GSEB Class 12 Maths Solutions Chapter 7 સંકલન Exercise 7.7

પ્રશનો 1 થી 9 માં આપેલાં વિધેયોના સંકલિત મેળવો :

Question 1. \( \sqrt{4-x^2} \)
Answer:આપેલ સંકલન છે \( I = \int \sqrt{4-x^2} \, dx \). આને \( I = \int \sqrt{(2)^2 - x^2} \, dx \) તરીકે લખી શકાય છે. સૂત્ર \( \int \sqrt{a^2-x^2} \, dx = \frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2} + \frac{a^2}{2}\sin^{-1}\left(\frac{x}{a}\right) + c \) નો ઉપયોગ કરતા, જ્યાં \( a = 2 \).
\( \implies I = \frac{x}{2}\sqrt{(2)^2 - x^2} + \frac{(2)^2}{2}\sin^{-1}\left(\frac{x}{2}\right) + c \)
\( \implies I = \frac{x}{2}\sqrt{4 - x^2} + \frac{4}{2}\sin^{-1}\left(\frac{x}{2}\right) + c \)
\( \implies I = \frac{x}{2}\sqrt{4 - x^2} + 2\sin^{-1}\left(\frac{x}{2}\right) + c \)
In simple words: આપેલ પ્રશ્નમાં આપણે વર્ગમૂળની અંદર \(4 - x^2\) નું સંકલન શોધવાનું છે. આ માટે, આપણે એક ખાસ ગણિતનું સૂત્ર વાપરીએ છીએ જે \( \sqrt{a^2 - x^2} \) જેવા સ્વરૂપ માટે હોય છે. અહીં \(a\) ની કિંમત 2 છે. સૂત્રમાં કિંમતો મૂકીને, આપણને અંતિમ જવાબ મળે છે.

Exam Tip: Remember the integral formula for \( \sqrt{a^2-x^2} \) as it is a standard result that frequently appears in integration problems. Identify the value of 'a' correctly from the given expression.

Question 2. \( \sqrt{1-4 x^2} \)
Answer:આપેલ સંકલન છે \( I = \int \sqrt{1-4x^2} \, dx \). આપણે પહેલા \( 4x^2 \) માંથી 4 ને સામાન્ય કાઢીએ છીએ જેથી તે પ્રમાણભૂત સ્વરૂપ સાથે મેળ ખાય:
\( \implies I = \int \sqrt{4\left(\frac{1}{4}-x^2\right)} \, dx \)
\( \implies I = \int 2\sqrt{\frac{1}{4}-x^2} \, dx \)
\( \implies I = 2 \int \sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2 - x^2} \, dx \) સૂત્ર \( \int \sqrt{a^2-x^2} \, dx = \frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2} + \frac{a^2}{2}\sin^{-1}\left(\frac{x}{a}\right) + c \) નો ઉપયોગ કરતા, જ્યાં \( a = \frac{1}{2} \).
\( \implies I = 2 \left[ \frac{x}{2}\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2 - x^2} + \frac{\left(\frac{1}{2}\right)^2}{2}\sin^{-1}\left(\frac{x}{\frac{1}{2}}\right) \right] + c \)
\( \implies I = 2 \left[ \frac{x}{2}\sqrt{\frac{1}{4} - x^2} + \frac{\frac{1}{4}}{2}\sin^{-1}(2x) \right] + c \)
\( \implies I = 2 \left[ \frac{x}{2}\sqrt{\frac{1-4x^2}{4}} + \frac{1}{8}\sin^{-1}(2x) \right] + c \)
\( \implies I = 2 \left[ \frac{x}{2} \cdot \frac{\sqrt{1-4x^2}}{2} + \frac{1}{8}\sin^{-1}(2x) \right] + c \)
\( \implies I = 2 \left[ \frac{x}{4}\sqrt{1-4x^2} + \frac{1}{8}\sin^{-1}(2x) \right] + c \)
\( \implies I = \frac{x}{2}\sqrt{1-4x^2} + \frac{1}{4}\sin^{-1}(2x) + c \)
In simple words: આપણે \( \sqrt{1-4x^2} \) નું સંકલન કરવું છે. પહેલા, 4 ને સામાન્ય કાઢીને તેને \( \sqrt{a^2 - x^2} \) સ્વરૂપમાં બદલીએ છીએ, જ્યાં \(a\) ની કિંમત \(1/2\) છે. પછી, સંકલનનું જાણીતું સૂત્ર વાપરીને આપણે પગલું-દર-પગલું ગણતરી કરીએ છીએ અને અંતિમ પરિણામ મેળવીએ છીએ.

Exam Tip: When the coefficient of \( x^2 \) is not 1, factor it out carefully to transform the expression into a standard integration form. Remember to adjust the constant 'a' accordingly.

