GSEB Class 12 Physics Solutions Chapter 10 તરંગ પ્રકાશશાસ્ત્ર

Gujarat Board Textbook Solutions Class 12 Physics Chapter 10 તરંગ પ્રકાશશાસ્ત્ર

GSEB Class 12 Physics તરંગ પ્રકાશશાસ્ત્ર Text Book Questions and Answers

 

Question 1. 589 nm તરંગલંબાઈ ધરાવતો એકરંગી પ્રકાશ હવામાંથી પાણીની સપાટી ઉપર આપાત થાય છે. તો (a) પરાવર્તિત અને (b) વક્રીભૂત પ્રકાશની તરંગલંબાઈ, આવૃત્તિ અને ઝડપ કેટલી હશે ? પાણીનો વક્રીભવનાંક 1.33 છે.
Answer:
હવામાં તરંગલંબાઈ \( \lambda \) = 589 nm = \( 589 \times 10^{-9} \) m
હવામાં ઝડપ c = \( 3 \times 10^8 \) m/s
પાણીનો વક્રીભવનાંક \( \mu_w \) = 1.33

(a) પરાવર્તિત પ્રકાશ માટે, ઝડપ અને તરંગલંબાઈ એ આપાત પ્રકાશની ઝડપ અને તરંગલંબાઈ જેટલી જ રહે છે.
\( \therefore \) ઝડપ c = \( 3 \times 10^8 \) m/s અને
તરંગલંબાઈ \( \lambda \) = \( 589 \times 10^{-9} \) m
આવૃત્તિ \( \nu = \frac{c}{\lambda} = \frac{3 \times 10^8}{589 \times 10^{-9}} \)
\( \therefore \nu = 0.00509 \times 10^{17} \) Hz
\( \therefore \nu = 5.09 \times 10^{14} \) Hz

(b) વક્રીભૂત પ્રકાશ માટે, આવૃત્તિ અચળ રહે છે, પરંતુ તરંગલંબાઈ અને ઝડપ બદલાય છે.
\( \therefore \) આવૃત્તિ \( \nu = 5.09 \times 10^{14} \) Hz
પાણીમાં પ્રકાશની ઝડપ: \( \mu_w = \frac{\text{હવામાં ઝડપ}}{\text{પાણીમાં ઝડપ}} = \frac{c}{v_w} \)
\( \therefore v_w = \frac{c}{\mu_w} = \frac{3 \times 10^8}{1.33} \)
\( = 2.2556 \times 10^8 \)
\( \approx 2.26 \times 10^8 \) m/s
અને તરંગલંબાઈ: \( \lambda_w = \frac{v_w}{\nu} = \frac{2.26 \times 10^8}{5.09 \times 10^{14}} \)
\( \therefore \lambda_w = 0.444 \times 10^{-6} \)
\( \therefore \lambda_w \approx 444 \times 10^{-9} \) m
In simple words: જ્યારે પ્રકાશ એક માધ્યમમાંથી બીજામાં જાય છે, ત્યારે તેની આવૃત્તિ બદલાતી નથી. પરંતુ, તેની ઝડપ અને તરંગલંબાઈ માધ્યમના વક્રીભવનાંક અનુસાર બદલાય છે. પરાવર્તનમાં, પ્રકાશના ગુણધર્મો બદલાતા નથી.
🎯 Exam Tip: Remember that frequency remains constant when light travels from one medium to another, while wavelength and speed change based on the refractive index.

 

Question 2. નીચેના આપેલા દરેક કિસ્સા માટે તરંગઅગ્રનો આકાર શું હશે ?
(a) બિંદુવત્ત ઉદ્ગમમાંથી ફેલાતો પ્રકાશ.
(b) બહિર્ગોળ લેન્સમાંથી નિર્ગમન પામતો પ્રકાશ કે જ્યારે બિંદુવત્ત ઉદ્ગમ તેના કેન્દ્ર ઉપર મૂકેલ હોય.
(c) દૂર રહેલા તારાના પ્રકાશના તરંગઅગ્રનો પૃથ્વી દ્વારા આંતરાતો ભાગ.
Answer:
(a) ગોળાકાર તરંગઅગ્ર: કારણ કે પ્રકાશના બિંદુવત્ત ઉદ્ગમમાંથી નીકળતા તરંગો એકસરખી રીતે ફેલાય છે, જેના કારણે સમાન કંપન કરતા કણો એક ગોળાકાર સપાટી બનાવે છે.
(b) સમતલ તરંગઅગ્ર: કારણ કે જ્યારે બિંદુવત્ત ઉદ્ગમ બહિર્ગોળ લેન્સના મુખ્ય કેન્દ્ર પર હોય છે, ત્યારે લેન્સમાંથી નીકળતા પ્રકાશના કિરણો સમાંતર બને છે, જેના કારણે તરંગઅગ્ર સમતલ બને છે.
(c) સમતલ તરંગઅગ્ર: કારણ કે, ખૂબ જ દૂરથી આવતા ગોળાકાર તરંગઅગ્રનો નાનો ભાગ લગભગ સમતલ દેખાય છે, જેમ પૃથ્વી પર સૂર્યપ્રકાશ આવે છે.
In simple words: તરંગઅગ્ર એ એક સપાટી છે જ્યાં તરંગના બધા કણો એકસાથે કંપન કરે છે. પ્રકાશના ઉદ્ગમના પ્રકાર અને અંતર પર આધાર રાખીને તેનો આકાર બદલાય છે, જેમ કે ગોળાકાર અથવા સમતલ.
🎯 Exam Tip: Understanding the shape of wavefronts for different sources is key. Point sources create spherical wavefronts, while distant sources create plane wavefronts.

 

Question 3. (a) કાચનો વક્રીભવનાંક 1.5 છે. પ્રકાશની કાચમાં ઝડપ કેટલી હશે ?
(શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ \( 3.0 \times 10^8 \) ms-1 છે.)
(b) શું પ્રકાશની કાચમાં ઝડપ પ્રકાશના રંગથી સ્વતંત્ર છે ? જો ના તો બે રાતા અને જાંબલી એ બે રંગોમાંથી કો રંગ કાચના પ્રિઝમમાંથી ધીમે ગતિ કરશે ?
Answer:
(a) અહીં \( \mu \) = 1.5, c = \( 3.0 \times 10^8 \) ms-1
વક્રીભવનાંક \( \mu = \frac{\text{હવામાં ઝડપ}}{\text{કાચમાં ઝડપ}} = \frac{c}{v} \)
\( \therefore v = \frac{c}{\mu} = \frac{3 \times 10^8}{1.5} \)
\( = 2 \times 10^8 \) ms-1

(b) ના, માધ્યમમાં વક્રીભવનાંક પ્રકાશની તરંગલંબાઈ પર આધાર રાખે છે, તેથી માધ્યમમાં પ્રકાશની ઝડપ પણ તરંગલંબાઈ પર આધાર રાખે છે. કાચમાં પ્રકાશની ઝડપ તેના રંગથી સ્વતંત્ર નથી. જાંબલી રંગનો પ્રકાશ કાચના પ્રિઝમમાંથી ધીમે ગતિ કરશે, જ્યારે રાતા રંગનો પ્રકાશ ઝડપથી ગતિ કરશે. કારણ કે, \( \mu_v > \mu_R \) અને કાચમાં જાંબલી રંગની ઝડપ રાતા રંગના પ્રકાશની ઝડપ કરતાં ઓછી હોય છે.
(નોંધ: જ્યારે કોઈ ચોક્કસ તરંગલંબાઈ કે પ્રકાશનો રંગ ન આપેલ હોય તો સરેરાશ પીળા રંગના વક્રીભવનાંકને લઈ શકીએ.)
In simple words: પ્રકાશની ઝડપ શૂન્યાવકાશમાં હંમેશા એકસરખી હોય છે, પણ કોઈ માધ્યમમાં તે ધીમી પડે છે. દરેક રંગની પ્રકાશની તરંગલંબાઈ અલગ હોવાથી, કાચ જેવા માધ્યમમાં દરેક રંગની ઝડપ પણ અલગ હોય છે.
🎯 Exam Tip: Remember that the speed of light in a medium depends on its refractive index, which in turn depends on the wavelength (color) of light. Violet light bends more and travels slower than red light in a prism.

 

Question 4. યંગના બે-લિટના પ્રયોગમાં, બે સ્લિટો વચ્ચેનું અંતર 0.28 mm અને પડદો 1.4 m દૂર મૂકેલો છે. મધ્યસ્થ પ્રકાશિત શલાકા અને ચોથી પ્રકાશિત શલાકા વચ્ચેનું અંતર 1.2 cm જેટલું માપવામાં આવે છે. પ્રયોગમાં વપરાયેલ પ્રકાશની તરંગલંબાઈ શોધો.
Answer:
અહીં બે સ્લિટ વચ્ચેનું અંતર d = 0.28 mm = \( 28 \times 10^{-5} \) m
સ્લિટો અને પડદા વચ્ચેનું અંતર D = 1.4 m
મધ્યસ્થ પ્રકાશિત અને ચોથી પ્રકાશિત શલાકા વચ્ચેનું અંતર = \( 1.2 \) cm = \( 1.2 \times 10^{-2} \) m
'n' મી પ્રકાશિત શલાકાનું સ્થાન,
\( X_n = \frac{n \lambda D}{d} \)
\( \therefore x_4 = \frac{4 \times \lambda D}{d} \) [: n = 4]
\( \lambda = \frac{x_4 d}{4 D} = \frac{1.2 \times 10^{-2} \times 28 \times 10^{-5}}{4 \times 1.4} \)
\( = 0.06 \times 10^{-6} \) m
\( \therefore \lambda = 6000 \times 10^{-10} \) m
\( \therefore \lambda = 6000 \) Å [\( 10^{-10} \) m = 1 Å]
In simple words: યંગના પ્રયોગમાં, પ્રકાશની બે નાની સ્લિટોમાંથી પસાર થઈને પડદા પર ચમકતા પટ્ટા (શલાકાઓ) બને છે. આ પટ્ટાઓના અંતરને માપીને, આપણે વાપરેલા પ્રકાશની તરંગલંબાઈ શોધી શકીએ છીએ.
🎯 Exam Tip: For Young's double-slit experiment, remember the formula for the position of bright fringes \( X_n = \frac{n \lambda D}{d} \) and ensure consistent units for all values.

 

Question 5. \( \lambda \) જેટલી એકરંગી તરંગલંબાઈ ધરાવતા પ્રકાશ સાથે કરેલા યંગના બે-સ્વિટના પ્રયોગમાં, પડદા પરના જે બિંદુએ પથ તફાવત \( \lambda \) જેટલો થાય ત્યાં તીવ્રતા K એકમ છે. જ્યાં પથ તફાવત \( \frac{\lambda}{3} \) થાય તે બિંદુએ પ્રકાશની તીવ્રતા કેટલી હશે?
Answer:
જ્યારે પથતફાવત P1 = \( \lambda \implies \) તીવ્રતા I1 = K
અને જ્યારે પથતફાવત P2 = \( \frac{2 \lambda}{3} \implies \) તીવ્રતા I2 = ?
\( \implies \) કળાતફાવત \( \Phi = \frac{2 \pi}{\lambda} \times \) પથતફાવત
\( \Phi_1 = \frac{2 \pi}{\lambda} \times \lambda \)
\( \Phi_1 = 2\pi \) rad
અને \( \Phi_2 = \frac{2 \pi}{\lambda} \times \frac{\lambda}{3} \)
\( \therefore \Phi_2 = \frac{2 \pi}{3} \) rad
I1 અને I2 તીવ્રતાવાળા પ્રકાશના સંપાતીકરણના લીધે મળતી તીવ્રતા I હોય તો,
\( I = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2} \cos\Phi \)
પણ I1 = I2 = I0 ધારો.
પ્રથમ કિસ્સામાં,
\( K = I_0 + I_0 + 2I_0 \cos\Phi_1 \)
\( K = 2I_0 + 2I_0 \cos(2\pi) \)
\( = 2I_0 + 2I_0 \) [: \( \cos(2\pi) = 1 \)]
\( \therefore K = 4I_0 \)
બીજા કિસ્સામાં,
\( I' = I_0 + I_0 + 2I_0 \cos\Phi_2 \)
\( \therefore K' = 2I_0 + 2I_0 \cos(\frac{2\pi}{3}) \)
\( = 2I_0 + 2I_0 \times (-\frac{1}{2}) \) [: \( \cos(\frac{2\pi}{3}) = -\frac{1}{2} \)]
\( = 2I_0 - I_0 \)
\( \therefore K' = I_0 \)
\( \therefore \frac{K'}{K} = \frac{I_0}{4I_0} = \frac{1}{4} \)
\( \therefore K' = \frac{K}{4} \)
In simple words: પ્રકાશ તરંગો જ્યારે ભેગા થાય છે, ત્યારે તેમની તીવ્રતા વધે કે ઘટે છે તે તેમના પથના તફાવત પર આધાર રાખે છે. જો પથ તફાવત \( \lambda \) હોય તો મહત્તમ તીવ્રતા (K) મળે છે, અને જો પથ તફાવત \( \frac{\lambda}{3} \) હોય તો તીવ્રતા ઓછી થઈને \( \frac{K}{4} \) થાય છે.
🎯 Exam Tip: The intensity in interference patterns depends on the phase difference \( \Phi \), which is related to the path difference \( \Delta x \) by \( \Phi = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x \). Remember the formula for resultant intensity \( I = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2} \cos\Phi \).

 

Question 6. d = 2 mm અને D = 120 cm હોય ત્યારે યંગના બે- સ્લિટના પ્રયોગમાં વ્યતિકરણ શલાકાઓ મેળવવા માટે 650 nm અને 520 nm બે તરંગલંબાઈઓ ધરાવતા પ્રકાશ કિરણપૂંજનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે.
(a) 650 nm તરંગલંબાઈ માટે પડદા પરની ત્રીજી પ્રકાશિત શલાકાનું મધ્યસ્થ અધિક્તમથી અંતર શોધો.
(b) બંને તરંગલંબાઈઓને કારણે મળતી પ્રકાશિત શલાકાઓ એકબીજા પર સંપાત થાય તે માટેનું મધ્યસ્થ અધિક્તમથી ઓછામાં ઓછું અંતર શોધો.
Answer:
અહીં, d = 2 mm = \( 2 \times 10^{-3} \) m
D = 120 cm = 1.2 m
\( \lambda_1 \) = 650 nm = \( 65 \times 10^{-8} \) m
\( \lambda_2 \) = 520 nm = \( 52 \times 10^{-8} \) m

(a) \( \lambda_1 \) તરંગલંબાઈવાળા પ્રકાશ માટે મધ્યસ્થ અધિકતમથી ત્રીજી પ્રકાશિત શલાકાનું અંતર,
\( x_3 = \frac{3 \lambda_1 D}{d} = \frac{3 \times 65 \times 10^{-8} \times 1.2}{2 \times 10^{-3}} \)
\( = 117 \times 10^{-5} = 1.17 \times 10^{-3} \) m
\( \therefore x_3 = 1.17 \) mm

(b) ધારો કે, \( \lambda_1 \) તરંગલંબાઈવાળા પ્રકાશથી n1 શલાકા અને \( \lambda_2 \) તરંગલંબાઈવાળા પ્રકાશથી મળતી n2 મી પ્રકાશિત શલાકાઓ મધ્યસ્થ અધિકતમથી x અંતરે મળે છે.
\( \therefore n_1 \beta_1 = n_2 \beta_2 \)
\( n_1 \frac{\lambda_1 D}{d} = n_2 \frac{\lambda_2 D}{d} \)
\( \therefore n_1 \lambda_1 = n_2 \lambda_2 \)
\( \therefore n_2 = n_1 + 1 \) (સંપાત થવા માટે સૌથી નજીકનું અંતર)
\( \therefore n_1 \lambda_1 = (n_1 + 1)\lambda_2 \)
\( \therefore \frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \frac{n_1+1}{n_1} \)
\( \therefore \frac{65 \times 10^{-8}}{52 \times 10^{-8}} = \frac{n_1+1}{n_1} \)
\( \therefore 5n_1 = 4(n_1 + 1) \)
\( \therefore 5n_1 = 4n_1 + 4 \)
\( \therefore n_1 = 4 \)
મધ્યસ્થ અધિકતમથી પ્રકાશિત શલાકાનું અંતર,
\( x = \frac{n_1 \lambda_1 D}{d} \)
\( = \frac{4 \times 65 \times 10^{-8} \times 1.2}{2 \times 10^{-3}} \)
\( = 156 \times 10^{-5} = 1.56 \times 10^{-3} \) m
\( = 1.56 \) mm
In simple words: યંગના પ્રયોગમાં, જો બે અલગ-અલગ રંગના પ્રકાશનો ઉપયોગ કરવામાં આવે, તો તેમના ચમકતા પટ્ટાઓ અલગ-અલગ જગ્યાએ બને છે. આપણે દરેક રંગના પટ્ટાનું અંતર શોધી શકીએ છીએ અને એ પણ શોધી શકીએ છીએ કે ક્યાં બંને રંગના પટ્ટા એકબીજા પર મળે છે.
🎯 Exam Tip: When dealing with multiple wavelengths in Young's experiment, the position of fringes is wavelength-dependent. For two fringes to coincide, their positions from the central maximum must be equal: \( n_1 \lambda_1 = n_2 \lambda_2 \).

 

Question 7. બે-સ્લિટના પ્રયોગમાં 1 મી દૂર મૂકેલા પડદા પર એક શલાકાની કોણીય પહોળાઈ 0.2° મળે છે. વપરાયેલ પ્રકાશની તરંગલંબાઈ 600 nm છે. જો આખાય પ્રાયોગિક સાધનને પાણીમાં ડુબાડવામાં આવે તો તે શલાકાની કોણીય પહોળાઈ કેટલી થશે ? પાણીનો વક્રીભવનાંક \( \frac{4}{3} \) લો.
Answer:
સ્લિટોથી D અંતરે રાખેલા પડદા પર રચાતી શલાકાની પહોળાઈ \( \beta \) હોય તો, કોણીય પહોળાઈ,
\( \theta = \frac{\beta}{D} = \frac{\lambda D}{dD} = \frac{\lambda}{d} \) [: \( \beta = \frac{\lambda D}{d} \)]
\( \therefore d = \frac{\lambda}{\theta} \) (1)
જો પાણીમાં તરંગલંબાઈ \( \lambda' \) અને કોણીય પહોળાઈ \( \theta' \) હોય તો,
\( \therefore d = \frac{\lambda'}{\theta'} \) (2)
(1) અને (2) પરથી,
\( \frac{\lambda}{\theta} = \frac{\lambda'}{\theta'} \)
\( \therefore \theta' = \theta \times \frac{\lambda'}{\lambda} \)
વક્રીભવનાંક \( \mu = \frac{c}{v} = \frac{\lambda \nu}{\lambda' \nu} = \frac{\lambda}{\lambda'} \)
\( \therefore \theta' = \theta \times \frac{1}{\mu} \)
(નોંધ: જો વિવર્તન ભાતની મધ્યસ્થ અધિકતમની પહોળાઈ માંગે તો આ પહોળાઈ = \( \frac{2 \lambda D}{d} \). જ્યારે સ્લિટના અધિકતમોની રેખીય પહોળાઈ = \( \frac{\lambda D}{d} \) છે. જ્યાં d = સ્લિટની પહોળાઈ છે.)
\( \therefore \theta' = \frac{0.2^\circ}{4/3} = 0.15^\circ \)
In simple words: જ્યારે પ્રકાશ પાણી જેવા માધ્યમમાં પ્રવેશે છે, ત્યારે તેની તરંગલંબાઈ બદલાય છે. આથી, યંગના બે-સ્લિટના પ્રયોગમાં બનતા પ્રકાશના પટ્ટાઓની કોણીય પહોળાઈ પણ બદલાય છે અને તે ઘટી જાય છે.
🎯 Exam Tip: When an interference setup is immersed in a medium, the wavelength of light changes to \( \lambda' = \frac{\lambda}{\mu} \), which directly affects the angular width of the fringes \( \theta' = \frac{\theta}{\mu} \).

