GSEB Class 12 Maths Solutions Chapter 10 સદિશ બીજગણિત Exercise 10.3

Question 1. બે સદિશોનાં માન અનુક્રમે \( \sqrt{3} \) અને 2 તથા \( \vec{a} \cdot \vec{b} = \sqrt{6} \) આપેલ હોય, તો તે સદિશો વચ્ચેનો ખૂણો શોધો.
Answer: ધારો કે સદિશો \( \vec{a} \) અને \( \vec{b} \) વચ્ચેનો ખૂણો \( \theta \) છે. આપણને આપેલ છે કે \( |\vec{a}| = \sqrt{3} \), \( |\vec{b}| = 2 \) અને \( \vec{a} \cdot \vec{b} = \sqrt{6} \).
આપણે જાણીએ છીએ કે,
\( \cos \theta = \frac{ \vec{a} \cdot \vec{b} }{ |\vec{a}| |\vec{b}| } \)
\( \implies \cos \theta = \frac{ \sqrt{6} }{ \sqrt{3} \times 2 } \)
\( \implies \cos \theta = \frac{ \sqrt{3} \times \sqrt{2} }{ \sqrt{3} \times 2 } \)
\( \implies \cos \theta = \frac{ \sqrt{2} }{ 2 } \)
\( \implies \cos \theta = \frac{ 1 }{ \sqrt{2} } \)
\( \implies \cos \theta = \cos \frac{ \pi }{ 4 } \)
\( \implies \theta = \frac{ \pi }{ 4 } \)
In simple words: The angle between the two given vectors is found by using the dot product formula. After substituting the given magnitudes and dot product, we simplify to find that the cosine of the angle is \( \frac{1}{\sqrt{2}} \), which means the angle is \( \frac{\pi}{4} \).

Exam Tip: Remember the formula for the angle between two vectors: \( \cos \theta = \frac{ \vec{a} \cdot \vec{b} }{ |\vec{a}| |\vec{b}| } \). Always substitute values carefully and simplify radical expressions correctly.

Question 2. સદિશો \( \hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k} \) અને \( 3\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k} \) વચ્ચેનો ખૂણો શોધો.
Answer: ધારો કે આપેલા સદિશો \( \vec{a} \) અને \( \vec{b} \) છે.
\( \vec{a} = \hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k} \)
\( \vec{b} = 3\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k} \)
સદિશોના માન શોધીએ:
\( |\vec{a}| = \sqrt{ (1)^2 + (-2)^2 + (3)^2 } = \sqrt{ 1 + 4 + 9 } = \sqrt{14} \)
\( |\vec{b}| = \sqrt{ (3)^2 + (-2)^2 + (1)^2 } = \sqrt{ 9 + 4 + 1 } = \sqrt{14} \)
સદિશોનો અદિશ ગુણાકાર શોધીએ:
\( \vec{a} \cdot \vec{b} = (\hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k}) \cdot (3\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}) \)
\( \implies \vec{a} \cdot \vec{b} = (1)(3) + (-2)(-2) + (3)(1) \)
\( \implies \vec{a} \cdot \vec{b} = 3 + 4 + 3 = 10 \)
ધારો કે સદિશો \( \vec{a} \) અને \( \vec{b} \) વચ્ચેનો ખૂણો \( \theta \) છે.
\( \cos \theta = \frac{ \vec{a} \cdot \vec{b} }{ |\vec{a}| |\vec{b}| } \)
\( \implies \cos \theta = \frac{ 10 }{ \sqrt{14} \sqrt{14} } \)
\( \implies \cos \theta = \frac{ 10 }{ 14 } \)
\( \implies \cos \theta = \frac{ 5 }{ 7 } \)
\( \implies \theta = \cos^{-1} \left( \frac{5}{7} \right) \)
આમ, આપેલ બે સદિશો વચ્ચેનો ખૂણો \( \cos^{-1} \left( \frac{5}{7} \right) \) છે.
In simple words: To find the angle between these vectors, first calculate their magnitudes and their dot product. Then, plug these values into the cosine formula to determine the angle, which turns out to be \( \cos^{-1} \left( \frac{5}{7} \right) \).

Exam Tip: For vector angle problems, remember to find the magnitude of each vector and their dot product before applying the cosine formula. Be careful with calculations involving negative signs.

Question 3. સદિશ \( \hat{i} - \hat{j} \) નો સદિશ \( \hat{i} + \hat{j} \) પરનો પ્રક્ષેપ શોધો.
Answer: ધારો કે \( \vec{a} = \hat{i} - \hat{j} \) અને \( \vec{b} = \hat{i} + \hat{j} \) છે.
સદિશ \( \vec{a} \) નો સદિશ \( \vec{b} \) પરનો પ્રક્ષેપ \( \frac{ \vec{a} \cdot \vec{b} }{ |\vec{b}| } \) છે.
સૌ પ્રથમ, \( \vec{a} \cdot \vec{b} \) શોધીએ:
\( \vec{a} \cdot \vec{b} = (\hat{i} - \hat{j}) \cdot (\hat{i} + \hat{j}) \)
\( \implies \vec{a} \cdot \vec{b} = (1)(1) + (-1)(1) \)
\( \implies \vec{a} \cdot \vec{b} = 1 - 1 = 0 \)
હવે, \( |\vec{b}| \) શોધીએ:
\( |\vec{b}| = \sqrt{ (1)^2 + (1)^2 } = \sqrt{ 1 + 1 } = \sqrt{2} \)
તેથી, સદિશ \( \vec{a} \) નો સદિશ \( \vec{b} \) પરનો પ્રક્ષેપ:
\( \frac{ \vec{a} \cdot \vec{b} }{ |\vec{b}| } = \frac{ 0 }{ \sqrt{2} } = 0 \)
આમ, સદિશ \( \vec{a} \) નો સદિશ \( \vec{b} \) પરનો પ્રક્ષેપ શૂન્ય છે.
નોંધ: જો બે સદિશોનો અદિશ ગુણાકાર શૂન્ય હોય, તો તેઓ પરસ્પર લંબ હોય છે, અને એક સદિશનો બીજા પરનો પ્રક્ષેપ શૂન્ય હોય છે. અહીં \( \vec{a} \) અને \( \vec{b} \) વચ્ચેનો ખૂણો \( \frac{\pi}{2} \) છે.
In simple words: To find the projection of vector \( \vec{a} \) onto vector \( \vec{b} \), we first compute their dot product. Since the dot product is zero, the projection is also zero. This shows the vectors are perpendicular.

Exam Tip: Remember that if the dot product of two non-zero vectors is zero, the vectors are orthogonal (perpendicular), and the projection of one onto the other is zero.

