GSEB Class 12 Physics Solutions Chapter 1 વિધુતભારો અને ક્ષેત્રો

Question 1. \(2 \times 10^{-7}\) C અને \(3 \times 10^{-7}\) C વિદ્યુતભાર ધરાવતા અને એકબીજાથી હવામાં \(30\) cm અંતરે રહેલા બે વિદ્યુતભારિત ગોળાઓ વચ્ચે કેટલું બળ લાગે?

Answer:
આપણી પાસે પ્રથમ ગોળાનો વિદ્યુતભાર \(q_1 = 2 \times 10^{-7}\) C છે.
બીજા ગોળાનો વિદ્યુતભાર \(q_2 = 3 \times 10^{-7}\) C છે.
આ બંને ગોળાઓ વચ્ચેનું અંતર \(r = 30\) cm \( = 0.3\) m છે.
હવામાં કુલંબનો અચળાંક \(k = 9 \times 10^9\) N m\(^2\) C\(^{-2}\) છે.
કુલંબના નિયમ મુજબ, બે વિદ્યુતભારો વચ્ચે લાગતું બળ નીચે મુજબ શોધી શકાય:
\(F = \frac{k q_1 q_2}{r^2}\)
\(F = \frac{(9 \times 10^9) \times (2 \times 10^{-7}) \times (3 \times 10^{-7})}{(0.3)^2}\)
\(F = \frac{54 \times 10^{-5}}{0.09}\)
\(F = 6 \times 10^{-3}\) N
આ બળ અપાકર્ષણ પ્રકારનું છે કારણ કે બંને વિદ્યુતભારો સમાન ધ્રુવના (ધન) છે.
In simple words: બે ધન વિદ્યુતભારો એકબીજાને અપાકર્ષે છે. તેમની વચ્ચે લાગતું બળ કુલંબના નિયમનો ઉપયોગ કરીને ગણી શકાય છે, જે અહીં \(6 \times 10^{-3}\) N આવે છે.

🎯 Exam Tip: કુલંબનો નિયમ (\(F = kq_1q_2/r^2\)) અને એકમોનું સાચું રૂપાંતરણ (cm થી m) યાદ રાખવું અગત્યનું છે. સમાન વિદ્યુતભારો વચ્ચે અપાકર્ષણ અને વિરુદ્ધ વિદ્યુતભારો વચ્ચે આકર્ષણ થાય છે.

Question 2. \(0.4 \mu\)C વિદ્યુતભાર ધરાવતા એક નાના ગોળા પર બીજા – \(0.8 \mu\)C વિદ્યુતભાર ધરાવતા નાના ગોળા વડે હવામાં લાગતું સ્થિતવિદ્યુત બળ \(0.2\) N છે.
(a) બે વિદ્યુતભારો વચ્ચેનું અંતર કેટલું હશે?
(b) બીજા ગોળા પર પ્રથમ ગોળાને લીધે લાગતું બળ કેટલું હશે?

Answer:
પ્રથમ ગોળાનો વિદ્યુતભાર \(q_1 = 0.4 \mu\)C \( = 0.4 \times 10^{-6}\) C છે.
બીજા ગોળાનો વિદ્યુતભાર \(q_2 = -0.8 \mu\)C \( = -0.8 \times 10^{-6}\) C છે.
લાગતું સ્થિતવિદ્યુત બળ \(F = 0.2\) N છે.
હવામાં કુલંબનો અચળાંક \(k = 9 \times 10^9\) N m\(^2\) C\(^{-2}\) છે.
(a) બે વિદ્યુતભારો વચ્ચેનું અંતર નીચે મુજબ શોધી શકાય:
કુલંબના નિયમ મુજબ, \(F = \frac{k |q_1 q_2|}{r^2}\)
\(r^2 = \frac{k |q_1 q_2|}{F}\)
\(r^2 = \frac{(9 \times 10^9) \times (0.4 \times 10^{-6}) \times (0.8 \times 10^{-6})}{0.2}\)
\(r^2 = \frac{2.88 \times 10^{-3}}{0.2}\)
\(r^2 = 14.4 \times 10^{-3}\)
\(r^2 = 144 \times 10^{-4}\)
\(r = \sqrt{144 \times 10^{-4}}\)
\(r = 12 \times 10^{-2}\) m
\(r = 0.12\) m
(b) ન્યુટનના ત્રીજા નિયમ મુજબ, બંને ગોળા પર લાગતું બળ મૂલ્યમાં સમાન હોય છે પરંતુ દિશામાં વિરુદ્ધ હોય છે. તેથી, પ્રથમ ગોળાના કારણે બીજા ગોળા પર લાગતું આકર્ષણ બળ પણ \(0.2\) N હશે.
In simple words: (a) બે વિદ્યુતભારો વચ્ચેનું બળ જાણીએ તો, કુલંબના નિયમનો ઉપયોગ કરીને તેમની વચ્ચેનું અંતર 0.12 m શોધી શકાય. (b) ન્યુટનના ત્રીજા નિયમ મુજબ, એક ગોળા દ્વારા બીજા ગોળા પર લાગતું બળ તેટલું જ હોય છે જેટલું બીજો ગોળો પ્રથમ પર લગાવે છે, તેથી તે 0.2 N રહેશે.

🎯 Exam Tip: કુલંબના નિયમમાં વિદ્યુતભારોના મૂલ્ય (absolute value) નો ઉપયોગ કરો અને ન્યુટનના ત્રીજા નિયમને યાદ રાખો કે બળ હંમેશા જોડમાં લાગે છે અને તેની દિશા વિરુદ્ધ હોય છે.

Question 3. \( \frac{k e^2}{\mathrm{G} m_e m_p} \) ગુણોત્તર પરિમાણરહિત છે તેમ ચકાસો. ભૌતિક અચળાંકો ધરાવતા કોષ્ટકમાં જુઓ અને આ ગુણોત્તરનું મૂલ્ય શોધો. આ ગુણોત્તર શું સૂચવે છે?

Answer:
આપણી પાસે આપેલા ગુણોત્તરના દરેક પદના એકમો નીચે મુજબ છે:
કુલંબનો અચળાંક \(k = 9 \times 10^9\) N m\(^2\) C\(^{-2}\). તેનું પારિમાણિક સૂત્ર: \([M L^3 T^{-2} Q^{-2}]\)
ઇલેક્ટ્રોનનો વિદ્યુતભાર \(e = 1.6 \times 10^{-19}\) C. તેનું પારિમાણિક સૂત્ર: \([Q]\)
ગુરુત્વાકર્ષણનો અચળાંક \(G = 6.67 \times 10^{-11}\) N m\(^2\) kg\(^{-2}\). તેનું પારિમાણિક સૂત્ર: \([M^{-1} L^3 T^{-2}]\)
ઇલેક્ટ્રોનનું દળ \(m_e = 9.1 \times 10^{-31}\) kg. તેનું પારિમાણિક સૂત્ર: \([M]\)
પ્રોટોનનું દળ \(m_p = 1.66 \times 10^{-27}\) kg. તેનું પારિમાણિક સૂત્ર: \([M]\)
હવે, આપેલા ગુણોત્તરનું પારિમાણિક સૂત્ર શોધીએ:
\( \frac{k e^2}{G m_e m_p} = \frac{[M L^3 T^{-2} Q^{-2}] [Q^2]}{[M^{-1} L^3 T^{-2}] [M] [M]} \)
\( = \frac{[M L^3 T^{-2} Q^0]}{[M^{-1} L^3 T^{-2} M^2]} \)
\( = \frac{[M L^3 T^{-2}]}{[M L^3 T^{-2}]} \)
\( = [M^0 L^0 T^0 Q^0] \)
આ ગુણોત્તર પરિમાણરહિત છે.
હવે, આ ગુણોત્તરનું મૂલ્ય શોધીએ:
\( \frac{k e^2}{G m_e m_p} = \frac{(9 \times 10^9) \times (1.6 \times 10^{-19})^2}{(6.67 \times 10^{-11}) \times (9.1 \times 10^{-31}) \times (1.66 \times 10^{-27})} \)
\( = \frac{9 \times 10^9 \times 2.56 \times 10^{-38}}{6.67 \times 9.1 \times 1.66 \times 10^{-11-31-27}} \)
\( = \frac{23.04 \times 10^{-29}}{100.4 \times 10^{-69}} \)
\( = 0.229 \times 10^{40} \)
\( = 2.29 \times 10^{39} \)
આ ગુણોત્તર ઇલેક્ટ્રોન અને પ્રોટોન વચ્ચેના સ્થિતવિદ્યુત બળ અને ગુરુત્વાકર્ષણ બળનો ગુણોત્તર દર્શાવે છે.
આ મૂલ્ય ખૂબ મોટું હોવાથી તે સૂચવે છે કે ગુરુત્વાકર્ષણ બળ કરતાં વિદ્યુતબળ ઘણું જ પ્રબળ છે.
In simple words: આ ગુણોત્તર ઇલેક્ટ્રોન અને પ્રોટોન વચ્ચેના વિદ્યુત બળ અને ગુરુત્વાકર્ષણ બળની સરખામણી કરે છે. તે એકમો વગરનો નંબર છે અને તેનું મૂલ્ય \(2.29 \times 10^{39}\) છે. આ બતાવે છે કે વિદ્યુત બળ ગુરુત્વાકર્ષણ બળ કરતાં ઘણું વધારે મજબૂત હોય છે.

🎯 Exam Tip: વિવિધ ભૌતિક અચળાંકોના પારિમાણિક સૂત્રો યાદ રાખવા અને તેમની કિંમતોનો ઉપયોગ કરીને ગણતરીમાં ચોકસાઈ રાખવી જરૂરી છે. ગુણોત્તરનું ભૌતિક મહત્વ સમજાવવું પણ મહત્ત્વનું છે.

Question 4.
(a) 'પદાર્થનો વિદ્યુતભાર ક્વોન્ટમિત (Quantised) થયેલો છે.' – એ કથનનો અર્થ સમજાવો.
(b) સ્થળ એટલે કે મોટા માપક્રમ પર વિદ્યુતભારો સાથે કામ કરતી વખતે આપણે વિદ્યુતભારનું ક્વોન્ટમીકરણ શા માટે અવગણી શકીએ છીએ?

Answer:
(a) 'પદાર્થનો વિદ્યુતભાર ક્વોન્ટમિત થયેલો છે' એટલે કે કોઈપણ પદાર્થ પરનો કુલ વિદ્યુતભાર હંમેશા મૂળભૂત વિદ્યુતભાર (e) ના પૂર્ણાંક ગુણાંકમાં હોય છે. ઇલેક્ટ્રોન પરના વિદ્યુતભારને મૂળભૂત વિદ્યુતભાર કહેવાય છે. તેથી, કોઈપણ પદાર્થ પરનો કુલ વિદ્યુતભાર \(q = ne\) લખી શકાય, જ્યાં \(n = 1, 2, 3, ...\) એક પૂર્ણાંક સંખ્યા છે.
(b) જ્યારે આપણે મોટા વિદ્યુતભારો (\(q = ne\)) સાથે કામ કરીએ છીએ, ત્યારે વિદ્યુતભારના ક્વોન્ટમીકરણને અવગણી શકાય છે. આનું કારણ એ છે કે મૂળભૂત વિદ્યુતભાર (e) નું મૂલ્ય ખૂબ નાનું હોય છે અને 'n' (પ્રોટોન અથવા ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા) ખૂબ મોટી હોય છે. આવી સ્થિતિમાં, વિદ્યુતભાર સતત હોય તેવું વર્તે છે. જ્યારે ઘણા વિદ્યુતભારો એકસાથે ગતિ કરતા હોય છે, ત્યારે ધૂળના કણો જેવા મોટા વિદ્યુતભારના મૂલ્યની સરખામણીમાં, ક્વોન્ટમીકરણને અવગણી શકાય છે.
In simple words: (a) 'વિદ્યુતભાર ક્વોન્ટમિત છે' એટલે કે કોઈપણ વસ્તુ પરનો વિદ્યુતભાર હંમેશા નાનામાં નાના વિદ્યુતભાર (ઇલેક્ટ્રોનનો વિદ્યુતભાર) ના પૂરા ગુણાકારમાં હોય છે. (b) જ્યારે આપણે ખૂબ મોટા વિદ્યુતભારો સાથે કામ કરીએ છીએ, ત્યારે આપણે નાના ક્વોન્ટમ અસરને ભૂલી જઈએ છીએ કારણ કે કુલ વિદ્યુતભાર એટલો મોટો હોય છે કે નાના ફેરફારો ધ્યાનમાં આવતા નથી, જેમ કે રેતીના દાણા એકબીજાથી અલગ હોવા છતાં રેતીનો ઢગલો સતત લાગે છે.

🎯 Exam Tip: ક્વોન્ટમીકરણની મૂળભૂત વ્યાખ્યા અને મોટા પાયે તેના અવગણનાનું કારણ સ્પષ્ટ રીતે સમજાવવું જરૂરી છે. મૂળભૂત વિદ્યુતભાર 'e' નું મૂલ્ય અને 'n' (પૂર્ણાંક) ની ભૂમિકા પર ધ્યાન કેન્દ્રિત કરો.

Question 5. જ્યારે કાચના સળિયાને રેશમી કાપડ સાથે ઘસવામાં આવે છે ત્યારે વિદ્યુતભાર બંને પર દેખા દે છે. આવી ઘટના પદાર્થોની અન્ય જોડીઓ માટે પણ જણાય છે. વિદ્યુતભાર સંરક્ષણના નિયમ સાથે આ બાબત કેવી રીતે સુસંગત છે તે સમજાવો.

Answer:
જ્યારે કાચના સળિયાને રેશમી કાપડ સાથે ઘસવામાં આવે છે, ત્યારે સળિયા પરથી જેટલા ઇલેક્ટ્રોન રેશમના કાપડ પર જાય છે, તેટલા જ ઇલેક્ટ્રોન કાપડ પરથી સળિયા પર જાય છે. આના પરિણામે, કાચનો સળિયો જેટલો ધન વિદ્યુતભારિત બને છે, તેટલો જ રેશમનો ટુકડો ઋણ વિદ્યુતભારિત બને છે.
શરૂઆતમાં, કાચના સળિયા અને રેશમના કાપડ બંને પર કોઈ ચોખ્ખો વિદ્યુતભાર હોતો નથી. ઘસ્યા પછી, સળિયા પર ધન વિદ્યુતભાર \(+q\) અને કાપડ પર ઋણ વિદ્યુતભાર \(-q\) હોય છે.
તેથી, ઘસ્યા પછી બંને પરનો કુલ વિદ્યુતભાર \(+q + (-q) = 0\) રહે છે.
આમ, આ પ્રક્રિયામાં વિદ્યુતભાર સંરક્ષણના નિયમનું પાલન થાય છે, કારણ કે તંત્રનો કુલ વિદ્યુતભાર ઘસતા પહેલા અને પછી શૂન્ય રહે છે.
In simple words: જ્યારે કાચ અને રેશમને ઘસવામાં આવે છે, ત્યારે ઇલેક્ટ્રોન એકમાંથી બીજામાં જાય છે. કાચ ધન બને છે અને રેશમ ઋણ બને છે. કુલ વિદ્યુતભાર પહેલાં શૂન્ય હતો અને પછી પણ શૂન્ય જ રહે છે, જે વિદ્યુતભાર સંરક્ષણનો નિયમ બતાવે છે.

🎯 Exam Tip: વિદ્યુતભાર સંરક્ષણના નિયમમાં, તંત્રનો કુલ વિદ્યુતભાર હંમેશા અચળ રહે છે, ભલે વિદ્યુતભારનું એક પદાર્થમાંથી બીજા પદાર્થમાં સ્થાનાંતરણ થાય. ધન અને ઋણ વિદ્યુતભારોની સમાનતા પર ભાર મૂકો.

Question 6. ચાર બિંદુવત્ વિદ્યુતભારો \(q_A = 2 \mu\)C, \(q_B = -5 \mu\)C, \(q_C = 2 \mu\)C અને \(q_D = -5 \mu\)C એક \(10\) cm ની બાજુવાળા ચોરસ ABCD ના શિરોબિંદુઓ પર અનુક્રમે રહેલા છે. ચોરસના કેન્દ્ર પર મૂકેલા \(1 \mu\)C વિદ્યુતભાર પર લાગતું બળ શોધો.

Answer:
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): આ આકૃતિ \(10\) cm બાજુવાળા એક ચોરસ ABCD દર્શાવે છે. ચોરસના શિરોબિંદુઓ A, B, C, D પર અનુક્રમે \(2 \mu\)C, \(-5 \mu\)C, \(2 \mu\)C અને \(-5 \mu\)C વિદ્યુતભારો મૂકેલા છે. ચોરસના કેન્દ્ર O પર \(1 \mu\)C નો પરીક્ષણ વિદ્યુતભાર મૂકવામાં આવેલ છે, જેના પર લાગતા બળોની દિશાઓ તીર વડે દર્શાવેલ છે.
ચોરસના કેન્દ્ર પર મૂકેલા \(1 \mu\)C વિદ્યુતભાર પર, શિરોબિંદુઓ A અને C પરના વિદ્યુતભારો (\(q_A = 2 \mu\)C અને \(q_C = 2 \mu\)C) દ્વારા લાગતા બળો (\(\overrightarrow{F_A}\) અને \(\overrightarrow{F_C}\)) મૂલ્યમાં સમાન અને દિશામાં વિરુદ્ધ હોય છે. તેથી, તેમનું પરિણામી બળ શૂન્ય થાય છે.
\(\overrightarrow{F_A} + \overrightarrow{F_C} = 0\)
તે જ રીતે, શિરોબિંદુઓ B અને D પરના વિદ્યુતભારો (\(q_B = -5 \mu\)C અને \(q_D = -5 \mu\)C) દ્વારા લાગતા બળો (\(\overrightarrow{F_B}\) અને \(\overrightarrow{F_D}\)) પણ મૂલ્યમાં સમાન અને દિશામાં વિરુદ્ધ હોય છે. તેથી, તેમનું પરિણામી બળ પણ શૂન્ય થાય છે.
\(\overrightarrow{F_B} + \overrightarrow{F_D} = 0\)
આમ, કેન્દ્ર પરના \(1 \mu\)C વિદ્યુતભાર પર લાગતું કુલ બળ શૂન્ય થશે.
\( \overrightarrow{F_{total}} = \overrightarrow{F_A} + \overrightarrow{F_B} + \overrightarrow{F_C} + \overrightarrow{F_D} = 0 \)
In simple words: ચોરસના કેન્દ્ર પર મૂકેલા વિદ્યુતભાર પર, વિરુદ્ધ ખૂણા પરના સમાન વિદ્યુતભારોના કારણે લાગતા બળો એકબીજાને રદ કરે છે. તેથી, કેન્દ્ર પરના \(1 \mu\)C વિદ્યુતભાર પર કુલ બળ શૂન્ય હશે.

🎯 Exam Tip: સપ્રમાણતા (symmetry) નો સિદ્ધાંત આવા પ્રકારના પ્રશ્નોમાં બળની ગણતરીને સરળ બનાવે છે. સમાન વિદ્યુતભારો અને સમાન અંતરને કારણે વિરુદ્ધ બળો રદ થાય છે.

Question 7.
(a) સ્થિત વિદ્યુત ક્ષેત્ર રેખા એ સળંગ વક્ર છે. એટલે કે ક્ષેત્ર રેખાને અચાનક ભંગાણો (ગાબડાં, વિચ્છેદ) ન હોઈ શકે. આવું શા માટે?
(b) બે ક્ષેત્ર રેખાઓ કોઈ બિંદુએ એકબીજાને શા માટે છેદતી નથી તે સમજાવો.

Answer:
(a) સ્થિત વિદ્યુત ક્ષેત્ર રેખા સળંગ વક્ર હોય છે અને તેને અચાનક ભંગાણો ન હોઈ શકે. આ એટલા માટે છે કારણ કે, જો કોઈ વિદ્યુતભારને આવા વિદ્યુતક્ષેત્રમાં ખસેડવામાં આવે, તો તેના પર સતત બળ લાગે છે. આ બળના કારણે વિદ્યુતભાર કોઈપણ બિંદુએ કૂદીને બીજા બિંદુ પર જઈ શકતો નથી. તે હંમેશા સતત રીતે ગતિ કરતો રહે છે. તેથી, ક્ષેત્ર રેખાઓમાં અચાનક ભંગાણો શક્ય નથી.
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): આ આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ, જો વિદ્યુત ક્ષેત્ર રેખામાં અચાનક ભંગાણ હોય, તો તેનો અર્થ એ થશે કે વિદ્યુતભાર તે બિંદુ પરથી કૂદી શકે છે, જે ભૌતિક રીતે શક્ય નથી.
(b) બે વિદ્યુત ક્ષેત્ર રેખાઓ કોઈપણ બિંદુએ એકબીજાને છેદતી નથી. જો તેઓ છેદે, તો છેદનબિંદુ પાસે બે ક્ષેત્ર રેખાઓને અનુરૂપ બે સ્પર્શકો (tangents) મળે. આનો અર્થ એ થશે કે એક જ બિંદુએ વિદ્યુત ક્ષેત્રની બે દિશાઓ છે, જે શક્ય નથી. આપેલા બિંદુએ વિદ્યુત ક્ષેત્રની (અથવા ચુંબકીય ક્ષેત્રની) હંમેશા એક જ ચોક્કસ દિશા હોય છે, જેમ કે આકૃતિમાં દર્શાવેલ છે.
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): આ આકૃતિમાં બે વિદ્યુત ક્ષેત્ર રેખાઓ એકબીજાને છેદતી દર્શાવવામાં આવી છે. જો તેઓ છેદે, તો છેદનબિંદુ પર બે અલગ-અલગ સ્પર્શકો દોરી શકાય, જે વિદ્યુત ક્ષેત્રની બે દિશાઓ સૂચવે છે, જે ભૌતિક રીતે ખોટું છે.
In simple words: (a) વિદ્યુત ક્ષેત્ર રેખાઓ સળંગ હોય છે કારણ કે વિદ્યુતભાર અચાનક કૂદી શકતો નથી, તે હંમેશા સતત ગતિ કરે છે. (b) બે ક્ષેત્ર રેખાઓ એકબીજાને છેદતી નથી કારણ કે જો તેઓ છેદે, તો એક જ બિંદુ પર વિદ્યુત ક્ષેત્રની બે દિશાઓ મળે, જે શક્ય નથી.

🎯 Exam Tip: વિદ્યુત ક્ષેત્ર રેખાઓના ગુણધર્મો ખૂબ જ મહત્વપૂર્ણ છે. ખાસ કરીને તેમની સળંગતા અને એકબીજાને ન છેદવાના કારણો પર ભાર મૂકો. સ્પર્શકનો ખ્યાલ સમજાવો.

Question 8. બે બિંદુવત્ વિદ્યુતભારો \(q_A = 3 \mu\)C અને \(q_B = -3 \mu\)C એકબીજાથી શૂન્યાવકાશમાં \(20\) cm દૂર રહેલા છે.
(a) બે વિદ્યુતભારોને જોડતી રેખાના મધ્યબિંદુ O આગળ વિદ્યુતક્ષેત્ર કેટલું હશે?
(b) જો \(1.5 \times 10^{-9}\) C માન ધરાવતો એક ઋણ પરીક્ષણ વિદ્યુતભાર આ બિંદુએ મૂકવામાં આવે, તો તેના પર લાગતું બળ કેટલું હશે?

Answer:
આપણી પાસે \(q_A = 3 \mu\)C \( = 3 \times 10^{-6}\) C છે.
\(q_B = -3 \mu\)C \( = -3 \times 10^{-6}\) C છે.
બે વિદ્યુતભારો વચ્ચેનું અંતર \(r = 20\) cm \( = 0.2\) m છે.
(a) વિદ્યુતભારોને જોડતી રેખાના મધ્યબિંદુ O આગળ વિદ્યુતક્ષેત્ર શોધીએ. મધ્યબિંદુ હોવાથી, \(AO = BO = \frac{r}{2} = \frac{0.2}{2} = 0.1\) m થશે.
વિદ્યુતભાર \(q_A\) ને કારણે O આગળ વિદ્યુતક્ષેત્ર \(\overrightarrow{E_A}\) એ O થી B તરફની દિશામાં હશે.
વિદ્યુતભાર \(q_B\) ને કારણે O આગળ વિદ્યુતક્ષેત્ર \(\overrightarrow{E_B}\) પણ O થી B તરફની દિશામાં હશે કારણ કે \(q_B\) ઋણ છે અને તે ધન પરીક્ષણ વિદ્યુતભારને પોતાની તરફ આકર્ષશે.
તેથી, O આગળ કુલ વિદ્યુતક્ષેત્ર \(E = E_A + E_B\)
\(E = \frac{k q_A}{(AO)^2} + \frac{k |q_B|}{(BO)^2}\)
કારણ કે \(q_A = |q_B|\) અને \(AO = BO\),
\(E = 2 \times \frac{k q_A}{(AO)^2}\)
\(E = 2 \times \frac{(9 \times 10^9) \times (3 \times 10^{-6})}{(0.1)^2}\)
\(E = 2 \times \frac{27 \times 10^3}{0.01}\)
\(E = 2 \times 2700 \times 10^3 = 5400 \times 10^3\) N/C
\(E = 5.4 \times 10^6\) N/C, દિશા A થી B તરફ.
(b) જો \(q_0 = -1.5 \times 10^{-9}\) C વિદ્યુતભાર આ બિંદુએ મૂકવામાં આવે, તો તેના પર લાગતું બળ \(\overrightarrow{F}\) હશે.
\(\overrightarrow{F} = q_0 \overrightarrow{E}\)
\(\overrightarrow{F} = (-1.5 \times 10^{-9}) \times (5.4 \times 10^6)\) N
\(\overrightarrow{F} = -8.1 \times 10^{-3}\) N
ઋણ નિશાન દર્શાવે છે કે બળ વિદ્યુતક્ષેત્રની વિરુદ્ધ દિશામાં છે. તેથી, બળ B થી A તરફ હશે.
In simple words: (a) બે વિદ્યુતભારો વચ્ચેના મધ્યબિંદુ પર, બંને વિદ્યુતભારોના કારણે વિદ્યુતક્ષેત્ર એક જ દિશામાં (A થી B તરફ) હોય છે, તેથી તે ઉમેરાઈને કુલ \(5.4 \times 10^6\) N/C થાય છે. (b) જો આ બિંદુ પર ઋણ વિદ્યુતભાર મૂકવામાં આવે, તો તેના પર લાગતું બળ વિદ્યુતક્ષેત્રની વિરુદ્ધ દિશામાં (B થી A તરફ) \(8.1 \times 10^{-3}\) N હશે.

🎯 Exam Tip: વિદ્યુતક્ષેત્ર એ સદિશ રાશિ છે, તેથી તેની દિશાનું ધ્યાન રાખવું. ધન વિદ્યુતભારથી ક્ષેત્ર રેખાઓ બહાર નીકળે છે અને ઋણ વિદ્યુતભાર તરફ અંદર આવે છે. બળની દિશા વિદ્યુતભારના ચિહ્ન પર આધાર રાખે છે.

Question 9. એક તંત્રમાં બે વિદ્યુતભારો \(q_A = 2.5 \times 10^{-7}\) C અને \(q_B = -2.5 \times 10^{-7}\) C અનુક્રમે A: \((0, 0, -15)\) cm અને B: \((0, 0, +15)\) cm બિંદુઓએ રહેલા છે. તંત્રનો કુલ વિદ્યુતભાર અને વિદ્યુત ડાયપોલ ચાકમાત્રા શોધો.

Answer:
આપણી પાસે વિદ્યુતભારો છે:
\(q_A = 2.5 \times 10^{-7}\) C, જે A \((0, 0, -15)\) cm પર છે.
\(q_B = -2.5 \times 10^{-7}\) C, જે B \((0, 0, +15)\) cm પર છે.
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): આ આકૃતિ Z-અક્ષ પર બે વિદ્યુતભારો \(q_A\) અને \(q_B\) દર્શાવે છે. \(q_A\) \((0, 0, -15)\) cm પર છે અને \(q_B\) \((0, 0, +15)\) cm પર છે. બંને વિદ્યુતભારો વિરુદ્ધ ચિહ્નના અને સમાન મૂલ્યના છે, જે વિદ્યુત ડાયપોલ બનાવે છે.
(a) તંત્રનો કુલ વિદ્યુતભાર:
કુલ વિદ્યુતભાર \(q_{total} = q_A + q_B\)
\(q_{total} = (2.5 \times 10^{-7}) + (-2.5 \times 10^{-7})\)
\(q_{total} = 0\) C
(b) તંત્રની વિદ્યુત ડાયપોલ ચાકમાત્રા (\(\overrightarrow{p}\)):
ડાયપોલ ચાકમાત્રાનું સૂત્ર છે \(\overrightarrow{p} = q (2\overrightarrow{a})\), જ્યાં \(q\) એ વિદ્યુતભારનું મૂલ્ય છે અને \(2\overrightarrow{a}\) એ \(-q\) થી \(+q\) તરફનું સદિશ અંતર છે.
અહીં, વિદ્યુતભારનું મૂલ્ય \(q = 2.5 \times 10^{-7}\) C છે.
સ્થાન સદિશો છે:
\(\overrightarrow{r_A} = (0, 0, -15)\) cm
\(\overrightarrow{r_B} = (0, 0, +15)\) cm
સદિશ \(2\overrightarrow{a}\) એ \(q_B\) થી \(q_A\) તરફની દિશામાં છે, એટલે કે \(\overrightarrow{r_A} - \overrightarrow{r_B}\)
\(2\overrightarrow{a} = (0, 0, -15) - (0, 0, 15)\) cm
\(2\overrightarrow{a} = (0, 0, -30)\) cm \( = (0, 0, -0.3)\) m
ડાયપોલ ચાકમાત્રાનું મૂલ્ય:
\(|2\overrightarrow{a}| = \sqrt{0^2 + 0^2 + (-30)^2} = 30\) cm \( = 0.3\) m
ડાયપોલ ચાકમાત્રા \(\overrightarrow{p} = q (2\overrightarrow{a})\)
\(p = (2.5 \times 10^{-7}) \times (0.3)\) C m
\(p = 7.5 \times 10^{-8}\) C m
દિશા ઋણ Z-અક્ષની દિશામાં (B થી A તરફ).
In simple words: આ તંત્રમાં સમાન મૂલ્યના અને વિરુદ્ધ ચિહ્નના બે વિદ્યુતભારો હોવાથી કુલ વિદ્યુતભાર શૂન્ય છે. તેની વિદ્યુત ડાયપોલ ચાકમાત્રા \(7.5 \times 10^{-8}\) C m છે અને તેની દિશા ઋણ Z-અક્ષ તરફ છે.

