GSEB Class 11 Physics Solutions Chapter 6 કાર્ય, ઊર્જા અને પાવર

 

Question 1. કોઈ પદાર્થ પર થતા કાર્યનું ચિહ્ન સમજવું અગત્યનું છે. નીચે આપેલી રાશિઓ ધન કે ઋણ છે તે સિદ્ધપૂર્વક દર્શાવો:
(a) દોરડા સાથે બાંધેલી બાલદી (ડૉલ) કૂવામાંથી બહાર કાઢતાં માણસ વડે થયેલ કાર્ય
(b) ઉપરના કિસ્સામાં ગુરુત્વાકર્ષણ બળ વડે થયેલું કાર્ય
(c) ઢળતા સમતલ પર લપસતા પદાર્થ પર ઘર્ષણ વડે થયેલું કાર્ય
(d) ખરબચડા સમક્ષિતિજ સમતલ પર નિયમિત વેગથી ગતિ કરતા પદાર્થ પર લગાડેલ બળ વડે થતું કાર્ય
(e) દોલન કરતા લોલકને સ્થિર કરવા માટે હવાના અવરોધક બળ વડે થયેલું કાર્ય
Answer:
(a) ધન
આનું કારણ એ છે કે બાલદી પર માણસ દ્વારા લાગતું બળ \( \vec{F}_{\text{ext}} \) અને બાલદીનું સ્થાનાંતર \( \vec{d} \) બંને એક જ દિશામાં છે, તેથી \( \vec{F}_{\text{ext}} \) અને \( \vec{d} \) વચ્ચેનો ખૂણો \( \theta = 0^\circ \) છે. આમ, માણસ દ્વારા થયેલું કાર્ય,
\[ W = \vec{F}_{\text{ext}} \cdot \vec{d} = F_{\text{ext}} d \cos 0^\circ = F_{\text{ext}} d = +ve \]
(b) ઋણ
અહીં, બાલદીનું સ્થાનાંતર \( \vec{d} \) ઊર્ધ્વ દિશામાં છે. જોકે, બાલદી પર લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ \( \vec{F}_{\mathrm{g}} \) અધોદિશામાં છે. આથી, \( \vec{F}_{\mathrm{g}} \) અને \( \vec{d} \) વચ્ચેનો ખૂણો \( \theta = 180^\circ \) છે. પરિણામે, ગુરુત્વાકર્ષણ બળ દ્વારા થતું કાર્ય,
\[ W = \vec{F}_{\mathrm{g}} \cdot \vec{d} = F_{\mathrm{g}} d \cos 180^\circ = -F_{\mathrm{g}} d = -ve \]
(c) ઋણ
આ કિસ્સામાં પદાર્થ પર લાગતું ઘર્ષણ બળ \( \vec{f} \) એ પદાર્થના સ્થાનાંતર \( \vec{d} \) ની વિરુદ્ધ દિશામાં હોય છે. તેથી \( \vec{f} \) અને \( \vec{d} \) વચ્ચેનો ખૂણો \( \theta = 180^\circ \) છે. આમ, ઘર્ષણ દ્વારા થયેલું કાર્ય,
\[ w = \vec{f} \cdot \vec{d} = f d \cos 180^\circ = -f d = -ve \]
(d) ધન
ખરબચડા રસ્તા પર પદાર્થને નિયમિત વેગથી ગતિ કરાવવા માટે, વેગની દિશામાં પર્યાપ્ત બાહ્ય બળ લગાડવું અનિવાર્ય છે. આ બાહ્ય બળ \( \vec{F}_{\text{ext}} \) અને પદાર્થનું સ્થાનાંતર \( \vec{d} \) એક જ દિશામાં હોવાથી તેમની વચ્ચેનો ખૂણો \( \theta = 0^\circ \) છે. તેથી, લગાડેલા બળ દ્વારા થતું કાર્ય,
\[ W = \vec{F}_{\text{ext}} \cdot \vec{d} = F_{\text{ext}} d \cos 0^\circ = F_{\text{ext}} d = +ve \]
(e) ઋણ
હવાનું અવરોધક બળ લોલકના ગતિપથના દરેક બિંદુ પર લોલકની ગતિની સ્થાનિક વિરુદ્ધ દિશામાં હંમેશાં લાગે છે. આનો અર્થ છે કે હવાનું અવરોધક બળ \( \overrightarrow{f_{\mathrm{a}}} \) અને લોલકના સ્થાનાંતર \( \vec{d} \) વચ્ચેનો ખૂણો \( \theta = 180^\circ \) છે. પરિણામે, હવાના અવરોધક બળ દ્વારા થતું કાર્ય,
\[ W = \overrightarrow{f_{\mathrm{a}}} \cdot \vec{d} = f_{\mathrm{a}} d \cos 180^\circ = -f_{\mathrm{a}} d \]In simple words: કાર્ય ધન હોય છે જ્યારે બળ અને સ્થાનાંતર એક જ દિશામાં હોય છે, અને ઋણ હોય છે જ્યારે તેઓ વિરુદ્ધ દિશામાં હોય છે. જો બળ સ્થાનાંતરને લંબ હોય તો કાર્ય શૂન્ય હોય છે.

🎯 Exam Tip: કાર્યની ગણતરી કરતી વખતે બળ અને સ્થાનાંતર વચ્ચેનો ખૂણો નક્કી કરવો crucial છે, કારણ કે તે કાર્યના ચિહ્ન (ધન, ઋણ અથવા શૂન્ય) ને પ્રભાવિત કરે છે, જે પરીક્ષામાં ગુણ મેળવવા માટે મહત્વપૂર્ણ છે.

 

Question 2. પ્રારંભમાં સ્થિર રહેલ 2kg દળનો એક પદાર્થ 7 N જેટલા સમક્ષિતિજ દિશાના બળની અસર હેઠળ ટેબલ પર ગતિક ઘર્ષણ આંક = 0.1 સાથે ગતિ કરે છે, તો આપેલી ગણતરીઓ કરો અને તમારા પરિણામોનું અર્થઘટન કરો :
(a) લગાડેલ બળ વડે 10sમાં થયેલ કાર્ય
(b) ઘર્ષણ વડે 10 sમાં થયેલ કાર્ય
(c) 10 sમાં પરિણામી બળ વડે પદાર્થ પર થયેલ કાર્ય
(d) 10sમાં પદાર્થની ગતિ-ઊર્જામાં થતો ફેરફાર.
Answer:
અહીં આપેલ માહિતી: દળ \( m = 2 \text{ kg} \); પ્રારંભિક વેગ \( u = 0 \text{ m/s} \); લાગતું બળ \( F = 7 \text{ N} \); ગતિક ઘર્ષણ ગુણાંક \( \mu_{\text{k}} = 0.1 \); સમય \( t = 10 \text{ s} \).
પદાર્થ પર લાગતું ઘર્ષણ બળ \( f_{\text{k}} \) નીચે મુજબ છે:
\( f_{\text{k}} = \mu_{\text{k}} N = \mu_{\text{k}} (mg) \)
\( = 0.1 \times 2 \times 9.8 \)
\( = 1.96 \text{ N} \)
પદાર્થ પર લાગતું પરિણામી બળ \( F_{\text{net}} \) છે:
\( F_{\text{net}} = F - f_{\text{k}} \)
\( = 7 - 1.96 \)
\( = 5.04 \text{ N} \)
આથી, પદાર્થનો પ્રવેગ \( a \) નીચે મુજબ ગણી શકાય:
\( a = \frac{F_{\text{net}}}{m} = \frac{5.04}{2} = 2.52 \text{ m s}^{-2} \)
10 સેકન્ડમાં કપાયેલું અંતર \( s \), ગતિ સમીકરણનો ઉપયોગ કરીને શોધી શકાય છે:
\( s = ut + \frac{1}{2}at^2 \)
\( = (0)10 + \frac{1}{2}(2.52)(10)^2 \)
\( = \frac{1}{2}(2.52)(100) = 126 \text{ m} \)

(a) લગાડેલ બળ દ્વારા 10sમાં થયેલું કાર્ય \( W_{\text{લાગેલ બળ}} \):
\( W_{\text{લાગેલ બળ}} = F \times s = 7 \times 126 = 882 \text{ J} \)

(b) ઘર્ષણ દ્વારા 10sમાં થયેલું કાર્ય \( W_{\text{ઘર્ષણ}} \):
\( W_{\text{ઘર્ષણ}} = f_{\text{k}} \times s = -1.96 \times 126 \)
\( = -246.9 \text{ J} \approx -247 \text{ J} \)

(c) 10sમાં પરિણામી બળ દ્વારા થયેલું કાર્ય \( W_{\text{net}} \):
\( W_{\text{net}} = F_{\text{net}} \times s = 5.04 \times 126 = 635 \text{ J} \)

(d) 10sના અંતે પદાર્થનો વેગ \( v \):
\( v = u + at \)
\( = 0 + 2.52 \times 10 \)
\( = 25.2 \text{ m s}^{-1} \)
આથી, 10sમાં પદાર્થની ગતિ-ઊર્જામાં થતો ફેરફાર \( \Delta K \):
\( \Delta K = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{1}{2}mu^2 \)
\( = \frac{1}{2}m (v^2 - u^2) \)
\( = \frac{1}{2} \times 2 \times ((25.2)^2 - (0)^2) \)
\( = (25.2)^2 = 635.04 \text{ J} \approx 635 \text{ J} \)
અર્થઘટન: પરિણામ (c) અને (d) પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે પરિણામી બળ દ્વારા થયેલું કાર્ય ( \( W_{\text{net}} \) ) એ પદાર્થની ગતિ-ઊર્જામાં થતા ફેરફાર ( \( \Delta K \) ) જેટલું જ હોય છે. આ કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેયની પુષ્ટિ કરે છે.
In simple words: જ્યારે પદાર્થ પર બળ લાગે છે અને તે ગતિ કરે છે, ત્યારે બળ દ્વારા કાર્ય થાય છે. ઘર્ષણ બળ હંમેશાં ગતિનો વિરોધ કરતું હોવાથી તેના દ્વારા થતું કાર્ય ઋણ હોય છે, જ્યારે લાગુ પડેલું બળ જો ગતિની દિશામાં હોય તો ધન કાર્ય કરે છે. ગતિ-ઊર્જામાં થતો ફેરફાર કુલ કાર્ય જેટલો હોય છે.

🎯 Exam Tip: કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય (Work-Energy Theorem) અહીં મહત્વપૂર્ણ છે, જે દર્શાવે છે કે પદાર્થ પર થયેલું કુલ કાર્ય તેની ગતિ-ઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે. દરેક બળ દ્વારા થયેલા કાર્યની ગણતરી કરતી વખતે દિશા ધ્યાનમાં લેવી આવશ્યક છે.

 

Question 3. આકૃતિ 6.28માં એક-પરિમાણમાં સ્થિતિ-ઊર્જા વિધેયનાં કેટલાંક ઉદાહરણો આપ્યાં છે. કણની કુલ ઊર્જાનું મૂલ્ય ૪-અક્ષ પર ચોકડી × (Cross)ની નિશાની વડે દર્શાવ્યું છે. દરેક કિસ્સામાં, એવા વિસ્તાર દર્શાવો જો હોય, તો કે જેમાં આપેલ ઊર્જા માટે કણ અસ્તિત્વ ધરાવતો ન હોય. આ ઉપરાંત, દરેક કિસ્સામાં કણની કુલ લઘુતમ ઊર્જા કેટલી હોવી જોઈએ તે દર્શાવો. ભૌતિકશાસ્ત્રની દૃષ્ટિએ આવાં કેટલાંક ઉદાહરણો વિચારો કે જેમની સ્થિતિ-ઊર્જાનાં મૂલ્યો આ સાથે મળતાં આવે.
(a)
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): આકૃતિ (a) માં એક સ્થિતિ-ઊર્જા વિધેય \( V(x) \) દર્શાવવામાં આવ્યું છે. આ આલેખમાં \( x \)-અક્ષ પર સ્થિતિ અને \( y \)-અક્ષ પર સ્થિતિ-ઊર્જા છે. \( V(x) \) \( x \le a \) માટે શૂન્ય અને \( x > a \) માટે \( V_0 \) જેટલી અચળ કિંમત ધરાવે છે. કુલ ઊર્જા \( E \) \( V_0 \) કરતા ઓછી છે અને \( x > a \) વિસ્તારમાં ક્રોસ (×) વડે દર્શાવેલ છે.

(b)
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): આકૃતિ (b) માં એક સ્થિતિ-ઊર્જા વિધેય \( V(x) \) દર્શાવવામાં આવ્યું છે. આ આલેખમાં \( x \)-અક્ષ પર સ્થિતિ અને \( y \)-અક્ષ પર સ્થિતિ-ઊર્જા છે. \( V(x) \) \( x \le 0 \) માટે \( V_1 \) અને \( x > 0 \) માટે \( V_0 \) જેટલી અચળ કિંમત ધરાવે છે. કુલ ઊર્જા \( E \) \( V_0 \) અને \( V_1 \) કરતા ઓછી છે અને ક્રોસ (×) વડે દર્શાવેલ છે.

(c)
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): આકૃતિ (c) માં એક સ્થિતિ-ઊર્જા વિધેય \( V(x) \) દર્શાવવામાં આવ્યું છે. આ આલેખમાં \( x \)-અક્ષ પર સ્થિતિ અને \( y \)-અક્ષ પર સ્થિતિ-ઊર્જા છે. \( V(x) \) \( 0 \le x \le a \) માટે શૂન્ય અને \( x < 0 \) અથવા \( x > a \) માટે \( V_0 \) જેટલી અચળ કિંમત ધરાવે છે. કુલ ઊર્જા \( E \) \( V_0 \) કરતા ઓછી છે અને \( 0 \le x \le a \) વિસ્તારમાં ક્રોસ (×) વડે દર્શાવેલ છે.

(d)
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): આકૃતિ (d) માં એક સ્થિતિ-ઊર્જા વિધેય \( V(x) \) દર્શાવવામાં આવ્યું છે. આ આલેખમાં \( x \)-અક્ષ પર સ્થિતિ અને \( y \)-અક્ષ પર સ્થિતિ-ઊર્જા છે. \( V(x) \) \( x = 0 \) પર ન્યૂનતમ મૂલ્ય \(-V_1\) અને \( x = \pm b/2 \) પર \( V_0 \) જેટલી કિંમત ધરાવે છે. કુલ ઊર્જા \( E \) \( -V_1 \) કરતા વધારે અને \( V_0 \) કરતા ઓછી છે અને \( x=0 \) પર ક્રોસ (×) વડે દર્શાવેલ છે.
Answer:
કણની કુલ ઊર્જા \( E = K + V \), જ્યાં \( K \) ગતિ-ઊર્જા છે અને \( V \) સ્થિતિ-ઊર્જા છે. આથી, ગતિ-ઊર્જા \( K = E - V \).
ગતિ-ઊર્જા \( K = \frac{1}{2}m v^2 \) હોવાથી તે હંમેશાં ધન હોવી જોઈએ. તેથી, આલેખના જે વિસ્તારમાં અથવા ભાગમાં આપેલી ઊર્જા \( E(x) \) માટે કણની ગતિ-ઊર્જા \( K \) ઋણ હશે, ત્યાં કણ અસ્તિત્વ ધરાવી શકે નહીં.

(a) \( x > a \) માટે, \( x \) ના દરેક મૂલ્ય માટે \( V(x) = +V_0 \) અચળ છે અને \( V_0 > E \) છે. તેથી, \( E \) ના આપેલા મૂલ્ય \( (x) \) માટે \( K \) ઋણ થશે.
આથી, \( x > a \) વિસ્તારમાં કણ અસ્તિત્વ ધરાવી શકે નહીં.
આલેખ પરથી કણની કુલ લઘુતમ ઊર્જા \( E_{\text{min}} = 0 \).
[નોંધ: \( x = 0 \) થી \( x = a \) સુધીના વિસ્તારમાં સ્થિતિ-ઊર્જા \( V = 0 \) છે, તેથી \( E \) ના આપેલા મૂલ્ય \( (x) \) માટે \( K \) ધન થશે. આથી, આ વિસ્તારમાં કણ અસ્તિત્વ ધરાવતો હશે.]

(b) \( x < 0 \), \( x = 0 \), \( x > a \) માટે, ટૂંકમાં \( x \) ના દરેક મૂલ્ય માટે સ્થિતિ-ઊર્જા \( V \) ધન છે અને \( V > E \) છે. તેથી, \( E \) ના આપેલા મૂલ્ય \( (x) \) માટે \( K \) ઋણ થશે.
આ કિસ્સામાં કણ અસ્તિત્વ ધરાવી શકશે નહીં. ટૂંકમાં, ગ્રાફના કોઈ પણ વિસ્તારમાં કણ હોઈ શકે નહીં.
આલેખ પરથી કણની કુલ લઘુતમ ઊર્જા \( E_{\text{min}} = +V_1 \).

(c) \( x < a \) અને \( x > b \) માટે, \( x \) ના દરેક મૂલ્ય માટે સ્થિતિ-ઊર્જા \( V \) ધન છે અને \( V = V_0 > E \) છે. તેથી, \( E \) ના આપેલા મૂલ્ય \( (x) \) માટે \( K \) ઋણ થશે.
આથી, \( x < a \) અને \( x > b \) વિસ્તારમાં કણ અસ્તિત્વ ધરાવી શકશે નહીં.
આલેખ પરથી કણની કુલ લઘુતમ ઊર્જા \( E_{\text{min}} = -V_1 \).
[નોંધ: \( a \le x \le b \) વિસ્તારમાં સ્થિતિ-ઊર્જા \( V \) ઋણ છે, જે \( -V_1 \) જેટલી છે. તેથી, \( E \) ના આપેલા મૂલ્ય \( (x) \) માટે \( K \) ધન થશે. આથી, આ વિસ્તારમાં કણ અસ્તિત્વ ધરાવતો હશે.]

(d) \( -\frac{b}{2} < x < -\frac{a}{2} \) અને \( \frac{a}{2} < x < \frac{b}{2} \) વિસ્તારમાં \( x \) ના દરેક મૂલ્ય માટે સ્થિતિ-ઊર્જા \( V \) ધન છે અને \( V > E \) છે. તેથી, \( E \) ના આપેલા મૂલ્ય \( (x) \) માટે \( K \) ઋણ થશે.
આથી, આ વિસ્તારમાં કણ અસ્તિત્વ ધરાવી શકશે નહીં.
આલેખ પરથી કણની કુલ લઘુતમ ઊર્જા \( E_{\text{min}} = -V_1 \).
[નોંધ: \( -\frac{b}{2} \ge x \) અને \( x \ge \frac{b}{2} \) વિસ્તારમાં સ્થિતિ-ઊર્જા \( V \) ધન છે, પરંતુ \( E \) ના આપેલા મૂલ્ય \( (x) \) કરતાં તે ઓછી છે. તેથી, \( K \) ધન થશે. આથી, આ વિસ્તારમાં કણ હોઈ શકે છે.]
In simple words: કણ ત્યારે જ અસ્તિત્વ ધરાવી શકે છે જ્યાં તેની ગતિ-ઊર્જા ધન હોય. જો કુલ ઊર્જા E, સ્થિતિ-ઊર્જા V કરતા ઓછી હોય (\( E < V \)), તો ગતિ-ઊર્જા ઋણ બનશે, જે શક્ય નથી. લઘુતમ ઊર્જા એ સ્થિતિ-ઊર્જાના સૌથી નીચા બિંદુને દર્શાવે છે.

🎯 Exam Tip: ગતિ-ઊર્જા હંમેશાં ધન હોય છે તે મૂળભૂત સિદ્ધાંતને યાદ રાખવો. કણ કયા વિસ્તારમાં અસ્તિત્વ ધરાવી શકે અને ક્યાં નહીં, તે નક્કી કરવા માટે આલેખમાં કુલ ઊર્જા E અને સ્થિતિ-ઊર્જા V ના સંબંધને કાળજીપૂર્વક વિશ્લેષણ કરવું જરૂરી છે.

 

Question 4. રેખીય સરળ આવર્ત ગતિ કરતા એક કણ માટે સ્થિતિ-ઊર્જા વિધેય \( V(x) = \frac{kx^2}{2} \) આપેલ છે, જ્યાં K દોલકનો બળ-અચળાંક છે. \( K = 0.5 \text{ N m}^{-1} \) માટે \( V(x) \) વિરુદ્ધ ઝનો આલેખ આકૃતિ 6.29માં દર્શાવ્યો છે. દર્શાવો કે આ સ્થિતિમાં 1 J જેટલી કુલ ઊર્જા ધરાવતો ગતિ કરતો કણ \( x = \pm 2\text{m} \) પહોંચે એટલે પાછો' ફરવો જ જોઈએ.
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): આકૃતિ 6.29 એક સરળ આવર્ત ગતિ કરતા કણ માટે સ્થિતિ-ઊર્જા \( V(x) \) વિરુદ્ધ સ્થાનાંતર \( x \) નો આલેખ દર્શાવે છે. આ આલેખ પરવલયાકાર છે, જે \( x=0 \) પર ન્યૂનતમ મૂલ્ય ધરાવે છે. આલેખમાં \( x = -2\text{m} \) થી \( x = +2\text{m} \) સુધીનો વિસ્તાર દર્શાવેલ છે.
Answer:
રેખીય સરળ આવર્ત ગતિ કરતા કણની કોઈ પણ ક્ષણે કુલ ઊર્જા \( E \) એ તેની આંશિક ગતિ-ઊર્જા \( K \) અને આંશિક સ્થિતિ-ઊર્જા \( V \) ના સરવાળા સ્વરૂપે હોય છે.
આથી, \( E = K + V \)
\( = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}kx^2 \)
પણ અહીં, \( E = 1 \text{ J} \) અને \( k = 0.5 \text{ N m}^{-1} \) છે.
આથી, \( 1 = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}(0.5)x^2 \)
\[ 1 = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{4}x^2 \] \[ \Rightarrow x^2 + 2mv^2 = 4 \] સરળ આવર્ત ગતિ કરતો કણ તે બિંદુએથી પાછો ફરે છે, જે બિંદુ પાસે તેનો તાત્ક્ષણિક વેગ શૂન્ય બને છે, એટલે કે \( v = 0 \).
આમ, \( x^2 + 2m(0)^2 = 4 \)
\[ \Rightarrow x^2 = 4 \] \[ \Rightarrow x = \pm 2 \text{ m} \] આમ, સાબિત થાય છે કે જો રેખીય સરળ આવર્ત ગતિ કરતો કણ 1 J જેટલી કુલ ઊર્જા ધરાવતો હોય, તો તે \( x = \pm 2 \text{ m} \) સ્થાને પહોંચે એટલે તરત જ ત્યાંથી પાછો ફરશે.
In simple words: એક કણ સરળ આવર્ત ગતિ કરે છે ત્યારે તેની કુલ ઊર્જા સ્થિતિ-ઊર્જા અને ગતિ-ઊર્જાનો સરવાળો હોય છે. જ્યારે કણ તેની મહત્તમ સ્થાનાંતરની સ્થિતિએ પહોંચે છે, ત્યારે તેનો વેગ શૂન્ય બને છે અને તે દિશા બદલીને પાછો ફરે છે. આ બિંદુઓને ટર્નિંગ પોઈન્ટ કહેવાય છે.