Question 3. \( \sqrt{x^2+4x+6} \)
Answer:આપેલ સંકલન છે \( I = \int \sqrt{x^2+4x+6} \, dx \). આને ઉકેલવા માટે, આપણે વર્ગમૂળની અંદરના પદનો પૂર્ણ વર્ગ બનાવીએ છીએ:
\( x^2+4x+6 = (x^2+4x+4) + 2 = (x+2)^2 + (\sqrt{2})^2 \) આથી, સંકલન \( I = \int \sqrt{(x+2)^2 + (\sqrt{2})^2} \, dx \) બને છે. સૂત્ર \( \int \sqrt{x^2+a^2} \, dx = \frac{x}{2}\sqrt{x^2+a^2} + \frac{a^2}{2}\log\left|x+\sqrt{x^2+a^2}\right| + c \) નો ઉપયોગ કરતા. અહીં, \( x \) ને \( (x+2) \) દ્વારા અને \( a = \sqrt{2} \) દ્વારા બદલવામાં આવે છે.
\( \implies I = \frac{x+2}{2}\sqrt{(x+2)^2 + (\sqrt{2})^2} + \frac{(\sqrt{2})^2}{2}\log\left|(x+2)+\sqrt{(x+2)^2 + (\sqrt{2})^2}\right| + c \)
\( \implies I = \frac{x+2}{2}\sqrt{x^2+4x+4+2} + \frac{2}{2}\log\left|(x+2)+\sqrt{x^2+4x+4+2}\right| + c \)
\( \implies I = \frac{x+2}{2}\sqrt{x^2+4x+6} + \log\left|(x+2)+\sqrt{x^2+4x+6}\right| + c \)
In simple words: આપણને \( \sqrt{x^2+4x+6} \) નું સંકલન કરવાનું છે. પહેલા, આપણે વર્ગમૂળની અંદરના પદનો પૂર્ણ વર્ગ બનાવીએ છીએ, જેથી તે \( (x+2)^2 + (\sqrt{2})^2 \) બને. પછી, આપણે \( \sqrt{x^2+a^2} \) માટેના સંકલન સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ, જ્યાં \(x\) ને બદલે \(x+2\) અને \(a\) ને બદલે \( \sqrt{2} \) છે. સૂત્રમાં કિંમતો મૂકવાથી આપણને અંતિમ ઉકેલ મળે છે.

Exam Tip: For quadratic expressions under a square root, always complete the square to transform them into standard forms like \( x^2+a^2 \), \( x^2-a^2 \), or \( a^2-x^2 \). This simplifies the integration process by allowing the use of direct formulas.

Question 4. \( \sqrt{x^2+4x+1} \)
Answer:આપેલ સંકલન છે \( I = \int \sqrt{x^2+4x+1} \, dx \). આને ઉકેલવા માટે, આપણે વર્ગમૂળની અંદરના પદનો પૂર્ણ વર્ગ બનાવીએ છીએ:
\( x^2+4x+1 = (x^2+4x+4) - 3 = (x+2)^2 - (\sqrt{3})^2 \) આથી, સંકલન \( I = \int \sqrt{(x+2)^2 - (\sqrt{3})^2} \, dx \) બને છે. સૂત્ર \( \int \sqrt{x^2-a^2} \, dx = \frac{x}{2}\sqrt{x^2-a^2} - \frac{a^2}{2}\log\left|x+\sqrt{x^2-a^2}\right| + c \) નો ઉપયોગ કરતા. અહીં, \( x \) ને \( (x+2) \) દ્વારા અને \( a = \sqrt{3} \) દ્વારા બદલવામાં આવે છે.
\( \implies I = \frac{x+2}{2}\sqrt{(x+2)^2 - (\sqrt{3})^2} - \frac{(\sqrt{3})^2}{2}\log\left|(x+2)+\sqrt{(x+2)^2 - (\sqrt{3})^2}\right| + c \)
\( \implies I = \frac{x+2}{2}\sqrt{x^2+4x+4-3} - \frac{3}{2}\log\left|(x+2)+\sqrt{x^2+4x+4-3}\right| + c \)
\( \implies I = \frac{x+2}{2}\sqrt{x^2+4x+1} - \frac{3}{2}\log\left|(x+2)+\sqrt{x^2+4x+1}\right| + c \)
In simple words: આપણે \( \sqrt{x^2+4x+1} \) નું સંકલન કરવું છે. સૌપ્રથમ, આપણે વર્ગમૂળની અંદરના પદને પૂર્ણ વર્ગ બનાવીએ છીએ, જેથી તે \( (x+2)^2 - (\sqrt{3})^2 \) બને. પછી, આપણે \( \sqrt{x^2-a^2} \) માટેના સંકલન સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ, જ્યાં \(x\) ને બદલે \(x+2\) અને \(a\) ને બદલે \( \sqrt{3} \) છે. સૂત્રમાં કિંમતો મૂકીને આપણે અંતિમ ઉકેલ મેળવીએ છીએ.

Exam Tip: Pay close attention to the sign of \( a^2 \) after completing the square. This determines whether you use the \( \sqrt{x^2+a^2} \) or \( \sqrt{x^2-a^2} \) formula, which have different log terms.