🎯 Exam Tip: ડાયપોલ ચાકમાત્રા એ સદિશ રાશિ છે. કુલ વિદ્યુતભાર શૂન્ય હોય ત્યારે પણ ડાયપોલ ચાકમાત્રા અશૂન્ય હોઈ શકે છે. સદિશ અંતર \(-q\) થી \(+q\) તરફ લેવાનું યાદ રાખો.

Question 10. \(4 \times 10^{-9}\) C m ની ડાયપોલ ચાકમાત્રા ધરાવતી એક વિદ્યુત ડાયપોલ \(5 \times 10^4\) N C\(^{-1}\) નું માન ધરાવતા સમાન વિદ્યુતક્ષેત્ર સાથે \(30^{\circ}\) ના કોણે રહેલી છે. આ ડાયપોલ પર લાગતા ટોર્કનું માન શોધો.

Answer:
આપણી પાસે:
વિદ્યુત ડાયપોલ ચાકમાત્રા \(p = 4 \times 10^{-9}\) C m છે.
વિદ્યુતક્ષેત્રનું માન \(E = 5 \times 10^4\) N C\(^{-1}\) છે.
કોણ \(\theta = 30^{\circ}\) છે.
ડાયપોલ પર લાગતું ટોર્ક (\(\tau\)) શોધવાનું છે.
ટોર્કનું સૂત્ર છે: \(\tau = p E \sin\theta\)
\(\tau = (4 \times 10^{-9}) \times (5 \times 10^4) \times \sin(30^{\circ})\)
\(\tau = (20 \times 10^{-5}) \times (0.5)\)
\(\tau = 10 \times 10^{-5}\) N m
\(\tau = 10^{-4}\) N m
In simple words: આ વિદ્યુત ડાયપોલ પર લાગતું ટોર્ક (ઘુમાવવાનું બળ) ગણવા માટે, ડાયપોલ ચાકમાત્રા, વિદ્યુતક્ષેત્ર અને તેમની વચ્ચેના કોણનો ઉપયોગ કરીએ છીએ, જેનું મૂલ્ય \(10^{-4}\) N m આવે છે.

🎯 Exam Tip: ટોર્કનું સૂત્ર \(\tau = p E \sin\theta\) યાદ રાખવું. \( \sin 30^{\circ} = 0.5 \) ની કિંમતનો ઉપયોગ અને એકમો (\(N \ m\)) સાચા લખવા જરૂરી છે.

Question 11. ઊન સાથે ઘસેલા એક પોલિથીન ટુકડા પર \(3 \times 10^{-7}\) C ઋણ વિદ્યુતભાર છે.
(a) સ્થાનાંતરિત થયેલા ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા શોધો. તેઓ શાના પરથી શાના પર સ્થાનાંતરિત થયા છે?
(b) ઊનથી પોલિથીન તરફ કેટલાં દળનું સ્થાનાંતર થયેલ છે?

Answer:
આપણી પાસે પોલિથીન ટુકડા પરનો વિદ્યુતભાર \(Q = -3 \times 10^{-7}\) C છે.
ઇલેક્ટ્રોનનો વિદ્યુતભાર \(e = -1.6 \times 10^{-19}\) C છે.
(a) સ્થાનાંતરિત થયેલા ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા (\(n\)) શોધવા માટે:
ક્વોન્ટમીકરણના સિદ્ધાંત મુજબ, \(Q = ne\)
\(n = \frac{Q}{e}\)
\(n = \frac{-3 \times 10^{-7}}{-1.6 \times 10^{-19}}\)
\(n = 1.875 \times 10^{12}\)
આમ, આશરે \(2 \times 10^{12}\) ઇલેક્ટ્રોન સ્થાનાંતરિત થયા છે.
પોલિથીન ટુકડા પર ઋણ વિદ્યુતભાર હોવાથી, ઇલેક્ટ્રોન ઊન પરથી પોલિથીન પર સ્થાનાંતરિત થયા હશે.
(b) હા, ઇલેક્ટ્રોનનું સ્થાનાંતર થયું હોવાથી દળનું પણ સ્થાનાંતર થાય છે.
ઇલેક્ટ્રોનનું દળ \(m_e = 9.1 \times 10^{-31}\) kg છે.
પોલિથીનના દળમાં વધારો (\(M\)) થશે, જે સ્થાનાંતરિત થયેલા ઇલેક્ટ્રોનના કુલ દળ જેટલો હશે.
\(M = n \times m_e\)
\(M = (1.875 \times 10^{12}) \times (9.1 \times 10^{-31})\)
\(M = 17.0625 \times 10^{-19}\) kg
\(M \approx 1.71 \times 10^{-18}\) kg
આમ, ઊનનું દળ ઘટશે અને પોલિથીનનું દળ વધશે.
In simple words: (a) પોલિથીન પરના કુલ ઋણ વિદ્યુતભારથી, લગભગ \(1.875 \times 10^{12}\) ઇલેક્ટ્રોન ઊન પરથી પોલિથીન પર ગયા છે. (b) હા, આ ઇલેક્ટ્રોનના સ્થાનાંતરને કારણે લગભગ \(1.71 \times 10^{-18}\) kg જેટલું દળ પણ ઊન પરથી પોલિથીન તરફ ગયું છે.

🎯 Exam Tip: વિદ્યુતભારના ક્વોન્ટમીકરણના સૂત્ર \(Q=ne\) નો ઉપયોગ કરીને ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા શોધી શકાય છે. દળ સ્થાનાંતરની ગણતરી કરતી વખતે, ઇલેક્ટ્રોનના દળ (\(m_e\)) નો ઉપયોગ કરવો. ઋણ વિદ્યુતભાર એટલે ઇલેક્ટ્રોનનો ઉમેરો.

Question 12.
(a) કોપરના અલગ કરેલા બે ગોળાઓ A અને B ના કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર \(50\) cm છે. જો દરેક પરનો વિદ્યુતભાર \(6.5 \times 10^{-7}\) C હોય તો તેમની વચ્ચે પરસ્પર લાગતું અપાકર્ષણનું બળ કેટલું હશે? A અને B વચ્ચેના અંતરની સરખામણીએ તેમની ત્રિજ્યાઓ અવગણી શકાય તેવી છે.
(b) જો આ દરેક ગોળા પરનો વિદ્યુતભાર બમણો કરવામાં આવે અને તેમની વચ્ચેનું અંતર અડધું કરવામાં આવે, તો કેટલું અપાકર્ષણ બળ લાગશે?'

Answer:
(a) આપણી પાસે:
વિદ્યુતભાર \(q = 6.5 \times 10^{-7}\) C છે.
બે ગોળાઓ વચ્ચેનું અંતર \(r = 50\) cm \( = 0.5\) m છે.
કુલંબનો અચળાંક \(k = 9 \times 10^9\) N m\(^2\) C\(^{-2}\) છે.
કુલંબના નિયમ મુજબ, અપાકર્ષણ બળ \(F = \frac{k q^2}{r^2}\)
\(F = \frac{(9 \times 10^9) \times (6.5 \times 10^{-7})^2}{(0.5)^2}\)
\(F = \frac{(9 \times 10^9) \times (42.25 \times 10^{-14})}{0.25}\)
\(F = \frac{380.25 \times 10^{-5}}{0.25}\)
\(F = 1521 \times 10^{-5}\) N
\(F = 1.521 \times 10^{-2}\) N
(b) જો વિદ્યુતભાર બમણો કરીએ તો:
નવો વિદ્યુતભાર \(q' = 2q = 2 \times (6.5 \times 10^{-7})\) C \( = 13 \times 10^{-7}\) C.
જો અંતર અડધું કરીએ તો:
નવું અંતર \(r' = \frac{r}{2} = \frac{0.5}{2} = 0.25\) m.
નવું અપાકર્ષણ બળ \(F' = \frac{k (q')^2}{(r')^2}\)
\(F' = \frac{k (2q)^2}{(r/2)^2} = \frac{k (4q^2)}{r^2/4} = \frac{16 k q^2}{r^2}\)
\(F' = 16 \times F\)
\(F' = 16 \times (1.521 \times 10^{-2})\) N
\(F' = 24.336 \times 10^{-2}\) N
\(F' \approx 0.24\) N
In simple words: (a) બે સમાન વિદ્યુતભારો વચ્ચે \(1.521 \times 10^{-2}\) N નું અપાકર્ષણ બળ લાગે છે. (b) જો વિદ્યુતભાર બમણો કરવામાં આવે અને અંતર અડધું કરવામાં આવે, તો અપાકર્ષણ બળ \(16\) ગણું વધીને લગભગ \(0.24\) N થશે.

🎯 Exam Tip: કુલંબનો નિયમ (\(F = kq_1q_2/r^2\)) અને વિદ્યુતભાર તેમજ અંતરના ફેરફારની બળ પર થતી અસર સમજવી. \(F \propto q^2/r^2\) સંબંધનો ઉપયોગ કરીને ઝડપથી ગણતરી કરી શકાય છે.

Question 13. ધારો કે, સ્વાધ્યાય \(1.12\) માંના બંને ગોળાઓ એકસમાન માપના છે. ત્રીજો તેમના જેવો જ પણ વિદ્યુતભારરહિત ગોળો પ્રથમ ગોળા સાથે સંપર્કમાં લાવી ત્યારબાદ બીજા ગોળા સાથે સંપર્કમાં લાવી તે બંનેથી દૂર કરવામાં આવે છે. હવે A અને B વચ્ચેનું નવું અપાકર્ષણ બળ કેટલું હશે?

Answer:
સ્વાધ્યાય \(1.12\) માંથી,
પ્રથમ ગોળા A પરનો વિદ્યુતભાર \(q_A = 6.5 \times 10^{-7}\) C.
બીજા ગોળા B પરનો વિદ્યુતભાર \(q_B = 6.5 \times 10^{-7}\) C.
બંને ગોળાઓ વચ્ચેનું અંતર \(r = 0.5\) m.
એક વિદ્યુતભારરહિત ગોળો C (જેના પર \(q_C = 0\)) પ્રથમ ગોળા A સાથે સંપર્કમાં લાવવામાં આવે છે.
જ્યારે ગોળો C, ગોળા A સાથે સંપર્કમાં લાવવામાં આવે ત્યારે બંને ગોળા પરનો વિદ્યુતભાર સમાન રીતે વહેંચાશે.
ગોળા A પર નવો વિદ્યુતભાર: \(q_{A}' = \frac{q_A + q_C}{2} = \frac{6.5 \times 10^{-7} + 0}{2} = 3.25 \times 10^{-7}\) C.
ગોળા C પર પણ આટલો જ વિદ્યુતભાર \(q_C' = 3.25 \times 10^{-7}\) C રહેશે.
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): આ આકૃતિ વિદ્યુતભારના વહેંચણીની પ્રક્રિયા દર્શાવે છે. જ્યારે એક વિદ્યુતભારિત ગોળો A (વિદ્યુતભાર \(q\)) અને વિદ્યુતભારરહિત ગોળો C (વિદ્યુતભાર \(0\)) સંપર્કમાં આવે છે, ત્યારે દરેક પર વિદ્યુતભાર \(\frac{q}{2}\) થાય છે. પછી ગોળો C, બીજા વિદ્યુતભારિત ગોળા B (\(q\)) સાથે સંપર્કમાં આવે છે, અને વિદ્યુતભાર વહેંચાઈને \(\frac{q + q/2}{2} = \frac{3q}{4}\) થાય છે.
હવે, ગોળા C ને બીજા ગોળા B સાથે સંપર્કમાં લાવવામાં આવે છે.
ગોળા B પરનો જૂનો વિદ્યુતભાર \(q_B = 6.5 \times 10^{-7}\) C છે.
ગોળા C પરનો વિદ્યુતભાર \(q_C' = 3.25 \times 10^{-7}\) C છે.
જ્યારે ગોળો C, ગોળા B સાથે સંપર્કમાં લાવવામાં આવે ત્યારે બંને ગોળા પરનો વિદ્યુતભાર સમાન રીતે વહેંચાશે.
ગોળા B પર નવો વિદ્યુતભાર: \(q_{B}' = \frac{q_B + q_C'}{2} = \frac{6.5 \times 10^{-7} + 3.25 \times 10^{-7}}{2} = \frac{9.75 \times 10^{-7}}{2} = 4.875 \times 10^{-7}\) C.
ગોળો A અને B હવે \(r = 0.5\) m અંતરે રાખવામાં આવે છે, જેમાં A પરનો વિદ્યુતભાર \(q_A' = 3.25 \times 10^{-7}\) C અને B પરનો વિદ્યુતભાર \(q_B' = 4.875 \times 10^{-7}\) C છે.
નવું અપાકર્ષણ બળ \(F = \frac{k q_A' q_B'}{r^2}\)
\(F = \frac{(9 \times 10^9) \times (3.25 \times 10^{-7}) \times (4.875 \times 10^{-7})}{(0.5)^2}\)
\(F = \frac{(9 \times 3.25 \times 4.875) \times 10^{9-7-7}}{0.25}\)
\(F = \frac{142.3125 \times 10^{-5}}{0.25}\)
\(F = 569.25 \times 10^{-5}\) N
\(F \approx 5.69 \times 10^{-3}\) N
આને મિલિન્યુટન (mN) માં લખી શકાય: \(F \approx 5.69\) mN.
In simple words: પહેલા ગોળો A (વિદ્યુતભાર \(6.5 \times 10^{-7}\) C) વિદ્યુતભારરહિત ગોળા C સાથે સંપર્કમાં આવતા બંને પર \(3.25 \times 10^{-7}\) C વિદ્યુતભાર થાય છે. પછી ગોળો C, ગોળા B (વિદ્યુતભાર \(6.5 \times 10^{-7}\) C) સાથે સંપર્કમાં આવતા બંને પર \(4.875 \times 10^{-7}\) C વિદ્યુતભાર થાય છે. હવે ગોળો A અને B વચ્ચે \(0.5\) m અંતરે નવું અપાકર્ષણ બળ લગભગ \(5.69 \times 10^{-3}\) N લાગશે.

🎯 Exam Tip: સંપર્ક દ્વારા વિદ્યુતભારની વહેંચણીનો સિદ્ધાંત યાદ રાખો: જ્યારે બે સમાન ગોળાઓ સંપર્કમાં આવે છે, ત્યારે કુલ વિદ્યુતભાર સમાન રીતે વહેંચાય છે. કુલંબનો નિયમનો ઉપયોગ કરીને છેલ્લે બળની ગણતરી કરો.

Question 14. આકૃતિમાં સમાન વિદ્યુતક્ષેત્રમાં ત્રણ વિદ્યુતભારોનાં ગતિપથ દર્શાવેલ છે. ત્રણ વિદ્યુતભારોનાં ચિહ્ન આપો. કયા કણ માટે વિદ્યુતભાર અને દળનો ગુણોત્તર મહત્તમ હશે?

Answer:
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): આ આકૃતિ સમાન વિદ્યુતક્ષેત્રમાં ત્રણ કણો (1, 2, 3) ના ગતિપથ દર્શાવે છે. ઉપરની પ્લેટ ધન વિદ્યુતભારિત છે અને નીચેની પ્લેટ ઋણ વિદ્યુતભારિત છે. કણ 1 અને 2 ધન પ્લેટ તરફ વળે છે, જ્યારે કણ 3 ઋણ પ્લેટ તરફ વળે છે.
વિદ્યુતક્ષેત્ર ધન પ્લેટથી ઋણ પ્લેટ તરફ હોય છે.
1. કણ 1 અને 2 ધન પ્લેટ તરફ વાંકા વળે છે, જે દર્શાવે છે કે તેઓ ઋણ વિદ્યુતભાર ધરાવે છે. કણ 3 ઋણ પ્લેટ તરફ વાંકો વળે છે, જે દર્શાવે છે કે તે ધન વિદ્યુતભાર ધરાવે છે.
2. વિદ્યુતક્ષેત્રમાં કણનું સ્થાનાંતર (\(y\)) વિદ્યુતભાર-થી-દળ ગુણોત્તર (\(\frac{e}{m}\)) ના સમપ્રમાણમાં હોય છે: \(y \propto \frac{e}{m}\).
આકૃતિમાં, કણ 3 નું સ્થાનાંતર \(y\) સૌથી વધુ છે. તેથી, કણ 3 માટે વિદ્યુતભાર અને દળનો ગુણોત્તર (\(\frac{e}{m}\)) મહત્તમ હશે. આ ગુણોત્તરને વિશિષ્ટ વિદ્યુતભાર પણ કહેવાય છે.
In simple words: કણ 1 અને 2 ધન પ્લેટ તરફ જાય છે, તેથી તેઓ ઋણ વિદ્યુતભાર ધરાવે છે. કણ 3 ઋણ પ્લેટ તરફ જાય છે, તેથી તે ધન વિદ્યુતભાર ધરાવે છે. જે કણ સૌથી વધુ વળે છે, એટલે કે કણ 3, તેનો વિદ્યુતભાર અને દળનો ગુણોત્તર સૌથી વધારે હશે.

🎯 Exam Tip: વિદ્યુતક્ષેત્રમાં કણોના વિચલનની દિશા પરથી તેમનો વિદ્યુતભાર નક્કી કરી શકાય છે. વિચલનનું પ્રમાણ વિદ્યુતભાર-થી-દળ ગુણોત્તર સાથે સીધો સંબંધ ધરાવે છે, જે ગણતરી વિના પણ મહત્તમ ગુણોત્તર નક્કી કરવામાં મદદ કરે છે.

Question 15. એકસમાન વિદ્યુતક્ષેત્ર \(\overrightarrow{E} = 3 \times 10^3 \hat{i}\) N/C નો વિચાર કરો.
(a) yz સમતલને સમાંતરે જેનું સમતલ હોય તેવા \(10\) cm ની બાજુવાળા ચોરસમાંથી આ ક્ષેત્રનું ફ્લક્સ કેટલું હશે?
(b) જો આ જ ચોરસના સમતલને દોરેલો લંબ x-અક્ષ સાથે \(60^{\circ}\) નો કોણ બનાવે તો તેમાંથી પસાર થતું ફ્લક્સ કેટલું હશે?

Answer:
આપણી પાસે વિદ્યુતક્ષેત્ર \(\overrightarrow{E} = 3 \times 10^3 \hat{i}\) N/C છે.
ચોરસની બાજુની લંબાઈ \(l = 10\) cm \( = 0.1\) m છે.
ચોરસનું ક્ષેત્રફળ \(A = l^2 = (0.1)^2 = 0.01\) m\(^2\).
(a) જો ચોરસનું સમતલ yz સમતલને સમાંતર હોય, તો તેના ક્ષેત્રફળ સદિશની દિશા x-અક્ષની દિશામાં હશે.
તેથી, \(\overrightarrow{A_1} = (0.01) \hat{i}\) m\(^2\).
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): આ આકૃતિ yz સમતલને સમાંતર ચોરસનું ક્ષેત્રફળ સદિશ \(\overrightarrow{A_1}\) દર્શાવે છે, જે x-અક્ષની દિશામાં છે. વિદ્યુતક્ષેત્ર \(\overrightarrow{E}\) પણ x-અક્ષની દિશામાં છે, તેથી તેમની વચ્ચેનો કોણ \(0^{\circ}\) છે.
વિદ્યુત ફ્લક્સ \(\Phi = \overrightarrow{E} \cdot \overrightarrow{A_1}\)
\(\Phi = (3 \times 10^3 \hat{i}) \cdot (0.01 \hat{i})\)
\(\Phi = (3 \times 10^3) \times (0.01) \times (\hat{i} \cdot \hat{i})\)
\(\Phi = 30\) N m\(^2\) C\(^{-1}\)
(b) જો ચોરસના સમતલને દોરેલો લંબ x-અક્ષ સાથે \(60^{\circ}\) નો કોણ બનાવે, તો ક્ષેત્રફળ સદિશ \(\overrightarrow{A_2}\) અને વિદ્યુતક્ષેત્ર \(\overrightarrow{E}\) વચ્ચેનો કોણ \(\theta = 60^{\circ}\) થશે.
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): આ આકૃતિ x-અક્ષ સાથે \(60^{\circ}\) નો કોણ બનાવતા ક્ષેત્રફળ સદિશ \(\overrightarrow{A_2}\) અને વિદ્યુતક્ષેત્ર \(\overrightarrow{E}\) દર્શાવે છે. અહીં, ફ્લક્સની ગણતરી માટે \(\cos 60^{\circ}\) નો ઉપયોગ કરવામાં આવશે.
વિદ્યુત ફ્લક્સ \(\Phi = E A_2 \cos\theta\)
\(\Phi = (3 \times 10^3) \times (0.01) \times \cos(60^{\circ})\)
\(\Phi = 30 \times 0.5\)
\(\Phi = 15\) N m\(^2\) C\(^{-1}\)
In simple words: (a) જ્યારે ચોરસ yz સમતલને સમાંતર હોય, ત્યારે વિદ્યુતક્ષેત્ર અને ક્ષેત્રફળ સદિશ એક જ દિશામાં હોવાથી ફ્લક્સ \(30\) N m\(^2\) C\(^{-1}\) થાય છે. (b) જ્યારે ક્ષેત્રફળ સદિશ x-અક્ષ સાથે \(60^{\circ}\) નો કોણ બનાવે, ત્યારે ફ્લક્સ અડધું થઈને \(15\) N m\(^2\) C\(^{-1}\) થાય છે.

🎯 Exam Tip: વિદ્યુત ફ્લક્સ એ \(\Phi = \overrightarrow{E} \cdot \overrightarrow{A} = EA \cos\theta\) સૂત્ર દ્વારા ગણવામાં આવે છે. ક્ષેત્રફળ સદિશની દિશા હંમેશા સપાટીને લંબ હોય છે. ખૂણો \(\theta\) એ \(\overrightarrow{E}\) અને \(\overrightarrow{A}\) વચ્ચેનો હોય છે.

Question 16. \(20\) cm ની બાજુવાળા એક ઘન કે જેની બાજુઓ યામ સમતલોને સમાંતર રાખેલ હોય તેમાંથી સ્વાધ્યાય \(1.15\) માં દર્શાવેલ વિદ્યુતક્ષેત્રનું ફ્લક્સ કેટલું હશે?

Answer:
સ્વાધ્યાય \(1.15\) માં આપેલ વિદ્યુતક્ષેત્ર \(\overrightarrow{E} = 3 \times 10^3 \hat{i}\) N/C છે, જે ફક્ત x-દિશામાં છે.
ઘનની બાજુની લંબાઈ \(l = 20\) cm \( = 0.2\) m છે.
ઘનનું ક્ષેત્રફળ \(A = l^2 = (0.2)^2 = 0.04\) m\(^2\).
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): આ આકૃતિ \(20\) cm બાજુવાળા એક ઘનને દર્શાવે છે જે યામ સમતલોને સમાંતર રાખેલ છે. વિદ્યુતક્ષેત્ર \(\overrightarrow{E}\) ફક્ત x-અક્ષની દિશામાં છે. ઘનમાંથી પસાર થતા ફ્લક્સની ગણતરી માટે તેની વિવિધ સપાટીઓ દર્શાવેલ છે.
ઘનની કુલ \(6\) સપાટીઓ હોય છે. વિદ્યુતક્ષેત્ર ફક્ત x-દિશામાં હોવાથી, yz સમતલને સમાંતર ન હોય તેવી \(4\) સપાટીઓ (ઉપર, નીચે, આગળ અને પાછળ) માટે ક્ષેત્રફળ સદિશ \(\overrightarrow{A}\) એ \(\overrightarrow{E}\) ને લંબ હશે. તેથી, આ \(4\) સપાટીઓ સાથે સંકળાયેલ ફ્લક્સ શૂન્ય થશે (\(\Phi = EA \cos 90^{\circ} = 0\)).
ફક્ત બે સપાટીઓ (જે yz સમતલને સમાંતર હોય છે) વિદ્યુતક્ષેત્રના સંપર્કમાં આવશે:
• પૃષ્ઠ (1): x-અક્ષ પર ઋણ દિશામાં આવેલી સપાટી (ડાબી બાજુ). તેના માટે ક્ષેત્રફળ સદિશ \(\overrightarrow{A_1}\) એ \(- \hat{i}\) દિશામાં હશે. તેથી, \(\theta_1 = 180^{\circ}\).
\(\Phi_1 = EA \cos\theta_1 = (3 \times 10^3) \times (0.04) \times \cos 180^{\circ}\)
\(\Phi_1 = 120 \times (-1) = -120\) N m\(^2\) C\(^{-1}\). (ફ્લક્સ અંદર પ્રવેશે છે)
• પૃષ્ઠ (2): x-અક્ષ પર ધન દિશામાં આવેલી સપાટી (જમણી બાજુ). તેના માટે ક્ષેત્રફળ સદિશ \(\overrightarrow{A_2}\) એ \(\hat{i}\) દિશામાં હશે. તેથી, \(\theta_2 = 0^{\circ}\).
\(\Phi_2 = EA \cos\theta_2 = (3 \times 10^3) \times (0.04) \times \cos 0^{\circ}\)
\(\Phi_2 = 120 \times (1) = 120\) N m\(^2\) C\(^{-1}\). (ફ્લક્સ બહાર નીકળે છે)
ધન સાથે સંકળાયેલ કુલ ફ્લક્સ (\(\Phi_{total}\)):
\(\Phi_{total} = \Phi_1 + \Phi_2 = -120 + 120 = 0\) N m\(^2\) C\(^{-1}\).
વૈકલ્પિક રીતે, કુલંબના ગાઉસના નિયમ મુજબ, જો ઘન (જે એક બંધ સપાટી છે) માં કોઈ ચોખ્ખો વિદ્યુતભાર ન હોય, તો તેમાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ શૂન્ય હોય છે. અહીં કોઈ વિદ્યુતભાર ઘનની અંદર નથી, તેથી કુલ ફ્લક્સ શૂન્ય થશે.
In simple words: વિદ્યુતક્ષેત્ર ફક્ત એક દિશામાં હોવાથી, ઘનની જે સપાટીઓ વિદ્યુતક્ષેત્રને લંબ હોય છે (એટલે કે, x-અક્ષની દિશામાં), તેમાંથી જ ફ્લક્સ પસાર થશે. જેટલું ફ્લક્સ અંદર પ્રવેશે છે તેટલું જ ફ્લક્સ બહાર નીકળે છે, તેથી ઘનમાંથી કુલ ફ્લક્સ શૂન્ય હશે.

🎯 Exam Tip: ગાઉસનો નિયમ (કોઈપણ બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ ફ્લક્સ તેની અંદરના ચોખ્ખા વિદ્યુતભારના સમપ્રમાણમાં હોય છે) આવા પ્રશ્નોમાં સીધો ઉપયોગી છે. વિદ્યુતક્ષેત્ર સમાંતર હોય તેવી સપાટીઓમાંથી ફ્લક્સ શૂન્ય હોય છે.

Question 17. એક બ્લેક બોક્સની સપાટી આગળના વિદ્યુતક્ષેત્રની કાળજીપૂર્વકની માપણી દર્શાવે છે કે બોક્સની સપાટીમાંથી બહારની તરફનું કુલ ફ્લક્સ \(8.0 \times 10^3\) N m\(^2\)/C છે.
(a) બોક્સની અંદરનો કુલ વિદ્યુતભાર કેટલો હશે?
(b) જો બોક્સની સપાટીમાંથી બહાર નીકળતું કુલ (ચોખ્ખું) ફ્લક્સ શૂન્ય હોત, તો તમે એવો નિષ્કર્ષ તારવી શક્યા હોત કે બોક્સમાં કોઈ વિદ્યુતભાર નથી? જો હોય તો શા માટે અને ન હોય તો પણ શા માટે?

Answer:
આપણી પાસે બોક્સની સપાટીમાંથી બહાર નીકળતું કુલ ફ્લક્સ \(\Phi = 8.0 \times 10^3\) N m\(^2\) C\(^{-1}\) છે.
શૂન્યાવકાશની પરમિટિવિટી \(\varepsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12}\) C\(^2\) N\(^{-1}\) m\(^{-2}\) છે.
(a) ગાઉસના પ્રમેય મુજબ, બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ ફ્લક્સ તેની અંદરના ચોખ્ખા વિદ્યુતભારના \(\frac{1}{\varepsilon_0}\) ગણું હોય છે.
\(\Phi = \frac{q}{\varepsilon_0}\)
બોક્સની અંદરનો ચોખ્ખો વિદ્યુતભાર \(q = \Phi \varepsilon_0\)
\(q = (8.0 \times 10^3) \times (8.85 \times 10^{-12})\)
\(q = 70.8 \times 10^{-9}\) C
\(q \approx 0.0708 \times 10^{-6}\) C
\(q \approx 0.07\) \(\mu\)C
(b) ના, જો બોક્સની સપાટીમાંથી બહાર નીકળતું કુલ ફ્લક્સ શૂન્ય હોત, તો આપણે એવો ચોક્કસ નિષ્કર્ષ તારવી ન શક્યા હોત કે બોક્સમાં કોઈ વિદ્યુતભાર નથી. તેના બદલે, આપણે ફક્ત એટલું કહી શકત કે બોક્સની અંદરનો 'ચોખ્ખો' વિદ્યુતભાર શૂન્ય છે.
આનું કારણ એ છે કે જો બોક્સની અંદર સમાન મૂલ્યના ધન અને ઋણ વિદ્યુતભારો (વિજાતીય વિદ્યુતભારો) આવેલા હોય, તો પણ કુલ ચોખ્ખો વિદ્યુતભાર શૂન્ય થઈ શકે છે (\(q_{net} = +q + (-q) = 0\)). આવી સ્થિતિમાં, બોક્સમાં વિદ્યુતભારો હોઈ શકે છે પરંતુ તેમનું કુલ ફ્લક્સ શૂન્ય હશે.
In simple words: (a) બોક્સમાંથી બહાર આવતા કુલ ફ્લક્સ પરથી, ગાઉસના નિયમનો ઉપયોગ કરીને બોક્સની અંદરનો કુલ વિદ્યુતભાર લગભગ \(0.07\) \(\mu\)C શોધી શકાય છે. (b) જો કુલ ફ્લક્સ શૂન્ય હોત, તો આપણે ફક્ત એટલું જ કહી શકત કે બોક્સની અંદરનો 'ચોખ્ખો' વિદ્યુતભાર શૂન્ય છે. બોક્સમાં ધન અને ઋણ વિદ્યુતભારો સમાન માત્રામાં હાજર હોઈ શકે છે, જે એકબીજાને રદ કરે છે.

