a} - \frac{1}{z+a} \right)\]
\[V_P = k q \left( \frac{(z+a) - (z-a)}{(z-a)(z+a)} \right) = k q \left( \frac{2a}{z^2-a^2} \right)\]
જ્યાં \(p = 2aq\) એ વિદ્યુત ડાયપોલ મોમેન્ટ છે. તેથી, \[V_P = \frac{k p}{z^2-a^2}\]
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): આકૃતિ (b) પણ z-અક્ષ પર \(+q\) અને \(-q\) વિદ્યુતભારોનું સ્થાન દર્શાવે છે, પરંતુ \(P(0,0,-z)\) બિંદુ નકારાત્મક z-અક્ષ પર છે. અહીં પણ \(r_1\) અને \(r_2\) અનુક્રમે \(+q\) અને \(-q\) થી \(P\) સુધીના અંતર છે.
જ્યારે \(P\) બિંદુ \((x, y, 0)\) પર હોય (એટલે કે \(xy\)-સમતલમાં):
આવા બિંદુઓ વિદ્યુત ડાયપોલના વિષુવવૃત્તીય સમતલ પર આવેલા હોય છે. વિષુવવૃત્તીય સમતલ પરના કોઈપણ બિંદુ માટે, બંને વિદ્યુતભારોથી અંતર સમાન હોય છે: \(r_1 = r_2\).
તેથી, \(+q\) અને \(-q\) વિદ્યુતભારોના કારણે \((x, y, 0)\) બિંદુએ કુલ વિદ્યુતસ્થિતિમાન શૂન્ય હોય છે:
\[V = k \left( \frac{+q}{r_1} + \frac{-q}{r_2} \right) = 0\]
(b) જો \(P\) બિંદુનું ઊગમબિંદુ \((0, 0, 0)\) થી અંતર \(r\) હોય અને \(r/a >> 1\) (એટલે કે \(r >> a\)) હોય, તો સમીકરણ \((1)\) અને \((2)\) માં \(z = r\) મૂકતાં, આપણને મળે છે:
\[V = \pm \frac{k p}{r^2-a^2}\]
જો \(r >> a\) હોય, તો \(a^2\) ને \(r^2\) ની સરખામણીમાં અવગણી શકાય છે.
\[V = \pm \frac{k p}{r^2}\]
આમ, \(V \propto \frac{1}{r^2}\). આ વિદ્યુત ડાયપોલનું સ્થિતિમાન છે, જે અંતરના વર્ગના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં બદલાય છે.
(c) \((5, 0, 0)\) અને \((-7, 0, 0)\) બિંદુઓ x-અક્ષ પર છે. આ બિંદુઓ વિદ્યુત ડાયપોલના વિષુવવૃત્તીય સમતલ પર આવેલા છે. વિષુવવૃત્તીય સમતલ પરના કોઈપણ બિંદુએ વિદ્યુતસ્થિતિમાન શૂન્ય હોય છે.
તેથી, \((5, 0, 0)\) બિંદુએ વિદ્યુતસ્થિતિમાન \(V_1 = 0\) અને \((-7, 0, 0)\) બિંદુએ વિદ્યુતસ્થિતિમાન \(V_2 = 0\).
એક પરીક્ષણ વિદ્યુતભાર \(q_0\) ને \((5, 0, 0)\) થી \((-7, 0, 0)\) સુધી લઈ જવામાં થતું કાર્ય \((W)\) નીચે મુજબ ગણાય છે:
\[W = q_0 (V_2 - V_1) = q_0 (0 - 0) = 0\]
કાર્ય શૂન્ય થશે. જો પરીક્ષણ વિદ્યુતભારનો માર્ગ x-અક્ષ પર ન હોત, તો પણ જવાબમાં કોઈ ફરક ન પડે, કારણ કે વિદ્યુતક્ષેત્ર સંરક્ષી હોય છે. સંરક્ષી વિદ્યુતક્ષેત્રમાં એક બિંદુથી બીજા બિંદુ સુધી વિદ્યુતભારને લઈ જવામાં થતું કાર્ય માત્ર પ્રારંભિક અને અંતિમ બિંદુઓ પર આધાર રાખે છે, માર્ગ પર નહીં.
In simple words: ડાયપોલના કારણે z-અક્ષ પર પોટેન્શિયલ અંતરના વર્ગના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં બદલાય છે, જ્યારે વિષુવવૃત્તીય સમતલ પર પોટેન્શિયલ શૂન્ય હોય છે. ચાર્જને એક બિંદુથી બીજા બિંદુ સુધી ખસેડવામાં આવેલું કાર્ય શૂન્ય હોય છે જો બંને બિંદુઓ સમાન પોટેન્શિયલ પર હોય. ઇલેક્ટ્રિક ફિલ્ડ સંરક્ષિત હોવાથી, માર્ગથી કોઈ ફરક પડતો નથી.

🎯 Exam Tip: ડાયપોલના કારણે વિદ્યુતક્ષેત્ર અને સ્થિતિમાનની ગણતરી કરતી વખતે, ડાયપોલની અક્ષ અને વિષુવવૃત્તીય સમતલ બંને પરના સૂત્રો યાદ રાખો. સંરક્ષી બળ માટે કાર્યની ગણતરીમાં માર્ગની સ્વતંત્રતાનો સિદ્ધાંત ઉપયોગી છે.

Question 22. આપેલ આકૃતિ વિધુત ચતુર્ધ્રુવી (Electric Quadrupole) તરીકે ઓળખાતી વિધુતભારોની ગોઠવણ દર્શાવે છે. ચતુર્ધ્રુવીની અક્ષ પરના બિંદુ માટે \(r/a >> 1\) માટે, સ્થિતિમાન \(V\) પર કેવી રીતે આધારિત છે તે દર્શાવતું સૂત્ર મેળવો અને વિધુત ડાયપોલ અને વિધુત મોનોપોલ (એટલે કે એકલ વિધુતભાર) માટેના આવા સૂવાથી તમારું પરિણામ કેવી રીતે જુદું પડે છે તે જણાવો.
Answer:

ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): આકૃતિ એક વિદ્યુત ચતુર્ધ્રુવીની ગોઠવણ દર્શાવે છે. તેમાં z-અક્ષ પર \(-q\), \(+2q\) અને \(-q\) વિદ્યુતભારો અનુક્રમે \((0,0,-a)\), \((0,0,0)\) અને \((0,0,a)\) પર મૂકેલા છે. P બિંદુ અક્ષ પર ઊગમબિંદુથી r અંતરે આવેલું છે, જ્યાં સ્થિતિમાનની ગણતરી કરવાની છે.
P બિંદુએ વિદ્યુતસ્થિતિમાન, દરેક વિદ્યુતભારના કારણે થતા સ્થિતિમાનનો સરવાળો છે:
\[V = k \left( \frac{-q}{r+a} + \frac{2q}{r} + \frac{-q}{r-a} \right)\]
\[V = k q \left( \frac{-1}{r+a} + \frac{2}{r} - \frac{1}{r-a} \right)\]
\[V = k q \left( \frac{-r(r-a) + 2(r^2-a^2) - r(r+a)}{r(r^2-a^2)} \right)\]
\[V = k q \left( \frac{-r^2+ra + 2r^2-2a^2 - r^2-ra}{r(r^2-a^2)} \right)\]
\[V = k q \left( \frac{-2a^2}{r(r^2-a^2)} \right) = \frac{-2k q a^2}{r(r^2-a^2)}\]
ચતુર્ધ્રુવી મોમેન્ટ \((Q_{quad})\) ને \(2qa^2\) તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
તેથી, \[V = \frac{-k Q_{quad}}{r(r^2-a^2)}\]
જો \(r >> a\) હોય, તો \(r^2\) ની સરખામણીમાં \(a^2\) ને અવગણી શકાય છે. તેથી, \(r^2 - a^2 \approx r^2\).
\[V \approx \frac{-k Q_{quad}}{r \cdot r^2} = \frac{-k Q_{quad}}{r^3}\]
આમ, વિદ્યુત ચતુર્ધ્રુવી માટે સ્થિતિમાન \(V \propto \frac{1}{r^3}\).
**વિદ્યુત મોનોપોલ (એકલ વિદ્યુતભાર) માટે:** \(V \propto \frac{1}{r}\)
**વિદ્યુત ડાયપોલ માટે:** \(V \propto \frac{1}{r^2}\)
**વિદ્યુત ચતુર્ધ્રુવી માટે:** \(V \propto \frac{1}{r^3}\)
આમ, વિદ્યુત ચતુર્ધ્રુવીનું સ્થિતિમાન અંતર સાથે ઝડપથી ઘટે છે, કારણ કે તેના વિદ્યુતભારોની ગોઠવણ એવી હોય છે કે કુલ વિદ્યુતભાર શૂન્ય છે અને કુલ ડાયપોલ મોમેન્ટ પણ શૂન્ય છે, જેથી ઉચ્ચ ક્રમનું પદ \((1/r^3)\) પ્રબળ બને છે.
In simple words: ચતુર્ધ્રુવીનું પોટેન્શિયલ અંતરના ઘનના વિપરિત પ્રમાણમાં બદલાય છે. એકલ ચાર્જ માટે તે અંતરના વિપરિત પ્રમાણમાં, જ્યારે ડાયપોલ માટે તે અંતરના વર્ગના વિપરિત પ્રમાણમાં હોય છે. ચતુર્ધ્રુવીમાં ચાર્જ એકબીજાને એ રીતે રદ કરે છે કે પોટેન્શિયલ ખૂબ ઝડપથી ઘટે છે.

🎯 Exam Tip: વિવિધ પ્રકારના વિદ્યુતભાર વિતરણો (મોનોપોલ, ડાયપોલ, ચતુર્ધ્રુવી) માટે વિદ્યુતસ્થિતિમાનની અંતર પરની આધારિતતા (પાવર નિયમ) યાદ રાખવું અગત્યનું છે. આ સૂત્રો મેળવવા માટે બિંદુવત્ વિદ્યુતભારોના સ્થિતિમાનનો સરવાળો કરો.

Question 23. એક ઇલેક્ટ્રિકલ ટેક્નિશિયનને એક પરિપથમાં \(1kV\) ને સમાંતર \(2\mu F\) ના કેપેસિટરોની જરૂર પડે છે. તેની પાસે \(1\mu F\) ના મોટી સંખ્યાના કેપેસિટરો પ્રાપ્ય છે જેઓ \(400\) વોલ્ટ કરતાં વધુ ન હોય તેવી સ્થિતિમાનનો તફાવત ખમી શકે છે. એવી શક્ય ગોઠવણ દર્શાવો કે જેમાં લઘુતમ સંખ્યાના કેપેસિટરોની જરૂર પડે. (ઑગસ્ટ – 2020)
Answer:
આપણી જરૂરિયાત છે: \(C_{eq} = 2\mu F\) અને મહત્તમ વોલ્ટેજ \(V_{eq} = 1kV = 1000V\).
આપણી પાસે ઉપલબ્ધ કેપેસિટરો: \(C = 1\mu F\), મહત્તમ વોલ્ટેજ ક્ષમતા \(V_{max} = 400V\).
પહેલાં, આપણે \(n\) કેપેસિટરોને શ્રેણીમાં જોડીએ છીએ જેથી તેઓ \(1000V\) નો વોલ્ટેજ ખમી શકે. શ્રેણી જોડાણમાં, દરેક કેપેસિટર પરનો વોલ્ટેજ સમાન હોય છે જો કેપેસિટન્સ સમાન હોય.
તેથી, શ્રેણીમાં જોડેલા \(n\) કેપેસિટરો માટે કુલ વોલ્ટેજ \(V_{eq} = n \times V_{max}\) હોવો જોઈએ.
\[1000V \le n \times 400V \implies n \ge \frac{1000}{400} \implies n \ge 2.5\]
કેપેસિટરોની સંખ્યા પૂર્ણાંક હોવી જોઈએ, તેથી ઓછામાં ઓછા \(n = 3\) કેપેસિટરોને શ્રેણીમાં જોડવા પડશે.
જ્યારે \(n=3\) કેપેસિટરો શ્રેણીમાં જોડાય છે, ત્યારે સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ \(C_s\) નીચે મુજબ મળે છે:
\[\frac{1}{C_s} = \frac{1}{C} + \frac{1}{C} + \frac{1}{C} = \frac{3}{C} \implies C_s = \frac{C}{3} = \frac{1\mu F}{3} = 0.333\mu F\]
હવે, આપણે આવા \(m\) શ્રેણી જોડાણોને સમાંતરમાં જોડીએ છીએ જેથી કુલ કેપેસિટન્સ \(2\mu F\) મળે. સમાંતર જોડાણમાં કુલ કેપેસિટન્સ એ દરેક હારના કેપેસિટન્સનો સરવાળો હોય છે.
\[C_{eq} = m \times C_s \implies 2\mu F = m \times 0.333\mu F\]
\[m = \frac{2}{0.333} \approx 6\]
આમ, આપણે \(m=6\) હાર બનાવવી પડશે, અને દરેક હારમાં \(n=3\) કેપેસિટરો શ્રેણીમાં હશે.
કુલ જરૂરી કેપેસિટરોની સંખ્યા \(N = m \times n = 6 \times 3 = 18\) કેપેસિટરો.

ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): આકૃતિ એક શક્ય ગોઠવણ દર્શાવે છે જ્યાં 6 હારમાં દરેક હારમાં 3 કેપેસિટરો (દરેક \(1\mu F\)) શ્રેણીમાં જોડાયેલા છે. આ ગોઠવણ કુલ \(2\mu F\) કેપેસિટન્સ અને \(1kV\) નો વોલ્ટેજ ખમી શકે છે. કુલ કેપેસિટરોની સંખ્યા 18 છે.
In simple words: આપણને \(1kV\) અને \(2\mu F\) કેપેસિટરની જરૂર છે, પરંતુ આપણી પાસે \(400V\) ક્ષમતાવાળા \(1\mu F\) કેપેસિટરો છે. આ માટે, પહેલા 3 કેપેસિટરોને શ્રેણીમાં જોડીએ છીએ જેથી તેઓ વધુ વોલ્ટેજ સહન કરી શકે. પછી, આવા 6 શ્રેણી જૂથોને સમાંતરમાં જોડીએ છીએ જેથી કુલ કેપેસિટન્સ \(2\mu F\) થાય. આ રીતે કુલ 18 કેપેસિટરોની જરૂર પડશે, જે ઓછામાં ઓછી સંખ્યા છે.

🎯 Exam Tip: શ્રેણી અને સમાંતર જોડાણના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીને કેપેસિટન્સ અને વોલ્ટેજ ક્ષમતાની ગણતરી કેવી રીતે કરવી તે સમજો. કેપેસિટરોની સંખ્યાને લઘુતમ કરવા માટે યોગ્ય ગોઠવણ પસંદ કરો.

Question 24. \(2\) Fના એક સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરની બે પ્લેટો વચ્ચેનું અંતર \(0.5\) cm આપેલ હોય તો તેની દરેક પ્લેટનું ક્ષેત્રફળ કેટલું હશે ? (તમારા જવાબ પરથી તમે સમજી શકશો કે સામાન્ય કેપેસિટરો શા માટે \(\mu F\) ના અથવા ઓછા ક્રમના હોય છે. આમ છતાં, ઇલેક્ટ્રોલીટિક કેપેસિટરોનાં મૂલ્યો, સુવાહકો વચ્ચે ખૂબ નાનું
Answer:
આપણને આપેલ છે:
કેપેસિટન્સ \(C = 2\) F
પ્લેટો વચ્ચેનું અંતર \(d = 0.5\) cm = \(0.5 \times 10^{-2}\) m
હવાની પરમિટિવિટી \(\varepsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12}\) C\(^2\)N\(^{-1}\)m\(^{-2}\)
સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટર માટે કેપેસિટન્સનું સૂત્ર છે: \[C = \frac{\varepsilon_0 A}{d}\]
આપણે પ્લેટનું ક્ષેત્રફળ \((A)\) શોધવાનું છે, તેથી સૂત્રને \((A)\) માટે ગોઠવીએ:
\[A = \frac{C d}{\varepsilon_0}\]
કિંમતો મૂકતાં:
\[A = \frac{2 \text{ F} \times 0.5 \times 10^{-2} \text{ m}}{8.85 \times 10^{-12} \text{ C}^2\text{N}^{-1}\text{m}^{-2}}\]
\[A = \frac{1 \times 10^{-2}}{8.85 \times 10^{-12}}\text{ m}^2\]
\[A \approx 0.113 \times 10^{10}\text{ m}^2 = 1.13 \times 10^9\text{ m}^2\]
જો આપણે આ ક્ષેત્રફળને ચોરસ મીટરથી કિલોમીટર સ્ક્વેરમાં રૂપાંતરિત કરીએ \((1 \text{ km}^2 = 10^6 \text{ m}^2)\):
\[A = \frac{1.13 \times 10^9}{10^6}\text{ km}^2 = 1.13 \times 10^3\text{ km}^2 = 1130\text{ km}^2\]
આ ક્ષેત્રફળ \(1130 \text{ km}^2\) ખૂબ મોટું છે. આ દર્શાવે છે કે \(2\) F નું કેપેસિટન્સ મેળવવા માટે ખૂબ જ મોટા પ્લેટના ક્ષેત્રફળની જરૂર પડે છે. આથી, સામાન્ય કેપેસિટરોનું મૂલ્ય \(\mu F\) (માઈક્રો ફેરાડ) અથવા તેનાથી પણ નાના ક્રમમાં હોય છે. ઇલેક્ટ્રોલાઇટિક કેપેસિટરોમાં બે સુવાહકો વચ્ચેનું અંતર ખૂબ નાનું હોવાથી (આશરે \(0.1\) F જેટલું) તેમનું કેપેસિટન્સ વધારે હોય છે.
In simple words: \(2\) ફેરાડ કેપેસિટર બનાવવા માટે ખૂબ મોટા પ્લેટના ક્ષેત્રફળની જરૂર પડે છે, જે વાસ્તવિકતામાં ખૂબ અઘરું છે. આથી, મોટાભાગના કેપેસિટરોનું મૂલ્ય માઈક્રોફેરાડ કે તેથી પણ ઓછું હોય છે, કારણ કે નાના ક્ષેત્રફળ સાથે મોટું કેપેસિટન્સ બનાવવું મુશ્કેલ છે.

🎯 Exam Tip: સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરના સૂત્ર \(C = \frac{\varepsilon_0 A}{d}\) નો ઉપયોગ કરીને કોઈપણ બે પરિમાણો આપેલા હોય ત્યારે ત્રીજું પરિમાણ શોધવું મહત્ત્વનું છે. ફેરાડ એકમની મોટી કિંમત માટે જરૂરી વિશાળ ક્ષેત્રફળની કલ્પના કરો.

Question 25. આકૃતિમાં દર્શાવેલ નેટવર્કનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ શોધો. \(300\) V ના સપ્લાય માટે દરેક કેપેસિટરને સમાંતરે વોલ્ટેજ અને તેના પરનો વિધુતભાર શોધો.
Answer:

ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): આ આકૃતિમાં 4 કેપેસિટરોનું નેટવર્ક દર્શાવવામાં આવ્યું છે. \(C_1\) અને \(C_4\) ની કિંમત \(100\) pF છે, જ્યારે \(C_2\) અને \(C_3\) ની કિંમત \(200\) pF છે. આ નેટવર્કને \(300\) V સપ્લાય સાથે જોડવામાં આવ્યું છે.
અહીં, \(C_1 = 100\) pF, \(C_2 = 200\) pF, \(C_3 = 200\) pF અને \(C_4 = 100\) pF છે. કુલ વોલ્ટેજ \(V = 300\) V છે.
પ્રથમ, \(C_2\) અને \(C_3\) શ્રેણીમાં જોડાયેલા છે. તેમનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ \(C_{23}\) નીચે મુજબ મળે છે:
\[\frac{1}{C_{23}} = \frac{1}{C_2} + \frac{1}{C_3} = \frac{1}{200\text{ pF}} + \frac{1}{200\text{ pF}} = \frac{2}{200\text{ pF}} = \frac{1}{100\text{ pF}}\]
\[C_{23} = 100\text{ pF}\]
હવે, \(C_1\) અને \(C_{23}\) સમાંતરમાં જોડાયેલા છે. તેમનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ \(C'\) નીચે મુજબ મળે છે:
\[C' = C_1 + C_{23} = 100\text{ pF} + 100\text{ pF} = 200\text{ pF}\]
અંતે, \(C'\) અને \(C_4\) શ્રેણીમાં જોડાયેલા છે. તેથી, નેટવર્કનું કુલ સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ \(C_{eq}\) નીચે મુજબ મળે છે:
\[\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{C'} + \frac{1}{C_4} = \frac{1}{200\text{ pF}} + \frac{1}{100\text{ pF}} = \frac{1+2}{200\text{ pF}} = \frac{3}{200\text{ pF}}\]
\[C_{eq} = \frac{200}{3}\text{ pF} \approx 66.67\text{ pF}\]
**દરેક કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર અને વોલ્ટેજ શોધવા:**
કુલ વિદ્યુતભાર \(Q_{total} = C_{eq} \times V = \frac{200}{3} \times 10^{-12}\text{ F} \times 300\text{ V} = 2 \times 10^{-8}\text{ C}\).
\(C'\) અને \(C_4\) શ્રેણીમાં હોવાથી, તેમના પરનો વિદ્યુતભાર સમાન હશે અને તે કુલ વિદ્યુતભાર જેટલો હશે.
\[Q_4 = Q' = Q_{total} = 2 \times 10^{-8}\text{ C}\]
\(C_4\) પરનો વોલ્ટેજ: \(V_4 = \frac{Q_4}{C_4} = \frac{2 \times 10^{-8}\text{ C}}{100 \times 10^{-12}\text{ F}} = 200\text{ V}\).
\(C'\) પરનો વોલ્ટેજ: \(V' = \frac{Q'}{C'} = \frac{2 \times 10^{-8}\text{ C}}{200 \times 10^{-12}\text{ F}} = 100\text{ V}\).
હવે, \(C_1\) અને \(C_{23}\) સમાંતરમાં છે અને તેમના પરનો વોલ્ટેજ \(V'\) જેટલો હશે, એટલે કે \(V_1 = V_{23} = 100\text{ V}\).
\(C_1\) પરનો વિદ્યુતભાર: \(Q_1 = C_1 V_1 = 100 \times 10^{-12}\text{ F} \times 100\text{ V} = 1 \times 10^{-8}\text{ C}\).
\(C_{23}\) શ્રેણીમાં હોવાથી, \(C_2\) અને \(C_3\) પરનો વિદ્યુતભાર સમાન હશે અને તે \(Q_{23}\) જેટલો હશે. \(Q_{23} = C_{23} V_{23} = 100 \times 10^{-12}\text{ F} \times 100\text{ V} = 1 \times 10^{-8}\text{ C}\).
\(C_2\) પરનો વિદ્યુતભાર: \(Q_2 = 1 \times 10^{-8}\text{ C}\).
\(C_3\) પરનો વિદ્યુતભાર: \(Q_3 = 1 \times 10^{-8}\text{ C}\).
\(C_2\) પરનો વોલ્ટેજ: \(V_2 = \frac{Q_2}{C_2} = \frac{1 \times 10^{-8}\text{ C}}{200 \times 10^{-12}\text{ F}} = 50\text{ V}\).
\(C_3\) પરનો વોલ્ટેજ: \(V_3 = \frac{Q_3}{C_3} = \frac{1 \times 10^{-8}\text{ C}}{200 \times 10^{-12}\text{ F}} = 50\text{ V}\).
**સારાંશ:**
\(C_{eq} = \frac{200}{3}\) pF
\(Q_1 = 1 \times 10^{-8}\) C, \(V_1 = 100\) V
\(Q_2 = 1 \times 10^{-8}\) C, \(V_2 = 50\) V
\(Q_3 = 1 \times 10^{-8}\) C, \(V_3 = 50\) V
\(Q_4 = 2 \times 10^{-8}\) C, \(V_4 = 200\) V
In simple words: પહેલાં, આપણે \(C_2\) અને \(C_3\) નું શ્રેણી જોડાણ શોધીએ. પછી, \(C_1\) અને તે શ્રેણી જોડાણને સમાંતરમાં જોડીએ. છેલ્લે, આખા જોડાણને \(C_4\) સાથે શ્રેણીમાં જોડીને કુલ કેપેસિટન્સ મેળવીએ. પછી, કુલ ચાર્જ અને વોલ્ટેજ શોધીને દરેક કેપેસિટર પરના ચાર્જ અને વોલ્ટેજ ગણી શકાય છે.

