GSEB Class 12 Maths Solutions Chapter 5 સાતત્ય અને વિકલનીયતા Exercise 5.8

Question 1. \( x \in [-4, 2] \) માં વિધેય \( f(x) = x^2 + 2x - 8 \) માટે રોલનું પ્રમેય ચકાસો.
Answer: આપેલું વિધેય \( f(x) = x^2 + 2x - 8 \) છે.
વિધેય \( f(x) \) એ બહુપદી હોવાથી, તે બંધ અંતરાલ \( [-4, 2] \) માં સળંગ છે.
તેનું વિકલન \( f'(x) = 2x + 2 \) છે. \( f'(x) \) ખુલ્લા અંતરાલ \( (-4, 2) \) માં અસ્તિત્વ ધરાવે છે. તેથી \( f(x) \) એ \( (-4, 2) \) માં વિકલનીય છે.
હવે, આપણે સીમા મૂલ્યોની ગણતરી કરીએ છીએ:
\( f(-4) = (-4)^2 + 2(-4) - 8 = 16 - 8 - 8 = 0 \)
\( f(2) = (2)^2 + 2(2) - 8 = 4 + 4 - 8 = 0 \)
આથી, \( f(-4) = f(2) \) થાય છે.
રોલના પ્રમેય અનુસાર, એક C મૂલ્ય \( (-4, 2) \) માં એવું મળશે કે જેથી, \( f'(C) = 0 \) થાય.
\( 2C + 2 = 0 \)
\( 2C = -2 \)
\( C = -1 \)
અને \( -1 \in (-4, 2) \) છે. આમ, રોલના પ્રમેયની શરતો સંતોષાય છે.
In simple words: આપેલ ફંક્શન એક બહુપદી હોવાથી તે સતત અને વિકલનીય છે. તેના અંતિમ બિંદુઓ પરના મૂલ્યો સરખા છે, તેથી રોલનો પ્રમેય અહીં લાગુ પડે છે. આપણે એક C મૂલ્ય શોધી શકીએ છીએ જ્યાં ફંક્શનનો ઢાળ શૂન્ય છે, જે રોલના પ્રમેયની પુષ્ટિ કરે છે.

Exam Tip: રોલના પ્રમેયને ચકાસવા માટે, ત્રણ મુખ્ય શરતો તપાસો: (1) વિધેય સતત છે, (2) વિધેય વિકલનીય છે, અને (3) અંતરાલના અંતિમ બિંદુઓ પર વિધેયના મૂલ્યો સરખા છે. જો આ શરતો પૂરી થાય, તો \( f'(c) = 0 \) થાય તેવો C શોધો.

Question 2. ચકાસો કે નીચેના વિધેયો પર રોલનું પ્રમેય લગાડી શકાય કે નહિ ? આ ઉદાહરણો પરથી તમે રોલના પ્રમેયના પ્રતીપ વિશે શું કહી શકશો ?
(i) \( f(x) = [x], x \in [5, 9] \)
(ii) \( f(x) = [x], x \in [-2, 2] \)
(iii) \( f(x) = x^2 - 1, x \in [1, 2] \)
Answer:
(i) \( f(x) = [x], x \in [5, 9] \)
વિધેય \( f(x) = [x] \) એ મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેય છે. આવા વિધેયો પૂર્ણાંક સંખ્યાઓ પર સતત હોતા નથી અને વિકલનીય પણ નથી. તેથી, આ વિધેય અંતરાલ \( [5, 9] \) માં સતત કે વિકલનીય નથી.
પરિણામે, વિધેય \( f(x) \) માટે રોલનું પ્રમેય લાગુ પાડી શકાય નહીં.

(ii) \( f(x) = [x], x \in [-2, 2] \)
વિધેય \( f(x) = [x] \) એ મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેય છે. આ વિધેય અંતરાલ \( [-2, 2] \) માં સતત કે વિકલનીય નથી કારણ કે તે પૂર્ણાંક સંખ્યાઓ પર અસતત છે.
માટે, વિધેય \( f(x) \) માટે રોલનું પ્રમેય લાગુ પાડી શકાતું નથી.