🎯 Exam Tip: ગાઉસનો નિયમનો ઉપયોગ કરીને વિદ્યુતભારની ગણતરી કરવી. ખાસ કરીને, 'ચોખ્ખો' વિદ્યુતભાર અને 'કોઈ વિદ્યુતભાર નથી' વચ્ચેનો તફાવત સ્પષ્ટ કરવો. શૂન્ય ફ્લક્સનો અર્થ એ નથી કે કોઈ વિદ્યુતભાર નથી, પરંતુ ચોખ્ખો વિદ્યુતભાર શૂન્ય છે.

Question 18. આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ \(10\) cm બાજુવાળા એક ચોરસના કેન્દ્રથી બરાબર ઉપર \(5\) cm અંતરે \(+10 \mu\)C બિંદુવત્ વિદ્યુતભાર રહેલો છે. ચોરસમાંથી વિદ્યુત ફ્લક્સનું મૂલ્ય કેટલું હશે? (સૂચન : ચોરસને \(10\) cm ની ધારવાળા ઘનની એક બાજુ તરીકે વિચારો.)

Answer:
આપણી પાસે ચોરસની બાજુની લંબાઈ \(l = 10\) cm છે.
વિદ્યુતભાર \(q = +10 \mu\)C \( = 10 \times 10^{-6}\) C છે.
વિદ્યુતભાર ચોરસના કેન્દ્રથી \(5\) cm ઉપર છે.
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): આ આકૃતિ \(10\) cm બાજુવાળા એક ચોરસ ABCD દર્શાવે છે, અને તેના કેન્દ્ર O થી \(5\) cm ઉપર એક ધન વિદ્યુતભાર \(+q\) મૂકવામાં આવેલો છે. આ સ્થિતિમાં ચોરસમાંથી પસાર થતું વિદ્યુત ફ્લક્સ શોધવાનું છે.
સૂચન મુજબ, આપણે \(10\) cm બાજુવાળા ચોરસ ABCD ને \(10\) cm બાજુવાળા ઘનની એક બાજુ તરીકે વિચારી શકીએ.
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): આ આકૃતિ \(10\) cm બાજુવાળા એક ઘન દર્શાવે છે, જેમાં ચોરસ ABCD તેની એક બાજુ છે. વિદ્યુતભાર \(+q\) ચોરસ ABCD ના કેન્દ્રથી \(5\) cm ઉપર છે, જે ઘનના કેન્દ્ર પર આવેલો છે.
આ વિદ્યુતભાર ઘનના કેન્દ્ર પર હોવાથી, ગાઉસના નિયમ મુજબ, ઘનની છ બાજુઓ સાથે સંકળાયેલ કુલ ફ્લક્સ (\(\Phi\)) નીચે મુજબ થશે:
\(\Phi = \frac{q}{\varepsilon_0}\)
\(\Phi = \frac{10 \times 10^{-6}}{8.85 \times 10^{-12}}\)
\(\Phi = 1.1299 \times 10^6\) N m\(^2\) C\(^{-1}\)
ચોરસ ABCD એ ઘનની એક બાજુ છે, અને વિદ્યુતભાર ઘનના કેન્દ્ર પર હોવાથી, કુલ ફ્લક્સ છ બાજુઓમાં સમાન રીતે વહેંચાશે.
તેથી, ચોરસ ABCD જેવી એક બાજુમાંથી પસાર થતું ફ્લક્સ (\(\Phi'\)) નીચે મુજબ થશે:
\(\Phi' = \frac{\Phi}{6} = \frac{q}{6 \varepsilon_0}\)
\(\Phi' = \frac{10 \times 10^{-6}}{6 \times 8.85 \times 10^{-12}}\)
\(\Phi' = \frac{10 \times 10^{-6}}{53.1 \times 10^{-12}}\)
\(\Phi' = 0.18832 \times 10^6\) N m\(^2\) C\(^{-1}\)
\(\Phi' \approx 1.8832 \times 10^5\) N m\(^2\) C\(^{-1}\)
\(\Phi' \approx 1.9 \times 10^5\) N m\(^2\) C\(^{-1}\)
In simple words: જો ચોરસને \(10\) cm બાજુવાળા ઘનની એક સપાટી તરીકે કલ્પના કરવામાં આવે, અને વિદ્યુતભાર ઘનના કેન્દ્ર પર હોય, તો ગાઉસના નિયમ મુજબ, ઘનમાંથી કુલ ફ્લક્સ શોધી શકાય. આ કુલ ફ્લક્સ છ સપાટીઓ વચ્ચે સમાન રીતે વહેંચાશે, તેથી એક ચોરસ સપાટીમાંથી પસાર થતું ફ્લક્સ લગભગ \(1.9 \times 10^5\) N m\(^2\) C\(^{-1}\) હશે.

🎯 Exam Tip: ગાઉસના નિયમ અને સપ્રમાણતા (symmetry) નો ઉપયોગ આવા પ્રશ્નોમાં અગત્યનો છે. વિદ્યુતભારની સ્થિતિ અને સપાટીના આકારને આધારે ફ્લક્સની વહેંચણી સમજવી.

Question 19. \(9.0\) cm ની ધારવાળા એક ઘનાકાર ગાઉસિયન સપાટીના કેન્દ્ર પર \(2.0 \mu\)C વિદ્યુતભાર રહેલો છે. આ સપાટીમાંથી કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ કેટલું હશે?

Answer:
આપણી પાસે ઘનાકાર ગાઉસિયન સપાટીની ધારની લંબાઈ \(l = 9.0\) cm છે.
સપાટીના કેન્દ્ર પર મૂકેલો વિદ્યુતભાર \(q = 2.0 \mu\)C \( = 2.0 \times 10^{-6}\) C છે.
શૂન્યાવકાશની પરમિટિવિટી \(\varepsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12}\) C\(^2\) N\(^{-1}\) m\(^{-2}\) છે.
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): આ આકૃતિ \(9\) cm બાજુવાળા એક ઘનાકાર ગાઉસિયન સપાટી દર્શાવે છે. તેના કેન્દ્રમાં \(2 \mu\)C નો વિદ્યુતભાર મૂકવામાં આવેલો છે. ગાઉસના નિયમનો ઉપયોગ કરીને આ બંધ સપાટીમાંથી બહાર નીકળતું કુલ ફ્લક્સ શોધી શકાય છે.
ગાઉસના પ્રમેય મુજબ, કોઈપણ બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ તેની અંદર રહેલા ચોખ્ખા વિદ્યુતભારના \(\frac{1}{\varepsilon_0}\) ગણું હોય છે.
\(\Phi = \frac{q}{\varepsilon_0}\)
\(\Phi = \frac{2.0 \times 10^{-6}}{8.85 \times 10^{-12}}\)
\(\Phi = 0.22598 \times 10^6\) N m\(^2\) C\(^{-1}\)
\(\Phi \approx 2.26 \times 10^5\) N m\(^2\) C\(^{-1}\)
નોંધ: ગાઉસિયન સપાટીનું પરિમાણ (ધારની લંબાઈ) ફ્લક્સના મૂલ્યને અસર કરતું નથી, જ્યાં સુધી વિદ્યુતભાર તેની અંદર રહેલો હોય.
In simple words: ગાઉસના નિયમ મુજબ, ઘન સપાટીના કેન્દ્રમાં રહેલા વિદ્યુતભારના કારણે તેમાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ \(2.26 \times 10^5\) N m\(^2\) C\(^{-1}\) જેટલું હશે. ઘનની બાજુની લંબાઈ અહીં મહત્વની નથી, કારણ કે ફ્લક્સ ફક્ત અંદરના વિદ્યુતભાર પર આધાર રાખે છે.

🎯 Exam Tip: ગાઉસનો નિયમ લાગુ કરતી વખતે, ફ્લક્સ ફક્ત બંધ સપાટી દ્વારા ઘેરાયેલા ચોખ્ખા વિદ્યુતભાર પર આધાર રાખે છે, સપાટીના આકાર કે કદ પર નહીં. \(\varepsilon_0\) ની કિંમત અને એકમો સાચા લખવા.

Question 20. \(10.0\) cm ત્રિજ્યા ધરાવતી ગોળાકાર ગાઉસિયન સપાટીના કેન્દ્ર પર મૂકેલા બિંદુવત્ વિદ્યુતભારને લીધે તે સપાટીમાંથી \(-1.0 \times 10^3\) N m\(^2\) C\(^{-1}\) નું ફ્લક્સ પસાર થાય છે.
(a) જો ગાઉસિયન સપાટીની ત્રિજ્યા બમણી કરવામાં આવી હોત તો સપાટીમાંથી કેટલું ફ્લક્સ પસાર થતું હોત?
(b) કેન્દ્ર પરના વિદ્યુતભારનું મૂલ્ય કેટલું હશે?

Answer:
આપણી પાસે:
ગોળાકાર ગાઉસિયન સપાટીની ત્રિજ્યા \(R = 10.0\) cm છે.
સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ ફ્લક્સ \(\Phi = -1.0 \times 10^3\) N m\(^2\) C\(^{-1}\) છે.
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): આ આકૃતિ કેન્દ્રમાં વિદ્યુતભાર \(q\) ધરાવતા ગાઉસિયન ગોળાઓ દર્શાવે છે. પ્રથમ ગોળાની ત્રિજ્યા \(R\) અને બીજા ગોળાની ત્રિજ્યા \(2R\) છે. ગાઉસના નિયમ મુજબ, બંને ગોળાઓમાંથી પસાર થતું કુલ ફ્લક્સ સમાન રહેશે, કારણ કે તેઓ સમાન વિદ્યુતભારને ઘેરે છે.
(a) ગાઉસના નિયમ મુજબ, ગાઉસિયન પૃષ્ઠ સાથે સંકળાયેલ ફ્લક્સ એ પૃષ્ઠ વડે ઘેરાયેલા વિદ્યુતભારના મૂલ્ય પર આધાર રાખે છે, પરંતુ પૃષ્ઠના પરિમાણ (આકાર કે કદ) પર નહીં.
તેથી, જો ગોળાકાર ગાઉસિયન સપાટીની ત્રિજ્યા બમણી કરવામાં આવે, તો પણ તેની અંદરનો વિદ્યુતભાર બદલાતો નથી.
આથી, સપાટીમાંથી પસાર થતું વિદ્યુત ફ્લક્સ બદલાશે નહીં અને તે \(-1.0 \times 10^3\) N m\(^2\) C\(^{-1}\) જ રહેશે.
(b) કેન્દ્ર પરના વિદ્યુતભારનું મૂલ્ય શોધવા માટે, ગાઉસના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીએ:
\(\Phi = \frac{q}{\varepsilon_0}\)
વિદ્યુતભાર \(q = \Phi \varepsilon_0\)
\(q = (-1.0 \times 10^3) \times (8.85 \times 10^{-12})\)
\(q = -8.85 \times 10^{-9}\) C
\(q = -8.85\) nC
In simple words: (a) ગાઉસના નિયમ મુજબ, ગોળાની ત્રિજ્યા બમણી કરવાથી અંદરનો વિદ્યુતભાર બદલાતો નથી, તેથી ફ્લક્સ પહેલા જેટલું જ \(-1.0 \times 10^3\) N m\(^2\) C\(^{-1}\) રહેશે. (b) ગાઉસના નિયમનો ઉપયોગ કરીને, કેન્દ્ર પરના વિદ્યુતભારનું મૂલ્ય \(-8.85\) nC છે.

🎯 Exam Tip: ગાઉસના નિયમની મુખ્ય વિભાવના એ છે કે ફ્લક્સ ફક્ત બંધ સપાટી દ્વારા ઘેરાયેલા વિદ્યુતભાર પર આધાર રાખે છે, સપાટીના કદ અથવા આકાર પર નહીં. નકારાત્મક ફ્લક્સ એટલે વિદ્યુતક્ષેત્ર રેખાઓ સપાટીમાં પ્રવેશે છે.

Question 21. \(10\) cm ત્રિજ્યાના એક વાહક ગોળા પર અજ્ઞાત વિદ્યુતભાર છે. ગોળાના કેન્દ્રથી \(20\) cm દૂરના બિંદુએ વિદ્યુતક્ષેત્ર \(-1.5 \times 10^3\) N/C ત્રિજ્યાવર્તી દિશામાં અંદરની તરફ હોય તો ગોળા પરનો કુલ વિદ્યુતભાર કેટલો હશે?

Answer:
આપણી પાસે:
વાહક ગોળાની ત્રિજ્યા \(R = 10\) cm છે.
ગોળાના કેન્દ્રથી અંતર \(r = 20\) cm \( = 0.2\) m છે. (\(r > R\))
આ અંતરે વિદ્યુતક્ષેત્ર \(E = -1.5 \times 10^3\) N/C છે. ઋણ નિશાન દર્શાવે છે કે વિદ્યુતક્ષેત્ર અંદરની તરફ છે.
કુલંબનો અચળાંક \(k = 9 \times 10^9\) N m\(^2\) C\(^{-2}\) છે.
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): આ આકૃતિ \(R\) ત્રિજ્યાના વાહક ગોળા અને તેના કેન્દ્રથી \(r\) અંતરે વિદ્યુતક્ષેત્ર \(\overrightarrow{E}\) દર્શાવે છે. વિદ્યુતક્ષેત્ર અંદરની તરફ હોવાથી, તેનો અર્થ એ થાય કે ગોળા પર ઋણ વિદ્યુતભાર છે.
વાહક ગોળાના બહારના બિંદુએ વિદ્યુતક્ષેત્રનું સૂત્ર:
\(E = \frac{k q}{r^2}\)
આથી, ગોળા પરનો કુલ વિદ્યુતભાર \(q = \frac{E r^2}{k}\)
\(q = \frac{(-1.5 \times 10^3) \times (0.2)^2}{9 \times 10^9}\)
\(q = \frac{(-1.5 \times 10^3) \times (0.04)}{9 \times 10^9}\)
\(q = \frac{-0.06 \times 10^3}{9 \times 10^9}\)
\(q = \frac{-6 \times 10}{9 \times 10^9} = \frac{-6}{9} \times 10^{3-9} = -0.666 \times 10^{-6}\)
\(q = -6.67 \times 10^{-9}\) C
\(q = -6.67\) nC
વિદ્યુતક્ષેત્ર અંદરની તરફ હોવાથી વિદ્યુતભાર ઋણ હશે, જે ગણતરીમાં આવેલ ઋણ નિશાન સાથે સુસંગત છે.
In simple words: વાહક ગોળાની બહારના બિંદુએ વિદ્યુતક્ષેત્રનું માપન કરીને, ગોળા પરનો કુલ વિદ્યુતભાર શોધી શકાય છે. વિદ્યુતક્ષેત્ર અંદરની તરફ હોવાથી, ગોળા પર ઋણ વિદ્યુતભાર \(-6.67\) nC હશે.

🎯 Exam Tip: વાહક ગોળાની બહારના બિંદુએ વિદ્યુતક્ષેત્ર એક બિંદુવત્ વિદ્યુતભાર જેટલું હોય છે. વિદ્યુતક્ષેત્રની દિશા (અંદરની કે બહારની તરફ) પરથી વિદ્યુતભારનું ચિહ્ન નક્કી કરવું અગત્યનું છે. એકમોનું રૂપાંતરણ (cm થી m) ભૂલશો નહીં.

Question 23. એક અનંત લંબાઈનો રેખીય વિદ્યુતભાર 2 cm અંતરે \(9 \times 10^4\) N/C વિદ્યુતક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરે છે. રેખીય વિદ્યુતભાર ઘનતા ગણો.

Answer:એક લાંબા સીધા તાર માટે, વિદ્યુતક્ષેત્રનું સૂત્ર \( E = \frac{\lambda}{2 \pi \varepsilon_0 r} \) છે. અહીં, આપણને \(E = 9 \times 10^4\) N/C અને \(r = 2\) cm \(= 2 \times 10^{-2}\) m આપેલું છે. આપણે રેખીય વિદ્યુતભાર ઘનતા \( \lambda \) શોધવી છે. સૂત્રને \( \lambda \) માટે ગોઠવીએ: \( \lambda = 2 \pi \varepsilon_0 E r \). આપણે જાણીએ છીએ કે \( \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} = k = 9 \times 10^9 \) Nm²/C². તેથી, \( 2 \pi \varepsilon_0 = \frac{1}{2k} \). આ કિંમત મૂકતાં: \( \lambda = \frac{E r}{2k} \). કિંમતો દાખલ કરીએ: \[ \lambda = \frac{(9 \times 10^4) \times (2 \times 10^{-2})}{2 \times (9 \times 10^9)} \] \[ \lambda = \frac{18 \times 10^2}{18 \times 10^9} \] \[ \lambda = 1 \times 10^{-7} \] આને આપણે લખી શકીએ: \[ \lambda = 0.1 \times 10^{-6} \text{ Cm}^{-1} \]
\( \implies \) \( \lambda = 0.1 \text{ µCm}^{-1} \)
In simple words: આપણે તારથી ચોક્કસ અંતરે વિદ્યુતક્ષેત્ર આપેલું છે. કુલંબના નિયમનો ઉપયોગ કરીને, આપણે તાર પર રહેલા કુલ વિદ્યુતભારની ઘનતા ગણી શકીએ. આ ઘનતા 0.1 µCm-1 મળે છે.

🎯 Exam Tip: આવા દાખલાઓમાં, આપેલા એકમોને SI એકમોમાં રૂપાંતરિત કરવાનું યાદ રાખો (દા.ત. cm ને m માં) અને \( \varepsilon_0 \) અથવા \( k \) ની યોગ્ય કિંમતનો ઉપયોગ કરો.

Question 24. બે મોટી, પાતળી ધાતુની પ્લેટો એકબીજાની નજીક અને સમાંતર છે. તેમની અંદરની બાજુઓ પર વિરુદ્ધ ચિહ્નો ધરાવતી અને \(17.0 \times 10^{-22}\) C/m² મૂલ્યની વિદ્યુતભારની પૃષ્ઠ ઘનતા છે.
(a) પ્રથમ પ્લેટની બહારના વિસ્તારમાં
(b) બીજી પ્લેટની બહારના વિસ્તારમાં અને
(c) બંને પ્લેટોની વચ્ચેના વિસ્તારમાં, વિદ્યુતક્ષેત્ર શોધો.

Answer:
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): આ ચિત્ર સમાંતર પ્લેટોને દર્શાવે છે. પ્લેટ 1 પર ધન વિદ્યુતભાર અને પ્લેટ 2 પર ઋણ વિદ્યુતભાર છે. વિદ્યુતક્ષેત્ર રેખાઓ ધન પ્લેટથી નીકળીને ઋણ પ્લેટમાં પ્રવેશે છે, જે દર્શાવે છે કે બહારના વિસ્તારોમાં ક્ષેત્ર શૂન્ય છે જ્યારે પ્લેટો વચ્ચે ક્ષેત્ર હાજર છે.

(a) પ્રથમ પ્લેટની બહારના વિસ્તારમાં (ડાબી બાજુએ): પ્રથમ પ્લેટ પર ધન વિદ્યુતભાર ઘનતા (\( \sigma \)) અને બીજી પ્લેટ પર ઋણ વિદ્યુતભાર ઘનતા (\( -\sigma \)) છે. પહેલી પ્લેટથી ક્ષેત્ર \( E_1 = \frac{\sigma}{2 \varepsilon_0} \) ડાબી તરફ છે. બીજી પ્લેટથી ક્ષેત્ર \( E_2 = \frac{\sigma}{2 \varepsilon_0} \) જમણી તરફ છે. આથી, કુલ વિદ્યુતક્ષેત્ર \( E_a = E_1 + E_2 = \frac{\sigma}{2 \varepsilon_0} (-\hat{i}) + \frac{\sigma}{2 \varepsilon_0} (\hat{i}) = 0 \).
(b) બીજી પ્લેટની બહારના વિસ્તારમાં (જમણી બાજુએ): પહેલી પ્લેટથી ક્ષેત્ર \( E_1 = \frac{\sigma}{2 \varepsilon_0} \) જમણી તરફ છે. બીજી પ્લેટથી ક્ષેત્ર \( E_2 = \frac{\sigma}{2 \varepsilon_0} \) ડાબી તરફ છે. આથી, કુલ વિદ્યુતક્ષેત્ર \( E_b = E_1 + E_2 = \frac{\sigma}{2 \varepsilon_0} (\hat{i}) + \frac{\sigma}{2 \varepsilon_0} (-\hat{i}) = 0 \).
(c) બંને પ્લેટોની વચ્ચેના વિસ્તારમાં: પહેલી પ્લેટથી ક્ષેત્ર \( E_1 = \frac{\sigma}{2 \varepsilon_0} \) જમણી તરફ છે. બીજી પ્લેટથી ક્ષેત્ર \( E_2 = \frac{\sigma}{2 \varepsilon_0} \) જમણી તરફ છે. આથી, કુલ વિદ્યુતક્ષેત્ર \( E_c = E_1 + E_2 = \frac{\sigma}{2 \varepsilon_0} (\hat{i}) + \frac{\sigma}{2 \varepsilon_0} (\hat{i}) = \frac{2\sigma}{2 \varepsilon_0} (\hat{i}) = \frac{\sigma}{\varepsilon_0} (\hat{i}) \). આપણને \( \sigma = 17.0 \times 10^{-22} \) C/m² આપેલ છે અને \( \varepsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12} \) C²/Nm² છે. \[ E_c = \frac{17.0 \times 10^{-22}}{8.85 \times 10^{-12}} \] \[ E_c \approx 1.92 \times 10^{-10} \text{ N/C} \]
In simple words: બે સમાંતર પ્લેટોની બહારના વિસ્તારોમાં વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય હોય છે કારણ કે પ્લેટોના ક્ષેત્રો એકબીજાને રદ કરે છે. પ્લેટોની વચ્ચેના વિસ્તારમાં, વિદ્યુતક્ષેત્ર પ્લેટોના ક્ષેત્રોના સરવાળા જેટલું હોય છે.

🎯 Exam Tip: સમાંતર પ્લેટોના કિસ્સામાં વિદ્યુતક્ષેત્રની ગણતરી કરતી વખતે, ક્ષેત્ર રેખાઓની દિશાઓ કાળજીપૂર્વક ધ્યાનમાં લો. ગોસનો નિયમ આવા કિસ્સાઓમાં ખૂબ ઉપયોગી છે.

Question 25. મિલિકનના ઓઈલ ડ્રોપ પ્રયોગમાં 12 વધારાના ઈલેક્ટ્રોન ધરાવતું એક ઓઈલ ડ્રોપ \(2.55 \times 10^4\) N/C ના સમાન વિદ્યુતક્ષેત્રની અસર હેઠળ સ્થિર રાખવામાં આવ્યું છે. જો ઓઈલની ઘનતા \(1.26 \text{ g cm}^{-3}\) હોય, તો તે ડ્રોપની ત્રિજ્યા શોધો. (\(g = 9.81 \text{ ms}^{-2}\), \(e = 1.60 \times 10^{-19}\) C)

Answer:અહીં આપણને આપેલ માહિતી નીચે મુજબ છે: વિદ્યુતક્ષેત્ર \(E = 2.55 \times 10^4 \text{ N/C}\). વધારાના ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા \(n = 12\). ઓઈલની ઘનતા \( \rho = 1.26 \text{ g cm}^{-3} = 1.26 \times 10^3 \text{ kg m}^{-3} \). ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ \(g = 9.81 \text{ m/s}^2\). ઇલેક્ટ્રોનનો વિદ્યુતભાર \(e = 1.60 \times 10^{-19}\) C. જ્યારે ઓઈલ ડ્રોપ સ્થિર હોય, ત્યારે ગુરુત્વાકર્ષણ બળ (વજન) અને વિદ્યુતક્ષેત્ર દ્વારા લાગતું બળ સમાન હોય છે. \( F_{\text{ગુરુત્વાકર્ષણ}} = F_{\text{વિદ્યુત}}\) \( mg = qE \) ઓઈલ ડ્રોપનો કુલ વિદ્યુતભાર \( q = ne = 12 \times (1.60 \times 10^{-19}) \) C. ઓઈલ ડ્રોપનું દળ \( m = \rho V \), જ્યાં \( V = \frac{4}{3} \pi r^3 \) એ ગોળાકાર ડ્રોપનું કદ છે. તેથી, \( \rho \left(\frac{4}{3} \pi r^3\right) g = neE \) આ સૂત્રને \( r^3 \) માટે ગોઠવીએ: \[ r^3 = \frac{3neE}{4 \pi \rho g} \] હવે કિંમતો દાખલ કરીએ: \[ r^3 = \frac{3 \times 12 \times (1.60 \times 10^{-19}) \times (2.55 \times 10^4)}{4 \times 3.14 \times (1.26 \times 10^3) \times 9.81} \] \[ r^3 = \frac{146.88 \times 10^{-15}}{155.25 \times 10^3} \] \[ r^3 = 0.9461 \times 10^{-18} \] ત્રિજ્યા \(r\) શોધવા માટે, આપણે \(r^3\) નું ઘનમૂળ લઈશું. \[ r = (0.9461 \times 10^{-18})^{1/3} \] \[ r = (0.9461)^{1/3} \times (10^{-18})^{1/3} \] \[ r = (0.9461)^{1/3} \times 10^{-6} \] \( (0.9461)^{1/3} \approx 0.9817 \) \[ r \approx 0.9817 \times 10^{-6} \text{ m} \]
\( \implies \) \( r \approx 9.81 \times 10^{-7} \text{ m} \)
\( \implies \) \( r \approx 9.81 \times 10^{-4} \text{ mm} \)
In simple words: એક તેલનું ટીપું વિદ્યુતક્ષેત્રમાં સ્થિર રહે છે, એટલે કે તેના વજનનું બળ અને વિદ્યુતક્ષેત્રનું બળ સમાન છે. આ સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરીને, આપણે ટીપાના વિદ્યુતભાર અને ઘનતાનો ઉપયોગ કરીને તેની ત્રિજ્યા શોધી શકીએ છીએ.

🎯 Exam Tip: મિલિકનના પ્રયોગના દાખલાઓમાં, ગુરુત્વાકર્ષણ બળ અને વિદ્યુત બળને સમાન કરવાનું યાદ રાખો. એકમોનું રૂપાંતરણ અને ઘનમૂળની ગણતરીમાં સાવચેતી રાખવી.

Question 26. આકૃતિમાં દર્શાવેલ વક્રો પૈકી કયો/કયા વક્ર સ્થિત વિદ્યુતક્ષેત્ર રેખાઓ રજૂ કરી શકશે નહીં?

ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): આ આકૃતિમાં પાંચ અલગ-અલગ વિદ્યુતક્ષેત્ર રેખાઓના નમૂનાઓ દર્શાવવામાં આવ્યા છે. (a) એક સુવાહક સપાટીમાંથી વિદ્યુતક્ષેત્ર રેખાઓ કેવી રીતે નીકળે છે, (b) ઋણ વિદ્યુતભારમાંથી ક્ષેત્ર રેખાઓ કેવી રીતે નીકળે છે, (c) બે ધન વિદ્યુતભારોની ક્ષેત્ર રેખાઓ, (d) છેદતી ક્ષેત્ર રેખાઓ અને (e) બંધ લૂપ બનાવતી ક્ષેત્ર રેખાઓ.

Answer:
(a) આ આકૃતિ વિદ્યુતક્ષેત્ર રેખાઓને યોગ્ય રીતે દર્શાવતી નથી. વિદ્યુતક્ષેત્ર રેખાઓ હંમેશા વાહકની સપાટીને લંબ રૂપે દાખલ થવી જોઈએ અને બહાર નીકળવી જોઈએ, પરંતુ આકૃતિમાં બધી રેખાઓ સ્થાનિક રીતે લંબ રૂપે નથી.
(b) આ આકૃતિ પણ ખોટી છે. વિદ્યુતક્ષેત્ર રેખાઓ ઋણ વિદ્યુતભારથી બહાર નીકળી શકતી નથી, પરંતુ આકૃતિમાં ઋણ વિદ્યુતભારમાંથી ક્ષેત્ર રેખાઓ નીકળતી દર્શાવેલ છે. વિદ્યુતક્ષેત્ર રેખાઓ ધનથી શરૂ થાય છે અને ઋણ પર સમાપ્ત થાય છે.
(c) આ આકૃતિ સાચી છે. આકૃતિ (c) માં બે સમાન ધન વિદ્યુતભારોની ક્ષેત્ર રેખાઓ યોગ્ય રીતે દર્શાવેલ છે, જ્યાં રેખાઓ એકબીજાને વિકર્ષે છે અને બંને વિદ્યુતભારોથી દૂર જાય છે.
(d) આ આકૃતિ ખોટી છે. વિદ્યુતક્ષેત્ર રેખાઓ ક્યારેય એકબીજાને છેદી શકતી નથી, કારણ કે છેદનબિંદુ પર વિદ્યુતક્ષેત્રની બે દિશાઓ હશે જે શક્ય નથી.
(e) આ આકૃતિ પણ ખોટી છે. સ્થિત વિદ્યુતક્ષેત્ર રેખાઓ બંધ લૂપ બનાવતી નથી કારણ કે વિદ્યુતક્ષેત્ર સંરક્ષક હોય છે અને સ્થિત વિદ્યુતક્ષેત્રમાં કોઈ કાર્ય થતું નથી.
In simple words: વિદ્યુતક્ષેત્ર રેખાઓની કેટલીક મુખ્ય લાક્ષણિકતાઓ હોય છે, જેમ કે તે ક્યારેય એકબીજાને છેદતી નથી, બંધ લૂપ બનાવતી નથી, અને વાહકની સપાટીને લંબ રૂપે હોય છે. જે આકૃતિઓ આ નિયમોનું પાલન કરતી નથી તે ખોટી છે.