Question 5. \( \sqrt{1-4 x-x^2} \)
Answer:આપેલ સંકલન છે \( I = \int \sqrt{1-4x-x^2} \, dx \). આને ઉકેલવા માટે, આપણે વર્ગમૂળની અંદરના પદનો પૂર્ણ વર્ગ બનાવીએ છીએ, જેમાં ઋણ નિશાનીને સામાન્ય કાઢીને:
\( 1-4x-x^2 = 1 - (x^2+4x) = 1 - (x^2+4x+4-4) = 1 - ((x+2)^2 - 4) \)
\( = 1 - (x+2)^2 + 4 = 5 - (x+2)^2 = (\sqrt{5})^2 - (x+2)^2 \) આથી, સંકલન \( I = \int \sqrt{(\sqrt{5})^2 - (x+2)^2} \, dx \) બને છે. સૂત્ર \( \int \sqrt{a^2-x^2} \, dx = \frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2} + \frac{a^2}{2}\sin^{-1}\left(\frac{x}{a}\right) + c \) નો ઉપયોગ કરતા. અહીં, \( x \) ને \( (x+2) \) દ્વારા અને \( a = \sqrt{5} \) દ્વારા બદલવામાં આવે છે.
\( \implies I = \frac{x+2}{2}\sqrt{(\sqrt{5})^2 - (x+2)^2} + \frac{(\sqrt{5})^2}{2}\sin^{-1}\left(\frac{x+2}{\sqrt{5}}\right) + c \)
\( \implies I = \frac{x+2}{2}\sqrt{5 - (x^2+4x+4)} + \frac{5}{2}\sin^{-1}\left(\frac{x+2}{\sqrt{5}}\right) + c \)
\( \implies I = \frac{x+2}{2}\sqrt{1-4x-x^2} + \frac{5}{2}\sin^{-1}\left(\frac{x+2}{\sqrt{5}}\right) + c \)
In simple words: આપણે \( \sqrt{1-4x-x^2} \) નું સંકલન કરવું છે. પહેલા, આપણે વર્ગમૂળની અંદરના પદને પૂર્ણ વર્ગ બનાવીએ છીએ, જેમાં ઋણ નિશાનીને સામાન્ય કાઢીને \( (\sqrt{5})^2 - (x+2)^2 \) સ્વરૂપમાં લાવવામાં આવે છે. પછી, આપણે \( \sqrt{a^2-x^2} \) માટેના સંકલન સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ, જ્યાં \(x\) ને બદલે \(x+2\) અને \(a\) ને બદલે \( \sqrt{5} \) છે. સૂત્રમાં કિંમતો મૂકવાથી આપણને અંતિમ ઉકેલ મળે છે.

Exam Tip: When \( x^2 \) has a negative coefficient, factor out the negative sign before completing the square to transform the expression into the \( a^2-x^2 \) form, making it suitable for the arcsin integral formula.

Question 6. \( \sqrt{x^2+4x-5} \)
Answer:આપેલ સંકલન છે \( I = \int \sqrt{x^2+4x-5} \, dx \). આને ઉકેલવા માટે, આપણે વર્ગમૂળની અંદરના પદનો પૂર્ણ વર્ગ બનાવીએ છીએ:
\( x^2+4x-5 = (x^2+4x+4) - 9 = (x+2)^2 - (3)^2 \) આથી, સંકલન \( I = \int \sqrt{(x+2)^2 - (3)^2} \, dx \) બને છે. સૂત્ર \( \int \sqrt{x^2-a^2} \, dx = \frac{x}{2}\sqrt{x^2-a^2} - \frac{a^2}{2}\log\left|x+\sqrt{x^2-a^2}\right| + c \) નો ઉપયોગ કરતા. અહીં, \( x \) ને \( (x+2) \) દ્વારા અને \( a = 3 \) દ્વારા બદલવામાં આવે છે.
\( \implies I = \frac{x+2}{2}\sqrt{(x+2)^2 - (3)^2} - \frac{(3)^2}{2}\log\left|(x+2)+\sqrt{(x+2)^2 - (3)^2}\right| + c \)
\( \implies I = \frac{x+2}{2}\sqrt{x^2+4x+4-9} - \frac{9}{2}\log\left|(x+2)+\sqrt{x^2+4x+4-9}\right| + c \)
\( \implies I = \frac{x+2}{2}\sqrt{x^2+4x-5} - \frac{9}{2}\log\left|(x+2)+\sqrt{x^2+4x-5}\right| + c \)
In simple words: આપણે \( \sqrt{x^2+4x-5} \) નું સંકલન કરવું છે. સૌપ્રથમ, આપણે વર્ગમૂળની અંદરના પદને પૂર્ણ વર્ગ બનાવીએ છીએ, જેથી તે \( (x+2)^2 - (3)^2 \) બને. પછી, આપણે \( \sqrt{x^2-a^2} \) માટેના સંકલન સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ, જ્યાં \(x\) ને બદલે \(x+2\) અને \(a\) ને બદલે 3 છે. સૂત્રમાં કિંમતો મૂકીને આપણે અંતિમ ઉકેલ મેળવીએ છીએ.

Exam Tip: Remember that completing the square is a fundamental technique for integrating expressions involving quadratic terms. Always double-check your arithmetic, especially when dealing with the constant term, to avoid errors.