🎯 Exam Tip: આવા નેટવર્ક પ્રશ્નોમાં, શ્રેણી અને સમાંતર જોડાણના નિયમોનો યોગ્ય રીતે ઉપયોગ કરવો જરૂરી છે. દરેક પગલામાં સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ ગણો અને પછી કુલ વોલ્ટેજ અને ચાર્જનો ઉપયોગ કરીને વ્યક્તિગત કેપેસિટરો પરના ચાર્જ અને વોલ્ટેજ શોધો.

Question 26. એક સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરની દરેક પ્લેટનું ક્ષેત્રફળ 90 cm² અને બે પ્લેટ વચ્ચેનું અંતર 2.5 mm છે. કેપેસિટરને 400 V ના સપ્લાય સાથે જોડીને વિધુતભારિત કરવામાં આવે છે.

(a) કેપેસિટર વડે કેટલી સ્થિતવિધુતાઊર્જા સંગ્રહિત થયેલ છે ?
(b) આ ઊર્જાને બે પ્લેટ વચ્ચેના સ્થિતવિધુત ક્ષેત્રમાં સંગ્રહ પામેલી ગણો અને એકમ કદ દીઠ ઊર્જા u મેળવો. આ પરથી u અને વિધુતક્ષેત્રના માન E વચ્ચેનો સંબંધ મેળવો.
Answer:
(a) અહીં, ક્ષેત્રફળ \(A = 90 \text{ cm}^2 = 90 \times 10^{-4} \text{m}^2 = 9 \times 10^{-3} \text{ m}^2\) છે.
બે પ્લેટો વચ્ચેનું અંતર \(d = 2.5 \text{ mm} = 2.5 \times 10^{-3} \text{m}\) છે.
અને શૂન્ય અવકાશની પરમિટિવિટી \(\varepsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12} \text{Fm}^{-1}\) છે.
વોલ્ટેજ \(V = 400 \text{ V}\) છે.
સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ \(C = \frac{\varepsilon_0 \mathrm{~A}}{d}\) થશે.
\(C = \frac{8.85 \times 10^{-12} \times 9 \times 10^{-3}}{2.5 \times 10^{-3}}\)
\(C = 31.86 \times 10^{-12} \text{ F} = 31.86 \text{ pF}\) થશે.
કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત વિદ્યુત ઊર્જા \(U = \frac {1}{2}CV^2\) છે.
\(U = \frac {1}{2} \times 31.86 \times 10^{-12} \times (400)^2\)
\(U = 254.88 \times 10^{-8} \text{ J}\)
આમ, \(U = 2.55 \times 10^{-6} \text{ J} = 2.55 \text{ μJ}\) થશે.
(b) કેપેસિટરમાં એકમ કદ દીઠ ઊર્જા અથવા ઊર્જા ઘનતા \(\rho_E = u = \frac{U}{Ad}\) છે.
\(u = \frac{2.55 \times 10^{-6}}{9 \times 10^{-3} \times 2.5 \times 10^{-3}}\)
આમ, \(u = 0.113 \text{ Jm}^{-3}\) થશે.
\(\rho_E (u)\) અને \(E\) વચ્ચેનો સંબંધ મેળવવા માટે:
\(\rho_E = \frac{1}{2} C V^2 / Ad\)
\(\rho_E = \frac{1}{2} \frac{\varepsilon_0 A}{d} \frac{V^2}{Ad}\)
\(\rho_E = \frac{1}{2} \varepsilon_0 (\frac{V}{d})^2\)
આપણને ખબર છે કે વિદ્યુતક્ષેત્ર \(E = \frac{V}{d}\) છે.
આથી, \(\rho_E = \frac{1}{2} \varepsilon_0 E^2\) થાય.
In simple words: કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત ઊર્જા પ્લેટનું ક્ષેત્રફળ, અંતર અને વોલ્ટેજ પર આધાર રાખે છે. ઊર્જા ઘનતા એ વિદ્યુતક્ષેત્ર અને શૂન્ય અવકાશની પરમિટિવિટીના ગુણાકારના અડધા જેટલી હોય છે.

🎯 Exam Tip: કેપેસિટન્સ, ઊર્જા અને ઊર્જા ઘનતાના સૂત્રો યાદ રાખવા અને એકમોનું યોગ્ય રૂપાંતરણ કરવું ગણતરીમાં ભૂલ ટાળવામાં મદદ કરશે.

Question 27. 4μF ના એક કેપેસિટરને 200V સપ્લાય વડે વિધુતભારિત કરવામાં આવે છે. પછી તેને સપ્લાયથી જુદું પાડીને બીજા વિધુતભારિત ન હોય તેવા 2μF ના કેપેસિટર સાથે જોડવામાં આવે છે. પ્રથમ કેપેસિટરની કેટલી ઊર્જા ઉષ્મા અને વિદ્યુતચુંબકીય વિકિરણના રૂપમાં ગુમાવાય છે ?
Answer:
અહીં, \(C_1 = 4\mu\text{F}\), \(V_1 = 200\text{V}\) અને \(C_2 = 2\mu\text{F}\), \(V_2 = 0\text{V}\) છે.
4μF ના કેપેસિટરમાં શરૂઆતમાં સંગ્રહિત ઊર્જા \(U_i = \frac{1}{2} C_1 V_1^2\) છે.
\(U_i = \frac{1}{2} \times 4 \times 10^{-6} \times (200)^2\)
આમ, \(U_i = 8 \times 10^{-2}\text{ J}\) થશે.
4μF ના કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર \(Q = C_1 V_1\) છે.
\(Q = 4 \times 10^{-6} \times 200\)
આમ, \(Q = 8 \times 10^{-4}\text{ C}\) થશે.
જ્યારે 4μF અને 2μF ના કેપેસિટરોને જોડવામાં આવે ત્યારે તેમનું સામાન્ય સ્થિતિમાન \(V'\) નીચે મુજબ મળે:
\(V' = \frac{\text{કુલ વિદ્યુતભાર}}{\text{કુલ કેપેસિટન્સ}}\)
\(V' = \frac{Q_1 + Q_2}{C_1 + C_2} = \frac{8 \times 10^{-4} + 0}{(4+2) \times 10^{-6}}\)
\(V' = \frac{8 \times 10^{-4}}{6 \times 10^{-6}} = \frac{800}{6} = \frac{400}{3} \text{ V}\)
સંયોજનની અંતિમ સ્થિતિઊર્જા \(U_f = \frac{1}{2} (C_1 + C_2) V'^2\) છે.
\(U_f = \frac{1}{2} (4 + 2) \times 10^{-6} \times (\frac{400}{3})^2\)
\(U_f = \frac{1}{2} \times 6 \times 10^{-6} \times \frac{160000}{9}\)
\(U_f = \frac{16}{3} \times 10^{-2}\text{ J}\)
આમ, \(U_f = 5.33 \times 10^{-2}\text{ J}\) થશે.
4μF ના કેપેસિટરે ઉષ્મા રૂપે ગુમાવેલી ઊર્જા \(\Delta U = U_i - U_f\) છે.
\(\Delta U = (8 - 5.33) \times 10^{-2}\text{ J}\)
આમ, \(\Delta U = 2.67 \times 10^{-2}\text{ J}\) જેટલી ઊર્જા ગુમાવાઈ હશે.
In simple words: જ્યારે એક ચાર્જ થયેલ કેપેસિટરને બીજા અનચાર્જ કેપેસિટર સાથે જોડવામાં આવે છે, ત્યારે કુલ ઊર્જાનો કેટલોક ભાગ ગરમી અને પ્રકાશ રૂપે ગુમાવાય છે કારણ કે ચાર્જ પુનઃવિતરિત થાય છે.

🎯 Exam Tip: કેપેસિટરોને જોડતી વખતે ઊર્જા સંરક્ષણ અને વિદ્યુતભાર સંરક્ષણના નિયમોનો યોગ્ય રીતે ઉપયોગ કરવો મહત્વપૂર્ણ છે. ખાસ કરીને સામાન્ય સ્થિતિમાન અને ઊર્જા ગુમાવવાનું સૂત્ર યાદ રાખવું.

Question 28. દર્શાવો કે સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરની દરેક પ્લેટ પર લાગતા બળનું માન \(\frac{1}{2}\)QE છે. જ્યાં Q કેપેસિટર પરનો વિધુતભાર છે અને E પ્લેટો વચ્ચેના વિધુતક્ષેત્રનું માન છે. અહીં, અવયવ \(\frac{1}{2}\) કેવી રીતે આવે છે તે સમજાવો.
Answer:
ધારો કે, પ્લેટનું ક્ષેત્રફળ \(A\) છે અને વિદ્યુતભારની પૃષ્ઠ ઘનતા \(\sigma\) છે.
આપણને ખબર છે કે કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર \(Q = \sigma A\) છે.
પ્લેટો વચ્ચેનું વિદ્યુતક્ષેત્ર \(E = \frac{\sigma}{\varepsilon_0}\) છે.
જો કેપેસિટરની બે પ્લેટો વચ્ચેનું અંતર બળની વિરુદ્ધમાં \(\Delta x\) જેટલું વધારવામાં આવે તો બાહ્ય બળે કરેલું કાર્ય \(W = F \Delta x\) થાય.
જો કેપેસિટરની ઊર્જા ઘનતા \(\rho_E\) હોય, તો કેપેસિટરની સ્થિતિઊર્જા = ઊર્જા ઘનતા \( \times \) કદમાં વધારો થાય.
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય અનુસાર, \(W = \Delta U\) થાય.
આથી, \(F \Delta x = \rho_E (A \Delta x)\) થાય.
તેથી, \(F = \rho_E A\) થાય.
અને આપણે જાણીએ છીએ કે ઊર્જા ઘનતા \(\rho_E = \frac{1}{2} \varepsilon_0 E^2\) છે.
આથી, \(F = \frac{1}{2} \varepsilon_0 E^2 A\) થાય.
આ સમીકરણમાં \(E = \frac{\sigma}{\varepsilon_0} \implies \sigma = \varepsilon_0 E\) મૂકતાં,
\(F = \frac{1}{2} \varepsilon_0 E^2 A = \frac{1}{2} (\varepsilon_0 E) E A = \frac{1}{2} \sigma E A\) થાય.
કારણ કે \(Q = \sigma A\), તેથી \(F = \frac{1}{2} Q E\) થાય.
અહીં \(\frac{1}{2}\) પદ આવવાનું કારણ એ છે કે કેપેસિટરની અંદર વિદ્યુતક્ષેત્રમાં હોય છે અને તેની બહાર શૂન્ય હોય છે. તેથી બળ ઉત્પન્ન કરવા માટે સરેરાશ વિદ્યુતક્ષેત્ર \(\frac{E}{2}\) ભાગ ભજવે છે.
In simple words: કેપેસિટરની પ્લેટો એકબીજા પર બળ લગાવે છે. આ બળનું મૂલ્ય શોધવા માટે, આપણે ઊર્જા ઘનતા અને ક્ષેત્રફળનો ઉપયોગ કરીએ છીએ. \(\frac{1}{2}\) અવયવ આવે છે કારણ કે બળ સરેરાશ વિદ્યુતક્ષેત્ર દ્વારા લાગુ પડે છે, જે પ્લેટોની અંદરના કુલ ક્ષેત્રફળના અડધા જેટલું હોય છે.

🎯 Exam Tip: બળના આ સૂત્રની વ્યુત્પત્તિ સમજવી અને અવયવ \(\frac{1}{2}\) શા માટે આવે છે તે સ્પષ્ટ કરવું એ એક મહત્વનો ખ્યાલ છે. કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેયનો ઉપયોગ યાદ રાખવો.

Question 29. ગોળાકાર કેપેસિટરમાં બે સમકેન્દ્રીય ગોળાકાર સુવાહકોને યોગ્ય અવાહક ટેકાઓ વડે તેમના સ્થાનો પર પકડી રાખેલા હોય છે જે આકૃતિમાં દશવિલ છે. દર્શાવો કે ગોળાકાર કેપેસિટરા કેપેસિટન્સ \(C = \frac{4 \pi \varepsilon_0 r_1 r_2}{r_2-r_1}\) વડે અપાય છે. જ્યાં r₁ અને r2 અનુક્રમે બહારના અને અંદરના ગોળાઓની ત્રિજ્યાઓ છે.
Answer:
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): આકૃતિમાં બે સમકેન્દ્રીય ગોળાકાર કવચો દર્શાવેલ છે. અંદરની કવચ પર \(+Q\) વિદ્યુતભાર છે અને બહારની કવચ પર \(-Q\) વિદ્યુતભાર છે. બંને કવચો વચ્ચે વિદ્યુતક્ષેત્ર ત્રિજ્યાવર્તી દિશામાં બહારની તરફ છે.
ધારો કે, અંદરના કવચની ત્રિજ્યા \(r_1\) છે અને બહારના કવચની ત્રિજ્યા \(r_2\) છે. અંદરના કવચ પર \(+Q\) વિદ્યુતભાર છે અને બહારના કવચ પર \(-Q\) વિદ્યુતભાર છે.
સામાન્ય કેન્દ્ર \(O\) થી \(r\) અંતરે ગોળાકાર ગાઉસિયન પૃષ્ઠ વિચારો.
\(r < r_1\) હોય ત્યારે અંદરના કવચની અંદર વિદ્યુતક્ષેત્ર \(E = 0\) હોય.
\(r > r_2\) હોય ત્યારે બહારના કવચની બહાર પણ વિદ્યુતક્ષેત્ર \(E = 0\) હોય.
અંદરના કવચ પરના વિદ્યુતભારના લીધે બે કવચો વચ્ચેની જગ્યામાં ત્રિજ્યાવર્તી વિદ્યુતક્ષેત્ર હોય છે.
ગાઉસના પ્રમેય પરથી સામાન્ય કેન્દ્રથી \(r\) અંતરે કોઈ બિંદુ \(P\) પાસે વિદ્યુત ફ્લક્સ \(E_r S \cos 0^\circ = \frac{Q}{\varepsilon_0}\) થાય.
અહીં, \(S = 4\pi r^2\) (ગોળાનું ક્ષેત્રફળ) છે.
તેથી, \(E_r \times 4\pi r^2 = \frac{Q}{\varepsilon_0}\)
\(\implies E_r = \frac{Q}{4\pi \varepsilon_0 r^2}\)
બંને કવચો વચ્ચેનો સ્થિતિમાનનો તફાવત \(V = -\int_{r_2}^{r_1} E_r dr\) છે.
\(V = -\int_{r_2}^{r_1} \frac{Q}{4\pi \varepsilon_0 r^2} dr\)
\(V = -\frac{Q}{4\pi \varepsilon_0} \int_{r_2}^{r_1} r^{-2} dr\)
\(V = -\frac{Q}{4\pi \varepsilon_0} \left[ \frac{r^{-1}}{-1} \right]_{r_2}^{r_1}\)
\(V = \frac{Q}{4\pi \varepsilon_0} \left[ \frac{1}{r} \right]_{r_2}^{r_1}\)
\(V = \frac{Q}{4\pi \varepsilon_0} \left( \frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2} \right)\)
\(V = \frac{Q}{4\pi \varepsilon_0} \left( \frac{r_2 - r_1}{r_1 r_2} \right)\)
ગોળાકાર કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ \(C = \frac{Q}{V}\) છે.
\(C = \frac{Q}{\frac{Q}{4\pi \varepsilon_0} \left( \frac{r_2 - r_1}{r_1 r_2} \right)}\)
તેથી, \(C = \frac{4\pi \varepsilon_0 r_1 r_2}{r_2 - r_1}\) થાય છે.
In simple words: ગોળાકાર કેપેસિટરની કેપેસિટન્સની ગણતરી કરવા માટે, આપણે સૌ પ્રથમ પ્લેટો વચ્ચેના વિદ્યુતક્ષેત્રને ગાઉસના નિયમનો ઉપયોગ કરીને શોધીએ છીએ. પછી, આ વિદ્યુતક્ષેત્રનો ઉપયોગ કરીને સ્થિતિમાનનો તફાવત શોધીએ છીએ. અંતે, કેપેસિટન્સને વિદ્યુતભાર અને સ્થિતિમાનના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરીએ છીએ.

🎯 Exam Tip: ગોળાકાર કેપેસિટરના કેપેસિટન્સની વ્યુત્પત્તિ એ એક સામાન્ય પરીક્ષા પ્રશ્ન છે. ગાઉસનો નિયમ, સ્થિતિમાન અને વિદ્યુતક્ષેત્ર વચ્ચેનો સંબંધ અને કેપેસિટન્સની વ્યાખ્યાના સૂત્રો સ્પષ્ટ હોવા જોઈએ.

Question 30. એક ગોળાકાર કેપેસિટરના અંદરના ગોળાની ત્રિજ્યા 12 cm અને બહારના ગોળાની ત્રિજ્યા 13 cm છે. બહારના ગોળાનું અર્થિંગ (Earthing) કરી દીધેલું છે અને અંદરના ગોળા પર 2.5 μC વિધુતભાર આપેલ છે. બે સમકેન્દ્રીય ગોળાઓ વચ્ચેના અવકાશને ડાયઇલેક્ટ્રિક અચળાંક 32 ધરાવતા પ્રવાહી વડે ભરી દીધેલ છે.
(a) કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ શોધો.
(b) અંદરના ગોળાને સ્થિતિમાન કેટલું હશે ?
(c) આ કેપેસિટરના કેપેસિટન્સને 12 cm ત્રિજ્યાના અલગ કરેલા ગોળાના કેપેસિટન્સ સાથે સરખાવો. અલગ ગોળા માટેનું મૂલ્ય ખૂબ નાનું કેમ છે તે સમજાવો.
Answer:
અહીં, અંદરના ગોળાની ત્રિજ્યા \(r_1 = 12 \text{ cm} = 12 \times 10^{-2}\text{ m}\) છે.
બહારના ગોળાની ત્રિજ્યા \(r_2 = 13 \text{ cm} = 13 \times 10^{-2}\text{ m}\) છે.
આપેલ વિદ્યુતભાર \(q = 2.5 \mu\text{C} = 2.5 \times 10^{-6}\text{ C}\) છે.
ડાયઇલેક્ટ્રિક અચળાંક \(K = 32\) છે.
(a) ગોળાકાર કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ \(C = \frac{4\pi \varepsilon_0 K r_1 r_2}{r_2 - r_1}\) છે.
આપણને ખબર છે કે \(\frac{1}{4\pi \varepsilon_0} = k = 9 \times 10^9 \text{ Nm}^2\text{C}^{-2}\) છે.
તેથી, \(4\pi \varepsilon_0 = \frac{1}{k} = \frac{1}{9 \times 10^9}\) થાય.
\(C = \frac{1}{9 \times 10^9} \times \frac{32 \times (12 \times 10^{-2}) \times (13 \times 10^{-2})}{(13 \times 10^{-2} - 12 \times 10^{-2})}\)
\(C = \frac{32 \times 12 \times 13 \times 10^{-4}}{9 \times 10^9 \times 1 \times 10^{-2}}\)
\(C = \frac{4992 \times 10^{-4}}{9 \times 10^7}\)
\(C = 554.6 \times 10^{-11} \text{ F}\)
આમ, \(C = 5.5 \times 10^{-9}\text{ F}\) (અથવા 5.5 nF) થશે.
(b) અંદરના કવચ પરનું સ્થિતિમાન \(V = \frac{q}{C}\) છે.
\(V = \frac{2.5 \times 10^{-6}}{5.5 \times 10^{-9}}\)
\(V = 0.45 \times 10^3 \text{ V}\)
આમ, \(V = 4.5 \times 10^2\text{ V}\) થશે.
(c) અલગ રહેલા 12 cm ગોળાનું કેપેસિટન્સ \(C_{\text{single}} = 4\pi \varepsilon_0 R\) છે.
\(C_{\text{single}} = \frac{R}{k} = \frac{12 \times 10^{-2}}{9 \times 10^9}\)
આમ, \(C_{\text{single}} = 1.3 \times 10^{-11}\text{ F}\) થશે.
જ્યારે ગોળાનું અર્થિંગ કરેલું હોય અને તેની નજીકમાં બીજો વિદ્યુતભારિત ગોળો મૂકો, ત્યારે તેનું કેપેસિટન્સ વધે છે અને બે વાહક (ગોળાઓ) કેપેસિટર રચે છે. જ્યારે અલગ ગોળાનું કેપેસિટન્સ, કેપેસિટરના કેપેસિટન્સની સરખામણીમાં ઘણું નાનું હોય છે.
In simple words: ગોળાકાર કેપેસિટરની ગણતરી ત્રિજ્યાઓ અને ડાયઇલેક્ટ્રિક અચળાંકના આધારે થાય છે. જો એક ગોળો અલગ હોય, તો તેનું કેપેસિટન્સ ઘણું ઓછું હોય છે, પરંતુ જ્યારે તેને અર્થિંગ કરેલા બીજા ગોળા વડે ઘેરાયેલ હોય, ત્યારે તેનું કેપેસિટન્સ નોંધપાત્ર રીતે વધી જાય છે.

🎯 Exam Tip: ગોળાકાર કેપેસિટરના સૂત્રમાં \(\varepsilon_0\) ને બદલે \(\frac{1}{4\pi k}\) નો ઉપયોગ ગણતરી સરળ બનાવશે. અલગ ગોળાના કેપેસિટન્સની તુલના ખાસ કરીને "શા માટે" ભાગ માટે મહત્વની છે.

Question 31. કાળજીપૂર્વક ઉત્તર આપો :
(a) બે મોટા \(Q_1\) અને \(Q_2\) વિધુતભાર ધરાવતા સુવાહક ગોળાઓ એકબીજાની નજીક લાવવામાં આવે છે. તેમની વચ્ચેનું સ્થિતવિધુત સંયોજન \(\frac{Q_1 Q_2}{4 \pi \varepsilon_0 r^2}\) વડે અપાય છે, જ્યાં \(r\) તેમનાં કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર છે ?
Answer: ના. જ્યારે વિદ્યુતભારિત બે ગોળાઓને એકબીજાની નજીક લાવવામાં આવે છે ત્યારે વિદ્યુતપ્રેરણના લીધે ગોળા પરનો વિદ્યુતભાર નિયમિત રીતે વિતરીત થયેલો નથી હોતો. તેથી તેઓ બિંદુવત્ વિદ્યુતભાર તરીકે વર્તી શકતા નથી, જે કુલંબના નિયમની આવશ્યક શરત છે.
In simple words: ના, કારણ કે કુલંબનો નિયમ ફક્ત બિંદુવત્ વિદ્યુતભારો માટે જ સાચો છે. નજીક લાવેલા મોટા ગોળાઓ પર વિદ્યુતભાર સરખી રીતે વહેંચાયેલ નથી હોતો.

🎯 Exam Tip: કુલંબના નિયમની મર્યાદાઓ અને તેની લાગુ પડતી શરતો યાદ રાખવી, ખાસ કરીને બિંદુવત્ વિદ્યુતભારની ધારણા.