🎯 Exam Tip: વિદ્યુતક્ષેત્ર રેખાઓની લાક્ષણિકતાઓને સારી રીતે યાદ રાખવી ખૂબ જ મહત્વપૂર્ણ છે. વાહકની સપાટી સાથે તેમનો સંબંધ, ધન અને ઋણ વિદ્યુતભારોથી શરૂઆત અને અંત, અને ક્યારેય છેદતી ન હોવાનો નિયમ એ મુખ્ય ગુણધર્મો છે.

Question 27. અવકાશના અમુક વિસ્તારમાં બધે વિદ્યુતક્ષેત્ર z-દિશામાં છે. જો કે વિદ્યુતક્ષેત્રનું માન અચળ નથી પણ ધન Z-દિશામાં નિયમિત રીતે દર મીટરે \(10^5\) N/C ના દરથી વધે છે. કુલ \(10^{-7}\) Cm ડાયપોલ ચાકમાત્રા ધરાવતા તંત્ર વડે અનુભવાતા બળ અને ટોર્ક કેટલાં હશે?

Answer:Z-દિશામાં વધતા વિદ્યુતક્ષેત્રમાં મૂકેલા વિદ્યુત ડાયપોલ પર લાગતું બળ શોધવા માટે, આપણે બળનું સૂત્ર \( \vec{F} = (\vec{p} \cdot \nabla) \vec{E} \) નો ઉપયોગ કરીએ છીએ, જ્યાં \( \nabla = \hat{i}\frac{\partial}{\partial x} + \hat{j}\frac{\partial}{\partial y} + \hat{k}\frac{\partial}{\partial z} \). ડાયપોલ મોમેન્ટ \( \vec{p} \) z-દિશામાં ઋણ છે, તેથી \( \vec{p} = -10^{-7} \hat{k} \text{ Cm} \). વિદ્યુતક્ષેત્ર \( \vec{E} \) z-દિશામાં છે અને Z-દિશામાં દર મીટરે વધે છે, તેથી \( \vec{E} = E_z \hat{k} \) અને \( \frac{\partial E_z}{\partial z} = 10^5 \text{ N/C/m} \). અહીં, \( E_x = 0 \) અને \( E_y = 0 \). તેથી, \( \frac{\partial E_x}{\partial x} = 0, \frac{\partial E_y}{\partial y} = 0, \frac{\partial E_z}{\partial x} = 0, \frac{\partial E_z}{\partial y} = 0 \). બળનું સૂત્ર \( \vec{F} = p_x \frac{\partial E_x}{\partial x} + p_y \frac{\partial E_y}{\partial y} + p_z \frac{\partial E_z}{\partial z} \) છે. ડાયપોલ મોમેન્ટ માત્ર z-ઘટક ધરાવે છે, તેથી \( p_x = 0 \) અને \( p_y = 0 \). આથી, \( \vec{F} = p_z \frac{\partial E_z}{\partial z} \). કિંમતો મૂકતા: \[ \vec{F} = (-10^{-7} \text{ Cm}) \times (10^5 \text{ N/C/m}) \] \[ \vec{F} = -10^{-2} \text{ N} \] આમ, બળ ઋણ z-દિશામાં \(10^{-2}\) N લાગે છે. હવે ટોર્ક માટે. ડાયપોલ મોમેન્ટ \( \vec{p} \) ને વિદ્યુતક્ષેત્ર \( \vec{E} \) માં મૂકતા લાગતું ટોર્ક \( \vec{\tau} = \vec{p} \times \vec{E} \) છે. અહીં, \( \vec{p} \) ઋણ z-દિશામાં છે અને \( \vec{E} \) ધન z-દિશામાં છે, તેથી બંને સદિશો એકબીજાની વિરુદ્ધ દિશામાં છે. આનો અર્થ એ થાય કે તેમની વચ્ચેનો ખૂણો \( \theta = 180^\circ \) છે. ટોર્કનું મૂલ્ય \( |\vec{\tau}| = pE \sin\theta \). \[ |\vec{\tau}| = pE \sin(180^\circ) \] કારણ કે \( \sin(180^\circ) = 0 \), ટોર્ક શૂન્ય થશે.
\( \implies \) \( \tau = 0 \)
In simple words: જ્યારે વિદ્યુતક્ષેત્ર z-દિશામાં વધતું હોય અને ડાયપોલ પણ z-દિશામાં હોય, ત્યારે ડાયપોલ પર ઋણ દિશામાં બળ લાગે છે. પરંતુ, ડાયપોલ અને વિદ્યુતક્ષેત્ર એક જ રેખા પર હોવાથી, ડાયપોલ પર કોઈ ટોર્ક લાગતું નથી.

🎯 Exam Tip: બળ અને ટોર્ક શોધવા માટેના સૂત્રો યાદ રાખો. ખાસ કરીને, બળ \( \vec{F} = q\vec{E} \) અથવા \( \vec{F} = (\vec{p} \cdot \nabla) \vec{E} \) અને ટોર્ક \( \vec{\tau} = \vec{p} \times \vec{E} \). સદિશોની દિશાઓ અને ખૂણાઓનું ધ્યાન રાખવું જરૂરી છે.

Question 28.
(a) આકૃતિ (a)માં દર્શાવ્યા મુજબ એક બખોલ (Cavity) ધરાવતા સુવાહક A ને Q વિદ્યુતભાર આપેલ છે. દર્શાવો કે સમગ્ર વિદ્યુતભાર સુવાહકની બહારની સપાટી પર જ દેખાશે.
(b) q વિદ્યુતભાર ધરાવતો બીજો સુવાહક, કેવિટી (બખોલ)ની અંદર A થી અલગ રહે તેમ દાખલ કરેલ છે. દર્શાવો કે A ની બહારની સપાટી પરનો કુલ વિદ્યુતભાર Q + q આકૃતિ (b) માં છે.
(c) એક સંવેદી ઉપકરણને તેના પરિસરમાંના (આસપાસના) પ્રબળ સ્થિત વિદ્યુતક્ષેત્રોથી બચાવવું (Shield) હોય, આ માટે એક શક્ય ઉપાય સૂચવો.

ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): (a) આકૃતિ એક પોલા સુવાહક A ને દર્શાવે છે જેમાં વિદ્યુતભાર Q છે, જે તેની બહારની સપાટી પર છે. (b) આકૃતિમાં સુવાહક B (વિદ્યુતભાર q સાથે) ને સુવાહક A ની બખોલમાં મૂકવામાં આવે છે, જેનાથી A ની બહારની સપાટી પર કુલ વિદ્યુતભાર Q+q થાય છે.

Answer:(a) આપણે જાણીએ છીએ કે વિદ્યુતભારિત વાહકની અંદર, સ્થિત વિદ્યુતક્ષેત્ર હંમેશા શૂન્ય હોય છે, એટલે કે \( \vec{E}_{\text{in}} = 0 \). આ સાબિત કરવા માટે, આપણે વાહકની અંદર બખોલને ઘેરતું એક ગૌસિયન પૃષ્ઠ પસંદ કરીએ, જેમ કે આકૃતિ (a) માં દર્શાવેલ છે. ગૌસના નિયમ મુજબ, કોઈ પણ બંધ પૃષ્ઠમાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ \( \oint \vec{E} \cdot d\vec{S} = \frac{q}{\varepsilon_0} \) થાય છે, જ્યાં \( q \) એ બંધ પૃષ્ઠ દ્વારા ઘેરાયેલો કુલ વિદ્યુતભાર છે. જો વાહકની અંદર \( \vec{E} = 0 \) હોય, તો \( \oint \vec{E} \cdot d\vec{S} = 0 \) થાય છે. આનો અર્થ એ થાય કે ગૌસિયન પૃષ્ઠ દ્વારા ઘેરાયેલો કુલ વિદ્યુતભાર \( q = 0 \) હોવો જોઈએ. તેથી, જો વાહક A ને Q વિદ્યુતભાર આપવામાં આવે અને તેની અંદર કોઈ વિદ્યુતભાર ન હોય, તો Q વિદ્યુતભાર બખોલની અંદર ન રહી શકે અને તે વાહકની બહારની સપાટી પર વિતરિત થઈ જશે. (b) હવે, જો q વિદ્યુતભારવાળો બીજો સુવાહક B, A વાહકની બખોલમાં મૂકવામાં આવે (A થી અલગ રહે), તો વિદ્યુત પ્રેરણના કારણે બખોલની અંદરની સપાટી પર -q વિદ્યુતભાર પ્રેરિત થશે. કારણ કે વાહક A પર કુલ વિદ્યુતભાર સંરક્ષિત રહે છે, આ -q વિદ્યુતભારના પ્રેરણના કારણે વાહક A ની બહારની સપાટી પર +q વિદ્યુતભાર પ્રેરિત થશે. વાહક A ની બાહ્ય સપાટી પર પ્રારંભિક વિદ્યુતભાર Q હતો, તેથી હવે કુલ વિદ્યુતભાર \( Q + q \) થશે. (c) એક સંવેદી ઉપકરણને પ્રબળ સ્થિત વિદ્યુતક્ષેત્રોથી બચાવવા માટે, તેને ધાતુના બંધ આવરણ (Faraday cage) ની અંદર મૂકી શકાય. ધાતુનું આવરણ વિદ્યુતક્ષેત્ર સામે રક્ષણ પૂરું પાડે છે કારણ કે વાહકની અંદર, સ્થિત વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય હોય છે. આ ઘટનાને વિદ્યુતશીલ રક્ષણ (Electrostatic shielding) કહેવાય છે.
In simple words: વિદ્યુતભાર હંમેશા સુવાહકની બહારની સપાટી પર રહે છે, અંદરની બખોલમાં નહીં. જો કોઈ વિદ્યુતભારિત વસ્તુ બખોલમાં મૂકવામાં આવે, તો તે બખોલની અંદરની અને બહારની સપાટી પર વિદ્યુતભાર પ્રેરિત કરે છે. કોઈ પણ સંવેદી સાધનને વિદ્યુતક્ષેત્રથી બચાવવા માટે, તેને ધાતુના બોક્સમાં મૂકી શકાય છે.

🎯 Exam Tip: ગૌસના નિયમ અને વિદ્યુત પ્રેરણના સિદ્ધાંતો આ પ્રશ્નમાં મુખ્ય છે. વિદ્યુતશીલ રક્ષણ એ એક મહત્વનો ખ્યાલ છે જેની વ્યવહારિક ઉપયોગીતા છે.

Question 29. એક પોલા વિદ્યુતભારિત સુવાહકની સપાટી પર એક નાનું છિદ્ર કાપેલું છે. દર્શાવો કે તે છિદ્રમાં વિદ્યુતક્ષેત્ર \( \frac{\sigma}{2 \varepsilon_0} \hat{n} \) છે, જ્યાં \( \hat{n} \) બહાર તરફની લંબ દિશામાંનો એકમ સદિશ છે અને \( \sigma \) છિદ્રની નજીક વિદ્યુતભારની પૃષ્ઠઘનતા છે.

ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): આ આકૃતિમાં એક પોલા વિદ્યુતભારિત સુવાહકને દર્શાવવામાં આવ્યો છે જેના પર એક નાનું છિદ્ર છે. બિંદુ A પર, વિદ્યુતક્ષેત્ર \( E_1 \) અને \( E_2 \) દર્શાવવામાં આવ્યા છે, જે સૂચવે છે કે છિદ્રની અંદર અને બહાર ક્ષેત્ર કેવી રીતે વર્તે છે.

Answer:આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ, આપણે ધારીએ કે પોલા વિદ્યુતભારિત સુવાહકની સપાટી પરના નાના છિદ્રને સુવાહક પદાર્થથી પૂરી દીધેલું છે. ગૌસના નિયમ અનુસાર, વાહકની સપાટી પરના કોઈ બિંદુ A આગળ વિદ્યુતક્ષેત્રની તીવ્રતા \( E = \frac{\sigma}{\varepsilon_0} \) હોય છે, જે સપાટીને લંબ રૂપે બહારની દિશામાં હોય છે. હવે, આપણે આ વિદ્યુતક્ષેત્રને બે ભાગમાં વિભાજીત કરી શકીએ છીએ: 1. છિદ્રને પૂરતા વિદ્યુતભારના કારણે લાગતું ક્ષેત્ર \( E_1 \). 2. બાકીના વાહકના કારણે લાગતું ક્ષેત્ર \( E_2 \). જો છિદ્ર પૂરું હોય, તો વાહકની બહારના ભાગમાં કુલ વિદ્યુતક્ષેત્ર \( E = E_1 + E_2 = \frac{\sigma}{\varepsilon_0} \) થાય છે, જે સપાટીને લંબ રૂપે હોય છે. વાહકની અંદરના ભાગમાં વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય હોય છે, તેથી \( E_1 - E_2 = 0 \).
\( \implies \) \( E_1 = E_2 \) આ બંને સમીકરણોને ઉકેલતા: \( E_1 + E_1 = \frac{\sigma}{\varepsilon_0} \) \( 2E_1 = \frac{\sigma}{\varepsilon_0} \)
\( \implies \) \( E_1 = \frac{\sigma}{2 \varepsilon_0} \) આ \( E_1 \) એ છિદ્રમાં લાગતું વિદ્યુતક્ષેત્ર છે. તે બહાર તરફની લંબ દિશામાં હોય છે, તેથી આપણે તેને \( \vec{E} = \frac{\sigma}{2 \varepsilon_0} \hat{n} \) તરીકે લખી શકીએ, જ્યાં \( \hat{n} \) બહાર તરફની લંબ દિશામાંનો એકમ સદિશ છે.
In simple words: એક વિદ્યુતભારિત સુવાહકમાં જો નાનું છિદ્ર હોય, તો તે છિદ્ર પર વિદ્યુતક્ષેત્ર કુલ ક્ષેત્રના અડધા ભાગનું હોય છે. આ ક્ષેત્ર વાહકની સપાટી પરના વિદ્યુતભારની ઘનતા અને શૂન્યાવકાશની પરમિટિવિટી પર આધાર રાખે છે.

🎯 Exam Tip: ગૌસના નિયમના સિદ્ધાંતોનો ઉપયોગ કરીને આવા પ્રશ્નો ઉકેલી શકાય છે. યાદ રાખો કે વાહકની અંદર વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય હોય છે, અને સપાટી પર કુલ વિદ્યુતક્ષેત્ર \( \frac{\sigma}{\varepsilon_0} \) હોય છે.

Question 30. ગૌસના નિયમનો ઉપયોગ કર્યા સિવાય વિદ્યુતભારની સમાન રેખીય ઘનતા ધરાવતા અનંત પાતળા તારને લીધે ઉદ્ભવતા વિદ્યુતક્ષેત્રનું સૂત્ર મેળવો. (કુલંબના નિયમનો સીધો ઉપયોગ કરો અને જરૂરી સંકલનની ગણતરી કરો.)

ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): આ આકૃતિમાં એક અનંત લંબાઈનો વિદ્યુતભારિત તાર દર્શાવેલ છે, જેના પર સમાન રેખીય વિદ્યુતભાર ઘનતા છે. P બિંદુ પર વિદ્યુતક્ષેત્ર શોધવા માટે, તારના નાના ખંડ dx દ્વારા લાગતા ક્ષેત્ર dE ને તેના ઘટકો \(dE_x\) અને \(dE_y\) માં વિભાજીત કરવામાં આવે છે.

Answer:એક સમાન રેખીય વિદ્યુતભાર ઘનતા \( \lambda \) ધરાવતા અનંત લંબાઈના તારને કારણે કોઈ બિંદુ P પર વિદ્યુતક્ષેત્ર શોધવા માટે, આપણે કુલંબના નિયમનો ઉપયોગ કરીને સંકલન કરીશું. તાર પર O બિંદુથી x અંતરે એક નાનો ખંડ \( dx \) લઈએ. આ ખંડ પરનો વિદ્યુતભાર \( dq = \lambda dx \) છે. P બિંદુનું O થી લંબ અંતર \( y \) છે. ખંડ \( dx \) થી P બિંદુનું અંતર \( r = \sqrt{x^2 + y^2} \) છે. નાના ખંડ \( dx \) ના કારણે P બિંદુ પર વિદ્યુતક્ષેત્ર \( dE \) નીચે મુજબ મળે: \[ dE = \frac{k dq}{r^2} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{\lambda dx}{x^2 + y^2} \]
\( \implies \) \( dE \) ના બે ઘટકો છે: \( dE_x = dE \sin\theta \) અને \( dE_y = dE \cos\theta \). અહીં, \( \sin\theta = \frac{x}{r} \) અને \( \cos\theta = \frac{y}{r} \). તાર અનંત હોવાથી, O ની ડાબી અને જમણી બાજુના ખંડોને કારણે x-ઘટકો સમાન મૂલ્યના અને વિરુદ્ધ દિશામાં હોવાથી એકબીજાને રદ કરશે. તેથી, કુલ \( E_x = 0 \). માત્ર y-ઘટકોનો સરવાળો જ કુલ વિદ્યુતક્ષેત્ર આપશે. \[ E = \int dE_y = \int dE \cos\theta \] \[ E = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{\lambda dx}{x^2 + y^2} \cos\theta \] આપણે જાણીએ છીએ કે \( x = y \tan\theta \), તેથી \( dx = y \sec^2\theta d\theta \). જ્યારે \( x = -\infty \) ત્યારે \( \theta = -\frac{\pi}{2} \) અને જ્યારે \( x = \infty \) ત્યારે \( \theta = \frac{\pi}{2} \). તેમજ, \( \cos\theta = \frac{y}{r} \) અને \( r = \frac{y}{\cos\theta} \). સમીકરણમાં કિંમતો મૂકતા: \[ E = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{\lambda (y \sec^2\theta d\theta)}{y^2 \sec^2\theta} \cos\theta \] \[ E = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{\lambda}{y} \cos\theta d\theta \] \[ E = \frac{\lambda}{4 \pi \varepsilon_0 y} \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \cos\theta d\theta \] \[ E = \frac{\lambda}{4 \pi \varepsilon_0 y} [\sin\theta]_{-\pi/2}^{\pi/2} \] \[ E = \frac{\lambda}{4 \pi \varepsilon_0 y} [\sin(\pi/2) - \sin(-\pi/2)] \] \[ E = \frac{\lambda}{4 \pi \varepsilon_0 y} [1 - (-1)] \] \[ E = \frac{\lambda}{4 \pi \varepsilon_0 y} [2] \] \[ E = \frac{2\lambda}{4 \pi \varepsilon_0 y} = \frac{\lambda}{2 \pi \varepsilon_0 y} \] આમ, અનંત લંબાઈના તારને કારણે \( y \) અંતરે વિદ્યુતક્ષેત્ર \( E = \frac{\lambda}{2 \pi \varepsilon_0 y} \) મળે છે.
In simple words: અનંત તારથી કોઈ બિંદુ પર વિદ્યુતક્ષેત્ર શોધવા માટે, આપણે તારના નાના ટુકડાઓ દ્વારા લાગતા ક્ષેત્રોનો સરવાળો કરીએ છીએ. તારની લંબાઈ અનંત હોવાથી, ક્ષેત્રના એક ઘટકો રદ થાય છે અને ફક્ત લંબ ઘટક જ રહે છે, જે \( E = \frac{\lambda}{2 \pi \varepsilon_0 y} \) જેટલું હોય છે.

🎯 Exam Tip: સંકલન દ્વારા વિદ્યુતક્ષેત્ર શોધતી વખતે, યોગ્ય સંકલન સીમાઓ અને સપ્રમાણતાનો ઉપયોગ કરવો. \( \sin\theta \) અને \( \cos\theta \) ના ઘટકોમાં વિભાજન કરવું અને છેલ્લે સંકલન કરવું એ એક સામાન્ય રીત છે.

Question 31. હવે એવું માનવામાં આવે છે કે પ્રોટોન અને ન્યુટ્રોન (જે સામાન્ય દ્રવ્યના ન્યુક્લિયસોની રચના કરે છે) પોતે પણ ક્વાર્ક્સ તરીકે ઓળખાતા વધારે પ્રાથમિક એકમોના બનેલા છે. એક પ્રોટોન અને એક ન્યુટ્રોન દરેક, ત્રણ ક્વાર્ક્સના બનેલા છે. 'u' (અપ ક્વાર્ક) નો વિદ્યુતભાર \( +\frac{2}{3}e \) છે અને 'd' (ડાઉન ક્વાર્ક) નો વિદ્યુતભાર \( -\frac{1}{3}e \) છે. ઇલેક્ટ્રોન બધા ભેગા મળીને સામાન્ય દ્રવ્ય બનાવે છે. પ્રોટોન અને ન્યુટ્રોન માટે શક્ય ક્વાર્ક બંધારણનું સૂચન કરો.

Answer:આપણે અપ ક્વાર્ક (u) નો વિદ્યુતભાર \( +\frac{2}{3}e \) અને ડાઉન ક્વાર્ક (d) નો વિદ્યુતભાર \( -\frac{1}{3}e \) જાણીએ છીએ. પ્રોટોન પરનો કુલ વિદ્યુતભાર \( +e \) છે. ન્યુટ્રોન પરનો કુલ વિદ્યુતભાર \( 0 \) છે. દરેક પ્રોટોન અને ન્યુટ્રોન ત્રણ ક્વાર્ક્સના બનેલા છે. **1. પ્રોટોનનું બંધારણ:** ધારો કે પ્રોટોનમાં \( x \) અપ ક્વાર્ક્સ અને \( (3-x) \) ડાઉન ક્વાર્ક્સ છે. પ્રોટોન પરનો કુલ વિદ્યુતભાર = (અપ ક્વાર્ક્સનો વિદ્યુતભાર) + (ડાઉન ક્વાર્ક્સનો વિદ્યુતભાર) \( +e = x \left(+\frac{2}{3}e\right) + (3-x) \left(-\frac{1}{3}e\right) \) \( e = \frac{2}{3}xe - \frac{1}{3}(3-x)e \) \( e = \frac{2}{3}xe - e + \frac{1}{3}xe \) \( e = \left(\frac{2}{3}x + \frac{1}{3}x - 1\right)e \) \( e = (x - 1)e \) આથી, \( 1 = x - 1 \)
\( \implies \) \( x = 2 \) તેથી, પ્રોટોનમાં 2 અપ ક્વાર્ક્સ અને \( (3-2) = 1 \) ડાઉન ક્વાર્ક હોય છે. પ્રોટોનનું બંધારણ 'uud' છે. **2. ન્યુટ્રોનનું બંધારણ:** ધારો કે ન્યુટ્રોનમાં \( y \) અપ ક્વાર્ક્સ અને \( (3-y) \) ડાઉન ક્વાર્ક્સ છે. ન્યુટ્રોન પરનો કુલ વિદ્યુતભાર = 0 \( 0 = y \left(+\frac{2}{3}e\right) + (3-y) \left(-\frac{1}{3}e\right) \) \( 0 = \frac{2}{3}ye - \frac{1}{3}(3-y)e \) \( 0 = \frac{2}{3}ye - e + \frac{1}{3}ye \) \( 0 = (y - 1)e \) આથી, \( y - 1 = 0 \)
\( \implies \) \( y = 1 \) તેથી, ન્યુટ્રોનમાં 1 અપ ક્વાર્ક અને \( (3-1) = 2 \) ડાઉન ક્વાર્ક્સ હોય છે. ન્યુટ્રોનનું બંધારણ 'udd' છે.
In simple words: પ્રોટોન અને ન્યુટ્રોન જેવા કણો નાના ક્વાર્ક્સથી બનેલા હોય છે. પ્રોટોનનો વિદ્યુતભાર \(+e\) હોવાથી તે બે અપ ક્વાર્ક અને એક ડાઉન ક્વાર્ક (uud) થી બનેલો છે. ન્યુટ્રોનનો વિદ્યુતભાર શૂન્ય હોવાથી તે એક અપ ક્વાર્ક અને બે ડાઉન ક્વાર્ક (udd) થી બનેલો છે.

🎯 Exam Tip: ક્વાર્ક્સના વિદ્યુતભારના મૂલ્યો અને પ્રોટોન-ન્યુટ્રોનના કુલ વિદ્યુતભારના મૂલ્યો યાદ રાખો. સાદા બીજગણિતનો ઉપયોગ કરીને ક્વાર્ક બંધારણ શોધી શકાય છે.

Question 32.
(a) એક યાદૃચ્છિક સ્થિત વિદ્યુતક્ષેત્ર સંરચનાનો વિચાર કરો. આ સંરચનાના તટસ્થબિંદુ (એટલે કે જ્યાં \(E = 0\) હોય) એ એક નાનો પરીક્ષણ વિદ્યુતભાર મૂકેલો છે. દર્શાવો કે વિદ્યુતભારનું સંતુલન અસ્થાયી જ છે.
(b) બે સમાન ચિહ્ન અને મૂલ્ય ધરાવતા અને એકબીજાથી અમુક અંતરે મૂકેલા બે વિદ્યુતભારોની સાદી સંરચના માટે આ પરિણામ ચકાસો.

Answer:(a) આપણે સાબિત કરીશું કે તટસ્થ બિંદુ પર મૂકેલો પરીક્ષણ વિદ્યુતભાર અસ્થાયી સંતુલનમાં હોય છે. આપણે વિરુદ્ધ ધારીને સાબિતી આપી શકીએ કે જો પરીક્ષણ વિદ્યુતભાર સ્થાયી સંતુલનમાં હોય. જો પરીક્ષણ વિદ્યુતભાર તટસ્થ બિંદુ પર સ્થાયી સંતુલનમાં હોય, તો તેને સંતુલન સ્થાનથી થોડો ખસેડવામાં આવે તો તેના પર પુનઃસ્થાપક બળ લાગવું જોઈએ, જે તેને પાછો તટસ્થ બિંદુ તરફ લાવે. આનો અર્થ એ થશે કે તટસ્થ બિંદુની આસપાસના વિસ્તારમાં વિદ્યુતક્ષેત્ર રેખાઓ તટસ્થ બિંદુ તરફ નિર્દેશ કરતી હોવી જોઈએ. આવી પરિસ્થિતિમાં, તટસ્થ બિંદુની આસપાસ બંધ પૃષ્ઠ દોરીએ તો, બધી વિદ્યુતક્ષેત્ર રેખાઓ આ બંધ પૃષ્ઠમાં પ્રવેશી રહી હોય તેવું દેખાશે, એટલે કે કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ ઋણ હશે. પરંતુ, ગૌસના નિયમ મુજબ, જો બંધ પૃષ્ઠ કોઈ વિદ્યુતભારને ઘેરતો ન હોય (જે તટસ્થ બિંદુ પર થાય છે કારણ કે ત્યાં E=0), તો તેમાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ શૂન્ય હોવું જોઈએ. આપણી ધારણા કે તટસ્થ બિંદુ સ્થાયી સંતુલનમાં છે તે ગૌસના નિયમની વિરુદ્ધ છે. તેથી, તટસ્થ બિંદુ પર મૂકેલો પરીક્ષણ વિદ્યુતભાર અસ્થાયી સંતુલનમાં હોય છે. (b) બે સમાન ચિહ્ન અને મૂલ્યના વિદ્યુતભારો (દા.ત., +Q અને +Q) એકબીજાથી અમુક અંતરે મૂકેલા હોય તેવી સાદી સંરચનાનો વિચાર કરીએ. તેમની વચ્ચેનું મધ્યબિંદુ એ વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય હોય તેવું તટસ્થ બિંદુ છે. જો આપણે કોઈ પરીક્ષણ વિદ્યુતભાર (+q) ને આ મધ્યબિંદુ પર મૂકીએ અને તેને બંને વિદ્યુતભારોને જોડતી રેખા પર થોડો ખસેડીએ, તો તેના પર પુનઃસ્થાપક બળ લાગશે અને તે પાછો મધ્યબિંદુ તરફ આવશે. આ સ્થાયી સંતુલનનો ગુણધર્મ છે. પરંતુ, જો આપણે તેને આ રેખાને લંબ રૂપે ખસેડીએ, તો બંને +Q વિદ્યુતભારો તેને બહારની તરફ ધકેલશે, અને તે મધ્યબિંદુ તરફ પાછો નહીં આવે. આ અસ્થાયી સંતુલનનો ગુણધર્મ છે. સ્થાયી સંતુલન માટે, પુનઃસ્થાપક બળ બધી દિશાઓમાં લાગવું જોઈએ. આ કિસ્સામાં, લંબ દિશામાં પુનઃસ્થાપક બળ લાગતું નથી, તેથી આ સંતુલન અસ્થાયી છે.
In simple words: જ્યાં વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય હોય તે બિંદુ પર મૂકેલો વિદ્યુતભાર ક્યારેય સ્થિર સંતુલનમાં રહી શકતો નથી. જો તેને થોડો પણ ખસેડવામાં આવે, તો તે પાછો મૂળ સ્થાને આવવાને બદલે દૂર જશે. બે સમાન વિદ્યુતભારો વચ્ચેના મધ્યબિંદુ પર, વિદ્યુતભારને રેખા પર ખસેડતા તે પાછો આવે છે, પરંતુ રેખાને લંબ ખસેડતા તે દૂર જાય છે, તેથી તે અસ્થાયી સંતુલન છે.

🎯 Exam Tip: સંતુલનના પ્રકાર (સ્થાયી, અસ્થાયી, તટસ્થ) સમજવા માટે વિદ્યુતક્ષેત્ર રેખાઓ અને બળની દિશાનું વિશ્લેષણ કરવું. ગૌસના નિયમનો ઉપયોગ કરીને સ્થાયી સંતુલનની શરતને નકારી શકાય છે.

Question 33. m દળ અને (-q) વિદ્યુતભાર ધરાવતો એક કણ બે વિદ્યુતભારિત પ્લેટોની વચ્ચે X-અક્ષને સમાંતરે દાખલ થાય છે. દરેક પ્લેટની લંબાઈ L છે અને પ્લેટો વચ્ચે સમાન વિદ્યુતક્ષેત્ર જાળવી રાખવામાં આવે છે. દર્શાવો કે શિરોલંબ વિચલન \( \frac{qEL^2}{2mv_x^2} \) છે.

ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): આ આકૃતિમાં બે વિદ્યુતભારિત પ્લેટો વચ્ચેથી પસાર થતો ઋણ વિદ્યુતભાર (-q) ધરાવતો કણ દર્શાવેલ છે. કણ X-અક્ષને સમાંતર પ્રારંભિક વેગ \(v_x\) સાથે પ્રવેશે છે અને વિદ્યુતક્ષેત્ર E ની અસર હેઠળ Y-અક્ષ પર વિચલન પામે છે.

Answer:એક m દળ અને (-q) વિદ્યુતભાર ધરાવતો કણ X-અક્ષને સમાંતર \(v_x\) પ્રારંભિક વેગ સાથે બે વિદ્યુતભારિત પ્લેટોની વચ્ચે દાખલ થાય છે. પ્લેટો વચ્ચે સમાન વિદ્યુતક્ષેત્ર E છે. વિદ્યુતક્ષેત્રને કારણે કણ પર લાગતું બળ F: \( F = qE \) (ઊર્ધ્વ દિશામાં, કારણ કે વિદ્યુતભાર ઋણ છે અને ક્ષેત્ર સામાન્ય રીતે ધનથી ઋણ તરફ હોય છે). ન્યુટનના બીજા નિયમ મુજબ, \( F = ma \). તેથી, \( ma = qE \)
\( \implies \) કણનો પ્રવેગ \( a = \frac{qE}{m} \) (Y-દિશામાં). આ કણ પ્લેટો વચ્ચેથી પસાર થવા માટે લેવાયેલ સમય \( t \) શોધીએ. X-દિશામાં કોઈ બળ લાગતું નથી, તેથી વેગ \( v_x \) અચળ રહે છે. પ્લેટોની લંબાઈ L છે, તેથી X-દિશામાં અંતર L કાપવા માટે લાગતો સમય: \( t = \frac{L}{v_x} \) હવે, Y-દિશામાં કણનું શિરોલંબ વિચલન \( y \) શોધીએ. Y-દિશામાં પ્રારંભિક વેગ \( v_{oy} = 0 \) છે. અચળ પ્રવેગી ગતિના સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: \( y = v_{oy}t + \frac{1}{2}at^2 \). \[ y = 0 \cdot t + \frac{1}{2} \left(\frac{qE}{m}\right) \left(\frac{L}{v_x}\right)^2 \] \[ y = \frac{1}{2} \frac{qE}{m} \frac{L^2}{v_x^2} \]
\( \implies \) \( y = \frac{qEL^2}{2mv_x^2} \) આ કણનો ગતિપથ પરવલયાકાર છે, જે ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્રમાં પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની ગતિ જેવો જ છે, જ્યાં ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ g ની જગ્યાએ વિદ્યુત પ્રવેગ \( a = \frac{qE}{m} \) લેવાય છે.
In simple words: જ્યારે એક વિદ્યુતભારિત કણ વિદ્યુતક્ષેત્ર ધરાવતી પ્લેટો વચ્ચેથી પસાર થાય છે, ત્યારે વિદ્યુતક્ષેત્ર તેના પર બળ લગાવે છે. આ બળને કારણે કણ સીધી રેખામાં જવાને બદલે નીચેની તરફ વળે છે. આ વિચલન કણના વિદ્યુતભાર, ક્ષેત્રની પ્રબળતા, પ્લેટની લંબાઈ અને કણના પ્રારંભિક વેગ પર આધાર રાખે છે.

🎯 Exam Tip: આ પ્રકારના દાખલાઓ દ્વિ-પરિમાણીય ગતિના ઉદાહરણો છે. X અને Y-ઘટકોમાં ગતિનું વિભાજન કરો, દરેક દિશામાં બળ અને પ્રવેગ લાગુ કરો અને ગતિના સમીકરણોનો ઉપયોગ કરો.

Question 34. ધારો કે સ્વાધ્યાય 1.33 માંનો કણ \(v_x = 2.0 \times 10^6 \text{ ms}^{-1}\) વેગથી પ્રક્ષિપ્ત કરેલો ઈલેક્ટ્રોન છે. 0.5 cm નું અંતર ધરાવતી પ્લેટો વચ્ચેનું E જો \(9.1 \times 10^2 \text{ N/C}\) હોય તો ઈલેક્ટ્રોન ઉપરની પ્લેટને ક્યાં અથડાશે? (\(|e| = 1.6 \times 10^{-19}\) C, \(m_e = 9.1 \times 10^{-31}\) kg)

Answer:આપણને આપેલ માહિતી નીચે મુજબ છે: ઈલેક્ટ્રોનનો પ્રારંભિક વેગ \(v_x = 2.0 \times 10^6 \text{ m/s}\). પ્લેટો વચ્ચેનું શિરોલંબ અંતર \(y = 0.5 \text{ cm} = 0.5 \times 10^{-2} \text{ m}\). વિદ્યુતક્ષેત્ર \(E = 9.1 \times 10^2 \text{ N/C}\). ઈલેક્ટ્રોનનો વિદ્યુતભાર \(q = e = 1.6 \times 10^{-19}\) C. ઈલેક્ટ્રોનનું દળ \(m_e = 9.1 \times 10^{-31}\) kg. આપણે અગાઉના પ્રશ્નમાં મેળવેલા શિરોલંબ વિચલનના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીશું: \[ y = \frac{qEL^2}{2mv_x^2} \] આપણે L શોધવું છે, જે ઈલેક્ટ્રોન ઉપરની પ્લેટને અથડાય ત્યાં સુધી X-દિશામાં કાપેલું અંતર છે. સૂત્રને L² માટે ગોઠવીએ: \[ L^2 = \frac{2mv_x^2 y}{qE} \] હવે કિંમતો દાખલ કરીએ: \[ L^2 = \frac{2 \times (9.1 \times 10^{-31}) \times (2.0 \times 10^6)^2 \times (0.5 \times 10^{-2})}{(1.6 \times 10^{-19}) \times (9.1 \times 10^2)} \] \[ L^2 = \frac{2 \times 9.1 \times 10^{-31} \times 4.0 \times 10^{12} \times 0.5 \times 10^{-2}}{1.6 \times 9.1 \times 10^{-19} \times 10^2} \] \[ L^2 = \frac{36.4 \times 10^{-31} \times 4.0 \times 10^{12} \times 0.5 \times 10^{-2}}{14.56 \times 10^{-17}} \] \[ L^2 = \frac{18.2 \times 10^{-21}}{14.56 \times 10^{-17}} = \frac{18.2}{14.56} \times 10^{-4} \] \[ L^2 \approx 1.25 \times 10^{-4} \text{ m}^2 \] હવે L શોધવા માટે L² નું વર્ગમૂળ લઈએ: \[ L = \sqrt{1.25 \times 10^{-4}} \] \[ L \approx 1.118 \times 10^{-2} \text{ m} \]
\( \implies \) \( L \approx 1.12 \text{ cm} \) આમ, ઈલેક્ટ્રોન X-દિશામાં આશરે 1.12 cm અંતર કાપ્યા પછી ઉપરની પ્લેટને અથડાશે.
In simple words: એક ઇલેક્ટ્રોન, વિદ્યુતક્ષેત્રમાં ગતિ કરતો, તેના પ્રારંભિક માર્ગથી વિચલિત થાય છે. આ વિચલનનો ઉપયોગ કરીને, આપણે ગણી શકીએ કે ઇલેક્ટ્રોન પ્લેટોમાંથી કેટલી દૂર ગયા પછી ઉપરની પ્લેટને અથડાશે.

🎯 Exam Tip: અગાઉના પ્રશ્નમાંથી મેળવેલા સૂત્રનો ઉપયોગ કરવો અને કિંમતો કાળજીપૂર્વક દાખલ કરવી. ખાસ કરીને, ઘાતાંકોની ગણતરી અને એકમોનું રૂપાંતરણ (cm થી m) ભૂલશો નહીં.

બહુવિકલ્પ પ્રશ્નોત્તર (MCQ-I)

નીચેના પ્રશ્નોમાં એક જ વિકલ્પ સાચો છે :

Question 1. આકૃતિમાં દર્શાવ્યા અનુસાર y-અક્ષ ઉપર રહેલા બે સ્થિત ધન વિદ્યુતભારો \(q_2\) અને \(q_3\) x-અક્ષ પર રહેલા સ્થિત ધન વિદ્યુતભાર \(q_1\) ઉપર x-દિશામાં પરિણામી વિદ્યુતબળ લગાડે છે. જો \((x, 0)\) બિંદુએ કોઈ ધન વિદ્યુતભાર Q મૂકવામાં આવે, તો \(q_1\) પર લાગતું બળ ......

ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): પ્રથમ આકૃતિમાં, \(q_1\) x-અક્ષ પર છે જ્યારે \(q_2\) અને \(q_3\) y-અક્ષ પર છે. \(q_1\) પર લાગતા બળની દિશા x-અક્ષ પર છે. બીજી આકૃતિમાં, એક વધારાનો ધન વિદ્યુતભાર Q \((x,0)\) બિંદુ પર મૂકવામાં આવે છે, જે \(q_1\) પર લાગતા બળને કેવી રીતે અસર કરે છે તે દર્શાવે છે.

(A) ધન x-અક્ષની દિશામાં વધશે.
(B) ધન x-અક્ષની દિશામાં ઘટશે.
(C) ઋણ x-અક્ષની દિશામાં નિર્દેશ કરશે.
(D) વધારો થશે પરંતુ \(q_2\) અને \(q_3\) સાથે Q ની આંતરક્રિયાથી દિશા બદલાઈ જશે.
Answer: (A) ધન x-અક્ષની દિશામાં વધશે.
Explanation: પ્રારંભિક પરિસ્થિતિમાં, \(q_1\) પર \(q_2\) અને \(q_3\) દ્વારા લાગતા બળોના y-ઘટકો રદ થાય છે, અને માત્ર x-ઘટકોનો સરવાળો થાય છે, જે ધન x-દિશામાં હોય છે. તેથી, \(q_1\) પર લાગતું ચોખ્ખું બળ ધન x-દિશામાં છે. જ્યારે \((x, 0)\) બિંદુ પર એક ધન વિદ્યુતભાર Q મૂકવામાં આવે છે, ત્યારે: \(q_1\) (જે x-અક્ષ પર છે) પર Q દ્વારા લાગતું બળ આકર્ષણનું હશે જો \(q_1\) ઋણ હોય. જો \(q_1\) ઋણ વિદ્યુતભાર હોય, તો તે ધન વિદ્યુતભાર Q દ્વારા ધન x-દિશામાં આકર્ષિત થશે. આનાથી \(q_1\) પર લાગતા કુલ બળમાં ધન x-દિશામાં વધારો થશે. આકૃતિમાં દર્શાવેલ પ્રારંભિક બળો (F12 અને F13) દર્શાવે છે કે \(q_1\) પરનો કુલ બળ ધન x-દિશામાં છે, જે સૂચવે છે કે \(q_1\) ઋણ છે અને \(q_2\), \(q_3\) ધન છે. તેથી, Q દ્વારા \(q_1\) પર લાગતું બળ ધન x-દિશામાં વધારો કરશે.
In simple words: જો \(q_1\) ઋણ વિદ્યુતભાર હોય અને નવો ધન વિદ્યુતભાર Q x-અક્ષ પર મૂકવામાં આવે, તો \(q_1\) Q તરફ ખેંચાશે, જેનાથી \(q_1\) પર x-દિશામાં લાગતા બળમાં વધારો થશે.

🎯 Exam Tip: વિદ્યુતભારોના પ્રકાર (ધન/ઋણ) અને બળની દિશાનું વિશ્લેષણ કરવું. સદિશ સરવાળાનો સિદ્ધાંત લાગુ કરીને પરિણામી બળની દિશા અને મૂલ્ય નક્કી કરી શકાય છે.

Question 2. આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ એક બિંદુવત્ ધન વિદ્યુતભારને અલગ કરેલ સુવાહક કવચની નજીક લાવવામાં આવ્યો છે. વિદ્યુતક્ષેત્રનું શ્રેષ્ઠ નિરૂપણ કરતી આકૃતિ કઈ છે?

ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): આ આકૃતિમાં ચાર અલગ-અલગ પરિસ્થિતિઓમાં એક ધન બિંદુ વિદ્યુતભાર અને એક સુવાહક કવચ વચ્ચેના વિદ્યુતક્ષેત્ર રેખાઓ દર્શાવવામાં આવી છે. યોગ્ય નિરૂપણ વિદ્યુત પ્રેરણ અને ક્ષેત્ર રેખાઓના ગુણધર્મોને અનુરૂપ હોવું જોઈએ.

(A) આકૃતિ (i)
(B) આકૃતિ (ii)
(C) આકૃતિ (iii)
(D) આકૃતિ (iv)
Answer: (A) આકૃતિ (i)
Explanation: વિદ્યુત પ્રેરણના સિદ્ધાંત મુજબ, જ્યારે ધન બિંદુ વિદ્યુતભાર (+q) ને ધાતુના ગોળાની નજીક લાવવામાં આવે છે, ત્યારે ગોળામાંના ઇલેક્ટ્રોન આકર્ષાઈને ગોળાની નજીકની સપાટી પર એકઠા થાય છે. આનાથી ગોળાની નજીકની સપાટી પર ઋણ વિદ્યુતભાર પ્રેરિત થાય છે. આ જ સમયે, ગોળાની દૂરની સપાટી પર ધન વિદ્યુતભાર પ્રેરિત થાય છે. વિદ્યુતક્ષેત્ર રેખાઓની લાક્ષણિકતાઓ: 1. વિદ્યુતક્ષેત્ર રેખાઓ ધન વિદ્યુતભારથી શરૂ થાય છે અને ઋણ વિદ્યુતભાર પર સમાપ્ત થાય છે. 2. વિદ્યુતક્ષેત્ર રેખાઓ હંમેશા સુવાહકની સપાટીને લંબ રૂપે બહાર નીકળે છે અને દાખલ થાય છે. 3. સુવાહકની અંદર વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય હોય છે, તેથી તેની અંદર કોઈ ક્ષેત્ર રેખાઓ હોતી નથી. આકૃતિ (i) આ બધી લાક્ષણિકતાઓને યોગ્ય રીતે દર્શાવે છે: ક્ષેત્ર રેખાઓ +q થી શરૂ થાય છે, ગોળાની નજીકની ઋણ સપાટીમાં લંબ રૂપે દાખલ થાય છે, ગોળાની અંદર કોઈ ક્ષેત્ર રેખાઓ નથી, અને ગોળાની દૂરની ધન સપાટીમાંથી લંબ રૂપે બહાર નીકળે છે.
In simple words: જ્યારે ધન વિદ્યુતભાર ધાતુના ગોળાની નજીક આવે છે, ત્યારે તે ગોળામાં ઇલેક્ટ્રોનને પોતાની તરફ ખેંચે છે અને ધન વિદ્યુતભારને દૂર ધકેલે છે. વિદ્યુતક્ષેત્ર રેખાઓ ધન વિદ્યુતભારથી શરૂ થઈને ઋણ પર સમાપ્ત થાય છે અને હંમેશા ધાતુની સપાટીને લંબ રૂપે હોય છે, જે આકૃતિ (i) માં યોગ્ય રીતે બતાવેલ છે.

🎯 Exam Tip: વિદ્યુતક્ષેત્ર રેખાઓના ગુણધર્મો અને વિદ્યુત પ્રેરણના સિદ્ધાંતોને સમજો. ખાસ કરીને, સુવાહકની સપાટી સાથે ક્ષેત્ર રેખાઓનો લંબ સંબંધ અને સુવાહકની અંદર ક્ષેત્ર શૂન્ય હોવું તે યાદ રાખો.

બહુવિકલ્પ પ્રશ્નોત્તર (MCQ-I)

Question 3. આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબની ગોસિયન સપાટીઓ સાથે સંકળાયેલું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ ____ છે.
(i) ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र चार अलग-अलग बंद सतहों (S) को दिखाता है, जिनके अंदर और बाहर विभिन्न आवेश (+q) रखे गए हैं। हर सतह का आकार और आवेशों की स्थिति अलग है, लेकिन कुछ आवेश सतहों के अंदर हैं और कुछ बाहर। यह चित्र बताता है कि गौसियन सतहों के साथ जुड़ा कुल विद्युत फ्लक्स कैसे बदलता है।
(A) આકૃતિ (iv) માં સૌથી વધારે છે.
(B) આકૃતિ (iii) માં સૌથી ન્યૂનતમ છે.
(C) આકૃતિ (ii) માં આકૃતિ (iiii) માં સમાન પરંતુ આકૃતિ (iv) કરતાં ઓછું છે.
(D) બધી આકૃતિઓ માટે સમાન છે.
Answer: (D) બધી આકૃતિઓ માટે સમાન છે.
In simple words: ગૉસનો નિયમ કહે છે કે બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ ફક્ત સપાટીની અંદરના કુલ વિદ્યુતભાર પર આધાર રાખે છે. તે સપાટીના આકાર કે કદ પર આધાર રાખતું નથી. અહીં, બધી સપાટીઓમાં +4 વિદ્યુતભાર અંદર છે, તેથી બધા માટે ફ્લક્સ સમાન હશે.

🎯 Exam Tip: Understanding Gauss's Law and its independence from surface shape or size for enclosed charge is crucial for scoring.

Question 4. પાંચ વિદ્યુતભારો \( q_1, q_2, q_3, q_4 \) અને \( q_5 \) આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ પોતાનાં સ્થાનો પર સ્થિર છે. કોઈ ગૉસિયન પૃષ્ઠ છે. ગૉસના નિયમ અનુસાર \( \oint_{\mathrm{S}} \overrightarrow{\mathrm{E}} \cdot \overrightarrow{d s}=\frac{q}{\varepsilon_0} \) સમીકરણથી આપવામાં આવે તો, નીચેનામાંથી કયું વિધાન સત્ય છે ?
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र एक गौसियन सतह (S) को दर्शाता है जिसके अंदर \( q_2, q_3, q_4 \) आवेश रखे गए हैं, जबकि \( q_1 \) और \( q_5 \) आवेश सतह के बाहर हैं। यह चित्र गौसियन नियम के अनुप्रयोग को समझने में मदद करता है, जहां विद्युत क्षेत्र \( \overrightarrow{\mathrm{E}} \) सभी आवेशों के कारण होता है, लेकिन फ्लक्स की गणना में केवल अंदर के आवेशों का उपयोग होता है।
(A) ઉપરના સમીકરણની ડાબી બાજુ \( \overrightarrow{\mathrm{E}} \) માં \( q_1, q_5 \) અને \( q_3 \) નું યોગદાન હશે. જ્યારે જમણી બાજુ 'q' માં ફક્ત \( q_2 \) અને \( q_4 \) નું જ યોગદાન હશે.
(B) ઉપરના સમીકરણની ડાબી બાજુ \( \overrightarrow{\mathrm{E}} \) માં બધા જ વિદ્યુતભારોનું યોગદાન હશે, જ્યારે જમણી બાજુ q માં ફક્ત \( q_2 \) અને \( q_4 \) નું જ યોગદાન હશે.
(C) ઉપરના સમીકરણની ડાબી બાજુ \( \overrightarrow{\mathrm{E}} \) માં બધા જ વિદ્યુતભારોનું યોગદાન હશે, જ્યારે જમણી બાજુ q માં ફક્ત \( q_1, q_3 \) અને \( q_5 \) નું જ યોગદાન હશે.
(D) ડાબી બાજુના \( \overrightarrow{\mathrm{E}} \) તથા જમણી બાજુના q એમ બંનેમાં ફક્ત \( q_2 \) અને \( q_4 \) નું જ યોગદાન હશે.
Answer: (B) ઉપરના સમીકરણની ડાબી બાજુ \( \overrightarrow{\mathrm{E}} \) માં બધા જ વિદ્યુતભારોનું યોગદાન હશે, જ્યારે જમણી બાજુ q માં ફક્ત \( q_2 \) અને \( q_4 \) નું જ યોગદાન હશે.
In simple words: ગૉસનો નિયમ લાગુ કરતી વખતે, બંધ સપાટી પરનું વિદ્યુતક્ષેત્ર \( \overrightarrow{\mathrm{E}} \) અંદર અને બહારના બધા વિદ્યુતભારોને કારણે હોય છે. પરંતુ, નિયમની જમણી બાજુ, જે કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ દર્શાવે છે, તેમાં ફક્ત બંધ સપાટીની અંદરના વિદ્યુતભારો જ ગણાય છે. બહારના વિદ્યુતભારો ફ્લક્સમાં યોગદાન આપતા નથી.

🎯 Exam Tip: Differentiate between the source of the electric field and the charges contributing to the flux in Gauss's Law. This distinction is vital for accurate problem-solving.

Question 5. આકૃતિમાં વિદ્યુતક્ષેત્ર રેખાઓ દર્શાવેલ છે. જેમાં એક વિદ્યુતડાયપોલ (દ્વિધ્રુવી) P દર્શાવ્યા મુજબ રાખેલ છે. નીચેનામાંથી કયું વિધાન સત્ય છે ?
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र एक असमान विद्युत क्षेत्र को दर्शाता है, जहाँ बाईं ओर क्षेत्र रेखाएँ घनी हैं और दाईं ओर विरल हैं। एक विद्युत द्विध्रुव (-q और +q आवेशों से बना) इस क्षेत्र में रखा गया है। चित्र यह समझाने में मदद करता है कि असमान विद्युत क्षेत्र में द्विध्रुव पर बल कैसे कार्य करता है।
(A) ડાયપોલ કોઈ બળનો અનુભવ નહિ કરે.
(B) ડાયપોલ જમણી તરફ બળ અનુભવશે.
(C) ડાયપોલ ડાબી તરફ બળ અનુભવશે.
(D) ડાયપોલ ઉપરની તરફ બળ અનુભવશે.
Answer: (C) ડાયપોલ ડાબી તરફ બળ અનુભવશે.
In simple words: વિદ્યુતક્ષેત્ર રેખાઓ જ્યાં નજીક હોય ત્યાં વિદ્યુતક્ષેત્ર મજબૂત હોય છે અને જ્યાં દૂર હોય ત્યાં નબળું હોય છે. આકૃતિમાં, ઋણ (-q) વિદ્યુતભાર પર મજબૂત ક્ષેત્રને કારણે વધુ બળ લાગશે, જ્યારે ધન (+q) વિદ્યુતભાર પર નબળા ક્ષેત્રને કારણે ઓછું બળ લાગશે. તેથી, ડાયપોલ પર કુલ બળ ડાબી તરફ લાગશે.

🎯 Exam Tip: Remember that in a non-uniform electric field, the force on a dipole is determined by the difference in field strength at its positive and negative charges.

Question 6. એક બિંદુ વિદ્યુતભાર \( +q \), અલગ કરેલા કોઈ વાહક સમતલથી \( d \) અંતરે સ્થિર છે. સમતલની બીજી બાજુ બિંદુ P પાસે ક્ષેત્રની દિશા _____ હશે.
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र एक बिंदु आवेश (+q) को एक चालक समतल के पास दर्शाता है। चालक समतल पर प्रेरण के कारण आवेश वितरित होते हैं। P बिंदु समतल के दूसरी तरफ है। यह चित्र बताता है कि चालक समतल के पास बिंदु आवेश के कारण विद्युत क्षेत्र रेखाएं कैसे बनती हैं और P बिंदु पर क्षेत्र की दिशा क्या होती है।
(A) સમતલને લંબ દિશામાં અને સમતલથી દૂર તરફ છે.
(B) સમતલને લંબ દિશામાં પરંતુ સમતલ તરફ છે.
(C) ત્રિજ્યાવર્તી દિશામાં બિંદુ વિદ્યુતભારથી દૂર તરફ છે.
(D) ત્રિજ્યાવર્તી દિશામાં બિંદુ વિદ્યુતભારથી તરફ છે.
Answer: (A) સમતલને લંબ દિશામાં અને સમતલથી દૂર તરફ છે.
In simple words: જ્યારે ધન વિદ્યુતભાર વાહક સમતલની નજીક હોય છે, ત્યારે સમતલ પર ઇલેક્ટ્રોન આકર્ષાય છે અને નજીકની સપાટી ઋણ બને છે, જ્યારે દૂરની સપાટી ધન બને છે. આ પ્રેરિત વિદ્યુતભારોનું ક્ષેત્ર સમતલને હંમેશા લંબ હોય છે અને તે સમતલથી દૂરની દિશામાં હોય છે.

🎯 Exam Tip: The electric field lines always enter or leave a conductor surface perpendicularly.

Question 7. એક અર્ધગોળો કવચ સમાન રીતે વિદ્યુતભારિત છે. વ્યાસ પર કેન્દ્રથી દૂર આવેલા કોઈ બિંદુએ વિદ્યુતક્ષેત્ર ______ હશે.
(A) વ્યાસને લંબરૂપે હશે.
(B) વ્યાસને સમાંતર હશે.
(C) વ્યાસની તરફ કોઈ ખૂણે નમેલું હશે.
(D) વ્યાસથી દૂર તરફ કોઈ ખૂણે નમેલું હશે.
Answer: (A) વ્યાસને લંબરૂપે હશે.
In simple words: જો એક અર્ધગોળો કવચ સમાન રીતે વિદ્યુતભારિત હોય, તો તેની સંમિતિને કારણે વ્યાસ પરના કોઈપણ બિંદુએ વિદ્યુતક્ષેત્ર હંમેશા વ્યાસને લંબરૂપ હોય છે. વ્યાસને સમાંતરના ઘટકો એકબીજાને રદ કરી દે છે.

🎯 Exam Tip: For symmetric charge distributions, using symmetry arguments simplifies electric field direction determination.

બહુવિકલ્પ પ્રશ્નોત્તર (MCQ-II)

Question 1. જો કોઈ બંધ પૃષ્ઠ પર \( \oint_{\mathrm{S}} \overrightarrow{\mathrm{E}} \cdot d \overrightarrow{\mathrm{S}} = 0 \) હોય તો ____
(A) આ પૃષ્ઠની અંદર અને પૃષ્ઠ પર વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય છે.
(B) આ પૃષ્ઠની અંદર વિદ્યુતક્ષેત્ર આવશ્યક રીતે એકસમાન હોવું જરૂરી છે.
(C) આ પૃષ્ઠમાં દાખલ થતી ફ્લક્સ રેખાઓની સંખ્યા અને બહાર નીકળતી ફ્લક્સ રેખાઓની સંખ્યા સમાન જ હશે.
(D) બધા વિદ્યુતભારો આવશ્યક રીતે પૃષ્ઠની બહાર હોવા જોઈએ.
Answer: (C) આ પૃષ્ઠમાં દાખલ થતી ફ્લક્સ રેખાઓની સંખ્યા અને બહાર નીકળતી ફ્લક્સ રેખાઓની સંખ્યા સમાન જ હશે.
(D) બધા વિદ્યુતભારો આવશ્યક રીતે પૃષ્ઠની બહાર હોવા જોઈએ.
In simple words: ગૉસના નિયમ મુજબ, જો બંધ સપાટી પર કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ શૂન્ય હોય, તો તેનો અર્થ છે કે સપાટીની અંદર કુલ વિદ્યુતભાર શૂન્ય છે. આ ત્યારે થાય છે જ્યારે જેટલી ક્ષેત્ર રેખાઓ અંદર આવે છે તેટલી જ બહાર જાય. આ ઉપરાંત, જો કોઈ વિદ્યુતભારો અંદર ન હોય, તો ફ્લક્સ શૂન્ય થશે, જેનો અર્થ છે કે બધા વિદ્યુતભારો સપાટીની બહાર હોવા જોઈએ.

🎯 Exam Tip: When the net flux through a closed surface is zero, it implies either no net charge inside or equal positive and negative charges.

Question 2. કોઈ બિંદુ પાસે વિદ્યુતક્ષેત્ર ______
(A) હંમેશાં સતત હોય છે.
(B) સતત હશે જો એ બિંદુએ કોઈ વિદ્યુતભાર ન હોય તો.
(C) અસતત હશે ફક્ત જો તે બિંદુએ કોઈ ઋણ વિદ્યુતભાર હોય તો.
(D) અસતત હશે જો તે બિંદુએ કોઈ વિદ્યુતભાર હોય તો.
Answer: (B) સતત હશે જો એ બિંદુએ કોઈ વિદ્યુતભાર ન હોય તો.
(D) અસતત હશે જો તે બિંદુએ કોઈ વિદ્યુતભાર હોય તો.
In simple words: વિદ્યુતક્ષેત્ર સામાન્ય રીતે સતત હોય છે, સિવાય કે જ્યાં વિદ્યુતભાર પોતે હાજર હોય. જો કોઈ બિંદુ પર વિદ્યુતભાર હોય, તો તે બિંદુએ વિદ્યુતક્ષેત્ર વ્યાખ્યાયિત થતું નથી અથવા તે અસતત બને છે, કારણ કે વિદ્યુતક્ષેત્રની ગણતરી માટે અંતર શૂન્ય થઈ જાય છે.

🎯 Exam Tip: Electric fields are generally continuous, but at the location of point charges, they become discontinuous (infinite).

Question 3. જો બ્રહ્માંડમાં ફક્ત એક જ પ્રકારનો વિદ્યુતભાર હોય, તો _______
(A) કોઈ બંધ સપાટી પર \( - \oint_{\mathrm{S}} \overrightarrow{\mathrm{E}} \cdot d \overrightarrow{\mathrm{S}} \neq 0 \)
(B) જો વિદ્યુતભાર પૃષ્ઠની બહાર હોય, તો \( - \oint_{\mathrm{S}} \overrightarrow{\mathrm{E}} \cdot d \overrightarrow{\mathrm{S}} = 0 \).
(C) \( - \oint_{\mathrm{S}} \overrightarrow{\mathrm{E}} \cdot d \overrightarrow{\mathrm{S}} \) વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય નહિ.
(D) જો \( q \) મૂલ્યનો વિદ્યુતભાર પૃષ્ઠની અંદર હોય, તો \( \oint_{\mathrm{S}} \overrightarrow{\mathrm{E}} \cdot d \overrightarrow{\mathrm{S}}=\frac{q}{\varepsilon_0} \).
Answer: (B) જો વિદ્યુતભાર પૃષ્ઠની બહાર હોય, તો \( - \oint_{\mathrm{S}} \overrightarrow{\mathrm{E}} \cdot d \overrightarrow{\mathrm{S}} = 0 \).
(D) જો \( q \) મૂલ્યનો વિદ્યુતભાર પૃષ્ઠની અંદર હોય, તો \( \oint_{\mathrm{S}} \overrightarrow{\mathrm{E}} \cdot d \overrightarrow{\mathrm{S}}=\frac{q}{\varepsilon_0} \).
In simple words: ગૉસના નિયમ અનુસાર, બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ સપાટીની અંદરના કુલ વિદ્યુતભાર પર આધાર રાખે છે. જો વિદ્યુતભાર સપાટીની બહાર હોય, તો અંદરનો કુલ વિદ્યુતભાર શૂન્ય થશે, તેથી ફ્લક્સ પણ શૂન્ય થશે. જો વિદ્યુતભાર અંદર હોય, તો ફ્લક્સ \( \frac{q}{\varepsilon_0} \) હશે.

