GSEB Class 11 Physics Solutions Chapter 9 ઘન પદાર્થોના યાંત્રિક ગુણધર્મો

Question 1. 4.7 m લંબાઈ અને \(3.0 \times 10^{-5}\) m\(^2\) આડછેદનું ક્ષેત્રફળ ધરાવતો સ્ટીલનો તાર તથા 3.5 m લંબાઈ અને \(4.0 \times 10^{-5}\) m\(^2\) આડછેદનું ક્ષેત્રફળ ધરાવતા તાંબાના તાર પર આપેલ સમાન ભાર લટકાવતાં બંને તારની લંબાઈમાં સમાન વધારો થાય છે, તો સ્ટીલ અને તાંબાના યંગ મૉડ્યુલસનો ગુણોત્તર શું હશે?
Answer:સ્ટીલના તાર માટે નીચેના પરિમાણો આપેલા છે: લંબાઈ \(L_{\text{સ્ટીલ}} = 4.7 \text{ m}\) આડછેદનું ક્ષેત્રફળ \(A_{\text{સ્ટીલ}} = 3.0 \times 10^{-5} \text{ m}^2\) તાંબાના તાર માટે નીચેના પરિમાણો આપેલા છે: લંબાઈ \(L_{\text{તાંબું}} = 3.5 \text{ m}\) આડછેદનું ક્ષેત્રફળ \(A_{\text{તાંબું}} = 4.0 \times 10^{-5} \text{ m}^2\) આ કિસ્સામાં, સ્ટીલ અને તાંબાના બંને તાર પર સમાન બળ \(F\) લાગુ પાડવામાં આવે છે, અને તેમની લંબાઈમાં થતો વધારો \(\Delta L\) પણ સમાન છે. યંગ મૉડ્યુલસની વ્યાખ્યા મુજબ, \(Y = \frac{\text{પ્રતિબળ}}{\text{વિકૃતિ}} = \frac{F/A}{\Delta L/L} = \frac{FL}{A\Delta L}\). સ્ટીલના તાર માટે યંગ મૉડ્યુલસ \(Y_{\text{સ્ટીલ}} = \frac{F L_{\text{સ્ટીલ}}}{A_{\text{સ્ટીલ}} \Delta L}\) તાંબાના તાર માટે યંગ મૉડ્યુલસ \(Y_{\text{તાંબું}} = \frac{F L_{\text{તાંબું}}}{A_{\text{તાંબું}} \Delta L}\) હવે, બંનેના યંગ મૉડ્યુલસનો ગુણોત્તર લેતાં: \[\frac{Y_{\text{સ્ટીલ}}}{Y_{\text{તાંબું}}} = \frac{F L_{\text{સ્ટીલ}} / (A_{\text{સ્ટીલ}} \Delta L)}{F L_{\text{તાંબું}} / (A_{\text{તાંબું}} \Delta L)}\] બળ \(F\) અને લંબાઈમાં વધારો \(\Delta L\) સમાન હોવાથી, તેઓ રદ થઈ જશે: \[\frac{Y_{\text{સ્ટીલ}}}{Y_{\text{તાંબું}}} = \frac{L_{\text{સ્ટીલ}}}{A_{\text{સ્ટીલ}}} \times \frac{A_{\text{તાંબું}}}{L_{\text{તાંબું}}}\] આપેલા મૂલ્યો દાખલ કરતાં: \[\frac{Y_{\text{સ્ટીલ}}}{Y_{\text{તાંબું}}} = \frac{4.7 \text{ m}}{3.0 \times 10^{-5} \text{ m}^2} \times \frac{4.0 \times 10^{-5} \text{ m}^2}{3.5 \text{ m}}\] \[\frac{Y_{\text{સ્ટીલ}}}{Y_{\text{તાંબું}}} = \frac{4.7 \times 4.0}{3.0 \times 3.5} = \frac{18.8}{10.5}\] \[\frac{Y_{\text{સ્ટીલ}}}{Y_{\text{તાંબું}}} \approx 1.79047\] \[\frac{Y_{\text{સ્ટીલ}}}{Y_{\text{તાંબું}}} \approx 1.8\]In simple words: Young's modulus measures how much a material resists stretching. Given that both steel and copper wires experience the same pulling force and stretch by the same amount, their Young's moduli ratio depends only on their initial lengths and cross-sectional areas. By substituting the given values into the formula, we find that the steel wire's Young's modulus is approximately 1.8 times that of the copper wire.

🎯 Exam Tip: Focus on correctly applying the Young's Modulus formula and simplifying ratios when common parameters are given to avoid calculation errors. Remember to use consistent units throughout the problem.

Question 2. આપેલ દ્રવ્ય માટે પ્રતિબળ-વિકૃતિ વક્ર આકૃતિ 9.17માં દર્શાવેલ છે, તો આ દ્રવ્ય માટે (a) યંગ મૉડ્યુલસ અને (b) અંદાજિત આધીન-પ્રબળતા કેટલી હશે?
Answer:
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): આ આકૃતિ 9.17 એક પ્રતિબળ-વિકૃતિ વક્ર દર્શાવે છે. Y-અક્ષ પર પ્રતિબળ (સ્ટ્રેસ) (N m\(^{-2}\) માં, \(10^6\) ના ગુણક સાથે) અને X-અક્ષ પર વિકૃતિ (સ્ટ્રેઇન) દર્શાવવામાં આવી છે. વક્રનો પ્રારંભિક ભાગ સુરેખ છે, જે સ્થિતિસ્થાપક પ્રદેશ સૂચવે છે, અને તે પછી વક્રતા દર્શાવે છે. સુરેખ ભાગ \(150 \times 10^6\) N m\(^{-2}\) ના પ્રતિબળ પર \(0.002\) ની વિકૃતિ સુધી પહોંચે છે, અને મહત્તમ પ્રતિબળ \(300 \times 10^6\) N m\(^{-2}\) દર્શાવવામાં આવ્યું છે. (a) આપેલ દ્રવ્ય માટે યંગ મૉડ્યુલસની ગણતરી: પ્રતિબળ-વિકૃતિ આલેખના સુરેખ (સ્થિતિસ્થાપક) ભાગનો ઢાળ એ દ્રવ્યના યંગ મૉડ્યુલસનું મૂલ્ય દર્શાવે છે. આલેખના સુરેખ ભાગમાંથી, આપણે જોઈએ છીએ કે \(150 \times 10^6 \text{ N m}^{-2}\) ના પ્રતિબળને અનુરૂપ વિકૃતિ \(0.002\) છે. યંગ મૉડ્યુલસ \(Y = \frac{\text{પ્રતિબળ}}{\text{વિકૃતિ}}\) \[Y = \frac{150 \times 10^6 \text{ N m}^{-2}}{0.002}\] \[Y = 75 \times 10^9 \text{ N m}^{-2}\] \[Y = 7.5 \times 10^{10} \text{ N m}^{-2}\] (b) અંદાજિત આધીન-પ્રબળતા (Yield Strength) ની ગણતરી: આપેલ દ્રવ્ય માટે, પ્રતિબળ-વિકૃતિ આલેખમાં સ્થિતિસ્થાપકતાની હદ અથવા આધીનબિંદુને અનુરૂપ પ્રતિબળને તે દ્રવ્યની આધીન-પ્રબળતા \(\sigma_y\) કહેવામાં આવે છે. આ બિંદુ એ મહત્તમ પ્રતિબળ છે જે દ્રવ્ય સ્થિતિસ્થાપક વિકૃતિની મર્યાદા વટાવ્યા વિના સહન કરી શકે છે. આલેખ પરથી, આધીન-પ્રબળતા, \(\sigma_y\), આશરે \(300 \times 10^6 \text{ N m}^{-2}\) છે. \[\sigma_y = 300 \times 10^6 \text{ N m}^{-2}\] \[\sigma_y = 3 \times 10^8 \text{ N m}^{-2}\]In simple words: (a) The Young's Modulus, which indicates how stiff a material is, is calculated from the slope of the straight part of the stress-strain graph. For this material, it comes out to be \(7.5 \times 10^{10} \text{ N m}^{-2}\). (b) The approximate yield strength, representing the maximum stress the material can endure before permanent deformation begins, is found at the peak stress before the material starts to yield significantly, which is \(3 \times 10^8 \text{ N m}^{-2}\) from the graph.

🎯 Exam Tip: Remember that Young's Modulus is the slope of the elastic region, and yield strength is the stress at which the material begins to deform plastically, which can be identified from the curve's highest point before significant non-linear behavior or fracture.

Question 3. આકૃતિ 9.18માં દ્રવ્ય A અને B માટે પ્રતિબળ-વિકૃતિ આલેખ દર્શાવેલ છે. આલેખ સમાન માપક્રમ પર દોરેલ છે. (a) કયા દ્રવ્યનો યંગ મૉડ્યુલસ મોટો હશે? (b) બેમાંથી કયું દ્રવ્ય વધુ મજબૂત હશે?
Answer:
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): આકૃતિ 9.18 માં દ્રવ્ય A અને B માટેના પ્રતિબળ-વિકૃતિ આલેખો એક જ માપક્રમ પર દર્શાવવામાં આવ્યા છે. દ્રવ્ય A નો આલેખ પ્રારંભિક રીતે વધુ ઢોળાવવાળો છે અને ઊંચા મહત્તમ પ્રતિબળ સુધી પહોંચે છે, જ્યારે દ્રવ્ય B નો આલેખ ઓછો ઢોળાવવાળો છે અને નીચા મહત્તમ પ્રતિબળ સુધી પહોંચે છે પરંતુ તેમાં ફ્રેક્ચર પૉઇન્ટ 'E' પહેલાં પ્લાસ્ટિક વિરૂપણનો વિસ્તાર વધુ છે. બિંદુ 'D' અંતિમ પ્રબળતા બિંદુ અને 'E' ફ્રેક્ચર પૉઇન્ટ દર્શાવે છે. (a) કયા દ્રવ્યનો યંગ મૉડ્યુલસ મોટો હશે? યંગ મૉડ્યુલસ (Y) એ પ્રતિબળ વિરુદ્ધ વિકૃતિના આલેખના સુરેખ ભાગનો ઢાળ દર્શાવે છે. \[Y = \frac{\text{પ્રતિબળ}}{\text{વિકૃતિ}}\] જેમ આલેખનો ઢાળ વધુ હોય, તેમ યંગ મૉડ્યુલસનું મૂલ્ય વધારે હોય છે. આપેલા બંને આલેખો પરથી સ્પષ્ટપણે જોઈ શકાય છે કે દ્રવ્ય A માટેના આલેખનો ઢાળ દ્રવ્ય B માટેના આલેખના ઢાળ કરતાં વધુ છે. \[\text{(દ્રવ્ય A માટે આલેખનો ઢાળ)} > \text{(દ્રવ્ય B માટે આલેખનો ઢાળ)}\]
\(\implies\) તેથી, દ્રવ્ય A નો યંગ મૉડ્યુલસ દ્રવ્ય B ના યંગ મૉડ્યુલસ કરતાં મોટો છે. (b) બેમાંથી કયું દ્રવ્ય વધુ મજબૂત હશે? દ્રવ્યની મજબૂતાઈ તેની અંતિમ તાણ પ્રબળતા (Ultimate Tensile Strength) દ્વારા નક્કી થાય છે, જે તે દ્રવ્ય તૂટ્યા પહેલાં સહન કરી શકે તે મહત્તમ પ્રતિબળ છે. આલેખમાં, બિંદુ 'D' અંતિમ પ્રબળતા બિંદુ દર્શાવે છે. આલેખનું અવલોકન કરતાં, દ્રવ્ય A નો અંતિમ પ્રબળતા બિંદુ દ્રવ્ય B ના બિંદુ કરતાં ઊંચો છે, જે દર્શાવે છે કે દ્રવ્ય A તૂટ્યા વિના દ્રવ્ય B કરતાં વધુ બોજ (લોડ) સહન કરી શકે છે.
\(\implies\) તેથી, દ્રવ્ય A એ દ્રવ્ય B કરતાં વધુ મજબૂત છે. આલેખો પરથી અન્ય બાબતો પણ નોંધપાત્ર છે: 1. દ્રવ્ય B એ દ્રવ્ય A કરતાં વધુ તન્ય (Ductile) છે, કારણ કે તેની સ્થિતિસ્થાપકતા હદ અને ફ્રેક્ચર પૉઇન્ટ E વચ્ચેનો વિસ્તાર મોટો છે, જે વધુ પ્લાસ્ટિક વિરૂપણ ક્ષમતા દર્શાવે છે. 2. દ્રવ્ય A એ દ્રવ્ય B કરતાં વધુ બટકણું (Brittle) છે, કારણ કે તેનો પ્લાસ્ટિક વર્તણૂકનો વિસ્તાર (સ્થિતિસ્થાપક હદથી ફ્રેક્ચર પૉઇન્ટ સુધી) ઓછો છે, જેનો અર્થ છે કે તે ઓછા પ્લાસ્ટિક વિરૂપણ સાથે તૂટી જાય છે.In simple words: (a) Young's Modulus tells us how stiff a material is; a steeper slope on the stress-strain graph means higher stiffness. Material A's graph is steeper, so it has a greater Young's Modulus. (b) Strength refers to how much stress a material can withstand before breaking. Material A reaches a higher maximum stress before fracturing, indicating that it is stronger than material B.

