GSEB Class 12 Physics Solutions Chapter 11 વિકિરણ અને દ્રવ્યની દ્વૈત પ્રકૃતિ

GSEB Solutions Class 12 Physics Chapter 11 વિકિરણ અને દ્રવ્યની દ્વૈત પ્રકૃતિ

જરૂર પડે ત્યારે નીચેની રાશિઓ માટેના મૂલ્યો :

(1) \(c = 3 \times 10^8 \text{ ms}^{-1}, m_e = 9.1 \times 10^{-31} \text{ kg}\)
(2) \(h = 6.63 \times 10^{-34}\text{Js}, m_n = m_p = 1.67 \times 10^{-27} \text{ kg}\)
(3) \(e = 1.6 \times 10^{-19} \text{ C}, k_B = 1.38 \times 10^{-23} \text{ JK}^{-1}\)

 

Question 1. 30 kVના ઇલેક્ટ્રોન દ્વારા ઉત્પન્ન થતા ક્ષ-કિરણોની (a) મહત્તમ આવૃત્તિ અને (b) લઘુતમ તરંગલંબાઈ શોધો.
Answer: અહીં આપણને આપેલ છે કે \(V = 30 \text{ kV} = 3 \times 10^4 \text{ V}\) અને \(h = 6.63 \times 10^{-34} \text{ Js}\).
(a) ક્ષ-કિરણના ફોટોનની સૌથી વધુ ઊર્જા તે વોલ્ટેજ વડે વેગ પ્રાપ્ત કરેલા ઇલેક્ટ્રોનની સૌથી વધુ ઊર્જા જેટલી હોય છે. તેથી, \(h\nu_{max} = eV\).
તેથી, મહત્તમ આવૃત્તિ \(\nu_{max} = \frac{e V}{h}\)
જ્યાં \(e = 1.6 \times 10^{-19} \text{ C}\).
\(\nu_{max} = \frac{1.6 \times 10^{-19} \times 3 \times 10^4}{6.63 \times 10^{-34}}\)
\(\nu_{max} = 0.72398 \times 10^{19} \text{ Hz}\)
આથી, \(\nu_{max} \approx 7.24 \times 10^{18} \text{ Hz}\).
(b) હવે, આપણે પ્રકાશની ઝડપના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને લઘુતમ તરંગલંબાઈ શોધી શકીએ. પ્રકાશની ઝડપ \(c = \nu_{max} \times \lambda_{min}\).
તેથી, લઘુતમ તરંગલંબાઈ \(\lambda_{min} = \frac{c}{\nu_{max}}\)
જ્યાં \(c = 3 \times 10^8 \text{ m/s}\).
\(\lambda_{min} = \frac{3 \times 10^8}{7.24 \times 10^{18}}\)
\(\lambda_{min} = 0.41436 \times 10^{-10} \text{ m}\)
આથી, \(\lambda_{min} \approx 0.0414 \text{ nm}\).
In simple words: આપણે ઇલેક્ટ્રોનની ઊર્જા અને પ્લાન્કના અચળાંકનો ઉપયોગ કરીને મહત્તમ આવૃત્તિ શોધીએ છીએ. પછી, પ્રકાશની ઝડપના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને સૌથી ઓછી તરંગલંબાઈ શોધી શકાય છે.

🎯 Exam Tip: આવા દાખલાઓમાં જુદા-જુદા એકમોનું યોગ્ય રૂપાંતરણ કરવું અને સૂત્રોને ચોકસાઈપૂર્વક લાગુ પાડવા એ મહત્ત્વના ગુણ મેળવવા માટે જરૂરી છે.

 

Question 2. સિઝિયમ ધાતનું કાર્ય વિધેય 2.14 eV છે. જ્યારે 6 × 10¹⁴Hzનો પ્રકાશ આ ધાતુની સપાટી પર આપાત થાય, ત્યારે ઇલેક્ટ્રોનનું ફોટો ઉત્સર્જન થાય છે. (a) ઉત્સર્જિત ઇલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જા (b) સ્ટૉપિંગ પોટેન્શિયલ, અને (c) ઉત્સર્જિત ફોટો ઇલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ઝડપ કેટલી હશે ?
Answer: અહીં આપણને સિઝિયમ ધાતુનું કાર્ય વિધેય \(\Phi_0 = 2.14 \text{ eV}\) આપેલ છે, અને પ્રકાશની આવૃત્તિ \(\nu = 6 \times 10^{14} \text{ Hz}\).
પ્લાન્કનો અચળાંક \(h = 6.63 \times 10^{-34} \text{ Js}\) અને \(1 \text{ eV} = 1.6 \times 10^{-19} \text{ J}\).
(a) ફોટોઇલેક્ટ્રિક અસરના સમીકરણ મુજબ, મહત્તમ ગતિઊર્જા \(K_{max} = h\nu - \Phi_0\).
પ્રથમ, \(h\nu\) ને eV માં રૂપાંતરિત કરીએ:
\(h\nu = \frac{6.63 \times 10^{-34} \times 6 \times 10^{14}}{1.6 \times 10^{-19}} \text{ eV} = \frac{3.978 \times 10^{-19}}{1.6 \times 10^{-19}} \text{ eV} = 2.48625 \text{ eV}\).
તેથી, \(K_{max} = (2.48625 - 2.14) \text{ eV}\)
\(K_{max} = 0.34625 \text{ eV}\)
આથી, \(K_{max} \approx 0.34 \text{ eV}\).
હવે, આ ઊર્જાને જુલમાં રૂપાંતરિત કરીએ:
\(K_{max} = 0.34 \times 1.6 \times 10^{-19} \text{ J}\)
\(K_{max} = 0.544 \times 10^{-19} \text{ J}\).
(b) સ્ટૉપિંગ પોટેન્શિયલ \(V_0\) શોધવા માટે, આપણે જાણીએ છીએ કે \(K_{max} = eV_0\).
તેથી, \(V_0 = \frac{K_{max}}{e}\)
\(V_0 = \frac{0.34 \text{ eV}}{e}\)
આથી, \(V_0 = 0.34 \text{ V}\). (નોંધ: ગણતરીમાં 0.35V આપેલ છે, પરંતુ 0.34 eV ને e વડે ભાગતા 0.34 V મળે.)
(c) ઉત્સર્જિત ફોટો ઇલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ઝડપ \(v_{max}\) શોધવા માટે, આપણે ગતિઊર્જાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીશું: \(K_{max} = \frac{1}{2}m_e v_{max}^2\).
આપણે \(K_{max} = 0.544 \times 10^{-19} \text{ J}\) અને ઇલેક્ટ્રોનનું દળ \(m_e = 9.1 \times 10^{-31} \text{ kg}\) જાણીએ છીએ.
તેથી, \(v_{max}^2 = \frac{2 \times K_{max}}{m_e}\)
\(v_{max}^2 = \frac{2 \times 0.544 \times 10^{-19}}{9.1 \times 10^{-31}}\)
\(v_{max}^2 = \frac{1.088 \times 10^{-19}}{9.1 \times 10^{-31}}\)
\(v_{max}^2 = 0.11956 \times 10^{12}\)
\(v_{max} = \sqrt{0.11956 \times 10^{12}}\)
\(v_{max} = \sqrt{0.11956} \times 10^6\)
\(v_{max} \approx 0.3458 \times 10^6 \text{ m/s}\)
આથી, \(v_{max} \approx 345.8 \times 10^3 \text{ m/s}\), જે \(345.8 \text{ km/s}\) છે.
In simple words: સિઝિયમ પર પ્રકાશ પડે ત્યારે ઇલેક્ટ્રોન બહાર નીકળે છે. આપણે ફોટોઇલેક્ટ્રિક અસરના નિયમનો ઉપયોગ કરીને ઇલેક્ટ્રોનની સૌથી વધુ ગતિઊર્જા, તેમને રોકવા માટે જરૂરી વોલ્ટેજ અને તેમની સૌથી વધુ ઝડપ શોધી શકીએ છીએ.

🎯 Exam Tip: ફોટોઇલેક્ટ્રિક સમીકરણ \(K_{max} = h\nu - \Phi_0\) અને \(K_{max} = eV_0\) એ ફોટોઇલેક્ટ્રિક અસરના દાખલાઓમાં મુખ્ય ગણતરીના આધારસ્તંભ છે. એકમોના રૂપાંતરણ પર ખાસ ધ્યાન આપવું.

 

Question 3. એક પ્રયોગમાં ફોટોઇલેક્ટ્રિક કટ-ઓફ વોલ્ટેજ 1.5 V છે. ઉત્સર્જાયેલા ફોટો ઇલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જા કેટલી હશે ?
Answer: અહીં આપણને કટ-ઓફ વોલ્ટેજ \(V_0 = 1.5 \text{ V}\) આપેલ છે. ઇલેક્ટ્રોનનો વીજભાર \(e = 1.6 \times 10^{-19} \text{ C}\).
ઉત્સર્જાયેલા ફોટોઇલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જા \(K_{max}\) એ \(eV_0\) જેટલી હોય છે.
\(K_{max} = eV_0\)
\(K_{max} = 1.6 \times 10^{-19} \times 1.5 \text{ J}\)
\(K_{max} = 2.4 \times 10^{-19} \text{ J}\)
અથવા, આ ઊર્જાને eV માં પણ દર્શાવી શકાય છે:
\(K_{max} = 1.5 \text{ eV}\).
In simple words: જ્યારે ઇલેક્ટ્રોનને રોકવા માટે ચોક્કસ વોલ્ટેજ (કટ-ઓફ વોલ્ટેજ) આપવામાં આવે છે, ત્યારે ઇલેક્ટ્રોનની સૌથી વધુ ગતિઊર્જા એ તેના વીજભાર અને આ વોલ્ટેજના ગુણાકાર જેટલી હોય છે.

🎯 Exam Tip: ફોટોઇલેક્ટ્રિક અસરના દાખલાઓમાં, મહત્તમ ગતિઊર્જા અને સ્ટૉપિંગ પોટેન્શિયલ વચ્ચેનો સંબંધ \(K_{max} = eV_0\) યાદ રાખવો જરૂરી છે, જે સરળ ગણતરી માટે ઉપયોગી છે.

 

Question 4. હિલિયમ-નિયોન લેસર વડે 632.8 nm તરંગલંબાઈનો એકરંગી પ્રકાશ (Monochromatic) ઉત્પન્ન થાય છે. ઉત્સર્જિત પાવર 9.42 mW જેટલો છે. (a) પ્રકાશ પૂંજમાં રહેલા દરેક ફોટોનની ઊર્જા અને વેગમાન શોધો. (b) આ પૂંજ વડે પ્રકાશિત લક્ષ્ય (ટાર્ગેટ) પર સરેરાશ રીતે એક સેકન્ડ દીઠ કેટલા ફોટોન આપાત થતા હશે ? (પૂંજનો આડછેદ સમાન અને લક્ષ્યના ક્ષેત્રફળ કરતાં નાનો છે તેમ ધારો), અને (c) ફોટોનના વેગમાન જેટલું વેગમાન ધરાવવા માટે હાઇડ્રોજન પરમાણુએ કેટલી ઝડપથી ગતિ કરવી જોઈએ ?
Answer: અહીં આપણને તરંગલંબાઈ \(\lambda = 632.8 \text{ nm} = 632.8 \times 10^{-9} \text{ m}\) આપેલ છે.
ઉત્સર્જિત પાવર \(P = 9.42 \text{ mW} = 9.42 \times 10^{-3} \text{ W}\).
પ્લાન્કનો અચળાંક \(h = 6.63 \times 10^{-34} \text{ Js}\) અને પ્રકાશની ઝડપ \(c = 3 \times 10^8 \text{ ms}^{-1}\).
(a) દરેક ફોટોનની ઊર્જા \(E = \frac{hc}{\lambda}\).
\(E = \frac{6.63 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{632.8 \times 10^{-9}}\)
\(E = \frac{19.89 \times 10^{-26}}{632.8 \times 10^{-9}}\)
\(E = 0.031431 \times 10^{-17} \text{ J}\)
આથી, \(E \approx 3.14 \times 10^{-19} \text{ J}\).
દરેક ફોટોનનું વેગમાન \(p = \frac{h}{\lambda}\).
\(p = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{632.8 \times 10^{-9}}\)
\(p = 0.010477 \times 10^{-25}\)
આથી, \(p \approx 1.05 \times 10^{-27} \text{ kg ms}^{-1}\).
(b) જો લક્ષ્ય પર દર સેકન્ડે પહોંચતા ફોટોનની સંખ્યા \(N\) હોય, તો પાવર \(P = N \times E\).
તેથી, \(N = \frac{P}{E}\)
\(N = \frac{9.42 \times 10^{-3}}{3.14 \times 10^{-19}}\)
\(N = 3 \times 10^{16}\) ફોટોન/સેકન્ડ.
(c) હાઇડ્રોજન પરમાણુનું વેગમાન \(m_H v_H = p\), જ્યાં \(m_H = 1.67 \times 10^{-27} \text{ kg}\) (પ્રોટોનનું દળ) અને \(v_H\) તેની ઝડપ છે.
તેથી, \(v_H = \frac{p}{m_H}\)
\(v_H = \frac{1.05 \times 10^{-27}}{1.67 \times 10^{-27}}\)
\(v_H = 0.62874\)
આથી, \(v_H \approx 0.63 \text{ ms}^{-1}\).
In simple words: લેસર પ્રકાશની તરંગલંબાઈ અને પાવરનો ઉપયોગ કરીને, આપણે પહેલા દરેક પ્રકાશ કણની ઊર્જા અને વેગમાન શોધીએ છીએ. પછી, પાવરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને એક સેકન્ડમાં કેટલા પ્રકાશ કણ લક્ષ્ય સુધી પહોંચે છે તે ગણીએ છીએ. છેલ્લે, પ્રકાશ કણના વેગમાન જેટલું જ વેગમાન ધરાવવા માટે હાઇડ્રોજન પરમાણુને કેટલી ઝડપથી ગતિ કરવી પડશે તે જાણી શકાય છે.

🎯 Exam Tip: ફોટોનની ઊર્જા અને વેગમાન માટેના સૂત્રો (\(E = hc/\lambda\) અને \(p = h/\lambda\)) યાદ રાખવા અગત્યના છે. આ ઉપરાંત, પાવર અને ફોટોનની સંખ્યા વચ્ચેનો સંબંધ પણ મહત્ત્વનો છે.

 

Question 5. પૃથ્વીની સપાટી પર આવતા સૂર્યપ્રકાશની ઊર્જાનું ફ્લક્સ 1.388 × 10³ W/m² છે. પૃથ્વીની સપાટી પર એક ચોરસ મીટરમાં દર સેકન્ડ દીઠ (લગભગ) કેટલા ફોટોન્સ આપાત થતા હશે ? સૂર્યપ્રકાશના ફોટોનની સરેરાશ તરંગલંબાઈ 550 nm છે એમ ધારો.
Answer: અહીં આપણને સૂર્યપ્રકાશની ઊર્જાનું ફ્લક્સ \( = 1.388 \times 10^3 \text{ W/m}^2\) આપેલ છે.
સરેરાશ તરંગલંબાઈ \(\lambda = 550 \text{ nm} = 550 \times 10^{-9} \text{ m} = 55 \times 10^{-8} \text{ m}\).
પ્લાન્કનો અચળાંક \(h = 6.63 \times 10^{-34} \text{ Js}\) અને પ્રકાશની ઝડપ \(c = 3 \times 10^8 \text{ ms}^{-1}\).
સૌ પ્રથમ, દરેક ફોટોનની ઊર્જા \(E = \frac{hc}{\lambda}\) શોધીએ.
\(E = \frac{6.63 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{55 \times 10^{-8}}\)
\(E = \frac{19.89 \times 10^{-26}}{55 \times 10^{-8}}\)
\(E = 0.3616 \times 10^{-18} \text{ J}\)
આથી, \(E \approx 3.62 \times 10^{-19} \text{ J}\).
પૃથ્વીની સપાટી પર એક સેકન્ડમાં એક ચોરસ મીટર સપાટી પર આપાત થતા ફોટોનની સંખ્યા \(N\) શોધવા માટે, આપણે ઊર્જા ફ્લક્સને દરેક ફોટોનની ઊર્જા વડે ભાગીશું:
\(N = \frac{\text{ઊર્જા ફ્લક્સ}}{\text{દરેક ફોટોનની ઊર્જા (E)}}\)
\(N = \frac{1.388 \times 10^3}{3.62 \times 10^{-19}}\)
\(N = 0.3834 \times 10^{22}\)
આથી, \(N \approx 3.8 \times 10^{21}\) ફોટોન/(\(\text{m}^2 \times \text{s}\)).
(નોંધ: ચોક્કસ ગણતરી 4.0 × 10²¹ ફોટોન/(\(\text{m}^2 \times \text{s}\)) આપેલ છે. આમાં સહેજ ફેરફાર શક્ય છે.)
In simple words: સૂર્યપ્રકાશની શક્તિ અને તેની તરંગલંબાઈનો ઉપયોગ કરીને, આપણે પહેલા દરેક પ્રકાશ કણની ઊર્જા શોધીએ છીએ. પછી, પૃથ્વી પર પડતી કુલ પ્રકાશ શક્તિને એક પ્રકાશ કણની ઊર્જા વડે ભાગીને એક ચોરસ મીટરમાં દર સેકન્ડે કેટલા પ્રકાશ કણ પડે છે તે ગણી શકાય છે.

🎯 Exam Tip: ઊર્જા ફ્લક્સ (જે પાવર પ્રતિ ક્ષેત્રફળ છે) અને દરેક ફોટોનની ઊર્જાનો ઉપયોગ કરીને ફોટોનની સંખ્યા શોધવાના દાખલાઓમાં, એકમોનું સાચું રૂપાંતરણ કરવું અને સૂત્રોને યોગ્ય રીતે લાગુ પાડવું એ મહત્ત્વનું છે.

 

Question 6. ફોટોઇલેક્ટ્રિક અસરના એક પ્રયોગમાં, કટ ઑફ વોલ્ટેજ વિરુદ્ધ આપાત પ્રકાશની આવૃત્તિનો ઢાળ 4.12 × 10⁻¹⁵ Vs જેટલો મળે છે. પ્લાન્કના અચળાંકનું મૂલ્ય શોધો.
Answer: અહીં આપણને કટ-ઓફ વોલ્ટેજ \(V_0\) વિરુદ્ધ આવૃત્તિ \(\nu\) ના આલેખનો ઢાળ \(\frac{\Delta V_0}{\Delta \nu} = 4.12 \times 10^{-15} \text{ Vs}\) આપેલ છે.
ઇલેક્ટ્રોનનો વીજભાર \(e = 1.6 \times 10^{-19} \text{ J}\).
આઇન્સ્ટાઇનના ફોટોઇલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ, \(h\nu = eV_0 + \Phi_0\), જ્યાં \(\Phi_0\) એ કાર્ય વિધેય છે.
આ સમીકરણને ફરીથી ગોઠવીએ તો, \(eV_0 = h\nu - \Phi_0\).
\(V_0 = \frac{h}{e}\nu - \frac{\Phi_0}{e}\).
આ સમીકરણ \(y = mx + c\) સ્વરૂપનું છે, જ્યાં \(V_0\) એ \(y\)-અક્ષ પર અને \(\nu\) એ \(x\)-અક્ષ પર છે.
આલેખનો ઢાળ \(m = \frac{h}{e}\) થશે.
તેથી, પ્લાન્કનો અચળાંક \(h = e \times (\text{આલેખનો ઢાળ})\).
\(h = 1.6 \times 10^{-19} \times 4.12 \times 10^{-15} \text{ Js}\)
\(h = 6.592 \times 10^{-34} \text{ Js}\).
In simple words: ફોટોઇલેક્ટ્રિક પ્રયોગમાં, જ્યારે આપણે પ્રકાશની આવૃત્તિ બદલીએ ત્યારે ઇલેક્ટ્રોનને રોકવા માટે જરૂરી વોલ્ટેજ પણ બદલાય છે. આ વોલ્ટેજ અને આવૃત્તિના આલેખનો ઢાળ પ્લાન્કના અચળાંક અને ઇલેક્ટ્રોનના વીજભારના ગુણોત્તર જેટલો હોય છે. આથી, ઢાળને ઇલેક્ટ્રોનના વીજભાર વડે ગુણીને પ્લાન્કનો અચળાંક શોધી શકાય છે.

🎯 Exam Tip: ફોટોઇલેક્ટ્રિક અસરના \(V_0\) વિરુદ્ધ \(\nu\) આલેખનો ઢાળ હંમેશા \(\frac{h}{e}\) જેટલો હોય છે. આ સંબંધ યાદ રાખીને પ્લાન્કનો અચળાંક અથવા ઇલેક્ટ્રોનનો વીજભાર શોધી શકાય છે.

 

Question 7. 100 Wનો એક સોડિયમ લેમ્પ બધી દિશાઓમાં સમાન રીતે ઊર્જાનું ઉત્સર્જન કરે છે. આ લેમ્પને એક મોટા ગોળાના કેન્દ્ર પર રાખેલો છે. ગોળો તેના પર આપાત થયેલ બધા જ સોડિયમ પ્રકાશનું શોષણ કરે છે. સોડિયમ પ્રકાશની તરંગલંબાઈ 589 nm છે. (a) સોડિયમ પ્રકાશ માટે એક ફોટોન દીઠ કેટલી ઊર્જા સંકળાયેલી હશે ? (b) ગોળા પર કેટલા દરથી ફોટોન આપાત થતા હશે ?
Answer: અહીં આપણને લેમ્પનો પાવર \(P = 100 \text{ W}\) આપેલ છે.
સોડિયમ પ્રકાશની તરંગલંબાઈ \(\lambda = 589 \text{ nm} = 589 \times 10^{-9} \text{ m}\).
પ્લાન્કનો અચળાંક \(h = 6.63 \times 10^{-34} \text{ Js}\) અને પ્રકાશની ઝડપ \(c = 3 \times 10^8 \text{ ms}^{-1}\).
(a) સોડિયમ પ્રકાશ માટે એક ફોટોન દીઠ ઊર્જા \(E = \frac{hc}{\lambda}\).
\(E = \frac{6.63 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{589 \times 10^{-9}}\)
\(E = \frac{19.89 \times 10^{-26}}{589 \times 10^{-9}}\)
\(E = 0.033769 \times 10^{-17} \text{ J}\)
આથી, \(E \approx 3.38 \times 10^{-19} \text{ J}\).
આ ઊર્જાને ઇલેક્ટ્રોન વોલ્ટ (eV) માં પણ દર્શાવી શકાય છે:
\(E = \frac{3.38 \times 10^{-19}}{1.6 \times 10^{-19}} \text{ eV}\)
\(E \approx 2.11 \text{ eV}\).
(b) ગોળા પર આપાત થતા ફોટોનનો દર (\(N\)) શોધવા માટે, આપણે જાણીએ છીએ કે પાવર \(P = N \times E\).
તેથી, \(N = \frac{P}{E}\)
\(N = \frac{100}{3.38 \times 10^{-19}}\)
\(N = 29.58 \times 10^{19}\)
આથી, \(N \approx 3.0 \times 10^{20}\) ફોટોન/સેકન્ડ.
In simple words: લેમ્પના પાવર અને પ્રકાશની તરંગલંબાઈનો ઉપયોગ કરીને, આપણે પહેલા દરેક પ્રકાશ કણની ઊર્જા શોધીએ છીએ. પછી, કુલ પાવરને એક પ્રકાશ કણની ઊર્જા વડે ભાગીને ગોળા પર એક સેકન્ડમાં કેટલા પ્રકાશ કણ પડે છે તે ગણી શકાય છે.

🎯 Exam Tip: પ્રકાશની ઊર્જા \((E = hc/\lambda)\) અને પાવરનો સંબંધ \((P = NE)\) એ પ્રકાશ અને દ્રવ્યની દ્વૈત પ્રકૃતિના દાખલાઓમાં વારંવાર ઉપયોગમાં લેવાય છે. એકમોને યોગ્ય રીતે રૂપાંતરિત કરવાનું યાદ રાખો.

 

Question 8. એક ચોક્કસ ધાતુ માટે થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ 3.3 × 10¹⁴ Hz છે. જો આ ધાતુ પર 8.2 × 10¹⁴ Hz આવૃત્તિનો પ્રકાશ આપાત થતો હોય તો ફોટોઇલેક્ટ્રિક ઉત્સર્જન માટે કટ ઑફ વોલ્ટેજનું મૂલ્ય શોધો.
Answer: અહીં આપણને થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ \(\nu_0 = 3.3 \times 10^{14} \text{ Hz}\) આપેલ છે.
આપાત પ્રકાશની આવૃત્તિ \(\nu = 8.2 \times 10^{14} \text{ Hz}\).
પ્લાન્કનો અચળાંક \(h = 6.63 \times 10^{-34} \text{ Js}\) અને ઇલેક્ટ્રોનનો વીજભાર \(e = 1.6 \times 10^{-19} \text{ C}\).
આઇન્સ્ટાઇનના ફોટોઇલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ, ફોટો ઇલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જા \(K_{max} = h\nu - h\nu_0\).
વળી, મહત્તમ ગતિઊર્જાને સ્ટૉપિંગ વોલ્ટેજ \(V_0\) સાથે પણ સંબંધ છે: \(K_{max} = eV_0\).
તેથી, \(eV_0 = h\nu - h\nu_0\).
આથી, \(V_0 = \frac{h}{e}(\nu - \nu_0)\).
\(V_0 = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{1.6 \times 10^{-19}} (8.2 \times 10^{14} - 3.3 \times 10^{14})\)
\(V_0 = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{1.6 \times 10^{-19}} (4.9 \times 10^{14})\)
\(V_0 = \frac{32.487 \times 10^{-20}}{1.6 \times 10^{-19}}\)
\(V_0 = 20.30 \times 10^{-1}\)
આથી, \(V_0 = 2.03 \text{ V}\).
In simple words: પ્રકાશની આવૃત્તિ અને ધાતુની થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિનો ઉપયોગ કરીને, આપણે આઇન્સ્ટાઇનના સૂત્રથી ઇલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જા શોધીએ છીએ. પછી, આ ગતિઊર્જાને ઇલેક્ટ્રોનના વીજભાર વડે ભાગીને કટ-ઓફ વોલ્ટેજ મેળવી શકાય છે.

🎯 Exam Tip: ફોટોઇલેક્ટ્રિક સમીકરણ \(eV_0 = h(\nu - \nu_0)\) એ સ્ટૉપિંગ વોલ્ટેજ, આવૃત્તિ અને થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિને સીધો જોડે છે. આ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને સીધા જ ગણતરી કરી શકાય છે.

 

Question 9. એક ધાતુનું કાર્યવિધેય 4.2 eV છે. શું આ ધાતુ 330 nm તરંગલંબાઈના આપાત વિકિરણ માટે ફોટોઇલેકિટ્રક ઉત્સર્જન કરશે ?
Answer: અહીં આપણને ધાતુનું કાર્યવિધેય \(\Phi_0 = 4.2 \text{ eV}\) આપેલ છે.
આપાત વિકિરણની તરંગલંબાઈ \(\lambda = 330 \text{ nm} = 330 \times 10^{-9} \text{ m} = 33 \times 10^{-8} \text{ m}\).
પ્લાન્કનો અચળાંક \(h = 6.625 \times 10^{-34} \text{ Js}\) અને પ્રકાશની ઝડપ \(c = 3 \times 10^8 \text{ ms}^{-1}\).
સૌ પ્રથમ, આપાત વિકિરણના દરેક ફોટોનની ઊર્જા \(E\) શોધીએ. \(E = \frac{hc}{\lambda}\).
\(E = \frac{6.625 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{33 \times 10^{-8}}\)
\(E = \frac{19.875 \times 10^{-26}}{33 \times 10^{-8}}\)
\(E = 0.60227 \times 10^{-18} \text{ J}\)
હવે, આ ઊર્જાને ઇલેક્ટ્રોન વોલ્ટ (eV) માં રૂપાંતરિત કરીએ:
\(E = \frac{0.60227 \times 10^{-18}}{1.6 \times 10^{-19}} \text{ eV}\)
\(E = 3.7642 \text{ eV}\)
આથી, \(E \approx 3.76 \text{ eV}\).
ફોટોઇલેક્ટ્રિક ઉત્સર્જન ત્યારે જ થાય છે જ્યારે આપાત ફોટોનની ઊર્જા \((E)\) ધાતુના કાર્યવિધેય \(( \Phi_0)\) કરતાં વધારે હોય.
અહીં, \(E = 3.76 \text{ eV}\) અને \(\Phi_0 = 4.2 \text{ eV}\).
આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે \(E < \Phi_0\).
તેથી, ફોટોઇલેક્ટ્રિક ઉત્સર્જન થશે નહીં.
In simple words: ફોટોઇલેક્ટ્રિક અસર માટે, પ્રકાશ કણની ઊર્જા ધાતુમાંથી ઇલેક્ટ્રોનને બહાર કાઢવા માટે જરૂરી ઊર્જા (કાર્યવિધેય) કરતાં વધુ હોવી જોઈએ. અહીં, પ્રકાશ કણની ઊર્જા ધાતુના કાર્યવિધેય કરતાં ઓછી છે, તેથી ઇલેક્ટ્રોન બહાર નીકળશે નહીં.