(iii) \( f(x) = x^2 - 1, x \in [1, 2] \)
વિધેય \( f(x) = x^2 - 1 \) એ એક બહુપદીય વિધેય છે. તેથી તે બંધ અંતરાલ \( [1, 2] \) માં સતત છે.
વિકલન \( f'(x) = 2x \) છે, જે ખુલ્લા અંતરાલ \( (1, 2) \) માં હાજર છે. તેથી \( f(x) \) એ \( (1, 2) \) માં વિકલનીય છે.
અંતિમ બિંદુઓ પર મૂલ્યો શોધીએ:
\( f(1) = (1)^2 - 1 = 0 \)
\( f(2) = (2)^2 - 1 = 3 \)
અહીં, \( f(1) \neq f(2) \) છે.
માટે, વિધેય \( f(x) \) માટે રોલનું પ્રમેય લાગુ પાડી શકે નહીં કારણ કે \( f(a) = f(b) \) શરત સંતોષાતી નથી.

રોલના પ્રમેયનો પ્રતીપ વિશે:
આ ઉદાહરણો પરથી આપણે રોલના પ્રમેયના પ્રતીપ વિશે કંઈ કહી શકતા નથી. રોલનું પ્રમેય કહે છે કે જો અમુક શરતો સંતોષાય તો \( f'(c) = 0 \) થશે. પરંતુ તેનો પ્રતીપ એવું નથી કહેતો કે જો \( f'(c) = 0 \) હોય તો બધી શરતો સંતોષાશે જ. ઉદાહરણ તરીકે, \( f(x) = [x] \) માં, જ્યારે \( x \) પૂર્ણાંક ન હોય ત્યારે \( f'(x) = 0 \) થાય છે, જેમ કે \( x \in (-2, 2) \) માં. પરંતુ, આ વિધેય રોલના પ્રમેયની શરતો (સતતતા અને વિકલનીયતા) સંતોષતું નથી. આ દર્શાવે છે કે જો \( f'(c) = 0 \) હોય તોપણ રોલના પ્રમેયની બધી શરતો સંતોષાય તે જરૂરી નથી. આમ, રોલના પ્રમેયનો પ્રતીપ હંમેશા સાચો હોતો નથી.
In simple words: રોલના પ્રમેયને લાગુ પાડવા માટે, ફંક્શન સતત હોવું જોઈએ, વિકલનીય હોવું જોઈએ, અને અંતરાલના છેડેના મૂલ્યો સરખા હોવા જોઈએ. જો આમાંથી કોઈ પણ શરત પૂરી ન થાય, તો પ્રમેય લાગુ પડતો નથી. મહત્તમ પૂર્ણાંક ફંક્શન `[x]` સતત કે વિકલનીય નથી, અને `x^2 - 1` માટે અંતિમ મૂલ્યો સરખા નથી. રોલના પ્રમેયનો ઊલટો ભાગ સાચો નથી, એટલે કે, ભલે `f'(c) = 0` હોય, તો પણ મૂળ પ્રમેયની બધી શરતો સાચી હોય તે જરૂરી નથી.

Exam Tip: રોલના પ્રમેયને લાગુ પાડતી વખતે તેની ત્રણ શરતો (સતતતા, વિકલનીયતા, અને \( f(a)=f(b) \)) કાળજીપૂર્વક ચકાસો. જો કોઈ એક શરત પણ પૂરી ન થાય, તો પ્રમેય લાગુ પડતો નથી. પ્રતીપ વિશે પૂછવામાં આવે ત્યારે, ઉદાહરણ આપીને સમજાવો કે \( f'(c)=0 \) હોવા છતાં પ્રમેયની શરતો પૂરી ન થઈ શકે.

Question 3. જો \( f : [-5, 5] \rightarrow R \) વિકલનીય વિધેય હોય અને \( f'(x) \) ક્યાંય શૂન્ય ના બને તો સાબિત કરો કે \( f(-5) \neq f(5) \).
Answer: રોલના પ્રમેય અનુસાર, જો કોઈ વિધેય \( f(x) \) બંધ અંતરાલ \( [a, b] \) માં સતત હોય, ખુલ્લા અંતરાલ \( (a, b) \) માં વિકલનીય હોય, અને \( f(a) = f(b) \) હોય, તો ખુલ્લા અંતરાલ \( (a, b) \) માં ઓછામાં ઓછો એક \( c \) એવો અસ્તિત્વ ધરાવે છે જેના માટે \( f'(c) = 0 \) થાય.