🎯 Exam Tip: Higher Young's Modulus implies greater stiffness (material resists deformation more). Higher ultimate tensile strength implies greater strength (material can withstand more stress before failure). Ductility is the ability to deform plastically, while brittleness is the tendency to fracture with little plastic deformation.

Question 4. નીચે આપેલ વિધાનો કાળજીપૂર્વક વાંચી કારણ સહિત તે સાચાં છે કે ખોટાં તે જણાવો : (a) રબરનો યંગ મૉડ્યુલસ સ્ટીલ કરતાં મોટો હોય છે. (b) ગૂંચળાનું ખેંચાણ (અર્થાત્ તેમાં ઉદ્ભવતું વિરૂપણ) તેના આકાર મૉડ્યુલસ પરથી નક્કી થાય છે. ગૂંચળું હેલિકલ / સ્પાયરલ આકારનું નથી.
Answer:(a) રબરનો યંગ મૉડ્યુલસ સ્ટીલ કરતાં મોટો હોય છે.
ઉત્તર: ખોટું
કારણ: યંગ મૉડ્યુલસ \(Y = \frac{\text{તણાવ પ્રતિબળ}}{\text{તણાવ વિકૃતિ}}\). જો આપણે રબર અને સ્ટીલ બંનેમાં સમાન તણાવ વિકૃતિ (\(\epsilon_t\)) ઉત્પન્ન કરવા માંગતા હોઈએ, તો સ્ટીલને રબર કરતાં વધુ બાહ્ય ખેંચાણ બળની જરૂર પડશે.
\(\implies\) તેથી, સ્ટીલ માટે પ્રતિબળ રબર કરતાં વધુ હશે.
\(\implies\) પરિણામે, \(Y_{\text{સ્ટીલ}} > Y_{\text{રબર}}\). વૈકલ્પિક રીતે, જો સમાન પરિમાણ (લંબાઈ L અને આડછેદનું ક્ષેત્રફળ A) ધરાવતા સ્ટીલ અને રબરના તાર પર સમાન વિરૂપક બળ \(F\) લગાવવામાં આવે, તો સ્ટીલના તારની લંબાઈમાં થતો વધારો રબર કરતાં ઓછો હશે.
\(\implies \Delta L_{\text{રબર}} > \Delta L_{\text{સ્ટીલ}}\). યંગ મૉડ્યુલસના સૂત્ર \(Y = \frac{FL}{A\Delta L}\) પરથી, જો \(F\), \(L\), અને \(A\) સમાન હોય, તો \(Y \propto \frac{1}{\Delta L}\). જેમ \(\Delta L\) ઓછો હોય, તેમ \(Y\) વધુ હોય.
\(\implies\) તેથી, \(Y_{\text{સ્ટીલ}} > Y_{\text{રબર}}\). આમ, રબરનો યંગ મૉડ્યુલસ સ્ટીલ કરતાં ઓછો હોય છે. (b) ગૂંચળાનું ખેંચાણ (અર્થાત્ તેમાં ઉદ્ભવતું વિરૂપણ) તેના આકાર મૉડ્યુલસ પરથી નક્કી થાય છે. ગૂંચળું હેલિકલ / સ્પાયરલ આકારનું નથી.
ઉત્તર: સાચું
કારણ: જ્યારે એક સામાન્ય (હેલિકલ અથવા સ્પાયરલ ન હોય તેવું) ગૂંચળું ખેંચવામાં આવે છે, ત્યારે તેના કદ અથવા લંબાઈમાં નોંધપાત્ર ફેરફાર થતો નથી. તેના બદલે, તેનો આકાર બદલાય છે. આ પ્રકારનું વિરૂપણ, જેમાં પદાર્થનો આકાર બદલાય છે પરંતુ કદ અપરિવર્તિત રહે છે, તે આકાર મૉડ્યુલસ (Shear Modulus G) દ્વારા નક્કી થાય છે. આકાર મૉડ્યુલસ એ પદાર્થની આકાર બદલવાની પ્રતિકાર ક્ષમતાનું માપ છે.In simple words: (a) The statement is false because steel is much stiffer than rubber. If you apply the same force to both, rubber stretches significantly more, meaning steel has a higher Young's Modulus. (b) The statement is true because when a simple coil (not a spring) is stretched, it mainly undergoes a change in its shape rather than its volume or length. This type of deformation is governed by the material's shear modulus, which measures resistance to shape changes.

🎯 Exam Tip: Young's Modulus quantifies resistance to length change, while Shear Modulus quantifies resistance to shape change. Remember that steel is generally much stiffer than rubber in terms of longitudinal elasticity, hence it has a higher Young's Modulus.

Question 5. 0.25 cm વ્યાસ ધરાવતા બે તાર પૈકી એક સ્ટીલનો અને બીજો પિત્તળનો બનેલો છે. આકૃતિ 9.19 મુજબ તેમને ભારિત કરેલ છે. ભારવિહીન અવસ્થામાં સ્ટીલના તારની લંબાઈ 1.5m અને પિત્તળના તારની લંબાઈ 1.0 m છે. સ્ટીલ અને પિત્તળના તારની લંબાઈમાં થતા વધારાની ગણતરી કરો. સ્ટીલનો યંગ મૉડ્યુલસ = \(2.0 \times 10^{11}\) N m\(^{-2}\) પિત્તળનો યંગ મૉડ્યુલસ = \(0.91 \times 10^{11}\) N m\(^{-2}\)
Answer:
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): આકૃતિ 9.19 એક ઉદાહરણ દર્શાવે છે જ્યાં એક સ્ટીલનો તાર (લંબાઈ 1.5 m) અને તેની નીચે એક પિત્તળનો તાર (લંબાઈ 1.0 m) જોડાયેલા છે. સ્ટીલના તારના નીચેના છેડે (સ્ટીલ અને પિત્તળના તારના જોડાણ પર) 4.0 kg દળ લટકાવેલું છે, અને પિત્તળના તારના મુક્ત છેડે 6.0 kg દળ લટકાવેલું છે. આ ગોઠવણી દર્શાવે છે કે સ્ટીલનો તાર કુલ (4.0+6.0) kg દળનો ભાર વહન કરે છે, જ્યારે પિત્તળનો તાર 6.0 kg દળનો ભાર વહન કરે છે. આપેલા ડેટા: બંને તારનો વ્યાસ \(d = 0.25 \text{ cm} = 0.25 \times 10^{-2} \text{ m}\) બંને તારની સમાન ત્રિજ્યા \(r = \frac{d}{2} = \frac{0.25 \times 10^{-2}}{2} \text{ m} = 0.125 \times 10^{-2} \text{ m}\) બંને તારનું સમાન આડછેદનું ક્ષેત્રફળ \(A = \pi r^2 = 3.14 \times (0.125 \times 10^{-2})^2 \text{ m}^2\) \[A = 3.14 \times (0.015625 \times 10^{-4}) \text{ m}^2 = 4.90625 \times 10^{-6} \text{ m}^2 \approx 4.91 \times 10^{-6} \text{ m}^2\] સ્ટીલના તાર માટે: મૂળ લંબાઈ \(L_{\text{સ્ટીલ}} = 1.5 \text{ m}\) યંગ મૉડ્યુલસ \(Y_{\text{સ્ટીલ}} = 2.0 \times 10^{11} \text{ N m}^{-2}\) સ્ટીલના તાર દ્વારા વહન કરાતો કુલ ભાર \(F_{\text{સ્ટીલ}} = (4.0 \text{ kg} + 6.0 \text{ kg}) \times 9.8 \text{ m/s}^2 = 10 \times 9.8 \text{ N} = 98 \text{ N}\) યંગ મૉડ્યુલસના સૂત્ર \(Y = \frac{FL}{A\Delta L}\) નો ઉપયોગ કરતાં, લંબાઈમાં વધારો \(\Delta L = \frac{FL}{AY}\). સ્ટીલના તારની લંબાઈમાં વધારો \(\Delta L_{\text{સ્ટીલ}} = \frac{F_{\text{સ્ટીલ}} L_{\text{સ્ટીલ}}}{A Y_{\text{સ્ટીલ}}}\) \[\Delta L_{\text{સ્ટીલ}} = \frac{98 \text{ N} \times 1.5 \text{ m}}{4.91 \times 10^{-6} \text{ m}^2 \times 2.0 \times 10^{11} \text{ N m}^{-2}}\] \[\Delta L_{\text{સ્ટીલ}} = \frac{147}{9.82 \times 10^5} \text{ m} = 1.4969 \times 10^{-4} \text{ m}\] \[\Delta L_{\text{સ્ટીલ}} \approx 1.5 \times 10^{-4} \text{ m}\] પિત્તળ (બ્રાસ) ના તાર માટે: મૂળ લંબાઈ \(L_{\text{પિત્તળ}} = 1.0 \text{ m}\) યંગ મૉડ્યુલસ \(Y_{\text{પિત્તળ}} = 0.91 \times 10^{11} \text{ N m}^{-2}\) પિત્તળના તાર દ્વારા વહન કરાતો ભાર \(F_{\text{પિત્તળ}} = 6.0 \text{ kg} \times 9.8 \text{ m/s}^2 = 58.8 \text{ N}\) પિત્તળના તારની લંબાઈમાં વધારો \(\Delta L_{\text{પિત્તળ}} = \frac{F_{\text{પિત્તળ}} L_{\text{પિત્તળ}}}{A Y_{\text{પિત્તળ}}}\) \[\Delta L_{\text{પિત્તળ}} = \frac{58.8 \text{ N} \times 1.0 \text{ m}}{4.91 \times 10^{-6} \text{ m}^2 \times 0.91 \times 10^{11} \text{ N m}^{-2}}\] \[\Delta L_{\text{પિત્તળ}} = \frac{58.8}{4.4681 \times 10^5} \text{ m} = 1.3159 \times 10^{-4} \text{ m}\] \[\Delta L_{\text{પિત્તળ}} \approx 1.3 \times 10^{-4} \text{ m}\]In simple words: First, we calculate the common cross-sectional area for both wires using their given diameter. Then, for the steel wire, we determine the total weight it supports (sum of both masses), and using its length and stiffness, we find its elongation. We repeat this for the brass wire, which only supports the lower mass, to calculate its specific elongation.