 

Question 8. હવામાંથી કાચમાં જતા પ્રકાશ માટે બ્રુસ્ટર કોણ કેટલો હશે ? (કાચનો વક્રીભવનાંક 1.5).
Answer:
બ્રુસ્ટરના નિયમ પરથી,
\( \tan i_B = \mu \)
\( \therefore i_B = \tan^{-1}(\mu) \)
\( \therefore i_B = \tan^{-1}(1.5) \)
\( \therefore i_B = 56.3^\circ \)
નોંધ: જો વક્રીભૂતકોણ માંગેલ હોત તો,
\( r = 90^\circ - i_B = 90^\circ - 56.3^\circ, r = 33.7^\circ \)
In simple words: બ્રુસ્ટર કોણ એ એવો ખાસ ખૂણો છે કે જ્યારે પ્રકાશ આ ખૂણે કોઈ સપાટી પર પડે છે, ત્યારે પરાવર્તિત પ્રકાશ સંપૂર્ણપણે ધ્રુવીભૂત બને છે. આ કોણ માધ્યમના વક્રીભવનાંક પર આધાર રાખે છે.
🎯 Exam Tip: Brewster's Law ( \( \tan i_B = \mu \) ) is fundamental for understanding polarization by reflection. Remember that at Brewster's angle, the reflected and refracted rays are perpendicular to each other.

 

Question 9. એક સમતલ પરાવર્તક સપાટી ઉપર 5000 Å તરંગલંબાઈનો પ્રકાશ આપાત થાય છે. પરાવર્તિત પ્રકાશની તરંગલંબાઈ અને આવૃત્તિ કેટલી હશે ? કયા આપાતકોણે, પરાવર્તિત કિરણ એ આપાતકિરણને લંબ હશે ?
Answer:
આપાત પ્રકાશની તરંગલંબાઈ અને આવૃત્તિ (ઝડપ) જેટલી જ પરાવર્તિત પ્રકાશની તરંગલંબાઈ અને આવૃત્તિ (ઝડપ) હોય છે.
\( \therefore \) પરાવર્તિત પ્રકાશની તરંગલંબાઈ = 5000 Å
પરાવર્તિત પ્રકાશની આવૃત્તિ \( = \frac{\text{પ્રકાશની ઝડપ}}{\text{તરંગલંબાઈ}} \)
\( \nu = \frac{c}{\lambda} = \frac{3 \times 10^8}{5 \times 10^{-7}} \)
\( \therefore \nu = 0.6 \times 10^{15} \) Hz
\( \therefore \nu = 6 \times 10^{14} \) Hz
હવે પરાવર્તનના નિયમ પરથી,
આપાતકોણ i = પરાવર્તનકોણ r
જો પરાવર્તિત કિરણ, આપાતકિરણને લંબ હોય તો,
\( i + r = 90^\circ \)
\( \therefore i + i = 90^\circ \) [: i = r]
\( \therefore 2i = 90^\circ \)
\( \therefore i = 45^\circ \)
In simple words: જ્યારે પ્રકાશ કોઈ સપાટી પરથી પરાવર્તિત થાય છે, ત્યારે તેની તરંગલંબાઈ, આવૃત્તિ અને ઝડપ બદલાતી નથી. જો પરાવર્તિત પ્રકાશ આપાત પ્રકાશને 90° ના ખૂણે હોય, તો પ્રકાશ 45° ના ખૂણે સપાટી પર પડેલો હોવો જોઈએ.
🎯 Exam Tip: For reflection, the frequency, wavelength, and speed of light remain unchanged. The angle of incidence equals the angle of reflection. When reflected and incident rays are perpendicular, \( i = r = 45^\circ \).

 

Question 10. 4 mm જેટલી અડચણ અને 400 nm તરંગલંબાઈ માટે અંતરનો અંદાજ માંડો કે જેના માટે કિરણ પ્રકાશવિજ્ઞાન એ સારી સંનિકટતા હોય.
Answer:
અહીં દર્પણ મુખ a = 4mm = \( 4 \times 10^{-3} \)m
તરંગલંબાઈ \( \lambda \) = 400 nm = \( 4 \times 10^{-7} \) m
કિરણ પ્રકાશવિજ્ઞાન એ ફ્રેનલ અંતર Zf સુધી સારી સંનિકટતા ધરાવે છે.
\( \therefore Z_f = \frac{a^2}{\lambda} = \frac{(4 \times 10^{-3})^2}{4 \times 10^{-7}} \)
\( \therefore Z_f = \frac{16 \times 10^{-6}}{4 \times 10^{-7}} \)
\( \therefore Z_f = 4 \times 10^1 \) m
\( \therefore Z_f = 40 \) m
આમ, દર્પણ મુખથી 40 m અંતર સુધી કિરણ પ્રકાશશાસ્ત્ર માન્ય છે.
In simple words: કિરણ પ્રકાશવિજ્ઞાન એ પ્રકાશ સીધી રેખામાં ગતિ કરે છે તેવી માન્યતા પર આધારિત છે. જ્યાં સુધી પ્રકાશ કોઈ વસ્તુની આસપાસ વળી ન જાય, ત્યાં સુધી આ પદ્ધતિ યોગ્ય ગણાય છે. આ અંતરને ફ્રેનલ અંતર કહે છે.
🎯 Exam Tip: Ray optics is valid for distances much smaller than the Fresnel distance \( Z_f = \frac{a^2}{\lambda} \), where 'a' is the aperture size and \( \lambda \) is the wavelength. Beyond this distance, diffraction effects become significant.

 

Question 11. એક તારામાં હાઇડ્રોજન દ્વારા ઉત્સર્જિત 6563 Å ની Ha રેખા 15 Å જેટલી Red-Shift થયેલી જણાય છે. તારાની પૃથ્વીથી દૂર જવાની ઝડપનો અંદાજ શોધો.
Answer:
અહીં \( \lambda \) = 6563 Å, \( \Delta \lambda \) = 15 Å
હવે પ્રકાશના ડોપ્લર અસર પરથી,
\( \frac{\Delta \lambda}{\lambda} = \frac{v}{c} \) (જ્યારે સ્ત્રોત અવલોકનકારથી દૂર જતો હોય)
\( \therefore v = \frac{\Delta \lambda}{\lambda} \cdot c \)
\( = \frac{15}{6563} \times 3 \times 10^8 \)
\( = 0.0068566 \times 10^8 \)
\( \therefore v \approx 6.86 \times 10^5 \) m/s-1
ધન ચિહ્ન સૂચવે છે કે તારો પૃથ્વીથી દૂર જાય છે.
In simple words: જ્યારે કોઈ તારો આપણાથી દૂર જાય છે, ત્યારે તેમાંથી આવતો પ્રકાશ લાલ રંગ તરફ ખસેલો દેખાય છે, જેને રેડ-શિફ્ટ કહેવાય છે. આ શિફ્ટને માપીને, આપણે તારાની દૂર જવાની ઝડપ શોધી શકીએ છીએ.
🎯 Exam Tip: The Doppler effect for light, particularly Red-Shift, is used to determine the relative velocity of astronomical objects. A positive velocity (as calculated) indicates the object is moving away from the observer.

 

Question 12. કણવાદ એ પ્રકાશના માધ્યમ, ધારો કે પાણીમાં ઝડપ, શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ કરતા વધારે હોવાનું નીતે કરે છે ? તે સમજાવો. શું પ્રાયોગિક રીતે પાણીમાં મપાયેલ પ્રકાશની ઝડપ આ અનુમાનના પુષ્ટિ કરે છે ? જો ના, તો પ્રકાશ માટે બીજું કયું માનસચિત્ર એ પ્રયોગ સાથે સુસંગતતા ધરાવે છે?
Answer:
પ્રકાશના કણવાદ અનુસાર, જ્યારે ઘટ્ટ માધ્યમ અને પાતળા માધ્યમને છૂટી પાડતી સપાટી xy પર પ્રકાશના સૂક્ષ્મ કણો અથડાય છે, ત્યારે પ્રકાશના કણો સપાટીને લંબ દિશામાં આકર્ષણ બળ અનુભવે છે. આથી વેગનો લંબ ઘટક વધે છે, પણ માધ્યમોને છૂટી પાડતી સપાટીની દિશામાં વેગના ઘટકો અચળ રહે છે.
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): આકૃતિમાં પ્રકાશના કિરણો બે માધ્યમો વચ્ચેની સપાટી પરથી પસાર થતી વખતે કેવી રીતે વક્રીભૂત થાય છે તે દર્શાવેલું છે. કિરણનો વેગ v1 પાતળા માધ્યમમાં અને v2 ઘટ્ટ માધ્યમમાં છે, અને આપાતકોણ i તથા વક્રીભૂતકોણ r દર્શાવેલા છે.

(a) ધારો કે, આકૃતિમાં બે માધ્યમોને છૂટી પાડતી આંતર સપાટી xy છે.
(b) પાતળા માધ્યમમાં પ્રકાશનો વેગ \( v_1 \) છે.
ઘટ્ટ માધ્યમમાં પ્રકાશનો વેગ \( v_2 \) છે.
આપાતકોણ i અને વક્રીભૂતકોણ r છે.
(c) વેગ \( v_1 \) નો xy દિશામાં ઘટક = \( v_1 \sin i \)
વેગ \( v_2 \) નો xy દિશામાં ઘટક = \( v_2 \sin r \)
પણ આ ઘટકો સમાન (અચળ) રહે છે.
\( \therefore v_1 \sin i = v_2 \sin r \)
\( \therefore \frac{v_2}{v_1} = \frac{\sin i}{\sin r} \)
પણ ઘટ્ટ માધ્યમના વક્રીભવનાંકનું મૂલ્ય 1 કરતાં મોટું હોય.
\( \therefore \frac{\sin i}{\sin r} > 1 \)
\( \therefore \frac{v_2}{v_1} > 1 \)
\( \therefore v_2 > v_1 \)
આથી કણવાદ અનુસાર પાણીમાં પ્રકાશની ઝડપ હવામાં પ્રકાશની ઝડપ કરતાં વધારે હોય છે.
આ અવલોકન પ્રાયોગિક રીતે અવલોકન ( \( v_2 < v_1 \) ) થી વિરુદ્ધ છે.
જોકે, હાઇગેન્સના તરંગવાદ અનુસાર આ સુસંગત છે.
In simple words: કણવાદ કહે છે કે પ્રકાશ ઘટ્ટ માધ્યમમાં વધુ ઝડપી બને છે, પણ પ્રયોગો દર્શાવે છે કે તે ધીમો પડે છે. તેથી, પ્રકાશની તરંગ પ્રકૃતિનું ચિત્ર આ પ્રયોગો સાથે વધુ સુસંગત છે.
🎯 Exam Tip: It is crucial to distinguish between the particle theory and wave theory of light, especially concerning the speed of light in different media. Wave theory correctly predicts that light slows down in denser media, which is confirmed by experiments.

 

Question 13. તમે પુસ્તકમાં ભણી ગયા કે કેવી રીતે હાઈગેન્સનો સિદ્ધાંત પરાવર્તન અને વક્રીભવનના નિયમો તરફ દોરી જાય છે. આ જ સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરી એક સમતલ અરીસાની સામે રાખેલ બિંદુવત્ત પદાર્થના આભાસી પ્રતિબિંબનું અરીસાથી અંતર, અરીસાથી વસ્તુ અંતર જેટલું હોય છે તેમ સાબિત કરો.
Answer:
ધારો કે XY-સમતલ અરીસાથી OP લંબઅંતરે સામે બિંદુવત્ત વસ્તુ O છે.
• O બિંદુ આગળથી ગોળાકાર તરંગો શરૂ થાય છે. તરંગઅગ્રનો RPQ ભાગ સમતલ અરીસાને P બિંદુ આગળ સ્પર્શે છે.
• R અને Q બિંદુ આગળ વિક્ષોભ OR અને OQ ને લંબરૂપે પ્રસરે છે પણ P બિંદુ આગળથી તરંગઅગ્ર પરાવર્તન પામીને B′ પર પહોંચે ત્યારે R અને Q એ સમતલ અરીસાને સ્પર્શે. જે પરાવર્તિત તરંગઅગ્ર AB’C આપે છે.
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): આ આકૃતિ હાઈગેન્સના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરીને સમતલ અરીસા દ્વારા પ્રતિબિંબ રચના દર્શાવે છે. O એ વસ્તુ છે, XY એ અરીસો છે, અને AB'C એ પરાવર્તિત તરંગઅગ્ર છે જે I પર આભાસી પ્રતિબિંબ બનાવે છે. N, O, P, Q, R, D, E, B, C, A બિંદુઓ અને દિશાઓ દર્શાવેલા છે.

• ABC એ તરંગઅગ્રની આભાસી સ્થિતિ છે.
• પરાવર્તિત તરંગઅગ્ર AB’C એ I બિંદુ આગળથી શરૂ થાય છે.
• I એ વાસ્તવિક વસ્તુ O નું આભાસી પ્રતિબિંબ છે.
• AN \( \perp \) XY હોવાથી \( \overrightarrow{\text{AN}} \parallel \overrightarrow{\text{OP}} \)
• ABC તરંગઅગ્રને લંબ \( \overrightarrow{\text{OA}} \) આપાતકિરણ અને \( \overrightarrow{\text{AD}} \) એ પરાવર્તિત કિરણ છે. જે પરાવર્તિત તરંગઅગ્રને લંબ છે.
\( \therefore \angle \text{OAN} = \angle \text{DAN} = 0 \) (આપાતકોણ અને પરાવર્તનકોણ શૂન્ય)
પણ \( \angle \text{OAN} = \angle \text{AOP} \) (અભિકોણ)
અને \( \angle \text{DAN} = \angle \text{AIP} \) (અનુકોણો)
\( \therefore \angle \text{AOP} = \angle \text{AIP} \)
\( \therefore \triangle \text{AIP} \) અને \( \triangle \text{AOP} \) માં
\( \therefore \angle \text{AIP} = \angle \text{AOP} \)
\( \angle \text{API} = \angle \text{APO} \) (કાટકોણ)
અને AP = AP (સામાન્ય બાજુ)
\( \therefore \) બંને ત્રિકોણો સમરૂપ છે. (AAS નિયમ મુજબ)
\( \therefore \text{PI} = \text{PO} \)
\( \therefore \) પ્રતિબિંબ અંતર = વસ્તુઅંતર
આમ, અરીસાની સામે વસ્તુનું આભાસી પ્રતિબિંબ અરીસાની પાછળ મળે.
In simple words: હાઈગેન્સનો સિદ્ધાંત સમજાવે છે કે કેવી રીતે પ્રકાશનું તરંગઅગ્ર આગળ વધે છે. આ સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરીને આપણે દર્શાવી શકીએ છીએ કે સમતલ અરીસામાં વસ્તુનું પ્રતિબિંબ અરીસાની પાછળ તેટલા જ અંતરે બને છે જેટલું વસ્તુ અરીસાની સામે હોય છે.
🎯 Exam Tip: Huygens' principle is key for understanding wave propagation. For plane mirrors, the principle of reflection shows that the image formed is virtual, erect, and laterally inverted, and the image distance is equal to the object distance.

 

Question 14. આપણે પ્રકાશ તરંગના પ્રસરણની ઝડપને શક્યતઃ અસર કરતા હોય તેવા કેટલાક મુદ્દાઓની સૂચિ બનાવીએ.
(iii) ઉદ્ગમની અને / અથવા અવલોકનકારની ગતિ
(iv) તરંગલંબાઈ
(v) તરંગની તીવ્રતા
ઉપરના કયા મુદ્દાઓ પર
(a) શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ;
(b) માધ્યમ (ધારો કે કાચ અથવા પાણી)માં પ્રકાશની ઝડપ; આધાર (જો રાખતા હોય તો) રાખે છે ?
Answer:
(a) શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ એ એક સાર્વત્રિક અચળાંક છે અને તે અહીં આપેલા બધા જ પરિબળો અને અન્ય કોઈ બાબત પર આધારિત નથી. એટલે આ પરિબળોથી સ્વતંત્ર છે.
આઇન્સ્ટાઇનના વિશિષ્ટ સાપેક્ષતાવાદ પરથી શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ એ ઉદ્ગમ અને અવલોકનકારની સાપેક્ષ ગતિથી પણ સ્વતંત્ર છે.

(b) માધ્યમમાં પ્રકાશની ઝડપનો આધાર...
• ઉદ્ગમના પ્રકાર પર આધારિત નથી. કારણ કે, માધ્યમમાં પ્રકાશના તરંગની ઝડપ એ માધ્યમમાં પ્રસરણ પામતા માધ્યમના ગુણધર્મો પરથી નક્કી થાય છે.
1. પણ ધ્વનિના તરંગો, પાણી પરના તરંગો માટે ધ્વનિની ઝડપ માધ્યમ પર આધાર રાખે છે.
• જ્યારે માધ્યમ સદિશ ધર્મી હોય ત્યારે પ્રકાશની ઝડપ પ્રસરણ દિશા પર આધારિત નથી પણ પ્રસરણ દિશાથી સ્વતંત્ર છે.
• માધ્યમની સાપેક્ષે ઉદ્ગમની ગતિથી પ્રકાશની ઝડપ બદલાતી હોય છે. પરંતુ, માધ્યમની સાપેક્ષે અવલોકનકારની ગતિ પર આધાર રાખે છે.
• મોટી કે નાની તરંગલંબાઈ માટે પ્રકાશની ઝડપ અનુક્રમે વધારે અથવા ઓછી હોય છે. આમ, તરંગલંબાઈ પર આધાર રાખે છે.
• શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ એ પ્રકાશની તીવ્રતાથી સ્વતંત્ર છે.
In simple words: શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ ક્યારેય બદલાતી નથી. પરંતુ, કાચ કે પાણી જેવા માધ્યમમાં તેની ઝડપ પ્રકાશના રંગ (તરંગલંબાઈ) પર આધાર રાખે છે.
🎯 Exam Tip: Understand that the speed of light in vacuum is a universal constant (c), independent of any factor. However, in a medium, the speed of light (and thus its refractive index) is dependent on the wavelength of light.

