GSEB Class 12 Physics Solutions Chapter 12 પરમાણુઓ

Gseb Solutions

Gseb Solutions Class 12 Physics Chapter 12 પરમાણુઓ

Gujarat Board Textbook Solutions Class 12 Physics Chapter 12 પરમાણુઓ

 

Question 1. દરેક વિધાનને અંતે આપેલ શબ્દ/શબ્દ : નો વિકલ્પ પસંદ કરો :
(a) થોમસનના મોડલમાં પરમાણુનું પરિમાણ, રધરફર્ડના મોડલમાં પરમાણુના પરિમાણ છે. (કરતાં ઘણું મોટું છે/થી જુદું નથી/કરતાં ઘણું નાનું છે)
(b) ની ધરા અવસ્થામાં ઇલેકટ્રોન સ્થાયી સંતુલનમાં છે જ્યારે માં ઇલેક્ટ્રોન હંમેશાં ચોખ્ખું (Net) બળ અનુભવે છે. (થોમસન મૉડલ / રધરફર્ડ મૉડલ)
(c) પર આધારિત પ્રચલિત પરમાણુનું ભાગ્ય જ પડી ભાંગવાનું છે. (થોમસન મૉડલ / રધરફર્ડ મૉડલ)
(d) માં પરમાણુ લગભગ સતત દળ વિતરણ ધરાવે છે પરંતુ માં પરમાણુ ખૂબ જ અસતત દળ વિતરણ ધરાવે છે. (થોમસન મૉડલ / રધરફર્ડ મોડલ)
(e) માં પરમાણુનો ધન વિધુતભારિત વિભાગ લગભગ બધું દળ ધરાવે છે. (રધરફર્ડ મોડલ / બંને મૉડલ)
Answer:(a) થી જુદું નથી.
(b) થોમસન મૉડલ, રધરફર્ડ મૉડલ
(c) રધરફર્ડ મૉડલ
(d) થોમસન મૉડલ, રધરફર્ડ મૉડલ
(e) બંને મૉડલ
In simple words: This question tests understanding of the fundamental differences between the Thomson and Rutherford models of the atom. It highlights how each model describes atomic size, electron stability, atomic collapse, and mass distribution.

🎯 Exam Tip: Understanding the key distinctions between atomic models is crucial for scoring well. Focus on how each model explains electron behavior and nuclear structure.

 

Question 2. ધારો કે તમને આલ્ફા-કણ પ્રકીર્ણનનો પ્રયોગ સુવર્ણના વરખને સ્થાને ધન (Solid) હાઇડ્રોજન વાપરીને કરવાની તક આપવામાં આવે છે. (હાઇડ્રોજન 14 Kથી નીચા તાપમાને ધન હોય છે) તમે કેવાં પરિણામોની અપેક્ષા રાખશો ?
Answer: હાઇડ્રોજન પરમાણુના ન્યુક્લિયસમાં ન્યૂટ્રૉન હોતાં નથી. તેથી તેમાં માત્ર એક પ્રોટૉન જ હોય છે. એક પ્રોટૉનનું દળ \( 1.67 \times 10^{-27} \) kg છે. આથી હાઇડ્રોજન ન્યુક્લિયસનું દળ \( 1.67 \times 10^{-27} \) kg છે. આલ્ફા-કણનું ન્યુક્લિયસ 2 પ્રોટૉન અને 2 ન્યૂટ્રૉનનું બનેલું હોય છે. આથી આલ્ફા-કણના ન્યુક્લિયસનું દળ \( = 4 \times 1.67 \times 10^{-27} \) kg \( = 6.68 \times 10^{-27} \) kg. આલ્ફા-કણનું દળ હાઇડ્રોજન પરમાણુના ન્યુક્લિયસના દળ કરતાં વધારે હોય છે. તેથી, હેડ-ઑન સંઘાતમાં તે પાછો ફેંકાશે નહીં. તે હાઇડ્રોજન પરમાણુમાંથી વિચલન વગર પસાર થઈ જશે. આ સ્થિર ટેનિસબૉલ સાથે ફૂટબૉલ અથડાવવા જેવું છે. આથી, પ્રકીર્ણન થશે નહીં.
In simple words: If alpha particles hit solid hydrogen, they will not scatter much. Hydrogen atoms are very light (only one proton). Alpha particles are heavier, so they will pass through hydrogen without bouncing back. It's like a big football hitting a small, still tennis ball.

🎯 Exam Tip: When analyzing scattering experiments, always compare the masses and sizes of the colliding particles. This helps determine the type and extent of scattering that will occur.

 

Question 3. વર્ણપટ રેખાઓની પાશ્ચન શ્રેણીમાં ટૂંકામાં ટૂંકી કઈ તરંગલંબાઈ હાજર છે ?
Answer: વર્ણપટ રેખાઓની તરંગલંબાઈ માટેનું સૂત્ર, \[ \frac{1}{\lambda} = R \left[ \frac{1}{n_f^2} - \frac{1}{n_i^2} \right] \] પાશ્ચન શ્રેણી માટે \( n_f = 3 \). ટૂંકી તરંગલંબાઈ મેળવવા માટે, \( n_i = \infty \) લેવી પડે. \[ \frac{1}{\lambda_{min}} = R \left[ \frac{1}{3^2} - \frac{1}{\infty^2} \right] \] \[ \frac{1}{\lambda_{min}} = 1.097 \times 10^7 \left[ \frac{1}{9} - 0 \right] \] \[ \lambda_{min} = \frac{9}{1.097 \times 10^7} \] \[ \lambda_{min} = 8.20419 \times 10^{-7} \text{ m} \]
\( \implies \) \( \lambda_{min} \approx 820 \times 10^{-9} \text{ m} \)
\( \implies \) \( \lambda_{min} = 820.4 \text{ nm} \) અથવા \( 820 \text{ nm} \)
In simple words: To find the shortest wavelength in the Paschen series, we use a specific formula. For Paschen series, the electron ends at the third energy level. The shortest wavelength happens when the electron starts from very far away (infinity). Calculating this gives us a minimum wavelength of about 820 nanometers.

🎯 Exam Tip: Remember the Rydberg formula and the specific final energy levels (\( n_f \)) for different spectral series (Lyman, Balmer, Paschen, etc.). For minimum wavelength, always consider the initial energy level (\( n_i \)) as infinity.

 

Question 4. એક પરમાણુમાં 2.3 eV તફાવત બે ઊર્જા સ્તરોને જુદા પાડે છે. જ્યારે પરમાણુ ઉચ્ચ સ્તરથી નિમ્નસ્તર પર સંક્રાંતિ કરે ત્યારે ઉત્સર્જિત વિકિરણની આવૃત્તિ કેટલી હશે ?
Answer: અહીં \( \Delta E = 2.3 \text{ eV} \). આપણે જાણીએ છીએ કે \( 1 \text{ eV} = 1.6 \times 10^{-19} \text{ J} \). પ્લાન્કનો અચળાંક \( h = 6.625 \times 10^{-34} \text{ Js} \). ઊર્જા તફાવત \( \Delta E = h\nu \).
\( \implies \nu = \frac{\Delta E}{h} = \frac{2.3 \times 1.6 \times 10^{-19}}{6.625 \times 10^{-34}} \)
\( \implies \nu = 0.55547 \times 10^{15} \)
\( \implies \nu \approx 5.6 \times 10^{14} \text{ Hz} \)
In simple words: When an electron in an atom moves from a higher energy level to a lower one, it releases energy as light. If the energy difference is 2.3 eV, we can calculate the frequency of this light using Planck's constant. The frequency will be about 5.6 x 10¹⁴ Hz.

🎯 Exam Tip: Remember the relationship between energy difference \( \Delta E \), Planck's constant \( h \), and frequency \( \nu \) given by \( \Delta E = h\nu \). Also, know the conversion factor from electron volts (eV) to Joules (J).

 

Question 5. હાઇડ્રોજન પરમાણુની ધરા અવસ્થાની ઊર્જા \( -13.6 \text{ eV} \) છે. આ અવસ્થામાં ઇલેક્ટ્રૉનની ગતિઊર્જા અને સ્થિતિઊર્જા કેટલી હશે ?
Answer: ધરા અવસ્થામાં ઇલેક્ટ્રૉનની કુલ ઊર્જા \( E = -13.6 \text{ eV} \). આપણે જાણીએ છીએ કે, ઇલેક્ટ્રૉનની ગતિઊર્જા \( K = - \text{કુલ ઊર્જા} = -E \).
\( \implies K = -(-13.6 \text{ eV}) \)
\( \implies K = 13.6 \text{ eV} \). અને ઇલેક્ટ્રૉનની સ્થિતિઊર્જા \( U = -2 \times (\text{ગતિઊર્જા}) \).
\( \implies U = -2K \)
\( \implies U = -2(13.6 \text{ eV}) \)
\( \implies U = -27.2 \text{ eV} \).
In simple words: For a hydrogen atom in its lowest energy state, the total energy is -13.6 eV. The electron's kinetic energy is the positive value of this total energy, so it's 13.6 eV. The potential energy is twice the negative of the kinetic energy, which makes it -27.2 eV.

🎯 Exam Tip: For the Bohr model of a hydrogen-like atom, remember the relationships: Total Energy \( E \), Kinetic Energy \( K \), and Potential Energy \( U \). Specifically, \( E = -K \) and \( U = -2K \).

 

Question 6. પ્રારંભમાં ધરા સ્થિતિમાં રહેલો હાઇડ્રોજન પરમાણુ એક ફોટોનનું શોષણ કરે છે, જે તેને \( n = 4 \) સ્તર સુધી ઉત્તેજિત કરે છે. આ ફોટોનની આવૃત્તિ અને તરંગલંબાઈ શોધો.
Answer: પરમાણુમાં 'nમી' કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રૉનની ઊર્જા, \( E_n = -\frac{13.6}{n^2} \text{eV} \). ધરા અવસ્થામાં ઇલેક્ટ્રૉનની ઊર્જા (\( n = 1 \) માટે), \( E_1 = -\frac{13.6}{(1)^2} \text{eV} = -13.6 \text{ eV} \). \( n = 4 \) કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રૉનની ઊર્જા, \( E_4 = -\frac{13.6}{(4)^2} \text{eV} = -\frac{13.6}{16} \text{eV} = -0.85 \text{ eV} \). ઇલેક્ટ્રૉનની ઊર્જામાં તફાવત, \( \Delta E = E_4 - E_1 \).
\( \implies \Delta E = -0.85 \text{ eV} - (-13.6 \text{ eV}) \)
\( \implies \Delta E = 12.75 \text{ eV} \). ઊર્જાને જૂલમાં રૂપાંતરિત કરતા: \( \Delta E = 12.75 \times 1.6 \times 10^{-19} \text{ J} \) \( \Delta E = 20.4 \times 10^{-19} \text{ J} \). હવે, ઉત્સર્જિત ફોટોનની આવૃત્તિ \( \nu \) હોય તો, \( \Delta E = h\nu \).
\( \implies \nu = \frac{\Delta E}{h} = \frac{20.4 \times 10^{-19}}{6.625 \times 10^{-34}} \)
\( \implies \nu = 3.079 \times 10^{15} \text{ Hz} \)
\( \implies \nu \approx 3.1 \times 10^{15} \text{ Hz} \). હવે, પ્રકાશનો વેગ \( c = \lambda\nu \).
\( \implies \lambda = \frac{c}{\nu} = \frac{3 \times 10^8}{3.079 \times 10^{15}} \)
\( \implies \lambda = 0.9743 \times 10^{-7} \text{ m} \)
\( \implies \lambda = 97.43 \times 10^{-9} \text{ m} = 97.43 \text{ nm} \).
In simple words: A hydrogen atom absorbs light and jumps from its lowest energy level (n=1) to a higher one (n=4). We calculate the energy difference between these levels. This energy difference gives us the frequency and wavelength of the absorbed light. The frequency is around 3.1 x 10¹⁵ Hz, and the wavelength is about 97.43 nm.

🎯 Exam Tip: Always calculate the initial and final energy levels precisely using the Bohr model formula. Pay close attention to unit conversions (eV to J) and apply the energy-frequency (\( \Delta E = h\nu \)) and speed of light-wavelength-frequency (\( c = \lambda\nu \)) relationships correctly.

 

Question 7. (a) બોહ્ન મૉડલનો ઉપયોગ કરીને \( n = 1, 2 \) અને \( 3 \) સ્તરોમાં હાઇડ્રોજન પરમાણુમાંના ઇલેક્ટ્રોનની ઝડપની ગણતરી કરો.
(b) આ દરેક સ્તર માટે કક્ષીય આવર્તકાળ શોધો.
Answer:(a) ન્યુક્લિયસની આસપાસ 'nમી' કક્ષામાં વર્તુળાકાર ગતિ માટે કેન્દ્રગામી બળ, કુલંબ બળ જેટલું થવું જોઈએ. \[ \frac{mv_n^2}{r_n} = \frac{k(Ze)(e)}{r_n^2} \] જ્યાં \( k = 9 \times 10^9 \text{ Nm}^2\text{C}^{-2} \).
\( \implies (m_e r_n v_n) v_n = ke^2 \) (હાઇડ્રોજન માટે \( Z = 1 \)) બોહ્રની પૂર્વધારણા (કોણીય વેગમાન ક્વોન્ટાઈઝેશન) અનુસાર, \( m_e v_n r_n = \frac{nh}{2\pi} \).
\( \implies \left(\frac{nh}{2\pi}\right) v_n = ke^2 \)
\( \implies v_n = \frac{ke^2 \times 2\pi}{nh} \). પ્રથમ કક્ષા \( (n = 1) \) માં ઇલેક્ટ્રૉનની ઝડપ, \( v_1 = \frac{9 \times 10^9 \times (1.6 \times 10^{-19})^2 \times 2 \times 3.14}{(1) \times (6.625 \times 10^{-34})} \) \( v_1 = 21.84 \times 10^5 \text{ m/s} \).
\( \implies v_1 \approx 2.18 \times 10^6 \text{ m/s} \). \( n = 2 \) કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રૉનની ઝડપ, \[ v_n = \left( \frac{ke^2 \times 2\pi}{h} \right) \times \frac{1}{n} \] \[ v_2 = \frac{2.184 \times 10^6}{2} \text{ m/s} \]
\( \implies v_2 = 1.092 \times 10^6 \text{ m/s} \). \( n = 3 \) કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રૉનની ઝડપ, \[ v_3 = \frac{v_1}{3} = \frac{2.184 \times 10^6}{3} \text{ m/s} \]
\( \implies v_3 = 0.728 \times 10^6 \text{ m/s} \). (b) હવે \( v_n = r_n \omega \). કક્ષીય આવર્તકાળ \( T_n = \frac{2\pi r_n}{v_n} \). \( n = 1 \) કક્ષામાં આવર્તકાળ, \[ T_1 = \frac{2\pi r_1}{v_1} \] \[ T_1 = \frac{2 \times 3.14 \times 0.53 \times 10^{-10}}{2.184 \times 10^6} \] \[ T_1 = \frac{3.3284 \times 10^{-10}}{2.184 \times 10^6} \] \[ T_1 = 1.5239 \times 10^{-16} \text{ s} \]
\( \implies T_1 \approx 1.524 \times 10^{-16} \text{ s} \).
\( \implies \) આપણે જાણીએ છીએ કે \( r_n = n^2 r_1 \) અને \( v_n = \frac{v_1}{n} \).
\( \implies T_n = \frac{2\pi (n^2 r_1)}{v_1/n} = n^3 \left( \frac{2\pi r_1}{v_1} \right) = n^3 T_1 \). \( n = 2 \) કક્ષામાં આવર્તકાળ, \( T_2 = (2)^3 \times 1.524 \times 10^{-16} \text{ s} \) \( T_2 = 8 \times 1.524 \times 10^{-16} \text{ s} = 1.2192 \times 10^{-15} \text{ s} \).
\( \implies T_2 \approx 1.22 \times 10^{-15} \text{ s} \). અને \( n = 3 \) કક્ષામાં આવર્તકાળ, \( T_3 = (3)^3 \times T_1 \) \( T_3 = 27 \times 1.524 \times 10^{-16} \text{ s} \) \( T_3 = 4.114 \times 10^{-15} \text{ s} \).
\( \implies T_3 \approx 4.11 \times 10^{-15} \text{ s} \).
In simple words: We calculate the speed of an electron and its orbital time in a hydrogen atom for different energy levels (n=1, 2, 3) using Bohr's model. The electron's speed decreases as 'n' increases, and its orbital period increases significantly with 'n'. For example, in the first orbit, its speed is about 2.18 x 10⁶ m/s, and its period is about 1.524 x 10^-16 seconds.

🎯 Exam Tip: For Bohr's model, remember the relationships for electron speed (\( v_n \propto \frac{1}{n} \)) and orbital radius (\( r_n \propto n^2 \)). Also, understand how these relate to the orbital period (\( T_n \propto n^3 \)). These proportionalities are key for quick calculations.

 

Question 8. હાઇડ્રોજન પરમાણુની સૌથી અંદરની ઇલેક્ટ્રોન કક્ષાની ત્રિજ્યા \( 5.3 \times 10^{-11} \text{ m} \) છે. \( n = 2 \) અને \( n = 3 \) કક્ષાઓની ત્રિજ્યાઓ કેટલી હશે ?
Answer: સૌથી અંદરની કક્ષાની ત્રિજ્યા (\( n = 1 \)) \( r_0 = a_0 = 5.3 \times 10^{-11} \text{ m} \). આપણે \( n = 2 \) માટે \( r_2 \) અને \( n = 3 \) માટે \( r_3 \) શોધવાની છે. હાઇડ્રોજન પરમાણુમાં 'nમી' કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રૉનની ત્રિજ્યા \( r_n = n^2 r_0 \) હોય છે. \( n = 2 \) કક્ષામાં ત્રિજ્યા, \( r_2 = (2)^2 \times 5.3 \times 10^{-11} \text{ m} \) \( r_2 = 4 \times 5.3 \times 10^{-11} \text{ m} \)
\( \implies r_2 = 2.12 \times 10^{-10} \text{ m} \). \( n = 3 \) કક્ષામાં ત્રિજ્યા, \( r_3 = (3)^2 \times 5.3 \times 10^{-11} \text{ m} \) \( r_3 = 9 \times 5.3 \times 10^{-11} \text{ m} \)
\( \implies r_3 = 4.77 \times 10^{-10} \text{ m} \).
In simple words: The smallest electron orbit in a hydrogen atom is 5.3 x 10^-11 meters. For higher orbits, the radius increases by the square of the orbit number. So, the radius for orbit n=2 is 4 times the smallest, and for orbit n=3, it's 9 times the smallest.

🎯 Exam Tip: Remember that in the Bohr model, the radius of the \( n^{\text{th}} \) orbit for a hydrogen-like atom is proportional to \( n^2 \). This relationship \( r_n = n^2 r_0 \) is fundamental for calculating orbital radii.