🎯 Exam Tip: Be careful to correctly identify the load supported by each wire in a series arrangement, as loads are cumulative for wires higher up. Ensure consistent unit conversion (cm to m, kg to N) and apply the Young's Modulus formula accurately.

Question 6. ઍલ્યુમિનિયમના સમધનની કિનારી (Edge) 10 cm લાંબી છે. આ ધનની એક સપાટી શિરોલંબ દીવાલ સાથે જિડત કરેલ છે. તેની વિરુદ્ધ તરફની સપાટીએ 100kg દળ જોડવામાં આવે છે. ઍલ્યુમિનિયમનો આકાર મૉડ્યુલસ 25 G Pa હોય, તો આ સપાટીનું શિરોલંબ દિશામાં વિસ્થાપન કેટલું હશે?
Answer:
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): આકૃતિ 9.20 એક સમઘન દર્શાવે છે જેની એક સપાટી શિરોલંબ દીવાલ સાથે સ્થિરપણે જોડાયેલી છે. સમઘનની બાજુની લંબાઈ 'L' છે. તેની વિરુદ્ધ મુક્ત સપાટી પર 'F' જેટલું સ્પર્શીય બળ (Tangential force) \(F = mg\) લગાવવામાં આવે છે, જેના પરિણામે \(\Delta y\) જેટલું શિરોલંબ વિસ્થાપન થાય છે. આ વિસ્થાપન એ સમઘનના આકારમાં થતા વિરૂપણને કારણે છે. આપેલા ડેટા: સમઘનની દરેક બાજુની લંબાઈ \(L = 10 \text{ cm} = 10 \times 10^{-2} \text{ m} = 0.1 \text{ m}\) સમઘનની સપાટીનું ક્ષેત્રફળ \(A = L^2 = (0.1 \text{ m})^2 = 0.01 \text{ m}^2 = 10^{-2} \text{ m}^2\) જોડવામાં આવેલું દળ \(m = 100 \text{ kg}\) ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ \(g = 9.8 \text{ m/s}^2\) સમઘનની સપાટી પર લાગતું સ્પર્શીય બળ (Tangential force) \(F = mg\) \[F = 100 \text{ kg} \times 9.8 \text{ m/s}^2 = 980 \text{ N}\] આ સપાટી પર ઉત્પન્ન થતું સ્પર્શીય પ્રતિબળ (Shear stress) \(\sigma_s = \frac{F}{A}\) \[\sigma_s = \frac{980 \text{ N}}{10^{-2} \text{ m}^2} = 9.8 \times 10^4 \text{ N m}^{-2}\] ઍલ્યુમિનિયમનો આકાર મૉડ્યુલસ (Shear modulus) \(G = 25 \text{ G Pa} = 25 \times 10^9 \text{ N m}^{-2}\) આકાર મૉડ્યુલસ \(G = \frac{\text{સ્પર્શીય પ્રતિબળ}}{\text{સ્પર્શીય વિકૃતિ}} = \frac{\sigma_s}{\epsilon_s}\) જ્યાં સ્પર્શીય વિકૃતિ \(\epsilon_s = \frac{\Delta y}{L}\) છે.
\(\implies G = \frac{\sigma_s}{\Delta y / L} = \frac{\sigma_s L}{\Delta y}\) હવે, શિરોલંબ વિસ્થાપન \(\Delta y\) શોધવા માટે સમીકરણને ફરીથી ગોઠવતાં: \[\Delta y = \frac{\sigma_s L}{G}\] મૂલ્યો દાખલ કરતાં: \[\Delta y = \frac{(9.8 \times 10^4 \text{ N m}^{-2}) \times (0.1 \text{ m})}{25 \times 10^9 \text{ N m}^{-2}}\] \[\Delta y = \frac{9.8 \times 10^3}{25 \times 10^9} \text{ m}\] \[\Delta y = 0.392 \times 10^{-6} \text{ m}\] \[\Delta y = 3.92 \times 10^{-7} \text{ m}\] આમ, જે સપાટી પર સ્પર્શીય બળ લાગે છે, તેનું શિરોલંબ દિશામાં નીચે તરફ વિસ્થાપન \(3.92 \times 10^{-7}\) m છે.In simple words: We have a cube fixed to a wall, and a 100 kg mass is attached to its free top surface, causing it to shift downwards. We first calculate the force applied and the area of the top surface to find the shear stress. Then, using the aluminum's shear modulus (resistance to shape change) and the cube's side length, we determine the small vertical displacement of the top surface.

🎯 Exam Tip: Distinguish between Young's Modulus (tensile/compressive stress) and Shear Modulus (tangential stress). For shear deformation, the force is parallel to the surface, and the strain is the ratio of displacement to the perpendicular dimension.

Question 7. નરમ સ્ટીલમાંથી બનાવેલા ચાર પોલા અને સમાન નળાકાર વડે 50,000 kg દળવાળા મોટા સ્ટ્રક્ચરને આધાર આપવામાં આવ્યો છે. દરેક નળાકારની અંદર અને બહારની ત્રિજ્યાઓ અનુક્રમે 30 cm અને 60 cm છે. ભાર-વહેંચણી સમાન રીતે થાય છે તેમ ધારીને બધા નળાકારમાં દાબીય વિકૃતિની ગણતરી કરો. સ્ટીલનો યંગ મૉડ્યુલસ \(2.0 \times 10^{11}\) N m\(^{-2}\).
Answer:આપેલા ડેટા: કુલ દળ \(M = 50,000 \text{ kg} = 5 \times 10^4 \text{ kg}\) કુલ વજન (ભાર) \(W = Mg = (5 \times 10^4 \text{ kg}) \times 9.8 \text{ m/s}^2 = 49 \times 10^4 \text{ N}\) ચાર એકસરખા પોલા નળાકાર હોવાથી, એક નળાકાર દ્વારા વહન કરાતો ભાર \(F = \frac{W}{4}\) \[F = \frac{49 \times 10^4 \text{ N}}{4} = 12.25 \times 10^4 \text{ N}\] એક પોલા નળાકારની અંદરની ત્રિજ્યા \(r_1 = 30 \text{ cm} = 0.3 \text{ m}\) એક પોલા નળાકારની બહારની ત્રિજ્યા \(r_2 = 60 \text{ cm} = 0.6 \text{ m}\) એક પોલા નળાકારનું આડછેદનું ક્ષેત્રફળ \(A = \pi r_2^2 - \pi r_1^2 = \pi (r_2^2 - r_1^2)\) \[A = 3.14 \times ((0.6)^2 - (0.3)^2) \text{ m}^2\] \[A = 3.14 \times (0.36 - 0.09) \text{ m}^2\] \[A = 3.14 \times 0.27 \text{ m}^2 = 0.8478 \text{ m}^2\] સ્ટીલનો યંગ મૉડ્યુલસ \(Y = 2.0 \times 10^{11} \text{ N m}^{-2}\) યંગ મૉડ્યુલસના સૂત્ર \(Y = \frac{\text{દાબીય પ્રતિબળ}}{\text{દાબીય વિકૃતિ}} = \frac{F/A}{\epsilon_c}\) પરથી, દાબીય વિકૃતિ \(\epsilon_c = \frac{F}{AY}\) એક પોલા નળાકારમાં ઉદ્ભવતી દાબીય વિકૃતિ \(\epsilon_c = \frac{12.25 \times 10^4 \text{ N}}{0.8478 \text{ m}^2 \times 2.0 \times 10^{11} \text{ N m}^{-2}}\) \[\epsilon_c = \frac{12.25 \times 10^4}{1.6956 \times 10^{11}} \text{ m/m}\] \[\epsilon_c = 7.2245 \times 10^{-7}\] \[\epsilon_c \approx 7.22 \times 10^{-7}\] આમ, બધા (ચારેય) નળાકારમાં ઉદ્ભવતી દાબીય વિકૃતિ \(7.22 \times 10^{-7}\) છે, કારણ કે વિકૃતિ એ દ્રવ્યનો ગુણધર્મ છે અને દરેક નળાકાર સમાન પ્રતિબળ હેઠળ સમાન વિકૃતિ અનુભવશે.In simple words: First, we calculate the total weight of the structure and divide it by four to find the weight each steel cylinder supports. Then, we calculate the area of the hollow cross-section for one cylinder. Using this individual load, the area, and the steel's stiffness (Young's Modulus), we determine the compressive strain that each cylinder experiences. Since all cylinders are identical and share the load equally, this calculated strain applies to all of them.

🎯 Exam Tip: Remember that strain is a ratio of deformation to original dimension and is an intensive property; it is the same for each identical component under the same stress. Do not multiply strain by the number of components unless calculating a total displacement.

Question 8. \(15.2 \text{ mm} \times 19.1 \text{ mm}\) લંબચોરસ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ ધરાવતા તાંબાના એક ટુકડાને \(44,500 \text{ N}\) બળના તણાવ વડે ખેંચવામાં આવે છે, જેથી માત્ર સ્થિતિસ્થાપક વિરૂપણ ઉદ્દભવે છે, તો ઉદ્ભવતી વિકૃતિની ગણતરી કરો. તાંબાનો યંગ મૉડ્યુલસ \(1.1 \times 10^{11}\) N m\(^{-2}\).
Answer:આપેલા ડેટા: તાંબાના ટુકડાનું લંબચોરસ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ: લંબાઈ \(l = 15.2 \text{ mm}\) પહોળાઈ \(w = 19.1 \text{ mm}\) આડછેદનું ક્ષેત્રફળ \(A = l \times w = 15.2 \text{ mm} \times 19.1 \text{ mm}\) \[A = 290.32 \text{ mm}^2\] \[A = 290.32 \times 10^{-6} \text{ m}^2\] તાંબાના ટુકડા પર લાગતું તણાવ બળ \(F = 44,500 \text{ N}\) તાંબાનો યંગ મૉડ્યુલસ \(Y_{\text{તાંબું}} = 1.1 \times 10^{11} \text{ N m}^{-2}\) યંગ મૉડ્યુલસની વ્યાખ્યા મુજબ, \(Y = \frac{\text{તણાવ પ્રતિબળ}}{\text{તણાવ વિકૃતિ}}\). જ્યાં તણાવ પ્રતિબળ \(\sigma_t = F/A\) અને તણાવ વિકૃતિ \(\epsilon_t\) છે.
\(\implies Y = \frac{F/A}{\epsilon_t}\) તણાવ વિકૃતિ \(\epsilon_t\) માટે સમીકરણને ફરીથી ગોઠવતાં: \[\epsilon_t = \frac{F}{AY}\] આપેલા મૂલ્યો દાખલ કરતાં: \[\epsilon_t = \frac{44,500 \text{ N}}{(290.32 \times 10^{-6} \text{ m}^2) \times (1.1 \times 10^{11} \text{ N m}^{-2})}\] \[\epsilon_t = \frac{44,500}{31935.2 \times 10^5}\] \[\epsilon_t = \frac{44,500}{3.19352 \times 10^9}\] \[\epsilon_t = 1.3934 \times 10^{-5}\] \[\epsilon_t \approx 0.0013934\] \[\epsilon_t \approx 0.139 \times 10^{-2}\]In simple words: We first calculate the area of the copper piece from its given dimensions. Then, we determine the tensile strain (how much it stretches relative to its original length) by dividing the applied tensile force by the product of its cross-sectional area and Young's Modulus (which represents the material's stiffness). This calculation shows the small deformation the copper undergoes.

