GSEB Class 12 Maths Solutions Chapter 12 સુરેખ આયોજન Misc. Questions

Question 1. ઉદાહરણ 9 ના અનુસંધાનમાં આહારમાં વિટામિન A નું પ્રમાણ મહત્તમ હોય, તો દરેક પ્રકારના ખોરાકનાં કેટલા પૅકેટનો ઉપયોગ કરવો જોઈએ ? આહારમાં વિટામિન A નું મહત્તમ પ્રમાણ કેટલું હશે?
Answer: P પ્રકારનાં ખોરાકનાં 40 પેકેટ તથા Q પ્રકારનાં ખોરાકનાં 15 પેકેટનો ઉપયોગ કરવામાં આવે તો આહારમાં વિટામિન A નું મહત્તમ પ્રમાણ 285 મળે છે.
In simple words: To get the most Vitamin A, you should use 40 packets of food P and 15 packets of food Q, which gives a maximum of 285 units.

Exam Tip: Always identify the decision variables and the objective function clearly before setting up the constraints to avoid errors in the linear programming model.

 

Question 2. એક ખેડૂત P અને Q એમ બે પ્રકારની જાતના પશુઆહાર મિશ્રણ કરે છે. P પ્રકારના પશુઆહારની એક થેલીનો ભાવ Rs. 250 છે. તેમાં 3 એકમ પોષકતત્ત્વો A, 2.5 એકમ પોષક તત્ત્વ B અને 2 એકમ પોષક તત્ત્વ C છે. Q પ્રકારના પશુઆહારની એક થેલીનો ભાવ Rs. 200 છે. તેમાં 1.5 એકમ પોષક તત્ત્વો A, 11.25 એકમ B અને 3 એકમ પોષક તત્ત્વ C છે. પોષક તત્ત્વો A, B અને Cની ન્યૂનતમ જરૂરિયાત અનુક્રમે 18 એકમ, 45 એકમ અને 24 એકમની છે. જો આ મિશ્રણની એક થેલીની કિંમત ન્યૂનતમ રાખવી હોય, તો દરેક પ્રકારની કેટલી થેલી મિશ્ર કરવી જોઈએ ? આ મિશ્રણની એક થેલીની ન્યૂનતમ કિંમત કેટલી થશે ?
Answer: P પ્રકારના પશુઆહારની થેલીની સંખ્યા = 3 અને Q પ્રકારના પશુઆહારની થેલીની સંખ્યા = 6. આ મિશ્રણની ન્યૂનતમ કિંમત Rs. 1950 થશે.
In simple words: To keep costs as low as possible while meeting nutritional needs, mix 3 bags of food P and 6 bags of food Q for a minimum cost of Rs. 1950.

Exam Tip: When the feasible region is unbounded, check the objective function value at the corner points and verify if any point in the region yields a smaller value.

 

Question 3. એક આહાર વિજ્ઞાની, વિટામિન A ના ઓછામાં ઓછા 10 એકમ હોય, વિટામિન B ના ઓછામાં ઓછા 12 એકમ હોય અને વિટામિન C ના ઓછામાં ઓછા 8 એકમ હોય તે રીતે X અને Y એમ બે પ્રકારનો ખોરાક મિશ્ર કરવા માંગે છે. 1 કિલોગ્રામ ખોરાકમાં વિટામિનનું પ્રમાણ નીચે પ્રમાણે આપેલ છે. X પ્રકારના ખોરાકનો પ્રતિકિગ્રા ભાવ Rs. 16 છે અને Y પ્રકારના ખોરાકનો ભાવ પ્રતિકિગ્રા Rs. 20 છે. જરૂરી મિશ્રિત આહાર બનાવવા માટેનો ન્યૂનતમ ખર્ચ શોધો.
Answer: મિશ્રિત આહારનો ન્યૂનતમ ખર્ચ Rs. 112 છે. જેમાં X પ્રકારનો ખોરાક 2 kg તથા Y પ્રકારનો ખોરાક 4 kg છે.
In simple words: The cheapest way to get the required vitamins is to mix 2 kg of food X and 4 kg of food Y, costing Rs. 112 in total.