(b) જો કુલંબનો નિયમ (\(\frac{1}{r^2}\) ને બદલે) \(\frac{1}{r^3}\) પર આધાર રાખતો હોય તો ગોસનો નિયમ સાચો રહેત ?
Answer: ના, જો કુલંબનો નિયમ \(\frac{1}{r^3}\) પર આધાર રાખતો હોત તો ગોસનો નિયમ સાચો ન રહેત. ગોસનો નિયમ ફક્ત \(\frac{1}{r^2}\) આધારિત બળ માટે જ માન્ય છે.
In simple words: ના, ગોસનો નિયમ ફક્ત ત્યારે જ કામ કરે છે જ્યારે વિદ્યુતક્ષેત્ર અંતરના વર્ગના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં ઘટે. જો તે અંતરના ઘનના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં ઘટે, તો ગોસનો નિયમ લાગુ ન પડે.

🎯 Exam Tip: ગોસનો નિયમ કુલંબના નિયમ પર આધારિત છે. ખાસ કરીને, તે વિદ્યુતક્ષેત્રની \(\frac{1}{r^2}\) અવલંબન પર નિર્ભર કરે છે. આ મૂળભૂત સંબંધ સ્પષ્ટ હોવો જોઈએ.

(c) એક સ્થિત વિધુતક્ષેત્ર સંરચનામાં એક નાના પરીક્ષણ વિધુતભારને સ્થિર સ્થિતિમાંથી મુક્ત કરવામાં આવે છે. તે વિધુતભાર, તે બિંદુમાંથી પસાર થતી ક્ષેત્ર રેખા પર ગતિ કરવા લાગશે ?
Answer: ના, હંમેશાં જરૂરી નથી. પરીક્ષણ વિદ્યુતભાર એ બળરેખા પર ત્યારે જ ગતિ કરે જો બળરેખા સુરેખ હોય. બળ રેખાઓ એ પ્રવેગની દિશા આપે છે પણ તે વેગની દિશા આપતી નથી.
In simple words: ના, વિદ્યુતભાર હંમેશાં વિદ્યુતક્ષેત્ર રેખા સાથે ગતિ કરતો નથી. વિદ્યુતક્ષેત્ર રેખા ફક્ત બળની દિશા દર્શાવે છે, વેગની દિશા નહીં.

🎯 Exam Tip: વિદ્યુતક્ષેત્ર રેખાઓ અને ગતિમાન વિદ્યુતભાર વચ્ચેનો સંબંધ સમજો. બળની દિશા અને ગતિની દિશા હંમેશાં એકસરખી હોતી નથી.

(d) ન્યુક્લિયસના ક્ષેત્ર વડે ઇલેક્ટ્રૉનની કક્ષા લંબવૃત્તિય (Elliptical) હોય તો શું ? દરમિયાન કેટલું કાર્ય થયું હશે ? જો કક્ષા શૂન્ય.
Answer: જો ઇલેક્ટ્રૉનની કક્ષા લંબવૃત્તિય હોય તો કક્ષા પરના જ એક બિંદુથી બીજા બિંદુએ જવા કાર્ય થાય, પરંતુ પૂર્ણ ચક્ર દરમિયાન કાર્ય શૂન્ય થાય. આમ પૂર્ણ કક્ષાનો આકાર કોઈ પણ હોય તો કોઈ ફેર પડતો નથી.
In simple words: સ્થિત વિદ્યુતક્ષેત્રમાં, ઇલેક્ટ્રોનની બંધ કક્ષામાં એક પૂર્ણ ચક્ર માટે કુલ કાર્ય હંમેશાં શૂન્ય હોય છે, ભલે કક્ષાનો આકાર કોઈ પણ હોય.

🎯 Exam Tip: સંરક્ષક બળો (જેમ કે સ્થિત વિદ્યુતબળ) દ્વારા બંધ પથમાં થતું કાર્ય હંમેશાં શૂન્ય હોય છે. આ ખ્યાલ યાદ રાખવો.

(e) આપણે જાણીએ છીએ કે વિધુતભારિત સુવાહકની સપાટીની આરપાર (Across) વિધુતક્ષેત્ર અસતત હોય છે. શું ત્યાં વિધુત સ્થિતિમાન પણ અસતત હોય છે ?
Answer: ના, સ્થિતિમાન અદિશ રાશિ હોવાથી દરેક સ્થાને અચળ હોય છે અને સતત હોય છે.
In simple words: ના, વિદ્યુત સ્થિતિમાન સુવાહકની સપાટી પર સતત હોય છે, ભલે વિદ્યુતક્ષેત્ર અસતત હોય.

🎯 Exam Tip: વિદ્યુતક્ષેત્ર સદિશ રાશિ છે અને સ્થિતિમાન અદિશ રાશિ છે. સુવાહકની સપાટી પર વિદ્યુતક્ષેત્ર અસતત હોય શકે, પરંતુ સ્થિતિમાન હંમેશાં સતત હોય છે.

(f) એકલ (એકાકી, single) સુવાહકના કેપેસિટન્સનો તમે શું અર્થ કરશો ?
Answer: એકલ સુવાહકના કેપેસિટન્સની બીજી પ્લેટ અનંત અંતરે ધારવામાં આવે છે. તેથી તે કેપેસિટરની રચના કરે છે અને કેપેસિટન્સ ધરાવે છે.
In simple words: એકલ સુવાહકનું કેપેસિટન્સ એટલે કે, તેની બીજી પ્લેટ અનંત પર હોવાનું માનવામાં આવે છે.

🎯 Exam Tip: કેપેસિટરની વ્યાખ્યા અને તેની રચના યાદ રાખવી, ખાસ કરીને જ્યારે એકલ સુવાહકની વાત આવે.

(g) પાણીનો ડાયઇલેક્ટ્રિક અચળાંક (= 80) માઈકા (= 6) કરતાં ઘણો મોટો હોવાના શક્ય કારણનું અનુમાન કરો.
Answer: કારણ કે, પાણીની મુક્ત સપાટી વક્ર હોય છે અને બે પ્રબળ ધ્રુવીય O-H બંધોની હાજરીને લીધે પાણીના અણુઓ \(0.6 \times 10^{-29} \text{ Cm}\) જેટલી ઊંચી કાયમી ડાયપોલ મોમેન્ટ ધરાવે છે. તેથી પાણીનો ડાયઇલેક્ટ્રિક અચળાંક મોટો હોય છે.
In simple words: પાણીનો ડાયઇલેક્ટ્રિક અચળાંક વધારે છે કારણ કે તેના અણુઓ મજબૂત વિદ્યુત ડાયપોલ મોમેન્ટ ધરાવે છે.

🎯 Exam Tip: ડાયઇલેક્ટ્રિક અચળાંક અને અણુઓની ધ્રુવીયતા વચ્ચેનો સંબંધ સમજવો. પાણી જેવા ધ્રુવીય અણુઓ ઉચ્ચ ડાયઇલેક્ટ્રિક અચળાંક ધરાવે છે.

Question 32. એક નળાકાર કેપેસિટરમાં બે સમ-અક્ષીય નળાકારોની લંબાઈ 15 cm અને ત્રિજ્યાઓ 1.5 cm અને 1.4 cm છે. બહારના નળાકારનું અર્થિંગ કરી દીધેલું છે અને અંદરના નળાકાર પર 3.5 μC વિધુતભાર આપેલો છે. આ તંત્રનું કેપેસિટન્સ શોધો અને અંદરના નળાકારનું સ્થિતિમાન શોધો. છેડા પરની અસરો (એટલે કે છેડા પર ક્ષેત્ર રેખાઓનું વળવું)ને અવગણો.
Answer:
અહીં, નળાકાર કેપેસિટરની લંબાઈ \(L = 15 \text{ cm} = 0.15 \text{ m}\) છે.
અંદરના નળાકાર પરનો વિદ્યુતભાર \(q = 3.5 \mu\text{C} = 3.5 \times 10^{-6}\text{ C}\) છે.
અંદરની ત્રિજ્યા \(r_1 = 1.4 \text{ cm} = 0.014 \text{ m}\) છે.
બહારની ત્રિજ્યા \(r_2 = 1.5 \text{ cm} = 0.015 \text{ m}\) છે.
નળાકારીય કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ \(C = \frac{2\pi \varepsilon_0 L}{\ln (r_2/r_1)}\) છે.
આપણને ખબર છે કે \(\frac{1}{4\pi \varepsilon_0} = k = 9 \times 10^9 \text{ Nm}^2\text{C}^{-2}\) છે.
તેથી, \(2\pi \varepsilon_0 = \frac{1}{2k}\) થાય.
\(C = \frac{0.15}{2 \times 9 \times 10^9 \times \ln (0.015/0.014)}\)
\(\ln (0.015/0.014) = \ln(1.0714) \approx 0.0689\)
\(C = \frac{0.15}{18 \times 10^9 \times 0.0689}\)
\(C = \frac{0.15}{1.2402 \times 10^9}\)
\(C = 0.1209 \times 10^{-9}\text{ F}\)
આમ, \(C = 1.2 \times 10^{-10}\text{ F}\) થશે.
અંદરના નળાકારનું સ્થિતિમાન \(V = \frac{q}{C}\) છે.
\(V = \frac{3.5 \times 10^{-6}}{1.2 \times 10^{-10}}\)
આમ, \(V = 2.9 \times 10^4\text{ V}\) થશે.
In simple words: નળાકાર કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ તેની લંબાઈ, ત્રિજ્યાઓ અને લઘુગણક પર આધાર રાખે છે. એકવાર કેપેસિટન્સ મળી જાય, પછી વિદ્યુતભાર અને કેપેસિટન્સનો ઉપયોગ કરીને સ્થિતિમાન શોધી શકાય છે.

🎯 Exam Tip: નળાકાર કેપેસિટર માટેના કેપેસિટન્સના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતી વખતે લઘુગણકના આધાર (નેચરલ લૉગ) અને ત્રિજ્યાના ગુણોત્તર પર ધ્યાન આપો. એકમ રૂપાંતરણ કાળજીપૂર્વક કરવું.

Question 33. ડાયઇલેક્ટ્રિક અચળાંક 3 અને ડાયઈલેક્ટ્રિક સ્ટ્રેન્થ લગભગ \(10^7 \text{ Vm}^{-1}\) ધરાવતા દ્રવ્યની મદદથી 1V રેટિંગ ધરાવતા એક સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરની રચના કરવાની છે. [ડાયઇલેકિટ્રક સ્ટ્રેન્થ એ દ્રવ્ય દ્વારા બ્રેક-ડાઉન પામ્યા વિના (આંશિક આયનીકરણ દ્વારા વિધુતનું વહન શરૂ થયા વિના) સહન કરી શકાતું મહત્તમ વિધુતક્ષેત્ર છે.] સલામતી માટે ડાયઇલેક્ટ્રિક સ્ટ્રેન્થના 10 % કરતાં ક્ષેત્ર કદી વધે નહીં તે ઇચ્છનીય છે. 50 pF નું કેપેસિટન્સ મેળવવા માટે પ્લેટોનું લઘુતમ ક્ષેત્રફળ કેટલું હોવું જરૂરી છે ?
Answer:
અહીં, ડાયઇલેક્ટ્રિક અચળાંક \(K = 3\) છે.
ડાયઇલેક્ટ્રિક સ્ટ્રેન્થ \(E_{\text{max}} = 10^7 \text{ Vm}^{-1}\) છે.
કેપેસિટર રેટિંગ વોલ્ટેજ \(V = 1 \text{ kV} = 10^3\text{ V}\) છે.
અપેક્ષિત કેપેસિટન્સ \(C = 50 \text{ pF} = 50 \times 10^{-12}\text{ F}\) છે.
સલામતી માટે મહત્તમ સ્વીકાર્ય વિદ્યુતક્ષેત્ર \(E = 10\%\) ઓફ ડાયઇલેક્ટ્રિક સ્ટ્રેન્થ.
\(E = \frac{10}{100} \times 10^7 = 10^6 \text{ Vm}^{-1}\)
બે પ્લેટો વચ્ચેનું જરૂરી લઘુતમ અંતર \(d = \frac{V}{E}\) છે.
\(d = \frac{10^3}{10^6} = 10^{-3}\text{ m}\)
સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ \(C = \frac{K \varepsilon_0 A}{d}\) છે.
તેથી, પ્લેટોનું લઘુતમ ક્ષેત્રફળ \(A = \frac{C d}{K \varepsilon_0}\) થાય.
\(A = \frac{50 \times 10^{-12} \times 10^{-3}}{3 \times 8.85 \times 10^{-12}}\)
\(A = \frac{50 \times 10^{-15}}{26.55 \times 10^{-12}}\)
\(A = 1.883 \times 10^{-3} \text{ m}^2\)
આમ, \(A \approx 18.8 \times 10^{-4} \text{ m}^2\) અથવા \(A \approx 19 \text{ cm}^2\) થશે.
In simple words: કેપેસિટર બનાવવા માટે, આપણે ડાયઇલેક્ટ્રિકની મર્યાદાઓ ધ્યાનમાં લેવી જોઈએ. વોલ્ટેજ અને ડાયઇલેક્ટ્રિક સ્ટ્રેન્થ પરથી પ્લેટો વચ્ચેનું લઘુતમ અંતર મળે છે, અને પછી કેપેસિટન્સ અને અંતર પરથી પ્લેટનું જરૂરી લઘુતમ ક્ષેત્રફળ શોધી શકાય છે.

🎯 Exam Tip: કેપેસિટર ડિઝાઇન કરતી વખતે ડાયઇલેક્ટ્રિક સ્ટ્રેન્થનું મહત્વ અને સલામતી માર્જિન ધ્યાનમાં લેવું. સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતી વખતે એકમોનું યોગ્ય રૂપાંતરણ કરવું આવશ્યક છે.

Question 34. નીચેના કિસ્સાઓ માટે સમસ્થિતિમાન પૃષ્ઠો રેખાકૃતિ દ્વારા દર્શાવો. છે
(a) z-દિશામાં અચળ વિધુતક્ષેત્ર.
Answer:
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): આકૃતિમાં z-અક્ષ પર અચળ વિદ્યુતક્ષેત્ર દર્શાવેલું છે. આ સ્થિતિમાં, સમસ્થિતિમાન સપાટીઓ xy-સમતલને સમાંતર સમતલ હોય છે, જે એકબીજાથી સમાન અંતરે હોય છે.
વિદ્યુતક્ષેત્રની દિશા સમસ્થિતિમાન પૃષ્ઠને લંબ હોય છે અને અહીં વિદ્યુતક્ષેત્ર z-દિશામાં છે. તેથી, સમસ્થિતિમાન પૃષ્ઠો xy-સમતલને સમાંતર સમતલ હોય છે.
In simple words: જો વિદ્યુતક્ષેત્ર એક જ દિશામાં સતત હોય, તો સમાન વિદ્યુત સ્થિતિમાન ધરાવતી સપાટીઓ તે દિશાને લંબ હોય છે, જેમ કે z-દિશામાં વિદ્યુતક્ષેત્ર હોય તો xy-સમતલને સમાંતર સપાટીઓ સમસ્થિતિમાન હોય.

🎯 Exam Tip: સમસ્થિતિમાન પૃષ્ઠો હંમેશાં વિદ્યુતક્ષેત્ર રેખાઓને લંબ હોય છે. આ મૂળભૂત ખ્યાલને સમજવો અને વિવિધ વિદ્યુતક્ષેત્રો માટે તેની કલ્પના કરવી મહત્વપૂર્ણ છે.

(b) z-દિશામાં વિદ્યુતક્ષેત્ર સતત વધતું હોય પણ તેની દિશા અચળ હોય.
Answer:
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): આકૃતિમાં z-દિશામાં વધતું વિદ્યુતક્ષેત્ર દર્શાવેલું છે. આ કિસ્સામાં પણ સમસ્થિતિમાન સપાટીઓ xy-સમતલને સમાંતર હોય છે, પરંતુ જેમ જેમ વિદ્યુતક્ષેત્ર વધે તેમ તેમ આ સપાટીઓ એકબીજાની નજીક આવતી જાય છે.
અહીં પણ સમસ્થિતિમાન પૃષ્ઠો xy-સમતલને સમાંતર z-દિશામાં હશે, પરંતુ જેમ જેમ વિદ્યુતક્ષેત્ર વધે તેમ તેમ આ સમસ્થિતિમાન પૃષ્ઠો નજીક આવશે.
In simple words: જો વિદ્યુતક્ષેત્ર વધતું હોય, તો સમાન વિદ્યુત સ્થિતિમાન ધરાવતી સપાટીઓ પણ એકબીજાની નજીક આવતી જાય છે.

🎯 Exam Tip: વિદ્યુતક્ષેત્રની તીવ્રતા જ્યાં વધારે હોય ત્યાં સમસ્થિતિમાન પૃષ્ઠો વધુ નજીક હોય છે. આ સંબંધ યાદ રાખવો.

(c) ઊગમબિંદુએ એકલ ધન વિધુતભાર.
Answer:
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): આકૃતિમાં ઊગમબિંદુ પર એકલ ધન વિદ્યુતભાર દર્શાવેલો છે. આ કિસ્સામાં સમસ્થિતિમાન પૃષ્ઠો કેન્દ્રીય ગોળાકાર સપાટીઓ હોય છે, જે વિદ્યુતભારથી સમાન અંતરે હોય છે.
ઊગમબિંદુ પર એકલ ધન વિદ્યુતભાર મૂકેલો હોય તો તેના સમસ્થિતિમાન પૃષ્ઠો સમકેન્દ્રીય ગોળાઓ થશે. બે ક્રમિક પૃષ્ઠો વચ્ચેના અંતરો સમાન હોય છે અને કેન્દ્રથી અંતર વધતાં વિદ્યુત સ્થિતિમાન અચળ રીતે ઘટે.
In simple words: એકલ ધન વિદ્યુતભાર માટે, સમાન વિદ્યુત સ્થિતિમાન ધરાવતી સપાટીઓ કેન્દ્રીય ગોળાઓ હોય છે.

🎯 Exam Tip: બિંદુવત્ વિદ્યુતભાર માટે સમસ્થિતિમાન પૃષ્ઠો હંમેશાં ગોળાકાર હોય છે. આ પૃષ્ઠો વિદ્યુતભારથી દૂર જતાં એકબીજાથી દૂર થતા જાય છે.

(d) સમતલમાં સમાંતર અને સમાન અંતરે રહેલા લાંબા વિધુતભારિત તારથી બનેલ નિયમિત જાળી.
Answer:
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): આકૃતિમાં સમાંતર અને સમાન અંતરે રહેલા લાંબા વિદ્યુતભારિત તારોની જાળી દર્શાવેલી છે. જાળીની નજીકમાં સમસ્થિતિમાન પૃષ્ઠો તારની આસપાસના અનિયમિત આકારના હોય છે. જોકે, અનંત અંતરે, આ પૃષ્ઠો જાળીને સમાંતર સમતલ આકારના બની જાય છે.
સમતલમાં સમાંતર અને સમાન અંતરે રહેલા લાંબા વિદ્યુતભારિત તારથી બનેલ નિયમિત જાળીના સમસ્થિતિમાન પૃષ્ઠો જાળીની નજીકમાં બદલાતાં હોય છે, પણ અનંત અંતરે સમસ્થિતિમાન પૃષ્ઠો જાળીને સમાંતર સમતલ આકારના હશે.
In simple words: લાંબા વિદ્યુતભારિત તારોની જાળી માટે, સમસ્થિતિમાન સપાટીઓ તારની નજીક જટિલ હોય છે, પરંતુ દૂર જતાં તે જાળીને સમાંતર સમતલ બની જાય છે.

🎯 Exam Tip: જાળી જેવી જટિલ રચનાઓ માટે સમસ્થિતિમાન પૃષ્ઠો સ્થાનિક રીતે અનિયમિત હોઈ શકે છે, પરંતુ મોટા અંતરે તે નિયમિત આકાર ધારણ કરે છે.

Question 35. \(r_1\) ત્રિજ્યા અને વિધુતભાર \(q_1\) ધરાવતો એક નાનો ગોળો \(r_2\) ત્રિજ્યા અને \(q_2\) વવિધુતભાર ધરાવતી એક ગોળાકાર કવચ વડે ઘેરાયેલ છે. દર્શાવો કે જો \(q_1\) ધન હોય તો (જ્યારે તે બંનેને તાર વડે જોડેલા હોય), કવચ પર કોઈ પણ વિધુતભાર \(q_2\) હોય તો પણ વિધુતભાર ગોળાથી કવચ પર વહન પામશે જ.
Answer:
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): આકૃતિમાં એક નાનો ગોળો \(r_1\) ત્રિજ્યાનો છે અને \(r_2\) ત્રિજ્યાની ગોળાકાર કવચ વડે ઘેરાયેલો છે. નાના ગોળા પર \(q_1\) વિદ્યુતભાર છે અને કવચ પર \(q_2\) વિદ્યુતભાર છે. બંને એકબીજા સાથે કેન્દ્રીય રીતે ગોઠવાયેલા છે.
અહીં, \(r_1\) ત્રિજ્યા અને \(q_1\) વિદ્યુતભારવાળો નાનો ગોળો \(r_2\) ત્રિજ્યા અને \(q_2\) વિદ્યુતભારવાળી ગોળાકાર કવચમાં તેમના કેન્દ્રો સંપાત થાય તે રીતે મૂકેલો છે.
બંને ગોળાકાર સુવાહકોને એક તાર વડે જોડવામાં આવે ત્યારે તેમના સ્થિતિમાન સમાન થાય છે, એટલે કે \(V_1 = V_2\) થાય.
બહારની ગોળાકાર કવચની સપાટી પર કુલ સ્થિતિમાન \(V_2 = \frac{k q_2}{r_2} + \frac{k q_1}{r_2}\) થાય.
અંદરના ગોળા પરના \(q_1\) વિદ્યુતભારના લીધે સ્થિતિમાન \(V_1 = \frac{k q_1}{r_1}\) છે.
કવચ પરના \(q_2\) વિદ્યુતભારના લીધે અંદરના ગોળા પર સ્થિતિમાન \(V_2 = \frac{k q_2}{r_2}\) છે.
તેથી, \(r_1\) ત્રિજ્યાના ગોળા પર કુલ સ્થિતિમાન \(V_1 = \frac{k q_1}{r_1} + \frac{k q_2}{r_2}\) થાય.
અને \(r_2\) ત્રિજ્યાના કવચ પર કુલ સ્થિતિમાન \(V_2 = \frac{k q_1}{r_2} + \frac{k q_2}{r_2}\) થાય.
સ્થિતિમાનનો તફાવત \(V_1 - V_2 = \left( \frac{k q_1}{r_1} + \frac{k q_2}{r_2} \right) - \left( \frac{k q_1}{r_2} + \frac{k q_2}{r_2} \right)\)
\(V_1 - V_2 = k q_1 \left( \frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2} \right)\)
\(V_1 - V_2 = k q_1 \left( \frac{r_2 - r_1}{r_1 r_2} \right)\)
જો \(q_1\) ધન વિદ્યુતભાર હોય, તો \(V_1 - V_2 > 0\) થાય, એટલે કે \(V_1 > V_2\) થાય.
આમ, અંદરના ગોળા પરનું સ્થિતિમાન હંમેશાં ઊંચું હોય છે અને કવચની બહારનું સ્થિતિમાન નીચું હોય છે.
જો બંનેને વાહક તારથી જોડવામાં આવે, તો વધારાનો વિદ્યુતભાર (જો \(q_1\) ધન હોય) હંમેશાં ગોળાથી કવચ પર વહન પામશે.
In simple words: જ્યારે એક નાનો ચાર્જ થયેલ ગોળો મોટા ચાર્જ થયેલ કવચની અંદર હોય અને બંનેને વાહક તારથી જોડવામાં આવે, ત્યારે ચાર્જ હંમેશાં અંદરના ગોળાથી બહારના કવચ તરફ જાય છે. આ એટલા માટે થાય છે કે અંદરના ગોળાનું વિદ્યુત સ્થિતિમાન હંમેશાં વધારે હોય છે.

