GSEB Class 11 Physics Solutions Chapter 8 ગુરુત્વાકર્ષણ

GSEB Solutions Class 11 Physics Chapter 8 ગુરુત્વાકર્ષણ

 

Question 1. નીચેના પ્રશ્નોના ઉત્તર આપો :
(a) એક પોલા વાહકની અંદર વિદ્યુતભાર મૂકીને વિદ્યુત બળોથી તમે તેનું Shielding કરી શકો છો. કોઈ પદાર્થને પોલા ગોળાની અંદર મૂકીને કે અન્ય રીતે તમે નજીકના દ્રવ્યની ગુરુત્વ અસરથી Shield કરી શકશો?
(b) પૃથ્વીની આસપાસ ભ્રમણ કરતા નાના અવકાશયાનની અંદર રહેલો અવકાશયાત્રી ગુરુત્વાકર્ષણની પરખ (Detect) કરી શકતો નથી. જો પૃથ્વીની આસપાસ કક્ષીય ભ્રમણ કરતા અવકાશ-મથકનું પરિમાણ (Size) મોટું હોય, તો તે ગુરુત્વાકર્ષણની પરખ કરવાની આશા રાખી શકશે?
(c) જો તમે પૃથ્વી પર સૂર્યને લીધે લાગતાં અને ચંદ્રને લીધે લાગતાં ગુરુત્વીય બળોની સરખામણી કરો તો તમને જણાશે કે સૂર્યનું ખેંચાણ બળ, ચંદ્રના ખેંચાણ બળ કરતાં મોટું છે. (તમે આ બાબતને હવે પછીના સ્વાધ્યાયમાં આવતી વિગતોની મદદથી ચકાસી શકો છો.) આમ છતાં, ભરતી પર ચંદ્રના ખેંચાણ બળની અસર, ભરતી પરની સૂર્યની અસર કરતાં મોટી છે. આવું શા માટે?

Answer:
(a) ના, કોઈપણ પદાર્થને પોલા ગોળા (ગોળીય કવચ)ની અંદર મૂકીને અથવા અન્ય કોઈપણ રીતે નજીકના દ્રવ્ય કે પદાર્થની ગુરુત્વીય અસરોથી કવચિત કરી શકાતો નથી. કારણ કે બે પદાર્થો વચ્ચે પ્રવર્તતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ તે પદાર્થો વચ્ચેના માધ્યમ પર નિર્ભર કરતું નથી, જ્યારે વિદ્યુત બળ વિદ્યુતભારો વચ્ચેના માધ્યમ પર આધારિત હોય છે.
(b) હા, જો અવકાશયાન ખૂબ મોટું હોય, તો તેની અંદરનો અવકાશયાત્રી ગુરુત્વાકર્ષણ અસરને પારખી શકે છે. આનું કારણ એ છે કે ખૂબ મોટા અવકાશયાનનું પોતાનું ગુરુત્વાકર્ષણ નોંધપાત્ર હોય છે અને તેને માપી શકાય છે.
(c) ભરતી પરની અસર અંતરના ઘનના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે, જ્યારે ગુરુત્વાકર્ષણ બળની અસર અંતરના વર્ગના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે. ચંદ્ર અને પૃથ્વી વચ્ચેનું અંતર સૂર્ય અને પૃથ્વી વચ્ચેના અંતર કરતાં ઓછું હોવાથી, ભરતી પર ચંદ્રના ખેંચાણ બળની અસર સૂર્યની ભરતી પરની અસર કરતાં વધુ પ્રબળ હોય છે.
In simple words: ગુરુત્વાકર્ષણ બળ માધ્યમથી સ્વતંત્ર હોવાથી તેને અવરોધિત કરવું શક્ય નથી, જ્યારે વિદ્યુત બળ માધ્યમ પર આધાર રાખે છે. મોટા અવકાશયાનનું પોતાનું ગુરુત્વાકર્ષણ હોવાથી તેમાં ગુરુત્વાકર્ષણ અનુભવી શકાય છે. ભરતી પર ચંદ્રનો પ્રભાવ સૂર્ય કરતાં વધુ હોય છે કારણ કે ભરતીના બળો અંતરના ઘન પર આધાર રાખે છે, અને ચંદ્ર પૃથ્વીની નજીક છે.

🎯 Exam Tip: ગુરુત્વાકર્ષણ અને વિદ્યુતક્ષેત્ર વચ્ચેના મૂળભૂત તફાવતો, તેમજ ભ્રમણ કરતી વસ્તુઓ અને ભરતી બળો પર અંતરની અસરને સમજવી ખૂબ જ મહત્વપૂર્ણ છે. કેપ્લરના નિયમો અને ન્યૂટનના ગુરુત્વાકર્ષણના નિયમનો ઉપયોગ કરીને આવા પ્રશ્નોના તર્કો સ્પષ્ટ કરી શકાય છે.

 

Question 2. સાચો વિકલ્પ પસંદ કરો :
(a) ઊંચાઈ વધતાં ગુરુત્વપ્રવેગ વધે છે / ઘટે છે.
(b) ઊંડાઈ વધતાં ગુરુત્વપ્રવેગ વધે છે / ઘટે છે. (પૃથ્વીને નિયમિત ધનતાનો ગોળો ગણો.)
(c) ગુરુત્વપ્રવેગ, પૃથ્વીના દળ / પદાર્થના દળથી સ્વતંત્ર છે.
(d) પૃથ્વીના કેન્દ્રથી \( r_1 \) અને \( r_2 \) અંતરે આવેલાં બે બિંદુઓએ સ્થિતિ-ઊર્જાના તફાવત માટે \( -GMm(\frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2}) \) સૂત્ર, \( mg(r_1 - r_2) \) સૂત્ર કરતાં વધુ / ઓછું ચોકસાઈભર્યું છે.

Answer:
(a) ઘટે છે.
કારણ કે \( g(h) = g(1-\frac{2h}{R_e} + \frac{h^2}{R_e^2}) \) સૂત્ર પરથી ઊંચાઈ \( h \) વધતાં, ગુરુત્વપ્રવેગ \( g(h) \) ઘટે છે.
(b) ઘટે છે.
કારણ કે \( g(d) = g(1-\frac{d}{R_e}) \) સૂત્ર પરથી ઊંડાઈ \( d \) વધતાં ગુરુત્વપ્રવેગ \( g(d) \) ઘટે છે.
(c) પદાર્થના દળથી સ્વતંત્ર છે.
કારણ કે પૃથ્વીની સપાટી પર ગુરુત્વપ્રવેગ \( g = \frac{GM_e}{R_e^2} \) હોય છે, જે દર્શાવે છે કે ગુરુત્વપ્રવેગ \( g \), પદાર્થના દળ \( m \) થી સ્વતંત્ર છે.
(d) વધુ ચોકસાઈભર્યું છે.
કારણ કે \( mg(r_1 - r_2) \) સૂત્રમાં \( g \) નું મૂલ્ય પૃથ્વી પરના જુદાં જુદાં સ્થળોએ જુદું જુદું હોય છે. તેથી અહીં \( GMm (\frac{1}{r_1}-\frac{1}{r_2}) \) સૂત્ર વધુ ચોકસાઈભર્યું છે.
In simple words: પૃથ્વીની સપાટીથી ઉપર જઈએ કે અંદર જઈએ, ગુરુત્વપ્રવેગ બંને સ્થિતિમાં ઘટે છે. ગુરુત્વપ્રવેગ પદાર્થના દળ પર આધાર રાખતો નથી. ગુરુત્વીય સ્થિતિ-ઊર્જાના તફાવત માટેનું \( -GMm(\frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2}) \) સૂત્ર, \( mg(r_1 - r_2) \) કરતાં વધુ સચોટ છે કારણ કે \( g \) નું મૂલ્ય સપાટીથી અંતર સાથે બદલાય છે.

🎯 Exam Tip: ગુરુત્વપ્રવેગની ઊંચાઈ અને ઊંડાઈ પરની નિર્ભરતાના સૂત્રો યાદ રાખવા અગત્યના છે. આ ઉપરાંત, ગુરુત્વીય સ્થિતિ-ઊર્જાના સચોટ સૂત્રનો ઉપયોગ ક્યારે કરવો તે સમજવું પણ મહત્વપૂર્ણ છે.

 

Question 3. ધારો કે કોઈ ગ્રહ (બુધ અને મંગળ સિવાયનો) સૂર્યની આસપાસ પૃથ્વીની ઝડપ કરતાં બમણી ઝડપે પરિક્રમણ કરે છે, તો તેની કક્ષાનું પરિમાણ પૃથ્વીની કક્ષાના પરિમાણની સરખામણીએ કેટલું હોય?

Answer:
અહીં, આપેલ ગ્રહ સૂર્યની આસપાસ, વર્તુળાકાર કક્ષામાં પૃથ્વીની કોણીય ઝડપ \( (\omega = \frac{2\pi}{T}) \) અથવા રેખીય ઝડપ \( v = \frac{2\pi r}{T}) \) કરતાં બમણી ઝડપે પરિક્રમણ કરતો હોવાથી, જો પૃથ્વીનો આવર્તકાળ \( T_e \) અને ગ્રહનો આવર્તકાળ \( T_p \) હોય, તો અહીં \( T_p = \frac{T_e}{2} \) આપેલ છે તેમ કહી શકાય.

• સૂર્ય અને પૃથ્વી વચ્ચેનું સરેરાશ અંતર \( 1 \text{ AU} = 1.496 \times 10^{11} \text{ m} \) છે, એટલે કે પૃથ્વીની સૂર્યની આસપાસની ભ્રમણકક્ષાની ત્રિજ્યા \( r_e = 1 \text{ AU} \) છે, તો ગ્રહની સૂર્યની આસપાસની ભ્રમણકક્ષાની ત્રિજ્યા \( r_p = ? \)
• હવે, ગ્રહોની ગતિ માટેના કેપ્લરના ત્રીજા નિયમ \( T^2 \propto r^3 \) પરથી,

\( T_p^2 \propto r_p^3 \) અને \( T_e^2 \propto r_e^3 \)
\( \implies (\frac{T_p}{T_e})^2 = (\frac{r_p}{r_e})^3 \)
\( \implies r_p = r_e (\frac{T_p}{T_e})^{\frac{2}{3}} \)
\( = 1 \text{ AU} \times (\frac{1}{2})^{\frac{2}{3}} \)
\( = 0.63 \text{ AU} \) અથવા \( 0.63 r_e \) આમ, આપેલ ગ્રહની સૂર્યની આસપાસની ભ્રમણકક્ષાનું પરિમાણ \( r_p \), પૃથ્વીની ભ્રમણકક્ષાના પરિમાણ \( r_e \) કરતાં ઓછું છે.
In simple words: જો કોઈ ગ્રહ સૂર્યની આસપાસ પૃથ્વી કરતાં બમણી ઝડપે ફરે, તો તેનો પરિક્રમણ સમય પૃથ્વીના અડધો થશે. કેપ્લરના ત્રીજા નિયમનો ઉપયોગ કરીને ગણતરી કરતા, તેની કક્ષાની ત્રિજ્યા પૃથ્વીની કક્ષાની ત્રિજ્યા કરતાં લગભગ 0.63 ગણી ઓછી હશે.

🎯 Exam Tip: કેપ્લરના ગ્રહોની ગતિના નિયમો, ખાસ કરીને ત્રીજો નિયમ \( T^2 \propto r^3 \), આવા ગણિતીય પ્રશ્નો ઉકેલવા માટે ખૂબ જ મહત્વપૂર્ણ છે. ઝડપ અને આવર્તકાળ વચ્ચેનો સંબંધ સમજવો અને તેનો યોગ્ય રીતે ઉપયોગ કરવો જરૂરી છે.

 

Question 4. ગુરુના એક ઉપગ્રહ, આયો (Io)નો કક્ષીય આવર્તકાળ 1.769 day છે અને કક્ષીય ત્રિજ્યા \( 4.22 \times 10^8 \text{ m} \) છે. દર્શાવો કે ગુરુનું દળ સૂર્યના દળના હજારમાં ભાગનું છે.