Exam Tip: Ensure all constraints are correctly converted into inequalities before solving for the minimum cost.

 

Question 4. એક ઉત્પાદક A અને B પ્રકારનાં રમકડાં બનાવે છે. આ કામ માટે ત્રણ મશીનોની જરૂર પડે છે. દરેક રમકડું બનાવવા માટે મશીન પર લાગતો સમય (મિનિટમાં) નીચે પ્રમાણે આપેલ છે : દરેક મશીન પ્રતિદિન મહત્તમ 6 કલાક માટે ઉપલબ્ધ છે. જો A પ્રકારના એક રમકડા પરનો નફો Rs. 7.50 અને B પ્રકારના એક રમકડા પરનો નફો Rs. 5 હોય, તો સાબિત કરો કે મહત્તમ નફો મેળવવા માટે ઉત્પાદકે A પ્રકારનાં 15 રમકડાં અને B પ્રકારનાં 30 રમકડાંનું દૈનિક ઉત્પાદન કરવું જોઈએ.
Answer: મહત્તમ નફો મેળવવા માટે ઉત્પાદકે A પ્રકારનાં 15 રમકડાં અને B પ્રકારનાં 30 રમકડાંનું દૈનિક ઉત્પાદન કરવું જોઈએ, જેનાથી મહત્તમ નફો Rs. 262.50 મળે છે.
In simple words: To maximize daily profit, the manufacturer should produce 15 toys of type A and 30 toys of type B, resulting in a profit of Rs. 262.50.

Exam Tip: Always convert all time units (hours to minutes) to match the machine processing time before forming the inequalities.

 

Question 5. એક વિમાન વધુમાં વધુ 200 મુસાફરોને લઈ જઈ શકે છે. એક ઉચ્ચવર્ગની ટિકિટમાંથી વિમાન કંપનીને Rs. 1000 નો નફો થાય છે અને એક સુલભ વર્ગની ટિકિટમાંથી કંપનીને Rs. 600 નફો થાય છે. વિમાની કંપની ઓછામાં ઓછી 20 બેઠકો ઉચ્ચવર્ગ માટે અનામત રાખે છે. આમ છતાં ઉચ્ચવર્ગનાં મુસાફરો કરતાં સુલભ વર્ગનાં ઓછામાં ઓછા 4 ગણા મુસાફરો મુસાફરી કરતાં હોય છે. વિમાની કંપનીએ દરેક વર્ગની કેટલી ટિકિટોનું વેચાણ કરવું જોઈએ કે જેથી મહત્તમ નફો થાય ? મહત્તમ નફો કેટલો થશે ?
Answer: ઉચ્ચવર્ગની ટિકિટની સંખ્યા 40 હોય તથા સુલભવર્ગની ટિકિટની સંખ્યા 160 હોય ત્યારે મહત્તમ નફો Rs. 1,36,000 મળે છે.
In simple words: Selling 40 first-class tickets and 160 economy tickets will give the airline the highest profit of Rs. 1,36,000.

Exam Tip: Pay close attention to the "at least" and "at most" conditions, as they determine the direction of the inequality signs.

 

Question 6. A અને B માં અનાજને રાખવા માટેની ક્ષમતા અનુક્રમે 100 ક્વિન્ટલ અને 50 ક્વિન્ટલ છે. આ અનાજને ત્રણ રેશનની દુકાન D, E અને F માં પહોંચાડવાનું હોય છે. તેમની જરૂરિયાત અનુક્રમે 60, 50 અને 40 ક્વિન્ટલની છે. ગોડાઉનથી રેશનની દુકાન સુધીનો ક્વિન્ટલ દીઠ પરિવહનનો ખર્ચ આગળ કોષ્ટકમાં આપેલ છે. પરિવહન-ખર્ચ ન્યૂનતમ થાય તે માટે અનાજને કેવી રીતે પહોંચાડવું જોઈએ ? ન્યૂનતમ ખર્ચ શોધો.
Answer: ગોડાઉન A માંથી રેશનની દુકાન D, E, F ને અનુક્રમે 10 ક્વિન્ટલ, 50 ક્વિન્ટલ તથા 40 ક્વિન્ટલ પહોંચાડાય છે. ગોડાઉન B માંથી રેશનની દુકાન D, E, F ને અનુક્રમે 50 ક્વિન્ટલ, 0 ક્વિન્ટલ તથા 0 ક્વિન્ટલ અનાજ પહોંચાડાય છે. પરિવહનનો ન્યૂનતમ ખર્ચ Rs. 510 મળે છે.
In simple words: By distributing the grain as specified, the total transport cost is minimized to Rs. 510.