🎯 Exam Tip: Gauss's Law states that the total electric flux through a closed surface is directly proportional to the total electric charge enclosed within that surface.

Question 4. કોઈ એવા વિસ્તારનો વિચાર કરો જેમાં જુદા-જુદા પ્રકારના વિદ્યુતભારો છે, પરંતુ કુલ વિદ્યુતભાર શૂન્ય છે. આ વિસ્તારની બહારનાં બિંદુઓ પાસે ______
(A) વિદ્યુતક્ષેત્ર આવશ્યક રીતે શૂન્ય હશે.
(B) વિદ્યુતક્ષેત્ર ફક્ત વિદ્યુતભાર વિતરણના ડાયપોલ મોમેન્ટને લીધે હશે.
(C) મોટા \( r \) માટે, પ્રભાવી વિદ્યુતક્ષેત્ર \( \propto \frac{1}{r^3} \) છે. જ્યાં \( r \) એ આ વિસ્તારના કોઈ મૂળ બિંદુ (ઊગમબિંદુ)થી અંતર છે.
(D) આ વિસ્તારથી દૂર, કોઈ વિદ્યુતભારિત કણને બંધ માર્ગે ગતિ કરાવવા માટે કરેલ કાર્ય શૂન્ય હશે.
Answer: (C) મોટા \( r \) માટે, પ્રભાવી વિદ્યુતક્ષેત્ર \( \propto \frac{1}{r^3} \) છે. જ્યાં \( r \) એ આ વિસ્તારના કોઈ મૂળ બિંદુ (ઊગમબિંદુ)થી અંતર છે.
(D) આ વિસ્તારથી દૂર, કોઈ વિદ્યુતભારિત કણને બંધ માર્ગે ગતિ કરાવવા માટે કરેલ કાર્ય શૂન્ય હશે.
In simple words: જો કોઈ વિસ્તારમાં કુલ વિદ્યુતભાર શૂન્ય હોય, તો ત્યાં વિદ્યુત ડાયપોલ જેવા વિતરણો હોઈ શકે છે. આવા કિસ્સામાં, દૂરના બિંદુઓ પર વિદ્યુતક્ષેત્ર અંતરના ઘન (\( r^3 \)) ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં ઘટે છે. ઉપરાંત, વિદ્યુતક્ષેત્ર સંરક્ષી હોવાથી, બંધ માર્ગે વિદ્યુતભારિત કણને ખસેડવા માટે થયેલું કાર્ય શૂન્ય હોય છે.

🎯 Exam Tip: For charge distributions with zero net charge, the electric field falls off faster than \( \frac{1}{r^2} \), typically as \( \frac{1}{r^3} \) for a dipole. The work done by a conservative field over a closed path is always zero.

Question 5. આકૃતિમાં દર્શાવેલ વિદ્યુતભારોની ગોઠવણી અને જેના દ્વારા \( Q \) પર વિદ્યુતભાર છે, તેવું \( R \) ત્રિજ્યાનું ગૉસિયન પૃષ્ઠ ધ્યાનમાં લો, પછી ____
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र एक गौसियन सतह (वृत्ताकार रिंग) दिखाता है जिसकी त्रिज्या R है। इस सतह के केंद्र में \( Q \) आवेश रखा है, जबकि \( -2Q \) आवेश सतह के अंदर \( R/2 \) दूरी पर है, और \( 5Q \) आवेश सतह के बाहर है। यह चित्र गौसियन नियम के अनुप्रयोग को स्पष्ट करने के लिए डिज़ाइन किया गया है।
(A) કવચની સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ ફ્લક્સ \( -\frac{\mathrm{Q}}{\varepsilon_0} \) છે.
(B) કવચની સપાટી પર વિદ્યુતક્ષેત્ર \( \frac{-\mathrm{Q}}{4 \pi \varepsilon_0 \mathrm{R}^2} \) છે.
(C) \( 5Q \) ને લીધે કવચની સપાટીમાંથી પસાર થતું ફ્લક્સ શૂન્ય છે.
(D) \( -2Q \) ને લીધે કવચની સપાટી પર દરેક જગ્યાએ વિદ્યુતક્ષેત્ર સમાન છે.
Answer: (A) કવચની સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ ફ્લક્સ \( -\frac{\mathrm{Q}}{\varepsilon_0} \) છે.
(C) \( 5Q \) ને લીધે કવચની સપાટીમાંથી પસાર થતું ફ્લક્સ શૂન્ય છે.
In simple words: ગૉસના નિયમ મુજબ, બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ ફક્ત સપાટીની અંદરના કુલ વિદ્યુતભાર પર આધાર રાખે છે. અહીં, સપાટીની અંદર \( Q \) અને \( -2Q \) વિદ્યુતભારો છે, તેથી કુલ આંતરિક વિદ્યુતભાર \( Q + (-2Q) = -Q \) થશે. બહારનો વિદ્યુતભાર \( 5Q \) ફ્લક્સમાં ફાળો આપતો નથી.

🎯 Exam Tip: Gauss's law only considers charges enclosed by the Gaussian surface; external charges contribute to the electric field but not to the net flux.

Question 6. \( R \) ત્રિજ્યાની કોઈ વર્તુળાકાર રિંગ ઉપર ધન વિદ્યુતભાર \( Q \) સમાન રીતે વિતરિત થયેલ છે. આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ એક નાના પરીક્ષણ વિદ્યુતભાર \( q \) ને રિંગના કેન્દ્ર પર મૂકેલ છે. આથી, ____
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र एक R त्रिज्या की वृत्ताकार रिंग को दर्शाता है, जिस पर +Q आवेश समान रूप से वितरित है। रिंग के केंद्र में एक छोटा परीक्षण आवेश q रखा गया है। यह चित्र आवेशों के बीच लगने वाले बलों और उनके संतुलन को समझाने में मदद करता है।
(A) જો \( q > 0 \) અને જો તેને રિંગના સમતલમાં કેન્દ્રથી દૂર તરફ સ્થાનાંતરિત કરવામાં આવે, તો તે પાછો કેન્દ્ર તરફ ધકેલાઈ જશે.
(B) જો \( q < 0 \) અને જો તેને રિંગના સમતલમાં તેનાં કેન્દ્રથી દૂર તરફ સ્થાનાંતરિત કરવામાં આવે, તો તે ક્યારેય કેન્દ્ર પર પાછો નહિ આવે તથા રિંગને અથડાય નહિ ત્યાં સુધી સતત ગતિ કરશે.
(C) જો \( q < 0 \) હોય અને અક્ષને અનુલક્ષીને કરેલા નાના સ્થાનાંતર માટે તે સરળ આવર્તગતિ (SHM) કરશે.
(D) \( q > 0 \) માટે, રિંગના સમતલમાં રિંગના કેન્દ્ર પર 3 અસ્થાયી સંતુલનમાં હશે.
Answer: (A) જો \( q > 0 \) અને જો તેને રિંગના સમતલમાં કેન્દ્રથી દૂર તરફ સ્થાનાંતરિત કરવામાં આવે, તો તે પાછો કેન્દ્ર તરફ ધકેલાઈ જશે.
(B) જો \( q < 0 \) અને જો તેને રિંગના સમતલમાં તેનાં કેન્દ્રથી દૂર તરફ સ્થાનાંતરિત કરવામાં આવે, તો તે ક્યારેય કેન્દ્ર પર પાછો નહિ આવે તથા રિંગને અથડાય નહિ ત્યાં સુધી સતત ગતિ કરશે.
(C) જો \( q < 0 \) હોય અને અક્ષને અનુલક્ષીને કરેલા નાના સ્થાનાંતર માટે તે સરળ આવર્તગતિ (SHM) કરશે.
In simple words: જ્યારે \( q \) ધન હોય અને તેને કેન્દ્રથી દૂર ખસેડવામાં આવે, ત્યારે રિંગ પરનો ધન વિદ્યુતભાર તેને પાછો કેન્દ્ર તરફ ધકેલશે, એટલે કે તે સ્થિર સંતુલનમાં હશે. જો \( q \) ઋણ હોય અને તેને કેન્દ્રથી દૂર ખસેડવામાં આવે, તો રિંગ પરનો ધન વિદ્યુતભાર તેને પોતાની તરફ આકર્ષશે, જેના કારણે તે કેન્દ્ર પર પાછો નહિ આવે. નાના સ્થાનાંતર માટે, જો \( q \) ઋણ હોય, તો તે સરળ આવર્તગતિ કરશે.

🎯 Exam Tip: Analyze the forces acting on the test charge based on its sign and the symmetry of the ring. This helps determine stability and oscillatory motion.

અતિક જવાબી પ્રશ્નો (VSA)

Question 1. કોઈ યાદૈચ્છિક પૃષ્ઠ વડે એક ડાયપોલ ઘેરાયેલો છે. આ પૃષ્ઠમાંથી પસાર થતું વિદ્યુત ફ્લક્સ કેટલું હશે ?
Answer: એક વિદ્યુત ડાયપોલ બે સમાન અને વિરુદ્ધ વિદ્યુતભારોથી બનેલો હોય છે, એટલે કે \( -q \) અને \( +q \). જ્યારે કોઈ બંધ સપાટી એક વિદ્યુત ડાયપોલને ઘેરી લે છે, ત્યારે સપાટીની અંદરનો કુલ વિદ્યુતભાર \( (-q) + (+q) = 0 \) થાય છે. ગૉસના નિયમ અનુસાર, કોઈ બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ સપાટીની અંદરના કુલ વિદ્યુતભારના \( \frac{1}{\varepsilon_0} \) ગણા હોય છે. તેથી, આ કિસ્સામાં કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ શૂન્ય (\( \Phi = 0 \)) હશે.
In simple words: ડાયપોલમાં એક સરખો ધન અને ઋણ વિદ્યુતભાર હોય છે. જ્યારે બંધ સપાટી ડાયપોલને ઘેરે છે, ત્યારે અંદરનો કુલ વિદ્યુતભાર શૂન્ય થઈ જાય છે. ગૉસના નિયમ મુજબ, જો અંદરનો વિદ્યુતભાર શૂન્ય હોય, તો ફ્લક્સ પણ શૂન્ય હોય.

🎯 Exam Tip: Remember Gauss's law which states that the net electric flux through any closed surface is proportional to the net electric charge enclosed by that surface. For a dipole, the net charge is zero.

Question 2. ધાતુની કોઈ એક ગોળીય કવચની અંદરની ત્રિજ્યા \( R_1 \) અને બહારની ત્રિજ્યા \( R_2 \) છે. આ ગોળીય કવચની બખોલ (cavity)ના કેન્દ્ર પર એક વિદ્યુતભાર \( Q \) મૂકેલ છે. (i) અંદરની સપાટી અને (ii) બહારની સપાટી ઉપર વિદ્યુતભારની પૃષ્ઠ ઘનતા કેટલી હશે?
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र एक खोखले गोलाकार चालक (शैल) को दर्शाता है जिसकी दो त्रिज्याएँ \( R_1 \) (अंदरूनी) और \( R_2 \) (बाहरी) हैं। शैल के केंद्र में एक आवेश \( +Q \) रखा गया है। यह चित्र बताता है कि इस आवेश के कारण चालक की अंदरूनी और बाहरी सतहों पर आवेश कैसे प्रेरित होता है।
Answer:(i) ગોળીય કવચની બખોલના કેન્દ્ર પર ધન વિદ્યુતભાર \( +Q \) મૂકવામાં આવવાથી, પ્રેરણના કારણે ગોળાની અંદરની સપાટી પર \( -Q \) વિદ્યુતભાર ઉત્પન્ન થાય છે. આથી, ગોળાની અંદરની સપાટી પર વિદ્યુતભારની પૃષ્ઠ ઘનતા \( = \frac{-Q}{4 \pi R_1^2} \) થશે.
(ii) વિદ્યુત પ્રેરણના કારણે ગોળાની બહારની સપાટી પર \( +Q \) વિદ્યુતભાર ઉત્પન્ન થાય છે. તેથી, ગોળાની બહારની સપાટી પર વિદ્યુતભારની પૃષ્ઠ ઘનતા \( = \frac{+Q}{4 \pi R_2^2} \) થશે.
In simple words: જ્યારે ધાતુના ગોળાના કેન્દ્રમાં \( +Q \) વિદ્યુતભાર મૂકવામાં આવે છે, ત્યારે પ્રેરણાને લીધે ગોળાની અંદરની સપાટી પર \( -Q \) વિદ્યુતભાર અને બહારની સપાટી પર \( +Q \) વિદ્યુતભાર આવે છે. આ વિદ્યુતભારો સપાટીના ક્ષેત્રફળ પર વહેંચાઈ જાય છે, જે પૃષ્ઠ ઘનતા દર્શાવે છે.

🎯 Exam Tip: In a conductor, net charge resides on its outer surface, and the electric field inside a conductor in electrostatic equilibrium is zero.

Question 3. કોઈ એક પરમાણુનું પરિમાણ એંગસ્ટ્રોમના ક્રમનું છે તેથી પ્રોટોન અને ઇલેક્ટ્રોનોની વચ્ચે પ્રબળ વિદ્યુતક્ષેત્ર હોવું જોઈએ, તો પછી વાહકની અંદર વિદ્યુતક્ષેત્ર શા માટે શૂન્ય હોય છે ?
Answer: પરમાણુઓમાં પ્રોટોન અને ઇલેક્ટ્રોન જુદા-જુદા પ્રકારના અને સ્વતંત્ર રીતે હોય છે, અને વિદ્યુતભારને તટસ્થ કરે છે. આ વિદ્યુતભારોના કારણે સ્થિત વિદ્યુતક્ષેત્ર હોય છે, પરંતુ સુવાહકની અંદર અલગ સપાટી પર કોઈ વધારાનો વિદ્યુતભાર હોતો નથી. વાહકની અંદર મુક્ત ઇલેક્ટ્રોન વિદ્યુતક્ષેત્રની અસર હેઠળ ગતિ કરે છે અને ત્યાં સુધી પુનઃવિતરિત થાય છે જ્યાં સુધી આંતરિક ક્ષેત્ર શૂન્ય ન થઈ જાય. આથી, સુવાહકની અંદર કોઈ સ્થિત વિદ્યુતક્ષેત્ર હોતું નથી.
In simple words: પરમાણુઓમાં ઇલેક્ટ્રોન અને પ્રોટોન અલગ હોય છે, પણ કુલ વિદ્યુતભાર તટસ્થ હોય છે. સુવાહકમાં, મુક્ત ઇલેક્ટ્રોન વિદ્યુતક્ષેત્ર હોય ત્યાં સુધી ફરે છે અને પછી એવી રીતે ગોઠવાઈ જાય છે કે અંદરનું કુલ વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય થઈ જાય.

🎯 Exam Tip: Remember that free charges in a conductor redistribute themselves to nullify any internal electric field, leading to an electrostatic equilibrium where E=0 inside.

Question 4. જો કોઈ પૃષ્ઠ વડે ઘેરાયેલો વિદ્યુતભાર શૂન્ય છે, તો તે એવું દર્શાવે છે કે, આ પૃષ્ઠ પરના દરેક બિંદુએ વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય છે ? એનાથી વિપરીત, જો પૃષ્ઠ પરના દરેક બિંદુએ વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય છે તો તે એવું દર્શાવે છે કે, પૃષ્ઠની અંદર પરિણામી વિદ્યુતભાર શૂન્ય છે ?
Answer:ગૉસનો નિયમ એવું સૂચવે છે કે જ્યારે પૃષ્ઠ એવું પસંદ કરવાનું હોય, તો થોડાક વિદ્યુતભારો અંદર અને થોડાક વિદ્યુતભારો બહાર હોય. આ પરિસ્થિતિમાં ફ્લક્સ \( \oint_{\mathrm{S}} \overrightarrow{\mathrm{E}} \cdot d \overrightarrow{\mathrm{S}}=\frac{q}{\varepsilon_0} \) થી આપવામાં આવે છે. આ સ્થિતિમાં ડાબી બાજુનું પદ વિદ્યુતક્ષેત્ર \( \overrightarrow{\mathrm{E}} \) એ પૃષ્ઠની અંદર અને બહારના વિદ્યુતભારોના લીધે ઉદ્ભવતું વિદ્યુતક્ષેત્ર છે. સમીકરણની જમણી બાજુનું પદ \( q \) એ પૃષ્ઠઓ વડે ઘેરાતા વિદ્યુતભારોનું પરિણામી વિદ્યુતભાર છે. આ વિદ્યુતભારો પૃષ્ઠમાં ગમે તે સ્થાને હોઈ શકે છે પણ પૃષ્ઠની બહાર આવેલા વિદ્યુતભારોને ગણતરીમાં લેવાના નથી.
In simple words: જો બંધ સપાટીની અંદર કુલ વિદ્યુતભાર શૂન્ય હોય, તો તેનો અર્થ એ નથી કે સપાટી પરના દરેક બિંદુએ વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય છે. વિદ્યુતક્ષેત્ર બહારના વિદ્યુતભારોને કારણે પણ હોઈ શકે છે. જોકે, જો સપાટી પર દરેક બિંદુએ વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય હોય, તો ગૉસના નિયમ મુજબ, સપાટીની અંદરનો કુલ વિદ્યુતભાર ચોક્કસપણે શૂન્ય હશે.

🎯 Exam Tip: Understand that E=0 everywhere on a surface implies zero net charge inside, but zero net charge inside does not imply E=0 everywhere on the surface.

Question 5. આકૃતિમાં દર્શાવેલ સમાન રીતે વિદ્યુતભારિત પોલા નળાકાર માટે વિદ્યુતક્ષેત્ર રેખાઓ દોરો.
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र एक खोखले बेलनाकार चालक को दर्शाता है जिस पर धनात्मक आवेश समान रूप से वितरित है। बेलन के ऊपर और आसपास विद्युत क्षेत्र रेखाएं फैली हुई हैं। यह चित्र बेलनाकार आवेश वितरण के लिए विद्युत क्षेत्र रेखाओं के पैटर्न को स्पष्ट करता है, जहाँ रेखाएं आवेश से निकलकर बाहर की ओर जाती हैं।
Answer: વિદ્યુત ક્ષેત્ર રેખાઓ ધન વિદ્યુતભારમાંથી ઉદ્ભવે છે અને અનંત અંતરે જાય છે જે આકૃતિમાં બતાવ્યું છે.
In simple words: ધન વિદ્યુતભારિત પોલા નળાકાર માટે, વિદ્યુતક્ષેત્ર રેખાઓ નળાકારની સપાટીથી શરૂ થઈને બહારની તરફ લંબરૂપે જાય છે, જાણે કે તે નળાકારથી અનંત તરફ ફેલાતી હોય. નળાકારની અંદર વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય હોય છે.

🎯 Exam Tip: For a charged conductor, electric field lines originate or terminate perpendicularly to the surface and are zero inside the conductor.

Question 6. જો વિદ્યુતભાર \( q \) ને નીચે દર્શાવ્યા મુજબ કોઈ \( a \) લંબાઈ ધરાવતી બાજુવાળા સમઘન પર મૂક્યો હોય, તો સમઘન (આકૃતિ મુજબ)ની સપાટીઓમાંથી પસાર થતું કુલ ફ્લક્સ કેટલું હશે ?
(a) A : સમઘનનો કોઈ એક ખૂણો
(b) B: સમઘનની કોઈ એક બાજુનું મધ્યબિંદુ
(c) (C) : સમઘનની કોઈ સપાટીનું કેન્દ્ર
(d) D : B અને C નું મધ્યબિંદુ
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र एक घन को दर्शाता है जिसके विभिन्न स्थानों पर \( q \) आवेश रखा गया है। बिंदु A एक कोने पर, बिंदु B एक किनारे के मध्य में, बिंदु C एक सतह के केंद्र में, और बिंदु D एक किनारे और सतह के केंद्र के बीच में है। यह चित्र गौसियन नियम का उपयोग करके इन स्थितियों में घन से जुड़े विद्युत फ्लक्स की गणना करने में मदद करता है।
Answer:(a) સમઘનના આઠ ખૂણાઓ હોય છે. તેથી જો \( q \) વિદ્યુતભાર સમઘનના કોઈ એક ખૂણા પર મૂકવામાં આવે, તો તે સમઘનનો \( \frac{1}{8} \) મો ભાગ ઘેરાયેલો હોય છે. ગૉસના નિયમ પરથી, A બિંદુએ વિદ્યુત ફ્લક્સ \( \Phi = \frac{q}{8 \varepsilon_0} \) થશે.
(b) જો \( q \) વિદ્યુતભાર સમઘનની ધારના મધ્યબિંદુ B પર મૂકવામાં આવે, તો તેને ઘેરવા માટે ચાર આવા સમઘનની જરૂર પડે છે. આથી, એક સમઘનમાંથી પસાર થતું ફ્લક્સ \( \Phi = \frac{q}{4 \varepsilon_0} \) થશે.
(c) જો \( q \) વિદ્યુતભાર સમઘનની સપાટીના મધ્યબિંદુ C પર મૂકવામાં આવે, તો તેને ઘેરવા માટે બે આવા સમઘનની જરૂર પડે છે. આથી, એક સમઘનમાંથી પસાર થતું ફ્લક્સ \( \Phi = \frac{q}{2 \varepsilon_0} \) થશે.
(d) જો \( q \) વિદ્યુતભાર સમઘનની ધારના મધ્યબિંદુ અને સપાટીના મધ્યબિંદુને જોડતી રેખાના મધ્યમાં D બિંદુએ મૂકવામાં આવે, તો તેને ઘેરવા માટે બે આવા સમઘનની જરૂર પડે છે. આથી, એક સમઘનમાંથી પસાર થતું ફ્લક્સ \( \Phi = \frac{q}{2 \varepsilon_0} \) થશે.
In simple words: ગૉસના નિયમ મુજબ, બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ ફ્લક્સ અંદરના વિદ્યુતભાર પર આધાર રાખે છે. જ્યારે \( q \) ને ઘન (ક્યુબ) ના ખૂણે મૂકીએ, ત્યારે ક્યુબનો \( \frac{1}{8} \) ભાગ ઘેરાય છે, તેથી ફ્લક્સ \( \frac{q}{8 \varepsilon_0} \). ધારના મધ્યબિંદુ પર \( \frac{1}{4} \) ભાગ, તેથી ફ્લક્સ \( \frac{q}{4 \varepsilon_0} \). સપાટીના કેન્દ્ર પર \( \frac{1}{2} \) ભાગ, તેથી ફ્લક્સ \( \frac{q}{2 \varepsilon_0} \). D બિંદુ પર પણ \( \frac{1}{2} \) ભાગ, તેથી ફ્લક્સ \( \frac{q}{2 \varepsilon_0} \).

🎯 Exam Tip: Accurately determining the fraction of charge enclosed by the Gaussian surface (the cube) is the key to applying Gauss's Law correctly in such problems.

ટૂંક જવાબી પ્રશ્નો (SA)

Question 1. Al-Mg મિશ્ર ધાતુના બનેલા પૈસાના સિક્કાનું દળ 0.75 g છે. તે ચોરસ છે અને તેના વિકર્ણોનું માપ 17 mm છે. તે વિદ્યુતીય રીતે તટસ્થ છે અને સરખી માત્રામાં ધન અને ગ્રહણ વિદ્યુતભાર ધરાવે છે. પૈસાનો સિક્કો ફક્ત Al નો બનેલો છે તેવી ધારણા કરી સમાન સંખ્યાના ધન અને ઋણ વિદ્યુતભારોનાં મૂલ્યો શોધો. આ મૂલ્યો પરથી તમે શું નિષ્કર્ષ કાઢશો ?
Answer:પૈસાના સિક્કાનું દળ \( W = 0.75 \) g. ઍલ્યુમિનિયમનો પરમાણુ ભાર \( = 26.9815 \) g/mol. ઍવોગેડ્રો અંક \( N_A = 6.023 \times 10^{23} \). \( 26.9815 \) g ઍલ્યુમિનિયમમાં પરમાણુની સંખ્યા \( = 6.023 \times 10^{23} \). તેથી \( 0.75 \) g ઍલ્યુમિનિયમમાં પરમાણુની સંખ્યા \( N = \frac{6.023 \times 10^{23} \times 0.75}{26.9815} \) \( N = 0.16742 \times 10^{23} \) \( N = 1.6742 \times 10^{22} \) પરમાણુઓ. Al નો પરમાણુ ક્રમાંક \( Z = 13 \) છે તેથી તેમાં \( 13 \) પ્રોટોન અને \( 13 \) ઇલેક્ટ્રોન હોય. પૈસાના એક સિક્કામાં ધન અને ઋણ વિદ્યુતભારનું મૂલ્ય \( Q = NZe \) \( Q = (1.6742 \times 10^{22}) \times 13 \times (1.6 \times 10^{-19}) \) \( Q = 3.48 \times 10^4 \) C. આ વિદ્યુતભારનું મૂલ્ય ઘણું મોટું છે તેથી આપણે એવો નિર્ણય કરી શકીએ કે તટસ્થ દ્રવ્યમાં ઘણી મોટી સંખ્યામાં ધન અને ઋણ વિદ્યુતભારો સમાયેલા હોય છે.
In simple words: 0.75 ગ્રામ એલ્યુમિનિયમ સિક્કામાં પરમાણુઓની સંખ્યા શોધી, પછી એક પરમાણુમાં 13 ઇલેક્ટ્રોન અને 13 પ્રોટોન હોવાથી, કુલ ધન અને ઋણ વિદ્યુતભારની ગણતરી કરી શકાય. તે ખૂબ મોટો વિદ્યુતભાર (3.48 x 10⁴ C) આવે છે, જે બતાવે છે કે તટસ્થ વસ્તુઓમાં પણ ઘણા વિદ્યુતભારો છુપાયેલા હોય છે.

🎯 Exam Tip: To calculate the total charge, determine the number of atoms, then the total number of protons (or electrons) using the atomic number, and finally multiply by the elementary charge.

Question 2. પ્રશ્ન 20 મુજબ એક સિક્કો વિચારો તે વિદ્યુતીય રીતે તટસ્થ છે અને સરખી માત્રાનો \( 34.8 \) kC ના મૂલ્યનો ધન અને ઋણ વિદ્યુતભાર ધરાવે છે. ધારો કે આ વિદ્યુતભારોને બે બિંદુ વિદ્યુતભારોમાં કેન્દ્રિત કરવામાં આવ્યા છે અને તેમને એકબીજાથી (i) \( 1 \) cm (\( \frac{1}{2} \) x પૈસાના સિક્કાનો વિકર્ણ) (ii) \( 100 \) mમી (“કોઈ મોટા મકાનની લંબાઈ) અને (iii) \( 10^6 \) m (પૃથ્વીની ત્રિજ્યા) જેટલાં અંતરોએ રાખેલ હોય, તો ત્રણેય કિસ્સાઓમાં દરેક માટે આ પ્રકારના વિદ્યુતભારો પર લાગતું બળ શોધો. આ પરિણામો પરથી તમે શું નિષ્કર્ષ કાઢશો ?
Answer:અહીં \( r_1 = 1 \) cm \( = 10^{-2} \) m \( r_2 = 100 \) m \( r_3 = 10^6 \) m \( \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} = k = 9 \times 10^9 \) Nm²/C² આપેલ વિદ્યુતભાર \( q = 34.8 \) kC \( = 3.48 \times 10^4 \) C
(i) અંતર \( r_1 = 10^{-2} \) m માટે લાગતું બળ: \( F_1 = \frac{k |q|^2}{r_1^2} = \frac{9 \times 10^9 \times (3.48 \times 10^4)^2}{(10^{-2})^2} \) \( F_1 = \frac{9 \times 10^9 \times 12.11 \times 10^8}{10^{-4}} \) \( F_1 = 1.0899 \times 10^{23} \) N \( \approx 1.09 \times 10^{23} \) N
(ii) અંતર \( r_2 = 100 \) m માટે લાગતું બળ: \( F_2 = \frac{k |q|^2}{r_2^2} = \frac{9 \times 10^9 \times (3.48 \times 10^4)^2}{(100)^2} \) \( F_2 = \frac{9 \times 10^9 \times 12.11 \times 10^8}{10^4} \) \( F_2 = 1.0899 \times 10^{15} \) N \( \approx 1.09 \times 10^{15} \) N
(iii) અંતર \( r_3 = 10^6 \) m માટે લાગતું બળ: \( F_3 = \frac{k |q|^2}{r_3^2} = \frac{9 \times 10^9 \times (3.48 \times 10^4)^2}{(10^6)^2} \) \( F_3 = \frac{9 \times 10^9 \times 12.11 \times 10^8}{10^{12}} \) \( F_3 = 1.0899 \times 10^7 \) N \( \approx 1.09 \times 10^7 \) N
નિર્ણય: અલગ રહેલાં ધન વિદ્યુતભારો વચ્ચે ઘણું જ વધારે વિદ્યુત બળ લાગે છે તેથી દ્રવ્યની તટસ્થતામાં ભંગ કરવો ઘણો મુશ્કેલ છે. આ બળો ઘણા મોટા છે, જે બતાવે છે કે વિદ્યુતભારિત વસ્તુઓને સ્થિર રાખવા માટે ખૂબ જ મજબૂત દળોની જરૂર પડશે.
In simple words: અહીં, એક સિક્કા પરનો કુલ ધન અને ઋણ વિદ્યુતભાર \( 34.8 \) kC છે. આ વિદ્યુતભારોને જુદા જુદા અંતરે રાખીને કુલંબના નિયમનો ઉપયોગ કરીને બળની ગણતરી કરવામાં આવે છે. જેમ અંતર વધે છે તેમ બળ ઘટે છે, પરંતુ તે હજુ પણ ખૂબ મોટું રહે છે. આ બળો દર્શાવે છે કે દ્રવ્યમાં વિદ્યુતભારોને અલગ કરવા અત્યંત મુશ્કેલ છે.