🎯 Exam Tip: સરળ આવર્ત ગતિમાં કુલ યાંત્રિક ઊર્જાનું સંરક્ષણ થતું હોય છે. ટર્નિંગ પોઈન્ટ્સ એવા બિંદુઓ છે જ્યાં કણનો વેગ શૂન્ય હોય છે અને બધી ગતિ-ઊર્જા સ્થિતિ-ઊર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે. આ સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરીને આવા પ્રશ્નો ઉકેલવા સરળ બને છે.

 

Question 5. ઉત્તર આપો :
(a) રૉકેટનું અસ્તર (Casing) રૉકેટના ઉડાણ દરમિયાન ઘર્ષણના કારણે સળગી ઊઠે છે. કોના ભોગે સળગવા માટે જરૂરી ઉષ્મા-ઊર્જા મળે છે? રૉકેટના કે વાતાવરણના?
(b) સૂર્યની આસપાસ ધૂમકેતુઓ અતિ દીર્ઘવૃત્તીય (Highly Elliptical) કક્ષામાં ઘૂમે છે. સામાન્ય રીતે સૂર્યના કારણે ધૂમકેતુ પર લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ તેની ગતિને લંબરૂપે લાગતું નથી. તેમ છતાં ધૂમકેતુની સંપૂર્ણ ભ્રમણકક્ષા દરમિયાન તેના પર લાગતા ગુરુત્વાકર્ષણ બળ વડે થયેલ કાર્ય શૂન્ય હોય છે. શા માટે?
(c) પૃથ્વીની આજુબાજુ પાતળા વાતાવરણમાં ભ્રમણ કરતો કૃત્રિમ ઉપગ્રહ, વાતાવરણના અવરોધને કારણે તેની ઊર્જા ક્રમશઃ ગુમાવે છે, ભલે તે સૂક્ષ્મ પ્રમાણમાં હોય. તેમ છતાં તે જેમ પૃથ્વીની નજીક અને નજીક આવતો જાય તેમ તેની ઝડપ શા માટે ક્રમશઃ વધતી જાય છે?
(d) આકૃતિ 6.30 (i)માં એક માણસ તેના હાથોમાં 15kg દળ ઊંચકીને 2 m જેટલું ચાલે છે. આકૃતિ 6.30 (ii)માં તે આટલું જ અંતર દોરડું ખેંચતા ખેંચતા ચાલે છે. દોરડું ગરગડી પરથી પસાર થઈને તેના બીજા છેડે 15kg જેટલું દળ લટકાવેલ છે. કયા કિસ્સામાં વધુ કાર્ય થયું હશે?
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): આકૃતિ 6.30(i)માં એક માણસ 15 kg દળના વજનને હાથમાં પકડીને સમક્ષિતિજ દિશામાં ચાલી રહ્યો છે. આકૃતિ 6.30(ii)માં તે જ માણસ એક દોરડાને સમક્ષિતિજ દિશામાં ખેંચી રહ્યો છે, જે 15 kg દળના વજનને ગરગડી પરથી ઊર્ધ્વ દિશામાં ઊંચકી રહ્યું છે.
Answer:
(a) રૉકેટના અસ્તરને ઉડાણ દરમિયાન સળગવા માટે જરૂરી ઊર્જા, માત્ર રૉકેટમાંથી જ મળે છે, વાતાવરણમાંથી નહીં.
રૉકેટના અસ્તરનું દહન તેના ઉડાણ દરમિયાન વાતાવરણ સાથેના ઘર્ષણના લીધે થાય છે. તેથી, રૉકેટનું દળ સૂક્ષ્મ માત્રામાં ઘટે છે.
પણ રૉકેટની કુલ ઊર્જા \( E = K + V = \frac{1}{2}mv^2 + mgh \) (જ્યાં \( g \) અચળ ધારતાં) છે. આમ, રૉકેટનું દળ \( m \) ઘટવાથી તેની કુલ ઊર્જા પણ ઘટે છે. તેથી, રૉકેટના અસ્તરના દહન માટેની જરૂરી ઉષ્મા-ઊર્જા રૉકેટમાંથી જ, એટલે કે રૉકેટના દળ તથા તેની કુલ ઊર્જા (સ્થિતિ-ઊર્જા અને ગતિ-ઊર્જા) માંથી મળે છે.

(b) ધૂમકેતુ પર લાગતું સૂર્યનું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ એ સંરક્ષી બળ છે. સંરક્ષી બળ દ્વારા (ધૂમકેતુ પર) થતું કાર્ય એ ધૂમકેતુની સ્થિતિ-ઊર્જામાં થતા ફેરફારના ઋણ મૂલ્ય જેટલું હોય છે. એટલે કે \( W = -\Delta V \).
પરંતુ, કોઈ પણ આકાર ધરાવતા બંધ માર્ગ માટે સ્થિતિ-ઊર્જામાં થતો ફેરફાર \( \Delta V = 0 \) હોય છે.
તેથી, ધૂમકેતુની સંપૂર્ણ ભ્રમણકક્ષા દરમિયાન તેના પર લાગતાં સૂર્યના ગુરુત્વાકર્ષણ બળ દ્વારા થતું કાર્ય \( W = 0 \) હોય છે.

(c) ઊર્જા-સંરક્ષણના નિયમ મુજબ, આપેલ ભ્રમણકક્ષામાં ભ્રમણ કરતા કૃત્રિમ ઉપગ્રહની કુલ ઊર્જા \( E \) (ગતિ-ઊર્જા + સ્થિતિ-ઊર્જા) અચળ રહે છે.
હવે, કૃત્રિમ ઉપગ્રહ જેમ જેમ પૃથ્વીની નજીક આવતો જાય છે તેમ તેમ તેની ગુરુત્વીય સ્થિતિ-ઊર્જા સૂત્ર \( -\frac{GM_e m}{R_e+h} \) અનુસાર ઘટતી જાય છે. પરિણામે, તેની ગતિ-ઊર્જા \( \frac{1}{2}mv^2 \) અને તેથી તેની ઝડપ \( v \) વધતી જાય છે.
આમ છતાં, પૃથ્વીની આજુબાજુ પાતળા વાતાવરણમાં ભ્રમણ કરતો કૃત્રિમ ઉપગ્રહ, વાતાવરણના અવરોધને લીધે પોતાની ઊર્જા ગુમાવે છે અને તેથી તેની કુલ ઊર્જા સૂક્ષ્મ માત્રામાં ક્રમશઃ ઘટતી જાય છે.

(d) આકૃતિ 6.30(i) માં, માણસ પોતાના હાથોમાં 15 kg દળ ઊંચકીને 2 m જેટલું અંતર સમક્ષિતિજ દિશામાં ચાલે છે. અહીં માણસ દ્વારા દળ પર લગાડવામાં આવતું બળ ઊર્ધ્વ દિશામાં છે, જ્યારે દળનું સ્થાનાંતર સમક્ષિતિજ દિશામાં છે. તેથી, દળ પર લગાડેલ બળ અને તેના સ્થાનાંતર વચ્ચેનો ખૂણો \( \theta = 90^\circ \) હોવાથી આ કિસ્સામાં માણસ દ્વારા થતું કાર્ય \( W = (F_{\text{ext}})d \cos 90^\circ = 0 \).
(માત્ર ચાલતી વખતે માણસે, ઘર્ષણ વિરુદ્ધ 2m જેટલું અંતર કાપવા માટે કાર્ય કરવું પડે છે.)
આકૃતિ 6.30(ii) માં, માણસ દોરડાને સમક્ષિતિજ દિશામાં (અચળ ઝડપથી) ખેંચે છે. તેથી, 15 kg દળ ઊર્ધ્વ દિશામાં ઊંચકાય છે ત્યારે માણસ દ્વારા લગાડેલ બળ \( mg \) પણ ઊર્ધ્વ દિશામાં જ હશે. તેથી, આ કિસ્સામાં માણસ દ્વારા થતું કાર્ય,
\( W = (F_{\text{ext}})d \cos \theta \)
\( = (mg)d \cos 0^\circ \)
\( = mgd = 15 \times 9.8 \times 2 = 294 \text{ J} \)
આમ, કિસ્સા (ii) માં વધુ કાર્ય થયું છે. આ કાર્ય ચાલતી વખતે, ઘર્ષણ વિરુદ્ધ 2m જેટલું અંતર કાપતી વખતે કરવામાં આવતા કાર્ય કરતાં વધારાનું કાર્ય છે.
In simple words: કાર્ય ત્યારે થાય છે જ્યારે બળ અને સ્થાનાંતર એક જ દિશામાં હોય. સંરક્ષી બળો દ્વારા બંધ માર્ગમાં થયેલું કાર્ય શૂન્ય હોય છે. ઉપગ્રહ વાતાવરણમાં ગતિ કરતી વખતે ઊર્જા ગુમાવે છે, પરંતુ નજીક આવતા તેની સ્થિતિ-ઊર્જા ઘટતા ઝડપ વધે છે.

🎯 Exam Tip: કાર્ય-ઊર્જાના મૂળભૂત સિદ્ધાંતો, સંરક્ષી અને અસંરક્ષી બળો દ્વારા થતા કાર્યના ભેદભાવ અને યાંત્રિક ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમો અહીંના મુખ્ય મૂલ્યાંકન માપદંડ છે.

 

Question 6. સાચાં વિકલ્પ નીચે લીટી કરોઃ
(a) જ્યારે સંરક્ષી બળ પદાર્થ પર ધન કાર્ય કરે છે, ત્યારે પદાર્થની સ્થિતિ-ઊર્જા વધે છે / ઘટે છે / અચળ રહે છે.
(b) પદાર્થ વડે ઘર્ષણ વિરુદ્ધ થયેલું કાર્ય હંમેશાં તેની ગતિ- ઊર્જાના / સ્થિતિ-ઊર્જાના ઘટાડામાં પરિણમે છે.
(c) અનેક કણ ધરાવતા તંત્રના કુલ વેગમાનમાં થતા ફેરફારનો દર, તેના પર લાગતાં બાહ્ય બળોના / તંત્રમાં પ્રવર્તતા આંતરિક બળોના સદિશ સરવાળાને સમપ્રમાણ હોય છે.
(d) બે પદાર્થોની અસ્થિતિસ્થાપક અથડામણમાં જે રાશિઓ અથડામણ પછી બદલાતી નથી તે કુલ ગતિ-ઊર્જા / કુલ રેખીય વેગમાન / બે પદાર્થો વડે બનતા તંત્રની કુલ ઊર્જા છે.
Answer:
(a) જ્યારે સંરક્ષી બળ પદાર્થ પર ધન કાર્ય કરે છે, ત્યારે પદાર્થની સ્થિતિ-ઊર્જા ઘટે છે.
સમજૂતી: પદાર્થ પર સંરક્ષી બળ દ્વારા થતું કાર્ય તેની સ્થિતિ-ઊર્જામાં થતા ફેરફારનાં ઋણ મૂલ્ય જેટલું હોય છે.
એટલે કે, \( W = -\Delta V \)
\( \implies W = -(V_f - V_i) \)
\( \implies V_f = V_i - W \)
અહીં, કાર્ય \( W \) ની કિંમત ધન છે. તેથી \( V_f < V_i \) થાય.
આથી, પદાર્થની સ્થિતિ-ઊર્જા ઘટે છે.
ઉદાહરણ તરીકે, શરૂઆતમાં પૃથ્વીની સપાટીથી \( h \) ઊંચાઈએ રહેલા \( m \) દળના પદાર્થની ગુરુત્વીય સ્થિતિ-ઊર્જા \( mgh \) (ધન) હોય છે. હવે જો આ પદાર્થ ત્યાંથી અધોદિશામાં (પૃથ્વીના કેન્દ્ર તરફ) માત્ર તેના પર લાગતાં ગુરુત્વાકર્ષણ બળને (સંરક્ષી બળને) લીધે ગતિ કરે અને પૃથ્વીની સપાટી પર આવીને પડે તો પૃથ્વીની સપાટી પર તેની ગુરુત્વીય સ્થિતિ-ઊર્જા શૂન્ય બને છે.
જે દર્શાવે છે કે, સંરક્ષી બળ (અહીં, ગુરુત્વાકર્ષી બળ) દ્વારા પદાર્થ પર ધન કાર્ય થતા પદાર્થની સ્થિતિ-ઊર્જા ઘટે છે. (અહીં, પદાર્થ પર લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ અને પદાર્થનું સ્થાનાંતર બંને એક જ દિશામાં છે, તેથી \( W_{\text{grav}} = F_{\text{grav}} d \cos 0^\circ = (mg)h \cos 0^\circ = +mgh \)).

(b) પદાર્થ વડે ઘર્ષણ વિરુદ્ધ થયેલું કાર્ય હંમેશાં તેની ગતિ-ઊર્જાના ઘટાડામાં પરિણમે છે.
સમજૂતી: ઘર્ષણની લાક્ષણિકતા ગતિનો વિરોધ કરવાની છે. (બાહ્ય બળનો વિરોધ કરવાની છે.) પદાર્થ ઘર્ષણ વિરુદ્ધ કાર્ય પોતાની ગતિ-ઊર્જા ખર્ચીને કરે છે, તેથી પદાર્થ વડે ઘર્ષણ વિરુદ્ધ થયેલું કાર્ય તેની ગતિ-ઊર્જાના ઘટાડામાં પરિણમે છે.

(c) અનેક કણ ધરાવતાં તંત્રના કુલ વેગમાનમાં થતા ફેરફારનો દર, તેના પર લાગતાં બાહ્ય બળોના સદિશ સરવાળાને સમપ્રમાણમાં હોય છે.
સમજૂતી: અનેક કણ ધરાવતા તંત્રના કણો વચ્ચે પ્રવર્તતાં આંતરિક બળોનો સદિશ સરવાળો શૂન્ય હોય છે. તેથી, તંત્રના કુલ વેગમાનમાં ફેરફાર માત્ર (પરિણામી) બાહ્ય બળને કારણે જ શક્ય છે.
આથી, અનેક કણોના બનેલા તંત્રના કુલ રેખીય વેગમાનનો ફેરફારનો દર તેના પર લાગતાં પરિણામી બાહ્ય બળના સમપ્રમાણમાં હોય છે.

(d) બે પદાર્થોની અસ્થિતિસ્થાપક અથડામણમાં જે રાશિઓ અથડામણ પછી બદલાતી નથી તે કુલ રેખીય વેગમાન અને બે પદાર્થો વડે બનતા તંત્રની કુલ ઊર્જા છે.
સમજૂતી: બે પદાર્થોની અસ્થિતિસ્થાપક અથડામણમાં બંને પદાર્થોની કુલ ગતિ-ઊર્જાનું સંરક્ષણ થતું નથી.
પરંતુ, બંને પદાર્થોનું કુલ રેખીય વેગમાન (સદિશ) અને કુલ ઊર્જા (બધા જ પ્રકારની ઊર્જાઓનો સરવાળો) અચળ રહે છે અર્થાત્ તેમનું સંરક્ષણ થાય છે.
In simple words: સંરક્ષી બળ ધન કાર્ય કરે ત્યારે સ્થિતિ-ઊર્જા ઘટે. ઘર્ષણ ગતિ-ઊર્જા ઘટાડે છે. તંત્રના વેગમાનનો ફેરફાર બાહ્ય બળો પર આધાર રાખે છે. અસ્થિતિસ્થાપક અથડામણમાં કુલ વેગમાન અને કુલ ઊર્જા સંરક્ષિત રહે છે.

🎯 Exam Tip: સંરક્ષી અને અસંરક્ષી બળો દ્વારા થતા કાર્યના પરિણામો અને અથડામણના પ્રકારો (સ્થિતિસ્થાપક/અસ્થિતિસ્થાપક) માં સંરક્ષિત રહેતી રાશિઓ સંબંધિત ખ્યાલો સ્પષ્ટ રાખવા પરીક્ષામાં મદદરૂપ થાય છે.

 

Question 7. આપેલાં વિધાનો સાચાં છે કે ખોટાં તે દર્શાવો. તમારા ઉત્તર માટે કારણ આપો :
(a) બે પદાર્થોની સ્થિતિસ્થાપક અથડામણમાં દરેક પદાર્થના વેગમાન અને ઊર્જાનું સંરક્ષણ થાય છે.
(b) પદાર્થ પર લાગતા કોઈ પણ પ્રકારનાં આંતરિક કે બાહ્ય બળોની હાજરીમાં પણ તંત્રની કુલ આંતરિક ઊર્જાનું સંરક્ષણ થાય છે.
(c) પદાર્થની બંધમાર્ગ પરની ગતિ દરમિયાન કુદરતમાંના દરેક પ્રકારનાં બળ માટે થયેલ કાર્ય શૂન્ય હોય છે.
(d) અસ્થિતિસ્થાપક અથડામણમાં તંત્રની અંતિમ ગતિ-ઊર્જા હંમેશાં તેની પ્રારંભિક ગતિ-ઊર્જા કરતાં ઓછી હોય છે.
Answer:
(a) ખોટું.
કારણ: બે પદાર્થોની સ્થિતિસ્થાપક અથડામણમાં, બંને પદાર્થોનું (એટલે કે બંને પદાર્થોથી બનેલા સમગ્ર તંત્રનું) કુલ રેખીય વેગમાન અને કુલ ઊર્જાનું સંરક્ષણ થાય છે, પણ દરેક પદાર્થનું પોતાનું વેગમાન અને ઊર્જાનું સંરક્ષણ થતું નથી.

(b) ખોટું.
કારણ: દાખલા તરીકે, એક \( m \) દળનો બ્લૉક ખરબચડી સમક્ષિતિજ સપાટી પર, પ્રારંભમાં \( v_0 \) ઝડપથી સરકીને, \( x_0 \) અંતર કાપીને સ્થિર થાય છે. આ કિસ્સામાં કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ \( \frac{1}{2}mv_0^2 = f_k x_0 \) (જ્યાં, \( f_k \) = ગતિક ઘર્ષણબળ) થાય છે. અહીં બ્લૉકની ગતિ-ઊર્જા તેના પર લાગતા ઘર્ષણબળને કારણે વેડફાઈ જાય છે. જે ઉષ્મા-ઊર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે અને તેથી ટેબલ અને બ્લૉકના તાપમાનમાં સૂક્ષ્મ પ્રમાણમાં વધારો જોવા મળે છે, પરિણામે ટેબલ અને બ્લૉકની આંતરિક ઊર્જામાં વધારો થાય છે.
આમ, અહીં તંત્ર (બ્લૉક + ટેબલ) ની આંતરિક ઊર્જાનું સંરક્ષણ થતું નથી.

(c) ખોટું.
કારણ: કુદરતમાં પદાર્થની ગતિ દરમિયાન ઘર્ષણ બળ પ્રવર્તમાન હોય છે. ઘર્ષણ બળ અસંરક્ષી બળ છે અને અસંરક્ષી બળના કિસ્સામાં પદાર્થની બંધમાર્ગ પરની ગતિ દરમિયાન થયેલ કાર્ય શૂન્ય હોતું નથી.
(માત્ર સંરક્ષી બળો જેવાં કે ગુરુત્વાકર્ષી બળ, સ્થિત વિદ્યુતબળ વગેરેના કિસ્સામાં જ પદાર્થની બંધમાર્ગ પરની ગતિ દરમિયાન થયેલ કાર્ય શૂન્ય હોય છે.)

(d) સાચું.
કારણ: અસ્થિતિસ્થાપક અથડામણમાં સમગ્ર તંત્રની કુલ ઊર્જા તથા કુલ રેખીય વેગમાનનું સંરક્ષણ થતું હોય છે. પરંતુ, કુલ યાંત્રિક ઊર્જા \( E \) નું સંરક્ષણ થતું નથી. અસ્થિતિસ્થાપક અથડામણ દરમિયાન પદાર્થો પર લાગતાં પરસ્પર આઘાતી બળો (Impulsive Forces) અને પદાર્થમાં ઉદ્ભવતા આકાર વિકાર (વિરૂપણ) દરમિયાન ઉષ્મા અને / અથવા અવાજ (ધ્વનિ) પણ ઉત્પન્ન થતા હોય છે.
આમ, અસ્થિતિસ્થાપક અથડામણમાં તંત્રની અંતિમ ગતિ-ઊર્જા હંમેશાં તેની પ્રારંભિક ગતિ-ઊર્જા કરતાં ઓછી જ હોય છે.
In simple words: સ્થિતિસ્થાપક અથડામણમાં તંત્રની કુલ ઊર્જા અને વેગમાન સંરક્ષિત રહે છે, પણ વ્યક્તિગત કણોના નહીં. ઘર્ષણ જેવા અસંરક્ષી બળો આંતરિક ઊર્જા અને બંધ માર્ગમાં કાર્ય શૂન્ય રહેવાના નિયમને બદલી નાખે છે. અસ્થિતિસ્થાપક અથડામણમાં અંતિમ ગતિ-ઊર્જા હંમેશાં ઓછી હોય છે.

🎯 Exam Tip: સ્થિતિસ્થાપક અને અસ્થિતિસ્થાપક અથડામણ વચ્ચેના તફાવતો, ખાસ કરીને ઊર્જા અને વેગમાનના સંરક્ષણના સંદર્ભમાં, સ્પષ્ટ હોવા જોઈએ. સંરક્ષી અને અસંરક્ષી બળોના ગુણધર્મો પણ યાદ રાખવા મહત્વપૂર્ણ છે.