Exam Tip: For transportation problems, ensure the sum of supplies equals the sum of demands to maintain a balanced model.

 

Question 7. એક ક્રૂડતેલની કંપનીની પાસે બે ડેપો A અને B અનુક્રમે 7000 લીટર અને 4000 લિટરની ક્ષમતાવાળા આવેલા છે. કંપનીએ જેની જરૂરિયાત અનુક્રમે 4500 લિટર, 3000 લિટર અને 3500 લિટર છે. તેવા ત્રણ પેટ્રોલ પંપ D, E, F ને ક્રૂડતેલ પહોંચાડે છે. ડેપો અને પેટ્રોલ પંપ વચ્ચેનાં અંતરો (કિમીમાં) નીચે કોષ્ટકમાં આપેલ છે. ધારો કે 10 લિટર ક્રૂડતેલનું પરિવહન-ખર્ચ કિલોમીટર દીઠ Rs. 1 છે. ક્રૂડતેલને ડેપોથી પેટ્રોલ પંપ પર કેવી રીતે પહોંચાડવાનું નક્કી કરશો કે જેથી પરિવહન-ખર્ચ ન્યૂનતમ થાય ? ન્યૂનતમ ખર્ચ કેટલો થશે ?
Answer: ડેપો A માંથી પેટ્રોલ પંપ D, E અને F ને અનુક્રમે 500 લિટર, 3000 લિટર તથા 3500 લિટર ક્રૂડતેલ પહોંચાડે છે. જ્યારે ડેપો B માંથી પેટ્રોલ પંપ D, E અને F ને અનુક્રમે 4000 લિટર, 0 લિટર તથા 0 લિટર ક્રૂડતેલ પહોંચાડે છે. પરિવહનનો ન્યૂનતમ ખર્ચ Rs. 4400 છે.
In simple words: Distributing the oil as calculated results in the lowest possible transport cost of Rs. 4400.

Exam Tip: Always double-check the cost calculation per unit when the given rate is for a batch (e.g., 10 liters) rather than a single unit.

 

Question 8. એક ફળ ઉત્પાદક તેના બગીચામાં P અને Q એમ બે પ્રકારની બ્રાન્ડનાં ખાતરનો ઉપયોગ કરી શકે છે. દરેક બ્રાન્ડની એક થેલી દીઠ નાઈટ્રૉજન, ફૉસ્ફરિક ઍસિડ, પોટાશ અને ક્લોરિનનો જથ્થો (કિગ્રામાં) કેટલો છે. તેનીચે કોષ્ટકમાં આપેલ છે. પરીક્ષણ પરથી માલૂમ પડ્યું કે, બગીચામાં ઓછામાં ઓછું 240 કિગ્રા ફૉસ્ફેરિક ઍસિડ, ઓછામાં ઓછું 270 કિગ્રા પોટાશ અને વધુમાં વધુ 310 કિગ્રા ક્લોરિનની જરૂર છે. જો ઉત્પાદક બગીચામાં નાઈટ્રૉજનનો ન્યૂનતમ જથ્થો ઉમેરવાનું ઈચ્છે, તો દરેક બ્રાન્ડની કેટલી થેલીનો ઉપયોગ કરવો જોઈએ ? બગીચામાં નાઈટ્રૉજનનો ન્યૂનતમ જથ્થો કેટલો ઉમેરવો પડશે ?
Answer: P પ્રકારનાં બ્રાન્ડની 40 થેલી તથા Q પ્રકારનાં બ્રાન્ડની 100 થેલીનો ઉપયોગ કરવામાં આવે તો નાઈટ્રૉજનનો ન્યૂનતમ જથ્થો 470 kg ઉમેરી શકાય.
In simple words: Using 40 bags of brand P and 100 bags of brand Q provides the minimum required nitrogen of 470 kg while meeting all other nutrient constraints.