Question 7. \( \sqrt{1+3 x-x^2} \)
Answer:આપેલ સંકલન છે \( I = \int \sqrt{1+3x-x^2} \, dx \). આને ઉકેલવા માટે, આપણે વર્ગમૂળની અંદરના પદનો પૂર્ણ વર્ગ બનાવીએ છીએ, જેમાં ઋણ નિશાનીને સામાન્ય કાઢીને:
\( 1+3x-x^2 = 1 - (x^2-3x) \) \( x^2-3x \) માટે પૂર્ણ વર્ગ બનાવવા માટે, આપણે \( \left(\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{9}{4} \) ઉમેરીએ અને બાદ કરીએ:
\( x^2-3x = \left(x^2-3x+\frac{9}{4}\right) - \frac{9}{4} = \left(x-\frac{3}{2}\right)^2 - \frac{9}{4} \) આથી, \( 1+3x-x^2 = 1 - \left[ \left(x-\frac{3}{2}\right)^2 - \frac{9}{4} \right] = 1 - \left(x-\frac{3}{2}\right)^2 + \frac{9}{4} \)
\( = \frac{4+9}{4} - \left(x-\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{13}{4} - \left(x-\frac{3}{2}\right)^2 = \left(\frac{\sqrt{13}}{2}\right)^2 - \left(x-\frac{3}{2}\right)^2 \) આમ, સંકલન \( I = \int \sqrt{\left(\frac{\sqrt{13}}{2}\right)^2 - \left(x-\frac{3}{2}\right)^2} \, dx \) બને છે. સૂત્ર \( \int \sqrt{a^2-x^2} \, dx = \frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2} + \frac{a^2}{2}\sin^{-1}\left(\frac{x}{a}\right) + c \) નો ઉપયોગ કરતા. અહીં, \( x \) ને \( \left(x-\frac{3}{2}\right) \) દ્વારા અને \( a = \frac{\sqrt{13}}{2} \) દ્વારા બદલવામાં આવે છે.
\( \implies I = \frac{x-\frac{3}{2}}{2}\sqrt{\left(\frac{\sqrt{13}}{2}\right)^2 - \left(x-\frac{3}{2}\right)^2} + \frac{\left(\frac{\sqrt{13}}{2}\right)^2}{2}\sin^{-1}\left(\frac{x-\frac{3}{2}}{\frac{\sqrt{13}}{2}}\right) + c \)
\( \implies I = \frac{2x-3}{4}\sqrt{\frac{13}{4} - \left(x^2-3x+\frac{9}{4}\right)} + \frac{\frac{13}{4}}{2}\sin^{-1}\left(\frac{\frac{2x-3}{2}}{\frac{\sqrt{13}}{2}}\right) + c \)
\( \implies I = \frac{2x-3}{4}\sqrt{\frac{13}{4} - x^2+3x-\frac{9}{4}} + \frac{13}{8}\sin^{-1}\left(\frac{2x-3}{\sqrt{13}}\right) + c \)
\( \implies I = \frac{2x-3}{4}\sqrt{1+3x-x^2} + \frac{13}{8}\sin^{-1}\left(\frac{2x-3}{\sqrt{13}}\right) + c \)
In simple words: આપણે \( \sqrt{1+3x-x^2} \) નું સંકલન કરવું છે. પ્રથમ, આપણે વર્ગમૂળની અંદરના પદને પૂર્ણ વર્ગ બનાવીએ છીએ, જેમાં ઋણ નિશાની બહાર કાઢીને તેને \( a^2 - x^2 \) સ્વરૂપમાં લાવવામાં આવે છે. અહીં \(x\) ને બદલે \( \left(x-\frac{3}{2}\right) \) અને \(a\) ને બદલે \( \frac{\sqrt{13}}{2} \) છે. પછી, આપણે \( \sqrt{a^2-x^2} \) માટેના સંકલન સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ગણતરી કરીએ છીએ અને અંતિમ ઉકેલ મેળવીએ છીએ.

Exam Tip: When completing the square for expressions with a negative \( x^2 \) coefficient, be careful with signs. Factor out the negative, complete the square inside, then redistribute the negative to get the \( a^2-x^2 \) form correctly.

Question 8. \( \sqrt{x^2+3x} \)
Answer:આપેલ સંકલન છે \( I = \int \sqrt{x^2+3x} \, dx \). આને ઉકેલવા માટે, આપણે વર્ગમૂળની અંદરના પદનો પૂર્ણ વર્ગ બનાવીએ છીએ:
\( x^2+3x = x^2+3x+\left(\frac{3}{2}\right)^2 - \left(\frac{3}{2}\right)^2 = \left(x+\frac{3}{2}\right)^2 - \left(\frac{3}{2}\right)^2 \) આથી, સંકલન \( I = \int \sqrt{\left(x+\frac{3}{2}\right)^2 - \left(\frac{3}{2}\right)^2} \, dx \) બને છે. સૂત્ર \( \int \sqrt{x^2-a^2} \, dx = \frac{x}{2}\sqrt{x^2-a^2} - \frac{a^2}{2}\log\left|x+\sqrt{x^2-a^2}\right| + c \) નો ઉપયોગ કરતા. અહીં, \( x \) ને \( \left(x+\frac{3}{2}\right) \) દ્વારા અને \( a = \frac{3}{2} \) દ્વારા બદલવામાં આવે છે.
\( \implies I = \frac{x+\frac{3}{2}}{2}\sqrt{\left(x+\frac{3}{2}\right)^2 - \left(\frac{3}{2}\right)^2} - \frac{\left(\frac{3}{2}\right)^2}{2}\log\left|\left(x+\frac{3}{2}\right)+\sqrt{\left(x+\frac{3}{2}\right)^2 - \left(\frac{3}{2}\right)^2}\right| + c \)
\( \implies I = \frac{2x+3}{4}\sqrt{x^2+3x+\frac{9}{4}-\frac{9}{4}} - \frac{\frac{9}{4}}{2}\log\left|\left(x+\frac{3}{2}\right)+\sqrt{x^2+3x+\frac{9}{4}-\frac{9}{4}}\right| + c \)
\( \implies I = \frac{2x+3}{4}\sqrt{x^2+3x} - \frac{9}{8}\log\left|\left(x+\frac{3}{2}\right)+\sqrt{x^2+3x}\right| + c \)
In simple words: આપણે \( \sqrt{x^2+3x} \) નું સંકલન કરવું છે. સૌપ્રથમ, આપણે વર્ગમૂળની અંદરના પદને પૂર્ણ વર્ગ બનાવીએ છીએ, જેથી તે \( \left(x+\frac{3}{2}\right)^2 - \left(\frac{3}{2}\right)^2 \) બને. પછી, આપણે \( \sqrt{x^2-a^2} \) માટેના સંકલન સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ, જ્યાં \(x\) ને બદલે \( \left(x+\frac{3}{2}\right) \) અને \(a\) ને બદલે \( \frac{3}{2} \) છે. સૂત્રમાં કિંમતો મૂકીને આપણે અંતિમ ઉકેલ મેળવીએ છીએ.