 

Question 8. ધ્યાનપૂર્વક કારણ આપીને ઉત્તર લખો :
(a) બે બિલિયર્ડ બૉલની સ્થિતિસ્થાપક અથડામણ દરમિયાન, અથડામણના ટૂંકા ગાળા દરમિયાન (એટલે કે જ્યારે તેઓ એકબીજાના સંપર્કમાં હોય તે સમયે) તેમની ગતિ-ઊર્જાનું સંરક્ષણ થાય છે?
(b) શું બે બૉલની સ્થિતિસ્થાપક અથડામણ દરમિયાનના ટૂંકા ગાળામાં તેમના રેખીય વેગમાનનું સંરક્ષણ થાય છે?
(c) અસ્થિતિસ્થાપક અથડામણ માટે (a) અને (b) ના ઉત્તર શું હશે?
(d) જો બે બિલિયર્ડ બૉલની સ્થિતિ-ઊર્જા તેમના કેન્દ્ર વચ્ચેના અંતર પર આધાર રાખતી હોય, તો આ અથડામણ સ્થિતિસ્થાપક છે કે અસ્થિતિસ્થાપક? (નોંધ : અહીં આપણે અથડામણ દરમિયાન લાગતા બળને અનુલક્ષીને સ્થિતિ-ઊર્જાની વાત કરીએ છીએ, ગુરુત્વીય સ્થિતિ-ઊર્જાની નહિ.)
Answer:
(a) ના.
કારણ: સ્થિતિસ્થાપક અથડામણ દરમિયાન જ્યારે બંને બૉલ એકબીજાના ભૌતિક સંપર્કમાં હોય છે ત્યારે તેમની ગતિ-ઊર્જાનો અમુક અંશ બંને બૉલમાં આકાર વિરૂપણ ઉત્પન્ન કરવામાં ખર્ચાઈ જાય છે, એટલે કે તે સ્થિતિ-ઊર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે. તેથી, અથડામણના ટૂંકા ગાળા દરમિયાન તેમની ગતિ-ઊર્જાનું સંરક્ષણ થતું નથી. પણ અથડામણ પહેલાં અને અથડામણ પછી બંને બૉલની કુલ ગતિ-ઊર્જાનું સંરક્ષણ થતું હોય છે.

(b) હા.
કારણ: બે બૉલની અથડામણના ટૂંકા ગાળા દરમિયાન તેમની વચ્ચે પ્રવર્તતા પરસ્પર આઘાતી (Impulsive) બળોને કારણે માત્ર વેગમાનની આપ-લે થાય છે, પણ ન્યૂટનનો ગતિનો ત્રીજો નિયમ \( (\vec{F}_{12} = -\vec{F}_{21}) \) દરેક ક્ષણે પળાતો હોવાથી, બે બૉલના વેગમાનમાં થતા ફેરફારનો સદિશ સરવાળો શૂન્ય થાય છે એટલે કે બે બૉલનું કુલ રેખીય વેગમાન દરેક ક્ષણે અચળ રહે છે.

(c) અસ્થિતિસ્થાપક અથડામણ માટે:
પ્રશ્ન (a) નો ઉત્તર: ના
પ્રશ્ન (b) નો ઉત્તર: હા
કારણ: અસ્થિતિસ્થાપક અથડામણમાં હંમેશાં ગતિ-ઊર્જાનો વ્યય થતો હોય છે. તેથી, અસ્થિતિસ્થાપક અથડામણમાં અથડામણ દરમિયાન, અથડામણના ટૂંકા ગાળા દરમિયાન તેમજ અથડામણના અંતે કુલ ગતિ-ઊર્જાનું સંરક્ષણ થતું નથી.
પરંતુ, અસ્થિતિસ્થાપક અથડામણમાં અથડામણ પહેલાંનું કુલ રેખીય વેગમાન અને અથડામણ પછીનું કુલ રેખીય વેગમાન એકસમાન હોય છે, એટલે કે અહીં રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમનું પાલન થાય છે, જે અથડામણ દરમિયાનના ટૂંકા ગાળા દરમિયાન ( \( \approx 10^{-3}s \) ) પણ પળાય જ છે.

(d) સ્થિતિસ્થાપક
કારણ: ભૌતિક રાશિ સ્થિતિ-ઊર્જા એ માત્ર સંરક્ષી બળ-ક્ષેત્ર માટે જ વ્યાખ્યાયિત થાય છે, એટલે કે જે વિસ્તારમાં સંરક્ષી બળ પ્રવર્તતું હોય ત્યાં જ સ્થિતિ-ઊર્જા શોધી શકાય છે.
અહીં, પ્રશ્ન પ્રમાણે, બે બિલિયર્ડ બૉલની સ્થિતિ-ઊર્જા તેમના કેન્દ્ર વચ્ચેના અંતર પર આધાર રાખે છે તેમ આપેલું છે, તેથી તેમની અથડામણ વખતે સંરક્ષી બળો જ પ્રવર્તતા હશે. હવે સંરક્ષી બળોની હાજરીમાં યાંત્રિક ઊર્જા સંરક્ષણનો નિયમ પળાય છે અને સ્થિતિસ્થાપક અથડામણના કિસ્સામાં યાંત્રિક ઊર્જાનું સંરક્ષણ થતું હોય છે.
આથી, અહીં, બે બૉલની અથડામણ સ્થિતિસ્થાપક હશે.
મહત્ત્વની નોંધ :
(1) દરેક પ્રકારના સંઘાતમાં કુલ રેખીય વેગમાનનું સંરક્ષણ થાય છે.
(2) દરેક પ્રકારના સંઘાતમાં કુલ ઊર્જાનું સંરક્ષણ થાય છે.
(3) સ્થિતિસ્થાપક સંઘાતમાં માત્ર સંરક્ષી બળો જ કામ કરે છે.
(4) અસ્થિતિસ્થાપક સંઘાતમાં બધાં બળો સંરક્ષી બળો હોતાં નથી.
In simple words: સ્થિતિસ્થાપક અથડામણમાં, સંપર્ક દરમિયાન ગતિ-ઊર્જા સંરક્ષિત નથી (તે સ્થિતિ-ઊર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે), પરંતુ કુલ વેગમાન સંરક્ષિત છે. અસ્થિતિસ્થાપક અથડામણમાં કુલ ગતિ-ઊર્જા ઓછી થાય છે, પરંતુ કુલ વેગમાન હજુ પણ સંરક્ષિત રહે છે. જો સ્થિતિ-ઊર્જા અંતર પર આધાર રાખતી હોય, તો બળો સંરક્ષી હોય છે અને અથડામણ સ્થિતિસ્થાપક હોય છે.

🎯 Exam Tip: અથડામણના પ્રકારો (સ્થિતિસ્થાપક અને અસ્થિતિસ્થાપક) અને તેમાં સંરક્ષિત રહેતી રાશિઓ (ગતિ-ઊર્જા, વેગમાન, કુલ ઊર્જા) વચ્ચેનો ભેદ સ્પષ્ટ રીતે સમજવો મહત્વપૂર્ણ છે. સંરક્ષી બળોની હાજરી સ્થિતિસ્થાપક અથડામણ માટેની પૂર્વશરત છે.

 

Question 9. પ્રારંભમાં એક પદાર્થ સ્થિર છે. તે એક-પરિમાણમાં અચળ પ્રવેગથી ગતિ શરૂ કરે છે. \( t \) સમયે તેને મળતો પાવર કોના સમપ્રમાણમાં હશે?
(i) \( t^{\frac{1}{2}} \)
(ii) \( t \)
(iii) \( t^{\frac{3}{2}} \)
(iv) \( t^2 \)
Answer: (ii) \( t \)
ઉકેલ:
અહીં, પ્રારંભિક વેગ \( v_0 = 0 \) છે.
એક-પરિમાણમાં અચળ પ્રવેગી ગતિના સમીકરણ \( v = v_0 + at \) પરથી,
\( v = 0 + at = at \)
પણ, તાત્ક્ષણિક પાવર \( P = Fv \)
\[ \implies P = (ma) \times (at) \] \[ P = ma^2 t \] અહીં, \( m \) અને \( a \) અચળ હોવાથી,
\[ P \propto t \] નોંધ: ઉપરોક્ત દાખલામાં પાવર \( P \) અચળ નથી પણ તે સમય \( t \) પર આધારિત છે, તેથી તાત્ક્ષણિક પાવર શોધેલ છે.
In simple words: જ્યારે કોઈ પદાર્થ અચળ પ્રવેગથી ગતિ કરે છે, ત્યારે તેનો વેગ સમયના સમપ્રમાણમાં વધે છે. પાવર એ બળ ગુણ્યા વેગ હોય છે. જો બળ અચળ હોય તો પાવર વેગના સમપ્રમાણમાં હોય, એટલે કે તે પણ સમયના સમપ્રમાણમાં વધે છે.

🎯 Exam Tip: પાવરની ગણતરી કરતી વખતે, તે તાત્ક્ષણિક છે કે સરેરાશ તે ધ્યાનમાં લેવું. અચળ પ્રવેગ ગતિના સમીકરણો અને પાવરની વ્યાખ્યા ( \( P = Fv \) ) નો ઉપયોગ આ પ્રકારના પ્રશ્નો ઉકેલવા માટે મૂળભૂત છે.

 

Question 10. એક પદાર્થ અચળ પાવરના ઉદ્ગમની અસર હેઠળ એક દિશામાં ગતિ શરૂ કરે છે. \( t \) સમયમાં તેનું સ્થાનાંતર કોના સમપ્રમાણમાં હશે?
(i) \( t^{\frac{1}{2}} \)
(ii) \( t \)
(iii) \( t^{\frac{3}{2}} \)
(iv) \( t^2 \)
Answer: (iii) \( t^{\frac{3}{2}} \)
ઉકેલ:
અહીં, પદાર્થનો પ્રારંભિક વેગ \( v_0 = 0 \) છે. તેના પર અચળ પાવર લાગવાના કારણે તે \( t \) સમયમાં \( v \) જેટલો વેગ પ્રાપ્ત કરે છે.
તેથી કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય અનુસાર,
\( W = \Delta K = K_f - K_i = \frac{1}{2}mv^2 - 0 = \frac{1}{2}mv^2 \) ........... (1)
પણ, અહીં પાવર અચળ છે.
\[ P = \frac{W}{t} \] \[ \implies W = Pt \] ........... (2)
સમીકરણ (1) અને (2) પરથી,
\[ \frac{1}{2}mv^2 = Pt \] \[ v^2 = \frac{2Pt}{m} \] \[ v = \left(\frac{2P}{m}\right)^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}} \] પણ, \( v = \frac{dx}{dt} \) હોવાથી,
\[ \frac{dx}{dt} = \left(\frac{2P}{m}\right)^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}} \] \[ dx = \left(\frac{2P}{m}\right)^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}} dt \] સંકલન કરતાં,
\[ \int dx = \int \left(\frac{2P}{m}\right)^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}} dt \] \[ x = \left(\frac{2P}{m}\right)^{\frac{1}{2}} \frac{t^{\frac{3}{2}}}{\left(\frac{3}{2}\right)} \] \[ x = \frac{2}{3} \left(\frac{2P}{m}\right)^{\frac{1}{2}} t^{\frac{3}{2}} \] અહીં \( \frac{2}{3} \left(\frac{2P}{m}\right)^{\frac{1}{2}} \) અચળ છે.
આથી, \( x \propto t^{\frac{3}{2}} \)

બીજી રીત:
પાવર \( P = \frac{W}{t} \)
આથી, પાવર \( P \) નું પારિમાણિક સૂત્ર,
\[ [P] = \frac{\text{M}^1 \text{L}^2 \text{T}^{-2}}{\text{T}} = \text{M}^1 \text{L}^2 \text{T}^{-3} \] પણ, અહીં પાવર અચળ છે.
આથી, \( \text{M}^1 \text{L}^2 \text{T}^{-3} = \text{અચળ} \)
દળ \( M \) પણ અચળ છે.
આથી, \( \text{L}^2 \text{T}^{-3} = \text{અચળ} \)
\[ \implies \frac{\text{L}^2}{\text{T}^3} = \text{અચળ} \] \[ \implies \text{L}^2 \propto \text{T}^3 \] \[ \implies \text{L} \propto \text{T}^{\frac{3}{2}} \] આમ, સ્થાનાંતર ( \( L \) ) એ \( \text{T}^{\frac{3}{2}} \) ના સમપ્રમાણમાં છે.
In simple words: જો કોઈ પદાર્થ પર અચળ પાવર લાગુ પડે તો તેના વેગમાં સતત વધારો થાય છે. કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય અને વેગ-સમયના સંબંધનો ઉપયોગ કરીને, આપણે શોધી શકીએ છીએ કે પદાર્થનું સ્થાનાંતર સમયના \( 3/2 \) ઘાતના સમપ્રમાણમાં હોય છે.

🎯 Exam Tip: આ પ્રકારના પ્રશ્નોમાં પાવર, કાર્ય, વેગ અને સ્થાનાંતર વચ્ચેના સંબંધોને જોડવા માટે કલનશાસ્ત્ર (Calculus) નો ઉપયોગ નિર્ણાયક છે. પરિમાણીય વિશ્લેષણ પણ ચકાસણી માટે ઉપયોગી પદ્ધતિ છે.

 

Question 11. એક પદાર્થની ગતિ યામપદ્ધતિની Z-અક્ષ પર સીમિત રાખવા માટે તેના પર \( \vec{F} \) જેટલું અચળ બળ લગાડવામાં આવે છે, જે \( \vec{F} = -\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k} \text{ N} \) છે. અહીં \( \hat{i}, \hat{j}, \hat{k} \) અનુક્રમે તંત્રના X, Y અને Z અક્ષ પરના એકમ સદિશો છે. આ પદાર્થને Z-અક્ષ પર 4m અંતર સુધી ગતિ કરાવવા માટે આ બળ વડે કેટલું કાર્ય થયું હશે?
Answer:
ઉકેલ:
આપેલ છે કે, બળ \( \vec{F} = -\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k} \text{ N} \).
પદાર્થ Z-અક્ષ પર 4m અંતર કાપે છે, તેથી તેનું સ્થાનાંતર \( \vec{d} = 4\hat{k} \text{ m} \).
હવે, કાર્ય \( W = \vec{F} \cdot \vec{d} \)
\( = (-\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}) \cdot (4\hat{k}) \)
\( = -4 (\hat{i} \cdot \hat{k}) + 8 (\hat{j} \cdot \hat{k}) + 12 (\hat{k} \cdot \hat{k}) \)
એકમ સદિશોના ગુણધર્મો મુજબ \( \hat{i} \cdot \hat{k} = 0 \), \( \hat{j} \cdot \hat{k} = 0 \) અને \( \hat{k} \cdot \hat{k} = 1 \).
\( = -4(0) + 8(0) + 12(1) \)
\( = 12 \text{ J} \)
In simple words: કાર્ય એ બળ અને સ્થાનાંતરના અદિશ ગુણાકાર છે. જ્યારે બળ અને સ્થાનાંતર સદિશ રૂપે હોય, ત્યારે ફક્ત બળના તે ઘટક દ્વારા જ કાર્ય થાય છે જે સ્થાનાંતરની દિશામાં હોય. અહીં, માત્ર Z-ઘટક જ કાર્ય કરશે કારણ કે સ્થાનાંતર Z-અક્ષ પર છે.

🎯 Exam Tip: સદિશ સ્વરૂપમાં બળ અને સ્થાનાંતર આપેલ હોય ત્યારે કાર્યની ગણતરી માટે અદિશ ગુણાકાર (ડોટ પ્રોડક્ટ) નો ઉપયોગ કરો. સમાન અક્ષના એકમ સદિશોનો ડોટ પ્રોડક્ટ 1 હોય છે, જ્યારે અલગ અક્ષના એકમ સદિશોનો ડોટ પ્રોડક્ટ 0 હોય છે.

 

Question 12. કૉસ્મિક કિરણોના એક પ્રયોગમાં એક ઇલેક્ટ્રૉન અને એક પ્રોટોનની હાજરી જોવા મળે છે, જેમાં ઇલેક્ટ્રૉનની ગતિ-ઊર્જા 10 keV અને પ્રોટોનની 100keV છે. કોણ ઝડપી હશે, ઇલેક્ટ્રૉન કે પ્રોટોન? બંનેની ઝડપનો ગુણોત્તર મેળવો.
(ઇલેક્ટ્રૉનનું દળ \( = 9.11 \times 10^{-31} \text{ kg} \), પ્રોટોનનું દળ \( = 1.67 \times 10^{-27} \text{ kg} \), 1 eV \( = 1.60 \times 10^{-19}\text{ J} \))
Answer:
ઉકેલ:
અહીં, ઇલેક્ટ્રૉનની ગતિ-ઊર્જા \( K_e \):
\( K_e = \frac{1}{2}m_e v_e^2 = 10 \text{ keV} \)
\( = 10 \times 1.6 \times 10^{-19} \text{ J} \)
પ્રોટોનની ગતિ-ઊર્જા \( K_p \):
\( K_p = \frac{1}{2}m_p v_p^2 = 100 \text{ keV} \)
\( = 100 \times 1.6 \times 10^{-19} \text{ J} \)
આથી, \( \frac{K_e}{K_p} = \frac{\frac{1}{2}m_e v_e^2}{\frac{1}{2}m_p v_p^2} = \frac{m_e v_e^2}{m_p v_p^2} \)
\[ \implies \frac{10 \times 1.6 \times 10^{-19}}{100 \times 1.6 \times 10^{-19}} = \frac{1}{10} \] \[ \implies \frac{m_e v_e^2}{m_p v_p^2} = \frac{1}{10} \] \[ \implies \frac{v_e^2}{v_p^2} = \frac{1}{10} \frac{m_p}{m_e} \] \[ \implies \frac{v_e}{v_p} = \sqrt{\frac{1}{10} \frac{m_p}{m_e}} \] \[ = \sqrt{\frac{1}{10} \times \frac{1.67 \times 10^{-27}}{9.11 \times 10^{-31}}} \] \[ = \sqrt{\frac{1.67 \times 10^3}{9.11}} \] \[ = \sqrt{183.32} \] \[ = 13.54 \] આથી, \( \frac{v_e}{v_p} = 13.54 \implies v_e = 13.54 v_p \).
જે દર્શાવે છે કે ઇલેક્ટ્રૉન, પ્રોટોન કરતાં વધુ ઝડપી છે.
In simple words: કણોની ગતિ-ઊર્જા અને દળના આધારે તેમની ઝડપની ગણતરી કરી શકાય છે. જો સમાન ગતિ-ઊર્જા હોય તો હલકો કણ ભારે કણ કરતાં વધુ ઝડપી હોય છે. અહીં, ઇલેક્ટ્રૉન પ્રોટોન કરતાં ઘણો હલકો હોવાથી, તે વધુ ઝડપી હશે, ભલે તેની ઊર્જા ઓછી હોય.

🎯 Exam Tip: કણ ભૌતિકશાસ્ત્રના આવા પ્રશ્નોમાં, eV ને J માં રૂપાંતરિત કરવું અને ગતિ-ઊર્જાના સૂત્ર \( K = \frac{1}{2}mv^2 \) નો ઉપયોગ કરવો મહત્વપૂર્ણ છે. ઇલેક્ટ્રૉન અને પ્રોટોન જેવા કણોના દળ યાદ રાખવાથી ગણતરી સરળ બને છે.

 

Question 13. 2 mm ત્રિજ્યાનું વરસાદનું એક ટીપું 500 m ઊંચાઈએથી જમીન પર પડે છે. ઘટતા પ્રવેગથી (હવાના શ્યાનતા અવરોધને કારણે) તે મૂળ ઊંચાઈએથી અડધી ઊંચાઈ પ્રાપ્ત ના કરે ત્યાં સુધી પડે છે, જ્યાં તે અંતિમ (ટર્મિનલ) ઝડપ પ્રાપ્ત કરે છે અને ત્યારબાદ તે એકધારી (સમાન) ઝડપથી ગતિ કરે છે. તેની સફરના પ્રથમ અને બીજા અડધા ભાગ દરમિયાન ગુરુત્વાકર્ષણ બળ વડે ટીપા પર થયેલ કાર્ય કેટલું હશે? જો તે 10 m s-1ની ઝડપથી તેની સફર પૂરી કરીને જમીન પર પડે, તો તેની આ સફર દરમિયાન અવરોધક બળ વડે ટીપા પર કેટલું કાર્ય થયું હશે?
Answer:
ઉકેલ:
આપેલ છે: ટીપાની ત્રિજ્યા \( r = 2 \text{ mm} = 2 \times 10^{-3} \text{ m} \).
ઊંચાઈ \( h = 500 \text{ m} \).
પાણીની ઘનતા \( \rho = 10^3 \text{ kg m}^{-3} \).
ટીપાની પ્રારંભિક ઝડપ \( u = 0 \text{ m s}^{-1} \).
ટીપાની અંતિમ ઝડપ \( v = 10 \text{ m s}^{-1} \).

ટીપા વડે તેની સફરના પ્રથમ અને બીજા અડધા ભાગની ગતિ
પ્રથમ અડધા ભાગમાં કપાયેલું અંતર \( \frac{h}{2} = \frac{500}{2} = 250 \text{ m} \).
ટીપાનું દળ \( m = \rho V = \rho \times \frac{4}{3}\pi r^3 \)
\( = 10^3 \times \frac{4}{3} \times 3.14 \times (2 \times 10^{-3})^3 \)
\( = 3.35 \times 10^{-5} \text{ kg} \).

• સફરના પ્રથમ અડધા ભાગની ગતિ દરમિયાન ગુરુત્વાકર્ષણ બળ વડે ટીપા પર થયેલું કાર્ય \( W_1 \):
\( W_1 = Fd \cos \theta = (mg)(\frac{h}{2}) \cos 0^\circ \)
\( = (3.35 \times 10^{-5} \times 9.8) \times (250) \times 1 \)
\( = 0.082 \text{ J} \)
• બીજા અડધા ભાગની ગતિ દરમિયાન ગુરુત્વાકર્ષણ બળ વડે થયેલું કાર્ય \( W_2 \) પણ \( 0.082 \text{ J} \) હશે, કારણ કે બંને ભાગોમાં ટીપાએ કાપેલ અંતર \( (= 250 \text{ m}) \) સમાન છે.

