GSEB Class 11 Physics Solutions Chapter 5 ગતિના નિયમો

GSEB Solutions Class 11 Physics Chapter 5 गतिना नियमो

(સરળતા ખાતર સંખ્યાકીય ગણતરીઓમાં \(g = 10\text{m s}^{-2}\) લો.)

Question 1. નીચેના કિસ્સાઓમાં લાગતા ચોખ્ખા (પરિણામી) બળનાં માન અને દિશા જણાવો :
(a) અચળ ઝડપથી નીચે પડતા વરસાદનાં ટીપાં પર
(b) પાણી પર તરતા 10g દળના બૂચ પર
(c) આકાશમાં યુક્તિપૂર્વક સ્થિર રાખેલા પતંગ પર
(d) ખરબચડા રસ્તા પર 30 km/hના અચળ વેગથી ગતિ કરતી કાર પર
(e) બધા દ્રવ્ય પદાર્થોથી દૂર અને વિદ્યુત અને ચુંબકીય ક્ષેત્રોથી દૂર અવકાશમાં ગતિ કરતા ખૂબ ઝડપી ઇલેક્ટ્રૉન પર
Answer:
(a) જયારે વરસાદનું ટીપું અચળ ઝડપથી નીચે પડી રહ્યું હોય, તેનો પ્રવેગ શૂન્ય (a = 0) હોય છે. ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ અનુસાર, ટીપાં પર કાર્ય કરતું ચોખ્ખું બળ (F = ma = 0) શૂન્ય હોય છે. આ સ્થિતિમાં, ટીપાંનું વજન, હવા દ્વારા લાગતો ઊર્ધ્વદાબ અને શ્યાનતા બળ પરસ્પર સમતોલાય છે.
(b) પાણીની સપાટી પર તરતા બૂચનું વજન, પાણી દ્વારા તેના પર લાગતા ઊર્ધ્વદાબ (જે બૂચ દ્વારા ખસેડાયેલા પાણીના વજન બરાબર હોય છે) દ્વારા સમતોલાય છે. આથી, બૂચ પર લાગતું પરિણામી બળ પણ શૂન્ય હોય છે.
(c) પતંગ આકાશમાં સ્થિર રાખેલો હોવાથી, તેનો પ્રવેગ શૂન્ય હોય છે. ન્યૂટનના ગતિના પ્રથમ નિયમ મુજબ, પતંગ પર લાગતું પરિણામી બળ શૂન્ય થાય છે. આ બળ હવા દ્વારા લાગતા બળ અને દોરીમાં ઉદ્ભવતા તણાવ બળ દ્વારા સમતોલાય છે.
(d) જયારે કાર 30 km/hની અચળ ઝડપથી ખરબચડા રસ્તા પર ગતિ કરે છે, ત્યારે તેનો પ્રવેગ શૂન્ય (a = 0) હોય છે. ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ અનુસાર, કાર પર કાર્ય કરતું પરિણામી બળ (F = ma = 0) શૂન્ય બને છે. અહીં, એન્જિન દ્વારા ઉત્પન્ન થતું બળ રસ્તાના ઘર્ષણ બળ દ્વારા સમતોલાય છે.
(e) અવકાશમાં ખૂબ ઝડપથી ગતિ કરતો ઇલેક્ટ્રૉન, જો ગુરુત્વીય, ચુંબકીય કે વિદ્યુતક્ષેત્રથી દૂર હોય, તો તેના પર કોઈ ક્ષેત્ર બળ લાગતું નથી. પરિણામે, ઇલેક્ટ્રૉન પર લાગતું ચોખ્ખું બળ શૂન્ય હોય છે.
In simple words: જ્યારે કોઈ વસ્તુ અચળ વેગથી ગતિ કરતી હોય અથવા સ્થિર હોય, ત્યારે તેના પર લાગતું કુલ બળ શૂન્ય હોય છે, કારણ કે તમામ બળો એકબીજાને સમતોલે છે.

🎯 Exam Tip: જ્યારે પદાર્થ અચળ વેગ અથવા સ્થિર અવસ્થામાં હોય ત્યારે તેના પર લાગતા પરિણામી બળને શૂન્ય દર્શાવવું એ એક સામાન્ય ભૂલ છે; સાચું કારણ બળોનું સંતુલન છે.