 

Question 9. ઓરડાના તાપમાને 12.5 eVની ઇલેક્ટ્રોન કિરણાવલિ વાયુરૂપ હાઇડ્રોજન પર મારો ચલાવવા માટે વપરાય છે. તરંગલંબાઈઓની કઈ શ્રેણી(ઓ) ઉત્સર્જિત થશે ?
Answer: ઓરડાના તાપમાને હાઇડ્રોજન વાયુની ધરા સ્થિતિમાં ઊર્જા \( E_1 = -13.6 \text{ eV} \) હોય છે. જ્યારે તેના પર 12.5 eV ના ઇલેક્ટ્રૉન કિરણાવલિનો મારો ચલાવવામાં આવે છે ત્યારે ઇલેક્ટ્રોનની કુલ ઊર્જા, \( E = -13.6 \text{ eV} + 12.5 \text{ eV} = -1.1 \text{ eV} \). હવે 'nમી' કક્ષામાં ઊર્જા, \( E_n = -\frac{13.6}{n^2} \text{eV} \).
\( \implies -1.1 \text{ eV} = -\frac{13.6}{n^2} \text{eV} \)
\( \implies n^2 = \frac{13.6}{1.1} = 12.36 \)
\( \implies n \approx 3.51 \). પણ શક્ય કક્ષા માત્ર \( n = 3 \) છે, કારણ કે ઇલેક્ટ્રોન ફક્ત ક્વોન્ટાઇઝ્ડ ઊર્જા સ્તરોમાં જ અસ્તિત્વ ધરાવે છે. તેથી, ઇલેક્ટ્રોન \( n=1 \) થી \( n=3 \) સુધી ઉત્તેજિત થશે.
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): આ આકૃતિ હાઇડ્રોજન પરમાણુના ઊર્જા સ્તરો દર્શાવે છે. તે બતાવે છે કે ઇલેક્ટ્રોન કઈ કક્ષામાં હોય ત્યારે કેટલી ઊર્જા ધરાવે છે, જેમ કે n=1 કક્ષામાં -13.6 eV, n=2 કક્ષામાં -3.4 eV, અને n=3 કક્ષામાં -1.51 eV. આના પરથી ઇલેક્ટ્રોન સંક્રાંતિની શક્યતાઓ સમજી શકાય છે. આમ, \( n = 3 \) થી \( n = 1 \) અને \( n = 2 \) થી \( n = 1 \) માં સંક્રાંતિ થતાં બે લાઇમન શ્રેણીની રેખાઓ મળશે, અને \( n = 3 \) થી \( n = 2 \) માં સંક્રાંતિ થતાં એક બામર શ્રેણીની રેખા મળશે.
\( \implies \) \( n = 3 \) માંથી \( n = 1 \) માં સંક્રાંતિ થતાં ઉત્સર્જાતા લાઇમન શ્રેણીની \( \beta \)-રેખાની તરંગલંબાઈ \( \lambda_{31} \): \( \lambda_{31} = \frac{hc}{E_3 - E_1} = \frac{6.625 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{1.51 - (-13.6) \times 1.6 \times 10^{-19}} \) \( \lambda_{31} = \frac{19.875 \times 10^{-26}}{12.09 \times 1.6 \times 10^{-19}} \text{ m} \) \( \lambda_{31} = 1.0274 \times 10^{-7} \text{ m} \)
\( \implies \lambda_{31} \approx 103 \times 10^{-9} \text{ m} = 103 \text{ nm} \).
\( \implies \) \( n = 2 \) માંથી \( n = 1 \) માં સંક્રાંતિ થતાં લાઇમન શ્રેણીની \( \alpha \)-રેખાની તરંગલંબાઈ \( \lambda_{21} \): \( \lambda_{21} = \frac{hc}{E_2 - E_1} = \frac{6.625 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{(-3.4 - (-13.6)) \times 1.6 \times 10^{-19}} \) \( \lambda_{21} = \frac{19.875 \times 10^{-26}}{10.2 \times 1.6 \times 10^{-19}} \text{ m} \) \( \lambda_{21} = 1.2178 \times 10^{-7} \text{ m} \)
\( \implies \lambda_{21} \approx 122 \times 10^{-9} \text{ m} = 122 \text{ nm} \).
\( \implies \) \( n = 3 \) માંથી \( n = 2 \) માં સંક્રાંતિ થતાં બામર શ્રેણીની \( \alpha \)-રેખાની તરંગલંબાઈ \( \lambda_{32} \): \( \lambda_{32} = \frac{hc}{E_3 - E_2} = \frac{6.625 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{(-1.51 - (-3.4)) \times 1.6 \times 10^{-19}} \) \( \lambda_{32} = \frac{19.875 \times 10^{-26}}{1.89 \times 1.6 \times 10^{-19}} \text{ m} \) \( \lambda_{32} = 6.5724 \times 10^{-7} \text{ m} \)
\( \implies \lambda_{32} \approx 657 \times 10^{-9} \text{ m} = 657 \text{ nm} \).
In simple words: When a hydrogen atom absorbs 12.5 eV of energy, its electron jumps from the ground state to an energy level near n=3.51. This means it can reach the n=3 level. From n=3, electrons can fall to n=1 (producing two Lyman series lines) or to n=2 (producing one Balmer series line). We calculate the specific wavelengths for these transitions.

🎯 Exam Tip: When an atom absorbs energy, calculate the maximum possible quantum number \( n \) the electron can reach. Then, identify all possible transitions from that \( n \) level to lower levels, associating them with the correct spectral series (Lyman for final \( n=1 \), Balmer for final \( n=2 \), Paschen for final \( n=3 \)).

 

Question 10. બોહ્ન મોડલ અનુસાર, સૂર્યની આસપાસ \( 3 \times 10^4 \text{ m/s} \) ની ઝડપથી \( 1.5 \times 10^{11} \) ની ત્રિજ્યા ધરાવતી કક્ષામાંના પૃથ્વીના ભ્રમણને રજૂ કરતો ક્વોન્ટમ અંક શોધો. (પૃથ્વીનું દળ \( = 6.0 \times 10^{24} \text{ kg} \))
Answer: અહીં પૃથ્વીનું દળ \( m = 6.0 \times 10^{24} \text{ kg} \). પૃથ્વીની કક્ષીય ઝડપ \( v = 3 \times 10^4 \text{ m s}^{-1} \). પૃથ્વીની કક્ષાની ત્રિજ્યા \( r = 1.5 \times 10^{11} \text{ m} \). પ્લાન્કનો અચળાંક \( h = 6.625 \times 10^{-34} \text{ Js} \). બોહ્નની પૂર્વધારણા (2) પરથી, ઇલેક્ટ્રોનનું કોણીય વેગમાન ક્વોન્ટાઇઝ્ડ હોય છે: \[ mvr = \frac{nh}{2\pi} \] આ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ક્વોન્ટમ અંક \( n \) શોધી શકાય છે: \[ n = \frac{mvr \times 2\pi}{h} \] \[ n = \frac{6 \times 10^{24} \times 3 \times 10^4 \times 1.5 \times 10^{11} \times 2 \times 3.14}{6.625 \times 10^{-34}} \] \[ n = \frac{169.56 \times 10^{73}}{6.625} \] \[ n = 25.5939 \times 10^{73} \]
\( \implies n \approx 2.6 \times 10^{74} \).
In simple words: We want to find a quantum number for Earth orbiting the Sun, similar to electrons in an atom. Using Earth's mass, speed, and orbital radius, and Planck's constant, we can calculate this quantum number. The result is an extremely large number, around 2.6 x 10⁷⁴, showing that quantum effects are not noticeable for large objects like planets.

🎯 Exam Tip: This question highlights the limitations of applying quantum models to macroscopic systems. While theoretically possible, the resulting quantum numbers are astronomically large, making quantum effects practically unobservable. Ensure to correctly apply the Bohr's angular momentum quantization condition.

 

Question 11. નીચેના પ્રશ્નોના જવાબ આપો જે તમને થોમસન મૉડલ અને રધરફર્ડ મોડલ વચ્ચેનો તફાવત સમજવામાં સારી મદદ કરશે.
(a) પાતળા સુવર્ણ વરખ વડે થતા \( \alpha \)-કણોના વિચલન (આવર્તન)ના સરેરાશ કોણ અંગે થોમસન મોડલનું પૂર્વાનુમાન રધરફર્ડ મોડલના પૂર્વાનુમાન કરતાં, ઘણું ઓછું, લગભગ તેટલું જ કે ઘણું વધારે છે ?
(b) પશ્વાર્તી (પાછળ તરફનું, Backward) પ્રકીર્ણન (એટલે કે \( 90^\circ \) કરતાં મોટા કોણે \( \alpha \)-કણોનું પ્રકીર્ણન)ની સંભાવના અંગે થોમસન મોડલનું પૂર્વાનુમાન રધરફર્ડ મોડલના પૂર્વાનુમાન કરતાં ઘણું, ઓછું, લગભગ તેટલું જ કે ઘણું વધારે છે ?
(c) પ્રયોગથી એવું જણાય છે કે બીજા પરિબળો અચળ રાખતાં, ઓછી જાડાઈ \( t \) માટે, મધ્યમ (Moderate) કોણે પ્રકીર્ણન પામતા \( \alpha \)-કણોની સંખ્યા, \( t \) ના સમપ્રમાણમાં છે. \( t \) પરની આ સપ્રમાણતા શું સૂચવે છે ?
(d) પાતળા વરખ દ્વારા \( \alpha \)-કણોના પ્રકીર્ણનના સરેરાશ કોણની ગણતરીમાં એક કરતાં વધુ (multiple) પ્રકીર્ણન થવાનું અવગણવું કયા મૉડલમાં સંપૂર્ણપણે ખોટું છે ?
Answer:(a) પાતળા સુવર્ણ વરખ વડે થતાં \( \alpha \)-કણોના વિચલનના સરેરાશ કોણ અંગે થોમસન મૉડલનું પૂર્વાનુમાન રધરફર્ડના મૉડલના પૂર્વાનુમાનના લગભગ જેટલું જ છે. (b) પશ્ચાતી પ્રકીર્ણનની સંભાવના અંગે થોમસન મૉડલનું પૂર્વાનુમાન રધરફર્ડના મૉડલના પૂર્વાનુમાન કરતાં ઘણું ઓછું છે. (c) \( \alpha \)-કણનો પ્રયોગ સૂચવે છે કે, મોટે ભાગે પ્રકીર્ણન એક અથડામણથી થયેલ છે, કારણ કે એક જ અથડામણની સંભાવના લક્ષ્ય પરમાણુઓની સંખ્યા સાથે સુરેખ રીતે વધુ છે અને તેથી જાડાઈ સાથે પણ સુરેખ રીતે વધે છે. (d) થોમસનના મૉડલમાં પરમાણુનો ધન વિદ્યુતભાર, તેના કદમાં સમાન રીતે પથરાયેલો હોય છે. તેથી દરેક ધન વિદ્યુતભાર વડે \( \alpha \)-કણનું વખતોવખત પ્રકીર્ણન થાય છે. તેથી \( \alpha \)-કણના પ્રકીર્ણનના સરેરાશ પ્રકીર્ણન કોણની ગણતરીમાં એક કરતાં વધારે પ્રકીર્ણન થયાનું અવગણી ન શકાય.
In simple words: This question explores how Thomson's and Rutherford's models explain alpha particle scattering. Thomson's model predicts less backward scattering and assumes continuous charge distribution, where multiple scattering events are expected. Rutherford's model, with its dense nucleus, better explains large-angle scattering and suggests most scattering is due to a single powerful collision.

🎯 Exam Tip: Focus on the fundamental differences in charge distribution and the size of the positive region between the Thomson and Rutherford models. This understanding is key to explaining scattering patterns, especially backward scattering and the linearity of scattered particles with target thickness.

 

Question 12. હાઇડ્રોજન પરમાણુમાં ઇલેક્ટ્રોન અને પ્રોટોન વચ્ચેનું ગુરુત્વાકર્ષણ, કુલંબ આકર્ષણ કરતાં \( 10^{-40} \) ગણું નાનું છે. આ હકીકતને જોવાની એક વૈકલ્પિક રીત, ઇલેક્ટ્રોન અને પ્રોટોન ગુરુત્વાકર્ષણથી બંધિત હોત તો હાઇડ્રોજન પરમાણુની પ્રથમ બોહ્ન કક્ષાની ત્રિજ્યાનો અંદાજ મેળવવાની છે, તમને તેનો ઉત્તર રસપ્રદ લાગશે.
Answer: હાઇડ્રોજન પરમાણુના બોહ્ન મૉડલમાં પ્રથમ કક્ષાની ત્રિજ્યા, \[ r = \frac{n^2 h^2 \epsilon_0}{\pi m_e e^2} \] પ્રથમ કક્ષા માટે \( n = 1 \) લેતાં, \[ r = \frac{h^2 \epsilon_0}{\pi m_e e^2} \] આને નીચે પ્રમાણે પણ લખી શકાય છે: \[ r = \frac{h^2}{4\pi^2 m_e k e^2} \] હવે પ્રોટૉન અને ઇલેક્ટ્રૉન વચ્ચે લાગતું કુલંબ બળ, \( F_e = \frac{ke^2}{r^2} \). અને પ્રોટૉન અને ઇલેક્ટ્રૉન વચ્ચે લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ, \( F_G = \frac{G m_p m_e}{r^2} \). જો ગુરુત્વાકર્ષણ બળ ઇલેક્ટ્રોન અને પ્રોટોનને બાંધતું હોય, તો પ્રથમ બોહ્ર કક્ષાની ત્રિજ્યા \( r_G \) નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: \[ r_G = \frac{n^2 h^2}{4\pi^2 m_e^2 G m_p} \] જ્યાં \( n = 1 \) (પ્રથમ કક્ષા માટે), \( m_e = 9.1 \times 10^{-31} \text{ kg} \) (ઇલેક્ટ્રોનનું દળ), \( m_p = 1.67 \times 10^{-27} \text{ kg} \) (પ્રોટોનનું દળ), અને \( G = 6.67 \times 10^{-11} \text{ N m}^2 \text{ kg}^{-2} \) (ગુરુત્વાકર્ષણનો અચળાંક). \[ r_G = \frac{(6.625 \times 10^{-34})^2}{4 \times (3.14)^2 \times (9.1 \times 10^{-31})^2 \times (6.67 \times 10^{-11}) \times (1.67 \times 10^{-27})} \] \[ r_G = \frac{43.890625 \times 10^{-68}}{36394.5 \times 10^{-100}} \] \[ r_G = 0.001206 \times 10^{32} \text{ m} \]
\( \implies r_G = 1.21 \times 10^{29} \text{ m} \). નોંધ: પ્રથમ બોહ્ન કક્ષાની આ ત્રિજ્યા, \( 1.21 \times 10^{29} \text{ m} \), સમગ્ર બ્રહ્માંડના અંદાજિત કદ (ત્રિજ્યા) કરતાં ઘણી મોટી છે.
In simple words: If gravity, instead of electricity, held the electron and proton together in a hydrogen atom, the first orbit's size would be enormous. Using Bohr's model with gravity gives an orbital radius of about 1.21 x 10²⁹ meters, which is much larger than the universe itself. This shows why gravity is not the force holding atoms together.

🎯 Exam Tip: This thought experiment demonstrates the relative strengths of fundamental forces. It emphasizes that electromagnetic force, not gravity, is responsible for atomic structure. Ensure you use the correct masses for electron and proton when calculating the gravitational Bohr radius.

 

Question 13. હાઇડ્રોજન પરમાણુ સ્તર \( n \) થી \( (n – 1) \) સ્તર પર સંક્રાંતિ કરે ત્યારે ઉત્સર્જિત વિકિરણની આવૃત્તિ માટેનું સૂત્ર મેળવો. \( n \) ના મોટા મૂલ્ય માટે, દર્શાવો કે આ આવૃત્તિ, કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રૉનના ભ્રમણની પ્રચલિત આવૃત્તિ બરાબર છે.
Answer: બોહ્નના અધિતર્ક-2 અનુસાર ઇલેક્ટ્રૉનનું કોણીય વેગમાન ક્વૉન્ટાઇઝડ હોય છે: \[ mvr = \frac{nh}{2\pi} \] (હાઇડ્રોજન પરમાણુ માટે \( Z = 1 \)) કોણીય વેગમાનને \( mr^2\omega \) તરીકે પણ લખી શકાય છે (\( v = r\omega \)). \[ mr^2\omega = \frac{nh}{2\pi} \]
\( \implies \omega = \frac{nh}{2\pi mr^2} \) ... (1) આપણે જાણીએ છીએ કે બોહ્ર ત્રિજ્યા \( r = \frac{n^2 h^2 \epsilon_0}{\pi m e^2} \). તેથી, \[ \omega = \frac{nh}{2\pi m \left( \frac{n^2 h^2 \epsilon_0}{\pi m e^2} \right)^2} \] \[ \omega = \frac{nh}{2\pi m} \times \frac{\pi^2 m^2 e^4}{n^4 h^4 \epsilon_0^2} \] \[ \omega = \frac{\pi m e^4}{2n^3 h^3 \epsilon_0^2} \] આવૃત્તિ \( \nu = \frac{\omega}{2\pi} \). \[ \nu = \frac{\pi m e^4}{2n^3 h^3 \epsilon_0^2 \times 2\pi} \] \[ \nu = \frac{m e^4}{4n^3 h^3 \epsilon_0^2} \] અથવા \( \frac{1}{4\pi\epsilon_0} = k \) મૂકતાં: \[ \nu = \frac{m e^4 (4\pi k)^2}{4n^3 h^3} \] \[ \nu = \frac{m e^4 \times 16\pi^2 k^2}{4n^3 h^3} \] \[ \nu = \frac{4\pi^2 k^2 m e^4}{n^3 h^3} \] ... (2) હવે, જ્યારે ઇલેક્ટ્રૉન \( n+1 \) કક્ષામાંથી 'n'મી કક્ષામાં સંક્રાંતિ કરે ત્યારે ઉત્સર્જાતા વિકિરણની તરંગલંબાઈનું સૂત્ર, \[ \frac{1}{\lambda} = R \left[ \frac{1}{n^2} - \frac{1}{(n+1)^2} \right] \] \[ \frac{1}{\lambda} = R \left[ \frac{(n+1)^2 - n^2}{n^2 (n+1)^2} \right] \] \[ \frac{1}{\lambda} = R \left[ \frac{n^2 + 2n + 1 - n^2}{n^2 (n+1)^2} \right] \] \[ \frac{1}{\lambda} = R \left[ \frac{2n + 1}{n^2 (n+1)^2} \right] \] પરંતુ \( n \) મોટો હોવાથી \( \frac{1}{n} \ll 1 \) થશે. તેથી દ્વિપદી વિસ્તરણના પ્રથમ બે પદો રાખતાં, \( (n+1)^2 \approx n^2 \). \[ \frac{1}{\lambda} = R \left[ \frac{1}{n^2} - \frac{1}{n^2(1+\frac{1}{n})^2} \right] \] \[ \frac{1}{\lambda} = R \left[ \frac{1}{n^2} - \frac{1}{n^2} \left( 1 - \frac{2}{n} \right) \right] \] \[ \frac{1}{\lambda} = R \left[ \frac{1}{n^2} - \frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^3} \right] \] \[ \frac{1}{\lambda} = R \frac{2}{n^3} \] પ્રકાશનો વેગ \( c = \lambda\nu \implies \nu = \frac{c}{\lambda} \). \[ \nu = c R \frac{2}{n^3} \] આપણે જાણીએ છીએ કે રીડબર્ગ અચળાંક \( R = \frac{m e^4}{8 \epsilon_0^2 h^3 c} \). તેથી, \[ \nu = c \left( \frac{m e^4}{8 \epsilon_0^2 h^3 c} \right) \frac{2}{n^3} \] \[ \nu = \frac{m e^4}{4 \epsilon_0^2 h^3 n^3} \] આપણે \( \epsilon_0 = \frac{1}{4\pi k} \) મૂકી શકીએ છીએ, અથવા \( k = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \implies \epsilon_0 = \frac{1}{4\pi k} \). \[ \epsilon_0^2 = \frac{1}{16\pi^2 k^2} \] \[ \nu = \frac{m e^4}{4 h^3 n^3} \left( \frac{1}{16\pi^2 k^2} \right)^{-1} \] \[ \nu = \frac{m e^4}{4 h^3 n^3} (16\pi^2 k^2) \] \[ \nu = \frac{4\pi^2 k^2 m e^4}{n^3 h^3} \] ... (3) સમીકરણ (2) અને (3) સમાન છે.
\( \implies \) બોહ્ર વાદ અનુસાર મળતી આવૃત્તિ, ઇલેક્ટ્રૉનના સંક્રાંતિના કારણે ઉત્સર્જાતા વિકિરણની આવૃત્તિ જેટલી હોય છે.
In simple words: This problem asks us to find the frequency of light emitted when an electron jumps from a higher energy level (n) to a slightly lower one (n-1). We use Bohr's model for electron's angular momentum and orbital frequency. For very large values of n, we find that the frequency of the emitted light is the same as the electron's classical orbital frequency. This aligns with Bohr's correspondence principle.

🎯 Exam Tip: This question demonstrates Bohr's correspondence principle, where quantum results match classical predictions for large quantum numbers. Be precise in deriving the orbital frequency and the frequency of emitted radiation, and ensure all substitutions for physical constants are correct.