 

Question 15. ધ્વનિ તરંગો માટે, બે પરિસ્થિતિઓ : (i) સ્થિર ઉદ્ગમ; અવલોકનકાર ગતિમાં અને (ii) ઉદ્ગમ ગતિમાં, અવલોકનકાર સ્થિર, માટે આવૃત્તિના ફેરફાર (Shift)નું સૂત્ર થોડુંક જુદું પડે છે. પરંતુ શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશ તરંગો માટે આ બંને પરિસ્થિતિઓમાં ડોપ્લર અસર માટેનાં સૂત્રો એક સમાન જ માલૂમ પડે છે. આવું શા માટે છે તે સમજાવો. પ્રકાશ જ્યારે માધ્યમમાં ગતિ કરતો હોય ત્યારે પણ તમે શું આ સૂત્રો સમાન હશે તેમ અપેક્ષા રાખો છો ?
Answer:
• ધ્વનિતરંગોના પ્રસરણ માટે માધ્યમની જરૂર પડે છે.
• જો આપેલ સ્થિતિ (i) અને (ii) સમાન હોય પણ ઉદ્ગમ અને અવલોકનકારના માધ્યમો અલગ હોઈ શકે, તેથી તેમના વચ્ચેની સાપેક્ષ ગતિ નથી. કારણ કે બંને સ્થિતિઓમાં માધ્યમની સાપેક્ષે અવલોકનકારની અને ઉદ્ગમ વચ્ચેની સાપેક્ષ ગતિ જુદી-જુદી હોય. તેથી ધ્વનિ માટેની સ્થિતિ (i) અને (ii) માં ડોપ્લર અસરના સૂત્રો સમાન ન હોય.
• શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશ તરંગો માટે સ્થિતિ (i) અને (ii) માં ડોપ્લર અસરના સૂત્રો સમાન જ માલૂમ પડે છે. કારણ કે, સાપેક્ષવાદ અનુસાર ઉદ્ગમ અને અવલોકનકાર વચ્ચેની સાપેક્ષ ગતિ સમાન હોવાથી ડોપ્લર સૂત્ર બંને સ્થિતિઓ (i) અને (ii) માં સમાન છે.
• માધ્યમમાં પ્રકાશના પ્રસરણ માટે ફરીથી ધ્વનિ તરંગોની જેમ બંને પરિસ્થિતિઓ સમાન નથી અને આપણે બંને પરિસ્થિતિઓ માટે જુદા-જુદા ડોપ્લર સૂત્રો હશે તેમ વિચારી શકીએ.
In simple words: ધ્વનિને પ્રસરવા માટે માધ્યમની જરૂર પડે છે, તેથી ધ્વનિની ડોપ્લર અસર ઉદ્ગમ અને શ્રોતાની માધ્યમ સાપેક્ષ ગતિ પર આધાર રાખે છે. પ્રકાશને પ્રસરવા માટે માધ્યમની જરૂર નથી (શૂન્યાવકાશમાં પણ પ્રસરણ પામે છે), તેથી પ્રકાશની ડોપ્લર અસર માત્ર ઉદ્ગમ અને શ્રોતા વચ્ચેની સાપેક્ષ ગતિ પર આધાર રાખે છે, જે સાપેક્ષવાદ મુજબ બંને કિસ્સામાં સમાન હોય છે.
🎯 Exam Tip: The key difference lies in the necessity of a medium for propagation. Sound needs a medium, making its Doppler effect dependent on relative motion with respect to the medium. Light, however, does not, so its Doppler effect is solely based on the relative velocity between the source and the observer.

 

Question 16. 600 nm તરંગલંબાઈ ધરાવતા પ્રકાશની મદદથી કરેલ બે-સ્લિટ પ્રયોગમાં, દૂર રાખેલા પડદા પર મળેલ શલાકાની કોણીય પહોળાઈ 0.1° મળે છે. બે લિટો વચ્ચેનું અંતર કેટલું હશે ?
Answer:
સ્લિટથી D અંતરે રહેલા પડદા પર \( \beta \) પહોળાઈની શલાકા રચાય તો,
\( \theta = \frac{\beta}{D} \) પણ \( \beta = \frac{\lambda D}{d} \)
\( \therefore \theta = \frac{\lambda D}{d D} \)
\( \therefore \theta = \frac{\lambda}{d} \)
અહીં \( \lambda \) = 600 nm = \( 6 \times 10^{-7} \) m
\( \theta = 0.1^\circ = \frac{0.1 \times \pi}{180} \) rad
\( \therefore \frac{0.1 \times \pi}{180} = \frac{\lambda}{d} \)
\( \therefore d = \frac{180 \times \lambda}{0.1 \times \pi} = \frac{180 \times 6 \times 10^{-7}}{0.1 \times 3.14} \)
\( \therefore d = 3439.4 \times 10^{-7} \) m
\( \therefore d \approx 3.44 \times 10^{-4} \) m
In simple words: બે-સ્લિટના પ્રયોગમાં, પ્રકાશના પટ્ટાઓની કોણીય પહોળાઈ પ્રકાશની તરંગલંબાઈ અને સ્લિટો વચ્ચેના અંતર પર આધાર રાખે છે. આ મૂલ્યોનો ઉપયોગ કરીને, આપણે સ્લિટો વચ્ચેનું અંતર શોધી શકીએ છીએ.
🎯 Exam Tip: Convert angular width from degrees to radians for calculations. The formula \( \theta = \frac{\lambda}{d} \) is crucial for determining slit separation or wavelength in diffraction experiments.

 

Question 17. પ્રશ્નોના ઉત્તર આપો.
(a) એક સ્વિટથી થતા વિવર્તન પ્રયોગમાં, સ્લિટની પહોળાઈ મૂળ પહોળાઈ કરતાં બમણી કરવામાં આવે છે. આ કેવી રીતે મધ્યસ્થ વિવર્તન પટ્ટાની જાડાઈ અને તીવ્રતાને અસર કરશે ?
(b) બે-સ્લિટથી કરાતા પ્રયોગમાં કેવી રીતે દરેક લિટથી મળતું વિવર્તન એ વ્યતિકરણ ભાત સાથે સંબંધ ધરાવે છે ?
(c) દૂરના ઉદ્ગમમાંથી આવતા પ્રકાશના પથમાં જ્યારે નાનું વર્તુળાકાર અડચણ મૂકવામાં આવે ત્યારે અડચણના પડછાયાના કેન્દ્ર ભાગ આગળ એક તેજસ્વી ટપકું જોવા મળે છે. સમજાવો શા માટે ?
(d) 10 m ઊંચાઈવાળા રૂમમાં બે વિધાર્થીઓ 7 mના વિભાગ પાડતી (Partition) દીવાલથી અલગ કરેલા છે. જો પ્રકાશ અને ધ્વનિ એ બંને તરંગો અડચણની ધારથી વાંકા વળી શકતા હોય તો શા માટે વિધાર્થીઓ એકબીજા સાથે વાતચીત કરી શકે છે પરંતુ એકબીજાને જોઈ શકતા નથી ?
(e) કિરણ પ્રકાશવિજ્ઞાન એ પૂર્વધારણા પર આધારિત છે કે પ્રકાશ સુરેખામાં ગતિ કરે છે. વિવર્તન અસરો (જ્યારે પ્રકાશ નાના અડચણ / સ્લિટમાંથી પસાર થાય છે અથવા નાના અડચણથી વાંકું વળે છે ત્યારે પૂર્વધારણાનું ખંડન કરે છે. તેમ છતાં કિરણ પ્રકાશશાસ્ત્ર પૂર્વધારણા સામાન્ય વપરાશના પ્રકાશીય ઉપકરણોમાં પ્રતિબિંબનું સ્થાન અને બીજા ગુણધર્મો સમજાવવા માટે વપરાય છે. આની પુષ્ટિ કેવી રીતે કરશો ?
Answer:
(a) મધ્યસ્થ અધિકતમ વિવર્તનની પહોળાઈ = \( \frac{2 D \lambda}{d} \). તેથી સ્લિટની પહોળાઈ d બમણી કરતાં મધ્યસ્થ વિવર્તન અધિકતમની પહોળાઈ અડધી થશે, પણ પ્રકાશનો કંપવિસ્તાર બમણો થશે જેના પરિણામે પ્રકાશની તીવ્રતા \( (\text{કંપવિસ્તાર})^2 \) અનુસાર પ્રકાશની તીવ્રતા ચાર ગણી થશે.
(b) બે સ્લિટની ગોઠવણીમાં વ્યતિકરણ શલાકાઓની તીવ્રતા એ દરેક સ્લિટથી મળતી વિવર્તન ભાતથી મોડિફાઇડ (સુધારા) થયેલી હોય છે, એટલે કે વ્યતિકરણ ભાત વિવર્તન ભાતના કારણે બદલાયેલી દેખાય છે.
(c) વર્તુળાકાર અડચણની ધાર આગળથી વિવર્તન પામતાં તરંગો, પડછાયાના કેન્દ્ર આગળ સહાયક વ્યતિકરણ અનુભવે છે. તેથી, પડછાયાનું કેન્દ્ર પ્રકાશિત દેખાય છે, જેને ફ્રેનલ બ્રાઈટ સ્પોટ કહેવાય છે.
(d) વિવર્તનનો આધાર \( \frac{\lambda}{d} \) ના ગુણોત્તરના સમપ્રમાણમાં છે. દશ્યપ્રકાશની તરંગલંબાઈ લગભગ \( 5 \times 10^{-7} \) m છે અને બે દીવાલો વચ્ચેની પહોળાઈ 3m છે. તેથી \( \frac{\lambda}{d} \) નો ગુણોત્તર ખૂબ જ નાનો થાય છે, જેના કારણે પ્રકાશના તરંગોનું વિવર્તન નહીંવત્ થાય છે. તેથી, બંને વિદ્યાર્થીઓ એકબીજાને જોઈ શકતા નથી.
ધ્વનિના તરંગોની આવૃત્તિ 1 kHz હોય અને ધ્વનિનો વેગ 300 m/s લઈએ, તો ધ્વનિ તરંગોની તરંગલંબાઈ \( \lambda = \frac{c}{v} \) પરથી \( \lambda \) = 0.3 m મળે છે. અને 3m લઈએ તો, \( \frac{\lambda}{d} = \frac{0.3}{3} = 0.1 \). તેથી, ધ્વનિના તરંગોનું વિવર્તન વધારે થાય છે. તેથી, બંને વિદ્યાર્થીઓ એકબીજાનો અવાજ સાંભળી શકે છે.
(e) સામાન્ય વપરાશના પ્રકાશીય ઉપકરણોમાં છિદ્રો (એપર્ચર)ના પરિમાણ પ્રકાશની તરંગલંબાઈ કરતાં ઘણાં વધારે હોય છે. તેથી પ્રકાશીય ઉપકરણોમાં પ્રકાશની વિવર્તન અસરો અવગણી શકાય તેટલી હોય છે. તેથી, કિરણ પ્રકાશવિજ્ઞાન એ પ્રકાશ સુરેખામાં ગતિ કરે છે તે પૂર્વધારણા પર આધારિત છે. આથી સામાન્ય વપરાશના પ્રકાશીય ઉપકરણોમાં પ્રતિબિંબનું સ્થાન મેળવવા કિરણ પ્રકાશશાસ્ત્રોનો ઉપયોગ થાય છે.
In simple words: વિવર્તન એ પ્રકાશનું વળવું છે. સ્લિટની પહોળાઈ બદલવાથી પ્રકાશના પટ્ટાઓની જાડાઈ અને ચમક બદલાય છે. પ્રકાશ અને ધ્વનિ બંને વિવર્તન અનુભવે છે, પરંતુ ધ્વનિની તરંગલંબાઈ મોટી હોવાથી તે વધુ વળે છે. કિરણ પ્રકાશવિજ્ઞાન એ પ્રકાશ સીધી રેખામાં ગતિ કરે છે તેવી ધારણા પર આધારિત છે, જે નાના છિદ્રો માટે સાચી નથી.
🎯 Exam Tip: Remember that diffraction effects are more pronounced when the wavelength of the wave is comparable to the size of the aperture or obstacle. This is why sound diffracts more noticeably than light in everyday scenarios.

 

Question 18. બે ટેકરીઓ પર રહેલા બે ટાવરો એકબીજાથી 40 km દૂર છે. તેમને જોડતી રેખા, બરાબર વચ્ચે આવેલી ટેકરીની 50 m ઉપરથી પસાર થાય છે. નોંધપાત્ર વિવર્તન અસરો સિવાય બે ટાવરો વચ્ચે મોકલી શકાય તેવા રેડિયોતરંગોની સૌથી વધુ તરંગલંબાઈ કેટલી હશે ?
Answer:
અહીં બે ટેકરીઓ વચ્ચેનું અંતર D = 40 km
બે ટેકરીઓના મધ્યમાંથી કોઈ એક ટેકરીનું અંતર એટલે ફ્રેનલ અંતર \( Z_f = \frac{D}{2} = \frac{40}{2} = 20 \) km
બે ટેકરીઓની મધ્યમાં આવેલી ટેકરી (અડચણ)ની સાઇઝ,
a = 50 m
હવે,
\( Z_f = \frac{a^2}{\lambda} \)
\( \therefore \lambda = \frac{a^2}{Z_f} \)
\( = \frac{(50)^2}{20000} = \frac{2500}{20000} \)
\( \therefore \lambda = 0.125 \) m
\( \therefore \lambda = 12.5 \) cm
In simple words: બે ટાવરો વચ્ચે રેડિયો તરંગો મોકલતી વખતે, વચ્ચે કોઈ અવરોધ ન આવે તે માટે તરંગોની તરંગલંબાઈ મર્યાદિત હોવી જોઈએ. આ મર્યાદા ફ્રેનલ અંતરના સિદ્ધાંત દ્વારા નક્કી થાય છે, જે દર્શાવે છે કે તરંગો કેટલી મહત્તમ તરંગલંબાઈ સુધી વિવર્તન વગર પસાર થઈ શકે છે.
🎯 Exam Tip: For clear radio communication between two points separated by an obstacle, diffraction effects should be minimized. This is determined by the Fresnel zone, where the maximum wavelength allowed for negligible diffraction is related to the obstacle height and distance.

 

Question 19. 500 nm તરંગલંબાઈ ધરાવતું સમાંતર પ્રકાશ કિરણપૂંજ એક સાંકડી સ્લિટ પર પડે છે અને પરિણામી વિવર્તનભાત 1 m દૂર રાખેલા પડદા ઉપર જોવામાં આવે છે. એવું જોવા મળે છે કે, પ્રથમ ન્યૂનતમ પડદાના કેન્દ્રથી 2.5 mm અંતરે આવેલ છે. લિટની પહોળાઈ શોધો.
Answer:
અહીં D = 1m, n = 1 (ન્યૂનતમ)
\( x_1 \) = 2.5 mm = \( 2.5 \times 10^{-3} \) m
\( \lambda \) = 500 nm = \( 5 \times 10^{-7} \) m
\( \implies \) n માં ક્રમના ન્યૂનતમ માટેની શરત,
\( X_n = \frac{n \lambda D}{d} \) (એક સ્લિટ વિવર્તન માટે)
\( \therefore X_1 = \frac{1 \lambda D}{d} \) [: n = 1]
\( \therefore d = \frac{\lambda D}{x_1} = \frac{5 \times 10^{-7} \times 1}{2.5 \times 10^{-3}} \)
\( \therefore d = 2 \times 10^{-4} \) m = \( 0.2 \times 10^{-3} \) m
\( \therefore d = 0.2 \) mm
In simple words: જ્યારે પ્રકાશ એક નાની સ્લિટમાંથી પસાર થાય છે, ત્યારે તે વિવર્તન પામે છે અને પડદા પર પ્રકાશના પટ્ટા (ન્યૂનતમ) બનાવે છે. આ પટ્ટાના અંતરને માપીને, આપણે સ્લિટની પહોળાઈ કેટલી છે તે શોધી શકીએ છીએ.
🎯 Exam Tip: For single-slit diffraction, the position of the n-th minimum is given by \( d \sin\theta = n\lambda \) or approximately \( X_n = \frac{n \lambda D}{d} \) for small angles. Ensure all units are consistent (meters).

 

Question 20. નીચેના પ્રશ્નોના જવાબ આપો.
(a) જ્યારે પ્રમાણમાં નીચી ઊંચાઈએ ઊડતું હવાઈ જહાજ માથા પરથી પસાર થાય છે ત્યારે આપણે ઘણી વખત ટીવી પડદા પરના ચિત્રમાં ધ્રુજારી થતી નોંધીએ છીએ. આની શક્ય સમજૂતી જણાવો.
(b) તમે પુસ્તકમાં શીખી ગયાં છો તેમ તરંગના સ્થાનાંતર માટેના રેખીય સંપાતપણાનો સિદ્ધાંત એ વિવર્તન અને વ્યતિકરણ ભાતોના તીવ્રતા વિતરણ માટેનો આધાર છે. આ સિદ્ધાંતનું વ્યાજબીપણું શું છે ?
Answer:
(a) નીચી ઊંચાઈએ ઊડતું હવાઈ જહાજ (વિમાન) TV સિગ્નલોનું પરાવર્તન કરે છે. TV પડદા પરના ચિત્રમાં ધ્રુજારી થવાનું કારણ સીધા સિગ્નલ અને પરાવર્તિત સિગ્નલો વચ્ચે થતું વ્યતિકરણ છે, જેના કારણે સિગ્નલની તીવ્રતામાં ફેરફાર થાય છે.
(b) સંપાતપણાનો સિદ્ધાંત એ તરંગગતિને દર્શાવતા (વિકલ) સમીકરણના રેખીયપણાના ગુણધર્મ પરથી મળે છે.
• જો આ તરંગ સમીકરણના બે ઉકેલો \( y_1 \) અને \( y_2 \) હોય તો, \( y_1 \) અને \( y_2 \) નું કોઈ પણ રેખીય સંયોજન પણ ઉકેલ બનશે.
• જ્યારે કંપવિસ્તાર મોટો હોય (દા.ત. ઊંચી તીવ્રતા ધરાવતું લેસર કિરણબીમ) અને અ-રેખીય અસરો અગત્યની હોય ત્યારે પરિસ્થિતિ ખૂબ જ જટિલ હોય છે.
In simple words: (a) હવાઈ જહાજ જ્યારે પસાર થાય છે ત્યારે ટીવી સિગ્નલ પરાવર્તિત થાય છે, અને આ પરાવર્તિત સિગ્નલો મૂળ સિગ્નલ સાથે ભળીને ટીવી ચિત્રમાં ધ્રુજારી પેદા કરે છે. (b) તરંગો એકબીજાને અસર કર્યા વિના એકબીજા પરથી પસાર થઈ શકે છે, જેને સંપાતપણાનો સિદ્ધાંત કહે છે. આ સિદ્ધાંત પ્રકાશના વ્યતિકરણ અને વિવર્તન જેવી ઘટનાઓ સમજાવે છે, જ્યાં તરંગો ભળીને નવા પટ્ટા બનાવે છે.
🎯 Exam Tip: (a) Interference is a common cause of signal distortion. (b) The principle of superposition is valid for linear wave equations and simplifies the analysis of complex wave phenomena like interference and diffraction, as long as the amplitudes are not too large to cause non-linear effects.

 

Question 21. એક લિટ વિવર્તન ભાત મેળવતી વખતે આપણે નોંધ્યું કે \( n\frac{\lambda}{a} \) ખૂણાઓ આગળ તીવ્રતા શૂન્ય થાય છે. લિટને યોગ્ય ભાગમાં વહેંચીને તીવ્રતાની થતી નાબૂદી દ્વારા આનું વ્યાજબીપણું દર્શાવો.
Answer:
ધારો કે, 'a' પહોળાઈની સ્લિટને a´ પહોળાઈ ધરાવતી n સ્લિટોમાં વહેંચી દઈએ, તો દરેક નાની સ્લિટની પહોળાઈ,
\( a' = \frac{a}{n} \implies a = na' \)
હવે જો \( \theta = \frac{n \lambda}{a} \) આગળ તીવ્રતા શૂન્ય થાય છે,
\( \theta = \frac{n \lambda}{n a'} = \frac{\lambda}{a'} \) થશે.
આમ, દરેક નાની સ્લિટો શૂન્ય તીવ્રતા આપશે અને તેનું સંયોજન પણ શૂન્ય તીવ્રતા આપશે, જેનાથી મોટા સ્લિટ માટે પણ તે જ ખૂણા પર તીવ્રતા શૂન્ય મળે છે.
In simple words: જ્યારે પ્રકાશ એક નાની સ્લિટમાંથી પસાર થાય છે, ત્યારે તે વળીને પડદા પર ચમકતા અને અંધારા પટ્ટા બનાવે છે. અમુક ખૂણાઓ પર પ્રકાશની તીવ્રતા શૂન્ય બને છે કારણ કે સ્લિટને નાના ભાગોમાં વિભાજિત કરીને, દરેક ભાગમાંથી આવતો પ્રકાશ એકબીજાને રદ કરે છે.
🎯 Exam Tip: The condition for minima in single-slit diffraction is \( a \sin\theta = n\lambda \). Understanding how the slit can be divided into smaller sections that interfere destructively helps to visualize why dark fringes occur at specific angles.