• હવે, સમગ્ર સફર દરમિયાન ગુરુત્વાકર્ષણ બળ વડે થયેલું કુલ કાર્ય \( W_{\text{grav}} \):
\( W_{\text{grav}} = W_1 + W_2 \)
\( = 0.082 + 0.082 = 0.164 \text{ J} \)

• કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય અનુસાર, કુલ બળો દ્વારા થયેલું કાર્ય \( W_{\text{કુલ બળો}} = \Delta K \).
આથી, \( W_{\text{grav}} + W_r = K_f - K_i \)
જ્યાં \( W_r \) એ અવરોધક બળ દ્વારા થયેલું કાર્ય છે.
\( W_{\text{grav}} + W_r = \frac{1}{2}mv^2 - 0 \)
\( W_r = \frac{1}{2}mv^2 - W_{\text{grav}} \)
\( = \frac{1}{2} \times (3.35 \times 10^{-5}) \times (10)^2 - 0.164 \)
\( = 0.001675 - 0.164 \)
\( = -0.1623 \text{ J} \)
અહીં, ઋણ નિશાની સૂચવે છે કે કાર્ય \( W_r \) એ અવરોધક બળ વડે થયેલું કાર્ય છે, જે ટીપાની સમગ્ર ગતિ દરમિયાન તેની ગતિનો વિરોધ કરે છે.
In simple words: વરસાદના ટીપા પર ગુરુત્વાકર્ષણ બળ દ્વારા થતું કાર્ય તેની ઊંચાઈ પર આધાર રાખે છે. ટીપાનું દળ ગણીને કાર્યની ગણતરી કરી શકાય છે. જો ટીપું વાતાવરણના અવરોધનો અનુભવ કરે અને અંતિમ વેગ પ્રાપ્ત કરે, તો કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને અવરોધક બળ દ્વારા થયેલું કાર્ય શોધી શકાય છે.

🎯 Exam Tip: પ્રવાહીના ટીપા પરના બળો (ગુરુત્વાકર્ષણ અને વાયુ અવરોધ) દ્વારા થતા કાર્યની ગણતરી કરવા માટે કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય ખૂબ ઉપયોગી છે. અંતિમ વેગ અને દળનો ઉપયોગ કરીને ગતિ-ઊર્જાનો ફેરફાર નક્કી કરવો એ કી પોઈન્ટ છે.

 

Question 11. એક પદાર્થની ગતિ યામપદ્ધતિની Z-અક્ષ પર સીમિત રાખવા માટે તેના પર \(\vec{F}\) જેટલું અચળ બળ લગાડવામાં આવે છે, જે \(\vec{F} = -\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}\) N છે. અહીં \(\hat{i}\), \(\hat{j}\), \(\hat{k}\) અનુક્રમે તંત્રના X, Y અને Z અક્ષ પરના એકમ સદિશો છે. આ પદાર્થને Z-અક્ષ પર 4m અંતર સુધી ગતિ કરાવવા માટે આ બળ વડે કેટલું કાર્ય થયું હશે?
Answer: એક પદાર્થ પર લાગુ પડતું બળ \(\vec{F} = -\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}\) N છે. પદાર્થ Z-અક્ષ પર 4m જેટલું અંતર કાપે છે, તેથી તેનું સ્થાનાંતર \(\vec{d} = 4\hat{k}\) m થાય. કાર્ય \(W\) એ બળ અને સ્થાનાંતરનો ડોટ ગુણાકાર છે. \[ W = \vec{F} \cdot \vec{d} \] \[ W = (-\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}) \cdot (4\hat{k}) \] \[ W = -4(\hat{i} \cdot \hat{k}) + 8(\hat{j} \cdot \hat{k}) + 12(\hat{k} \cdot \hat{k}) \] અહીં, \(\hat{i} \cdot \hat{k} = 0\), \(\hat{j} \cdot \hat{k} = 0\) અને \(\hat{k} \cdot \hat{k} = 1\) હોવાથી, \[ W = -4(0) + 8(0) + 12(1) \] \[ W = 12 \text{ J} \]In simple words: જ્યારે કોઈ બળ પદાર્થને બળની દિશામાં સ્થાનાંતરિત કરે છે, ત્યારે થતું કાર્ય બળ અને સ્થાનાંતરના ડોટ ગુણાકાર જેટલું હોય છે. Z-અક્ષ પરના સ્થાનાંતર માટે, માત્ર Z-ઘટક બળ જ કાર્યમાં ફાળો આપશે.
🎯 Exam Tip: સદિશ ડોટ ગુણાકારનો ઉપયોગ કરીને કાર્યની ગણતરી કરતી વખતે ઘટકોને કાળજીપૂર્વક વિભાજીત કરો, ખાસ કરીને જ્યારે બળ અને સ્થાનાંતર અલગ-અલગ અક્ષો પર હોય ત્યારે. સમાન એકમ સદિશોનો ડોટ ગુણાકાર 1 અને અલગ એકમ સદિશોનો ડોટ ગુણાકાર 0 થાય છે.

 

Question 12. કૉસ્મિક કિરણોના એક પ્રયોગમાં એક ઇલેક્ટ્રૉન અને એક પ્રોટોનની હાજરી જોવા મળે છે, જેમાં ઇલેક્ટ્રૉનની ગતિ-ઊર્જા 10 keV અને પ્રોટોનની 100 keV છે. કોણ ઝડપી હશે, ઇલેક્ટ્રૉન કે પ્રોટોન? બંનેની ઝડપનો ગુણોત્તર મેળવો. (ઇલેક્ટ્રૉનનું દળ \(m_{\mathrm{e}} = 9.11 \times 10^{-31}\) kg, પ્રોટોનનું દળ \(m_{\mathrm{p}} = 1.67 \times 10^{-27}\) kg, 1 eV \( = 1.60 \times 10^{-19}\) J)
Answer: આપેલ માહિતી નીચે મુજબ છે: ઇલેક્ટ્રૉનની ગતિ-ઊર્જા, \(K_{\mathrm{e}} = 10 \text{ keV} = 10 \times 1.6 \times 10^{-19} \text{ J}\). પ્રોટોનની ગતિ-ઊર્જા, \(K_{\mathrm{p}} = 100 \text{ keV} = 100 \times 1.6 \times 10^{-19} \text{ J}\). ગતિ-ઊર્જાનું સૂત્ર \(K = \frac{1}{2}mv^2\) છે. તેથી, ઇલેક્ટ્રૉન માટે: \(K_{\mathrm{e}} = \frac{1}{2} m_{\mathrm{e}} v_{\mathrm{e}}^2\) અને પ્રોટોન માટે: \(K_{\mathrm{p}} = \frac{1}{2} m_{\mathrm{p}} v_{\mathrm{p}}^2\) બંનેના ગતિ-ઊર્જાના ગુણોત્તર પરથી: \[ \frac{K_{\mathrm{e}}}{K_{\mathrm{p}}} = \frac{\frac{1}{2} m_{\mathrm{e}} v_{\mathrm{e}}^2}{\frac{1}{2} m_{\mathrm{p}} v_{\mathrm{p}}^2} = \frac{m_{\mathrm{e}} v_{\mathrm{e}}^2}{m_{\mathrm{p}} v_{\mathrm{p}}^2} \] આપેલ મૂલ્યો દાખલ કરતા: \[ \frac{10 \times 1.6 \times 10^{-19}}{100 \times 1.6 \times 10^{-19}} = \frac{m_{\mathrm{e}} v_{\mathrm{e}}^2}{m_{\mathrm{p}} v_{\mathrm{p}}^2} \] \[ \frac{1}{10} = \frac{m_{\mathrm{e}} v_{\mathrm{e}}^2}{m_{\mathrm{p}} v_{\mathrm{p}}^2} \] આથી, ઝડપનો ગુણોત્તર \(\frac{v_{\mathrm{e}}}{v_{\mathrm{p}}}\) શોધવા માટે, \[ \frac{v_{\mathrm{e}}^2}{v_{\mathrm{p}}^2} = \frac{1}{10} \times \frac{m_{\mathrm{p}}}{m_{\mathrm{e}}} \] \[ \frac{v_{\mathrm{e}}}{v_{\mathrm{p}}} = \sqrt{\frac{1}{10} \times \frac{m_{\mathrm{p}}}{m_{\mathrm{e}}}} \] હવે, \(\text{mass of proton } m_{\mathrm{p}} = 1.67 \times 10^{-27} \text{ kg}\) અને \(\text{mass of electron } m_{\mathrm{e}} = 9.11 \times 10^{-31} \text{ kg}\) મૂકીએ. \[ \frac{v_{\mathrm{e}}}{v_{\mathrm{p}}} = \sqrt{\frac{1}{10} \times \frac{1.67 \times 10^{-27}}{9.11 \times 10^{-31}}} \] \[ \frac{v_{\mathrm{e}}}{v_{\mathrm{p}}} = \sqrt{\frac{1.67 \times 10^3}{9.11}} \] \[ \frac{v_{\mathrm{e}}}{v_{\mathrm{p}}} = \sqrt{183.315} \] \[ \frac{v_{\mathrm{e}}}{v_{\mathrm{p}}} \approx 13.54 \] ચોક્કસ ગુણોત્તર 13.54 હોવાથી, \(v_{\mathrm{e}} \approx 13.54 \, v_{\mathrm{p}}\). આ દર્શાવે છે કે ઇલેક્ટ્રૉન પ્રોટોન કરતાં નોંધપાત્ર રીતે વધુ ઝડપી હશે.In simple words: ઇલેક્ટ્રોન અને પ્રોટોનની ગતિ-ઊર્જા અને દળના આધારે, ઇલેક્ટ્રોનનું દળ પ્રોટોન કરતા ઘણું ઓછું હોવાથી, સમાન ઉર્જા માટે ઇલેક્ટ્રોન વધુ ઝડપથી ગતિ કરશે. ગણતરી દર્શાવે છે કે ઇલેક્ટ્રોન પ્રોટોન કરતા 13.54 ગણો ઝડપી છે.
🎯 Exam Tip: કણ ભૌતિકશાસ્ત્રમાં ગતિ-ઊર્જા અને વેગ વચ્ચેના સંબંધને યાદ રાખો. દળ અને ગતિ-ઊર્જાના ગુણોત્તરનો ઉપયોગ કરીને ઝડપના ગુણોત્તરની ગણતરી કરવી એ એક સામાન્ય સમસ્યા છે.

 

Question 13. 2 mm ત્રિજ્યાનું વરસાદનું એક ટીપું 500 m ઊંચાઈએથી જમીન પર પડે છે. ઘટતા પ્રવેગથી (હવાના શ્યાનતા અવરોધને કારણે) તે મૂળ ઊંચાઈએથી અડધી ઊંચાઈ પ્રાપ્ત ના કરે ત્યાં સુધી પડે છે, જ્યાં તે અંતિમ (ટર્મિનલ) ઝડપ પ્રાપ્ત કરે છે અને ત્યારબાદ તે એકધારી (સમાન) ઝડપથી ગતિ કરે છે. તેની સફરના પ્રથમ અને બીજા અડધા ભાગ દરમિયાન ગુરુત્વાકર્ષણ બળ વડે ટીપા પર થયેલ કાર્ય કેટલું હશે? જો તે 10 m s^-1ની ઝડપથી તેની સફર પૂરી કરીને જમીન પર પડે, તો તેની આ સફર દરમિયાન અવરોધક બળ વડે ટીપા પર કેટલું કાર્ય થયું હશે?
Answer:આપેલ વિગતો: ટીપાની ત્રિજ્યા \(r = 2 \text{ mm} = 2 \times 10^{-3} \text{ m}\) કુલ ઊંચાઈ \(h = 500 \text{ m}\) પ્રારંભિક ઝડપ \(u = 0\) અંતિમ ઝડપ \(v = 10 \text{ m s}^{-1}\) (જમીન પર પહોંચતી વખતે) પાણીની ઘનતા \(\rho = 10^3 \text{ kg m}^{-3}\) પ્રથમ, ટીપાનું દળ \(m\) શોધીએ. \(m = \rho V\) જ્યાં \(V = \frac{4}{3}\pi r^3\) એ ટીપાનું કદ છે. \(m = 10^3 \times \frac{4}{3} \times 3.14 \times (2 \times 10^{-3})^3\) \(m = 3.35 \times 10^{-5} \text{ kg}\) હવે, ગુરુત્વાકર્ષણ બળ વડે થયેલ કાર્ય: પ્રથમ અડધા ભાગમાં થયેલ કાર્ય (જ્યાં સ્થાનાંતર \(\frac{h}{2} = 250 \text{ m}\) છે): \(W_1 = F d \cos \theta = (mg) (\frac{h}{2}) \cos 0^\circ\) ગુરુત્વાકર્ષણ બળ નીચે તરફ હોય છે અને સ્થાનાંતર પણ નીચે તરફ છે, તેથી \(\theta = 0^\circ\). \(W_1 = (3.35 \times 10^{-5} \times 9.8) \times 250 \times 1\) \(W_1 = 0.082 \text{ J}\) બીજા અડધા ભાગમાં થયેલ કાર્ય (સ્થાનાંતર ફરી \(\frac{h}{2} = 250 \text{ m}\) છે): \(W_2 = (mg) (\frac{h}{2}) \cos 0^\circ = 0.082 \text{ J}\) સમગ્ર સફર દરમિયાન ગુરુત્વાકર્ષણ બળ વડે થયેલ કુલ કાર્ય: \(W_{\text{grav}} = W_1 + W_2 = 0.082 + 0.082 = 0.164 \text{ J}\) અવરોધક બળ વડે થયેલ કાર્ય શોધવા માટે, કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીશું: કુલ થયેલું કાર્ય = ગતિ-ઊર્જામાં ફેરફાર \(W_{\text{કુલ}} = \Delta K = K_{\text{અંતિમ}} - K_{\text{પ્રારંભિક}}\) કુલ કાર્ય \(W_{\text{કુલ}}\) માં ગુરુત્વાકર્ષણ બળ અને અવરોધક બળ બંને દ્વારા થયેલ કાર્યનો સમાવેશ થાય છે: \(W_{\text{grav}} + W_{\text{r}} = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{1}{2}mu^2\) \[ W_{\text{grav}} + W_{\text{r}} = \frac{1}{2}m(v^2 - u^2) \] પ્રારંભિક ઝડપ \(u=0\) હોવાથી, \[ W_{\text{grav}} + W_{\text{r}} = \frac{1}{2}mv^2 \] \[ 0.164 + W_{\text{r}} = \frac{1}{2} \times (3.35 \times 10^{-5}) \times (10)^2 \] \[ 0.164 + W_{\text{r}} = 0.001675 \] \[ W_{\text{r}} = 0.001675 - 0.164 \] \[ W_{\text{r}} = -0.1623 \text{ J} \] ઋણ નિશાની દર્શાવે છે કે અવરોધક બળ દ્વારા થયેલ કાર્ય ટીપાની ગતિની વિરુદ્ધ દિશામાં છે.In simple words: વરસાદના ટીપા પર ગુરુત્વાકર્ષણ બળ દ્વારા થયેલું કાર્ય ધન હોય છે કારણ કે તે નીચેની તરફ ગતિ કરે છે. હવાના અવરોધક બળ દ્વારા થયેલું કાર્ય ઋણ હોય છે કારણ કે તે હંમેશા ગતિની વિરુદ્ધ દિશામાં હોય છે. કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને અવરોધક બળનું કાર્ય શોધી શકાય છે.
🎯 Exam Tip: કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય એ બિન-સંરક્ષી બળો (જેમ કે ઘર્ષણ અથવા હવા અવરોધ) દ્વારા થતા કાર્યની ગણતરી કરવા માટે એક શક્તિશાળી સાધન છે. હંમેશા પ્રારંભિક અને અંતિમ ગતિ-ઊર્જાને ધ્યાનમાં રાખો.

 

Question 14. વાયુપાત્રમાં એક અણુ સમક્ષિતિજ દીવાલને 200 m s^-1 ઝડપથી, લંબ સાથે 30° ખૂણે અથડાય છે અને તે જ ઝડપથી પાછો ફેંકાય છે. આ અથડામણમાં વેગમાનનું સંરક્ષણ થાય છે? અથડામણ સ્થિતિસ્થાપક છે કે અસ્થિતિસ્થાપક?
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): આકૃતિમાં એક વાયુ અણુને સમક્ષિતિજ દીવાલ સાથે અથડાતો દર્શાવવામાં આવ્યો છે. અણુ 200 m/s ની ઝડપથી, લંબ સાથે 30° ના ખૂણે અથડાય છે અને તે જ ઝડપથી અને તે જ ખૂણે પાછો ફેંકાય છે.
Answer:**વેગમાનનું સંરક્ષણ:** હા, આ અથડામણમાં વેગમાનનું સંરક્ષણ થાય છે. કારણ: વાયુના અણુ અને સ્થિર દીવાલ વચ્ચેની અથડામણ સ્થિતિસ્થાપક હોય કે અસ્થિતિસ્થાપક હોય, સિસ્ટમનું કુલ રેખીય વેગમાન હંમેશા અથડામણ દરમિયાન સંરક્ષિત રહે છે. આ રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ છે. અણુ અને દીવાલની સિસ્ટમ પર કોઈ બાહ્ય બળ કાર્ય કરતું નથી, તેથી કુલ વેગમાન અચળ રહે છે. **અથડામણનો પ્રકાર (સ્થિતિસ્થાપક કે અસ્થિતિસ્થાપક):** અથડામણ સ્થિતિસ્થાપક છે. કારણ: દીવાલનું દળ (M) અણુના દળ (m) કરતાં ઘણું વધારે હોય છે (\(M \gg m\)). અથડામણ પછી, અણુ તેની મૂળ ઝડપ (\(v_{\text{i}} = 200 \text{ m s}^{-1}\)) જેટલી ઝડપથી પાછો ફેંકાય છે. અથડામણ પહેલાં અણુ અને દીવાલની કુલ ગતિ-ઊર્જા: \[ K_{\text{i}} = \frac{1}{2} m v_{\text{i}}^2 + \frac{1}{2} M V_{\text{i}}^2 \] \[ K_{\text{i}} = \frac{1}{2} m (200)^2 + \frac{1}{2} M (0)^2 \] \[ K_{\text{i}} = (2 \times 10^4) m \quad \text{(કારણ કે દીવાલની પ્રારંભિક ઝડપ } V_{\text{i}} = 0 \text{ છે)} \] અથડામણ પછી અણુ અને દીવાલની કુલ ગતિ-ઊર્જા: \[ K_{\text{f}} = \frac{1}{2} m v_{\text{f}}^2 + \frac{1}{2} M V_{\text{f}}^2 \] \[ K_{\text{f}} = \frac{1}{2} m (200)^2 + \frac{1}{2} M (0)^2 \] \[ K_{\text{f}} = (2 \times 10^4) m \quad \text{(કારણ કે દીવાલની અંતિમ ઝડપ } V_{\text{f}} = 0 \text{ છે)} \] સમીકરણ (1) અને (2) પરથી, \(K_{\text{i}} = K_{\text{f}}\). આમ, ગતિ-ઊર્જાનું સંરક્ષણ થાય છે, તેથી અથડામણ સ્થિતિસ્થાપક છે.In simple words: હા, વેગમાન હંમેશા સંરક્ષિત રહે છે કારણ કે કોઈ બાહ્ય બળ નથી. અથડામણ સ્થિતિસ્થાપક છે કારણ કે અણુ તેની મૂળ ઝડપથી પાછો ફરે છે અને દીવાલનું દળ ખૂબ મોટું હોવાથી તેની ગતિ-ઊર્જા બદલાતી નથી, તેથી સિસ્ટમની કુલ ગતિ-ઊર્જા સંરક્ષિત રહે છે.
🎯 Exam Tip: અથડામણના પ્રકારોને ઓળખવા માટે વેગમાન અને ગતિ-ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમોનો યોગ્ય રીતે ઉપયોગ કરો. સ્થિતિસ્થાપક અથડામણમાં ગતિ-ઊર્જા સંરક્ષિત રહે છે, જ્યારે અસ્થિતિસ્થાપક અથડામણમાં તે સંરક્ષિત રહેતી નથી, જોકે વેગમાન હંમેશા સંરક્ષિત રહે છે.

 

Question 15. એક બિલ્ડિંગના ગ્રાઉન્ડ ફ્લોર પર રહેલ પંપ (મોટર) 30 m³ કદની ટાંકીને 15 minમાં ભરી શકે છે. જો ટાંકી ગ્રાઉન્ડથી 40 m ઊંચાઈએ હોય અને પંપની કાર્યક્ષમતા 30% હોય, તો પંપ દ્વારા કેટલા વિદ્યુતપાવરનો ઉપયોગ થયો હશે?
Answer:આપેલ વિગતો: પાણીનું કદ \(V = 30 \text{ m}^3\) ટાંકીની ઊંચાઈ \(h = 40 \text{ m}\) પંપની કાર્યક્ષમતા \(\eta = 30\%\) સમય \(t = 15 \text{ min} = 15 \times 60 = 900 \text{ s}\) પાણીની ઘનતા \(\rho = 10^3 \text{ kg m}^{-3}\) ગુરુત્વપ્રવેગ \(g = 9.8 \text{ m s}^{-2}\) સૌપ્રથમ, ટાંકીમાં ભરાયેલા પાણીનું દળ શોધીએ: \[ m = \rho V = 10^3 \text{ kg m}^{-3} \times 30 \text{ m}^3 = 3 \times 10^4 \text{ kg} \] પાણીને \(h\) ઊંચાઈ સુધી લઈ જવા માટે થયેલું કાર્ય એ પાણીની સ્થિતિ-ઊર્જામાં વધારો છે: \[ W = mgh \] \[ W = (3 \times 10^4 \text{ kg}) \times (9.8 \text{ m s}^{-2}) \times (40 \text{ m}) \] \[ W = 1.176 \times 10^7 \text{ J} \] આઉટપુટ પાવર (\(P_{\text{out}}\)) એ કાર્ય કરવાની ઝડપ છે: \[ P_{\text{out}} = \frac{W}{t} \] \[ P_{\text{out}} = \frac{1.176 \times 10^7 \text{ J}}{900 \text{ s}} \] \[ P_{\text{out}} = 13066.67 \text{ W} \approx 13.07 \times 10^3 \text{ W} \] પંપની કાર્યક્ષમતા 30% છે, જેનો અર્થ છે કે પંપ દ્વારા વપરાતો ઇનપુટ પાવર (\(P_{\text{in}}\)) આઉટપુટ પાવર કરતાં વધુ હશે: \[ \eta = \frac{P_{\text{out}}}{P_{\text{in}}} \times 100\% \] \[ 30\% = \frac{13.07 \times 10^3 \text{ W}}{P_{\text{in}}} \times 100\% \] \[ P_{\text{in}} = \frac{13.07 \times 10^3 \text{ W}}{30} \times 100 \] \[ P_{\text{in}} = 43566.67 \text{ W} \approx 43.6 \times 10^3 \text{ W} = 43.6 \text{ kW} \] આથી, પંપ દ્વારા 43.6 kW જેટલા વિદ્યુતપાવરનો ઉપયોગ થયો હશે.In simple words: પાણીને ઊંચાઈ પર ચઢાવવા માટે પંપ જેટલું કાર્ય કરે છે, તેટલું જ પાણીની સ્થિતિ-ઊર્જામાં વધારો થાય છે. આ કાર્યને સમય વડે ભાગવાથી પંપનો આઉટપુટ પાવર મળે છે. કાર્યક્ષમતાનો ઉપયોગ કરીને, આપણે જરૂરી ઇનપુટ વિદ્યુતપાવર શોધી શકીએ છીએ.
🎯 Exam Tip: પંપ અથવા મોટર સંબંધિત સમસ્યાઓમાં, કાર્યક્ષમતાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ઇનપુટ અને આઉટપુટ પાવરને કાળજીપૂર્વક અલગ પાડો. સ્થિતિ-ઊર્જાની ગણતરી કરતી વખતે યોગ્ય દળ અને ઊંચાઈનો ઉપયોગ કરો.