અહીં આપેલું છે કે, વિધેય \( f : [-5, 5] \rightarrow R \) એ વિકલનીય વિધેય છે.
જે વિધેય વિકલનીય હોય તે સતત પણ હોય છે. તેથી, \( f(x) \) એ બંધ અંતરાલ \( [-5, 5] \) માં સતત છે.
અને \( f(x) \) એ ખુલ્લા અંતરાલ \( (-5, 5) \) માં વિકલનીય પણ છે.
હવે, રકમમાં આપેલ છે કે \( f'(x) \) એ \( x \in (-5, 5) \) માં ક્યાંય શૂન્ય થતું નથી, એટલે કે \( f'(c) \neq 0 \) કોઈ પણ \( c \in (-5, 5) \) માટે.
જો \( f(-5) = f(5) \) હોત, તો રોલના પ્રમેયની બધી શરતો સંતોષાત અને તેના પરિણામ સ્વરૂપ \( f'(c) = 0 \) થાય તેવો એક \( c \) અવશ્ય અસ્તિત્વ ધરાવત.
પરંતુ, આપણે જાણીએ છીએ કે \( f'(c) \) ક્યાંય શૂન્ય થતું નથી. આ વિરોધાભાસ દર્શાવે છે કે આપણી ધારણા, એટલે કે \( f(-5) = f(5) \), ખોટી હોવી જોઈએ.
તેથી, \( f(-5) \neq f(5) \) સાબિત થાય છે.
In simple words: રોલના પ્રમેય માટે ત્રણ નિયમો છે: ફંક્શન સતત હોવું જોઈએ, વિકલનીય હોવું જોઈએ, અને અંતિમ બિંદુઓ પર સરખા મૂલ્યો હોવા જોઈએ. જો આ ત્રણેય સાચા હોય, તો વચ્ચે ક્યાંક ફંક્શનનો ઢાળ શૂન્ય થવો જ જોઈએ. અહીં આપણને કહેવામાં આવ્યું છે કે ફંક્શન વિકલનીય છે (એટલે ​​કે સતત પણ છે), પણ તેનો ઢાળ ક્યાંય શૂન્ય થતો નથી. જો `f(-5)` અને `f(5)` સરખા હોત, તો રોલના નિયમ મુજબ ઢાળ શૂન્ય થવો જ પડે. પરંતુ ઢાળ શૂન્ય થતો નથી, તેથી `f(-5)` અને `f(5)` સરખા હોઈ શકે નહીં.

Exam Tip: રોલના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને વિરોધાભાસ દ્વારા સાબિતી આપતી વખતે, પ્રમેયની શરતો અને તેના નિષ્કર્ષને સ્પષ્ટપણે રજૂ કરો. પછી, આપેલ માહિતીનો ઉપયોગ કરીને કયા નિષ્કર્ષનું ઉલ્લંઘન થાય છે તે દર્શાવો.

Question 4. \( a = 1 \) અને \( b = 4 \) લઈ વિધેય \( f(x) = x^2 - 4x - 3 \) માટે \( [a, b] \) પર મધ્યકમાન પ્રમેય ચકાસો.
Answer: આપેલ વિધેય \( f(x) = x^2 - 4x - 3 \) છે, જ્યાં \( a = 1 \) અને \( b = 4 \).
વિધેય \( f(x) \) એ બહુપદીય વિધેય હોવાથી, તે બંધ અંતરાલ \( [1, 4] \) માં સળંગ છે.
વિકલન \( f'(x) = 2x - 4 \) છે. \( f'(x) \) ખુલ્લા અંતરાલ \( (1, 4) \) માં અસ્તિત્વ ધરાવે છે. તેથી \( f(x) \) એ \( (1, 4) \) માં વિકલનીય છે.
મધ્યકમાન પ્રમેય મુજબ, ખુલ્લા અંતરાલ \( (1, 4) \) માં એક C અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી:
\( f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a} = \frac{f(4) - f(1)}{4 - 1} \)
પહેલા \( f(4) \) અને \( f(1) \) ના મૂલ્યો શોધીએ:
\( f(4) = (4)^2 - 4(4) - 3 = 16 - 16 - 3 = -3 \)
\( f(1) = (1)^2 - 4(1) - 3 = 1 - 4 - 3 = -6 \)
હવે, આ મૂલ્યોને સૂત્રમાં મૂકીએ:
\( f'(c) = \frac{-3 - (-6)}{4 - 1} = \frac{-3 + 6}{3} = \frac{3}{3} = 1 \)
આપણે જાણીએ છીએ કે \( f'(c) = 2c - 4 \). તેથી,
\( 2c - 4 = 1 \)
\( 2c = 1 + 4 \)
\( 2c = 5 \)
\( c = \frac{5}{2} \)
જે \( \frac{5}{2} = 2.5 \) છે, અને \( 2.5 \in (1, 4) \) માં આવેલું છે.
આમ, મધ્યકમાન પ્રમેયની ચકાસણી થાય છે.
In simple words: આ ફંક્શન સતત અને વિકલનીય છે. તેથી, આપણે મધ્યકમાન પ્રમેય લાગુ કરી શકીએ છીએ. આપણે `f(4)` અને `f(1)` ના મૂલ્યો શોધીએ, પછી તેને પ્રમેયના સૂત્રમાં મૂકીએ છીએ. ફંક્શનના વિકલન `f'(c)` ને આ મૂલ્ય સાથે સરખાવીને `c` શોધીએ છીએ. જે `c` મળે છે તે `(1, 4)` અંતરાલમાં આવેલો છે, જે દર્શાવે છે કે પ્રમેય સાચો છે.