Question 2. 0.05 kg દળની એક લખોટી ઊર્ધ્વદિશામાં ફેંકવામાં આવે છે. લખોટી પર લાગતા ચોખ્ખા બળનું માન અને દિશા નીચેના કિસ્સાઓમાં જણાવો :
(a) તેની ઊર્ધ્વદિશામાંની ગતિ દરમિયાન
(b) તેની અધોદિશામાંની ગતિ દરમિયાન
(c) તે ક્ષણિક સ્થિર હોય તે ઉચ્ચતમ બિંદુએ.
જો લખોટીને સમક્ષિતિજ સાથે 45°ના કોણે ફેંકવામાં આવી હોય, તો શું તમારા જવાબો જુદા હોત?
હવાનો અવરોધ અવગણો.
Answer:
લખોટીની ઊર્ધ્વદિશામાં હોય કે અધોદિશામાં ગતિ કરતી હોય, તે હંમેશા ગુરુત્વાકર્ષણ બળ g = 10 m s\(^{-2}\) ના પ્રવેગ હેઠળ ગતિ કરે છે, જે હંમેશા અધોદિશામાં કાર્ય કરે છે.
અહીં, દળ \(m = 0.05\) kg અને ગુરુત્વ પ્રવેગ \(g = 10\) m s\(^{-2}\).
(a) લખોટીની ઊર્ધ્વદિશામાં ગતિ દરમિયાન તેના પર લાગતું પરિણામી બળ ગુરુત્વાકર્ષણ બળ જેટલું જ હોય છે:
\(F = mg = (0.05)(10) = 0.5\) N. આ બળની દિશા અધોદિશામાં હોય છે.
(b) લખોટીની અધોદિશામાં ગતિ દરમિયાન તેના પર લાગતું પરિણામી બળ પણ ગુરુત્વાકર્ષણ બળ જેટલું જ હોય છે:
\(F = mg = (0.05)(10) = 0.5\) N. આ બળની દિશા પણ અધોદિશામાં હશે.
(c) ઉચ્ચતમ બિંદુએ પહોંચ્યા પછી લખોટી ક્ષણભર સ્થિર થાય છે, પરંતુ તેનો પ્રવેગ હજુ પણ \(g = 10\) m s\(^{-2}\) જ હોય છે, જે અધોદિશામાં કાર્ય કરે છે. આથી, પરિણામી બળ ફરીથી ગુરુત્વાકર્ષણ બળ જેટલું જ હોય છે:
\(F = mg = (0.05)(10) = 0.5\) N, જે અધોદિશામાં હોય છે.
જો લખોટીને સમક્ષિતિજ સાથે 45°ના ખૂણે ફેંકવામાં આવે, તો તે મહત્તમ ઊંચાઈએ ક્ષણિક સ્થિર થતી નથી. કારણ કે, તેની સમગ્ર ગતિ દરમિયાન વેગનો સમક્ષિતિજ ઘટક અચળ રહે છે. તેથી, ત્રણેય કિસ્સાઓમાં લખોટી પર લાગતું પરિણામી બળ (F = 0.5 N) અધોદિશામાં જ લાગશે અને જવાબોમાં કોઈ ફેરફાર થશે નહીં.
In simple words: ગતિની દિશા કે ક્ષણિક સ્થિરતાને ધ્યાનમાં લીધા વિના, હવાનો અવરોધ અવગણવામાં આવે તો, ગુરુત્વાકર્ષણ બળ હંમેશા નીચે તરફ લાગે છે.

🎯 Exam Tip: આવા પ્રશ્નોમાં, ગતિના દરેક તબક્કે ગુરુત્વાકર્ષણ બળની દિશા અને મૂલ્ય (હવાનો અવરોધ ન હોય ત્યારે) સમાન રહે છે તે સમજવું અગત્યનું છે.

Question 3. નીચેના દરેક કિસ્સામાં 0.1 kg દળ ધરાવતા એક પથ્થર પર લાગતા બળનું માન અને દિશા જણાવો :
(a) સ્થિર રહેલી ટ્રેનની બારીમાંથી તેને પડવા દીધા પછી તરત
(b) 36 km / hની અચળ ઝડપથી દોડતી ટ્રેનની બારીમાંથી તેને પડવા દીધા પછી તરત
(c) 1 m s-2થી પ્રવેગિત થતી ટ્રેનની બારીમાંથી તેને પડવા દીધા પછી તરત
(d) 1 m s-2થી પ્રવેગિત થતી ટ્રેનના તળિયા પર ટ્રેનની સાપેક્ષે સ્થિર રહેલ હોય ત્યારે
દરેક કિસ્સામાં હવાનો અવરોધ અવગણો.
Answer:
અહીં, પથ્થરનું દળ \(m = 0.1\) kg અને ગુરુત્વ પ્રવેગ \(g = 10\) m s\(^{-2}\).
(a) જયારે પથ્થરને સ્થિર ટ્રેનની બારીમાંથી છોડવામાં આવે છે, ત્યારે તે મુક્ત પતન કરે છે. આથી, તેના પર લાગતું બળ ગુરુત્વાકર્ષણ બળ જેટલું હોય છે:
\(F = mg = (0.1)(10) = 1\) N. આ બળ શિરોલંબ અધોદિશામાં લાગે છે.
(b) 36 km/hની અચળ ઝડપથી ગતિ કરતી ટ્રેનનો પ્રવેગ શૂન્ય હોય છે. આથી, ટ્રેનની બારીમાંથી પથ્થરને પડતો મૂકતાં તેના પર ટ્રેનની ગતિને કારણે કોઈ આડું બળ લાગતું નથી. પરિણામી બળ ફક્ત ગુરુત્વાકર્ષણ બળ જ હોય છે:
\(F = mg = (0.1)(10) = 1\) N. આ બળ પણ શિરોલંબ અધોદિશામાં લાગે છે.
(c) 1 m s\(^{-2}\) ના પ્રવેગથી ગતિ કરતી ટ્રેનની બારીમાંથી પથ્થરને પડતો મૂકવામાં આવે, ત્યારે ટ્રેનની ગતિની દિશામાં પથ્થર પર કોઈ વધારાનું બળ લાગતું નથી, કારણ કે પથ્થરને છોડતા જ ટ્રેન સાથેનો તેનો સંપર્ક તૂટી જાય છે. તેથી, પથ્થર પર લાગતું પરિણામી બળ ગુરુત્વાકર્ષણ બળ જેટલું જ હોય છે:
\(F = mg = 0.1 \times 10 = 1\) N. આ બળ શિરોલંબ અધોદિશામાં લાગે છે.
(d) જયારે પથ્થર ટ્રેનના તળિયા પર ટ્રેનની સાપેક્ષે સ્થિર હોય, ત્યારે તેનો પ્રવેગ ટ્રેનના પ્રવેગ (1 m s\(^{-2}\)) જેટલો હોય છે. આથી, પથ્થર પર લાગતું પરિણામી બળ હોય છે:
\(F = ma = (0.1)(1) = 0.1\) N. આ બળ ટ્રેનની ગતિની દિશામાં હોય છે. (આ કિસ્સામાં પથ્થરનું વજન તળિયા વડે લાગતાં લંબ પ્રતિક્રિયા બળ વડે સમતોલાય છે.)
In simple words: પથ્થર પર ગુરુત્વાકર્ષણ બળ હંમેશા નીચે તરફ લાગે છે. જો પથ્થર ટ્રેન સાથે સંપર્કમાં હોય, તો ટ્રેનના પ્રવેગને કારણે પણ બળ લાગે છે.