🎯 Exam Tip: ફોટોઇલેક્ટ્રિક ઉત્સર્જન થશે કે નહીં તે નક્કી કરવા માટે, હંમેશા આપાત ફોટોનની ઊર્જાની ગણતરી કરો અને તેની સરખામણી ધાતુના કાર્યવિધેય સાથે કરો. જો \(E \ge \Phi_0\) હોય તો ઉત્સર્જન થશે, અન્યથા નહીં.

 

Question 10. એક ધાતુની સપાટી પર 7.21 × 10¹⁴ Hz આવૃત્તિનો પ્રકાશ આપાત થાય છે. તેની સપાટીમાંથી 6.0 x 10⁵ m/sની મહત્તમ ઝડપ ધરાવતા ઇલેક્ટ્રૉન ઉત્સર્જિત થાય છે. ઇલેક્ટ્રોનના ફોટો ઉત્સર્જન માટે થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ કેટલી હશે ?
Answer: અહીં આપણને આપાત પ્રકાશની આવૃત્તિ \(\nu = 7.21 \times 10^{14} \text{ Hz}\) આપેલ છે.
ઉત્સર્જિત ઇલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ઝડપ \(v_{max} = 6.0 \times 10^5 \text{ m/s}\).
આપણે થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ \(\nu_0\) શોધવાની છે.
પ્લાન્કનો અચળાંક \(h = 6.63 \times 10^{-34} \text{ Js}\) અને ઇલેક્ટ્રોનનું દળ \(m = 9.1 \times 10^{-31} \text{ kg}\).
આઇન્સ્ટાઇનના ફોટોઇલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ, મહત્તમ ગતિઊર્જા \(K_{max} = h\nu - h\nu_0\).
વળી, ગતિઊર્જાનું સૂત્ર \(K_{max} = \frac{1}{2}m v_{max}^2\).
તેથી, \(\frac{1}{2}m v_{max}^2 = h\nu - h\nu_0\).
આ સમીકરણમાંથી \(\nu_0\) ને કર્તા બનાવીએ:
\(h\nu_0 = h\nu - \frac{1}{2}m v_{max}^2\)
\(\nu_0 = \nu - \frac{m v_{max}^2}{2h}\).
પ્રથમ, \(\frac{m v_{max}^2}{2h}\) ની કિંમત શોધીએ:
\(\frac{9.1 \times 10^{-31} \times (6.0 \times 10^5)^2}{2 \times 6.63 \times 10^{-34}}\)
\(\frac{9.1 \times 10^{-31} \times 36 \times 10^{10}}{13.26 \times 10^{-34}}\)
\(\frac{327.6 \times 10^{-21}}{13.26 \times 10^{-34}}\)
\(24.705 \times 10^{13} = 2.47 \times 10^{14} \text{ Hz}\).
હવે, \(\nu_0\) ની કિંમત શોધીએ:
\(\nu_0 = 7.21 \times 10^{14} - 2.47 \times 10^{14}\)
\(\nu_0 = 4.74 \times 10^{14} \text{ Hz}\).
In simple words: જ્યારે પ્રકાશ ધાતુ પર પડે છે અને ઇલેક્ટ્રોન બહાર આવે છે, ત્યારે ઇલેક્ટ્રોનની સૌથી વધુ ગતિઊર્જા એ પ્રકાશ કણની ઊર્જા અને ધાતુના કાર્યવિધેયના તફાવત જેટલી હોય છે. ઇલેક્ટ્રોનની ઝડપ પરથી ગતિઊર્જા શોધીને, આપણે કાર્યવિધેય અને પછી ધાતુની થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ શોધી શકીએ છીએ.

🎯 Exam Tip: ઇલેક્ટ્રોનની ગતિઊર્જાને \(\frac{1}{2}mv_{max}^2\) અને \(h(\nu - \nu_0)\) બંને સ્વરૂપમાં દર્શાવી શકાય છે. આવા દાખલાઓમાં, આ બંને સમીકરણોને સરખાવીને અજાણી રાશિ શોધી શકાય છે. એકમોને સાચા રાખવાનું યાદ રાખો.

 

Question 11. આર્ગન લેસર વડે ઉત્પન્ન થયેલ 488 nmના પ્રકાશનો ઉપયોગ ફોટોઇલેક્ટ્રિક અસરમાં થયો છે. જ્યારે આ વર્ણપટ રેખાનો પ્રકાશ ઉત્સર્જક પર આપાત થાય ત્યારે ફોટોઇલેક્ટ્રોનનું સ્ટૉપિંગ (કટ ઑફ) પોટેન્શિયલ 0.38 V છે. ઉત્સર્જક જે દ્રવ્યમાંથી બનેલ છે તેનું કાર્ય વિધેય શોધો.
Answer: અહીં આપણને પ્રકાશની તરંગલંબાઈ \(\lambda = 488 \text{ nm} = 488 \times 10^{-9} \text{ m}\) આપેલ છે.
સ્ટૉપિંગ પોટેન્શિયલ \(V_0 = 0.38 \text{ V}\).
પ્લાન્કનો અચળાંક \(h = 6.63 \times 10^{-34} \text{ Js}\) અને પ્રકાશની ઝડપ \(c = 3 \times 10^8 \text{ ms}^{-1}\).
ઇલેક્ટ્રોનનો વીજભાર \(e = 1.6 \times 10^{-19} \text{ C}\).
આઇન્સ્ટાઇનના ફોટોઇલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ, \(eV_0 = h\nu - \Phi_0\), જ્યાં \(\Phi_0\) એ કાર્ય વિધેય છે.
આવૃત્તિ \(\nu = \frac{c}{\lambda}\) હોવાથી, આપણે લખી શકીએ કે \(eV_0 = \frac{hc}{\lambda} - \Phi_0\).
કાર્ય વિધેય \(\Phi_0 = \frac{hc}{\lambda} - eV_0\).
\(\Phi_0 = \frac{6.63 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{488 \times 10^{-9}} - (1.6 \times 10^{-19} \times 0.38)\)
\(\Phi_0 = \frac{19.89 \times 10^{-26}}{488 \times 10^{-9}} - 0.608 \times 10^{-19}\)
\(\Phi_0 = 0.040758 \times 10^{-17} - 0.608 \times 10^{-19}\)
\(\Phi_0 = 4.0758 \times 10^{-19} - 0.608 \times 10^{-19}\)
\(\Phi_0 = (4.0758 - 0.608) \times 10^{-19}\)
\(\Phi_0 = 3.4678 \times 10^{-19} \text{ J}\).
આ ઊર્જાને ઇલેક્ટ્રોન વોલ્ટ (eV) માં રૂપાંતરિત કરીએ:
\(\Phi_0 = \frac{3.4678 \times 10^{-19}}{1.6 \times 10^{-19}} \text{ eV}\)
\(\Phi_0 = 2.1673 \text{ eV}\)
આથી, \(\Phi_0 \approx 2.16 \text{ eV}\).
In simple words: લેસર પ્રકાશની તરંગલંબાઈ અને ઇલેક્ટ્રોનને રોકવા માટે જરૂરી વોલ્ટેજનો ઉપયોગ કરીને, આપણે પહેલા પ્રકાશ કણની ઊર્જા શોધીએ છીએ. પછી, આ ઊર્જામાંથી ઇલેક્ટ્રોનની ગતિઊર્જા (જે વોલ્ટેજ પરથી મળે છે) બાદ કરીને ધાતુનું કાર્યવિધેય શોધી શકાય છે.

🎯 Exam Tip: ફોટોઇલેક્ટ્રિક અસરના દાખલાઓમાં કાર્ય વિધેય, સ્ટૉપિંગ પોટેન્શિયલ અને આપાત પ્રકાશની ઊર્જા વચ્ચેનો સંબંધ \(\Phi_0 = E - eV_0\) વારંવાર ઉપયોગી છે. એકમોનું રૂપાંતરણ ખાસ કરીને eV અને J વચ્ચે, ધ્યાનમાં રાખો.

 

Question 12. 56 V વિધુત સ્થિતિમાનના તફાવત વડે પ્રવેગિત ઇલેક્ટ્રોન માટે, (a) વેગમાન અને (b) ડી-બ્રૉગ્લી તરંગલંબાઈ શોધો.
Answer: અહીં આપણને વિદ્યુત સ્થિતિમાનનો તફાવત \(V = 56 \text{ V}\) આપેલ છે.
ઇલેક્ટ્રોનનું દળ \(m_e = 9.1 \times 10^{-31} \text{ kg}\) અને ઇલેક્ટ્રોનનો વીજભાર \(e = 1.6 \times 10^{-19} \text{ C}\).
ઇલેક્ટ્રોનની ગતિઊર્જા \(K = eV\).
\(K = 1.6 \times 10^{-19} \times 56 \text{ J}\)
\(K = 89.6 \times 10^{-19} \text{ J}\)
(a) ઇલેક્ટ્રોનનું વેગમાન \(p = \sqrt{2m_e K}\).
\(p = \sqrt{2 \times 9.1 \times 10^{-31} \times 89.6 \times 10^{-19}}\)
\(p = \sqrt{1630.72 \times 10^{-50}}\)
\(p = \sqrt{16.3072 \times 10^{-48}}\)
\(p \approx 4.038 \times 10^{-24} \text{ kg ms}^{-1}\)
આથી, \(p \approx 4.04 \times 10^{-24} \text{ kg ms}^{-1}\).
(b) ડી-બ્રૉગ્લી તરંગલંબાઈ \(\lambda = \frac{h}{p}\).
પ્લાન્કનો અચળાંક \(h = 6.63 \times 10^{-34} \text{ Js}\).
\(\lambda = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{4.04 \times 10^{-24}}\)
\(\lambda = 1.641 \times 10^{-10} \text{ m}\)
આથી, \(\lambda = 1.64 \times 10^{-10} \text{ m}\) અથવા \(\lambda = 1.64 \text{ Å}\).
In simple words: જ્યારે ઇલેક્ટ્રોનને વોલ્ટેજ દ્વારા ઝડપ મળે છે, ત્યારે આપણે તેની ગતિઊર્જા શોધીએ છીએ. આ ગતિઊર્જાનો ઉપયોગ કરીને ઇલેક્ટ્રોનનું વેગમાન શોધી શકાય છે. પછી, પ્લાન્કના અચળાંકને વેગમાન વડે ભાગીને ડી-બ્રૉગ્લી તરંગલંબાઈ મેળવી શકાય છે.

🎯 Exam Tip: કણની ગતિઊર્જા \(K = eV\), વેગમાન \(p = \sqrt{2mK}\) અને ડી-બ્રૉગ્લી તરંગલંબાઈ \(\lambda = h/p\) એ દ્રવ્ય તરંગોના મૂળભૂત સૂત્રો છે. આ દાખલામાં, આ ત્રણેય સૂત્રોનો ક્રમિક ઉપયોગ થાય છે.

 

Question 13. 120 eV જેટલી ગતિઊર્જા ધરાવતા ઇલેકટ્રોનનું (a) વેગમાન, (b) ઝડપ અને (c) ડી-બ્રૉગ્લી તરંગલંબાઈ કેટલા હશે ?
Answer: અહીં આપણને ઇલેક્ટ્રોનની ગતિઊર્જા \(K = 120 \text{ eV}\) આપેલ છે.
આને જુલમાં રૂપાંતરિત કરીએ: \(K = 120 \times 1.6 \times 10^{-19} \text{ J} = 1.92 \times 10^{-17} \text{ J}\).
પ્લાન્કનો અચળાંક \(h = 6.63 \times 10^{-34} \text{ Js}\) અને ઇલેક્ટ્રોનનું દળ \(m = 9.1 \times 10^{-31} \text{ kg}\).
(a) ઇલેક્ટ્રોનનું વેગમાન \(p = \sqrt{2mK}\).
\(p = \sqrt{2 \times 9.1 \times 10^{-31} \times 1.92 \times 10^{-17}}\)
\(p = \sqrt{34.944 \times 10^{-48}}\)
\(p \approx 5.91 \times 10^{-24} \text{ kg ms}^{-1}\).
(b) ઇલેક્ટ્રોનની ઝડપ \(v = \frac{p}{m}\).
\(v = \frac{5.91 \times 10^{-24}}{9.1 \times 10^{-31}}\)
\(v = 0.649 \times 10^7\)
આથી, \(v \approx 6.5 \times 10^6 \text{ m/s}\).
(c) ડી-બ્રૉગ્લી તરંગલંબાઈ \(\lambda = \frac{h}{p}\).
\(\lambda = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{5.91 \times 10^{-24}}\)
\(\lambda = 1.121 \times 10^{-10} \text{ m}\)
આથી, \(\lambda \approx 0.1121 \text{ nm}\).
In simple words: ઇલેક્ટ્રોનની ગતિઊર્જાને જુલમાં બદલીને, આપણે પહેલા તેનું વેગમાન શોધીએ છીએ. પછી, વેગમાનને ઇલેક્ટ્રોનના દળ વડે ભાગીને તેની ઝડપ મળે છે. છેલ્લે, પ્લાન્કના અચળાંકને વેગમાન વડે ભાગીને ડી-બ્રૉગ્લી તરંગલંબાઈ શોધી શકાય છે.

🎯 Exam Tip: ગતિઊર્જા, વેગમાન, ઝડપ અને ડી-બ્રૉગ્લી તરંગલંબાઈ વચ્ચેના સંબંધો એકબીજા સાથે જોડાયેલા છે. \(K = \frac{p^2}{2m}\) અને \(\lambda = \frac{h}{p}\) સૂત્રો વારંવાર ઉપયોગી થાય છે.

 

Question 14. સોડિયમના ઉત્સર્જન વર્ણપટ રેખાના પ્રકાશની તરંગલંબાઈ 589 nm છે. (a) ઇલેક્ટ્રોન અને (b) ન્યૂટ્રોનની કઈ ગતિઊર્જા માટે આટલી તરંગલંબાઈ મળશે ?
Answer: અહીં આપણને સોડિયમ વિકિરણની તરંગલંબાઈ \(\lambda = 589 \text{ nm} = 589 \times 10^{-9} \text{ m}\) આપેલ છે.
આપણે ઇલેક્ટ્રોન અને ન્યૂટ્રોન માટે સમાન ડી-બ્રૉગ્લી તરંગલંબાઈ માટે ગતિઊર્જા શોધવાની છે.
ઇલેક્ટ્રોનનું દળ \(m_e = 9.1 \times 10^{-31} \text{ kg}\).
ન્યૂટ્રોનનું દળ \(m_n = 1.67 \times 10^{-27} \text{ kg}\).
પ્લાન્કનો અચળાંક \(h = 6.63 \times 10^{-34} \text{ Js}\).
\(\text{1 eV} = 1.6 \times 10^{-19} \text{ J}\).
કણની ડી-બ્રૉગ્લી તરંગલંબાઈનું સૂત્ર છે: \(\lambda = \frac{h}{p}\), જ્યાં \(p\) વેગમાન છે. વેગમાન \(p = \sqrt{2mK}\).
તેથી, \(\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mK}}\).
આ સમીકરણમાંથી ગતિઊર્જા \(K\) ને કર્તા બનાવીએ: \(K = \frac{h^2}{2m\lambda^2}\).
(a) ઇલેક્ટ્રોનની ગતિઊર્જા \(K_e = \frac{h^2}{2m_e\lambda^2}\).
\(K_e = \frac{(6.63 \times 10^{-34})^2}{2 \times 9.1 \times 10^{-31} \times (589 \times 10^{-9})^2}\)
\(K_e = \frac{43.9569 \times 10^{-68}}{2 \times 9.1 \times 10^{-31} \times 346921 \times 10^{-18}}\)
\(K_e = \frac{43.9569 \times 10^{-68}}{6313962.2 \times 10^{-49}}\)
\(K_e = 0.00000696185 \times 10^{-19} \text{ J}\)
આથી, \(K_e \approx 6.96 \times 10^{-25} \text{ J}\).
આ ઊર્જાને eV માં રૂપાંતરિત કરીએ:
\(K_e = \frac{6.96 \times 10^{-25}}{1.6 \times 10^{-19}} \text{ eV}\)
\(K_e = 4.35 \times 10^{-6} \text{ eV}\)
આથી, \(K_e \approx 4.35 \text{ \(\mu\)eV}\).
(b) ન્યૂટ્રોનની ગતિઊર્જા \(K_n = \frac{h^2}{2m_n\lambda^2}\).
\(K_n = \frac{(6.63 \times 10^{-34})^2}{2 \times 1.67 \times 10^{-27} \times (589 \times 10^{-9})^2}\)
\(K_n = \frac{43.9569 \times 10^{-68}}{2 \times 1.67 \times 10^{-27} \times 346921 \times 10^{-18}}\)
\(K_n = \frac{43.9569 \times 10^{-68}}{1158716 \times 10^{-45}}\)
\(K_n = 0.00003793 \times 10^{-23} \text{ J}\)
આથી, \(K_n \approx 3.79 \times 10^{-28} \text{ J}\).
આ ઊર્જાને eV માં રૂપાંતરિત કરીએ:
\(K_n = \frac{3.79 \times 10^{-28}}{1.6 \times 10^{-19}} \text{ eV}\)
\(K_n = 2.36875 \times 10^{-9} \text{ eV}\)
આથી, \(K_n \approx 2.37 \text{ neV}\).
In simple words: ડી-બ્રૉગ્લી તરંગલંબાઈનું સૂત્ર જાણીને, આપણે તેને ગતિઊર્જાના સ્વરૂપમાં ફેરવી શકીએ છીએ. પછી, ઇલેક્ટ્રોન અને ન્યૂટ્રોનના દળનો ઉપયોગ કરીને, સમાન તરંગલંબાઈ માટે જરૂરી ગતિઊર્જા શોધી શકાય છે.

🎯 Exam Tip: ડી-બ્રૉગ્લી તરંગલંબાઈ, વેગમાન અને ગતિઊર્જા વચ્ચેનો સંબંધ \(\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mK}}\) એ અગત્યનો છે. દાખલાઓમાં એકમોનું રૂપાંતરણ (ખાસ કરીને J થી eV) ચોકસાઈપૂર્વક કરવું જોઈએ.

 

Question 15. આપેલ કિસ્સાઓ માટે ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ શોધો. (a) 1.0 km/sની ઝડપથી ગતિ કરતી 0,040 kg દળની બુલેટ, (b) 1.0 m/sની ઝડપથી ગતિ કરતો 0.060 kg દળ ધરાવતો બોલ, (c) 2.2 m/sની ઝડપથી ગતિ કરતો 1.0 × 10⁻⁹ kg દળ ધરાવતું ધૂળનું રજકણ.
Answer: ડી-બ્રૉગ્લી તરંગલંબાઈનું સૂત્ર છે: \(\lambda = \frac{h}{mv}\).
પ્લાન્કનો અચળાંક \(h = 6.63 \times 10^{-34} \text{ Js}\).
(a) અહીં બુલેટની ઝડપ \(v_b = 1.0 \text{ km/s} = 1.0 \times 10^3 \text{ m/s}\).
બુલેટનું દળ \(m_b = 0.040 \text{ kg}\).
બુલેટ માટે ડી-બ્રૉગ્લી તરંગલંબાઈ \(\lambda_b = \frac{h}{m_b v_b}\).
\(\lambda_b = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{0.040 \times 1 \times 10^3}\)
\(\lambda_b = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{40}\)
\(\lambda_b = 0.16575 \times 10^{-34}\)
આથી, \(\lambda_b \approx 1.7 \times 10^{-35} \text{ m}\).
(b) અહીં બોલની ઝડપ \(v_g = 1.0 \text{ m/s}\).
બોલનું દળ \(m_g = 0.060 \text{ kg}\).
બોલ માટે ડી-બ્રૉગ્લી તરંગલંબાઈ \(\lambda_g = \frac{h}{m_g v_g}\).
\(\lambda_g = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{0.060 \times 1}\)
\(\lambda_g = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{0.060}\)
\(\lambda_g = 110.5 \times 10^{-34}\)
આથી, \(\lambda_g \approx 1.1 \times 10^{-32} \text{ m}\).
(c) ધૂળના રજકણની ઝડપ \(v_p = 2.2 \text{ m/s}\).
ધૂળના રજકણનું દળ \(m_p = 1.0 \times 10^{-9} \text{ kg}\).
ધૂળના રજકણ માટે ડી-બ્રૉગ્લી તરંગલંબાઈ \(\lambda_p = \frac{h}{m_p v_p}\).
\(\lambda_p = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{1.0 \times 10^{-9} \times 2.2}\)
\(\lambda_p = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{2.2 \times 10^{-9}}\)
\(\lambda_p = 3.0136 \times 10^{-25}\)
આથી, \(\lambda_p \approx 3.0 \times 10^{-25} \text{ m}\).
In simple words: ડી-બ્રૉગ્લી તરંગલંબાઈ સૂત્ર મુજબ, કોઈપણ વસ્તુની તરંગલંબાઈ તેના દળ, ઝડપ અને પ્લાન્કના અચળાંક પર આધાર રાખે છે. આપેલા દરેક કિસ્સામાં વસ્તુનું દળ અને ઝડપનો ઉપયોગ કરીને તેની ડી-બ્રૉગ્લી તરંગલંબાઈ શોધી શકાય છે. જેમ વસ્તુ મોટી હોય છે તેમ તેની તરંગલંબાઈ ઘણી નાની હોય છે.

🎯 Exam Tip: ડી-બ્રૉગ્લી તરંગલંબાઈનું સૂત્ર \(\lambda = \frac{h}{mv}\) ભૌતિકશાસ્ત્રમાં કણ-તરંગ દ્વૈતવાદ સમજવા માટે ખૂબ જ મહત્ત્વનું છે. નાના દળ અને વધુ ઝડપવાળા કણો માટે ડી-બ્રૉગ્લી તરંગલંબાઈ માપી શકાય તેવી હોય છે, જ્યારે મોટા પદાર્થો માટે તે અત્યંત નાની હોવાથી અવગણનીય હોય છે.

 

Question 16. એક ઇલેક્ટ્રોન અને ફોટોન બંનેની તરંગલંબાઈ 1.00 nm છે. તેમના માટે : (a) તેમના વેગમાન, (b) ફોટોનની ઊર્જા અને (c) ઇલેક્ટ્રોનની ગતિઊર્જા શોધો.
Answer: અહીં આપણને ઇલેક્ટ્રોન અને ફોટોન બંનેની તરંગલંબાઈ \(\lambda = 1.00 \text{ nm} = 1 \times 10^{-9} \text{ m}\) આપેલ છે.
પ્લાન્કનો અચળાંક \(h = 6.63 \times 10^{-34} \text{ Js}\).
ઇલેક્ટ્રોનનું દળ \(m_e = 9.1 \times 10^{-31} \text{ kg}\).
પ્રકાશની ઝડપ \(c = 3 \times 10^8 \text{ ms}^{-1}\).
(a) ઇલેક્ટ્રોન અને ફોટોન બંનેની તરંગલંબાઈ સમાન છે, તેથી ડી-બ્રૉગ્લી સૂત્ર \(\lambda = \frac{h}{p}\) પરથી તેમના વેગમાન પણ સમાન હશે.
વેગમાન \(p = \frac{h}{\lambda}\).
\(p = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{1 \times 10^{-9}}\)
આથી, \(p = 6.63 \times 10^{-25} \text{ kg ms}^{-1}\).
(b) ફોટોનની ઊર્જા \(E = \frac{hc}{\lambda}\).
\(E = \frac{6.63 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{1 \times 10^{-9}}\)
\(E = 19.89 \times 10^{-17} \text{ J}\).
આ ઊર્જાને ઇલેક્ટ્રોન વોલ્ટ (eV) માં રૂપાંતરિત કરીએ:
\(E = \frac{19.89 \times 10^{-17}}{1.6 \times 10^{-19}} \text{ eV}\)
\(E = 12.43 \times 10^2 \text{ eV}\)
આથી, \(E \approx 1243 \text{ eV}\) અથવા \(E \approx 1.243 \text{ keV}\).
(c) ઇલેક્ટ્રોનની ગતિઊર્જા \(K_e = \frac{p^2}{2m_e}\).
\(K_e = \frac{(6.63 \times 10^{-25})^2}{2 \times 9.1 \times 10^{-31}}\)
\(K_e = \frac{43.9569 \times 10^{-50}}{18.2 \times 10^{-31}}\)
\(K_e = 2.4152 \times 10^{-19} \text{ J}\).
આ ઊર્જાને ઇલેક્ટ્રોન વોલ્ટ (eV) માં રૂપાંતરિત કરીએ:
\(K_e = \frac{2.4152 \times 10^{-19}}{1.6 \times 10^{-19}} \text{ eV}\)
\(K_e = 1.5095 \text{ eV}\)
આથી, \(K_e \approx 1.51 \text{ eV}\).
In simple words: ઇલેક્ટ્રોન અને ફોટોન બંનેની તરંગલંબાઈ સમાન હોવાથી, તેમના વેગમાન પણ સમાન હશે, જે પ્લાન્કના અચળાંક અને તરંગલંબાઈના ગુણોત્તરથી મળે છે. ફોટોનની ઊર્જા પ્રકાશની ઝડપ અને તરંગલંબાઈ પરથી મળે છે, જ્યારે ઇલેક્ટ્રોનની ગતિઊર્જા તેના વેગમાન અને દળ પરથી શોધી શકાય છે.

🎯 Exam Tip: ફોટોન અને ઇલેક્ટ્રોન બંને માટે તરંગલંબાઈ સમાન હોય ત્યારે તેમના વેગમાન સમાન હોય છે. જોકે, તેમની ઊર્જા અને ગતિઊર્જા અલગ-અલગ સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને શોધવામાં આવે છે, જે પ્રકાશ અને દ્રવ્યના ભિન્ન ગુણધર્મો દર્શાવે છે.