 

Question 14. પ્રચલિત સિદ્ધાંતો મુજબ, ન્યુક્લિયસની ફરતે ઇલેક્ટ્રોન કોઈ પણ કક્ષામાં હોઈ શકે છે. તો પછી પરમાણુનું લાક્ષણિક પરિમાણ શાના પરથી નક્કી થાય છે ? પરમાણુ તેના લાક્ષણિક પરિમાણ કરતાં હજાર ગણો મોટો કેમ નથી ? આ પુસ્તકમાં તમે શીખ્યા તે પ્રખ્યાત મોડલ પર પહોંચતાં અગાઉ બોહ્નને આ પ્રશ્નએ ખૂબ મૂંઝવી દીધો હતો, તેણે શોધ અગાઉ શું કર્યું હશે ? તેને મૂર્તિમંત (Simulate) કરવા માટે, કુદરતના મૂળભૂત અચળાંકોની મદદથી, આપણે નીચેની રમત કરીએ અને જોઈએ કે આપણને પરમાણુના જાણીતા પરિમાણ (~ \( 10^{-10} \text{ m} \))ના લગભગ જેટલી લંબાઈનું પરિમાણ ધરાવતી રાશિ મળે છે કે કેમ ?
(a) મૂળભૂત અચળાંકો \( e, m \) અને \( c \) પરથી લંબાઈના પરિમાણ ધરાવતી રાશિ રચો. તેનું સંખ્યાત્મક મૂલ્ય શોધો.
(b) તમે જોશો કે (a)માં મેળવેલી લંબાઈ, પરમાણુના પરિમાણ કરતાં માનના (મૂલ્યના) ઘણાં ક્રમોથી નાની છે. ઉપરાંત તેમાં \( c \) રહેલ છે. પરંતુ પરમાણુઓની ઊર્જાઓ મહદ્અંશે બિન-સાપેક્ષવાદીય વિસ્તારોમાં હોય છે જ્યાં \( c \) કોઈ મહત્ત્વનો ભાગ ભજવે છે તે અપેક્ષિત નથી. કદાચ આ બાબતે બોહ્નને એમ સૂચવ્યું હશે કે \( c \) ને દૂર કરવો અને પરમાણુનું સાચું પરિમાણ મેળવવા માટે કંઈક બીજું' શોધવું. હવે, તે ગાળામાં પ્લાન્કના અચળાંક \( h \) એ અન્ય સ્થળે દેખા દીધેલી જ હતી. \( h, m \) અને \( e \) ઓળખવામાં (સમજવામાં), બોહ્નનું મહાન અંતર્દર્શન (Insight) રહેલું છે. \( h, m \) અને \( e \) પરથી લંબાઈનાં પરિમાણ ધરાવતી રાશિ રચો અને તેનું સંખ્યાત્મક મૂલ્ય શોધીને પુષ્ટિ કરો.
Answer:(a) મૂળભૂત અચળાંકો \( e, m \) અને \( c \) નો ઉપયોગ કરીને લંબાઈના પરિમાણ ધરાવતી રાશિ મેળવવા માટે, આપણે કુલંબ બળને કેન્દ્રગામી બળ તરીકે લઈ શકીએ, અને પછી ઊર્જાના સંરક્ષણનો ઉપયોગ કરી શકીએ. પ્રોટૉન અને ઇલેક્ટ્રૉન વચ્ચે લાગતું કુલંબ બળ: \( F = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{e^2}{r^2} \). આપણને ખબર છે કે `F.r` કાર્ય અથવા ઊર્જા બરાબર છે, અને \( mc^2 \) પણ ઊર્જા છે. \[ F \cdot r = mc^2 \] \[ \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{e^2}{r} = mc^2 \] \[ r = \frac{e^2}{4\pi\epsilon_0 mc^2} \] \[ r = \frac{k e^2}{m c^2} \] આમ, \( \frac{ke^2}{mc^2} \) ના પરિમાણ લંબાઈના પરિમાણ હોય છે. આપેલા મૂલ્યોનો ઉપયોગ કરતા: \( k = 9 \times 10^9 \text{ Nm}^2\text{C}^{-2} \), \( e = 1.6 \times 10^{-19} \text{ C} \), \( m = 9.1 \times 10^{-31} \text{ kg} \), \( c = 3 \times 10^8 \text{ m s}^{-1} \). \[ r = \frac{9 \times 10^9 \times (1.6 \times 10^{-19})^2}{9.1 \times 10^{-31} \times (3 \times 10^8)^2} \] \[ r = \frac{9 \times 10^9 \times 2.56 \times 10^{-38}}{9.1 \times 10^{-31} \times 9 \times 10^{16}} \] \[ r = \frac{23.04 \times 10^{-29}}{81.9 \times 10^{-15}} \] \[ r = 0.2813 \times 10^{-14} \text{ m} \]
\( \implies r = 2.82 \times 10^{-15} \text{ m} \). આ લંબાઈ લાક્ષણિક પરમાણુના પરિમાણ કરતાં ઘણી નાની છે. (b) બોહ્રના સૂત્ર પરથી 'n'મી કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રૉનની કક્ષીય ત્રિજ્યા, \[ r_n = \frac{n^2 h^2 \epsilon_0}{\pi m_e e^2} \] \( n = 1 \) (પ્રથમ કક્ષા માટે), \[ r_1 = \frac{h^2 \epsilon_0}{\pi m_e e^2} \] \[ r_1 = \frac{(6.625 \times 10^{-34})^2 \times 8.85 \times 10^{-12}}{3.14 \times 9.1 \times 10^{-31} \times (1.6 \times 10^{-19})^2} \]
\( \implies r_1 = 0.53 \times 10^{-10} \text{ m} \).
\( \implies r_1 \approx 0.53 \text{ Å} \), જે પરમાણુના પરિમાણના ક્રમનું છે. નોંધ: પરિમાણોની આ દલીલો બતાવતી નથી કે સાચું પરિણામ મેળવવા માટે આપણે \( h \) ને બદલે \( 2h \) વાપરવા જોઈએ.
In simple words: First, we create a length using the electron's charge (e), mass (m), and speed of light (c). This length turns out to be very small, much smaller than an atom. Then, using Planck's constant (h) along with e and m, we derive the Bohr radius. This radius is about 0.53 Angstroms (0.53 x 10^-10 m), which matches the known size of a hydrogen atom. This indicates that Planck's constant is crucial for understanding atomic sizes, unlike the speed of light for atomic-scale calculations.

🎯 Exam Tip: This complex problem emphasizes dimensional analysis and the role of fundamental constants in defining physical scales. Understand why combinations involving 'c' give a very small length (related to classical electron radius) and why combinations involving 'h' give atomic scales (Bohr radius). It's a key concept in the development of quantum mechanics.

 

Question 15. હાઇડ્રોજન પરમાણુની પ્રથમ ઉત્તેજિત અવસ્થામાં ઇલેક્ટ્રોનની કુલ ઊર્જા લગભગ \( -3.4 \text{ eV} \) છે.
(a) આ અવસ્થામાં ઇલેક્ટ્રૉનની ગતિઊર્જા કેટલી હશે ?
(b) આ અવસ્થામાં ઇલેક્ટ્રોનની સ્થિતિઊર્જા કેટલી હશે ?
(c) સ્થિતિઊર્જાનું મૂલ્ય શૂન્ય લેવાની પસંદગી બદલવામાં આવે તો ઉપરનામાંથી કયો જવાબ બદલાઈ જશે ?
Answer: બોહ્ર મૉડલની પૂર્વધારણા અનુસાર, કેન્દ્રગામી બળ = કુલંબ બળ \[ \frac{mv^2}{r} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{e^2}{r^2} \] (હાઇડ્રોજન માટે \( Z = 1 \))
\( \implies \frac{1}{2} mv^2 = \frac{1}{2} \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{e^2}{r} \) ગતિઊર્જા \( K = \frac{e^2}{8\pi\epsilon_0 r} \) ... (1) અને સ્થિતિઊર્જા, \[ U = \frac{-e \cdot e}{4\pi\epsilon_0 r} = \frac{-e^2}{4\pi\epsilon_0 r} \] ... (2)
\( \implies U = -2 \left( \frac{e^2}{8\pi\epsilon_0 r} \right) = -2K \) ... (3) અને કુલ ઊર્જા \( E = K + U \).
\( \implies E = K + (-2K) = -K \) ... (4) (a) પ્રથમ ઉત્તેજિત અવસ્થામાં કુલ ઊર્જા \( E = -3.4 \text{ eV} \). સમીકરણ (4) પરથી, \( E = -K \).
\( \implies -3.4 \text{ eV} = -K \)
\( \implies K = 3.4 \text{ eV} \). (b) સમીકરણ (3) પરથી, \( U = -2K \).
\( \implies U = -2(3.4 \text{ eV}) \)
\( \implies U = -6.8 \text{ eV} \). (c) જો સ્થિતિઊર્જાનું મૂલ્ય શૂન્ય લેવાની પસંદગી બદલવામાં આવે, તો ગતિઊર્જા બદલાતી નથી. તેથી ગતિઊર્જાનું મૂલ્ય \( +3.4 \text{ eV} \) છે જે સ્થિતિઊર્જાના શૂન્યથી સ્વતંત્ર છે. જો સ્થિતિઊર્જાનું મૂલ્ય બીજે શૂન્ય લેવામાં આવે, તો તે અવસ્થાની સ્થિતિઊર્જા અને કુલ ઊર્જા બદલાશે.
In simple words: For a hydrogen atom in its first excited state, the total energy is -3.4 eV. Based on Bohr's model, the kinetic energy of the electron will be 3.4 eV, and its potential energy will be -6.8 eV. If we change where we define potential energy as zero, only the potential and total energies will change, but the kinetic energy will remain the same.

🎯 Exam Tip: Remember the fundamental relationships \( E = -K \) and \( U = -2K \) for hydrogen-like atoms. The kinetic energy is always positive and absolute, while potential and total energies depend on the choice of the zero potential energy reference. This is a common point of confusion.

 

Question 15. હાઇડ્રોજન પરમાણુની પ્રથમ ઉત્તેજિત અવસ્થામાં ઇલેક્ટ્રોનની કુલ ઊર્જા લગભગ -3.4 eV છે.
(a) આ અવસ્થામાં ઇલેક્ટ્રૉનની ગતિઊર્જા કેટલી હશે ?
(b) આ અવસ્થામાં ઇલેક્ટ્રોનની સ્થિતિઊર્જા કેટલી હશે ?
(c) સ્થિતિઊર્જાનું મૂલ્ય શૂન્ય લેવાની પસંદગી બદલવામાં આવે તો ઉપરનામાંથી કયો જવાબ બદલાઈ જશે ?

Answer:
(a) ઇલેક્ટ્રૉનની કુલ ઊર્જા -3.4 eV છે. બોહ્રના મોડેલ મુજબ, જ્યારે અનંત અંતરે સ્થિતિઊર્જા શૂન્ય હોય, ત્યારે ગતિઊર્જા (K) એ કુલ ઊર્જા (E) ના નકારાત્મક મૂલ્ય જેટલી હોય છે, એટલે કે \(K = -E\).
તેથી, ગતિઊર્જા \(K = -(-3.4 \text{ eV}) = 3.4 \text{ eV}\).
(b) સ્થિતિઊર્જા (U) ગતિઊર્જા સાથે \(U = -2K\) સૂત્ર દ્વારા સંબંધિત છે. ભાગ (a) માં મળેલી ગતિઊર્જાનો ઉપયોગ કરીને, સ્થિતિઊર્જા થશે:
\(U = -2(3.4 \text{ eV}) = -6.8 \text{ eV}\).
(c) જો સ્થિતિઊર્જા માટે શૂન્ય બિંદુ અલગ રીતે પસંદ કરવામાં આવે, તો ઇલેક્ટ્રૉનની ગતિઊર્જા બદલાશે નહીં. ગતિઊર્જા હંમેશા ધન હોય છે અને તે ઇલેક્ટ્રૉનની ઝડપ પર આધાર રાખે છે, સ્થિતિઊર્જાના સંદર્ભ બિંદુ પર નહીં. જોકે, સ્થિતિઊર્જા અને તે અવસ્થાની કુલ ઊર્જા બંને બદલાશે, કારણ કે તે પસંદ કરેલા શૂન્ય સંદર્ભ બિંદુ પર આધાર રાખે છે.
In simple words: The electron's total energy is -3.4 eV. (a) Its movement energy (kinetic energy) is the opposite of this total energy, so 3.4 eV. (b) Its stored energy (potential energy) is twice the negative of its movement energy, so -6.8 eV. (c) If we change where we set "zero" for stored energy, the movement energy stays the same, but the stored energy and total energy will change.

🎯 Exam Tip: Remember that in the Bohr model, for an electron orbiting a nucleus, the kinetic energy is \(K = -E\) and the potential energy is \(U = 2E\), where E is the total energy. This relationship assumes the potential energy is zero at infinite separation.

 

Question 16. જો બોહ્નની ક્વૉન્ટમીકરણ (કોણીય વેગમાન \( = \frac{n h}{2 \pi} \)) ની સ્વીકૃતિ, કુદરતનો મૂળભૂત નિયમ હોય તો તે ગ્રહોની ગતિના કિસ્સા માટે પણ સમાનરૂપે માન્ય રહેવો જોઈએ. તો પછી આપણે સૂર્યની આસપાસ ગ્રહોની કક્ષાઓના ક્વૉન્ટમીકરણ અંગે કદી કહેતા કેમ નથી ?

Answer:
બોહ્રના કોણીય વેગમાન ક્વૉન્ટમીકરણ નિયમ (\(L = \frac{nh}{2\pi}\)) ને ગ્રહોની ગતિ પર લાગુ ન કરવાના કારણો નીચે મુજબ છે:
* ગ્રહોની ગતિ સાથે સંકળાયેલું કોણીય વેગમાન, પ્લાન્ક અચળાંક (h) ની સરખામણીમાં અત્યંત મોટું હોય છે. ઉદાહરણ તરીકે, પૃથ્વીનું કોણીય વેગમાન લગભગ \(10^{70}\) h ના ક્રમનું હોય છે.
* આટલું મોટું કોણીય વેગમાન સૂચવે છે કે મુખ્ય ક્વૉન્ટમ સંખ્યા 'n' નું મૂલ્ય ખૂબ જ મોટું હશે (\(10^{70}\) ના ક્રમનું).
* 'n' ના આવા મોટા મૂલ્યો માટે, બોહ્રના મોડેલ અનુસાર ક્રમિક ક્વૉન્ટાઈઝ્ડ ઊર્જા સ્તરો અને કોણીય વેગમાનના મૂલ્યો વચ્ચેનો તફાવત એટલો નાનો બની જાય છે કે તે લગભગ સતત દેખાય છે. વ્યવહારિક રીતે, આપણે આ સ્તરોને સતત ગણી શકીએ છીએ.
* આ કારણે, ગ્રહોની ગતિને ક્વૉન્ટાઈઝ્ડ ગણવાથી કોઈ નવી માહિતી મળતી નથી અને તે જરૂરી પણ નથી.
In simple words: We don't talk about planets having "quantized" orbits like electrons because planets have extremely large angular momentum. This would mean their quantum number 'n' is huge. When 'n' is so large, the energy levels become incredibly close, appearing continuous, so there's no practical difference from classical physics.

🎯 Exam Tip: This question tests your understanding of the limits of quantum mechanics and the correspondence principle. For macroscopic systems with very large quantum numbers, quantum effects become indistinguishable from classical behavior.

 

Question 17. મ્યુઓનિક (Muonic) હાઇડ્રોજન પરમાણુ (એટલે કે એવો પરમાણુ કે જેમાં પ્રોટોનની આસપાસ લગભગ \(207 m_e\) દળનો ઋણ વિદ્યુતભાર ધરાવતો મ્યુઓન (Muon - \(\mu\)) કક્ષીય ભ્રમણ કરે છે) માટે પ્રથમ કક્ષાની ત્રિજ્યા અને ધરા અવસ્થા ઊર્જા મેળવો.

Answer:
મ્યુઓનિક હાઇડ્રોજન પરમાણુમાં, પ્રોટોનની આસપાસ ઇલેક્ટ્રોન કરતાં \(207 m_e\) દળનો મ્યુઓન ફરે છે. આપણે પ્રથમ કક્ષાની ત્રિજ્યા અને ધરા અવસ્થાની ઊર્જા શોધવાની છે.
**1. પ્રથમ કક્ષાની ત્રિજ્યા (\(r_\mu\)):**
બોહ્રના મોડેલ મુજબ, ઇલેક્ટ્રોનની કક્ષાની ત્રિજ્યા \(r\) એ ભ્રમણ કરતા કણના દળ \(m\) ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે, એટલે કે \(r \propto \frac{1}{m}\).
હાઇડ્રોજન પરમાણુમાં ઇલેક્ટ્રોનની પ્રથમ બોહ્ર ત્રિજ્યા (\(r_e\)) \(0.53 \times 10^{-10}\) m છે.
મ્યુઓન માટે, દળ \(m_\mu = 207 m_e\).
આથી, ત્રિજ્યાનો ગુણોત્તર:
\[ \frac{r_\mu}{r_e} = \frac{m_e}{m_\mu} \] \[ r_\mu = r_e \times \frac{m_e}{m_\mu} = 0.53 \times 10^{-10} \text{ m} \times \frac{m_e}{207 m_e} \] \[ r_\mu = \frac{0.53 \times 10^{-10}}{207} \text{ m} \] \[ r_\mu \approx 2.56 \times 10^{-13} \text{ m} \] **2. ધરા અવસ્થાની ઊર્જા (\(E_\mu\)):**
બોહ્રના મોડેલ મુજબ, ઇલેક્ટ્રોનની ઊર્જા \(E\) એ ભ્રમણ કરતા કણના દળ \(m\) ના સમપ્રમાણમાં હોય છે, એટલે કે \(E \propto -m\).
હાઇડ્રોજન પરમાણુમાં ઇલેક્ટ્રોનની ધરા અવસ્થાની ઊર્જા (\(E_e\)) -13.6 eV છે.
મ્યુઓન માટે, દળ \(m_\mu = 207 m_e\).
આથી, ઊર્જાનો ગુણોત્તર:
\[ \frac{E_\mu}{E_e} = \frac{m_\mu}{m_e} \] \[ E_\mu = E_e \times \frac{m_\mu}{m_e} = -13.6 \text{ eV} \times \frac{207 m_e}{m_e} \] \[ E_\mu = -13.6 \times 207 \text{ eV} \] \[ E_\mu = -2815.2 \text{ eV} \] \[ E_\mu \approx -2.8 \text{ keV} \]
In simple words: The muon is much heavier than an electron, so it orbits much closer to the proton. Because its mass is \(207\) times greater, the first orbit's radius is \(207\) times smaller than for an electron. Also, the ground state energy is \(207\) times lower (more negative) for the muon, meaning it's much more tightly bound.

🎯 Exam Tip: When dealing with exotic atoms (like muonic atoms) where the orbiting particle's mass changes, remember that the Bohr radius is inversely proportional to mass (\(r \propto 1/m\)), and the energy is directly proportional to mass (\(E \propto -m\)).

 

Gseb Class 12 Physics: Ncert Exemplar Questions And Answers - परमाणुओ

Multiple Choice Questions (MCQ-I)

Choose the correct single option for each question:

 

Question 1. બોહ્ન ત્રિજ્યા \(a_0 = 53\) pm લેતાં. બોહ્ન મોડલના આધારે Li++ આયનની ધરા સ્થિતિમાં ત્રિજ્યા આશરે
(A) 53 pm
(B) 27 pm
(C) 18 pm
(D) 13 pm

Answer: (C) 18 pm
બોહ્રના મોડેલ મુજબ, હાઈડ્રોજન જેવા પરમાણુઓ માટે n મી કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનની ત્રિજ્યાનું સૂત્ર છે:
\[ r_n = a_0 \frac{n^2}{Z} \] અહીં, \(a_0\) = 53 pm (બોહ્ર ત્રિજ્યા)
Li++ આયન માટે, પરમાણુ ક્રમાંક Z = 3.
ધરા અવસ્થા માટે, મુખ્ય ક્વૉન્ટમ સંખ્યા n = 1.
મૂલ્યો મુકતા:
\[ r_1 = 53 \text{ pm} \times \frac{(1)^2}{3} \] \[ r_1 = \frac{53}{3} \text{ pm} \] \[ r_1 \approx 17.67 \text{ pm} \] જે આશરે 18 pm છે.
In simple words: For atoms like hydrogen, the orbit's size depends on the atomic number (Z) and the energy level (n). For Li\(^{++}\), Z is 3 and for the lowest energy level, n is 1. Using the formula, the orbit size is about one-third of hydrogen's lowest orbit, which is approximately 18 pm.

🎯 Exam Tip: Remember that for hydrogen-like atoms (single electron ions), the Bohr radius scales as \(n^2/Z\). This allows you to quickly calculate radii for various ions and energy states relative to hydrogen.

 

Question 2. નિયત ન્યુક્લિયસ (પ્રોટોન)ને ફરતે ભ્રમણ કરતા ઇલેક્ટ્રૉન, એટલે કે H-પરમાણુની બંધનઊર્જા \(B = - \frac{m e^4}{8 n^2 \varepsilon_0^2 h^2}\) વડે અપાય છે. (જ્યાં, \(m\) = ઇલેક્ટ્રૉનનું દ્રવ્યમાન). જો કોઈ એવી નિર્દેશ ફ્રેમમાં કામ કરવાનું નક્કી કરે કે જેમાં ઇલેક્ટ્રોન સ્થિર સ્થિતિમાં હોય અને પ્રોટોન તેની આસપાસ ભ્રમણ કરતો હોય તેવા દૃશ્યમાં પ્રોટોનનું દળ \(M\) હોય તો તેની બંધનઊર્જા \(B = - \frac{M e^4}{8 n^2 \varepsilon_0^2 h^2}\).
(જ્યાં \(M\) = પ્રોટોનનું દ્રવ્યમાન.) આ છેલ્લી પદાવલિ (expression) સાચી નથી. કારણ કે,
(A) n પૂર્ણાંક નહીં હોય.
(B) બોહ્નનું ક્વૉન્ટમીકરણ (quantisation) ફક્ત ઇલેક્ટ્રૉનને જ લાગુ પડે છે.
(C) જે ફ્રેમમાં ઇલેક્ટ્રૉન સ્થિર છે, તે જડત્વીય નથી.
(D) પ્રોટોનની ગતિ વર્તુળાકાર પથ પર નહીં હોય (આશરે પણ નહીં.)

Answer: (C) જે ફ્રેમમાં ઇલેક્ટ્રૉન સ્થિર છે, તે જડત્વીય નથી. (The frame where the electron is stationary is not inertial.)
બોહ્રના મોડેલમાં બંધન ઊર્જા માટેનું આપેલું છેલ્લું સૂત્ર ખોટું છે કારણ કે:
* હાઈડ્રોજન પરમાણુમાં, ન્યુક્લિયસ (પ્રોટોન)ની આસપાસ ઇલેક્ટ્રોન ગતિ કરે છે, તેથી તે કેન્દ્રગામી પ્રવેગ અનુભવે છે. આનો અર્થ એ છે કે ન્યુક્લિયસ પર સ્થિર રહેલી સંદર્ભ ફ્રેમ જડત્વીય ફ્રેમ નથી.
* જો ઇલેક્ટ્રોન સ્થિર હોય અને પ્રોટોન તેની આસપાસ ફરતો હોય, તો પણ આ સંદર્ભ ફ્રેમ જડત્વીય નથી. જડત્વીય ફ્રેમ એવી હોય છે જેમાં કોઈ બાહ્ય બળ વિના કણ સ્થિર રહે અથવા સ્થિર વેગથી ગતિ કરે. અહીં, પ્રોટોન ઇલેક્ટ્રોનની આસપાસ પ્રવેગી ગતિ કરશે.
* આથી, જે ફ્રેમમાં ઇલેક્ટ્રોન સ્થિર છે તે જડત્વીય ન હોવાથી, બંધન ઊર્જાનું સૂત્ર સીધું લાગુ પાડી શકાતું નથી.
In simple words: The given energy formula is wrong because the reference point where the electron is still is not a "stable" (inertial) frame. In such a frame, the proton would be moving around the electron, meaning it's accelerating. Since there's acceleration, it's not a simple, unmoving frame of reference.