🎯 Exam Tip: Always convert all units to SI (meters, Newtons, Pascals) before performing calculations to avoid errors. Ensure correct application of the Young's Modulus formula for stress and strain, remembering that stress is force per unit area, and strain is dimensionless.

Question 9. સ્કી વિસ્તારમાં ઊડનખટોલા(Chairlift)નો આધાર સ્ટીલનો એક કૅબલ છે. જેની ત્રિજ્યા 1.5 cm છે. જો મહત્તમ પ્રતિબળ \(10^8\) N m\(^{-2}\) થી વધારી શકાતું ન હોય, તો કૅબલ કેટલા મહત્તમ ભારને આધાર આપી શકે?
Answer:આપેલા ડેટા: સ્ટીલના કૅબલની ત્રિજ્યા \(r = 1.5 \text{ cm} = 1.5 \times 10^{-2} \text{ m}\) સ્ટીલના કૅબલનું આડછેદનું ક્ષેત્રફળ \(A = \pi r^2\) \[A = 3.14 \times (1.5 \times 10^{-2} \text{ m})^2\] \[A = 3.14 \times (2.25 \times 10^{-4} \text{ m}^2)\] \[A = 7.065 \times 10^{-4} \text{ m}^2\] સ્ટીલના કૅબલમાં ઉત્પન્ન થઈ શકતું મહત્તમ પ્રતિબળ \(\sigma_{\text{max}} = 10^8 \text{ N m}^{-2}\) પ્રતિબળની વ્યાખ્યા મુજબ, \(\text{પ્રતિબળ} = \frac{\text{ભાર (બળ)}}{\text{આડછેદનું ક્ષેત્રફળ}}\).
\(\implies \sigma = \frac{F}{A}\) મહત્તમ ભાર (લોડ) \(F_{\text{max}}\) શોધવા માટે સમીકરણને ફરીથી ગોઠવતાં: \[F_{\text{max}} = \sigma_{\text{max}} \times A\] આપેલા મૂલ્યો દાખલ કરતાં: \[F_{\text{max}} = (10^8 \text{ N m}^{-2}) \times (7.065 \times 10^{-4} \text{ m}^2)\] \[F_{\text{max}} = 7.065 \times 10^4 \text{ N}\] આમ, સ્ટીલનો કૅબલ \(7.065 \times 10^4 \text{ N}\) જેટલા મહત્તમ ભારને આધાર આપી શકે છે.In simple words: To find the maximum weight a steel cable can support, we first calculate its cross-sectional area using the given radius. Then, knowing the maximum stress (force per unit area) the cable can safely handle, we multiply this maximum stress by the cable's area. This gives us the total maximum force, or load, the cable can bear.

🎯 Exam Tip: Stress is force per unit area. To find the maximum force a material can withstand, multiply its maximum allowable stress by its cross-sectional area. Always ensure consistent units for all calculations.

Question 10. 2.0 m લંબાઈના ત્રણ તાર વડે 15kg દળના દૃઢ સળિયાને સમક્ષિતિજ રહે તે રીતે લટકાવેલ છે. ત્રણ પૈકી છેડાના બે તાર તાંબાના અને વચ્ચેનો તાર લોખંડનો છે. જો ત્રણેય તાર સમાન તણાવ અનુભવતા હોય, તો તેમના વ્યાસના ગુણોત્તર શોધો. તાંબાનો યંગ મૉડ્યુલસ \(110 \times 10^9\) N m\(^{-2}\) લોખંડનો યંગ મૉડ્યુલસ \(190 \times 10^9\) N m\(^{-2}\)
Answer:આપેલા ડેટા: તાંબાનો યંગ મૉડ્યુલસ \(Y_{\text{તાંબું}} = 110 \times 10^9 \text{ N m}^{-2}\) લોખંડનો યંગ મૉડ્યુલસ \(Y_{\text{લોખંડ}} = 190 \times 10^9 \text{ N m}^{-2}\) ધારો કે, તાંબા અને લોખંડના તારના વ્યાસ અનુક્રમે \(d_{\text{તાંબું}}\) અને \(d_{\text{લોખંડ}}\) છે. રકમમાં આપેલ શરતો: 1. ત્રણેય તાર સમાન તણાવ \(F\) અનુભવે છે. 2. દઢ સળિયો સમક્ષિતિજ રહે છે, જેનો અર્થ છે કે ત્રણેય તારની લંબાઈમાં થતો વધારો \(\Delta L\) સમાન હશે. 3. ત્રણેય તારની મૂળ લંબાઈ \(L\) સમાન છે (\(L = 2.0 \text{ m}\)). યંગ મૉડ્યુલસની વ્યાખ્યા મુજબ: \(Y = \frac{\text{તણાવ પ્રતિબળ}}{\text{તણાવ વિકૃતિ}}\) જ્યાં \(\text{તણાવ પ્રતિબળ} = F/A\) અને \(\text{તણાવ વિકૃતિ} = \Delta L/L\).
\(\implies Y = \frac{F/A}{\Delta L/L} = \frac{FL}{A\Delta L}\) આ કિસ્સામાં, \(F\), \(L\), અને \(\Delta L\) બધા તાર માટે સમાન છે.
\(\implies Y \propto \frac{1}{A}\) તારના આડછેદનું ક્ષેત્રફળ \(A = \pi r^2 = \pi \left(\frac{d}{2}\right)^2 = \frac{\pi d^2}{4}\).
\(\implies A \propto d^2\) આથી, યંગ મૉડ્યુલસ અને વ્યાસ વચ્ચેનો સંબંધ: \(Y \propto \frac{1}{d^2}\)
\(\implies d^2 \propto \frac{1}{Y}\)
\(\implies d \propto \frac{1}{\sqrt{Y}}\) તાંબા અને લોખંડના તારના વ્યાસનો ગુણોત્તર નીચે મુજબ શોધી શકાય: \[\frac{d_{\text{તાંબું}}}{d_{\text{લોખંડ}}} = \sqrt{\frac{Y_{\text{લોખંડ}}}{Y_{\text{તાંબું}}}}\] મૂલ્યો દાખલ કરતાં: \[\frac{d_{\text{તાંબું}}}{d_{\text{લોખંડ}}} = \sqrt{\frac{190 \times 10^9 \text{ N m}^{-2}}{110 \times 10^9 \text{ N m}^{-2}}}\] \[\frac{d_{\text{તાંબું}}}{d_{\text{લોખંડ}}} = \sqrt{\frac{19}{11}}\] \[\frac{d_{\text{તાંબું}}}{d_{\text{લોખંડ}}} = \sqrt{1.72727}\] \[\frac{d_{\text{તાંબું}}}{d_{\text{લોખંડ}}} \approx 1.314\]In simple words: For the rigid rod to remain perfectly horizontal, all three wires must stretch by the exact same amount, and they must also experience the same pulling force. Young's Modulus, which indicates a material's stiffness, is inversely proportional to the cross-sectional area (and thus to the square of the diameter) when the force and stretch are constant. Therefore, the ratio of the diameters of the copper and iron wires can be found by taking the inverse square root of their respective Young's Moduli.

🎯 Exam Tip: When strain and force are constant across different materials, Young's Modulus is inversely proportional to the cross-sectional area, and thus inversely proportional to the square of the diameter. This relationship is crucial for solving problems involving multiple wires supporting a common load.

Question 11. ખેંચાયા વગરના 1.0m લંબાઈ ધરાવતા સ્ટીલના તારને એક છેડે 14.5 kg દળને જડિત કરેલ છે. તેને ઊર્ધ્વ સમતલમાં વર્તુળાકારે ઘુમાવવામાં આવે છે. વર્તુળમાર્ગમાં નીચેના બિંદુએ તેની કોણીય ઝડપ 2 revolution/s છે. તારના આડછેદનું ક્ષેત્રફળ 0.065 cm\(^2\) છે. જ્યારે જડિત કરેલ દળ વર્તુળમાર્ગમાં નિમ્રતમ બિંદુએ હોય ત્યારે તારની લંબાઈમાં થતા વધારાની ગણતરી કરો. સ્ટીલનો યંગ મૉડ્યુલસ \(2.0 \times 10^{11}\) N m\(^{-2}\).
Answer:
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): આકૃતિ 9.21 એક દળ 'm' ને એક તારની લંબાઈ 'L' (અહીં તારની લંબાઈ 1.0 m) સાથે ઊર્ધ્વ વર્તુળાકાર પથ પર ફરતું દર્શાવે છે. વર્તુળાકાર પથના સૌથી નીચલા બિંદુએ, દળ પર બે બળો કાર્ય કરે છે: તારમાં તણાવ 'T' ઊર્ધ્વ દિશામાં અને ગુરુત્વાકર્ષણ બળ 'mg' અધોદિશામાં. આ બંને બળોનો પરિણામી બળ કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે જે દળને વર્તુળાકાર ગતિમાં રાખે છે. આપેલા ડેટા: સ્ટીલના તારની મૂળ લંબાઈ \(L = 1.0 \text{ m}\) તારના છેડે જડિત કરેલ પદાર્થનું દળ \(m = 14.5 \text{ kg}\) પદાર્થની કોણીય ઝડપ \(\omega = 2 \text{ revolutions/s}\) \[\omega = 2 \times 2\pi \text{ rad/s} = 4\pi \text{ rad/s}\] તારના આડછેદનું ક્ષેત્રફળ \(A = 0.065 \text{ cm}^2 = 0.065 \times 10^{-4} \text{ m}^2 = 6.5 \times 10^{-6} \text{ m}^2\) સ્ટીલનો યંગ મૉડ્યુલસ \(Y = 2.0 \times 10^{11} \text{ N m}^{-2}\) જ્યારે દળ ઊર્ધ્વ સમતલમાં વર્તુળાકારે ઘુમાવવામાં આવે છે, ત્યારે વર્તુળમાર્ગમાં સૌથી નીચેના બિંદુએ તારમાં ઉદ્ભવતું તણાવ બળ (T) મહત્તમ હોય છે. આ બિંદુએ, દળ પર લાગતું પરિણામી બળ (\(F_{\text{net}}\)) એ કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે. \[F_{\text{net}} = T - mg\] કેન્દ્રગામી બળ \(F_c = m\omega^2 L\).
\(\implies T - mg = m\omega^2 L\)
\(\implies T = mg + m\omega^2 L = m(g + \omega^2 L)\) હવે, \(\omega^2 L\) ની ગણતરી કરીએ: \[\omega^2 L = (4\pi \text{ rad/s})^2 \times 1.0 \text{ m} = 16\pi^2 \text{ m/s}^2\] \(\pi \approx 3.14159\) લેતાં, \(\pi^2 \approx 9.8696\) \[\omega^2 L = 16 \times 9.8696 \text{ m/s}^2 = 157.9136 \text{ m/s}^2\] આપણી ગણતરી સરળ બનાવવા માટે \(\pi^2 \approx 9.8\) અથવા \(g\) લઈ શકાય. (અહીં OCR માં 157.7536 વાપર્યું છે, જે \(16 \times (3.14)^2\) માટે યોગ્ય છે. આપણે તેનો ઉપયોગ કરીશું.) \[T = 14.5 \text{ kg} \times (9.8 \text{ m/s}^2 + 157.7536 \text{ m/s}^2)\] \[T = 14.5 \text{ kg} \times 167.5536 \text{ m/s}^2\] \[T = 2429.5272 \text{ N} \approx 2429.5 \text{ N}\] હવે, યંગ મૉડ્યુલસના સૂત્ર \(Y = \frac{\text{તણાવ પ્રતિબળ}}{\text{તણાવ વિકૃતિ}} = \frac{T/A}{\Delta L/L}\) પરથી, લંબાઈમાં થતો વધારો \(\Delta L\) શોધીએ. \[\Delta L = \frac{TL}{AY}\] મૂલ્યો દાખલ કરતાં: \[\Delta L = \frac{2429.5 \text{ N} \times 1.0 \text{ m}}{(6.5 \times 10^{-6} \text{ m}^2) \times (2.0 \times 10^{11} \text{ N m}^{-2})}\] \[\Delta L = \frac{2429.5}{1.3 \times 10^6} \text{ m}\] \[\Delta L = 1.8688 \times 10^{-3} \text{ m}\] \[\Delta L \approx 1.868 \times 10^{-3} \text{ m}\]In simple words: When a mass swings in a vertical circle, the wire experiences maximum tension at the lowest point because it must counteract both gravity and provide the necessary centripetal force for circular motion. We calculate this maximum tension using the mass, angular speed, and wire length. Then, by applying the Young's Modulus formula, we determine how much the wire stretches under this tension.