 

Question 17. (a) ન્યૂટ્રોનની કેટલી ગતિઊર્જા માટે તેની સાથે સંકળાયેલ ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ 1.40 × 10⁻¹⁰ m હશે ? (b) આ ઉપરાંત 300 K તાપમાને દ્રવ્ય સાથે તાપીય સરેરાશ ગતિઊર્જા ધરાવતા ન્યૂટ્રોન માટે ડી-બ્રૉગ્લી તરંગલંબાઈ શોધો.
Answer: અહીં આપણને ડી-બ્રૉગ્લી તરંગલંબાઈ \(\lambda = 1.40 \times 10^{-10} \text{ m}\) આપેલ છે.
પ્લાન્કનો અચળાંક \(h = 6.63 \times 10^{-34} \text{ Js}\).
ન્યૂટ્રોનનું દળ \(m_n = 1.67 \times 10^{-27} \text{ kg}\).
(a) ન્યૂટ્રોનની ડી-બ્રૉગ્લી તરંગલંબાઈનું સૂત્ર \(\lambda = \frac{h}{\sqrt{2m_n K}}\).
આ સમીકરણમાંથી ગતિઊર્જા \(K\) ને કર્તા બનાવીએ: \(K = \frac{h^2}{2m_n\lambda^2}\).
\(K = \frac{(6.63 \times 10^{-34})^2}{2 \times 1.67 \times 10^{-27} \times (1.40 \times 10^{-10})^2}\)
\(K = \frac{43.9569 \times 10^{-68}}{2 \times 1.67 \times 10^{-27} \times 1.96 \times 10^{-20}}\)
\(K = \frac{43.9569 \times 10^{-68}}{6.5464 \times 10^{-47}}\)
\(K = 6.714 \times 10^{-21} \text{ J}\)
આથી, \(K \approx 6.686 \times 10^{-21} \text{ J}\).
આ ઊર્જાને ઇલેક્ટ્રોન વોલ્ટ (eV) માં રૂપાંતરિત કરીએ:
\(K = \frac{6.686 \times 10^{-21}}{1.6 \times 10^{-19}} \text{ eV}\)
\(K = 4.17875 \times 10^{-2} \text{ eV}\)
આથી, \(K \approx 4.174 \times 10^{-2} \text{ eV}\).
(b) ન્યૂટ્રોનની સરેરાશ ગતિઊર્જા માટે, આપણને તાપમાન \(T = 300 \text{ K}\) આપેલ છે.
બૉલ્ટ્સમેન અચળાંક \(k_B = 1.38 \times 10^{-23} \text{ J mol}^{-1} \text{ K}^{-1}\).
સરેરાશ ગતિઊર્જા \(K = \frac{3}{2} k_B T\).
\(K = \frac{3}{2} \times 1.38 \times 10^{-23} \times 300\)
\(K = 3 \times 1.38 \times 10^{-23} \times 150\)
\(K = 621 \times 10^{-23} \text{ J}\).
આથી, \(K = 6.21 \times 10^{-21} \text{ J}\).
હવે, ડી-બ્રૉગ્લી તરંગલંબાઈ \(\lambda = \frac{h}{\sqrt{2m_n K}}\).
\(\lambda = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{\sqrt{2 \times 1.67 \times 10^{-27} \times 6.21 \times 10^{-21}}}\)
\(\lambda = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{\sqrt{20.7354 \times 10^{-48}}}\)
\(\lambda = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{\sqrt{207.354 \times 10^{-50}}}\)
\(\lambda = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{14.40 \times 10^{-25}}\)
\(\lambda = 0.4604 \times 10^{-9} \text{ m}\)
આથી, \(\lambda \approx 0.146 \text{ nm}\). (નોંધ: ગણતરીમાં 0.14558 nm અને 0.146 nm આપેલ છે, ગણતરીમાં સહેજ ફેરફાર શક્ય છે.)
In simple words: ન્યૂટ્રોનની ડી-બ્રૉગ્લી તરંગલંબાઈ ગતિઊર્જા પર આધાર રાખે છે. પહેલા, આપેલી તરંગલંબાઈ માટે ગતિઊર્જા શોધી શકાય છે. પછી, ચોક્કસ તાપમાને ન્યૂટ્રોનની સરેરાશ ગતિઊર્જા શોધીને, તે તાપમાન માટે તેની ડી-બ્રૉગ્લી તરંગલંબાઈ શોધી શકાય છે.

🎯 Exam Tip: ડી-બ્રૉગ્લી તરંગલંબાઈ \(\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mK}}\) અને તાપીય ઊર્જા \(K = \frac{3}{2} k_B T\) ના સૂત્રો આ દાખલામાં મુખ્ય છે. તાપમાન અને કણના દળના આધારે તરંગલંબાઈ કેવી રીતે બદલાય છે તે સમજવું અગત્યનું છે.

 

Question 18. દર્શાવો કે વિદ્યુત ચુંબકીય વિકિરણની તરંગલંબાઈ તેના ક્વોન્ટમ (ફોટોન)ની ડી-બ્રૉગ્લી તરંગલંબાઈ જેટલી હોય છે.
Answer: ફોટોન માટે ડી-બ્રૉગ્લી તરંગલંબાઈનું સૂત્ર છે: \(\lambda = \frac{h}{p}\).
વિદ્યુતચુંબકીય વિકિરણનું વેગમાન \(p = \frac{E}{c}\).
જ્યાં \(E\) એ ફોટોનની ઊર્જા અને \(c\) એ પ્રકાશની ઝડપ છે.
ફોટોનની ઊર્જા \(E = h\nu\), જ્યાં \(\nu\) એ ફોટોનની આવૃત્તિ છે.
તેથી, વેગમાન \(p = \frac{h\nu}{c}\).
આપણે જાણીએ છીએ કે પ્રકાશની ઝડપ, આવૃત્તિ અને તરંગલંબાઈ વચ્ચેનો સંબંધ \(\nu = \frac{c}{\lambda'}\) છે, જ્યાં \(\lambda'\) એ વિદ્યુતચુંબકીય વિકિરણની તરંગલંબાઈ છે.
તેથી, \(p = \frac{h(c/\lambda')}{c}\)
\(p = \frac{h}{\lambda'}\).
આ સમીકરણને ફરીથી ગોઠવતા, આપણને મળે છે કે \(\lambda' = \frac{h}{p}\).
આ સૂત્ર ફોટોનની ડી-બ્રૉગ્લી તરંગલંબાઈના સૂત્ર \(\lambda = \frac{h}{p}\) જેવું જ છે.
તેથી, આપણે કહી શકીએ કે વિદ્યુતચુંબકીય વિકિરણની તરંગલંબાઈ \(\lambda'\) તેના ક્વોન્ટમ (ફોટોન)ની ડી-બ્રૉગ્લી તરંગલંબાઈ \(\lambda\) જેટલી હોય છે.
આમ, \(\lambda' = \lambda\).
In simple words: ફોટોનનું વેગમાન તેની ઊર્જા અને પ્રકાશની ઝડપ પર આધાર રાખે છે. ફોટોનની ઊર્જા તેની આવૃત્તિ અને પ્લાન્કના અચળાંકના ગુણાકાર જેટલી હોય છે. આ સંબંધોને જોડીને, આપણે બતાવી શકીએ કે પ્રકાશની તરંગલંબાઈ અને ફોટોનની ડી-બ્રૉગ્લી તરંગલંબાઈ બંને સમાન હોય છે.

🎯 Exam Tip: ફોટોનની ડી-બ્રૉગ્લી તરંગલંબાઈ \(\lambda = h/p\) અને વિદ્યુતચુંબકીય તરંગની તરંગલંબાઈ \(\lambda' = c/\nu\) વચ્ચેનો સંબંધ સમજવો એ કણ-તરંગ દ્વૈતવાદના મૂળભૂત ખ્યાલો માટે મહત્ત્વનો છે.

 

Question 19. હવામાં 300 K તાપમાને રહેલા નાઇટ્રોજન અણુની ડી-બ્રૉગ્લી તરંગલંબાઈ કેટલી હશે ? અણુ આ તાપમાને અણુઓની સરેરાશ વર્ગિત ઝડપના વર્ગમૂળ જેટલી ઝડપથી ગતિ કરે છે તેમ ધારો. (નાઇટ્રોજનનું પરમાણુ દળ = 14.0076u)
Answer: અહીં આપણને નાઇટ્રોજન અણુનું તાપમાન \(T = 300 \text{ K}\) આપેલ છે.
નાઇટ્રોજનનું પરમાણુ દળ \(14.0076 \text{ u}\). નાઇટ્રોજન અણુ (\(\text{N}_2\)) હોવાથી, તેનું દળ \(m = 2 \times 14.0076 \text{ u}\).
\(m = 2 \times 14 \times 1.66 \times 10^{-27} \text{ kg} = 46.48 \times 10^{-27} \text{ kg}\).
બૉલ્ટ્સમેન અચળાંક \(k_B = 1.38 \times 10^{-23} \text{ J mol}^{-1} \text{ K}^{-1}\).
પ્લાન્કનો અચળાંક \(h = 6.63 \times 10^{-34} \text{ Js}\).
આપેલ તાપમાને નાઇટ્રોજન અણુની સરેરાશ ગતિઊર્જા \(K = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{3}{2} k_B T\).
આ પરથી વેગમાન \(p = mv = \sqrt{3m k_B T}\).
ડી-બ્રૉગ્લી તરંગલંબાઈ \(\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{3m k_B T}}\).
\(\lambda = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{\sqrt{3 \times 46.48 \times 10^{-27} \times 1.38 \times 10^{-23} \times 300}}\)
\(\lambda = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{\sqrt{57728.16 \times 10^{-50}}}\)
\(\lambda = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{\sqrt{577.2816 \times 10^{-48}}}\)
\(\lambda = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{24.0266 \times 10^{-25}}\)
\(\lambda = 0.2759 \times 10^{-9} \text{ m}\)
આથી, \(\lambda \approx 0.028 \text{ nm}\).
In simple words: નાઇટ્રોજન અણુનું દળ અને તાપમાનનો ઉપયોગ કરીને, આપણે પહેલા તેની સરેરાશ ગતિઊર્જા શોધીએ છીએ. પછી, આ ગતિઊર્જા પરથી અણુનું વેગમાન ગણી શકાય છે. છેલ્લે, પ્લાન્કના અચળાંકને વેગમાન વડે ભાગીને નાઇટ્રોજન અણુની ડી-બ્રૉગ્લી તરંગલંબાઈ શોધી શકાય છે.

🎯 Exam Tip: થર્મલ કણોની ડી-બ્રૉગ્લી તરંગલંબાઈ શોધવા માટે \(K = \frac{3}{2}k_B T\) અને \(\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mK}}\) સૂત્રોનું સંયોજન મહત્ત્વનું છે. બૉલ્ટ્સમેન અચળાંકનો ઉપયોગ કરતી વખતે એકમો સુસંગત રાખવા જરૂરી છે.

 

Question 20. (a) શૂન્યાવકાશિત નળીમાં તપાવેલા ઉત્સર્જક પરથી ઉત્સર્જાયેલા અને ઉત્સર્જકની સાપેક્ષે 500 V સ્થિતિમાનના તફાવતે રહેલા ક્લેક્ટર પર આપાત થતા ઇલેક્ટ્રૉનની ઝડપ શોધો. ઇલેક્ટ્રૉનની પ્રારંભિક અલ્પ ઝડપ અવગણો. ઇલેક્ટ્રૉનનો વિશિષ્ટ વિધુતભાર એટલે કે તેના \(\frac{e}{m}\) નું મૂલ્ય 1.76 × 10¹¹ C kg⁻¹ આપેલ છે. (b) (a)માં તમે ઉપયોગ કરેલા સમીકરણ પરથી 10 MV જેટલા કલેક્ટર સ્થિતિમાન માટે ઇલેક્ટ્રોનની ઝડપ શોધો. તમને શું ખોટું જણાય છે ? આ સૂત્રમાં કયો સુધારો કરવો જોઈએ ?
Answer: અહીં આપણને વિદ્યુત સ્થિતિમાનનો તફાવત \(V = 500 \text{ V}\) આપેલ છે.
ઇલેક્ટ્રોનનો વિશિષ્ટ વીજભાર \(\frac{e}{m} = 1.76 \times 10^{11} \text{ C/kg}\).
(a) ઇલેક્ટ્રોનની ગતિઊર્જા \(K = eV\).
વળી, ગતિઊર્જાનું સૂત્ર \(K = \frac{1}{2}mv^2\).
તેથી, \(\frac{1}{2}mv^2 = eV\).
આ સમીકરણમાંથી ઝડપ \(v\) ને કર્તા બનાવીએ: \(v = \sqrt{\frac{2eV}{m}}\).
આપણે \(\frac{e}{m}\) નું મૂલ્ય જાણીએ છીએ, તેથી:
\(v = \sqrt{2 \times \frac{e}{m} \times V}\)
\(v = \sqrt{2 \times 1.76 \times 10^{11} \times 500}\)
\(v = \sqrt{1.76 \times 10^{14}}\)
\(v = 1.3266 \times 10^7 \text{ m/s}\)
આથી, \(v \approx 1.33 \times 10^7 \text{ m/s}\).
(b) હવે, કલેક્ટર વિદ્યુત સ્થિતિમાન \(V' = 10 \text{ MV} = 10 \times 10^6 \text{ V} = 10^7 \text{ V}\) માટે ઝડપ શોધીએ.
સમીકરણ (1) પરથી, \(v' = \sqrt{2 \times \frac{e}{m} \times V'}\).
\(v' = \sqrt{2 \times 1.76 \times 10^{11} \times 10^7}\)
\(v' = \sqrt{3.52 \times 10^{18}}\)
\(v' = 1.876 \times 10^9 \text{ m/s}\).
આથી, \(v' \approx 1.88 \times 10^9 \text{ m/s}\).
આ ઝડપ ખોટી છે, કારણ કે પ્રકાશની ઝડપ \(c = 3 \times 10^8 \text{ m/s}\) કરતાં કોઈપણ કણની ઝડપ વધુ હોઈ શકે નહીં. ઉપરના સૂત્રો \((v = \sqrt{\frac{2eV}{m}})\) ત્યારે જ સાચા છે જ્યારે ઇલેક્ટ્રોનની ઝડપ પ્રકાશની ઝડપ કરતાં ઘણી ઓછી હોય. જ્યારે ઇલેક્ટ્રોનની ઝડપ પ્રકાશની ઝડપની નજીક હોય ત્યારે આપણે સાપેક્ષવાદના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરવો જોઈએ.
સાપેક્ષવાદ અનુસાર, ઇલેક્ટ્રોનની ગતિઊર્જા \(K = mc^2 - m_0c^2 = (m - m_0)c^2\) હોય છે, જ્યાં \(m_0\) એ કણનું સ્થિર દળ છે અને \(m = \frac{m_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}\) એ ગતિશીલ દળ છે.
વળી, \(K = eV\).
તેથી, \(eV = \frac{m_0 c^2}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} - m_0 c^2\).
આ સમીકરણને ફરીથી ગોઠવતા, \(eV + m_0 c^2 = \frac{m_0 c^2}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}\).
\(\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}} = \frac{m_0 c^2}{eV + m_0 c^2}\).
\(1 - \frac{v^2}{c^2} = \left(\frac{m_0 c^2}{eV + m_0 c^2}\right)^2\).
\(\frac{v^2}{c^2} = 1 - \left(\frac{m_0 c^2}{eV + m_0 c^2}\right)^2\).
(આ સમીકરણનો ઉપયોગ કરવો જોઈએ.)
આપણી ગણતરીમાં \(V' = 10^7 \text{ V}\), \(\frac{e}{m_0} = 1.76 \times 10^{11} \text{ C/kg}\), \(m_0 = 9.1 \times 10^{-31} \text{ kg}\), \(c = 3 \times 10^8 \text{ m/s}\).
\(\frac{eV'}{m_0 c^2} = \frac{1.6 \times 10^{-19} \times 10^7}{9.1 \times 10^{-31} \times (3 \times 10^8)^2}\)
\(= \frac{1.6 \times 10^{-12}}{9.1 \times 10^{-31} \times 9 \times 10^{16}}\)
\(= \frac{1.6 \times 10^{-12}}{81.9 \times 10^{-15}}\)
\(= 0.01953 \times 10^3 = 19.53\).
તો \(1 + \frac{eV'}{m_0 c^2} = 1 + 19.53 = 20.53\).
તેથી, \(\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}} = \frac{1}{1 + \frac{eV'}{m_0 c^2}} = \frac{1}{20.53}\).
\(1 - \frac{v^2}{c^2} = \left(\frac{1}{20.53}\right)^2 = \frac{1}{421.48}\).
\(1 - \frac{v^2}{c^2} = 0.00237\).
\(\frac{v^2}{c^2} = 1 - 0.00237 = 0.99763\).
\(v = c \sqrt{0.99763}\)
\(v \approx 0.9988 c\).
આથી, \(v \approx 0.999 \text{ c}\).
In simple words: (a) ઇલેક્ટ્રોનને વોલ્ટેજ આપીને કેટલી ઝડપ મળે છે તે તેની ગતિઊર્જા અને દળ પરથી શોધી શકાય છે. (b) જો વોલ્ટેજ ખૂબ વધારે હોય, તો ઇલેક્ટ્રોનની ઝડપ પ્રકાશની ઝડપની નજીક પહોંચી જાય છે. આ કિસ્સામાં, જૂના સરળ સૂત્રો કામ કરતા નથી અને સાપેક્ષવાદના ખાસ સૂત્રોનો ઉપયોગ કરવો પડે છે, કારણ કે કંઈપણ પ્રકાશની ઝડપથી વધુ ઝડપથી ગતિ કરી શકતું નથી.

🎯 Exam Tip: ઓછા વોલ્ટેજ માટે ક્લાસિકલ ગતિઊર્જાનું સૂત્ર \(\frac{1}{2}mv^2 = eV\) વાપરી શકાય છે. પરંતુ, ઊંચા વોલ્ટેજ અને પ્રકાશની ઝડપની નજીક પહોંચતી ઝડપ માટે સાપેક્ષવાદના સૂત્રો (જેમ કે \(K = mc^2 - m_0c^2\))નો ઉપયોગ કરવો અનિવાર્ય છે. આ તફાવતને સમજવો ખૂબ જ મહત્ત્વપૂર્ણ છે.

Question 21. (a) એક સરખી ઊર્જા ધરાવતા 5,20 × 106 ms-1 જેટલી ઇલેકટ્રોનની ઝડપ ધરાવતા ઇલેક્ટ્રોન બીમ (કિરણાવલિ) પર વેગને લંબરૂપે 1.30 × 10-4T જેટલું ચુંબકીયક્ષેત્ર લગાડેલ છે. આ બીમ વડે આંતરેલા વર્તુળાકાર માર્ગની ત્રિજ્યા કેટલી હશે ? ઇલેક્ટ્રોન માટે \(\frac{e}{m}\) નું મૂલ્ય 1.76 × 1011 C kg-1 આપેલ છે.
(b) શું (a)માં તમે ઉપયોગમાં લીધેલ સૂત્ર, 20 MeV ઇલેકટ્રૉન બીમના માર્ગની ત્રિજ્યાની ગણતરીમાં ઉપયોગ કરી શકો ? જો ના તો, તેમાં શું સુધારો કરવો જોઈએ ? (નોંધ : સ્વાધ્યાય 11,206) અને 11,21(b) તમને સાપેક્ષવાદીય યંત્રશાસ્ત્ર તરફ દોરી જાય છે. જે આ પુસ્તકની મર્યાદા બહાર છે. અહીંયા તેમનો ઉપયોગ કરવાનો આશય એ બાબત તરફ ધ્યાન દોરવાનો છે કે સ્વાધ્યાયના ભાગ (a)માં તમે જે સમીકરણોનો ઉપયોગ કરો છો તે ખૂબ ઊંચી ઝડપ અને ઊર્જાઓ માટે લાગુ પડતા નથી. ખૂબ ઊંચી ઝડપ અને ઊર્જા એટલે શું તે સમજવા માટે અંતમાં આપેલા ઉકેલ જુઓ.)

Answer:
(a) અહીં वेग \( v = 5.20 \times 10^6 \text{ ms}^{-1} \)
ચુંબકીયક્ષેત્ર \( B = 1.30 \times 10^{-4} \text{ T} \)
\( \frac{e}{m} = 1.76 \times 10^{11} \text{ Ckg}^{-1} \)
ઇલેક્ટ્રૉન બીમની ગતિઊર્જા \( K = 20 \text{ MeV} \)
ઇલેક્ટ્રૉનનું દળ \( m = 9.1 \times 10^{-31} \text{ kg} \)
(a) જ્યારે ઇલેક્ટ્રોન ચુંબકીયક્ષેત્રમાં ગતિ કરે છે, ત્યારે કેન્દ્રગામી બળ ચુંબકીય બળથી મળે છે:
\( \frac{mv^2}{r} = Bev \)
\( \implies r = \frac{mv}{Be} = \frac{v}{B(e/m)} \)
\( = \frac{5.20 \times 10^6}{1.30 \times 10^{-4} \times 1.76 \times 10^{11}} \)
\( = 2.2727 \times 10^{-1} \)
\( \implies r \approx 0.227 \text{ m} = 22.7 \text{ cm} \)
(b) અહીં \( K = 20 \text{ MeV} \)
\( \frac{1}{2}mv^2 = 20 \times 10^6 \times 1.6 \times 10^{-19} \text{ J} \)
\( \implies v = \sqrt{\frac{2 \times 20 \times 10^6 \times 1.6 \times 10^{-19}}{m}} \)
\( \implies v = \sqrt{\frac{64 \times 10^{-13}}{9.1 \times 10^{-31}}} = \sqrt{7.033 \times 10^{18}} \)
\( \implies v = 2.65 \times 10^9 \text{ m/s} \)
આમ, ઇલેક્ટ્રૉનની ઝડપ \( v \) પ્રકાશની ઝડપ \( c \) કરતાં વધારે છે.
આ ગણતરી ખોટી છે. ઇલેક્ટ્રોન સાપેક્ષ ઝડપથી ગતિ કરે છે. તેથી, સાપેક્ષ સૂત્ર \( r = \frac{m_0 v}{eB \sqrt{1 - v^2/c^2}} \) વાપરવું જોઈએ.
In simple words: (a) When an electron moves in a magnetic field, it makes a circle. To find the radius, we use the formula where the magnetic force equals the centripetal force. (b) For very fast electrons (20 MeV), our simple formula gives a speed faster than light, which is incorrect. We need a special relativistic formula for such high speeds.

🎯 Exam Tip: Focus on applying the correct force balance (magnetic force = centripetal force) for part (a) and understanding the limitations of classical physics for high-speed particles in part (b).

 

Question 22. 100 V જેટલો કલેક્ટર વોલ્ટેજ ધરાવતી એક ઇલેક્ટ્રોન ગન, નીચા દબાણે [~ 10-2 mm Hg] રહેલા હાઇડ્રોજન વાયુ ભરેલા ગોળાકાર બલ્બમાં ઇલેક્ટ્રોન છોડે છે. 2.83 × 10-4 T જેટલું ચુંબકીયક્ષેત્ર ઇલેક્ટ્રોનના માર્ગને 12.0 cm ત્રિજ્યાની વર્તુળાકાર કક્ષામાં વાળે છે. (આ માર્ગ એટલા માટે જોઈ શકાય છે કે માર્ગમાં આવતા વાયુના આયનો ઇલેક્ટ્રોનને આકર્ષીને બીમને કેન્દ્રિત કરે છે, તથા ઇલેક્ટ્રોન પ્રાપ્ત (Capture) કરીને પ્રકાશનું ઉત્સર્જન કરે છે, આ રીતને ફાઇન બીમ ટ્યૂબ' પદ્ધતિ કહે છે) આપેલ માહિતી પરથી \(\frac{e}{m}\) શોધો.

Answer:
અહીં \( V = 100 \text{ V} \)
\( B = 2.83 \times 10^{-4} \text{ T} \)
\( r = 12 \text{ cm} = 12 \times 10^{-2} \text{ m} \)
જ્યારે ઇલેક્ટ્રોનને \( V \) વોલ્ટ લાગુ પાડીએ તો ઇલેક્ટ્રૉને મેળવેલી ગતિઊર્જા,
\( \frac{1}{2}mv^2 = eV \) ............ (1)
\( \implies v^2 = \frac{2eV}{m} \)
ચુંબકીયક્ષેત્રમાં ઇલેક્ટ્રૉન ગતિ કરે તેથી ઇલેક્ટ્રૉનને કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે,
\( \frac{mv^2}{r} = Bev \)
\( \implies v = \frac{Ber}{m} \)
\( \implies v^2 = \frac{B^2 e^2 r^2}{m^2} \) ............ (2)
સમીકરણ (1) અને (2) પરથી,
\( \frac{2eV}{m} = \frac{B^2 e^2 r^2}{m^2} \)
\( \implies \frac{e}{m} = \frac{2V}{B^2 r^2} \)
\( = \frac{2 \times 100}{(2.83 \times 10^{-4})^2 \times (0.12)^2} \)
\( = 1.73418 \times 10^{11} \)
\( \implies \frac{e}{m} = 1.73 \times 10^{11} \text{ Ckg}^{-1} \)
In simple words: An electron gets energy from voltage and then moves in a circle in a magnetic field. We can use these facts to find the electron's charge divided by its mass.

🎯 Exam Tip: This question combines concepts of electron acceleration by potential difference and magnetic force on a moving charge. Ensure you correctly derive the relationship between \( \frac{e}{m} \) and the given parameters.

 

Question 23. (a) એક ક્ષ-કિરણની ટ્યૂબ સતત વર્ણપટના વિકિરણો ઉત્સર્જિત કરે છે જેમની સૌથી ટૂંકી તરંગલંબાઈ 0.45 Å છે. આ વિકિરણમાં ફોટોનની મહત્તમ ઊર્જા કેટલી હશે ?
(b) તમારા (a)ના જવાબ માટે (ઇલેક્ટ્રોન) ટ્યૂબમાં પ્રવેગક વોલ્ટેજ કેટલા ક્રમનો હોવો જોઈએ ?

Answer:
અહીં X-કિરણની તરંગલંબાઈ,
\( \lambda = 0.45 \times 10^{-10} \text{ m} \)
\( h = 6.63 \times 10^{-34} \text{ Js, } c = 3 \times 10^8 \text{ ms}^{-1} \)
(a) ફોટોનની મહત્તમ ઊર્જા,
\( E = hv = \frac{hc}{\lambda} \)
\( = \frac{6.63 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{0.45 \times 10^{-10}} \)
\( = 44.2 \times 10^{-16} \text{ J} \)
\( E = \frac{44.2 \times 10^{-16}}{1.6 \times 10^{-19}} \text{eV} \)
\( = 27.625 \times 10^3 \text{ eV} \)
\( \implies E \approx 27.6 \text{ keV} \)
(b) 27.6 keV ઇલેક્ટ્રૉનની ઊર્જા મેળવવા પ્રવેગક વોલ્ટેજ 27.6 KV કરતાં વધારે વોલ્ટેજનો લાગુ પાડવો જોઈએ. એટલે કે, આશરે 30 kVના ક્રમનો પ્રવેગક વોલ્ટેજ લાગુ પાડવો જોઈએ.
In simple words: (a) We found the highest energy X-ray photon using its shortest wavelength. (b) The voltage used in the X-ray machine must be strong enough to give electrons this much energy.

🎯 Exam Tip: Remember the relationship \( E = hv = \frac{hc}{\lambda} \) for photon energy and \( E = eV \) for electron acceleration. Pay attention to unit conversions (Joules to eV).

 

Question 24. ઇલેક્ટ્રોનની પોઝિટ્રોન સાથેની ઉચ્ચ ઊર્જા અથડામણો માટેના એક્સિલેટર (પ્રવેગક) પ્રયોગમાં કોઈ ઘટનાનું અર્થઘટન 10.2 BeVની કુલ ઊર્જાના ઇલેક્ટ્રોન-પોઝિટ્રોન જોડકાંના પૂર્ણ નાશ દ્વારા સમાન ઊર્જાના બે γ-કિરણોના ઉત્સર્જન તરીકે થાય છે. દરેક γ-કિરણ સાથે સંકળાયેલી તરંગલંબાઈ કેટલી હશે ? (1 BeV = 10º eV)

Answer:
બે \( \gamma \)-કિરણોની કુલ ઊર્જા = ઇલેકટ્રૉન-પોઝિટ્રોનના જોડકાંની ઊર્જા,
\( = 10.2 \text{ BeV} \)
\( = 10.2 \times 10^9 \text{ eV } [1 \text{ BeV} = 10^9 \text{ eV}] \)
દરેક ફોટોનની ઊર્જા,
\( E = \frac{10.2 \times 10^9 \text{ eV}}{2} = 5.1 \times 10^9 \text{ eV} \)
\( = 5.1 \times 10^9 \times 1.6 \times 10^{-19} \text{ J } [1 \text{ eV} = 1.6 \times 10^{-19} \text{ J}] \)
\( = 8.16 \times 10^{-10} \text{ J} \)
\( \implies E = hv = \frac{hc}{\lambda} \)
\( \implies \lambda = \frac{hc}{E} \)
\( = \frac{6.63 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{8.16 \times 10^{-10}} \)
\( = 2.4375 \times 10^{-16} \text{ m} \)
\( \implies \lambda \approx 2.44 \times 10^{-16} \text{ m} \)
In simple words: An electron and a positron hit each other and make two gamma rays. We found the energy of one gamma ray and then figured out its wavelength using physics rules.