🎯 Exam Tip: Understand the difference between inertial and non-inertial frames. Bohr's model is usually applied in a frame where the nucleus is considered fixed or where reduced mass is used to account for both particles moving about their common center of mass. Calculations in non-inertial frames are more complex.

 

Question 3. વધુ ઇલેક્ટ્રોન ધરાવતા પરમાણુની ઊર્જાસ્તરોની ગણતરી કરવા માટે બોહ્નનું સાદું મોડલ સીધેસીધું લાગુ પાડી ન શકાય. કારણ કે,
(A) ઇલેક્ટ્રૉન પર કેન્દ્રીય બળ લાગતું નથી.
(B) ઇલેક્ટ્રૉન એકબીજા સાથે સંઘાત પામે છે.
(C) સ્ક્રિનિંગ અસરો જોવા મળે છે.
(D) ન્યુક્લિયસ અને ઇલેક્ટ્રૉન વચ્ચે બળ, કુલંબના નિયમ પ્રમાણે દર્શાવી શકાતું નથી.

Answer: (A) ઇલેક્ટ્રૉન પર કેન્દ્રીય બળ લાગતું નથી. (A central force does not act on the electron.)
વધુ ઇલેક્ટ્રોન ધરાવતા પરમાણુઓમાં ઊર્જા સ્તરોની ગણતરી માટે બોહ્રનું સાદું મોડેલ સીધું લાગુ પાડી શકાતું નથી કારણ કે:
* બોહ્રનું મોડેલ એક જ ઇલેક્ટ્રોન માટે રચાયેલું છે જે ન્યુક્લિયસના કેન્દ્રીય આકર્ષણ બળ હેઠળ ગતિ કરે છે.
* બહુ-ઇલેક્ટ્રોન પરમાણુઓમાં, ઇલેક્ટ્રોન માત્ર ન્યુક્લિયસ દ્વારા આકર્ષાતા નથી, પરંતુ અન્ય ઇલેક્ટ્રોન દ્વારા પણ અપાકર્ષિત થાય છે.
* આ ઇલેક્ટ્રોન-ઇલેક્ટ્રોન અપાકર્ષણનો અર્થ એ છે કે કોઈપણ ઇલેક્ટ્રોન પર લાગતું ચોખ્ખું બળ એક સરળ કેન્દ્રીય બળ નથી. આ 'સ્ક્રિનિંગ અસર' તરફ દોરી જાય છે, જ્યાં આંતરિક ઇલેક્ટ્રોન બાહ્ય ઇલેક્ટ્રોન માટે ન્યુક્લિયસના ચાર્જને આંશિક રીતે રક્ષણ આપે છે.
* આથી, 'ઇલેક્ટ્રોન પર કેન્દ્રીય બળ લાગતું નથી' (A) એ સાદું બોહ્ર મોડેલ શા માટે બહુ-ઇલેક્ટ્રોન સિસ્ટમ પર લાગુ નથી પડતું તેનું સાચું કારણ છે.
In simple words: Bohr's model only works for atoms with one electron because it assumes a single force from the center. For atoms with many electrons, the electrons push each other away, meaning the force on each electron isn't just from the center. This makes the simple model unusable.

🎯 Exam Tip: Bohr's model's major limitation is its inability to account for electron-electron interactions (screening effects). This means it's only accurate for hydrogen-like atoms (single electron species).

 

Question 4. ધરા સ્થિતિ માટે, બોહ્નના સાદા મોડલ પ્રમાણે, H-પરમાણુમાં ઇલેક્ટ્રૉનનું કોણીય વેગમાન \( = h\), કોણીય વેગમાન એ સદિશ છે અને તેથી શક્ય બધી જ દિશાઓ તરફ નિર્દેશ કરતા સદિશવાળી અનંત કક્ષાઓ મળશે. હકીકતમાં આ સાચું નથી.
(A) કારણ કે બોહ્ન મૉડલ કોણીય વેગમાનનાં ખોટાં મૂલ્યો આપે છે.
(B) કારણ કે આ બધામાંથી કોઈ એક જ માટે લઘુતમ ઊર્જા હશે.
(C) કોણીય વેગમાન ઇલેક્ટ્રૉનની સ્પિનની દિશામાં હોવું જોઈએ.
(D) કારણ કે ઇલેક્ટ્રૉન ફક્ત સમક્ષિતિજ કક્ષાઓમાં જ ગતિ કરતા હોય છે.

Answer: (A) કારણ કે બોહ્ન મૉડલ કોણીય વેગમાનનાં ખોટાં મૂલ્યો આપે છે. (Because Bohr's model gives incorrect values for angular momentum.)
બોહ્રના સાદા મોડેલ અનુસાર, હાઈડ્રોજન પરમાણુમાં ઇલેક્ટ્રોનનું ધરા અવસ્થામાં કોણીય વેગમાન 'h' છે અને કોણીય વેગમાન સદિશ હોવાથી, બધી દિશાઓમાં અનંત કક્ષાઓ શક્ય છે, તે ખોટું છે કારણ કે:
* બોહ્રના મોડેલ મુજબ, કોણીય વેગમાન \(L = \frac{nh}{2\pi}\) વડે ક્વૉન્ટાઈઝ્ડ છે. ધરા અવસ્થા (\(n=1\)) માટે, કોણીય વેગમાન \(\frac{h}{2\pi}\) હોવું જોઈએ, માત્ર 'h' નહીં.
* વધુ અદ્યતન ક્વૉન્ટમ મિકેનિક્સ દર્શાવે છે કે ધરા અવસ્થા (\(n=1\)) માટે ઇલેક્ટ્રોનનું વાસ્તવિક કોણીય વેગમાન શૂન્ય છે (\(l=0\)).
* આમ, બોહ્રનું મોડેલ કોણીય વેગમાનના મૂલ્યો સંબંધિત સાચી ભવિષ્યવાણી કરતું નથી, ખાસ કરીને ધરા અવસ્થા માટે.
* આથી, વિકલ્પ (A) સાચો છે કારણ કે બોહ્રનું મોડેલ કોણીય વેગમાનના ખોટા મૂલ્યો આપે છે.
In simple words: Bohr's model incorrectly states the electron's angular momentum in the lowest energy state is 'h'. Actually, it's \(\frac{h}{2\pi}\) according to Bohr's own rules, and even zero according to more accurate quantum physics. Since the starting premise is wrong about the angular momentum value, the rest of the statement about infinite orbits in all directions is also incorrect.

🎯 Exam Tip: A key limitation of the Bohr model is its incorrect prediction of angular momentum for the ground state (\(L=0\) in quantum mechanics, not \(\frac{h}{2\pi}\) as per Bohr). This is a frequent point of comparison with quantum mechanical results.

 

Question 5. O2 અણુ, ઓક્સિજનના બે પરમાણુ ધરાવે છે. અણુમાં, બે પરમાણુના ન્યુક્લિયસ વચ્ચે લાગતું ન્યુક્લિયર બળ,
(A) મહત્ત્વનું નથી કારણ કે, ન્યુક્લિયર બળ લઘુઅંતરીય હોય છે.
(B) બે પરમાણુને બાંધતા વિદ્યુત બળ જેટલું જ મહત્ત્વ ધરાવે છે.
(C) ન્યુક્લિયસો વચ્ચે લાગતા અપાકર્ષી સ્થિત વિદ્યુત બળને નાબૂદ કરે છે.
(D) મહત્ત્વનું નથી કારણ કે ઑક્સિજનના ન્યુક્લિયસમાં ન્યૂટ્રૉન અને પ્રોટોનની સંખ્યા સમાન હોય છે.

Answer: (A) મહત્ત્વનું નથી કારણ કે, ન્યુક્લિયર બળ લઘુઅંતરીય હોય છે. (It is not significant because the nuclear force is short-range.)
O2 અણુમાં, ઓક્સિજનના બે પરમાણુના ન્યુક્લિયસ વચ્ચે લાગતું ન્યુક્લિયર બળ મહત્ત્વનું નથી, કારણ કે:
* ન્યુક્લિયર બળ એક ખૂબ જ લઘુ-અંતરીય બળ છે, જે ફક્ત ન્યુક્લિયસની અંદર જ કાર્ય કરે છે (\(\approx 10^{-15}\) m).
* O2 અણુમાં બે ઓક્સિજન ન્યુક્લિયસ વચ્ચેનું અંતર આ બળની પહોંચ કરતાં નોંધપાત્ર રીતે મોટું હોય છે.
* આથી, ન્યુક્લિયર બળ બે પરમાણુના ન્યુક્લિયસને એકબીજા સાથે જોડવામાં કોઈ ભૂમિકા ભજવતું નથી. અણુઓમાં પરમાણુઓને બાંધતી મુખ્ય શક્તિ વિદ્યુતચુંબકીય બળ છે.
In simple words: The nuclear force is very strong but only works over extremely short distances, found inside an atom's nucleus. In an \(O_2\) molecule, the two oxygen nuclei are too far apart for this strong nuclear force to connect them. So, this force doesn't play a big role in holding the molecule together.

🎯 Exam Tip: Distinguish between the strong nuclear force (intranuclear, short-range) and the electromagnetic force (interatomic/molecular, long-range). Chemical bonds are primarily governed by the electromagnetic interaction between electrons and nuclei.

 

Question 6. ધરા સ્થિતિમાં આવેલા બે H-પરમાણુ અસ્થિતિસ્થાપક સંઘાત પામે છે. તેમની સંયુક્ત ગતિઊર્જાના ઘટાડાનું મહત્તમ મૂલ્ય,
(A) 10.20 eV
(B) 20.40 eV
(C) 13.6 eV
(D) 27.2 eV

Answer: (A) 10.20 eV
જ્યારે ધરા અવસ્થામાં રહેલા બે હાઈડ્રોજન પરમાણુઓ અસ્થિતિસ્થાપક રીતે અથડાય છે, ત્યારે તેમની સંયુક્ત ગતિઊર્જામાં મહત્તમ ઘટાડો ત્યારે થાય છે જ્યારે એક પરમાણુ ઓછામાં ઓછી ઊર્જાવાળા ઉત્તેજિત અવસ્થામાં જાય અને બીજો પરમાણુ ધરા અવસ્થામાં જ રહે.
* હાઈડ્રોજન પરમાણુ માટે ઊર્જા સ્તરો \(E_n = -\frac{13.6}{n^2}\) eV છે.
* ધરા અવસ્થા (\(n=1\)) ની ઊર્જા: \(E_1 = -13.6 \text{ eV}\).
* પ્રથમ ઉત્તેજિત અવસ્થા (\(n=2\)) ની ઊર્જા: \(E_2 = -\frac{13.6}{2^2} = -3.4 \text{ eV}\).
* સંઘાત પહેલા, બે ધરા અવસ્થામાં રહેલા પરમાણુઓની કુલ ઊર્જા: \(2 \times (-13.6 \text{ eV}) = -27.2 \text{ eV}\).
* મહત્તમ ગતિઊર્જા ગુમાવવા માટે, એક પરમાણુ \(n=1\) થી \(n=2\) માં ઉત્તેજિત થાય છે, અને બીજો \(n=1\) માં રહે છે. સંઘાત પછી પરમાણુઓની કુલ આંતરિક ઊર્જા:
\(E_{final} = E_1 + E_2 = -13.6 \text{ eV} + (-3.4 \text{ eV}) = -17.0 \text{ eV}\).
* ગતિઊર્જામાં મહત્તમ ઘટાડો (જે ઉત્તેજન ઊર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે) = \(E_{initial} - E_{final}\) (ગતિઊર્જાના સંદર્ભમાં) = \(|-27.2 \text{ eV} - (-17.0 \text{ eV})|\) = \(|-10.2 \text{ eV}|\) = 10.2 eV.
In simple words: When two hydrogen atoms in their lowest energy state bump into each other and lose the most energy, one atom gets enough energy to jump to its first excited state, and the other stays in its lowest state. The energy lost from their movement for this to happen is 10.2 eV.

🎯 Exam Tip: For inelastic collisions, the maximum kinetic energy loss corresponds to the minimum excitation energy required for one of the colliding particles to reach an excited state. Always use the formula \(E_n = -13.6/n^2\) for hydrogen atom energy levels.

 

Question 7. કોઈ એક ઉત્તેજિત અવસ્થામાં આવેલ પરમાણુઓનો સમૂહ ક્ષય પામે છે,
(A) સામાન્ય રીતે નીચી ઊર્જાવાળી કોઈ પણ અવસ્થામાં જશે.
(B) ફક્ત બાહ્ય વિદ્યુતક્ષેત્રથી ઉત્તેજિત કરાયો હોય, તો જ નીચી અવસ્થામાં જશે.
(C) બધા જ એક સાથે નીચી અવસ્થામાં જશે.
(D) ફક્ત જ્યારે સંઘાત પામે ત્યારે જ ફોટોન ઉત્સર્જિત કરે છે.

Answer: (A) સામાન્ય રીતે નીચી ઊર્જાવાળી કોઈ પણ અવસ્થામાં જશે. (They will generally go to any lower energy state.)
જ્યારે ઉત્તેજિત અવસ્થામાં રહેલા પરમાણુઓનો સમૂહ વિઘટિત થાય છે, ત્યારે ઇલેક્ટ્રોન ઊંચા ઊર્જા સ્તરોમાંથી નીચા ઊર્જા સ્તરોમાં સંક્રમણ કરે છે. આ સંક્રમણો વિવિધ રીતે થઈ શકે છે:
* પરમાણુઓ સીધા ધરા અવસ્થામાં આવી શકે છે, અથવા તેઓ મધ્યવર્તી નીચા ઊર્જા સ્તરોમાંથી પસાર થઈ શકે છે.
* આ એક સંભવિત પ્રક્રિયા છે, જ્યાં દરેક પરમાણુ સ્વતંત્ર રીતે કોઈપણ નીચા ઊર્જા સ્તરમાં સંક્રમણ કરી શકે છે, જે ઊર્જા તફાવતને અનુરૂપ ફોટોનનું ઉત્સર્જન કરે છે.
* આથી, સૌથી સચોટ નિવેદન એ છે કે ઉત્તેજિત પરમાણુઓનો સમૂહ સામાન્ય રીતે કોઈપણ નીચા ઊર્જા સ્તરમાં જશે.
In simple words: When many excited atoms lose their extra energy, they usually don't all go back to their lowest state in the exact same way. Instead, each atom can drop to any lower energy level that is allowed, giving off light as it does so.

🎯 Exam Tip: De-excitation of atoms is a probabilistic process. Atoms in an excited state can cascade down through multiple intermediate states or directly jump to the ground state, leading to a complex emission spectrum.

 

Multiple Choice Questions (MCQ-II)

In the following questions, one or more options may be correct:

 

Question 1. એક આયોનાઇઝડ H-અણુ બે પ્રોટોન અને એક ઇલેક્ટ્રોન ધરાવે છે. પ્રોટોન એકબીજાથી એન્ગસ્ટ્રોમ (angstrom) ના ક્રમના અંતરે છે. ધરા સ્થિતિમાં,
(A) ઇલેક્ટ્રૉન વર્તુળાકાર કક્ષામાં ગતિ નહીં કરે.
(B) તેની ઊર્જા, H-પરમાણુની ઊર્જા કરતાં (2)4 ગણી હશે.
(C) ઇલેક્ટ્રૉનની કક્ષા પ્રોટોનને ફરતે હોય છે.
(D) અણુ એ તરત જ પ્રોટોન અને H-પરમાણુમાં ક્ષય પામશે.

Answer: (A) ઇલેક્ટ્રૉન વર્તુળાકાર કક્ષામાં ગતિ નહીં કરે. (The electron will not move in a circular orbit.)
(C) ઇલેક્ટ્રૉનની કક્ષા પ્રોટોનને ફરતે હોય છે. (The electron's orbit encloses the protons.)
આયનાઈઝ્ડ હાઈડ્રોજન અણુ (\(H_2^+\)) માં બે પ્રોટોન અને એક ઇલેક્ટ્રોન હોય છે. પ્રોટોન એકબીજાથી એન્ગસ્ટ્રોમ ક્રમના અંતરે હોય છે. ધરા અવસ્થામાં:
* ઇલેક્ટ્રોન બંને પ્રોટોનની આસપાસ ફરે છે, જે એક મોલેક્યુલર ઓર્બિટલ બનાવે છે. આ કક્ષા સામાન્ય રીતે ગોળાકાર નહીં પણ લંબગોળાકાર અથવા વધુ જટિલ આકારની હોય છે. આથી, વિકલ્પ (A) સાચો છે.
* ઇલેક્ટ્રોનનો માર્ગ બંને પ્રોટોનને ઘેરી લે છે, જે પરમાણુમાં ઇલેક્ટ્રોન એક પ્રોટોનની આસપાસ ફરે છે તેનાથી વિપરીત છે. આથી, વિકલ્પ (C) સાચો છે.
* વિકલ્પ (B) અને (D) ખોટા છે. \(H_2^+\) એક સ્થિર પરમાણુ આયન છે અને તેની ઊર્જા H-પરમાણુ કરતા અલગ રીતે ગણવામાં આવે છે.
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): આ ચિત્ર એક હાઇડ્રોજન અણુ (H2+) ને દર્શાવે છે જેમાં એક ઇલેક્ટ્રોન બે પ્રોટોનની આસપાસ લંબગોળાકાર કક્ષામાં ફરે છે. ઇલેક્ટ્રોનનો માર્ગ બંને પ્રોટોનને આવરી લે છે, જે દર્શાવે છે કે ઇલેક્ટ્રોન એક મોલેક્યુલર બોન્ડમાં બંધાયેલું છે.
In simple words: In an ionized hydrogen molecule with two protons and one electron, the electron orbits both protons together in an elliptical path, not a simple circle. This means the electron's path wraps around both protons.

🎯 Exam Tip: This question highlights the transition from atomic orbitals to molecular orbitals. In diatomic molecules like \(H_2^+\), electrons do not orbit a single nucleus but rather the entire molecular framework, leading to non-circular and more complex orbital shapes.

 

Question 2. મુક્ત ઇલેક્ટ્રોનના કિરણપુંજનો મુક્ત પ્રોટોન તરફ મારો ચલાવવામાં આવે છે તેવું વિચારીએ. જ્યારે તે પ્રકીર્ણન પામે ત્યારે H-પરમાણુ બનાવવા માટે એક ઇલેક્ટ્રૉન અને એક પ્રોટોન સંયોજાઈ ન શકે.
(A) ઊર્જા-સંરક્ષણના કારણે.
(B) વિકિરણના સ્વરૂપમાં ઊર્જાને મુક્ત કર્યા વગર.
(C) વેગમાન સરક્ષણના કારણે.
(D) કોણીય વેગમાન સંરક્ષણના કારણે.

Answer: (A) ઊર્જા-સંરક્ષણના કારણે. (Due to conservation of energy.)
(B) વિકિરણના સ્વરૂપમાં ઊર્જાને મુક્ત કર્યા વગર. (Without releasing energy in the form of radiation.)
જ્યારે મુક્ત ઇલેક્ટ્રોન અને મુક્ત પ્રોટોન અથડાય છે, ત્યારે હાઈડ્રોજન પરમાણુ બનાવવા માટે તેઓ ફક્ત પ્રકીર્ણન દ્વારા જોડાઈ શકતા નથી, કારણ કે:
* **(A) ઊર્જા-સંરક્ષણ:** હાઈડ્રોજન પરમાણુ બનાવવા માટે, ઇલેક્ટ્રોન અને પ્રોટોનને બંધન ઊર્જા (\(13.6 \text{ eV}\)) જેટલી ઊર્જા ગુમાવવી પડે છે. જો આ ઊર્જા બહાર ન નીકળે (ઉદા. તરીકે, ફોટોનના સ્વરૂપમાં), તો રચાયેલ સિસ્ટમ બંધાયેલી અવસ્થામાં રહી શકશે નહીં. આથી, ઊર્જા-સંરક્ષણ આ પ્રક્રિયા માટે આવશ્યક છે.
* **(B) વિકિરણના સ્વરૂપમાં ઊર્જાને મુક્ત કર્યા વગર:** જો ઇલેક્ટ્રોન અને પ્રોટોન ઊર્જાનું ઉત્સર્જન કર્યા વિના જોડાય, તો તેમની પાસે વધારાની ઊર્જા હશે જે તેમને બંધાયેલી અવસ્થામાં રહેતા અટકાવશે. બંધાયેલી અવસ્થા બનાવવા માટે વધારાની ઊર્જા દૂર કરવી જરૂરી છે, જે સામાન્ય રીતે ફોટોન ઉત્સર્જન દ્વારા થાય છે.
* **(C) વેગમાન સંરક્ષણ:** અથડામણમાં વેગમાન સંરક્ષણ પણ મહત્ત્વપૂર્ણ છે. જો બે કણો જોડાઈને એક કણ બનાવે અને ત્રીજો કણ (ફોટોન) વેગમાનને દૂર ન કરે, તો અંતિમ વેગમાન સંરક્ષિત નહીં થાય, સિવાય કે કણો શરૂઆતમાં સ્થિર હોય.
આથી, (A) અને (B) બંને સાચા વિકલ્પો છે.
In simple words: A free electron and proton cannot simply stick together to form a stable hydrogen atom after hitting each other. For them to become a bound atom, they must get rid of their extra energy, usually by emitting a photon (light particle). If they don't release this energy as radiation, they can't form a stable atom because energy would not be conserved in the process of binding.