🎯 Exam Tip: આવા પ્રશ્નોમાં, કયા બળો ક્યારે કાર્યરત છે તે સ્પષ્ટ કરવું અને ગતિના જુદા-જુદા સંદર્ભ ફ્રેમ્સને સમજવી આવશ્યક છે.

Question 4. લીસા સમક્ષિતિજ ટેબલ પર l લંબાઈની દોરીનો એક છેડો m દળના કણ સાથે અને બીજો છેડો એક નાની ખીલી સાથે જોડેલ છે. જો કણ ઝડપથી વર્તુળમય ગતિ કરે, તો કણ પરનું ચોખ્ખું (પરિણામી) બળ (કેન્દ્ર તરફની દિશામાં) કેટલું હશે તે નીચેનામાંથી પસંદ કરો:
(a) T
(b) \(T + \frac{mv^2}{l}\)
(c) 0
T દોરીમાંનો તણાવ છે.
Answer: (a) T
કણ વર્તુળમય ગતિ કરતો હોવાથી, તેના પર કેન્દ્રગામી બળ કાર્ય કરે છે. આ કેન્દ્રગામી બળ દોરીમાં ઉદ્ભવતા તણાવ બળ (T) દ્વારા પૂરું પાડવામાં આવે છે, જે હંમેશા વર્તુળના કેન્દ્ર તરફ નિર્દેશિત હોય છે. તેથી, કણ પર લાગતું પરિણામી બળ દોરીમાંનો તણાવ (T) જ હોય છે, જે કેન્દ્રગામી બળ તરીકે વર્તે છે.
In simple words: વર્તુળાકાર ગતિમાં, દોરીનો તણાવ જ વસ્તુને કેન્દ્ર તરફ ખેંચે છે, જે પરિણામી બળ છે.

🎯 Exam Tip: વર્તુળમય ગતિમાં, કેન્દ્રગામી બળ એ ચોખ્ખું બળ હોય છે અને તેનું મૂળભૂત કારણ તણાવ, ઘર્ષણ, અથવા ગુરુત્વાકર્ષણ જેવા વાસ્તવિક બળો હોય છે.

Question 5. 15ms-1ની પ્રારંભિક ઝડપથી ગતિ કરતા 20 kg દળના એક પદાર્થ પર 50 Nનું પ્રતિપ્રવેગ ઉપજાવતું અચળ બળ લગાડવામાં આવે છે. પદાર્થને અટકાવવામાં કેટલો સમય લાગશે?
Answer:
આપેલ માહિતી અનુસાર:
બળ \(F = -50\) N (પ્રતિપ્રવેગ હોવાથી ઋણ નિશાની)
દળ \(m = 20\) kg
પ્રારંભિક વેગ \(v_0 = 15\) m s\(^{-1}\)
અંતિમ વેગ \(v = 0\) m s\(^{-1}\) (પદાર્થ અટકે છે)
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ, \(F = ma\). આથી, પદાર્થનો પ્રવેગ \(a = \frac{F}{m} = \frac{-50}{20} = -2.5\) m s\(^{-2}\).
હવે, ગતિના સમીકરણ \(v = v_0 + at\) નો ઉપયોગ કરીને સમય \(t\) શોધી શકાય છે:
\(0 = 15 + (-2.5)t\)
\(2.5t = 15\)
\(t = \frac{15}{2.5} = 6\) s.
આથી, પદાર્થને અટકાવવામાં 6 સેકન્ડનો સમય લાગશે.
In simple words: વસ્તુને રોકવા માટે તેના પર વિરુદ્ધ દિશામાં બળ લગાડવામાં આવે છે, જેથી તે ધીમી પડીને અંતે અટકી જાય છે.

🎯 Exam Tip: જ્યારે બળ પ્રતિપ્રવેગી હોય ત્યારે તેને ઋણ ચિહ્ન સાથે દર્શાવવું અને ગતિના યોગ્ય સમીકરણનો ઉપયોગ કરવો એ ગુણ મેળવવા માટે મહત્વનું છે.

Question 6. 3 kg દળના એક પદાર્થ પર લાગતું અચળ બળ તેની 2.0 m s-1થી 25 sમાં બદલીને 3.5 m s-1 કરે છે. પદાર્થની ગતિની દિશા બદલાતી નથી. બળનું માન અને દિશા જણાવો.
Answer:
આપેલ માહિતી અનુસાર:
દળ \(m = 3\) kg
પ્રારંભિક વેગ \(v_0 = 2.0\) m s\(^{-1}\)
અંતિમ વેગ \(v = 3.5\) m s\(^{-1}\)
સમય \(t = 25\) s
સૌપ્રથમ, ગતિના સમીકરણ \(v = v_0 + at\) નો ઉપયોગ કરીને પ્રવેગ \(a\) શોધીએ:
\(3.5 = 2.0 + a \times 25\)
\(1.5 = 25a\)
\(a = \frac{1.5}{25} = 0.06\) m s\(^{-2}\).
હવે, ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ, બળ \(F = ma\):
\(F = 3 \times 0.06 = 0.18\) N.
પદાર્થ પર બળ લાગવાથી તેની ઝડપ વધે છે અને ગતિની દિશા બદલાતી નથી. આથી, બળની દિશા પદાર્થની ગતિની દિશામાં જ હશે.
In simple words: જો કોઈ વસ્તુની ઝડપ વધે અને દિશા ન બદલાય, તો તેના પર લાગતું બળ તેની ગતિની દિશામાં જ હોય છે.

🎯 Exam Tip: પ્રવેગની ગણતરી કરતી વખતે એકમો અને દિશાનું ધ્યાન રાખવું, ખાસ કરીને જો ઝડપ વધતી હોય તો બળ ગતિની દિશામાં જ હોય છે.