🎯 Exam Tip: This question involves mass-energy equivalence and photon energy calculation. Remember to divide the total energy by two for two gamma rays and convert BeV to Joules before calculating the wavelength.

 

Question 25. નીચેની બે સંખ્યાઓનો અંદાજ મેળવવો રસપ્રદ રહેશે. પહેલી સંખ્યા તમને એ કહેશે કે શા માટે રેડિયો એન્જિનિયરોએ ફોટોન વિશે બહુ ચિંતા કરવી જરૂરી નથી ! બીજી સંખ્યા એ કહેશે કે ભલેને માંડ પારખી શકાય તેટલી તીવ્રતાવાળું પ્રકાશ હોય તો પણ શા માટે આપણી આંખ ક્યારેય ફોટોનની ગણતરી કરી શકતી નથી.

Answer:
અહીં \( \lambda = 500 \text{ m, } P = 10 \text{ kW} = 10^4 \text{ W} \)
\( h = 6.63 \times 10^{-34} \text{Js, } c = 3 \times 10^8 \text{ ms}^{-1} \)
(a) દરેક ફોટોનની ઊર્જા,
\( E = hv \)
\( \implies E = \frac{hc}{\lambda} = \frac{6.63 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{500} \)
\( = 0.0398 \times 10^{-26} \)
\( \implies E \approx 3.98 \times 10^{-28} \text{ J} \)
દર સેકન્ડે ઉત્સર્જાતા ફોટોન \( N = \frac{\text{પાવર}}{\text{એક ફોટોનની ઊર્જા}} \)
\( N = \frac{P}{E} \)
\( = \frac{10^4}{3.98 \times 10^{-28}} \)
\( \approx 2.51 \times 10^{31} \text{ ફોટોન/સેકન્ડ} \)
\( \implies \approx 3.0 \times 10^{31} \text{ ફોટોન/સેકન્ડ} \)
આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે રેડિયો કિરણોના ફોટોનની ઊર્જા ઘણી જ ઓછી છે અને રેડિયો કિરણોના બીમમાં ફોટોન સેકન્ડની સંખ્યા અતિશય મોટી છે. આથી, ફોટોનની લઘુતમ ક્વૉન્ટમ ઊર્જા અવગણીએ તથા રેડિયો તરંગની કુલ ઊર્જાને સતત ધારીએ, તો અવગણ્ય ત્રુટિ ઉદ્ભવે છે.
(b) અહીં \( v = 6 \times 10^{14} \text{ Hz, } h = 6.63 \times 10^{-34} \text{ Js} \)
ફોટોનની ઊર્જા,
\( E = hv = 6.63 \times 10^{-34} \times 6 \times 10^{14} \)
\( = 39.78 \times 10^{-20} \)
\( \implies E \approx 4 \times 10^{-19} \text{ J} \)
લઘુતમ તીવ્રતાને અનુરૂપ ફોટોન ફ્લક્સ,
\( = \frac{10^{-10}}{4 \times 10^{-19}} \)
\( = 2.5 \times 10^2 \text{ m}^{-2}\text{s}^{-1} \)
આંખની કીકીનું ક્ષેત્રફળ \( A = 0.4 \text{ cm}^2 = 0.4 \times 10^{-4} \text{ m}^2 \)
આંખની કીકીમાં એક સેકન્ડમાં દાખલ થતાં ફોટોનની સંખ્યા = ફ્લક્સ \( \times \) ક્ષેત્રફળ
\( = 2.5 \times 10^2 \times 0.4 \times 10^{-4} \)
\( = 1 \times 10^4 \text{ ફોટોન/સેકન્ડ} \)
આ સંખ્યા \( 2.51 \times 10^{31} \) ની કરતાં ઘણી ઓછી હોવા છતાં આંખની ઇન્દ્રિય તેનો અહેસાસ ન કરી શકે તેટલી મોટી છે.
In simple words: (a) For radio waves, we found out how many tiny light packets (photons) are sent out each second. It's a huge number, so we usually think of radio waves as smooth waves, not individual packets. (b) For very dim light that our eyes can barely see, we calculated how many light packets enter our eyes every second. Even though the light is dim, many packets still enter, so our eyes see it as continuous light, not as separate flashes.

🎯 Exam Tip: This problem helps understand the quantum nature of light and when wave or particle models are more appropriate. Ensure correct unit conversions and careful calculation of photon numbers.

 

Question 26. 100 Wના મર્ક્યુરી બલ્બમાંથી નીકળતો 2271 Å તરંગલંબાઈનો અલ્ટ્રાવાયોલેટ પ્રકાશ મોલિબ્ડેનમ ધાતુમાંથી બનેલા ફોટોસેલને પ્રકાશિત કરે છે. જો સ્ટૉપિંગ પોટેન્શિયલ - 1.3V હોય, તો ધાતુનું કાર્યવિધેય શોધો. આ ફોટોસેલ He-Ne લેસરમાંથી ઉત્સર્જાયેલ 6328 Åના ઊંચી તીવ્રતા (~105Wm-2) ધરાવતા લાલ પ્રકાશ પ્રત્યે કેવો પ્રતિભાવ આપશે ?

Answer:
અહીં \( \lambda = 2271 \text{ Å} = 2271 \times 10^{-10} \text{ m} \)
\( V_0 = 1.3 \text{ V, } h = 6.63 \times 10^{-34} \text{ Js, } c = 3 \times 10^8 \text{ ms}^{-1}, 1 \text{ eV} = 1.6 \times 10^{-19} \text{ J} \)
આઇન્સ્ટાઇનના સમીકરણ પરથી,
\( eV_0 = hv - \Phi_0 \)
\( \implies \Phi_0 = hv - eV_0 = \frac{hc}{\lambda} - eV_0 \)
\( \implies \Phi_0 = \frac{hc}{e\lambda} - V_0 \)
\( \Phi_0 = \frac{6.63 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{1.6 \times 10^{-19} \times 2271 \times 10^{-10}} - 1.3 \)
\( \implies \Phi_0 = 0.00547 \times 10^3 - 1.3 \)
\( \implies \Phi_0 = 5.47 - 1.3 \)
\( \implies \Phi_0 = 4.17 \text{ eV} \)
અથવા \( \Phi_0 = 6.672 \times 10^{-19} \text{ J} \)
થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ,
\( v_0 = \frac{\Phi_0}{h} = \frac{6.672 \times 10^{-19}}{6.63 \times 10^{-34}} \)
\( \implies v_0 = 1.0063 \times 10^{15} \text{ Hz} \)
\( \implies v_0 \approx 1 \times 10^{15} \text{ Hz} \)
રાતા પ્રકાશ માટે \( \lambda = 6328 \text{ Å} = 6328 \times 10^{-10} \text{ m} \)
રાતા પ્રકાશની આવૃત્તિ,
\( v = \frac{c}{\lambda} = \frac{3 \times 10^8}{6328 \times 10^{-10}} \)
\( = 0.000474 \times 10^{18} \)
\( \implies v = 4.74 \times 10^{14} \text{ Hz} \)
આમ, \( v < v_0 \) હોવાથી ગમે તેટલી ઊંચી તીવ્રતાવાળા રાતા પ્રકાશથી ફોટોઇલેક્ટ્રિક ઉત્સર્જન મળશે નહીં.
In simple words: We first found how much energy is needed to pull an electron from the metal using UV light and the stopping voltage. Then, we checked if red light has enough energy to do the same. If the red light's energy is less than what's needed, no electrons will come out.

🎯 Exam Tip: This problem tests the understanding of the photoelectric effect and work function. Remember Einstein's photoelectric equation \( K_{max} = hv - \Phi_0 \) and its relation to stopping potential \( eV_0 = K_{max} \). Also, know how to determine if emission will occur based on incident frequency and threshold frequency.

 

Question 27. સિઝિયમનું પ્રકાશ-સંવેદી દ્રવ્ય લગાડેલા ટંગસ્ટન, નિયોન બલ્બમાંથી આવતા 640.2 nm (1nm = 10-9m) તરંગલંબાઈના એકરંગી પ્રકાશ વડે પ્રકાશિત થાય છે. સ્ટૉપિંગ પોટેન્શિયલ 0.54V માપેલ છે. પ્રકાશના આ ઉદ્ગમની જગ્યાએ આયર્ન ઉદ્ગમ મૂકવામાં આવે છે જેની 427.2 nm (તરંગલંબાઈની) વર્ણપટ રેખા આ ફોટોસેલને પ્રકાશિત કરે છે. નવું સ્ટૉપિંગ પોટેન્શિયલ શોધો.

Answer:
નિયૉન બલ્બમાંથી આવતા પ્રકાશની તરંગલંબાઈ,
\( \lambda_1 = 640.2 \text{ nm} = 640.2 \times 10^{-9} \text{ m} \)
આયર્નમાંથી આવતા પ્રકાશની તરંગલંબાઈ,
\( \lambda_2 = 427.2 \text{ nm} = 427.2 \times 10^{-10} \text{ m} \)
\( V_{01} = 0.54 \text{ V, } V_{02} = ? \)
\( h = 6.63 \times 10^{-34} \text{ Js, } c = 3 \times 10^8 \text{ ms}^{-1} \)
\( e = 1.6 \times 10^{-19} \text{ C} \)
ફોટોઇલેક્ટ્રિક સમીકરણ,
\( eV_0 = \frac{hc}{\lambda} - \Phi_0 \)
\( \implies eV_{01} = \frac{hc}{\lambda_1} - \Phi_0 \) અને \( eV_{02} = \frac{hc}{\lambda_2} - \Phi_0 \)
\( eV_{02} - eV_{01} = \frac{hc}{\lambda_2} - \frac{hc}{\lambda_1} \)
\( \implies V_{02} - V_{01} = \frac{hc}{e} \left( \frac{1}{\lambda_2} - \frac{1}{\lambda_1} \right) \)
\( V_{02} = V_{01} + \frac{hc}{e} \left( \frac{1}{\lambda_2} - \frac{1}{\lambda_1} \right) \)
\( = 0.54 + \frac{6.63 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{1.6 \times 10^{-19}} \left( \frac{1}{427.2 \times 10^{-9}} - \frac{1}{640.2 \times 10^{-9}} \right) \)
\( = 0.54 + 12.43125 \times 10^{-7} \times 10^9 \left( \frac{640.2 - 427.2}{640.2 \times 427.2} \right) \)
\( = 0.54 + 12.43 \times 10^2 \times \frac{213}{273493.44} \)
\( = 0.54 + 0.968 \)
\( = 1.508 \)
\( \implies V_{02} \approx 1.51 \text{ V} \)
In simple words: We know how much voltage stops electrons when one color of light shines. We want to find the stopping voltage for a different color of light. We can use the physics rules for both lights, then subtract them to get rid of the metal's property and find the new stopping voltage.

🎯 Exam Tip: This problem is a classic application of Einstein's photoelectric equation to two different scenarios. The key is to recognize that the work function (\( \Phi_0 \)) of the material remains constant. Setting up and solving simultaneous equations efficiently is crucial.

 

Question 28. ફોટોઇલેક્ટ્રિક ઉત્સર્જનના આવૃત્તિ પરના અવલંબન (આધાર, Dependence)ના અભ્યાસ માટે મર્ક્યુરી લેમ્પ યોગ્ય ઉદ્ગમ છે, કારણ કે તે UVથી લઈને દેશ્ય પ્રકાશના વર્ણપટના લાલ છેડા સુધીની ઘણી બધી વર્ણપટરેખાઓ આપે છે. રૂબિડિયમ ફોટોસેલ સાથેના આપણા પ્રયોગ દરમિયાન, મર્ક્યુરી ઉદ્ગમની નીચે આપેલ વર્ણપટરેખાઓનો ઉપયોગ થયો હતો : \( \lambda_1 = 3650 \text{ Å}, \lambda_2 = 4047 \text{ Å}, \lambda_3 = 4358 \text{ Å}, \lambda_4 = 5461 \text{ Å}, \lambda_5 = 6907 \text{ Å} \) તેમને અનુલક્ષીને માપેલા સ્ટૉપિંગ પોટેન્શિયલ અનુક્રમે આ મુજબ છે : \( V_{01} = 1.28 \text{ V, } V_{02} = 0.95 \text{ V, } V_{03} = 0.74\text{V, } V_{04} = 0.16 \text{ V, } V_{05} = 0\text{V} \) પ્લાન્કના અચળાંક hનું મૂલ્ય, આપેલ દ્રવ્ય માટે થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ અને કાર્યવિધેય શોધો. (નોંધ : તમે જોશો કે આપેલ માહિતી પરથી hની ગણતરી કરવા માટે ની જરૂર પડશે (જે તમે 1.6 × 10-19 C લઈ શકો). Na, Li, K વગેરે પર મિલિકને આવા પ્રયોગો કર્યા હતા જેમાં તેમણે (ઓઇલ ડ્રોપ પ્રયોગ-Oil Drop Experiment પરથી) મેળવેલ ના મૂલ્યનો ઉપયોગ કરીને આઇન્સ્ટાઇનના ફોટોઇલેક્ટ્રિક સમીકરણની સત્યતા ચકાસી હતી અને તે સાથે જ hના મૂલ્યનો સ્વતંત્ર અંદાજ આપ્યો હતો.)

Answer:
(a) આવૃત્તિ \( v = \frac{c}{\lambda} \) પરથી,
\( v_1 = \frac{c}{\lambda_1} = \frac{3 \times 10^8}{3650 \times 10^{-10}} = 8.219 \times 10^{14} \text{ Hz} \)
\( v_2 = \frac{c}{\lambda_2} = \frac{3 \times 10^8}{4047 \times 10^{-10}} = 7.412 \times 10^{14} \text{ Hz} \)
\( v_3 = \frac{c}{\lambda_3} = \frac{3 \times 10^8}{4358 \times 10^{-10}} = 6.884 \times 10^{14} \text{ Hz} \)
\( v_4 = \frac{c}{\lambda_4} = \frac{3 \times 10^8}{5461 \times 10^{-10}} = 5.493 \times 10^{14} \text{ Hz} \)
\( v_5 = \frac{c}{\lambda_5} = \frac{3 \times 10^8}{6907 \times 10^{-10}} = 4.343 \times 10^{14} \text{ Hz} \)

λ	v	V0
3650 Å	8.219 × 1014	1.28 V
4047 Å	7.412 × 1014	0.95 V
4358 Å	6.884 × 1014	0.74 V
5461 Å	5.493 × 1014	0.16 V
6907 Å	4.343 × 1014	0.00 V

ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): આ આલેખ \( V_0 \) (સ્ટોપિંગ વોલ્ટેજ) વિરુદ્ધ \( v \) (આવૃત્તિ) નો સંબંધ દર્શાવે છે. જુદા જુદા પ્રકાશ તરંગલંબાઈ માટે ઇલેક્ટ્રોન ઉત્સર્જન થયા બાદ નો સ્ટોપિંગ વોલ્ટેજ દર્શાવવામાં આવ્યો છે, જે એક સીધી રેખા આપે છે.
\( V_0 \to v \) ના આલેખનો ઢાળ, \( = \frac{BC}{AC} \)
\( = \frac{\Delta V_0}{\Delta v} = \frac{1.28 - 0}{(8.2 - 5.0) \times 10^{14}} \)
\( = \frac{1.28}{3.2 \times 10^{14}} = 0.4 \times 10^{-14} \)
\( = 4 \times 10^{-15} \text{ Vs} \)
આઇન્સ્ટાઇનના ફોટોઇલેક્ટ્રિક સમીકરણ,
\( eV_0 = hv - \Phi_0 \)
\( \implies e\Delta V_0 = h\Delta v \) [\( \Phi_0 \) અચળ છે]
\( \implies \frac{\Delta V_0}{\Delta v} = \frac{h}{e} \)
\( \implies h = e \times \frac{\Delta V_0}{\Delta v} \)
\( = 1.6 \times 10^{-19} \times 4.0 \times 10^{-15} \)
\( = 6.4 \times 10^{-34} \text{ Js} \)
(b) થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ,
\( v_0 = 5.0 \times 10^{14} \text{ Hz} \)
જે \( V_0 - v \) ના આલેખ પરથી મળે છે.
કાર્યવિધેય,
\( \Phi_0 = hv_0 \)
\( = 6.63 \times 10^{-34} \times 5 \times 10^{14} \)
\( = 33.15 \times 10^{-20} \text{ J} \)
\( = \frac{33.15 \times 10^{-20}}{1.6 \times 10^{-19}} \)
\( = 2.0718 \text{ eV} \)
\( \implies \approx 2.1 \text{ eV} \)
In simple words: We turn light colors into frequencies. Then we plot how much voltage stops electrons for each frequency. From this graph, we find Planck's constant. Where the line touches the frequency axis, that's the minimum frequency for electrons to come out, which helps us find the metal's work function.

🎯 Exam Tip: This is a comprehensive problem requiring multiple steps: unit conversion, frequency calculation, plotting, calculating slope (which gives \( \frac{h}{e} \)), determining \( h \), finding threshold frequency from the intercept, and then calculating the work function. Accuracy in calculations and understanding the graph's interpretation are key.

 

Question 34.A structure's depth can be understood by its wavelength. Quarks inside protons and neutrons are found at very small distances, roughly 10^-15 m. High-energy electron beams produced by linear accelerators in Stanford, USA, were used in the first experiments to study this structure. Imagine what the energy of the electron beam would be for this purpose? (Rest mass energy of electron = 0.511 MeV)

Answer:The smallest wavelength (\( \lambda \)) needed to explore quarks is \( 10^{-15} \) m. Using the de Broglie wavelength formula \( \lambda = h/p \), we can find the momentum (p) of the electron. Here, Planck's constant \( h = 6.63 \times 10^{-34} \) Js. The momentum \( p = h/\lambda = (6.63 \times 10^{-34}) / (10^{-15}) = 6.63 \times 10^{-19} \) kg ms^-1. The rest mass energy of an electron (\( m_0c^2 \)) is 0.511 MeV, which converts to \( 0.511 \times 10^6 \times 1.6 \times 10^{-19} = 0.8176 \times 10^{-13} \) J. Since the electron's momentum is high, we use the relativistic energy formula: \[ E = \sqrt{p^2c^2 + m_0^2c^4} \] where c is the speed of light (\( 3 \times 10^8 \) m/s). Calculating \( p^2c^2 \): \( (6.63 \times 10^{-19})^2 \times (3 \times 10^8)^2 = (43.9569 \times 10^{-38}) \times (9 \times 10^{16}) = 395.6121 \times 10^{-22} \) J\(^2\). Calculating \( m_0^2c^4 \): \( (0.8176 \times 10^{-13})^2 = 0.66846 \times 10^{-26} \) J\(^2\). Since \( p^2c^2 \) is much larger than \( m_0^2c^4 \), we can approximate \( E \approx pc \). So, \( E = 6.63 \times 10^{-19} \times 3 \times 10^8 = 19.89 \times 10^{-11} \) J. To convert this to BeV, divide by \( 1.6 \times 10^{-10} \) J/BeV: \( E = (19.89 \times 10^{-11}) / (1.6 \times 10^{-10}) = 1.243 \) BeV. The electron's energy from the accelerator should be around 1.24 BeV.
In simple words: To study very tiny parts inside protons and neutrons, electrons need a lot of energy. This energy makes their wavelength small enough to "see" these tiny structures. The calculated energy for the electron beam is about 1.24 BeV.

🎯 Exam Tip: Remember to apply relativistic energy formulas when particle speeds are close to the speed of light, especially for high-energy particles like those used in accelerators. Pay attention to unit conversions between Joules and electron Volts/BeV.

 

Question 35.Calculate the de Broglie wavelength associated with a helium atom at room temperature (27 °C) and 1 atm pressure. Compare it with the average distance between two atoms under these conditions.

Answer:The atomic mass of Helium is 4 g, which is \( 4 \times 10^{-3} \) kg. Given temperature \( T = 27 + 273 = 300 \) K. Boltzmann constant \( k_B = 1.38 \times 10^{-23} \) J mol^-1 K^-1. Avogadro's number \( N_A = 6 \times 10^{23} \). The mass of one Helium atom \( m = (\text{Atomic mass}) / N_A = (4 \times 10^{-3}) / (6 \times 10^{23}) = (2/3) \times 10^{-26} \) kg. The average kinetic energy of a Helium atom at temperature T is given by \( (1/2)mv^2 = (3/2)k_BT \). From this, \( mv^2 = 3k_BT \). Momentum \( p = mv \), so \( p^2 = m^2v^2 = m(mv^2) = m(3k_BT) \). Therefore, \( p = \sqrt{3mk_BT} \). The de Broglie wavelength \( \lambda = h/p = h/\sqrt{3mk_BT} \). Substituting the values: \( \lambda = (6.63 \times 10^{-34}) / \sqrt{3 \times (2/3) \times 10^{-26} \times 1.38 \times 10^{-23} \times 300} \) \( \lambda = (6.63 \times 10^{-34}) / \sqrt{2 \times 10^{-26} \times 1.38 \times 10^{-23} \times 300} \) \( \lambda = (6.63 \times 10^{-34}) / \sqrt{828 \times 10^{-49}} \) \( \lambda = (6.63 \times 10^{-34}) / (90.99 \times 10^{-25}) = 0.0728 \times 10^{-9} \) m \( \approx 0.73 \times 10^{-10} \) m. Now, let's find the average distance between atoms. Using the ideal gas equation for one mole: \( PV = N_Ak_BT \), where R (gas constant) = \( N_Ak_B \). So, \( V/N_A = k_BT/P \). This gives the volume per atom. The average distance 'r' between atoms is roughly the cube root of the volume per atom. \( r = (k_BT/P)^{1/3} \). \( r = ((1.38 \times 10^{-23} \times 300) / (1.01 \times 10^5))^{1/3} \) \( r = (4.099 \times 10^{-27})^{1/3} \) \( \log r = (1/3) \log (40.99 \times 10^{-27}) \) \( \log r = (1/3) (\log 40.99 - 27) = (1/3) (1.6127 - 27) = (1/3) (-25.3873) = -8.4624 \) \( r = 10^{-8.4624} = 3.44 \times 10^{-9} \) m \( \approx 3.4 \times 10^{-9} \) m. Comparing \( \lambda \) and \( r \): \( r \approx 3.4 \times 10^{-9} \) m, while \( \lambda \approx 0.73 \times 10^{-10} \) m. Thus, \( r \) is significantly larger than \( \lambda \). The average distance between atoms is much greater than their de Broglie wavelength.
In simple words: For a helium atom at room temperature, its de Broglie wavelength is very small, about \( 0.73 \times 10^{-10} \) meters. The average space between helium atoms is much larger, about \( 3.4 \times 10^{-9} \) meters. This means atoms are far apart compared to their wave nature.

🎯 Exam Tip: Remember the relationship between kinetic energy and temperature for ideal gases, \( (3/2)k_BT \), to find the momentum for de Broglie wavelength calculations. Ensure correct unit conversions and relativistic considerations if applicable.

 

Question 36.Calculate the de Broglie wavelength of an electron in a metal at 27°C. Compare this with the average distance between two electrons in a metal, which is approximately 2 × 10^-10m. (Note: Exercises 11.35 and 11.36 show that wave packets associated with gas molecules do not overlap under normal conditions, while electron wave packets in metals overlap strongly. This shows that gas molecules can be distinguished from each other, but electrons in metals cannot be distinguished from each other. This indistinguishability leads to many fundamental assumptions that you will learn in higher physics studies.)

Answer:Given temperature \( T = 27 + 273 = 300 \) K. Boltzmann constant \( k_B = 1.38 \times 10^{-23} \) J mol^-1 K^-1. Mass of electron \( m = 9.1 \times 10^{-31} \) kg. Planck's constant \( h = 6.63 \times 10^{-34} \) Js. The average kinetic energy of an electron at temperature T is \( (3/2)k_BT \). So, the momentum \( p = \sqrt{3mk_BT} \). The de Broglie wavelength of the electron \( \lambda = h/p = h/\sqrt{3mk_BT} \). Substituting the values: \( \lambda = (6.63 \times 10^{-34}) / \sqrt{3 \times 9.1 \times 10^{-31} \times 1.38 \times 10^{-23} \times 300} \) \( \lambda = (6.63 \times 10^{-34}) / \sqrt{11302.2 \times 10^{-54}} \) \( \lambda = (6.63 \times 10^{-34}) / (106.31 \times 10^{-27}) = 0.06236 \times 10^{-7} \) m \( \approx 6.2 \times 10^{-9} \) m. The average distance between two electrons in a metal is given as \( r = 2 \times 10^{-10} \) m. Now, compare \( \lambda \) and \( r \): \( \lambda/r = (6.2 \times 10^{-9}) / (2 \times 10^{-10}) = 31 \). So, the de Broglie wavelength of an electron is 31 times larger than the average distance between two electrons in a metal.
In simple words: The wave-like size (de Broglie wavelength) of an electron in a metal at room temperature is about \( 6.2 \times 10^{-9} \) meters. This is much bigger than the average space between electrons, which is about \( 2 \times 10^{-10} \) meters. This big overlap means electrons in metals cannot be told apart.

🎯 Exam Tip: Pay close attention to distinguishing between atoms and electrons when applying thermal energy and de Broglie wavelength formulas. Remember that the average distance between electrons in a metal is small, leading to significant wave function overlap.

 

Question 37.Answer the questions given below: (a) Quarks are believed to have charges of \( (+2/3)e \) and \( (-1/3)e \). Why were such charges not observed in Millikan's experiment? (b) What is so special about \( e/m \) in a combination? Why do we talk about it alone? Why not about \( m \) alone? (c) Why do gases become insulators at normal pressure and conductors at very low pressure? (d) Every metal has a specific work function. If the incident light is monochromatic, why do all photoelectrons not come out with the same energy? Why do photoelectrons have an energy distribution? (e) The energy and momentum of an electron are related to the frequency and wavelength of the associated matter wave by these equations: \( E = hv, p = h/\lambda \). Even though \( \lambda \) has physical significance, the value of \( \nu \) (and thus the phase velocity, \( \lambda \nu \)) does not have any physical significance. Why?

Answer:(a) Quarks are thought to be bound by forces within protons or neutrons in such a way that these forces increase when attempts are made to separate them. Therefore, it appears that fractional charges exist in nature but are only observable as integer multiples of 'e' (the elementary charge). (b) The fundamental equations for electric fields \( eE = ma \) or \( eV = (1/2)mv^2 \) and for magnetic fields show that the electron's dynamics are determined by the combination \( e/m \), not by 'e' or 'm' independently. (c) At low pressures, ions have a chance to reach their respective electrodes and form a current. At normal pressures, collisions between gas molecules and recombination prevent them from reaching the electrodes. (d) The work function indicates the minimum energy needed to remove electrons from the highest energy level of the conduction band in a metal. Not all electrons in the metal are at this highest energy level; they occupy continuous bands of energy levels. Consequently, incident radiation can eject electrons from various energy levels, resulting in a distribution of kinetic energies for the emitted photoelectrons. (e) The absolute energy E (but not momentum p) of any particle can have an arbitrary constant added to it. Therefore, even though \( \lambda \) has physical significance, the absolute value of the electron's matter wave frequency \( \nu \) (directly) does not have any physical significance. Similarly, the phase velocity also has no physical significance. The group velocity, however, does have physical significance, as it equals the particle's speed.
In simple words: (a) Quarks have fractional charges but are so tightly bound that we only see whole charges like 'e'. (b) \( e/m \) is special because electric and magnetic forces on electrons depend on this ratio, not 'e' or 'm' alone. (c) Gases conduct electricity better at low pressure because particles can move freely without hitting each other often. (d) Not all electrons in a metal have the same energy; some need more energy to escape. So, when light hits a metal, electrons come out with different energies. (e) While the wavelength of an electron's wave is important, its frequency alone isn't because the starting point of energy can change without affecting its motion.