🎯 Exam Tip: For objects in vertical circular motion, the tension in the string is maximum at the lowest point. Remember to include both gravitational force and centripetal force components when calculating tension. Ensure all units are converted to SI before calculation.

Question 12. નીચે આપેલી માહિતી પરથી પાણી માટે બલ્ક મૉડ્યુલસની ગણતરી કરો : પ્રારંભિક કદ = 100.0 લિટર, દબાણનો ઘટાડો = 100.0 atm (1 atm = \(1.013 \times 10^5\) Pa), અંતિમ કદ = 100.5 લિટર. (અચળ તાપમાને) પાણી અને હવાના બલ્ક મૉડ્યુલસની તુલના કરો. આ ગુણોત્તર શા માટે મોટો છે તે સરળ શબ્દોમાં સમજાવો. હવાનો STP એ બલ્ક મૉડ્યુલસ \(1.0 \times 10^5\) Pa લો.
Answer:આપેલા ડેટા: પાણીનું પ્રારંભિક કદ \(V_1 = 100.0 \text{ L}\) પાણીનું અંતિમ કદ \(V_2 = 100.5 \text{ L}\) પાણીના કદમાં થતો ફેરફાર (વધારો) \(\Delta V = V_2 - V_1 = 100.5 \text{ L} - 100.0 \text{ L} = 0.5 \text{ L}\) લિટરને m\(^3\) માં રૂપાંતરિત કરતાં (\(1 \text{ L} = 10^{-3} \text{ m}^3\)): \[\Delta V = 0.5 \times 10^{-3} \text{ m}^3\] દબાણમાં થતો ફેરફાર (ઘટાડો) \(\Delta p = -100.0 \text{ atm}\) (ઋણ ચિહ્ન ઘટાડો સૂચવે છે) \[\Delta p = -100.0 \times (1.013 \times 10^5 \text{ Pa})\] \[\Delta p = -1.013 \times 10^7 \text{ Pa}\] પાણીનો બલ્ક મૉડ્યુલસ \(B_w\) નું સૂત્ર: \(B = -V \frac{\Delta p}{\Delta V}\). અહીં, આપણે પ્રારંભિક કદ \(V = V_1 = 100.0 \text{ L} = 100.0 \times 10^{-3} \text{ m}^3\) લઈશું. \[B_w = -(100.0 \times 10^{-3} \text{ m}^3) \times \frac{-1.013 \times 10^7 \text{ Pa}}{0.5 \times 10^{-3} \text{ m}^3}\] \[B_w = \frac{(100.0 \times 10^{-3}) \times (1.013 \times 10^7)}{0.5 \times 10^{-3}} \text{ Pa}\] \[B_w = \frac{101.3 \times 10^4}{0.5} \text{ Pa}\] \[B_w = 202.6 \times 10^4 \text{ Pa} = 2.026 \times 10^6 \text{ Pa}\] (નોંધ: મૂળ OCR માં ભૂલથી \(2.026 \times 10^9\) Pa ગણ્યું છે, જે \(2.026 \times 10^4\) ગણક ગુણોત્તર માટે સુસંગત નથી.) **સમીક્ષા પછી સુધારેલ ગણતરી:** \[B_w = -(100.0 \times 10^{-3} \text{ m}^3) \times \frac{-1.013 \times 10^7 \text{ Pa}}{0.5 \times 10^{-3} \text{ m}^3}\] \[B_w = \frac{100.0 \times 1.013 \times 10^7}{0.5} \text{ Pa}\] \[B_w = 200 \times 1.013 \times 10^7 \text{ Pa}\] \[B_w = 202.6 \times 10^7 \text{ Pa} = 2.026 \times 10^9 \text{ Pa}\] આમ, પાણીનો બલ્ક મૉડ્યુલસ \(B_w = 2.026 \times 10^9 \text{ Pa}\). હવાનો STP એ બલ્ક મૉડ્યુલસ \(B_a = 1.0 \times 10^5 \text{ Pa}\) આપેલ છે. પાણીના બલ્ક મૉડ્યુલસ અને હવાના બલ્ક મૉડ્યુલસનો ગુણોત્તર: \[\frac{B_w}{B_a} = \frac{2.026 \times 10^9 \text{ Pa}}{1.0 \times 10^5 \text{ Pa}}\] \[\frac{B_w}{B_a} = 2.026 \times 10^4\] આ ગુણોત્તર ખૂબ મોટો હોવાનું કારણ: પ્રવાહી (પાણી) કરતાં વાયુઓ (હવા) વધુ દબનીય હોય છે. પ્રવાહીમાં અણુઓ વાયુઓ કરતાં વધુ મજબૂત બળો દ્વારા બંધાયેલા (જકડાયેલા) હોય છે અને એકબીજાની નજીક હોય છે. આ મજબૂત આંતર-આણ્વિક બળો અને નજીકની ગોઠવણીને કારણે, પ્રવાહીને દબાવવું વાયુઓ કરતાં ઘણું મુશ્કેલ હોય છે, તેથી તેમનો બલ્ક મૉડ્યુલસ ઘણો ઊંચો હોય છે.In simple words: We calculate how much water's volume changes when pressure is reduced. Using this, we find water's Bulk Modulus, which shows its resistance to compression. We then compare this value to air's Bulk Modulus. The resulting ratio is very large because water is a liquid with closely packed, strongly interacting molecules, making it far less compressible than air, whose molecules are widely separated and weakly interacting.

🎯 Exam Tip: Bulk Modulus measures resistance to volume change. It is high for incompressible materials. Remember the negative sign in the formula \(B = -V \frac{\Delta p}{\Delta V}\) to ensure a positive Bulk Modulus, as a decrease in pressure leads to an increase in volume, and vice-versa.

Question 13. દરિયાની અંદર જે ઊંડાઈએ દબાણ 80 atm હોય ત્યાં પાણીની ઘનતા શોધો. સપાટી પર પાણીની ઘનતા \(1.03 \times 10^3\) kg m\(^{-3}\) અને દબનીયતા \(45.8 \times 10^{-11}\) Pa\(^{-1}\) (\(1 \text{ Pa} = 1 \text{ Nm}^{-2}\)).
Answer:આપેલા ડેટા: દરિયાની સપાટી પર પાણીની ઘનતા \(\rho_1 = 1.03 \times 10^3 \text{ kg m}^{-3}\) દબનીયતા \(k = 45.8 \times 10^{-11} \text{ Pa}^{-1}\) પ્રારંભિક દબાણ (સપાટી પર) \(P_1 = 1 \text{ atm} = 1.013 \times 10^5 \text{ Pa}\) અંતિમ દબાણ (ઊંડાઈએ) \(P_2 = 80 \text{ atm}\) બલ્ક મૉડ્યુલસ \(B\) એ દબનીયતા \(k\) નો વ્યસ્ત છે: \[B = \frac{1}{k} = \frac{1}{45.8 \times 10^{-11} \text{ Pa}^{-1}}\] \[B = 0.02183 \times 10^{11} \text{ Pa} = 2.183 \times 10^9 \text{ Pa}\] દબાણમાં થતો ફેરફાર \(\Delta P = P_2 - P_1 = (80 - 1) \text{ atm} = 79 \text{ atm}\) \[\Delta P = 79 \times (1.013 \times 10^5 \text{ Pa}) = 8.0027 \times 10^6 \text{ Pa}\] બલ્ક મૉડ્યુલસના સૂત્ર \(B = -V \frac{\Delta P}{\Delta V}\) પરથી, કદમાં થતો ફેરફાર \(\Delta V\) શોધી શકાય. ધારો કે આપણે પાણીનો એકમ કદ \(V = 1 \text{ m}^3\) લઈએ. આ કદનું દળ \(M = \rho_1 V = (1.03 \times 10^3 \text{ kg m}^{-3}) \times (1 \text{ m}^3) = 1030 \text{ kg}\). આ દળ ઊંડાઈએ પણ સમાન રહેશે. \[\Delta V = -\frac{V \Delta P}{B}\] \[\Delta V = -\frac{(1 \text{ m}^3) \times (8.0027 \times 10^6 \text{ Pa})}{2.183 \times 10^9 \text{ Pa}}\] \[\Delta V = -0.003665 \text{ m}^3\] ઋણ ચિહ્ન દર્શાવે છે કે કદમાં ઘટાડો થયો છે. નવું કદ \(V'\) ઊંડાઈએ: \[V' = V + \Delta V = 1 \text{ m}^3 - 0.003665 \text{ m}^3\] \[V' = 0.996335 \text{ m}^3\] ઊંડાઈએ પાણીની ઘનતા \(\rho'\) નીચે મુજબ શોધી શકાય: \[\rho' = \frac{\text{દળ}}{V'} = \frac{M}{V'}\] \[\rho' = \frac{1030 \text{ kg}}{0.996335 \text{ m}^3}\] \[\rho' = 1033.85 \text{ kg m}^{-3}\] \[\rho' \approx 1.034 \times 10^3 \text{ kg m}^{-3}\]In simple words: When water goes deep into the ocean, the pressure on it increases significantly. We use the water's compressibility (how easily it shrinks) to first find its Bulk Modulus. Then, by knowing the change in pressure, we calculate how much a given volume of water will decrease. Since the amount of water (mass) stays constant, we can then determine the new, higher density of water at that depth.

🎯 Exam Tip: Remember that mass is conserved, so changes in density are inversely proportional to changes in volume. Compressibility is the inverse of Bulk Modulus. Pay attention to the initial and final pressures when calculating the pressure difference, and always convert units to SI for accuracy.