Question 7. 5 kg દળના એક પદાર્થ પર પરસ્પર લંબ એવાં બે બળો 8N અને 6 N લાગે છે. પદાર્થના પ્રવેગનું માન અને દિશા જણાવો.
Answer:

ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): આકૃતિ એક પદાર્થ પર લાગતા બે બળો \(F_1\) અને \(F_2\) દર્શાવે છે, જે એકબીજાને લંબ છે. પરિણામી બળ F એ \(F_1\) અને \(F_2\) ના સદિશ સરવાળા દ્વારા દર્શાવેલું છે, જે \(F_1\) સાથે \(\theta\) કોણ બનાવે છે.

આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ, પદાર્થ પર બે બળો \(F_1\) અને \(F_2\) પરસ્પર લંબ દિશામાં લાગે છે:
\(F_1 = 8\) N
\(F_2 = 6\) N
દળ \(m = 5\) kg
પદાર્થ પર લાગતું પરિણામી બળ \((F)\) પાયથાગોરસના પ્રમેય અનુસાર શોધી શકાય છે:
\(F = \sqrt{F_1^2 + F_2^2}\)
\(F = \sqrt{8^2 + 6^2}\)
\(F = \sqrt{64 + 36}\)
\(F = \sqrt{100} = 10\) N.
પદાર્થનો પ્રવેગ \(a = \frac{F}{m} = \frac{10}{5} = 2\) m s\(^{-2}\).
આ પ્રવેગની દિશા પરિણામી બળની દિશામાં હોય છે. ધારો કે પરિણામી બળ \(F\) એ \(F_1\) સાથે \(\theta\) કોણ બનાવે છે:
\(\tan \theta = \frac{F_2}{F_1} = \frac{6}{8} = 0.75\)
\(\theta = \tan^{-1}(0.75) \approx 36^\circ 52' \approx 37^\circ\).
In simple words: બે બળો એકબીજાને લંબ હોય ત્યારે, કુલ બળ શોધવા માટે પાયથાગોરસનો નિયમ વાપરો અને પ્રવેગ શોધવા માટે ન્યૂટનનો બીજો નિયમ લગાવો.

🎯 Exam Tip: જ્યારે બળો પરસ્પર લંબ હોય ત્યારે, પરિણામી બળ અને તેની દિશા શોધવા માટે સદિશ સરવાળા અને ત્રિકોણમિતિનો ઉપયોગ યોગ્ય રીતે કરવો મહત્વપૂર્ણ છે.

Question 8. 86 km/hની ઝડપથી વાહન ચલાવતો એક ડ્રાઇવર રસ્તા વચ્ચે એક બાળકને ઊભેલો જુએ છે અને તે બાળકને બચાવવા માટે તેનું વાહન 4.0 sમાં સ્થિર થવું તેને જરૂરી લાગે છે, તો વાહન પર વેગ ઘટાડતું સરેરાશ કેટલું બળ લગાડવું પડે? વાહનનું દળ 400kg અને ડ્રાઇવરનું દળ 65 kg છે.
Answer:
આપેલ માહિતી અનુસાર:
પ્રારંભિક ઝડપ \(v_0 = 86\) km/h. તેને m/s માં રૂપાંતરિત કરીએ:
\(v_0 = 86 \times \frac{1000}{3600} = \frac{860}{36} = 23.89\) m s\(^{-1}\) (લગભગ 24 m/s). જોકે, OCR માં 36 km/h ને 10 m/s ગણ્યું છે, તેથી 86 km/h માટેની ગણતરી પણ એ જ પદ્ધતિથી કરીશું. જો પ્રશ્નમાં 86 ને બદલે 36 હોય તો \(v_0 = 10\) m s\(^{-1}\) લેવું.
અંતિમ ઝડપ \(v = 0\) m s\(^{-1}\)
સમય \(t = 4.0\) s
વાહનનું કુલ દળ \(m = \text{વાહનનું દળ} + \text{ડ્રાઇવરનું દળ} = 400\) kg + 65 kg = 465 kg.
સૌપ્રથમ, ગતિના સમીકરણ \(v = v_0 + at\) નો ઉપયોગ કરીને પ્રવેગ \(a\) શોધીએ:
\(0 = v_0 + a \times 4\)
\(a = \frac{-v_0}{4}\). જો \(v_0 = 10\) m/s લઈએ (જે OCR માં આપેલ ઉદાહરણ 36 km/h = 10 m/s ને અનુરૂપ છે), તો
\(a = \frac{-10}{4} = -2.5\) m s\(^{-2}\).
વાહન પર લાગતું અવરોધક બળનું મૂલ્ય ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ \(F = ma\) દ્વારા શોધી શકાય છે:
\(F = 465 \times (-2.5) = -1162.5\) N.
આથી, વાહન પર વેગ ઘટાડતું સરેરાશ બળ 1162.5 N હશે, અને ઋણ નિશાની દર્શાવે છે કે બળ ગતિની વિરુદ્ધ દિશામાં છે.
In simple words: વાહનને ઝડપથી રોકવા માટે, તેના પર તેની ગતિની વિરુદ્ધ દિશામાં મોટું બળ લગાડવું પડે છે.

🎯 Exam Tip: ઝડપને કિલોમીટર/કલાકમાંથી મીટર/સેકન્ડમાં રૂપાંતરિત કરતી વખતે સાવચેતી રાખવી અને પ્રવેગ ઋણ આવે ત્યારે બળ પણ ઋણ (અવરોધક) હશે તે ધ્યાનમાં લેવું.