Exam Tip: When minimizing a function, ensure the feasible region is correctly identified by the intersection of all given constraints.

 

Question 4. એક ઉત્પાદક A અને B પ્રકારનાં રમકડાં બનાવે છે. આ કામ માટે ત્રણ મશીનોની જરૂર પડે છે. દરેક રમકડું બનાવવા માટે મશીન પર લાગતો સમય (મિનિટમાં) નીચે પ્રમાણે આપેલ છે :
Answer:

દરેક મશીન પ્રતિદિન મહત્તમ 6 કલાક માટે ઉપલબ્ધ છે. ધારો કે ઉત્પાદક A પ્રકારનાં \( x \) રમકડાં તથા B પ્રકારનાં \( y \) રમકડાં બનાવે છે. આપેલ માહિતી પરથી:
\( 12x + 6y \leq 6 \times 60 \implies 2x + y \leq 60 \) ...(i)
\( 18x \leq 6 \times 60 \implies x \leq 20 \) ...(ii)
\( 6x + 9y \leq 6 \times 60 \implies 2x + 3y \leq 120 \) ...(iii)
\( x \geq 0, y \geq 0 \) ...(iv)
શરતો (i), (ii), (iii) તથા (iv) ને આધીન \( Z = 7.50x + 5y \) નું મહત્તમ મૂલ્ય મેળવવાનું છે. શક્ય ઉકેલ પ્રદેશનાં શિરોબિંદુઓ \( O(0, 0), P(20, 0), Q(20, 20), R(15, 30) \) તથા \( S(0, 40) \) છે. શિરોબિંદુઓ પર \( Z \) ના મૂલ્યો:
\( P(20, 0) \implies Z = 150 \)
\( Q(20, 20) \implies Z = 250 \)
\( R(15, 30) \implies Z = 262.50 \)
\( S(0, 40) \implies Z = 200 \)
\( Z = 7.50x + 5y \) નું મહત્તમ મૂલ્ય 262.50 છે, જે બિંદુ (15, 30) આગળ મળે છે. તેથી, મહત્તમ નફો મેળવવા માટે ઉત્પાદકે A પ્રકારનાં 15 રમકડાં અને B પ્રકારનાં 30 રમકડાંનું દૈનિક ઉત્પાદન કરવું જોઈએ.
In simple words: To get the highest profit, the manufacturer should produce 15 toys of type A and 30 toys of type B, as this combination fits within the machine time limits.

Exam Tip: Always list the vertices of the feasible region clearly and calculate the objective function value for each to identify the maximum or minimum point accurately.

 

Question 5. એક વિમાન વધુમાં વધુ 200 મુસાફરોને લઈ જઈ શકે છે. એક ઉચ્ચવર્ગની ટિકિટમાંથી વિમાન કંપનીને ₹ 1000 નો નફો થાય છે અને એક સુલભ વર્ગની ટિકિટમાંથી કંપનીને ₹ 600 નફો થાય છે. વિમાની કંપની ઓછામાં ઓછી 20 બેઠકો ઉચ્ચવર્ગ માટે અનામત રાખે છે. આમ છતાં ઉચ્ચવર્ગનાં મુસાફરો કરતાં સુલભ વર્ગનાં ઓછામાં ઓછા 4 ગણા મુસાફરો મુસાફરી કરતાં હોય છે. વિમાની કંપનીએ દરેક વર્ગની કેટલી ટિકિટોનું વેચાણ કરવું જોઈએ કે જેથી મહત્તમ નફો થાય ? મહત્તમ નફો કેટલો થશે ?
Answer:ધારો કે વિમાનમાં ઉચ્ચવર્ગની ટિકિટની સંખ્યા \( x \) છે તથા સુલભવર્ગની ટિકિટની સંખ્યા \( y \) છે. શરતો મુજબ:
\( x + y \leq 200 \) ...(i)
\( x \geq 20 \) ...(ii)
\( y \geq 4x \implies 4x - y \leq 0 \) ...(iii)
\( x \geq 0, y \geq 0 \) ...(iv)
શરતો (i), (ii), (iii) અને (iv) ને આધીન \( Z = 1000x + 600y \) નું મહત્તમ મૂલ્ય મેળવવાનું છે. શક્ય ઉકેલ પ્રદેશનાં શિરોબિંદુઓ \( P(20, 80), Q(40, 160) \) તથા \( R(20, 180) \) છે. શિરોબિંદુઓ પર \( Z \) ના મૂલ્યો:
\( P(20, 80) \implies Z = 68,000 \)
\( Q(40, 160) \implies Z = 1,36,000 \)
\( R(20, 180) \implies Z = 1,28,000 \)
\( Z \) નું મહત્તમ મૂલ્ય બિંદુ \( Q(40, 160) \) આગળ મળે છે. તેથી, ઉચ્ચવર્ગની ટિકિટની સંખ્યા 40 હોય તથા સુલભવર્ગની ટિકિટની સંખ્યા 160 હોય ત્યારે મહત્તમ નફો ₹ 1,36,000 મળે છે.
In simple words: The company makes the most profit by selling 40 high-class tickets and 160 economy-class tickets, totaling 200 passengers.