Question 13. દરિયાની અંદર જે ઊંડાઈએ દબાણ 80 atm હોય ત્યાં પાણીની ઘનતા શોધો. સપાટી પર પાણીની ઘનતા \(1.03 \times 10^3\) kg m\(^{-3}\) અને પાણીની દબનીયતા \(45.8 \times 10^{-11}\) Pa\(^{-1}\) (\(1\) Pa = \(1\) Nm\(^{-2}\)).
Answer: દરિયાની સપાટી પર પાણીનું \(1\) m\(^3\) કદ ધરાવતું દ્રવ્યમાન \(1030\) kg છે, કારણ કે પાણીની સપાટી પર ઘનતા \(1.03 \times 10^3\) kg m\(^{-3}\) આપવામાં આવી છે. સપાટી પર દબાણ \(1\) atm = \(1.013 \times 10^5\) Pa છે. પાણીનો જથ્થો ગમે તેટલી ઊંડાઈએ લઈ જવામાં આવે તો પણ તેનું દ્રવ્યમાન અચળ રહેશે. જ્યારે દરિયામાં \(80\) m ઊંડાઈએ પાણીનું કદ \(V\) હોય, તો તેના કદમાં થતો ફેરફાર \(\Delta V\) છે, અને દબાણમાં થતો ફેરફાર \(\Delta p\) નીચે મુજબ ગણી શકાય છે:
\(\Delta p = 80 \text{ atm} – 1 \text{ atm} = 79 \text{ atm}\)
\(= 79 \times 1.013 \times 10^5 \text{ Pa}\)
\(= 80.027 \times 10^5 \text{ Pa}\)
પાણીની દબનીયતા \(k = \frac{1}{B}\) હોવાથી, બલ્ક મૉડ્યુલસના સૂત્ર \(B = -\frac{\Delta p}{(\Delta V/V)}\) પરથી, દબનીયતા \(k = -\frac{(\Delta V/V)}{\Delta p}\) લખી શકાય.
કદમાં થતો ફેરફાર: \(\Delta V = - Vk\Delta p\)
\(= - (1 \text{ m}^3) \times (45.8 \times 10^{-11} \text{ Pa}^{-1}) \times (80.027 \times 10^5 \text{ Pa})\)
\(= - 3665.24 \times 10^{-6}\text{ m}^3\)
\(= - 0.003665 \text{ m}^3\)
ઋણ ચિહ્ન દર્શાવે છે કે દબાણ વધતાં કદમાં ઘટાડો થાય છે.
આમ, \(80\) m ઊંડાઈએ પાણીની ઘનતા \(\rho = \frac{\text{દળ}}{\text{કદ (V + ΔV)}}\)
\(= \frac{1030 \text{ kg}}{(1-0.003665) \text{ m}^3}\)
\(= 1033.8 \text{ kg m}^{-3}\)
\(\approx 1.034 \times 10^3 \text{ kg m}^{-3}\)
બીજી રીત:
પાણીની દબનીયતા \(k = 45.8 \times 10^{-11}\) Pa\(^{-1}\) છે.
પાણીનો બલ્ક મૉડ્યુલસ \(B = \frac{1}{k} = \frac{1}{45.8 \times 10^{-11}} = 2.183 \times 10^9 \text{ Pa}\)
સપાટી પર પાણીની ઘનતા \(\rho = 1.03 \times 10^3\) kg m\(^{-3}\) છે.
બલ્ક મૉડ્યુલસના સૂત્ર \(\frac{\Delta V}{V} = -\frac{\Delta P}{B}\) નો ઉપયોગ કરતાં, દબાણમાં \(P_2 - P_1 = 79\) atm (\(= 79 \times 1.013 \times 10^5 \text{ Pa}\) = \(80.027 \times 10^5 \text{ Pa}\)) ફેરફાર થાય ત્યારે કદમાં ફેરફાર \(\Delta V = - \frac{\Delta P \cdot V_1}{B}\).
\(= - \frac{(79 \times 1.013 \times 10^5 \text{ Pa}) \times V_1}{2.183 \times 10^9 \text{ Pa}}\)
\(= - (36.65 \times 10^{-4}) V_1\)
\(= - 0.003665 V_1\)
આમ, \(V_2 = V_1 + \Delta V = V_1 - 0.003665 V_1 = 0.9963 V_1\).
દ્રવ્યમાન અચળ હોવાથી, \(\rho_2 V_2 = \rho_1 V_1\).
\(\therefore \rho_2 = \rho_1 \frac{V_1}{V_2} = 1.03 \times 10^3 \text{ kg m}^{-3} \times \frac{V_1}{0.9963 V_1}\)
\(= 1.0338 \times 10^3 \text{ kg m}^{-3} \approx 1.034 \times 10^3 \text{ kg m}^{-3}\)
ત્રીજી રીત:
ધારો કે, પાણીની સપાટી પર કદ \(V_1\), ઘનતા \(\rho_1 = \frac{M}{V_1} = 1.03 \times 10^3 \text{ kg m}^{-3} = 1030 \text{ kg m}^{-3}\) અને દબાણ \(P_1 = 1\) atm (\(= 1.013 \times 10^5 \text{ Pa}\)).
જ્યાં દબાણ \(P_2 = 80\) atm હોય ત્યાં પાણીનું કદ \(V_2\) અને ઘનતા \(\rho_2 = \frac{M}{V_2}\) છે.
સપાટી અને ઊંડાઈએ દબાણ તફાવત \(\Delta P = P_2 - P_1 = 79\) atm (\(= 79 \times 1.013 \times 10^5 \text{ Pa} = 80.027 \times 10^5 \text{ Pa}\)).
દબનીયતા સૂત્ર \(k = – \frac{\Delta V}{V_1 \Delta P}\) વાપરતા, કદમાં ફેરફાર \(\Delta V = - k V_1 \Delta P\).
\(= (45.8 \times 10^{-11}) \times V_1 \times (80.027 \times 10^5)\)
\(= - (3665 \times 10^{-6}V_1) = - (0.003665 V_1)\) (સમીકરણ 1).
આપણે જાણીએ છીએ કે \(\Delta V = V_2 - V_1\).
ઉપરાંત, \(\frac{\Delta V}{V_1} = \frac{\rho_1}{\rho_2} - 1 \implies \frac{\rho_1}{\rho_2} = \frac{\Delta V}{V_1} + 1\).
સમીકરણ (1) પરથી \(\frac{\Delta V}{V_1} = -0.003665\) છે.
\(\therefore \frac{\rho_1}{\rho_2} = -0.003665 + 1 = 0.9963\)
\(\therefore \rho_2 = \frac{\rho_1}{0.9963} = \frac{1030}{0.9963}\)
\(= 1033.8 \text{ kg m}^{-3} \approx 1.034 \times 10^3 \text{ kg m}^{-3}\)
In simple words: જેમ દબાણ વધે તેમ પાણીનું કદ સહેજ ઘટે છે, જેના કારણે તેની ઘનતા વધે છે. આપેલા દબાણ અને દબનીયતાનો ઉપયોગ કરીને કદમાં થતો ઘટાડો ગણવામાં આવે છે, અને પછી ઘટાડેલા કદનો ઉપયોગ કરીને નવી ઘનતા શોધી શકાય છે.

🎯 Exam Tip: પાણીની ઘનતાની ગણતરી માટે બલ્ક મૉડ્યુલસ અથવા દબનીયતાના સૂત્રોનો યોગ્ય ઉપયોગ કરવો અને દબાણ તફાવતની ગણતરીમાં સાવચેતી રાખવી.

Question 14. 10 atm જેટલા હાઇડ્રોલિક દબાણ હેઠળ રહેલા કાચના ચોસલા (Slab) માટે કદના આંશિક ફેરફારની ગણતરી કરો. કાચનો બલ્ક મૉડ્યુલસ \(37 \times 10^9\) Pa છે.
Answer: આપેલા ડેટા મુજબ, દબાણ \(p = 10\) atm છે, જેને પાસ્કલમાં રૂપાંતરિત કરીએ તો:
\(p = 10 \times 1.013 \times 10^5 \text{ Pa} = 10.13 \times 10^5 \text{ Pa}\)
કાચનો બલ્ક મૉડ્યુલસ \(B = 37 \times 10^9 \text{ Pa}\) છે.
બલ્ક મૉડ્યુલસના સૂત્ર \(B = -\frac{p}{(\Delta V/V)}\) નો ઉપયોગ કરીને, કદના આંશિક ફેરફાર \(\frac{\Delta V}{V}\) ને નીચે પ્રમાણે ગણી શકાય:
\(\frac{\Delta V}{V} = \frac{-p}{B}\)
\(= \frac{-10.13 \times 10^5 \text{ Pa}}{37 \times 10^9 \text{ Pa}}\)
\(= -0.2737 \times 10^{-4}\)
\(= -2.74 \times 10^{-5}\)
ઋણ ચિહ્ન દર્શાવે છે કે દબાણમાં વધારાને કારણે કદમાં ઘટાડો થાય છે.
In simple words: હાઇડ્રોલિક દબાણને કારણે કાચના ચોસલાના કદમાં આંશિક ઘટાડો થાય છે, અને આ ઘટાડો બલ્ક મૉડ્યુલસના મૂલ્ય પર આધાર રાખે છે.

🎯 Exam Tip: બલ્ક મૉડ્યુલસનો ખ્યાલ લાગુ કરતી વખતે દબાણના એકમોને SI એકમ (Pa) માં કન્વર્ટ કરવાનું યાદ રાખો અને ઋણ ચિહ્નનો અર્થ સ્પષ્ટ કરો.

Question 15. 10 cm લંબાઈની કિનારીવાળા તાંબાના નક્કર સમઘન માટે \(7.0 \times 10^6\) Pa જેટલા હાઇડ્રોલિક દબાણની અસર હેઠળ કદ-સંકોચનની ગણતરી કરો. તાંબાનો બલ્ક મૉડ્યુલસ \(140 \times 10^9\) Pa છે.
Answer: તાંબાના નક્કર સમઘનની દરેક બાજુની લંબાઈ \(10\) cm છે, જેને મીટરમાં રૂપાંતરિત કરીએ તો:
બાજુની લંબાઈ = \(10 \text{ cm} = 10 \times 10^{-2} \text{ m} = 10^{-1} \text{ m}\)
આથી, સમઘનનું પ્રારંભિક કદ \(V = (10^{-1} \text{ m})^3 = 10^{-3} \text{ m}^3\).
લાગુ પડેલું હાઇડ્રોલિક દબાણ \(p = 7.0 \times 10^6 \text{ Pa}\) છે.
તાંબાનો બલ્ક મૉડ્યુલસ \(B = 140 \times 10^9 \text{ Pa}\) આપવામાં આવ્યો છે.
બલ્ક મૉડ્યુલસના સૂત્ર \(B = -\frac{p}{(\Delta V/V)}\) નો ઉપયોગ કરીને કદમાં થતો ફેરફાર \(\Delta V\) ગણી શકાય:
\(\Delta V = -\frac{p V}{B}\)
\(= -\frac{(7.0 \times 10^6 \text{ Pa}) \times (10^{-3} \text{ m}^3)}{140 \times 10^9 \text{ Pa}}\)
\(= -\frac{7.0 \times 10^3}{140 \times 10^9} \text{ m}^3\)
\(= -\frac{1}{20} \times 10^{-6} \text{ m}^3\)
\(= -0.05 \times 10^{-6} \text{ m}^3\)
\(= -0.05 \text{ cm}^3\)
ઋણ ચિહ્ન સૂચવે છે કે દબાણ લાગુ પડવાથી સમઘનના કદમાં ઘટાડો થાય છે.
In simple words: દબાણ લાગુ પાડવાથી તાંબાના સમઘનનું કદ સહેજ સંકોચાઈ જાય છે, અને આ કદ સંકોચન તેના બલ્ક મૉડ્યુલસ દ્વારા નક્કી થાય છે.

🎯 Exam Tip: આવા દાખલાઓમાં SI એકમોનું ધ્યાન રાખવું અને બલ્ક મૉડ્યુલસના સૂત્રનો સાચો ઉપયોગ કરવો મહત્વનો છે.

Question 16. એક લિટર પાણીનું \(0.10 \%\) સંકોચન કરવા તેના પરના દબાણમાં કેટલો ફેરફાર કરવો પડે? પાણીનો બલ્ક મૉડ્યુલસ \(2.2 \times 10^9\) Pa છે.
Answer: પાણીનું પ્રારંભિક કદ \(V = 1\) લિટર = \(10^{-3} \text{ m}^3\) છે.
કદમાં થતો આંશિક ફેરફાર \(\frac{\Delta V}{V}\) એ \(0.10 \%\) સંકોચન છે. ઋણ ચિહ્ન સંકોચન સૂચવે છે:
\(\frac{\Delta V}{V} = -0.10 \% = -\frac{0.10}{100} = -10^{-3}\)
પાણીનો બલ્ક મૉડ્યુલસ \(B = 2.2 \times 10^9 \text{ Pa}\) છે.
બલ્ક મૉડ્યુલસના સૂત્ર \(B = -\frac{\Delta p}{(\Delta V/V)}\) ને ફરીથી ગોઠવતાં, દબાણમાં ફેરફાર \(\Delta p\) શોધી શકાય:
\(\Delta p = -B \left(\frac{\Delta V}{V}\right)\)
\(= -(2.2 \times 10^9 \text{ Pa}) \times (-10^{-3})\)
\(= 2.2 \times 10^6 \text{ Pa}\) (અથવા N m\(^{-2}\)).
In simple words: પાણીને સંકોચવા માટે ચોક્કસ દબાણ લાગુ પાડવું પડે, જે પાણીના બલ્ક મૉડ્યુલસ અને ઇચ્છિત કદના ફેરફાર પર આધાર રાખે છે.