🎯 Exam Tip: For multi-part questions, ensure each part is addressed comprehensively. For conceptual questions, provide clear and concise explanations, connecting them to fundamental physical principles. Always define terms like work function and de Broglie wavelength in your answers.

 

Gseb Class 12 Physics વિકિરણ અને દ્રવ્યની દ્વૈત પ્રકૃતિ Ncert Exemplar Questions And Answers

બહુવિકલ્પ પ્રશ્નોત્તર (MCQ-I)

 

Question 1.A particle is dropped from a height H. Its de Broglie wavelength depends on height as............ (A) H (B) H^1/2(C) H⁰(D) H^-1/2

Answer: (D) H^-1/2The equation for constant acceleration is \( v^2 - v_0^2 = 2ad \). For a particle falling freely, \( v_0 = 0 \), acceleration \( a = -g \), and distance \( d = -H \). So, \( v^2 - 0 = 2(-g)(-H) \), which simplifies to \( v^2 = 2gH \). The final velocity as the particle reaches the ground is \( v = \sqrt{2gH} \). The de Broglie wavelength (\( \lambda \)) for a particle is given by \( \lambda = h/(mv) \), where h is Planck's constant, m is the mass, and v is the velocity. Substituting the value of v: \( \lambda = h/(m\sqrt{2gH}) \). Since h, m, g are constants, \( \lambda \) is proportional to \( 1/\sqrt{H} \), or \( \lambda \propto H^{-1/2} \).
In simple words: When a particle falls from a height, its speed increases. The de Broglie wavelength is smaller for faster particles. Since the speed depends on the square root of the height it falls from, the wavelength is inversely proportional to the square root of the height, meaning \( H^{-1/2} \).

🎯 Exam Tip: Remember to relate the de Broglie wavelength to the particle's velocity and then use kinematic equations to express velocity in terms of height for falling objects. The inverse square root relationship with height is key.

 

Question 2.A proton in a nucleus is bound by 1 MeV energy. The wavelength of the proton required to remove it from the nucleus is approximately (A) 1.2 nm (B) 1.2 x 10^-3 nm (C) 1.2 x 10^-6 nm (D) 1.2 x 10^-1 nm

Answer: (B) 1.2 x 10^-3 nmFor a photon to remove a proton from the nucleus, the photon's energy (\( E_p \)) must be greater than or equal to the binding energy of the proton (\( |E| \)). So, \( E_p \geq |E| \). The minimum energy is \( (E_p)_{min} = |E| \). The binding energy \( |E| = 1 \) MeV \( = 1 \times 10^6 \) eV \( = 1 \times 10^6 \times 1.6 \times 10^{-19} \) J. The energy of a photon is given by \( E = hc/\lambda \). Therefore, \( \lambda = hc/|E| \). Using Planck's constant \( h = 6.625 \times 10^{-34} \) Js and speed of light \( c = 3 \times 10^8 \) m/s: \( \lambda = (6.625 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8) / (1 \times 10^6 \times 1.6 \times 10^{-19}) \) \( \lambda = (19.875 \times 10^{-26}) / (1.6 \times 10^{-13}) = 12.42 \times 10^{-13} \) m. Converting to nm: \( \lambda = 1.242 \times 10^{-12} \) m \( = 1.242 \times 10^{-3} \times 10^{-9} \) m \( = 1.242 \times 10^{-3} \) nm.
In simple words: To free a proton from a nucleus, a photon needs to hit it with enough energy. The wavelength of this photon is very small, about \( 1.2 \times 10^{-3} \) nanometers, because high-energy photons have short wavelengths.

🎯 Exam Tip: Remember to use the formula \( E = hc/\lambda \) for photon energy and correctly convert energy units (MeV to Joules) for calculations. Precision in scientific notation is crucial for wavelength determination.

 

Question 3.An electron beam (each electron having energy \( E_0 \)) is incident on a metal surface placed in a vacuum chamber. (A) Electrons will not be emitted, as only photons emit electrons. (B) Electrons will be emitted, but all will have energy \( E_0 \). (C) Electrons will be emitted with any energy, with maximum energy \( E_0 - \Phi \) (where \( \Phi \) is the work function/threshold energy). (D) Electrons will be emitted with any energy, with maximum energy \( E_0 \).

Answer: (D) Electrons will be emitted with any energy, with maximum energy \( E_0 \).When incident electrons collide with electrons in the metal, the collision type determines how energy is distributed. In a perfectly elastic collision, the entire energy \( E_0 \) can be transferred, meaning electrons can be emitted with a maximum energy of \( E_0 \). In other cases, they can be emitted with any energy less than \( E_0 \). This emission happens instantly, unlike wave-theory predictions that suggest a time delay.
In simple words: When an electron beam hits a metal, electrons can come out. They can have any energy up to the energy of the hitting electron (\( E_0 \)), but not more. The highest energy an emitted electron can have is \( E_0 \).

🎯 Exam Tip: Understand that in electron-electron collisions, energy transfer can be partial or complete. The maximum kinetic energy of an emitted electron cannot exceed the energy of the incident electron, \( E_0 \). Unlike the photoelectric effect with photons, the work function isn't directly subtracted from the incident electron's energy in this scenario.

 

Question 4.Consider Figure 11.7 in your Class XII Physics textbook. Suppose the voltage applied to A is increased. What will be the value of \( \theta \) for the maximum of the diffracted beam?
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र डेविसन-जर्मर प्रयोग सेटअप को दर्शाता है। इसमें एक इलेक्ट्रॉन गन (L.T.) से इलेक्ट्रॉन किरण पुंज (A) निकलती है, जो निकल क्रिस्टल (लक्ष्य) पर टकराती है। डिफ्रेक्टेड इलेक्ट्रॉन किरण पुंज को एक चल संसूचक (कलेक्टर F) द्वारा गैल्वेनोमीटर से मापा जाता है। पूरा सेटअप एक वैक्यूम चैंबर में है। (A) will be greater than the previous value. (B) will be equal to the previous value. (C) will be less than the previous value. (D) will depend on the target.

Answer: (C) will be less than the previous value.The de Broglie wavelength associated with an electron accelerated by a voltage V is given by \( \lambda = 12.27/\sqrt{V} \) Å. For the central maximum of the diffracted electrons, the condition is \( 2d\sin\theta = n\lambda \). If the voltage V increases, \( \sqrt{V} \) increases, so \( \lambda \) decreases. As \( \lambda \) decreases, \( \sin\theta \) must also decrease to maintain the condition \( 2d\sin\theta = n\lambda \) (assuming n and d are constant). Since \( \sin\theta \) decreases, \( \theta \) will also decrease.
In simple words: When the voltage for the electrons is increased, the electrons move faster and their wave-like size (wavelength) becomes smaller. For the diffracted beam, a smaller wavelength means the angle of the main bright spot will decrease.

🎯 Exam Tip: Remember the relationship between accelerating voltage and de Broglie wavelength: \( \lambda \propto 1/\sqrt{V} \). Also, recall Bragg's law or similar diffraction conditions (\( 2d\sin\theta = n\lambda \)). An increase in voltage leads to a decrease in wavelength, which in turn reduces the diffraction angle \( \theta \).

 

Question 5.Protons, neutrons, electrons, and alpha particles have the same energy. Their de Broglie wavelengths can be compared as follows: (A) \( \lambda_p = \lambda_n > \lambda_e > \lambda_\alpha \) (B) \( \lambda_\alpha < \lambda_p = \lambda_n < \lambda_e \) (C) \( \lambda_e < \lambda_p = \lambda_n > \lambda_\alpha \) (D) \( \lambda_e = \lambda_p = \lambda_n = \lambda_\alpha \)

Answer: (B) \( \lambda_\alpha < \lambda_p = \lambda_n < \lambda_e \)The de Broglie wavelength is given by \( \lambda = h/p = h/\sqrt{2mK} \), where K is the kinetic energy. Since the kinetic energy (K) is the same for all particles, the wavelength \( \lambda \) is inversely proportional to \( \sqrt{m} \). So, \( \lambda \propto 1/\sqrt{m} \). The masses are: Mass of electron \( m_e \approx 9.1 \times 10^{-31} \) kg Mass of proton \( m_p \approx 1.67 \times 10^{-27} \) kg Mass of neutron \( m_n \approx 1.67 \times 10^{-27} \) kg (so \( m_p = m_n \)) Mass of alpha particle \( m_\alpha \approx 4 \times m_p = 4 \times 1.67 \times 10^{-27} \) kg. Comparing the masses: \( m_e < m_p = m_n < m_\alpha \). Since \( \lambda \propto 1/\sqrt{m} \), the order of wavelengths will be the reverse of the order of masses: \( \lambda_e > \lambda_p = \lambda_n > \lambda_\alpha \). Alternatively, \( \lambda_\alpha < \lambda_p = \lambda_n < \lambda_e \).
In simple words: All these particles have the same energy. The de Broglie wavelength is shorter for heavier particles. Since electrons are the lightest and alpha particles are the heaviest, electrons will have the longest wavelength, and alpha particles will have the shortest. Protons and neutrons have almost the same mass, so their wavelengths will be equal.

🎯 Exam Tip: Remember the inverse relationship between de Broglie wavelength and the square root of mass when kinetic energy is constant. A clear understanding of the relative masses of subatomic particles is essential to correctly rank their wavelengths.

 

Question 6.An electron moves in a uniform magnetic field \( \overrightarrow{B} = B_0\hat{j} \) with an initial velocity \( \overrightarrow{v} = v_0\hat{i} \). Its de Broglie wavelength (A) will remain constant. (B) will increase with time. (C) will decrease with time. (D) will increase and decrease periodically.

Answer: (A) will remain constant.The magnetic force on the electron is given by \( \overrightarrow{F_m} = e(\overrightarrow{v} \times \overrightarrow{B}) \). Given \( \overrightarrow{v} = v_0\hat{i} \) and \( \overrightarrow{B} = B_0\hat{j} \). So, \( \overrightarrow{F_m} = e(v_0\hat{i} \times B_0\hat{j}) = eB_0v_0(\hat{i} \times \hat{j}) = eB_0v_0\hat{k} \). This magnetic force is perpendicular to the velocity of the electron. A magnetic force always acts perpendicular to the velocity of the charged particle, thus it changes the direction of motion but not the speed (and hence kinetic energy). Since the speed \( v_0 \) remains constant, the momentum \( p = mv_0 \) also remains constant. The de Broglie wavelength \( \lambda = h/p = h/(mv_0) \). As h, m, and \( v_0 \) are constant, \( \lambda \) will remain constant.
In simple words: When an electron moves in a magnetic field, the field only pushes it sideways, changing its path but not how fast it moves. Since its speed stays the same, its wave-like size (de Broglie wavelength) also stays the same.

🎯 Exam Tip: A key principle is that a magnetic force does no work on a charged particle, meaning it cannot change the particle's kinetic energy or speed. Therefore, if only a magnetic field is present, the de Broglie wavelength, which depends on momentum (and thus speed), remains constant.

 

Question 7.An electron (mass m) is in an electric field \( \overrightarrow{E} = -E_0\hat{i} \) (\( E_0 = \text{constant} > 0 \)) with an initial velocity \( \overrightarrow{v} = v_0\hat{i} \) (\( v_0 > 0 \)). Its de Broglie wavelength at time t can be given by (A) \( \lambda_0/(1 + (eE_0/m)(t/v_0)) \) (B) \( \lambda_0(1 + (eE_0t)/(mv_0)) \) (C) \( \lambda_0 \) (D) \( \lambda_0t \)

Answer: (A) \( \lambda_0/(1 + (eE_0/m)(t/v_0)) \)The force on the electron due to the electric field is \( \overrightarrow{F} = q\overrightarrow{E} = (-e)(-E_0\hat{i}) = eE_0\hat{i} \). Since the force is constant, the electron undergoes constant acceleration. Using the equation for constant acceleration, \( \overrightarrow{v_t} = \overrightarrow{v} + \overrightarrow{a}t \). Here, \( \overrightarrow{v} = v_0\hat{i} \) and \( \overrightarrow{a} = \overrightarrow{F}/m = (eE_0/m)\hat{i} \). So, \( \overrightarrow{v_t} = v_0\hat{i} + (eE_0/m)t\hat{i} = (v_0 + (eE_0t/m))\hat{i} \). The magnitude of the velocity at time t is \( v_t = v_0 + (eE_0t/m) \). The de Broglie wavelength at time t is \( \lambda_t = h/(mv_t) \). The initial de Broglie wavelength is \( \lambda_0 = h/(mv_0) \). So, \( \lambda_t = h/(m(v_0 + eE_0t/m)) = h/(mv_0(1 + eE_0t/(mv_0))) \). \( \lambda_t = (h/(mv_0)) / (1 + (eE_0/m)(t/v_0)) = \lambda_0 / (1 + (eE_0/m)(t/v_0)) \).
In simple words: An electron moving in an electric field speeds up. As it gets faster, its wave-like size (de Broglie wavelength) gets smaller. The formula shows how this wavelength shrinks over time due to the electron's increasing speed.

🎯 Exam Tip: This problem combines kinematics (constant acceleration) with the de Broglie wavelength concept. First, determine the velocity as a function of time using the electric force. Then, substitute this time-dependent velocity into the de Broglie wavelength formula. Initial wavelength \( \lambda_0 \) is used for simplification.

 

Question 8.An electron (mass m) is in an electric field \( \overrightarrow{E} = -E_0\hat{j} \) with an initial velocity \( \overrightarrow{v} = v_0\hat{i} \). If \( \lambda_0 = h/(mv_0) \), then its de Broglie wavelength at time t can be given by (A) \( \lambda_0 \) (B) \( \lambda_0 \sqrt{1 + (e^2E_0^2t^2)/(m^2v_0^2)} \) (C) \( \lambda_0 / \sqrt{1 + (e^2E_0^2t^2)/(m^2v_0^2)} \) (D) \( \lambda_0 / (1 + (e^2E_0^2t^2)/(m^2v_0^2)) \)

Answer: (C) \( \lambda_0 / \sqrt{1 + (e^2E_0^2t^2)/(m^2v_0^2)} \)The force on the electron due to the electric field is \( \overrightarrow{F} = q\overrightarrow{E} = (-e)(-E_0\hat{j}) = eE_0\hat{j} \). The initial velocity is \( \overrightarrow{v} = v_0\hat{i} \). Since the force is in the y-direction and the initial velocity is in the x-direction, the motion is parabolic. The acceleration is \( \overrightarrow{a} = \overrightarrow{F}/m = (eE_0/m)\hat{j} \). The velocity at time t is \( \overrightarrow{v_t} = \overrightarrow{v} + \overrightarrow{a}t = v_0\hat{i} + (eE_0/m)t\hat{j} \). The magnitude of the velocity at time t is \( v_t = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \sqrt{v_0^2 + ((eE_0/m)t)^2} \). The de Broglie wavelength at time t is \( \lambda_t = h/(mv_t) \). Substitute \( v_t \): \( \lambda_t = h/(m\sqrt{v_0^2 + (eE_0t/m)^2}) \). Factor out \( v_0 \) from the square root: \( \lambda_t = h/(m v_0 \sqrt{1 + ((eE_0t/m)/v_0)^2}) = h/(m v_0 \sqrt{1 + (e^2E_0^2t^2)/(m^2v_0^2)}) \). Since \( \lambda_0 = h/(mv_0) \), we get: \( \lambda_t = \lambda_0 / \sqrt{1 + (e^2E_0^2t^2)/(m^2v_0^2)} \).
In simple words: An electron moves in an electric field that pushes it sideways, while it also moves forward. This makes its path curved. Because the electric field makes the electron speed up, its wave-like size (de Broglie wavelength) gets smaller over time. The formula shows how the initial wavelength is divided by a factor related to this increasing speed.

🎯 Exam Tip: For problems involving perpendicular initial velocity and electric field, treat the motion as two independent components. Calculate the velocity components in x and y directions, find the magnitude of the resultant velocity, and then use it in the de Broglie wavelength formula. Remember that \( \lambda_0 \) is the initial wavelength.

 

બહુવિકલ્પ પ્રશ્નોત્તર (MCQ-II)

 

Question 1.The kinetic energy equation \( (1/2)mv^2 \) can be compared with \( mc^2 \), where m is the particle's mass. When does a relativistic correction to the de Broglie wavelength of an electron become significant? (A) \( \lambda = 10 \) nm (B) \( \lambda = 10^{-1} \) nm (C) \( \lambda = 10^{-4} \) nm (D) \( \lambda = 10^{-6} \) nm

Answer: (C, D)A relativistic correction becomes significant when the particle's velocity (v) approaches the speed of light (c). This happens when the kinetic energy is comparable to the rest mass energy (\( mc^2 \)). Let's consider the maximum speed of an electron to be approximately c. The minimum de Broglie wavelength (\( \lambda_{min} \)) for an electron with speed approaching c is given by \( \lambda_{min} = h/(mc) \). Using Planck's constant \( h = 6.625 \times 10^{-34} \) Js, mass of electron \( m = 9.1 \times 10^{-31} \) kg, and speed of light \( c = 3 \times 10^8 \) m/s: \( \lambda_{min} = (6.625 \times 10^{-34}) / (9.1 \times 10^{-31} \times 3 \times 10^8) \) \( \lambda_{min} = (6.625 \times 10^{-34}) / (27.3 \times 10^{-23}) = 0.2427 \times 10^{-11} \) m. Converting to nm: \( \lambda_{min} = 0.002427 \times 10^{-9} \) m \( \approx 0.002427 \) nm. Relativistic effects become important when \( \lambda \) is comparable to or smaller than \( \lambda_{min} \). The given options are: (A) \( \lambda = 10 \) nm (B) \( \lambda = 0.1 \) nm (C) \( \lambda = 10^{-4} \) nm (D) \( \lambda = 10^{-6} \) nm Comparing these with \( \lambda_{min} \approx 0.002427 \) nm, options (C) and (D) are smaller than \( \lambda_{min} \). This implies that for these wavelengths, the electron's speed would need to be greater than c if calculated non-relativistically, which is incorrect. Therefore, relativistic corrections are needed.
In simple words: When an electron moves so fast that its speed is close to the speed of light, we need to use special rules (relativistic corrections) for its wave-like size (de Broglie wavelength). This happens when its wavelength is extremely small, roughly less than \( 0.002427 \) nanometers. So, for wavelengths like \( 10^{-4} \) nm and \( 10^{-6} \) nm, relativistic effects are important.

🎯 Exam Tip: Relativistic corrections are crucial when a particle's kinetic energy is a significant fraction of its rest mass energy, or when its de Broglie wavelength is very small (approaching \( h/mc \)). Understand that classical mechanics breaks down under these conditions, and you must use relativistic formulas for accurate results.

 

Question 2.Particles A1 and A2 with masses \( m_1 \) and \( m_2 \) (\( m_1 > m_2 \)) have the same de Broglie wavelength. Therefore, (A) Their momenta will be the same. (B) Their energies will be the same. (C) The energy of A1 will be less than the energy of A2. (D) The energy of A1 will be greater than the energy of A2.

Answer: (A, C)The de Broglie wavelength is given by \( \lambda = h/p \). Since the de Broglie wavelength \( \lambda \) is the same for both particles, their momenta (p) must also be the same. So, \( p_1 = p_2 \) (Option A is correct). The kinetic energy K is given by \( K = p^2/(2m) \). Since \( p \) is the same for both particles, \( K \propto 1/m \). Given \( m_1 > m_2 \). Therefore, \( K_1 < K_2 \). So, the energy of A1 will be less than the energy of A2 (Option C is correct).
In simple words: If two particles have the same wave-like size (de Broglie wavelength), it means they have the same push (momentum). But if one particle is heavier than the other, the heavier one will have less energy because energy also depends on mass. So, the heavier particle (A1) has less energy than the lighter particle (A2).

🎯 Exam Tip: Always start with the fundamental de Broglie relationship \( \lambda = h/p \). If \( \lambda \) is constant, \( p \) is constant. Then use \( K = p^2/(2m) \) to relate kinetic energy to mass. An inverse relationship exists between kinetic energy and mass when momentum is constant.

 

Question 3.The de Broglie wavelength of a proton is twice the de Broglie wavelength of an electron. If the electron's speed is \( v_e = c/100 \), then (A) \( E_e/E_p = 10^{-4} \) (B) \( E_e/E_p = 10^{-2} \) (C) \( P_e/m_ec = 10^{-2} \) (D) \( P_e/m_ec = 10^{-4} \)

Answer: (B, C)Given \( \lambda_p = 2\lambda_e \) and \( v_e = c/100 \). For a photon, \( E_p = hc/\lambda_p \). For an electron, \( E_e = h^2/(2m_e\lambda_e^2) \) (if non-relativistic) or \( E_e = p_e^2/(2m_e) \). From \( \lambda = h/p \), we have \( p_e = h/\lambda_e \) and \( p_p = h/\lambda_p \). Given \( \lambda_p = 2\lambda_e \), so \( p_p = h/(2\lambda_e) = p_e/2 \). Momentum of electron \( P_e = m_e v_e \). So \( P_e/m_ec = (m_e v_e)/(m_e c) = v_e/c = (c/100)/c = 10^{-2} \). (Option C is correct). Energy of electron \( E_e = (1/2)m_e v_e^2 \). Energy of proton \( E_p = (1/2)m_p v_p^2 \). We know \( P_e = h/\lambda_e \) and \( P_p = h/\lambda_p = h/(2\lambda_e) = P_e/2 \). \( E_e = P_e^2/(2m_e) \) and \( E_p = P_p^2/(2m_p) = (P_e/2)^2/(2m_p) = P_e^2/(8m_p) \). So, \( E_e/E_p = (P_e^2/(2m_e)) / (P_e^2/(8m_p)) = 8m_p/(2m_e) = 4m_p/m_e \). This ratio is very large, not \( 10^{-4} \) or \( 10^{-2} \). So (A) and (B) are incorrect as stated for electron and proton kinetic energies. Let's consider the problem statement carefully. It says "de Broglie wavelength of a proton is twice the de Broglie wavelength of an electron". The options talk about E_e/E_p and P_e/(m_e c). If E is the energy of a photon, then \( E = hc/\lambda \). If it's asking for a general particle for "Energy ratio of electron to photon", then it's poorly phrased. Let's re-evaluate (B) assuming \( E_e \) and \( E_p \) refer to the total relativistic energy. However, usually in these types of problems, E refers to kinetic energy. Let's assume the question implicitly compares the electron's kinetic energy to a photon's energy, or just the ratio of electron energy to proton energy, where the proton also has kinetic energy. If \( \lambda_p = 2\lambda_e \), then \( p_p = h/\lambda_p = h/(2\lambda_e) = p_e/2 \). \( E_e/E_p = (p_e^2/(2m_e)) / (p_p^2/(2m_p)) = (p_e^2/(2m_e)) / ((p_e/2)^2/(2m_p)) = (p_e^2/(2m_e)) / (p_e^2/(8m_p)) = 4m_p/m_e \). This ratio is approx \( 4 \times (1836) \approx 7344 \). So (A) and (B) are incorrect. However, if \( E_e \) and \( E_p \) are for different contexts (e.g., \( E_e \) is electron kinetic energy, and \( E_p \) is photon energy), then it needs clarification. Let's re-examine if the options are for different quantities. (C) \( P_e/(m_e c) = v_e/c = (c/100)/c = 10^{-2} \). This is correct. (B) \( E_e/E_p = 10^{-2} \). This is likely a typo in the question or options, as the direct ratio of kinetic energies is not \( 10^{-2} \). Perhaps \( E_e \) is the electron's kinetic energy and \( E_p \) is a different energy. The question is structured like an MCQ where multiple options can be correct. Given \( \lambda_p = 2\lambda_e \). We established (C) \( P_e/(m_e c) = 10^{-2} \) is correct. Let's check if (B) can be correct in some other interpretation. If \( E_p \) refers to the energy of a photon whose wavelength is \( \lambda_p \). And \( E_e \) is the kinetic energy of the electron. Then \( E_p = hc/\lambda_p = hc/(2\lambda_e) \). \( E_e = (1/2)m_e v_e^2 = (1/2)m_e (c/100)^2 = (1/2)m_e c^2 / 10000 \). \( \lambda_e = h/(m_e v_e) = h/(m_e c/100) = 100h/(m_e c) \). So \( h/\lambda_e = m_e c/100 \). \( E_p = (1/2)c(m_e c/100) = m_e c^2/200 \). Then \( E_e/E_p = ((1/2)m_e c^2 / 10000) / (m_e c^2/200) = (1/10000) \times 200 = 2/100 = 1/50 = 0.02 = 10^{-2} \). This interpretation makes (B) correct. The question uses \( E_p \) for proton's de Broglie wavelength, which usually means the energy of the proton. But here it seems to implicitly refer to photon energy. This is a common ambiguity in physics questions unless explicitly stated. Given it's a multiple choice, it's possible this interpretation is intended.
In simple words: The proton's wave-like size is twice that of the electron. If the electron's speed is \( c/100 \), then the ratio of the electron's momentum divided by its mass and the speed of light is \( 10^{-2} \). Also, the ratio of the electron's energy to a photon's energy (with the proton's wavelength) is \( 10^{-2} \).

🎯 Exam Tip: Pay attention to the distinction between particle energy (kinetic or total) and photon energy, especially when a question uses generic 'E' for different particles. In MCQs with potentially ambiguous terms, consider interpretations that make the options consistent with physics principles and the given data. Here, the electron's speed makes a direct calculation of \( P_e/(m_e c) \) straightforward. The ratio \( E_e/E_p \) likely refers to electron kinetic energy and the energy of a photon with the proton's de Broglie wavelength.

 

Question 4.A source emits light of 20W with wavelength 5000 Å and illuminates a metal surface at 2 m distance. Assume the metal surface has a work function of 2 eV and each atom on the surface behaves as a circular disc with radius 1.5 Å. (i) Estimate the number of photons emitted per second by the bulb. (Assume no other energy loss.) (ii) Will photoelectric emission occur here? (iii) How much time will it take for the disc to receive energy equal to the work function (2 eV)? (iv) How many photons will the atomic disc receive during the time calculated in (iii)? (v) Can you explain why the photoelectric effect is observed instantaneously? (Hint: In part (iii), you calculated the time assuming a classical consideration, now assume the target surface area is 1 cm\(^2\) and estimate what happens.)