 

Question 16. બે એક જ સરખા બૉલબેરિંગ (છરા) એકબીજાના સંપર્કમાં રહે તે રીતે ઘર્ષણ રહિત ટેબલ પર સ્થિર રહેલા છે, જેમને તેટલા જ દળનું \(v\) જેટલી ઝડપથી ગતિ કરતું એક બૉલબેરિંગ (છરો) સન્મુખ (Head-On) અથડાય છે. જો અથડામણ સ્થિતિસ્થાપક હોય, તો અથડામણ બાદ આકૃતિ 6.32માં કર્યું પરિણામ શક્ય છે?
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): આકૃતિ 6.32 ત્રણ જુદા-જુદા સંભવિત પરિણામો દર્શાવે છે જ્યારે સમાન દળના ત્રણ બોલ બે સ્થિર બોલને અથડાય છે. પ્રથમ બોલ \(v\) ઝડપથી ગતિ કરે છે, જ્યારે અન્ય બે સ્થિર છે. અથડામણ પછી, (i) એક બોલ સ્થિર રહે અને બે બોલ \(\frac{v}{2}\) ઝડપથી ગતિ કરે. (ii) બે બોલ સ્થિર રહે અને એક બોલ \(v\) ઝડપથી ગતિ કરે. (iii) ત્રણેય બોલ \(\frac{v}{3}\) ઝડપથી ગતિ કરે.
Answer:અહીં, સિસ્ટમ સમાન દળ \(m\) ના ત્રણ બોલ-બેરિંગ્સથી બનેલી છે, જેમને 1, 2 અને 3 દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે. આથડામણ પહેલાં કુલ ગતિ-ઊર્જા: પ્રારંભિક સ્થિતિમાં, બોલ 1 \(v\) ઝડપથી ગતિ કરે છે અને બોલ 2 અને 3 સ્થિર છે. \[ K_{\text{initial}} = \frac{1}{2} m v^2 + 0 + 0 = \frac{1}{2} m v^2 \quad \dots(1) \] હવે, અથડામણ પછીના દરેક પરિણામ માટે કુલ ગતિ-ઊર્જાની ગણતરી કરીએ: **પરિણામ (i):** બોલ 1 સ્થિર રહે છે, અને બોલ 2 અને 3 દરેક \(\frac{v}{2}\) ઝડપથી ગતિ કરે છે. \[ K_{\text{f1}} = 0 + \frac{1}{2} m (\frac{v}{2})^2 + \frac{1}{2} m (\frac{v}{2})^2 \] \[ K_{\text{f1}} = \frac{1}{2} m \frac{v^2}{4} + \frac{1}{2} m \frac{v^2}{4} = \frac{1}{4} m v^2 \quad \dots(2) \] **પરિણામ (ii):** બોલ 1 સ્થિર રહે છે, બોલ 2 સ્થિર રહે છે, અને બોલ 3 \(v\) ઝડપથી ગતિ કરે છે. (આ હેડ-ઓન સ્થિતિસ્થાપક અથડામણનો લાક્ષણિક કિસ્સો છે જ્યાં દળ સમાન હોય છે, અને વેગનું વિનિમય થાય છે). \[ K_{\text{f2}} = 0 + 0 + \frac{1}{2} m v^2 \] \[ K_{\text{f2}} = \frac{1}{2} m v^2 \quad \dots(3) \] **પરિણામ (iii):** ત્રણેય બોલ દરેક \(\frac{v}{3}\) ઝડપથી ગતિ કરે છે. \[ K_{\text{f3}} = \frac{1}{2} m (\frac{v}{3})^2 + \frac{1}{2} m (\frac{v}{3})^2 + \frac{1}{2} m (\frac{v}{3})^2 \] \[ K_{\text{f3}} = 3 \times \frac{1}{2} m \frac{v^2}{9} = \frac{1}{6} m v^2 \quad \dots(4) \] સ્થિતિસ્થાપક અથડામણમાં, સિસ્ટમની કુલ ગતિ-ઊર્જા સંરક્ષિત રહેવી જોઈએ, એટલે કે \(K_{\text{initial}} = K_{\text{final}}\). સમીકરણ (1), (2), (3) અને (4) ની સરખામણી કરતાં, આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે: \[ K_{\text{initial}} = K_{\text{f2}} \] \[ \frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{2} m v^2 \] માત્ર પરિણામ (ii) જ કુલ ગતિ-ઊર્જાના સંરક્ષણના સિદ્ધાંતનું પાલન કરે છે. તેથી, પરિણામ (ii) શક્ય પરિસ્થિતિ રજૂ કરે છે.In simple words: સ્થિતિસ્થાપક અથડામણમાં, કુલ ગતિ-ઊર્જા અથડામણ પહેલાં અને પછી સમાન રહેવી જોઈએ. આપેલા ત્રણ દૃશ્યોમાંથી, માત્ર દૃશ્ય (ii)માં જ ગતિ-ઊર્જા સંરક્ષિત રહે છે.
🎯 Exam Tip: સમાન દળના પદાર્થો વચ્ચેની હેડ-ઓન સ્થિતિસ્થાપક અથડામણમાં વેગનું સંપૂર્ણ વિનિમય થાય છે. આ એક મહત્વપૂર્ણ ખ્યાલ છે જે અથડામણ સંબંધિત સમસ્યાઓમાં મદદરૂપ થાય છે.

 

Question 17. એક લોલકના ગોળા Aને લંબ સાથે 30° ખૂણેથી છોડતાં, આકૃતિ 6.33માં દર્શાવ્યા મુજબ, તે એટલા જ દળના ટેબલ પર સ્થિર રહેલા ગોળા B સાથે અથડાય છે. અથડામણ બાદ ગોળો A કેટલે ઊંચે સુધી જશે? ગોળાઓના કદને અવગણો અને અથડામણ સ્થિતિસ્થાપક છે તેમ માનો.
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): આકૃતિ 6.33 એક લોલક ગોળા A ને ઊભી રેખાથી 30° ના ખૂણેથી છોડવામાં આવે છે તે દર્શાવે છે. તે સમાન દળના સ્થિર ગોળા B સાથે અથડાય છે. અથડામણ પછી ગોળા A ની ગતિ સમજાવવાની છે.
Answer:અહીં, લોલકના ગોળા A અને ગોળા B બંનેના દળ સમાન છે (\(m_{\text{A}} = m_{\text{B}} = m\)). ગોળો B શરૂઆતમાં સ્થિર છે. અથડામણ સ્થિતિસ્થાપક છે. સમાન દળના બે પદાર્થો વચ્ચે જ્યારે હેડ-ઓન (સન્મુખ) સ્થિતિસ્થાપક અથડામણ થાય છે, ત્યારે તેમના વેગનું સંપૂર્ણ વિનિમય થાય છે. આનો અર્થ એ થાય કે: 1. અથડામણ પહેલાં ગોળો A અમુક વેગથી ગતિ કરતો હતો અને ગોળો B સ્થિર હતો. 2. અથડામણ પછી, ગોળો A સ્થિર થઈ જશે અને ગોળો B ગોળા A ના પ્રારંભિક વેગ જેટલા વેગથી ગતિ કરવાનું શરૂ કરશે. તેથી, અથડામણ બાદ ગોળો A બિલકુલ ઊંચે જશે નહીં. તે ગોળા B ના સ્થાને સ્થિર થઈ જશે. ગોળો B, ગોળા A દ્વારા પ્રાપ્ત કરેલી ગતિ-ઊર્જા સાથે આગળ વધશે.In simple words: જ્યારે સમાન દળની બે વસ્તુઓ સ્થિતિસ્થાપક રીતે અથડાય છે, ત્યારે તેમની ઝડપ (અથવા વેગ) ની આપ-લે થાય છે. તેથી, ગોળો A સ્થિર ગોળા B ને અથડાતા, ગોળો A તેની બધી ઉર્જા ગોળા B ને આપી દેશે અને પોતે સ્થિર થઈ જશે, જેથી તે ઊંચે જશે નહીં.
🎯 Exam Tip: સ્થિતિસ્થાપક અથડામણના સિદ્ધાંતો, ખાસ કરીને સમાન દળના પદાર્થો માટે, યાદ રાખો. વેગનું વિનિમય થાય છે તે સમજવું આવા પ્રશ્નો ઉકેલવા માટે નિર્ણાયક છે.

 

Question 18. એક લોલકના ગોળાને સમક્ષિતિજ સ્થિતિ (સ્થાન) પરથી છોડવામાં આવે છે. જો લોલકની લંબાઈ 1.5m હોય, તો ગોળો જ્યારે ન્યૂનતમ બિંદુએ આવે ત્યારે તેની ઝડપ કેટલી હશે? અહીં આપેલ છે કે ગોળો તેની પ્રારંભિક ઊર્જાની 5% ઊર્જા હવાના અવરોધક બળ સામે ગુમાવે છે.
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): આકૃતિ 6.34માં એક લોલક ગોળાને તેની સમક્ષિતિજ સ્થિતિ A થી છોડવામાં આવતો દર્શાવવામાં આવ્યો છે. લોલકની લંબાઈ 1.5m છે. ગોળો તેના સૌથી નીચલા બિંદુ B પર પહોંચે છે જ્યાં તેની મહત્તમ ઝડપ હોય છે.
Answer:આપેલ વિગતો: લોલકની લંબાઈ \(L = 1.5 \text{ m}\). જ્યારે લોલક સમક્ષિતિજ સ્થિતિમાંથી છોડવામાં આવે છે, ત્યારે તેની ઊંચાઈ \(h\) લોલકની લંબાઈ જેટલી જ હોય છે. તેથી, \(h = L = 1.5 \text{ m}\). ગુરુત્વપ્રવેગ \(g = 9.8 \text{ m s}^{-2}\). ગોળા દ્વારા ગુમાવવામાં આવેલી ઊર્જા = પ્રારંભિક ઊર્જાના 5%. પ્રારંભિક સ્થિતિ A પર, ગોળાની કુલ ઊર્જા એ તેની ગુરુત્વીય સ્થિતિ-ઊર્જા છે, કારણ કે પ્રારંભિક ઝડપ શૂન્ય છે: \[ E_{\text{initial}} = mgh \] ન્યૂનતમ બિંદુ B પર, ગોળાની કુલ ઊર્જા તેની ગતિ-ઊર્જા હશે, કારણ કે સ્થિતિ-ઊર્જા શૂન્ય ગણવામાં આવે છે (સંદર્ભ સ્તર તરીકે B બિંદુ લઈ શકાય). \[ E_{\text{final}} = \frac{1}{2}mv^2 \] ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમ અનુસાર, ગુમાવેલી ઊર્જાને ધ્યાનમાં લેતા: \[ E_{\text{final}} = E_{\text{initial}} - (5\% \text{ of } E_{\text{initial}}) \] \[ \frac{1}{2}mv^2 = mgh - (0.05)mgh \] \[ \frac{1}{2}mv^2 = (1 - 0.05)mgh \] \[ \frac{1}{2}mv^2 = 0.95 \, mgh \] દળ \(m\) બંને બાજુથી કેન્સલ થશે: \[ \frac{1}{2}v^2 = 0.95 \, gh \] \[ v^2 = 2 \times 0.95 \, gh \] \[ v = \sqrt{2 \times 0.95 \, gh} \] હવે, \(g = 9.8 \text{ m s}^{-2}\) અને \(h = 1.5 \text{ m}\) મૂકીએ: \[ v = \sqrt{2 \times 0.95 \times 9.8 \times 1.5} \] \[ v = \sqrt{27.93} \] \[ v \approx 5.285 \text{ m s}^{-1} \] આમ, ગોળો જ્યારે ન્યૂનતમ બિંદુએ આવશે ત્યારે તેની ઝડપ આશરે 5.29 m/s હશે.In simple words: જ્યારે લોલક છોડવામાં આવે છે, ત્યારે તેની સ્થિતિ-ઊર્જા ગતિ-ઊર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે. હવાના અવરોધને કારણે થોડી ઊર્જા ગુમાવાય છે, તેથી ગતિ-ઊર્જા પ્રારંભિક સ્થિતિ-ઊર્જા કરતાં 5% ઓછી હોય છે.
🎯 Exam Tip: ઊર્જા સંરક્ષણના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરતી વખતે, ગુમાવેલી ઊર્જા (જેમ કે ઘર્ષણ અથવા હવાના અવરોધને કારણે) ને યોગ્ય રીતે સમીકરણમાં સમાવિષ્ટ કરવી મહત્વપૂર્ણ છે.

 

Question 19. 300 kg દળની એક લારી, 25 kg રેતીનો કોથળો લઈને ઘર્ષણ રહિત રસ્તા પર 27 km/hની એકધારી ઝડપથી ગતિ કરે છે. થોડા સમય પછી રેતી કોથળાના એક કાણામાંથી 0.05 kg s^-1ના દરે નીકળીને લારીના તળિયા પર ઢોળાવા લાગે છે. રેતીનો સંપૂર્ણ કોથળો ખાલી થઈ જાય ત્યારે લારીની ઝડપ કેટલી હશે?
Answer:આપેલ વિગતો: લારીનું દળ \(m_1 = 300 \text{ kg}\) રેતીના કોથળાનું પ્રારંભિક દળ \(m_2 = 25 \text{ kg}\) પ્રારંભિક ઝડપ \(v = 27 \text{ km/h}\). આને \(\text{m/s}\) માં રૂપાંતરિત કરીએ: \[ v = 27 \times \frac{1000 \text{ m}}{3600 \text{ s}} = 7.5 \text{ m/s} \] રેતી નીકળવાનો દર \( \frac{dm}{dt} = 0.05 \text{ kg s}^{-1}\). આ સિસ્ટમ (લારી + રેતીનો કોથળો) ઘર્ષણ રહિત રસ્તા પર ગતિ કરે છે. તેથી, સિસ્ટમ પર કોઈ બાહ્ય બળ (\(\vec{F}_{\text{ext}} = 0\)) કાર્ય કરતું નથી. રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ અનુસાર, જો કોઈ સિસ્ટમ પર બાહ્ય બળ કાર્ય ન કરતું હોય, તો સિસ્ટમનું કુલ રેખીય વેગમાન સંરક્ષિત રહે છે. અહીં, રેતી કોથળામાંથી નીકળીને લારીના તળિયે જ ઢોળાય છે. આનો અર્થ એ થાય કે રેતી સિસ્ટમમાંથી બહાર નીકળીને વાતાવરણમાં જતી નથી, પરંતુ સિસ્ટમનો જ એક ભાગ રહે છે. તેથી, સિસ્ટમનું કુલ દળ પણ અચળ રહે છે. કારણ કે: 1. સિસ્ટમ પર કોઈ બાહ્ય બળ લાગતું નથી. 2. સિસ્ટમનું કુલ દળ બદલાતું નથી. આ બંને પરિસ્થિતિઓમાં, રેખીય વેગમાન સંરક્ષિત રહે છે. જો પ્રારંભિક વેગમાન \(P_{\text{initial}}\) અને અંતિમ વેગમાન \(P_{\text{final}}\) હોય, તો \(P_{\text{initial}} = P_{\text{final}}\). જેમ કે સિસ્ટમની પ્રારંભિક ઝડપ \(v = 7.5 \text{ m/s}\) છે અને વેગમાન સંરક્ષિત રહે છે, તેથી રેતીનો કોથળો સંપૂર્ણપણે ખાલી થઈ જાય પછી પણ લારીની ઝડપ \(7.5 \text{ m/s}\) જેટલી જ રહેશે. (જે 27 km/h ને સમકક્ષ છે).In simple words: કારણ કે લારી અને રેતીની સિસ્ટમ પર કોઈ બાહ્ય બળ લાગતું નથી અને રેતી લારીમાં જ રહે છે, સિસ્ટમનું કુલ દળ અને વેગમાન અચળ રહે છે. તેથી, રેતી ખાલી થયા પછી પણ લારીની ઝડપ બદલાશે નહીં.
🎯 Exam Tip: વેગમાન સંરક્ષણના નિયમનો ઉપયોગ કરતી વખતે, બાહ્ય બળોની ગેરહાજરી અને સિસ્ટમના દળમાં કોઈ ફેરફાર નથી તેની ખાતરી કરો. આવા કિસ્સાઓમાં, વેગમાન અને ઝડપ અચળ રહે છે.

 

Question 20. 0.5 kgનો એક પદાર્થ સીધી રેખા પર, વેગ \(v = a x^{\frac{3}{2}}\) થી ગતિ કરે (મુસાફરી કરે) છે, જ્યાં \(a = 5 \text{ m}^{-\frac{1}{2}} \text{ s}^{-1}\). તેના \(x = 0\) થી \(x = 2\text{ m}\) સ્થાનાંતર દરમિયાન પરિણામી બળ વડે કેટલું કાર્ય થયું હશે?
Answer:આપેલ વિગતો: પદાર્થનું દળ \(m = 0.5 \text{ kg}\) વેગ \(v = a x^{\frac{3}{2}}\) અચળાંક \(a = 5 \text{ m}^{-\frac{1}{2}} \text{ s}^{-1}\) સ્થાનાંતર \(x = 0\) થી \(x = 2 \text{ m}\) **કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને:** કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ, પરિણામી બળ દ્વારા થયેલ કાર્ય પદાર્થની ગતિ-ઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે. \(W = \Delta K = K_{\text{અંતિમ}} - K_{\text{પ્રારંભિક}}\) \[ K = \frac{1}{2} m v^2 \] પ્રારંભિક સ્થાન \(x_i = 0\): \[ v_i = a (0)^{\frac{3}{2}} = 0 \] \[ K_{\text{પ્રારંભિક}} = \frac{1}{2} m (0)^2 = 0 \] અંતિમ સ્થાન \(x_f = 2 \text{ m}\): \[ v_f = a (2)^{\frac{3}{2}} = 5 \times (2)^{\frac{3}{2}} \] \[ K_{\text{અંતિમ}} = \frac{1}{2} m v_f^2 = \frac{1}{2} (0.5) (5 \times 2^{\frac{3}{2}})^2 \] \[ K_{\text{અંતિમ}} = \frac{1}{2} (0.5) (25 \times (2^{\frac{3}{2}})^2) \] \[ K_{\text{અંતિમ}} = \frac{1}{2} (0.5) (25 \times 2^3) \] \[ K_{\text{અંતિમ}} = \frac{1}{2} (0.5) (25 \times 8) = \frac{1}{2} \times 0.5 \times 200 = 50 \text{ J} \] આથી, થયેલું કાર્ય: \[ W = K_{\text{અંતિમ}} - K_{\text{પ્રારંભિક}} = 50 \text{ J} - 0 \text{ J} = 50 \text{ J} \] **વૈકલ્પિક રીત: બળ અને સ્થાનાંતરના સંકલનનો ઉપયોગ કરીને** પ્રથમ, પ્રવેગ \(a_p\) શોધીએ: \[ v = a x^{\frac{3}{2}} \] \[ a_p = \frac{dv}{dt} = \frac{dv}{dx} \frac{dx}{dt} = \frac{dv}{dx} v \] \[ \frac{dv}{dx} = \frac{d}{dx} (a x^{\frac{3}{2}}) = a \frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} \] \[ a_p = (a \frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}) (a x^{\frac{3}{2}}) = \frac{3}{2} a^2 x^{\frac{1}{2} + \frac{3}{2}} = \frac{3}{2} a^2 x^2 \] હવે, બળ \(F\) શોધીએ: \[ F = m a_p = m \frac{3}{2} a^2 x^2 \] \[ F = (0.5) \frac{3}{2} (5)^2 x^2 = 0.5 \times 1.5 \times 25 x^2 = 18.75 x^2 \] કાર્ય \(W\) બળના સ્થાનાંતર પર સંકલન દ્વારા મળે છે: \[ W = \int_{x_i}^{x_f} F dx \] \[ W = \int_{0}^{2} (18.75 x^2) dx \] \[ W = 18.75 \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{2} \] \[ W = 18.75 \left( \frac{2^3}{3} - \frac{0^3}{3} \right) \] \[ W = 18.75 \left( \frac{8}{3} \right) \] \[ W = 6.25 \times 8 = 50 \text{ J} \] બંને રીતો દ્વારા કાર્ય 50 J મળે છે.In simple words: પદાર્થનો વેગ સ્થાન પર આધાર રાખે છે. કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને, આપણે પ્રારંભિક અને અંતિમ ગતિ-ઊર્જા શોધીને તેમની બાદબાકી કરીને કાર્ય શોધી શકીએ છીએ.
🎯 Exam Tip: જ્યારે વેગ સ્થાનના વિધેય તરીકે આપવામાં આવે ત્યારે કાર્યની ગણતરી કરવા માટે કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય એ સામાન્ય રીતે સંકલન દ્વારા બળ શોધવા કરતાં વધુ સીધો અભિગમ છે.