🎯 Exam Tip: ટકાવારીમાં આપેલા કદના ફેરફારને દશાંશ સ્વરૂપમાં રૂપાંતરિત કરવાનું ભૂલશો નહીં અને સંકોચન માટે ઋણ ચિહ્નનો યોગ્ય રીતે ઉપયોગ કરો.

Question 17. હીરાના એક જ સ્ફટિકમાંથી આકૃતિ 9.22માં દર્શાવ્યા મુજબના આકારનું એરણ (Anvil) બનાવેલ છે. તેનો ઉપયોગ ઊંચા દબાણ હેઠળ દ્રવ્યની વર્તણૂક તપાસવા માટે થાય છે. એરણના સાંકડા છેડા પાસે સપાટ બાજુઓના વ્યાસ \(0.50\) mm છે. જો એરણના પહોળા છેડાઓ પર \(50,000\) Nનું દાબીય બળ લાગુ પાડેલ હોય, તો એરણના સાંકડા છેડે (Tip પર) દબાણ કેટલું હશે?
Answer:
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): આકૃતિ એક હીરાના એરણનું નિરૂપણ કરે છે, જેમાં હીરાના શંકુ આકારના બે ભાગ એકબીજા સાથે મેટલ ગેસ્કેટ દ્વારા જોડાયેલા છે. આ રચનાનો ઉપયોગ અત્યંત ઊંચું દબાણ ઉત્પન્ન કરવા માટે થાય છે, ખાસ કરીને નાના છેડા પર બળ કેન્દ્રિત કરવા માટે.
એરણના સાંકડા છેડા પાસે સપાટ બાજુઓનો વ્યાસ \(d = 0.50\) mm છે.
આથી, ત્રિજ્યા \(r = \frac{d}{2} = \frac{0.50 \text{ mm}}{2} = 0.25 \text{ mm} = 0.25 \times 10^{-3} \text{ m}\).
એરણના પહોળા છેડાઓ પર લાગુ પડેલું દાબીય બળ \(F = 50,000\) N છે.
એરણના સાંકડા છેડા પર દબાણ \(p\) ને નીચે મુજબ ગણવામાં આવે છે:
\(p = \frac{F}{A}\), જ્યાં \(A = \pi r^2\) એ સાંકડા છેડાનું ક્ષેત્રફળ છે.
\(p = \frac{F}{\pi r^2}\)
\(= \frac{50,000 \text{ N}}{3.14 \times (0.25 \times 10^{-3} \text{ m})^2}\)
\(= \frac{50,000}{3.14 \times 0.0625 \times 10^{-6}}\)
\(= \frac{50,000}{0.19625 \times 10^{-6}}\)
\(= 254777076.4 \times 10^6 \text{ Pa}\)
\(= 2.5477 \times 10^{11} \text{ Pa}\)
\(\approx 2.55 \times 10^{11} \text{ Pa}\) (અથવા N m\(^{-2}\)).
In simple words: પાતળા છેડા પર મોટા બળને કેન્દ્રિત કરવાથી અત્યંત ઊંચું દબાણ ઉત્પન્ન થાય છે, જે દબાણના સામાન્ય સૂત્ર (બળ ભાગ્યા ક્ષેત્રફળ) દ્વારા ગણી શકાય.

🎯 Exam Tip: વ્યાસમાંથી ત્રિજ્યાની ગણતરી કરતી વખતે અને ક્ષેત્રફળના સૂત્રમાં મૂલ્યો મુકતી વખતે એકમ રૂપાંતરણમાં સાવચેતી રાખવી.

Question 18. \(1.05\) m લંબાઈ અને અવગણ્ય દળ ધરાવતાં એક સળિયાને આકૃતિ 9.23માં દર્શાવ્યા મુજબ બે તાર વડે બંને છેડેથી લટકાવેલ છે. તાર A સ્ટીલ અને તાર B ઍલ્યુમિનિયમનો છે. તાર A અને તાર Bના આડછેદનું ક્ષેત્રફળ અનુક્રમે \(1.0\) mm અને \(2.0\) mm\(^2\) છે. સળિયા પર કયા બિંદુએ \(m\) દળ લટકાવવામાં આવે કે જેથી સ્ટીલ અને ઍલ્યુમિનિયમના બંને તારમાં (a) સમાન પ્રતિબળ (b) સમાન વિકૃતિ ઉદ્ભવે? સ્ટીલનો યંગ મૉડ્યુલસ \(2 \times 10^{11}\) Pa અને ઍલ્યુમિનિયમનો યંગ મૉડ્યુલસ \(7 \times 10^{10}\) Pa.
Answer:
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): આકૃતિ એક આડી સળિયાને દર્શાવે છે જે સ્ટીલ અને ઍલ્યુમિનિયમના બે તાર વડે લટકાવવામાં આવેલો છે. સળિયાની લંબાઈ \(1.05\) m છે. એક દળ \(m\) સળિયા પર ક્યાં લટકાવવું જોઈએ જેથી તારમાં સમાન પ્રતિબળ અથવા સમાન વિકૃતિ ઉત્પન્ન થાય તે આકૃતિ સમજાવે છે.
ધારો કે, દળ \(m\) સ્ટીલના તાર A થી \(x\) અંતરે આવેલા બિંદુ C પર લટકાવવામાં આવે છે. આથી, ઍલ્યુમિનિયમના તાર B થી દળ \(m\) નું અંતર \((1.05 - x)\) m થશે.
સ્ટીલના તાર A નું આડછેદનું ક્ષેત્રફળ \(A_1 = 1.0 \text{ mm}^2\).
ઍલ્યુમિનિયમના તાર B નું આડછેદનું ક્ષેત્રફળ \(A_2 = 2.0 \text{ mm}^2\).
સ્ટીલનો યંગ મૉડ્યુલસ \(Y_1 = 2 \times 10^{11}\) Pa.
ઍલ્યુમિનિયમનો યંગ મૉડ્યુલસ \(Y_2 = 7 \times 10^{10}\) Pa.
(a) બંને તારમાં સમાન પ્રતિબળ માટે:
ધારો કે સ્ટીલના તારમાં તણાવ બળ \(T_1\) અને ઍલ્યુમિનિયમના તારમાં તણાવ બળ \(T_2\) ઉદ્ભવે છે.
તણાવ પ્રતિબળ \(\sigma = \frac{T}{A}\) હોવાથી, સમાન પ્રતિબળ માટે \(\frac{T_1}{A_1} = \frac{T_2}{A_2}\).
\(\therefore \frac{T_1}{T_2} = \frac{A_1}{A_2} = \frac{1.0 \text{ mm}^2}{2.0 \text{ mm}^2} = \frac{1}{2}\) .......... (1)
સળિયો સંતુલનમાં હોવાથી, દળ \(m\) લટકાવેલા બિંદુ C ની સાપેક્ષે બળની ચાકમાત્રાઓ (ટોર્ક) સમાન હોવી જોઈએ:
\(T_1 x = T_2 (1.05 - x)\) .......... (2)
સમીકરણ (1) અને (2) ને સરખાવતાં:
\(\frac{1.05-x}{x} = \frac{1}{2}\)
\(\implies 2(1.05 - x) = x\)
\(\implies 2.10 - 2x = x\)
\(\implies 3x = 2.10\)
\(\implies x = 0.70 \text{ m}\) અથવા \(70\) cm.
(b) બંને તારમાં સમાન વિકૃતિ માટે:
ધારો કે સ્ટીલના તારમાં તણાવ બળ \(T'_1\) અને ઍલ્યુમિનિયમના તારમાં તણાવ બળ \(T'_2\) ઉદ્ભવે છે.
યંગ મૉડ્યુલસના સૂત્ર \(Y = \frac{\sigma_t}{\varepsilon_t}\) પરથી, તણાવ વિકૃતિ \(\varepsilon_t = \frac{\sigma_t}{Y} = \frac{1}{Y}\left(\frac{T}{A}\right)\).
સમાન તણાવ વિકૃતિ માટે: \(\frac{1}{Y_1}\left(\frac{T'_1}{A_1}\right) = \frac{1}{Y_2}\left(\frac{T'_2}{A_2}\right)\).
\(\therefore \frac{T'_1}{T'_2} = \frac{A_1}{A_2} \times \frac{Y_1}{Y_2}\)
\(= \frac{1.0 \text{ mm}^2}{2.0 \text{ mm}^2} \times \frac{2 \times 10^{11} \text{ Pa}}{7 \times 10^{10} \text{ Pa}} = \frac{1}{2} \times \frac{20}{7} = \frac{10}{7}\) .......... (3)
સળિયો સંતુલનમાં હોવાથી, ચાકમાત્રાઓ સમાન હોવી જોઈએ:
\(T'_1 x = T'_2 (1.05 - x)\) .......... (4)
સમીકરણ (3) અને (4) ને સરખાવતાં:
\(\frac{1.05-x}{x} = \frac{10}{7}\)
\(\implies 7(1.05 - x) = 10x\)
\(\implies 7.35 - 7x = 10x\)
\(\implies 17x = 7.35\)
\(\implies x = 0.4324 \text{ m}\) અથવા \(43.24\) cm.
In simple words: દળ ક્યાં લટકાવવું તે શોધવા માટે, આપણે કાં તો તારમાં ઉત્પન્ન થતા પ્રતિબળ (બળ પ્રતિ ક્ષેત્રફળ) અથવા વિકૃતિ (સાપેક્ષ લંબાઈનો ફેરફાર) સમાન રાખવાના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરીએ છીએ, અને ટોર્ક સંતુલન લાગુ પાડીએ છીએ.

🎯 Exam Tip: સંતુલન માટે ટોર્કના સિદ્ધાંતનો યોગ્ય રીતે ઉપયોગ કરવો અને યંગ મૉડ્યુલસ તથા આડછેદના ક્ષેત્રફળના ગુણોત્તરને ધ્યાનમાં લેવો મહત્વનો છે.