🎯 Exam Tip: ગોળાકાર સુવાહકોમાં ચાર્જનું પુનઃવિતરણ એ ગોળાના કદ અને ચાર્જ પર આધાર રાખે છે. સંરક્ષણના નિયમો અને સ્થિતિમાનનો ખ્યાલ અહીં મુખ્ય છે.

Question 36. નીચેનાના જવાબ આપો :
(a) પૃથ્વીની સપાટીથી ઊંચાઈ સાથે ઘટતા વિધુતક્ષેત્રને અનુરૂપ વાતાવરણની ટોચ પરનું સ્થિતિમાન જમીનની સાપેક્ષે 400 kV છે. પૃથ્વીની સપાટીની નજીક ક્ષેત્ર \(100 \text{ Vm}^{-1}\) છે. તો પછી આપણા ઘરમાંથી બહાર ખુલ્લામાં પગ મૂકતાં આપણે વિધુત આંચકો કેમ અનુભવતા નથી ? (ઘરને એક સ્ટીલનું પાંજરું ધારો કે જેમાં અંદર કોઈ ક્ષેત્ર નથી !).
Answer: આપણું શરીર અને પૃથ્વી સમસ્થિતિમાન પૃષ્ઠ રચે છે. જ્યારે આપણે ઘરમાંથી બહાર ખુલ્લામાં પગ મૂકીએ ત્યારે ખુલ્લી હવાના મૂળ સમસ્થિતિમાન પૃષ્ઠો એવી રીતે બદલાય છે કે જેથી આપણું માથું અને પગ (એટલે પૃથ્વી) એક જ સ્થિતિમાને રહે. તેથી આપણા શરીરમાંથી વિદ્યુત પ્રવાહ પસાર થતો નથી અને આપણને વિદ્યુત આંચકો લાગતો નથી.
In simple words: જ્યારે આપણે ખુલ્લી હવામાં ચાલીએ છીએ, ત્યારે આપણું શરીર અને પૃથ્વી સમાન વિદ્યુત સ્થિતિમાન પર રહે છે, તેથી વિદ્યુતનો આંચકો નથી લાગતો.

🎯 Exam Tip: ફરાડેના પાંજરાનો સિદ્ધાંત અને સમસ્થિતિમાન સપાટીઓનો ખ્યાલ આ સમજાવવા માટે મહત્વપૂર્ણ છે. વિદ્યુતપ્રવાહ વહેવા માટે સ્થિતિમાનનો તફાવત જરૂરી છે.

(b) એક માણસ એક દિવસ સાંજે તેના ઘરની બહાર એક બે મીટર ઊંચાઈનું અવાહક ચોસલું (Slab) ગોઠવે છે કે જેની ટોચ પર મોટું \(1\text{m}^2\) ક્ષેત્રફળનું એલ્યુમિનિયમનું પતરું રાખેલ છે. બીજે દિવસે સવારે જો તે ધાતુના પતરાને સ્પર્શ કરે તો તેને વિધુત આંચકો લાગશે ?
Answer: હા, જો માણસ બીજા દિવસે સવારે ધાતુના પતરાને સ્પર્શ કરશે તો તેને વિદ્યુત આંચકો લાગશે. કારણ કે, સતત ડિસ્ચાર્જ થતો વાતાવરણનો પ્રવાહ એલ્યુમિનિયમ પતરાને વિદ્યુતભારિત કરશે. આથી, વોલ્ટેજ ધીમે-ધીમે વધશે. આ વોલ્ટેજનો વધારો એલ્યુમિનિયમ પતરા અને જમીન વચ્ચે બનતા કેપેસિટરના કેપેસિટન્સ પર આધાર રાખશે.
In simple words: હા, તેને આંચકો લાગશે કારણ કે વાતાવરણમાંથી વિદ્યુતભાર એલ્યુમિનિયમ પ્લેટ પર એકઠો થશે, જેનાથી વોલ્ટેજ વધશે.

🎯 Exam Tip: વાતાવરણમાં થતા વિદ્યુતભાર અને કેપેસિટન્સના ખ્યાલો સમજવા. પતરા પર વિદ્યુતભાર એકઠો થવાથી વોલ્ટેજ ઉત્પન્ન થાય છે.

(c) હવાની નાની (ઓછી) વાહકતાને કારણે સમગ્ર પૃથ્વી પર વાતાવરણમાં સરેરાશ ડિસ્ચાર્જિંગ પ્રવાહ 1800 A જણાયો છે. તો પછી વાતાવરણ પોતે સમય જતાં સંપૂર્ણ ડિસ્ચાર્જ (વિધુત વિભારિત) થઈને તટસ્થ કેમ બની જતું નથી ? બીજા શબ્દોમાં વાતાવરણ વિધુતભારિત શાને લીધે રહે છે ?
Answer: વીજળીના કારણે વાતાવરણ સતત વિદ્યુતભારિત થતું જાય છે. આથી 1800 A પ્રવાહનું ડિસ્ચાર્જિંગ થવા છતાં, વાતાવરણ સંપૂર્ણપણે ડિસ્ચાર્જ થતું નથી. વીજળીના કારણે પૃથ્વી સતત રીતે નેટ વિદ્યુતભાર પ્રાપ્ત કરતી રહે છે, જેના કારણે તે વિદ્યુતભારિત રહે છે.
In simple words: વાતાવરણ વીજળીના કારણે સતત વિદ્યુતભાર પ્રાપ્ત કરતું રહે છે, જેના કારણે તે સંપૂર્ણપણે ડિસ્ચાર્જ થતું નથી.

🎯 Exam Tip: પૃથ્વી પરના વાતાવરણમાં વિદ્યુતભારના સંતુલનને સમજવું. વીજળી અને અન્ય કુદરતી ઘટનાઓ દ્વારા વિદ્યુતભારનો ઉમેરો અને લીકેજ વચ્ચે સંતુલન જળવાય છે.

(d) વાતાવરણમાં વીજળી (Lightning) થવા દરમિયાન વિધુતઊર્જા, ઊર્જાના કયા સ્વરૂપોમાં વિખેરાય છે ?
Answer: વીજળી થતી હોય તે દરમિયાન વિદ્યુતઊર્જાનું પ્રકાશ ઊર્જા, ઉષ્મા ઊર્જા અને ધ્વનિ ઊર્જામાં રૂપાંતરણ થાય છે.
In simple words: વીજળીની વિદ્યુત ઊર્જા પ્રકાશ, ગરમી અને અવાજમાં રૂપાંતરિત થાય છે.

🎯 Exam Tip: ઊર્જા સંરક્ષણનો નિયમ અને ઊર્જાના વિવિધ સ્વરૂપોમાં રૂપાંતરણ યાદ રાખવું.

GSEB Solutions Class 12 Physics Chapter 2 સ્થિત વિદ્યુતસ્થિતિમાન અને કેપેસિટન્સ NCERT Exemplar Questions and Answers

બહુવિકલ્પ પ્રશ્નોત્તર (MCQ-I)

નીચેના પ્રશ્નોમાં એક જ વિકલ્પ સાચો છે :

Question 1. એક 4μF નું કેપેસિટર પરિપથમાં દર્શાવ્યા મુજબ જોડેલ છે (આકૃતિ મુજબ). બેટરીનો આંતરિક અવરોધ 0.50 છે, તો કેપેસિટરની પ્લેટો પર વિધુતભારનું મૂલ્ય હશે.
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): આ સર્કિટ ડાયાગ્રામમાં એક 2.5V ની બેટરી 0.5Ω આંતરિક અવરોધ સાથે બતાવેલ છે. બેટરીની સાથે શ્રેણીમાં 2Ω અવરોધ જોડેલો છે. તેની સમાંતરમાં 10Ω અવરોધ અને 4µF કેપેસિટર શ્રેણીમાં જોડેલા છે.
(A) 0
(B) 4 μC
(C) 16 μC
(D) 8 μC
Answer: (D) 8 μC
D.C. બેટરી હોવાથી કેપેસિટરમાંથી પ્રવાહ વહેશે નહીં. તેથી 2Ω ના અવરોધમાંથી વહેતો પ્રવાહ આ પ્રમાણે ગણી શકાય:
\( I = \frac{\mathrm{V}}{\mathrm{R}+r} \)
\( = \frac{2.5}{2+0.5}=\frac{2.5}{2.5} = 1A \)
2Ω ના અવરોધની આસપાસનો વિદ્યુત સ્થિતિમાનનો તફાવત,
\( V = IR = 1 \times 2 = 2V \)
કેપેસિટર 2Ω અવરોધને સમાંતર છે અને 10 Ω ના અવરોધની આસપાસ વોલ્ટેજ ડ્રોપ શૂન્ય છે. આથી કેપેસિટરની આસપાસનો p.d. પણ 2V મળે.
કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર,
\( q = CV = 4 \times 10^{-6} \times 2 = 8 \times 10^{-6}C \)
\( \implies q = 8 \mu C \)
In simple words: In a DC circuit, a capacitor blocks current once fully charged. So, no current flows through the capacitor and 10Ω resistor branch. The current flows only through the 2Ω resistor. The voltage across the 2Ω resistor (which is 2V) is also the voltage across the 4µF capacitor. Using Q=CV, the charge on the capacitor is 8µC.

🎯 Exam Tip: Remember that in a steady DC circuit, a capacitor acts as an open circuit, meaning no current flows through it after it's fully charged. This simplifies the circuit analysis significantly for finding voltage and charge.

Question 2. સમાન વિધુતક્ષેત્રમાં એક ધન વિધુતભારિત કણને સ્થિર સ્થિતિમાંથી મુક્ત કરવામાં આવે છે, તો વિધતભારની વિધુત સ્થિતિઊર્જા
(A) વધશે કારણ કે વિદ્યુતભાર વિધુતક્ષેત્રની દિશામાં ગતિ કરે છે.
(B) વધશે કારણ કે વિદ્યુતભાર વિધુતક્ષેત્રની દિશામાં ગતિ કરે છે.
(C) ઘટશે કારણ કે વિદ્યુતભાર વિદ્યુતક્ષેત્રની દિશામાં ગતિ કરે છે.
(D) ઘટશે કારણ કે વિદ્યુતભાર વિદ્યુતક્ષેત્રની વિરુદ્ધમાં ગતિ કરે છે.
Answer: (C) ઘટશે કારણ કે વિદ્યુતભાર વિદ્યુતક્ષેત્રની દિશામાં ગતિ કરે છે.
વિદ્યુતક્ષેત્રની દિશામાં ધન વિદ્યુતભાર ગતિ કરે ત્યારે વિદ્યુતક્ષેત્રની તીવ્રતા ઘટવાથી \( F = Eq \) અનુસાર બળ ઘટે. આથી વિદ્યુતભારની સ્થિતિઊર્જા પણ ઘટે છે.
In simple words: A positive charge naturally moves in the direction of the electric field. When it does so, it moves from a region of higher electric potential to a region of lower electric potential, which means its electric potential energy decreases.

🎯 Exam Tip: Understand the relationship between electric field, potential, and potential energy. Positive charges move to lower potential energy, and negative charges move to higher potential energy. The electric field points from high potential to low potential.

Question 3. આકૃતિમાં દર્શાવ્યા પ્રમાણે અવકાશમાં વિતરીત કેટલીક સમસ્થિતિમાન રેખાઓ દર્શાવી છે. એક વિધુતભારિત પદાર્થ બિંદુ A થી બિંદુ B સુધી ગતિ કરે છે.
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): આ ચિત્ર ત્રણ અલગ-અલગ પરિસ્થિતિઓ દર્શાવે છે જેમાં સમસ્થિતિમાન રેખાઓ (equipotential lines) બતાવેલી છે. દરેક પરિસ્થિતિમાં, એક બિંદુ A થી બીજા બિંદુ B સુધી વિદ્યુતભારને ગતિ કરાવવામાં આવે છે. રેખાઓ 10V, 20V, 30V, 40V, 50V ના સ્થિતિમાન દર્શાવે છે.
(A) આકૃતિ (i) માં કરેલું કાર્ય મહત્તમ હશે.
(B) આકૃતિ (ii) માં કરેલું કાર્ય ન્યૂનતમ હશે.
(C) આકૃતિ (i), (ii) અને (iii) માં કરેલું કાર્ય સમાન હશે.
(D) આકૃતિ (iii) માં કરેલું કાર્ય આકૃતિ (ii) થી વધુ હશે પરંતુ તે આકૃતિ (i) જેટલું હશે.
Answer: (C) આકૃતિ (i), (ii) અને (iii) માં કરેલું કાર્ય સમાન હશે.
વિદ્યુતબળના લીધે વિધુતભાર ગતિ કરે ત્યારે થતું કાર્ય,
\( W_{12} = q(V_2 - V_1) \)
અહીં ત્રણેય આકૃતિમાં \( V_1 = 20 V \) અને \( V_2 = 40 V \) છે.
તેથી, \( \Delta V = V_2 - V_1 \)
\( \Delta V = 40 - 20 = 20 V \) સમાન છે અને વિદ્યુતભાર q પણ સમાન છે. આથી, \( W_{12} = q\Delta V \) સમાન રહેશે.
In simple words: The work done by an electric field on a charge only depends on the charge's initial and final positions (specifically, the potential difference between them), not on the path it takes. Since all three diagrams show the charge moving between the same initial (A) and final (B) equipotential lines (20V to 40V), the potential difference is the same, and thus the work done is the same for all three cases.

🎯 Exam Tip: For a conservative force like the electrostatic force, the work done on a charge moving between two points depends only on the potential difference between those points, not the specific path taken. This is a key principle of electrostatics.

Question 4. એક વિધુતભારિત વાહક ગોળાની સપાટી પરનું સ્થિર વિધુત સ્થિતિમાન 100V છે. એના સંદર્ભમાં બે વિધાનો આપેલ છે ?
S1. ગોળાની અંદરના કોઈ પણ બિંદુ પાસે, વિધુતતીવ્રતા શૂન્ય છે.
S2. ગોળાની અંદરના કોઈ પણ બિંદુ પાસે, સ્થિત-વિધુત સ્થિતિમાન 100ઈ છે.
(A) S₁ સત્ય છે, પરંતુ S₂ અસત્ય છે.
(B) S₁ અને S₂ બંને અસત્ય છે.
(C) S₁ સત્ય છે. S₂ પણ સત્ય છે તથા વિધાન S₁ એ વિધાન S₂ નું કારણ છે.
(D) S1 સત્ય છે. S₂ પણ સત્ય છે, પરંતુ બંને વિધાનો સ્વતંત્ર છે.
Answer: (C) S₁ સત્ય છે. S₂ પણ સત્ય છે તથા વિધાન S₁ એ વિધાન S₂ નું કારણ છે.
વિદ્યુતક્ષેત્રની તીવ્રતા અને સ્થિતિમાન વચ્ચેનો સંબંધ,
\( E = -\frac{dV}{dr} \)
જો વિદ્યુતક્ષેત્રની તીવ્રતા \( E = 0 \) હોય તો \( \frac{dV}{dr} = 0 \)
\( \implies V = \) અચળ.
આમ, વિદ્યુતભારિત ગોળાની અંદર \( E = 0 \) હોય તો ગોળાની અંદરના દરેક બિંદુએ સ્થિતિમાન \( V = 100 V \) જેટલું અચળ હોય.
In simple words: For a charged conductor in electrostatic equilibrium, the electric field inside is always zero (Statement S1 is true). Because the electric field is zero inside, the electric potential must be constant throughout the interior and equal to the potential on its surface. So, if the surface potential is 100V, the potential inside is also 100V (Statement S2 is true). S1 causes S2.

🎯 Exam Tip: This is a fundamental property of conductors in electrostatic equilibrium. Always remember that for a conductor, E=0 inside, and V is constant and equal to the surface potential throughout its volume.

Question 5. જેનો કુલ સરવાળો શૂન્ય નથી તેવા વિધુતભારોના સમૂહથી મોટા અંતરે સમસ્થિતિમાન પૃષ્ઠો લગભગ હશે.
(A) ગોળાકાર
(B) સમતલ
(C) પરવલય
(D) દીર્ઘવૃત્તીય
Answer: (A) ગોળાકાર
એકઠાં થયેલા વિદ્યુતભારોને બિંદુવતુ વિદ્યુતભાર તરીકે લઈ શકાય. કારણ કે, તેમના વિદ્યુતભારોનો સરવાળો શૂન્ય નથી.
બિંદુવતુ વિદ્યુતભારનું સ્થિતિમાન \( V(r) = \frac{kq}{r} \) છે તેથી વિધુતભારથી સમાન અંતરે આવેલાં બિંદુઓએ સ્થિતિમાન સમાન હોય, જેને સમસ્થિતિમાન પૃષ્ઠો કહેવાય અને તે ત્રિ-પરિમાણમાં ગોળાકાર હોય છે.
In simple words: When you look at a group of charges from very far away, they appear as a single point charge with a total charge equal to their sum. The equipotential surfaces around a point charge are concentric spheres. So, for a collection of charges with a non-zero total, the equipotential surfaces far away will look like spheres.

🎯 Exam Tip: At large distances, any localized charge distribution with a non-zero net charge behaves like a point charge. Hence, the equipotential surfaces will be spherical.

Question 6. બે ડાયઇલેક્ટ્રિક ચોસલાઓને ક્રમમાં જોડી એક સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટર બનાવવામાં આવ્યું છે. આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ એક ચોસલાની જાડાઈ \( d_1 \) અને ડાયઇલેક્ટ્રિક અચળાંક \( K_1 \) અને બીજા ચોસલાની જાડાઈ \( d_2 \) તથા ડાયઇલેક્ટ્રિક અચળાંક \( K_2 \) છે. આ ગોઠવણીને જેનો અસરકારક ડાયઇલેક્ટ્રિક અચળાંક \( K \) અને જાડાઈ \( d (= d_1 + d_2) \) હોય તેવા ડાયઇલેક્ટ્રિક ચોસલા તરીકે વિચારી શકાય, તો \( K \) નું મૂલ્ય
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): આ આકૃતિ એક સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટર દર્શાવે છે જેમાં બે અલગ-અલગ ડાયઇલેક્ટ્રિક સ્લેબ \( K_1 \) અને \( K_2 \) શ્રેણીમાં જોડેલા છે. \( K_1 \) ની જાડાઈ \( d_1 \) છે અને \( K_2 \) ની જાડાઈ \( d_2 \) છે.
(A) \( \frac{\mathrm{K}_1 d_1+\mathrm{K}_2 d_2}{d_1+d_2} \)
(B) \( \frac{\mathrm{K}_1 d_1+\mathrm{K}_2 d_2}{\mathrm{~K}_1+\mathrm{K}_2} \)
(C) \( \frac{\mathrm{K}_1 \mathrm{~K}_2\left(d_1+d_2\right)}{\left(\mathrm{K}_1 d_2+\mathrm{K}_2 d_1\right)} \)
(D) \( \frac{2 \mathrm{~K}_1 \mathrm{~K}_2}{\mathrm{~K}_1+\mathrm{K}_2} \)
Answer: (C) \( \frac{\mathbf{K}_1 \mathbf{K}_2\left(d_1+d_2\right)}{\left(\mathbf{K}_1 d_2+\mathbf{K}_2 d_{1)}\right.} \)
\( K_1 \) ડાયઇલેક્ટ્રિક અચળાંક અને \( d_1 \) જાડાઈના સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ,
\( C_1 = \frac{K_1 \varepsilon_0 A}{d_1} \)
અને \( K_2 \) ડાયઇલેક્ટ્રિક અચળાંક અને \( d_2 \) જાડાઈના સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરનું કૅપેસિટન્સ,
\( C_2 = \frac{K_2 \varepsilon_0 A}{d_2} \)
કેપેસિટરોના શ્રેણી જોડાણનું અસરકારક કેપેસિટન્સ,
\( \frac{1}{C} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} \)
\( \implies C = \frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2} \)
\( = \frac{(\frac{K_1 \varepsilon_0 A}{d_1}) (\frac{K_2 \varepsilon_0 A}{d_2})}{\frac{K_1 \varepsilon_0 A}{d_1} + \frac{K_2 \varepsilon_0 A}{d_2}} \)
\( = \frac{K_1 K_2 \varepsilon_0 A^2 / (d_1 d_2)}{\varepsilon_0 A (K_1 d_2 + K_2 d_1) / (d_1 d_2)} \)
\( = \frac{K_1 K_2 \varepsilon_0 A}{K_1 d_2 + K_2 d_1} \)
અંશ અને છેદને \( (d_1 + d_2) \) વડે ગુણતાં,
\( C = \frac{K_1 K_2 \varepsilon_0 A}{K_1 d_2 + K_2 d_1} \times \frac{d_1 + d_2}{d_1 + d_2} \)
\( = \frac{K_1 K_2 (d_1 + d_2)}{K_1 d_2 + K_2 d_1} \times \frac{\varepsilon_0 A}{d_1 + d_2} \)
અસરકારક કૅપેસિટન્સ,
\( C = \frac{K \varepsilon_0 A}{d_1+d_2} \)
સમીકરણ (2) અને (3) ને સરખાવતાં,
\( K = \frac{K_1 K_2 (d_1 + d_2)}{K_1 d_2 + K_2 d_1} \)
In simple words: When two different dielectric slabs are placed in series within a parallel plate capacitor, their individual capacitances combine like series capacitors. The formula for the effective dielectric constant K is derived by equating the equivalent capacitance of the series combination to the capacitance of a single capacitor with an effective dielectric K and total thickness \( d_1+d_2 \).

🎯 Exam Tip: Remember the formulas for capacitance with dielectrics in series and parallel. For series combination, \( \frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} \), and for parallel, \( C_{eq} = C_1 + C_2 \). The effective dielectric constant can be found by comparing the equivalent capacitance with the standard formula \( C = \frac{K \varepsilon_0 A}{d} \).

બહુવિકલ્પ પ્રશ્નોત્તર (MCQ-II)

નીચેના પ્રશ્નોમાં એક અથવા એક કરતાં વધુ વિકલ્પ સાચા હોઈ શકે છે :

Question 1. z-દિશામાં સમાન વિધુતક્ષેત્ર વિચારો. વિધુત સ્થિતિમાન
(A) સમગ્ર અવકાશમાં અચળ છે.
(B) આપેલ z માટે ના કોઈ પણ મૂલ્ય માટે y-z સમતલમાં અચળ છે.
(C) આપેલ z માટે x-y સમતલ પર x ના કોઈ પણ મૂલ્ય માટે અચળ છે.
(D) આપેલ z માટે કોઈ પણ x-y સમતલ પર અચળ છે.
Answer: (B, C, D)
વિદ્યુતક્ષેત્રની દિશા, સમસ્થિતિમાન પૃષ્ઠને લંબ હોય છે અને અહીં વિદ્યુતક્ષેત્ર z-દિશામાં છે. જે દિશામાં પોટેન્શિયલ ઘટતું હોય તે દિશામાં જ વિદ્યુતક્ષેત્ર હોય છે.
કોઈ પણ બિંદુ પાસેના સમસ્થિતિમાન પૃષ્ઠને લંબરૂપે એકમ સ્થાનાંતર દીઠ સ્થિતિમાનના ફેરફાર વડે વિદ્યુતક્ષેત્રની તીવ્રતાનું મૂલ્ય મળે છે.
તેથી z-દિશામાંનું વિદ્યુતક્ષેત્ર સૂચવે છે કે, સમસ્થિતિમાન પૃષ્ઠો z-અક્ષની દિશામાં x-y સમતલમાં છે. તેથી આપેલા z માટે x ના ગમે તે મૂલ્ય માટે અને y ના ગમે તે મૂલ્ય માટે તથા x-y સમતલમાં હોય છે.
In simple words: For a uniform electric field pointing in the z-direction, the electric potential changes only along the z-axis. This means that for any fixed value of z, the potential will be the same across the entire x-y plane. Therefore, the equipotential surfaces are planes parallel to the x-y plane.