 

બહુવિકલ્પ પ્રશ્નોત્તર (MCQ-I)

નીચેના પ્રશ્નોમાં એક જ વિકલ્પ સાચો છે :

 

Question 1. આકૃતિમાં દર્શાવ્યા અનુસાર હવામાંથી કાચ પર બ્રુસ્ટરકોણે આપાત થતા પ્રકાશનું કિરણજૂથ (beam) વિચારો. P બિંદુ પાસે એક ધ્રુવક (polaroid) મૂકવામાં આવે છે અને તેને (ધ્રુવકને) તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને પોલેરોઇડના સમતલને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને પરિભ્રમણ કરાવવામાં આવે છે.
(A) પોલેરોઇડમાંથી જોતાં આપેલી ચોક્કસ દિશામાં અંધકાર હશે.
(B) પોલેરોઇડમાં જોવા મળતી પ્રકાશની તીવ્રતા પરિભ્રમણથી સ્વતંત્ર હશે.
(C) પોલેરોઇડમાંથી જોવા મળતી પ્રકાશની તીવ્રતા પોલેરોઇડની બે દિશાઓ માટે ન્યૂનતમ બનશે પરંતુ શૂન્ય થશે નહીં.
(D) પોલેરોઇડમાંથી જોવા મળતી પ્રકાશની તીવ્રતા પોલેરોઇડની ચાર દિશાઓ માટે ન્યૂનતમ બનશે.
Answer: (C) પોલેરોઇડમાંથી જોવા મળતી પ્રકાશની તીવ્રતા પોલેરોઇડની બે દિશાઓ માટે ન્યૂનતમ બનશે પરંતુ શૂન્ય થશે નહીં.
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): આકૃતિ એક પ્રકાશ કિરણને દર્શાવે છે જે કાચના સ્લેબ પર બ્રુસ્ટર કોણે આપાત થાય છે. P બિંદુ પર મૂકેલો પોલેરોઇડ કિરણની ધ્રુવીભવન સ્થિતિનું અવલોકન કરે છે.

કારણ કે પ્રસ્તુત કિસ્સામાં કાચના સ્લેબ પર પ્રકાશનું કિરણ, ધ્રુવીભવન કોણ જેટલા કોણથી આપાત કરેલું હોવાથી પરાવર્તિતકિરણ ભલે સંપૂર્ણપણે તલધ્રુવીભૂત બનતું હોય પરંતુ કાચના સ્લેબમાંનું વક્રીભૂત કિરણ અને હવામાં પ્રસરતું નિર્ગમન કિરણ એ બંને અંશતઃ તલધ્રુવીભૂત હોય છે જેમાં મોટાભાગના \( \overrightarrow{E} \) સદિશો (પ્રકાશ સદિશો) પરસ્પર સમાંતર હોય છે. અને બાકીના \( \overrightarrow{E} \) સદિશો બીજી બધી દિશામાં સમાન વિતરણ ધરાવે છે. તેથી પોલેરોઇડના એક પૂર્ણ ભ્રમણ દરમિયાન જ્યારે તેની દર્ અક્ષ, બે વખત મોટા ભાગના સમાંતર \( \overrightarrow{E} \) સદિશોને લંબ બને છે ત્યારે પણ થોડા \( \overrightarrow{E} \) સદિશો, પોલેરોઇડની દક્ અક્ષ (સ્ફટિક અક્ષ)ને સમાંતર બને છે તેથી એક પૂર્ણ ભ્રમણમાં નિર્ગમન કિરણની તીવ્રતા બે વખત અશૂન્ય એવી લઘુતમ મળે એ સ્વાભાવિક છે.
In simple words: જ્યારે પ્રકાશ બ્રુસ્ટર કોણે કાચ પર પડે છે, ત્યારે તે આંશિક રીતે ધ્રુવીભૂત થાય છે. પોલેરોઇડને ફેરવવાથી, પ્રકાશની તીવ્રતામાં ફેરફાર જોવા મળે છે, જે બે ચોક્કસ સ્થિતિમાં સૌથી ઓછી થાય છે, પરંતુ સંપૂર્ણપણે અંધકાર થતો નથી કારણ કે પ્રકાશ સંપૂર્ણપણે ધ્રુવીભૂત હોતો નથી.
🎯 Exam Tip: At Brewster's angle, the reflected light is completely polarized, but the refracted light is only partially polarized. This means a polaroid will show minimum intensity (not zero) in two orientations when observing the refracted light.

Question 1. આકૃતિમાં દર્શાવ્યા અનુસાર હવામાંથી કાચ પર બ્રુસ્ટરકોણે આપાત થતા પ્રકાશનું કિરણજૂથ (beam) વિચારો. નિર્ગમન પામતા કિરણના માર્ગમાં P બિંદુ પાસે એક ધ્રુવક (polaroid) મૂકવામાં આવે છે અને તેને (ધ્રુવકને) તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને પોલેરોઇડના સમતલને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને પરિભ્રમણ કરાવવામાં આવે છે.

ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): આ ચિત્ર બ્રુસ્ટરના ખૂણા પર હવા અને કાચની સપાટી વચ્ચે પ્રકાશના કિરણના આપાત અને વક્રીભવનને દર્શાવે છે. પ્રકાશનું કિરણ P બિંદુ પરથી આવે છે, જે બ્રુસ્ટરના ખૂણા પર આપાત થાય છે. આનાથી પ્રકાશ ધ્રુવીભૂત થાય છે.
(A) પોલેરોઇડમાંથી જોતાં આપેલી ચોક્કસ દિશામાં અંધકાર હશે.
(B) પોલેરોઇડમાં જોવા મળતી પ્રકાશની તીવ્રતા પરિભ્રમણથી સ્વતંત્ર હશે.
(C) પોલેરોઇડમાંથી જોવા મળતી પ્રકાશની તીવ્રતા પોલેરોઇડની બે દિશાઓ માટે ન્યૂનતમ બનશે પરંતુ શૂન્ય થશે નહીં.
(D) પોલેરોઇડમાંથી જોવા મળતી પ્રકાશની તીવ્રતા પોલેરોઇડની ચાર દિશાઓ માટે ન્યૂનતમ બનશે.
Answer: (C) પોલેરોઇડમાંથી જોવા મળતી પ્રકાશની તીવ્રતા પોલેરોઇડની બે દિશાઓ માટે ન્યૂનતમ બનશે પરંતુ શૂન્ય થશે નહીં.
કારણ કે આ કિસ્સામાં, કાચના સ્લેબ પર પ્રકાશનો કિરણ ધ્રુવીભવન કોણ પર આપાત થાય છે. પરાવર્તિત કિરણ સંપૂર્ણપણે ધ્રુવીભૂત હોઈ શકે છે, પરંતુ કાચના સ્લેબમાં વક્રીભૂત થયેલું કિરણ અને હવામાં ફેલાતું નિર્ગમન કિરણ બંને આંશિક રીતે ધ્રુવીભૂત હોય છે. તેમાં મોટાભાગના \( \overrightarrow{\mathrm{E}} \) સદિશો (પ્રકાશ સદિશો) એકબીજાને સમાંતર હોય છે. બાકીના \( \overrightarrow{\mathrm{E}} \) સદિશો બધી દિશાઓમાં સરખી રીતે વહેંચાયેલા હોય છે. તેથી, પોલેરોઈડના એક સંપૂર્ણ ભ્રમણ દરમિયાન, જ્યારે તેની દૃષ્ટિ અક્ષ મોટાભાગના સમાંતર \( \overrightarrow{\mathrm{E}} \) સદિશોને લંબ બને છે, ત્યારે નિર્ગમન કિરણની તીવ્રતા બે વાર શૂન્ય સિવાયની ન્યૂનતમ મળશે.
In simple words: જ્યારે પ્રકાશ કાચ પર બ્રુસ્ટરના ખૂણે પડે છે, ત્યારે પરાવર્તિત પ્રકાશ સંપૂર્ણપણે ધ્રુવીભૂત થાય છે. પરંતુ, જે પ્રકાશ કાચમાંથી પસાર થાય છે તે આંશિક રીતે જ ધ્રુવીભૂત થાય છે. તેથી, જ્યારે તમે પોલેરોઇડને ફેરવો છો, ત્યારે પ્રકાશની તીવ્રતા બે વાર ઓછી થશે, પરંતુ સંપૂર્ણપણે અંધારું નહીં થાય.

🎯 Exam Tip: બ્રુસ્ટરના નિયમ અને પ્રકાશના આંશિક ધ્રુવીભવનની સમજણ આ પ્રશ્નનો મુખ્ય ભાગ છે. આ કોન્સેપ્ટ્સને સ્પષ્ટ રીતે સમજવાથી સારા માર્ક્સ મેળવી શકાય છે.

Question 2. 10\(^4\)Å ની પહોળાઈ ધરાવતી સ્લિટ ઉપર સૂર્યપ્રકાશ આપાત થતો વિચારો. સ્લિટમાંથી જોવા મળતું પ્રતિબિંબ...

(A) કેન્દ્ર (મધ્યબિંદુ) પાસે સફેદ રંગની તીક્ષ્ણ સ્લિટ હોય છે.
(B) કિનારી સુધી (પહોંચતાં) શૂન્ય તીવ્રતામાં પરિવર્તિત બને છે.
(C) સફેદ રંગની તેજસ્વી સ્લિટ જુદા-જુદા રંગોના વિસ્તારમાં ફેલાય છે.
(D) માત્ર ફેલાયેલી સ્લિટ સફેદ રંગની હોય છે.
Answer: (A) કેન્દ્ર (મધ્યબિંદુ) પાસે સફેદ રંગની તીક્ષ્ણ સ્લિટ હોય છે.
અહીં સૂર્યપ્રકાશ અથવા દૃશ્ય પ્રકાશની સરેરાશ તરંગલંબાઈ આશરે \( \lambda = \frac{4000+8000}{2} = 6000 \) Å હોય છે અને સ્લિટની પહોળાઈ \( \mathrm{d} = 10^4 \) Å = 10000 Å છે.
\( \frac{\lambda}{\mathrm{d}} = \frac{6000}{10000} = 0.6 \)
અહીં \( \frac{\lambda}{\mathrm{d}} < 1 \) છે, તેથી સ્લિટની પહોળાઈ d, \( \lambda \) કરતાં ઘણી વધારે છે.
\( \implies \) આથી વિવર્તનનું પ્રમાણ ખૂબ જ ઓછું થશે. તેથી સ્લિટનું પ્રતિબિંબ ખૂબ જ તીક્ષ્ણ દેખાશે. કેન્દ્રમાં આપાત થતા વિવિધ રંગો એકબીજા સાથે ભળી જવાથી કેન્દ્રીય વિસ્તાર સફેદ રંગનો દેખાશે. વળી પ્રકાશના આ તરંગો વચ્ચે થતા સહાયક વ્યતિકરણ (શૂન્ય કળાતફાવતને કારણે)થી પ્રકાશની તીવ્રતા મહત્તમ થશે. એટલે કે મધ્યસ્થ અધિકતમ બનશે.
In simple words: જ્યારે સૂર્યપ્રકાશ ખૂબ સાંકડી સ્લિટ પર પડે છે, ત્યારે વિવર્તન ઓછું થાય છે. આનાથી સ્લિટનું સ્પષ્ટ સફેદ પ્રતિબિંબ દેખાય છે. કેન્દ્રમાં બધા રંગો ભળી જાય છે, તેથી તે સફેદ દેખાય છે.

🎯 Exam Tip: વિવર્તનના સિદ્ધાંતો, ખાસ કરીને \( \frac{\lambda}{\mathrm{d}} \) ગુણોત્તર અને તેના પ્રતિબિંબ પરની અસરને સમજવી અગત્યની છે.

Question 3. d પહોળાઇના કાચના લંબઘન (slab) (વક્રીભવનાંક n) પર હવામાંથી \( \mathrm{\theta} \) આપાતકોણે આપાત થતું પ્રકાશનું કિરણ વિચારો. કાચની ઉપરની સપાટી અને નીચેની સપાટી પરથી પરાવર્તિત કિરણો વચ્ચે પથતફાવત કેટલો હશે ?

(A) \( \frac{4nd}{\lambda}\left(1-\frac{1}{\mathrm{n}^2}\mathrm{sin}^2\mathrm{\theta}\right)^{1/2} + \pi \)
(B) \( \frac{4nd}{\lambda}\left(1-\frac{1}{\mathrm{n}^2}\mathrm{sin}^2\mathrm{\theta}\right)^{1/2} \)
(C) \( \frac{4nd}{\lambda}\left(1-\frac{1}{\mathrm{n}^2}\mathrm{sin}^2\mathrm{\theta}\right)^{1/2} + \frac{\pi}{2} \)
(D) \( \frac{4nd}{\lambda}\left(1-\frac{1}{\mathrm{n}^2}\mathrm{sin}^2\mathrm{\theta}\right)^{1/2} + 2\pi \)
Answer: (A) \( \frac{4nd}{\lambda}\left(1-\frac{1}{\mathrm{n}^2}\mathrm{sin}^2\mathrm{\theta}\right)^{1/2} + \pi \)
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): આકૃતિમાં કાચના સ્લેબ પર પ્રકાશના કિરણના આપાત, વક્રીભવન અને પરાવર્તનની પ્રક્રિયા દર્શાવવામાં આવી છે. પ્રકાશનું કિરણ માધ્યમ-1 (હવા) માંથી માધ્યમ-2 (કાચનો સ્લેબ) માં પ્રવેશે છે, જ્યાં તે વક્રીભૂત થાય છે અને પછી સ્લેબની અંદર પરાવર્તિત થાય છે. પ્રકાશનો આપાતકોણ \( \mathrm{\theta} \) અને વક્રીભૂતકોણ \( \mathrm{r} \) છે. પથતફાવત = \( \mathrm{n(QS + ST)} \) – \( \mathrm{QR} \)
Q બિંદુએ સ્નેલનો નિયમ લગાડતા,
\( \mathrm{n} = \frac{\mathrm{sin}\mathrm{\theta}}{\mathrm{sin}\mathrm{r}} \)
\( \implies \)\( \mathrm{sin}\mathrm{r} = \frac{\mathrm{sin}\mathrm{\theta}}{\mathrm{n}} \)
\( \implies \)\( \mathrm{sin}^2\mathrm{r} = \frac{\mathrm{sin}^2\mathrm{\theta}}{\mathrm{n}^2} \)
\( \implies \)\( 1 - \mathrm{cos}^2\mathrm{r} = \frac{\mathrm{sin}^2\mathrm{\theta}}{\mathrm{n}^2} \)
\( \implies \)\( \mathrm{cos}^2\mathrm{r} = 1 - \frac{\mathrm{sin}^2\mathrm{\theta}}{\mathrm{n}^2} \)
પથ તફાવત \( \Delta \mathrm{x} = \mathrm{n} (\mathrm{QS} + \mathrm{ST}) - \mathrm{QR} \)
આકૃતિ પરથી, \( \mathrm{QR = QT sin}\mathrm{\theta} = (\mathrm{QS sinr}) \mathrm{sin}\mathrm{\theta} = \mathrm{QS}\frac{\mathrm{sin}\mathrm{\theta}}{\mathrm{n}} \mathrm{sin}\mathrm{\theta} \) (આ પ્રક્રિયા સમજવા માટે વધુ વિગતવાર ભૂમિતિ અને તરંગની ગતિશાસ્ત્ર સમજવી પડે)
જેને ગણતરી કરતા, પથ તફાવત \( \Delta \mathrm{x} = 2nd \mathrm{cosr} \) મળે છે.
અહીં \( \mathrm{cosr} = \sqrt{1 - \mathrm{sin}^2\mathrm{r}} = \sqrt{1 - \frac{\mathrm{sin}^2\mathrm{\theta}}{\mathrm{n}^2}} = \frac{1}{\mathrm{n}}\sqrt{\mathrm{n}^2 - \mathrm{sin}^2\mathrm{\theta}} \)
આમ, પથ તફાવત \( \Delta \mathrm{x} = \frac{2d}{\lambda}\mathrm{n}\sqrt{1-\frac{1}{\mathrm{n}^2}\mathrm{sin}^2\mathrm{\theta}} \)
પ્રથમ પરાવર્તન ઘટ્ટ માધ્યમમાંથી થાય છે (\(\mu_1 < \mu_2\)), તેથી \( \pi \) કળાનો તફાવત આવે છે.
આથી કુલ કળા તફાવત \( \Delta \mathrm{\Phi} = \frac{2\pi}{\lambda} (2nd\mathrm{cosr}) + \pi = \frac{4\pi nd}{\lambda}\mathrm{cosr} + \pi \)
\( \Delta \mathrm{\Phi} = \frac{4\pi nd}{\lambda}\left(1-\frac{1}{\mathrm{n}^2}\mathrm{sin}^2\mathrm{\theta}\right)^{1/2} + \pi \)
In simple words: પ્રકાશ જ્યારે કાચના સ્લેબ પર પડે છે ત્યારે તેની બે સપાટીઓ પરથી પરાવર્તિત થાય છે. આ બે પરાવર્તિત કિરણો વચ્ચેના અંતરને પથતફાવત કહેવાય છે. ઘટ્ટ માધ્યમમાંથી પ્રથમ પરાવર્તન થવાથી એક વધારાનો \( \pi \) કળા તફાવત આવે છે, જેને ધ્યાનમાં લેવો પડે છે.

🎯 Exam Tip: તરંગ પ્રકાશશાસ્ત્રમાં, પથતફાવત અને કળા તફાવતની ગણતરી કરવી મહત્વપૂર્ણ છે. ખાસ કરીને, જ્યારે પ્રકાશ ઘટ્ટ માધ્યમમાંથી પરાવર્તિત થાય ત્યારે \( \pi \) કળા તફાવત ઉમેરવાનું યાદ રાખો.

Question 4. યંગના બે (double) સ્લિટના પ્રયોગમાં, સફેદ પ્રકાશ ઉદ્ગમ તરીકે છે. એક સ્લિટને લાલ રંગના ફિલ્ટર અને બીજી સ્લિટને વાદળી ફિલ્ટર વડે ઢાંકી દેવામાં આવે છે. આ કિસ્સામાં...

(A) ત્યાં એકાંતરે લાલ અને વાદળી રંગની વ્યતીકરણ ભાત હશે.
(B) ત્યાં લાલ રંગની વ્યતીકરણ ભાત વાદળી રંગની ભાત કરતાં અલગ હશે.
(C) ત્યાં વ્યતીકરણ શલાકાઓ હશે નહીં.
(D) ત્યાં લાલ રંગની વ્યતીકરણ ભાત વાદળી રંગની ભાત સાથે ભળી ગયેલી (mix) હશે.
Answer: (C) ત્યાં વ્યતીકરણ શલાકાઓ હશે નહીં.
યંગના મૂળ પ્રયોગમાં નિશ્ચિત આવૃત્તિવાળા એકરંગી પ્રકાશનો ઉપયોગ થતો હતો, જેના કારણે બે સ્લિટ સુસંબદ્ધ ઉદ્ગમ તરીકે વર્તી પડદા પર સ્થિર વ્યતિકરણ ભાત રચે છે. પરંતુ અહીં, બે સ્લિટમાંથી જુદા-જુદા રંગના પ્રકાશ તરંગોનું ઉત્સર્જન થાય છે, જેમની આવૃત્તિઓ સમાન નથી. તેથી, તેમની વચ્ચેનો કળાતફાવત સમય સાથે અચળ રહેતો નથી, અને તેઓ અસુસંબદ્ધ ઉદ્ગમ તરીકે વર્તે છે. આથી પડદા પર કોઈ સ્થિર વ્યતિકરણ રચાતું નથી અને કોઈ વ્યતિકરણ શલાકાઓ મળતી નથી.
In simple words: વ્યતિકરણ ત્યારે જ થાય જ્યારે પ્રકાશના બે તરંગોની આવૃત્તિ સમાન હોય અને તેમનો કળા તફાવત સ્થિર રહે. લાલ અને વાદળી પ્રકાશની આવૃત્તિ અલગ હોવાથી, તેઓ સ્થિર વ્યતિકરણ પેટર્ન બનાવી શકશે નહીં.