Answer:
**ઉકેલ:**
**રીત 1 :**
સૂર્યનું દળ \( M_s = 2 \times 10^{30} \text{ kg} \) આપેલ હોય ત્યારે ...
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): આકૃતિ 8.31 (a) ગુરુ ગ્રહ (\( M_j \)) અને તેના ઉપગ્રહ આયો (Io) ને દર્શાવે છે, જે \( r_i \) ત્રિજ્યાની કક્ષામાં \( T_i \) આવર્તકાળ સાથે ગુરુની આસપાસ ફરે છે. આકૃતિ 8.31 (b) માં સૂર્ય ( \( M_s \) ) અને ગુરુ ગ્રહ ( \( M_j \) ) ને દર્શાવવામાં આવ્યા છે, જ્યાં ગુરુ \( r_j \) ત્રિજ્યાની કક્ષામાં સૂર્યની આસપાસ ફરે છે.
\( T^2 = (\frac{4\pi^2}{GM})r^3 \) સૂત્ર પરથી,
**ગુરુના ઉપગ્રહ આયો (Io) માટે :**
આકૃતિ 8.31 (a) પરથી,
\( T_i^2 = (\frac{4\pi^2}{GM_j})r_i^3 \) .............. (1)
**ગુરુ માટે :**
આકૃતિ 8.31 (b) પરથી,
\( T_j^2 = (\frac{4\pi^2}{GM_s})r_j^3 \) ............... (2)
અહીં,
\( T_i = 1.769 \text{ day} \)
\( = 1.769 \times (24 \times 60 \times 60) \text{ s} \)
\( T_i = 1.528 \times 10^5 \text{ s} \)
\( r_i = 4.22 \times 10^8 \text{ m} \)
સમીકરણ (1) પરથી,
\( M_j = \frac{4\pi^2 r_i^3}{GT_i^2} \)
\( = \frac{4 \times (3.14)^2 \times (4.22 \times 10^8)^3}{(1.528 \times 10^5)^2 \times 6.67 \times 10^{-11}} \)
\( = 1.9 \times 10^{27} \text{ kg} \)
\( \approx 2 \times 10^{27} \text{ kg} \)
પણ, અહીં સૂર્યનું દળ \( M_s = 2 \times 10^{30} \text{ kg} \) આપેલ છે.
\( \implies \frac{M_j}{M_s} = \frac{2 \times 10^{27}}{2 \times 10^{30}} \) થાય.
\( \implies \frac{M_j}{M_s} = \frac{1}{1000} \)
\( \implies M_j = \frac{M_s}{1000} \)
**રીત 2 :**
સૂર્યનું દળ \( M_s \) આપેલ ન હોય, પરંતુ પૃથ્વીનો કક્ષીય આવર્તકાળ \( T_e = 365.25 \text{ day} \) તથા પૃથ્વીની સૂર્યની આસપાસની કક્ષીય ત્રિજ્યા \( r_e = 1 \text{ AU} = 1.496 \times 10^{11} \text{ m} \) આપેલ હોય ત્યારે ...
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): આકૃતિ 8.32 (a) ગુરુ ગ્રહ (\( M_j \)) અને તેનો ઉપગ્રહ આયો (Io) ને દર્શાવે છે, જે \( r_i \) ત્રિજ્યાની કક્ષામાં \( T_i \) આવર્તકાળ સાથે ગુરુની આસપાસ ફરે છે. આકૃતિ 8.32 (b) માં સૂર્ય ( \( M_s \) ) અને પૃથ્વી ગ્રહ ( \( M_e \) ) ને દર્શાવવામાં આવ્યા છે, જ્યાં પૃથ્વી \( r_e \) ત્રિજ્યાની કક્ષામાં સૂર્યની આસપાસ \( T_e \) આવર્તકાળ સાથે ફરે છે.
\( T^2 = (\frac{4\pi^2}{GM})r^3 \) સૂત્ર પરથી,
**ગુરુના ઉપગ્રહ આયો (Io) માટે :**
આકૃતિ 8.32 (a) પરથી,
\( T_i^2 = (\frac{4\pi^2}{GM_j})r_i^3 \) ............. (1)
**ગુરુ માટે :**
આકૃતિ 8.32 (b) પરથી,
\( T_e^2 = (\frac{4\pi^2}{GM_s})r_e^3 \) ............. (2)
અહીં,
\( T_i = 1.769 \text{ day} \)
\( = 1.769 \times (24 \times 60 \times 60) \text{ s} \)
\( T_i = 1.528 \times 10^5 \text{ s} \)
\( r_i = 4.22 \times 10^8 \text{ m} \)
\( T_e = 365.25 \text{ day} \)
\( = 365.25 \times (24 \times 60 \times 60) \text{ s} = 3.156 \times 10^7 \text{ s} \)
\( r_e = 1.496 \times 10^{11} \text{ m} \)
હવે, સમીકરણ (1) પરથી,
\( M_j = \frac{4\pi^2 r_i^3}{GT_i^2} \) ............ (3)
અને સમીકરણ (2) પરથી,
\( M_s = \frac{4\pi^2 r_e^3}{GT_e^2} \) ............ (4)
સમીકરણ (3) અને (4)નો ગુણોત્તર લેતાં,
\( \frac{M_j}{M_s} = \frac{r_i^3 T_e^2}{T_i^2 r_e^3} = (\frac{T_e}{T_i})^2 (\frac{r_i}{r_e})^3 \)
\( = \frac{(3.156 \times 10^7)^2}{(1.528 \times 10^5)^2} \times \frac{(4.22 \times 10^8)^3}{(1.496 \times 10^{11})^3} \)
\( = (2.06 \times 10^2)^2 \times (2.82 \times 10^{-3})^3 \)
\( = 4.24 \times 10^4 \times 22.42 \times 10^{-9} \)
\( = 95.06 \times 10^{-5} \)
\( \approx 100 \times 10^{-5} \)
\( = 10^{-3} \)
\( = \frac{1}{1000} \)
\( \implies M_j = \frac{M_s}{1000} \)
In simple words: કેપ્લરના ત્રીજા નિયમનો ઉપયોગ કરીને ગુરુના ઉપગ્રહ આયોના આવર્તકાળ અને કક્ષાની ત્રિજ્યા તેમજ પૃથ્વીના આવર્તકાળ અને સૂર્યથી અંતરના આધારે ગુરુનું દળ ગણી શકાય છે. ગણતરી દર્શાવે છે કે ગુરુનું દળ સૂર્યના દળના એક હજારમા ભાગ જેટલું છે.

🎯 Exam Tip: આવા પ્રશ્નોમાં કેપ્લરના ત્રીજા નિયમનો ( \( T^2 \propto r^3 \) ) ઉપયોગ અને ગુરુત્વાકર્ષણના નિયમના સૂત્રોનો યોગ્ય ઉપયોગ મુખ્ય છે. આવર્તકાળ અને ત્રિજ્યાના મૂલ્યોને SI એકમોમાં રૂપાંતરિત કરવાનું ભૂલશો નહીં.

 

Question 5. આપણે એવું ધારીએ કે આપણી આકાશગંગા (Galaxy) સૂર્યના દળ જેટલું દરેકનું દળ હોય તેવા \( 2.5 \times 10^{11} \) તારાઓની બનેલી છે. આકાશગંગાના કેન્દ્રથી \( 50,000 \text{ ly} \) (Light Year - પ્રકાશવર્ષ) દૂર રહેલો કોઈ તારો એક ભ્રમણ પૂરું કરવા માટે કેટલો સમય લેશે? આકાશગંગાનો વ્યાસ \( 10^5 \text{ ly} \) લો.

Answer:
**ઉકેલ:**
આકાશગંગાનું દળ,
\( M = 2.5 \times 10^{11} \) તારાઓનું દળ
\( = 2.5 \times 10^{11} \times 2 \times 10^{30} \text{ kg} \)
(કારણ કે \( 1 \) તારાનું દળ = સૂર્યનું દળ \( M_s = 2 \times 10^{30} \text{ kg} \))
\( = 5 \times 10^{41} \text{ kg} \)
એક તારાની કક્ષીય ત્રિજ્યા \( r = \frac{10^5 \text{ ly}}{2} \)
\( = 50,000 \text{ ly} \)
\( = 50,000 \times 9.46 \times 10^{15} \text{ m} \)
(કારણ કે \( 1 \text{ ly} = 9.46 \times 10^{15} \text{ m} \))
હવે, \( T^2 = (\frac{4\pi^2}{GM})r^3 \)
\( T = (\frac{4\pi^2 \times r^3}{GM})^{\frac{1}{2}} \)
\( = (\frac{4 \times (3.14)^2 \times (4.73 \times 10^{20})^3}{6.67 \times 10^{-11} \times 5 \times 10^{41}})^{\frac{1}{2}} \)
\( = 1.12 \times 10^{16} \text{ s} \)
\( = \frac{1.12 \times 10^{16}}{365.25 \times (24 \times 60 \times 60)} \text{ year} \)
\( = 3.54 \times 10^8 \text{ year} \)
In simple words: આકાશગંગાના કુલ દળ અને તારાના કેન્દ્રથી અંતરનો ઉપયોગ કરીને, કેપ્લરના ત્રીજા નિયમની મદદથી તારાનો પરિક્રમણ સમય શોધી શકાય છે. ગણતરી દર્શાવે છે કે આ તારાને એક ભ્રમણ પૂરું કરવા માટે લગભગ 3.54 x 10⁸ વર્ષ લાગશે.

🎯 Exam Tip: આવા મોટા સ્કેલના ગણિતમાં, પ્રકાશવર્ષને મીટરમાં રૂપાંતરિત કરવું અને ગુરુત્વાકર્ષણ બળના સૂત્રોનો યોગ્ય રીતે ઉપયોગ કરવો મહત્વપૂર્ણ છે. કેપ્લરના નિયમોનો આધારભૂત ખ્યાલ સ્પષ્ટ હોવો જોઈએ.

 

Question 6. સાચો વિકલ્પ પસંદ કરો :
(a) જો અનંત અંતરે સ્થિતિ-ઊર્જા શૂન્ય લેવામાં આવે, તો પૃથ્વીની આસપાસ કક્ષામાં ભ્રમણ કરતા ઉપગ્રહની કુલ ઊર્જા તેની ગતિ-ઊર્જા / સ્થિતિ-ઊર્જાના ત્રણ મૂલ્ય જેટલી હોય છે.
(b) કક્ષામાં ભ્રમણ કરતા ઉપગ્રહને પૃથ્વીના ગુરુત્વાકર્ષણની બહાર મોકલી દેવા માટે આપવી પડતી ઊર્જા, તે ઉપગ્રહના સ્થાને જ સ્થિર રહેલા કોઈ પદાર્થને પૃથ્વીના ગુરુત્વાકર્ષણમાંથી બહાર મોકલવા માટે જરૂરી ઊર્જા કરતાં વધુ / ઓછી હોય છે.

Answer:
(a) ગતિ-ઊર્જા
કારણ કે પૃથ્વીની આસપાસ \( (R_e + h) \) ત્રિજ્યાની વર્તુળાકાર કક્ષામાં ભ્રમણ કરતાં \( m \) દળવાળા ઉપગ્રહની સ્થિતિ-ઊર્જા, ગતિ-ઊર્જા અને કુલ ઊર્જાનાં સૂત્રો નીચે મુજબ છે :
સ્થિતિ-ઊર્જા \( V = - \frac{GmM_e}{(R_e+h)} \)
ગતિ-ઊર્જા \( K = \frac{GmM_e}{2(R_e+h)} \)
કુલ ઊર્જા \( E = V + K = - \frac{GmM_e}{2(R_e+h)} \)
હવે, ઉપર રજૂ કરેલાં સૂત્રો પરથી સ્પષ્ટ છે કે, ઉપગ્રહની કુલ ઊર્જા તેની ગતિ-ઊર્જાના ઋણ મૂલ્ય જેટલી હોય છે.
(b) ઓછી
કારણ કે પૃથ્વીની આસપાસ \( (R_e + h) \) ત્રિજ્યાની વર્તુળાકાર કક્ષામાં ભ્રમણ કરતાં \( m \) દળવાળા ઉપગ્રહની કુલ ઊર્જા \( E_{revolving} = - \frac{GmM_e}{2(R_e+h)} \) હોય છે, જ્યારે તે જ સ્થાને સ્થિર રહેલા \( m \) દળના કોઈ પદાર્થની કુલ ઊર્જા \( E_{stationary} = \) \( m \) દળના પદાર્થની ગુરુત્વીય સ્થિતિ-ઊર્જા \( V = - \frac{GmM_e}{(R_e+h)} \) હોય છે. (કારણ કે \( K=0 \)).
આમ, અહીં \( E_{revolving} = \frac{E_{stationary}}{2} \).
\( \implies \) પૃથ્વીની આસપાસ \( (R_e + h) \) ત્રિજ્યાની વર્તુળાકાર કક્ષામાં ભ્રમણ કરતાં \( m \) દળના ઉપગ્રહને પૃથ્વીના ગુરુત્વાકર્ષણની બહાર મોકલી દેવા માટે આપવી પડતી ઊર્જા, ઉપગ્રહના તે જ સ્થાને સ્થિર રહેલા \( m \) દળના પદાર્થને આપવી પડતી ઊર્જા કરતાં ઓછી હોય છે.
In simple words: કક્ષામાં ભ્રમણ કરતા ઉપગ્રહની કુલ ઊર્જા તેની ગતિ-ઊર્જાના ઋણ મૂલ્ય જેટલી હોય છે. કક્ષામાં રહેલા ઉપગ્રહને પૃથ્વીના ગુરુત્વાકર્ષણમાંથી બહાર મોકલવા માટે જરૂરી ઊર્જા, તે જ સ્થાને સ્થિર પદાર્થને બહાર મોકલવા માટે જરૂરી ઊર્જા કરતાં અડધી (ઓછી) હોય છે.