Question 4. સદિશ \( \hat{i} + 3\hat{j} + 7\hat{k} \) નો \( 7\hat{i} - \hat{j} + 8\hat{k} \) પરનો પ્રક્ષેપ શોધો.
Answer: ધારો કે \( \vec{a} = \hat{i} + 3\hat{j} + 7\hat{k} \) અને \( \vec{b} = 7\hat{i} - \hat{j} + 8\hat{k} \) છે.
સદિશ \( \vec{a} \) નો સદિશ \( \vec{b} \) પરનો પ્રક્ષેપ \( \frac{ \vec{a} \cdot \vec{b} }{ |\vec{b}| } \) છે.
સૌ પ્રથમ, \( \vec{a} \cdot \vec{b} \) શોધીએ:
\( \vec{a} \cdot \vec{b} = (\hat{i} + 3\hat{j} + 7\hat{k}) \cdot (7\hat{i} - \hat{j} + 8\hat{k}) \)
\( \implies \vec{a} \cdot \vec{b} = (1)(7) + (3)(-1) + (7)(8) \)
\( \implies \vec{a} \cdot \vec{b} = 7 - 3 + 56 = 60 \)
હવે, \( |\vec{b}| \) શોધીએ:
\( |\vec{b}| = \sqrt{ (7)^2 + (-1)^2 + (8)^2 } \)
\( \implies |\vec{b}| = \sqrt{ 49 + 1 + 64 } = \sqrt{114} \)
તેથી, સદિશ \( \vec{a} \) નો સદિશ \( \vec{b} \) પરનો પ્રક્ષેપ:
\( \frac{ \vec{a} \cdot \vec{b} }{ |\vec{b}| } = \frac{ 60 }{ \sqrt{114} } \)
આમ, સદિશ \( \vec{a} \) નો સદિશ \( \vec{b} \) પરનો પ્રક્ષેપ \( \frac{60}{\sqrt{114}} \) છે.
In simple words: To find the projection of one vector onto another, we first calculate the dot product of the two vectors and the magnitude of the target vector. Then we divide the dot product by the target vector's magnitude to get the scalar projection value.

Exam Tip: Remember that the projection of vector \( \vec{a} \) onto vector \( \vec{b} \) is a scalar quantity given by \( \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|} \). Always simplify the final expression if possible.

Question 5. દર્શાવો કે નીચે આપેલ ત્રણ સદિશો પૈકી પ્રત્યેક સદિશ એકમ સદિશ છે: \( \frac{1}{7}(2\hat{i} + 3\hat{j} + 6\hat{k}) \), \( \frac{1}{7}(3\hat{i} - 6\hat{j} + 2\hat{k}) \), \( \frac{1}{7}(6\hat{i} + 2\hat{j} - 3\hat{k}) \). વળી, સાબિત કરો કે આ સદિશો પરસ્પર લંબ છે.
Answer: ધારો કે આપેલ સદિશો \( \vec{a} \), \( \vec{b} \) અને \( \vec{c} \) છે.
\( \vec{a} = \frac{1}{7}(2\hat{i} + 3\hat{j} + 6\hat{k}) = \frac{2}{7}\hat{i} + \frac{3}{7}\hat{j} + \frac{6}{7}\hat{k} \)
\( \vec{b} = \frac{1}{7}(3\hat{i} - 6\hat{j} + 2\hat{k}) = \frac{3}{7}\hat{i} - \frac{6}{7}\hat{j} + \frac{2}{7}\hat{k} \)
\( \vec{c} = \frac{1}{7}(6\hat{i} + 2\hat{j} - 3\hat{k}) = \frac{6}{7}\hat{i} + \frac{2}{7}\hat{j} - \frac{3}{7}\hat{k} \)
**દરેક સદિશ એકમ સદિશ છે તે સાબિત કરવું:**
સદિશ \( \vec{a} \) નું માન શોધીએ:
\( |\vec{a}| = \sqrt{ \left(\frac{2}{7}\right)^2 + \left(\frac{3}{7}\right)^2 + \left(\frac{6}{7}\right)^2 } \)
\( \implies |\vec{a}| = \sqrt{ \frac{4}{49} + \frac{9}{49} + \frac{36}{49} } \)
\( \implies |\vec{a}| = \sqrt{ \frac{4+9+36}{49} } = \sqrt{ \frac{49}{49} } = \sqrt{1} = 1 \)
સદિશ \( \vec{b} \) નું માન શોધીએ:
\( |\vec{b}| = \sqrt{ \left(\frac{3}{7}\right)^2 + \left(\frac{-6}{7}\right)^2 + \left(\frac{2}{7}\right)^2 } \)
\( \implies |\vec{b}| = \sqrt{ \frac{9}{49} + \frac{36}{49} + \frac{4}{49} } \)
\( \implies |\vec{b}| = \sqrt{ \frac{9+36+4}{49} } = \sqrt{ \frac{49}{49} } = \sqrt{1} = 1 \)
સદિશ \( \vec{c} \) નું માન શોધીએ:
\( |\vec{c}| = \sqrt{ \left(\frac{6}{7}\right)^2 + \left(\frac{2}{7}\right)^2 + \left(\frac{-3}{7}\right)^2 } \)
\( \implies |\vec{c}| = \sqrt{ \frac{36}{49} + \frac{4}{49} + \frac{9}{49} } \)
\( \implies |\vec{c}| = \sqrt{ \frac{36+4+9}{49} } = \sqrt{ \frac{49}{49} } = \sqrt{1} = 1 \)
આમ, સદિશો \( \vec{a} \), \( \vec{b} \) અને \( \vec{c} \) નું માન 1 છે. તેથી, પ્રત્યેક સદિશ એકમ સદિશ છે.
**સદિશો પરસ્પર લંબ છે તે સાબિત કરવું:**
\( \vec{a} \cdot \vec{b} \) શોધીએ:
\( \vec{a} \cdot \vec{b} = \left( \frac{2}{7}\hat{i} + \frac{3}{7}\hat{j} + \frac{6}{7}\hat{k} \right) \cdot \left( \frac{3}{7}\hat{i} - \frac{6}{7}\hat{j} + \frac{2}{7}\hat{k} \right) \)
\( \implies \vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{2}{7} \cdot \frac{3}{7} + \frac{3}{7} \cdot \left(\frac{-6}{7}\right) + \frac{6}{7} \cdot \frac{2}{7} \)
\( \implies \vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{6}{49} - \frac{18}{49} + \frac{12}{49} \)
\( \implies \vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{6 - 18 + 12}{49} = \frac{0}{49} = 0 \)
\( \vec{b} \cdot \vec{c} \) શોધીએ:
\( \vec{b} \cdot \vec{c} = \left( \frac{3}{7}\hat{i} - \frac{6}{7}\hat{j} + \frac{2}{7}\hat{k} \right) \cdot \left( \frac{6}{7}\hat{i} + \frac{2}{7}\hat{j} - \frac{3}{7}\hat{k} \right) \)
\( \implies \vec{b} \cdot \vec{c} = \frac{3}{7} \cdot \frac{6}{7} + \left(\frac{-6}{7}\right) \cdot \frac{2}{7} + \frac{2}{7} \cdot \left(\frac{-3}{7}\right) \)
\( \implies \vec{b} \cdot \vec{c} = \frac{18}{49} - \frac{12}{49} - \frac{6}{49} \)
\( \implies \vec{b} \cdot \vec{c} = \frac{18 - 12 - 6}{49} = \frac{0}{49} = 0 \)
\( \vec{a} \cdot \vec{c} \) શોધીએ:
\( \vec{a} \cdot \vec{c} = \left( \frac{2}{7}\hat{i} + \frac{3}{7}\hat{j} + \frac{6}{7}\hat{k} \right) \cdot \left( \frac{6}{7}\hat{i} + \frac{2}{7}\hat{j} - \frac{3}{7}\hat{k} \right) \)
\( \implies \vec{a} \cdot \vec{c} = \frac{2}{7} \cdot \frac{6}{7} + \frac{3}{7} \cdot \frac{2}{7} + \frac{6}{7} \cdot \left(\frac{-3}{7}\right) \)
\( \implies \vec{a} \cdot \vec{c} = \frac{12}{49} + \frac{6}{49} - \frac{18}{49} \)
\( \implies \vec{a} \cdot \vec{c} = \frac{12 + 6 - 18}{49} = \frac{0}{49} = 0 \)
આમ, \( \vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \), \( \vec{b} \cdot \vec{c} = 0 \), અને \( \vec{a} \cdot \vec{c} = 0 \) હોવાથી, સદિશો \( \vec{a} \), \( \vec{b} \) અને \( \vec{c} \) પરસ્પર લંબ છે.
In simple words: First, we prove each vector is a unit vector by showing its magnitude is 1. Then, we demonstrate that all pairs of these vectors are perpendicular by showing their dot product is zero, confirming they are mutually orthogonal.