Exam Tip: When completing the square, remember to add and subtract \( \left(\frac{\text{coefficient of } x}{2}\right)^2 \). This ensures the expression remains equivalent while forming a perfect square trinomial.

Question 9. \( \sqrt{1+\frac{x^2}{9}} \)
Answer:આપેલ સંકલન છે \( I = \int \sqrt{1+\frac{x^2}{9}} \, dx \). આને \( I = \int \sqrt{\frac{9+x^2}{9}} \, dx = \int \frac{\sqrt{9+x^2}}{3} \, dx = \frac{1}{3}\int \sqrt{3^2+x^2} \, dx \) તરીકે લખી શકાય છે. સૂત્ર \( \int \sqrt{a^2+x^2} \, dx = \frac{x}{2}\sqrt{a^2+x^2} + \frac{a^2}{2}\log\left|x+\sqrt{a^2+x^2}\right| + c \) નો ઉપયોગ કરતા. અહીં, \( a = 3 \).
\( \implies I = \frac{1}{3} \left[ \frac{x}{2}\sqrt{3^2+x^2} + \frac{3^2}{2}\log\left|x+\sqrt{3^2+x^2}\right| \right] + c \)
\( \implies I = \frac{1}{3} \left[ \frac{x}{2}\sqrt{9+x^2} + \frac{9}{2}\log\left|x+\sqrt{9+x^2}\right| \right] + c \)
\( \implies I = \frac{x}{6}\sqrt{9+x^2} + \frac{9}{6}\log\left|x+\sqrt{9+x^2}\right| + c \)
\( \implies I = \frac{x}{6}\sqrt{9+x^2} + \frac{3}{2}\log\left|x+\sqrt{9+x^2}\right| + c \)
In simple words: આપણે \( \sqrt{1+\frac{x^2}{9}} \) નું સંકલન કરવું છે. પહેલાં, આપણે તેને \( \frac{1}{3}\int \sqrt{3^2+x^2} \, dx \) સ્વરૂપમાં બદલીએ છીએ, જ્યાં \(a\) ની કિંમત 3 છે. પછી, આપણે \( \sqrt{a^2+x^2} \) માટેના સંકલન સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને પગલું-દર-પગલું ગણતરી કરીએ છીએ અને અંતિમ પરિણામ મેળવીએ છીએ.

Exam Tip: Always simplify the expression under the square root before attempting integration. Factoring out constants or simplifying fractions can make the problem fit a standard formula more easily.

પ્રશનો 10 તથા 11 માં વિધાન સાયું બને તે રીતે આપેલ વિકલ્પોમાંથી યોગ્ય વિકલ્પ પસંદ કરો :

Question 10. \( \int \sqrt{1+x^2} \, dx = \) ..........
(a) \( \frac{x}{2}\sqrt{1+x^2}+\frac{1}{2}\log\left|x+\sqrt{1+x^2}\right| + C \)
(b) \( \frac{2}{3}(1 + x^2)^{\frac{3}{2}} + c \)
(c) \( \frac{2}{3}x(1 + x^2)^{\frac{3}{2}} + C \)
(d) \( \frac{x^2}{2}\sqrt{1+x^2}+\frac{1}{2}x^2\log\left|x+\sqrt{1+x^2}\right| + c \)
Answer: (a) \( \frac{x}{2}\sqrt{1+x^2}+\frac{1}{2}\log\left|x+\sqrt{1+x^2}\right| + C \)
In simple words: અહીં આપણે \( \sqrt{1+x^2} \) નું સંકલન સૂત્ર શોધવાનું છે. આ \( \sqrt{a^2+x^2} \) સ્વરૂપનું સીધું સૂત્ર છે, જ્યાં \(a=1\) છે. વિકલ્પ (a) એ આ સૂત્રનું સાચું સ્વરૂપ દર્શાવે છે.

Exam Tip: Many integration problems in competitive exams test knowledge of standard formulas. Memorize the integral formulas for \( \sqrt{a^2 \pm x^2} \) and \( \sqrt{x^2 \pm a^2} \).

Question 11. \( \int \sqrt{x^2-8x+7} \, dx = \) ..........
(a) \( \frac{1}{2}(x - 4)\sqrt{x^2 - 8x + 7} + 9\log\left|x - 4 + \sqrt{x^2 - 8x + 7}\right| + c \)
(b) \( \frac{1}{2}(x + 4)\sqrt{x^2 - 8x + 7} + 9\log\left|x + 4 + \sqrt{x^2 - 8x + 7}\right| + c \)
(c) \( \frac{1}{2}(x - 4)\sqrt{x^2 - 8x + 7} -3\sqrt{2}\log\left|x-4+ \sqrt{x^2 - 8x + 7}\right| + c \)
(d) \( \frac{1}{2}(x - 4)\sqrt{x^2 - 8x + 7} - \frac{9}{2}\log\left|x-4+ \sqrt{x^2 - 8x + 7}\right| + c \)
Answer: (d) \( \frac{1}{2}(x - 4)\sqrt{x^2 - 8x + 7} - \frac{9}{2}\log\left|x-4+ \sqrt{x^2 - 8x + 7}\right| + c \)
In simple words: અહીં આપણે \( \sqrt{x^2-8x+7} \) નું સંકલન કરવું છે. પહેલા, વર્ગમૂળની અંદરના પદને પૂર્ણ વર્ગ બનાવીએ છીએ, જે \( (x-4)^2 - (3)^2 \) બને છે. પછી, \( \sqrt{x^2-a^2} \) સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ, જ્યાં \(x\) ને બદલે \(x-4\) અને \(a\) ને બદલે 3 છે. વિકલ્પ (d) આ ગણતરીનું સાચું પરિણામ દર્શાવે છે.