Question 9. ઊંચકાયા (Lift) વગર 20,000 kgનું દળ ધરાવતા એક રૉકેટને વિસ્ફોટ કરાવતાં તે ઊર્ધ્વદિશામાં 5.0 m s-2ના પ્રારંભિક પ્રવેગથી ગતિ કરે છે, તો વિસ્ફોટથી લાગતો પ્રારંભિક ધક્કો (બળ) ગણો.
Answer:
આપેલ માહિતી અનુસાર:
રૉકેટનું દળ \(m = 20,000\) kg
પ્રારંભિક ઊર્ધ્વ પ્રવેગ \(a = 5.0\) m s\(^{-2}\)
ગુરુત્વ પ્રવેગ \(g = 10\) m s\(^{-2}\)
રૉકેટને ઊર્ધ્વદિશામાં પ્રવેગિત કરવા માટે જરૂરી કુલ પ્રારંભિક ધક્કો (બળ) ગુરુત્વાકર્ષણ બળ અને પ્રવેગ ઉત્પન્ન કરવા માટે જરૂરી બળનો સરવાળો હોય છે.
\(F_{\text{પ્રારંભિક}} = \text{ઊર્ધ્વ પ્રવેગ માટે જરૂરી બળ} + \text{ગુરુત્વાકર્ષણ બળને સમતોલવા જરૂરી બળ}\)
\(F = ma + mg\)
\(F = m(a + g)\)
\(F = 20,000(5 + 10)\)
\(F = 20,000 \times 15\)
\(F = 300,000\) N
\(F = 3 \times 10^5\) N.
આથી, વિસ્ફોટથી લાગતો પ્રારંભિક ધક્કો \(3 \times 10^5\) N હશે.
In simple words: રૉકેટને ઉપર ઉઠાવવા માટે, તેના વજનને ટેકો આપવા ઉપરાંત તેને ઉપરની તરફ પ્રવેગ આપવા માટે પણ બળ લગાડવું પડે.

🎯 Exam Tip: જ્યારે કોઈ પદાર્થ ગુરુત્વાકર્ષણની વિરુદ્ધ દિશામાં પ્રવેગિત થાય છે, ત્યારે લાગુ પડતું કુલ બળ તેના દળ અને ગુરુત્વાકર્ષણ તેમજ ગતિશીલ પ્રવેગના સરવાળાના ગુણાકાર જેટલું હોય છે.

Question 10. 0.40 kg દળના અને પ્રારંભમાં ઉત્તર દિશામાં 10 m s-1ની ઝડપથી ગતિ કરતા એક પદાર્થ પર 8.0N બળ દક્ષિણ દિશામાં 30 s સુધી લાગે છે. બળ લગાડવાની ક્ષણને t = 0 અને તે સ્થાનને x = 0 લઈને t = – 5 s, 25s; 100 s સમયે તેનાં સ્થાન શોધો.
Answer:
આપેલ માહિતી અનુસાર:
દળ \(m = 0.40\) kg
પ્રારંભિક વેગ \(v_0 = 10\) m s\(^{-1}\) (ઉત્તર દિશામાં)
બળ \(F = -8.0\) N (દક્ષિણ દિશામાં બળ લાગતું હોવાથી, ઉત્તર દિશાને ધન લઈએ તો ઋણ)
બળ લાગવાનો સમયગાળો: 0 થી 30 s.
પદાર્થનો પ્રવેગ \(a = \frac{F}{m} = \frac{-8.0}{0.40} = -20\) m s\(^{-2}\). આ પ્રવેગ 0 s થી 30 s ના સમયગાળા માટે લાગુ પડે છે.
સ્થાન માટેનું સમીકરણ: \(x = v_0t + \frac{1}{2}at^2\).
(i) \(t = -5\) s માટે:
આ સમયગાળામાં (t < 0) બળ લાગતું નથી, તેથી પ્રવેગ \(a = 0\) છે. પદાર્થ અચળ વેગથી ગતિ કરે છે.
\(x = v_0t = 10 \times (-5) = -50\) m.
(ii) \(t = 25\) s માટે:
આ સમયગાળામાં બળ લાગુ પડે છે, તેથી પ્રવેગ \(a = -20\) m s\(^{-2}\) છે.
\(x = v_0t + \frac{1}{2}at^2 = (10)(25) + \frac{1}{2}(-20)(25)^2\)
\(x = 250 - 10 \times 625\)
\(x = 250 - 6250 = -6000\) m = -6 km.
(iii) \(t = 100\) s માટે:
આ કિસ્સામાં, પદાર્થ પર t = 0 થી t = 30 s સુધી બળ લાગે છે અને ત્યારબાદના 70 s (30 s થી 100 s) દરમિયાન બળ લાગતું નથી. આથી, આપણે બે ભાગમાં ગણતરી કરવી પડશે.
પ્રથમ 30 sમાં પદાર્થનું સ્થાનાંતર \((x_1)\):
\(x_1 = v_0t + \frac{1}{2}at^2 = (10)(30) + \frac{1}{2}(-20)(30)^2\)
\(x_1 = 300 - 10 \times 900 = 300 - 9000 = -8700\) m.
t = 30 s ક્ષણે પદાર્થનો વેગ \((v')\):
\(v' = v_0 + at = 10 + (-20)(30) = 10 - 600 = -590\) m s\(^{-1}\).
હવે, પછીના 70 s દરમિયાન (t = 30 s થી t = 100 s) પદાર્થ પર બળ લાગતું નથી, તેથી તે અચળ વેગ \(v' = -590\) m s\(^{-1}\) થી ગતિ કરે છે.
આ સમયગાળામાં સ્થાનાંતર \((x_2)\):
\(x_2 = v' \times t = (-590)(70) = -41300\) m.
t = 100 s સમયે પદાર્થનું કુલ સ્થાન \((X)\):
\(X = x_1 + x_2 = -8700 + (-41300) = -50000\) m = -50 km.
In simple words: બળ લાગતા પહેલા અને બળ લાગ્યા પછી વસ્તુ અચળ વેગથી ચાલે છે, જ્યારે બળ લાગતું હોય ત્યારે તે પ્રવેગિત ગતિ કરે છે. આ નિયમોનો ઉપયોગ કરીને જુદા-જુદા સમયે સ્થાન શોધી શકાય.

🎯 Exam Tip: ગતિના જુદા-જુદા તબક્કાઓ (બળ લાગતું હોય કે ન લાગતું હોય) ને અલગથી ગણીને પછી કુલ સ્થાનાંતર માટે પરિણામોનો સરવાળો કરવો, અને દિશાને ધ્યાનમાં રાખીને યોગ્ય ચિહ્નનો ઉપયોગ કરવો.