Exam Tip: To prove vectors are unit vectors, calculate their magnitudes; they should all be 1. To prove they are mutually perpendicular (orthogonal), calculate the dot product of each pair; all dot products should be 0.

Question 6. જો \( (\vec{a}+\vec{b}) \cdot (\vec{a}-\vec{b}) = 8 \) અને \( |\vec{a}| = 8 |\vec{b}| \) તો, \( |\vec{a}| \) અને \( |\vec{b}| \) શોધો.
Answer: આપેલ છે કે \( (\vec{a}+\vec{b}) \cdot (\vec{a}-\vec{b}) = 8 \).
\( \implies \vec{a} \cdot \vec{a} - \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{a} - \vec{b} \cdot \vec{b} = 8 \)
આપણે જાણીએ છીએ કે \( \vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2 \) અને \( \vec{b} \cdot \vec{b} = |\vec{b}|^2 \), અને \( \vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a} \).
\( \implies |\vec{a}|^2 - |\vec{b}|^2 = 8 \) (સમીકરણ 1)
આપેલ છે કે \( |\vec{a}| = 8 |\vec{b}| \).
સમીકરણ 1 માં \( |\vec{a}| \) ની કિંમત મૂકતાં:
\( (8|\vec{b}|)^2 - |\vec{b}|^2 = 8 \)
\( \implies 64|\vec{b}|^2 - |\vec{b}|^2 = 8 \)
\( \implies 63|\vec{b}|^2 = 8 \)
\( \implies |\vec{b}|^2 = \frac{8}{63} \)
\( \implies |\vec{b}| = \sqrt{\frac{8}{63}} \)
\( \implies |\vec{b}| = \frac{\sqrt{8}}{\sqrt{63}} = \frac{2\sqrt{2}}{3\sqrt{7}} \)
હવે, \( |\vec{a}| \) શોધીએ:
\( |\vec{a}| = 8 |\vec{b}| = 8 \times \frac{2\sqrt{2}}{3\sqrt{7}} = \frac{16\sqrt{2}}{3\sqrt{7}} \)
આમ, \( |\vec{a}| = \frac{16\sqrt{2}}{3\sqrt{7}} \) અને \( |\vec{b}| = \frac{2\sqrt{2}}{3\sqrt{7}} \) છે.
In simple words: We start by simplifying the dot product expression using vector properties to get \( |\vec{a}|^2 - |\vec{b}|^2 = 8 \). Then, we substitute the given relationship between \( |\vec{a}| \) and \( |\vec{b}| \) into this equation to solve for \( |\vec{b}| \), and finally use that value to find \( |\vec{a}| \).

Exam Tip: Remember the identities: \( (\vec{a}+\vec{b}) \cdot (\vec{a}-\vec{b}) = |\vec{a}|^2 - |\vec{b}|^2 \). This identity simplifies calculations significantly. Always rationalize denominators in final answers if needed, although here it is left as \( 3\sqrt{7} \).

Question 7. \( (3\vec{a}-5\vec{b}) \cdot (2\vec{a}+7\vec{b}) \) શોધો.
Answer: આપેલ અભિવ્યક્તિને વિતરણના નિયમનો ઉપયોગ કરીને વિસ્તારીએ:
\( (3\vec{a}-5\vec{b}) \cdot (2\vec{a}+7\vec{b}) \)
\( \implies 3\vec{a} \cdot (2\vec{a}+7\vec{b}) - 5\vec{b} \cdot (2\vec{a}+7\vec{b}) \)
\( \implies (3\vec{a} \cdot 2\vec{a}) + (3\vec{a} \cdot 7\vec{b}) - (5\vec{b} \cdot 2\vec{a}) - (5\vec{b} \cdot 7\vec{b}) \)
\( \implies 6(\vec{a} \cdot \vec{a}) + 21(\vec{a} \cdot \vec{b}) - 10(\vec{b} \cdot \vec{a}) - 35(\vec{b} \cdot \vec{b}) \)
આપણે જાણીએ છીએ કે \( \vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2 \) અને \( \vec{b} \cdot \vec{b} = |\vec{b}|^2 \), અને \( \vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a} \).
\( \implies 6|\vec{a}|^2 + 21(\vec{a} \cdot \vec{b}) - 10(\vec{a} \cdot \vec{b}) - 35|\vec{b}|^2 \)
\( \implies 6|\vec{a}|^2 + 11(\vec{a} \cdot \vec{b}) - 35|\vec{b}|^2 \)
In simple words: We expand the dot product using the distributive property, treating vector dot products like algebraic multiplication. Then, we use the properties \( \vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2 \) and \( \vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a} \) to simplify the expression to its final form.