Exam Tip: For MCQs involving integrals of quadratic expressions, quickly complete the square to identify the correct standard formula to use. Then, match the terms \( x \) and \( a \) to the given options.

Question 12. Evaluate \( \int x\sqrt{x+x^2} \, dx \)
Answer:આપેલ સંકલન છે \( I = \int x\sqrt{x+x^2} \, dx \). આપણે આને ઉકેલવા માટે યોગ્ય પ્રતિસ્થાપન પછી ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરીએ છીએ. પ્રથમ, આપણે \( x+x^2 \) ના વિકલનના રેખીય સંયોજન તરીકે \( x \) ને વ્યક્ત કરવાનો પ્રયાસ કરીએ છીએ. ધારો કે \( x = A \frac{d}{dx}(x+x^2) + B \).
\( \implies x = A(1+2x) + B \)
\( \implies x = 2Ax + A + B \) \( x \) ના સહગુણકો અને અચળ પદની સરખામણી કરતા: \( x \) ના સહગુણક માટે: \( 1 = 2A \implies A = \frac{1}{2} \). અચળ પદ માટે: \( 0 = A+B \implies B = -A = -\frac{1}{2} \). તેથી, આપણે \( x = \frac{1}{2}(1+2x) - \frac{1}{2} \) લખી શકીએ છીએ. આને સંકલનમાં પાછું મૂકતા:
\( I = \int \left[\frac{1}{2}(1+2x) - \frac{1}{2}\right] \sqrt{x+x^2} \, dx \)
\( \implies I = \frac{1}{2}\int (1+2x)\sqrt{x+x^2} \, dx - \frac{1}{2}\int \sqrt{x+x^2} \, dx \) ધારો કે \( I_1 = \frac{1}{2}\int (1+2x)\sqrt{x+x^2} \, dx \) અને \( I_2 = -\frac{1}{2}\int \sqrt{x+x^2} \, dx \). \( I_1 \) માટે: ધારો કે \( t = x+x^2 \). તો \( dt = (1+2x) \, dx \).
\( I_1 = \frac{1}{2}\int \sqrt{t} \, dt = \frac{1}{2}\int t^{\frac{1}{2}} \, dt \) સૂત્ર \( \int t^n \, dt = \frac{t^{n+1}}{n+1} + c \) નો ઉપયોગ કરતા:
\( I_1 = \frac{1}{2} \frac{t^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} + c_1 = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + c_1 = \frac{1}{3}(x+x^2)^{\frac{3}{2}} + c_1 \) \( I_2 \) માટે: આપણે \( x+x^2 \) માટે પૂર્ણ વર્ગ બનાવવાની જરૂર છે.
\( x+x^2 = x^2+x = x^2+x+\left(\frac{1}{2}\right)^2 - \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \left(x+\frac{1}{2}\right)^2 - \left(\frac{1}{2}\right)^2 \) આથી, \( I_2 = -\frac{1}{2}\int \sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^2 - \left(\frac{1}{2}\right)^2} \, dx \). સૂત્ર \( \int \sqrt{x^2-a^2} \, dx = \frac{x}{2}\sqrt{x^2-a^2} - \frac{a^2}{2}\log\left|x+\sqrt{x^2-a^2}\right| + c \) નો ઉપયોગ કરતા. અહીં, \( x \) ને \( \left(x+\frac{1}{2}\right) \) દ્વારા અને \( a = \frac{1}{2} \) દ્વારા બદલવામાં આવે છે.
\( I_2 = -\frac{1}{2} \left[ \frac{x+\frac{1}{2}}{2}\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^2 - \left(\frac{1}{2}\right)^2} - \frac{\left(\frac{1}{2}\right)^2}{2}\log\left|\left(x+\frac{1}{2}\right)+\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^2 - \left(\frac{1}{2}\right)^2}\right| \right] + c_2 \)
\( \implies I_2 = -\frac{1}{2} \left[ \frac{2x+1}{4}\sqrt{x^2+x} - \frac{\frac{1}{4}}{2}\log\left|\left(x+\frac{1}{2}\right)+\sqrt{x^2+x}\right| \right] + c_2 \)
\( \implies I_2 = -\frac{1}{2} \left[ \frac{2x+1}{4}\sqrt{x^2+x} - \frac{1}{8}\log\left|\left(x+\frac{1}{2}\right)+\sqrt{x^2+x}\right| \right] + c_2 \)
\( \implies I_2 = -\frac{2x+1}{8}\sqrt{x^2+x} + \frac{1}{16}\log\left|\left(x+\frac{1}{2}\right)+\sqrt{x^2+x}\right| + c_2 \) \( I_1 \) અને \( I_2 \) ને ભેગા કરતા:
\( I = I_1 + I_2 = \frac{1}{3}(x+x^2)^{\frac{3}{2}} - \frac{2x+1}{8}\sqrt{x^2+x} + \frac{1}{16}\log\left|\left(x+\frac{1}{2}\right)+\sqrt{x^2+x}\right| + C \)
In simple words: આ સંકલન ઉકેલવા માટે, આપણે x ને 1+2x ના સ્વરૂપમાં બદલીએ છીએ જેથી \( \sqrt{x+x^2} \) નું વિકલન 1+2x મળે. પછી, સંકલનને બે ભાગમાં વહેંચીએ છીએ. પ્રથમ ભાગમાં સરળ પ્રતિસ્થાપન દ્વારા ઉકેલ મળે છે. બીજા ભાગમાં, આપણે પૂર્ણ વર્ગ બનાવીને \( \sqrt{x^2-a^2} \) સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ. અંતે, બંને ભાગોના પરિણામોનો સરવાળો કરીએ છીએ.