Question 11. એક ટ્રક સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ કરીને 2.0 m s-2ની પ્રવેગિત ગતિ કરે છે. t = 10 સેકન્ડે ટ્રકની ઉપર ઊભેલી (જમીનથી 6m ઊંચાઈએ) એક વ્યક્તિ પથ્થરને પડવા દે છે. t = 11 સેકન્ડે પથ્થરના (a) વેગ અને (b) પ્રવેગ કેટલા હશે? (હવાનો અવરોધ અવગણો.)
Answer:
આપેલ માહિતી અનુસાર:
ટ્રકનો પ્રારંભિક વેગ \(v_0 = 0\) m s\(^{-1}\)
ટ્રકનો પ્રવેગ \(a = 2.0\) m s\(^{-2}\)
ગુરુત્વ પ્રવેગ \(g = 10\) m s\(^{-2}\)
વ્યક્તિ પથ્થરને \(t = 10\) s સમયે પડવા દે છે.
\(t = 10\) s સમયે ટ્રકનો વેગ: \(u = v_0 + at = 0 + (2)(10) = 20\) m s\(^{-1}\).
(a) \(t = 11\) s સમયે પથ્થરનો વેગ:
જ્યારે \(t = 10\) s પર પથ્થરને ટ્રકમાંથી પડવા દેવામાં આવે છે, ત્યારે પથ્થરનો સમક્ષિતિજ વેગ ટ્રકના વેગ જેટલો હોય છે, એટલે કે \(v_x = 20\) m s\(^{-1}\). અધોદિશામાં પ્રારંભિક વેગ \(v_{oy} = 0\) હોય છે, અને પ્રવેગ \(a_y = g = 10\) m s\(^{-2}\).

ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): આકૃતિ \(t=10\) s સમયે ટ્રકમાંથી પડતા પથ્થરની ગતિ દર્શાવે છે. પથ્થરનો સમક્ષિતિજ વેગ \(v_x\) અને અધોદિશાનો વેગ \(v_y\) હોય છે, જે \(\theta\) કોણ બનાવે છે.

પથ્થરને છોડ્યા પછી 1 સેકન્ડ પછી (\(t = 11\) s એટલે કે \(t = 11 - 10 = 1\) s) અધોદિશામાં પથ્થરનો વેગ:

\(v_y = v_{oy} + a_y t = 0 + (10)(1) = 10\) m s\(^{-1}\).
પથ્થરનો પરિણામી વેગ \((V)\) આ સમક્ષિતિજ અને અધોદિશાના વેગનો સદિશ સરવાળો હોય છે:
\(V = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \sqrt{20^2 + 10^2} = \sqrt{400 + 100} = \sqrt{500} \approx 22.4\) m s\(^{-1}\).
પરિણામી વેગ \(V\) એ \(v_x\) સાથે \(\theta\) કોણ બનાવે છે:
\(\tan \theta = \frac{v_y}{v_x} = \frac{10}{20} = \frac{1}{2}\)
\(\theta = \tan^{-1}(\frac{1}{2}) \approx 26.6^\circ\).
(b) \(t = 11\) s સમયે પથ્થરનો પ્રવેગ:
જ્યારે પથ્થરને ટ્રકમાંથી પડતો મૂકવામાં આવે છે, ત્યારે તેના પર સમક્ષિતિજ દિશામાં કોઈ બળ લાગતું નથી. પથ્થર ફક્ત ગુરુત્વાકર્ષણ બળના પ્રભાવ હેઠળ હોય છે. આથી, તેનો પ્રવેગ ફક્ત ગુરુત્વ પ્રવેગ \(g = 10\) m s\(^{-2}\) જેટલો જ હોય છે, જે અધોદિશામાં હોય છે.
In simple words: જ્યારે વસ્તુને ગતિશીલ વાહનમાંથી છોડવામાં આવે છે, ત્યારે તેનો સમક્ષિતિજ વેગ જળવાઈ રહે છે અને અધોદિશામાં ગુરુત્વાકર્ષણ બળ જ લાગે છે.

🎯 Exam Tip: આવા પ્રશ્નોમાં, ગતિના બે સ્વતંત્ર ઘટકો - સમક્ષિતિજ (અચળ વેગ) અને અધોદિશા (ગુરુત્વાકર્ષણ હેઠળ) - ને અલગ-અલગ ગણવા અને પછી પરિણામી વેગ માટે સદિશ સરવાળો કરવો એ ચાવીરૂપ છે.

Question 12. એક ઓરડાની છત પરથી 2m લાંબી દોરી વડે 0.1 kg દળના લટકાવેલા એક ગોળાને દોલિત કરવામાં આવે છે. તેના મધ્યમાન સ્થાને ગોળાની ઝડપ 1 m s-1 છે. ગોળો જ્યારે
(a) તેનાં કોઈ એક અંત્યસ્થાને હોય
(b) તેના મધ્યમાન સ્થાને હોય, ત્યારે દોરીને કાપવામાં આવે, તો ગોળાનો ગતિપથ કેવો હશે?
Answer:
(a) જયારે દોલિત ગતિ કરતો ગોળો તેના અંત્યસ્થાને પહોંચે છે, ત્યારે તેનો વેગ ક્ષણભર શૂન્ય બની જાય છે, એટલે કે તે ક્ષણ પૂરતો સ્થિર થાય છે. આ ક્ષણે જો દોરી કાપી નાખવામાં આવે, તો ગોળો ગુરુત્વાકર્ષણ બળના પ્રભાવ હેઠળ સીધી અધોદિશામાં ગતિ કરશે. તેથી, તેનો ગતિપથ સુરેખ હશે.
(b) જયારે દોલિત ગતિ કરતો ગોળો તેના મધ્યમાન સ્થાને હોય છે, ત્યારે તેની ઝડપ મહત્તમ હોય છે અને તેની ગતિની દિશા સમક્ષિતિજ હોય છે. આ સ્થાને જો દોરી કાપી નાખવામાં આવે, તો ગોળો ગુરુત્વાકર્ષણ બળની અસર હેઠળ પ્રક્ષિપ્ત ગતિ કરશે. પરિણામે, તેનો ગતિપથ પરવલયાકાર (પ્રોજેક્ટાઈલ) હશે.
In simple words: જો ગોળો સ્થિર હોય ત્યારે દોરી કાપીએ તો તે સીધો નીચે પડે અને જો ગતિમાં હોય ત્યારે કાપીએ તો તે વળાંકમાં નીચે પડે.