🎯 Exam Tip: The formation of a bound system from free particles always requires the release of energy (binding energy). This energy is typically carried away by a third particle (e.g., a photon) to ensure both energy and momentum conservation in the process.

 

Question 3. એક H-પરમાણુના વર્ણપટ માટે બોહ્ન મૉડલ
(A) હાઇડ્રૉજનના અણુ સ્વરૂપ પર લાગુ પડ્યું
(B) He ના પરમાણુ માટે હોવાથી લાગુ પડતું નથી.
(C) ફક્ત ઓરડાના તાપમાને જ માન્ય છે.
(D) સતત અને અસતત (discrete) વર્ણપટ રેખાઓની આગાહી કરે છે.

Answer: (A) હાઇડ્રૉજનના અણુ સ્વરૂપ પર લાગુ પડ્યું (Applies to the molecular form of hydrogen.)
(B) He ના પરમાણુ માટે હોવાથી લાગુ પડતું નથી. (Does not apply to the Helium atom.)
બોહ્રનું પરમાણુ મોડેલ:
* **(A) હાઇડ્રોજનના અણુ સ્વરૂપ પર લાગુ પડતું નથી:** બોહ્રનું મોડેલ માત્ર એક-ઇલેક્ટ્રોન સિસ્ટમ (જેમ કે H, He+, Li++) માટે રચાયેલું છે. તે \(H_2\) જેવા દ્વિ-પરમાણુ અણુઓની જટિલ આણ્વીય રચના અને વર્ણપટને સમજાવી શકતું નથી. આથી, વિકલ્પ (A) સાચો છે.
* **(B) હિલિયમ પરમાણુને લાગુ પડતું નથી:** હિલિયમ પરમાણુમાં બે ઇલેક્ટ્રોન હોય છે. બોહ્રનું મોડેલ ઇલેક્ટ્રોન-ઇલેક્ટ્રોન અપાકર્ષણ અને સ્ક્રીનિંગ અસરોને સંભાળી શકતું નથી, જે બહુ-ઇલેક્ટ્રોન પરમાણુઓમાં હાજર હોય છે. આથી, વિકલ્પ (B) સાચો છે.
* (C) ફક્ત ઓરડાના તાપમાને જ માન્ય છે: આ ખોટું છે. બોહ્રનું મોડેલ (તેની મર્યાદાઓમાં) તાપમાનને ધ્યાનમાં લીધા વિના પરમાણુની રચનાનું વર્ણન કરે છે.
* (D) સતત અને અસતત (discrete) વર્ણપટ રેખાઓની આગાહી કરે છે: આ ખોટું છે. બોહ્રનું મોડેલ ફક્ત અલગ (discrete) વર્ણપટ રેખાઓની જ આગાહી કરે છે, સતત રેખાઓની નહીં.
In simple words: Bohr's model is only for simple atoms with one electron. It can't explain complex things like hydrogen molecules (\(H_2\)) or atoms with more than one electron, like helium, because it doesn't account for how multiple electrons push each other away.

🎯 Exam Tip: Remember the fundamental limitation of Bohr's model: it's strictly applicable to hydrogen-like (single-electron) species. Any multi-electron atom or molecular structure falls outside its scope due to unaccounted electron-electron interactions.

 

Question 4. H-પરમાણુ માટે બામર શ્રેણીનું અવલોકન કરી શકાય.
(A) જ્યારે કોઈ ઉત્તેજિત પરમાણુ ધરા સ્થિતિમાં આવે ત્યારે જો ઉત્સર્જિત પ્રકાશની આવૃત્તિઓનું આપણે માપન કરીએ તો,
(B) ઉત્તેજિત-અવસ્થાઓથી પ્રથમ ઉત્તેજિત અવસ્થામાં સંક્રાંતિઓ પામે તેના કારણે ઉત્સર્જિત પ્રકાશની આવૃત્તિઓનું આપણે માપન કરીએ તો,
(C) એક H-પરમાણુની કોઈ પણ સંક્રાંતિમાં
(D) આવૃત્તિઓની શ્રેણી તરીકે ઊંચી આવૃત્તિઓ સાથે પાસપાસે ગોઠવાય.

Answer: (B) ઉત્તેજિત-અવસ્થાઓથી પ્રથમ ઉત્તેજિત અવસ્થામાં સંક્રાંતિઓ પામે તેના કારણે ઉત્સર્જિત પ્રકાશની આવૃત્તિઓનું આપણે માપન કરીએ તો, (By measuring the frequencies of emitted light when transitions occur from excited states to the first excited state.)
(D) આવૃત્તિઓની શ્રેણી તરીકે ઊંચી આવૃત્તિઓ સાથે પાસપાસે ગોઠવાય. (As a series of lines where higher frequencies are spaced closer together.)
હાઈડ્રોજન વર્ણપટમાં બામર શ્રેણીનું અવલોકન નીચે મુજબ કરી શકાય છે:
* **(B) ઉત્તેજિત અવસ્થાઓમાંથી પ્રથમ ઉત્તેજિત અવસ્થા (\(n=2\)) માં ઇલેક્ટ્રોન સંક્રમણ કરે ત્યારે ઉત્સર્જિત પ્રકાશની આવૃત્તિઓનું માપન કરીને:** બામર શ્રેણી ખાસ કરીને ઉચ્ચ ઊર્જા સ્તરો (\(n=3, 4, 5, \ldots\)) થી \(n=2\) ઊર્જા સ્તરમાં ઇલેક્ટ્રોનના સંક્રમણ દ્વારા ઉત્સર્જિત ફોટોનને અનુરૂપ છે. આ સંક્રમણોથી ઉત્સર્જિત પ્રકાશનું વિશ્લેષણ કરીને બામર શ્રેણી અવલોકન કરી શકાય છે. આથી, વિકલ્પ (B) સાચો છે.
* **(D) ઊંચી આવૃત્તિઓ સાથે પાસપાસે ગોઠવાયેલી રેખાઓની શ્રેણી તરીકે:** બામર શ્રેણીનું સૂત્ર \(\frac{1}{\lambda} = R (\frac{1}{2^2}-\frac{1}{n^2})\) દર્શાવે છે કે જેમ 'n' વધે છે (અનંત તરફ જાય છે), તેમ ઊર્જા સ્તરો એકબીજાની નજીક આવે છે. આના પરિણામે, \(n=2\) માં થતા સંક્રમણોની આવૃત્તિઓ એકબીજાની ખૂબ નજીક હોય છે, જે ઊંચી આવૃત્તિઓ પર કેન્દ્રિત રેખાઓની શ્રેણી બનાવે છે. આથી, વિકલ્પ (D) સાચો છે.
In simple words: The Balmer series is seen when electrons in hydrogen atoms jump from higher energy levels down to the second energy level (\(n=2\)), releasing light. These light lines are grouped closely together at higher frequencies, forming a distinct pattern.

🎯 Exam Tip: Know the defining characteristics of each spectral series in hydrogen: Lyman (\(n_f=1\)), Balmer (\(n_f=2\)), Paschen (\(n_f=3\)), etc. All series lines converge towards a limit at higher frequencies/shorter wavelengths.

 

Question 5. H-પરમાણુની \(n\) મી કક્ષાની ઊર્જા \(E_n = \frac{-1 m e^4}{8 \varepsilon_0^2 n^2 h^2}\) છે. જો \(H\) ના બધા જ પરમાણુઓ ધરા-અવસ્થામાં હોય અને આવૃત્તિ \(\frac{E_2-E_1}{h}\) ધરાવતું વિકિરણ તેના પર આપાત થાય તો
(A) તે સહેજ પણ શોષાશે નહીં.
(B) અમુક પરમાણુઓ પ્રથમ ઉત્તેજિત-અવસ્થા પર જશે.
(C) બધા જ પરમાણુઓ ઉત્તેજિત થઈ \(n = 2\) અવસ્થા પર જશે.
(D) \(n = 3\) અવસ્થા પર કોઈ પણ પરમાણુ જશે નહીં.

Answer: (B) અમુક પરમાણુઓ પ્રથમ ઉત્તેજિત-અવસ્થા પર જશે. (Some atoms will go to the first excited state.)
(D) n = 3 અવસ્થા પર કોઈ પણ પરમાણુ જશે નહીં. (No atom will go to the \(n=3\) state.)
જ્યારે હાઈડ્રોજન પરમાણુઓ (બધા ધરા અવસ્થામાં \(n=1\)) પર \(\nu = \frac{E_2-E_1}{h}\) આવૃત્તિનું વિકિરણ પડે છે:
ફોટોનની ઊર્જા \(hv = h \left(\frac{E_2-E_1}{h}\right) = E_2 - E_1\).
હાઈડ્રોજન પરમાણુ માટે: \(E_1 = -13.6 \text{ eV}\) અને \(E_2 = -3.4 \text{ eV}\).
આથી, ફોટોનની ઊર્જા \( = -3.4 \text{ eV} - (-13.6 \text{ eV}) = 10.2 \text{ eV}\).
* **(B) અમુક પરમાણુઓ પ્રથમ ઉત્તેજિત અવસ્થામાં જશે:** કારણ કે ફોટોનની ઊર્જા બરાબર \(E_2 - E_1\) જેટલી છે, ઇલેક્ટ્રોન \(n=1\) થી \(n=2\) માં સંક્રમણ કરી શકે છે. શોષણ એ સંભવિત પ્રક્રિયા હોવાથી, બધા પરમાણુઓ નહીં પરંતુ અમુક પરમાણુઓ આ સંક્રમણ કરશે. આથી, વિકલ્પ (B) સાચો છે.
* **(D) કોઈ પણ પરમાણુ \(n=3\) અવસ્થામાં જશે નહીં:** \(n=1\) થી \(n=3\) માં જવા માટે જરૂરી ઊર્જા \(E_3 - E_1 = \left(-\frac{13.6}{3^2}\right) - (-13.6) = -1.51 + 13.6 = 12.09 \text{ eV}\) છે. ફોટોનની ઊર્જા \(10.2 \text{ eV}\) હોવાથી, તે \(n=3\) અવસ્થામાં ઉત્તેજિત કરવા માટે પૂરતી નથી. આથી, વિકલ્પ (D) સાચો છે.
In simple words: When hydrogen atoms in their lowest energy state are hit by light with exactly 10.2 eV of energy, some electrons will absorb this energy and jump to the next energy level (\(n=2\)). However, no electrons will jump to a higher level like \(n=3\) because the light doesn't have enough energy for that bigger jump.

🎯 Exam Tip: Atomic excitation is a quantum process where photons must have energy exactly equal to the energy difference between allowed states. Any photon energy not matching an allowed transition will not be absorbed.

 

Question 6. \(He^4\) પરમાણુ માટે સાદું બોહ્ન મોડલ લાગુ ન પડે, કારણ કે
(A) \(He^4\) એ નિષ્ક્રિય (Inert) વાયુ છે.
(B) \(He^4\)ના ન્યુક્લિયસમાં ન્યૂટ્રૉન હોય છે.
(C) \(He^4\) પાસે એક વધુ ઇલેક્ટ્રૉન હોય છે.
(D) ઇલેક્ટ્રૉન પર કેન્દ્રીય બળો લાગુ પડતા નથી.

Answer: (C) \(He^4\) પાસે એક વધુ ઇલેક્ટ્રૉન હોય છે. ( \(He^4\) has an extra electron.)
(D) ઇલેક્ટ્રૉન પર કેન્દ્રીય બળો લાગુ પડતા નથી. (Central forces do not act on the electron.)
હેલિયમ પરમાણુ (\(He^4\)) માટે બોહ્રનું સાદું મોડેલ લાગુ પડતું નથી, કારણ કે:
* **(C) \(He^4\) પાસે એક વધારાનો ઇલેક્ટ્રોન છે:** બોહ્રનું મોડેલ ફક્ત એક ઇલેક્ટ્રોન ધરાવતા પરમાણુઓ (જેમ કે હાઈડ્રોજન) માટે રચાયેલું છે. તટસ્થ હેલિયમ પરમાણુમાં બે ઇલેક્ટ્રોન હોય છે. આ ઇલેક્ટ્રોન-ઇલેક્ટ્રોન અપાકર્ષણને બોહ્રનું મૂળ મોડેલ ધ્યાનમાં લેતું નથી. આથી, વિકલ્પ (C) સાચો છે.
* **(D) ઇલેક્ટ્રોન પર કેન્દ્રીય બળો લાગુ પડતા નથી:** બહુ-ઇલેક્ટ્રોન પરમાણુઓમાં, દરેક ઇલેક્ટ્રોન ન્યુક્લિયસના આકર્ષણ ઉપરાંત અન્ય ઇલેક્ટ્રોનમાંથી અપાકર્ષણ પણ અનુભવે છે. આનો અર્થ એ છે કે કોઈપણ ઇલેક્ટ્રોન પરનું ચોખ્ખું બળ માત્ર ન્યુક્લિયસમાંથી આવતું કેન્દ્રીય કુલંબ બળ નથી. આથી, વિકલ્પ (D) સાચો છે.
* વિકલ્પ (A) (નિષ્ક્રિય વાયુ) અને (B) (ન્યુટ્રોનની હાજરી) એ મુખ્ય કારણો નથી કે શા માટે બોહ્રનું મોડેલ હેલિયમ પર લાગુ પડતું નથી.
In simple words: Bohr's model only works for atoms with just one electron. Helium has two electrons, and these electrons push each other away. Because of this pushing, the forces on each electron are not just from the center (nucleus), so Bohr's simple model cannot be used.

🎯 Exam Tip: The inability of Bohr's model to explain multi-electron atoms is a key concept. The main reasons are electron-electron repulsion and the resulting non-central effective force on each electron.

 

Very Short Answer Questions (VSA)

 

Question 1. H-પરમાણુનું દ્રવ્યમાન ઇલેક્ટ્રોન અને પ્રોટોનનાં દ્રવ્યમાનોના સરવાળા કરતાં ઓછું હોય છે. શા માટે આવું બને ?

Answer:
હાઈડ્રોજન પરમાણુનું દળ, મુક્ત પ્રોટોન અને મુક્ત ઇલેક્ટ્રોનના દળના સરવાળા કરતાં ઓછું હોય છે, જેને 'દળ ખામી' (mass defect) કહેવાય છે. આનું કારણ આઇન્સ્ટાઇનના દળ-ઊર્જા સમકક્ષતા સિદ્ધાંત (\(E=mc^2\)) દ્વારા સમજાવી શકાય છે:
* જ્યારે પ્રોટોન અને ઇલેક્ટ્રોન જોડાઈને સ્થિર હાઈડ્રોજન પરમાણુ બનાવે છે, ત્યારે ઊર્જા મુક્ત થાય છે. આ મુક્ત થયેલી ઊર્જાને 'બંધન ઊર્જા' (Binding Energy - BE) કહેવાય છે.
* \(E=mc^2\) સંબંધ મુજબ, આ બંધન ઊર્જા દળના ઘટાડા (દળ ખામી) ને અનુરૂપ છે. એટલે કે, પરમાણુના નિર્માણ દરમિયાન થોડું દળ ઊર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે અને સિસ્ટમ છોડી દે છે.
* તેથી, હાઈડ્રોજન પરમાણુનું દળ (\(M_H\)) તેના ઘટક કણો (પ્રોટોનનો દળ \(m_p\) અને ઇલેક્ટ્રોનનો દળ \(m_e\)) ના કુલ દળ કરતાં ઓછું હોય છે:
\(M_H = m_p + m_e - \frac{BE}{c^2}\)
જે દર્શાવે છે કે \(M_H < m_p + m_e\).
In simple words: When a proton and electron form a hydrogen atom, they release energy, called binding energy. This released energy comes from a tiny amount of their mass, according to Einstein's \(E=mc^2\) rule. So, the atom's total mass is slightly less than the sum of the separate proton and electron masses.

🎯 Exam Tip: The concept of mass defect and binding energy is crucial. Remember that the mass of a stable bound system is always less than the sum of the masses of its individual components due to the conversion of mass into binding energy.

 

Question 2. કલ્પના કરો કે \(He^4\) અને \(He^3\) માંથી એક ઇલેક્ટ્રોન દૂર કર્યા બાદ, બોહ્ન મોડલના આધારથી તેમની ઊર્જાકક્ષાઓ એકદમ નજીક હશે. સમજાવો કે આવું કેમ થાય ?

Answer:
જો \(He^4\) અને \(He^3\) માંથી એક-એક ઇલેક્ટ્રોન દૂર કરવામાં આવે, તો તે બંને \(He^+\) આયનો બનશે. આ બંને આયનો હાઈડ્રોજન જેવા (એક-ઇલેક્ટ્રોન) પરમાણુઓ છે, જેમાં પરમાણુ ક્રમાંક Z=2 હોય છે.
* બોહ્રના મોડેલ મુજબ, એક-ઇલેક્ટ્રોન પરમાણુની ઊર્જા સ્તરો મુખ્યત્વે ન્યુક્લિયસના ચાર્જ (Z) અને મુખ્ય ક્વૉન્ટમ સંખ્યા (n) પર આધાર રાખે છે: \(E_n \propto \frac{Z^2}{n^2}\).
* આ ઉપરાંત, કક્ષાની ત્રિજ્યા પણ \(r_n \propto \frac{n^2}{Z}\) મુજબ Z અને n પર આધાર રાખે છે.
* \(He^4\) અને \(He^3\) બંને હેલિયમના સમસ્થાનિકો હોવાથી, તેમનો પરમાણુ ક્રમાંક Z=2 સમાન હોય છે. તેઓ માત્ર ન્યુટ્રોનની સંખ્યામાં અલગ પડે છે, જે ન્યુક્લિયસના કુલ દળમાં નજીવો ફેરફાર કરે છે.
* બોહ્રના મોડેલમાં, ઇલેક્ટ્રોનના ઊર્જા સ્તરો અને કક્ષીય ત્રિજ્યાઓ ન્યુક્લિયસના દળ પર ખૂબ જ ઓછી નિર્ભર કરે છે (ઘટેલા દળ દ્વારા).
* આથી, બંને \(He^+\) આયનો માટે Z સમાન હોવાથી, તેમની ઇલેક્ટ્રોનિક ઊર્જા સ્તરો અને કક્ષીય ત્રિજ્યાઓ લગભગ સમાન હશે, માત્ર ઘટેલા દળના નાના તફાવતને કારણે નજીવો ફરક હશે. તેથી, તેમની ઊર્જા કક્ષાઓ એકબીજાની ખૂબ નજીક હશે.
In simple words: If you remove one electron from Helium-3 and Helium-4, they both become single-electron Helium ions. Both these ions have the same number of protons (Z=2). Since their electron orbits mostly depend on the number of protons and not much on the number of neutrons (which is how they differ), their electron energy levels will be almost identical and very close to each other.

🎯 Exam Tip: The Bohr model's predictions for electron energy levels and radii are primarily determined by the nuclear charge (Z). Isotopic differences (changes in neutron count) have only a minor effect via the reduced mass, which is often negligible in basic calculations.

 

Question 3. જ્યારે કોઈ ઇલેક્ટ્રોન ઊંચી ઊર્જાકક્ષાથી નીચેની ઊર્જા કક્ષા પર સંક્રાંતિ પામે, ઊર્જાનો ફેરફાર વિદ્યુતચુંબકીય વિકિરણના સ્વરૂપે દેખાય છે. શા માટે ઊર્જાના બીજા સ્વરૂપે આ ફેરફાર ના ઉત્સર્જાય ?

Answer:
જ્યારે ઇલેક્ટ્રોન ઊંચા ઊર્જા સ્તરથી નીચા ઊર્જા સ્તરમાં સંક્રમણ કરે છે, ત્યારે ઊર્જાનો તફાવત હંમેશા વિદ્યુતચુંબકીય વિકિરણ (ફોટોન) ના સ્વરૂપમાં ઉત્સર્જિત થાય છે. આનું કારણ નીચે મુજબ છે:
* ઇલેક્ટ્રોન નીચી કક્ષામાં જાય ત્યારે, તે ન્યુક્લિયસની નજીક આવે છે અને તેની ઝડપ વધે છે (કોણીય વેગમાન સંરક્ષણ અનુસાર).
* વર્તુળાકાર માર્ગમાં ગતિ કરતી વખતે ઝડપમાં વધારો એટલે કે ઇલેક્ટ્રોન પ્રવેગી ગતિ કરી રહ્યું છે.
* શાસ્ત્રીય વિદ્યુતગતિશાસ્ત્રના સિદ્ધાંતો અનુસાર, કોઈપણ પ્રવેગીત વિદ્યુતભારિત કણ વિદ્યુતચુંબકીય તરંગોનું ઉત્સર્જન કરે છે.
* આ તરંગો ઊર્જાના પેકેટ્સ (ફોટોન) છે જે ઊર્જાના તફાવતને દૂર કરે છે.
* આથી, ઊર્જામાં થતો ફેરફાર અનિવાર્યપણે વિદ્યુતચુંબકીય વિકિરણના ઉત્સર્જન સાથે સંકળાયેલો છે, અન્ય કોઈ ઊર્જા સ્વરૂપ સાથે નહીં.
In simple words: When an electron drops to a lower energy level, it moves faster and changes direction, meaning it's accelerating. Any charged particle that accelerates releases energy as electromagnetic waves (light particles called photons). So, the energy difference is always given off as light, not any other type of energy.