🎯 Exam Tip: ઉપગ્રહની સ્થિતિ-ઊર્જા, ગતિ-ઊર્જા અને કુલ ઊર્જા વચ્ચેના સંબંધો (ખાસ કરીને \( E = -K \)) સમજવા જરૂરી છે. ઉપરાંત, પદાર્થને ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્રમાંથી મુક્ત કરવા માટે કેટલી ઊર્જાની જરૂર પડે છે તેની ગણતરીના સિદ્ધાંતો સ્પષ્ટ હોવા જોઈએ.

 

Question 7. પૃથ્વી પરથી ફેંકાતા પદાર્થ માટે નિષ્ક્રમણ ઝડપ
(a) શું તે પદાર્થના દળ પર આધારિત છે?
(b) જ્યાંથી ફેંકવામાં આવે તે સ્થાન પર આધારિત છે?
(c) પ્રક્ષિપ્ત કરવાની દિશા પર આધારિત છે?
(d) પદાર્થને ફેંકવાના સ્થાનની ઊંચાઈ પર આધારિત છે?

Answer:
(a) ના, કારણ કે પૃથ્વી પરથી ફેંકવામાં આવતા પદાર્થની નિષ્ક્રમણ ઝડપના સૂત્રમાં પદાર્થનું દળ \( m \) ગેરહાજર છે.
(b) હા, કારણ કે નિષ્ક્રમણ ઝડપના સૂત્રની અંદર જ પદાર્થનું સ્થાન સમાવિષ્ટ છે.
(c) ના, કારણ કે નિષ્ક્રમણ ઝડપ, પ્રક્ષિપ્ત દિશાથી સ્વતંત્ર છે.
(d) હા, કારણ કે નિષ્ક્રમણ ઝડપના સૂત્રમાં પદાર્થને ફેંકવાના સ્થાનની ઊંચાઈ સમાવિષ્ટ છે.
પ્રશ્ન (7) ના સચોટ ઉત્તરની સમજૂતી માટે નીચેના નિષ્ક્રમણ ઝડપનાં વિવિધ સૂત્રોનો અભ્યાસ કરો :

• પૃથ્વીની સપાટીથી \( h \) ઊંચાઈએ આવેલા સ્થાન પરથી પદાર્થને ફેંકીને અનંત અંતરે મોકલવા માટે તેને આપવી પડતી ઝડપ એટલે કે નિષ્ક્રમણ ઝડપનું મૂલ્ય :
  \( v_e = \sqrt{\frac{2GM_e}{(R_e+h)}} = \sqrt{2g(R_e+h)} \)
  જ્યાં, \( g = \) પૃથ્વીની સપાટી પર ગુરુત્વપ્રવેગ
• પૃથ્વીની સપાટી પર \( h = 0 \) લેતાં નિષ્ક્રમણ ઝડપનાં વિવિધ સૂત્રો નીચે મુજબ થશે :
  \( v_e = \sqrt{\frac{2GM_e}{R_e}} = \sqrt{2gR_e} \)

તદ્ઉપરાંત, પૃથ્વીનું દળ \( M_e = V \times \rho \)
\( = \frac{4}{3}\pi R_e^3 \rho \) હોવાથી
\( v_e = \sqrt{\frac{2G}{R_e} \times \frac{4}{3}\pi R_e^3 \rho} \)
\( = \sqrt{\frac{2\pi G \rho}{3} \times 4R_e^2} \)
\( = D\sqrt{\frac{2\pi G \rho}{3}} \)
જ્યાં, \( D = 2R_e = \) પૃથ્વીનો વ્યાસ અને \( \rho = \) પૃથ્વીના દ્રવ્યની ઘનતા
આ સૂત્ર પરથી સ્પષ્ટ છે કે, જે ગ્રહના દ્રવ્યની ઘનતા વધુ હોય છે, તેની સપાટી પર આપેલ પદાર્થ માટે, નિષ્ક્રમણ ઝડપનું મૂલ્ય પણ વધુ હોય છે.
In simple words: નિષ્ક્રમણ ઝડપ પદાર્થના દળ પર આધાર રાખતી નથી પરંતુ તે પદાર્થને જ્યાંથી ફેંકવામાં આવે તે સ્થાનની ઊંચાઈ પર આધાર રાખે છે. પ્રક્ષિપ્ત દિશા પણ નિષ્ક્રમણ ઝડપને અસર કરતી નથી.

🎯 Exam Tip: નિષ્ક્રમણ ઝડપના સૂત્રો ( \( v_e = \sqrt{\frac{2GM_e}{R_e}} \) અને \( v_e = \sqrt{\frac{2GM_e}{(R_e+h)}} \) ) યાદ રાખવા અને કયા પરિબળો તેને અસર કરે છે તે સમજવું ખૂબ જ મહત્વપૂર્ણ છે. ખાસ કરીને, પદાર્થના દળથી સ્વતંત્રતા અને ઊંચાઈ પર નિર્ભરતા એ મુખ્ય મુદ્દા છે.

 

Question 8. એક ધૂમકેતુ સૂર્યની આસપાસ અતિ દીર્ઘવૃત્તીય કક્ષામાં ભ્રમણ કરે છે. આ ધૂમકેતુ માટે
(a) રેખીય ઝડપ
(b) કોણીય ઝડપ
(c) કોણીય વેગમાન
(d) ગતિ-ઊર્જા
(e) સ્થિતિ-ઊર્જા
(f) સમગ્ર કક્ષા પર કુલ ઊર્જા અચળ હશે? ધૂમકેતુ જ્યારે સૂર્યની ખૂબ નજીક આવે ત્યારે કોઈ દળક્ષતિ થાય, તો તે અવગણો.

Answer:
(a) ધૂમકેતુની રેખીય ઝડપ \( v \) અચળ હશે નહીં.
કેપ્લરના ગ્રહોની ગતિ માટેના ત્રીજા નિયમ \( \frac{dA}{dt} = \frac{L}{2m} = \frac{mvr}{2m} = \frac{vr}{2} = \) અચળ પરથી જ્યારે ધૂમકેતુ સૂર્યની નજીક હોય ત્યારે તેની રેખીય ઝડપ વધુ હોય છે અને જ્યારે સૂર્યથી દૂર હોય છે ત્યારે રેખીય ઝડપ ઓછી હોય છે. ટૂંકમાં, ધૂમકેતુની રેખીય ઝડપ બદલાતી હોય છે.
(b) ધૂમકેતુની કોણીય ઝડપ \( \omega \) અચળ હશે નહીં.
કારણ કે ધૂમકેતુની રેખીય ઝડપ \( v \) બદલાતી હોવાથી તેની કોણીય ઝડપ પણ બદલાય છે.
(c) ધૂમકેતુનું કોણીય વેગમાન \( L \) અચળ રહે છે.
કારણ કે ધૂમકેતુ તેના પર સૂર્ય વડે લાગતા ત્રિજ્યાવર્તી (Radial) ગુરુત્વાકર્ષણ બળની અસર હેઠળ ગતિ કરે છે. તેથી તેના પર કોઈ ટૉર્ક લાગતું નથી.
(d) ધૂમકેતુની ગતિ-ઊર્જા \( K \) અચળ રહેતી નથી.
કારણ કે ધૂમકેતુની રેખીય ઝડપ બદલાતી હોવાથી તેની ગતિ-ઊર્જા \( K = \frac{1}{2}mv^2 \) પણ બદલાતી રહે છે.
(e) ધૂમકેતુની સ્થિતિ-ઊર્જા \( V \) અચળ રહેતી નથી.
કારણ કે ધૂમકેતુની સ્થિતિ-ઊર્જાનો આધાર સૂર્ય અને ધૂમકેતુ વચ્ચેના અંતર પર છે. ધૂમકેતુ સૂર્યની આસપાસ અતિ દીર્ઘવૃત્તીય કક્ષામાં ભ્રમણ કરતો હોવાથી, સૂર્ય અને ધૂમકેતુ વચ્ચેનું અંતર સતત બદલાતું રહે છે. તેથી ધૂમકેતુની સ્થિતિ-ઊર્જા સતત બદલાતી રહે છે.
(f) ધૂમકેતુની સમગ્ર કક્ષા પર કુલ ઊર્જા \( E \) અચળ રહે છે.
કારણ કે યાંત્રિક ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમના આધારે, ધૂમકેતુની ગતિ-ઊર્જા અને સ્થિતિ-ઊર્જા ભલે બદલાય પણ તેની યાંત્રિક ઊર્જા બદલાતી નથી.
In simple words: દીર્ઘવૃત્તીય કક્ષામાં ભ્રમણ કરતા ધૂમકેતુની રેખીય ઝડપ, કોણીય ઝડપ, ગતિ-ઊર્જા અને સ્થિતિ-ઊર્જા સતત બદલાય છે કારણ કે સૂર્યથી તેનું અંતર બદલાય છે. જોકે, તેના પર લાગતું બળ ત્રિજ્યાવર્તી હોવાથી કોણીય વેગમાન અચળ રહે છે, અને યાંત્રિક ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ તેની કુલ ઊર્જા પણ અચળ રહે છે.

🎯 Exam Tip: દીર્ઘવૃત્તીય ગતિમાં ગતિ-ઊર્જા અને સ્થિતિ-ઊર્જાના પરિવર્તન, કોણીય વેગમાનનું સંરક્ષણ અને કુલ યાંત્રિક ઊર્જાનું સંરક્ષણ એ ગુરુત્વાકર્ષણનો અભ્યાસ કરતા વિદ્યાર્થીઓ માટે મુખ્ય ખ્યાલો છે. કેપ્લરના નિયમોનો સંદર્ભ આપવો ફાયદાકારક છે.

 

Question 9. અવકાશમાંના અવકાશયાત્રીને થતી પીડા માટે કયાં લક્ષણો જણાય ?
(a) પગમાં સોજો
(b) ચહેરા પર સોજો
(c) માથું દુખવું
(d) સંરચનાની (Orientational) તકલીફ.

Answer:
(a) પગમાં સોજા ચઢતા નથી.
કારણ કે પૃથ્વીની સપાટી પર, વ્યક્તિનું સમગ્ર વજન \( (W = mg) \) તેના પગ દ્વારા વહન થતું હોય છે. અવકાશમાં અવકાશયાનમાં વજનવિહીનતાની અવસ્થા હોય છે. તેથી ત્યાં અવકાશયાત્રી પગમાં ભાર અનુભવતો ન હોવાથી પગમાં સોજા ચઢતા નથી.
(b) ચહેરા પર સોજો ચઢશે.
કારણ કે અવકાશયાનમાં વજનવિહીનતાની અવસ્થામાં અવકાશયાત્રીના શરીરની અંદરનું દબાણ તેની બહારના દબાણ કરતાં વધુ હોય છે. તેથી રુધિરનું વધુ પડતું વહન થવાના કારણે ચહેરા પર સોજા ચઢે છે.
(c) માથું દુખે છે.
કારણ કે ચહેરા પર ચઢેલા સોજા, માનસિક તણાવ તથા વધુ પડતા રુધિર વહનને લીધે તેનું માથું દુખવા લાગે છે.
(d) Orientational - સંરચનાની તકલીફ થાય છે.
કારણ કે કોઈ પણ વ્યક્તિની Orientation - નમન / સંરચનાનો આધાર એ તેના મગજની કાર્યશીલતા પર છે, જે તેના સ્થાન, સ્થળ અને સમય પર આધારિત હોય છે. અવકાશયાનમાં અવકાશયાત્રીનું મગજ વ્યવસ્થિત કાર્ય ન કરતું હોવાથી તેને સંરચનાની (Orientational) તકલીફ થાય છે.
ટૂંકમાં, અવકાશયાનમાં અવકાશયાત્રીના (b) ચહેરા પર ચઢતા સોજા, (c) માથું દુખવું અને (d) સંરચનાની તકલીફને લીધે તેને પીડા અનુભવાય છે.
In simple words: અવકાશમાં ગુરુત્વાકર્ષણના અભાવે અવકાશયાત્રીના પગમાં સોજા આવતા નથી, પરંતુ રુધિરાભિસરણના ફેરફારને કારણે ચહેરા પર સોજો, માથાનો દુખાવો અને દિશા નિર્ધારણમાં મુશ્કેલીઓ અનુભવાય છે.