Exam Tip: When dealing with constraints like "at least 4 times", ensure the inequality is set up correctly as \( y \geq 4x \) to avoid errors in the feasible region.

 

Question 6. બે ગોડાઉન A અને B માં અનાજને રાખવા માટેની ક્ષમતા અનુક્રમે 100 ક્વિન્ટલ અને 50 ક્વિન્ટલ છે. આ અનાજને ત્રણ રેશનની દુકાન D, E અને F માં પહોંચાડવાનું હોય છે. તેમની જરૂરિયાત અનુક્રમે 60, 50 અને 40 ક્વિન્ટલની છે. ગોડાઉનથી રેશનની દુકાન સુધીનો ક્વિન્ટલ દીઠ પરિવહનનો ખર્ચ નીચે કોષ્ટકમાં આપેલ છે:
Answer:

ધારો કે ગોડાઉન A માંથી \( x \) ક્વિન્ટલ અનાજ દુકાન D માં તથા \( y \) ક્વિન્ટલ અનાજ દુકાન E માં પહોંચાડાય છે. બાકીનું \( 100 - (x + y) \) ક્વિન્ટલ દુકાન F માં પહોંચશે. પરિવહનનો ખર્ચ \( Z = 2.5x + 1.5y + 410 \) મળે છે. શક્ય ઉકેલ પ્રદેશનાં શિરોબિંદુઓ \( P(60, 0), Q(60, 40), R(50, 50) \) અને \( S(10, 50) \) છે. શિરોબિંદુઓ પર \( Z \) ના મૂલ્યો:
\( P(60, 0) \implies Z = 560 \)
\( Q(60, 40) \implies Z = 620 \)
\( R(50, 50) \implies Z = 610 \)
\( S(10, 50) \implies Z = 510 \)
\( Z \) નું ન્યૂનતમ મૂલ્ય 510 છે, જે બિંદુ \( S(10, 50) \) આગળ મળે છે. એટલે કે \( x = 10 \) અને \( y = 50 \). ગોડાઉન A માંથી દુકાન D, E, F ને અનુક્રમે 10, 50, 40 ક્વિન્ટલ અને ગોડાઉન B માંથી 50, 0, 0 ક્વિન્ટલ અનાજ પહોંચાડાય છે.
In simple words: To minimize transport costs, distribute the grain from the warehouses to the shops as calculated, resulting in a minimum cost of Rs. 510.

Exam Tip: Transportation problems require careful formulation of the cost function based on the remaining supply; double-check your arithmetic when simplifying the objective function.