🎯 Exam Tip: This question links quantum transitions with classical electromagnetism. The emission of photons during electron transitions is a direct consequence of an accelerating charged particle (the electron) radiating energy.

 

Question 4. જો પ્રોટૉનનો વિદ્યુતભાર \((\frac{+4}{3})e\) અને ઇલેક્ટ્રોનનો વિધુતભાર \((\frac{-3}{4}) e\) હોત. જ્યાં, \(e = 1.6 \times 10^{-19}\) C, તો શું બોહ્નનું સૂત્ર યથાવત્ રહે ? તમારા જવાબ માટેનાં કારણો આપો.

Answer:
હા, જો પ્રોટોનનો વિદ્યુતભાર \((\frac{+4}{3})e\) અને ઇલેક્ટ્રોનનો વિદ્યુતભાર \((\frac{-3}{4})e\) હોત તો પણ બોહ્રનું સૂત્ર હાઈડ્રોજન પરમાણુ માટે યથાવત્ રહેત. આનું કારણ નીચે મુજબ છે:
* બોહ્રનું મોડેલ ઇલેક્ટ્રોનની કક્ષા માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ કુલંબના સ્થિત વિદ્યુતીય આકર્ષણ બળમાંથી મળે છે તે ધારણા પર આધારિત છે. કુલંબ બળનું સૂત્ર \(F = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{|q_1 q_2|}{r^2}\) છે.
* સામાન્ય હાઈડ્રોજન પરમાણુમાં, પ્રોટોનનો ચાર્જ \(q_p = +e\) અને ઇલેક્ટ્રોનનો ચાર્જ \(q_e = -e\) છે. આથી બળનું મૂલ્ય \(F = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{e^2}{r^2}\) થાય છે.
* આપેલ કાલ્પનિક કિસ્સામાં, પ્રોટોનનો ચાર્જ \(q'_p = (\frac{+4}{3})e\) અને ઇલેક્ટ્રોનનો ચાર્જ \(q'_e = (\frac{-3}{4})e\) છે. આ ચાર્જનો ગુણાકાર \(q'_p q'_e = (\frac{+4}{3}e) \times (\frac{-3}{4}e) = -e^2\) થાય છે.
* આથી, બળનું મૂલ્ય \(F' = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{|-e^2|}{r^2} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{e^2}{r^2}\) થાય છે.
* કારણ કે બંને કિસ્સામાં ઇલેક્ટ્રોન અને પ્રોટોન વચ્ચેના કુલંબ બળનું મૂલ્ય સમાન રહે છે (\(F' = F\)), બોહ્રના સૂત્રની તારવણીમાં કોઈ ફેરફાર થશે નહીં. તેથી, બોહ્રના સૂત્રો યથાવત્ રહેશે.
In simple words: Yes, Bohr's formulas would still work. The key is that the strength of the electrical pull between the proton and electron depends on the product of their charges. Even with the new charges, their product still equals \(e^2\). Since the force is the same, all of Bohr's derivations based on this force would remain unchanged.

🎯 Exam Tip: Bohr's model's validity hinges on the Coulomb force providing the centripetal force. If the product of the charges remains the same, the derived quantities (radii, energies) will also remain unchanged, regardless of individual charge values.

 

Question 5. બે જુદા-જુદા હાઇડ્રોજનના પરમાણુઓ ધ્યાનમાં લો. દરેક પરમાણુમાં ઇલેક્ટ્રોન ઉત્તેજિત અવસ્થામાં છે. શું ઇલેક્ટ્રૉન માટે શક્ય છે કે, બોહ્ન મોડલ પ્રમાણે, તેમના કોણીય વેગમાન સમાન હોવા છતાં તેમની ઊર્જાઓ અસમાન હોય ?

Answer:
ના, બોહ્રના મોડેલ મુજબ, બે હાઈડ્રોજન પરમાણુના ઇલેક્ટ્રોનનું કોણીય વેગમાન સમાન હોવા છતાં તેમની ઊર્જાઓ અસમાન હોય તે શક્ય નથી. આનું કારણ નીચે મુજબ છે:
* બોહ્રના મોડેલમાં, હાઈડ્રોજન પરમાણુમાં ઇલેક્ટ્રોનની કુલ ઊર્જા ક્વૉન્ટાઈઝ્ડ છે અને તે મુખ્ય ક્વૉન્ટમ સંખ્યા (\(n\)) પર આધારિત છે: \(E_n = -\frac{13.6}{n^2}\) eV.
* ઇલેક્ટ્રોનનું કોણીય વેગમાન પણ ક્વૉન્ટાઈઝ્ડ છે અને તે પણ મુખ્ય ક્વૉન્ટમ સંખ્યા (\(n\)) પર આધારિત છે: \(L = \frac{nh}{2\pi}\).
* આનો અર્થ એ છે કે, જો બે ઇલેક્ટ્રોનનું કોણીય વેગમાન સમાન હોય, તો તેમની મુખ્ય ક્વૉન્ટમ સંખ્યા 'n' પણ સમાન હોવી જોઈએ.
* અને જો તેમની મુખ્ય ક્વૉન્ટમ સંખ્યા 'n' સમાન હોય, તો ઊર્જાના સૂત્ર મુજબ, તેમની ઊર્જાઓ પણ સમાન હોવી જોઈએ.
* આમ, બોહ્રના મોડેલની મર્યાદામાં, સમાન કોણીય વેગમાન ધરાવતા ઇલેક્ટ્રોન માટે અસમાન ઊર્જા હોવી અશક્ય છે.
In simple words: No, in Bohr's model, an electron's energy and its angular momentum both depend directly on the same number, 'n', which describes its orbit. So, if two electrons have the same angular momentum, they must have the same 'n' value, which means they must also have the exact same energy.

🎯 Exam Tip: For hydrogen-like atoms in the Bohr model, remember that both the energy and angular momentum are uniquely determined by the principal quantum number 'n'. They are not independent variables.

 

Short Answer Questions (SA)

 

Question 1. પોઝિટ્રોનિયમ (positronium) એ H-પરમાણુ જેવું જ છે કે જેમાં પ્રોટોનની જગ્યાએ ધન વિદ્યુતભારિત, ઇલેક્ટ્રોનનો વિરોધી કણ (anti-particle) (જેને પૉઝિટ્રૉન કહેવાય અને જે ઇલેક્ટ્રોન જેટલો જ ભારે હોય છે) લેવામાં આવે છે. પૉઝિટ્રૉનિયમની ધરા-અવસ્થા ઊર્જા કેટલી હોય ?

Answer:
પોઝિટ્રોનિયમ એ હાઈડ્રોજન જેવું પરમાણુ છે, પરંતુ તેમાં પ્રોટોનની જગ્યાએ પોઝિટ્રોન હોય છે, જે ઇલેક્ટ્રોન જેટલું જ દળ અને ધન ચાર્જ ધરાવે છે. આપણે તેની ધરા અવસ્થાની ઊર્જા શોધવાની છે.
* પોઝિટ્રોનિયમમાં, ઇલેક્ટ્રોન (\(m_e\)) અને પોઝિટ્રોન (\(m_e\)) બંને એકબીજાની આસપાસ તેમના સામાન્ય દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની ફરતે ફરે છે.
* બોહ્રના સૂત્રોમાં, દળને 'ઘટેલા દળ' (\(\mu\)) થી બદલવું પડે છે જ્યારે બંને કણો ગતિ કરતા હોય. ઘટેલું દળ આ મુજબ ગણાય છે:
\[ \mu = \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2} \] પોઝિટ્રોનિયમ માટે \(m_1 = m_e\) (ઇલેક્ટ્રોન) અને \(m_2 = m_e\) (પોઝિટ્રોન).
\[ \mu = \frac{m_e \times m_e}{m_e + m_e} = \frac{m_e^2}{2m_e} = \frac{m_e}{2} \] આમ, પોઝિટ્રોનિયમનું ઘટેલું દળ ઇલેક્ટ્રોનના દળના અડધા જેટલું છે.
* હાઈડ્રોજન પરમાણુની ધરા અવસ્થાની ઊર્જા (\(E_H\)) -13.6 eV છે, અને બોહ્ર મોડેલ મુજબ ઊર્જા ભ્રમણ કરતા કણના દળના સમપ્રમાણમાં હોય છે: \(E \propto -m\).
* પોઝિટ્રોનિયમ માટે દળને ઘટેલા દળ (\(\mu\)) થી બદલતા, તેની ધરા અવસ્થાની ઊર્જા (\(E_P\)) આ મુજબ થશે:
\[ E_P = E_H \times \frac{\mu}{m_e} = -13.6 \text{ eV} \times \frac{m_e/2}{m_e} \] \[ E_P = -13.6 \text{ eV} \times \frac{1}{2} = -6.8 \text{ eV} \]In simple words: Positronium is like a hydrogen atom but with a positron instead of a proton. Since the electron and positron have the same mass, they effectively behave as if a single particle with half an electron's mass is orbiting. Because the energy in Bohr's model depends on this effective mass, positronium's ground state energy is half that of hydrogen, which is -6.8 eV.

🎯 Exam Tip: For systems where both particles orbit around a common center of mass (e.g., positronium), always use the reduced mass in Bohr's formulas for accurate energy and radius calculations. Reduced mass is crucial when the orbiting particle's mass is comparable to the central body.

 

Question 2. ધારો કે એક પરમાણુમાં ઇલેકટ્રોન વચ્ચે અપાકર્ષી બળ ન હોય પણ ધન અને ઋણ વિધુતભાસે વચ્ચે બળ હંમેશની જેમ કુટંબના નિયમ વડે આપી શકાય. આવી પરિસ્થિતિ હેઠળ, He પરમાણુની ધરા અવસ્થા ઊર્જાની ગણતરી કરો.

Answer:
જો પરમાણુમાં ઇલેક્ટ્રોન વચ્ચે અપાકર્ષી બળ ન હોય, તો હેલિયમ (He) પરમાણુમાં ઇલેક્ટ્રોન ફક્ત ન્યુક્લિયસના આકર્ષણ બળનો અનુભવ કરશે, જેમ કે હાઈડ્રોજન જેવા પરમાણુમાં. આવા કિસ્સામાં, બોહ્રનું મોડેલ હેલિયમ પર લાગુ પાડી શકાય છે.
* હેલિયમ પરમાણુનો પરમાણુ ક્રમાંક Z=2 છે.
* બોહ્રના મોડેલ મુજબ, હાઈડ્રોજન જેવા પરમાણુમાં n મી કક્ષાની ઊર્જા આ મુજબ અપાય છે:
\[ E_n = -13.6 \frac{Z^2}{n^2} \text{ eV} \] * ધરા અવસ્થા (\(n=1\)) માં હેલિયમ પરમાણુની ઊર્જા શોધવા માટે Z=2 અને n=1 લઈએ.
\[ E_1 = -13.6 \times \frac{(2)^2}{(1)^2} \text{ eV} \] \[ E_1 = -13.6 \times 4 \text{ eV} \] \[ E_1 = -54.4 \text{ eV} \] આ ઊર્જા હેલિયમ પરમાણુમાં એક ઇલેક્ટ્રોનની ધરા અવસ્થાની ઊર્જા છે. જો બીજા ઇલેક્ટ્રોનનો પણ વિચાર કરીએ, તો હેલિયમની કુલ ધરા અવસ્થા ઊર્જા \(2 \times (-54.4 \text{ eV}) = -108.8 \text{ eV}\) થશે, કારણ કે ઇલેક્ટ્રોન અપાકર્ષણ નથી.
In simple words: If electrons in a Helium atom didn't push each other away, each electron would behave like it's in a super-hydrogen atom with Z=2. Using Bohr's formula, the energy for one electron in the lowest state would be -54.4 eV. If both electrons do this, the total lowest energy for the Helium atom would be -108.8 eV.

🎯 Exam Tip: This hypothetical scenario highlights the importance of electron-electron repulsion in real multi-electron atoms. Without repulsion, Bohr's model would be much simpler to apply to all atoms, but reality is more complex due to these interactions.

 

Question 3. જ્યારે H-પરમાણુ ધરા-અવસ્થામાં હોય ત્યારે બોહ્ન મોડલનો ઉપયોગ કરી ઇલેક્ટ્રોન વડે રચાતા વિદ્યુતપ્રવાહની ગણતરી કરો.

Answer:
હાઈડ્રોજન પરમાણુની ધરા અવસ્થામાં ઇલેક્ટ્રોન દ્વારા ઉત્પન્ન થતા વિદ્યુતપ્રવાહની ગણતરી કરવા માટે, આપણે બોહ્રના મોડેલનો ઉપયોગ કરીશું.
* ધરા અવસ્થામાં, ઇલેક્ટ્રોન \(a_0\) (બોહ્ર ત્રિજ્યા) ત્રિજ્યાવાળી વર્તુળાકાર કક્ષામાં \(v_0\) વેગથી ગતિ કરે છે.
* ઇલેક્ટ્રોનને એક પૂર્ણ ચક્કર (\(2\pi a_0\)) પૂર્ણ કરવા માટે લાગતો સમયગાળો (T) આ મુજબ છે:
\[ T = \frac{2\pi a_0}{v_0} \] * વિદ્યુતપ્રવાહ (I) એ એકમ સમયમાં પસાર થતા વિદ્યુતભાર (e) ની માત્રા તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે:
\[ I = \frac{e}{T} \] * T ના સૂત્રને પ્રવાહના સૂત્રમાં મુકતા:
\[ I = \frac{e}{\frac{2\pi a_0}{v_0}} \] \[ I = \frac{e v_0}{2\pi a_0} \] આ સૂત્ર હાઈડ્રોજન પરમાણુની ધરા અવસ્થામાં ઇલેક્ટ્રોનની ગતિ દ્વારા ઉત્પન્ન થતા વિદ્યુતપ્રવાહને દર્શાવે છે.
In simple words: An electron moving in a circle around the nucleus creates an electric current. To find this current, we divide the electron's charge by the time it takes to complete one full circle (its period). The period is calculated by dividing the circle's path length by the electron's speed.

🎯 Exam Tip: Remember that an orbiting charged particle effectively acts as a current loop. The current is calculated as charge per unit time, where time is the period of revolution (\(T = 2\pi r/v\)).

 

Question 4. દર્શાવો કે જ્યારે ઇલેક્ટ્રૉન \(n\) કરતાં ઊંચી કક્ષાઓથી \(n\) મી કક્ષા (જ્યાં, \(n \gg 1\)) પર સંક્રાંતિ પામે ત્યારે ઉત્સર્જાતા પ્રકાશની પ્રથમ થોડીક આવૃત્તિઓ, આશરે હાર્મોનિક્સ (એટલે કે \(1:2:........\) ના ગુણોત્તરમાં) હોય છે.

Answer:
જ્યારે ઇલેક્ટ્રોન ઉચ્ચ ઊર્જા કક્ષા \((n+x)\) થી નીચી ઊર્જા કક્ષા \(n\) માં સંક્રમણ કરે છે (જ્યાં \(n \gg 1\) અને \(x = 1, 2, 3, \ldots\)), ત્યારે ઉત્સર્જિત પ્રકાશની પ્રથમ થોડીક આવૃત્તિઓ આશરે હાર્મોનિક ગુણોત્તરમાં (\(1:2:\ldots\)) હોય છે. આ દર્શાવવા માટે, આપણે રિડબર્ગ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીશું.
* \(Z\) પરમાણુ ક્રમાંક ધરાવતા પરમાણુમાં ઇલેક્ટ્રોન \(n_2 = (n+x)\) થી \(n_1 = n\) માં સંક્રમણ કરે ત્યારે ઉત્સર્જિત વિકિરણની તરંગલંબાઈ \(\lambda\) માટે રિડબર્ગ સૂત્ર:
\[ \frac{1}{\lambda} = R Z^2 \left(\frac{1}{n^2} - \frac{1}{(n+x)^2}\right) \] * આવૃત્તિ \(\nu = \frac{c}{\lambda}\) નો ઉપયોગ કરીને:
\[ \frac{\nu}{c} = R Z^2 \left(\frac{(n+x)^2 - n^2}{n^2 (n+x)^2}\right) \] \[ \nu = R c Z^2 \left(\frac{n^2 + 2nx + x^2 - n^2}{n^2 (n+x)^2}\right) \] \[ \nu = R c Z^2 \left(\frac{2nx + x^2}{n^2 (n+x)^2}\right) \] * જ્યારે \(n \gg 1\) અને \(x \ll n\) હોય, ત્યારે આપણે નીચે મુજબ અંદાજ લગાવી શકીએ છીએ:
* \((n+x)^2 \approx n^2\) (છેદમાં).
* \(x^2\) ને \(2nx\) ની સરખામણીમાં અવગણી શકાય (અંશમાં).
* આથી, આવૃત્તિનું સૂત્ર સરળ બને છે:
\[ \nu \approx R c Z^2 \left(\frac{2nx}{n^2 \cdot n^2}\right) \] \[ \nu \approx R c Z^2 \left(\frac{2x}{n^3}\right) \] * આ સૂત્ર દર્શાવે છે કે \(\nu \propto x\). પ્રથમ થોડા સંક્રમણો માટે \(x = 1, 2, 3, \ldots\) હોવાથી, આવૃત્તિઓ ગુણોત્તરમાં હશે:
\[ \nu_1:\nu_2:\nu_3 = x_1:x_2:x_3 = 1:2:3 \] આમ, ઉત્સર્જિત વિકિરણની આવૃત્તિઓ આશરે હાર્મોનિક્સના ગુણોત્તરમાં હોય છે, જે ક્વૉન્ટમ મિકેનિક્સના કોરોસ્પોન્ડન્સ સિદ્ધાંત સાથે સુસંગત છે (જ્યાં મોટા ક્વૉન્ટમ અંકો માટે ક્વૉન્ટમ પરિણામો શાસ્ત્રીય પરિણામોની નજીક આવે છે).
In simple words: For electron jumps between very high energy levels (large 'n') to a slightly lower level, the frequencies of the emitted light come out in simple ratios like 1:2:3. This happens because, at these high energy levels, the quantum system starts behaving more like a classical system, which naturally produces such harmonic frequencies.

🎯 Exam Tip: This question beautifully illustrates the correspondence principle, which states that for large quantum numbers, quantum mechanics results should converge to classical physics results. Harmonic series are a classical phenomenon observed in quantum systems at high 'n' values.

 

Question 5. ધરા-અવસ્થામાં આવેલ H-પરમાણુને કેટલી લઘુતમ ઊર્જા આપવી પડે કે જેથી તે બામર શ્રેણીની Hy રેખાનું ઉત્સર્જન કરી શકે. જો તંત્રનું કોણીય વેગમાન સંરક્ષિત હોય, તો Hy ફોટોનનું કોણીય વેગમાન કેટલું હશે ?

Answer:
આપણે ધરા-અવસ્થામાં રહેલા હાઈડ્રોજન પરમાણુને \(H\gamma\) રેખા ઉત્સર્જિત કરવા માટે જરૂરી ન્યૂનતમ ઊર્જા અને ઉત્સર્જિત \(H\gamma\) ફોટોનનું કોણીય વેગમાન શોધવાનું છે.
**1. ન્યૂનતમ ઊર્જા શોષણ:**
* બામર શ્રેણીમાં \(H\gamma\) રેખા ઇલેક્ટ્રોનના \(n=5\) થી \(n=2\) માં સંક્રમણથી ઉત્પન્ન થાય છે.
* ધરા-અવસ્થા (\(n=1\)) માં રહેલા હાઈડ્રોજન પરમાણુ માટે \(H\gamma\) રેખા ઉત્સર્જિત કરવા માટે, ઇલેક્ટ્રોનને ઓછામાં ઓછું \(n=5\) ઊર્જા સ્તર સુધી ઉત્તેજિત થવું પડશે. આ માટે જરૂરી ન્યૂનતમ ઊર્જા \(E_5 - E_1\) છે.
* હાઈડ્રોજન પરમાણુ માટે ઊર્જા \(E_n = -\frac{13.6}{n^2}\) eV છે.
\[ E_{absorbed} = E_5 - E_1 = \left(-\frac{13.6}{5^2}\right) - (-13.6) \text{ eV} \] \[ E_{absorbed} = -0.544 \text{ eV} + 13.6 \text{ eV} \] \[ E_{absorbed} = 13.056 \text{ eV} \] **2. ઉત્સર્જિત \(H\gamma\) ફોટોનનું કોણીય વેગમાન:**
* બોહ્રના મોડેલ મુજબ, \(n\) મી કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનનું કોણીય વેગમાન \(L_n = \frac{nh}{2\pi}\) છે.
* જ્યારે ઇલેક્ટ્રોન \(n=5\) થી \(n=2\) માં સંક્રમણ કરે છે, ત્યારે ઉત્સર્જિત ફોટોનનું કોણીય વેગમાન ઇલેક્ટ્રોનના કોણીય વેગમાનના ફેરફાર જેટલું હોય છે.
\[ L_{photon} = L_5 - L_2 = \frac{5h}{2\pi} - \frac{2h}{2\pi} \] \[ L_{photon} = \frac{(5-2)h}{2\pi} = \frac{3h}{2\pi} \] * \(h = 6.626 \times 10^{-34}\) Js મૂકતા:
\[ L_{photon} = \frac{3 \times 6.626 \times 10^{-34} \text{ Js}}{2 \times 3.14159} \] \[ L_{photon} \approx 3.165 \times 10^{-34} \text{ Js} \]In simple words: To make a hydrogen atom emit \(H\gamma\) light from its lowest state, it must first absorb \(13.056 \text{ eV}\) of energy to reach the \(n=5\) energy level. Then, when it drops from \(n=5\) to \(n=2\) to emit the \(H\gamma\) light, the light particle (photon) carries away the difference in angular momentum, which is \(3h/2\pi\), or about \(3.165 \times 10^{-34} \text{ Js}\).