🎯 Exam Tip: અંત્યસ્થાને વેગ શૂન્ય હોવાથી, મુક્ત પતન સુરેખ હોય છે, જ્યારે મધ્યમાન સ્થાને મહત્તમ વેગ અને ગુરુત્વાકર્ષણના સંયુક્ત પ્રભાવથી પરવલયાકાર ગતિ થાય છે. આ મૂળભૂત તફાવતને સમજવો જરૂરી છે.

Question 13. 70 kg દળનો એક માણસ એક લિફ્ટમાં વજનકાંટા પર ઊભો છે. નીચેના દરેક કિસ્સામાં વજનકાંટા પરનું અવલોકન કેટલું હશે.
(a) લિફ્ટ ઉપર તરફ 10 m s-1ની નિયમિત ઝડપથી ગતિ કરે છે.
(b) લિફ્ટ નિમ્નદિશા(અધોદિશા)માં 5m s-2ના નિયમિત પ્રવેગથી ગતિ કરે છે.
(c) લિફ્ટ ઊર્ધ્વદિશામાં 5m s-2ના નિયમિત પ્રવેગથી ગતિ કરે છે.
(d) લિફ્ટની યંત્રરચના નિષ્ફળ જાય છે અને લિફ્ટ સપાટાભેર ગુરુત્વાકર્ષણની અસર નીચે મુક્તપતન કરે છે.
Answer:
આપેલ માહિતી અનુસાર:
માણસનું દળ \(m = 70\) kg.
ગુરુત્વ પ્રવેગ \(g = 10\) m s\(^{-2}\).
(a) જયારે લિફ્ટ નિયમિત ઝડપથી (10 m s\(^{-1}\)) ઉપર તરફ ગતિ કરે છે, ત્યારે તેનો પ્રવેગ \(a = 0\) હોય છે. આથી, વ્યક્તિ પર લાગતું આભાસી બળ શૂન્ય હોય છે.
વજનકાંટા પરનું અવલોકન (આભાસી વજન) \(W = mg = 70 \times 10 = 700\) N.
આભાસી વજન = 70 kg wt.
(b) જયારે લિફ્ટ અધોદિશામાં \(a = 5\) m s\(^{-2}\) ના પ્રવેગથી ગતિ કરે છે, ત્યારે વ્યક્તિ પર લાગતું આભાસી બળ ઊર્ધ્વદિશામાં હોય છે.

ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): આકૃતિ (a) લિફ્ટ અધોદિશામાં પ્રવેગ \(a\) સાથે ગતિ કરતી વખતે માણસ પર લાગતા બળો દર્શાવે છે. માણસનું વજન \(mg\) નીચે તરફ અને પ્રતિક્રિયા બળ \(N\) ઉપર તરફ કાર્ય કરે છે, જેના પરિણામે પ્રવેગ \(a\) નીચે તરફ હોય છે.

વજનકાંટા પરનું અવલોકન (આભાસી વજન) \(W = mg - ma = m(g - a)\)
\(W = 70(10 - 5) = 70 \times 5 = 350\) N.
આભાસી વજન = 35 kg wt.
(c) જયારે લિફ્ટ ઊર્ધ્વદિશામાં \(a = 5\) m s\(^{-2}\) ના પ્રવેગથી ગતિ કરે છે, ત્યારે વ્યક્તિ પર લાગતું આભાસી બળ અધોદિશામાં હોય છે.

ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): આકૃતિ (b) લિફ્ટ ઊર્ધ્વદિશામાં પ્રવેગ \(a\) સાથે ગતિ કરતી વખતે માણસ પર લાગતા બળો દર્શાવે છે. માણસનું વજન \(mg\) નીચે તરફ અને પ્રતિક્રિયા બળ \(N\) ઉપર તરફ કાર્ય કરે છે, જેના પરિણામે પ્રવેગ \(a\) ઉપર તરફ હોય છે.

વજનકાંટા પરનું અવલોકન (આભાસી વજન) \(W = mg + ma = m(g + a)\)
\(W = 70(10 + 5) = 70 \times 15 = 1050\) N.
આભાસી વજન = 105 kg wt.
(d) જયારે લિફ્ટની યંત્રરચના નિષ્ફળ જાય અને લિફ્ટ ગુરુત્વાકર્ષણની અસર હેઠળ મુક્ત પતન કરે છે, ત્યારે લિફ્ટનો પ્રવેગ \(a = g\) જેટલો હોય છે. આથી, વજનકાંટા પરનું અવલોકન (આભાસી વજન) હોય છે:
\(W = mg - ma = mg - mg = 0\) N.
આભાસી વજન = 0 kg wt. આ સ્થિતિને ભારવિહીનતા અવસ્થા કહે છે.
In simple words: લિફ્ટમાં વજનનો અનુભવ તેની ગતિ અને પ્રવેગ પર આધાર રાખે છે. અચળ વેગથી હોય તો સાચું વજન, ઉપર પ્રવેગ હોય તો વધારે વજન, નીચે પ્રવેગ હોય તો ઓછું વજન, અને મુક્ત પતન હોય તો ભારવિહીનતા અનુભવાય.