 

Question 21. એક પવનચક્કીનાં પાંખિયાં ફરે ત્યારે A જેટલા ક્ષેત્રફળનું વર્તુળ આવરી લે છે. (a) જો પવન \(v\) વેગથી આ વર્તુળને લંબરૂપે વહેતો હોય, તો \(t\) સમયમાં કેટલા દળની હવા તેમાંથી પસાર થશે? (b) હવાની ગતિ-ઊર્જા કેટલી હશે? (c) ધારો કે પવનચક્કી પવન-ઊર્જાની 25 % ઊર્જાનું વિદ્યુત-ઊર્જામાં રૂપાંતર કરે છે અને \(A = 30 \text{ m}^2\), \(v = 36 \text{ km/h}\) તથા હવાની ઘનતા \(1.2 \text{ kg m}^{-3}\) છે, તો કેટલો વિદ્યુતપાવર ઉત્પન્ન થશે?
Answer:આપેલ વિગતો: આવરી લેવાયેલ ક્ષેત્રફળ \(A = 30 \text{ m}^2\) પવનનો વેગ \(v = 36 \text{ km/h}\). આને \(\text{m/s}\) માં રૂપાંતરિત કરીએ: \[ v = 36 \times \frac{1000 \text{ m}}{3600 \text{ s}} = 10 \text{ m/s} \] હવાની ઘનતા \(\rho = 1.2 \text{ kg m}^{-3}\). **(a) \(t\) સમયમાં પસાર થતી હવાનું દળ:** એકમ સમયમાં પવનચક્કીમાંથી પસાર થતી હવાનું કદ (વોલ્યુમ ફ્લક્સ) = \(A v\). તેથી, \(t\) સમયમાં પસાર થતી હવાનું કદ \(V_{\text{air}} = A v t\). \(t\) સમયમાં પસાર થતી હવાનું દળ \(m_{\text{air}}\) એ કદ ગુણ્યા ઘનતા જેટલું હોય છે: \[ m_{\text{air}} = \rho V_{\text{air}} = \rho (A v t) = A v t \rho \] આથી, \(t\) સમયમાં પસાર થતી હવાનું દળ \(m_{\text{air}} = A v t \rho\). **(b) હવાની ગતિ-ઊર્જા:** \(t\) સમયમાં પસાર થતી હવાની ગતિ-ઊર્જા \(K\) શોધીએ: \[ K = \frac{1}{2} m_{\text{air}} v^2 \] \[ K = \frac{1}{2} (A v t \rho) v^2 \] \[ K = \frac{1}{2} A \rho v^3 t \] આથી, હવાની ગતિ-ઊર્જા \(K = \frac{1}{2} A \rho v^3 t\). **(c) ઉત્પન્ન થતો વિદ્યુતપાવર:** પવનચક્કી પવન-ઊર્જાની 25% ઊર્જાને વિદ્યુત-ઊર્જામાં રૂપાંતરિત કરે છે. ઉત્પન્ન થયેલી વિદ્યુત-ઊર્જા \(E_{\text{electric}}\) એ હવાની ગતિ-ઊર્જાના 25% જેટલી છે: \[ E_{\text{electric}} = 0.25 \times K = 0.25 \times (\frac{1}{2} A \rho v^3 t) = \frac{1}{8} A \rho v^3 t \] વિદ્યુતપાવર \(P_{\text{electric}}\) એ એકમ સમયમાં ઉત્પન્ન થયેલી વિદ્યુત-ઊર્જા છે: \[ P_{\text{electric}} = \frac{E_{\text{electric}}}{t} \] \[ P_{\text{electric}} = \frac{\frac{1}{8} A \rho v^3 t}{t} \] \[ P_{\text{electric}} = \frac{1}{8} A \rho v^3 \] આપેલ મૂલ્યો દાખલ કરીએ: \(A = 30 \text{ m}^2\), \(\rho = 1.2 \text{ kg m}^{-3}\), \(v = 10 \text{ m/s}\). \[ P_{\text{electric}} = \frac{1}{8} \times 30 \times 1.2 \times (10)^3 \] \[ P_{\text{electric}} = \frac{1}{8} \times 30 \times 1.2 \times 1000 \] \[ P_{\text{electric}} = \frac{36000}{8} \] \[ P_{\text{electric}} = 4500 \text{ W} = 4.5 \text{ kW} \] આથી, ઉત્પન્ન થતો વિદ્યુતપાવર 4.5 kW હશે.In simple words: પવનચક્કીમાંથી પસાર થતી હવાનું દળ અને તેની ગતિ-ઊર્જા પવનના વેગ અને પવનચક્કીના ક્ષેત્રફળ પર આધાર રાખે છે. પવનચક્કી આ ઊર્જાનો અમુક ભાગ વિદ્યુત ઊર્જામાં રૂપાંતરિત કરે છે, જે વિદ્યુતપાવર તરીકે ગણાય છે.
🎯 Exam Tip: પવનચક્કી સંબંધિત સમસ્યાઓમાં, દળ, ગતિ-ઊર્જા અને પાવરની ગણતરી કરવા માટે હવાના પ્રવાહના કદના ખ્યાલનો ઉપયોગ કરો. કાર્યક્ષમતાને અંતિમ પાવર ગણતરીમાં યોગ્ય રીતે શામેલ કરો.

 

Question 22. વજન ઓછું કરવા માગતી (ડાયેટિંગ કરતી) એક વ્યક્તિ, 10 kg દળને એક હજાર વાર દરેક વખતે 0.5 m જેટલું ઊંચકે છે. ધારો કે તેણી જેટલી વખત દળને નીચે લાવે તેટલી વખત સ્થિતિ-ઊર્જાનો વ્યય થાય છે. (a) તેણીએ ગુરુત્વાકર્ષણ બળ વિરુદ્ધ કેટલું કાર્ય કર્યું હશે? (b) ખોરાક(ફૅટ)માંથી 1 કિલોગ્રામ દીઠ \(3.8 \times 10^7 \text{ J}\) ઊર્જા મળે છે. જેનું યાંત્રિક ઊર્જામાં રૂપાંતરણ 20% કાર્યક્ષમતાના દરે થાય છે. ડાયેટિંગ કરનારે કેટલું ફૅટ વાપર્યું હશે?
Answer:આપેલ વિગતો: દળ \(m = 10 \text{ kg}\) ઊંચાઈ \(h = 0.5 \text{ m}\) ઉંચકવાની સંખ્યા \(n = 1000\) ગુરુત્વપ્રવેગ \(g = 9.8 \text{ m s}^{-2}\) ચરબીમાંથી મળતી કુલ ઊર્જા પ્રતિ કિલોગ્રામ = \(3.8 \times 10^7 \text{ J kg}^{-1}\) યાંત્રિક ઊર્જા રૂપાંતરણ કાર્યક્ષમતા = 20% **(a) ગુરુત્વાકર્ષણ બળ વિરુદ્ધ થયેલું કાર્ય:** દરેક વખતે દળને ઊંચકવામાં આવતા કાર્ય: \(W_1 = mgh\) \[ W_1 = 10 \text{ kg} \times 9.8 \text{ m s}^{-2} \times 0.5 \text{ m} = 49 \text{ J} \] કુલ કાર્ય \(W_{\text{total}}\) એ \(n\) વખત ઊંચકવાથી થયેલા કાર્યનો સરવાળો છે: \[ W_{\text{total}} = n \times W_1 = 1000 \times 49 \text{ J} = 49000 \text{ J} \] આથી, વ્યક્તિ દ્વારા ગુરુત્વાકર્ષણ બળ વિરુદ્ધ થયેલું કુલ કાર્ય 49000 J છે. **(b) વપરાયેલ ચરબીનું પ્રમાણ:** 1 kg ચરબીમાંથી મળતી કુલ ઊર્જા = \(3.8 \times 10^7 \text{ J}\). આ ઊર્જાનું 20% યાંત્રિક ઊર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે. 1 kg ચરબીમાંથી મળતી યાંત્રિક ઊર્જા \(E_{\text{mechanical}}\): \[ E_{\text{mechanical}} = 0.20 \times (3.8 \times 10^7 \text{ J}) = 7.6 \times 10^6 \text{ J} \] વ્યક્તિ દ્વારા કુલ ખર્ચવામાં આવેલી યાંત્રિક ઊર્જા (જે ગુરુત્વાકર્ષણ બળ વિરુદ્ધ થયેલા કાર્ય જેટલી છે) 49000 J છે. આ 49000 J યાંત્રિક ઊર્જા મેળવવા માટે કેટલા કિલોગ્રામ ચરબીની જરૂર પડશે તે ગણીએ: \[ \text{વપરાયેલ ચરબી} = \frac{\text{કુલ યાંત્રિક ઊર્જા ખર્ચાઈ}}{\text{1 kg ચરબીમાંથી મળતી યાંત્રિક ઊર્જા}} \] \[ \text{વપરાયેલ ચરબી} = \frac{49000 \text{ J}}{7.6 \times 10^6 \text{ J kg}^{-1}} \] \[ \text{વપરાયેલ ચરબી} \approx 0.006447 \text{ kg} \] \[ \text{વપરાયેલ ચરબી} \approx 6.45 \times 10^{-3} \text{ kg} \] આથી, વ્યક્તિએ આશરે \(6.45 \times 10^{-3} \text{ kg}\) ચરબીનો ઉપયોગ કર્યો હશે.In simple words: વ્યક્તિ દ્વારા ઉંચકવામાં આવેલ વજન સામે ગુરુત્વાકર્ષણ બળ વિરુદ્ધ કુલ કાર્ય ગણવામાં આવે છે. આ કાર્ય શરીર દ્વારા ચરબીના બળવાથી મળેલી યાંત્રિક ઊર્જાનો ભાગ છે, જેની કાર્યક્ષમતા 20% છે. કુલ જરૂરી યાંત્રિક ઉર્જામાંથી વપરાયેલી ચરબીની માત્રા શોધી શકાય છે.
🎯 Exam Tip: કુલ કાર્યની ગણતરી કરતી વખતે પુનરાવર્તનોની સંખ્યાને ધ્યાનમાં લો. ઊર્જા રૂપાંતરણની કાર્યક્ષમતાનો ઉપયોગ કરતી વખતે, ટકાવારીને દશાંશ સ્વરૂપમાં રૂપાંતરિત કરવાનું યાદ રાખો.

 

Question 23. એક કુટુંબ 8 kW પાવરનો ઉપયોગ કરે છે. (a) સમક્ષિતિજ સપાટી પર સૂર્ય-ઊર્જા સીધી જ, એક ચોરસ મીટરદીઠ 200 જેટલા સરેરાશ દરથી આપાત થાય છે. જો આની 20 % ઊર્જાનું ઉપયોગી વિદ્યુત-ઊર્જામાં રૂપાંતરણ થઈ શકતું હોય, તો 8 kW મેળવવા માટે કેટલું મોટું ક્ષેત્રફળ જોઈએ? (b) આ ક્ષેત્રફળને સામાન્ય રીતે જોવા મળતા ઘરના છાપરાના ક્ષેત્રફળ સાથે સરખાવો.
Answer:આપેલ વિગતો: કુટુંબ દ્વારા વપરાતો કુલ વિદ્યુતપાવર \(P_{\text{total}} = 8 \text{ kW} = 8000 \text{ W}\). પ્રતિ ચોરસ મીટર સૂર્ય-ઊર્જાનો સરેરાશ દર (સૌર પાવર ઘનતા) \(P_{\text{solar, unit}} = 200 \text{ W m}^{-2}\). સૂર્ય-ઊર્જાનું વિદ્યુત-ઊર્જામાં રૂપાંતરણ કાર્યક્ષમતા \(\eta = 20\%\). **(a) 8 kW વિદ્યુતપાવર મેળવવા માટે જરૂરી ક્ષેત્રફળ:** પ્રથમ, 1 m² ક્ષેત્રફળમાંથી કેટલો ઉપયોગી વિદ્યુતપાવર ઉત્પન્ન થાય છે તે શોધીએ. 1 m² પર આપાત થતો સૌર પાવર \(P_{\text{solar, unit}} = 200 \text{ W}\). આ 1 m² માંથી મળતો વિદ્યુતપાવર \(P_{\text{electric, unit}}\): \[ P_{\text{electric, unit}} = \eta \times P_{\text{solar, unit}} \] \[ P_{\text{electric, unit}} = 0.20 \times 200 \text{ W} = 40 \text{ W} \] હવે, 8000 W (8 kW) વિદ્યુતપાવર મેળવવા માટે જરૂરી કુલ ક્ષેત્રફળ \(A_{\text{total}}\) શોધીએ: \[ A_{\text{total}} = \frac{P_{\text{total}}}{P_{\text{electric, unit}}} \] \[ A_{\text{total}} = \frac{8000 \text{ W}}{40 \text{ W m}^{-2}} \] \[ A_{\text{total}} = 200 \text{ m}^2 \] આથી, 8 kW વિદ્યુતપાવર મેળવવા માટે 200 m² જેટલા ક્ષેત્રફળની જરૂર પડશે. **(b) આ ક્ષેત્રફળને ઘરના છાપરાના ક્ષેત્રફળ સાથે સરખામણી:** સામાન્ય રીતે, ઘરનું છાપરું ચોરસ આકારનું હોય છે. જો છાપરાની દરેક બાજુની લંબાઈ ‘\(a\)’ હોય, તો ક્ષેત્રફળ \(A = a^2\) થાય. અહીં \(A_{\text{total}} = 200 \text{ m}^2\) મળ્યું છે. તેથી, \[ a^2 = 200 \text{ m}^2 \] \[ a = \sqrt{200} \text{ m} \] \[ a \approx 14.14 \text{ m} \] આનો અર્થ એ થાય કે 14.14 m x 14.14 m માપનું ચોરસ છાપરું જરૂરી છે. એક સામાન્ય મોટા ઘરના છાપરાનું ક્ષેત્રફળ આશરે 14m x 14m હોઈ શકે છે. તેથી, 8 kW વિદ્યુતપાવર મેળવવા માટે જરૂરી સૌર પેનલનું ક્ષેત્રફળ એક મોટા ઘરના છાપરા પર સહેલાઈથી સમાવી શકાય છે.In simple words: સૌર પેનલની કાર્યક્ષમતા અને સૂર્યપ્રકાશની તીવ્રતાનો ઉપયોગ કરીને, આપણે પ્રતિ ચોરસ મીટર ઉત્પન્ન થતા વિદ્યુતપાવરની ગણતરી કરીએ છીએ. પછી કુલ જરૂરી પાવર માટે કેટલું ક્ષેત્રફળ જોઈએ તે શોધીએ છીએ. આ ક્ષેત્રફળ સામાન્ય રીતે એક મોટા ઘરના છાપરા પર સમાવી શકાય તેટલું હોય છે.
🎯 Exam Tip: સૌર ઊર્જા સંબંધિત ગણતરીઓમાં પાવર ઘનતા, કાર્યક્ષમતા અને કુલ પાવર વચ્ચેના સંબંધોને સ્પષ્ટ રીતે સમજો. એકમોનું રૂપાંતરણ કરતી વખતે કાળજી રાખો (દા.ત. kW ને W માં).

 

Question 24. 0.012 kg દળની એક બુલેટ (ગોળી) 70 m s^-1ની સમક્ષિતિજ ઝડપથી 0.4 kg દળના લાકડાના બ્લૉકને અથડાય છે અને તરત જ બ્લૉકની સાપેક્ષે સ્થિર થઈ જાય છે. આ બ્લૉકને ઉપરની છત સાથે પાતળા તાર વડે લટકાવ્યો છે. બ્લૉક કેટલી ઊંચાઈ સુધી જશે તે ગણો. આ ઉપરાંત, બ્લૉકમાં કેટલી ઉષ્મા ઉત્પન્ન થઈ હશે?
Answer:આપેલ વિગતો: ગોળીનું દળ \(m_1 = 0.012 \text{ kg}\) ગોળીની પ્રારંભિક ઝડપ \(u_1 = 70 \text{ m s}^{-1}\) લાકડાના બ્લૉકનું દળ \(m_2 = 0.4 \text{ kg}\) બ્લૉકની પ્રારંભિક ઝડપ \(u_2 = 0\) (સ્થિર) **અથડામણ પછી સંયુક્ત બ્લૉકની ઝડપ:** અથડામણ અસ્થિતિસ્થાપક છે કારણ કે ગોળી બ્લૉકમાં ફસાઈ જાય છે અને બંને એક સંયુક્ત પદાર્થ તરીકે ગતિ કરે છે. રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ અનુસાર: \[ m_1 u_1 + m_2 u_2 = (m_1 + m_2) v \] જ્યાં \(v\) એ અથડામણ પછીના સંયુક્ત બ્લૉકની ઝડપ છે. \[ (0.012 \times 70) + (0.4 \times 0) = (0.012 + 0.4) v \] \[ 0.84 + 0 = (0.412) v \] \[ v = \frac{0.84}{0.412} \] \[ v \approx 2.0388 \text{ m s}^{-1} \] **બ્લૉક કેટલી ઊંચાઈ સુધી જશે:** સંયુક્ત બ્લૉક (ગોળી + લાકડાનો બ્લૉક) આ ઝડપ \(v\) સાથે ગતિ કરવાનું શરૂ કરે છે અને ગુરુત્વાકર્ષણ બળ વિરુદ્ધ ઉપર ચઢે છે. ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમ અનુસાર, બ્લૉકની ગતિ-ઊર્જા તેની સ્થિતિ-ઊર્જામાં રૂપાંતરિત થશે. મહત્તમ ઊંચાઈ \(h\) પર પહોંચતા, ગતિ-ઊર્જા શૂન્ય થઈ જશે અને બધી ઊર્જા સ્થિતિ-ઊર્જામાં રૂપાંતરિત થઈ જશે. \[ \frac{1}{2} (m_1 + m_2) v^2 = (m_1 + m_2) gh \] \[ h = \frac{v^2}{2g} \] \[ h = \frac{(2.0388)^2}{2 \times 9.8} \] \[ h = \frac{4.1566}{19.6} \] \[ h \approx 0.2121 \text{ m} \] આથી, બ્લૉક આશરે 0.2121 m ઊંચાઈ સુધી જશે. **બ્લૉકમાં ઉત્પન્ન થયેલી ઉષ્મા:** અસ્થિતિસ્થાપક અથડામણમાં ગતિ-ઊર્જાનું સંરક્ષણ થતું નથી; ગુમાવેલી ગતિ-ઊર્જા ઉષ્મા, ધ્વનિ વગેરેમાં રૂપાંતરિત થાય છે. ઉત્પન્ન થયેલી ઉષ્મા \(Q\) એ પ્રારંભિક ગતિ-ઊર્જા અને અંતિમ ગતિ-ઊર્જા વચ્ચેનો તફાવત છે: \[ Q = K_{\text{initial, total}} - K_{\text{final, total}} \] પ્રારંભિક ગતિ-ઊર્જા: \[ K_{\text{initial, total}} = \frac{1}{2} m_1 u_1^2 + \frac{1}{2} m_2 u_2^2 \] \[ K_{\text{initial, total}} = \frac{1}{2} (0.012) (70)^2 + \frac{1}{2} (0.4) (0)^2 \] \[ K_{\text{initial, total}} = \frac{1}{2} (0.012) (4900) = 0.006 \times 4900 = 29.4 \text{ J} \] અંતિમ ગતિ-ઊર્જા: \[ K_{\text{final, total}} = \frac{1}{2} (m_1 + m_2) v^2 \] \[ K_{\text{final, total}} = \frac{1}{2} (0.012 + 0.4) (2.0388)^2 \] \[ K_{\text{final, total}} = \frac{1}{2} (0.412) (4.1566) \] \[ K_{\text{final, total}} = 0.206 \times 4.1566 \approx 0.8562 \text{ J} \] ઉત્પન્ન થયેલી ઉષ્મા: \[ Q = 29.4 \text{ J} - 0.8562 \text{ J} = 28.5438 \text{ J} \] ઉષ્માને કેલરીમાં રૂપાંતરિત કરવા માટે (જ્યાં 1 cal \(\approx\) 4.184 J): \[ Q_{\text{cal}} = \frac{28.5438 \text{ J}}{4.184 \text{ J/cal}} \approx 6.822 \text{ cal} \] આથી, બ્લૉકમાં આશરે 28.54 J (અથવા 6.82 cal) ઉષ્મા ઉત્પન્ન થઈ હશે.In simple words: પહેલાં, વેગમાન સંરક્ષણનો ઉપયોગ કરીને અથડામણ પછી સંયુક્ત દળની ઝડપ શોધો. પછી, ઊર્જા સંરક્ષણનો ઉપયોગ કરીને આ ગતિ-ઊર્જામાંથી કેટલી સ્થિતિ-ઊર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે તે ગણીને બ્લૉક કેટલી ઊંચાઈ સુધી જાય છે તે શોધો. અંતે, ગતિ-ઊર્જામાં થયેલો ઘટાડો ઉષ્મા તરીકે રૂપાંતરિત થાય છે.
🎯 Exam Tip: અસ્થિતિસ્થાપક અથડામણમાં હંમેશા વેગમાન સંરક્ષણ લાગુ પડે છે, પરંતુ ગતિ-ઊર્જા સંરક્ષિત રહેતી નથી. ઊર્જામાં થતો ઘટાડો ઉષ્મામાં રૂપાંતરિત થાય છે. આ ગણતરીઓમાં દળના એકમો અને g ના મૂલ્યમાં સાવચેતી રાખવી.