Exam Tip: મધ્યકમાન પ્રમેયને ચકાસતી વખતે, હંમેશા ખાતરી કરો કે વિધેય સતત અને વિકલનીય છે. \( f(a) \) અને \( f(b) \) ના મૂલ્યોને યોગ્ય રીતે ગણતરી કરો અને \( c \) નું મૂલ્ય ખુલ્લા અંતરાલ \( (a, b) \) માં આવે છે કે નહીં તે તપાસો.

Question 5. \( a = 1 \) અને \( b = 3 \) લઈ વિધેય \( f(x) = x^3 - 5x^2 - 3x \) માટે \( [a, b] \) પર મધ્યકમાન પ્રમેય ચકાસો. \( f'(c) = 0 \) થાય તેવા તમામ \( C \in (1, 3) \) શોધો.
Answer: આપેલ વિધેય \( f(x) = x^3 - 5x^2 - 3x \) છે, જ્યાં \( a = 1 \) અને \( b = 3 \).
વિધેય \( f(x) \) એ બહુપદીય વિધેય હોવાથી, તે બંધ અંતરાલ \( [1, 3] \) માં સળંગ છે.
વિકલન \( f'(x) = 3x^2 - 10x - 3 \) છે. \( f'(x) \) ખુલ્લા અંતરાલ \( (1, 3) \) માં હાજર છે. તેથી \( f(x) \) એ \( (1, 3) \) માં વિકલનીય છે.
મધ્યકમાન પ્રમેય મુજબ, ખુલ્લા અંતરાલ \( (1, 3) \) માં એક C અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી:
\( f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a} = \frac{f(3) - f(1)}{3 - 1} \)
પહેલા \( f(3) \) અને \( f(1) \) ના મૂલ્યો શોધીએ:
\( f(3) = (3)^3 - 5(3)^2 - 3(3) = 27 - 5(9) - 9 = 27 - 45 - 9 = -27 \)
\( f(1) = (1)^3 - 5(1)^2 - 3(1) = 1 - 5 - 3 = -7 \)
હવે, આ મૂલ્યોને સૂત્રમાં મૂકીએ:
\( f'(c) = \frac{-27 - (-7)}{3 - 1} = \frac{-27 + 7}{2} = \frac{-20}{2} = -10 \)
આપણે જાણીએ છીએ કે \( f'(c) = 3c^2 - 10c - 3 \). તેથી,
\( 3c^2 - 10c - 3 = -10 \)
\( 3c^2 - 10c + 7 = 0 \)
આ દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવો પાડીએ:
\( 3c^2 - 3c - 7c + 7 = 0 \)
\( 3c(c - 1) - 7(c - 1) = 0 \)
\( (3c - 7)(c - 1) = 0 \)
આથી, \( 3c - 7 = 0 \) અથવા \( c - 1 = 0 \)
\( c = \frac{7}{3} \) અથવા \( c = 1 \)
ખુલ્લા અંતરાલ \( (1, 3) \) માં \( c \) નું મૂલ્ય હોવું જોઈએ. અહીં, \( c = 1 \) એ અંતરાલ \( (1, 3) \) માં સમાવિષ્ટ નથી, કારણ કે તે અંતિમ બિંદુ છે.
જ્યારે \( c = \frac{7}{3} \approx 2.33 \), જે \( (1, 3) \) અંતરાલમાં આવેલું છે.
તેથી, \( c = \frac{7}{3} \) એ એકમાત્ર મૂલ્ય છે જે મધ્યકમાન પ્રમેયને સંતોષે છે અને \( f'(c) = -10 \) આપે છે.