Answer:(i) The power of the bulb \( P = 20 \) W. The wavelength of light \( \lambda = 5000 \) Å \( = 5000 \times 10^{-10} \) m. Planck's constant \( h = 6.625 \times 10^{-34} \) Js, speed of light \( c = 3 \times 10^8 \) m/s. The energy of one photon \( E = hc/\lambda \). \( E = (6.625 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8) / (5000 \times 10^{-10}) = (19.875 \times 10^{-26}) / (5 \times 10^{-7}) = 3.975 \times 10^{-19} \) J. The number of photons emitted per second \( n' = P/E \). \( n' = 20 / (3.975 \times 10^{-19}) \approx 5.03 \times 10^{19} \) photons/second. (ii) The energy of the incident photon \( E = 3.975 \times 10^{-19} \) J. Converting to eV: \( E = (3.975 \times 10^{-19}) / (1.6 \times 10^{-19}) = 2.484 \) eV \( \approx 2.49 \) eV. The work function of the metal \( \Phi_0 = 2 \) eV. Since \( E > \Phi_0 \) (2.49 eV > 2 eV), photoelectric emission will occur. (iii) The atomic disc is at a distance \( d = 2 \) m from the bulb. The surface area of the spherical wavefront at distance d is \( A = 4\pi d^2 \). The intensity of light at 2 m distance is \( I = P/A = P/(4\pi d^2) = 20 / (4\pi(2)^2) = 20 / (16\pi) = 5/(4\pi) \) W/m\(^2\). The area of the atomic disc is \( A_{atom} = \pi r^2 \), where \( r = 1.5 \) Å \( = 1.5 \times 10^{-10} \) m. \( A_{atom} = \pi (1.5 \times 10^{-10})^2 = 2.25\pi \times 10^{-20} \) m\(^2\). The rate at which energy is absorbed by one atomic disc is \( P_{atom} = I \times A_{atom} \). \( P_{atom} = (5/(4\pi)) \times (2.25\pi \times 10^{-20}) = (5 \times 2.25/4) \times 10^{-20} = 2.8125 \times 10^{-20} \) W. The energy required for one atomic disc to reach the work function is \( E_{work} = 2 \) eV \( = 2 \times 1.6 \times 10^{-19} = 3.2 \times 10^{-19} \) J. The time required for one atomic disc to absorb this energy is \( t = E_{work}/P_{atom} \). \( t = (3.2 \times 10^{-19}) / (2.8125 \times 10^{-20}) \approx 11.38 \) s. (iv) The number of photons received by the atomic disc in time t. The number of photons incident per second on the spherical wavefront at 2m is \( n' = 5.03 \times 10^{19} \) photons/s. The fraction of the spherical wavefront covered by the atomic disc is \( f = A_{atom}/A = (\pi r^2) / (4\pi d^2) = r^2/(4d^2) \). \( f = (1.5 \times 10^{-10})^2 / (4 \times (2)^2) = (2.25 \times 10^{-20}) / 16 = 0.140625 \times 10^{-20} \). The number of photons received by one atomic disc per second is \( n_{atom} = n' \times f \). \( n_{atom} = (5.03 \times 10^{19}) \times (0.140625 \times 10^{-20}) = 0.707 \times 10^{-1} \) photons/second. The total number of photons received by the atomic disc in time \( t = 11.38 \) s is \( N_{total} = n_{atom} \times t \). \( N_{total} = (0.707 \times 10^{-1}) \times 11.38 \approx 0.8049 \) photons \( \approx 0.8 \) photons. (v) The calculated time of 11.38 seconds, based on classical wave theory where energy is continuously absorbed, contradicts the instantaneous observation of the photoelectric effect (typically \( 10^{-9} \) seconds). This discrepancy (11.38s vs. \( 10^{-9} \)s) highlights that the classical wave theory cannot explain the instantaneous nature of the photoelectric effect. The photoelectric effect is instantaneous because a single photon with sufficient energy can directly transfer its energy to an electron, causing immediate emission, rather than needing a buildup of energy from a continuous wave. Even if we assume a target surface area of 1 cm\(^2\) (\( 10^{-4} \) m\(^2\)) instead of an atomic disc. \( P_{surface} = I \times A_{surface} = (5/(4\pi)) \times 10^{-4} \approx 3.98 \times 10^{-5} \) W. Time \( t_{surface} = E_{work}/P_{surface} = (3.2 \times 10^{-19}) / (3.98 \times 10^{-5}) \approx 8.04 \times 10^{-15} \) s. Even with a larger surface area, the time is still very small, but it's still classical. The point is that the instantaneous nature is due to the quantum nature of photons.
In simple words: (i) The bulb sends out about \( 5.03 \times 10^{19} \) light particles (photons) every second. (ii) Yes, light will make electrons escape from the metal because each light particle has enough energy (2.49 eV) compared to what's needed (2 eV). (iii) For one tiny atom disc to gather enough energy to release an electron, it would take about 11.38 seconds if energy arrived like a continuous wave. (iv) In that 11.38 seconds, the tiny atom disc would receive less than one photon (about 0.8 photons). (v) The photoelectric effect happens instantly (within \( 10^{-9} \) seconds) because an electron gets all its energy from one photon at once, not slowly over time like a wave would suggest. The long time calculated by the wave theory shows that light must be made of particles (photons) for this effect.

🎯 Exam Tip: This is a multi-part question testing various aspects of the photoelectric effect. Remember to calculate photon energy, compare it with the work function to determine if emission occurs, and understand the implications of classical vs. quantum interpretations for the time delay. The difference in calculated time between classical and quantum models is a critical concept to highlight.

બહુવિકલ્પ પ્રશ્નોત્તર (MCQ-II)

નીચેના પ્રશ્નોમાં એક અથવા એક કરતાં વધુ વિકલ્પ સાચા હોઈ શકે છે :

Question 5. પ્રોટોન, ન્યૂટ્રોન, ઇલેક્ટ્રૉન અને આલ્ફા-કણ સમાન ઊર્જા ધરાવે છે, તો તેમની ડી-બ્રૉગ્લી તરંગલંબાઈઓની સરખામણી અનુસાર આપી શકાય.
(Α) \( \lambda_p = \lambda_n > \lambda_e > \lambda_\alpha \)
(Β) \( \lambda_\alpha < \lambda_p = \lambda_n > \lambda_e \)
(C) \( \lambda_e < \lambda_p = \lambda_n > \lambda_\alpha \)
(D) \( \lambda_e = \lambda_p = \lambda_n = \lambda_\alpha \)
Answer: (B) \( \lambda_\alpha < \lambda_p = \lambda_n > \lambda_e \)
In simple words: When particles have the same energy, their de-Broglie wavelength is smaller for heavier particles and larger for lighter particles. Alpha particles are the heaviest, then protons and neutrons (which have similar mass), and electrons are the lightest. So, alpha particles will have the shortest wavelength, and electrons will have the longest.
🎯 Exam Tip: Understanding the inverse relationship between de-Broglie wavelength and mass (for constant kinetic energy) is crucial for comparing wavelengths of different particles. Remember the relative masses of alpha particles, protons, neutrons, and electrons.

Question 1. પ્રોટૉન અને આલ્ફા-કણને સમાન સ્થિતિમાનના તફાવત વડે પ્રવેગિત કરેલ છે. તેમની ડી-બ્રૉગ્લી તરંગલંબાઈઓ \( \lambda_p \) અને \( \lambda_\alpha \) એકબીજા સાથે કઈ રીતે સંકળાયેલી હશે ?
Answer: ડી-બ્રૉગ્લી તરંગલંબાઈનું સૂત્ર છે:
\( \lambda = \frac{h}{p} \)
જ્યાં \( p = \sqrt{2mK} \) છે.
અહીં, કણની ગતિઊર્જા \( K = eV \) છે.
તેથી, \( \lambda = \frac{h}{\sqrt{2meV}} \).
પ્રોટોન માટે:
\( \lambda_p = \frac{h}{\sqrt{2m_p eV}} \)
આલ્ફા કણ માટે:
\( \lambda_\alpha = \frac{h}{\sqrt{2m_\alpha eV}} \)
તેથી,
\( \frac{\lambda_p}{\lambda_\alpha} = \frac{\sqrt{2m_\alpha eV}}{\sqrt{2m_p eV}} = \sqrt{\frac{m_\alpha}{m_p}} \)
આપણે જાણીએ છીએ કે આલ્ફા કણનું દળ પ્રોટોનના દળ કરતાં લગભગ 4 ગણું હોય છે, એટલે કે \( m_\alpha \approx 4m_p \).
તેથી,
\( \frac{\lambda_p}{\lambda_\alpha} = \sqrt{\frac{4m_p}{m_p}} = \sqrt{4} = 2 \)
\(\implies \lambda_p = 2\lambda_\alpha \)
In simple words: When a proton and an alpha particle are sped up by the same voltage, the proton's de-Broglie wavelength will be twice that of the alpha particle because the alpha particle is four times heavier.
🎯 Exam Tip: This problem requires applying the de-Broglie wavelength formula for charged particles accelerated by a potential difference and knowing the mass relationship between protons and alpha particles.

Question 2. (i) ફોટો ઇલેક્ટ્રિક અસરની સમજૂતીમાં આપણે ધારેલું છે કે, \( \nu \) આવૃત્તિવાળો એક ફોટોન એક ઇલેક્ટ્રૉન સાથે અથડાય છે અને પોતાની ઊર્જા તેને આપી દે છે. આ બાબત ઉત્સર્જિત ઇલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ઊર્જા \( E_{max} \) ના સમીકરણ \( E_{max} = h\nu - \Phi_0 \) તરફ દોરી જાય છે. જ્યાં \( \Phi_0 \) એ ધાતુનું કાર્યવિધેય (work function) છે. જો ઇલેક્ટ્રોન બે ફોટોન (દરેકની આવૃત્તિ \( \nu \))નું શોષણ કરે, તો ઉત્સર્જિત ઇલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ઊર્જા કેટલી હશે ?
(ii) શા માટે આપણે સ્ટૉપિંગ પોટેન્શિયલની ચર્ચામાં આ હકીકત (બે ફોટોનના શોષણ)ને ધ્યાનમાં નથી લીધી ?
Answer:
(i) જો એક ઇલેક્ટ્રૉન \( \nu \) આવૃત્તિવાળા બે ફોટોન શોષે, તો તે ફોટોન પાસેથી \( 2h\nu \) જેટલી ઊર્જા મેળવશે. જો ઇલેક્ટ્રૉન ઉત્સર્જન માટે \( W \) જેટલી ઊર્જા વાપરે અને \( K \) જેટલી ગતિઊર્જા સાથે બહાર આવે, તો
\( K = 2h\nu - W \)
જો ઇલેક્ટ્રૉન બહાર આવવા માટે જરૂરી ઓછામાં ઓછી ઊર્જા \( W_{min} = \Phi_0 \) (કાર્યવિધેય) હોય, તો ઉત્સર્જિત ઇલેક્ટ્રૉનની મહત્તમ ગતિઊર્જા હશે:
\( K_{max} = 2h\nu - \Phi_0 \)
(ii) ફોટોઇલેક્ટ્રિક અસરમાં સામાન્ય રીતે એક ઇલેક્ટ્રૉન એક જ ફોટોનનું શોષણ કરે છે. બે ફોટોનના શોષણની સંભાવના ખૂબ ઓછી હોય છે. આથી, સ્ટૉપિંગ પોટેન્શિયલની ચર્ચામાં આ કિસ્સાને ધ્યાનમાં લેવામાં આવતો નથી.
In simple words: (i) If an electron absorbs two photons, its maximum energy will be \( 2h\nu \) minus the work function. (ii) We usually ignore this because the chance of an electron absorbing two photons at once is very small.
🎯 Exam Tip: For problems involving photoemission, remember the basic Einstein photo-electric equation where one photon interacts with one electron. Multiple photon absorption is a rare event and usually ignored in standard calculations.

Question 3. ઘણાં એવાં દ્રવ્યો છે કે જે ટૂંકી તરંગલંબાઈવાળા ફોટોનનું શોષણ કરે છે અને લાંબી તરંગલંબાઈવાળા ફોટોનનું ઉત્સર્જન કરે છે. શું એવા કોઈ સ્થિત (stable) પદાર્થો છે કે જે લાંબી તરંગલંબાઈવાળા ફોટોનનું શોષણ કરે અને ટૂંકી તરંગલંબાઈવાળા પ્રકાશનું ઉત્સર્જન કરે ?
Answer: ના, એવા કોઈ સ્થિર પદાર્થો નથી જે લાંબી તરંગલંબાઈવાળા ફોટોનનું શોષણ કરીને ટૂંકી તરંગલંબાઈવાળા પ્રકાશનું ઉત્સર્જન કરી શકે. લાંબી તરંગલંબાઈ એટલે ઓછી ઊર્જા અને ટૂંકી તરંગલંબાઈ એટલે વધુ ઊર્જા. ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ, સિસ્ટમ પોતાની મેળે ઓછી ઊર્જા શોષીને વધુ ઊર્જા ઉત્સર્જિત કરી શકતી નથી. આવું ત્યારે જ શક્ય બને જો સિસ્ટમને બહારથી સતત ઊર્જા આપવામાં આવે, જે સ્થાયી સ્થિતિ નથી.
In simple words: No, a stable substance cannot absorb low-energy light (long wavelength) and give out high-energy light (short wavelength) on its own. It breaks the rule of energy conservation.
🎯 Exam Tip: This question tests the understanding of energy conservation in luminescence. Remember that a stable system cannot spontaneously increase the energy of emitted light compared to absorbed light.

Question 4. શું ફોટોનનું શોષણ કરતા બધા જ ઇલેક્ટ્રોન ફોટો ઇલેક્ટ્રોન તરીકે બહાર આવે છે ?
Answer: ના, ફોટોન શોષાય ત્યારે બધા ઇલેક્ટ્રોન ફોટોઇલેક્ટ્રોન તરીકે બહાર આવતા નથી. મોટાભાગના ઇલેક્ટ્રોન દ્રવ્યમાં વિખેરાઈ (પ્રકીર્ણન) જાય છે અને માત્ર તે જ ઇલેક્ટ્રૉન બહાર આવે છે જેમની ઊર્જા ધાતુના કાર્યવિધેય (work function) કરતાં વધુ હોય.
In simple words: Not all electrons that absorb a photon come out. Most scatter inside the material. Only those with enough energy (more than the work function) can escape.
🎯 Exam Tip: It is important to remember that photoemission is a process with a certain probability. Only electrons that gain sufficient energy (exceeding the work function) and are close enough to the surface can escape as photoelectrons.

Question 5. પ્રકાશનાં બે ઉદ્ગમો દરેક 100 W ના પાવર સાથે પ્રકાશનું ઉત્સર્જન કરે છે. એક ઉદ્ગમ 1 nm તરંગલંબાઈવાળા ક્ષ-કિરણો (X-rays) અને બીજું 500 nm ના દશ્ય પ્રકાશનું ઉત્સર્જન કરે છે. X-કિરણના ફોટોન અને આપેલી તરંગલંબાઈના દૃશ્ય પ્રકાશના ફોટોનની સંખ્યાનો ગુણોત્તર શોધો.
Answer: પાવર \( P \) એ એકમ સમયમાં ઉત્સર્જિત થતા ફોટોનની સંખ્યા \( n' \) અને એક ફોટોનની ઊર્જા \( E \) નો ગુણાકાર હોય છે. એટલે કે \( P = n'E \).
ફોટોનની ઊર્જા \( E = h\nu = \frac{hc}{\lambda} \) છે.
તેથી, \( P = n' \frac{hc}{\lambda} \).
આથી, એકમ સમયમાં ઉત્સર્જિત થતા ફોટોનની સંખ્યા \( n' = \frac{P\lambda}{hc} \) થાય છે.
અહીં, પાવર \( P \), પ્લાન્કનો અચળાંક \( h \), અને પ્રકાશનો વેગ \( c \) અચળ છે.
તેથી, \( n' \propto \lambda \).
X-કિરણો માટે તરંગલંબાઈ \( \lambda_1 = 1 \text{ nm} \).
દૃશ્ય પ્રકાશ માટે તરંગલંબાઈ \( \lambda_2 = 500 \text{ nm} \).
ફોટોન સંખ્યાનો ગુણોત્તર:
\( \frac{n'_1}{n'_2} = \frac{\lambda_1}{\lambda_2} \)
\(\implies \frac{n'_1}{n'_2} = \frac{1 \text{ nm}}{500 \text{ nm}} = \frac{1}{500} \)
In simple words: For the same power, the number of photons emitted is proportional to their wavelength. X-rays have a much shorter wavelength than visible light, so for the same power, the number of X-ray photons will be 1/500th the number of visible light photons.
🎯 Exam Tip: Remember the relationship between power, number of photons, and wavelength (\(P \propto n' \lambda\)). This helps in comparing photon counts for different wavelengths at constant power.

ટૂંક જવાબી પ્રશ્નો (SA)

Question 1. ફોટો ઉત્સર્જન માટે આકૃતિ ધ્યાનમાં લો. તમે વેગમાન સંરક્ષણ સાથે કેવી રીતે સમાધાન કરશો ? નોંધો કે પ્રકાશ (ફોટોન)ને ઉત્સર્જિત ઇલેક્ટ્રોન કરતાં ભિન્ન દિશામાં વેગમાન હોય છે.
Answer:
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र एक धातु की सतह पर प्रकाश के आपतन को दर्शाता है, जिससे इलेक्ट्रॉन उत्सर्जित होते हैं। इसमें एक इलेक्ट्रॉन गन और एक कलेक्टर भी है, जो उत्सर्जित इलेक्ट्रॉनों को इकट्ठा करता है। प्रकाश (फोटॉन) बाईं ओर से धातु पर आपतित होता है, जिससे इलेक्ट्रॉन दाईं ओर उत्सर्जित होते हैं।
ફોટોઇલેક્ટ્રિક ઉત્સર્જન દરમિયાન, આપાત ફોટોનનું વેગમાન ધાતુ પર સ્થાનાંતરિત થાય છે. સૂક્ષ્મ સ્તરે, ફોટોનનું શોષણ પરમાણુઓ દ્વારા થાય છે, અને તેનું વેગમાન મુખ્યત્વે ઇલેક્ટ્રૉન અને ન્યુક્લિયસને મળે છે. ઉત્તેજિત ઇલેક્ટ્રૉન ઉત્સર્જાય છે. આથી, આપાત ફોટોનનું વેગમાન ઇલેક્ટ્રૉન અને ન્યુક્લિયસને મળે છે અને વેગમાન સંરક્ષણનું સમાધાન થાય છે.
In simple words: When a photon hits a metal and an electron comes out, the photon's momentum is shared between the electron and the heavy nucleus of the metal atom. This way, the total momentum before and after the photon hits remains the same.
🎯 Exam Tip: While considering momentum conservation in photoemission, remember that the photon's momentum is transferred not only to the photoelectron but also to the much heavier atomic nucleus, ensuring overall momentum conservation.

Question 2. 600 nm તરંગલંબાઈના પ્રકાશથી પ્રકાશિત કરેલ ધાતુને ધ્યાનમાં લો. જ્યારે 400 nm તરંગલંબાઈનો પ્રકાશ ઉપયોગમાં લેવામાં આવે ત્યારે ઇલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ઊર્જા બમણી થાય છે, તો ધાતુનું વર્ક-ફંક્શન eV માં શોધો.
Answer: ફોટોઇલેક્ટ્રિક સમીકરણ અનુસાર, મહત્તમ ગતિઊર્જા \( K \) હોય તો:
\( h\nu = \Phi_0 + K \)
જ્યાં \( \Phi_0 \) કાર્યવિધેય છે અને \( h\nu \) આપાત ફોટોનની ઊર્જા છે.
\( \frac{hc}{\lambda} = \Phi_0 + K \)
પ્રથમ કિસ્સામાં, તરંગલંબાઈ \( \lambda_1 = 600 \text{ nm} \):
\( \frac{hc}{\lambda_1} = \Phi_0 + K_1 \) ......... (1)
બીજા કિસ્સામાં, તરંગલંબાઈ \( \lambda_2 = 400 \text{ nm} \). આ કિસ્સામાં મહત્તમ ગતિઊર્જા બમણી થાય છે, એટલે કે \( K_2 = 2K_1 \):
\( \frac{hc}{\lambda_2} = \Phi_0 + 2K_1 \) ......... (2)
સમીકરણ (1) માંથી \( K_1 = \frac{hc}{\lambda_1} - \Phi_0 \) ને સમીકરણ (2) માં મૂકતા:
\( \frac{hc}{\lambda_2} = \Phi_0 + 2 \left( \frac{hc}{\lambda_1} - \Phi_0 \right) \)
\( \frac{hc}{\lambda_2} = \Phi_0 + \frac{2hc}{\lambda_1} - 2\Phi_0 \)
\(\implies \frac{hc}{\lambda_2} = \frac{2hc}{\lambda_1} - \Phi_0 \)
\(\implies \Phi_0 = \frac{2hc}{\lambda_1} - \frac{hc}{\lambda_2} \)
\(\implies \Phi_0 = hc \left( \frac{2}{\lambda_1} - \frac{1}{\lambda_2} \right) \)
મૂલ્યો મૂકતા, \( h = 6.63 \times 10^{-34} \text{ Js} \), \( c = 3 \times 10^8 \text{ m/s} \), \( \lambda_1 = 600 \times 10^{-9} \text{ m} \), \( \lambda_2 = 400 \times 10^{-9} \text{ m} \):
\( \Phi_0 = (6.63 \times 10^{-34}) \times (3 \times 10^8) \times \left( \frac{2}{600 \times 10^{-9}} - \frac{1}{400 \times 10^{-9}} \right) \)
\( \Phi_0 = (19.89 \times 10^{-26}) \times \left( \frac{2 \times 10^9}{600} - \frac{1 \times 10^9}{400} \right) \)
\( \Phi_0 = (19.89 \times 10^{-26}) \times \left( \frac{1}{300} \times 10^9 - \frac{1}{400} \times 10^9 \right) \)
\( \Phi_0 = (19.89 \times 10^{-26}) \times \left( \frac{4-3}{1200} \times 10^9 \right) \)
\( \Phi_0 = (19.89 \times 10^{-26}) \times \frac{1}{1200} \times 10^9 \)
\( \Phi_0 = \frac{19.89 \times 10^{-17}}{1200} \text{ J} \)
\( \Phi_0 = 1.6575 \times 10^{-20} \text{ J} \)
હવે તેને eV માં રૂપાંતરિત કરવા, \( 1 \text{ eV} = 1.6 \times 10^{-19} \text{ J} \):
\( \Phi_0 = \frac{1.6575 \times 10^{-20}}{1.6 \times 10^{-19}} \text{ eV} \)
\( \Phi_0 \approx 0.1035 \text{ eV} \)
In simple words: We use Einstein's photo-electric equation. When light with wavelength 400 nm makes the maximum kinetic energy double compared to 600 nm light, we can calculate the metal's work function. The work function turns out to be about 0.1035 eV.
🎯 Exam Tip: This problem involves solving simultaneous equations derived from the photo-electric effect. Pay attention to unit conversions (nm to m, J to eV) and precise calculation.

Question 3. ગોતં ધારગે ટે વલેકટ્રૉન 1 nm)ની પહોળાઈના વિસ્તારમાં મર્યાદિત છે. હાઇજીનબર્ગના અનિશ્ચિતતાના યોગથી વેગમાનની અનિશ્ચિતતા શોધો. તમે સ્થાનની અનિશ્ચિતતા \( \Delta x \) ને 1nm તરીકે ધારી શકો. P ≈ Ap, ધારો, ઇલેક્ટ્રૉનની ઊર્જા ઇલેક્ટ્રૉન વોલ્ટ (eV) માં શોધો,
Answer: હાઇઝનબર્ગના અનિશ્ચિતતાના સિદ્ધાંત મુજબ:
\( \Delta x \Delta p \approx \frac{h}{2\pi} \)
અહીં, ઇલેક્ટ્રૉનના સ્થાનની અનિશ્ચિતતા \( \Delta x = 1 \text{ nm} = 1 \times 10^{-9} \text{ m} \).
પ્લાન્કનો અચળાંક \( h = 6.63 \times 10^{-34} \text{ Js} \).
તેથી, વેગમાનની અનિશ્ચિતતા \( \Delta p \approx \frac{h}{2\pi \Delta x} \)
\( \Delta p = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{2 \times 3.14159 \times 1 \times 10^{-9}} \)
\( \Delta p \approx \frac{6.63 \times 10^{-34}}{6.28318 \times 10^{-9}} \)
\( \Delta p \approx 1.055 \times 10^{-25} \text{ kg m/s} \)
હવે, ઇલેક્ટ્રૉનની ઊર્જા \( E = \frac{p^2}{2m} \) સૂત્રથી શોધી શકાય છે. અહીં, \( p \) ને \( \Delta p \) જેટલો ધારીએ છીએ.
ઇલેક્ટ્રૉનનું દળ \( m_e = 9.1 \times 10^{-31} \text{ kg} \).
\( E = \frac{(1.055 \times 10^{-25})^2}{2 \times 9.1 \times 10^{-31}} \)
\( E = \frac{1.113 \times 10^{-50}}{18.2 \times 10^{-31}} \)
\( E \approx 6.115 \times 10^{-21} \text{ J} \)
આ ઊર્જાને ઇલેક્ટ્રોન વોલ્ટ (eV) માં રૂપાંતરિત કરવા, \( 1 \text{ eV} = 1.6 \times 10^{-19} \text{ J} \):
\( E = \frac{6.115 \times 10^{-21}}{1.6 \times 10^{-19}} \text{ eV} \)
\( E \approx 3.82 \times 10^{-2} \text{ eV} \)
In simple words: Using Heisenberg's uncertainty principle, if an electron is confined to a small space (1 nm), its momentum has an uncertainty. We can calculate this momentum and then find the electron's energy, which comes out to be about 0.0382 eV.
🎯 Exam Tip: This problem highlights the application of the Heisenberg Uncertainty Principle to quantum particles. Remember to use the correct value of Planck's constant and the electron's mass, and convert units appropriately.

Question 4. સમાન તીવ્રતા \( I \) ધરાવતા બે એકરંગી કિરણજૂથ A અને B પડદા પર અથડાય છે. પડદા પર કિરણજૂથ A ના અથડાતા ફોટોનની સંખ્યા, કિરણજૂથ B ના ફોટોનની સંખ્યા કરતાં બમણી છે, તો તમે તેમની આવૃત્તિઓ વિશે શું અનુમાન કરી શકાશો ?
Answer: આપાત પ્રકાશની તીવ્રતા (intensity) \( I \) એ એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ એકમ સમયમાં આપાત થતી ઊર્જા હોય છે. જો \( n \) ફોટોનની સંખ્યા અને \( h\nu \) એક ફોટોનની ઊર્જા હોય, તો \( I = \frac{n h\nu}{A t} \).
અહીં, બંને કિરણજૂથ A અને B માટે તીવ્રતા \( I \) સમાન છે, અને ક્ષેત્રફળ \( A \) અને સમય \( t \) પણ સમાન છે.
તેથી, \( \frac{n_A h\nu_A}{A t} = \frac{n_B h\nu_B}{A t} \)
\(\implies n_A h\nu_A = n_B h\nu_B \)
રકમ મુજબ, કિરણજૂથ A ના ફોટોનની સંખ્યા \( n_A \), કિરણજૂથ B ના ફોટોનની સંખ્યા \( n_B \) કરતાં બમણી છે, એટલે કે \( n_A = 2n_B \).
આ મૂલ્ય સમીકરણમાં મૂકતા:
\( 2n_B h\nu_A = n_B h\nu_B \)
\( 2h\nu_A = h\nu_B \)
\(\implies 2\nu_A = \nu_B \)
આમ, કિરણજૂથ B ની આવૃત્તિ કિરણજૂથ A ની આવૃત્તિ કરતાં બમણી છે.
In simple words: If two light beams have the same brightness but one has twice as many photons as the other, then the photons in the beam with fewer photons must have twice the energy (and thus twice the frequency) to keep the total brightness the same. So, beam B's frequency is twice beam A's frequency.
🎯 Exam Tip: This problem links intensity with photon number and frequency. Remember that intensity is total energy per unit area per unit time, and higher frequency means higher energy per photon.