🎯 Exam Tip: વજનવિહીનતાની માનવ શરીર પર થતી અસરોને સમજવી અગત્યની છે. રુધિરાભિસરણ, દબાણ અને ઓરિએન્ટેશન પરની અસરો ખાસ કરીને યાદ રાખવી.

 

Question 10. નિયમિત દળ ઘનતા ધરાવતા એક અર્ધગોળાકાર કવચના કેન્દ્ર C પર ગુરુત્વ તીવ્રતાની દિશા દર્શાવતું તીર (જુઓ આકૃતિ 8.38) (i) a (ii) b (iii) c (iv) d

Answer: (iii) c
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): આકૃતિ 8.33 એક અર્ધગોળાકાર કવચ દર્શાવે છે જેમાં કેન્દ્ર C પર ગુરુત્વીય તીવ્રતાની સંભવિત દિશાઓ (a, b, c, d) તીરો દ્વારા દર્શાવવામાં આવી છે. આકૃતિ 8.34 એક સંપૂર્ણ ગોળાકાર કવચ દર્શાવે છે, જેમાંથી ઉપલો અર્ધભાગ કાઢી નાખતા અર્ધગોળાકાર કવચ બને છે, અને તેના કેન્દ્ર C પર ગુરુત્વીય તીવ્રતાની દિશા સમજાવવામાં મદદ કરે છે.
ગુરુત્વતીવ્રતા (અથવા ગુરુત્વક્ષેત્ર) \( I = - \frac{dU(r)}{dr} \) જ્યાં, \( U(r) = \) ગુરુત્વીય સ્થિતિમાન જે અંતર \( (r) \) નું વિધેય છે.
હવે, સંપૂર્ણ ગોળીય કવચની અંદરના દરેક બિંદુ પાસે ગુરુત્વીય સ્થિતિમાન અચળ હોય છે, તેથી સંપૂર્ણ ગોળીય કવચની અંદરના દરેક બિંદુ પાસે ગુરુત્વતીવ્રતા \( I = - \frac{dU(r)}{dr} = 0 \).

• હવે, રકમમાં આપેલ અર્ધગોળાકાર કવચને સંપૂર્ણ ગોળીય કવચ બનાવતાં (જુઓ આકૃતિ 8.34) કવચના કેન્દ્ર C પાસે ગુરુત્વ તીવ્રતા \( I = 0 \). બીજા શબ્દોમાં કવચના કેન્દ્ર C પાસે વિચારેલા એકમ દળના પદાર્થ પર લાગતું પરિણામી ગુરુત્વાકર્ષી બળ શૂન્ય થાય. અર્થાત્ કેન્દ્ર C પાસે વિચારેલા એકમ દળના પદાર્થ પર દરેક દિશાઓમાંથી લાગતાં ગુરુત્વાકર્ષી બળો સંમિત (Symmetric) હશે.
• જો ફરીથી સંપૂર્ણ ગોળીય કવચનો ઉપરનો અડધો ભાગ દૂર કરવામાં આવે, તો કવચના કેન્દ્ર C પાસે વિચારેલા એકમ દળના પદાર્થ \( (m = 1 \) એકમ) પર લાગતું પરિણામી ગુરુત્વાકર્ષી બળ શિરોલંબ અધોદિશામાં હશે, એટલે કે \( c \) દ્વારા દર્શાવેલા તીરની દિશામાં હશે.

આમ, અર્ધગોળાકાર કવચના કેન્દ્ર C પાસે ગુરુત્વ તીવ્રતા દર્શાવતું તીર \( c \) વડે દર્શાવાય.
In simple words: એક અર્ધગોળાકાર કવચના કેન્દ્ર પર, ગુરુત્વીય તીવ્રતા હંમેશા નીચેની દિશામાં (કવચની ખુલ્લી બાજુ તરફ) હશે. તેથી, આકૃતિ 8.33 માં તીર 'c' સાચી દિશા દર્શાવે છે.

🎯 Exam Tip: ગોળીય કવચની અંદર ગુરુત્વક્ષેત્ર શૂન્ય હોય છે જ્યારે અર્ધગોળાકાર કવચ માટે કેન્દ્ર પર ગુરુત્વક્ષેત્ર કવચની ખુલ્લી બાજુ તરફ હોય છે. આ ખ્યાલ સ્પષ્ટ રાખવો અને રેખાકૃતિ દ્વારા દિશાનું નિરૂપણ સમજવું મહત્વપૂર્ણ છે.

 

Question 11. ઉપરના પ્રશ્ન (10)માં કોઈ યાદચ્છિક બિંદુ P આગળ ગુરુત્વ તીવ્રતાની દિશા દર્શાવતું તીર (i) d (ii) e (iii) f (iv) g.

Answer: (ii) e
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): આકૃતિ 8.35 એક અર્ધગોળાકાર કવચ દર્શાવે છે, જેમાં કવચની અંદર એક યાદચ્છિક બિંદુ P આવેલું છે. આ બિંદુ P પર ગુરુત્વીય તીવ્રતાની સંભવિત દિશાઓ (d, e, f, g) તીરો દ્વારા દર્શાવવામાં આવી છે. તીર 'e' એ કેન્દ્ર તરફની યોગ્ય દિશા સૂચવે છે.
પ્રશ્ન (10)ના ઉત્તરમાં સમજાવ્યા મુજબ, અર્ધગોળાકાર કવચના યાદચ્છિક બિંદુ P પાસે ગુરુત્વ તીવ્રતા \( e \) દ્વારા દર્શાવેલા તીરની દિશામાં હશે.
In simple words: અર્ધગોળાકાર કવચની અંદરના કોઈપણ યાદચ્છિક બિંદુ P પર, ગુરુત્વીય તીવ્રતા હંમેશા કવચના દળના કેન્દ્ર તરફ નિર્દેશિત થશે. આ કિસ્સામાં, તીર 'e' તે દિશાનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે.

🎯 Exam Tip: ગોળાકાર અને અર્ધગોળાકાર કવચની અંદરના ગુરુત્વક્ષેત્રની દિશા વિશેનો ખ્યાલ સ્પષ્ટ હોવો જોઈએ. કેન્દ્ર અને અન્ય યાદચ્છિક બિંદુઓ પર ક્ષેત્રની દિશા અલગ-અલગ હોઈ શકે છે.

 

Question 12. પૃથ્વી પરથી એક રૉકેટ સૂર્ય તરફ છોડવામાં આવે છે. પૃથ્વીના કેન્દ્રથી કેટલા અંતરે રૉકેટ પરનું ગુરુત્વ બળ શૂન્ય બને 6 × 10²⁴ kg બીજા ગ્રહો વગેરેની અસર અવગણો. (પૃથ્વીની સૂર્યની આસપાસની કક્ષીય ત્રિજ્યા = 1.5 × 10¹¹m)

Answer:
**ઉકેલ:**
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): આકૃતિ 8.36 પૃથ્વી (\( M_e \)) અને સૂર્ય (\( M_s \)) ને દર્શાવે છે, જે એકબીજાથી \( r = 1.5 \times 10^{11} \text{ m} \) અંતરે છે. એક રૉકેટ (m) પૃથ્વીથી \( x \) અંતરે છે અને સૂર્યથી \( (r-x) \) અંતરે છે. આકૃતિ તે બિંદુ દર્શાવે છે જ્યાં પૃથ્વી અને સૂર્ય દ્વારા લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ રૉકેટ પર શૂન્ય બને છે.

• ધારો કે, પૃથ્વીના કેન્દ્રથી \( x \) અંતરે આવેલા સ્થાને \( m \) દળવાળા રૉકેટ પર પૃથ્વી દ્વારા અને સૂર્ય દ્વારા લાગતાં ગુરુત્વાકર્ષણ બળો સમાન મૂલ્યના અને પરસ્પર વિરુદ્ધ દિશામાંના થાય છે. તેથી ત્યાં રૉકેટ પર પ્રવર્તતું પરિણામી ગુરુત્વ બળ શૂન્ય બને છે.
• જો પૃથ્વી અને સૂર્યનાં કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર \( r \) હોય, તો સૂર્યથી \( (r-x) \) અંતરે રૉકેટ પરનું પરિણામી ગુરુત્વ બળ શૂન્ય થશે. લેતાં,

\( F_{RE} = F_{RS} \)
\( \frac{GmM_e}{x^2} = \frac{GmM_s}{(r-x)^2} \)
\( \implies \frac{(r-x)^2}{x^2} = \frac{M_s}{M_e} \)
\( \implies \frac{r-x}{x} = \sqrt{\frac{M_s}{M_e}} \)
પણ, \( M_e = 6 \times 10^{24} \text{ kg} \)
\( M_s = 2 \times 10^{30} \text{ kg} \)
\( \implies \frac{r-x}{x} = \sqrt{\frac{2 \times 10^{30}}{6 \times 10^{24}}} = \sqrt{\frac{10^6}{3}} = 577.4 \)
\( \implies \frac{r}{x} - 1 = 577.4 \)
\( \implies \frac{r}{x} = 578.4 \)
\( \implies x = \frac{r}{578.4} \)
પણ, \( r = 1.5 \times 10^{11} \text{ m} \) છે.
\( \implies x = \frac{1.5 \times 10^{11} \text{ m}}{578.4} = 2.59 \times 10^8 \text{ m} \)
In simple words: પૃથ્વી અને સૂર્ય વચ્ચેના ગુરુત્વાકર્ષણ બળો જ્યાં સમાન અને વિરુદ્ધ દિશામાં હોય ત્યાં રૉકેટ પરનું ચોખ્ખું ગુરુત્વ બળ શૂન્ય બને છે. આ બિંદુ પૃથ્વીના કેન્દ્રથી આશરે \( 2.59 \times 10^8 \text{ m} \) અંતરે આવેલું છે.

🎯 Exam Tip: આવા પ્રશ્નોમાં બે ગુરુત્વાકર્ષણ બળોને સમાન કરીને ગુરુત્વમુક્ત બિંદુ શોધવાનું હોય છે. દળ અને અંતરના ગુણોત્તરનો ઉપયોગ કરીને ગણતરી સરળ બને છે. ગુરુત્વાકર્ષણના નિયમનું સૂત્ર યોગ્ય રીતે લાગુ પાડવું.

 

Question 13. તમે ‘સૂર્યનું વજન’ કેવી રીતે કરશો, એટલે કે તેના દળનો અંદાજ કેવી રીતે મેળવશો? સૂર્યની ફરતે પૃથ્વીની કક્ષાની સરેરાશ ત્રિજ્યા \( 1.5 \times 10^8 \text{ km} \) છે.

Answer:
**ઉકેલ:**
સૂર્યની આસપાસ પૃથ્વી વર્તુળાકાર માર્ગે પરિક્રમણ કરે છે, જેના માટે જરૂરી એવું કેન્દ્રગામી બળ, પૃથ્વી અને સૂર્ય વચ્ચે પ્રવર્તતા ગુરુત્વાકર્ષણ બળ વડે પૂરું પડાય છે.
આમ,
(પૃથ્વી પર લાગતું કેન્દ્રગામી બળ) = (પૃથ્વી અને સૂર્ય વચ્ચે પ્રવર્તતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ)
\( \frac{M_e v^2}{r} = \frac{GM_s M_e}{r^2} \)
પણ, \( v = \frac{2\pi r}{T} \)
\( \implies \frac{M_e}{r} (\frac{2\pi r}{T})^2 = \frac{GM_s M_e}{r^2} \)
\( \implies M_s = \frac{4\pi^2 r^3}{GT^2} \)
અહીં,
\( r = 1.5 \times 10^8 \text{ km} = 1.5 \times 10^{11} \text{ m} \)
\( T = 365.25 \text{ days} = 365.25 \times 24 \times 60 \times 60 \text{ s} \)
\( G = 6.67 \times 10^{-11} \text{ N m}^2 \text{ kg}^{-2} \)
\( M_s = \frac{4 \times (3.14)^2 \times (1.5 \times 10^{11})^3}{6.67 \times 10^{-11} \times (365.25 \times 24 \times 60 \times 60)^2} \)
\( = 2.0 \times 10^{30} \text{ kg} \)
In simple words: સૂર્યનું દળ શોધવા માટે, પૃથ્વીની સૂર્યની આસપાસની કક્ષીય ગતિને ધ્યાનમાં લેવામાં આવે છે. પૃથ્વી પર લાગતું કેન્દ્રગામી બળ, સૂર્ય અને પૃથ્વી વચ્ચેના ગુરુત્વાકર્ષણ બળ દ્વારા પૂરું પાડવામાં આવે છે. આ સમીકરણમાં પૃથ્વીની કક્ષાની ત્રિજ્યા અને આવર્તકાળના મૂલ્યો મૂકીને, સૂર્યનું દળ આશરે \( 2.0 \times 10^{30} \text{ kg} \) મેળવી શકાય છે.