🎯 Exam Tip: For absorption, the energy must exactly match an energy difference from the initial state to a higher state. For emission, the photon's energy and angular momentum correspond to the difference between the initial (higher) and final (lower) states of the electron transition.

 

Long Answer Questions (LA)

 

Question 1. H-પરમાણુની લાઇમન શ્રેણીની પ્રથમ ચાર વર્ણપટ રેખાઓ \(\lambda = 1218 \text{ Å}, 1028 \text{ Å}, 974.3 \text{ Å}\) અને \(951.4 \text{ Å}\) છે. જો હાઇડ્રોજનના બદલે ડ્યુટેરિયમ (Deuterium) ધ્યાનમાં લઈએ, તો આ રેખાઓની તરંગલંબાઈમાં થતા ફેરફાર (shift) ની ગણતરી કરો.

Answer:
હાઇડ્રોજન (\(H\)) પરમાણુની લાઇમન શ્રેણીની પ્રથમ ચાર રેખાઓની તરંગલંબાઈ આપેલી છે. જો હાઇડ્રોજનને બદલે ડ્યુટેરિયમ (\(D\)) નો ઉપયોગ કરવામાં આવે તો આ તરંગલંબાઈમાં થતા ફેરફાર (shift) ની ગણતરી કરવાની છે.
**1. રિડબર્ગ અચળાંક અને ઘટાડેલું દળ (\(\mu\)):**
* રિડબર્ગ અચળાંક (R) ન્યુક્લિયસના દળ પર થોડો આધાર રાખે છે. તેનું સૂત્ર \(R = \frac{\mu e^4}{8 \varepsilon_0^2 h^3 c}\) છે, જ્યાં \(\mu\) એ ઇલેક્ટ્રોન-ન્યુક્લિયસ સિસ્ટમનું ઘટાડેલું દળ છે.
* ઘટાડેલા દળનું સૂત્ર \( \mu = \frac{m_e M}{m_e + M} \) છે, જ્યાં \(m_e\) ઇલેક્ટ્રોનનું દળ અને \(M\) ન્યુક્લિયસનું દળ છે.
* રિડબર્ગ સૂત્ર \(\frac{1}{\lambda} = R (\frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2})\) હોવાથી, \(\frac{1}{\lambda} \propto R\) અને \(R \propto \mu\). આથી, \(\lambda \propto \frac{1}{\mu}\).
* આ સંબંધનો ઉપયોગ કરીને, હાઇડ્રોજન (\(\lambda_H\)) અને ડ્યુટેરિયમ (\(\lambda_D\)) માટે તરંગલંબાઈનો ગુણોત્તર ઘટાડેલા દળના ગુણોત્તર સાથે સંબંધિત છે:
\[ \frac{\lambda_D}{\lambda_H} = \frac{\mu_H}{\mu_D} \] **2. ઘટેલા દળની ગણતરી:**
* ઇલેક્ટ્રોનનું દળ \(m_e = 9.109 \times 10^{-31}\) kg.
* હાઇડ્રોજન ન્યુક્લિયસ (પ્રોટોન)નું દળ \(M_H = 1.6725 \times 10^{-27}\) kg.
* ડ્યુટેરિયમ ન્યુક્લિયસનું દળ \(M_D = 3.3374 \times 10^{-27}\) kg.
* હાઇડ્રોજન માટે ઘટેલું દળ: \( \mu_H = \frac{m_e M_H}{m_e + M_H} \)
* ડ્યુટેરિયમ માટે ઘટેલું દળ: \( \mu_D = \frac{m_e M_D}{m_e + M_D} \)
* ગુણોત્તર \(\frac{\mu_H}{\mu_D}\) ની ગણતરી કરવા માટે, આપણે \(m_e/M\) ગુણોત્તરનો ઉપયોગ કરીએ:
\(\frac{m_e}{M_H} = \frac{9.109 \times 10^{-31} \text{ kg}}{1.6725 \times 10^{-27} \text{ kg}} \approx 0.0005446\).
\(\frac{m_e}{M_D} = \frac{9.109 \times 10^{-31} \text{ kg}}{3.3374 \times 10^{-27} \text{ kg}} \approx 0.0002729\).
આ મૂલ્યોનો ઉપયોગ કરીને, \(\lambda_D = (1 - \frac{m_e}{M_H}) (1 + \frac{m_e}{2M_D}) \lambda_H\) જેવા આશરે સૂત્રમાંથી મેળવેલ ગુણોત્તર: \(0.9997274\). (આ ગુણોત્તર \(\frac{\mu_H}{\mu_D}\) ની ગણતરીથી મેળવેલ છે.)
\[ \frac{\lambda_D}{\lambda_H} \approx 0.9997274 \] \[ \lambda_D = 0.9997274 \lambda_H \] **3. તરંગલંબાઈમાં ફેરફાર (Shift) ની ગણતરી:**
દરેક લાઇમન શ્રેણીની રેખા માટે ડ્યુટેરિયમની તરંગલંબાઈ (\(\lambda_D\)) અને તેમાં થતા ફેરફાર (\(\Delta\lambda = \lambda_H - \lambda_D\)) ની ગણતરી કરીએ:

\(H\) તરંગલંબાઈ (\(\lambda_H\))	\(D\) તરંગલંબાઈ (\(\lambda_D\))	ફેરફાર (\(\Delta\lambda = \lambda_H - \lambda_D\))
1218 Å	\(1218 \times 0.9997274 \approx 1217.6688 \text{ Å}\)	\(1218 - 1217.6688 = 0.3312 \text{ Å}\)
1028 Å	\(1028 \times 0.9997274 \approx 1027.719 \text{ Å}\)	\(1028 - 1027.719 = 0.281 \text{ Å}\)
974.3 Å	\(974.3 \times 0.9997274 \approx 974.035 \text{ Å}\)	\(974.3 - 974.035 = 0.265 \text{ Å}\)
951.4 Å	\(951.4 \times 0.9997274 \approx 951.139 \text{ Å}\)	\(951.4 - 951.139 = 0.261 \text{ Å}\)

દરેક રેખા માટે તરંગલંબાઈમાં થતો ફેરફાર આશરે 0.3 Å ના ક્રમનો છે.
In simple words: Deuterium is like hydrogen but with a heavier nucleus. This small mass difference slightly changes the "effective mass" of the electron. Since the wavelength of light depends on this effective mass, deuterium's spectral lines are slightly shorter (shifted) compared to hydrogen's. For the given Lyman lines, this shift is about 0.3 Å for each.

🎯 Exam Tip: Remember that isotopic effects lead to slight shifts in spectral lines due to the change in reduced mass. The Rydberg constant is not truly universal but depends on the nuclear mass. Understanding the reduced mass concept is key for such calculations.

અતિટૂંક જવાબી પ્રશ્નો (VSA)

Answer:The reduced mass for muon hydrogen atom is: \[ \mu = \frac{m_\mu m_e}{m_\mu + m_e} = \frac{m_\mu m_e}{m_\mu + m_e} \] Since \( m_\mu = 207 m_e \), \[ \mu = \frac{(207 m_e) m_e}{207 m_e + m_e} = \frac{207 m_e^2}{208 m_e} = \frac{207}{208} m_e \] The radius of the first Bohr orbit \( r_e \) for a hydrogen atom is 0.53 × 10^-10 m. Using the relation for radius \( r \propto \frac{1}{m} \), the radius of the muon hydrogen atom \( r_\mu \) will be: \[ r_\mu = r_e \frac{m_e}{m_\mu} \] Substitute the values: \[ r_\mu = 0.53 \times 10^{-10} \times \frac{m_e}{207 m_e} \] \[ r_\mu = \frac{0.53 \times 10^{-10}}{207} \] \[ r_\mu \approx 2.56 \times 10^{-13} \text{ m} \] Now, for the ground state energy of the electron in a hydrogen atom, \( E_e = -13.6 \text{ eV} \). The energy in Bohr's model is proportional to the reduced mass \( E \propto m \). So, the ground state energy for the muon hydrogen atom \( E_\mu \) will be: \[ E_\mu = E_e \frac{m_\mu}{m_e} \] \[ E_\mu = -13.6 \times \frac{207 m_e}{m_e} \] \[ E_\mu = -13.6 \times 207 \text{ eV} \] \[ E_\mu = -2815.2 \text{ eV} \] \[ E_\mu \approx -2.8 \text{ keV} \]In simple words: A muonic hydrogen atom replaces an electron with a much heavier particle called a muon. Because the muon is about 207 times heavier, the atom's size shrinks significantly, and its ground state energy becomes much lower (more negative) than a regular hydrogen atom.

🎯 Exam Tip: Remember that in muonic atoms, the mass of the orbiting particle is replaced by the muon's mass in the Bohr model formulas, affecting both radius and energy significantly. Precision in calculations and unit conversions is crucial.

Question 2. 1H અને ²H ના એક ખાસ સંક્રાંતિ માટે તરંગલંબાઈમાં ફેરફારના માપન પરથી 1932 માં હેરોલ્ડ ઉરે (Harold Urey) એ ડ્યુટેરિયમ (Deuterium) ની શોધ કરી. આવું શક્ય છે કારણ કે સંક્રાંતિની તરંગલંબાઈ ન્યુક્લિયસના દ્રવ્યમાન પર અમુક હદ સુધી આધારિત છે. જો ન્યુક્લિયસની ગતિને ધ્યાનમાં લઈએ તો ઇલેક્ટ્રોન અને ન્યુક્લિયસ તેમના સામાન્ય દ્રવ્યમાન કેન્દ્રને ફરતે પરિભ્રમણ કરે છે. આ તંત્ર, રિડ્યુસ્ડ દ્રવ્યમાન (reduced mass) u ધરાવતા અને ઇલેક્ટ્રોન-ન્યુક્લિયસ વચ્ચેના અંતર જેટલા અંતરે ન્યુક્લિયસની આસપાસ પરિભ્રમણ કરતા એક કણની સમકક્ષ છે. અહીં, μ = જ્યાં M એ ન્યુક્લિયર દ્રવ્યમાન અને m₀ એ ઇલેક્ટ્રોનનું દ્રવ્યમાન છે. 1H અને ²H માં લાઇમન શ્રેણીની પ્રથમ રેખાની તરંગલંબાઈમાં પ્રતિશત ફેરફાર (percentage difference)નો અંદાજ કાઢો. (1H ન્યુક્લિયસનું દ્રવ્યમાન = 1.6725 × 10^-27kg, ²H ન્યુક્લિયસનું દ્રવ્યમાન = 3.3374 × 10^-27 kg. ઇલેક્ટ્રોનનું દ્રવ્યમાન = 9.109 × 10^-31 kg).

Answer:The Rydberg constant \( R \) depends on the reduced mass \( \mu \). The wavelength \( \lambda \) is inversely proportional to \( R \) and thus inversely proportional to \( \mu \). So, \( \lambda \propto \frac{1}{\mu} \). The ratio of wavelengths for deuterium (\( \lambda_d \)) and hydrogen (\( \lambda_h \)) will be: \[ \frac{\lambda_d}{\lambda_h} = \frac{\mu_h}{\mu_d} \] The reduced mass for hydrogen (\( \mu_h \)) is: \[ \mu_h = \frac{M_H m_e}{M_H + m_e} \] The reduced mass for deuterium (\( \mu_d \)) is: \[ \mu_d = \frac{M_D m_e}{M_D + m_e} \] Where \( M_H \) is the mass of the hydrogen nucleus (proton), \( M_D \) is the mass of the deuterium nucleus (deuteron), and \( m_e \) is the mass of the electron. Given: \( M_H = 1.6725 \times 10^{-27} \text{ kg} \) \( M_D = 3.3374 \times 10^{-27} \text{ kg} \) \( m_e = 9.109 \times 10^{-31} \text{ kg} \) Let's calculate \( \mu_h \) and \( \mu_d \): \[ \mu_h = \frac{(1.6725 \times 10^{-27}) \times (9.109 \times 10^{-31})}{1.6725 \times 10^{-27} + 9.109 \times 10^{-31}} \] \[ \mu_h = \frac{1.5234 \times 10^{-57}}{1.6734109 \times 10^{-27}} \approx 9.109 \times 10^{-31} \text{ kg} \] \[ \mu_d = \frac{(3.3374 \times 10^{-27}) \times (9.109 \times 10^{-31})}{3.3374 \times 10^{-27} + 9.109 \times 10^{-31}} \] \[ \mu_d = \frac{3.0407 \times 10^{-57}}{3.3383109 \times 10^{-27}} \approx 9.109 \times 10^{-31} \text{ kg} \] A more accurate calculation can be done using approximation: \[ \mu = \frac{M m_e}{M + m_e} = \frac{m_e}{1 + \frac{m_e}{M}} \approx m_e \left(1 - \frac{m_e}{M}\right) \] So, for hydrogen: \[ \mu_h \approx m_e \left(1 - \frac{m_e}{M_H}\right) = 9.109 \times 10^{-31} \left(1 - \frac{9.109 \times 10^{-31}}{1.6725 \times 10^{-27}}\right) \] \[ \mu_h \approx 9.109 \times 10^{-31} (1 - 0.0005446) = 9.109 \times 10^{-31} \times 0.9994554 \] For deuterium: \[ \mu_d \approx m_e \left(1 - \frac{m_e}{M_D}\right) = 9.109 \times 10^{-31} \left(1 - \frac{9.109 \times 10^{-31}}{3.3374 \times 10^{-27}}\right) \] \[ \mu_d \approx 9.109 \times 10^{-31} (1 - 0.0002729) = 9.109 \times 10^{-31} \times 0.9997271 \] Now, calculate the ratio \( \frac{\mu_h}{\mu_d} \): \[ \frac{\mu_h}{\mu_d} = \frac{0.9994554}{0.9997271} \approx 0.9997282 \] The wavelength for the first line of the Lyman series for hydrogen (\( \lambda_h \)) is 1218 Å. \[ \lambda_d = \lambda_h \times \frac{\mu_h}{\mu_d} \] \[ \lambda_d = 1218 \text{ Å} \times 0.9997282 \] \[ \lambda_d \approx 1217.6688 \text{ Å} \] The percentage change in wavelength is: \[ \text{Percentage change} = \frac{\lambda_h - \lambda_d}{\lambda_h} \times 100\% \] \[ \text{Percentage change} = \frac{1218 - 1217.6688}{1218} \times 100\% \] \[ \text{Percentage change} = \frac{0.3312}{1218} \times 100\% \] \[ \text{Percentage change} \approx 0.02719\% \] The calculated wavelengths for the Lyman series lines for hydrogen and deuterium, along with their shifts, are shown in the table:

\( \lambda_h \)	\( \lambda_d \)	\( \Delta\lambda = \lambda_h - \lambda_d \)
1218 Å	1217.7 Å	0.3 Å
1028 Å	1027.7 Å	0.3 Å
974.3 Å	974.04 Å	0.3 Å
951.4 Å	951.1 Å	0.3 Å

In simple words: Deuterium is a heavier version of hydrogen because its nucleus has a neutron in addition to a proton. This extra mass changes how the electron orbits the nucleus. Because of this, the light (wavelength) emitted by deuterium atoms is slightly different (shorter) than that from hydrogen atoms. This small difference allowed scientists to discover deuterium.

🎯 Exam Tip: When dealing with isotopes like hydrogen and deuterium, remember that the reduced mass of the electron-nucleus system changes, which in turn affects the Rydberg constant and thus the wavelengths of emitted light. Calculations involving reduced mass are key here.

Question 3. જો પ્રોટોનની ત્રિજ્યા R હોય અને તેના પર વિધુતભાર સમાન રીતે વહેંચાયેલો હોય, તો બોહ્રવાદ મુજબ H પરમાણુની ધરા-અવસ્થા ઊર્જા શોધો. જ્યારે, (i) R = 0.1 Å અને (ii) R = 10Å હોય.

Answer:According to Bohr's model, for the ground state of a hydrogen atom: The angular momentum \( mvr_B = \hbar \), so \( v = \frac{\hbar}{mr_B} \). The centripetal force is equal to the electrostatic force. \[ \frac{mv^2}{r_B} = \frac{(-e)^2}{4\pi\epsilon_0 r_B^2} \] Substitute \( v \): \[ \frac{m}{r_B} \left(\frac{\hbar}{mr_B}\right)^2 = \frac{e^2}{4\pi\epsilon_0 r_B^2} \] \[ \frac{m}{r_B} \frac{\hbar^2}{m^2 r_B^2} = \frac{e^2}{4\pi\epsilon_0 r_B^2} \] \[ \frac{\hbar^2}{mr_B^3} = \frac{e^2}{4\pi\epsilon_0 r_B^2} \] Thus, the Bohr radius is: \[ r_B = \frac{4\pi\epsilon_0 \hbar^2}{me^2} \] For a proton with radius \( R \), and charge distributed uniformly, the potential energy is modified. The potential energy inside a charged sphere is given by \( U = \frac{e^2}{4\pi\epsilon_0} \left( \frac{1}{r} + \frac{\lambda}{r} \right) e^{-\lambda r} \), where \( \lambda = 0 \) for a normal Coulomb potential. If the proton has a radius R and the electron is inside it, the potential energy U is given by: \[ U = -\frac{ke^2}{2R} \left(3 - \frac{r^2}{R^2}\right) \] And kinetic energy \( K = \frac{e^2}{8\pi\epsilon_0 r_B} \). For the case where the electron is inside the proton, i.e., \( r_B < R \), the charge enclosed within radius \( r_B \) is \( e' = e \frac{r_B^3}{R^3} \). The total energy in the ground state \( E = K + U \). The standard Bohr radius \( r_B = 0.53 \text{ Å} = 5.3 \times 10^{-11} \text{ m} \). **Case (i): R = 0.1 Å** Here, \( R = 0.1 \text{ Å} = 1 \times 10^{-11} \text{ m} \). Since \( R < r_B \), the electron is mostly outside the proton. In this case, the Bohr model for the ground state energy of hydrogen remains largely unchanged because the electron is outside the proton. The interaction is still effectively a point charge. So, the ground state energy is approximately \( E_1 = -13.6 \text{ eV} \). **Case (ii): R = 10 Å** Here, \( R = 10 \text{ Å} = 1 \times 10^{-9} \text{ m} \). Since \( R > r_B \), the electron is likely to be found inside the proton. When the electron is inside the proton, the potential energy changes. The electric field inside a uniformly charged sphere of radius R is \( E = \frac{k e r}{R^3} \). The potential energy (integrated from infinity to r) is: \[ U(r) = -\frac{ke^2}{R} \left(\frac{3}{2} - \frac{r^2}{2R^2}\right) \] For the ground state, we need to find the effective Bohr radius and energy. Using the modified potential, the calculation becomes more complex. However, if we approximate, and assume the electron is at a distance \( r_B \) from the center, which is inside R, we get a modified energy. From the derivation in the provided text: Let the modified Bohr radius be \( r'_B \). \[ r'_B = (r_B)^{1/7} (R)^{6/7} \] For \( R = 10 \text{ Å} \): \[ r'_B = (0.53 \text{ Å})^{1/7} (10 \text{ Å})^{6/7} \approx 7.19 \text{ Å} \] The kinetic energy K: \[ K = 13.6 \text{ eV} \times \frac{0.53 \text{ Å}}{7.19 \text{ Å}} \approx 0.068 \text{ eV} \] The potential energy U: For \( r_B < R \), the potential energy can be approximated as: \[ U = -\frac{ke^2}{4\pi\epsilon_0 R^3} (r_B^2 - 3R^2) \] Using \( ke^2 = 9 \times 10^9 \times (1.6 \times 10^{-19})^2 = 2.304 \times 10^{-28} \text{ J m} \), And \( R = 10 \text{ Å} = 10^{-9} \text{ m} \), \( r'_B = 7.19 \times 10^{-10} \text{ m} \). \[ U = -\frac{2.304 \times 10^{-28}}{ (10^{-9})^3} ((7.19 \times 10^{-10})^2 - 3 \times (10^{-9})^2) \] \[ U = -2.304 \times 10^{-1} (5.169 \times 10^{-19} - 3 \times 10^{-18}) \] \[ U = -0.2304 (0.5169 \times 10^{-18} - 3 \times 10^{-18}) \] \[ U = -0.2304 (-2.4831 \times 10^{-18}) \approx 5.729 \times 10^{-19} \text{ J} \] Convert to eV: \( \frac{5.729 \times 10^{-19}}{1.6 \times 10^{-19}} \approx 3.58 \text{ eV} \) However, the text provided a simpler formula related to \( U = -\frac{ke^2}{4\pi\epsilon_0 r_B^3} (r_B^2 - 3R^2) \) that results in U being approximately -3.44 eV (with a calculation shown for a particular set of values that leads to a much lower magnitude, this could be due to simplified derivation). Using the final calculated values for K and U from the text for \( R = 10 \text{ Å} \): \[ K = 0.068 \text{ eV} \] \[ U = -3.44 \text{ eV} \] Total energy \( E = K + U = 0.068 - 3.44 = -3.372 \text{ eV} \). This is close to the standard Bohr energy for n=2 (-3.4 eV), indicating that the electron is not strongly bound. A more complete derivation for \( \Delta E \) when \( R \) is large is given as \( \Delta E = 27.2 \lambda r_B \text{ eV} \). If we assume \( \lambda \) is the inverse of the Compton wavelength: \( \lambda = \frac{m_p c}{\hbar} \approx 2.588 \times 10^6 \text{ m}^{-1} \). Then \( \Delta E = 27.2 \times (2.588 \times 10^6) \times (5.3 \times 10^{-11}) \approx 0.037 \text{ eV} \). The total energy in the ground state becomes \( -13.6 + 0.037 = -13.563 \text{ eV} \). However, the text's derivation for \( \Delta E \) is very complex and relies on specific assumptions about the potential. The final given values for Question 5 in the text for the energy change is \( \Delta E = 27.2 \lambda r_B \text{ eV} \). For \( R=10\text{ Å} \), the calculation for K and U in the text leads to a value for K of \( 0.068 \text{ eV} \) and U of \( -3.44 \text{ eV} \). The total energy would be \( E = K+U = 0.068 - 3.44 = -3.372 \text{ eV} \). This is essentially the energy for \( n=2 \) state in a hydrogen atom. This implies that if the proton is very large (R = 10 Å), the electron is less bound and its energy is higher (closer to zero).In simple words: If a proton had a very large size, it would change how an electron interacts with it. If the proton is small (0.1 Å), the electron stays outside, and the atom's energy is like a normal hydrogen atom's ground state (-13.6 eV). But if the proton is very large (10 Å), the electron spends more time inside the proton. This makes the electron less tightly bound, and the atom's energy becomes higher (less negative), close to -3.4 eV, which is the energy of the second energy level in a normal hydrogen atom.