Exam Tip: Remember the distributive property for dot products: \( \vec{x} \cdot (\vec{y}+\vec{z}) = \vec{x} \cdot \vec{y} + \vec{x} \cdot \vec{z} \). Also, note that \( \vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a} \) and \( \vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2 \).

Question 8. જો બે સદિશો \( \vec{a} \) અને \( \vec{b} \) નાં માન સમાન હોય અને તેમની વચ્ચેનો ખૂણો 60° તથા તેમનો અદિશ ગુણાકાર \( \frac{1}{2} \) હોય તો તેમનાં માન શોધો.
Answer: આપેલ છે કે બે સદિશો \( \vec{a} \) અને \( \vec{b} \) ના માન સરખા છે.
\( \implies |\vec{a}| = |\vec{b}| \)
તેમની વચ્ચેનો ખૂણો \( \theta = 60^\circ \) છે.
તેમનો અદિશ ગુણાકાર \( \vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{1}{2} \) છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે \( \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta \).
કિંમતો મૂકતાં:
\( \frac{1}{2} = |\vec{a}| |\vec{a}| \cos 60^\circ \) (કારણ કે \( |\vec{a}| = |\vec{b}| \))
\( \implies \frac{1}{2} = |\vec{a}|^2 \left(\frac{1}{2}\right) \)
બંને બાજુ \( \frac{1}{2} \) વડે ભાગતા:
\( |\vec{a}|^2 = 1 \)
\( \implies |\vec{a}| = \sqrt{1} = 1 \) (માન હંમેશા ધન હોય છે)
કારણ કે \( |\vec{a}| = |\vec{b}| \),
\( \implies |\vec{b}| = 1 \)
આમ, બંને સદિશો \( \vec{a} \) અને \( \vec{b} \) નું માન 1 છે. તેઓ એકમ સદિશ છે.
In simple words: We use the dot product formula, substituting the given dot product value and the 60-degree angle. Since both vectors have equal magnitudes, we can replace \( |\vec{b}| \) with \( |\vec{a}| \), which simplifies the equation and allows us to solve for their magnitudes, finding both are 1.

Exam Tip: Always remember the basic definition of the dot product: \( \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta \). For unit vectors, their magnitude is 1. Pay attention to properties like equal magnitudes or perpendicularity as they simplify the problem.

Question 9. જો એકમ સદિશ \( \vec{a} \) માટે \( (\vec{x}-\vec{a}) \cdot (\vec{x}+\vec{a}) = 12 \) હોય તો \( |\vec{x}| \) શોધો.
Answer: આપેલ છે કે \( (\vec{x}-\vec{a}) \cdot (\vec{x}+\vec{a}) = 12 \).
આપણે જાણીએ છીએ કે \( (\vec{A}-\vec{B}) \cdot (\vec{A}+\vec{B}) = |\vec{A}|^2 - |\vec{B}|^2 \).
આ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતાં:
\( |\vec{x}|^2 - |\vec{a}|^2 = 12 \)
વળી, આપેલ છે કે \( \vec{a} \) એકમ સદિશ છે.
\( \implies |\vec{a}| = 1 \)
\( |\vec{a}| \) ની કિંમત સમીકરણમાં મૂકતાં:
\( |\vec{x}|^2 - (1)^2 = 12 \)
\( \implies |\vec{x}|^2 - 1 = 12 \)
\( \implies |\vec{x}|^2 = 12 + 1 \)
\( \implies |\vec{x}|^2 = 13 \)
\( \implies |\vec{x}| = \sqrt{13} \)
આમ, \( |\vec{x}| = \sqrt{13} \) છે.
In simple words: We use the vector identity \( (\vec{x}-\vec{a}) \cdot (\vec{x}+\vec{a}) = |\vec{x}|^2 - |\vec{a}|^2 \) and substitute the given values. Since \( \vec{a} \) is a unit vector, its magnitude is 1. Plugging this into the equation, we solve for \( |\vec{x}| \).

Exam Tip: Recognise algebraic identities in vector form, such as \( (\vec{x}-\vec{a}) \cdot (\vec{x}+\vec{a}) = |\vec{x}|^2 - |\vec{a}|^2 \). Also, always remember that an 'unit vector' has a magnitude of 1.

Question 10. જો સદિશો \( \vec{a} = 2\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k} \), \( \vec{b} = -\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k} \) અને \( \vec{c} = 3\hat{i} + \hat{j} \) માટે \( \vec{a}+\lambda \vec{b} \) એ \( \vec{c} \) ને લંબ હોય, તો \( \lambda \) નું મૂલ્ય શોધો.
Answer: આપેલ સદિશો છે:
\( \vec{a} = 2\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k} \)
\( \vec{b} = -\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k} \)
\( \vec{c} = 3\hat{i} + \hat{j} \)
પ્રથમ, \( \vec{a}+\lambda \vec{b} \) શોધીએ:
\( \vec{a}+\lambda \vec{b} = (2\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}) + \lambda (-\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}) \)
\( \implies \vec{a}+\lambda \vec{b} = (2 - \lambda)\hat{i} + (2 + 2\lambda)\hat{j} + (3 + \lambda)\hat{k} \)
આપેલ છે કે \( \vec{a}+\lambda \vec{b} \) અને \( \vec{c} \) પરસ્પર લંબ છે.
તેથી, તેમનો અદિશ ગુણાકાર શૂન્ય હોવો જોઈએ:
\( (\vec{a}+\lambda \vec{b}) \cdot \vec{c} = 0 \)
\( \implies [ (2 - \lambda)\hat{i} + (2 + 2\lambda)\hat{j} + (3 + \lambda)\hat{k} ] \cdot (3\hat{i} + \hat{j} + 0\hat{k}) = 0 \)
\( \implies (2 - \lambda)(3) + (2 + 2\lambda)(1) + (3 + \lambda)(0) = 0 \)
\( \implies 6 - 3\lambda + 2 + 2\lambda = 0 \)
\( \implies 8 - \lambda = 0 \)
\( \implies \lambda = 8 \)
આમ, \( \lambda \) નું મૂલ્ય 8 છે.
In simple words: First, form the vector \( \vec{a} + \lambda\vec{b} \). Since this new vector is perpendicular to \( \vec{c} \), their dot product must be zero. Set up the dot product equation and solve for \( \lambda \).

Exam Tip: Two vectors are perpendicular if and only if their dot product is zero. Always form the combined vector accurately before calculating the dot product.