🎯 Exam Tip: Coulomb's Law dictates that electrostatic force is inversely proportional to the square of the distance. High values of charge yield extremely large forces, even at considerable distances.

Question 3. આકૃતિ સિઝિયમ ક્લોરાઇડ (CsCl)નો એકમ સ્ફટિક દર્શાવેલ છે. \( 0.40 \) nm બાજુઓવાળા સમઘનના ખૂણાઓ પર સિઝિયમ પરમાણુઓ ખુલ્લાં વર્તુળો વડે દર્શાવેલ છે, જ્યારે Cl પરમાણુ સમઘનના કેન્દ્ર પર છે. Cs પરમાણુઓમાં એક ઇલેક્ટ્રોનનો અભાવ છે, જ્યારે Cl પરમાણુ એક વધારાનો ઇલેક્ટ્રોન ધરાવે છે. (i) આઠ Cs પરમાણુઓના લીધે Cl પરમાણુ પર પરિણામી વિદ્યુતક્ષેત્ર કેટલું હશે ? (ii) ધારો કે ખૂણા A પર Cs પરમાણુ નથી. બાકીના સાત Cs પરમાણુઓને લીધે Cl પરમાણુ પર પરિણામી વિદ્યુતક્ષેત્ર કેટલું હશે ?
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र एक CsCl क्रिस्टल की इकाई सेल को दिखाता है, जो एक घन के आकार में है। घन के कोनों पर Cs+ आयन (खुले वृत्त) स्थित हैं, और घन के केंद्र में Cl- आयन है। यह चित्र आयनिक क्रिस्टल में विद्युत क्षेत्रों की गणना और समरूपता के सिद्धांतों को समझने में मदद करता है।
Answer:(i) આકૃતિ પરથી આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે \( \mathrm{Cl}^- \) પરમાણુ ઘનના કેન્દ્ર પર છે અને \( \mathrm{Cs}^+ \) પરમાણુઓ ઘનના આઠ શિરોબિંદુઓ પર છે. બધા \( \mathrm{Cs}^+ \) આયનો \( \mathrm{Cl}^- \) આયનથી સમાન અંતરે છે. તેથી, સંમિતિના આધારે \( \mathrm{Cl}^- \) પરમાણુ પર બધા \( \mathrm{Cs}^+ \) આયન વડે લાગતાં બળોની અસર એકબીજાને રદ કરી દે છે. આથી, પરિણામી વિદ્યુતક્ષેત્ર \( E = 0 \) થશે.
(ii) જો A શિરોબિંદુ આગળનો \( \mathrm{Cs}^+ \) આયન દૂર કરીએ, તો બાકીના સાત \( \mathrm{Cs}^+ \) આયનોને કારણે \( \mathrm{Cl}^- \) પર લાગતું વિદ્યુતક્ષેત્ર ગણવું પડશે. પાયથાગોરસના પ્રમેય પરથી, \( r = \sqrt{(0.2 \times 10^{-9})^2+(0.2 \times 10^{-9})^2+(0.2 \times 10^{-9})^2} \) \( r = \sqrt{3 \times (0.2 \times 10^{-9})^2} = 0.2 \sqrt{3} \times 10^{-9} \) m \( r = 0.346 \times 10^{-9} \) m \( \approx 3.46 \times 10^{-10} \) m હવે, લાગતું બળ \( F = \frac{k e^2}{r^2} = \frac{9 \times 10^9 \times (1.6 \times 10^{-19})^2}{(3.46 \times 10^{-10})^2} \) \( F = \frac{9 \times 10^9 \times 2.56 \times 10^{-38}}{11.97 \times 10^{-20}} \) \( F = 1.92 \times 10^{-9} \) N. પરિણામી વિદ્યુતક્ષેત્ર \( E = \frac{F}{e} = \frac{1.92 \times 10^{-9}}{1.6 \times 10^{-19}} = 1.2 \times 10^{10} \) N/C.
In simple words: (i) બધા Cs+ આયનો ક્લોરિન આયનથી સરખા અંતરે છે, તેથી તેમની અસર એકબીજાને રદ કરે છે અને કેન્દ્રમાં કુલ વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય થાય છે. (ii) જો એક Cs+ આયન દૂર કરવામાં આવે, તો સંમિતિ તૂટી જાય છે. બાકીના આયનોને કારણે લાગતા બળની ગણતરી અંતર અને વિદ્યુતભારનો ઉપયોગ કરીને કુલંબના નિયમ મુજબ કરવામાં આવે છે.

🎯 Exam Tip: For symmetric charge distributions, the net electric field at the center is often zero. If symmetry is broken, calculate the individual forces vectorially.

Question 4. બે વિદ્યુતભારો \( q \) અને \( -3q \) x-અક્ષ ઉપર એકબીજાથી \( d \) અંતરે રાખેલ છે. ત્રીજા કોઈ વિદ્યુતભાર \( 2q \) ને કયા સ્થાને મૂકીએ, તો તે કોઈ બળ ન અનુભવે ?
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र x-अक्ष पर दो आवेशों \( q \) और \( -3q \) को d दूरी पर स्थित दर्शाता है। एक तीसरा आवेश \( 2q \) भी x-अक्ष पर रखा गया है। चित्र यह समझने में मदद करता है कि इस तीसरे आवेश को कहाँ रखा जाए ताकि उस पर कोई शुद्ध बल न लगे।
Answer:ધારો કે \( q \) વિદ્યુતભાર મૂળબિંદુ પર છે અને \( -3q \) વિદ્યુતભાર \( x=d \) પર છે. ત્રીજા વિદ્યુતભાર \( 2q \) ને \( x \) અંતરે મૂકીએ. \( 2q \) વિદ્યુતભાર પર \( q \) ને કારણે લાગતું અપાકર્ષણ બળ \( F_q = \frac{k (q)(2q)}{x^2} = \frac{2kq^2}{x^2} \). \( 2q \) વિદ્યુતભાર પર \( -3q \) ને કારણે લાગતું આકર્ષણ બળ \( F_{-3q} = \frac{k (2q)(3q)}{(x-d)^2} = \frac{6kq^2}{(x-d)^2} \). કોઈ બળ ન લાગે તે માટે \( F_q = F_{-3q} \) \( \frac{2kq^2}{x^2} = \frac{6kq^2}{(x-d)^2} \) \( \frac{1}{x^2} = \frac{3}{(x-d)^2} \) \( (x-d)^2 = 3x^2 \) \( x-d = \pm \sqrt{3} x \) જો \( x-d = \sqrt{3} x \implies x(1-\sqrt{3}) = d \implies x = \frac{d}{1-\sqrt{3}} \). આ x ઋણ છે, જેનો અર્થ છે કે \( 2q \) એ \( q \) ની ડાબી બાજુએ હશે. પરંતુ આ કિસ્સામાં, બંને બળો એક જ દિશામાં હોવાથી રદ નહીં થાય. જો \( x-d = -\sqrt{3} x \implies x(1+\sqrt{3}) = d \implies x = \frac{d}{1+\sqrt{3}} \). આ x પણ ધન છે અને \( x < d \). આ કિસ્સામાં પણ બંને બળો એક જ દિશામાં હશે. આપણને એવી જગ્યા શોધવાની છે જ્યાં બળ શૂન્ય થાય. આપણે \( 2q \) વિદ્યુતભારને \( q \) ની ડાબી બાજુએ (x < 0) અથવા \( -3q \) ની જમણી બાજુએ (x > d) મૂકી શકીએ. જો \( 2q \) વિદ્યુતભારને \( -3q \) ની જમણી બાજુએ મૂકીએ, એટલે કે \( x > d \). \( \frac{2kq^2}{x^2} = \frac{6kq^2}{(x-d)^2} \) \( (x-d)^2 = 3x^2 \) \( x-d = \sqrt{3}x \) (અમે ફક્ત \( \sqrt{3} \) ને લીધું છે કારણ કે \( x-d \) અને \( x \) બંને ધન હોવા જોઈએ.) \( x(1-\sqrt{3}) = d \) \( x = \frac{d}{1-\sqrt{3}} = \frac{d}{1-1.732} = \frac{d}{-0.732} \approx -1.366d \). આ સ્થાન \( q \) ની ડાબી બાજુએ છે. અથવા \( x-d = -\sqrt{3}x \) \( x(1+\sqrt{3}) = d \) \( x = \frac{d}{1+\sqrt{3}} = \frac{d}{1+1.732} = \frac{d}{2.732} \approx 0.366d \). આ સ્થાન \( q \) અને \( -3q \) ની વચ્ચે છે, જ્યાં બળો રદ નહીં થાય. આ બળો ક્યાં રદ થાય તે માટે, આપણે \( q \) અને \( -3q \) ની વચ્ચે \( 2q \) ને મૂકી શકીએ નહીં, કારણ કે બંને બળો એક જ દિશામાં હશે. તેથી, \( 2q \) ને \( -3q \) ની જમણી બાજુએ મૂકવું પડશે. ધારો કે \( 2q \) ને \( x \) અંતરે મૂક્યું છે. \( q \) થી \( x \) અંતર અને \( -3q \) થી \( x-d \) અંતર. \( \frac{2kq^2}{x^2} = \frac{6kq^2}{(x-d)^2} \) \( \frac{1}{x^2} = \frac{3}{(x-d)^2} \) \( (x-d)^2 = 3x^2 \) \( x-d = \pm \sqrt{3} x \) \( x-d = -\sqrt{3} x \implies x(1+\sqrt{3}) = d \implies x = \frac{d}{1+\sqrt{3}} \approx 0.366d \). આ સ્થાન \( q \) અને \( -3q \) ની વચ્ચે છે, જે શક્ય નથી. \( x-d = \sqrt{3} x \implies x(\sqrt{3}-1) = d \implies x = \frac{d}{\sqrt{3}-1} = \frac{d (\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)} = \frac{d(\sqrt{3}+1)}{3-1} = \frac{d(\sqrt{3}+1)}{2} \) \( x = \frac{d(1.732+1)}{2} = \frac{2.732d}{2} = 1.366d \). આમ, \( q \) વિદ્યુતભારથી \( 1.366d \) અંતરે (અથવા \( -3q \) વિદ્યુતભારથી \( 0.366d \) અંતરે \( x = 1.366d \)) \( 2q \) વિદ્યુતભાર પર કોઈ બળ નહિ લાગે.
In simple words: બે વિદ્યુતભારો \( q \) અને \( -3q \) વચ્ચે ત્રીજો વિદ્યુતભાર \( 2q \) મૂકવાથી તેના પર બળ શૂન્ય નહીં થાય, કારણ કે બંને વિદ્યુતભારો તેને એક જ દિશામાં ખેંચશે અથવા ધકેલશે. બળ શૂન્ય કરવા માટે, \( 2q \) ને \( q \) અને \( -3q \) ની બહાર, ખાસ કરીને નાના વિદ્યુતભાર \( q \) થી વધુ દૂર, \( -3q \) ની જમણી બાજુએ \( 1.366d \) અંતરે મૂકવો પડશે.

🎯 Exam Tip: To find a point where the net force on a charge is zero for unlike charges, the point must lie outside the region between the charges, closer to the smaller magnitude charge.

Question 5. આકૃતિમાં ત્રણ બિંદુવત્ વિદ્યુતભારો A, B અને C ની આસપાસ વિદ્યુતક્ષેત્ર રેખાઓ દર્શાવેલ છે :
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र तीन बिंदु आवेशों A, B, और C के चारों ओर विद्युत क्षेत्र रेखाओं को दर्शाता है। आवेश A और C से क्षेत्र रेखाएं बाहर निकल रही हैं, जबकि आवेश B में क्षेत्र रेखाएं प्रवेश कर रही हैं। यह चित्र आवेशों के प्रकार और उनके परिमाण की तुलना करने में मदद करता है।
(a) કયો વિદ્યુતભાર ધન છે ?
(b) કયા વિદ્યુતભારનું મૂલ્ય મહત્તમ છે ? શા માટે ?
(c) ચિત્રના કયા વિસ્તાર કે વિસ્તારોમાં વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય હોઈ શકે છે ? તમારા ઉત્તરની સ્પષ્ટતા કરો. (i) A ની નજીક (ii) B ની નજીક (iii) C ની નજીક (iv) ક્યાંય નહિ
Answer:(a) આકૃતિ પરથી A અને C વિદ્યુતભારોની ક્ષેત્ર રેખાઓ બહાર નીકળે છે. તેથી A અને C પર ધન વિદ્યુતભાર જ હોય. B વિદ્યુતભારમાં ક્ષેત્ર રેખાઓ દાખલ થાય છે, તેથી B ઋણ વિદ્યુતભાર છે.
(b) આકૃતિ પરથી C વિદ્યુતભારમાં બહાર નીકળતી ક્ષેત્ર રેખાઓ મહત્તમ છે (સંખ્યા વધારે છે). તેથી C વિદ્યુતભારનું મૂલ્ય સૌથી વધુ છે. ક્ષેત્ર રેખાઓની સંખ્યા વિદ્યુતભારના મૂલ્યના સમપ્રમાણમાં હોય છે.
(c) સજાતીય વિદ્યુતભારો વચ્ચેના જે બિંદુએ સ્થિત વિદ્યુતબળ શૂન્ય હોય તે બિંદુને તટસ્થ બિંદુ કહે છે. આકૃતિમાં A અને C બંને ધન વિદ્યુતભારો છે, તેથી તેમની વચ્ચે તટસ્થ બિંદુ શક્ય છે. આ બિંદુ નાના વિદ્યુતભારની નજીક હશે. A ની તુલનામાં C નું મૂલ્ય વધુ હોવાથી તટસ્થ બિંદુ A ની નજીક હશે. તેથી, (i) A ની નજીક.
In simple words: (a) વિદ્યુતક્ષેત્ર રેખાઓ જેમાંથી બહાર નીકળે તે ધન હોય (A અને C), અને જેમાં દાખલ થાય તે ઋણ હોય (B). (b) C માંથી સૌથી વધુ રેખાઓ નીકળે છે, તેથી C નો વિદ્યુતભાર સૌથી મોટો છે. (c) A અને C બંને ધન હોવાથી, તેમની વચ્ચે એક તટસ્થ બિંદુ (જ્યાં બળ શૂન્ય થાય) હશે. C નો વિદ્યુતભાર મોટો હોવાથી, તટસ્થ બિંદુ નાના વિદ્યુતભાર A ની નજીક હશે.

🎯 Exam Tip: Electric field lines originate from positive charges and terminate on negative charges. The density of field lines indicates the strength of the electric field, and a neutral point occurs between like charges, closer to the smaller charge.

Question 6. આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ દરેકનો વિદ્યુતભાર \( q \) છે. તેવા પાંચ વિદ્યુતભારોને \( a \) બાજુવાળા નિયમિત પંચકોણના પાંચ ખૂણાઓ પર મૂકેલ છે.
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र एक नियमित पंचकोण को दर्शाता है जिसके पाँच कोनों पर \( q \) आवेश रखे गए हैं। पंचकोण का केंद्र O है और शीर्ष A, B, C, D, E से केंद्र तक की दूरियाँ समान हैं। यह चित्र केंद्र O पर विद्युत क्षेत्र की गणना और समरूपता के सिद्धांतों को समझने में मदद करता है।
(a) (i) પંચકોણના કેન્દ્ર O પાસે વિદ્યુતક્ષેત્ર કેટલું હશે ? (ii) જો કોઈ એક ખૂણા (જેમ કે A) પરથી વિદ્યુતભાર \( q \) દૂર કરવામાં આવે, તો O પાસે વિદ્યુતક્ષેત્ર કેટલું હશે ? (iii) જો A પરના વિદ્યુતભાર \( q \) ની જગ્યાએ \( -q \) વિદ્યુતભાર મૂકવામાં આવે, તો O પાસે વિદ્યુતક્ષેત્ર કેટલું હશે ?
(b) જો પંચકોણને બદલે જેના દરેક ખૂણા પર \( q \) વિદ્યુતભાર હોય તેવો n-બાજુવાળો નિયમિત બહુકોણ લેવામાં આવે, તો (a) ના પ્રશ્નોના ઉત્તરો પર શી અસર થશે ?
Answer:(a) (i) નિયમિત પંચકોણના દરેક શિરોબિંદુથી તેના કેન્દ્ર વચ્ચેનું અંતર સમાન હોય છે. તેથી, સંમિતિ પરથી બધા વિદ્યુતભારોના લીધે પંચકોણના કેન્દ્ર O પરનું વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય (\( E=0 \)) થાય છે.
(ii) જો A શિરોબિંદુ પર \( +q \) વિદ્યુતભાર દૂર કરવામાં આવે તો, O પરનું વિદ્યુતક્ષેત્ર બાકીના 4 વિદ્યુતભારોને કારણે હશે. જો \( \overrightarrow{\mathrm{E}}_{\mathrm{A}} \) એ A પરના \( +q \) વિદ્યુતભારને કારણે O પરનું વિદ્યુતક્ષેત્ર હોય, તો \( \overrightarrow{\mathrm{E}}_{\mathrm{A}} \) ની વિરુદ્ધ દિશામાં ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન થશે. આથી, વિદ્યુતક્ષેત્રનું મૂલ્ય \( E = \frac{kq}{r^2} \) થશે અને દિશા \( \overrightarrow{\mathrm{OA}} \) તરફ હશે.
(iii) જો A બિંદુ આગળના સ્થાને \( +q \) ના બદલે \( -q \) વિદ્યુતભાર મૂકીએ તો, A સ્થાને બે ઋણ વિદ્યુતભારો (\( -q \) અને વધારાનો \( -q \)) હોવાથી, O પરનું વિદ્યુતક્ષેત્ર \( -2q \) વિદ્યુતભારથી ઉદ્ભવતા વિદ્યુતક્ષેત્ર જેટલું થશે. તેથી, વિદ્યુતક્ષેત્રનું મૂલ્ય \( E = \frac{2kq}{r^2} \) થશે અને દિશા \( \overrightarrow{\mathrm{OA}} \) તરફ હશે.
(b) જો પંચકોણને બદલે સમાન બાજુવાળા નિયમિત બહુકોણ પરના દરેક શિરોબિંદુઓ પર \( q \) વિદ્યુતભાર મૂકીએ તો કેન્દ્ર પાસે કુલ વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય મળે. વિદ્યુતક્ષેત્રના મૂલ્યનો આધાર બાજુઓની સંખ્યા અને વિદ્યુતભારોની સંખ્યા પર નથી. તેથી, (a) નાં (ii) અને (iii) નાં જવાબ પર કોઈ અસર થશે નહીં.
In simple words: (a) (i) નિયમિત પંચકોણના કેન્દ્ર પર સંમિતિને કારણે બધા વિદ્યુતભારોનું કુલ ક્ષેત્ર શૂન્ય હોય છે. (ii) જો એક વિદ્યુતભાર દૂર કરીએ, તો બાકીના વિદ્યુતભારોને કારણે ક્ષેત્ર એ દૂર કરેલા વિદ્યુતભારના ક્ષેત્ર જેટલું અને વિરુદ્ધ દિશામાં હોય છે. (iii) જો \( +q \) ને બદલે \( -q \) મૂકીએ, તો તે \( +q \) ને દૂર કરીને \( -q \) મૂકવા જેટલું અને વધારાના \( -q \) ને કારણે ક્ષેત્ર ઉમેરવા જેટલું થાય. (b) આ નિયમો બધા નિયમિત બહુકોણ માટે સમાન રહે છે, તેથી \( n \)-બાજુવાળા બહુકોણ માટે પણ ઉત્તરો સમાન જ રહેશે.

🎯 Exam Tip: For any regular polygon with identical charges at its vertices, the electric field at the center is zero due to symmetry. Breaking symmetry or changing a charge requires vector summation.

 

Question 6. આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ દરેકનો વિધુતભાર q છે. તેવા પાંચ વિધુતભારોને a બાજુવાળા નિયમિત પંચકોણના પાંચ ખૂણાઓ પર મૂકેલ છે.

ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): આ ચિત્રમાં નિયમિત પંચકોણના પાંચ ખૂણાઓ પર q વિદ્યુતભાર દર્શાવવામાં આવ્યા છે. પંચકોણનું કેન્દ્ર O છે. A, B, C, D, E ખૂણાઓ અનુક્રમે દર્શાવેલ છે. Ea અને Eb વિદ્યુતક્ષેત્રની દિશા બતાવે છે.
Answer:(a)
(i) પંચકોણના કેન્દ્ર O પાસે વિધુતક્ષેત્ર કેટલું હશે ?
(ii) જો કોઈ એક ખૂણા (જેમ કે A) પરથી વિધુતભાર દૂર કરવામાં આવે, તો O પાસે વિધુતક્ષેત્ર કેટલું હશે ?
(iii) જો A પરના વિધુતભાર q ની જગ્યાએ -q વિધુતભાર મૂકવામાં આવે, તો O પાસે વિધુતક્ષેત્ર કેટલું હશે ?
(b) જો પંચકોણને બદલે જેના દરેક ખૂણા પર q વિધુતભાર હોય તેવો n-બાજુવાળો નિયમિત બહુકોણ લેવામાં આવે, તો (a) ના પ્રશ્નોના ઉત્તરો પર શી અસર થશે ?
ઉત્તર:
(a)
(i) નિયમિત પંચકોણના દરેક શિરોબિંદુથી કેન્દ્રનું અંતર સરખું હોય છે. આથી, સમિતિના કારણે કેન્દ્ર O પર બધા વિદ્યુતભારોને લીધે વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય થશે.
(ii) જો A શિરોબિંદુ પરથી +q વિદ્યુતભાર કાઢી નાખવામાં આવે, તો બાકીના 4 વિદ્યુતભારોને કારણે કેન્દ્ર O પર વિદ્યુતક્ષેત્ર તે જ થશે જે એકલો A પરનો +q વિદ્યુતભાર કેન્દ્ર O પર ઉત્પન્ન કરતો હોય. તેની દિશા OA તરફની હશે.
તેથી, વિદ્યુતક્ષેત્રનું મૂલ્ય \(E = \frac{kq}{r^2}\) દિશામાં થશે.
(iii) જો A બિંદુએ +q વિદ્યુતભારને બદલે -q વિદ્યુતભાર મૂકવામાં આવે, તો કુલ વિદ્યુતક્ષેત્ર A બિંદુ પરના +q વિદ્યુતભારને કારણે મળતું વિદ્યુતક્ષેત્ર + A બિંદુ પરના -q વિદ્યુતભારને કારણે મળતું વિદ્યુતક્ષેત્ર હશે. આ બંને વિદ્યુતક્ષેત્રો OA દિશામાં હશે. તેથી કુલ વિદ્યુતક્ષેત્ર \(E_{total} = \frac{kq}{r^2} + \frac{kq}{r^2} = \frac{2kq}{r^2}\) OA દિશામાં થશે.
(b) જો પંચકોણને બદલે n-બાજુવાળો નિયમિત બહુકોણ લેવામાં આવે, તો પણ પરિણામો સમાન રહેશે. કેન્દ્ર પરનું કુલ વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય થશે અને બાકીના કિસ્સાઓમાં વિદ્યુતક્ષેત્રના મૂલ્યો અને દિશાઓ પંચકોણના કિસ્સામાં મળ્યા તેવા જ રહેશે કારણ કે તે બધા સમિતિના નિયમોનું પાલન કરે છે.
In simple words: નિયમિત પંચકોણના કેન્દ્ર પર વિદ્યુતભારોની સમિતિને કારણે કુલ વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય થાય છે. જો એક વિદ્યુતભાર દૂર કરવામાં આવે અથવા બદલવામાં આવે, તો વિદ્યુતક્ષેત્ર તે બદલાયેલા વિદ્યુતભારના કારણે ઉદ્ભવતા ક્ષેત્ર જેટલું જ હોય છે.

🎯 Exam Tip: આવા પ્રશ્નોમાં સમિતિનો સિદ્ધાંત મુખ્ય છે. કેન્દ્ર પર લાગતા બળોની દિશાઓ અને મૂલ્યોને સમજવાથી સચોટ જવાબ આપી શકાય છે.

Deepl Long Answer Questions (LA)

 

Question 1. ઇ.સ. 1959 માં લાઇટલેટોન અને બોડી (Lyttleton and Bondi) એ એવી ભવિષ્યવાણી કરી હતી કે જો દ્રવ્ય કોઈ ચોખ્ખો (નેટ) વિદ્યુતભાર ધરાવતું હોય, તો બ્રહ્માંડના વિસ્તરણને સમજાવી શકાય છે. ધારો કે બ્રહ્માંડ હાઇડ્રોજન પરમાણુઓનું બનેલું છે, જેની સંખ્યા ઘનતા N છે અને તે અચળ જાળવી રાખવામાં આવે છે. પ્રોટોન પરનો વિદ્યુતભાર \(e_p = - (1 + y)e\) છે, જ્યાં e ઇલેક્ટ્રોનનો વિદ્યુતભાર છે.
(a) y નું ક્રાંતિક મૂલ્ય શોધો કે જેના માટે વિતરણ શરૂ થઈ શકે.
(b) દર્શાવો કે વિસ્તરણનો વેગ કેન્દ્રથી અંતરના સપ્રમાણમાં છે.

Answer:
(a) ધારો કે, વિશ્વ R ત્રિજ્યાનો ગોળો છે અને તે ગોળા પર નિયમિત રીતે વિસ્તરેલા હાઇડ્રોજન પરમાણુઓનું બનેલું છે.
- દરેક હાઇડ્રોજન પરમાણુ પરનો વિદ્યુતભાર,
\(e_{total} = e_p + e = -(1 + y)e + e = -ye = |ye|\)
- જો R અંતરે ગોળાની સપાટી પર વિદ્યુતક્ષેત્રની તીવ્રતા E હોય, તો ગૉસના નિયમ પરથી,
\( \oint \overrightarrow{\mathrm{E}} \cdot d \overrightarrow{\mathrm{S}} = \frac{q}{\varepsilon_0} \)
\( E(4\pi R^2) = \frac{\frac{4}{3} \pi R^3 N |ye|}{\varepsilon_0} \)
\( \implies E = \frac{N |ye| R}{3 \varepsilon_0} \) .............. (1)
- દરેક હાઇડ્રોજન પરમાણુનું દળ = \(m_p\) (પ્રોટોનનું દળ)
R અંતરે ગોળા પરનું ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્ર \(G_R\) છે.
\( 4\pi R^2 G_R = 4\pi G m_p (\frac{4}{3} \pi R^3 N) \)
\( \implies G_R = -\frac{4}{3} \pi G m_p N R \) .............. (2)
R અંતરે રહેલાં હાઇડ્રોજન પરમાણુ પર લાગતું વિદ્યુત બળ,
\( F_c = (ye)E = \frac{1}{3} \frac{y^2 e^2 N R}{\varepsilon_0} \) ........... (3)
- જો \(F_c > F_G\) હોય, તો વિશ્વનું વિસ્તરણ થવાનું શરૂ થાય.
વિસ્તરણ થવાનું શરૂ થાય ત્યારે,
\( F_c = F_G \)
\( \frac{1}{3} \frac{N y^2 e^2 R}{\varepsilon_0} = \frac{4}{3} \pi G m_p^2 N R \)
\( \implies y^2 = (4\pi \varepsilon_0) G \times \left(\frac{m_p}{e}\right)^2 \)
\( y^2 = 79.8 \times 10^{-38} \)
\( \implies y = \sqrt{79.8 \times 10^{-38}} \)
\( \implies y = 8.9 \times 10^{-19} \approx 1 \times 10^{-18} \)
આ ક્રાંતિક મૂલ્ય છે જેના માટે વિશ્વનું વિસ્તરણ શરૂ થઈ શકે છે.
(b) હાઇડ્રોજન પરમાણુને અનુભવાતું પરિણામી બળ,
\( F_c = F_G \)
\( \frac{1}{3} \frac{N y^2 e^2 R}{\varepsilon_0} = \frac{4}{3} \pi G m_p^2 N R \)
જો હાઈડ્રોજન પરમાણુનો પ્રવેગ \(\frac{d^2R}{dt^2}\) વડે દર્શાવીએ તો,
\( m_p \frac{d^2R}{dt^2} = F = \frac{1}{3} \frac{N y^2 e^2 R}{\varepsilon_0} - \frac{4}{3} \pi G m_p^2 N R \)
\( \frac{d^2R}{dt^2} = \left( \frac{1}{m_p} \frac{N y^2 e^2}{3 \varepsilon_0} - \frac{4}{3} \pi G m_p N \right) R \)
પ્રવેગ \(\frac{d^2R}{dt^2} = \alpha^2 R\) ને સરખાવતાં,
\( \alpha^2 = \left( \frac{1}{m_p} \frac{N y^2 e^2}{3 \varepsilon_0} - \frac{4}{3} \pi G m_p N \right) \) ... (4)
સમીકરણ (4) નો સામાન્ય ઉકેલ \(R = Ae^{\alpha t} + Be^{-\alpha t}\) છે.
પણ વિસ્તરણ થતું હોવાથી \(B = 0\)
\( \implies R = Ae^{\alpha t} \)
વિસ્તરણનો વેગ,
\( v = \frac{dR}{dt} = \frac{d}{dt}(Ae^{\alpha t}) = \alpha Ae^{\alpha t} \)
\( \implies v = \alpha R \)
આમ, વિસ્તરણનો વેગ કેન્દ્રથી અંતરના સમપ્રમાણમાં છે.
In simple words: જો બ્રહ્માંડમાં ચોખ્ખો વિદ્યુતભાર હોય, તો તે વિસ્તરી શકે છે. એક ચોક્કસ ક્રાંતિક મૂલ્ય y હોય તો વિસ્તરણ શરૂ થાય છે. આ વિસ્તરણનો વેગ કેન્દ્રથી તેના અંતરના પ્રમાણમાં હોય છે.