 

Question 7. એક ક્રૂડતેલની કંપનીની પાસે બે ડેપો A અને B અનુક્રમે 7000 લિટર અને 4000 લિટરની ક્ષમતાવાળા આવેલા છે. કંપનીએ જેની જરૂરિયાત અનુક્રમે 4500 લિટર, 3000 લિટર અને 3500 લિટર છે. તેવા ત્રણ પેટ્રોલ પંપ D, E, F ને ક્રૂડતેલ પહોંચાડે છે. ડેપો અને પેટ્રોલ પંપ વચ્ચેનાં અંતરો (કિમીમાં) નીચે કોષ્ટકમાં આપેલ છે:
Answer:

ધારો કે ડેપો A માંથી \( x \) લિટર પેટ્રોલ પંપ D ને તથા \( y \) લિટર પેટ્રોલ પંપ E ને પહોંચાડાય છે. બાકીનું \( 7000 - (x + y) \) લિટર પેટ્રોલ પંપ F ને પહોંચાડાય છે. પરિવહનનો ખર્ચ \( Z = 0.3x + 0.1y + 3950 \) મળે છે. શક્ય ઉકેલ પ્રદેશનાં શિરોબિંદુઓ \( P(3500, 0), Q(4500, 0), R(4500, 2500), S(4000, 3000) \) તથા \( T(500, 3000) \) છે. શિરોબિંદુઓ પર \( Z \) ના મૂલ્યો:
\( P(3500, 0) \implies Z = 5000 \)
\( Q(4500, 0) \implies Z = 5300 \)
\( R(4500, 2500) \implies Z = 5550 \)
\( S(4000, 3000) \implies Z = 5450 \)
\( T(500, 3000) \implies Z = 4400 \)
\( Z \) નું ન્યૂનતમ મૂલ્ય 4400 છે, જે બિંદુ \( T(500, 3000) \) આગળ મળે છે. એટલે કે \( x = 500 \) અને \( y = 3000 \). ડેપો A માંથી પેટ્રોલ પંપ D, E અને F ને અનુક્રમે 500, 3000, 3500 લિટર ક્રૂડતેલ પહોંચાડાય છે.
In simple words: By distributing the oil from the depots to the pumps in these specific amounts, the company achieves the lowest possible transport cost of Rs. 4400.

Exam Tip: In large-scale transportation problems, ensure all constraints (supply and demand) are satisfied before calculating the objective function.

 

Question 8. એક ફળ ઉત્પાદક તેના બગીચામાં P અને Q એમ બે પ્રકારની બ્રાન્ડનાં ખાતરનો ઉપયોગ કરી શકે છે. દરેક બ્રાન્ડની એક થેલી દીઠ નાઈટ્રૉજન, ફૉસ્ફરિક ઍસિડ, પોટાશ અને ક્લોરિનનો જથ્થો (કિગ્રામાં) કેટલો છે. તેનીચે કોષ્ટકમાં આપેલ છે. પરીક્ષણ પરથી માલૂમ પડ્યું કે, બગીચામાં ઓછામાં ઓછું 240 કિગ્રા ફૉસ્ફેરિક ઍસિડ, ઓછામાં ઓછું 270 કિગ્રા પોટાશ અને વધુમાં વધુ 310 કિગ્રા ક્લોરિનની જરૂર છે. જો ઉત્પાદક બગીચામાં નાઈટ્રૉજનનો ન્યૂનતમ જથ્થો ઉમેરવાનું ઈચ્છે, તો દરેક બ્રાન્ડની કેટલી થેલીનો ઉપયોગ કરવો જોઈએ ? બગીચામાં નાઈટ્રૉજનનો ન્યૂનતમ જથ્થો કેટલો ઉમેરવો પડશે ?
Answer:

ધારો કે P પ્રકારનાં બ્રાન્ડનાં ખાતરની \( x \) થેલી તથા Q પ્રકારનાં બ્રાન્ડનાં ખાતરની \( y \) થેલી ઉત્પાદક ઉપયોગમાં લે છે. ગાણિતીક સ્વરૂપ: \( x + 2y \geq 240 \), \( 2x + y \geq 180 \), \( 3x + 4y \leq 620 \), \( x \geq 0, y \geq 0 \). ન્યૂનતમ \( Z = 3x + 3.5y \). શિરોબિંદુઓ P(40, 100), Q(140, 50), R(20, 140) માટે Z નું ન્યૂનતમ મૂલ્ય 470 છે જે બિંદુ P(40, 100) આગળ મળે છે. P પ્રકારની 40 થેલી તથા Q પ્રકારની 100 થેલીનો ઉપયોગ કરવાથી નાઈટ્રોજનનો ન્યૂનતમ જથ્થો 470 kg ઉમેરી શકાય.
In simple words: To get the minimum amount of nitrogen while meeting all nutrient requirements, the farmer should use 40 bags of brand P and 100 bags of brand Q.