 

Question 25. બે ઘર્ષણ રહિત રસ્તાઓ એક ધીમો અને બીજો ઝડપી ઢાળવાળો એકબીજાને બિંદુ A પાસે મળે છે, જ્યાંથી બે પથ્થરોને સ્થિર સ્થિતિમાંથી દરેક રસ્તા પર સરકાવવામાં આવે છે (આકૃતિ 6.35). શું બંને પથ્થરો તળિયે એક જ સમયે પહોંચશે? શું બંને ત્યાં એકસરખી ઝડપથી પહોંચશે? સમજાવો. અહીં \(\theta_1 = 30^\circ\), \(\theta_2 = 60^\circ\) અને \(h = 10 \text{ m}\) આપેલ હોય, તો બંને પથ્થરોની ઝડપ અને તેમણે લીધેલ સમય કેટલો હશે? \(g = 10 \text{ m s}^{-2}\) લો.
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): આકૃતિ 6.35માં બે ઘર્ષણ રહિત ઢાળ દર્શાવવામાં આવ્યા છે જે એક ઉંચાઈ \(h\) પર બિંદુ A પર મળે છે. એક ઢાળનો ખૂણો \(\theta_1 = 30^\circ\) છે અને બીજા ઢાળનો ખૂણો \(\theta_2 = 60^\circ\) છે. બે પથ્થરો A થી નીચે સરકવાનું શરૂ કરે છે. આકૃતિ 6.36 માં દરેક પથ્થર પર લાગતા બળો (ગુરુત્વાકર્ષણ અને લંબ પ્રતિક્રિયા) અને તેમના ઘટકો દર્શાવવામાં આવ્યા છે.
Answer:આપેલ વિગતો: ઊંચાઈ \(h = 10 \text{ m}\) ગુરુત્વપ્રવેગ \(g = 10 \text{ m s}^{-2}\) ઢાળ 1 નો ખૂણો \(\theta_1 = 30^\circ\) ઢાળ 2 નો ખૂણો \(\theta_2 = 60^\circ\) બંને ઢાળ ઘર્ષણ રહિત છે અને પથ્થરો સ્થિર સ્થિતિમાંથી ગતિ શરૂ કરે છે. **ઢાળના તળિયે ઝડપની ગણતરી:** ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમ અનુસાર, ઘર્ષણ રહિત ઢાળ પરથી સરકતા પથ્થરની પ્રારંભિક સ્થિતિ-ઊર્જા તેની અંતિમ ગતિ-ઊર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે. \[ mgh = \frac{1}{2}mv^2 \] \[ v^2 = 2gh \] \[ v = \sqrt{2gh} \] \[ v = \sqrt{2 \times 10 \times 10} = \sqrt{200} \] \[ v = 10\sqrt{2} \text{ m s}^{-1} \approx 14.14 \text{ m s}^{-1} \] જેમ કે બંને પથ્થરો સમાન ઊંચાઈ \(h\) પરથી શરૂ થાય છે અને ઘર્ષણ રહિત ઢાળ પર ગતિ કરે છે, તેમની અંતિમ ઝડપ માત્ર \(h\) અને \(g\) પર આધાર રાખે છે, ઢાળના ખૂણા પર નહીં. **નિષ્કર્ષ 1: હા, બંને પથ્થરો ઢાળના તળિયે એકસરખી ઝડપથી પહોંચશે.** **ઢાળના તળિયે પહોંચવા માટેના સમયની ગણતરી:** પથ્થર 1 માટે (ઢાળનો ખૂણો \(\theta_1 = 30^\circ\)): ઢાળ પર પ્રવેગ \(a_1 = g \sin \theta_1\). \[ a_1 = 10 \sin 30^\circ = 10 \times \frac{1}{2} = 5 \text{ m s}^{-2} \] ઢાળની લંબાઈ \(d_1\) શોધીએ: \[ \sin \theta_1 = \frac{h}{d_1} \implies d_1 = \frac{h}{\sin \theta_1} \] \[ d_1 = \frac{10}{\sin 30^\circ} = \frac{10}{0.5} = 20 \text{ m} \] ગતિના સમીકરણ \(d_1 = u_1 t_1 + \frac{1}{2} a_1 t_1^2\) નો ઉપયોગ કરીને, જ્યાં \(u_1 = 0\): \[ 20 = 0 + \frac{1}{2} (5) t_1^2 \] \[ 20 = 2.5 t_1^2 \] \[ t_1^2 = \frac{20}{2.5} = 8 \] \[ t_1 = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \text{ s} \approx 2.828 \text{ s} \] પથ્થર 2 માટે (ઢાળનો ખૂણો \(\theta_2 = 60^\circ\)): ઢાળ પર પ્રવેગ \(a_2 = g \sin \theta_2\). \[ a_2 = 10 \sin 60^\circ = 10 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3} \text{ m s}^{-2} \approx 8.66 \text{ m s}^{-2} \] ઢાળની લંબાઈ \(d_2\) શોધીએ: \[ \sin \theta_2 = \frac{h}{d_2} \implies d_2 = \frac{h}{\sin \theta_2} \] \[ d_2 = \frac{10}{\sin 60^\circ} = \frac{10}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{20}{\sqrt{3}} \text{ m} \approx 11.547 \text{ m} \] ગતિના સમીકરણ \(d_2 = u_2 t_2 + \frac{1}{2} a_2 t_2^2\) નો ઉપયોગ કરીને, જ્યાં \(u_2 = 0\): \[ \frac{20}{\sqrt{3}} = 0 + \frac{1}{2} (5\sqrt{3}) t_2^2 \] \[ \frac{20}{\sqrt{3}} = \frac{5\sqrt{3}}{2} t_2^2 \] \[ t_2^2 = \frac{20}{\sqrt{3}} \times \frac{2}{5\sqrt{3}} = \frac{40}{15} = \frac{8}{3} \] \[ t_2 = \sqrt{\frac{8}{3}} = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \text{ s} \approx 1.633 \text{ s} \] **નિષ્કર્ષ 2: ના, બંને પથ્થરો ઢાળના તળિયે એક જ સમયે પહોંચશે નહીં. \(t_1 \approx 2.828 \text{ s}\) અને \(t_2 \approx 1.633 \text{ s}\) હોવાથી, પથ્થર 2 (ઝડપી ઢાળવાળો) પથ્થર 1 કરતાં વહેલો પહોંચશે.** અંતિમ ઝડપ માટે: પથ્થર 1 માટે \(v_1 = u_1 + a_1 t_1 = 0 + 5 \times 2\sqrt{2} = 10\sqrt{2} \text{ m s}^{-1} \approx 14.14 \text{ m s}^{-1}\). પથ્થર 2 માટે \(v_2 = u_2 + a_2 t_2 = 0 + 5\sqrt{3} \times \sqrt{\frac{8}{3}} = 5\sqrt{3} \times \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = 10\sqrt{2} \text{ m s}^{-1} \approx 14.14 \text{ m s}^{-1}\). આમ, ગણતરી દ્વારા પણ બંને પથ્થરો સમાન અંતિમ ઝડપ સાથે પહોંચે છે, પરંતુ અલગ-અલગ સમયે.In simple words: બંને પથ્થરો સમાન ઊંચાઈ પરથી ઘર્ષણ રહિત ઢાળ પર ગતિ કરતા હોવાથી, તેમની અંતિમ ઝડપ સમાન હશે. જોકે, ઢાળનો ખૂણો અલગ હોવાથી, વધુ ઢાળવાળો પથ્થર (જેનો પ્રવેગ વધારે છે) ઓછો સમય લેશે અને વહેલો પહોંચશે.
🎯 Exam Tip: ઊર્જા સંરક્ષણનો ઉપયોગ કરીને ઘર્ષણ રહિત ઢાળ પર અંતિમ ઝડપ શોધવા માટે, ઢાળના ખૂણાને ધ્યાનમાં લેવાની જરૂર નથી. પરંતુ, સમયની ગણતરી માટે, ઢાળના ખૂણામાંથી મળતા પ્રવેગ અને ઢાળની લંબાઈ બંનેને ધ્યાનમાં લેવા જરૂરી છે.

 

Question 25. બે ઘર્ષણ રહિત રસ્તાઓ એક ધીમો અને બીજો ઝડપી ઢાળવાળો એકબીજાને બિંદુ A પાસે મળે છે, જ્યાંથી બે પથ્થરોને સ્થિર સ્થિતિમાંથી દરેક રસ્તા પર સરકાવવામાં આવે છે (આકૃતિ 6.35). શું બંને પથ્થરો તળિયે એક જ સમયે પહોંચશે? શું બંને ત્યાં એકસરખી ઝડપથી પહોંચશે? સમજાવો. અહીં θ1 = 30°, θ2 = 60° અને h = 10 m આપેલ હોય, તો બંને પથ્થરોની ઝડપ અને તેમણે લીધેલ સમય કેટલો હશે? g = 10 m s-2 લો.
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): આકૃતિ 6.35 બે ઘર્ષણ રહિત ઢાળ દર્શાવે છે જે એક બિંદુ A પર મળે છે. ઢાળ AB નો કોણ \( \theta_1 \) છે અને ઢાળ AC નો કોણ \( \theta_2 \) છે. બંને ઢાળની ઊંચાઈ 'h' છે, અને બે પથ્થરો આ બિંદુ A થી મુક્ત કરવામાં આવે છે.
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): આકૃતિ 6.36માં બે ઘર્ષણ રહિત ઢાળ (રેમ્પ) દર્શાવવામાં આવ્યા છે જે બિંદુ A પર મળે છે. ઢાળ AB એ \( \theta_1 \) ખૂણો ધરાવે છે અને ઢાળ AC એ \( \theta_2 \) ખૂણો ધરાવે છે. બંને ઢાળની ઊંચાઈ 'h' છે. પથ્થરો પર લાગતા બળો જેવા કે ગુરુત્વાકર્ષણ બળ (\( m_1 g \), \( m_2 g \)) અને તેના ઘટકો (\( m_1 g \sin \theta_1 \), \( m_1 g \cos \theta_1 \), વગેરે) તેમજ લંબ પ્રતિક્રિયા બળો (\( R_1, R_2 \)) સ્પષ્ટ રીતે દર્શાવવામાં આવ્યા છે.
Answer: અહીં, બે પથ્થરોને બે ઘર્ષણ રહિત ઢાળ પરથી સ્થિર સ્થિતિમાંથી મુક્ત કરવામાં આવે છે. આપણને તે બંનેના તળિયે પહોંચવાનો સમય અને ઝડપ શોધવા અને સરખાવવાનું કહેવામાં આવ્યું છે. **આપેલ ડેટા:** * ઢાળના કોણ: \( \theta_1 = 30^\circ \), \( \theta_2 = 60^\circ \) * ઊંચાઈ: \( h = 10 \) m * ગુરુત્વપ્રવેગ: \( g = 10 \) m s\(^{-2} \) **ઢાળના તળિયે પહોંચવાનો સમય:** પથ્થર જ્યારે ઢાળ પર સરકે છે, ત્યારે તેના પર લાગતું પરિણામી બળ ગુરુત્વાકર્ષણ બળનો ઢાળ સમાંતર ઘટક હોય છે. ઘર્ષણ રહિત ઢાળ હોવાથી, પ્રવેગ \( a = g \sin \theta \) થશે. **પથ્થર 1 માટે (\( \theta_1 = 30^\circ \)):** * ઢાળની લંબાઈ \( s_1 = \frac{h}{\sin \theta_1} \) * ગતિના સમીકરણ \( s = ut + \frac{1}{2}at^2 \) નો ઉપયોગ કરતાં (\( u=0 \)): \( \frac{h}{\sin \theta_1} = 0 + \frac{1}{2} (g \sin \theta_1) t_1^2 \)
\( t_1^2 = \frac{2h}{g \sin^2 \theta_1} \)
\( t_1 = \frac{1}{\sin \theta_1} \sqrt{\frac{2h}{g}} \) * મૂલ્યો મુકતા: \( t_1 = \frac{1}{\sin 30^\circ} \sqrt{\frac{2 \times 10}{10}} \)
\( t_1 = \frac{1}{0.5} \sqrt{2} = 2 \times 1.414 = 2.828 \) s **પથ્થર 2 માટે (\( \theta_2 = 60^\circ \)):** * એ જ રીતે, ઢાળની લંબાઈ \( s_2 = \frac{h}{\sin \theta_2} \) * ગતિના સમીકરણ \( s = ut + \frac{1}{2}at^2 \) નો ઉપયોગ કરતાં: \( \frac{h}{\sin \theta_2} = 0 + \frac{1}{2} (g \sin \theta_2) t_2^2 \)
\( t_2^2 = \frac{2h}{g \sin^2 \theta_2} \)
\( t_2 = \frac{1}{\sin \theta_2} \sqrt{\frac{2h}{g}} \) * મૂલ્યો મુકતા: \( t_2 = \frac{1}{\sin 60^\circ} \sqrt{\frac{2 \times 10}{10}} \)
\( t_2 = \frac{1}{0.866} \sqrt{2} = 1.1547 \times 1.414 = 1.632 \) s **નિષ્કર્ષ (સમય):** \( t_1 = 2.828 \) s અને \( t_2 = 1.632 \) s. આ દર્શાવે છે કે \( t_1 \neq t_2 \). તેથી, બંને પથ્થરો ઢાળના તળિયે એક જ સમયે પહોંચશે નહીં. પથ્થર 2 (ઝડપી ઢાળવાળો રસ્તો) પથ્થર 1 કરતાં વહેલો પહોંચશે કારણ કે \( t_2 < t_1 \). **ઢાળના તળિયે પહોંચતી ઝડપ:** અહીં, ઘર્ષણ રહિત ઢાળ હોવાથી, ગુરુત્વાકર્ષણ બળ એ સંરક્ષી બળ છે. તેથી, યાંત્રિક ઊર્જા સંરક્ષણનો નિયમ લાગુ પડે છે. શરૂઆતમાં (બિંદુ A પર), પથ્થરો સ્થિર હોય છે, તેથી તેમની ગતિ-ઊર્જા શૂન્ય હોય છે અને સ્થિતિ-ઊર્જા \( mgh \) હોય છે. તળિયે (બિંદુ B અથવા C પર), સ્થિતિ-ઊર્જા શૂન્ય હોય છે અને બધી ઊર્જા ગતિ-ઊર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે \( \frac{1}{2}mv^2 \). યાંત્રિક ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ: * પ્રારંભિક કુલ ઊર્જા = અંતિમ કુલ ઊર્જા * \( mgh + 0 = 0 + \frac{1}{2}mv^2 \) * \( mgh = \frac{1}{2}mv^2 \) * \( v^2 = 2gh \) * \( v = \sqrt{2gh} \) બંને પથ્થરો માટે ઊંચાઈ 'h' અને ગુરુત્વપ્રવેગ 'g' સમાન છે. તેથી, બંને પથ્થરો તળિયે સમાન ઝડપથી પહોંચશે. * મૂલ્યો મુકતા: \( v = \sqrt{2 \times 10 \times 10} \)
\( v = \sqrt{200} \)
\( v = 14.14 \) m s\(^{-1} \) **નિષ્કર્ષ (ઝડપ):** બંને પથ્થરો ઢાળના તળિયે 14.14 m s\(^{-1} \) ની સમાન ઝડપથી પહોંચશે.
In simple words: બંને પથ્થરો અલગ-અલગ સમયે તળિયે પહોંચશે કારણ કે ઢાળના ખૂણા અલગ હોવાથી પ્રવેગ અલગ-અલગ હોય છે, પરંતુ તેમની અંતિમ ઝડપ સમાન હશે કારણ કે યાંત્રિક ઊર્જાનું સંરક્ષણ થાય છે અને પ્રારંભિક ઊંચાઈ બંને માટે સમાન છે.

🎯 Exam Tip: આવા પ્રશ્નોમાં, સમય અને ઝડપની ગણતરી માટે ગતિશાસ્ત્રના સમીકરણો અને ઊર્જા સંરક્ષણના સિદ્ધાંતનો યોગ્ય રીતે ઉપયોગ કરવો મહત્વપૂર્ણ છે. ખાસ કરીને, ઘર્ષણ રહિત સપાટી પર ઝડપ ફક્ત ઊંચાઈ પર આધાર રાખે છે.

 

Question 26. આકૃતિ 6.37માં દર્શાવ્યા મુજબ ખરબચડા ઢાળ પર રાખેલ 1 kg નો એક બ્લૉક, 100 N m-1 જેટલા સ્પ્રિંગ-અચળાંકવાળી સ્પ્રિંગ સાથે જોડેલ છે. સ્પ્રિંગની ખેંચાયા પહેલાંની સામાન્ય પરિસ્થિતિમાં બ્લૉકને સ્થિર સ્થિતિમાંથી મુક્ત કરવામાં આવે છે. બ્લૉક સ્થિર સ્થિતિમાં આવતા પહેલાં ઢાળ પર 10 cm જેટલું અંતર નીચેની તરફ ખસે છે. બ્લૉક અને ઢાળ વચ્ચેનો ઘર્ષણઆંક શોધો. ધારો કે સ્પ્રિંગનું દળ અવગણ્ય છે. g = 10 m s-2 લો.
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): આકૃતિ 6.37 એક સ્પ્રિંગ સાથે જોડાયેલા 1 kg દળના બ્લૉકને ખરબચડા ઢાળ પર દર્શાવે છે. ઢાળનો ખૂણો 37° છે અને સ્પ્રિંગ તેની સામાન્ય સ્થિતિમાં છે. આકૃતિ 6.38 બ્લૉક પર લાગતા તમામ બળોના ઘટકોને સ્પષ્ટ રીતે દર્શાવે છે, જેમાં ગુરુત્વાકર્ષણ, લંબ પ્રતિક્રિયા અને ઘર્ષણ બળનો સમાવેશ થાય છે.
Answer: બ્લૉકને ખરબચડા ઢાળ પર સ્પ્રિંગ સાથે જોડવામાં આવે છે. જ્યારે તેને સ્થિર સ્થિતિમાંથી મુક્ત કરવામાં આવે છે, ત્યારે તે સ્થિર થાય તે પહેલાં ઢાળ પર 10 cm નીચે ખસે છે. આપણે બ્લૉક અને ઢાળ વચ્ચેનો ઘર્ષણ ગુણાંક શોધવાનો છે. **આપેલ ડેટા:** * બ્લૉકનું દળ, \( m = 1 \) kg * સ્પ્રિંગ-અચળાંક, \( k = 100 \) N m\(^{-1} \) * બ્લૉકનું સ્થાનાંતર, \( x = 10 \) cm \( = 0.1 \) m * ઢાળનો કોણ, \( \theta = 37^\circ \) * ગુરુત્વપ્રવેગ, \( g = 10 \) m s\(^{-2} \) **ગણતરી:** બ્લૉક પર લાગતા બળોને ધ્યાનમાં લઈએ: 1. **લંબ પ્રતિક્રિયા બળ (\( R \)):** ઢાળને લંબ ઘટક ગુરુત્વાકર્ષણ બળના ઢાળ લંબ ઘટકને સંતુલિત કરે છે. \( R = mg \cos \theta \) 2. **ઘર્ષણ બળ (\( f \)):** ગતિની વિરુદ્ધ દિશામાં લાગે છે. \( f = \mu R = \mu (mg \cos \theta) \) 3. **ગુરુત્વાકર્ષણ બળનો ઢાળ સમાંતર ઘટક:** \( mg \sin \theta \) 4. **સ્પ્રિંગ બળ:** જ્યારે સ્પ્રિંગ \( x \) જેટલી ખેંચાય છે, ત્યારે બળ \( F_s = kx \) લાગે છે. બ્લૉક સ્થિર સ્થિતિમાંથી મુક્ત થાય છે અને અંતિમ સ્થિર સ્થિતિમાં આવે છે. આ પ્રક્રિયામાં, ગુરુત્વાકર્ષણ બળ દ્વારા થતું કાર્ય અને સ્પ્રિંગ બળ દ્વારા થતું કાર્ય ઘર્ષણ બળ દ્વારા થતા કાર્યને સંતુલિત કરે છે. જો કે, અહીં કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને, આપણે સમીકરણો સેટ કરી શકીએ છીએ. જ્યારે બ્લૉક નીચે ખસે છે, ત્યારે તેની સ્થિતિ-ઊર્જામાં ઘટાડો થાય છે, અને સ્પ્રિંગમાં સ્થિતિસ્થાપક સ્થિતિ-ઊર્જા સંગ્રહાય છે. ઘર્ષણ બળ ગતિનો પ્રતિકાર કરે છે અને ઊર્જાનો વ્યય કરે છે. પરિણામી બળને કારણે થતું કાર્ય, બ્લૉકની ગતિ-ઊર્જામાં થતા ફેરફાર બરાબર હોય છે. અહીં, બ્લૉક પ્રારંભમાં અને અંતે સ્થિર છે, તેથી ગતિ-ઊર્જામાં કુલ ફેરફાર શૂન્ય છે. આનો અર્થ એ થાય કે ગુરુત્વાકર્ષણ બળ દ્વારા થતું કાર્ય \( W_g \), સ્પ્રિંગ બળ દ્વારા થતું કાર્ય \( W_s \) અને ઘર્ષણ બળ દ્વારા થતું કાર્ય \( W_f \) નો સરવાળો શૂન્ય છે. \( W_g + W_s + W_f = 0 \) * **ગુરુત્વાકર્ષણ બળ દ્વારા થતું કાર્ય:** \( W_g = (mg \sin \theta) x \) (ઢાળની નીચેની તરફ) * **સ્પ્રિંગ બળ દ્વારા થતું કાર્ય:** \( W_s = -\frac{1}{2}kx^2 \) (સ્પ્રિંગ બળ વિરુદ્ધ દિશામાં લાગે છે) * **ઘર્ષણ બળ દ્વારા થતું કાર્ય:** \( W_f = -fx = -\mu (mg \cos \theta) x \) (ગતિની વિરુદ્ધ દિશામાં) બળોનું સંતુલન (જ્યારે બ્લૉક અંતિમ સ્થિર સ્થિતિમાં આવે છે): જ્યારે બ્લૉક સ્થિર થાય છે, ત્યારે સ્પ્રિંગનું બળ, ગુરુત્વાકર્ષણનો ઢાળ સમાંતર ઘટક અને ઘર્ષણ બળ સંતુલિત થાય છે. બ્લૉકની સંતુલિત સ્થિતિમાં, તેના પર લાગતું પરિણામી બળ શૂન્ય હોય છે. આ કિસ્સામાં, સ્પ્રિંગને ખેંચીને છોડવામાં આવે છે અને તે અમુક અંતર ખસીને ફરીથી સ્થિર થાય છે, આથી આપણે કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીએ છીએ, જ્યાં કુલ ગતિ-ઊર્જાનો ફેરફાર શૂન્ય છે.
\( \text{કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ, કુલ કાર્ય} = \Delta K = 0 \)
\( W_g + W_s + W_f = 0 \)
\( (mg \sin \theta) x - \frac{1}{2}kx^2 - (\mu mg \cos \theta) x = 0 \) બંને બાજુ \( x \) વડે ભાગતા (કારણ કે \( x \neq 0 \)):
\( mg \sin \theta - \frac{1}{2}kx - \mu mg \cos \theta = 0 \) હવે, ઘર્ષણ ગુણાંક \( \mu \) ને અલગ પાડીએ:
\( \mu mg \cos \theta = mg \sin \theta - \frac{1}{2}kx \)
\( \mu = \frac{mg \sin \theta - \frac{1}{2}kx}{mg \cos \theta} \)
\( \mu = \frac{(1 \times 10 \times \sin 37^\circ) - (\frac{1}{2} \times 100 \times 0.1)}{(1 \times 10 \times \cos 37^\circ)} \)
\( \mu = \frac{(10 \times 0.601) - (50 \times 0.1)}{(10 \times 0.798)} \)
\( \mu = \frac{6.01 - 5}{7.98} \)
\( \mu = \frac{1.01}{7.98} \)
\( \mu \approx 0.126 \)
In simple words: બ્લૉક પર લાગતા ગુરુત્વાકર્ષણ, સ્પ્રિંગ અને ઘર્ષણ બળો વચ્ચે ઊર્જાનું સંતુલન જળવાય છે. બ્લૉક જ્યારે સ્થિર સ્થિતિમાં આવે છે ત્યારે તેની ગતિ-ઊર્જામાં કોઈ ફેરફાર થતો નથી, તેથી ત્રણેય બળો દ્વારા થતું કુલ કાર્ય શૂન્ય હોય છે. આ સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરીને ઘર્ષણ ગુણાંક શોધી શકાય છે.