🎯 Exam Tip: Equipotential surfaces are always perpendicular to electric field lines. For a uniform electric field in one direction, the equipotential surfaces are planes perpendicular to that direction.

Question 2. સમસ્થિતિમાન પૃષ્ઠોને કારણે વિદ્યુતક્ષેત્ર
(A) નિર્બળ વિદ્યુતક્ષેત્રોના વિસ્તારની સરખામણીમાં પ્રબળ વિદ્યુતક્ષેત્રોના વિસ્તારમાં વધુ નજીક-નજીક (ગીચ) હોય છે.
(B) વાહકની તીક્ષ્ણ ધાર નજીક વધુ ગીચ હશે.
(C) મોટી વિદ્યુતભાર ધનતા ધરાવતા વિસ્તાર નજીક વધુ ગીચ હશે.
(D) હંમેશાં સમાન અંતરે હશે.
Answer: (A, B, C)
સમસ્થિતિમાન પૃષ્ઠ પરના કોઈ પણ બે બિંદુઓ વચ્ચે સ્થિતિમાનનો તફાવત શૂન્ય હોય એટલે તેમના સ્થિતિમાનો સમાન હોય.
વિદ્યુતક્ષેત્ર અને વિદ્યુત સ્થિતિમાન વચ્ચેનો સંબંધ,
\( E = -\frac{dV}{dr} \)
\( \implies E \propto \frac{1}{dr} \)
એટલે કે વિદ્યુતક્ષેત્રની તીવ્રતા \( E \) એ બે સમસ્થિતિમાન સપાટીઓ વચ્ચેના અંતરના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે. તેથી પ્રબળ વિદ્યુતક્ષેત્રમાં સમસ્થિતિમાન પૃષ્ઠો નજીક હોય છે.
અને વાહકના તીક્ષ્ણ (અણીવાળા) ભાગ આગળ વિદ્યુતભારની પૃષ્ઠ ઘનતા \( \sigma = \frac{Q}{A} \) છે અને A નાનો હોવાથી \( \sigma \) વધુ મળે તથા \( E = \frac{kQ}{r^2} \). તેથી પદાર્થનું પરિમાણ વધતાં વિદ્યુત સ્થિતિમાન અને વિદ્યુતક્ષેત્ર ઘટે અને ઊલ્ટું પણ સાચું છે.
તેથી વાહકના અણીવાળા ભાગ આગળ (પરિમાણ ઓછું હોવાથી) સ્થિતિમાન અને વિદ્યુતક્ષેત્ર બંને વધે તેથી સમસ્થિતિમાન પૃષ્ઠો વધારે ગીચ હોય.
In simple words: Equipotential surfaces are closer together in regions where the electric field is strong, and further apart where the field is weak. Strong electric fields occur near sharp points or edges of conductors, and also in areas with high charge density. Therefore, equipotential surfaces are denser in strong field areas, near sharp edges, and near high charge density.

🎯 Exam Tip: The spacing of equipotential surfaces is a visual indicator of electric field strength. Closer spacing implies a stronger field. This directly relates to the concept that charge accumulates at sharp points of conductors, leading to stronger fields there.

Question 3. સમસ્થિતિમાન પૃષ્ઠ પર કોઈ વિધુતભારને A થી B સુધી ગતિ કરાવવા માટે કરવું પડતું કાર્ય
(A) \( -\int_{\mathrm{A}}^{\mathrm{B}} \mathrm{E} \cdot d \mathbf{l} \) સ્વરૂપે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય નહિ.
(B) \( -\int_{\mathrm{A}}^{\mathrm{B}} \mathrm{E} \cdot d \mathbf{l} \) સ્વરૂપે જ વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય.
(C) શૂન્ય છે.
(D) શૂન્ય સિવાયનું મૂલ્ય હોઈ શકે.
Answer: (B, C)
કાર્ય, \( W = q(V_2 - V_1) \)
વ્યાખ્યા પરથી,
અને \( V_2 - V_1 = -\int_{\mathrm{A}}^{\mathrm{B}} \mathrm{E} \cdot d \mathbf{l} \)
\( \implies W = -q \int_{\mathrm{A}}^{\mathrm{B}} \mathrm{E} \cdot d \mathbf{l} \) [સમીકરણ (1) અને (2) પરથી)]
વિકલ્પ (B) સાચો છે.
પણ સમસ્થિતિમાન પૃષ્ઠ પર, \( V_1 = V_2 \),
\( \implies W = 0 \).
વિકલ્પ (C) પણ સાચો છે.
In simple words: The work done to move a charge from point A to point B in an electric field can be defined as the charge times the negative of the potential difference (which is the integral of E.dl). If points A and B are on the same equipotential surface, their potentials are equal, so the potential difference is zero. Therefore, the work done in this specific case is zero.

🎯 Exam Tip: Always remember that the electric field is conservative. Work done is path-independent and depends only on initial and final potential. On an equipotential surface, the potential is constant, so no work is done moving a charge along it.

Question 4. અચળ સ્થિતિમાનના વિસ્તારમાં
(A) વિદ્યુતક્ષેત્ર સમાન હોય છે.
(B) વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય હોય છે.
(C) આ વિસ્તારની અંદર કોઈ વિદ્યુતભાર નથી હોતો.
(D) જો વિદ્યુતભાર આ વિસ્તારની બહાર મૂકવામાં આવ્યો હોય, તો વિદ્યુતક્ષેત્ર નિશ્ચિતપણે બદલાશે.
Answer: (B, C)
\( E \) અને \( V \) વચ્ચેનો સંબંધ,
\( E = -\frac{dV}{dr} \)
જો \( E = 0 \) હોય તો \( V \) અચળ.
અહીં, જો \( V \) અચળ હોય તો \( \frac{dV}{dr} = 0 \). આથી \( E = 0 \).
\( \implies E = \frac{kq}{r^2} \) અનુસાર \( q \) શૂન્ય થાય.
આમ, સાચા વિકલ્પો (B) અને (C) છે.
In simple words: In a region where electric potential is constant, there is no change in potential over distance. This means the electric field, which is the negative gradient of potential, must be zero. According to Gauss's law, a zero electric field implies that there are no charges present in that region.

🎯 Exam Tip: A region of constant potential is an equipotential region. If the potential is constant, its gradient is zero, which means the electric field is zero. By Gauss's Law, zero electric field within a volume implies no net charge enclosed.

Question 5. આકૃતિમાં દર્શાવેલ પરિપથમાં, પ્રારંભમાં કળ \( K_1 \) બંધ અને \( K_2 \) ખુલ્લી છે. ત્યાર બાદ \( K_1 \) ખુલ્લી કરવામાં આવે છે અને \( K_2 \) બંધ કરવામાં આવે છે. (ક્રમ અગત્યનો છે.) [\( C_1 \) અને \( C_2 \) પર અનુક્રમે વિધુતભારો \( Q'_1 \) અને \( Q'_2 \) તથા વોલ્ટેજ છે, અને \( V_1 \) લો. \( V_2 \) ત્યારે,
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): આ સર્કિટમાં એક બેટરી \( E \) , બે કેપેસિટર્સ \( C_1 \) અને \( C_2 \), અને બે સ્વીચ \( K_1 \) અને \( K_2 \) દર્શાવેલા છે. બેટરી અને \( C_1 \) સ્વીચ \( K_1 \) સાથે જોડાયેલા છે, જ્યારે \( C_2 \) સ્વીચ \( K_2 \) સાથે જોડાયેલો છે, જે \( C_1 \) ને પણ જોડી શકે છે.
(A) \( C_1 \) ઉપર વિદ્યુતભાર એવી રીતે પુનઃવિતરીત થશે કે જેથી \( V_1 = V_2 \) થાય.
(B) \( C_1 \) ઉપર વિદ્યુતભાર એવી રીતે પુનઃવિતરીત થશે કે જેથી \( Q'_1 = Q'_2 \) થાય.
(C) \( C_1 \) ઉપર વિદ્યુતભાર એવી રીતે પુનઃવિતરીત થશે કે જેથી \( C_1 V_1 + C_2 V_2 = C_1 E \) થાય.
(D) \( C_1 \) ઉપર વિદ્યુતભાર એવી રીતે પુનઃવિતરીત થશે કે જેથી \( Q'_1 + Q'_2 = Q \) થાય.
Answer: (A, D)
જ્યારે \( K_1 \) બંધ અને \( K_2 \) ખુલ્લી હોય ત્યારે \( C_1 \) કેપેસિટર બૅટરી વડે ચાર્જ થાય છે. ત્યારબાદ જ્યારે \( K_1 \) ખુલ્લી અને \( K_2 \) બંધ હોય ત્યારે \( C_1 \) પરનો વિદ્યુતભાર \( C_1 \) અને \( C_2 \) વચ્ચે ત્યાં સુધી વહેંચાય છે જ્યાં સુધી બંનેના સ્થિતિમાન સમાન ન થાય, એટલે કે \( V_1 = V_2 \).
ધારો કે, \( C_1 \) પરનો વિદ્યુતભાર \( Q \) છે જે બૅટરી વડે ચાર્જિંગ થયેલો છે. હવે જ્યારે \( K_1 \) ખુલ્લી અને \( K_2 \) બંધ હોય ત્યારે \( C_1 \) પરનો વિદ્યુતભાર એવી રીતે વહેંચાય છે કે જેથી વિદ્યુતભારનું સંરક્ષણ થાય. એટલે કે, \( C_1 \) પર \( Q'_1 \) અને \( C_2 \) પર \( Q'_2 \) વિદ્યુતભાર હોય તો વિદ્યુતભારના સંરક્ષણના નિયમ પરથી, \( Q = Q'_1 + Q'_2 \).
In simple words: Initially, capacitor \( C_1 \) gets charged. When \( K_1 \) opens and \( K_2 \) closes, \( C_1 \) and \( C_2 \) are connected, allowing charge to redistribute between them. This redistribution continues until both capacitors reach the same electric potential (\( V_1 = V_2 \)). During this process, the total charge from \( C_1 \) is conserved and shared between \( C_1 \) and \( C_2 \), meaning \( Q'_1 + Q'_2 = Q_{initial} \).

🎯 Exam Tip: For charge redistribution between capacitors, two key principles apply: (1) conservation of charge (if no external path exists) and (2) final common potential when connected in parallel.

Question 6. જો કોઈ વાહકનું સ્થિતિમાન \( V \ne 0 \) અને તેની બહારના વિસ્તારમાં ક્યાંય કોઈ વિધુતભાર નથી, ત્યારે
(A) વાહકની સપાટી અથવા તેની અંદર વિદ્યુતભાર હોવા જોઈએ.
(B) વાહકમાં ક્યાંય પણ કોઈ વિદ્યુતભાર હોઈ શકે નહિ.
(C) ફક્ત વાહકની સપાટી ઉપર જ વિદ્યુતભાર હોવા જોઈએ.
(D) વાહકની સપાટીની અંદર વિદ્યુતભાર અવશ્ય હોવા જોઈએ.
Answer: (A, B)
જો વાહકનું સ્થિતિમાન \( V \ne 0 \) અને તેની બહારના વિસ્તારમાં ક્યાંય કોઈ વિદ્યુતભાર ન હોય ત્યારે વાહકની સપાટી અથવા તેની અંદર વિદ્યુતભાર હોવો જોઈએ. તેથી વિકલ્પ (A) સાચો છે.
તેમ છતાં વાહકમાં ક્યાંય પણ કોઈ વિદ્યુતભાર હોઈ શકે નહીં. તેથી વિકલ્પ (B) પણ સાચો છે.
In simple words: If a conductor has a non-zero potential and there are no charges outside it, then the charges must reside either on its surface or inside its volume (Option A). However, in electrostatic equilibrium, charges in a conductor always move to its surface, so there cannot be any charge inside the bulk of the conductor (Option B).

🎯 Exam Tip: In electrostatic equilibrium, charge resides only on the surface of a conductor, and the electric field inside is zero. This implies the potential inside is constant and equal to the surface potential.

Question 7. આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ કોઈ સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરને એક બેટરી સાથે જોડેલ છે. બે પરિસ્થિતિઓનો વિચાર કરો.
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): આ આકૃતિ એક સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટર \( C \) ને બેટરી \( E \) અને સ્વીચ \( K \) સાથે જોડાયેલું દર્શાવે છે. બેટરી, સ્વીચ અને કેપેસિટર શ્રેણીમાં જોડેલા છે.
A : કળ \( K \) બંધ છે અને અવાહક હેન્ડલ વડે કેપેસિટરની પ્લેટો વચ્ચેનું અંતર વધારવામાં આવે છે.
B : કળ \( K \) ખુલ્લી છે અને અવાહક હેન્ડલ વડે કેપેસિટરની પ્લેટો વચ્ચેનું અંતર વધારવામાં આવે છે.
(A) A માં : \( Q \) સમાન રહે પરંતુ \( C \) બદલાય છે.
(B) B માં : \( V \) સમાન રહે પરંતુ \( C \) બદલાય છે.
(C) A માં : \( V \) સમાન રહે અને તેથી \( Q \) બદલાય છે.
(D) B માં : \( Q \) સમાન રહે અને તેથી \( V \) બદલાય છે.
Answer: (C, D)
સ્થિતિ (A) અનુસાર વીજકળ \( K \) બંધ હોય ત્યારે કૅપેસિટરની પ્લેટો વચ્ચેનું અંતર વધારતાં \( C = \frac{\varepsilon_0 A}{d} \) અનુસાર કેપેસિટન્સ \( C \) ઘટે છે. અને બૅટરી જોડેલી હોવાથી \( V \) અચળ રહે છે. તેથી \( C = \frac{Q}{V} \) અનુસાર \( Q \) ઘટે છે. આથી વિકલ્પ (C) સાચો છે.
સ્થિતિ (B) અનુસાર વીજકળ \( K \) ખુલ્લી કરતાં બૅટરીથી કેપેસિટર અલગ થઈ જાય છે. તેથી \( Q \) અચળ રહે છે. અને બે પ્લેટો વચ્ચેનું અંતર વધારતાં \( C = \frac{\varepsilon_0 A}{d} \) અનુસાર \( C \) ઘટે છે. પણ \( C = \frac{Q}{V} \) હોવાથી જો \( C \) ઘટે તો \( V \) વધે છે. આથી વિકલ્પ (D) સાચો છે.
In simple words: In situation A, the battery is connected, so the voltage (V) across the capacitor remains constant. Increasing the plate distance reduces capacitance (C), which in turn reduces the stored charge (Q=CV). In situation B, the battery is disconnected, so the charge (Q) on the capacitor plates remains constant. Increasing the plate distance reduces capacitance (C), which then causes the voltage (V=Q/C) across the plates to increase.

🎯 Exam Tip: This question tests your understanding of capacitor behavior when connected (V constant) vs. disconnected (Q constant) from a battery. Remember the fundamental relationship \( C = \frac{Q}{V} \).

અતિટૂંક જવાબી પ્રશ્નો (VSA)

Question 1. \( R_1 \) અને \( R_2 \) ત્રિજ્યાઓ (\( R_1, R_2 \)) ધરાવતા બે સુવાહક ગોળાઓ ધ્યાનમાં લો. જો બંને સમાન સ્થિતિમાને હોય, તો નાના ગોળા કરતાં મોટા ગોળા ઉપર વધારે વિધુતભાર હશે. નાના ગોળાની વિધુતભાર ઘનતા મોટા ગોળાની વિધુતભાર ઘનતા કરતાં વધારે હશે કે ઓછી તે જણાવો.
Answer:
બંને ગોળાઓ સમાન સ્થિતિમાને છે.
\( \implies V_1 = V_2 \)
\( \implies \frac{k q_1}{R_1} = \frac{k q_2}{R_2} \)
\( \implies \frac{q_1}{R_1} = \frac{q_2}{R_2} \) (k વડે ભાગતાં)
\( \implies \frac{q_1}{4 \pi R_1^2} R_1 = \frac{q_2}{4 \pi R_2^2} R_2 \) (અને બાજુ \( 4\pi \) વડે ભાગતાં)
\( \implies \sigma_1 R_1 = \sigma_2 R_2 \) [ \( \because \sigma = \frac{q}{4 \pi R^2} \) ]
હવે જો \( R_1 < R_2 \) હોય તો, \( \sigma_1 > \sigma_2 \)
આમ, નાના ગોળા પર વિદ્યુતભારની ઘનતા મોટા ગોળા પરની વિદ્યુતભારની ઘનતા કરતાં વધારે હોય.
In simple words: When two conducting spheres are at the same electric potential, the electric field and thus the charge density will be higher on the surface of the smaller sphere. This means the smaller sphere has a greater charge concentration per unit area compared to the larger one.

🎯 Exam Tip: This principle highlights that charge density is inversely proportional to the radius of curvature on a conductor at uniform potential. Smaller radii mean higher charge density.

Question 2. શું અવકાશમાં મુક્ત ઇલેક્ટ્રોન ઊંચા વિદ્યુત સ્થિતિમાનવાળા વિસ્તારથી નીચા સ્થિતિમાનવાળા વિસ્તાર તરફ મુસાફરી (ગતિ) કરે ?
Answer:
ના, મુક્ત ઈલેક્ટ્રૉન પર ઋણ વિધુતભાર હોય છે. વિદ્યુતક્ષેત્રની વિરુદ્ધ દિશામાં બળ લાગે છે અને વિદ્યુતક્ષેત્ર હંમેશાં ઊંચા વિદ્યુત સ્થિતિમાનથી નીચા વિદ્યુત સ્થિતિમાન તરફ હોય છે. તેથી, મુક્ત ઈલેક્ટ્રૉન નીચા વિદ્યુત સ્થિતિમાનથી ઊંચા વિદ્યુત સ્થિતિમાન તરફ ગતિ કરે છે.
In simple words: No, a free electron has a negative charge. Electric fields push negative charges opposite to the field's direction. Since the electric field points from high to low potential, electrons move from low potential to high potential.

🎯 Exam Tip: Always remember that positive charges move from high to low potential, and negative charges (like electrons) move from low to high potential.

Question 3. શું કોઈ સમાન વિધુતભાર ધરાવતી બે નિકટવર્તી (નજીક રાખેલ) પ્લેટો વચ્ચે વિધુત સ્થિતિમાનનો તફાવત હોઈ શકે ?
Answer:
હા, જો વાહકોના પરિમાણ જુદા-જુદા હોય, તો શક્ય છે.
વાહકની ક્ષમતા \( C = \frac{Q}{V} \) છે, જ્યાં \( Q \) એ વાહકનો વિદ્યુતભાર અને \( V \) એ વાહકોનું વિદ્યુત સ્થિતિમાન હોય છે.
આપેલા વિદ્યુતભાર માટે સ્થિતિમાન \( V \propto \frac{1}{C} \) હોવાથી, જુદા-જુદા આડછેદના ક્ષેત્રફળ અને સમાન વિદ્યુતભારનું વહન કરતાં બે નજીક રાખેલા વાહકોનું સ્થિતિમાન અલગ હોય છે. તેથી, સ્થિતિમાનનો તફાવત હોઈ શકે છે.
In simple words: Yes, it is possible. Even if two nearby plates have the same total charge, if their shapes or sizes are different, their capacitances will be different. Since potential \( V = Q/C \), a different capacitance for the same charge will result in a different potential, thus creating a potential difference.

🎯 Exam Tip: Capacitance is a geometric property. For the same charge, conductors with different capacitances will have different potentials, leading to a potential difference.

Question 4. શું મુક્ત અવકાશમાં સ્થિતિમાન વિધેય મહત્તમ કે ન્યૂનતમ હોઈ શકે ?
Answer:
ના, કારણ કે આ ઘટનામાં \( E = -\frac{dV}{dr} \) હોય છે.
જો સ્થિતિમાન મહત્તમ કે ન્યૂનતમ હોય, તો તેનો ઢાળ \( \frac{dV}{dr} \) શૂન્ય થવો જોઈએ, જેનો અર્થ એ થાય કે વિદ્યુતક્ષેત્ર \( E = 0 \) .
In simple words: No, in empty space (where there are no charges), the electric potential cannot have a local maximum or minimum. If it did, the electric field at that point would be zero, but in a charge-free region, potential variations are smooth, preventing such points unless the field is zero everywhere.

🎯 Exam Tip: This is a property of harmonic functions (which electric potential is in charge-free regions). Such functions cannot have local maxima or minima; they occur at boundaries or where charges are present.

Question 5. આકૃતિમાં દર્શાવ્યા અનુસાર એક પરીક્ષણ વિધુતભાર \( q \) એ કોઈ બિંદુ વિધુતભાર \( Q \) ના વિધુતક્ષેત્રમાં બે જુદા-જુદા બંધ માર્ગો પર ગતિ કરે છે. પ્રથમ માર્ગનો આડછેદ (વિભાગ) એ વિધુતક્ષેત્ર રેખાઓની દિશામાં એને લંબરૂપે છે. બીજો જે લંબચોરસ બંધ માર્ગ છે; તેનું ક્ષેત્રફળ પ્રથમ લૂપ જેટલું જ છે. આ બંને કિસ્સાઓમાં કરેલાં કાર્યની સરખામણી કરો.
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): આ આકૃતિમાં એક બિંદુ વિદ્યુતભાર \( Q \) કેન્દ્રમાં દર્શાવેલ છે, જેમાંથી વિદ્યુતક્ષેત્ર રેખાઓ બહારની તરફ નીકળે છે. એક પરીક્ષણ વિદ્યુતભાર \( q \) ને બે જુદા-જુદા બંધ માર્ગો પર ગતિ કરાવવામાં આવે છે: એક ગોળાકાર બંધ માર્ગ જે \( Q \) ને ઘેરે છે અને બીજો લંબચોરસ બંધ માર્ગ જે \( Q \) ને ઘેરતો નથી.
Answer:
વિદ્યુતક્ષેત્ર સંરક્ષી હોવાથી બંધ માર્ગ પર ગતિ કરતાં હંમેશાં કાર્ય શૂન્ય થાય છે. કરવું પડતું કાર્ય માત્ર વિદ્યુતભારિત પદાર્થની પ્રારંભિક અને અંતિમ સ્થિતિ પર જ આધાર રાખે છે. તેથી, બંને કિસ્સામાં કરવું પડતું કાર્ય શૂન્ય થાય છે.
In simple words: For an electric field, which is a conservative force field, the total work done to move a charge along any closed path (loop) is always zero. This holds true regardless of the shape or size of the closed path, as long as it starts and ends at the same point. Thus, the work done in both paths shown will be zero.

🎯 Exam Tip: This is a direct consequence of the conservative nature of the electrostatic force. For a conservative force, the work done around any closed loop is zero.