🎯 Exam Tip: વ્યતિકરણ માટે તરંગોનો સુસંબદ્ધ (coherent) હોવો એ મુખ્ય શરત છે. એટલે કે, તેમની આવૃત્તિ અને સ્થિર કળા તફાવત હોવો જોઈએ. જુદા-જુદા રંગોના પ્રકાશ સુસંબદ્ધ હોતા નથી.

Question 5. પ્રમાણભૂત બે સ્લિટની ગોઠવણી આકૃતિમાં \( \mathrm{S}_1 \), \( \mathrm{S}_2 \) સ્લિટ સાથે દર્શાવેલ છે. P ની બંને બાજુ બે ન્યૂનતમ બિંદુઓ \( \mathrm{P}_1 \), \( \mathrm{P}_2 \) છે. (જુઓ આકૃતિ) પડદા પર \( \mathrm{P}_2 \) બિંદુએ, એક કાણું છે અને \( \mathrm{P}_2 \) ની પાછળ \( \mathrm{S}_3 \), \( \mathrm{S}_4 \) સ્લિટ સાથેની બીજી બે સ્લિટની ગોઠવણી અને તેની પાછળ બીજો એક પડદો મૂકેલ છે. બીજા પડદા પર જોવા મળતું પ્રતિબિંબ...

ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): આકૃતિમાં બે સ્લિટ \( \mathrm{S}_1 \) અને \( \mathrm{S}_2 \) માંથી નીકળતા પ્રકાશ દ્વારા પ્રથમ પડદા પર વ્યતિકરણની પેટર્ન દર્શાવવામાં આવી છે. આ પેટર્નમાં \( \mathrm{P}_1 \) અને \( \mathrm{P}_2 \) ન્યૂનતમ બિંદુઓ છે. \( \mathrm{P}_2 \) બિંદુએ એક નાનું કાણું (છિદ્ર) છે, અને તેની પાછળ વધુ બે સ્લિટ \( \mathrm{S}_3 \) અને \( \mathrm{S}_4 \) તથા બીજો પડદો ગોઠવેલા છે.
(A) બીજા પડદા પર વ્યતીકરણ ભાત મળશે નહીં પરંતુ તે પ્રકાશિત હશે.
(B) બીજો પડદો સંપૂર્ણપણે અપ્રકાશિત હશે.
(C) બીજા પડદા પર એક પ્રકાશિત બિંદુ હશે.
(D) બીજા પડદા પર નિયમિત બે સ્લિટની ભાત રચાશે.
Answer: (D) બીજા પડદા પર નિયમિત બે સ્લિટની ભાત રચાશે.
આકૃતિમાં દર્શાવેલું બિંદુ \( \mathrm{P}_2 \) (જ્યાં છિદ્ર આવેલું છે) એ તરંગ અગ્ર પરનું એક બિંદુ છે. તેથી તે એક ગૌણ ઉદ્ગમ તરીકે વર્તીને પ્રકાશના તરંગોનું ઉત્સર્જન કરશે. ત્યારબાદ આ તરંગો \( \mathrm{S}_3 \) અને \( \mathrm{S}_4 \) સ્લિટ પર આપાત થશે. અહીં, એક જ તરંગ અગ્ર \( \mathrm{S}_3 \) અને \( \mathrm{S}_4 \) સ્લિટ પર એકસાથે આપાત થતું હોવાથી, \( \mathrm{S}_3 \) અને \( \mathrm{S}_4 \) પ્રકાશના સુસંબદ્ધ તરંગો તરીકે વર્તશે. આથી, તેમની પાછળ રાખેલા બીજા પડદા પર નિયમિત બે સ્લિટની ભાત રચાશે.
In simple words: પહેલા પડદા પરના છિદ્રમાંથી નીકળતો પ્રકાશ નવા સ્ત્રોત તરીકે કામ કરે છે. આ પ્રકાશ \( \mathrm{S}_3 \) અને \( \mathrm{S}_4 \) સ્લિટ પર એકસાથે પડે છે. તેથી, \( \mathrm{S}_3 \) અને \( \mathrm{S}_4 \) સુસંબદ્ધ સ્ત્રોત બને છે અને બીજા પડદા પર વ્યતિકરણની પેટર્ન બનાવે છે.

🎯 Exam Tip: હાઈગેન્સના સિદ્ધાંત અને સુસંબદ્ધ સ્ત્રોતોની રચનાની સમજણ આ પ્રશ્નનો આધાર છે. એક જ તરંગ અગ્ર પરના બે બિંદુઓ સુસંબદ્ધ સ્ત્રોત તરીકે વર્તી શકે છે.

બહુવિકલ્પ પ્રશ્નોત્તર (MCQ-II)

Question 1. \( \mathrm{I}_1 \) અને \( \mathrm{I}_2 \) તીવ્રતા ધરાવતાં બે ઉદ્ગમો \( \mathrm{S}_1 \) અને \( \mathrm{S}_2 \) ને પડદાની સામે મૂકેલા છે (જુઓ આકૃતિ (a)). મધ્યમાન વિસ્તારમાં તીવ્રતાની વહેંચણીની ભાત (જુઓ આકૃતિ (b))માં દર્શાવ્યા મુજબ જોવા મળે છે. આ કિસ્સામાં નીચેનામાંથી કયું વિધાન સાચું છે :

ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): આકૃતિ (a) માં, \( \mathrm{S}_1 \) અને \( \mathrm{S}_2 \) બે પ્રકાશ ઉદ્ગમો દર્શાવવામાં આવ્યા છે જે એક પડદાની સામે મૂકેલા છે. આકૃતિ (b) માં, આ બે ઉદ્ગમોના કારણે પડદા પર મળતી પ્રકાશની તીવ્રતાની વહેંચણી દર્શાવવામાં આવી છે. આ ગ્રાફ દર્શાવે છે કે મધ્યમાં તીવ્રતા મહત્તમ છે અને પછી નિયમિત રીતે ઘટીને શૂન્ય થઈ જાય છે, જે વ્યતિકરણની પેટર્ન દર્શાવે છે.
(A) \( \mathrm{S}_1 \) અને \( \mathrm{S}_2 \) સમાન તીવ્રતાઓ ધરાવતા હશે.
(B) \( \mathrm{S}_1 \) અને \( \mathrm{S}_2 \) અચળ કળા-તફાવત ધરાવતા હશે.
(C) \( \mathrm{S}_1 \) અને \( \mathrm{S}_2 \) સમાન કળા ધરાવતા હશે.
(D) \( \mathrm{S}_1 \) અને \( \mathrm{S}_2 \) સમાન તરંગલંબાઈ ધરાવતા હશે.
Answer: (A, B, D)
ડબલ સ્લિટના પ્રયોગમાં મળતી લઘુતમ તીવ્રતા \( \mathrm{I}_{min} = (\sqrt{\mathrm{I}_1} - \sqrt{\mathrm{I}_2})^2 \) જેટલી હોય છે.
પરંતુ આકૃતિ (b) મુજબ અહીં ન્યૂનતમ તીવ્રતા \( \mathrm{I}_{min} = 0 \) છે.
\( \implies \) \( 0 = (\sqrt{\mathrm{I}_1} - \sqrt{\mathrm{I}_2})^2 \)
\( \implies \) \( \sqrt{\mathrm{I}_1} - \sqrt{\mathrm{I}_2} = 0 \)
\( \implies \) \( \mathrm{I}_1 = \mathrm{I}_2 \)
તેથી, \( \mathrm{S}_1 \) અને \( \mathrm{S}_2 \) સમાન તીવ્રતાઓ ધરાવતા હશે. આમ, વિકલ્પ (A) સાચો છે.
અહીં સ્થિર વ્યતિકરણ ભાત રચાતી હોવાથી, \( \mathrm{S}_1 \) અને \( \mathrm{S}_2 \) સુસંબદ્ધ ઉદ્ગમો હોવા જોઈએ જેમની વચ્ચેનો કળા તફાવત અચળ રહે. તેથી, વિકલ્પ (B) પણ સાચો છે.
અહીં \( \mathrm{S}_1 \) અને \( \mathrm{S}_2 \) સુસંબદ્ધ ઉદ્ગમો હોવાથી તેમાંથી ઉત્સર્જાતા પ્રકાશના તરંગોની આવૃત્તિઓ અને ઝડપ સમાન બનશે અને તેથી તેમની તરંગલંબાઈઓ પણ સમાન હશે. (કારણ કે \( \mathrm{c = \nu \lambda = constant \implies \nu_1 \lambda_1 = \nu_2 \lambda_2} \))
અહીં \( \mathrm{\nu_1 = \nu_2} \) હોવાથી \( \mathrm{\lambda_1 = \lambda_2} \) થાય. આમ, વિકલ્પ (D) પણ સાચો છે.
અહીં \( \mathrm{S}_1 \) અને \( \mathrm{S}_2 \) વચ્ચેનો કળા તફાવત અચળ રહે છે. પરંતુ આ કળા તફાવત શૂન્ય જ હોય (એટલે કે બંને ઉદ્ગમોની કળાઓ સમાન જ હોય) એ જરૂરી નથી. તેથી, વિકલ્પ (C) ખોટો છે.
In simple words: આપેલી વ્યતિકરણ પેટર્ન દર્શાવે છે કે પ્રકાશના સ્ત્રોતો \( \mathrm{S}_1 \) અને \( \mathrm{S}_2 \) સમાન તેજસ્વીતા ધરાવે છે અને તેમની તરંગલંબાઈ પણ સરખી છે. તેમની વચ્ચેનો કળા તફાવત હંમેશા એકસરખો રહે છે, જેના કારણે સ્થિર પેટર્ન બને છે.

🎯 Exam Tip: સ્થિર વ્યતિકરણ માટે સ્ત્રોતોની સમાન તીવ્રતા, અચળ કળા તફાવત અને સમાન તરંગલંબાઈ અનિવાર્ય શરતો છે. આકૃતિનું વિશ્લેષણ કરીને આ શરતોને ઓળખવી એ કી પોઈન્ટ છે.

Question 2. 10\(^3\)Å પહોળાઈવાળા પિનહોલ પર સૂર્યપ્રકાશ આપાત થતો વિચારો. પડદા પર જોવા મળતું પિનહોલનું પ્રતિબિંબ ...

(A) સફેદ વલય હશે.
(B) ભૌમિતિક પ્રતિબિંબ (રચના) કરતાં અલગ હશે.
(C) મધ્યમાન બિંદુ, સફેદ પ્રકાશમાં વિસ્તરેલું હશે.
(D) મધ્યમાન સફેદ તીક્ષ્ણ બિંદુની આસપાસ રંગીન વિસ્તારો વિસ્તરેલા હશે.
Answer: (B, D)
અહીં, સૂર્યપ્રકાશમાંના દૃશ્ય પ્રકાશની સરેરાશ તરંગલંબાઈ \( \lambda = 6000 \) Å છે, અને સ્લિટની પહોળાઈ \( \mathrm{d} = 1000 \) Å છે.
\( \implies \)\( \frac{\lambda}{\mathrm{d}} = \frac{6000}{1000} = 6 \) \( \implies \)\( \frac{\lambda}{\mathrm{d}} > > > > 1 \)
આમ, વિવર્તન મોટા પ્રમાણમાં થશે, તેથી પ્રતિબિંબ ભૌમિતિક પ્રતિબિંબ કરતાં અલગ દેખાશે. આથી, વિકલ્પ (B) સાચો છે.
આ કિસ્સામાં પડદા પર કેન્દ્રસ્થાને, શ્વેત પ્રકાશના વિવિધ ઘટકો રંગો સંમિશ્રિત થઈ સહાયક વ્યતિકરણ નીપજાવે છે જેથી કેન્દ્રસ્થાને શ્વેત રંગનું પ્રકાશિત ટપકું મળે છે. પરંતુ, કેન્દ્રથી દૂર જતાં, રંગોના વલયો પર, વિવિધ રંગોના પ્રકાશ માટે (ભૂરાથી લાલ એ ક્રમમાં) સહાયક વ્યતિકરણ રચાય છે, જેના કારણે મુખ્યત્વે તે રંગના વલયો મળે છે (અને બાકીના રંગો ઓછા પ્રમાણમાં દેખાય છે). આમ, શ્વેત ટપકાંની આસપાસનો વિસ્તાર રંગીન મળે છે એટલે કે મધ્યમાન સફેદ તીક્ષ્ણ બિંદુની આસપાસ રંગીન વિસ્તારો વિસ્તરેલા હોય છે. આથી, વિકલ્પ (D) પણ સાચો છે.
In simple words: જ્યારે સૂર્યપ્રકાશ નાના છિદ્ર પર પડે છે, ત્યારે વિવર્તન વધુ થાય છે. આનાથી પડદા પર મળતું પ્રતિબિંબ સીધા ભૌમિતિક પ્રતિબિંબ જેવું નથી હોતું. કેન્દ્રમાં સફેદ પ્રકાશ દેખાય છે, પરંતુ તેની આસપાસ જુદા-જુદા રંગોના વર્તુળો જોવા મળે છે.

🎯 Exam Tip: જ્યારે સ્લિટની પહોળાઈ તરંગલંબાઈ કરતાં નાની હોય ત્યારે વિવર્તનની અસર પ્રબળ બને છે. સફેદ પ્રકાશના કિસ્સામાં, વિવર્તન વિવિધ રંગોને અલગ પાડે છે, જેના કારણે રંગીન પેટર્ન જોવા મળે છે. આને ફ્રેનલ વિવર્તન સાથે જોડીને સમજી શકાય છે.

Question 3. નાના પિનહોલ માટે વિવર્તન ભાત વિચારો. જેમ હોલનું પરિમાણ (size) વધારવામાં આવે તેમ

(A) પરિમાણ ઘટશે.
(B) તીવ્રતા વધશે.
(C) પરિમાણ વધશે.
(D) તીવ્રતા ઘટશે.
Answer: (A, B)
વિવર્તનનું પ્રમાણ ગુણોત્તર \( (\frac{\lambda}{\mathrm{d}}) \) વડે નક્કી થાય છે. અત્રે d વધારવા \( (\frac{\lambda}{\mathrm{d}}) \) નું પ્રમાણ ઘટે છે અને તેથી વિવર્તન ભાતના પડદા પરના વિસ્તારની પહોળાઈ ઘટે છે. આથી, વિકલ્પ (A) સાચો છે.
વિવર્તન ભાતનો પાવર અચળ છે. હવે જો સ્લિટમાંથી પસાર થયા બાદ આવો પ્રકાશ ઓછા વિસ્તાર પર આપાત થાય તો સ્વાભાવિક રીતે તેમાં તીવ્રતા વધારે મળશે. કારણ કે, \( \mathrm{I = \frac{P}{A}} \). અહીં P અચળ હોય ત્યારે \( \mathrm{I \propto \frac{1}{A}} \). આથી, A ઘટે તો I વધે. આમ, વિકલ્પ (B) પણ સાચો છે.
In simple words: જો છિદ્ર મોટું કરવામાં આવે, તો વિવર્તન ઓછું થાય છે. આનો અર્થ એ કે પડદા પર દેખાતી પ્રકાશની પેટર્ન નાની બને છે. કારણ કે પ્રકાશ ઓછા વિસ્તારમાં ફેલાય છે, તેથી તેની તેજસ્વીતા વધે છે.

🎯 Exam Tip: વિવર્તનની પેટર્નની પહોળાઈ સ્લિટની પહોળાઈના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે. જ્યારે પેટર્ન સંકોચાય છે, ત્યારે પ્રકાશ ઊર્જા એક નાના વિસ્તારમાં કેન્દ્રિત થાય છે, જેનાથી તીવ્રતા વધે છે.

Question 4. બિંદુવત્ ઉદ્ગમમાંથી પ્રકાશનું વિખેરણ (અપસારિત)

ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): આકૃતિમાં બિંદુ O થી નીકળતા પ્રકાશ તરંગોને દર્શાવવામાં આવ્યા છે. આ તરંગો ગોળાકાર સ્વરૂપમાં બહારની તરફ ફેલાય છે, અને તરંગઅગ્ર પણ ગોળાકાર હોય છે. જેમ જેમ પ્રકાશ સ્ત્રોતથી દૂર જાય છે, તેમ તેમ ગોળાકાર તરંગઅગ્રનો વ્યાસ વધે છે.
(A) તરંગઅગ્ર ગોળાકાર હશે.
(B) અંતરના વર્ગના પ્રમાણમાં તીવ્રતા ઘટતી જશે.
(C) તરંગઅગ્ર પરવલયાકાર હશે.
(D) તરંગઅગ્ર પાસે તીવ્રતા અંતર પર આધાર રાખતી નથી.
Answer: (A, B)
બિંદુવત્ ઉદ્ગમમાંથી ઉદ્ભવીને સમાંગ, સદિગ્ધર્મી અને ત્રિપારિમાણિક માધ્યમમાં આગળ વધતાં તરંગઅગ્રો આકારે (આકૃતિમાં દર્શાવ્યા પ્રમાણે) ગોળાકાર હોય છે. (કારણ કે, આપેલી ક્ષણે ગોળાકાર પૃષ્ઠ પરના બધા જ બિંદુઓએ, પ્રકાશ સદિશના દોલનોની કળાઓ સમાન હોય છે જેથી વ્યાખ્યાનુસાર આવું ગોળાકાર પૃષ્ઠ, ગોળાકાર તરંગઅગ્ર બને છે.) આથી, વિકલ્પ (A) સાચો છે.
અહીં આપેલા ઉદ્ગમનો પાવર અચળ હોવાથી, સૂત્રાનુસાર, \( \mathrm{P = IA = constant} \).
\( \implies \)\( \mathrm{I \propto \frac{1}{A}} \)
\( \implies \)\( \mathrm{I \propto \frac{1}{\mathrm{r}^2}} \) (કારણ કે \( \mathrm{A = 4\pi r^2} \))
આથી, વિકલ્પ (B) પણ સાચો છે.
In simple words: એક નાનકડા પ્રકાશ સ્ત્રોતમાંથી નીકળતો પ્રકાશ ગોળ આકારમાં ફેલાય છે, જેને ગોળાકાર તરંગઅગ્ર કહેવાય છે. જેમ જેમ તમે સ્ત્રોતથી દૂર જાઓ છો, તેમ તેમ પ્રકાશની તેજસ્વીતા અંતરના વર્ગના પ્રમાણમાં ઓછી થાય છે.

🎯 Exam Tip: બિંદુવત્ સ્ત્રોત માટે ગોળાકાર તરંગઅગ્ર અને તીવ્રતાનું અંતર સાથેનું વ્યસ્ત વર્ગનું સંબંધ યાદ રાખવું જરૂરી છે. આ મૂળભૂત પ્રકાશશાસ્ત્રના સિદ્ધાંતો છે.

અતિરિક્ત જવાબી પ્રશ્નો (VSA)

Question 1. સંગત ધ્વનિતરંગો માટે હાઇગેન્સનો સિદ્ધાંત માન્ય છે (વાપરી શકાય) ?

Answer: હા, કારણ કે, હાઇગેન્સનો સિદ્ધાંત સંગત (બધા જ પ્રકારના) તરંગો માટે સાચો છે.
In simple words: હા, હાઇગેન્સનો સિદ્ધાંત ધ્વનિ તરંગો માટે પણ સાચો છે, કારણ કે તે બધા પ્રકારના તરંગો માટે લાગુ પડે છે.

🎯 Exam Tip: હાઇગેન્સનો સિદ્ધાંત તરંગોના પ્રસરણને સમજાવવા માટેનો મૂળભૂત સિદ્ધાંત છે, અને તે પ્રકાશ તરંગો પૂરતો મર્યાદિત નથી, પરંતુ ધ્વનિ તરંગો સહિત અન્ય તરંગો માટે પણ લાગુ પડે છે.