હવે, પ્રશ્નનો બીજો ભાગ: \( f'(c) = 0 \) થાય તેવા તમામ \( C \in (1, 3) \) શોધો.
\( f'(c) = 3c^2 - 10c - 3 \)
જો \( f'(c) = 0 \), તો:
\( 3c^2 - 10c - 3 = 0 \)
આ દ્વિઘાત સમીકરણને ઉકેલવા માટે, આપણે દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ:
\( c = \frac{-(-10) \pm \sqrt{(-10)^2 - 4(3)(-3)}}{2(3)} \)
\( c = \frac{10 \pm \sqrt{100 + 36}}{6} \)
\( c = \frac{10 \pm \sqrt{136}}{6} \)
\( c = \frac{10 \pm 2\sqrt{34}}{6} \)
\( c = \frac{5 \pm \sqrt{34}}{3} \)
આનાથી બે મૂલ્યો મળે છે:
\( c_1 = \frac{5 + \sqrt{34}}{3} \approx \frac{5 + 5.83}{3} \approx \frac{10.83}{3} \approx 3.61 \)
\( c_2 = \frac{5 - \sqrt{34}}{3} \approx \frac{5 - 5.83}{3} \approx \frac{-0.83}{3} \approx -0.27 \)
આ બંને મૂલ્યોમાંથી કોઈ પણ \( (1, 3) \) અંતરાલમાં આવતું નથી. \( c_1 \) એ 3 કરતાં મોટો છે અને \( c_2 \) એ 1 કરતાં નાનો છે.
તેથી, ખુલ્લા અંતરાલ \( (1, 3) \) માં એવું કોઈ \( c \) અસ્તિત્વ ધરાવતું નથી જેના માટે \( f'(c) = 0 \) થાય.
In simple words: પહેલા, આપણે મધ્યકમાન પ્રમેયને ચકાસવા માટે ફંક્શન `f(x)` ના `f(1)` અને `f(3)` મૂલ્યો શોધીએ છીએ. પછી વિકલન `f'(x)` ને `(f(3)-f(1))/(3-1)` સાથે સરખાવીને `c` નું મૂલ્ય શોધીએ છીએ. આ `c = 7/3` મળે છે, જે `(1, 3)` અંતરાલમાં છે. પછી, `f'(c) = 0` માટે `c` શોધીએ છીએ. દ્વિઘાત સમીકરણ ઉકેલતા બે `c` મળે છે, પરંતુ તેમાંથી કોઈ પણ `(1, 3)` અંતરાલમાં આવતા નથી, જેનો અર્થ છે કે `f'(c)` ક્યારેય `0` થતો નથી.

Exam Tip: મધ્યકમાન પ્રમેય લાગુ કરતી વખતે, વિધેયની સતતતા અને વિકલનીયતાની શરતોની ખાતરી કરો. \( f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a} \) સૂત્રનો સાચો ઉપયોગ કરો. જો \( f'(c) = 0 \) શોધવાનું કહેવામાં આવે, તો \( f'(x) \) ને 0 સાથે સરખાવીને ઉકેલો અને તપાસો કે મળેલા મૂલ્યો આપેલા અંતરાલમાં આવે છે કે નહીં.

Question 6. ઉપર પ્રશ્ન 2 માં આપેલ ત્રણ વિધેયો માટે મધ્યકમાન પ્રમેય ચકાસો.
Answer: આપણે પ્રશ્ન 2 માં આપેલા ત્રણ વિધેયો માટે મધ્યકમાન પ્રમેયની શરતો ચકાસીશું.