Question 11. કોઈ પણ બે શૂન્યતર સદિશો \( \vec{a} \) અને \( \vec{b} \) માટે દર્શાવો કે \( |\vec{a}| \vec{b} + |\vec{b}| \vec{a} \) એ \( |\vec{a}| \vec{b} - |\vec{b}| \vec{a} \) ને લંબ છે.
Answer: બે સદિશો પરસ્પર લંબ છે તે દર્શાવવા માટે, તેમનો અદિશ ગુણાકાર શૂન્ય છે તે સાબિત કરવો પડે.
ધારો કે \( \vec{x} = |\vec{a}| \vec{b} + |\vec{b}| \vec{a} \) અને \( \vec{y} = |\vec{a}| \vec{b} - |\vec{b}| \vec{a} \) છે.
તેમનો અદિશ ગુણાકાર શોધીએ:
\( \vec{x} \cdot \vec{y} = (|\vec{a}| \vec{b} + |\vec{b}| \vec{a}) \cdot (|\vec{a}| \vec{b} - |\vec{b}| \vec{a}) \)
આપણે જાણીએ છીએ કે \( (\vec{A}+\vec{B}) \cdot (\vec{A}-\vec{B}) = |\vec{A}|^2 - |\vec{B}|^2 \).
અહીં \( \vec{A} = |\vec{a}| \vec{b} \) અને \( \vec{B} = |\vec{b}| \vec{a} \) છે.
\( \implies \vec{x} \cdot \vec{y} = | |\vec{a}| \vec{b} |^2 - | |\vec{b}| \vec{a} |^2 \)
આપણે જાણીએ છીએ કે \( |k\vec{v}| = |k| |\vec{v}| \) જ્યાં \( k \) અદિશ છે.
\( \implies \vec{x} \cdot \vec{y} = (|\vec{a}|)^2 |\vec{b}|^2 - (|\vec{b}|)^2 |\vec{a}|^2 \)
\( \implies \vec{x} \cdot \vec{y} = |\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2 - |\vec{b}|^2 |\vec{a}|^2 \)
\( \implies \vec{x} \cdot \vec{y} = 0 \)
કારણ કે અદિશ ગુણાકાર શૂન્ય છે, તેથી \( |\vec{a}| \vec{b} + |\vec{b}| \vec{a} \) એ \( |\vec{a}| \vec{b} - |\vec{b}| \vec{a} \) ને લંબ છે.
In simple words: To show that two vectors are perpendicular, we calculate their dot product. Using the algebraic identity \( (A+B)(A-B) = A^2 - B^2 \), we find that the dot product of the given vectors simplifies to zero. Since the dot product is zero, the vectors are indeed perpendicular.

Exam Tip: A crucial step is recognising the algebraic identity \( (A+B)(A-B) = A^2 - B^2 \) and applying it to vector magnitudes. Remember that \( |k\vec{v}| = |k||\vec{v}| \), and the property \( |\vec{v}|^2 = \vec{v} \cdot \vec{v} \).

Question 12. જો \( \vec{a} \cdot \vec{a} = 0 \) અને \( \vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \) હોય, તો દિશ \( \vec{b} \) વિશે શું તારવી શકાય ?
Answer: આપેલ છે કે \( \vec{a} \cdot \vec{a} = 0 \).
આપણે જાણીએ છીએ કે \( \vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2 \).
તેથી, \( |\vec{a}|^2 = 0 \implies |\vec{a}| = 0 \).
જો કોઈ સદિશનું માન શૂન્ય હોય, તો તે શૂન્ય સદિશ હોય છે.
આમ, \( \vec{a} = \vec{0} \).
આપેલ છે કે \( \vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \).
જો \( \vec{a} = \vec{0} \) હોય, તો \( \vec{0} \cdot \vec{b} = 0 \) હંમેશા સાચું છે, ભલે \( \vec{b} \) કોઈ પણ સદિશ હોય.
તેથી, \( \vec{b} \) કોઈ પણ સદિશ હોઈ શકે છે. તે શૂન્ય સદિશ હોઈ શકે, શૂન્યતર સદિશ હોઈ શકે, અથવા \( \vec{a} \) ને લંબ ન પણ હોય. \( \vec{b} \) સંપૂર્ણપણે સ્વતંત્ર છે.
In simple words: If the dot product of a vector with itself is zero, that vector must be the zero vector. Since \( \vec{a} \) is the zero vector, its dot product with any other vector \( \vec{b} \) will always be zero, meaning \( \vec{b} \) can be any vector at all.

Exam Tip: Remember the fundamental property: \( \vec{a} \cdot \vec{a} = 0 \) implies \( \vec{a} = \vec{0} \). The dot product of a zero vector with any other vector is always zero, so no conclusion can be drawn about the second vector in such a case.

Question 13. જો \( \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} \) એકમ સદિશો હોય અને \( \vec{a}+\vec{b}+\vec{c} = \vec{0} \) હોય, તો \( \vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{b} \cdot \vec{c}+\vec{c} \cdot \vec{a} \) શોધો.
Answer: આપેલ છે કે \( \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} \) એકમ સદિશો છે.
તેથી, \( |\vec{a}|=1 \), \( |\vec{b}|=1 \), \( |\vec{c}|=1 \).
આપેલ છે કે \( \vec{a}+\vec{b}+\vec{c} = \vec{0} \).
**રીત 1:**
(i) \( \vec{a} \cdot (\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}) = \vec{a} \cdot \vec{0} \)
\( \implies \vec{a} \cdot \vec{a} + \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c} = 0 \)
\( \implies |\vec{a}|^2 + \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c} = 0 \)
\( \implies 1 + \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c} = 0 \) ...(i)
(ii) \( \vec{b} \cdot (\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}) = \vec{b} \cdot \vec{0} \)
\( \implies \vec{b} \cdot \vec{a} + \vec{b} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} = 0 \)
\( \implies \vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{b}|^2 + \vec{b} \cdot \vec{c} = 0 \)
\( \implies \vec{a} \cdot \vec{b} + 1 + \vec{b} \cdot \vec{c} = 0 \) ...(ii)
(iii) \( \vec{c} \cdot (\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}) = \vec{c} \cdot \vec{0} \)
\( \implies \vec{c} \cdot \vec{a} + \vec{c} \cdot \vec{b} + \vec{c} \cdot \vec{c} = 0 \)
\( \implies \vec{a} \cdot \vec{c} + \vec{b} \cdot \vec{c} + |\vec{c}|^2 = 0 \)
\( \implies \vec{a} \cdot \vec{c} + \vec{b} \cdot \vec{c} + 1 = 0 \) ...(iii)
સમીકરણો (i), (ii) અને (iii) નો સરવાળો કરતાં:
\( (1 + \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c}) + (\vec{a} \cdot \vec{b} + 1 + \vec{b} \cdot \vec{c}) + (\vec{a} \cdot \vec{c} + \vec{b} \cdot \vec{c} + 1) = 0 \)
\( \implies 3 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) = 0 \)
\( \implies 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) = -3 \)
\( \implies \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a} = -\frac{3}{2} \)
**રીત 2:**
આપેલ છે કે \( \vec{a}+\vec{b}+\vec{c} = \vec{0} \).
બંને બાજુ પોતાનો અદિશ ગુણાકાર લેતાં:
\( (\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}) \cdot (\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}) = \vec{0} \cdot \vec{0} \)
\( \implies |\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}|^2 = 0 \)
આપણે જાણીએ છીએ કે \( |\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) \).
\( \implies |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) = 0 \)
કારણ કે \( \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} \) એકમ સદિશો છે, \( |\vec{a}|=1 \), \( |\vec{b}|=1 \), \( |\vec{c}|=1 \).
\( \implies 1^2 + 1^2 + 1^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) = 0 \)
\( \implies 1 + 1 + 1 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) = 0 \)
\( \implies 3 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) = 0 \)
\( \implies 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) = -3 \)
\( \implies \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a} = -\frac{3}{2} \)
In simple words: Since the sum of the three unit vectors is the zero vector, we take the dot product of the sum with itself, which equals zero. Expanding this expression using the formula for the square of a sum of vectors, and knowing that each vector's magnitude is 1, we can solve for the sum of the pairwise dot products.