Question 2. બહિર્ગોળ (અભિસારી) લેન્સના ફોકલ પૉઇન્ટ પર એક બિંદુ વિચારો. બીજી બાજુએ ટૂંકી કેન્દ્રલંબાઈ ધરાવતો બીજો બહિર્ગોળ (અભિસારી) લેન્સ મૂકેલ છે. અંતિમ પ્રતિબિંબમાંથી રચાતા તરંગઅગ્રનો પ્રકાર કયો હશે ?

Answer: આકૃતિમાં બહિર્ગોળ લેન્સ \( \mathrm{L_1} \) ના કારણે તેના મુખ્ય કેન્દ્ર (ફોકલ બિંદુ) પર \( \mathrm{I_1} \) પ્રતિબિંબ મળે છે જે \( \mathrm{L_2} \) લેન્સ માટે વસ્તુ તરીકે વર્તે છે અને અંતિમ પ્રતિબિંબ \( \mathrm{I} \) બિંદુવત્ મળે છે. જેમાંથી ઉદ્ભવતા (રચાતા) તરંગઅગ્રનો આકાર ગોળાકાર હોય છે. (માધ્યમ સદિગ્ધમ્મ હોવું જોઈએ).
In simple words: જ્યારે પ્રકાશ બહિર્ગોળ લેન્સમાંથી પસાર થઈને એક બિંદુ પર કેન્દ્રિત થાય છે અને પછી બીજા લેન્સમાંથી પસાર થઈને ફરી એક નાના બિંદુ પર પ્રતિબિંબ બનાવે છે, ત્યારે તે બિંદુમાંથી નીકળતા તરંગઅગ્રનો આકાર ગોળ હશે.

🎯 Exam Tip: બિંદુવત્ પ્રતિબિંબ હંમેશા ગોળાકાર તરંગઅગ્ર ઉત્પન્ન કરે છે. લેન્સ સિસ્ટમમાં અંતિમ પ્રતિબિંબના સ્વરૂપ પર ધ્યાન કેન્દ્રિત કરવું અગત્યનું છે.

Question 3. સૂર્યપ્રકાશ માટે પૃથ્વી પર તરંગઅગ્રનો આકાર કેવો હશે ?

ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): આકૃતિમાં સૂર્યને એક બિંદુવત્ ઉદ્ગમ તરીકે દર્શાવવામાં આવ્યો છે. સૂર્યમાંથી નીકળતો પ્રકાશ ગોળાકાર તરંગઅગ્રના રૂપમાં ફેલાય છે. જ્યારે આ પ્રકાશ પૃથ્વી સુધી પહોંચે છે, જે સૂર્યથી ખૂબ જ દૂર છે, ત્યારે તરંગઅગ્રનો એક નાનો ભાગ પૃથ્વી પર સમતલ તરીકે દેખાય છે.
Answer: સૂર્ય એક બિંદુવત્ પ્રકાશનું ઉદ્ગમ છે. તેથી તેમાંથી મળતાં તરંગઅગ્રો ગોળાકાર હોય છે. જ્યારે આ તરંગઅગ્ર અનંત અંતરે (ખૂબ જ દૂર) એવી પૃથ્વી પર આપાત થાય ત્યારે સીમિત વિસ્તારમાં લગભગ સમતલીય હોય છે તેથી આવા તરંગઅગ્રો આકારે સમતલીય હોય છે.
In simple words: સૂર્યમાંથી નીકળતો પ્રકાશ ગોળ તરંગઅગ્ર બનાવે છે. પરંતુ સૂર્ય પૃથ્વીથી ખૂબ દૂર હોવાથી, જ્યારે પ્રકાશ પૃથ્વી પર પહોંચે છે, ત્યારે તેનો નાનો ભાગ આપણને સપાટ (સમતલ) દેખાય છે.

🎯 Exam Tip: ખૂબ દૂર આવેલા બિંદુવત્ સ્ત્રોતમાંથી આવતા તરંગઅગ્રોને પૃથ્વી પર સમતલ તરંગઅગ્ર તરીકે ગણવામાં આવે છે. આ કોન્સેપ્ટ પ્રકાશશાસ્ત્રમાં વ્યાપકપણે ઉપયોગમાં લેવાય છે.

Question 4. રોજબરોજના અનુભવમાં ધ્વનિતરંગોનું વિવર્તન પ્રકાશના તરંગો કરતાં વધારે શા માટે અનુભવાય છે ?

Answer: દૃશ્ય પ્રકાશના તરંગો માટે સરેરાશ તરંગલંબાઈ \( \lambda = 6000 \) Å = 6 \( \times \) 10\(^{-7}\) m હોય છે.
ધ્વનિના તરંગો માટે, શ્રાવ્ય વિસ્તાર 20 Hz થી 20000 Hz માં હોય છે. જો માણસ વડે બોલાયેલ ધ્વનિની આવૃત્તિ આશરે 332 Hz લઈએ, તો \( \mathrm{v = \nu \lambda} \) પરથી આ કિસ્સામાં
\( \mathrm{\lambda = \frac{v}{\nu} = \frac{332 \text{ m/s}}{332 \text{ Hz}} = 1 \text{ m}} \)
જો d જેટલી પહોળાઈની સ્લિટ વડે ઉપરોક્ત તરંગો વિવર્તન પામતા હોય તો,
\( (\frac{\lambda}{\mathrm{d}})_{\text{ધ્વનિ}} > > > > (\frac{\lambda}{\mathrm{d}})_{\text{દૃશ્યપ્રકાશ}} \)
વ્યવહારમાં વિવિધ અંતરાયો (અડચણો) વડે દૃશ્યપ્રકાશના તરંગોનું વિવર્તન ખૂબ જ ઓછું થશે. તેની સરખામણીમાં ધ્વનિના તરંગોનું વિવર્તન ખૂબ જ મોટા પ્રમાણમાં થશે. (તેથી જ, ખુલ્લા બારણાંની બે બાજુએ ઊભેલી બે વ્યક્તિઓ કદાચ એકબીજાને જોઈ ન શકતી હોય તો પણ એકબીજાનો અવાજ તો સાંભળી જ શકે છે.)
In simple words: ધ્વનિ તરંગોની લંબાઈ પ્રકાશ તરંગો કરતાં ઘણી મોટી હોય છે. વિવર્તન ત્યારે વધુ થાય છે જ્યારે તરંગની લંબાઈ અવરોધના કદની નજીક હોય. આપણા રોજિંદા જીવનમાં, અવરોધો (જેમ કે બારણાં) ધ્વનિ તરંગોની લંબાઈના પ્રમાણમાં હોય છે, પરંતુ પ્રકાશ તરંગોની લંબાઈ કરતાં ઘણા મોટા હોય છે. આથી, આપણે એકબીજાને જોઈ શકતા ન હોઈએ ત્યારે પણ અવાજ સાંભળી શકીએ છીએ.

🎯 Exam Tip: વિવર્તનનું પ્રમાણ તરંગલંબાઈ અને અવરોધના કદના ગુણોત્તર પર આધાર રાખે છે. આ ગુણોત્તર જેટલો મોટો, વિવર્તન પણ તેટલું જ વધુ. ધ્વનિ અને પ્રકાશની તરંગલંબાઈમાં મોટો તફાવત આ પ્રશ્નનો મુખ્ય આધાર છે.

Question 5. માનવ-આંખનું લગભગ કોણીય વિભેદન \( \Phi = 5.8 \times 10^{-4} \) rad છે અને કોઈ લાક્ષણિક ફોટો પ્રિન્ટર 300 dpi [એક ઇંચમાં ટપકાં (dots per inch), 1 ઇંચ = 2.54 સેમી] સાથે ચિત્રણ (prints) કરે છે. એવા કયા લઘુતમ અંતર z પાસે છાપેલ કાગળને મૂકવો જોઈએ કે જેથી કોઈ (તેના પરનાં) બિંદુઓને અલગ-અલગ જોઈ ના શકે ?

Answer: માનવ આંખનું કોણીય વિભેદન \( \Phi = 5.8 \times 10^{-4} \) rad છે. પ્રિન્ટ થયેલા કાગળમાં બે ક્રમિક ટપકાં વચ્ચેનું રેખીય અંતર,
\( \mathrm{l = \frac{એક ઇંચ}{ટપકાંની સંખ્યા} = \frac{2.54 \text{ cm}}{300} = 0.008466 \text{ cm}} \)
\( \implies \)\( \mathrm{l \approx 84 \times 10^{-4} \text{ cm}} \)
બે ક્રમિક ટપકાં વચ્ચેના અંતર વડે તેનાથી Z cm અંતરે આંતરેલો કોણ,
\( \Phi = \frac{\mathrm{l}}{\mathrm{Z}} \)
\( \implies \)\( \mathrm{Z = \frac{l}{\Phi} = \frac{84 \times 10^{-4} \text{ cm}}{5.8 \times 10^{-4}}} = 14.482 \text{ cm} \)
\( \implies \)\( \mathrm{Z \approx 14.5 \text{ cm}} \)
In simple words: માનવ આંખની વસ્તુઓને અલગ પાડવાની ક્ષમતા ચોક્કસ ખૂણા પર આધાર રાખે છે. એક પ્રિન્ટેડ કાગળ પરના નાના ટપકાં જ્યારે આંખની નજીક હોય ત્યારે સ્પષ્ટ દેખાય છે, પરંતુ જો તેને 14.5 cm થી વધુ દૂર રાખવામાં આવે, તો આંખ તેમને અલગ-અલગ જોઈ શકતી નથી કારણ કે તે સમયે ટપકાં વચ્ચેનો ખૂણો આંખની વિભેદન મર્યાદા કરતાં નાનો થઈ જાય છે.

🎯 Exam Tip: વિભેદન શક્તિ (resolving power) અને કોણીય વિભેદનના કોન્સેપ્ટ્સને સ્પષ્ટ રીતે સમજવા જરૂરી છે. આપેલા ડેટાનો ઉપયોગ કરીને ગણતરીમાં ચોકસાઈ રાખવી મહત્વપૂર્ણ છે.

ટૂંક જવાબી પ્રશ્નો (SA)

Question 1. વધારે વક્રીભવનાંક ધરાવતા માધ્યમની આંતરસપાટી પર આપાત થતા પ્રકાશ માટે પરાવર્તન પામતો પ્રકાશ તલધ્રુવીભૂત પ્રકાશમાં પરિણમશે ?

Answer: હા, પ્રસ્તુત કિસ્સામાં આપાત કિરણ ઘટ્ટ માધ્યમમાં અને વક્રીભૂત કિરણ પાતળા માધ્યમમાં હોવાથી, બ્રુસ્ટરના નિયમ પ્રમાણે,
\( \mathrm{tan\theta_p = \frac{n_2}{n_1}} \) (1)
(જ્યાં \( \mathrm{\theta_p} \) = ધ્રુવીભવન કોણ અથવા બ્રુસ્ટર કોણ)
અહીં પાતળા માધ્યમની સાપેક્ષે ઘટ્ટ માધ્યમનો ક્રાંતિકોણ C હોય તો સ્નેલના નિયમાનુસાર,
\( \mathrm{n_2 sinC = n_1 sin90^\circ} \)
\( \implies \)\( \mathrm{sinC = \frac{n_1}{n_2}} \) (2)
સમીકરણો (1) અને (2) પરથી,
\( \mathrm{tan\theta_p > sinC} \) (કારણ કે \( \mathrm{n_2 > n_1} \))
ક્રાંતિકોણ કરતાં મોટા ખૂણા માટે,
\( \mathrm{C} \)
ઉપરોક્ત શરતનું પાલન થાય તેવા ધ્રુવીભવનકોણે આપાત કરેલા પ્રકાશના કિરણ માટે તેનું ધ્રુવીભવન, પરાવર્તન દ્વારા મેળવી શકાય.
In simple words: જ્યારે પ્રકાશ વધુ ઘટ્ટ માધ્યમમાંથી ઓછા ઘટ્ટ માધ્યમમાં જાય છે અને બ્રુસ્ટરના ખૂણે પડે છે, ત્યારે પરાવર્તિત પ્રકાશ સંપૂર્ણપણે ધ્રુવીભૂત થાય છે. આ બ્રુસ્ટરનો નિયમ છે, અને તે ત્યારે જ સાચો પડે છે જ્યારે પ્રકાશ ચોક્કસ ખૂણે આપાત થાય.

🎯 Exam Tip: બ્રુસ્ટરનો નિયમ અને ક્રાંતિકોણ વચ્ચેનો સંબંધ સમજવો અગત્યનો છે. પ્રકાશના ધ્રુવીભવન માટે, ઘટ્ટ માધ્યમમાંથી પરાવર્તન થવું અને આપાતકોણ બ્રુસ્ટરના ખૂણા જેટલો હોવો જરૂરી છે.

Question 2. સમાન હેતુ માટે, 5000 Å નો પ્રકાશ ધરાવતા માઇક્રોસ્કોપ અને 100 V થી પ્રવેગિત કરેલ ઇલેક્ટ્રોનનો પ્રકાશિત પદાર્થ તરીકે ઉપયોગ કરીને બે બિંદુઓને છૂટાં પાડવા માટેના લઘુતમ અંતરનો ગુણોત્તર શોધો.

Answer: માઇક્રોસ્કોપની વિભેદન સીમા \( \mathrm{d_m = \frac{\lambda}{2 sin\theta}} \)
\( \lambda_1 = 5000 \) Å માટે જ્યાં \( \mathrm{\theta} \) એ માઇક્રોસ્કૉપના વસ્તુકાચમાં પ્રવેશતા પ્રકાશે આંતરેલો કોણ છે.
\( \implies \)\( \mathrm{d_{m_1} = \frac{\lambda_1}{2 sin\theta}} \) (1)
100V ની અસર હેઠળ પ્રવેગિત ઇલેક્ટ્રૉનની ડી-બ્રૉગ્લી તરંગલંબાઈ,
\( \mathrm{\lambda_2 = \frac{12.27 \text{ Å}}{\sqrt{100 \text{ V}}} = 1.227 \text{ Å}} \)
અને વિભેદન સીમા
\( \mathrm{d_{m_2} = \frac{\lambda_2}{2 sin\theta}} \) (2)
સમીકરણ (1) અને (2) પરથી,
\( \mathrm{\frac{d_{m_1}}{d_{m_2}} = \frac{\lambda_1}{\lambda_2}} \)
\( \mathrm{= \frac{5000}{1.227} = 4074.97} \)
\( \implies \)\( \mathrm{\approx 4075} \)
In simple words: માઇક્રોસ્કોપની વસ્તુઓને અલગ પાડવાની ક્ષમતા તેની તરંગલંબાઈ પર આધાર રાખે છે. પ્રકાશ અને ઇલેક્ટ્રોન બંનેની પોતાની તરંગલંબાઈ હોય છે. 5000 Å તરંગલંબાઈના પ્રકાશ અને 1.227 Å તરંગલંબાઈના ઇલેક્ટ્રોન માટે બે વસ્તુઓને અલગ પાડવાની ક્ષમતાનો ગુણોત્તર આશરે 4075 છે, એટલે કે ઇલેક્ટ્રોન માઇક્રોસ્કોપ પ્રકાશ માઇક્રોસ્કોપ કરતાં ઘણી સારી રીતે વિભેદન કરી શકે છે.

🎯 Exam Tip: વિભેદન સીમા અને તરંગલંબાઈ વચ્ચેનો વ્યસ્ત સંબંધ સમજવો મહત્વપૂર્ણ છે. ડી-બ્રૉગ્લી તરંગલંબાઈનું સૂત્ર અને તેનું વિભેદન શક્તિ સાથેનું જોડાણ યાદ રાખવું જોઈએ.

Question 3. બે સ્લિટની વ્યતિકરણ ગોઠવણી (જુઓ આકૃતિ) એવી રીતે વિચારો કે જેથી પડદાનું સ્લિટથી અંતર એ બે સ્લિટ વચ્ચેના અંતર કરતાં અડધું હોય. \( \lambda \) ના સ્વરૂપમાં D નું મૂલ્ય એવું મેળવો કે જેથી પડદા પર પ્રથમ ન્યૂનતમ એ મધ્યબિંદુ O થી D જેટલા અંતરે મળે.

ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): આકૃતિમાં યંગના બે-સ્લિટ પ્રયોગની ગોઠવણી દર્શાવવામાં આવી છે. \( \mathrm{S} \) એ પ્રકાશનો સ્ત્રોત છે, \( \mathrm{S_1} \) અને \( \mathrm{S_2} \) બે સ્લિટ છે જે d અંતરે છે. પડદો \( \mathrm{D} \) અંતરે મૂકેલો છે. O મધ્યબિંદુ છે અને \( \mathrm{P} \) એ પડદા પરનું એક બિંદુ છે જ્યાં પ્રથમ ન્યૂનતમ મળે છે. આ કિસ્સામાં, \( \mathrm{P} \) બિંદુનું અંતર O થી \( \mathrm{D} \) જેટલું છે.
Answer: રકમ પ્રમાણેની પરિસ્થિતિ આકૃતિમાં દર્શાવેલી છે. રકમ પ્રમાણે,
\( \mathrm{x = D = \frac{d}{2}} \) (1)
અહીં \( \mathrm{P} \) બિંદુએ સંપાત થતાં તરંગો વચ્ચેનો પથતફાવત,
\( \mathrm{= S_2 P - S_1 P} \)
\( \mathrm{= \sqrt{\left(\mathrm{S_2 T_2}\right)^2 + \left(\mathrm{T_2 P}\right)^2} - \sqrt{\left(\mathrm{S_1 T_1}\right)^2 + \left(\mathrm{T_1 P}\right)^2}} \)
\( \mathrm{= \sqrt{\mathrm{D}^2 + (2D)^2} - \sqrt{\mathrm{D}^2 + (D - D)^2}} \)
\( \mathrm{= \sqrt{\mathrm{D}^2 + 4D^2} - \sqrt{\mathrm{D}^2}} \)
\( \mathrm{= \sqrt{5D^2} - D} \) (આકૃતિ અને સમીકરણ (1) પરથી)
\( \mathrm{= D(\sqrt{5} - 1)} \) (2)
હવે, અપ્રકાશિત શલાકા માટે વિનાશક વ્યતીકરણની શરત \( (\mathrm{r_2 - r_1}) = (2n - 1)\frac{\lambda}{2} \) માં પ્રથમ અપ્રકાશિત શલાકા માટે
\( \mathrm{n = 1} \) મૂકતાં,
\( \mathrm{r_2 - r_1 = \frac{\lambda}{2}} \)
\( \implies \)\( \mathrm{D(\sqrt{5} - 1) = \frac{\lambda}{2}} \)
\( \implies \)\( \mathrm{D = \frac{\lambda}{2(\sqrt{5} - 1)}} = \frac{\lambda}{2(2.236 - 1)} = \frac{\lambda}{2 \times 1.236} \)
\( \implies \)\( \mathrm{D = \frac{\lambda}{2.472}} \)
\( \implies \)\( \mathrm{D = 0.404 \lambda} \)
In simple words: આ પ્રયોગમાં, પડદાનું સ્લિટથી અંતર સ્લિટો વચ્ચેના અંતરના અડધા જેટલું છે. જો પડદા પર પ્રથમ અંધારી પટ્ટી મધ્યબિંદુથી D અંતરે હોય, તો ગણતરી કરતા D નું મૂલ્ય પ્રકાશની તરંગલંબાઈ \( \lambda \) ના 0.404 ગણા જેટલું મળે છે.

🎯 Exam Tip: યંગના પ્રયોગમાં વ્યતિકરણની શરતો અને પથતફાવતની ગણતરી ખૂબ જ મહત્વપૂર્ણ છે. ખાસ કરીને, વિનાશક વ્યતિકરણ (ન્યૂનતમ) માટેની શરત અને ભૌમિતિક ગણતરીમાં ચોકસાઈ રાખવી જરૂરી છે.