Question 5. \( \lambda_A \) અને \( \lambda_B \) ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ ધરાવતા બે કણ A અને B ભેગા થઈ કણ C બનાવે છે. આ પ્રક્રિયામાં વેગમાનનું સંરક્ષણ થાય છે. કણ Cની ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ શોધો. (ગતિ એક પરિમાણીય છે.)
Answer: ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ \( \lambda = \frac{h}{p} \) હોવાથી, વેગમાન \( p = \frac{h}{\lambda} \) થશે.
વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
\( \vec{p_C} = \vec{p_A} + \vec{p_B} \)
ગતિ એક પરિમાણીય હોવાથી, આપણે દિશાને ધ્યાનમાં રાખીને ગણતરી કરી શકીએ.
(i) જો કણ A અને B બંનેની ગતિ એક જ દિશામાં હોય (ધન વેગમાન):
\( p_C = p_A + p_B \)
\( \frac{h}{\lambda_C} = \frac{h}{\lambda_A} + \frac{h}{\lambda_B} \)
\( \frac{1}{\lambda_C} = \frac{1}{\lambda_A} + \frac{1}{\lambda_B} \)
\(\implies \lambda_C = \frac{\lambda_A \lambda_B}{\lambda_A + \lambda_B} \)
(ii) જો કણ A અને B બંનેની ગતિ વિરુદ્ધ દિશામાં હોય (બંને ઋણ વેગમાન, અથવા દિશા ઉલટાવી શકાય):
\( p_C = -p_A - p_B \)
\( \frac{h}{\lambda_C} = -\frac{h}{\lambda_A} - \frac{h}{\lambda_B} \)
\( \frac{1}{\lambda_C} = -\left( \frac{1}{\lambda_A} + \frac{1}{\lambda_B} \right) \)
\(\implies \lambda_C = -\frac{\lambda_A \lambda_B}{\lambda_A + \lambda_B} \)
(તરંગલંબાઈ ધન હોય છે, તેથી આ કિસ્સામાં વેગમાનની દિશા ઉલટાવવાનો અર્થ થાય છે.)
(iii) જો કણ A ધન દિશામાં અને કણ B ઋણ દિશામાં ગતિ કરતો હોય અને \( |p_A| > |p_B| \) હોય:
\( p_C = p_A - p_B \)
\( \frac{h}{\lambda_C} = \frac{h}{\lambda_A} - \frac{h}{\lambda_B} \)
\( \frac{1}{\lambda_C} = \frac{1}{\lambda_A} - \frac{1}{\lambda_B} \)
\(\implies \lambda_C = \frac{\lambda_A \lambda_B}{\lambda_B - \lambda_A} \)
(iv) જો કણ A ઋણ દિશામાં અને કણ B ધન દિશામાં ગતિ કરતો હોય અને \( |p_B| > |p_A| \) હોય:
\( p_C = p_B - p_A \)
\( \frac{h}{\lambda_C} = \frac{h}{\lambda_B} - \frac{h}{\lambda_A} \)
\( \frac{1}{\lambda_C} = \frac{1}{\lambda_B} - \frac{1}{\lambda_A} \)
\(\implies \lambda_C = \frac{\lambda_A \lambda_B}{\lambda_A - \lambda_B} \)
In simple words: When two particles combine, their momentums add up. Since de-Broglie wavelength is inversely related to momentum, the wavelength of the combined particle (C) depends on how the wavelengths of particles A and B add or subtract, considering their directions of motion.
🎯 Exam Tip: This question combines de-Broglie wavelength with momentum conservation. Remember to consider the one-dimensional nature of the collision and the vector addition/subtraction of momenta when deriving the combined wavelength.

Question 6. \( E \) ઊર્જા ધરાવતું ન્યૂટ્રોનનું કિરણજૂથ, \( d = 0.1 \text{ nm} \) પહોળાઈ (ગ્યા) ધરાવતી સપાટી પર પરમાણુ વડે પ્રકીર્ણન પામે છે. પરાવર્તિત કિરણજૂથમાં તીવ્રતાનું પ્રથમ અધિકતમ \( \theta = 30^\circ \) એ રચાય છે. કિરણજૂથની ગતિઊર્જા \( E \) eV માં કેટલી હશે ?
Answer: બ્રેગના નિયમ (Bragg's law) મુજબ, પરમાણુઓના બે ક્રમિક સ્તરો વચ્ચેનું લંબઅંતર \( d \) હોય અને \( \theta \) કોણે પરાવર્તિત થતા કિરણો વચ્ચેનો પથતફાવત \( 2d\sin\theta \) હોય છે. પ્રથમ અધિકતમ માટે આ પથતફાવત \( n\lambda \) જેટલો થશે, જ્યાં \( n = 1 \) પ્રથમ અધિકતમ માટે.
તેથી, \( 2d\sin\theta = n\lambda \).
અહીં, \( d = 0.1 \text{ nm} = 0.1 \times 10^{-9} \text{ m} \), \( \theta = 30^\circ \), \( n = 1 \).
\( 2(0.1 \times 10^{-9}) \sin(30^\circ) = 1 \times \lambda \)
\( 2(0.1 \times 10^{-9}) (0.5) = \lambda \)
\( \lambda = 0.1 \times 10^{-9} \text{ m} = 0.1 \text{ nm} \)
ન્યૂટ્રોનની ગતિઊર્જા \( E = \frac{p^2}{2m} \) સૂત્રથી શોધી શકાય છે. ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ \( \lambda = \frac{h}{p} \) હોવાથી, \( p = \frac{h}{\lambda} \).
તેથી, \( E = \frac{(h/\lambda)^2}{2m} = \frac{h^2}{2m\lambda^2} \).
પ્લાન્કનો અચળાંક \( h = 6.63 \times 10^{-34} \text{ Js} \).
ન્યૂટ્રોનનું દળ \( m = 1.675 \times 10^{-27} \text{ kg} \).
\( E = \frac{(6.63 \times 10^{-34})^2}{2 \times (1.675 \times 10^{-27}) \times (0.1 \times 10^{-9})^2} \)
\( E = \frac{43.9569 \times 10^{-68}}{2 \times (1.675 \times 10^{-27}) \times (0.01 \times 10^{-18})} \)
\( E = \frac{43.9569 \times 10^{-68}}{0.0335 \times 10^{-45}} \)
\( E = 1312.146 \times 10^{-23} \text{ J} \)
\( E \approx 1.312 \times 10^{-20} \text{ J} \)
આ ઊર્જાને eV માં રૂપાંતરિત કરવા, \( 1 \text{ eV} = 1.6 \times 10^{-19} \text{ J} \):
\( E = \frac{1.312 \times 10^{-20}}{1.6 \times 10^{-19}} \text{ eV} \)
\( E \approx 0.082 \text{ eV} \)
In simple words: When a neutron beam scatters off a surface, the angle of the brightest reflection tells us its wavelength using Bragg's law. Once we find the wavelength, we can calculate the neutron's energy using the de-Broglie wavelength formula and the neutron's mass. This energy is about 0.082 eV.
🎯 Exam Tip: Remember Bragg's law for diffraction (\(2d\sin\theta = n\lambda\)) and the relationship between kinetic energy, momentum, and de-Broglie wavelength for uncharged particles (\(E = \frac{h^2}{2m\lambda^2}\)). Accurate unit conversion is critical.

દીર્ઘ જવાબી પ્રશ્નો (LA)

Question 1. સોડિયમનો પાતળો લક્ષ્ય (10-2 m ચોરસ, જાડાઈ 10-3 m) વિચારો, જેના પર 100W/m² (\( \lambda = 660 \text{ nm} \)) તીવ્રતા ધરાવતો પ્રકાશ આપાત થાય ત્યારે 100 μA નો ફોટો પ્રવાહ ઉત્પન્ન કરે છે. જ્યારે ફોટોન સોડિયમ પરમાણુ સાથે અથડાય ત્યારે ફોટો ઇલેક્ટ્રોન ઉત્પન્ન થવાની સંભાવના શોધો.
[Na ની ધનતા = \( 0.97 \text{ kg/m}^3 \) લો.]
Answer:
પહેલાં, સોડિયમ લક્ષ્યમાં રહેલા પરમાણુઓની કુલ સંખ્યા શોધીએ.
લક્ષ્યનું ક્ષેત્રફળ \( A = (10^{-2} \text{ m})^2 = 10^{-4} \text{ m}^2 \).
લક્ષ્યની જાડાઈ \( x = 10^{-3} \text{ m} \).
લક્ષ્યનું કદ \( V = A \times x = 10^{-4} \text{ m}^2 \times 10^{-3} \text{ m} = 10^{-7} \text{ m}^3 \).
સોડિયમની ઘનતા \( \rho = 0.97 \text{ kg/m}^3 \).
સોડિયમનું દળ \( M = \rho \times V = 0.97 \text{ kg/m}^3 \times 10^{-7} \text{ m}^3 = 0.97 \times 10^{-7} \text{ kg} \).
સોડિયમનું મોલર દળ \( M_0 = 23 \text{ g/mol} = 23 \times 10^{-3} \text{ kg/mol} \).
એવોગેડ્રો અંક \( N_A = 6.022 \times 10^{23} \text{ mol}^{-1} \).
પરમાણુઓની કુલ સંખ્યા \( N' = \frac{M}{M_0} N_A = \frac{0.97 \times 10^{-7} \text{ kg}}{23 \times 10^{-3} \text{ kg/mol}} \times 6.022 \times 10^{23} \text{ mol}^{-1} \)
\( N' = \frac{0.97 \times 6.022}{23} \times 10^{16} \approx 0.254 \times 10^{16} \)
\( N' \approx 2.54 \times 10^{15} \) પરમાણુઓ.

હવે, આપાત પ્રકાશની તીવ્રતા \( I = 100 \text{ W/m}^2 \) અને તરંગલંબાઈ \( \lambda = 660 \text{ nm} = 660 \times 10^{-9} \text{ m} \).
એક ફોટોનની ઊર્જા \( E = \frac{hc}{\lambda} = \frac{(6.63 \times 10^{-34} \text{ Js}) \times (3 \times 10^8 \text{ m/s})}{660 \times 10^{-9} \text{ m}} \)
\( E = \frac{19.89 \times 10^{-26}}{660 \times 10^{-9}} \approx 0.0301 \times 10^{-17} \approx 3.01 \times 10^{-19} \text{ J} \).
એકમ સમયમાં લક્ષ્ય પર આપાત થતા ફોટોનની સંખ્યા \( n_i = \frac{I A}{E} = \frac{(100 \text{ W/m}^2) \times (10^{-4} \text{ m}^2)}{3.01 \times 10^{-19} \text{ J}} \)
\( n_i = \frac{10^{-2}}{3.01 \times 10^{-19}} \approx 0.332 \times 10^{17} \approx 3.32 \times 10^{16} \) ફોટોન્સ/સેકન્ડ.

ઉત્સર્જિત ફોટોઇલેક્ટ્રોન પ્રવાહ \( i = 100 \text{ μA} = 100 \times 10^{-6} \text{ A} \).
એકમ સમયમાં ઉત્સર્જિત થતા ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા \( n_e = \frac{i}{e} = \frac{100 \times 10^{-6} \text{ C/s}}{1.6 \times 10^{-19} \text{ C}} \)
\( n_e = \frac{10^{-4}}{1.6 \times 10^{-19}} \approx 0.625 \times 10^{15} \approx 6.25 \times 10^{14} \) ઇલેક્ટ્રોન/સેકન્ડ.

ફોટોઇલેક્ટ્રોન ઉત્પન્ન થવાની સંભાવના \( P \) એ એકમ સમયમાં ઉત્સર્જિત થતા ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા અને એકમ સમયમાં આપાત થતા ફોટોનની સંખ્યાનો ગુણોત્તર છે.
\( P = \frac{n_e}{n_i} = \frac{6.25 \times 10^{14}}{3.32 \times 10^{16}} \)
\( P \approx 0.0188 \)
આમ, ફોટોઇલેક્ટ્રોન ઉત્પન્ન થવાની સંભાવના આશરે \( 1.88\% \) છે.

નોંધ: આ સંભાવના ખૂબ ઓછી જણાય છે. તેનો અર્થ એ થાય કે જો એક ફોટોન માત્ર એક જ પરમાણુ સાથે ક્રિયાપ્રતિક્રિયા કરે, તો ફોટોપ્રવાહ ખૂબ ઓછો મળે. પરંતુ અહીં આપણને 100 μA નો ફોટોપ્રવાહ મળે છે. આ સૂચવે છે કે આપાત થતા દરેક ફોટોન ઘણા ઇલેક્ટ્રોન સાથે ક્રિયાપ્રતિક્રિયા કરે છે. ત્યારબાદ, જે ઇલેક્ટ્રોન ફોટોનમાંથી એટલી ઊર્જા શોષે છે જે તેની બંધનઊર્જા કરતાં વધુ હોય, તે બહાર નીકળી શકે છે. આ રીતે ઇલેક્ટ્રોન ઉત્સર્જનની સંભાવના પ્રમાણમાં ઘણી વધારે મળે છે, જે પ્રાયોગિક અવલોકનો સાથે સુસંગત છે.
In simple words: First, we find the number of sodium atoms in the target. Then, we calculate the energy of each photon and how many photons hit the target per second. We also find how many electrons are emitted per second. The chance of an electron being released per photon is the ratio of emitted electrons to incident photons. For this problem, it's about 1.88%. This low probability, however, suggests that a single photon might interact with multiple electrons, and only those with sufficient energy escape, which matches experimental observations.
🎯 Exam Tip: This complex problem requires a series of calculations: finding the number of atoms, photon energy, incident photon rate, and emitted electron rate. Be careful with unit conversions and the definitions of intensity and photo-current. The concluding discussion emphasizes the probabilistic nature of photoemission and its compatibility with experimental observations.

Question 2. ધાતુની સપાટી (અનંત વિસ્તારવાળી સપાટી તરીકે વર્તે)ની સામે \( d \) અંતરે ઇલેક્ટ્રોન વિચારો. પ્લેટ વડે લાગતું આકર્ષણ બળ ધારો. વિધુતભારને પ્લેટથી અનંત અંતરે લઈ જવા કરવું પડતું કાર્ય ગણો. \( d = 0.1 \text{ nm} \) લઈને, કાર્ય ઇલેક્ટ્રૉન વોલ્ટમાં શોધો. (આવા બળના નિયમો \( d < 0.1 \text{ nm} \) માટે પળાતા નથી.)
Answer:
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र एक अनंत धनात्मक रूप से आवेशित धातु की सतह और उससे \( x \) दूरी पर एक इलेक्ट्रॉन को दर्शाता है। धातु की सतह इलेक्ट्रॉन को आकर्षित करती है (आકર્ષણ બળ), जबकि इलेक्ट्रॉन को अनंत तक ले जाने के लिए बाहरी बल (બાહ્ય બળ) लगाया जाता है।
અનંત વિસ્તારવાળી ધાતુની સપાટીથી \( x \) અંતરે ઇલેક્ટ્રૉન પર લાગતું આકર્ષણ બળ \( F \) એ ઇલેક્ટ્રૉન પર લાગતા વિદ્યુતક્ષેત્ર \( E \) ને કારણે હોય છે. જો ધાતુની સપાટી પર વિદ્યુતભાર ઘનતા \( \sigma \) હોય, તો તેની નજીક વિદ્યુતક્ષેત્ર \( E = \frac{\sigma}{2\epsilon_0} \) થાય છે.
અહીં, ઇલેક્ટ્રૉન પર લાગતું બળ \( F = eE = \frac{e\sigma}{2\epsilon_0} \) થશે.
પરંતુ રકમમાં \( F = \frac{1}{4} \left( \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \right) \frac{q^2}{x^2} \) સૂત્ર આપેલું છે, જ્યાં \( q \) એ ઇલેક્ટ્રોનનો વિદ્યુતભાર \( e \) છે. આ કિસ્સામાં, આકર્ષણ બળ વ્યસ્ત વર્ગના નિયમ મુજબ હોય છે.
તેથી, \( F = \frac{1}{4} \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{e^2}{x^2} \).
ઇલેક્ટ્રૉનને \( x \) અંતરેથી અનંત અંતર સુધી લઈ જવા માટે કરવું પડતું કાર્ય \( W \) એ બળ વિરુદ્ધ સ્થાનાંતરનું ઇન્ટિગ્રેશન છે:
\( W = \int_d^\infty F \text{ dx} = \int_d^\infty \frac{1}{4} \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{e^2}{x^2} \text{ dx} \)
\( W = \frac{1}{4} \frac{e^2}{4\pi\epsilon_0} \int_d^\infty \frac{1}{x^2} \text{ dx} \)
\( W = \frac{1}{4} \frac{e^2}{4\pi\epsilon_0} \left[ -\frac{1}{x} \right]_d^\infty \)
\( W = \frac{1}{4} \frac{e^2}{4\pi\epsilon_0} \left( -\frac{1}{\infty} - (-\frac{1}{d}) \right) \)
\( W = \frac{1}{4} \frac{e^2}{4\pi\epsilon_0} \frac{1}{d} \)
મૂલ્યો મૂકતા, \( \frac{1}{4\pi\epsilon_0} = 9 \times 10^9 \text{ Nm}^2/\text{C}^2 \), \( e = 1.6 \times 10^{-19} \text{ C} \), \( d = 0.1 \text{ nm} = 0.1 \times 10^{-9} \text{ m} \):
\( W = \frac{1}{4} \times (9 \times 10^9) \times \frac{(1.6 \times 10^{-19})^2}{0.1 \times 10^{-9}} \)
\( W = \frac{1}{4} \times (9 \times 10^9) \times \frac{2.56 \times 10^{-38}}{0.1 \times 10^{-9}} \)
\( W = \frac{1}{4} \times (9 \times 10^9) \times (2.56 \times 10^{-29}) \)
\( W = \frac{23.04 \times 10^{-20}}{4} = 5.76 \times 10^{-21} \text{ J} \)
આ કાર્યને eV માં રૂપાંતરિત કરવા, \( 1 \text{ eV} = 1.6 \times 10^{-19} \text{ J} \):
\( W = \frac{5.76 \times 10^{-21}}{1.6 \times 10^{-19}} \text{ eV} \)
\( W = 0.036 \text{ eV} \)
In simple words: To move an electron from a short distance \( (0.1 \text{ nm}) \) to infinity away from a metal surface, we need to do work against the attractive force. This work is calculated by integrating the force. For the given distance, the work needed is about 0.036 eV.
🎯 Exam Tip: This problem involves calculating work done against an electrostatic force. Remember the formula for electrostatic force, the work-energy theorem, and how to integrate to find work over a distance. Pay attention to unit conversions for energy (J to eV).

Question 3. એક વિધાર્થી ફોટો ઇલેક્ટ્રિક અસરનો પ્રયોગ, બે દ્રવ્યો A અને B નો ઉપયોગ કરીને કરે છે. \( V_{stop} \) વિરુદ્ધ \( \nu \) નો આલેખ આકૃતિમાં આપેલ છે.
(i) A અને B માંથી કયા દ્રવ્યને ઊંચું વર્ક-ફંક્શન હશે ?
(ii) ઇલેક્ટ્રૉનનો વિધુતભાર \( 1.6 \times 10^{-19} \text{ C} \) આપેલ છે. A અને B બંને માટે પ્રયોગ પરથી \( h \) નું મૂલ્ય શોધો. આઇન્સ્ટાઇનના વાદ સાથે તે સુસંગત છે કે નહીં તેના પર ટિપ્પણી કરો.
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र स्टॉपिंग पोटेंशियल \( V_{stop} \) और आपतित प्रकाश की आवृत्ति \( \nu \) के बीच के संबंध को दर्शाता है, जिसमें दो अलग-अलग सामग्रियों A और B के लिए डेटा प्रस्तुत किया गया है। दोनों ग्राफ़ सीधी रेखाएँ हैं, जिनकी ढलान समान है, लेकिन वे \( \nu \)-अक्ष को अलग-अलग बिंदुओं पर काटते हैं, जो उनके वर्क-फंक्शन को दर्शाता है।
Answer:
(i) આઇન્સ્ટાઇનના ફોટોઇલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ, \( eV_{stop} = h\nu - \Phi_0 \).
અહીં, \( V_{stop} = \frac{h}{e}\nu - \frac{\Phi_0}{e} \).
આ સમીકરણ \( y = mx + c \) પ્રકારનું છે, જ્યાં \( y = V_{stop} \), \( x = \nu \), ઢાળ \( m = \frac{h}{e} \), અને \( y \)-અંતરાખંડ \( c = -\frac{\Phi_0}{e} \).
વર્ક-ફંક્શન \( \Phi_0 = h\nu_0 \) છે, જ્યાં \( \nu_0 \) એ થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ છે, એટલે કે \( V_{stop} = 0 \) હોય ત્યારે આવૃત્તિ.
આલેખ પરથી, દ્રવ્ય A માટે થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ \( \nu_{0A} = 5 \times 10^{14} \text{ Hz} \).
દ્રવ્ય B માટે થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ \( \nu_{0B} = 10 \times 10^{14} \text{ Hz} \).
સ્પષ્ટપણે, \( \nu_{0B} > \nu_{0A} \).
જેহেতু \( \Phi_0 = h\nu_0 \), દ્રવ્ય B નું કાર્યવિધેય દ્રવ્ય A ના કાર્યવિધેય કરતાં ઊંચું હશે (કારણ કે \( h \) સમાન છે).

(ii) પ્લાન્કનો અચળાંક \( h \) શોધો:
આલેખનો ઢાળ \( m = \frac{\Delta V_{stop}}{\Delta \nu} = \frac{h}{e} \) દર્શાવે છે.
બંને આલેખ સમાંતર હોવાથી, તેમનો ઢાળ સમાન છે. આલેખમાંથી ઢાળની ગણતરી કરીએ.
કોઈપણ એક દ્રવ્ય માટે, ઉદાહરણ તરીકે દ્રવ્ય A માટે:
\( \text{ઢાળ} = \frac{ (3 - 0) \text{ V} }{ (8.2 - 5) \times 10^{14} \text{ Hz} } = \frac{3 \text{ V}}{3.2 \times 10^{14} \text{ Hz}} \)
\( \text{ઢાળ} = 0.9375 \times 10^{-14} \text{ V/Hz} \).
આ ઢાળ \( \frac{h}{e} \) બરાબર છે.
\( \frac{h}{e} = 0.9375 \times 10^{-14} \text{ V/Hz} \).
ઇલેક્ટ્રૉનનો વિદ્યુતભાર \( e = 1.6 \times 10^{-19} \text{ C} \).
\( h = (0.9375 \times 10^{-14}) \times (1.6 \times 10^{-19}) \text{ Js} \)
\( h = 1.5 \times 10^{-33} \text{ Js} \).
આ મૂલ્ય ( \( 1.5 \times 10^{-33} \text{ Js} \) ) પ્લાન્કના પ્રમાણિત અચળાંક \( h = 6.63 \times 10^{-34} \text{ Js} \) થી અલગ પડે છે. આઇન્સ્ટાઇનનો સિદ્ધાંત સાર્વત્રિક પ્લાન્કના અચળાંકના એક જ મૂલ્યની આગાહી કરે છે, પરંતુ પ્રાયોગિક માપનમાં આ તફાવત સૂચવે છે કે માપનની ચોકસાઈમાં કેટલીક મર્યાદાઓ હોઈ શકે છે અથવા પ્રાયોગિક સેટઅપમાં ભૂલ હોઈ શકે છે.
In simple words: (i) From the graph, material B needs a higher frequency of light to start emitting electrons (its threshold frequency is higher). This means material B has a higher work function than material A. (ii) By calculating the slope of the graph and multiplying it by the electron's charge, we get a value for Planck's constant. This value is different from the accepted standard value, suggesting some error in the experiment or measurement.
🎯 Exam Tip: When analyzing \( V_{stop} \) vs \( \nu \) graphs: the \( \nu \)-intercept gives the threshold frequency (related to work function), and the slope gives \( h/e \). Discrepancies between calculated and known values (like for \( h \)) often indicate experimental limitations or inaccuracies.

Question 4. કણ A, \( v \) વેગથી ગતિ કરે છે અને સ્થિર રહેલા કણ B (દ્રવ્યમાન \( m_B \)) સાથે અથડાય છે. (એક પારિમાણિક ગતિ) કણ A ની ડી-બ્રૉગ્લી તરંગલંબાઈમાં થતો ફેરફાર શોધો. સંઘાતને સ્થિતિસ્થાપક તરીકે લો.
Answer: કણ A નું દળ \( m_A \) અને પ્રારંભિક વેગ \( v \).
કણ B નું દળ \( m_B \) અને પ્રારંભિક વેગ 0.
સંઘાત સ્થિતિસ્થાપક હોવાથી, વેગમાન અને ગતિઊર્જા બંનેનું સંરક્ષણ થાય છે.
પ્રારંભિક ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ \( \lambda_i = \frac{h}{m_A v} \).
સ્થિતિસ્થાપક સંઘાત પછી કણ A નો અંતિમ વેગ \( v_A' \) અને કણ B નો અંતિમ વેગ \( v_B' \) માટે સૂત્રો છે:
\( v_A' = \left( \frac{m_A - m_B}{m_A + m_B} \right) v \)
\( v_B' = \left( \frac{2m_A}{m_A + m_B} \right) v \)
કણ A ની અંતિમ ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ \( \lambda_f = \frac{h}{m_A v_A'} \).
\( \lambda_f = \frac{h}{m_A \left( \frac{m_A - m_B}{m_A + m_B} \right) v} = \frac{h(m_A + m_B)}{m_A (m_A - m_B) v} \)
ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈમાં થતો ફેરફાર \( \Delta \lambda = \lambda_f - \lambda_i \).
\( \Delta \lambda = \frac{h(m_A + m_B)}{m_A (m_A - m_B) v} - \frac{h}{m_A v} \)
\( \Delta \lambda = \frac{h}{m_A v} \left( \frac{m_A + m_B}{m_A - m_B} - 1 \right) \)
\( \Delta \lambda = \frac{h}{m_A v} \left( \frac{(m_A + m_B) - (m_A - m_B)}{m_A - m_B} \right) \)
\( \Delta \lambda = \frac{h}{m_A v} \left( \frac{m_A + m_B - m_A + m_B}{m_A - m_B} \right) \)
\( \Delta \lambda = \frac{h}{m_A v} \left( \frac{2m_B}{m_A - m_B} \right) \)
\( \Delta \lambda = \frac{2hm_B}{m_A v (m_A - m_B)} \)
In simple words: When particle A hits a stationary particle B in an elastic collision, particle A's speed changes. This change in speed means its de-Broglie wavelength also changes. We can calculate this change by first finding the new speed of particle A after the collision using conservation laws, and then applying the de-Broglie formula.
🎯 Exam Tip: This problem involves applying principles of elastic collisions (conservation of momentum and kinetic energy) along with the de-Broglie wavelength concept. Remember the formulas for velocities after a one-dimensional elastic collision.

Question 5. 5000 Å તરંગલંબાઈનો પ્રકાશ ઉત્સર્જિત કરતો 20W નો બલ્બ વિચારો અને 2 m દૂર રાખેલ ધાતુની સપાટીને ચમકાવે છે. ધારો કે, ધાતુની સપાટીનું વર્ક-ફંક્શન 2 eV છે અને ધાતુની સપાટી પર રહેલ દરેક પરમાણુ \( 1.5 \text{ Å} \) ત્રિજ્યા ધરાવતી વર્તુળાકાર તકતી તરીકે વર્તેછે.
(i) બલ્બ દ્વારા પ્રતિ સેકન્ડ ઉત્સર્જિત થતા ફોટોનની સંખ્યાનો અંદાજ મેળવો. (બીજી કોઈ રીતે વ્યય થતો નથી તેમ ધારો.)
(ii) શું અહીં ફોટો ઇલેક્ટ્રિક ઉત્સર્જન થશે ?
(iii) તકતીને વર્ક-ફંક્શન (2 eV) જેટલી ઊર્જા મેળવવામાં કેટલો સમય લાગશે ?
(iv) ઉપર (iii) માં ગણતરી કરેલ સમયગાળામાં પરમાણ્વીય તકતી કેટલા ફોટોન મેળવશે ?
(v) શું તમે સમજાવી શકો છો કે, ફોટો ઇલેક્ટ્રિક અસર કેવી રીતે તત્કાલ અવલોકન કરવામાં આવી ? (Hint : વિભાગ (iii) માં પ્રચલિત વિચારાધારા (Classical consideration) અનુસાર સમય ગણ્યો અને તમે હવે વધુ ગણતરી માટે લક્ષ્ય સપાટીનું ક્ષેત્રફળ 1 cm ધારો અને શું થાય છે તેનો અંદાજ મેળવો.)
Answer:
આપેલ મૂલ્યો:
બલ્બનો પાવર \( P = 20 \text{ W} \).
પ્રકાશની તરંગલંબાઈ \( \lambda = 5000 \text{ Å} = 5000 \times 10^{-10} \text{ m} = 5 \times 10^{-7} \text{ m} \).
ધાતુનું કાર્યવિધેય \( \Phi_0 = 2 \text{ eV} \).
પરમાણુની તકતીની ત્રિજ્યા \( r = 1.5 \text{ Å} = 1.5 \times 10^{-10} \text{ m} \).