🎯 Exam Tip: કેન્દ્રગામી બળ અને ગુરુત્વાકર્ષણ બળના સમીકરણોનો ઉપયોગ કરીને ખગોળીય પિંડોના દળની ગણતરી કરવી એ એક સામાન્ય પ્રશ્ન છે. બધા મૂલ્યોને SI એકમોમાં રૂપાંતરિત કરવાનું અને ગણતરીમાં ચોકસાઈ રાખવાનું યાદ રાખો.

 

Question 14. શનિ પરના વર્ષનો સમયગાળો, પૃથ્વી પરના વર્ષના સમયગાળા કરતાં 29.5 ગણો છે. જો પૃથ્વી સૂર્યથી \( 1.50 \times 10^8 \text{ km} \) અંતરે હોય, તો સૂર્યથી શનિ કેટલે દૂર હશે?

Answer:
**ઉકેલ:**
અહીં, \( T_s = 29.5 T_e \)
\( r_e = 1.50 \times 10^8 \text{ km} \)
\( r_s = ? \)
ગ્રહોની ગતિ માટેના કેપ્લરના ત્રીજા નિયમ પરથી,
\( T^2 \propto r^3 \)
\( \implies (\frac{T_s}{T_e})^2 = (\frac{r_s}{r_e})^3 \)
\( \implies r_s = r_e (\frac{T_s}{T_e})^{\frac{2}{3}} \)
\( = 1.50 \times 10^8 \times (\frac{29.5 T_e}{T_e})^{\frac{2}{3}} \)
\( = 1.50 \times 10^8 \times (29.5)^{\frac{2}{3}} \)
\( = 1.43 \times 10^9 \text{ km} \)
\( = 1.43 \times 10^{12} \text{ m} \)
In simple words: શનિ અને પૃથ્વીના આવર્તકાળના ગુણોત્તરનો ઉપયોગ કરીને, કેપ્લરના ત્રીજા નિયમ \( T^2 \propto r^3 \) ને આધારે, સૂર્યથી શનિનું અંતર શોધી શકાય છે. ગણતરી દર્શાવે છે કે શનિ સૂર્યથી લગભગ \( 1.43 \times 10^9 \text{ km} \) દૂર છે.

🎯 Exam Tip: કેપ્લરનો ત્રીજો નિયમ ગ્રહોના આવર્તકાળ અને કક્ષાની ત્રિજ્યા વચ્ચેના સંબંધને સમજવા માટે અનિવાર્ય છે. ગુણોત્તર પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને ગણતરી સરળ બને છે, પરંતુ ઘાતાંકને યોગ્ય રીતે સંભાળવા જરૂરી છે.

 

 

Question 16.પૃથ્વીને નિયમિત દળ ઘનતા ધરાવતો ગોળો ધારીને, જે પદાર્થનું સપાટી પર વજન 250 N હોય, તો તેનું પૃથ્વીના કેન્દ્ર તરફ અડધા અંતરે વજન કેટલું થશે?

Answer:અહીં, પૃથ્વીની સપાટી પર m દળવાળા પદાર્થનું વજન \(W = mg = 250 \, \text{N}\) છે. પૃથ્વીની સપાટીથી d જેટલી ઊંડાઈએ ગુરુત્વપ્રવેગ નીચે મુજબ મળે: \( g(d) = g\left(1 - \frac{d}{R_{\mathrm{e}}}\right) \) કારણ કે આપણને પૃથ્વીના કેન્દ્ર તરફ અડધા અંતરે વજન શોધવાનું છે, તેથી \( d = \frac{R_{\mathrm{e}}}{2} \). આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતાં: \( g(d) = g\left(1 - \frac{R_{\mathrm{e}}/2}{R_{\mathrm{e}}}\right) \) \( = g\left(1 - \frac{1}{2}\right) \) \( = \frac{g}{2} \) આમ, પૃથ્વીની સપાટીથી પૃથ્વીના કેન્દ્ર તરફ અડધા અંતરે આવેલા પદાર્થનું વજન \(W'\) આ સૂત્ર દ્વારા મળશે: \( W' = mg(d) \) \( = m \times \frac{g}{2} \) \( = \frac{W}{2} \) \( = \frac{250}{2} \) \( = 125 \, \text{N} \)
In simple words: જેમ જેમ પદાર્થ પૃથ્વીના કેન્દ્રની નજીક જાય છે, તેમ ગુરુત્વપ્રવેગ ઘટે છે. પૃથ્વીના કેન્દ્ર તરફ અડધા અંતરે ગુરુત્વપ્રવેગ અડધો થઈ જાય છે, તેથી પદાર્થનું વજન પણ અડધું થઈ જશે.

🎯 Exam Tip: ઊંડાઈ સાથે ગુરુત્વપ્રવેગના ઘટાડાનું સૂત્ર યાદ રાખવું અને તેનો ઉપયોગ કરીને વજનની ગણતરી કેવી રીતે કરવી તે સમજવું મહત્વપૂર્ણ છે.

 

Question 17.પૃથ્વીની સપાટી પરથી 5 km s-1ની ઝડપે ઊર્ધ્વદિશામાં એક રૉકેટ છોડવામાં આવે છે. પૃથ્વી પર પાછા આવતા અગાઉ રૉકેટ કેટલે દૂર સુધી જશે? પૃથ્વીનું દળ = 6 × 1024 kg, પૃથ્વીની સરેરાશ ત્રિજ્યા = 6.4 × 106m, G = 6.67 x 10-11 Nm2kg-2.

Answer:અહીં આપેલી વિગતો: પ્રારંભિક વેગ \( v = 5 \, \text{km s}^{-1} = 5 \times 10^3 \, \text{m s}^{-1} \) પૃથ્વીનું દળ \( M_e = 6 \times 10^{24} \, \text{kg} \) પૃથ્વીની ત્રિજ્યા \( R_e = 6.4 \times 10^6 \, \text{m} \) ગુરુત્વાકર્ષણનો સાર્વત્રિક અચળાંક \( G = 6.67 \times 10^{-11} \, \text{N m}^2 \text{kg}^{-2} \) ધારો કે રૉકેટ પૃથ્વી પર પાછા આવતા પહેલાં મહત્તમ \(h\) ઊંચાઈ સુધી ઉપર જાય છે. આ મહત્તમ ઊંચાઈએ, રૉકેટનો રેખીય વેગ શૂન્ય થઈ જશે. યાંત્રિક ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: (પૃથ્વીની સપાટી પર રૉકેટની યાંત્રિક ઊર્જા) = (પૃથ્વીની સપાટીથી h ઊંચાઈએ રૉકેટની યાંત્રિક ઊર્જા) \( \frac{1}{2}mv^2 + \left(-\frac{GM_e m}{R_e}\right) = 0 + \left(-\frac{GM_e m}{R_e+h}\right) \) \( \frac{1}{2}mv^2 - \frac{GM_e m}{R_e} = -\frac{GM_e m}{R_e+h} \) બંને બાજુ \( m \) વડે ભાગતા: \( \frac{1}{2}v^2 - \frac{GM_e}{R_e} = -\frac{GM_e}{R_e+h} \) \( \frac{GM_e}{R_e+h} = \frac{GM_e}{R_e} - \frac{1}{2}v^2 \) \( \frac{1}{R_e+h} = \frac{1}{R_e} - \frac{v^2}{2GM_e} \) \( R_e+h = \frac{1}{\frac{1}{R_e} - \frac{v^2}{2GM_e}} \) \( R_e+h = \frac{2GM_e R_e}{2GM_e - v^2 R_e} \) હવે, કિંમતો મૂકતા: \( R_e+h = \frac{2 \times 6.67 \times 10^{-11} \times 6 \times 10^{24} \times 6.4 \times 10^6}{2 \times 6.67 \times 10^{-11} \times 6 \times 10^{24} - (5 \times 10^3)^2 \times 6.4 \times 10^6} \) \( R_e+h = \frac{5.12256 \times 10^{20}}{5.12256 \times 10^{14} - (25 \times 10^6) \times 6.4 \times 10^6} \) \( R_e+h = \frac{5.12256 \times 10^{20}}{5.12256 \times 10^{14} - 160 \times 10^{12}} \) \( R_e+h = \frac{5.12256 \times 10^{20}}{5.12256 \times 10^{14} - 0.0016 \times 10^{14}} \) - અહીં ગણતરીમાં થોડી ભૂલ છે, \(160 \times 10^{12} = 1.6 \times 10^{14}\). ચાલો ફરી ગણતરી કરીએ: \( 2GM_e = 2 \times 6.67 \times 10^{-11} \times 6 \times 10^{24} = 8.004 \times 10^{14} \) \( R_e+h = \frac{2GM_e R_e}{2GM_e - v^2 R_e} \) \( = \frac{(8.004 \times 10^{14}) \times (6.4 \times 10^6)}{(8.004 \times 10^{14}) - (5 \times 10^3)^2 \times (6.4 \times 10^6)} \) \( = \frac{5.12256 \times 10^{21}}{8.004 \times 10^{14} - (25 \times 10^6) \times (6.4 \times 10^6)} \) \( = \frac{5.12256 \times 10^{21}}{8.004 \times 10^{14} - 160 \times 10^{12}} \) \( = \frac{5.12256 \times 10^{21}}{8.004 \times 10^{14} - 1.6 \times 10^{14}} \) \( = \frac{5.12256 \times 10^{21}}{6.404 \times 10^{14}} \) \( \approx 8 \times 10^6 \, \text{m} \) આમ, રૉકેટ પૃથ્વીના કેન્દ્રથી મહત્તમ \( 8 \times 10^6 \, \text{m} \) અંતર સુધી જશે. હવે, પૃથ્વીની સપાટીથી ઊંચાઈ \(h\) શોધવા માટે: \( R_e+h = 8 \times 10^6 \, \text{m} \) \( h = 8 \times 10^6 - R_e \) \( h = 8 \times 10^6 - 6.4 \times 10^6 \) \( h = 1.6 \times 10^6 \, \text{m} \)
In simple words: રૉકેટને ઉપર ફેંકવામાં આવે ત્યારે તેની ગતિ ઊર્જા ધીમે ધીમે ગુરુત્વીય સ્થિતિ ઊર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે. જ્યારે તેની ગતિ ઊર્જા શૂન્ય થઈ જાય, ત્યારે તે મહત્તમ ઊંચાઈએ પહોંચે છે અને પાછું ફરવાનું શરૂ કરે છે. આ ઊંચાઈ યાંત્રિક ઊર્જાના સંરક્ષણના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરીને ગણી શકાય છે.

🎯 Exam Tip: યાંત્રિક ઊર્જા સંરક્ષણનો નિયમ (ગતિ ઊર્જા + સ્થિતિ ઊર્જા = અચળ) આવા દાખલાઓ ઉકેલવા માટે મૂળભૂત છે. પૃથ્વીના કેન્દ્રથી અંતર અને સપાટીથી ઊંચાઈ વચ્ચેનો તફાવત ધ્યાનપૂર્વક કરવો.

 

Question 19.પૃથ્વીની સપાટીથી 400 km ઊંચાઈએ એક ઉપગ્રહ વર્તુળાકાર કક્ષામાં ભ્રમણ કરે છે. ઉપગ્રહને પૃથ્વીના ગુરુત્વાકર્ષણની અસરમાંથી બહાર મોકલવા માટે કેટલી ઊર્જા ખર્ચવી પડશે? ઉપગ્રહનું દળ = 200 kg, પૃથ્વીનું દળ = 6.0 × 1024 kg, પૃથ્વીની ત્રિજ્યા = 6.4 × 106 m, G = 6.67 x 10-11 N m² kg-2.