Exam Tip: Always identify the constraints clearly from the table and solve for the vertices of the feasible region to find the minimum value.

 

Question 9. પ્રશ્ન 8 ના અનુસંધાનમાં જો ઉત્પાદક બગીચામાં નાઇટ્રૉજનનો મહત્તમ જથ્થો ઉમેરવાનું ઇચ્છે તો દરેક બ્રાન્ડની કેટલી થેલીનો ઉપયોગ કરવો જોઈએ ? બગીચામાં નાઇટ્રૉજનનો મહત્તમ જથ્થો કેટલો ઉમેરવો પડશે ?
Answer: પ્રશ્ન 8 ના અનુસંધાનમાં નાઇટ્રૉજનનો મહત્તમ જથ્થો ઉમેરવા માટે \( Z = 3x + 3.5y \) નું મહત્તમ મૂલ્ય લેવું પડે. સ્પષ્ટ છે કે \( Z = 3x + 3.5y \) નું મહત્તમ મૂલ્ય 595 છે, જે બિંદુ Q(140, 50) આગળ મળે છે. P પ્રકારની બ્રાન્ડની 140 થેલી તથા Q પ્રકારની બ્રાન્ડની 50 થેલીનો ઉપયોગ કરવામાં આવે તો નાઈટ્રૉજનનો મહત્તમ જથ્થો 595 kg ઉમેરી શકાય.
In simple words: To maximize the nitrogen added, the farmer should use 140 bags of brand P and 50 bags of brand Q, resulting in a total of 595 kg.

Exam Tip: When asked for maximum value in the same feasible region, simply check the other vertices of the polygon to find the highest Z value.

 

Question 10. એક રમકડાની કંપની A અને B બે પ્રકારની ઢીંગલીઓ બનાવે છે. બજારના પરીક્ષણો અને ઉપલબ્ધ સ્રોતો દર્શાવે છે કે, સાપ્તાહિક સંયુક્ત ઉત્પાદનનું સ્તર 1200 ઢીંગલીઓથી વધવું ન જોઈએ અને B પ્રકારની ઢીંગલીઓની માંગ A પ્રકારની ઢીંગલીઓ કરતાં વધુમાં વધુ અડધી છે. વળી, A પ્રકારની ઢીંગલીઓનું ઉત્પાદન B પ્રકારની ઢીંગલીઓના ઉત્પાદનના ત્રણ ગણા કરતાં વધુમાં વધુ 600 જેટલું વધુ છે. જો કંપની A અને B પ્રકારની ઢીંગલી પર અનુક્રમે ₹ 12 અને ₹ 16 નફો કરતી હોય, તો મહત્તમ નફો મેળવવા માટે સાપ્તાહિક દરેક પ્રકારની કેટલી ઢીંગલીનું ઉત્પાદન કરવું જોઈએ ?
Answer: ધારો કે કંપની A પ્રકારની \( x \) નંગ અને B પ્રકારની \( y \) નંગ ઢીંગલીઓ બનાવે છે. શરતો: \( x + y \leq 1200 \), \( x - 2y \geq 0 \), \( x - 3y \leq 600 \), \( x \geq 0, y \geq 0 \). મહત્તમ \( Z = 12x + 16y \). શિરોબિંદુઓ O(0, 0), P(600, 0), Q(1050, 150), R(800, 400) માટે Z નું મહત્તમ મૂલ્ય 16000 છે જે બિંદુ P(800, 400) પાસે મળે છે. A પ્રકારની 800 નંગ તથા B પ્રકારની 400 નંગ ઢીંગલીઓનું ઉત્પાદન કરવાથી મહત્તમ નફો ₹ 16000 મળે છે.
In simple words: To earn the highest profit, the company should produce 800 dolls of type A and 400 dolls of type B per week.

Exam Tip: Ensure all inequalities are correctly derived from the problem statement before plotting the graph to find the feasible region.