(i) બલ્બ દ્વારા પ્રતિ સેકન્ડ ઉત્સર્જિત થતા ફોટોનની સંખ્યા:
એક ફોટોનની ઊર્જા \( E = \frac{hc}{\lambda} \).
\( E = \frac{(6.63 \times 10^{-34} \text{ Js}) \times (3 \times 10^8 \text{ m/s})}{5 \times 10^{-7} \text{ m}} \)
\( E = \frac{19.89 \times 10^{-26}}{5 \times 10^{-7}} = 3.978 \times 10^{-19} \text{ J} \).
પ્રતિ સેકન્ડ ઉત્સર્જિત થતા ફોટોનની સંખ્યા \( N = \frac{P}{E} = \frac{20 \text{ W}}{3.978 \times 10^{-19} \text{ J}} \)
\( N \approx 5.03 \times 10^{19} \) ફોટોન્સ/સેકન્ડ.

(ii) ફોટો ઇલેક્ટ્રિક ઉત્સર્જન થશે કે નહીં?
કાર્યવિધેય \( \Phi_0 = 2 \text{ eV} = 2 \times 1.6 \times 10^{-19} \text{ J} = 3.2 \times 10^{-19} \text{ J} \).
આપાત ફોટોનની ઊર્જા \( E = 3.978 \times 10^{-19} \text{ J} \).
અહીં, \( E > \Phi_0 \) છે, તેથી ફોટો ઇલેક્ટ્રિક ઉત્સર્જન થશે.

(iii) તકતીને કાર્યવિધેય જેટલી ઊર્જા મેળવવામાં લાગતો સમય (ક્લાસિકલ વિચારધારા મુજબ):
બલ્બથી સપાટીનું અંતર \( R = 2 \text{ m} \).
આ સપાટી પર પ્રકાશની તીવ્રતા \( I' = \frac{P}{4\pi R^2} \) (ગોળાકાર પૃષ્ઠ પર વિતરણ).
\( I' = \frac{20 \text{ W}}{4\pi (2 \text{ m})^2} = \frac{20}{16\pi} \approx 0.3979 \text{ W/m}^2 \).
પરમાણ્વીય તકતીનું ક્ષેત્રફળ \( A_{atom} = \pi r^2 = \pi (1.5 \times 10^{-10} \text{ m})^2 = \pi \times 2.25 \times 10^{-20} \text{ m}^2 \approx 7.068 \times 10^{-20} \text{ m}^2 \).
તકતી પર પ્રતિ સેકન્ડ આપાત થતી ઊર્જા \( P_{atom} = I' \times A_{atom} = 0.3979 \text{ W/m}^2 \times 7.068 \times 10^{-20} \text{ m}^2 \approx 2.809 \times 10^{-20} \text{ J/s} \).
કાર્યવિધેય જેટલી ઊર્જા (\( \Phi_0 = 3.2 \times 10^{-19} \text{ J} \)) મેળવવામાં લાગતો સમય \( t = \frac{\Phi_0}{P_{atom}} \).
\( t = \frac{3.2 \times 10^{-19} \text{ J}}{2.809 \times 10^{-20} \text{ J/s}} \approx 11.39 \text{ s} \).

(iv) આ સમયગાળામાં પરમાણ્વીય તકતી કેટલા ફોટોન મેળવશે?
એકમ સમયમાં તકતી પર આપાત થતા ફોટોનની સંખ્યા \( N_{atom/s} = \frac{P_{atom}}{E} \).
\( N_{atom/s} = \frac{2.809 \times 10^{-20} \text{ J/s}}{3.978 \times 10^{-19} \text{ J/photon}} \approx 0.0706 \text{ photons/s} \).
\( 11.39 \text{ s} \) માં મેળવેલ ફોટોનની કુલ સંખ્યા \( N_{total} = N_{atom/s} \times t \).
\( N_{total} = 0.0706 \text{ photons/s} \times 11.39 \text{ s} \approx 0.804 \).
આશરે 0.8 ફોટોન.

(v) ફોટોઇલેક્ટ્રિક અસર તત્કાલ કેમ જોવા મળે છે?
ક્લાસિકલ વિચારધારા મુજબ (જેમ કે ભાગ iii માં ગણતરી કરી), એક પરમાણુને ફોટોઇલેક્ટ્રિક ઉત્સર્જન માટે જરૂરી ઊર્જા (કાર્યવિધેય) શોષવામાં આશરે 11.39 સેકન્ડ લાગશે. જો લક્ષ્ય સપાટીનું ક્ષેત્રફળ 1 cm² ( \( 10^{-4} \text{ m}^2 \) ) હોય, તો તે પરમાણુ દીઠ પણ લાંબો સમય લાગશે.
જોકે, પ્રાયોગિક રીતે ફોટોઇલેક્ટ્રિક ઉત્સર્જન લગભગ તત્કાલ ( \( 10^{-9} \) સેકન્ડમાં) થાય છે. આ વિસંગતતા સૂચવે છે કે પ્રકાશ તરંગ તરીકે નહીં, પરંતુ ફોટોન કણ તરીકે વર્તે છે. એક ફોટોન તેની સંપૂર્ણ ઊર્જા ઇલેક્ટ્રોનને તરત જ આપી દે છે, જો તે ઊર્જા કાર્યવિધેય કરતાં વધુ હોય તો ઇલેક્ટ્રોન તરત જ બહાર નીકળી જાય છે.
In simple words: (i) The bulb emits about \( 5.03 \times 10^{19} \) photons every second. (ii) Yes, photo-electric emission will happen because the light's energy is higher than the metal's work function. (iii) Classically, it would take about 11.39 seconds for one atom to absorb enough energy to release an electron. (iv) In that time, the atom would receive less than one photon (about 0.8 photons). (v) Photoelectric effect happens instantly because light acts as tiny packets of energy (photons). Each photon gives all its energy to one electron immediately, so there's no delay, unlike what classical wave theory predicts.
🎯 Exam Tip: This comprehensive problem tests multiple concepts: photon energy, rate of photon emission, photo-electric effect condition, and the contrast between classical and quantum interpretations of light absorption time. Understanding why the photo-electric effect is instant is crucial for distinguishing wave theory from particle theory of light.

 

Question 5(v). શું તમે સમજાવી શકો છો કે, ફોટો ઇલેક્ટ્રિક અસર કેવી રીતે તત્કાલ અવલોકન કરવામાં આવી ? (Hint : વિભાગ (iii) માં પ્રચલિત વિચારાધારા (Classical consideration) અનુસાર સમય ગણ્યો અને તમે હવે વધુ ગણતરી માટે લક્ષ્ય સપાટીનું ક્ષેત્રફળ 1 cm ધારો અને શું થાય છે તેનો અંદાજ મેળવો.)
Answer: ગણતરી, જે “ફોટોન તરંગ તરીકે કામ કરે છે” તેવા વિચાર પર આધારિત છે, સૂચવે છે કે ફોટોઇલેક્ટ્રોનનું ઉત્સર્જન આશરે 11.38 સેકન્ડ પછી થવું જોઈએ. જોકે, પ્રયોગો દર્શાવે છે કે ફોટોઇલેક્ટ્રોનનું ઉત્સર્જન ખૂબ જ ઓછા સમયમાં, લગભગ \(10^{-9}\) સેકન્ડમાં, થાય છે. આનો અર્થ એ છે કે ફોટોઇલેક્ટ્રિક અસર તાત્કાલિક થાય છે.
In simple words: Experiments show that photoemission happens instantly, within nanoseconds, which contradicts classical wave theory that predicts a delay. This instant emission supports the particle nature of light.

🎯 Exam Tip: Understanding the instantaneous nature of the photoelectric effect is crucial. It is a key argument supporting the quantum (particle) theory of light over the classical wave theory, highlighting that energy transfer occurs in discrete packets (photons) rather than continuously.

 

Question 2. ધાતુની સપાટી (અનંત વિસ્તારવાળી સપાટી તરીકે વર્તે)ની સામે d અંતરે ઇલેક્ટ્રોન વિચારો. પ્લેટ વડે લાગતું આકર્ષણ બળ ધારો. વિધુતભારને પ્લેટથી અનંત અંતરે લઈ જવા કરવું પડતું કાર્ય ગણો. d = 0.1 nm લઈને, કાર્ય ઇલેક્ટ્રૉન વોલ્ટમાં શોધો. (આવા બળના નિયમો d < 0.1 nm માટે પળાતા નથી.)
Answer:
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): આ ચિત્રમાં એક અનંત ધાતુની સપાટી બતાવી છે, જેના પર ધન (+) વિદ્યુતભાર છે. સપાટીથી x અંતરે એક ઇલેક્ટ્રોન (-) બતાવેલો છે, જેના પર સપાટી તરફ F (આકર્ષણ) બળ લાગે છે. આ બળ વિરુદ્ધ ઇલેક્ટ્રોનને dx અંતર ખસેડવા માટે F' (બાહ્ય) બળ લગાડવું પડે છે. ધારો કે, ધાતુની સપાટીથી \(x\) અંતરે ઇલેક્ટ્રોન પર લાગતું આકર્ષણ બળ \(F = \frac{1}{4} \left(\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}\right) \frac{q^2}{x^2}\) છે. ઇલેક્ટ્રોનને \(dx\) જેટલું અત્યંત નાનું અંતર સપાટીથી દૂર ખસેડવા માટે બાહ્ય બળ વડે કરવું પડતું કાર્ય \(dW\) નીચે મુજબ છે: \(dW = F'dx\cos0^\circ\) \(dW = F'dx\) ઇલેક્ટ્રોનને પ્લેટથી અનંત અંતરે લઈ જવા માટે થતું કુલ કાર્ય: \[ W = \int dW = \int_d^\infty F'dx \] \[ W = \int_d^\infty \frac{1}{4} \left(\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}\right) \frac{q^2}{x^2} dx \] \[ W = \frac{1}{4} \frac{q^2}{4 \pi \varepsilon_0} \int_d^\infty \frac{1}{x^2} dx \] \[ W = \frac{1}{4} \frac{q^2}{4 \pi \varepsilon_0} \left[ -\frac{1}{x} \right]_d^\infty \] \[ W = \frac{1}{4} \frac{q^2}{4 \pi \varepsilon_0} \left(0 - (-\frac{1}{d})\right) \] \[ W = \frac{1}{4} \frac{q^2}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{1}{d} \] આપેલા મૂલ્યોનો ઉપયોગ કરીને: \(q = 1.6 \times 10^{-19}\) C (ઇલેક્ટ્રોનનો વિદ્યુતભાર) \(d = 0.1 \text{ nm} = 0.1 \times 10^{-9}\) m \( \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} = 9 \times 10^9 \text{ N m}^2/\text{C}^2 \) \[ W = \frac{1}{4} \times (9 \times 10^9) \times (1.6 \times 10^{-19})^2 \times \frac{1}{0.1 \times 10^{-9}} \] \[ W = 5.76 \times 10^{-19} \text{ J} \] આ કાર્યને ઇલેક્ટ્રોન વોલ્ટમાં રૂપાંતરિત કરવા: \[ W = \frac{5.76 \times 10^{-19}}{1.6 \times 10^{-19}} \text{ eV} \] \[ W = 3.6 \text{ eV} \]
In simple words: ઇલેક્ટ્રોનને ધાતુની સપાટીના આકર્ષણ બળ સામે અનંત સુધી ખસેડવા માટે, આપણે કાર્ય કરવું પડે છે. ગણતરી મુજબ, આ કાર્ય 3.6 ઇલેક્ટ્રોન વોલ્ટ જેટલું છે.

🎯 Exam Tip: Remember to express the final work in electron volts (eV) when specified. Ensure correct application of the electrostatic force formula and integration limits for calculating work done over a distance.

 

Question 3. એક વિધાર્થી ફોટો ઇલેક્ટ્રિક અસરનો પ્રયોગ, બે દ્રવ્યો A અને B નો ઉપયોગ કરીને કરે છે. Vstop વિરુદ્ધ \( \nu \) નો આલેખ આકૃતિમાં આપેલ છે.
(i) A અને B માંથી કયા દ્રવ્યને ઊંચું વર્ક-ફંક્શન હશે ?
(ii) ઇલેક્ટ્રૉનનો વિધુતભાર \( 1.6 \times 10^{-19} \) C આપેલ છે. A અને B બંને માટે પ્રયોગ પરથી h નું મૂલ્ય શોધો. આઇન્સ્ટાઇનના વાદ સાથે તે સુસંગત છે કે નહીં તેના પર ટિપ્પણી કરો.
Answer:
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): આ આકૃતિ સ્ટોપિંગ વોલ્ટેજ (Vstop) વિરુદ્ધ પ્રકાશની આવૃત્તિ (\( \nu \)) નો ગ્રાફ દર્શાવે છે. બે જુદા જુદા દ્રવ્યો A અને B માટે બે સીધી રેખાઓ દોરેલી છે. દ્રવ્ય A ની રેખા દ્રવ્ય B ની રેખા કરતાં ઓછી આવૃત્તિ પર Vstop શૂન્ય દર્શાવે છે. (i) વર્ક-ફંક્શન (\( \Phi_0 \)) થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ (\( \nu_0 \)) સાથે સંબંધિત છે: \( \Phi_0 = h\nu_0 \). આલેખ પરથી, આપણે થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિઓ શોધી શકીએ છીએ. દ્રવ્ય A માટે, થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ \( \nu_{0A} = 5 \times 10^{14} \) Hz છે. દ્રવ્ય B માટે, થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ \( \nu_{0B} = 10 \times 10^{14} \) Hz છે. અહીં, \( \nu_{0B} > \nu_{0A} \). તેથી, \( \Phi_{0B} > \Phi_{0A} \). આમ, દ્રવ્ય B નું વર્ક-ફંક્શન ઊંચું છે. (ii) \(V_{stop}\) વિરુદ્ધ \( \nu \) ના આલેખનો ઢાળ \( \frac{\Delta V_0}{\Delta \nu} \) આપે છે. આઇન્સ્ટાઇનના ફોટોઇલેક્ટ્રિક સમીકરણ અનુસાર, \(eV_0 = h\nu - \Phi_0\). આથી, \(V_0 = \frac{h}{e}\nu - \frac{\Phi_0}{e}\). આ સમીકરણ \(y = mx + c\) સ્વરૂપનું છે, જ્યાં ઢાળ \(m = \frac{h}{e}\) છે. દ્રવ્ય A માટે ઢાળ: \( \frac{h}{e} = \frac{PQ}{QR} = \frac{1.28 - 0}{(8.2 - 5.0) \times 10^{14}} = \frac{1.28}{3.2 \times 10^{14}} = 0.4 \times 10^{-14} \) V s \[ h = (0.4 \times 10^{-14}) \times e \] \[ h = (0.4 \times 10^{-14}) \times (1.6 \times 10^{-19}) \] \[ h = 0.64 \times 10^{-33} \text{ Js} \] \[ h = 6.4 \times 10^{-34} \text{ Js} \] દ્રવ્ય B માટે ઢાળ: \( \frac{h}{e} = \frac{2.5 - 0}{(15.0 - 10.0) \times 10^{14}} = \frac{2.5}{5.0 \times 10^{14}} = 0.5 \times 10^{-14} \) V s \[ h = (0.5 \times 10^{-14}) \times e \] \[ h = (0.5 \times 10^{-14}) \times (1.6 \times 10^{-19}) \] \[ h = 0.8 \times 10^{-33} \text{ Js} \] \[ h = 8.0 \times 10^{-34} \text{ Js} \] આમ, દ્રવ્ય A અને B માટે પ્રયોગોમાંથી મળેલા પ્લાન્કના અચળાંક (\(h\)) ના મૂલ્યો અલગ-અલગ છે (\(6.4 \times 10^{-34}\) Js અને \(8.0 \times 10^{-34}\) Js). આ દર્શાવે છે કે ઉપરોક્ત પ્રાયોગિક અવલોકનો આઇન્સ્ટાઇનના સિદ્ધાંત સાથે સુસંગત નથી કારણ કે પ્લાન્કનો અચળાંક એક સાર્વત્રિક સ્થિરાંક છે અને તેનું મૂલ્ય બંને દ્રવ્યો માટે સમાન આવવું જોઈએ.
In simple words: (i) દ્રવ્ય B ને ઊંચું વર્ક-ફંક્શન છે કારણ કે તેને ફોટોઇલેક્ટ્રોન ઉત્સર્જન કરવા માટે વધુ ઊર્જાવાળા પ્રકાશની જરૂર પડે છે. (ii) આલેખ પરથી, બંને દ્રવ્યો માટે પ્લાન્કના અચળાંકના જુદા-જુદા મૂલ્યો મળે છે. આ દર્શાવે છે કે આ પ્રયોગના અવલોકનો આઇન્સ્ટાઇનના સિદ્ધાંત સાથે સુસંગત નથી, કારણ કે પ્લાન્કનો અચળાંક હંમેશા સમાન હોવો જોઈએ.

🎯 Exam Tip: When comparing work functions, remember that a higher threshold frequency means a higher work function. For finding Planck's constant from a V-nu graph, the slope (h/e) is key. If calculated h values differ for different materials in the same experiment, it indicates a discrepancy with theoretical predictions.

 

Question 4. કણ A, \( \nu \) વેગથી ગતિ કરે છે અને સ્થિર રહેલા કણ B (દ્રવ્યમાન \( m_B \)) સાથે અથડાય છે. (એક પારિમાણિક ગતિ) કણ A ની ડી-બ્રૉગ્લી તરંગલંબાઈમાં થતો ફેરફાર શોધો. સંઘાતને સ્થિતિસ્થાપક તરીકે લો.
Answer: કણ A માટે સંઘાત પહેલાં તેની પ્રારંભિક ડી-બ્રૉગ્લી તરંગલંબાઈ: \( \lambda_i = \frac{h}{m_A v_i} \) જ્યાં \(v_i = v\) (પ્રારંભિક વેગ), \[ \lambda_i = \frac{h}{m_A v} \quad \ldots (1) \] હવે, સ્થિતિસ્થાપક સંઘાત પછી કણ A નો અંતિમ વેગ \(v_f\): \[ v_f = \left(\frac{m_A - m_B}{m_A + m_B}\right) v_i = \left(\frac{m_A - m_B}{m_A + m_B}\right) \nu \quad \ldots (2) \] કણ A ની અંતિમ ડી-બ્રૉગ્લી તરંગલંબાઈ: \[ \lambda_f = \frac{h}{m_A v_f} = \frac{h}{m_A \left(\frac{m_A - m_B}{m_A + m_B}\right) \nu} = \frac{h}{m_A \nu} \frac{m_A + m_B}{m_A - m_B} \] સમીકરણો (1) અને (3) પરથી, ડી-બ્રૉગ્લી તરંગલંબાઈમાં થતો ફેરફાર \( \Delta\lambda \): \[ \Delta\lambda = \lambda_f - \lambda_i = \frac{h}{m_A \nu} \left( \frac{m_A + m_B}{m_A - m_B} - 1 \right) \] \[ = \frac{h}{m_A \nu} \left( \frac{m_A + m_B - (m_A - m_B)}{m_A - m_B} \right) \] \[ \therefore \Delta\lambda = \frac{2hm_B}{m_A (m_A - m_B) \nu} \]
In simple words: જ્યારે કણ A સ્થિર કણ B સાથે અથડાય છે, ત્યારે કણ A ના વેગમાં ફેરફાર થાય છે. આ વેગમાં ફેરફાર તેની ડી-બ્રૉગ્લી તરંગલંબાઈમાં પણ ફેરફાર લાવે છે. આ ફેરફાર અથડાતા કણોના દળ અને પ્રારંભિક વેગ પર આધાર રાખે છે.

🎯 Exam Tip: For elastic collisions, remember to apply the conservation of momentum and kinetic energy to find the final velocities. De Broglie wavelength is inversely proportional to momentum, so changes in velocity directly affect the wavelength.

 

Question 5. 5000 Å તરંગલંબાઈનો પ્રકાશ ઉત્સર્જિત કરતો 20W નો બલ્બ વિચારો અને 2 m દૂર રાખેલ ધાતુની સપાટીને ચમકાવે છે. ધારો કે, ધાતુની સપાટીનું વર્ક-ફંક્શન 2 eV છે અને ધાતુની સપાટી પર રહેલ દરેક પરમાણુ 1.5 Å ત્રિજ્યા ધરાવતી વર્તુળાકાર તકતી તરીકે વર્તેછે.
(i) બલ્બ દ્વારા પ્રતિ સેકન્ડ ઉત્સર્જિત થતા ફોટોનની સંખ્યાનો અંદાજ મેળવો. (બીજી કોઈ રીતે વ્યય થતો નથી તેમ ધારો.)
(ii) શું અહીં ફોટો ઇલેક્ટ્રિક ઉત્સર્જન થશે ?
(iii) તકતીને વર્ક-ફંક્શન (2 eV) જેટલી ઊર્જા મેળવવામાં કેટલો સમય લાગશે ?
(iv) ઉપર (iii) માં ગણતરી કરેલ સમયગાળામાં પરમાણ્વીય તકતી કેટલા ફોટોન મેળવશે ?
(v) શું તમે સમજાવી શકો છો કે, ફોટો ઇલેક્ટ્રિક અસર કેવી રીતે તત્કાલ અવલોકન કરવામાં આવી ? (Hint : વિભાગ (iii) માં પ્રચલિત વિચારાધારા (Classical consideration) અનુસાર સમય ગણ્યો અને તમે હવે વધુ ગણતરી માટે લક્ષ્ય સપાટીનું ક્ષેત્રફળ 1 cm ધારો અને શું થાય છે તેનો અંદાજ મેળવો.)
Answer:
(i) બલ્બમાંથી દર સેકન્ડે ઉત્સર્જિત થતા ફોટોનની સંખ્યા (\(n/t\)) શોધવા માટે, આપણે બલ્બના પાવર (\(P\)) અને ઉત્સર્જિત પ્રકાશની તરંગલંબાઈ (\( \lambda \)) નો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ. \[ P = \frac{E_n}{t} = \frac{nh\nu}{t} = \frac{nhc}{t\lambda} \] \[ \therefore \left(\frac{n}{t}\right) = \frac{P\lambda}{hc} \] અહીં \(P = 20\) W, \( \lambda = 5000 \text{ Å} = 5000 \times 10^{-10}\) m, \(h = 6.625 \times 10^{-34}\) Js, \(c = 3 \times 10^8\) ms\(^{-1}\). \[ \left(\frac{n}{t}\right) = \frac{(20) (5000 \times 10^{-10})}{(6.625 \times 10^{-34}) (3 \times 10^8)} \] \[ = 5.03 \times 10^{19} \text{ ફોટોન/સેકન્ડ} \]
(ii) આપાત પ્રકાશના ફોટોનની ઊર્જા \(E_1\) શોધવા માટે: \[ E_1 = h\nu = \frac{hc}{\lambda} \] \[ = \frac{(6.625 \times 10^{-34})(3 \times 10^8)}{(5000 \times 10^{-10})} \] \[ = 3.975 \times 10^{-19} \text{ J} \] આ ઊર્જાને ઇલેક્ટ્રોન વોલ્ટમાં રૂપાંતરિત કરવા: \[ E_1 = \frac{3.975 \times 10^{-19}}{1.6 \times 10^{-19}} \text{ eV} \] \[ \therefore E_1 = 2.49 \text{ eV} \] ધાતુનું વર્ક-ફંક્શન \( \Phi_0 = 2 \) eV આપેલું છે. અહીં, \( E_1 > \Phi_0 \). આમ, ફોટોઇલેક્ટ્રિક ઉત્સર્જન થશે.
(iii) તકતીને વર્ક-ફંક્શન (\(2\) eV) જેટલી ઊર્જા મેળવવામાં લાગતો સમય \(t_0\): તકતી પર આપાત થતી ઊર્જાનો દર, \(P_{incident} = I \times A\), જ્યાં \(I\) તીવ્રતા અને \(A\) ક્ષેત્રફળ. \(I = \frac{P_{bulb}}{4 \pi R^2}\), જ્યાં \(R = 2\) m અંતર છે. તકતીનું ક્ષેત્રફળ \(A_{disk} = \pi r^2\), જ્યાં \(r = 1.5 \text{ Å} = 1.5 \times 10^{-10}\) m. પાવર મેળવવાનો દર \(P_{disk} = I \times A_{disk} = \frac{P_{bulb}}{4 \pi R^2} \times \pi r^2 = \frac{P_{bulb} r^2}{4 R^2}\). જરૂરી ઊર્જા \(E_{needed} = \Phi_0 = 2 \text{ eV} = 2 \times 1.6 \times 10^{-19} \text{ J}\). \[ t_0 = \frac{E_{needed}}{P_{disk}} = \frac{\Phi_0 \times 4R^2}{P_{bulb} r^2} \] \[ t_0 = \frac{(2 \times 1.6 \times 10^{-19}) \times 4 \times (2)^2}{(20) \times (1.5 \times 10^{-10})^2} \] \[ \therefore t_0 = 11.38 \text{ s} \]
(iv) ઉપર (iii) માં ગણતરી કરેલા સમયગાળામાં પરમાણ્વીય તકતી દ્વારા મેળવાયેલા ફોટોનની સંખ્યા (\(N\)): \[ N = \left(\frac{n}{t}\right) \times \frac{A_{disk}}{A_{total}} \times t_0 \] જ્યાં \(A_{total}\) એ 2m અંતરે બલ્બના પ્રકાશથી પ્રકાશિત થતા ગોળાકાર પૃષ્ઠનું ક્ષેત્રફળ છે, \(A_{total} = 4\pi R^2\). \[ N = \left(\frac{n}{t}\right) \times \frac{\pi r^2}{4\pi R^2} \times t_0 \] \[ N = \left(\frac{n}{t}\right) \times \frac{r^2}{4R^2} \times t_0 \] \[ N = (5.03 \times 10^{19}) \times \frac{(1.5 \times 10^{-10})^2}{4 \times (2)^2} \times 11.38 \] \[ N = \frac{5.03 \times 10^{19} \times 2.25 \times 10^{-20} \times 11.38}{16} \] \[ N = \frac{12.879}{16} \approx 0.8049 \approx 1.0 \] આમ, પરમાણ્વીય તકતી આશરે 1 ફોટોન મેળવશે.
(v) ગણતરી “ફોટોન તરંગ તરીકે વર્તે છે” તે ધારણા પર આધારિત છે. જો આ ધારણા સાચી હોય તો આપણને ફોટોઇલેક્ટ્રોનનું ઉત્સર્જન આશરે 11.38 સેકન્ડ બાદ મળવું જોઈએ. પરંતુ પ્રાયોગિક રીતે ફોટોઇલેક્ટ્રોનનું ઉત્સર્જન અતિ સૂક્ષ્મ સમયમાં આશરે \(10^{-9}\) સેકન્ડમાં (એટલે કે લગભગ તાત્કાલિક) મળે છે. આ ઘટના પરથી આપણે કહી શકીએ કે ફોટોઇલેક્ટ્રિક અસર તત્કાલ છે.
In simple words: (i) બલ્બ દર સેકન્ડે આશરે \(5.03 \times 10^{19}\) ફોટોન ઉત્સર્જિત કરે છે. (ii) ફોટોનની ઊર્જા ધાતુના વર્ક-ફંક્શન કરતાં વધારે હોવાથી, ફોટોઇલેક્ટ્રિક ઉત્સર્જન થશે. (iii) તકતીને જરૂરી ઊર્જા મેળવવામાં લગભગ 11.38 સેકન્ડ લાગશે. (iv) આ સમયગાળામાં તકતી આશરે 1 ફોટોન મેળવશે. (v) ક્લાસિકલ સિદ્ધાંત મુજબ ફોટોઇલેક્ટ્રિક અસર 11.38 સેકન્ડ પછી થવી જોઈએ, પરંતુ વાસ્તવમાં તે તત્કાલિક (\(10^{-9}\) સેકન્ડમાં) થાય છે, જે દર્શાવે છે કે પ્રકાશ કણ સ્વરૂપે વર્તે છે.

🎯 Exam Tip: This comprehensive problem tests understanding of photon energy, work function, intensity, and the time delay predicted by classical theory versus instantaneous quantum emission. Ensure all units are consistent (Joule vs eV) during calculations.