Answer:અહીં આપેલી વિગતો: પૃથ્વીની સપાટીથી ઉપગ્રહની ઊંચાઈ \(h = 400 \, \text{km} = 0.4 \times 10^6 \, \text{m}\) પૃથ્વીની ત્રિજ્યા \(R_e = 6.4 \times 10^6 \, \text{m}\) પૃથ્વીનું દળ \(M_e = 6.0 \times 10^{24} \, \text{kg}\) ઉપગ્રહનું દળ \(m = 200 \, \text{kg}\) ગુરુત્વાકર્ષણનો સાર્વત્રિક અચળાંક \(G = 6.67 \times 10^{-11} \, \text{N m}^2 \text{kg}^{-2}\) પૃથ્વીની આસપાસ \( (R_e + h) \) ત્રિજ્યાની વર્તુળાકાર કક્ષામાં ભ્રમણ કરતાં \(m\) દળવાળા ઉપગ્રહની કુલ ઊર્જા \(E\) આ સૂત્ર દ્વારા અપાય છે: \( E = -\frac{GmM_e}{2(R_e+h)} \) આ સૂત્ર દર્શાવે છે કે ઉપગ્રહ પૃથ્વી સાથે ગુરુત્વાકર્ષણ બંધનમાં છે. જ્યારે ઉપગ્રહ પૃથ્વીના ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્રમાંથી બહાર નીકળે છે, ત્યારે તેની કુલ ઊર્જા શૂન્ય થઈ જાય છે. આથી, ઉપગ્રહને ગુરુત્વાકર્ષણની અસરમાંથી બહાર કાઢવા માટે જરૂરી ન્યૂનતમ ઊર્જા, ઉપગ્રહની કક્ષામાંની કુલ ઊર્જાના ઋણ મૂલ્ય જેટલી હશે (\(-E\)). આમ, જરૂરી ઊર્જા \( = -E = +\frac{GmM_e}{2(R_e+h)} \) કિંમતો મૂકતા: \( E = -\frac{6.67 \times 10^{-11} \times 200 \times 6.0 \times 10^{24}}{2(6.4 \times 10^6 + 0.4 \times 10^6)} \) \( E = -\frac{6.67 \times 1200 \times 10^{13}}{2(6.8 \times 10^6)} \) \( E = -\frac{8004 \times 10^{13}}{13.6 \times 10^6} \) \( E = -\frac{8.004 \times 10^{16}}{1.36 \times 10^7} \) \( E \approx -5.885 \times 10^9 \, \text{J} \) તેથી, ઉપગ્રહને પૃથ્વીના ગુરુત્વાકર્ષણની અસરમાંથી બહાર કાઢવા માટે જરૂરી લઘુતમ ઊર્જા: \( = -E = +5.885 \times 10^9 \, \text{J} \)
In simple words: ઉપગ્રહને પૃથ્વીના ગુરુત્વાકર્ષણમાંથી મુક્ત કરવા માટે, તેને તેની કક્ષામાં રહેલી કુલ ઋણાત્મક ઊર્જા જેટલી ધનાત્મક ઊર્જા પૂરી પાડવી પડે છે. આ ઊર્જા તેને અનંત અંતરે મોકલવા અને ત્યાં તેની ગતિ ઊર્જા શૂન્ય કરવા માટે પૂરતી હોય છે.

🎯 Exam Tip: ઉપગ્રહની કક્ષામાંની કુલ ઊર્જા હંમેશા ઋણાત્મક હોય છે, જે દર્શાવે છે કે તે ગુરુત્વાકર્ષણ બંધનમાં છે. તેને મુક્ત કરવા માટે, આ ઋણાત્મક ઊર્જાને શૂન્ય કરવા માટે સમકક્ષ ધન ઊર્જા પૂરી પાડવી પડે છે.

 

Question 20.દરેકનું એક સોલર (સૂર્ય જેટલું = 2 × 1030 kg) દળ ધરાવતા બે તારા એકબીજા તરફ સન્મુખ (Head on) સંઘાત માટે જઈ રહ્યા છે. જ્યારે તેમનાં કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર 109 km હોય છે, ત્યારે તેમની ઝડપ અવગણ્ય છે. તેઓ કેટલી ઝડપથી એકબીજાને (just) અથડાશે? દરેક તારાની ત્રિજ્યા 104 km છે. સંઘાત થયા વિના તારાઓ વિકૃત થતા નથી એમ ધારો. (Gનું જ્ઞાત મૂલ્ય લો.)

Answer:અહીં આપેલી વિગતો: દરેક તારાનું દળ \(M = 2 \times 10^{30} \, \text{kg}\) દરેક તારાની ત્રિજ્યા \(R = 10^4 \, \text{km} = 10^7 \, \text{m}\) પ્રારંભમાં બંને તારાઓના કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર \(r = 10^9 \, \text{km} = 10^{12} \, \text{m}\) પ્રારંભિક ઝડપ અવગણ્ય છે.
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): આ આકૃતિમાં બે તારા દર્શાવવામાં આવ્યા છે જે એકબીજાથી \(r\) અંતરે આવેલા છે, જ્યાં તેમની વચ્ચેનું આંતરક્રિયા બળ દર્શાવવામાં આવ્યું છે. તેઓ એકબીજા તરફ ગતિ કરી રહ્યા છે, જે તેમની પ્રારંભિક સ્થિતિનું નિરૂપણ કરે છે. પ્રારંભિક ગુરુત્વીય સ્થિતિ-ઊર્જા \((V_i)\) : \( V_i = -\frac{GM \times M}{r} = -\frac{GM^2}{10^{12}} \) અંતિમ સ્થિતિમાં જ્યારે આ તારાઓ એકબીજાને ફક્ત અથડામણ કરશે (just head on), ત્યારે તેમના કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર બંનેની ત્રિજ્યાના સરવાળા જેટલું થશે, એટલે કે: અંતિમ અંતર \(r_f = 2R = 2 \times 10^4 \, \text{km} = 2 \times 10^7 \, \text{m}\).
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): આ આકૃતિ બે તારાઓને દર્શાવે છે જે એકબીજાને અથડામણ કરવાના છે. તેમની ત્રિજ્યા \(R\) છે અને તેમના કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર \(2R\) છે, જે તેમની અંતિમ સ્થિતિનું નિરૂપણ કરે છે જ્યારે તેઓ સંપર્કમાં આવે છે. તે સમયે તેમની અંતિમ ગુરુત્વીય સ્થિતિ-ઊર્જા \((V_f)\) : \( V_f = -\frac{GM \times M}{2R} = -\frac{GM^2}{2 \times 10^7} \) ગુરુત્વીય સ્થિતિ-ઊર્જામાં ફેરફાર \(\Delta V\): \( \Delta V = V_f - V_i = -\frac{GM^2}{2 \times 10^7} - \left(-\frac{GM^2}{10^{12}}\right) \) \( \Delta V = -\frac{GM^2}{2 \times 10^7} + \frac{GM^2}{10^{12}} \) કારણ કે \( 2 \times 10^7 \ll 10^{12} \), તેથી \( \frac{GM^2}{2 \times 10^7} \) પદ \( \frac{GM^2}{10^{12}} \) કરતાં ઘણું મોટું છે. આથી, \( \Delta V \approx -\frac{GM^2}{2 \times 10^7} \) (આ પ્રક્રિયામાં ઊર્જા મુક્ત થાય છે). હવે, ધારો કે અથડામણ વખતે બંને તારાઓની રેખીય ઝડપ \(v\) છે. તો ગતિ-ઊર્જામાં થતો ફેરફાર \(\Delta K\): પ્રારંભિક ઝડપ શૂન્ય હોવાથી પ્રારંભિક ગતિ-ઊર્જા \(K_i = 0\). અંતિમ ગતિ-ઊર્જા \(K_f = \frac{1}{2}Mv^2 + \frac{1}{2}Mv^2 = Mv^2\). \( \Delta K = K_f - K_i = Mv^2 - 0 = Mv^2 \) યાંત્રિક ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમનો ઉપયોગ કરતા, ઊર્જાનો કુલ ફેરફાર શૂન્ય હોવો જોઈએ (\( \Delta E = \Delta K + \Delta V = 0 \)). \( Mv^2 + \left(-\frac{GM^2}{2 \times 10^7}\right) = 0 \) \( Mv^2 = \frac{GM^2}{2 \times 10^7} \) \( v^2 = \frac{GM}{2 \times 10^7} \) \( v = \sqrt{\frac{GM}{2 \times 10^7}} \) કિંમતો મૂકતા: \( G = 6.67 \times 10^{-11} \, \text{N m}^2 \text{kg}^{-2} \) \( M = 2 \times 10^{30} \, \text{kg} \) \( v = \sqrt{\frac{6.67 \times 10^{-11} \times 2 \times 10^{30}}{2 \times 10^7}} \) \( v = \sqrt{\frac{13.34 \times 10^{19}}{2 \times 10^7}} \) \( v = \sqrt{6.67 \times 10^{12}} \) \( v \approx \sqrt{667 \times 10^{10}} \) \( v \approx 25.826 \times 10^5 \, \text{m s}^{-1} \) \( v \approx 2.58 \times 10^6 \, \text{m s}^{-1} \)
In simple words: જ્યારે બે વિશાળ તારાઓ ગુરુત્વાકર્ષણના કારણે એકબીજા તરફ ગતિ કરે છે, ત્યારે તેમની ગુરુત્વીય સ્થિતિ ઊર્જા ઘટે છે અને આ ઘટાડો તેમની ગતિ ઊર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે. અથડામણ પહેલાં તેમની સ્થિતિ ઊર્જાનો મહત્તમ ઘટાડો તેમની ગતિ ઊર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે, જેનાથી તેમની ઝડપ ખૂબ વધી જાય છે.

🎯 Exam Tip: આવા પ્રશ્નોમાં યાંત્રિક ઊર્જા સંરક્ષણનો સિદ્ધાંત (ગતિ ઊર્જા + સ્થિતિ ઊર્જા = અચળ) લાગુ પાડવો. પ્રારંભિક અને અંતિમ બિંદુઓ પરની ઊર્જાઓની ગણતરી કરતી વખતે યોગ્ય અંતરનો ઉપયોગ કરવો આવશ્યક છે.

 

Question 21.એક સમક્ષિતિજ ટેબલ પર દરેકનું 100kg દળ અને 0.10 m ત્રિજ્યા હોય તેવા બે ભારે ગોળાઓને 1.0m અંતરે મૂકેલા છે. ગોળાઓનાં કેન્દ્રોને જોડતી રેખાના મધ્યબિંદુએ ગુરુત્વસ્થિતિમાન કેટલા હશે? તે બિંદુએ મૂકેલો કોઈ પદાર્થ સંતુલનમાં હશે? જો તેમ હોય તો સંતુલન સ્થિર છે કે અસ્થિર ?