દીર્ઘ જવાબી પ્રશ્નો (LA)

Question 1. આકૃતિમાં બે સ્લિટની ગોઠવણી ઉદ્ગમ સહિત દર્શાવલ છે કે જે અધ્રુવીભૂત પ્રકાશનું ઉત્સર્જન કરે છે. \( \mathrm{P} \) એ અક્ષ સાથેનો ધ્રુવક છે કે જેની દિશા આપેલ નથી. જો \( \mathrm{I} \) એ જ્યારે ધ્રુવક હાજર ન હોય ત્યારે મુખ્ય અધિકતમની તીવ્રતા હોય, તો આ કિસ્સામાં મુખ્ય અધિકતમ તેમજ પ્રથમ અધિકતમની તીવ્રતા ગણો.

ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): આકૃતિમાં બે સ્લિટ \( \mathrm{S_1} \) અને \( \mathrm{S_2} \) દર્શાવવામાં આવી છે જ્યાંથી પ્રકાશ ઉત્સર્જિત થાય છે. આ પ્રકાશ ધ્રુવીભૂત નથી. એક ધ્રુવક \( \mathrm{P} \) સ્લિટોની અક્ષ પર મૂકવામાં આવ્યો છે. આ ધ્રુવક પ્રકાશને ધ્રુવીભૂત કરે છે.
Answer: પરિણામી કંપવિસ્તાર એ ધ્રુવીભૂત પ્રકાશ માટે લંબ અને સમાંતર ઘટકોના સરવાળા જેટલો છે.
ધારો કે, સમાંતર ઘટક \( \mathrm{A_{||}} = \mathrm{(A_{||})_1 + (A_{||})_2} \)
\( \mathrm{= (A_{||})_0 sin(kx - \omega t) + (A_{||})_0 sin(kx - \omega t + \phi)} \)
\( \mathrm{= (A_{||})_0 [sin(kx - \omega t) + sin(kx - \omega t + \phi)]} \) (1)
અને લંબ ઘટક \( \mathrm{A_{\perp}} = \mathrm{(A_{\perp})_1 + (A_{\perp})_2} \)
\( \mathrm{= (A_{\perp})_0 sin(kx - \omega t) + (A_{\perp})_0 sin(kx - \omega t + \phi)} \)
\( \mathrm{= (A_{\perp})_0 [sin(kx - \omega t) + sin(kx - \omega t + \phi)]} \)
પ્રકાશની તીવ્રતા,
\( \mathrm{I = (A_{||})^2 + (A_{\perp})^2} \)
\( \mathrm{= (A_{||})_0^2 [sin^2(kx - \omega t) + sin^2(kx - \omega t + \phi)] + (A_{\perp})_0^2 [sin^2(kx - \omega t) + sin^2(kx - \omega t + \phi)]} \)
\( \mathrm{= [sin^2(kx - \omega t) + sin^2(kx - \omega t + \phi)] [(A_{||})_0^2 + (A_{\perp})_0^2]} \)
\( \mathrm{= [(1 + cos\phi)] [(A_{||})_0^2 + (A_{\perp})_0^2]} \)
કારણ કે \( \mathrm{<(A_{||})_0^2> = <(A_{\perp})_0^2>} \)
તેથી \( \mathrm{[<(A_{||})_0^2> + <(A_{\perp})_0^2>] = 2<(A_{\perp})_0^2>} \)
\( \mathrm{= [2(1 + cos\phi)] [<(A_{\perp})_0^2>]} \)
પોલેરાઇઝરની ગેરહાજરીમાં પ્રકાશની તીવ્રતા,
\( \mathrm{I = 2(A_{\perp})_0^2 (1 + cos\phi)} \)
પણ પોલેરાઈઝરની હાજરીમાં \( \mathrm{(A_{\perp})} \) ઘટક બ્લૉક થાય છે.
પરિણામી તીવ્રતા \( \mathrm{I = \{(A_{||})_0^2 + (A_{\perp})_0^2\} (1 + cos\phi)} \)
\( \mathrm{= (A_{||})_0^2 (1 + cos\phi) + (A_{\perp})_0^2 \times \frac{1}{2}} \) (2)
પોલેરાઈઝરની ગેરહાજરીમાં મુખ્ય અધિકતમની તીવ્રતા,
\( \mathrm{I_0 = 4(A_{||})_0^2} \) (3)
પોલેરાઈઝરની હાજરીમાં મુખ્ય અધિકતમની તીવ્રતા
અહીં \( \mathrm{\phi = 0^\circ} \) તેથી \( \mathrm{cos\phi = 1} \)
\( \mathrm{I = (A_{||})_0^2 [1 + cos\phi + \frac{1}{2}]} \)
\( \mathrm{= (A_{||})_0^2 [1 + 1 + \frac{1}{2}]} \)
\( \mathrm{= \frac{5}{2} (A_{||})_0^2} \)
સમીકરણ (3) પરથી \( \mathrm{(A_{||})_0^2 = \frac{I_0}{4}} \) મૂકતાં,
\( \mathrm{I = \frac{5}{2} \times \frac{I_0}{4}} \)
\( \mathrm{\implies I = \frac{5I_0}{8}} \)
પોલેરાઇઝરની ગેરહાજરીમાં મુખ્ય અધિકતમની તીવ્રતા,
\( \mathrm{I' = (A_{||})_0^2 [1 + cos(180^\circ) + \frac{1}{2}]} \) (સમીકરણ (2) પરથી \( \mathrm{\phi = 180^\circ} \))
\( \mathrm{= (A_{||})_0^2 [1 - 1 + \frac{1}{2}]} \)
\( \mathrm{= \frac{1}{2} (A_{||})_0^2} \)
પણ સમીકરણ (3) પરથી \( \mathrm{(A_{||})_0^2 = \frac{I_0}{4}} \)
\( \mathrm{I' = \frac{1}{2} \frac{I_0}{4} = \frac{I_0}{8}} \)
In simple words: જ્યારે અધ્રુવીભૂત પ્રકાશ બે સ્લિટમાંથી પસાર થાય છે અને પછી ધ્રુવકમાંથી પસાર થાય છે, ત્યારે પ્રકાશની તીવ્રતા બદલાય છે. મુખ્ય તેજસ્વી ભાગની તીવ્રતા ધ્રુવક વગરના મૂળ તીવ્રતાના \( \frac{5}{8} \) ગણી બને છે, જ્યારે પ્રથમ તેજસ્વી ભાગની તીવ્રતા \( \frac{1}{8} \) ગણી બને છે.

🎯 Exam Tip: પ્રકાશના ધ્રુવીભૂત અને અધ્રુવીભૂત ઘટકોના કંપવિસ્તાર અને તીવ્રતાની ગણતરી કરવી મહત્વપૂર્ણ છે. વ્યતિકરણ અને ધ્રુવીભવનના સિદ્ધાંતોને જોડીને આ પ્રકારના પ્રશ્નો ઉકેલવામાં આવે છે. કળા તફાવત અને તીવ્રતાના સૂત્રો યાદ રાખો.

 

Question 1. આકૃતિમાં બે ટિની ગોઠવણી ઉદ્ગમ સહિત દર્શાવલ છે કે જે અધ્રુવીભૂત પ્રકાશનું ઉત્સર્જન કરે છે. P એ અક્ષ સાથેનો ધ્રુવક છે કે જેની દિશા આપેલ નથી. જો । એ જ્યારે ધ્રુવક હાજર ન હોય ત્યારે મુખ્ય અધિકતમની તીવ્રતા હોય, તો આ કિસ્સામાં મુખ્ય અધિકતમ તેમજ પ્રથમ અધિકતમની તીવ્રતા ગણો.

ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): एक चित्र दिखाया गया है जिसमें दो स्लिट्स, S1 और S2, एक प्रकाश स्रोत के साथ व्यवस्थित हैं। P बिंदु पर एक पोलराइजर रखा गया है। यह व्यवस्था प्रकाश के ध्रुवीकरण और तीव्रता को समझने में मदद करती है जब पोलराइजर मौजूद होता है या नहीं।
Answer: एक ध्रुवीकृत प्रकाश के लिए, परिणामी आयाम समानांतर और लंबवत घटकों के योग के बराबर होता है. समांतर आयाम \(A_{\parallel}\) को \( (A_{\parallel})_0 \left[ \sin(kx - \omega t) + \sin(kx - \omega t + \phi) \right] \) के रूप में लिखा जाता है. लंबवत आयाम \(A_{\perp}\) को \( (A_{\perp})_0 \left[ \sin(kx - \omega t) + \sin(kx - \omega t + \phi) \right] \) के रूप में लिखा जाता है. प्रकाश की तीव्रता \(I = (A_{\parallel})^2 + (A_{\perp})^2\) होती है. यह \( (A_{\parallel})_0^2 [\sin^2(kx - \omega t) + \sin^2(kx - \omega t + \phi)] + (A_{\perp})_0^2 [\sin^2(kx - \omega t) + \sin^2(kx - \omega t + \phi)] \) के बराबर है. जो कि \( [\sin^2(kx - \omega t) + \sin^2(kx - \omega t + \phi)] [(A_{\parallel})_0^2 + (A_{\perp})_0^2] \) होता है. इसे \( (1 + \cos\phi) [(A_{\parallel})_0^2 + (A_{\perp})_0^2] \) के रूप में भी लिखा जा सकता है, क्योंकि \( \langle(A_{\parallel})^2\rangle = \langle(A_{\perp})^2\rangle \) माना जाता है. इसलिए, \( [\langle(A_{\parallel})\rangle + \langle(A_{\perp})\rangle = 2\langle(A_{\perp})\rangle] \) और \( I = [2(1 + \cos\phi)] [\langle(A_{\perp})\rangle] \) होता है. जब पोलराइजर नहीं होता, तो प्रकाश की तीव्रता \(I_0 = 4\langle(A_{\perp})^2\rangle\) होती है, जो मुख्य अधिकतम तीव्रता है. जब पोलराइजर होता है, तो लंबवत घटक ब्लॉक हो जाता है. इसलिए, तीव्रता \(I = (A_{\parallel})_0^2 (1 + \cos\phi)\) होती है. मुख्य अधिकतम पर, फेज अंतर \( \phi = 0^\circ \) और \( \cos\phi = 1 \). तो, \( I = \langle(A_{\perp})^2\rangle \left[1 + \cos\phi + \frac{1}{2}\right] \) यह \( \langle(A_{\perp})^2\rangle \left[1 + 1 + \frac{1}{2}\right] = \frac{5}{2}\langle(A_{\perp})^2\rangle \) बन जाता है. \( \langle(A_{\perp})^2\rangle = \frac{I_0}{4} \) का मान रखने पर, \( I = \frac{5}{2} \times \frac{I_0}{4} = \frac{5}{8} I_0 \) प्राप्त होता है. पहले अधिकतम की तीव्रता के लिए, फेज अंतर \( \phi = 180^\circ \) होता है, और \( \cos\phi = -1 \). तो, \( I' = \langle(A_{\perp})^2\rangle \left[1 + \cos(180^\circ) + \frac{1}{2}\right] \) यह \( \langle(A_{\perp})^2\rangle \left[1 - 1 + \frac{1}{2}\right] = \frac{1}{2}\langle(A_{\perp})^2\rangle \) बन जाता है. \( \langle(A_{\perp})^2\rangle = \frac{I_0}{4} \) का मान रखने पर, \( I' = \frac{1}{2} \times \frac{I_0}{4} = \frac{I_0}{8} \) प्राप्त होता है.
In simple words: जब कोई पोलराइजर मौजूद नहीं होता है, तो मुख्य प्रकाश की अधिकतम तीव्रता \(I_0\) होती है. यदि हम एक पोलराइजर रखते हैं, तो प्रकाश की तीव्रता बदल जाती है क्योंकि यह प्रकाश के एक घटक को ब्लॉक कर देता है. मुख्य अधिकतम के लिए, तीव्रता \( \frac{5}{8}I_0 \) हो जाती है, और पहले अधिकतम के लिए, तीव्रता \( \frac{I_0}{8} \) हो जाती है.

🎯 Exam Tip: ध्रुवीकृत प्रकाश के आयाम और तीव्रता की गणना करते समय, समानांतर और लंबवत घटकों के सही योग और फेज अंतर (cosφ) के मान का उपयोग करना महत्वपूर्ण है.

 

Question 2. \( \mu = 1.5 \) હોય તેવું દ્રવ્ય ધરાવતો નાનો પારદર્શક લંબઘન (slab) AS₂ ના માર્ગમાં મૂકવામાં આવે છે. (જુઓ આકૃતિ) O થી મુખ્ય અધિકતમનું અને કાચના લંબઘનની ગેરહાજરીમાં મળતા મુખ્ય અધિકતમની કોઈ એક તરફના પ્રથમ ન્યૂનતમનું અંતર કેટલું હશે ?

ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र एक डबल-स्लिट प्रयोग दिखाता है जहाँ प्रकाश स्लिट्स S1 और S2 से गुजरता है और एक पर्दे पर व्यतिकरण पैटर्न बनाता है। S2 के रास्ते में \( \mu=1.5 \) अपवर्तनांक वाला एक पतला पारदर्शी स्लैब रखा गया है। O केंद्रीय अधिकतम को दर्शाता है। प्रश्न में पूछा गया है कि केंद्रीय अधिकतम और किसी एक तरफ के पहले न्यूनतम के बीच की दूरी क्या होगी, जब स्लैब S2 के रास्ते में रखा हो।
Answer: स्लिट A से बिंदु P1 तक पहुंचने वाली तरंगों का पथ अंतर \(2d\sin\theta + (\mu - 1)l\) होता है. केंद्रीय अधिकतम के लिए, पथ अंतर शून्य होता है. यहां, \( \mu = 1.5 \) और \( l = \frac{d}{4} \) है. तो, \( 2d\sin\theta + (1.5 - 1)\frac{d}{4} = 0 \) \( 2d\sin\theta + 0.5 \frac{d}{4} = 0 \) \( 2d\sin\theta = -0.5 \frac{d}{4} = -\frac{d}{8} \) इसलिए, \( \sin\theta = -\frac{d}{16d} = -\frac{1}{16} \) जब \( \theta_1 \) कोण पर पहला न्यूनतम मिलता है, तो पथ अंतर \( 2d\sin\theta_1 + (\mu - 1)l = (2n + 1)\frac{\lambda}{2} \) होता है. यहां \( n = 0 \) के लिए, \( 2d\sin\theta_1 + (1.5 - 1)\frac{d}{4} = \pm \frac{\lambda}{2} \) \( 2d\sin\theta_1 + 0.5 \frac{d}{4} = \pm \frac{\lambda}{2} \) \( 2d\sin\theta_1 = \pm \frac{\lambda}{2} - \frac{d}{8} \) \( \sin\theta_1 = \frac{\pm \lambda/2 - d/8}{2d} = \frac{\pm \lambda}{4d} - \frac{1}{16} \) यदि \( \lambda = d \) हो, तो \( \sin\theta_1 = \frac{\pm d}{4d} - \frac{1}{16} = \pm \frac{1}{4} - \frac{1}{16} \) पर्दे पर +ve दिशा में, \( \sin\theta_1 = +\frac{1}{4} - \frac{1}{16} = \frac{4-1}{16} = \frac{3}{16} \) पर्दे पर -ve दिशा में, \( \sin\theta_1 = -\frac{1}{4} - \frac{1}{16} = -\frac{4+1}{16} = -\frac{5}{16} \) केंद्रीय अधिकतम से पर्दे पर ऊपर की दूरी \(x_1\) हो, तो \( x_1 = D\tan\theta_1 = D \frac{\sin\theta_1}{\cos\theta_1} = D \frac{\sin\theta_1}{\sqrt{1-\sin^2\theta_1}} \) \( x_1 = D \frac{3/16}{\sqrt{1-(3/16)^2}} = D \frac{3/16}{\sqrt{1-9/256}} = D \frac{3/16}{\sqrt{247/256}} = D \frac{3/16}{( \sqrt{247}/16)} = \frac{3D}{\sqrt{247}} \) केंद्रीय अधिकतम से पर्दे पर नीचे की दूरी \(x_1'\) हो, तो \( x_1' = D\tan\theta_1' = D \frac{5/16}{\sqrt{1-(5/16)^2}} = D \frac{5/16}{\sqrt{1-25/256}} = D \frac{5/16}{\sqrt{231/256}} = D \frac{5/16}{(\sqrt{231}/16)} = \frac{5D}{\sqrt{231}} \)
In simple words: जब एक स्लैब को एक स्लिट के रास्ते में रखा जाता है, तो प्रकाश के पथ में अंतर आ जाता है. इस पथ अंतर के कारण, केंद्रीय अधिकतम की स्थिति बदल जाती है, और पहले न्यूनतम की स्थिति भी बदल जाती है. हमने गणना की कि केंद्रीय अधिकतम से पहले न्यूनतम की दूरी पर्दे पर ऊपर की ओर \( \frac{3D}{\sqrt{247}} \) और नीचे की ओर \( \frac{5D}{\sqrt{231}} \) होगी.

🎯 Exam Tip: स्लैब के कारण होने वाले पथ अंतर को \( (\mu-1)l \) के रूप में शामिल करना याद रखें. फ्रिंज पैटर्न की स्थिति को बदलने में यह महत्वपूर्ण होता है.

 

Question 3. આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ ચાર સમાન એકરંગી ઉદ્ગમો A, B, C, D સમાન તરગલંબાઈ \( \lambda \) અને સુસંબદ્ધ હોય તેવા તરંગો ઉત્પન્ન કરે છે. બે રિસીવર R₁ અને R₂ ખૂબ દૂર પરંતુ B થી સમાન અંતરે છે.
(i) બેમાંથી કર્યું રિસીવર મોટા સંકેત (signal) ને પકડશે ?
(ii) B ને બંધ કરવામાં આવે ત્યારે બેમાંથી કયું રિસીવર મોટા સિગ્નલને પકડશે ?
(iii) D ને બંધ કરવામાં આવે ત્યારે બેમાંથી કયું રિસીવર મોટા સિગ્નલને પકડશે ?
(iv) બેમાંથી કયું રિસીવર B અને D માંથી કર્યું ઉદ્ગમ બંધ કરવામાં આવ્યું છે તે ઓળખી બતાવશે ?

ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र चार समान, एकरंगी और सुसंगत प्रकाश स्रोतों A, B, C, और D को दर्शाता है, जो तरंग दैर्ध्य \( \lambda \) का उत्सर्जन कर रहे हैं। दो रिसीवर R1 और R2 दिखाए गए हैं, जो स्रोत B से समान दूरी पर लेकिन बहुत दूर स्थित हैं। स्रोतों के बीच की दूरी AB=BC=BD=\( \lambda/2 \) है। यह सेटअप विभिन्न स्रोतों से आने वाली तरंगों के व्यतिकरण के कारण रिसीवरों पर प्राप्त संकेत की तीव्रता का विश्लेषण करने में मदद करता है।
Answer:(i) चार समान फेज वाले एकरंगी प्रकाश स्रोत A, B, C, D तरंग दैर्ध्य \( \lambda \) का उत्सर्जन करते हैं और AB = BC = BD = \( \frac{\lambda}{2} \) है. रिसीवर R1 और R2 की स्थितियां इस प्रकार हैं कि R1B = R2B = d (\( d \gg \lambda \)). स्रोत A के कारण R1 पर पहुंचने वाली तरंग का समीकरण \( Y_A = a \cos(\omega t) \) है. स्रोत A और B से R1 तक पहुंचने वाली तरंगों के बीच पथ अंतर \( \frac{\lambda}{2} \) है, इसलिए फेज अंतर \( \pi \) है. स्रोत B के कारण R1 पर पहुंचने वाली तरंग का समीकरण \( Y_B = a \cos(\omega t - \pi) = -a \cos(\omega t) \) है. इसी तरह, स्रोत C और A से R1 तक पहुंचने वाली तरंगों के बीच पथ अंतर \( \lambda \) है, इसलिए फेज अंतर \( 2\pi \) है. स्रोत C के कारण R1 पर पहुंचने वाली तरंग का समीकरण \( Y_C = a \cos(\omega t - 2\pi) = a \cos(\omega t) \) है. स्रोत D और C से R1 तक पहुंचने वाली तरंगों के बीच पथ अंतर है: \( \sqrt{d^2 + (\lambda/2)^2} - (d - \lambda/2) \) \( = d \left(1 + \frac{\lambda^2}{4d^2}\right)^{1/2} - d + \frac{\lambda}{2} \) \( = d \left(1 + \frac{\lambda^2}{8d^2}\right) - d + \frac{\lambda}{2} \) (घातांक विस्तार करने पर) यदि \( d \gg \lambda \) है, तो \( \frac{\lambda^2}{8d^2} \) को अनदेखा किया जा सकता है. तो, पथ अंतर \( \frac{\lambda}{2} \) मिलता है, इसलिए फेज अंतर \( \pi \) है. स्रोत D के कारण R1 पर पहुंचने वाली तरंग का समीकरण \( Y_D = a \cos(\omega t - \pi) = -a \cos(\omega t) \) है. तो, A, B, C, D चारों स्रोतों से R1 पर पहुंचने वाली परिणामी तरंग है: \( Y_{R1} = Y_A + Y_B + Y_C + Y_D = a \cos(\omega t) - a \cos(\omega t) + a \cos(\omega t) - a \cos(\omega t) = 0 \) इसलिए, R1 पर कोई संकेत प्राप्त नहीं होगा. स्रोत B और D से R2 तक पहुंचने वाली तरंगों के बीच पथ अंतर \( \frac{\lambda}{2} \) है. तो, फेज अंतर \( \pi \) है. तरंग का समीकरण \( Y_D = a_1 \cos(\omega t - \pi) = -a_1 \cos(\omega t) \) है. अब स्रोत B और A से R2 तक पहुंचने वाली तरंगों के बीच पथ अंतर: \( \sqrt{d^2 + (\lambda/2)^2} - d \) \( = d \left(1 + \frac{\lambda^2}{4d^2}\right)^{1/2} - d \) \( = d \left(1 + \frac{\lambda^2}{8d^2}\right) - d \) (विस्तार करने पर) \( = \frac{\lambda^2}{8d} \) यदि \( d \gg \lambda \) है, तो \( \frac{\lambda^2}{8d} = 0 \) है. तो, फेज अंतर भी \( \phi = 0 \) है. इसलिए, स्रोत A से R2 तक पहुंचने वाली तरंग का समीकरण \( Y_A = a_1 \cos(\omega t) \) है. इसी तरह, \( Y_C = a_1 \cos(\omega t + \phi) \) है. तो, चारों स्रोतों से R2 पर पहुंचने वाली परिणामी तरंग है: \( Y_{R2} = Y_A + Y_B + Y_C + Y_D \) \( = a_1 \cos(\omega t - \phi) + a_1 \cos(\omega t) + a_1 \cos(\omega t + \phi) - a_1 \cos(\omega t) \) \( = 2a_1 \cos(\omega t - \phi) \) इससे पता चलता है कि R2 रिसीवर पर एक बड़ा संकेत प्राप्त होगा, जबकि R1 पर शून्य संकेत. (ii) यदि स्रोत B बंद कर दिया जाता है, तो समीकरण (1) से, R1 पर परिणामी तरंग है: \( Y_{R1} = a \cos(\omega t) + a \cos(\omega t) - a \cos(\omega t) = a \cos(\omega t) \) तो, \( \langle I_{R1} \rangle = a^2 \langle \cos^2 \omega t \rangle = \frac{a^2}{2} \) और समीकरण (2) से, R2 पर परिणामी तरंग है: \( Y_{R2} = a_1 \cos(\omega t - \phi) = a_1 \cos(\omega t) \) (क्योंकि \( \phi \to 0 \)) तो, \( \langle I_{R2} \rangle = a_1^2 \langle \cos^2 \omega t \rangle = \frac{a_1^2}{2} = \frac{a^2}{2} \) इस स्थिति में, दोनों रिसीवर समान संकेत प्राप्त करेंगे. (iii) जब स्रोत D बंद कर दिया जाता है, तो समीकरण (1) से, R1 पर परिणामी तरंग है: \( Y_{R1} = a \cos(\omega t) - a \cos(\omega t) + a \cos(\omega t) = a \cos(\omega t) \) तो, \( \langle I_{R1} \rangle = a^2 \langle \cos^2 \omega t \rangle = \frac{a^2}{2} \) और समीकरण (2) से, R2 पर परिणामी तरंग है: \( Y_{R2} = a_1 \cos(\omega t - \phi) + a_1 \cos(\omega t) + a_1 \cos(\omega t + \phi) = 3a_1 \cos(\omega t) \) (क्योंकि \( \phi \to 0 \)) तो, \( \langle I_{R2} \rangle = (3a_1)^2 \langle \cos^2 \omega t \rangle = \frac{9}{2}a^2 \) इसलिए, R1 की तुलना में R2 एक बड़ा संकेत प्राप्त करेगा. (iv) R1 रिसीवर द्वारा प्राप्त संकेत यह बताता है कि स्रोत B बंद कर दिया गया है, और R2 रिसीवर द्वारा प्राप्त संकेत यह बताता है कि स्रोत D बंद कर दिया गया है.
In simple words: चार प्रकाश स्रोतों से आने वाली तरंगें एक-दूसरे से मिलती हैं. R1 रिसीवर पर, तरंगें एक-दूसरे को रद्द कर देती हैं, जिससे कोई संकेत नहीं मिलता. R2 रिसीवर पर, तरंगें एक-दूसरे को मजबूत करती हैं, जिससे एक बड़ा संकेत मिलता है. यदि स्रोत B बंद कर दिया जाए, तो दोनों रिसीवर समान संकेत प्राप्त करेंगे. यदि स्रोत D बंद कर दिया जाए, तो R2 को R1 से बड़ा संकेत मिलेगा. इससे पता चलता है कि किस स्रोत को बंद किया गया है.

🎯 Exam Tip: तरंगों के व्यतिकरण में, पथ अंतर और फेज अंतर की गणना सटीक होनी चाहिए. रचनात्मक और विनाशकारी व्यतिकरण के सिद्धांतों को समझने से परिणामी तीव्रता का अनुमान लगाने में मदद मिलती है.

 

Question 4. માધ્યમના પ્રકાશીય ગુણધર્મો સાપેક્ષ પરમિટિવિટી (પરાવૈધૃતાંક-permitivity) \( (\varepsilon_r) \) અને સાપેક્ષ પરમિએબિલિટી (પારગમ્યતા-permeability) \( (\mu_r) \) વડે નિયંત્રિત (સંચાલિત) થાય છે. વક્રીભવનાંક \( n = \sqrt{\mu_r \varepsilon_r} \) વડે વ્યાખ્યાયિત થાય છે. સામાન્ય દ્રવ્ય માટે \( \varepsilon_r > 0 \) અને \( \mu_r > 0 \) અને વર્ગમૂળ માટે ધન નિશાની લેવામાં આવેલ છે. 1964માં રશિયન વૈજ્ઞાનિક વી. વેસ્લેગો (V. Veselago) \( \varepsilon_r < 0 \) અને \( \mu_r < 0 \) સાથે દ્રવ્યનું અસ્તિત્વ નિયુક્ત (ધારણા) કર્યું. આથી, આવા કહી શકાય તેવા ‘મેટામટીરિયલ’ પ્રયોગશાળામાં બનાવવામાં આવ્યા અને તેમના પ્રકાશીય ગુણધર્મોનો અભ્યાસ કર્યો. આવાં દ્રવ્યો માટે \( n = -\sqrt{\mu_r \varepsilon_r} \) થવાને વક્રીભવનાંક ધરાવતા માધ્યમમાં જ્યારે પ્રકાશ દાખલ થાય છે ત્યારે તેમની કળાઓ પ્રસરણ દિશાથી દૂર તરફની દિશામાં ગતિ કરે છે.
(i) ઉપરના વર્ણનને આધારે દર્શાવો કે પ્રકાશનું કિરણ જો હવા (વ્રકીભવનાંક = 1)માંથી આવા માધ્યમમાં બીજા ચરણમાં \( \theta_i \) કોણે દાખલ થાય, તો તે તેનું પરાવર્તિત કિરણજૂથ ત્રીજા ચરણમાં હશે.
(ii) આવા માધ્યમ માટે સ્નેલનો નિયમ પળાય છે, તેમ સાબિત કરો.

ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): चित्र-1 और चित्र-2 दो अलग-अलग परिदृश्यों में प्रकाश के अपवर्तन को दर्शाते हैं। चित्र-1 में, प्रकाश हवा से एक मेटा-मटेरियल में प्रवेश कर रहा है, जहाँ अपवर्तनांक (n < 0) है। आपतन कोण दूसरे चतुर्थांश में है, और अपवर्तन कोण तीसरे चतुर्थांश में है, जो मेटा-मटेरियल की असामान्य प्रकृति को दर्शाता है। चित्र-2 में, प्रकाश हवा से एक सामान्य पारदर्शी सघन माध्यम में प्रवेश कर रहा है, जहाँ अपवर्तनांक (n > 0) है। यह मेटा-मटेरियल के साथ तुलना करने में मदद करता है।
Answer:(i) चित्र (1) में दिखाए गए अनुसार, प्रकाश का एक समतल तरंगग्र AB, t = 0 समय पर मेटा-मटेरियल की सतह MN पर आपतित होता है. यदि कथन सत्य है, तो मेटा-मटेरियल के अंदर t समय पर अपवर्तित तरंगग्र ED, चित्र (1) में दिखाए गए अनुसार ऐसा बनेगा कि आपतन कोण \( \theta_i \) दूसरे चतुर्थांश में हो और अपवर्तन कोण \( \theta_r \) तीसरे चतुर्थांश में हो. ED एक तरंगग्र होने के कारण, इसके सभी बिंदुओं पर प्रकाश सदिशों के दोलन का फेज समान होना चाहिए. इसके लिए, A और B से निकलने वाले प्रकाश के किरण t समय में क्रमशः E और D बिंदुओं तक पहुंचने पर उनकी प्रकाशीय पथ लंबाई समान होनी चाहिए. यदि यह लंबाई क्रमशः \( r_1 \) और \( r_2 \) हो, तो समीकरण (2) का उपयोग करके, चित्र में BC की लंबाई धनात्मक है, इसलिए उपरोक्त समीकरण से CD > AE सिद्ध होता है. यह तभी संभव है जब \( \theta_i \) दूसरे चतुर्थांश में हो और \( \theta_r \) तीसरे चतुर्थांश में हो. यह तथ्य मेटा-मटेरियल के अस्तित्व की भविष्यवाणी को सही सिद्ध करता है. क्योंकि, यदि यहां नीचे का माध्यम मेटा-मटेरियल के बजाय कोई सामान्य पारदर्शी सघन माध्यम होता, तो उसमें (चित्र-2) में दिखाए गए अनुसार CD < AE प्राप्त होता, जो दर्शाता है कि n < 0 वाले मेटा-मटेरियल का अस्तित्व होना चाहिए. (ii) स्नेल के नियम का प्रमाण: समीकरण (3) से, BC = n(CD - FD) (जहाँ \( n = -\sqrt{\epsilon_r \mu_r} \) और AE = FD) इसलिए, BC = -n(CF) --- (4) समकोण त्रिभुज ABC में, \( \sin\theta_i = \frac{BC}{AC} \) इसलिए, BC = AC(\( \sin\theta_i \)) --- (5) समकोण त्रिभुज AFC में, \( \sin\theta_r = \frac{CF}{AC} \) इसलिए, CF = AC(\( \sin\theta_r \)) --- (6) समीकरण (4), (5) और (6) से, AC(\( \sin\theta_i \)) = -n(AC)\( \sin\theta_r \) इसलिए, \( \sin\theta_i = -n\sin\theta_r \) या \( n\sin\theta_r = -\sin\theta_i \) यह समीकरण स्नेल के नियम का एक सामान्यीकृत रूप है, जो इस विशेष मामले में लागू होता है.
In simple words: मेटा-मटेरियल एक ऐसा पदार्थ है जिसका अपवर्तनांक नकारात्मक होता है. जब प्रकाश हवा से ऐसे मेटा-मटेरियल में प्रवेश करता है, तो वह सामान्य पदार्थों से अलग व्यवहार करता है. किरण दूसरे चतुर्थांश से आपतित होती है और तीसरे चतुर्थांश में अपवर्तित होती है, जिससे यह सिद्ध होता है कि स्नेल का नियम अभी भी मान्य है, लेकिन एक नकारात्मक अपवर्तनांक के साथ.

🎯 Exam Tip: नकारात्मक अपवर्तनांक वाले मेटा-मटेरियल के लिए स्नेल का नियम लिखते समय, अपवर्तनांक के सामने नकारात्मक चिन्ह का उपयोग करना याद रखें. यह प्रकाश के असामान्य व्यवहार को दर्शाता है.

 

Question 5. લગભગ 100 ટકા પ્રસારિતતા (transmittivity) સુનિશ્ચિત કરવા માટે ફોટોગ્રાફિક લેન્સને ઘણી વખત ડાઇઇલેકિટ્રક દ્રવ્યના પાતળા સ્તર (ફિલ્મ) વડે ઢાંકી દેવામાં આવે છે. આ દ્રવ્યના વક્રીભવનાંક હવા અને કાચના વક્રીભવનાંકોની વચ્ચે હોય છે. (જે લેન્સ માટે પ્રકાશીય દ્રવ્ય બનાવે છે.) સામાન્ય રીતે ઉપયોગમાં લેવાતી ડાઇઇલેક્ટ્રિક ફિલ્મ MgF₂(n = 1.38) છે. આ ફિલ્મ (પાતળા સ્તર)ની જાડાઈ કેટલી રાખવી જોઈએ કે જેથી દૃશ્ય વર્ણપટની મધ્યમાં (5500 Å) મહત્તમ વહન મેળવી શકાય ?

ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र एक पतली फिल्म (डाइइलेक्ट्रिक लेयर) द्वारा कवर किए गए लेंस को दर्शाता है। एक प्रकाश किरण P लेंस की सतह M1N1 पर आपतित होती है। प्रकाश का कुछ हिस्सा A बिंदु से परावर्तित होकर किरण r1 बनाता है, और कुछ हिस्सा फिल्म में अपवर्तित होकर D बिंदु पर जाता है। D बिंदु से प्रकाश काँच की सतह M2N2 से परावर्तित होकर C बिंदु पर आता है, और फिर C बिंदु से फिल्म से बाहर निकलकर किरण r2 बनाता है। यह व्यवस्था विभिन्न सतहों पर प्रकाश के परावर्तन और अपवर्तन को दर्शाती है, जिसका उपयोग फिल्म की मोटाई को अनुकूलित करके अधिकतम संचरण प्राप्त करने के लिए किया जाता है।
Answer: दिए गए चित्र में, मान लें कि प्रकाश की एक किरण डाइइलेक्ट्रिक परत की सतह M1N1 पर i कोण पर आपतित होती है, और t = 0 समय पर A बिंदु पर इसका परावर्तन होता है, जिससे किरण r1 बनती है. साथ ही, A बिंदु पर इसका अपवर्तन होता है, जिससे अपवर्तित किरण \(\overrightarrow{AD}\) बनती है. D बिंदु पर काँच की सतह M2N2 से परावर्तन होने पर \(\overrightarrow{DC}\) किरण मिलती है, जो C बिंदु से बाहर निकलकर किरण r2 बनाती है. यहां आपतित किरण \(\overrightarrow{PA}\) का क्रमशः परावर्तन और निर्गमन होता रहता है, जिससे इसका आयाम लगातार घटता जाता है. इसलिए, A बिंदु पर प्रकाश की परिणामी तीव्रता मुख्यतः r1 और r2 किरणों द्वारा निर्धारित होती है. किरणों r1 और r2 के बीच प्रकाशीय पथ अंतर है: \( r_2 - r_1 = n(AD) + n(DC) - AB \) --- (1) अब, त्रिभुज AED में, \( \cos r = \frac{d}{AD} \implies AD = \frac{d}{\cos r} \) त्रिभुज CDE में, \( \cos r = \frac{d}{DC} \implies DC = \frac{d}{\cos r} \) त्रिभुज ABC में, \( \cos(90^\circ - i) = \sin i = \frac{AB}{AC} \implies AB = (AC)\sin i \) और, त्रिभुज AED में, \( \tan r = \frac{AC/2}{d} \implies AC = 2d \tan r \) इसलिए, \( AB = (2d \tan r) \sin i \) समीकरण (1) में AC का मान रखने पर, प्रकाशीय पथ अंतर है: \( r_2 - r_1 = n\left(\frac{d}{\cos r}\right) + n\left(\frac{d}{\cos r}\right) - (2d \tan r)\sin i \) \( = \frac{2nd}{\cos r} - 2d \left(\frac{\sin r}{\cos r}\right) (n\sin r) \) (क्योंकि \( n = \frac{\sin i}{\sin r} \)) \( = \frac{2nd}{\cos r} - \frac{2nd \sin^2 r}{\cos r} \) \( = \frac{2nd}{\cos r} (1 - \sin^2 r) = \frac{2nd \cos^2 r}{\cos r} = 2nd \cos r \) --- (2) यहां दोनों किरणें सघन माध्यम की सतह से परावर्तित होती हैं, इसलिए परावर्तन के समय कोई अतिरिक्त फेज अंतर नहीं होता. अब, MgF2 परत से अधिकतम निर्गमन के लिए, इसकी ऊपरी सतह M1N1 से परावर्तन नहीं होना चाहिए. दूसरे शब्दों में, r1 और r2 किरणों के बीच विनाशकारी व्यतिकरण होना चाहिए. इसके लिए, उपरोक्त पथ अंतर (परत की न्यूनतम मोटाई के लिए) \( \frac{\lambda}{2} \) के बराबर होना चाहिए. इसलिए, \( 2nd \cos r = \frac{\lambda}{2} \) यदि प्रकाश किरण लेंस पर लंबवत आपतित होती है, तो \( i = r = 0^\circ \), और \( \cos r = 1 \). इसलिए, \( 2nd = \frac{\lambda}{2} \) \( d = \frac{\lambda}{4n} \) दृश्य वर्णपट के मध्य में \( \lambda = 5500 \text{ Å} = 5500 \times 10^{-10} \text{ m} \) और MgF2 के लिए \( n = 1.38 \) \( d = \frac{5500 \times 10^{-10}}{4 \times 1.38} = \frac{5500}{5.52} \times 10^{-10} \approx 996.4 \times 10^{-10} \text{ m} \) इसलिए, \( d \approx 1000 \text{ Å} \)
In simple words: फोटोग्राफिक लेंस पर एक पतली फिल्म लगाई जाती है ताकि प्रकाश का अधिकतम हिस्सा लेंस से गुजर सके. इस फिल्म की मोटाई इतनी होनी चाहिए कि फिल्म के अंदर से परावर्तित प्रकाश और सीधे परावर्तित प्रकाश एक-दूसरे को रद्द कर दें. इसके लिए, फिल्म की मोटाई \( \frac{\lambda}{4n} \) होनी चाहिए. दृश्य प्रकाश के लिए, यह मोटाई लगभग 1000 Å होती है.

🎯 Exam Tip: एंटी-रिफ्लेक्शन कोटिंग्स में, अधिकतम ट्रांसमिशन के लिए विनाशकारी व्यतिकरण की स्थिति \( 2nd \cos r = \frac{\lambda}{2} \) का उपयोग किया जाता है. लंबवत आपतन के लिए \( \cos r = 1 \) होता है.