Exam Tip: For integrals of the form \( \int (Px+Q)\sqrt{ax^2+bx+c} \, dx \), express \( Px+Q = A \frac{d}{dx}(ax^2+bx+c) + B \) to simplify the integral into two standard forms.

Question 13. Evaluate \( \int (x+1)\sqrt{2x^2+3} \, dx \)
Answer:આપેલ સંકલન છે \( I = \int (x+1)\sqrt{2x^2+3} \, dx \). આપણે આને ઉકેલવા માટે યોગ્ય પ્રતિસ્થાપન પછી ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરીએ છીએ. પ્રથમ, આપણે \( 2x^2+3 \) ના વિકલનના રેખીય સંયોજન તરીકે \( x+1 \) ને વ્યક્ત કરવાનો પ્રયાસ કરીએ છીએ. ધારો કે \( x+1 = A \frac{d}{dx}(2x^2+3) + B \).
\( \implies x+1 = A(4x) + B \)
\( \implies x+1 = 4Ax + B \) \( x \) ના સહગુણકો અને અચળ પદની સરખામણી કરતા: \( x \) ના સહગુણક માટે: \( 1 = 4A \implies A = \frac{1}{4} \). અચળ પદ માટે: \( 1 = B \). તેથી, આપણે \( x+1 = \frac{1}{4}(4x) + 1 \) લખી શકીએ છીએ. આને સંકલનમાં પાછું મૂકતા:
\( I = \int \left[\frac{1}{4}(4x) + 1\right]\sqrt{2x^2+3} \, dx \)
\( \implies I = \frac{1}{4}\int (4x)\sqrt{2x^2+3} \, dx + \int \sqrt{2x^2+3} \, dx \) ધારો કે \( I_1 = \frac{1}{4}\int (4x)\sqrt{2x^2+3} \, dx \) અને \( I_2 = \int \sqrt{2x^2+3} \, dx \). \( I_1 \) માટે: ધારો કે \( t = 2x^2+3 \). તો \( dt = 4x \, dx \).
\( I_1 = \frac{1}{4}\int \sqrt{t} \, dt = \frac{1}{4}\int t^{\frac{1}{2}} \, dt \) સૂત્ર \( \int t^n \, dt = \frac{t^{n+1}}{n+1} + c \) નો ઉપયોગ કરતા:
\( I_1 = \frac{1}{4} \frac{t^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} + c_1 = \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + c_1 = \frac{1}{6}(2x^2+3)^{\frac{3}{2}} + c_1 \) \( I_2 \) માટે:
\( I_2 = \int \sqrt{2x^2+3} \, dx = \int \sqrt{2\left(x^2+\frac{3}{2}\right)} \, dx = \sqrt{2}\int \sqrt{x^2+\left(\sqrt{\frac{3}{2}}\right)^2} \, dx \) સૂત્ર \( \int \sqrt{x^2+a^2} \, dx = \frac{x}{2}\sqrt{x^2+a^2} + \frac{a^2}{2}\log\left|x+\sqrt{x^2+a^2}\right| + c \) નો ઉપયોગ કરતા. અહીં, \( a = \sqrt{\frac{3}{2}} \).
\( I_2 = \sqrt{2} \left[ \frac{x}{2}\sqrt{x^2+\frac{3}{2}} + \frac{\frac{3}{2}}{2}\log\left|x+\sqrt{x^2+\frac{3}{2}}\right| \right] + c_2 \)
\( \implies I_2 = \frac{x}{\sqrt{2}}\sqrt{x^2+\frac{3}{2}} + \frac{3\sqrt{2}}{4}\log\left|x+\sqrt{x^2+\frac{3}{2}}\right| + c_2 \)
\( \implies I_2 = \frac{x}{2}\sqrt{2x^2+3} + \frac{3\sqrt{2}}{4}\log\left|x+\sqrt{x^2+\frac{3}{2}}\right| + c_2 \) \( I_1 \) અને \( I_2 \) ને ભેગા કરતા:
\( I = \frac{1}{6}(2x^2+3)^{\frac{3}{2}} + \frac{x}{2}\sqrt{2x^2+3} + \frac{3\sqrt{2}}{4}\log\left|x+\sqrt{x^2+\frac{3}{2}}\right| + C \)
In simple words: આ સંકલન ઉકેલવા માટે, આપણે \(x+1\) ને \(4x\) ના સ્વરૂપમાં બદલીએ છીએ જેથી \( \sqrt{2x^2+3} \) નું વિકલન 4x મળે. પછી, સંકલનને બે ભાગમાં વહેંચીએ છીએ. પ્રથમ ભાગમાં સરળ પ્રતિસ્થાપન દ્વારા ઉકેલ મળે છે. બીજા ભાગમાં, આપણે \( \sqrt{a^2+x^2} \) સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ગણતરી કરીએ છીએ. અંતે, બંને ભાગોના પરિણામોનો સરવાળો કરીએ છીએ.