Exam Tip: This problem can be solved in two ways. The second method, squaring the sum of vectors, is often quicker. Remember the identity \( |\vec{A}+\vec{B}+\vec{C}|^2 = |\vec{A}|^2+|\vec{B}|^2+|\vec{C}|^2 + 2(\vec{A}\cdot\vec{B}+\vec{B}\cdot\vec{C}+\vec{C}\cdot\vec{A}) \). This is a common result for unit vectors whose sum is zero.

Question 14. જો સદિશ \( \vec{a} = \vec{0} \) અથવા \( \vec{b} = \vec{0} \) હોય તો \( \vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \). પરંતુ પ્રતીપ, સત્ય હોય તે જરૂરી નથી. તમારા જવાબનું ઉદાહરણ સહિત સમર્થન કરો.
Answer: હા, જો સદિશ \( \vec{a} = \vec{0} \) અથવા \( \vec{b} = \vec{0} \) હોય, તો \( \vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \) થાય. આ વિધાન હંમેશા સાચું છે, કારણ કે શૂન્ય સદિશનો કોઈપણ સદિશ સાથેનો અદિશ ગુણાકાર હંમેશા શૂન્ય હોય છે.
પરંતુ, તેનું પ્રતીપ, એટલે કે જો \( \vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \) હોય, તો તેમાંથી \( \vec{a} = \vec{0} \) અથવા \( \vec{b} = \vec{0} \) હોવું જરૂરી નથી. આ વિધાન અસત્ય હોઈ શકે છે.
આપણને જાણીએ છીએ કે \( \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta \).
જો \( \vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \) હોય, તો \( |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta = 0 \) થાય.
આનો અર્થ એ થાય કે:
1. \( |\vec{a}| = 0 \implies \vec{a} = \vec{0} \), અથવા
2. \( |\vec{b}| = 0 \implies \vec{b} = \vec{0} \), અથવા
3. \( \cos \theta = 0 \implies \theta = \frac{\pi}{2} \)
જો \( \cos \theta = 0 \) હોય, તો \( \theta = \frac{\pi}{2} \) થાય, એટલે કે સદિશો \( \vec{a} \) અને \( \vec{b} \) પરસ્પર લંબ હોય છે. આ કિસ્સામાં, \( \vec{a} \) અને \( \vec{b} \) બંને શૂન્યતર સદિશો હોઈ શકે છે.
**ઉદાહરણ તરીકે:**
ધારો કે \( \vec{a} = 2\hat{i} + 5\hat{j} + 2\hat{k} \) અને \( \vec{b} = 2\hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k} \) છે.
અહીં, \( |\vec{a}| = \sqrt{2^2+5^2+2^2} = \sqrt{4+25+4} = \sqrt{33} \ne 0 \).
અને \( |\vec{b}| = \sqrt{2^2+(-2)^2+3^2} = \sqrt{4+4+9} = \sqrt{17} \ne 0 \).
તેમનો અદિશ ગુણાકાર શોધીએ:
\( \vec{a} \cdot \vec{b} = (2)(2) + (5)(-2) + (2)(3) \)
\( \implies \vec{a} \cdot \vec{b} = 4 - 10 + 6 = 0 \)
અહીં, \( \vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \) છે, પરંતુ \( \vec{a} \ne \vec{0} \) અને \( \vec{b} \ne \vec{0} \) છે.
આમ, આપેલ વિધાનનું પ્રતીપ સત્ય નથી. એટલે કે, જો બે શૂન્યતર સદિશો પરસ્પર લંબ હોય, તો તેમનો અદિશ ગુણાકાર શૂન્ય હોય છે.
In simple words: If either vector is a zero vector, their dot product is always zero. However, the reverse isn't always true; a zero dot product doesn't necessarily mean one of the vectors is zero. It can also happen if the two non-zero vectors are perpendicular to each other. We showed an example with two non-zero vectors whose dot product is zero, proving the converse is false.

Exam Tip: Understand that the condition \( \vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \) implies either \( \vec{a} = \vec{0} \), \( \vec{b} = \vec{0} \), or \( \vec{a} \) is perpendicular to \( \vec{b} \). This is a fundamental concept in vector algebra. Always provide a clear example to support your reasoning when asked.