🎯 Exam Tip: This problem explores how the finite size of the nucleus could affect atomic energy levels. For nuclei much smaller than the Bohr radius, the point-charge approximation holds. For larger nuclei, the electron penetrates the nucleus, leading to a perturbation of energy levels, typically making them less negative (higher energy).

Question 4. ઑગર (Auger) પ્રક્રિયા (સારણી-પ્રક્રિયા)માં, ફોટોનનું ઉત્સર્જન કર્યા વગર પરમાણુ નીચલી અવસ્થામાં સંક્રાંતિ કરે છે. વધારાની ઊર્જા એક બાહ્ય ઇલેક્ટ્રોનને આપવામાં આવે છે કે જેને પરમાણુમાંથી બહાર પણ કાઢી શકાય (આને ઑગર (Auger)) ઇલેકટ્રૉન કહે છે.) ન્યુક્લિયસને ભારે ધારીને, n = 2 થી n = 1 ની સંક્રાંતિ દરમિયાન ઉત્સર્જાતી ઊર્જાને શોષીને ક્રોમિયમ દ્વારા ઉત્સર્જાતા n = 4 ઑગર ઇલેક્ટ્રોનની ગતિઊર્જાની ગણતરી કરો.

Answer:In the Auger process, an atom transitions to a lower energy state without emitting a photon. The excess energy is transferred to an outer electron, which is then ejected from the atom; this ejected electron is called an Auger electron. For a hydrogen-like atom, the energy of an electron in the \( n \)-th orbit is given by: \[ E_n = -13.6 \frac{Z^2}{n^2} \text{ eV} \] For Chromium (Cr), the atomic number \( Z = 24 \). First, calculate the energy difference for the transition from \( n=2 \) to \( n=1 \) for a hydrogen-like Chromium ion. Energy of electron in \( n=1 \) state: \[ E_1 = -13.6 \frac{(24)^2}{(1)^2} = -13.6 \times 576 = -7833.6 \text{ eV} \] Energy of electron in \( n=2 \) state: \[ E_2 = -13.6 \frac{(24)^2}{(2)^2} = -13.6 \frac{576}{4} = -13.6 \times 144 = -1958.4 \text{ eV} \] The energy released during the \( n=2 \to n=1 \) transition is \( \Delta E = E_2 - E_1 \): \[ \Delta E = -1958.4 - (-7833.6) = -1958.4 + 7833.6 = 5875.2 \text{ eV} \] This energy is absorbed by another electron, in this case, an Auger electron from the \( n=4 \) state. Now, calculate the energy of the electron in the \( n=4 \) state for Chromium: \[ E_4 = -13.6 \frac{(24)^2}{(4)^2} = -13.6 \frac{576}{16} = -13.6 \times 36 = -489.6 \text{ eV} \] The Auger electron from the \( n=4 \) state absorbs the \( \Delta E \) energy. The energy needed to remove this electron from the atom (binding energy) is \( |E_4| = 489.6 \text{ eV} \). The kinetic energy \( K \) of the ejected Auger electron is the absorbed energy minus its binding energy: \[ K = \Delta E - |E_4| \] \[ K = 5875.2 \text{ eV} - 489.6 \text{ eV} \] \[ K = 5385.6 \text{ eV} \]In simple words: When an electron in a chromium atom moves from a higher energy level (n=2) to a lower one (n=1), it releases a lot of energy. Instead of sending out light, this energy is given to another electron in a different energy level (n=4). If this energy is more than what's needed to remove the n=4 electron from the atom, that electron gets ejected with a certain kinetic energy, which is calculated by subtracting its binding energy from the released energy.

🎯 Exam Tip: The Auger effect is an important process where excess energy from an atomic transition is transferred to another electron, causing its ejection. For calculations, always identify the atomic number (Z), the initial and final states of the relaxing electron, and the state of the ejected Auger electron to find the kinetic energy.

Question 5. ઇલેક્ટ્રોન અને પ્રોટોન વચ્ચે લાગતા બળ માટેનો સ્થિત વિદ્યુતશાસ્ત્રનો વ્યસ્ત વર્ગનો નિયમ \( |\vec{F}|=\frac{e^2}{\left(4 \pi \varepsilon_0\right) \cdot r^2} \). \( |\overrightarrow{\mathbf{F}}| \) નો \( (\frac{1}{r}) \) પરનો આધાર ક્વૉન્ટમવાદ દ્વારા કેવી રીતે સમજી શકાય કે, પ્રકાશનો કણ (ફોટોન) દ્રવ્યમાનરહિત છે તે હકીકતના કારણે છે. જો ફોટોનનું દ્રવ્યમાન \( m_p \) હોત તો બળને સુધારીને \( |\overrightarrow{\mathrm{F}}|=\frac{e^2}{\left(4 \pi \varepsilon_0\right) r^2}\left[\frac{1}{r^2}+\frac{\lambda}{r}\right] e^{-\lambda r} \) જ્યાં \( \lambda = \frac{m_p c}{\hbar} \), \( \hbar = \frac{h}{2 \pi} \). જો \( m_p \) એ ઇલેક્ટ્રૉનના દ્રવ્યમાનનું 10^-6 ગણું હોય, તો H-પરમાણુની ધરા-અવસ્થા ઊર્જામાં ફેરફારનો અંદાજ મેળવો.

Answer:The given modified force law is: \[ |\vec{F}| = \frac{e^2}{4\pi\epsilon_0 r^2} \left(1 + \frac{\lambda}{r}\right) e^{-\lambda r} \] Where \( \lambda = \frac{m_p c}{\hbar} \). Given \( m_p = 10^{-6} m_e \), where \( m_e \) is the electron mass. \( m_e = 9.1 \times 10^{-31} \text{ kg} \). \( c = 3 \times 10^8 \text{ m/s} \). \( \hbar = \frac{h}{2\pi} = \frac{6.625 \times 10^{-34}}{2\pi} \approx 1.054 \times 10^{-34} \text{ J s} \). Calculate \( \lambda \): \[ \lambda = \frac{(10^{-6} \times 9.1 \times 10^{-31}) \times (3 \times 10^8)}{1.054 \times 10^{-34}} \] \[ \lambda = \frac{2.73 \times 10^{-28}}{1.054 \times 10^{-34}} \approx 2.589 \times 10^6 \text{ m}^{-1} \] The Bohr radius for hydrogen is \( r_B \approx 5.3 \times 10^{-11} \text{ m} \). Here, \( \lambda r_B = (2.589 \times 10^6) \times (5.3 \times 10^{-11}) \approx 0.000137 \). Since \( \lambda r_B \ll 1 \), we can use approximations. The force is given by \( F = -\frac{dU}{dr} \), so \( dU = -F dr \). \[ dU = -\frac{e^2}{4\pi\epsilon_0 r^2} \left(1 + \frac{\lambda}{r}\right) e^{-\lambda r} dr \] Integrating this gives the potential energy \( U(r) \). For \( \lambda r \ll 1 \), we can use the approximation \( e^{-\lambda r} \approx 1 - \lambda r \). \[ F \approx \frac{e^2}{4\pi\epsilon_0 r^2} \left(1 + \frac{\lambda}{r}\right) (1 - \lambda r) \] \[ F \approx \frac{e^2}{4\pi\epsilon_0 r^2} \left(1 + \frac{\lambda}{r} - \lambda r - \lambda^2\right) \] Since \( \lambda r \ll 1 \) and \( \lambda^2 \) is very small, we can approximate: \[ F \approx \frac{e^2}{4\pi\epsilon_0 r^2} \] This means for small \( \lambda r \), the force is essentially the Coulomb force. Let's use the provided solution steps for the potential energy \( U \). The potential energy \( U \) derived from the modified force law, assuming \( \lambda r_B \ll 1 \), is: \[ U(r) = -\frac{e^2}{4\pi\epsilon_0 r} (1+\lambda r) e^{-\lambda r} \] If \( \lambda r_B \ll 1 \), then \( e^{-\lambda r_B} \approx 1-\lambda r_B \). \[ U(r_B) \approx -\frac{e^2}{4\pi\epsilon_0 r_B} (1+\lambda r_B)(1-\lambda r_B) \] \[ U(r_B) \approx -\frac{e^2}{4\pi\epsilon_0 r_B} (1-\lambda^2 r_B^2) \] Since \( \lambda^2 r_B^2 \) is very small, this is approximately \( -\frac{e^2}{4\pi\epsilon_0 r_B} \), which is the standard potential energy. However, the provided text uses a different approach involving the Bohr model equation: \( mvr = \hbar \) \( \frac{mv^2}{r} = F \) The text's derivation becomes complex with the modified force law. Let's follow the final steps for the energy shift \( \Delta E \). The change in energy \( \Delta E \) for the ground state is given by: \[ \Delta E = 27.2 \lambda r_B \text{ eV} \] Substitute the calculated \( \lambda \) and \( r_B \): \[ \Delta E = 27.2 \times (2.589 \times 10^6 \text{ m}^{-1}) \times (5.3 \times 10^{-11} \text{ m}) \] \[ \Delta E = 27.2 \times 0.000137217 \] \[ \Delta E \approx 0.003732 \text{ eV} \] This is a very small change in energy for the ground state of hydrogen.In simple words: If the photon (the particle of light that carries electromagnetic force) had a tiny mass instead of being massless, the electrical force between an electron and a proton would change slightly. This change in force would lead to a small change in the energy of the hydrogen atom's ground state. The calculated change is very small because the assumed mass of the photon is extremely tiny compared to the electron's mass.

🎯 Exam Tip: This problem demonstrates how a tiny mass for the force-carrying particle (photon) could affect fundamental interactions. The key steps involve calculating the parameter \( \lambda \) from the photon mass and then using a derived formula for the energy shift. Pay attention to the conditions for approximations (\( \lambda r_B \ll 1 \)).

प्रश्न 6. પ્રમાણ પાટેનો બોહ્ન મોડલ એ સ્થિત વિદ્યુતશાસ્ત્રના કુલંબના નિયમ પર આધાર રાખે છે. એન્ગેસ્ટ્રોમ ક્રમનાં અતિ લઘુઅંતરો માટે કુલંબના નિયમને સીધું ચકાસાયેલ નથી. તે અસમાન વિદ્યુતભાર +q₁ અને -q₂ વચ્ચે લાગતા કુલંબના નિયમને સુધારેલું ધારતાં, \( |\vec{F}|=\frac{q_1 q_2}{\left(4 \pi \varepsilon_0\right)} \frac{1}{r^2}, r \geq R_0 \) \[ =\frac{q_1 q_2}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{1}{\mathbf{R}_0^2}\left(\frac{\mathbf{R}_0}{r}\right)^{\varepsilon}, r \leq R_0 \] જો \( \delta = 0.1, R_0 = 1 \text{ Å} \) હોય, તો આ કિસ્સામાં H-પરમાણુની ધરા-અવસ્થા ઊર્જાની ગણતરી કરો.

Answer:The modified force law for \( r \leq R_0 \) is: \[ |\vec{F}| = \frac{q_1 q_2}{4\pi\epsilon_0 R_0^2} \left(\frac{R_0}{r}\right)^{2+\delta} \] Given \( q_1 = e, q_2 = -e \). \[ |\vec{F}| = \frac{-e^2}{4\pi\epsilon_0 R_0^{2-\delta}} \frac{1}{r^{2+\delta}} \] In the ground state, the electron's orbital radius \( r \) is the Bohr radius \( r_B \). Given \( R_0 = 1 \text{ Å} = 10^{-10} \text{ m} \) and \( \delta = 0.1 \). The Bohr radius \( r_B = 0.53 \text{ Å} = 0.53 \times 10^{-10} \text{ m} \). Since \( r_B < R_0 \), the electron is in the region where the modified force law applies. For a circular orbit, the centripetal force is provided by the electrostatic force: \[ \frac{mv^2}{r} = |\vec{F}| \] And the angular momentum is quantized: \( mvr = \hbar \implies v = \frac{\hbar}{mr} \). Substitute \( v \) into the force equation: \[ \frac{m}{r} \left(\frac{\hbar}{mr}\right)^2 = \frac{e^2}{4\pi\epsilon_0 R_0^{2-\delta}} \frac{1}{r^{2+\delta}} \] \[ \frac{\hbar^2}{mr^3} = \frac{e^2}{4\pi\epsilon_0 R_0^{2-\delta}} \frac{1}{r^{2+\delta}} \] \[ \frac{\hbar^2}{m} = \frac{e^2}{4\pi\epsilon_0 R_0^{2-\delta}} r^{1-\delta} \] Solving for \( r \): \[ r^{1-\delta} = \frac{\hbar^2 (4\pi\epsilon_0) R_0^{2-\delta}}{me^2} \] \[ r = \left( \frac{\hbar^2 (4\pi\epsilon_0) R_0^{2-\delta}}{me^2} \right)^{1/(1-\delta)} \] Let's simplify this. We know \( r_B = \frac{4\pi\epsilon_0 \hbar^2}{me^2} \). So, \( r = \left( r_B R_0^{2-\delta} \right)^{1/(1-\delta)} \). Substitute values: \( r_B = 0.53 \times 10^{-10} \text{ m} \) \( R_0 = 1 \times 10^{-10} \text{ m} \) \( \delta = 0.1 \) \( 1-\delta = 0.9 \) \( 2-\delta = 1.9 \) \[ r = \left( (0.53 \times 10^{-10}) \times (1 \times 10^{-10})^{1.9} \right)^{1/0.9} \] \[ r = \left( 0.53 \times 10^{-10} \times 10^{-19} \right)^{1/0.9} \] \[ r = \left( 0.53 \times 10^{-29} \right)^{1/0.9} \] \[ r = (0.53^{1/0.9}) \times (10^{-29/0.9}) \] \[ r \approx 0.58 \times 10^{-32.22} \text{ m} \] This result is extremely small, suggesting an issue with direct substitution or understanding of the formula. Let's refer to the approach in the text. The force for \( r \le R_0 \) is: \[ F = \frac{e^2}{4\pi\epsilon_0 R_0^{2-\delta}} \frac{1}{r^{2+\delta}} = (23.04 \times 10^{-29}) \frac{1}{R_0^{2-\delta} r^{2+\delta}} \] The text simplified it to: \( F = (23.04 \times 10^{-29}) \frac{R_0^\delta}{r^{2+\delta}} \). Then it is stated that \( v^2 = (23.04 \times 10^{-29}) \frac{R_0^\delta}{m r^{1+\delta}} \). And from \( mvr = \hbar \), we have \( r = \frac{\hbar}{mv} \). Substituting this into the \( r \) expression for \( n=1 \): \[ r_1 = \left( \frac{\hbar^2}{m \times (23.04 \times 10^{-29}) \times R_0^\delta} \right)^{1/(1-\delta)} \] Using \( \hbar \approx 1.055 \times 10^{-34} \text{ J s} \), \( m = 9.1 \times 10^{-31} \text{ kg} \), \( e = 1.6 \times 10^{-19} \text{ C} \), \( k = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} = 9 \times 10^9 \text{ Nm}^2/\text{C}^2 \). \( ke^2 = 9 \times 10^9 \times (1.6 \times 10^{-19})^2 \approx 2.304 \times 10^{-28} \text{ J m} \). The constant \( 23.04 \times 10^{-29} \) seems to be \( \frac{ke^2}{10} \). From the given text, the direct calculation for \( r_1 \) is: \[ r_1 = \left( \frac{1.055^2 \times 10^{-68}}{(9.1 \times 10^{-31}) \times (2.304 \times 10^{-28}) \times (10^{-10})^{0.1}} \right)^{1/0.9} \] \[ r_1 \approx ( \frac{1.113 \times 10^{-68}}{9.1 \times 10^{-31} \times 2.304 \times 10^{-28} \times 0.794 \times 10^{-10}} )^{1/0.9} \] The text directly provides \( r_1 \approx 8 \times 10^{-11} \text{ m} = 0.08 \text{ nm} \). This value is very close to the standard Bohr radius (0.053 nm), meaning the effect of \( \delta \) is not dramatically large on the radius in this calculation. Now calculate the kinetic energy \( K \) and potential energy \( U \). \( v_1 = \frac{\hbar}{mr_1} \). \[ v_1 = \frac{1.055 \times 10^{-34}}{(9.1 \times 10^{-31}) \times (8 \times 10^{-11})} \approx 1.44 \times 10^6 \text{ m/s} \] Kinetic Energy \( K = \frac{1}{2} mv_1^2 \): \[ K = \frac{1}{2} (9.1 \times 10^{-31}) (1.44 \times 10^6)^2 \] \[ K = \frac{1}{2} (9.1 \times 10^{-31}) (2.0736 \times 10^{12}) \] \[ K = 9.43 \times 10^{-19} \text{ J} \approx 5.9 \text{ eV} \] Potential Energy \( U \): Since \( r < R_0 \), we use the integral of the modified force: \[ U = \int_{R_0}^{r} F dr - \int_{\infty}^{R_0} \frac{e^2}{4\pi\epsilon_0 r^2} dr \] \[ U = -\frac{e^2}{4\pi\epsilon_0} \frac{1}{(1-\delta)} \frac{R_0^\delta}{r^{1-\delta}} \Bigg|_{R_0}^{r_1} + \frac{e^2}{4\pi\epsilon_0 r} \Bigg|_{\infty}^{R_0} \] \[ U = -\frac{e^2}{4\pi\epsilon_0} \frac{1}{1-\delta} \left( \frac{R_0^\delta}{r_1^{1-\delta}} - \frac{R_0^\delta}{R_0^{1-\delta}} \right) + \frac{e^2}{4\pi\epsilon_0 R_0} \] Given the text, \( U = (23.04 \times 10^{-29}) R_0^{0.1} \left( \frac{1}{0.9 r^{0.9}} - \frac{1}{0.9 R_0^{0.9}} \right) \). For \( r_1 \approx 8 \times 10^{-11} \text{ m} \) and \( R_0 = 1 \times 10^{-10} \text{ m} \): \[ U = (23.04 \times 10^{-29}) (10^{-10})^{0.1} \left( \frac{1}{0.9 (8 \times 10^{-11})^{0.9}} - \frac{1}{0.9 (10^{-10})^{0.9}} \right) \] \[ U = (23.04 \times 10^{-29}) (0.794) \left( \frac{1}{0.9 \times (1.29 \times 10^{-10})} - \frac{1}{0.9 \times (1.25 \times 10^{-10})} \right) \] The text calculates U as approximately -17.3 eV. Total energy \( E = K + U = 5.9 \text{ eV} - 17.3 \text{ eV} = -11.4 \text{ eV} \).In simple words: When the Coulomb's law is changed for very short distances, assuming a small parameter \( \delta \), the force between the electron and proton changes. Since the Bohr radius is within this modified force region, the atom's energy also changes. We find the new electron orbit radius and velocity, then calculate its kinetic energy. The potential energy is found by integrating the modified force. Adding these two gives the new total energy for the hydrogen atom's ground state.

🎯 Exam Tip: This complex problem tests your understanding of applying modified force laws to the Bohr model. The key is to correctly integrate the force to find the potential energy and then apply the quantization of angular momentum. Be careful with unit conversions and the region where the modified force applies.

There is no question-and-answer content within the specified page range (between page 43 and page 44) of the provided document. Page 43 contains a "Recent Posts" list, and page 44 contains copyright information and a watermark.