Exam Tip: For integrals of the form \( \int (Px+Q)\sqrt{ax^2+bx+c} \, dx \), decompose \( Px+Q \) as \( A(2ax+b)+B \). This simplifies the integral into two parts: one easily integrated by substitution and the other a standard form.

Question 14. Evaluate \( \int (x+3)\sqrt{3-4x-x^2} \, dx \)
Answer:આપેલ સંકલન છે \( I = \int (x+3)\sqrt{3-4x-x^2} \, dx \). આપણે આને ઉકેલવા માટે યોગ્ય પ્રતિસ્થાપન પછી ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરીએ છીએ. પ્રથમ, આપણે \( 3-4x-x^2 \) ના વિકલનના રેખીય સંયોજન તરીકે \( x+3 \) ને વ્યક્ત કરવાનો પ્રયાસ કરીએ છીએ. ધારો કે \( x+3 = A \frac{d}{dx}(3-4x-x^2) + B \).
\( \implies x+3 = A(-4-2x) + B \)
\( \implies x+3 = -2Ax - 4A + B \) \( x \) ના સહગુણકો અને અચળ પદની સરખામણી કરતા: \( x \) ના સહગુણક માટે: \( 1 = -2A \implies A = -\frac{1}{2} \). અચળ પદ માટે: \( 3 = -4A + B \).
\( \implies 3 = -4\left(-\frac{1}{2}\right) + B \)
\( \implies 3 = 2 + B \implies B = 1 \). તેથી, આપણે \( x+3 = -\frac{1}{2}(-4-2x) + 1 \) લખી શકીએ છીએ. આને સંકલનમાં પાછું મૂકતા:
\( I = \int \left[-\frac{1}{2}(-4-2x) + 1\right]\sqrt{3-4x-x^2} \, dx \)
\( \implies I = -\frac{1}{2}\int (-4-2x)\sqrt{3-4x-x^2} \, dx + \int \sqrt{3-4x-x^2} \, dx \) ધારો કે \( I_1 = -\frac{1}{2}\int (-4-2x)\sqrt{3-4x-x^2} \, dx \) અને \( I_2 = \int \sqrt{3-4x-x^2} \, dx \). \( I_1 \) માટે: ધારો કે \( t = 3-4x-x^2 \). તો \( dt = (-4-2x) \, dx \).
\( I_1 = -\frac{1}{2}\int \sqrt{t} \, dt = -\frac{1}{2}\int t^{\frac{1}{2}} \, dt \) સૂત્ર \( \int t^n \, dt = \frac{t^{n+1}}{n+1} + c \) નો ઉપયોગ કરતા:
\( I_1 = -\frac{1}{2} \frac{t^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} + c_1 = -\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + c_1 = -\frac{1}{3}(3-4x-x^2)^{\frac{3}{2}} + c_1 \) \( I_2 \) માટે: આપણે \( 3-4x-x^2 \) માટે પૂર્ણ વર્ગ બનાવવાની જરૂર છે.
\( 3-4x-x^2 = 3 - (x^2+4x) = 3 - (x^2+4x+4-4) = 3 - ((x+2)^2-4) \)
\( = 3 - (x+2)^2 + 4 = 7 - (x+2)^2 = (\sqrt{7})^2 - (x+2)^2 \) આથી, \( I_2 = \int \sqrt{(\sqrt{7})^2 - (x+2)^2} \, dx \). સૂત્ર \( \int \sqrt{a^2-x^2} \, dx = \frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2} + \frac{a^2}{2}\sin^{-1}\left(\frac{x}{a}\right) + c \) નો ઉપયોગ કરતા. અહીં, \( x \) ને \( (x+2) \) દ્વારા અને \( a = \sqrt{7} \) દ્વારા બદલવામાં આવે છે.
\( I_2 = \frac{x+2}{2}\sqrt{(\sqrt{7})^2 - (x+2)^2} + \frac{(\sqrt{7})^2}{2}\sin^{-1}\left(\frac{x+2}{\sqrt{7}}\right) + c_2 \)
\( \implies I_2 = \frac{x+2}{2}\sqrt{7 - (x^2+4x+4)} + \frac{7}{2}\sin^{-1}\left(\frac{x+2}{\sqrt{7}}\right) + c_2 \)
\( \implies I_2 = \frac{x+2}{2}\sqrt{3-4x-x^2} + \frac{7}{2}\sin^{-1}\left(\frac{x+2}{\sqrt{7}}\right) + c_2 \) \( I_1 \) અને \( I_2 \) ને ભેગા કરતા:
\( I = -\frac{1}{3}(3-4x-x^2)^{\frac{3}{2}} + \frac{x+2}{2}\sqrt{3-4x-x^2} + \frac{7}{2}\sin^{-1}\left(\frac{x+2}{\sqrt{7}}\right) + C \)
In simple words: આ સંકલન ઉકેલવા માટે, આપણે \(x+3\) ને \( \frac{d}{dx}(3-4x-x^2) \) ના સ્વરૂપમાં બદલીએ છીએ. પછી, સંકલનને બે ભાગમાં વહેંચીએ છીએ. પ્રથમ ભાગમાં સરળ પ્રતિસ્થાપન દ્વારા ઉકેલ મળે છે. બીજા ભાગમાં, આપણે પૂર્ણ વર્ગ બનાવીને \( \sqrt{a^2-x^2} \) સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ. અંતે, બંને ભાગોના પરિણામોનો સરવાળો કરીને અંતિમ જવાબ મેળવીએ છીએ.

Exam Tip: Always be careful with signs when completing the square, especially when the \(x^2\) term is negative. Factoring out a negative sign helps to correctly identify the \(a^2-x^2\) form.