Short Answer (SA) Questions

Question 1. સાબિત કરો કે જેની અંદર કોઈ વિધુતભાર નથી તેવું કોઈ બંધ સમસ્થિતિમાન પૃષ્ઠ, આપમેળે બંધ સમસ્થિતિમાન કદ ઘેરે છે.
Answer:
ધારો કે, કોઈ બંધ પૃષ્ઠ જેની પાસે કોઈ વિદ્યુતભાર ન હોય તેનું સ્થિતિમાન એક બિંદુથી બીજા બિંદુએ જતાં બદલાય છે. ધારો કે જે સ્થિતિમાન પૃષ્ઠની અંદર છે તે પૃષ્ઠના કારણે \( (\frac{dV}{dr}) \) રચાતા સ્થિતિમાન પ્રચલન કરતાં અલગ છે.
આમ, વિદ્યુતક્ષેત્ર \( E \ne 0 \) હોઈ શકે કે જેથી \( E = -\frac{dV}{dr} \) થાય.
આથી વિદ્યુતક્ષેત્ર રેખાઓ પૃષ્ઠની અંદર કે બહારની દિશામાં જતી હોય. પરંતુ આ રેખાઓ પૃષ્ઠ પર ન હોવી જોઈએ કારણ કે પૃષ્ઠ સમસ્થિતિમાન છે.
આવું તો જ શક્ય બને જો પૃષ્ઠની અંદર કોઈ વિદ્યુતભાર હોય જે શરૂઆતની ધારણાના વિરુદ્ધ છે.
આમ, આખું અંદરનું કદ સમસ્થિતિમાન જ હોય.
In simple words: If a closed surface is equipotential and contains no charges inside, then the entire volume enclosed by this surface must also be equipotential. If there were a potential difference within this enclosed volume, it would mean there is an electric field, which by Gauss's law would require charges, contradicting our initial assumption.

🎯 Exam Tip: This is a property derived from the uniqueness theorem in electrostatics and Gauss's law. In a charge-free region, if a boundary is equipotential, the entire enclosed volume is also equipotential, meaning no electric field inside.

Question 2. કેપેસિટરની પ્લેટો વચ્ચે ડાયઇલેક્ટ્રિક છે અને આ કેપેસિટરને ઉદ્ગમ સાથે જોડેલ છે. હવે બેટરીને અલગ કરો અને પછી ડાયઇલેકિટ્રક દૂર કરો. એ જણાવો કે આમ કરવાથી કેપેસિટન્સ, કેપેસિટરમાં સંગ્રહીત વિધુતભાર અને વિધુત સ્થિતિમાન વધશે, ઘટશે કે અચળ રહેશે ?
Answer:
ડાયઇલેક્ટ્રિક અચળાંક \( K \) વાળા કૅપેસિટરનું કૅપેસિટર,
\( C = \frac{K \varepsilon_0 A}{d} \)
જ્યાં \( K \) ધન છે અને તેનું મૂલ્ય 1 કરતાં વધારે છે. તેથી \( A \) અને \( d \) અચળ રાખીને કૅપેસિટરમાંથી ડાયઇલેક્ટ્રિક અચળાંક દૂર કરતાં કૅપેસિટરનું કૅપેસિટર \( C \) ઘટે છે. જ્યારે બૅટરી અને ડાયઇલેક્ટ્રિકને દૂર કરીએ ત્યારે સંગ્રહિત વિદ્યુતભાર અચળ રહે છે.
\( C = \frac{Q}{V} \) અનુસાર \( Q \) અચળ અને \( C \) ઘટે છે તેમ જોઈએ.
\( \implies V \) વધે.
In simple words: When the battery is disconnected, the total charge on the capacitor plates remains constant. If the dielectric is then removed, the capacitance (C) decreases because the dielectric material is no longer there to enhance it. Since the charge (Q) is constant and capacitance (C) decreases, the voltage (V=Q/C) across the capacitor must increase.

🎯 Exam Tip: The key here is to recognize that disconnecting the battery means charge is conserved, while keeping the battery connected means voltage is constant. Capacitance always decreases when a dielectric is removed.

Question 3. સાબિત કરો કે, જો કોઈ અવાહક, વિદ્યુતભારિત વાહકને કોઈ વિધુતભારિત વાહકની નજીક મૂક્યો છે તથા અન્ય કોઈ વાહકો ત્યાં હાજર નથી તો વિધુતભારવિહીન પદાર્થનું સ્થિતિમાન એ વિધુતભારિત પદાર્થના સ્થિતિમાન અને અનંત સ્થિતિમાનની વચ્ચે હોવું જોઈએ.
Answer:
મુખ્ય અર્થ એ થાય છે કે વિદ્યુતક્ષેત્ર \( E = -\frac{dV}{dr} \) નો અર્થ એવો થાય છે કે વિદ્યુતક્ષેત્રની દિશામાં વિદ્યુત સ્થિતિમાન ઘટે છે.
જો વિદ્યુતભારિત વાહકથી વિદ્યુતભારરહિત વાહક તરફ વિદ્યુતક્ષેત્રની દિશામાંનો કોઈ માર્ગ પસંદ કરીએ, તો આ માર્ગ પર વિદ્યુતભારિત વાહકથી અનંત અંતરે જતાં સ્થિતિમાન ઘટે છે.
હવે જો વિદ્યુતભારરહિત પદાર્થથી અનંત સુધીનો બીજો માર્ગ એવો પસંદ કરીએ કે, તો તેમાં ફરીથી સ્થિતિમાન વધારે સતત ઘટતું જશે. તેથી, વિદ્યુતભારવિહીન પદાર્થનું સ્થિતિમાન એ વિદ્યુતભારિત પદાર્થનું સ્થિતિમાન અને અનંત સ્થિતિમાનની વચ્ચે હોવું જોઈએ.
In simple words: Electric field lines always point from higher potential to lower potential. If a charged conductor (high potential) is near an uncharged insulator, field lines will go from the conductor, through the insulator, and out to infinity (zero potential). Since potential decreases along field lines, the insulator must have a potential between that of the charged conductor and zero.

🎯 Exam Tip: Visualize electric field lines. They originate from positive charges (or high potential) and terminate on negative charges (or low potential). The potential continuously decreases along the direction of the electric field.

Question 4. \( R \) ત્રિજ્યાની રિંગ ઉપર સમાન રીતે વિધુતભાર \( +Q \) વિતરીત થયેલ છે તેની અક્ષ પર રહેલા કોઈ બિંદુ ની સ્થિતિઊર્જા ગણો. સ્થિતિઊર્જાને રિંગના કેન્દ્રથી અક્ષીય અંતર \( Z \) ના વિધેય તરીકે લઈ તેના આલખ દારો. (આલેખ જુઓ) શુ તમે એ જોઈ શકો છો કે, જો \( -q \) ને રિંગના કેન્દ્રથી સહેજ વિસ્થાપિત (અક્ષ ઉપર) કરવામાં આવે તો શું થશે ?
Answer:
ધારો કે \( R = a \) ત્રિજયાની રિંગ પર \( Q \) વિદ્યુતભાર સમાન રીતે વિતરીત થયેલો છે.
આકૃતિમાં દર્શાવ્યા પ્રમાણે રિંગના કેન્દ્રથી અક્ષ પર \( z \) અંતરે એક બિંદુ લો. રિંગ પરના \( dq \) વિદ્યુતભારથી \( P \) નું અંતર \( r \) હોય તો,
\( r = \sqrt{z^2+a^2} \)
અને \( P \) પાસે \( dq \) ના લીધે સ્થિતિમાન \( V = \frac{k dq}{r} \)
સમગ્ર રિંગ પરના વિદ્યુતભારથી \( P \) પાસે સ્થિતિમાન,
\( V = \int \frac{k dq}{r} = k \int \frac{dq}{\sqrt{z^2+a^2}} \)
\( V = \frac{k}{\sqrt{z^2+a^2}} \int dq = \frac{kQ}{\sqrt{z^2+a^2}} \) [\( \because \int dq = Q \)]
ચોખ્ખું વિદ્યુત સ્થિતિમાન,
\( V = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 \sqrt{z^2+a^2}} \)
જો \( P \) પાસે \( -q \) વિદ્યુતભાર હોય તો સ્થિતિઊર્જા,
\( U = W = qV \)
\( = -q \times \frac{kQ}{\sqrt{z^2+a^2}} \)
\( = -\frac{kQq}{\sqrt{z^2+a^2}} \)
હવે \( \frac{kQq}{a} = S \) નવો અચળાંક ધારતાં,
\( U = -\frac{S}{\sqrt{1+\frac{z^2}{a^2}}} \)
\( z >>> a \implies \frac{z^2}{a^2} >> 1 \) પણ \( z = 0 \implies \frac{z^2}{a^2} = 0 \)
\( \implies U = -S \)
તેથી \( U \rightarrow z \) નો આલેખ દર્શાવ્યા મુજબ મળે.
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): આ આલેખ દર્શાવે છે કે સ્થિતિઊર્જા \(U\) એ \(z\) (રિંગના કેન્દ્રથી અક્ષીય અંતર) ના વધારા સાથે ઋણ દિશામાં બદલાય છે. \(z=0\) પર, સ્થિતિઊર્જાનું મૂલ્ય સૌથી વધુ ઋણ હોય છે, અને \(z\) વધતા તે ધીમે ધીમે શૂન્યની નજીક પહોંચે છે.
જો \( -q \) વિદ્યુતભારને ખસેડવામાં આવે તો, તે દોલનો કરશે, પણ આલેખ પરથી દોલનોના પ્રકાર માટે કોઈ નિર્ણય લઈ શકીએ નહિ.
In simple words: The potential energy of a negative charge \(-q\) on the axis of a positively charged ring is negative and depends on its distance \(z\) from the center. It is most negative at the center (\(z=0\)) and increases towards zero as \(z\) increases. If this negative charge is slightly displaced from the center along the axis, it will experience a restoring force and oscillate around the center.

🎯 Exam Tip: For a charged ring, the electric field is zero at the center, but the potential is finite. A negative charge placed at the center of a positively charged ring is in stable equilibrium. Its potential energy is minimum (most negative) at this point.

Question 5. \( R \) ત્રિજ્યાની રિંગ ઉપર વિધુતભાર \( Q \) ના નિયમિત વિતરણને લીધે રિંગની અક્ષ ઉપરના સ્થિતિમાનની ગણતરી કરો.
Answer:
ધારો કે, \( R = a \) ત્રિજ્યાની રિંગ પર \( +Q \) વિદ્યુતભાર નિયમિત રીતે વિતરીત થયેલો છે.
રિંગના કેન્દ્રથી અક્ષ પર \( x \) અંતરે \( P \) બિંદુ લો અને રિંગ પરના \( dq \) વિદ્યુતભારથી \( P \) નું અંતર \( r \) હોય તો,
\( r = \sqrt{x^2+a^2} \)
અને \( P \) પાસે \( dq \) ના લીધે સ્થિતિમાન \( V = \frac{k dq}{r} \)
સમગ્ર રિંગ પરના વિદ્યુતભારથી \( P \) પાસે સ્થિતિમાન,
\( V = \int \frac{k dq}{r} = k \int \frac{dq}{\sqrt{x^2+a^2}} \)
\( V = \frac{k}{\sqrt{x^2+a^2}} \int dq = \frac{kQ}{\sqrt{x^2+a^2}} \) [\( \because \int dq = Q \)]
ચોખ્ખું વિદ્યુત સ્થિતિમાન,
\( V = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 \sqrt{x^2+a^2}} \)
In simple words: The electric potential at any point on the axis of a uniformly charged ring is calculated by summing the contributions from all small charge elements on the ring. The formula shows that the potential depends on the total charge, the ring's radius, and the distance of the point along the axis.

🎯 Exam Tip: This is a standard derivation. Remember that potential is a scalar, making integration simpler than for electric fields. At \(x=0\) (center), \( V = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 R} \), which is a finite value.

દીર્ધ જવાબી પ્રશ્નો (LA)

Question 1. \( \lambda \) જેટલી રેખીય વિધુતભાર ધનતા ધરાવતા \( r_0 \) ત્રિજ્યાના અનંત લંબાઈના નળાકાર માટે સમસ્થિતિમાનનું સમીકરણ તારવો.

Answer:
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र एक लंबे नळाकार को दर्शाता है जिसकी त्रिज्या r और लंबाई l है। इसके चारों ओर एक काल्पनिक गाउसीय बेलनाकार सतह दिखाई गई है, जिसकी त्रिज्या भी r और लंबाई l है। यह व्यवस्था नळाकार आवेश वितरण के कारण विद्युत क्षेत्र ज्ञात करने के लिए बनाई गई है।
અનંત લંબાઈના નળાકાર માટે સમસ્થિતિમાનનું સમીકરણ શોધવા માટે, આપણે ગૉસનો નિયમ લાગુ પાડીએ છીએ.

પ્રથમ, આપણે \( r \) ત્રિજ્યા અને \( l \) લંબાઈનું એક ગાઉસિયન પૃષ્ઠ કલ્પીએ છીએ જે નળાકારને ઘેરી વળેલું છે.
ગૉસના નિયમ મુજબ, ગાઉસિયન પૃષ્ઠમાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ \( \Phi_E = \int \vec{E} \cdot d\vec{S} \) એ અંદર ઘેરાયેલા કુલ વિદ્યુતભાર \( Q \) ના \( \frac{1}{\varepsilon_0} \) ગણા બરાબર હોય છે.
\( \int E_r dS \cos 0^\circ = \frac{Q}{\varepsilon_0} \)
નળાકારની સપાટી પર વિદ્યુતક્ષેત્ર \( E_r \) ત્રિજ્યાવર્તી દિશામાં હોય છે અને સપાટીને લંબ હોય છે, તેથી \( \cos 0^\circ = 1 \).
ઘેરાયેલો વિદ્યુતભાર \( Q = \lambda l \) (જ્યાં \( \lambda \) એ રેખીય વિદ્યુતભાર ઘનતા છે).
ગાઉસિયન નળાકારની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ \( 2\pi rl \) છે.
તેથી, \( E_r (2\pi rl) = \frac{\lambda l}{\varepsilon_0} \)
આમાંથી, વિદ્યુતક્ષેત્ર \( E_r = \frac{\lambda}{2\pi \varepsilon_0 r} \) મળે છે.
હવે, વિદ્યુત સ્થિતિમાન \( V \) શોધવા માટે, આપણે વિદ્યુતક્ષેત્રનું સંકલન કરીએ છીએ.
\( V(r) - V(r_0) = - \int_{r_0}^{r} \vec{E} \cdot d\vec{l} \)
\( V(r) - V(r_0) = - \int_{r_0}^{r} \frac{\lambda}{2\pi \varepsilon_0 r} dr \)
\( V(r) - V(r_0) = - \frac{\lambda}{2\pi \varepsilon_0} [\ln r]_{r_0}^{r} \)
\( V(r) - V(r_0) = - \frac{\lambda}{2\pi \varepsilon_0} (\ln r - \ln r_0) \)
\( V(r) - V(r_0) = \frac{\lambda}{2\pi \varepsilon_0} (\ln r_0 - \ln r) \)
\( V(r) - V(r_0) = \frac{\lambda}{2\pi \varepsilon_0} \ln \left(\frac{r_0}{r}\right) \)
આ સમીકરણ દર્શાવે છે કે સ્થિતિમાન \( \ln r \) ના પ્રમાણમાં બદલાય છે.
આથી, સમસ્થિતિમાન પૃષ્ઠો કેન્દ્રીય નળાકાર સપાટીઓ છે.

In simple words: આપણે ગૉસના નિયમનો ઉપયોગ કરીને અનંત નળાકારનું વિદ્યુત ક્ષેત્ર શોધીએ છીએ. પછી, આ વિદ્યુત ક્ષેત્રનું સંકલન કરીને આપણે વિદ્યુત સ્થિતિમાનનું સમીકરણ મેળવીએ છીએ. આ સમીકરણ દર્શાવે છે કે સમસ્થિતિમાન પૃષ્ઠો કેન્દ્રીય નળાકાર આકારના હોય છે.

🎯 Exam Tip: ગૉસના નિયમનો યોગ્ય રીતે ઉપયોગ કરવો અને વિદ્યુતક્ષેત્રમાંથી સ્થિતિમાન મેળવવા માટે સંકલન યોગ્ય રીતે કરવું એ આ પ્રકારના પ્રશ્નોમાં સારા ગુણ મેળવવા માટે મહત્વપૂર્ણ છે.

Question 2. શું અવકાશમાં મુક્ત ઇલેક્ટ્રોન ઊંચા સ્થિતિમાનવાળા વિસ્તારથી નીચા સ્થિતિમાનવાળા વિસ્તાર તરફ મુસાફરી (ગતિ) કરે ?

Answer:
ના, મુક્ત ઇલેક્ટ્રોન ઊંચા સ્થિતિમાનવાળા વિસ્તારથી નીચા સ્થિતિમાનવાળા વિસ્તાર તરફ ગતિ કરતો નથી. તેનું કારણ એ છે કે ઇલેક્ટ્રોન પર ઋણ વિદ્યુતભાર હોય છે.
વિદ્યુતક્ષેત્રની દિશા હંમેશાં ઊંચા વિદ્યુત સ્થિતિમાનથી નીચા વિદ્યુત સ્થિતિમાન તરફ હોય છે.
જોકે, ઋણ વિદ્યુતભાર પર બળ વિદ્યુતક્ષેત્રની વિરુદ્ધ દિશામાં લાગે છે.
આથી, એક મુક્ત ઇલેક્ટ્રોન વિદ્યુતક્ષેત્રની વિરુદ્ધ દિશામાં, એટલે કે નીચા વિદ્યુત સ્થિતિમાનવાળા વિસ્તારથી ઊંચા વિદ્યુત સ્થિતિમાનવાળા વિસ્તાર તરફ ગતિ કરે છે.

In simple words: ઇલેક્ટ્રોન ઋણ ચાર્જ ધરાવે છે, તેથી તે વિદ્યુત ક્ષેત્રની વિરુદ્ધ દિશામાં જાય છે. વિદ્યુત ક્ષેત્ર હંમેશાં ઊંચાથી નીચા વિભવ તરફ હોય છે, તેથી ઇલેક્ટ્રોન નીચા વિભવથી ઊંચા વિભવ તરફ જાય છે.

🎯 Exam Tip: ઇલેક્ટ્રોનના ઋણ વિદ્યુતભાર અને વિદ્યુતક્ષેત્ર તથા બળ વચ્ચેના સંબંધને સમજવું એ આ કલ્પનાને સ્પષ્ટ કરવા માટે મહત્વપૂર્ણ છે.

Question 3. શું કોઈ સમાન વિધુતભાર ધરાવતી બે નિકટવર્તી (નજીક રાખેલ) પ્લેટો વચ્ચે વિધુત સ્થિતિમાનનો તફાવત હોઈ શકે ?

Answer:
હા, સમાન વિદ્યુતભાર ધરાવતી બે નજીકની પ્લેટો વચ્ચે વિદ્યુત સ્થિતિમાનનો તફાવત હોઈ શકે છે.
જો વાહકોનું કદ અથવા પરિમાણ જુદા-જુદા હોય, તો સમાન વિદ્યુતભાર હોવા છતાં તેમના સ્થિતિમાન જુદા-જુદા હોઈ શકે છે.
વાહકની ક્ષમતા \( C = \frac{Q}{V} \) દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં \( Q \) વાહક પરનો વિદ્યુતભાર અને \( V \) તેનું વિદ્યુત સ્થિતિમાન છે.
આપેલા વિદ્યુતભાર \( Q \) માટે, સ્થિતિમાન \( V \) એ ક્ષમતા \( C \) ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે, એટલે કે \( V \propto \frac{1}{C} \).
જુદા-જુદા આડછેદના ક્ષેત્રફળો ધરાવતા વાહકો સમાન વિદ્યુતભારનું વહન કરતા હોય તો પણ તેમની ક્ષમતાઓ અલગ-અલગ હોય છે, પરિણામે સ્થિતિમાન અલગ-અલગ હોઈ શકે છે.

In simple words: હા, જો બે નજીકની પ્લેટોનું કદ અલગ હોય અને તેમના પર સમાન વિદ્યુતભાર હોય, તો પણ તેમની વચ્ચે વોલ્ટેજ તફાવત હોઈ શકે છે. આવું એટલા માટે થાય છે કારણ કે તેમની વિદ્યુત સંગ્રહ ક્ષમતા (capacitance) અલગ-અલગ હોય છે.

🎯 Exam Tip: કેપેસિટન્સ અને વિદ્યુત સ્થિતિમાન વચ્ચેનો સંબંધ \( V = \frac{Q}{C} \) સ્પષ્ટ રીતે સમજાવો અને વાહકના પરિમાણના મહત્વ પર ભાર મૂકો.

Question 4. શું મુક્ત અવકાશમાં સ્થિતિમાન વિધેય મહત્તમ કે ન્યૂનતમ હોઈ શકે ?

Answer:
ના, મુક્ત અવકાશમાં સ્થિતિમાન વિધેય મહત્તમ કે ન્યૂનતમ હોઈ શકતું નથી (ચાર્જ-મુક્ત પ્રદેશમાં).
આવું એટલા માટે કે, વિદ્યુતક્ષેત્ર \( E \) અને વિદ્યુત સ્થિતિમાન \( V \) વચ્ચેનો સંબંધ \( E = -\frac{dV}{dr} \) દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જો કોઈ બિંદુએ સ્થિતિમાન \( V \) મહત્તમ કે ન્યૂનતમ હોય, તો તે બિંદુએ \( \frac{dV}{dr} = 0 \) થવું જોઈએ.
પરિણામે, તે બિંદુએ વિદ્યુતક્ષેત્ર \( E \) શૂન્ય હોવું જોઈએ.
જોકે, મુક્ત અવકાશમાં (જ્યાં કોઈ વિદ્યુતભાર નથી), જો કોઈ બિંદુએ વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય હોય, તો તે વિસ્તારમાં સ્થિતિમાન અચળ હોવું જોઈએ, મહત્તમ કે ન્યૂનતમ નહીં.
લાપ્લાસના સમીકરણ ( \( \nabla^2 V = 0 \) ) મુજબ, મુક્ત અવકાશમાં સ્થિતિમાનનું કોઈ સ્થાનિક મહત્તમ કે ન્યૂનતમ હોતું નથી.

In simple words: મુક્ત અવકાશમાં, જ્યાં કોઈ ચાર્જ નથી, વિદ્યુત સ્થિતિમાન સૌથી ઊંચું કે સૌથી નીચું હોઈ શકતું નથી. જો તે સૌથી ઊંચું કે સૌથી નીચું હોય, તો ત્યાં વિદ્યુત ક્ષેત્ર શૂન્ય હોવું જોઈએ. પરંતુ, ચાર્જ વિનાના વિસ્તારમાં, વિદ્યુત સ્થિતિમાન ફક્ત સતત રહે છે.

🎯 Exam Tip: વિદ્યુતક્ષેત્ર અને વિદ્યુત સ્થિતિમાન વચ્ચેના સંબંધને અને મુક્ત અવકાશમાં લાપ્લાસના સમીકરણની અસરોને સમજાવવું મહત્વપૂર્ણ છે.

Question 5. આકૃતિમાં દર્શાવ્યા અનુસાર એક પરીક્ષણ વિધુતભાર \( q \) એ કોઈ બિંદુ વિધુતભાર \( Q \) ના વિધુતક્ષેત્રમાં બે જુદા-જુદા બંધ માર્ગો પર ગતિ કરે છે. પ્રથમ માર્ગનો આડછેદ (વિભાગ) એ વિધુતક્ષેત્ર રેખાઓની દિશામાં એને લંબરૂપે છે. બીજો જે લંબચોરસ બંધ માર્ગ છે; તેનું ક્ષેત્રફળ પ્રથમ લૂપ જેટલું જ છે. આ બંને કિસ્સાઓમાં કરેલાં કાર્યની સરખામણી કરો.