Answer:અહીં, બે ભારે ગોળાઓ \(A\) અને \(B\) દર્શાવવામાં આવ્યા છે. \(C\) બિંદુ એ બંને ગોળાઓના કેન્દ્રોને જોડતી રેખાનું મધ્યબિંદુ છે.
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): આ આકૃતિમાં બે ગોળાઓ A અને B દર્શાવવામાં આવ્યા છે, જે સમક્ષિતિજ સપાટી પર નિશ્ચિત અંતરે મૂકવામાં આવ્યા છે. C બિંદુ એ બંને ગોળાઓના કેન્દ્રોને જોડતી રેખાનું મધ્યબિંદુ છે, જ્યાં ગુરુત્વીય બળો અને સ્થિતિમાનની ગણતરી કરવાની છે. દરેક ગોળાનું દળ \(M = 100 \, \text{kg}\). બંને ગોળાઓના કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર \(1.0 \, \text{m}\) છે. આથી, \(CA = CB = r = \frac{1.0}{2} \, \text{m} = 0.5 \, \text{m}\). હવે, \(C\) બિંદુએ પરિણામી ગુરુત્વાકર્ષણ બળ શોધવા માટે, ત્યાં \(m\) દળનો એક કણ કલ્પના કરો. કણ પર ગોળા \(A\) દ્વારા લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ (\(F_{CA}\)): \( \vec{F}_{CA} = \frac{GMm}{r^2} \) (CA દિશામાં) કણ પર ગોળા \(B\) દ્વારા લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ (\(F_{CB}\)): \( \vec{F}_{CB} = \frac{GMm}{r^2} \) (CB દિશામાં) \(C\) બિંદુ પર કણ પર લાગતું પરિણામી ગુરુત્વાકર્ષણ બળ (\(\vec{F}_C\)): \( \vec{F}_C = \vec{F}_{CA} + \vec{F}_{CB} \) જેহেতু \( \vec{F}_{CA} \) અને \( \vec{F}_{CB} \) સમાન મૂલ્યના અને પરસ્પર વિરુદ્ધ દિશામાં છે (\( \vec{F}_{CA} = -\vec{F}_{CB} \)). આથી, \( \vec{F}_C = -\vec{F}_{CB} + \vec{F}_{CB} = \vec{0} \). આમ, બંને ભારે ગોળાઓના કેન્દ્રોને જોડતી રેખાના મધ્યબિંદુ \(C\) પાસે પરિણામી ગુરુત્વાકર્ષણ બળ શૂન્ય છે. પરિણામી ગુરુત્વક્ષેત્ર (\(\vec{I}_C\)) પણ શૂન્ય હશે, કારણ કે \( \vec{I}_C = \frac{\vec{F}_C}{m} = \vec{0} \). ગુરુત્વસ્થિતિમાન \(U\) એ અદિશ રાશિ હોવાથી, \(C\) બિંદુ પાસે કુલ ગુરુત્વસ્થિતિમાન \(U_C\) બંને ગોળાઓને કારણે મળતા સ્થિતિમાનનો સરવાળો હશે: \( U_C = \left(-\frac{GM}{r}\right) + \left(-\frac{GM}{r}\right) \) \( U_C = -\frac{2GM}{r} \) કિંમતો મૂકતા: \( G = 6.67 \times 10^{-11} \, \text{N m}^2 \text{kg}^{-2} \) \( M = 100 \, \text{kg} \) \( r = 0.5 \, \text{m} \) \( U_C = -\frac{2 \times 6.67 \times 10^{-11} \times 100}{0.5} \) \( U_C = -\frac{13.34 \times 10^{-9}}{0.5} \) \( U_C = -26.68 \times 10^{-9} \, \text{J kg}^{-1} \) \( U_C = -2.668 \times 10^{-8} \, \text{J kg}^{-1} \) સંતુલન વિશે: જેহেতু મધ્યબિંદુ \(C\) પાસે પરિણામી ગુરુત્વાકર્ષણ બળ શૂન્ય છે, જો ત્યાં કોઈ પદાર્થ મૂકવામાં આવે, તો તે સંતુલનમાં રહેશે. આ સંતુલન અસ્થિર સંતુલન હશે. કારણ કે જો પદાર્થને તેની સંતુલિત સ્થિતિમાંથી (જેમ કે ગોળા \(A\) તરફ) સહેજ ખસેડવામાં આવે, તો \(A\) ગોળા દ્વારા લાગતું આકર્ષણ બળ વધી જશે અને \(B\) ગોળા દ્વારા લાગતું આકર્ષણ બળ ઘટી જશે. પરિણામે, પદાર્થ \(A\) ગોળા તરફ ખેંચાશે અને તેની મૂળ સ્થિતિમાં પાછો નહીં આવે. તેથી, આ પદાર્થ \(C\) બિંદુએ અસ્થાયી સંતુલનમાં (unstable equilibrium) છે એમ કહેવાય.
In simple words: બે સમાન દળના ગોળાઓ વચ્ચેના મધ્યબિંદુએ ગુરુત્વાકર્ષણ બળ શૂન્ય હોય છે કારણ કે બંને ગોળાઓનું ખેંચાણ એકબીજાને રદ કરે છે. જોકે, ત્યાં ગુરુત્વીય સ્થિતિ ઊર્જા ન્યૂનતમ નથી, અને પદાર્થને સહેજ પણ ખસેડતા તે મૂળ સ્થાને પાછો નહીં આવે, તેથી આ સંતુલન અસ્થિર ગણાય છે.

🎯 Exam Tip: ગુરુત્વીય બળ અને ગુરુત્વીય સ્થિતિમાન વચ્ચેનો તફાવત સમજવો અગત્યનો છે. સંતુલનની સ્થિરતા નક્કી કરવા માટે, પદાર્થને સંતુલન સ્થિતિમાંથી સહેજ વિસ્થાપિત કરવાની અસરનું વિશ્લેષણ કરવું પડે છે.

 

Question 22.તમે પાઠ્યપુસ્તકમાં શીખ્યા છો કે ભૂસ્થિર ઉપગ્રહ પૃથ્વીની આસપાસ પૃથ્વીની સપાટીથી લગભગ 36,000 km ઊંચાઈ ધરાવતી કક્ષામાં ભ્રમણ કરે છે. આ ઉપગ્રહના સ્થાને ગુરુત્વસ્થિતિમાન કેટલું હશે? (અનંત અંતરે ગુરુત્વ સ્થિતિ-ઊર્જા શૂન્ય લો.) પૃથ્વીનું દળ = 6.0 × 1024 kg, ત્રિજ્યા= 6400 km.

Answer:અહીં આપેલી વિગતો: ગુરુત્વાકર્ષણનો સાર્વત્રિક અચળાંક \(G = 6.67 \times 10^{-11} \, \text{N m}^2 \text{kg}^{-2}\) પૃથ્વીનું દળ \(M_e = 6.0 \times 10^{24} \, \text{kg}\) પૃથ્વીની ત્રિજ્યા \(R_e = 6400 \, \text{km} = 6.4 \times 10^6 \, \text{m}\) ઊંચાઈ \(h = 36,000 \, \text{km} = 36 \times 10^6 \, \text{m}\) પૃથ્વીના કેન્દ્રથી \(r = R_e + h\) અંતરે ગુરુત્વસ્થિતિમાન \((U(r))\) નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે: \( U(r) = -\frac{GM_e}{R_e+h} \) કિંમતો મૂકતા: \( U(r) = -\frac{6.67 \times 10^{-11} \times 6.0 \times 10^{24}}{(6.4 \times 10^6 + 36 \times 10^6)} \) \( U(r) = -\frac{40.02 \times 10^{13}}{42.4 \times 10^6} \) \( U(r) = -\frac{4.002 \times 10^{14}}{4.24 \times 10^7} \) \( U(r) \approx -0.9439 \times 10^7 \, \text{J kg}^{-1} \) \( U(r) \approx -9.439 \times 10^6 \, \text{J kg}^{-1} \)
In simple words: ભૂસ્થિર ઉપગ્રહ પૃથ્વીની સપાટીથી ખૂબ ઊંચે ચોક્કસ કક્ષામાં પરિભ્રમણ કરે છે. આ ઊંચાઈ પર પૃથ્વીના ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્રને કારણે એકમ દળ દીઠ જે સ્થિતિ ઊર્જા હોય છે તેને ગુરુત્વસ્થિતિમાન કહેવાય છે, અને તે ઋણાત્મક હોય છે કારણ કે ગુરુત્વાકર્ષણ એક આકર્ષણ બળ છે.

🎯 Exam Tip: ગુરુત્વસ્થિતિમાનની ગણતરી કરતી વખતે, અંતર હંમેશા પૃથ્વીના કેન્દ્રથી લેવું જોઈએ (\(R_e+h\)), અને તેના ઋણાત્મક ચિહ્નને ભૂલ્યા વિના દર્શાવવું જોઈએ, જે આકર્ષક ગુરુત્વાકર્ષણ બળ સૂચવે છે.

 

Question 23.સૂર્યના દળ કરતાં 2.5 ગણું દળ ધરાવતો અને સંકોચાઈને 12 kmનું પરિમાણ ધરાવતો એક તારો 1.5 પરિભ્રમણ પ્રતિ સેકન્ડ જેટલી ઝડપથી ભ્રમણ કરે છે. (આ પ્રકારના અત્યંત ઠાંસીને નક્કર બનેલા compact તારાને ન્યુટ્રૉન તારા કહે છે. પલ્સાર તરીકે ઓળખાતા કેટલાક અવકાશી પદાર્થો આ પ્રકારમાં આવે છે.) તેના વિષુવવૃત્ત પર મૂકેલો પદાર્થ ગુરુત્વાકર્ષણને લીધે તેની સપાટીને ચોંટીને રહેશે? (સૂર્યનું દળ = 2 × 1030 kg)

Answer:પદાર્થ તારાની સપાટી પર ચોંટીને રહેશે જો તારાનું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ (\(F_g\)) તે પદાર્થની કક્ષીય ગતિ માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ (\(F_c\)) કરતાં વધુ અથવા તેના જેટલું હોય. આનો અર્થ છે કે, પદાર્થ પર લાગતું કેન્દ્રત્યાગી બળ ગુરુત્વાકર્ષણ બળ કરતાં ઓછું હોવું જોઈએ. આમ, પદાર્થ તારાની સપાટી પર ચોંટી રહેવા માટેની શરત છે: \( mg \geq m\frac{v^2}{R} \) અથવા, \( g \geq \frac{v^2}{R} \) આપેલી વિગતો: તારાનું દળ \(M = 2.5 \times (\text{સૂર્યનું દળ}) = 2.5 \times 2 \times 10^{30} \, \text{kg} = 5.0 \times 10^{30} \, \text{kg}\) તારાની ત્રિજ્યા \(R = 12 \, \text{km} = 12 \times 10^3 \, \text{m}\) પરિભ્રમણ આવૃત્તિ \( \nu = 1.5 \, \text{પરિભ્રમણ પ્રતિ સેકન્ડ} \) તારાની સપાટી પર ગુરુત્વપ્રવેગ \((g)\): \( g = \frac{GM}{R^2} \) \( g = \frac{6.67 \times 10^{-11} \times 5.0 \times 10^{30}}{(12 \times 10^3)^2} \) \( g = \frac{33.35 \times 10^{19}}{144 \times 10^6} \) \( g = \frac{3.335 \times 10^{20}}{1.44 \times 10^8} \) \( g \approx 0.2316 \times 10^{12} \, \text{m s}^{-2} \) હવે, પદાર્થના કેન્દ્રગામી પ્રવેગ \((a_c = \frac{v^2}{R})\) ની ગણતરી કરીએ. રેખીય વેગ \(v = R\omega = R(2\pi\nu)\). તેથી, કેન્દ્રગામી પ્રવેગ \(a_c = R(2\pi\nu)^2\). \( a_c = (12 \times 10^3) \times (2 \times 3.14 \times 1.5)^2 \) \( a_c = (12 \times 10^3) \times (9.42)^2 \) \( a_c = (12 \times 10^3) \times 88.7364 \) \( a_c \approx 1064.8368 \times 10^3 \, \text{m s}^{-2} \) \( a_c \approx 1.065 \times 10^6 \, \text{m s}^{-2} \) અહીં, આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે \( g \approx 0.2316 \times 10^{12} \, \text{m s}^{-2} \) અને \( a_c \approx 1.065 \times 10^6 \, \text{m s}^{-2} \). સ્પષ્ટપણે, \( g > a_c \). આથી, તારાના વિષુવવૃત્ત પર મૂકેલો પદાર્થ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે તારાની સપાટીને ચોંટીને રહેશે.
In simple words: પદાર્થ તારા પર ચોંટી રહેશે કે નહીં તે તેના પર લાગતા ગુરુત્વાકર્ષણ બળ અને તેના પરિભ્રમણને કારણે લાગતા કેન્દ્રત્યાગી બળ પર આધાર રાખે છે. જો ગુરુત્વાકર્ષણ બળ કેન્દ્રત્યાગી બળ કરતાં વધુ હોય, તો પદાર્થ સપાટી પર રહેશે. અહીં, તારાનો ગુરુત્વપ્રવેગ કેન્દ્રગામી પ્રવેગ કરતાં ઘણો વધારે હોવાથી પદાર્થ ચોંટી રહેશે.

🎯 Exam Tip: આવા પ્રશ્નોમાં ગુરુત્વીય પ્રવેગ અને કેન્દ્રગામી પ્રવેગ બંનેની ગણતરી કરવી અને તેમની સરખામણી કરવી એ મુખ્ય પગલું છે. કોણીય ઝડપને રેખીય ઝડપમાં રૂપાંતરિત કરવાનું સૂત્ર (\(v = R\omega\)) અને ગુરુત્વપ્રવેગનું સૂત્ર યાદ રાખવું.

 

Question 24.મંગળ પર એક અવકાશયાન સ્થિર થયેલ છે. આ અવકાશયાનને સૂર્યમંડળની બહાર ધકેલી દેવા માટે કેટલી ઊર્જા ખર્ચવી પડશે ? અવકાશયાનનું દળ = 1000 kg, સૂર્યનું દળ = 2 × 1030 kg, મંગળનું દળ = 6.4 × 1023 kg, મંગળની ત્રિજ્યા = 3395 km, મંગળની કક્ષાની ત્રિજ્યા = 2.28 × 108 km, G = 6.67 x 10-11Nm2kg-2.