(i) \( f(x) = [x], x \in [5, 9] \)
વિધેય \( f(x) = [x] \) એ મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેય છે. આ વિધેય પૂર્ણાંક સંખ્યાઓ પર સતત હોતું નથી અને વિકલનીય પણ નથી. તેથી, તે બંધ અંતરાલ \( [5, 9] \) માં સતત નથી અને ખુલ્લા અંતરાલ \( (5, 9) \) માં વિકલનીય નથી.
પરિણામે, \( f(x) \) માટે મધ્યકમાન પ્રમેય લાગુ પાડી શકાતું નથી.

(ii) \( f(x) = [x], x \in [-2, 2] \)
વિધેય \( f(x) = [x] \) એ મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેય છે. આ વિધેય પણ પૂર્ણાંક સંખ્યાઓ પર સતત હોતું નથી અને વિકલનીય પણ નથી. તેથી, તે બંધ અંતરાલ \( [-2, 2] \) માં સતત નથી અને ખુલ્લા અંતરાલ \( (-2, 2) \) માં વિકલનીય નથી.
આમ, \( f(x) \) માટે મધ્યકમાન પ્રમેય લાગુ પાડી શકાતું નથી.

(iii) \( f(x) = x^2 - 1, x \in [1, 2] \)
આપેલ વિધેય \( f(x) = x^2 - 1 \) છે, જ્યાં \( x \in [1, 2] \).
વિધેય \( f(x) \) એ બહુપદીય વિધેય હોવાથી, તે બંધ અંતરાલ \( [1, 2] \) માં સળંગ છે.
વિકલન \( f'(x) = 2x \) છે. \( f'(x) \) ખુલ્લા અંતરાલ \( (1, 2) \) માં હાજર છે. તેથી \( f(x) \) એ \( (1, 2) \) માં વિકલનીય છે.
મધ્યકમાન પ્રમેય મુજબ, ખુલ્લા અંતરાલ \( (1, 2) \) માં એક C અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી:
\( f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a} = \frac{f(2) - f(1)}{2 - 1} \)
પહેલા \( f(2) \) અને \( f(1) \) ના મૂલ્યો શોધીએ:
\( f(2) = (2)^2 - 1 = 4 - 1 = 3 \)
\( f(1) = (1)^2 - 1 = 1 - 1 = 0 \)
હવે, આ મૂલ્યોને સૂત્રમાં મૂકીએ:
\( f'(c) = \frac{3 - 0}{2 - 1} = \frac{3}{1} = 3 \)
આપણે જાણીએ છીએ કે \( f'(c) = 2c \). તેથી,
\( 2c = 3 \)
\( c = \frac{3}{2} \)
જે \( \frac{3}{2} = 1.5 \) છે, અને \( 1.5 \in (1, 2) \) માં આવેલું છે.
આમ, વિધેય \( f(x) = x^2 - 1 \) માટે મધ્યકમાન પ્રમેયની ચકાસણી થાય છે.
In simple words: મધ્યકમાન પ્રમેયને ચકાસવા માટે, ફંક્શન સતત અને વિકલનીય હોવું જરૂરી છે. `f(x) = [x]` ફંક્શન આ શરતો પૂરી કરતું નથી, તેથી તેના પર પ્રમેય લાગુ પડતો નથી. પરંતુ `f(x) = x^2 - 1` ફંક્શન આ શરતો પૂરી કરે છે. તેના માટે, આપણે `f(1)` અને `f(2)` ના મૂલ્યો શોધીએ છીએ, પછી વિકલન `f'(c)` ને `(f(2)-f(1))/(2-1)` સાથે સરખાવીને `c` શોધીએ છીએ, જે `3/2` મળે છે અને તે `(1, 2)` અંતરાલમાં આવેલો છે, આમ પ્રમેય ચકાસાય છે.

Exam Tip: જ્યારે મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેય `[x]` સાથે કામ કરો, ત્યારે યાદ રાખો કે તે પૂર્ણાંક સંખ્યાઓ પર સતત કે વિકલનીય નથી, તેથી રોલનો અથવા મધ્યકમાન પ્રમેય તેના પર લાગુ પડતો નથી. બહુપદીય વિધેયો સામાન્ય રીતે સતત અને વિકલનીય હોય છે, તેથી તેમના માટે પ્રમેય લાગુ પડવાની શક્યતા વધુ હોય છે.