Answer:
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): इस चित्र में मूलबिंदु पर एक बिंदु आवेश Q रखा है। इसके चारों ओर विद्युत क्षेत्र रेखाएं बाहर की ओर निकल रही हैं। दो अलग-अलग बंद पथ दिखाए गए हैं: एक गोलाकार पथ और एक आयताकार पथ, दोनों ही पथ आवेश Q को घेरते हैं।
વિદ્યુતક્ષેત્ર સંરક્ષી બળ ક્ષેત્ર છે. સંરક્ષી બળ ક્ષેત્રમાં, બંધ માર્ગ પર ગતિ કરતાં વિદ્યુતભાર પર થતું કુલ કાર્ય હંમેશાં શૂન્ય હોય છે.
આનો અર્થ એ છે કે, વિદ્યુતભારને તેના પ્રારંભિક બિંદુથી ગતિ કરાવીને તે જ બિંદુ પર પાછો લાવવા માટે થયેલું કાર્ય શૂન્ય હોય છે. કાર્ય માત્ર વિદ્યુતભારની પ્રારંભિક અને અંતિમ સ્થિતિ પર આધાર રાખે છે, ગતિના માર્ગ પર નહીં.
આ કિસ્સામાં, બંને માર્ગો બંધ લૂપ છે. તેથી, બંને કિસ્સાઓમાં પરીક્ષણ વિદ્યુતભાર \( q \) પર થયેલું કાર્ય શૂન્ય થશે.
આથી, બંને કિસ્સાઓમાં થયેલાં કાર્યો સમાન છે અને શૂન્ય છે.

In simple words: વિદ્યુત ક્ષેત્રમાં, જો કોઈ ચાર્જ બંધ રસ્તા પર ચાલે તો તેના પર થયેલું કુલ કામ હંમેશાં શૂન્ય હોય છે. અહીં બંને રસ્તા બંધ છે, તેથી બંને કિસ્સામાં ચાર્જ પર થયેલું કામ શૂન્ય હશે.

🎯 Exam Tip: સંરક્ષી બળ ક્ષેત્રોમાં કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેયના સિદ્ધાંતને યાદ રાખવું મહત્વપૂર્ણ છે, ખાસ કરીને બંધ માર્ગ પરના કાર્ય માટે.

અતિટૂંક જવાબી પ્રશ્નો (VSA)

Question 1. સાબિત કરો કે જેની અંદર કોઈ વિધુતભાર નથી તેવું કોઈ બંધ સમસ્થિતિમાન પૃષ્ઠ, આપમેળે બંધ સમસ્થિતિમાન કદ ઘેરે છે.

Answer:
ધારો કે, એક બંધ સમસ્થિતિમાન પૃષ્ઠ છે જેની અંદર કોઈ વિદ્યુતભાર નથી.
સમસ્થિતિમાન પૃષ્ઠ પરના દરેક બિંદુએ વિદ્યુત સ્થિતિમાન સમાન હોય છે.
વિદ્યુતક્ષેત્ર \( E \) અને વિદ્યુત સ્થિતિમાન \( V \) વચ્ચેનો સંબંધ \( E = -\frac{dV}{dr} \) છે.
જો પૃષ્ઠ સમસ્થિતિમાન હોય, તો \( dV = 0 \), જેનો અર્થ થાય છે કે પૃષ્ઠ પરના વિદ્યુતક્ષેત્રનો સ્પર્શીય ઘટક શૂન્ય છે.
જો પૃષ્ઠની અંદર વિદ્યુતભાર ન હોય, તો ગૉસના નિયમ મુજબ, પૃષ્ઠમાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ શૂન્ય હોય છે, જેનો અર્થ છે કે પૃષ્ઠની અંદર સરેરાશ વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય છે.
આનો અર્થ એ થાય કે, પૃષ્ઠની અંદરના સમગ્ર કદમાં વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય હોય છે.
જો વિદ્યુતક્ષેત્ર \( E = 0 \) હોય, તો \( -\frac{dV}{dr} = 0 \), જે દર્શાવે છે કે સ્થિતિમાન \( V \) કદમાં અચળ છે.
તેથી, જો કોઈ વિદ્યુતભાર ન હોય તો બંધ સમસ્થિતિમાન પૃષ્ઠ આપમેળે તેની અંદરના સમગ્ર કદને સમસ્થિતિમાન કદ બનાવે છે.

In simple words: જો એક બંધ સપાટીની અંદર કોઈ ચાર્જ ન હોય અને તે સપાટી પર વિભવ સમાન હોય, તો સપાટીની અંદરના દરેક બિંદુએ વિભવ સમાન હશે. આનો અર્થ છે કે આખી જગ્યામાં વિભવ સમાન રહેશે.

🎯 Exam Tip: ગૉસના નિયમ અને વિદ્યુત સ્થિતિમાન-વિદ્યુતક્ષેત્ર સંબંધનો યોગ્ય ઉપયોગ કરવો આ સાબિતી માટે મહત્વપૂર્ણ છે.

Question 2. કૅપેસિટરની પ્લેટો વચ્ચે ડાયઇલેક્ટ્રિક છે અને આ કેપેસિટરને ઉદ્ગમ સાથે જોડેલ છે. હવે બેટરીને અલગ કરો અને પછી ડાયઇલેકિટ્રક દૂર કરો. એ જણાવો કે આમ કરવાથી કેપેસિટન્સ, કેપેસિટરમાં સંગ્રહીત વિધુતભાર અને વિધુત સ્થિતિમાન વધશે, ઘટશે કે અચળ રહેશે ?

Answer:
શરૂઆતમાં કેપેસિટર બેટરી સાથે જોડાયેલું છે અને તેની પ્લેટો વચ્ચે ડાયઇલેક્ટ્રિક છે.
આ સ્થિતિમાં કેપેસિટન્સ \( C = \frac{K\varepsilon_0 A}{d} \) હોય છે, જ્યાં \( K \) ડાયઇલેક્ટ્રિક અચળાંક છે.
જ્યારે બેટરીને અલગ કરવામાં આવે છે, ત્યારે કેપેસિટર પર સંગ્રહિત વિદ્યુતભાર \( Q \) અચળ રહે છે, કારણ કે વિદ્યુતભારને ક્યાંય જવાનો માર્ગ મળતો નથી.
હવે, જ્યારે ડાયઇલેક્ટ્રિક પદાર્થને દૂર કરવામાં આવે છે, ત્યારે કેપેસિટન્સ ઘટે છે. (કારણ કે \( K > 1 \) અને \( C_{dielectric} = KC_{air} \), તો \( C_{air} = \frac{C_{dielectric}}{K} \)).
જેમ કે વિદ્યુતભાર \( Q \) અચળ રહે છે અને કેપેસિટન્સ \( C \) ઘટે છે, વિદ્યુત સ્થિતિમાન \( V = \frac{Q}{C} \) વધશે.

સંક્ષિપ્તમાં:
1. કેપેસિટન્સ (C): ઘટશે
2. સંગ્રહિત વિદ્યુતભાર (Q): અચળ રહેશે
3. વિદ્યુત સ્થિતિમાન (V): વધશે

In simple words: પહેલા કેપેસિટર ચાર્જ થાય છે. પછી બેટરી કાઢ્યા પછી ડાયઇલેક્ટ્રિક દૂર કરીએ તો, ચાર્જ એ જ રહે છે, કેપેસિટરની ક્ષમતા ઘટે છે, અને વોલ્ટેજ વધે છે.

🎯 Exam Tip: બેટરી કનેક્ટેડ હોય કે ડિસ્કનેક્ટેડ હોય તેવા કિસ્સાઓમાં કેપેસિટન્સ, ચાર્જ અને વોલ્ટેજ કેવી રીતે બદલાય છે તેની સ્પષ્ટ સમજણ આપવી એ સારા ગુણ મેળવવા માટે મહત્વપૂર્ણ છે.

Question 3. સાબિત કરો કે, જો કોઈ અવાહક, વિદ્યુતભારિત વાહકને કોઈ વિધુતભારિત વાહકની નજીક મૂક્યો છે તથા અન્ય કોઈ વાહકો ત્યાં હાજર નથી તો વિધુતભારવિહીન પદાર્થનું સ્થિતિમાન એ વિધુતભારિત પદાર્થના સ્થિતિમાન અને અનંત સ્થિતિમાનની વચ્ચે હોવું જોઈએ.

Answer:
વિદ્યુતક્ષેત્ર રેખાઓ હંમેશાં ઊંચા વિદ્યુત સ્થિતિમાનથી નીચા વિદ્યુત સ્થિતિમાન તરફ ગતિ કરે છે.
ધારો કે, એક વિદ્યુતભારિત વાહક \( A \) છે જે ઉચ્ચ સ્થિતિમાન પર છે, અને એક અવાહક વિદ્યુતભારવિહીન પદાર્થ \( B \) તેની નજીક મૂકવામાં આવેલો છે. અનંત અંતરે સ્થિતિમાન શૂન્ય ગણીએ.
વિદ્યુતક્ષેત્ર રેખાઓ વાહક \( A \) થી શરૂ થઈને અવાહક પદાર્થ \( B \) તરફ જશે, કારણ કે \( A \) પર ધન વિદ્યુતભાર છે અને \( B \) પર પ્રેરિત ઋણ વિદ્યુતભાર હશે.
ત્યારબાદ, આ રેખાઓ \( B \) થી અનંત તરફ જશે.
આનો અર્થ એ થાય કે, વિદ્યુતક્ષેત્ર રેખાઓ વાહક \( A \) (ઉચ્ચ સ્થિતિમાન) થી શરૂ થાય છે અને અવાહક \( B \) માંથી પસાર થાય છે, પછી અનંત (શૂન્ય સ્થિતિમાન) સુધી પહોંચે છે.
જેમ કે વિદ્યુતક્ષેત્ર રેખાઓ ઉચ્ચથી નીચા સ્થિતિમાન તરફ હોય છે, અવાહક પદાર્થ \( B \) નું સ્થિતિમાન વાહક \( A \) ના સ્થિતિમાન અને અનંતના સ્થિતિમાન (જે શૂન્ય છે) ની વચ્ચે હોવું જોઈએ.

In simple words: વિદ્યુત ક્ષેત્ર હંમેશાં વધુ વોલ્ટેજથી ઓછા વોલ્ટેજ તરફ જાય છે. જો કોઈ ચાર્જ કરેલી વસ્તુની નજીક અનચાર્જ વસ્તુ મૂકવામાં આવે, તો અનચાર્જ વસ્તુનો વોલ્ટેજ ચાર્જ કરેલી વસ્તુ અને શૂન્ય વોલ્ટેજ (અનંત પર) ની વચ્ચે હશે.

🎯 Exam Tip: વિદ્યુતક્ષેત્ર રેખાઓની દિશા અને વિદ્યુત સ્થિતિમાન સાથેના તેમના સંબંધને સમજાવવું આ પ્રશ્નનો મુખ્ય મુદ્દો છે.

Question 4. \( R \) ત્રિજ્યાની રિંગ ઉપર સમાન રીતે વિધુતભાર \( +Q \) વિતરીત થયેલ છે તેની અક્ષ પર રહેલા કોઈ બિંદુ ની સ્થિતિઊર્જા ગણો. સ્થિતિઊર્જાને રિંગના કેન્દ્રથી અક્ષીય અંતર \( Z \) ના વિધેય તરીકે લઈ તેના આલખ દારો. (આલેખ જુઓ) શુ તમે એ જોઈ શકો છો કે, જો \( -q \) ને રિંગના કેન્દ્રથી સહેજ વિસ્થાપિત (અક્ષ ઉપર) કરવામાં આવે તો શું થશે ?

Answer:
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र 'a' त्रिज्या की एक वलय को दर्शाता है जिस पर +Q आवेश समान रूप से फैला हुआ है। वलय के केंद्र से 'z' दूरी पर इसकी अक्ष पर एक बिंदु P दिखाया गया है। वलय पर एक छोटा आवेश खंड 'dq' दर्शाया गया है, जिसकी बिंदु P से दूरी 'r' है। यह विन्यास वलय के अक्ष पर विभव की गणना करने में मदद करता है।
ધારો કે \( a \) ત્રિજ્યાની રિંગ પર \( +Q \) વિદ્યુતભાર સમાન રીતે વિતરિત થયેલો છે.
રિંગના કેન્દ્રથી \( z \) અંતરે તેની અક્ષ પર કોઈ બિંદુ \( P \) લઈએ. રિંગ પરના નાના ખંડ \( dq \) થી \( P \) બિંદુનું અંતર \( r = \sqrt{z^2+a^2} \) થશે.
\( dq \) વિદ્યુતભારને કારણે \( P \) બિંદુએ સ્થિતિમાન \( dV = \frac{k dq}{r} \) થશે.
સમગ્ર રિંગને કારણે \( P \) બિંદુએ કુલ સ્થિતિમાન \( V \) શોધવા માટે \( dq \) નું સંકલન કરતાં:
\( V = \int \frac{k dq}{r} = \frac{k}{r} \int dq = \frac{kQ}{\sqrt{z^2+a^2}} \)
આથી, \( P \) બિંદુએ વિદ્યુત સ્થિતિમાન \( V = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 \sqrt{z^2+a^2}} \)
જો \( P \) બિંદુએ \( -q \) વિદ્યુતભાર હોય, તો તેની સ્થિતિઊર્જા \( U = (-q)V \) થશે.
\( U = -\frac{qQ}{4\pi\varepsilon_0 \sqrt{z^2+a^2}} \)
જેને \( U = -\frac{S}{\sqrt{z^2+a^2}} \) તરીકે પણ લખી શકાય, જ્યાં \( S = \frac{qQ}{4\pi\varepsilon_0} \) એક અચળાંક છે.
જો \( z >>> a \) હોય, તો \( U \approx -\frac{S}{z} \).
જો \( z = 0 \) હોય (રિંગના કેન્દ્ર પર), તો \( U = -\frac{S}{a} \) જે લઘુત્તમ સ્થિતિઊર્જા દર્શાવે છે.
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र स्थितिज ऊर्जा (U) और विस्थापन (z) के बीच का ग्राफ दर्शाता है। ग्राफ से पता चलता है कि U, z=0 पर न्यूनतम है, जो स्थायी संतुलन को इंगित करता है। जैसे-जैसे z बढ़ता है, U भी बढ़ती है।
જો \( -q \) વિદ્યુતભારને રિંગના કેન્દ્રથી (જ્યાં \( U \) લઘુત્તમ છે) સહેજ વિસ્થાપિત કરવામાં આવે તો, તે વિદ્યુતભાર કેન્દ્ર તરફ આકર્ષિત થશે અને સરળ હાર્મોનિક ગતિ (SHM) કરી શકે છે (જો વિસ્થાપન ખૂબ નાનું હોય).
આ કિસ્સામાં, \( z=0 \) એ સ્થાયી સંતુલનનું બિંદુ છે.

In simple words: રિંગની અક્ષ પરના કોઈ બિંદુએ વિદ્યુત સ્થિતિમાનની ગણતરી કરીએ છીએ. પછી, ત્યાં \( -q \) ચાર્જ મૂકીને તેની સ્થિતિઊર્જા શોધીએ છીએ. જો \( -q \) ચાર્જને કેન્દ્રથી થોડો ખસેડીએ, તો તે પાછો કેન્દ્ર તરફ ખેંચાશે અને આગળ-પાછળ ગતિ કરશે.

🎯 Exam Tip: રિંગના અક્ષ પર સ્થિતિમાનની ગણતરી માટે સંકલનનો યોગ્ય રીતે ઉપયોગ કરવો અને સ્થિતિઊર્જાના ગ્રાફનું વિશ્લેષણ કરવું પરીક્ષામાં સારા ગુણ મેળવવા માટે નિર્ણાયક છે.

Question 5.

(a) મૂળભૂત કણોના ક્વાર્ક્સ મોડલમાં, ન્યૂટ્રોન એક અપ ક્વાડ [વિધુતભાર \( (\frac {2}{3}e) \)] અને બે ડાઉન ક્વાકર્સ [વિધુતભાર \( (-\frac {1}{3}e) \)] મળીને બનેલો છે. ધારો કે તે \( 10^{-15} \) મી લંબાઈની બાજુઓવાળી ત્રિકોણાકાર રચના ધરાવે છે. ન્યૂટ્રોનની સ્થિતવિધુત સ્થિતિઊર્જા ગણો અને તેની સરખામણી તેના દ્રવ્યમાન \( 939 \) MeV સાથે કરો.

Answer:
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र एक न्यूट्रॉन की क्वार्क संरचना को दर्शाता है, जिसमें एक अप क्वार्क (\(q_u\)) और दो डाउन क्वार्क (\(q_d\)) एक त्रिभुज के शीर्षों पर स्थित हैं। त्रिभुज की प्रत्येक भुजा की लंबाई 'r' है। यह संरचना न्यूट्रॉन की स्थितिज ऊर्जा की गणना के लिए है।
ન્યૂટ્રોન એક અપ ક્વાર્ક \( (q_u = +\frac{2}{3}e) \) અને બે ડાઉન ક્વાર્ક \( (q_d = -\frac{1}{3}e) \) થી બનેલો છે.
તેઓ \( r = 10^{-15} \) m લંબાઈની બાજુઓવાળી સમબાજુ ત્રિકોણ રચનામાં છે.
ત્રણ ક્વાર્કની તંત્રની સ્થિતિઊર્જા એ દરેક જોડની સ્થિતિઊર્જાનો સરવાળો છે:
\( U = \frac{k q_u q_d}{r} + \frac{k q_d q_d}{r} + \frac{k q_u q_d}{r} \)
\( U = \frac{k}{r} \left[ q_u q_d + q_d q_d + q_u q_d \right] \)
\( U = \frac{k}{r} \left[ \left(\frac{2}{3}e\right)\left(-\frac{1}{3}e\right) + \left(-\frac{1}{3}e\right)\left(-\frac{1}{3}e\right) + \left(\frac{2}{3}e\right)\left(-\frac{1}{3}e\right) \right] \)
\( U = \frac{k}{r} \left[ -\frac{2}{9}e^2 + \frac{1}{9}e^2 - \frac{2}{9}e^2 \right] \)
\( U = \frac{k e^2}{9r} \left[ -2 + 1 - 2 \right] \)
\( U = \frac{k e^2}{9r} (-3) = -\frac{3 k e^2}{9r} = -\frac{k e^2}{3r} \)
અહીં, \( k = 9 \times 10^9 \, \text{Nm}^2/\text{C}^2 \), \( e = 1.6 \times 10^{-19} \, \text{C} \), \( r = 10^{-15} \, \text{m} \)
\( U = -\frac{(9 \times 10^9) (1.6 \times 10^{-19})^2}{3 \times 10^{-15}} \)
\( U = -\frac{(9 \times 10^9) (2.56 \times 10^{-38})}{3 \times 10^{-15}} \)
\( U = -(3 \times 10^9) (2.56 \times 10^{-38}) \times 10^{15} \)
\( U = -7.68 \times 10^{-14} \, \text{J} \)
આ ઊર્જાને eV માં રૂપાંતરિત કરવા માટે \( 1 \, \text{eV} = 1.6 \times 10^{-19} \, \text{J} \) નો ઉપયોગ કરીએ:
\( U = \frac{-7.68 \times 10^{-14} \, \text{J}}{1.6 \times 10^{-19} \, \text{J/eV}} = -4.8 \times 10^5 \, \text{eV} = -0.48 \, \text{MeV} \)
ન્યૂટ્રોનનું દ્રવ્યમાન ઊર્જા \( 939 \, \text{MeV} \) છે.
સ્થિત વિદ્યુત ઊર્જા અને દ્રવ્યમાન ઊર્જાનો ગુણોત્તર:
\( \frac{|U|}{m_0 c^2} = \frac{0.48 \, \text{MeV}}{939 \, \text{MeV}} \approx 0.000511 \)
આ ગુણોત્તર ખૂબ નાનો છે, જે દર્શાવે છે કે સ્થિત વિદ્યુત ઊર્જા ન્યૂટ્રોનના કુલ દ્રવ્યમાન ઊર્જાના ભાગ રૂપે ખૂબ જ નાની છે.

In simple words: ન્યુટ્રોન એક અપ ક્વાર્ક અને બે ડાઉન ક્વાર્કથી બનેલો છે. તેમની સ્થિતિ ઊર્જાની ગણતરી કરીએ છીએ. આ ઊર્જા ન્યુટ્રોનની કુલ દળ ઊર્જા કરતાં ઘણી નાની હોય છે, જે દર્શાવે છે કે સ્થિતિ ઊર્જાનું યોગદાન નહિવત્ છે.

🎯 Exam Tip: ક્વાર્કના વિદ્યુતભાર મૂલ્યો અને સ્થિતિઊર્જાના સૂત્રનો સાચો ઉપયોગ કરવો, તેમજ એકમોનું યોગ્ય રૂપાંતરણ કરવું મહત્વપૂર્ણ છે.

Question 5.

(b) બે અપ અને એક ડાઉન ક્વાર્કના બનેલા પ્રોટોન માટે ઉપરના પ્રનું પુનરાવર્તન કરો

Answer:
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र एक प्रोटॉन की क्वार्क संरचना को दर्शाता है, जिसमें दो अप क्वार्क (\(q_u\)) और एक डाउन क्वार्क (\(q_d\)) एक त्रिभुज के शीर्षों पर स्थित हैं। त्रिभुज की प्रत्येक भुजा की लंबाई 'r' है। यह संरचना प्रोटॉन की स्थितिज ऊर्जा की गणना के लिए है।
પ્રોટોન બે અપ ક્વાર્ક \( (q_u = +\frac{2}{3}e) \) અને એક ડાઉન ક્વાર્ક \( (q_d = -\frac{1}{3}e) \) થી બનેલો છે.
તેઓ \( r = 10^{-15} \) m લંબાઈની બાજુઓવાળી સમબાજુ ત્રિકોણ રચનામાં છે.
ત્રણ ક્વાર્કની તંત્રની સ્થિતિઊર્જા:
\( U = \frac{k q_u q_u}{r} + \frac{k q_u q_d}{r} + \frac{k q_u q_d}{r} \)
\( U = \frac{k}{r} \left[ q_u q_u + q_u q_d + q_u q_d \right] \)
\( U = \frac{k}{r} \left[ \left(\frac{2}{3}e\right)\left(\frac{2}{3}e\right) + \left(\frac{2}{3}e\right)\left(-\frac{1}{3}e\right) + \left(\frac{2}{3}e\right)\left(-\frac{1}{3}e\right) \right] \)
\( U = \frac{k e^2}{9r} \left[ 4 - 2 - 2 \right] \)
\( U = \frac{k e^2}{9r} (0) = 0 \)
આમ, પ્રોટોનની સ્થિત વિદ્યુત ઊર્જા શૂન્ય છે.
તેથી, પ્રોટોનની સ્થિત વિદ્યુત ઊર્જા અને દ્રવ્યમાન ઊર્જાનો ગુણોત્તર પણ શૂન્ય થશે.

In simple words: પ્રોટોન બે અપ ક્વાર્ક અને એક ડાઉન ક્વાર્કથી બનેલો છે. તેમની વચ્ચેની સ્થિતિ ઊર્જાની ગણતરી કરતાં તે શૂન્ય મળે છે, કારણ કે તેમના વિદ્યુતભારોનું સંયોજન આવું પરિણામ આપે છે.

🎯 Exam Tip: જુદા-જુદા ક્વાર્ક સંયોજનો માટે વિદ્યુતભારના ગુણાકારની કાળજીપૂર્વક ગણતરી કરવી મહત્વપૂર્ણ છે, કારણ કે તે પરિણામી સ્થિતિઊર્જાને સીધી અસર કરે છે.

Question 6. એકની ત્રિજ્યા \( R \) અને બીજાની ત્રિજ્યા \( 2R \) હોય તેવા બે ધાતુના ગોળાઓ, બંને સમાન પૃષ્ઠ વિધુતભાર ધનતા \( \sigma \) (નીશાની) ધરાવે છે. બંનેને એકબીજાના સંપર્કમાં લાવી અલગ કરવામાં આવે, તો આ બંનેની સપાટી ઉપર નવી પૃષ્ઠ વિધુતભાર ધનતા કેટલી હશે ?