Question 15. જો ત્રિકોણ ABC નાં શિરોબિંદુઓ A, B, C અનુક્રમે \( (1, 2, 3), (-1, 0, 0), (0, 1, 2) \) હોય તો \( \angle ABC \) શોધો. ( \( \angle ABC \) એ \( \overrightarrow{BA} \) તથા \( \overrightarrow{BC} \) વચ્ચેનો ખૂણો છે.)
Answer: આપેલ શિરોબિંદુઓ A \( (1, 2, 3) \), B \( (-1, 0, 0) \) તથા C \( (0, 1, 2) \) એ \( \triangle ABC \) ના શિરોબિંદુઓ છે.
આપણે \( \angle ABC \) શોધવાનો છે, જે \( \overrightarrow{BA} \) અને \( \overrightarrow{BC} \) વચ્ચેનો ખૂણો છે.
પ્રથમ, સદિશ \( \overrightarrow{BA} \) શોધીએ:
\( \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB} \)
\( \implies \overrightarrow{BA} = (\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}) - (-\hat{i} + 0\hat{j} + 0\hat{k}) \)
\( \implies \overrightarrow{BA} = \hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k} + \hat{i} \)
\( \implies \overrightarrow{BA} = 2\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k} \)
હવે, સદિશ \( \overrightarrow{BC} \) શોધીએ:
\( \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OB} \)
\( \implies \overrightarrow{BC} = (0\hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}) - (-\hat{i} + 0\hat{j} + 0\hat{k}) \)
\( \implies \overrightarrow{BC} = \hat{j} + 2\hat{k} + \hat{i} \)
\( \implies \overrightarrow{BC} = \hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k} \)
હવે, \( |\overrightarrow{BA}| \) અને \( |\overrightarrow{BC}| \) શોધીએ:
\( |\overrightarrow{BA}| = \sqrt{ (2)^2 + (2)^2 + (3)^2 } = \sqrt{ 4 + 4 + 9 } = \sqrt{17} \)
\( |\overrightarrow{BC}| = \sqrt{ (1)^2 + (1)^2 + (2)^2 } = \sqrt{ 1 + 1 + 4 } = \sqrt{6} \)
હવે, \( \overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC} \) શોધીએ:
\( \overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC} = (2\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}) \cdot (\hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}) \)
\( \implies \overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC} = (2)(1) + (2)(1) + (3)(2) \)
\( \implies \overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC} = 2 + 2 + 6 = 10 \)
ધારો કે \( \angle ABC = \theta \) છે.
\( \cos \theta = \frac{ \overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC} }{ |\overrightarrow{BA}| |\overrightarrow{BC}| } \)
\( \implies \cos \theta = \frac{ 10 }{ \sqrt{17} \sqrt{6} } \)
\( \implies \cos \theta = \frac{ 10 }{ \sqrt{102} } \)
\( \implies \theta = \cos^{-1} \left( \frac{10}{ \sqrt{102} } \right) \)
આમ, \( \angle ABC = \cos^{-1} \left( \frac{10}{ \sqrt{102} } \right) \) છે.
In simple words: To find the angle \( \angle ABC \), we calculate the vectors \( \overrightarrow{BA} \) and \( \overrightarrow{BC} \). Then, we find their magnitudes and dot product. Finally, we use the cosine formula to determine the angle between them.

Exam Tip: When finding angles in a triangle, ensure you use vectors originating from the vertex where the angle is located (e.g., for \( \angle ABC \), use \( \overrightarrow{BA} \) and \( \overrightarrow{BC} \)). Accurately calculating position vectors, magnitudes, and dot products is crucial for success.

Question 16. સાબિત કરો કે બિંદુઓ A \( (1, 2, 7) \), B \( (2, 6, 3) \) અને C \( (3, 10, -1) \) સમરેખ છે.
Answer: આપેલ બિંદુઓ A \( (1, 2, 7) \), B \( (2, 6, 3) \) અને C \( (3, 10, -1) \) છે.
ત્રણ બિંદુઓ સમરેખ છે તે સાબિત કરવા માટે, આપણે દર્શાવવું પડશે કે બે સદિશો (જે બિંદુઓમાંથી રચાય છે) સમાંતર છે અને તેમની પાસે એક સામાન્ય બિંદુ છે.
પ્રથમ, સ્થિતિ સદિશો લખીએ:
\( \overrightarrow{OA} = \hat{i} + 2\hat{j} + 7\hat{k} \)
\( \overrightarrow{OB} = 2\hat{i} + 6\hat{j} + 3\hat{k} \)
\( \overrightarrow{OC} = 3\hat{i} + 10\hat{j} - \hat{k} \)
હવે, સદિશો \( \overrightarrow{AB} \), \( \overrightarrow{BC} \) અને \( \overrightarrow{CA} \) શોધીએ:
\( \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} \)
\( \implies \overrightarrow{AB} = (2\hat{i} + 6\hat{j} + 3\hat{k}) - (\hat{i} + 2\hat{j} + 7\hat{k}) \)
\( \implies \overrightarrow{AB} = (2-1)\hat{i} + (6-2)\hat{j} + (3-7)\hat{k} \)
\( \implies \overrightarrow{AB} = \hat{i} + 4\hat{j} - 4\hat{k} \)
\( \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OB} \)
\( \implies \overrightarrow{BC} = (3\hat{i} + 10\hat{j} - \hat{k}) - (2\hat{i} + 6\hat{j} + 3\hat{k}) \)
\( \implies \overrightarrow{BC} = (3-2)\hat{i} + (10-6)\hat{j} + (-1-3)\hat{k} \)
\( \implies \overrightarrow{BC} = \hat{i} + 4\hat{j} - 4\hat{k} \)
\( \overrightarrow{CA} = \overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OC} \)
\( \implies \overrightarrow{CA} = (\hat{i} + 2\hat{j} + 7\hat{k}) - (3\hat{i} + 10\hat{j} - \hat{k}) \)
\( \implies \overrightarrow{CA} = (1-3)\hat{i} + (2-10)\hat{j} + (7-(-1))\hat{k} \)
\( \implies \overrightarrow{CA} = -2\hat{i} - 8\hat{j} + 8\hat{k} \)
અહીં, આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે \( \overrightarrow{CA} = -2(\hat{i} + 4\hat{j} - 4\hat{k}) \).
\( \implies \overrightarrow{CA} = -2\overrightarrow{BC} \) અથવા \( \overrightarrow{CA} = -2\overrightarrow{AB} \).
આ દર્શાવે છે કે સદિશો \( \overrightarrow{CA} \) અને \( \overrightarrow{BC} \) (અથવા \( \overrightarrow{AB} \)) સમાંતર છે અને તેમની પાસે સામાન્ય બિંદુ C (અથવા B) છે.
વધુમાં, \( |\overrightarrow{AB}| = \sqrt{1^2+4^2+(-4)^2} = \sqrt{1+16+16} = \sqrt{33} \).
\( |\overrightarrow{BC}| = \sqrt{1^2+4^2+(-4)^2} = \sqrt{1+16+16} = \sqrt{33} \).
\( |\overrightarrow{AC}| = |\overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OA}| = |(3-1)\hat{i} + (10-2)\hat{j} + (-1-7)\hat{k}| = |2\hat{i} + 8\hat{j} - 8\hat{k}| = \sqrt{2^2+8^2+(-8)^2} = \sqrt{4+64+64} = \sqrt{132} \).
આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે \( |\overrightarrow{AB}| + |\overrightarrow{BC}| = \sqrt{33} + \sqrt{33} = 2\sqrt{33} = \sqrt{4 \times 33} = \sqrt{132} = |\overrightarrow{AC}| \).
જ્યાં \( \overrightarrow{AB} \) અને \( \overrightarrow{BC} \) એક જ દિશામાં છે. આનો અર્થ છે કે B, A અને C વચ્ચે આવેલું છે.
આમ, બિંદુઓ A, B, C સમરેખ છે.
In simple words: To prove collinearity, we form vectors from the given points, like \( \overrightarrow{AB} \) and \( \overrightarrow{BC} \). If one vector is a scalar multiple of the other (meaning they are parallel) and they share a common point, then the points are collinear. We found that \( \overrightarrow{AB} \) and \( \overrightarrow{BC} \) are identical, confirming that they lie on the same line.