🎯 Exam Tip: આવા પ્રશ્નોમાં ગૉસનો નિયમ અને ગુરુત્વાકર્ષણ બળના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણો બનાવવાની ક્ષમતા મુખ્ય છે. વેગ અને પ્રવેગના સંબંધોનો ઉપયોગ કરવો પણ મહત્ત્વનો છે.

 

Question 2. R ત્રિજ્યાનો એક ગોળો વિચારો કે જેના પર વિદ્યુતભાર ઘનતા વિતરણ \(\rho(r) = kr\), r ≤ R માટે અને \(\rho(r) = 0\), r > R માટે છે.
(a) r ના બધા બિંદુઓ પાસે વિદ્યુતક્ષેત્ર શોધો.
(b) ધારો કે કવચ પરનો કુલ વિદ્યુતભાર 2e છે જ્યાં, e ઇલેક્ટ્રોનનો વિદ્યુતભાર છે. બે પ્રોટોનને ક્યાં મૂકવામાં આવે કે જેથી તે દરેક પર લાગતું બળ શૂન્ય થાય. એ ધારણા કરો કે પ્રોટોનને પ્રસ્થાપિત કરવાથી વિદ્યુતભાર વિતરણ બદલાતું નથી.

Answer:
ઉત્તર:
(a) ધારો કે, R ત્રિજ્યાવાળો ગોળો S છે અને બે ધારેલા ગોળાઓની ત્રિજ્યા \(r < R\) અને \(r > R\) છે.
હવે \(r < R\) બિંદુ માટે વિદ્યુતક્ષેત્રની તીવ્રતા, અહીં વિદ્યુતભાર ઘનતા ધન છે તેથી વિદ્યુતક્ષેત્ર ત્રિજ્યાવર્તી બહાર તરફ છે.
ગૉસના નિયમ પરથી,
\( \oint \overrightarrow{E} \cdot d\overrightarrow{S} = \frac{1}{\varepsilon_0} \int \rho dV \) [જ્યાં \(\sum q = \int \rho dV\)]
ગોળાનું કદ \(V = \frac{4}{3} \pi r^3\)
\( \implies dV = 4\pi r^2 dr \)
અને \(\rho(r) = kr \)
\( \int \rho dV = \int_0^r kr (4\pi r^2 dr) = 4\pi k \int_0^r r^3 dr = 4\pi k \left[ \frac{r^4}{4} \right]_0^r = \pi k r^4 \)
\( E(4\pi r^2) = \frac{\pi k r^4}{\varepsilon_0} \)
\( \implies E = \frac{k r^2}{4 \varepsilon_0} \)
અહીં વિદ્યુતભાર ઘનતા ધન છે તેથી વિદ્યુતક્ષેત્ર ત્રિજ્યાવર્તી બહાર તરફ છે.
હવે \(r > R\) માટે વિદ્યુતક્ષેત્રની તીવ્રતા,
\( \oint \overrightarrow{E} \cdot d\overrightarrow{S} = \frac{1}{\varepsilon_0} \int_0^R \rho dV \)
\( E(4\pi r^2) = \frac{1}{\varepsilon_0} \int_0^R kr (4\pi r^2 dr) = \frac{4\pi k}{\varepsilon_0} \int_0^R r^3 dr \)
\( = \frac{4\pi k}{\varepsilon_0} \left[ \frac{r^4}{4} \right]_0^R = \frac{\pi k R^4}{\varepsilon_0} \)
\( \implies E = \frac{k R^4}{4 \varepsilon_0 r^2} \) ... (1)
(b) સંમિતિના આધારે બે પ્રોટોન કેન્દ્રની સામસામેની બાજુએ વ્યાસ પર હોવાં જ જોઈએ.
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): આ ચિત્રમાં R ત્રિજ્યાના ગોળાનું કેન્દ્ર O છે. તેની અંદર 1 અને 2 બે પ્રોટોન દર્શાવ્યા છે, જે કેન્દ્ર O થી r અંતરે છે અને સામસામે છે. ગોળાનો કુલ વિદ્યુતભાર 2e છે.
ગોળાનો કુલ વિદ્યુતભાર,
\( q = \int_0^R \rho dV = \int_0^R kr (4\pi r^2 dr) = \pi k R^4 \)
પ્રશ્ન મુજબ, કુલ વિદ્યુતભાર \(q = 2e\)
\( \implies 2e = \pi k R^4 \)
\( \implies k = \frac{2e}{\pi R^4} \) ... (2)
- ગોળાના કેન્દ્રથી r અંતરે 1 અને 2 બિંદુઓ પાસે પ્રોટોનને જડિત કરાવવામાં આવે તો 1 આગળ પ્રોટોન પર વિદ્યુતભાર વિતરણના કારણે લાગતું બળ,
\( F_1 = eE = e \left(\frac{k r^2}{4 \varepsilon_0}\right) \) (સમીકરણ (1) અને (2) પરથી) ... (3)
1 પાસેના પ્રોટોન પર 2 પાસેના પ્રોટોન પર લાગતું અપાકર્ષણ બળ,
\( F_2 = \frac{k e^2}{(2r)^2} = \frac{e^2}{4\pi \varepsilon_0 (4r^2)} \) .............. (4)
તેથી 1 પાસેના પ્રોટોન પર લાગતું પરિણામી બળ,
\( F = F_1 + F_2 \)
\( F = \frac{e k r^2}{4 \varepsilon_0} + \frac{e^2}{16\pi \varepsilon_0 r^2} \)
સમીકરણ (2) માંથી k ની કિંમત મૂકતાં,
\( F = \frac{e (\frac{2e}{\pi R^4}) r^2}{4 \varepsilon_0} + \frac{e^2}{16\pi \varepsilon_0 r^2} \)
\( F = \frac{2e^2 r^2}{4\pi \varepsilon_0 R^4} + \frac{e^2}{16\pi \varepsilon_0 r^2} \)
હવે 1 પર રહેલાં પ્રોટોન પર પરિણામી બળ શૂન્ય છે.
\( 0 = \frac{2e^2 r^2}{4\pi \varepsilon_0 R^4} + \frac{e^2}{16\pi \varepsilon_0 r^2} \)
\( \frac{2e^2 r^2}{4\pi \varepsilon_0 R^4} = -\frac{e^2}{16\pi \varepsilon_0 r^2} \)
(આ સમીકરણમાં ધન નિશાની વિદ્યુતક્ષેત્રની દિશા દર્શાવે છે અને ઋણ નિશાની બળની દિશા દર્શાવે છે)
\( 2r^2 = -\frac{R^4}{4r^2} \)
\( 8r^4 = -R^4 \)
જેનો કોઈ વાસ્તવિક ઉકેલ નથી. આનો અર્થ એ થાય છે કે વિદ્યુતભાર વિતરણને કારણે પ્રોટોન પર લાગતું બળ અને બીજા પ્રોટોનને કારણે લાગતું અપાકર્ષણ બળ ક્યારેય એકબીજાને સંતુલિત કરતા નથી, અને તેથી બળ શૂન્ય થઈ શકતું નથી. કદાચ પ્રશ્નમાં ભૂલ છે અથવા વિધાન અલગ રીતે હોવું જોઈએ. જો વિદ્યુતભાર વિતરણ પ્રોટોનને આકર્ષતું હોય તો સંતુલન શક્ય બનશે.
In simple words: ગોળામાં વિદ્યુતભારનું વિતરણ ત્રિજ્યા સાથે બદલાય છે. ગોળાની અંદર અને બહાર વિદ્યુતક્ષેત્ર અલગ-અલગ સૂત્રોથી મળે છે. જો બે પ્રોટોન મૂકવામાં આવે, તો તેના પર લાગતા બળોનો સરવાળો શૂન્ય થવો જોઈએ, જે ગણતરી મુજબ શક્ય જણાતું નથી.

🎯 Exam Tip: ગૉસનો નિયમ અને કુલંબના નિયમનો ઉપયોગ કરીને વિદ્યુતક્ષેત્ર અને બળ શોધવું મહત્ત્વપૂર્ણ છે. વિદ્યુતભાર ઘનતા વિતરણ પર આધારિત ગણતરીઓ ધ્યાનપૂર્વક કરવી જોઈએ.

 

Question 3. બે સ્થિર, સમાન વાહક પ્લેટો (\(\alpha\) અને \(\beta\)), દરેકનું ક્ષેત્રફળ S અને અનુક્રમે -Q અને q વિદ્યુતભારિત છે. જ્યાં \(Q > q > 0\). આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ ગતિ કરવા માટે મુક્ત હોય તેવી q વિદ્યુતભાર ધરાવતી ત્રીજી સમાન પ્લેટ (\(\gamma\)) બીજી બાજુ d અંતરે મૂકેલ છે. ત્રીજી પ્લેટને મુક્ત કરતાં તે \(\beta\) પ્લેટ સાથે અથડાય (સંઘાત અનુભવે છે). ધારો કે સંઘાત સ્થિતિસ્થાપક છે અને સંઘાત સમય પ્લેટો \(\beta\) અને \(\gamma\) વચ્ચે વિદ્યુતભારના પુનઃવિતરણ માટે પર્યાપ્ત છે.

Answer:
(a) સંઘાત પહેલાં પ્લેટ \(\gamma\) પર લાગતું વિદ્યુતક્ષેત્ર શોધો.
(b) સંઘાત પછી \(\beta\) અને \(\gamma\) પ્લેટો પર વિદ્યુતભાર શોધો.
(c) સંઘાત પછી પ્લેટો \(\beta\) થી d અંતરે પ્લેટ \(\gamma\) નો વેગ શોધો.
ઉત્તર:
(a) અથડામણ પહેલાં \(\gamma\) પ્લેટ પરનું ચોખ્ખું વિદ્યુતક્ષેત્ર એ \(\alpha\) અને \(\beta\) પ્લેટના લીધે \(\gamma\) પ્લેટ પાસે મળતાં વિદ્યુતક્ષેત્રોનો સરવાળો છે.
\(\alpha\) પ્લેટના લીધે \(\gamma\) પ્લેટ પાસે વિદ્યુતક્ષેત્ર,
\( E_1 = \frac{-Q}{S(2\varepsilon_0)} \) (ડાબી તરફ)
\(\beta\) પ્લેટના લીધે \(\gamma\) પ્લેટ પાસે વિદ્યુતક્ષેત્ર,
\( E_2 = \frac{q}{S(2\varepsilon_0)} \) (જમણી તરફ)
\(\gamma\) પ્લેટ પર અથડામણ પહેલાં કુલ વિદ્યુતક્ષેત્ર
\( E = E_1 + E_2 = \frac{-Q}{S(2\varepsilon_0)} + \frac{q}{S(2\varepsilon_0)} = \frac{q-Q}{S(2\varepsilon_0)} \) (ડાબી તરફ, જો \(Q > q\))
(b) અથડામણ દરમિયાન \(\beta\) અને \(\gamma\) પ્લેટો ભેગી થઈ જાય છે. તેથી તેમનું વિદ્યુતસ્થિતિમાન સમાન.
- ધારો કે, \(\beta\) પ્લેટ પરનો વિદ્યુતભાર \(q_1\) અને \(\gamma\) પ્લેટ પરનો વિદ્યુતભાર \(q_2\) છે. આ બે પ્લેટો વચ્ચેના કોઈ બિંદુ O પાસે વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય હોવું જ જોઈએ.
\(\alpha\) પ્લેટના લીધે O પાસે વિદ્યુતક્ષેત્ર,
\( E_{\alpha} = \frac{-Q}{S(2\varepsilon_0)} \) (ડાબી તરફ)
\(\beta\) પ્લેટના લીધે O પાસે વિદ્યુતક્ષેત્ર,
\( E_{\beta} = \frac{q_1}{S(2\varepsilon_0)} \) (જમણી તરફ)
\(\gamma\) પ્લેટના લીધે O પાસે વિદ્યુતક્ષેત્ર,
\( E_{\gamma} = \frac{q_2}{S(2\varepsilon_0)} \) (ડાબી તરફ)
પરિણામી ક્ષેત્ર શૂન્ય હોવાથી \( E_{\alpha} + E_{\beta} + E_{\gamma} = 0 \)
\( \frac{-Q}{S(2\varepsilon_0)} + \frac{q_1}{S(2\varepsilon_0)} - \frac{q_2}{S(2\varepsilon_0)} = 0 \)
\( \implies -Q + q_1 - q_2 = 0 \)
\( \implies q_1 - q_2 = Q \) ... (1)
અથડામણમાં કોઈ વિદ્યુતભારનો ઘટાડો થતો નથી.
તેથી કુલ વિદ્યુતભાર \( Q_{total} = Q + q = q_1 + q_2 \) ... (2)
સમીકરણ (1) અને (2) પરથી,
\( (q_2+Q) + q_2 = Q+q \)
\( 2q_2 + Q = Q+q \)
\( 2q_2 = q \implies q_2 = \frac{q}{2} \) (\(\gamma\) પ્લેટ પરનો વિદ્યુતભાર)
અને સમીકરણ (1) પરથી,
\( q_1 = Q + q_2 = Q + \frac{q}{2} \) (\(\beta\) પ્લેટ પરનો વિદ્યુતભાર)
(c) અથડામણ પછી પ્લેટ \(\beta\) થી d અંતરે,
ધારો કે, \(\gamma\) પ્લેટનો વેગ v છે. અથડામણ પછી \(\gamma\) પ્લેટ પાસે વિદ્યુતક્ષેત્ર,
\( E_{\gamma}' = \frac{-Q}{2\varepsilon_0 S} + \frac{Q+q/2}{2\varepsilon_0 S} - \frac{q/2}{2\varepsilon_0 S} = \frac{-Q + Q+q/2 - q/2}{2\varepsilon_0 S} = 0 \)
(અહીં \(\gamma\) પ્લેટ પરનો વિદ્યુતભાર \(q_2\) છે. \(E_2\) માં \(q_1\) અને \(E_3\) માં \(q_2\) લેતા.)
અથડામણ પહેલાં \(\gamma\) પ્લેટ પરનું વિદ્યુતક્ષેત્ર,
\( E_{initial} = \frac{Q-q}{2\varepsilon_0 S} \)
અથડામણ પહેલાં \(\gamma\) પ્લેટ પર લાગતું બળ,
\( F = q E_{initial} = q \frac{Q-q}{2\varepsilon_0 S} \)
\(\gamma\) પ્લેટની ગતિઊર્જા, કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય પરથી,
\( \frac{1}{2}mv^2 = \text{કાર્ય} \)
જ્યાં કાર્ય = બળ \(\times\) અંતર
\( \text{કાર્ય} = F \times d = \frac{q(Q-q)}{2\varepsilon_0 S} d \)
\( \frac{1}{2}mv^2 = \frac{q(Q-q)}{2\varepsilon_0 S} d \)
\( \implies v^2 = \frac{q(Q-q)d}{m\varepsilon_0 S} \)
\( \implies v = \sqrt{\frac{q(Q-q)d}{m\varepsilon_0 S}} \)
In simple words: અથડામણ પહેલાં, ત્રીજી પ્લેટ પરનું વિદ્યુતક્ષેત્ર પ્રથમ બે પ્લેટોના વિદ્યુતભારો પર આધાર રાખે છે. અથડામણ પછી, વિદ્યુતભારો ફરીથી વહેંચાઈ જાય છે અને આ નવા વિદ્યુતભારોના આધારે વેગ નક્કી થાય છે.

🎯 Exam Tip: આવા પ્રશ્નોમાં ગૉસનો નિયમ, વિદ્યુતક્ષેત્રની ગણતરી, વિદ્યુતભાર સંરક્ષણ, અને કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેયનો સમન્વય સમજવો જરૂરી છે.

 

Question 4. SI/mksA એકમ પદ્ધતિઓ સિવાય માપનની એક અન્ય ઉપયોગી પદ્ધતિ છે જેને cgs (સેમી-ગ્રામ-સેકન્ડ) પદ્ધતિ કહે છે. આ પદ્ધતિ અનુસાર કુલંબનો નિયમ આ મુજબ આપેલ છે : \( \overrightarrow{F} = \frac{Q q}{r^2} \cdot \hat{r} \) જ્યાં અંતર r સેમીમાં (= \(10^{-2}\) m) માપેલ છે. F ડાઇનમાં (= \(10^{-5}\) N) અને વિદ્યુતભાર ઇલેક્ટ્રોસ્ટેટિક યુનિટ (es unit)માં છે.
અહીં, વિદ્યુતભારનો 1 es યુનિટ = \(\frac{1}{3} \times 10^{-9}\) C છે. વાસ્તવમાં સંખ્યા [3] પ્રકાશની શૂન્યાવકાશમાં ગતિના લીધે આવે છે. જેની વાસ્તવિક કિંમત = \(2.99792458 \times 10^8\) m/s છે અને c નું સંક્વિંટ મૂલ્ય c = [3] \(10^8\) m/s છે.
(i) દર્શાવો કે કુલંબના નિયમ અનુસાર cgs પદ્ધતિમાં 1esu વિદ્યુતભાર = 1 (ડાઇન)\(^{1/2}\) સેમી દ્રવ્યમાન M, લંબાઈ L અને સમય T ના પદમાં વિદ્યુતભારનાં પરિમાણો મેળવો. દર્શાવો કે તે M અને L ની અપૂર્ણાંક ઘાતોના પદમાં રજૂ કરી શકાય છે.
(ii) 1esu વિદ્યુતભાર = xC લખો. જ્યાં x એ પરિમાણરહિત સંખ્યા છે. દર્શાવો કે તેના દ્વારા નીચે મુજબનું પરિણામ મળે છે.

Answer:
ઉત્તર:
(i) કુલંબના નિયમ અનુસાર,
\( F = \frac{q_1 q_2}{r^2} \) (cgs પદ્ધતિમાં, જ્યાં \(q_1 = q_2 = 1\) esu)
\( 1 \text{ ડાઇન} = \frac{(1 \text{ esu})^2}{(1 \text{ cm})^2} \)
\( \implies 1 \text{ esu} = \sqrt{1 \text{ ડાઇન}} \times 1 \text{ cm} = (1 \text{ ડાઇન})^{1/2} \times 1 \text{ cm} \)
વિદ્યુતભારનું પારિમાણિક સૂત્ર:
\( [\text{charge}] = [\text{force}]^{1/2} [\text{length}]^1 \)
\( [\text{charge}] = [MLT^{-2}]^{1/2} [L]^1 = [M^{1/2} L^{3/2} T^{-1}] \)
આમ, esu વિદ્યુતભારનું પારિમાણિક સૂત્ર M નો \(1/2\) અને L નો \(3/2\) ઘાત અપૂર્ણાંક છે.
(ii) આપેલ છે કે 1 esu વિદ્યુતભાર = \(x C\)
બે 1 esu વિદ્યુતભારને 1 cm અંતરે રાખતાં તેમની વચ્ચે લાગતું બળ 1 ડાઇન (= \(10^{-5}\) N) છે.
\( F = \frac{(x C)^2}{(10^{-2} m)^2} \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \)
\( 10^{-5} N = \frac{x^2 C^2}{10^{-4} m^2} \times (9 \times 10^9 \frac{Nm^2}{C^2}) \)
\( 10^{-5} = x^2 \times 10^4 \times 9 \times 10^9 \)
\( 10^{-5} = x^2 \times 9 \times 10^{13} \)
\( x^2 = \frac{10^{-5}}{9 \times 10^{13}} = \frac{1}{9 \times 10^{18}} \)
\( x = \frac{1}{3 \times 10^9} \)
આમ, \(1 \text{ esu} = \frac{1}{3 \times 10^9} C\).
અહીં, [3] એ પ્રકાશની ઝડપના મૂલ્યને લગભગ દર્શાવે છે.
જો \(c = 2.99792458 \times 10^8 \text{ m/s}\), તો \(x = \frac{1}{2.99792458 \times 10^9}\).
\( \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} = \frac{x^2 Nm^2}{C^2} \)
\( \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} = (2.99792458)^2 \times 10^9 \frac{Nm^2}{C^2} \)
In simple words: cgs પદ્ધતિમાં વિદ્યુતભારના એકમ (esu) ને બળ અને લંબાઈના એકમો પરથી વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. આ એકમ SI એકમ (કુલંબ) સાથે પ્રકાશની ઝડપના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં સંબંધ ધરાવે છે.

🎯 Exam Tip: એકમ પદ્ધતિઓ વચ્ચેના રૂપાંતરણ અને પારિમાણિક વિશ્લેષણના પ્રશ્નોમાં એકમોની ચોકસાઈ અને ગાણિતિક ગણતરીઓ ખૂબ મહત્વની છે.

 

Question 5. દરેકનો વિદ્યુતભાર -q હોય તેવા બે વિદ્યુતભારો એકબીજાથી 2d અંતરે સ્થિર રાખેલ છે. આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ તેમના મધ્યબિંદુ પર રહેલા m દળના કોઈ બીજા વિદ્યુતભાર q ને બે વિદ્યુતભારોને જોડતી રેખાને લંબ નાનું સ્થાનાંતર x (x << d) કરાવવામાં આવે છે. દર્શાવો કે વિદ્યુતભાર સરળ આવર્તગતિ કરશે. તેનો આવર્તકાળ \(T = \left[\frac{8 \pi^3 \varepsilon_0 m d^3}{q^2}\right]^{1 / 2}\) હશે.

Answer:
ઉત્તર:
ધારો કે આકૃતિને ધ્યાનપૂર્વક જોતાં, A અને B પર -q વિદ્યુતભારો છે. અને O એ AB નું મધ્યબિંદુ છે તથા P એ અંતર x છે.
\(\text{AB} = \text{AO} + \text{OB} = d + d = 2d\)
x << d છે અને \(\angle APO = \theta\) છે.
q વિદ્યુતભારનું દળ m છે.
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): આકૃતિમાં બે -q વિદ્યુતભારો A અને B બિંદુઓ પર 2d અંતરે મૂક્યા છે. તેમના મધ્યબિંદુ O થી ઉપર x અંતરે P બિંદુ પર એક +q વિદ્યુતભાર મૂક્યો છે. A અને P વચ્ચેનું અંતર r છે. \(\theta\) એ \(\angle APO\) છે. Fsinsin અને Fcos\(\theta\) બળો દર્શાવ્યા છે.
- A અને B પરના વિદ્યુતભારો અને P પરના વિદ્યુતભાર વચ્ચે લાગતું P પાસે આકર્ષણ બળ,
\( F = \frac{k(q)(-q)}{r^2} = -\frac{kq^2}{r^2} \)
જ્યાં \(r = \text{AP} = \text{BP} = \sqrt{d^2+x^2}\)
- બળના સમક્ષિતિજ ઘટકો (\(F\sin\theta\)) સમાન મૂલ્યના અને પરસ્પર વિરુદ્ધ દિશામાં હોવાથી તેમનું પરિણામી બળ શૂન્ય થશે. અને ઊર્ધ્વદિશામાં બળના ઘટકો એક જ દિશામાં હોવાથી,
\( F_{net} = 2F\cos\theta \)
\( F_{net} = 2 \frac{kq^2}{r^2} \cos\theta \)
આકૃતિ પરથી \(\cos\theta = \frac{x}{r}\)
\( F_{net} = 2 \frac{kq^2}{r^2} \frac{x}{r} = \frac{2kq^2 x}{r^3} \)
\( F_{net} = \frac{2kq^2 x}{(d^2+x^2)^{3/2}} \)
જો \(x \ll d\) હોય, તો \(x\) ને અવગણતાં,
\( F_{net} = \frac{2kq^2 x}{(d^2)^{3/2}} = \frac{2kq^2 x}{d^3} \)
અહીં, \(F_{net}\) એ સ્થાનાંતર x ના સમપ્રમાણમાં છે અને બળની દિશા O બિંદુ તરફ છે. તેથી q વિદ્યુતભારની ગતિ સરળ આવર્તગતિ (SHM) હશે.
આવર્તકાળ \(T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{K}}\)
જ્યાં \(K = \frac{2kq^2}{d^3}\)
\( T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{\frac{2kq^2}{d^3}}} = 2\pi \sqrt{\frac{m d^3}{2kq^2}} \)
\( k = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \) મૂકતાં,
\( T = 2\pi \sqrt{\frac{m d^3}{2 \left(\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\right) q^2}} = 2\pi \sqrt{\frac{m d^3 4\pi\varepsilon_0}{2 q^2}} \)
\( T = 2\pi \sqrt{\frac{2 \pi \varepsilon_0 m d^3}{q^2}} \)
\( T = \sqrt{4\pi^2 \frac{2 \pi \varepsilon_0 m d^3}{q^2}} = \sqrt{\frac{8 \pi^3 \varepsilon_0 m d^3}{q^2}} \)
આવર્તકાળ \( T = \left[\frac{8 \pi^3 \varepsilon_0 m d^3}{q^2}\right]^{1 / 2} \)
In simple words: જ્યારે એક વિદ્યુતભારને બે અન્ય સ્થિર વિદ્યુતભારોની વચ્ચેથી લંબરૂપે ખસેડવામાં આવે છે, ત્યારે તેના પર લાગતું બળ સ્થાનાંતરના પ્રમાણમાં હોય છે, જેના કારણે તે સરળ આવર્તગતિ કરે છે. તેનો આવર્તકાળ દળ, અંતર અને વિદ્યુતભારોના મૂલ્ય પર આધાર રાખે છે.

🎯 Exam Tip: સરળ આવર્તગતિના પ્રશ્નોમાં પુનઃસ્થાપક બળને ઓળખવું અને તેને F = -kx સાથે સરખાવવું, તેમજ આવર્તકાળ માટેનું સૂત્ર યોગ્ય રીતે લાગુ પાડવું એ મહત્ત્વપૂર્ણ છે.

 

Question 6. R ત્રિજ્યાની એક રિંગ ઉપર -Q જેટલો કુલ વિધુતભાર સમાન રીતે વિપરીત કરેલ છે. m દળના એક નાના પરીક્ષણ વિધુતભાર +q ને રિંગના કેન્દ્ર પર મૂકી ધીરેથી રિંગની અક્ષ તરફ ધકેલવામાં આવે છે.
(a) દર્શાવો કે કણ સરળ આવર્ત દોલન કરે છે.
(b) તેનો આવર્તકાળ મેળવો.

Answer:
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): આકૃતિ એક R ત્રિજ્યાની વીંટી દર્શાવે છે જેના પર કુલ -Q વિદ્યુતભાર સમાન રીતે વિતરિત થયેલ છે. તેના કેન્દ્ર O થી x અંતરે અક્ષ પર +q વિદ્યુતભાર મૂકવામાં આવે છે. વીંટીના નાના વિદ્યુતભાર ખંડ (-dQ) ને કારણે +q પર લાગતા બળ dF, અને તેના ઘટકો dFsine અને dFcosθ દર્શાવવામાં આવ્યા છે.
(a) ધારો કે, આકૃતિને ધ્યાનપૂર્વક જોતાં, A અને B પર -q વિદ્યુતભારો છે. અને O એ AB નું મધ્યબિંદુ છે તથા PO એ અંતર x છે.
\( \therefore \) AB = AO + OB
= d + d
= 2d
− x < d છે અને \( \angle APO = \theta \) છે.
– q વિદ્યુતભારનું દળ m
– A અને B પરના વિદ્યુતભારો અને P પરના વિદ્યુતભાર વચ્ચે લાગતું P પાસે આકર્ષણ બળ,
\( F = \frac{k(q)(q)}{r^2} \)
જ્યાં \( r = AP = BP \)
– બળના સમક્ષિતિજ ઘટકો \( (F \sin \theta) \) સમાન મૂલ્યના અને પરસ્પર વિરુદ્ધ દિશામાં હોવાથી તેમનું પરિણામી બળ શૂન્ય. અને અધોદિશામાં બળના ઘટકો એક જ દિશામાં હોવાથી,
\( F' = 2 F \cos \theta \)
\( = \frac{2 k q^2}{r^2} \cos \theta \)
પણ આકૃતિ પરથી \( r = \sqrt{d^2+x^2} \) અને \( \cos \theta = \frac{x}{r} \)
\( \therefore F' = \frac{2kq^2}{(d^2+x^2)} \cdot \frac{x}{(d^2+x^2)^{1/2}} \)
\( = \frac{2kq^2x}{(d^2+x^2)^{3/2}} \)
જો \( x << d \) હોય, તો \( x \) ને અવગણતાં,
\( F' = \frac{2kq^2x}{d^3} \) ...(1)
\( F' = Kx \)
જ્યાં \( K = \frac{2kq^2}{d^3} \) અચળ
અર્થાત +q વિદ્યુતભાર પર લાગતું બળ એ સ્થાનાંતરના સમપ્રમાણમાં છે અને બળની દિશા O બિંદુ તરફ છે. તેથી q વિદ્યુતભારની ગતિ સરળ આવર્ત ગતિ હોઈ શકે છે. તેનો કોણીય વેગ,
\( \omega = \sqrt{\frac{K}{m}} \)
\( \therefore \frac{2\pi}{T} = \sqrt{\frac{K}{m}} \)
\( \therefore T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{K}} \)
\( K = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \cdot \frac{2q^2}{d^3} \) મૂકતાં,
\( T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{\frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \cdot \frac{2q^2}{d^3}}} \)
\( \therefore T = 2\pi \sqrt{\frac{4\pi\varepsilon_0md^3}{2q^2}} \)
\( \therefore T = 2\pi \sqrt{\frac{8\pi^3\varepsilon_0md^3}{q^2}} \)
\( \therefore T = \left[\frac{8\pi^3\varepsilon_0md^3}{q^2}\right]^{1/2} \)
In simple words: જ્યારે રિંગ પરના વિદ્યુતભારને કારણે પરીક્ષણ વિદ્યુતભાર પર લાગતું બળ તેના સ્થાનાંતરના પ્રમાણમાં હોય અને વિરુદ્ધ દિશામાં હોય, ત્યારે તે સરળ આવર્ત ગતિ કરે છે. આ બળના આધારે સરળ આવર્ત ગતિનો આવર્તકાળ ગણવામાં આવે છે.

🎯 Exam Tip: ગતિની દિશા, બળના ઘટકો અને અંતિમ સૂત્રની યોગ્યતા પર ધ્યાન આપો. MathJax ગણતરીમાં ચોકસાઈ રાખવી જરૂરી છે.