🎯 Exam Tip: આવા પ્રશ્નોમાં, કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેયનો ઉપયોગ કરવો વધુ સરળ બને છે, ખાસ કરીને જ્યારે પ્રારંભિક અને અંતિમ ગતિ-ઊર્જા શૂન્ય હોય. બધા લાગુ પડતા બળો દ્વારા થતા કાર્યને યોગ્ય ચિહ્ન સાથે ગણતરીમાં લેવાનું ભૂલશો નહીં.

 

Question 27. 7 m s-1 જેટલી અચળ ઝડપે નીચે તરફ જતી લિફ્ટની ઉપરની છત પરથી 0.3 kg નો એક સ્ક્રૂ (બૉલ્ટ) નીચે પડે છે. તે લિફ્ટના ભોંયતળિયા પર (લિફ્ટની લંબાઈ = 3 m) પડે છે અને પાછો ઉછળતો નથી. ભોંયતળિયા પર સ્ક્રૂ (બૉલ્ટ) વડે લાગેલ ધક્કા વડે કેટલી ઉષ્મા ઉત્પન્ન થઈ હશે? જો લિફ્ટ સ્થિર હોત, તો તમારો ઉત્તર જુદો હોત?
Answer: લિફ્ટની છત પરથી સ્ક્રૂ નીચે પડે છે અને ભોંયતળિયે અથડાઈને ઉછળતો નથી. આપણે અથડામણ દરમિયાન ઉત્પન્ન થતી ઉષ્મા અને લિફ્ટની ગતિની અસર શોધવાની છે. **આપેલ ડેટા:** * સ્ક્રૂનું દળ, \( m = 0.3 \) kg * લિફ્ટની લંબાઈ, \( l = h = 3 \) m * લિફ્ટની ઝડપ, \( v_{\text{lift}} = 7 \) m s\(^{-1} \) (અચળ) * ગુરુત્વપ્રવેગ, \( g = 9.8 \) m s\(^{-2} \) **ગણતરી:** લિફ્ટ 7 m s\(^{-1} \) ની અચળ ઝડપે નીચે તરફ ગતિ કરી રહી છે. આનો અર્થ એ થાય છે કે લિફ્ટનો પ્રવેગ \( a = 0 \) છે. શૂન્ય પ્રવેગ ધરાવતી લિફ્ટ એ જડત્વીય નિર્દેશ-ફ્રેમ તરીકે કાર્ય કરે છે. જ્યારે સ્ક્રૂ લિફ્ટની છત પરથી છૂટો પડે છે અને ભોંયતળિયે અથડાય છે, ત્યારે તે ઉછળતો નથી. આનો અર્થ એ થાય કે સ્ક્રૂની ગતિ-ઊર્જા, જે તેની ગુરુત્વીય સ્થિતિ-ઊર્જામાંથી રૂપાંતરિત થઈ હતી, તે અથડામણ દરમિયાન ઉષ્મા ઊર્જામાં રૂપાંતરિત થઈ જાય છે. ઉત્પન્ન થતી ઉષ્મા એ સ્ક્રૂની ગુરુત્વીય સ્થિતિ-ઊર્જામાં થતા ઘટાડા જેટલી હોય છે, કારણ કે તે ઉછળતો નથી અને તેની બધી ગતિ-ઊર્જા ઉષ્મામાં રૂપાંતરિત થઈ જાય છે.
ઉત્પન્ન થયેલ ઉષ્મા \( = mgh \)
ઉત્પન્ન થયેલ ઉષ્મા \( = 0.3 \times 9.8 \times 3 \)
ઉત્પન્ન થયેલ ઉષ્મા \( = 8.82 \) J **લિફ્ટ સ્થિર હોય તો જવાબ:** જો લિફ્ટ સ્થિર હોત, તો પણ ઉત્પન્ન થતી ઉષ્મા 8.82 J જ રહેત. આનું કારણ એ છે કે અચળ ઝડપે ગતિ કરતી લિફ્ટ (શૂન્ય પ્રવેગ) અને સ્થિર લિફ્ટ બંને જડત્વીય નિર્દેશ-ફ્રેમનાં ઉદાહરણો છે. આ બંને કિસ્સાઓમાં, સ્ક્રૂ લિફ્ટના ભોંયતળિયે અથડાય ત્યારે તેમની સાપેક્ષ ઝડપ સમાન રહે છે, જેના કારણે સમાન માત્રામાં ઊર્જાનું ઉષ્મામાં રૂપાંતરણ થાય છે. લિફ્ટની ગતિ, જ્યાં સુધી તે અચળ હોય, ત્યાં સુધી સ્ક્રૂની ગુરુત્વીય સ્થિતિ-ઊર્જાના ઘટાડા પર અસર કરતી નથી.
In simple words: જ્યારે લિફ્ટ અચળ ઝડપે ગતિ કરતી હોય કે સ્થિર હોય, ત્યારે સ્ક્રૂની સ્થિતિ-ઊર્જામાં થતો ઘટાડો સમાન રહે છે. આથી, અથડામણ દરમિયાન ઉષ્મામાં રૂપાંતરિત થતી ઊર્જા પણ સમાન જ હોય છે.

🎯 Exam Tip: જડત્વીય અને બિન-જડત્વીય નિર્દેશ-ફ્રેમનો ખ્યાલ સ્પષ્ટ હોવો જોઈએ. અચળ વેગથી ગતિ કરતી ફ્રેમમાં, બળ અને ઊર્જા સંબંધિત ગણતરીઓ સ્થિર ફ્રેમ જેવી જ હોય છે, કારણ કે પ્રવેગ શૂન્ય રહે છે.

 

Question 28. એક લારી ઘર્ષણ રહિત પટ્ટા પર 36 km/hની સમાન (એક ધારી) ઝડપે ગતિ કરે છે. 20 kg દળનો એક બાળક લારી પર તેના એક છેડાથી બીજા છેડા સુધી (10 મીટર સુધી) લારીની સાપેક્ષે તેની વિરુદ્ધ દિશામાં 4m s-1ની ઝડપથી દોડે છે અને લારી પરથી બહાર કૂદકો મારે છે. લારીની અંતિમ ઝડપ કેટલી હશે? છોકરો દોડવાનું શરૂ કરે તે સમયથી લારી કેટલે સુધી ગઈ હશે?
Answer: એક લારી પર એક બાળક લારીની સાપેક્ષે દોડે છે. અહીં રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરીને આપણે લારીની અંતિમ ઝડપ અને બાળક દોડવાનું શરૂ કરે તે સમયગાળા દરમિયાન લારીએ કાપેલું અંતર શોધીશું. **આપેલ ડેટા:** * લારીનું દળ, \( m_1 = 200 \) kg * બાળકનું દળ, \( m_2 = 20 \) kg * લારીની પ્રારંભિક ઝડપ, \( V_{\text{initial}} = 36 \) km/h \( = 36 \times \frac{5}{18} \) m/s \( = 10 \) m/s (જમણી દિશામાં \( \rightarrow \)) * બાળકની લારીની સાપેક્ષે ઝડપ, \( V_{\text{child, rel}} = 4 \) m/s (લારીની ગતિની વિરુદ્ધ દિશામાં \( \leftarrow \)) * બાળકે લારી પર કાપેલું અંતર \( L = 10 \) m **ગણતરી:** **1. લારીની અંતિમ ઝડપ (\( V_{\text{final}} \)):** જ્યારે બાળક લારી પર દોડવાનું શરૂ કરે છે, ત્યારે લારી અને બાળકથી બનેલા તંત્ર પર કોઈ બાહ્ય બળ લાગતું નથી (ઘર્ષણ રહિત સપાટી). તેથી, રેખીય વેગમાનનું સંરક્ષણ થાય છે. * **પ્રારંભિક વેગમાન (\( P_{\text{initial}} \)):** (જ્યારે બાળક સ્થિર હોય છે અને લારી સાથે ગતિ કરે છે) \( P_{\text{initial}} = (m_1 + m_2) V_{\text{initial}} \) \( P_{\text{initial}} = (200 + 20) \times 10 \) \( P_{\text{initial}} = 220 \times 10 = 2200 \) kg m/s (જમણી દિશામાં) * **અંતિમ વેગમાન (\( P_{\text{final}} \)):** (જ્યારે બાળક લારીની સાપેક્ષે દોડે છે) ધારો કે લારીની જમીનની સાપેક્ષે અંતિમ ઝડપ \( V_{\text{final}} \) છે (જમણી દિશામાં \( \rightarrow \)). બાળકની લારીની સાપેક્ષે ઝડપ લારીની ગતિની વિરુદ્ધ દિશામાં છે, તેથી બાળકનો જમીનની સાપેક્ષે વેગ \( V_{\text{child, ground}} = V_{\text{final}} - V_{\text{child, rel}} \) થશે. \( V_{\text{child, ground}} = V_{\text{final}} - 4 \) (ડાબી દિશામાં \( \leftarrow \)) \( P_{\text{final}} = m_1 V_{\text{final}} + m_2 V_{\text{child, ground}} \) \( P_{\text{final}} = m_1 V_{\text{final}} + m_2 (V_{\text{final}} - 4) \) \( P_{\text{final}} = 200 V_{\text{final}} + 20 (V_{\text{final}} - 4) \) \( P_{\text{final}} = 200 V_{\text{final}} + 20 V_{\text{final}} - 80 \) \( P_{\text{final}} = 220 V_{\text{final}} - 80 \) * **વેગમાન સંરક્ષણ (\( P_{\text{initial}} = P_{\text{final}} \)):** \( 2200 = 220 V_{\text{final}} - 80 \) \( 220 V_{\text{final}} = 2200 + 80 \) \( 220 V_{\text{final}} = 2280 \) \( V_{\text{final}} = \frac{2280}{220} = 10.36 \) m/s (આશરે) આમ, લારીની અંતિમ ઝડપ જમીનની સાપેક્ષે \( 10.36 \) m/s હશે. **2. બાળક દોડવાનું શરૂ કરે તે સમયથી લારી કેટલે સુધી ગઈ હશે?** પહેલા આપણે બાળકને લારી પર \( L = 10 \) m અંતર કાપવામાં કેટલો સમય લાગે છે તે શોધીએ. બાળકની જમીનની સાપેક્ષે ઝડપ \( V_{\text{child, ground}} = V_{\text{final}} - 4 = 10.36 - 4 = 6.36 \) m/s (ડાબી દિશામાં \( \leftarrow \)). લાગેલો સમય \( t = \frac{\text{બાળકે લારી પર કાપેલું અંતર}}{\text{બાળકની જમીનની સાપેક્ષે ઝડપ}} = \frac{L}{V_{\text{child, ground}}} \) \( t = \frac{10}{6.36} \approx 1.572 \) s આ સમયગાળા દરમિયાન લારીએ કાપેલું અંતર: \( x = V_{\text{final}} \times t \) \( x = 10.36 \times 1.572 \) \( x \approx 16.29 \) m
In simple words: જ્યારે બાળક લારી પર દોડે છે, ત્યારે તંત્રનું કુલ વેગમાન અચળ રહે છે. આ વેગમાન સંરક્ષણનો ઉપયોગ કરીને લારીની નવી ઝડપ શોધી શકાય છે. પછી, બાળકને લારી પર એક છેડેથી બીજા છેડે પહોંચવામાં લાગતો સમય ગણીને, તે સમય દરમિયાન લારી કેટલું અંતર કાપે છે તે નક્કી કરી શકાય છે.

🎯 Exam Tip: આ પ્રકારના વેગમાન સંરક્ષણના પ્રશ્નોમાં, સાપેક્ષ વેગ અને નિરપેક્ષ વેગ વચ્ચેનો તફાવત સમજવો અને તેને યોગ્ય રીતે સમીકરણોમાં મૂકવો ખૂબ જ મહત્વનો છે. દિશા માટે ચિહ્નોનો ઉપયોગ કરવો ગણતરીમાં મદદરૂપ થાય છે.

 

Question 29. આકૃતિ 6.39માં દર્શાવેલ સ્થિતિ-ઊર્જા વક્રોમાંથી કયા વક્રો બે બિલિયર્ડ બૉલની સ્થિતિસ્થાપક અથડામણ દર્શાવતા નથી? અહીં r એ બૉલનાં કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર છે. દરેક બિલિયર્ડ બૉલની ત્રિજ્યા R છે.
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): આકૃતિ 6.39માં બે બિલિયર્ડ બોલના કેન્દ્રો વચ્ચેના અંતર (r) વિરુદ્ધ તેમની સ્થિતિ-ઊર્જા (V(r)) દર્શાવતા છ જુદા-જુદા આલેખ છે. દરેક આલેખ સંભવિત બળ ક્ષેત્રને રજૂ કરે છે. બોલની ત્રિજ્યા R છે, તેથી બોલ સંપર્કમાં હોય ત્યારે r = 2R થાય છે.
Answer: સ્થિતિસ્થાપક અથડામણ દરમિયાન, અથડાતા પદાર્થોની ગતિ-ઊર્જા ક્ષણિક રીતે સ્થિતિ-ઊર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે. બે બિલિયર્ડ બૉલની સ્થિતિસ્થાપક અથડામણ માટે, સ્થિતિ-ઊર્જા V(r) માટેની શરતો નીચે મુજબ છે: 1. **સંપર્ક પહેલાં કોઈ બળ નહીં:** જ્યારે બે બિલિયર્ડ બૉલ એકબીજાથી દૂર હોય (\( r > 2R \)), ત્યારે તેમની વચ્ચે કોઈ ક્રિયા-પ્રતિક્રિયા બળ હોતું નથી. તેથી, તેમની સ્થિતિ-ઊર્જા શૂન્ય હોવી જોઈએ. 2. **સંપર્ક બિંદુએ સ્થિતિ-ઊર્જા શૂન્ય:** જ્યારે બૉલ એકબીજાને ફક્ત સ્પર્શે છે (\( r = 2R \)), ત્યારે સ્થિતિ-ઊર્જા શૂન્ય હોય છે. આને સંદર્ભ બિંદુ તરીકે લઈ શકાય છે. 3. **સંપર્ક દરમિયાન સ્થિતિ-ઊર્જામાં વધારો:** જ્યારે બૉલ એકબીજામાં દબાય છે (\( r < 2R \), એટલે કે સંપર્ક દરમિયાન), ત્યારે પ્રતિકર્ષણ બળોને કારણે સ્થિતિ-ઊર્જા ઝડપથી વધવી જોઈએ. આપેલા આલેખોમાંથી, માત્ર આલેખ (v) ઉપરોક્ત શરતોનું પાલન કરે છે. આલેખ (v) માં, \( r \ge 2R \) માટે \( V(r) = 0 \) છે, અને \( r < 2R \) માટે \( V(r) \) ઝડપથી વધે છે, જે પ્રતિકર્ષણ બળને કારણે દબાણ દર્શાવે છે. તેથી, આલેખ (v) સિવાયના અન્ય તમામ આલેખ (i), (ii), (iii), (iv), અને (vi) બે બિલિયર્ડ બૉલની સ્થિતિસ્થાપક અથડામણ માટેના સ્થિતિ-ઊર્જા વક્રો નથી.
In simple words: બે બિલિયર્ડ બૉલ એકબીજાથી દૂર હોય ત્યારે તેમની વચ્ચે કોઈ ઊર્જા હોતી નથી. જ્યારે તેઓ એકબીજાને સ્પર્શે છે, ત્યારે સ્થિતિ-ઊર્જા શૂન્ય હોય છે, અને જેમ તેઓ વધુ સંપર્કમાં આવે છે તેમ પ્રતિકર્ષણ બળને કારણે સ્થિતિ-ઊર્જા વધે છે. માત્ર આલેખ (v) આ વર્તણૂક દર્શાવે છે, જ્યારે બાકીના આલેખો તે દર્શાવતા નથી.

🎯 Exam Tip: સ્થિતિસ્થાપક અથડામણના કિસ્સામાં સંરક્ષી બળો અને સ્થિતિ-ઊર્જાના ખ્યાલો સ્પષ્ટ હોવા જોઈએ. ધ્યાન રાખો કે બિલિયર્ડ બોલના કિસ્સામાં, r > 2R માટે V(r) = 0 હોવું જોઈએ, અને r < 2R માટે V(r) માં તીવ્ર વધારો થવો જોઈએ.

 

Question 30. સ્થિર રહેલા ન્યૂટ્રૉનનો ક્ષય વિચારોઃ n → p + e. દર્શાવો કે આ પ્રકારના દ્વિ-કણ ક્ષયમાં ચોક્કસ ઊર્જા ધરાવતો જ ઇલેકટ્રૉન મળવો જોઈએ અને તેથી ન્યૂટ્રૉન કે ન્યુક્લિયસના (આકૃતિ 6.40) B -ક્ષયના સતત ઊર્જા-વિતરણને સમજાવી ન શકે.
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): આકૃતિ 6.40 બીટા ક્ષયમાં ઉત્સર્જિત બીટા કણોની ગતિ-ઊર્જાના વિતરણનો પ્રાયોગિક આલેખ દર્શાવે છે. Y-અક્ષ પર એકમ ઊર્જા અંતરાલ દીઠ બીટા કણોની સંખ્યા છે અને X-અક્ષ પર ઉત્સર્જિત બીટા કણની ગતિ-ઊર્જા છે. આ આલેખ દર્શાવે છે કે ઇલેક્ટ્રોનની ઊર્જા શૂન્યથી મહત્તમ મૂલ્ય સુધી સતત રીતે વિતરિત થયેલી હોય છે.
Answer: અહીં આપણે ન્યુટ્રૉનના ક્ષય \( n \rightarrow p + e^- \) ની પ્રક્રિયા અને તેના પરિણામી ઇલેક્ટ્રૉનની ઊર્જા વિશે ચર્ચા કરવાની છે. **દ્વિ-કણ ક્ષયની સ્થિતિ:** જો ન્યુટ્રૉનનો ક્ષય માત્ર પ્રોટોન (\( p \)) અને ઇલેક્ટ્રૉન (\( e^- \)) માં થતો હોય, એટલે કે, \( n \rightarrow p + e^- \), તો આ એક દ્વિ-કણ ક્ષય પ્રક્રિયા ગણાશે. ઊર્જા અને વેગમાન સંરક્ષણના સિદ્ધાંતો અનુસાર, આ પ્રક્રિયામાં ઉત્પન્ન થતા ઇલેક્ટ્રૉનની ગતિ-ઊર્જાનું મૂલ્ય ચોક્કસ હોવું જોઈએ. આ મૂલ્ય દળક્ષતિ (\( \Delta m \)) માંથી આવે છે:
\( E = (\Delta m)c^2 \) જ્યાં, \( \Delta m = (\text{ન્યુટ્રૉનનું દળ}) - (\text{પ્રોટોનનું દળ} + \text{ઇલેક્ટ્રૉનનું દળ}) \) કારણ કે દળક્ષતિનું મૂલ્ય નિશ્ચિત હોય છે, તેથી ઇલેક્ટ્રૉનની ગતિ-ઊર્જા પણ નિશ્ચિત હોવી જોઈએ. **પ્રાયોગિક અવલોકન:** જોકે, પ્રયોગો દ્વારા (આકૃતિ 6.40 માં દર્શાવ્યા મુજબ) એવું અવલોકન કરવામાં આવ્યું છે કે બીટા ક્ષયમાં ઉત્પન્ન થતા ઇલેક્ટ્રૉનની ગતિ-ઊર્જા શૂન્યથી લઈને એક ચોક્કસ મહત્તમ મૂલ્ય સુધી સતત રીતે વિતરિત થયેલી હોય છે, એટલે કે તે કોઈ એક નિશ્ચિત મૂલ્ય ધરાવતી નથી. **વિસંગતતાનું નિરાકરણ (ન્યુટ્રિનોની ભૂમિકા):** આ પ્રાયોગિક અવલોકન દ્વિ-કણ ક્ષયના સિદ્ધાંત સાથે સુસંગત નથી. આ વિસંગતતાને દૂર કરવા માટે, પાઉલીએ 1930 માં ન્યુટ્રિનો (અથવા એન્ટિન્યુટ્રિનો) ના અસ્તિત્વનો પ્રસ્તાવ મૂક્યો, જે દળ અને વીજભાર રહિત એક વધારાનો કણ છે. આ કણ ઊર્જા અને વેગમાનનો અમુક હિસ્સો લઈ જાય છે, જેના કારણે ઇલેક્ટ્રૉનની ગતિ-ઊર્જાનું વિતરણ સતત હોય છે. આથી, ન્યુટ્રૉનના ક્ષયની સાચી પ્રક્રિયા આ મુજબ છે:
\( n \rightarrow p + e^- + \overline{\nu}_e \) જ્યાં \( \overline{\nu}_e \) એ એન્ટિન્યુટ્રિનો છે. આમ, દ્વિ-કણ ક્ષયની ધારણા (n → p + e) ન્યુટ્રૉન અથવા ન્યુક્લિયસના બીટા-ક્ષયના સતત ઊર્જા વિતરણને સંતોષકારક રીતે સમજાવી શકતી નથી.
In simple words: જો ન્યુટ્રૉન ફક્ત પ્રોટોન અને ઇલેક્ટ્રૉનમાં વિભાજિત થાય, તો ઇલેક્ટ્રૉનની ઊર્જા હંમેશા એક ચોક્કસ મૂલ્યની હોવી જોઈએ. પરંતુ પ્રયોગો દર્શાવે છે કે ઇલેક્ટ્રૉનની ઊર્જા અલગ-અલગ હોય છે. આ વિસંગતતાને સમજાવવા માટે ન્યુટ્રિનો નામના ત્રીજા કણનો પ્રસ્તાવ મૂકવામાં આવ્યો, જે ઊર્જાનો વધારાનો ભાગ લઈ જાય છે.

🎯 Exam Tip: બીટા ક્ષયના સતત ઊર્જા સ્પેક્ટ્રમનો પ્રશ્ન ન્યુટ્રિનોના અસ્તિત્વના કારણને સમજાવવા માટે મહત્વનો છે. દળક્ષતિ, ઊર્જા સંરક્ષણ અને વેગમાન સંરક્ષણના નિયમોનો ઉપયોગ કરીને આ વિભાવનાને સ્પષ્ટ રીતે રજૂ કરી શકાય છે.