Question 19. \(1.0\) m લંબાઈ અને \(0.50 \times 10^{-2}\) cm\(^2\) આડછેદનું ક્ષેત્રફળ ધરાવતા નરમ સ્ટીલના તારને બે થાંભલાની વચ્ચે સમક્ષિતિજ દિશામાં સ્થિતિસ્થાપકતાની હદ(મર્યાદા)માં રહે તેમ ખેંચવામાં આવે છે. હવે તારના મધ્યબિંદુએ \(100\) g દળ લટકાવવામાં આવે, તો તારનું મધ્યબિંદુ કેટલું નીચે આવશે? સ્ટીલનો યંગ મૉડ્યુલસ \(2 \times 10^{11}\) Nm\(^{-2}\) (અથવા Pa).
Answer:
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): આકૃતિ બે થાંભલા A અને B વચ્ચે સમક્ષિતિજ રીતે બાંધેલા સ્ટીલના તારને દર્શાવે છે. તારના મધ્યબિંદુ C પર એક દળ M લટકાવવામાં આવે છે, જેના કારણે તારનો મધ્યભાગ નીચે D બિંદુ સુધી ખસે છે. આ ડાયાગ્રામ તારમાં તણાવ T અને લંબાઈમાં થતા વધારા \(\Delta L\) ને દર્શાવે છે, જેનો ઉપયોગ મધ્યબિંદુના વિસ્થાપન \(x\) ની ગણતરી માટે થાય છે.
પ્રારંભિક રીતે, તારની કુલ લંબાઈ \(2L = 1.0\) m છે, તેથી \(L = 0.5\) m.
જ્યારે \(M = 100\) g (\(= 0.1\) kg) દળ તારના મધ્યબિંદુ C પર લટકાવવામાં આવે છે, ત્યારે તે \(x\) જેટલું નીચે D બિંદુ પર ખસે છે.
તારની લંબાઈમાં થતો વધારો \(\Delta L = AD + DB - AB\). કારણ કે \(AD = DB\) છે, \(\Delta L = 2AD - AB\).
પાયથાગોરસ પ્રમેય મુજબ, \(AD = \sqrt{L^2 + x^2}\). અને \(AB = 2L\).
\(\therefore \Delta L = 2\sqrt{L^2 + x^2} - 2L\)
\(= 2L \left( \sqrt{1 + \frac{x^2}{L^2}} - 1 \right)\)
દ્વિપદી પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને \((1 + y)^{1/2} \approx 1 + \frac{1}{2}y\) (જ્યાં \(y = \frac{x^2}{L^2}\) અને \(x << L\)).
\(\Delta L \approx 2L \left( 1 + \frac{1}{2}\frac{x^2}{L^2} - 1 \right) = 2L \left(\frac{x^2}{2L^2}\right) = \frac{x^2}{L}\) .......... (1)
તારમાં ઉત્પન્ન થતી તણાવ વિકૃતિ \(\varepsilon_t = \frac{\Delta L}{\text{મૂળ લંબાઈ}}\). મૂળ લંબાઈ \(2L\) છે.
\(\therefore \varepsilon_t = \frac{(x^2/L)}{2L} = \frac{x^2}{2L^2}\) .......... (2)
તારના બંને ભાગમાં તણાવ બળ T ઉત્પન્ન થાય છે. બિંદુ D પર દળ M ના વજનને સંતુલિત કરવા માટે, તણાવના ઊર્ધ્વ ઘટકોનો સરવાળો દળના વજન જેટલો હોવો જોઈએ.
\(2T \sin\theta = Mg\).
નાના ખૂણા \(\theta\) માટે, \(\sin\theta \approx \tan\theta \approx \frac{x}{L}\).
\(\therefore 2T \left(\frac{x}{L}\right) = Mg \implies T = \frac{MgL}{2x}\) .......... (3)
તારમાં તણાવ પ્રતિબળ \(\sigma_t = \frac{T}{A} = \frac{MgL}{2Ax}\) .......... (4)
યંગ મૉડ્યુલસ \(Y = \frac{\sigma_t}{\varepsilon_t}\) ના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતાં:
\(Y = \frac{MgL/(2Ax)}{x^2/(2L^2)} = \frac{MgL}{2Ax} \times \frac{2L^2}{x^2} = \frac{MgL^3}{Ax^3}\)
આથી, \(\implies x^3 = \frac{MgL^3}{AY}\)
\(\implies x = L \sqrt[3]{\frac{Mg}{AY}}\) .......... (5)
આપેલ મૂલ્યો:
\(L = 0.5\) m.
\(A = 0.50 \times 10^{-2} \text{ cm}^2 = 0.50 \times 10^{-6} \text{ m}^2\).
\(M = 100 \text{ g} = 0.1 \text{ kg}\).
\(Y = 2 \times 10^{11} \text{ Nm}^{-2}\).
ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ \(g = 10 \text{ m s}^{-2}\) લઈએ.
સમીકરણ (5) માં કિંમતો મૂકતાં:
\(x = (0.5 \text{ m}) \left[\frac{(0.1 \text{ kg}) \times (10 \text{ m s}^{-2})}{(0.50 \times 10^{-6} \text{ m}^2) \times (2 \times 10^{11} \text{ Nm}^{-2})}\right]^{1/3}\)
\(= (0.5) \left[\frac{1}{(0.5 \times 10^{-6}) \times (2 \times 10^{11})}\right]^{1/3}\)
\(= (0.5) \left[\frac{1}{10^5}\right]^{1/3}\)
\(= (0.5) \times (10^{-5})^{1/3}\)
\(\approx 0.5 \times 0.02154\)
\(\approx 0.01077 \text{ m}\)
\(\approx 1.074 \times 10^{-2} \text{ m}\)
\(\approx 1.074 \text{ cm}\).
In simple words: તારના મધ્યબિંદુ પર દળ લટકાવવાથી તાર ખેંચાઈને નીચે આવે છે. આ વિસ્થાપન તારના યંગ મૉડ્યુલસ, તેના પરિમાણો અને લટકાવેલા દળ પર આધાર રાખે છે.

🎯 Exam Tip: આવા જટિલ દાખલાઓમાં નાના વિસ્થાપન માટેના અંદાજિત સૂત્રો (જેમ કે દ્વિપદી પ્રમેય) અને બળ સંતુલનના નિયમોનો યોગ્ય રીતે ઉપયોગ કરવો critical છે.

Question 20. ધાતુની બે પટ્ટીઓને છેડે, દરેકનો વ્યાસ \(6.0\) mm હોય તેવા ચાર રિવેટ દ્વારા પટ્ટીઓને એકબીજા સાથે જડેલ છે. રિવેટ પરનું આકાર પ્રતિબળ \(6.9 \times 10^7\) Pa થી વધારી ન શકાય તે માટે જોડેલ પટ્ટીઓ પરનું મહત્તમ તણાવ કેટલું રાખવું જોઈએ? દરેક રિવેટ એક ચતુર્થાંશ બોજ વહન કરે છે તેમ ધારો.
Answer:
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): આકૃતિ બે ધાતુની પટ્ટીઓને દર્શાવે છે જે ચાર રિવેટ દ્વારા જોડવામાં આવી છે. પટ્ટીઓ પર વિરુદ્ધ દિશામાં તણાવ બળ \(F_t\) લાગુ પડે છે, જે દરેક રિવેટ દ્વારા વહેંચાય છે. આ ડાયાગ્રામ રિવેટ પર લાગતા સ્પર્શીય બળ અને તેનાથી થતા આકાર પ્રતિબળને સમજાવવામાં મદદ કરે છે.
દરેક રિવેટનો વ્યાસ \(d = 6.0 \text{ mm} = 6 \times 10^{-3} \text{ m}\).
આથી, દરેક રિવેટની ત્રિજ્યા \(r = \frac{d}{2} = \frac{6 \times 10^{-3} \text{ m}}{2} = 3 \times 10^{-3} \text{ m}\).
દરેક રિવેટ પરનું મહત્તમ આકાર પ્રતિબળ \((\sigma_s)_{\max} = 6.9 \times 10^7 \text{ Pa}\) છે.
જોડેલી પટ્ટીઓ પર લાગુ પડતું કુલ મહત્તમ તણાવ \((F_t)_{\max}\) છે.
દરેક રિવેટ કુલ બોજનો એક ચતુર્થાંશ વહન કરે છે, તેથી દરેક રિવેટ પરનું સ્પર્શીય બળ \(= \frac{(F_t)_{\max}}{4}\).
આકાર પ્રતિબળનું સૂત્ર \(\sigma_s = \frac{\text{સ્પર્શીય બળ}}{\text{આડછેદનું ક્ષેત્રફળ}}\) છે.
\(\therefore (\sigma_s)_{\max} = \frac{(F_t)_{\max}/4}{A}\), જ્યાં \(A = \pi r^2\) એ રિવેટની સપાટીનું ક્ષેત્રફળ છે.
\(\implies (F_t)_{\max} = 4 \times A \times (\sigma_s)_{\max}\)
\(\implies (F_t)_{\max} = 4 \times (\pi r^2) \times (\sigma_s)_{\max}\)
\(= 4 \times 3.14 \times (3 \times 10^{-3} \text{ m})^2 \times (6.9 \times 10^7 \text{ Pa})\)
\(= 4 \times 3.14 \times (9 \times 10^{-6} \text{ m}^2) \times (6.9 \times 10^7 \text{ Pa})\)
\(= 7799.76 \text{ N}\)
\(\approx 7.8 \times 10^3 \text{ N}\)
\(= 7.8 \text{ kN}\).
In simple words: રિવેટવાળા જોડાણમાં, કુલ લાગુ પડતા બળને રિવેટ્સની સંખ્યા દ્વારા વહેંચવામાં આવે છે. મહત્તમ આકાર પ્રતિબળની મર્યાદાનો ઉપયોગ કરીને દરેક રિવેટ દ્વારા વહન કરી શકાય તે મહત્તમ બળ શોધી શકાય છે.

🎯 Exam Tip: આવા દાખલાઓમાં કુલ બળને રિવેટ્સની સંખ્યા દ્વારા વિભાજીત કરવું અને આકાર પ્રતિબળની ગણતરીમાં ક્ષેત્રફળના એકમોનું ધ્યાન રાખવું આવશ્યક છે.

Question 21. પ્રશાંત મહાસાગરમાં આવેલી મરીના નામની ખાઈ પાણીની સપાટીથી \(11\) km ઊંડી છે. ખાઈના તળિયે પાણીનું દબાણ \(1.1 \times 10^8\) Pa છે. \(0.32\) m\(^3\) પ્રારંભિક કદ ધરાવતા એક સ્ટીલના દડાને દરિયામાં નાખતાં તે ખાઈના તળિયા સુધી પહોંચે છે, તો દડાના કદમાં થતો ફેરફાર કેટલો હશે? સ્ટીલનો બલ્ક મૉડ્યુલસ \(160\) G Pa છે.
Answer: મરીના ખાઈના તળિયે પ્રવર્તતું દબાણ \(p = 1.1 \times 10^8\) Pa છે.
સ્ટીલના દડાનું પ્રારંભિક કદ \(V = 0.32\) m\(^3\) છે.
સ્ટીલનો બલ્ક મૉડ્યુલસ \(B = 160 \text{ G Pa} = 160 \times 10^9 \text{ Pa}\) છે.
બલ્ક મૉડ્યુલસના સૂત્ર \(B = -\frac{p}{(\Delta V/V)}\) નો ઉપયોગ કરતાં, દડાના કદમાં થતો ફેરફાર \(\Delta V\) નીચે મુજબ શોધી શકાય:
\(\Delta V = -\frac{p V}{B}\)
\(= -\frac{(1.1 \times 10^8 \text{ Pa}) \times (0.32 \text{ m}^3)}{160 \times 10^9 \text{ Pa}}\)
\(= -\frac{0.352 \times 10^8}{160 \times 10^9} \text{ m}^3\)
\(= -0.0022 \times 10^{-1} \text{ m}^3\)
\(= -2.2 \times 10^{-4} \text{ m}^3\)
ઋણ ચિહ્ન દર્શાવે છે કે દબાણ વધવાને કારણે દડાના કદમાં ઘટાડો થાય છે.
In simple words: ઊંડા દરિયામાં ભારે દબાણને કારણે સ્ટીલના દડાનું કદ સહેજ સંકોચાય છે, અને આ કદમાં થતો ઘટાડો બલ્ક મૉડ્યુલસના મૂલ્ય પર આધાર રાખે છે.

🎯 Exam Tip: દબાણના એકમોનું યોગ્ય રૂપાંતરણ (G Pa થી Pa) અને બલ્ક મૉડ્યુલસના સૂત્રનો સાચો ઉપયોગ કરવો મહત્વપૂર્ણ છે.