Answer:
**પ્રારંભિક સ્થિતિ:**
નાના ગોળાની ત્રિજ્યા \( R \) અને મોટા ગોળાની ત્રિજ્યા \( 2R \) છે.
બંનેની પૃષ્ઠ વિદ્યુતભાર ઘનતા \( \sigma \) સમાન છે.
નાના ગોળા પરનો પ્રારંભિક વિદ્યુતભાર \( Q_1 = \sigma \times (4\pi R^2) \)
મોટા ગોળા પરનો પ્રારંભિક વિદ્યુતભાર \( Q_2 = \sigma \times (4\pi (2R)^2) = \sigma \times (16\pi R^2) = 4Q_1 \)
કુલ પ્રારંભિક વિદ્યુતભાર \( Q_{total} = Q_1 + Q_2 = Q_1 + 4Q_1 = 5Q_1 \).

**સંપર્ક પછી:**
જ્યારે ગોળાઓને સંપર્કમાં લાવવામાં આવે છે, ત્યારે વિદ્યુતભારો એવી રીતે વહેંચાય છે કે બંને ગોળાઓ પર વિદ્યુત સ્થિતિમાન સમાન થઈ જાય.
ધારો કે સંપર્કમાં લાવીને અલગ કર્યા પછી નાના ગોળા પરનો વિદ્યુતભાર \( Q_1' \) અને મોટા ગોળા પરનો વિદ્યુતભાર \( Q_2' \) છે.
સ્થિતિમાન સમાન હોવાથી:
\( V_1 = V_2 \implies \frac{kQ_1'}{R} = \frac{kQ_2'}{2R} \implies Q_2' = 2Q_1' \)
વિદ્યુતભારના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
\( Q_1' + Q_2' = Q_{total} = 5Q_1 \)
\( Q_1' + 2Q_1' = 5Q_1 \implies 3Q_1' = 5Q_1 \implies Q_1' = \frac{5}{3} Q_1 \)
અને \( Q_2' = 2Q_1' = 2 \times \frac{5}{3} Q_1 = \frac{10}{3} Q_1 \)

**નવી પૃષ્ઠ વિદ્યુતભાર ઘનતા:**
નાના ગોળા પરની નવી પૃષ્ઠ વિદ્યુતભાર ઘનતા \( \sigma_1' = \frac{Q_1'}{4\pi R^2} = \frac{\frac{5}{3} Q_1}{4\pi R^2} = \frac{5}{3} \frac{Q_1}{4\pi R^2} = \frac{5}{3} \sigma \)
મોટા ગોળા પરની નવી પૃષ્ઠ વિદ્યુતભાર ઘનતા \( \sigma_2' = \frac{Q_2'}{4\pi (2R)^2} = \frac{\frac{10}{3} Q_1}{16\pi R^2} = \frac{10}{3 \times 4} \frac{Q_1}{4\pi R^2} = \frac{10}{12} \sigma = \frac{5}{6} \sigma \)

In simple words: બે ગોળાને સંપર્કમાં લાવ્યા પછી, તેમના પરના ચાર્જ ફરીથી વહેંચાય છે જેથી તેમનો વોલ્ટેજ સમાન બને. આના આધારે, આપણે નવા ચાર્જ અને પછી તેમની નવી ચાર્જ ઘનતા શોધીએ છીએ, જે પ્રારંભિક ચાર્જ ઘનતાથી અલગ હોય છે.

🎯 Exam Tip: વિદ્યુતભાર સંરક્ષણનો નિયમ અને સંપર્કમાં આવતા ગોળાઓ માટે સ્થિતિમાનની સમાનતાના સિદ્ધાંતને યાદ રાખવું આ પ્રશ્ન માટે ચાવીરૂપ છે.

Question 7. નીચે આપેલ આકૃતિમાં દશવિલ પરિપથમાં, શરૂઆતમાં કળ \( K_1 \) બંધ અને કળ \( K_2 \) ખુલ્લી છે. દરેક કેપેસિટર પરનો વિધુતભાર કેટલો હશે ? ત્યાર બાદ \( K_1 \) ખુલ્લી અને \( K_2 \) બંધ કરી, તો હવે દરેક કેપેસિટર ઉપરનો વિધુતભાર કેટલો હશે ? \( C = 1 \, \mu\text{F} \) છે.

Answer:
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र तीन कैपेसिटर \(C_1, C_2, C_3\) और एक 9V बैटरी E से बने एक परिपथ को दर्शाता है। स्विच \(K_1\) और \(K_2\) की विभिन्न स्थितियों में कैपेसिटर पर आवेश की गणना की जाती है। पहली स्थिति में \(K_1\) बंद और \(K_2\) खुला है, जबकि दूसरी स्थिति में \(K_1\) खुला और \(K_2\) बंद है।
આપેલ છે: \( C = 1 \, \mu\text{F} \)
\( C_1 = 6C = 6 \, \mu\text{F} \)
\( C_2 = 3C = 3 \, \mu\text{F} \)
\( C_3 = 3C = 3 \, \mu\text{F} \)
બેટરી વોલ્ટેજ \( E = 9 \, \text{V} \)

**પ્રથમ સ્થિતિ: \( K_1 \) બંધ અને \( K_2 \) ખુલ્લી છે.**
આ સ્થિતિમાં \( C_1 \) અને \( C_2 \) શ્રેણીમાં જોડાયેલા છે, અને \( C_3 \) ડિસ્કનેક્ટેડ છે.
શ્રેણીમાં સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ \( C_{eq} = \frac{C_1 C_2}{C_1+C_2} = \frac{6 \times 3}{6+3} = \frac{18}{9} = 2 \, \mu\text{F} \)
પરિપથમાં કુલ વિદ્યુતભાર \( Q = C_{eq} E = (2 \, \mu\text{F}) \times 9 \, \text{V} = 18 \, \mu\text{C} \)
શ્રેણી જોડાણમાં, દરેક કેપેસિટર પર વિદ્યુતભાર સમાન હોય છે.
તેથી, \( C_1 \) પર વિદ્યુતભાર \( Q_1 = 18 \, \mu\text{C} \)
અને \( C_2 \) પર વિદ્યુતભાર \( Q_2 = 18 \, \mu\text{C} \)
\( C_3 \) ડિસ્કનેક્ટેડ હોવાથી તેના પર કોઈ વિદ્યુતભાર નથી, \( Q_3 = 0 \, \mu\text{C} \).

**બીજી સ્થિતિ: \( K_1 \) ખુલ્લી અને \( K_2 \) બંધ છે.**
હવે \( C_2 \) અને \( C_3 \) સમાંતરમાં જોડાયેલા છે, અને આ સંયોજન \( C_1 \) સાથે શ્રેણીમાં જોડાયેલું છે.
\( C_2 \) અને \( C_3 \) નું સમાંતર સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ \( C_{23} = C_2 + C_3 = 3 \, \mu\text{F} + 3 \, \mu\text{F} = 6 \, \mu\text{F} \)
હવે \( C_1 \) અને \( C_{23} \) શ્રેણીમાં છે.
સંપૂર્ણ પરિપથનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ \( C_{total} = \frac{C_1 C_{23}}{C_1 + C_{23}} = \frac{6 \times 6}{6+6} = \frac{36}{12} = 3 \, \mu\text{F} \)
બેટરીમાંથી ખેંચાયેલો કુલ વિદ્યુતભાર \( Q_{total}' = C_{total} E = (3 \, \mu\text{F}) \times 9 \, \text{V} = 27 \, \mu\text{C} \)
શ્રેણી જોડાણમાં, \( C_1 \) પરનો વિદ્યુતભાર \( Q_1' = 27 \, \mu\text{C} \)
અને \( C_{23} \) પરનો વિદ્યુતભાર \( Q_{23}' = 27 \, \mu\text{C} \)
\( C_{23} \) એ \( C_2 \) અને \( C_3 \) નું સમાંતર સંયોજન છે, તેથી \( C_2 \) અને \( C_3 \) પર સમાન સ્થિતિમાન તફાવત \( V_{23} \) હશે.
\( V_{23} = \frac{Q_{23}'}{C_{23}} = \frac{27 \, \mu\text{C}}{6 \, \mu\text{F}} = 4.5 \, \text{V} \)
હવે \( C_2 \) અને \( C_3 \) પરના વિદ્યુતભાર:
\( Q_2' = C_2 V_{23} = (3 \, \mu\text{F}) \times 4.5 \, \text{V} = 13.5 \, \mu\text{C} \)
\( Q_3' = C_3 V_{23} = (3 \, \mu\text{F}) \times 4.5 \, \text{V} = 13.5 \, \mu\text{C} \)

In simple words: પહેલા, K1 બંધ હોય ત્યારે કેપેસિટર્સ પરનો ચાર્જ શોધીએ છીએ. પછી, K1 ખોલીને K2 બંધ કરીએ ત્યારે કેપેસિટર્સનું જોડાણ બદલાય છે. આ નવી ગોઠવણીમાં દરેક કેપેસિટર પર કેટલો ચાર્જ હશે તે ફરીથી ગણીએ છીએ.

🎯 Exam Tip: શ્રેણી અને સમાંતર જોડાણ માટે કેપેસિટન્સ અને વિદ્યુતભારના નિયમોને યોગ્ય રીતે લાગુ પાડવા, તેમજ દરેક સ્થિતિમાં સર્કિટનું વિશ્લેષણ કરવું, આ પ્રશ્નમાં સંપૂર્ણ ગુણ મેળવવા માટે જરૂરી છે.

Question 8. \( R \) ત્રિજ્યાની એક તકતીની સપાટી ઉપર થયેલા \( Q \) વિધુતભારને લીધે તેની અક્ષ ઉપર સ્થિતિમાન શોધો. ઉત્તર: ધારો કે, રિશના કેન્દ્રથી \( x \) અંતરે તેના અક્ષ પર \( P \) બિંદુ છે અને તકતીને અસંખ્ય સંખ્યામાં વિદ્યુતભારિત રિંગમાં વિભાગેલો કલ્પો જે નીચે આકૃતિમાં દર્શાવ્યું છે.

Answer:
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र R त्रिज्या की एक वृत्ताकार डिस्क को दर्शाता है जिस पर Q आवेश वितरित है। डिस्क के केंद्र से x दूरी पर इसकी अक्ष पर एक बिंदु P दिखाया गया है। आवेशित डिस्क को अनंत पतली वलयों में विभाजित करके दर्शाया गया है, जिसमें से r त्रिज्या और dr मोटाई वाली एक वलय दिखाई गई है। यह विन्यास डिस्क की अक्ष पर विभव की गणना के लिए है।
ધારો કે, \( R \) ત્રિજ્યાની એક તકતી પર \( Q \) વિદ્યુતભાર સમાન રીતે વિતરિત થયેલો છે.
સપાટી વિદ્યુતભાર ઘનતા \( \sigma = \frac{Q}{\pi R^2} \)
તકતીના કેન્દ્રથી \( x \) અંતરે તેની અક્ષ પર એક બિંદુ \( P \) લઈએ.
તકતીને \( r \) ત્રિજ્યા અને \( dr \) જાડાઈવાળી અસંખ્ય રિંગમાં વિભાજીત કરીએ.
એક આવી રિંગ પરનો વિદ્યુતભાર \( dq = \sigma (2\pi r dr) \)
આ \( dq \) વિદ્યુતભારને કારણે \( P \) બિંદુએ સ્થિતિમાન \( dV = \frac{k dq}{\sqrt{x^2+r^2}} = \frac{dq}{4\pi\varepsilon_0 \sqrt{x^2+r^2}} \)
સમીકરણમાં \( dq \) ની કિંમત મૂકતાં:
\( dV = \frac{\sigma (2\pi r dr)}{4\pi\varepsilon_0 \sqrt{x^2+r^2}} = \frac{\sigma r dr}{2\varepsilon_0 \sqrt{x^2+r^2}} \)
કુલ સ્થિતિમાન \( V \) શોધવા માટે \( r=0 \) થી \( r=R \) સુધી સંકલન કરીએ:
\( V = \int_0^R \frac{\sigma r dr}{2\varepsilon_0 \sqrt{x^2+r^2}} = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0} \int_0^R \frac{r dr}{\sqrt{x^2+r^2}} \)
સંકલન માટે, \( u = x^2+r^2 \) ધારીએ, તો \( du = 2r dr \implies r dr = \frac{du}{2} \).
જ્યારે \( r=0 \), \( u=x^2 \). જ્યારે \( r=R \), \( u=x^2+R^2 \).
\( V = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0} \int_{x^2}^{x^2+R^2} \frac{1}{\sqrt{u}} \frac{du}{2} = \frac{\sigma}{4\varepsilon_0} [2\sqrt{u}]_{x^2}^{x^2+R^2} \)
\( V = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0} [\sqrt{x^2+R^2} - \sqrt{x^2}] \)
\( V = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0} [\sqrt{x^2+R^2} - |x|] \)
\( \sigma = \frac{Q}{\pi R^2} \) કિંમત મુકતા:
\( V = \frac{Q}{2\pi\varepsilon_0 R^2} [\sqrt{x^2+R^2} - |x|] \)

In simple words: ડિસ્ક પરના ચાર્જને કારણે તેની અક્ષ પરના બિંદુએ વિદ્યુત સ્થિતિમાન શોધવા માટે, આપણે ડિસ્કને નાની નાની રિંગ્સમાં વિભાજિત કરીએ છીએ. પછી, દરેક રિંગને કારણે થતું સ્થિતિમાન શોધીને તેનો સરવાળો કરીએ (સંકલન). અંતે, આપણને \( x \) અંતરે સ્થિતિમાન માટેનું સૂત્ર મળે છે.

🎯 Exam Tip: સંકલન પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સતત વિદ્યુતભાર વિતરણ માટે સ્થિતિમાનની ગણતરી કરવી અને સંકલનની મર્યાદાઓ પર ધ્યાન આપવું આ પ્રશ્ન માટે crucial છે.

Question 9. બે વિધુતભારો \( -q_1 \) અને \( +q_2 \) અનુક્રમે \( (0,0,d) \) અને \( (0,0,-d) \) એ મૂકેલ છે. જ્યાં સ્થિતિમાન શૂન્ય હોય તેવાં બિંદુઓનું સ્થાન નક્કી કરો.

Answer:
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र z-अक्ष पर दो बिंदु आवेशों को दर्शाता है: +q1 बिंदु (0,0,d) पर और -q2 बिंदु (0,0,-d) पर। अंतरिक्ष में एक सामान्य बिंदु P(x,y,z) भी दिखाया गया है, जिसकी दोनों आवेशों से दूरियाँ दर्शाई गई हैं। यह विन्यास उन बिंदुओं को ज्ञात करने में मदद करता है जहाँ विद्युत विभव शून्य होता है।
ધારો કે બિંદુ \( P(x,y,z) \) પર વિદ્યુત સ્થિતિમાન શૂન્ય છે.
\( -q_1 \) વિદ્યુતભાર \( (0,0,d) \) પર છે.
\( +q_2 \) વિદ્યુતભાર \( (0,0,-d) \) પર છે.
\( P \) બિંદુથી \( -q_1 \) નું અંતર \( r_1 = \sqrt{x^2+y^2+(z-d)^2} \)
\( P \) બિંદુથી \( +q_2 \) નું અંતર \( r_2 = \sqrt{x^2+y^2+(z+d)^2} \)
\( P \) બિંદુએ કુલ સ્થિતિમાન શૂન્ય હોવા માટે:
\( V = V_1 + V_2 = 0 \)
\( \frac{k(-q_1)}{r_1} + \frac{k(q_2)}{r_2} = 0 \)
\( \frac{-q_1}{r_1} + \frac{q_2}{r_2} = 0 \)
\( \frac{q_1}{r_1} = \frac{q_2}{r_2} \implies q_1 r_2 = q_2 r_1 \)
\( q_1 \sqrt{x^2+y^2+(z+d)^2} = q_2 \sqrt{x^2+y^2+(z-d)^2} \)
બંને બાજુ વર્ગ કરતાં:
\( q_1^2 (x^2+y^2+(z+d)^2) = q_2^2 (x^2+y^2+(z-d)^2) \)
\( q_1^2 (x^2+y^2+z^2+2zd+d^2) = q_2^2 (x^2+y^2+z^2-2zd+d^2) \)
\( (q_1^2 - q_2^2) (x^2+y^2+z^2+d^2) + 2zd(q_1^2 + q_2^2) = 0 \)
આ સમીકરણ તે બિંદુઓનું સ્થાન દર્શાવે છે જ્યાં સ્થિતિમાન શૂન્ય છે.
જો \( q_1 = q_2 = q \) હોય, તો:
\( 2zd(q^2+q^2) = 0 \implies 4zdq^2 = 0 \implies z=0 \)
આનો અર્થ એ થાય કે, જો વિદ્યુતભારો સમાન મૂલ્યના અને વિરુદ્ધ નિશાનીના હોય, તો સ્થિતિમાન શૂન્ય xy-સમતલમાં \( (z=0) \) હોય છે, જે વિદ્યુત ડાયપોલના વિષુવવૃત્તીય સમતલ તરીકે ઓળખાય છે.

In simple words: બે જુદા-જુદા ચાર્જ આપેલા છે. આપણે એવા બિંદુઓ શોધવાના છે જ્યાં કુલ વોલ્ટેજ શૂન્ય થાય. આ માટે, આપણે દરેક ચાર્જને કારણે થતા વોલ્ટેજને શૂન્ય સાથે સરખાવીએ છીએ. પછી સમીકરણને ઉકેલીને એવા બિંદુઓનું સ્થાન શોધીએ છીએ.

🎯 Exam Tip: વિદ્યુત સ્થિતિમાનની વ્યાખ્યા અને અંતરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને બીજગણિતીય ગણતરીમાં ચોકસાઈ રાખવી મહત્વપૂર્ણ છે.

Question 10. દરેકનો વિધુતભાર \( -q \) છે તેવા બે વિધુતભારો વચ્ચેનું અંતર \( 2d \) છે. ત્રીજો \( +q \) વિધુતભાર તેના મધ્યબિંદુ \( O \) પર રાખેલ છે. \( -q \) વિધુતભારોના લીધે \( +q \) વિધુતભારની સ્થિતિઊર્જાને \( O \) થી નાના અંતર \( x \) ના વિધેય સ્વરૂપે દર્શાવો. સ્થિતિઊર્જા (PE.) વિરુદ્ધ \( x \) નો આલેખ દોરો. તમે જાતે ખાતરી કરો કે, \( O \) ઉપરનો વિધુતભાર અસ્થાયી સંતુલનમાં છે.

Answer:
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र तीन आवेशों की व्यवस्था को दर्शाता है: दो -q आवेश 2d दूरी पर स्थित हैं, और एक +q आवेश उनके ठीक मध्यबिंदु O पर रखा गया है। +q आवेश को मध्यबिंदु से x दूरी पर विस्थापित दिखाया गया है। यह व्यवस्था +q आवेश की स्थितिज ऊर्जा और उसके संतुलन का विश्लेषण करने के लिए है।
બે \( -q \) વિદ્યુતભારો \( -d \) અને \( +d \) અંતરે મૂકેલા છે.
ત્રીજો \( +q \) વિદ્યુતભાર મધ્યબિંદુ \( O \) થી \( x \) અંતરે વિસ્થાપિત થયેલો છે.
તો \( +q \) વિદ્યુતભારની બંને \( -q \) વિદ્યુતભારોને કારણે સ્થિતિઊર્જા:
\( U = \frac{k(-q)(+q)}{(d-x)} + \frac{k(-q)(+q)}{(d+x)} \)
\( U = -kq^2 \left[ \frac{1}{d-x} + \frac{1}{d+x} \right] \)
\( U = -kq^2 \left[ \frac{d+x+d-x}{(d-x)(d+x)} \right] \)
\( U = -kq^2 \left[ \frac{2d}{d^2-x^2} \right] \)
\( U = -\frac{2kdq^2}{d^2-x^2} \)
સ્થિતિઊર્જા (U) વિરુદ્ધ \( x \) નો આલેખ નીચે આપેલ છે.
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र स्थितिज ऊर्जा (U) और विस्थापन (x) के बीच का ग्राफ दर्शाता है। ग्राफ से पता चलता है कि x=0 पर स्थितिज ऊर्जा अधिकतम है, जो अस्थिर संतुलन को इंगित करता है।
સંતુલન બિંદુ શોધવા માટે, \( \frac{dU}{dx} = 0 \) સેટ કરીએ:
\( \frac{dU}{dx} = -\frac{2kdq^2 (-1)(2x)}{(d^2-x^2)^2} = \frac{4kdq^2 x}{(d^2-x^2)^2} \)
\( \frac{dU}{dx} = 0 \implies x = 0 \)
સંતુલન બિંદુની સ્થિરતા ચકાસવા માટે, બીજું વિકલન \( \frac{d^2U}{dx^2} \) શોધીએ:
\( \frac{d^2U}{dx^2} = 4kdq^2 \frac{d}{dx} \left[ \frac{x}{(d^2-x^2)^2} \right] \)
\( \frac{d^2U}{dx^2} = 4kdq^2 \left[ \frac{(d^2-x^2)^2(1) - x(2)(d^2-x^2)(-2x)}{(d^2-x^2)^4} \right] \)
\( \frac{d^2U}{dx^2} = 4kdq^2 \left[ \frac{(d^2-x^2) + 4x^2}{(d^2-x^2)^3} \right] = 4kdq^2 \left[ \frac{d^2+3x^2}{(d^2-x^2)^3} \right] \)
\( x=0 \) પર, \( \frac{d^2U}{dx^2} = 4kdq^2 \left[ \frac{d^2}{d^6} \right] = \frac{4kdq^2}{d^4} \)
જે \( > 0 \) છે.
પરંતુ, અહીં U નો આલેખ જોતા, \( x=0 \) પર U મહત્તમ છે, જે અસ્થાયી સંતુલન દર્શાવે છે.
આ વિરોધાભાસ છે. ખરેખર \( -q \) વિદ્યુતભારોથી \( +q \) વિદ્યુતભાર આકર્ષણ અનુભવે છે. જ્યારે \( x=0 \) હોય, ત્યારે બંને \( -q \) વિદ્યુતભારો દ્વારા લાગતું બળ સમાન અને વિરુદ્ધ દિશામાં હોવાથી કુલ બળ શૂન્ય થાય છે. જો \( +q \) ને \( x>0 \) તરફ ખસેડવામાં આવે, તો જમણી બાજુના \( -q \) વિદ્યુતભારથી તેનું અંતર ઘટે છે, અને ડાબી બાજુના \( -q \) વિદ્યુતભારથી તેનું અંતર વધે છે. તેથી, જમણી બાજુનું આકર્ષણ બળ વધશે, અને \( +q \) વધુ જમણી તરફ ખસેડાઈ જશે. આ અસ્થાયી સંતુલન છે.

In simple words: બે \( -q \) ચાર્જની વચ્ચે \( +q \) ચાર્જ મૂકીએ છીએ. \( +q \) ચાર્જની સ્થિતિ ઊર્જા \( x \) ના ફંક્શન તરીકે શોધીએ છીએ. \( x=0 \) પર સ્થિતિ ઊર્જા મહત્તમ હોય છે, જેનો અર્થ છે કે \( +q \) ચાર્જ \( O \) બિંદુ પર અસ્થાયી સંતુલનમાં છે. જો તેને થોડો પણ ખસેડવામાં આવે, તો તે ત્યાંથી દૂર જતો રહેશે.

🎯 Exam Tip: સ્થિતિઊર્જાના સૂત્રની ગણતરી અને વિકલન દ્વારા સંતુલન બિંદુ અને તેની સ્થિરતાનું વિશ્લેષણ કરવું એ આ પ્રશ્નનો મુખ્ય ભાગ છે.