Answer:અહીં આપેલી વિગતો: અવકાશયાનનું દળ \(m = 1000 \, \text{kg} = 10^3 \, \text{kg}\) સૂર્યનું દળ \(M_s = 2 \times 10^{30} \, \text{kg}\) મંગળનું દળ \(M_m = 6.4 \times 10^{23} \, \text{kg}\) મંગળની ત્રિજ્યા \(R_m = 3395 \, \text{km} = 3.395 \times 10^6 \, \text{m}\) મંગળની સૂર્યની આસપાસ કક્ષાની ત્રિજ્યા \(r = 2.28 \times 10^8 \, \text{km} = 2.28 \times 10^{11} \, \text{m}\) ગુરુત્વાકર્ષણનો સાર્વત્રિક અચળાંક \(G = 6.67 \times 10^{-11} \, \text{N m}^2 \text{kg}^{-2}\) અવકાશયાન મંગળની સપાટી પર સ્થિર છે અને મંગળ ગ્રહ સૂર્યની આસપાસ વર્તુળાકાર કક્ષામાં ભ્રમણ કરે છે, તેથી અવકાશયાન પણ સૂર્યની આસપાસ વર્તુળાકાર ગતિ કરે છે તેમ કહી શકાય.
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): આ આકૃતિમાં સૂર્ય, મંગળ ગ્રહ અને તેની સપાટી પર સ્થિર થયેલું અવકાશયાન દર્શાવવામાં આવ્યું છે. સૂર્યમંડળમાંથી અવકાશયાનને બહાર કાઢવા માટે જરૂરી ઊર્જાની ગણતરી કરવા માટે, સૂર્ય અને મંગળ બંનેના ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્રોને ધ્યાનમાં લેવામાં આવે છે. અવકાશયાનની સૂર્યની આસપાસની ભ્રમણ ગતિના કારણે કુલ ઊર્જા (\(E\)) (ગતિ-ઊર્જા + સ્થિતિ-ઊર્જા) આ સૂત્ર દ્વારા મળે છે: \( E = -\frac{GmM_s}{2r} \) (સમીકરણ 1) અવકાશયાન મંગળની સપાટી પર સ્થિર છે. તેથી, મંગળની સપાટી પર અવકાશયાનની ગુરુત્વીય સ્થિતિ-ઊર્જા (\(V\)) આ સૂત્ર દ્વારા અપાય છે: \( V = -\frac{GmM_m}{R_m} \) (સમીકરણ 2) આથી, અવકાશયાનની ખરેખર કુલ ઊર્જા: \( E_{total} = E + V \) \( E_{total} = -\frac{GmM_s}{2r} - \frac{GmM_m}{R_m} \) \( E_{total} = -Gm \left(\frac{M_s}{2r} + \frac{M_m}{R_m}\right) \) કિંમતો મૂકતા: \( E_{total} = -6.67 \times 10^{-11} \times 10^3 \left(\frac{2 \times 10^{30}}{2 \times 2.28 \times 10^{11}} + \frac{6.4 \times 10^{23}}{3.395 \times 10^6}\right) \) \( E_{total} = -6.67 \times 10^{-8} \left(\frac{2 \times 10^{30}}{4.56 \times 10^{11}} + \frac{6.4 \times 10^{23}}{3.395 \times 10^6}\right) \) \( E_{total} = -6.67 \times 10^{-8} \left(0.4386 \times 10^{19} + 1.885 \times 10^{17}\right) \) \( E_{total} = -6.67 \times 10^{-8} \left(43.86 \times 10^{17} + 1.885 \times 10^{17}\right) \) \( E_{total} = -6.67 \times 10^{-8} \left(45.745 \times 10^{17}\right) \) \( E_{total} = -6.67 \times 45.745 \times 10^{9} \) \( E_{total} = -305.119 \times 10^9 \, \text{J} \) \( E_{total} \approx -3.05 \times 10^{11} \, \text{J} \) અવકાશયાનને સૂર્યમંડળની બહાર ધકેલી દેવા માટે જરૂરી (લઘુતમ) ઊર્જા, અવકાશયાનની કુલ ઊર્જાના ઋણ મૂલ્ય જેટલી હશે. જરૂરી ઊર્જા \( = -E_{total} = +3.05 \times 10^{11} \, \text{J} \)
In simple words: અવકાશયાનને સૂર્યમંડળની બહાર કાઢવા માટે, તેને સૂર્ય અને મંગળ બંનેના ગુરુત્વાકર્ષણ બળોમાંથી મુક્ત કરવું પડે છે. આ માટે જરૂરી ઊર્જા, અવકાશયાનની હાલની કુલ ગુરુત્વીય બંધન ઊર્જાના બરાબર અને વિરુદ્ધ ચિહ્નની હોય છે.

🎯 Exam Tip: બહુ-પિંડ પ્રણાલીમાં (જેમ કે સૂર્ય અને મંગળ બંનેના ક્ષેત્રમાં) પદાર્થની કુલ ઊર્જાની ગણતરી કરતી વખતે, દરેક સ્ત્રોતને કારણે થતી સ્થિતિ ઊર્જા અને ગતિ ઊર્જાનો સરવાળો કરવો જરૂરી છે. "મુક્ત કરવા" એટલે કુલ ઊર્જાને શૂન્ય કરવી.

 

Question 25.મંગળની સપાટી પરથી એક રૉકેટ ઊર્ધ્વદિશામાં 2 km s-1ની ઝડપથી છોડવામાં આવે છે. જો વાતાવરણના અવરોધને લીધે તેની પ્રારંભિક ઊર્જાની 20 % ઊર્જા વ્યય પામતી હોય, તો મંગળની સપાટી પર પાછું આવતા પહેલાં રૉકેટ કેટલે દૂર જશે? મંગળનું દળ = 6.4 × 1023 kg, મંગળની ત્રિજ્યા = 3395 km, G = 6.67 x 10-11 N m²kg-2.

Answer:અહીં આપેલી વિગતો: ગુરુત્વાકર્ષણનો સાર્વત્રિક અચળાંક \(G = 6.67 \times 10^{-11} \, \text{N m}^2 \text{kg}^{-2}\) મંગળ ગ્રહનું દળ \(M_m = 6.4 \times 10^{23} \, \text{kg}\) મંગળની ત્રિજ્યા \(R_m = 3395 \, \text{km} = 3.395 \times 10^6 \, \text{m}\) મંગળની સપાટી પરથી છોડવામાં આવતા રૉકેટની પ્રારંભિક ઝડપ \(u = 2 \, \text{km s}^{-1} = 2 \times 10^3 \, \text{m s}^{-1}\) જો રૉકેટનું દળ \(m\) હોય, તો રૉકેટની પ્રારંભિક ગતિ-ઊર્જા (\(K_i\)): \( K_i = \frac{1}{2}mu^2 \) \( K_i = \frac{1}{2}m(2 \times 10^3)^2 \) \( K_i = \frac{1}{2}m(4 \times 10^6) \) \( K_i = 2 \times 10^6 m \, \text{J} \) (સમીકરણ 1) વાતાવરણના અવરોધને લીધે રૉકેટ પોતાની પ્રારંભિક ઊર્જાની 20 % ઊર્જા ગુમાવે છે. તેથી, હવે રૉકેટની ચોખ્ખી ગતિ-ઊર્જા (\(K_{net}\)) બાકી રહેશે: \( K_{net} = 80 \% \, \text{ઓફ } K_i \) \( K_{net} = \frac{80}{100} \times (2 \times 10^6 m) \, \text{J} \) \( K_{net} = 1.6 \times 10^6 m \, \text{J} \) (સમીકરણ 2) જેમ જેમ રૉકેટ ઉપર તરફ જાય છે, તેમ તેની ગતિ-ઊર્જા ઘટે છે અને ગુરુત્વીય સ્થિતિ-ઊર્જા વધે છે. યાંત્રિક ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમનો ઉપયોગ કરતા, રૉકેટ જ્યારે મહત્તમ ઊંચાઈએ પહોંચે ત્યારે તેની ગતિ-ઊર્જા શૂન્ય થઈ જશે અને સમગ્ર ગતિ-ઊર્જા સ્થિતિ-ઊર્જામાં રૂપાંતરિત થશે. મંગળ ગ્રહની સપાટી પર રૉકેટની ગુરુત્વીય સ્થિતિ-ઊર્જા (\(V_R\)): \( V_R = -\frac{GmM_m}{R_m} \) (સમીકરણ 3) ધારો કે રૉકેટ મંગળના કેન્દ્રથી \(r = R_m + h\) અંતરે મહત્તમ ઊંચાઈએ પહોંચે છે, જ્યાં તેની ગતિ-ઊર્જા શૂન્ય બને છે. તે ઊંચાઈએ રૉકેટની ગુરુત્વીય સ્થિતિ-ઊર્જા (\(V_r\)): \( V_r = -\frac{GmM_m}{r} \) (સમીકરણ 4) રૉકેટની ગતિ-ઊર્જામાં થતો ઘટાડો (\(\Delta K\)) એ સ્થિતિ-ઊર્જામાં થતા વધારા (\(\Delta V\)) જેટલો હોય છે. \( \Delta K = K_i - K_{net} \) - અહીં, \(K_{net}\) એ મહત્તમ ઊંચાઈએ પહોંચતા પહેલાંની ગતિ ઊર્જા નથી, પરંતુ વાતાવરણના અવરોધ પછીની બાકી રહેલી ઊર્જા છે, જે સ્થિતિ ઉર્જામાં રૂપાંતરિત થશે. તેથી, \( K_{net} = \Delta V \) \( K_{net} = V_r - V_R \) \( 1.6 \times 10^6 m = -\frac{GmM_m}{r} - \left(-\frac{GmM_m}{R_m}\right) \) \( 1.6 \times 10^6 m = GmM_m \left(\frac{1}{R_m} - \frac{1}{r}\right) \) \( 1.6 \times 10^6 = GM_m \left(\frac{1}{R_m} - \frac{1}{r}\right) \) \( \frac{1.6 \times 10^6}{GM_m} = \frac{1}{R_m} - \frac{1}{r} \) \( \frac{1}{r} = \frac{1}{R_m} - \frac{1.6 \times 10^6}{GM_m} \) \( \frac{1}{r} = \frac{1}{3.395 \times 10^6} - \frac{1.6 \times 10^6}{6.67 \times 10^{-11} \times 6.4 \times 10^{23}} \) \( \frac{1}{r} = \frac{1}{3.395 \times 10^6} - \frac{1.6 \times 10^6}{4.2688 \times 10^{13}} \) \( \frac{1}{r} = (0.2945 \times 10^{-6}) - (0.3748 \times 10^{-7}) \) \( \frac{1}{r} = (2.945 \times 10^{-7}) - (0.3748 \times 10^{-7}) \) \( \frac{1}{r} = 2.5702 \times 10^{-7} \) \( r = \frac{1}{2.5702 \times 10^{-7}} \approx 3.889 \times 10^6 \, \text{m} \) \( r \approx 3889 \, \text{km} \) મંગળની સપાટી પરથી ઊર્ધ્વદિશામાં જતા રૉકેટની જરૂરી ઊંચાઈ (\(h\)): \( r = R_m + h \) \( h = r - R_m \) \( h = 3889 \, \text{km} - 3395 \, \text{km} \) \( h = 494 \, \text{km} \)
In simple words: રૉકેટની પ્રારંભિક ગતિ ઊર્જા વાતાવરણના ઘર્ષણથી ઓછી થાય છે અને પછી બાકીની ઊર્જા ઊંચાઈ પ્રાપ્ત કરવા માટે ગુરુત્વીય સ્થિતિ ઊર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે. જ્યારે રૉકેટની ગતિ ઊર્જા શૂન્ય થઈ જાય, ત્યારે તે મહત્તમ ઊંચાઈએ પહોંચી ગયું હોય છે.

🎯 Exam Tip: ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમનો ઉપયોગ કરતી વખતે, વાતાવરણના અવરોધ જેવા બિન-સંરક્ષક બળોને કારણે થતી ઊર્જાની ખોટને ધ્યાનમાં લેવી. પ્રારંભિક અને અંતિમ સ્થિતિમાં કુલ યાંત્રિક ઊર્જાની ગણતરી કરતી વખતે ધ્યાન રાખવું.