Exam Tip: For collinearity, you can either show that \( \overrightarrow{AB} = k \overrightarrow{BC} \) for some scalar \( k \), or that the sum of the magnitudes of two segments equals the magnitude of the whole segment (e.g., \( |\overrightarrow{AB}| + |\overrightarrow{BC}| = |\overrightarrow{AC}| \)). Both methods prove the points lie on the same line.

Question 17. સાબિત કરો કે સદિશો \( 2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k} \), \( \hat{i} - 3\hat{j} - 5\hat{k} \) અને \( 3\hat{i} - 4\hat{j} - 4\hat{k} \) ત્રિકોણનાં શિરોબિંદુઓ છે.
Answer: ધારો કે A, B અને C એ ત્રિકોણ ABCનાં શિરોબિંદુઓ છે, અને તેમના સ્થિતિ સદિશો છે:
\( \overrightarrow{OA} = 2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k} \)
\( \overrightarrow{OB} = \hat{i} - 3\hat{j} - 5\hat{k} \)
\( \overrightarrow{OC} = 3\hat{i} - 4\hat{j} - 4\hat{k} \)
ત્રિકોણની બાજુઓના સદિશો શોધીએ:
\( \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} \)
\( \implies \overrightarrow{AB} = (\hat{i} - 3\hat{j} - 5\hat{k}) - (2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}) \)
\( \implies \overrightarrow{AB} = (1-2)\hat{i} + (-3-(-1))\hat{j} + (-5-1)\hat{k} \)
\( \implies \overrightarrow{AB} = -\hat{i} - 2\hat{j} - 6\hat{k} \)
\( \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OB} \)
\( \implies \overrightarrow{BC} = (3\hat{i} - 4\hat{j} - 4\hat{k}) - (\hat{i} - 3\hat{j} - 5\hat{k}) \)
\( \implies \overrightarrow{BC} = (3-1)\hat{i} + (-4-(-3))\hat{j} + (-4-(-5))\hat{k} \)
\( \implies \overrightarrow{BC} = 2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k} \)
\( \overrightarrow{CA} = \overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OC} \)
\( \implies \overrightarrow{CA} = (2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}) - (3\hat{i} - 4\hat{j} - 4\hat{k}) \)
\( \implies \overrightarrow{CA} = (2-3)\hat{i} + (-1-(-4))\hat{j} + (1-(-4))\hat{k} \)
\( \implies \overrightarrow{CA} = -\hat{i} + 3\hat{j} + 5\hat{k} \)
હવે, આ સદિશોના માન (લંબાઈ) શોધીએ:
\( |\overrightarrow{AB}|^2 = (-1)^2 + (-2)^2 + (-6)^2 = 1 + 4 + 36 = 41 \)
\( |\overrightarrow{BC}|^2 = (2)^2 + (-1)^2 + (1)^2 = 4 + 1 + 1 = 6 \)
\( |\overrightarrow{CA}|^2 = (-1)^2 + (3)^2 + (5)^2 = 1 + 9 + 25 = 35 \)
અહીં, આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે \( |\overrightarrow{BC}|^2 + |\overrightarrow{CA}|^2 = 6 + 35 = 41 \).
આમ, \( |\overrightarrow{BC}|^2 + |\overrightarrow{CA}|^2 = |\overrightarrow{AB}|^2 \).
આ પાયથાગોરસ પ્રમેયના પ્રતિપ્રમેય મુજબ, આ સદિશો કાટકોણ ત્રિકોણનાં શિરોબિંદુઓ બનાવે છે.
આનો અર્થ એ પણ થાય કે \( \overrightarrow{BC} \) અને \( \overrightarrow{CA} \) પરસ્પર લંબ છે, કારણ કે તેમનો અદિશ ગુણાકાર શૂન્ય છે:
\( \overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{CA} = (2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}) \cdot (-\hat{i} + 3\hat{j} + 5\hat{k}) \)
\( \implies \overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{CA} = (2)(-1) + (-1)(3) + (1)(5) \)
\( \implies \overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{CA} = -2 - 3 + 5 = 0 \)
કારણ કે \( \overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{CA} = 0 \) છે, તેથી \( \overrightarrow{BC} \perp \overrightarrow{CA} \).
આમ, \( \triangle ABC \) કાટકોણ ત્રિકોણ છે.
In simple words: To prove these vectors form a right-angled triangle, we calculate the vectors representing each side and then their squared magnitudes. We find that the sum of the squares of two side lengths equals the square of the third side, fulfilling the Pythagorean theorem. Alternatively, we can show that the dot product of two side vectors is zero, meaning those sides are perpendicular.

Exam Tip: To prove a triangle is right-angled, you can either verify the Pythagorean theorem (sum of squares of two sides equals the square of the longest side) or show that the dot product of two side vectors is zero, indicating perpendicularity.

Question 18. જો \( \vec{a} \) શૂન્યેતર સદિશ હોય અને તેનું માન ‘a’ હોય અને \( \lambda \) શૂન્યેતર અદિશ હોય, તો \( \lambda \) ની કઈ કિંમત માટે \( \lambda\vec{a} \) એકમ સદિશ થાય.
(A) \( \lambda = 1 \)
(B) \( \lambda = -1 \)
(C) \( a = |\lambda| \)
(D) \( a = \frac{1}{|\lambda|} \)
Answer: (D) \( a = \frac{1}{|\lambda|} \)
In simple words: For \( \lambda\vec{a} \) to be a unit vector, its magnitude must be 1. Using the property \( |\lambda\vec{a}| = |\lambda||\vec{a}| \), and knowing \( |\vec{a}| = a \), we set the magnitude equal to 1 and solve for \( a \).

Exam Tip: A vector \( \vec{v} \) is a unit vector if \( |\vec{v}| = 1 \). Remember the property \( |k\vec{v}| = |k||\vec{v}| \) for any scalar \( k \). Apply these definitions directly to solve for the unknown parameter.