🎯 Exam Tip: લિફ્ટની ગતિ અને પ્રવેગની દિશાને આધારે આભાસી વજનની ગણતરી કરતી વખતે \(mg \pm ma\) સૂત્રનો યોગ્ય રીતે ઉપયોગ કરવો અને મુક્ત પતનની સ્થિતિમાં વજન શૂન્ય બને છે તે યાદ રાખવું.

Question 14. આકૃતિ 5.45 4 kg દળના એક કણનો સ્થાન-સમય આલેખ દર્શાવે છે. (a) t < 0, t > 4s, 0 < t < 4 s, સમયે કણ પર લાગતું બળ (b) t = 0 અને (c) t = 4 s સમયે આઘાત શોધો. (ગતિ એક પારિમાણિક ગણો.)
Answer:

ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): આકૃતિ એક કણનો સ્થાન-સમય (x-t) આલેખ દર્શાવે છે. તે ત્રણ જુદા-જુદા સમયગાળા દર્શાવે છે: t < 0 (રેખા BO), 0 < t < 4s (રેખા OA), અને t > 4s (રેખા x = 3m). આલેખ કણની ગતિ અને સ્થાનમાં ફેરફાર દર્શાવે છે.

આપેલ દળ \(m = 4.0\) kg.
(a) \(t < 0\), \(t > 4\) s, અને \(0 < t < 4\) s સમયે કણ પર લાગતું બળ.
* \(t < 0\) સમયગાળા માટે, x-t આલેખ BO છે, જે દર્શાવે છે કે કણનું સ્થાન શૂન્ય છે (\(x = 0\)). આનો અર્થ એ કે કણ સ્થિર અવસ્થામાં છે. આથી, તેના પર કોઈ બળ લાગતું નથી.
* \(t > 4\) s સમયગાળા માટે, x-t આલેખ એક સીધી રેખા છે જે x = 3m પર સ્થિર છે. આનો અર્થ એ કે કણ 3m સ્થાને સ્થિર છે. આથી, તેના પર પણ કોઈ બળ લાગતું નથી.
* \(0 < t < 4\) s સમયગાળા માટે, x-t આલેખ OA એક સીધી રેખા છે, જેનો ઢાળ અચળ છે. આનો અર્થ એ કે કણ નિયમિત વેગથી ગતિ કરે છે અને તેનો પ્રવેગ શૂન્ય છે. આથી, આ સમયગાળા દરમિયાન પણ કણ પર કોઈ બળ લાગતું નથી.
(b) \(t = 0\) s સમયે આઘાત શોધો.
\(t = 0\) s પહેલાં કણ સ્થિર હતો, તેથી પ્રારંભિક વેગ \(v_0 = 0\) m s\(^{-1}\).
\(t = 0\) s પછી, કણનો વેગ \(v\) એ OA રેખાનો ઢાળ છે:
\(v = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{3 - 0}{4 - 0} = \frac{3}{4}\) m s\(^{-1}\).
બળનો આઘાત એ વેગમાનમાં થતા ફેરફાર જેટલો હોય છે:
આઘાત \(= \Delta p = m(v - v_0) = 4(\frac{3}{4} - 0) = 3\) kg m s\(^{-1}\).
(c) \(t = 4\) s સમયે આઘાત શોધો.
\(t = 4\) s પહેલાં કણનો વેગ \(v = \frac{3}{4}\) m s\(^{-1}\) હતો.
\(t = 4\) s પછી કણ સ્થિર થાય છે, તેથી અંતિમ વેગ \(u = 0\) m s\(^{-1}\).
બળનો આઘાત \(= \Delta p = m(u - v) = 4(0 - \frac{3}{4}) = -3\) kg m s\(^{-1}\).
આથી, દરેક આઘાતનું મૂલ્ય 3 kg m s\(^{-1}\) છે, પરંતુ તેમની દિશાઓ વિરુદ્ધ છે.
In simple words: સ્થાન-સમય આલેખનો ઢાળ વેગ દર્શાવે છે. વેગમાનમાં ફેરફાર બળનો આઘાત આપે છે. જો વેગ અચળ હોય તો બળ શૂન્ય હોય, અને જો વેગ બદલાય તો આઘાત મળે.

🎯 Exam Tip: સ્થાન-સમય આલેખમાંથી વેગ અને પ્રવેગ કેવી રીતે શોધવા તે સમજવું અને બળના આઘાતને વેગમાનના ફેરફાર તરીકે ગણતરી કરવી એ આ પ્રશ્નમાં ગુણ મેળવવા માટે મહત્વપૂર્ણ છે.

Question 15. 10 kg અને 20 kg દળ ધરાવતા બે પદાર્થો A અને Bને લીસી સમક્ષિતિજ સપાટી પર રાખી એક હલકી દોરીના છેડાઓ સાથે બાંધેલ છે. F = 600 Nનું એક સમક્ષિતિજ બળ (1) A પર (ii) B પર દોરીની દિશામાં લગાડવામાં આવે છે. દરેક કિસ્સામાં દોરીમાં તણાવ કેટલો હશે?
Answer:
આપેલ દળ: \(m_A = 10\) kg અને \(m_B = 20\) kg.
લાગુ પાડેલું બળ \(F = 600\) N.
લીસી સમક્ષિતિજ સપાટી હોવાથી, ઘર્ષણ બળ શૂન્ય ગણીશું.
આખા તંત્રનો પ્રવેગ \((a)\) બળ અને કુલ દળ દ્વારા શોધી શકાય છે:
\(a = \frac{F}{m_A + m_B} = \frac{600}{10 + 20} = \frac{600}{30} = 20\) m s\(^{-2}\).
(i) જયારે બળ \(F\) પદાર્થ A પર લગાડવામાં આવે છે:

ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): આકૃતિમાં, બળ \(F\) પદાર્થ A પર લાગુ પડે છે. પદાર્થ A અને B એક દોરી વડે જોડાયેલા છે, જેમાં \(T_1\) તણાવ ઉત્પન્ન થાય છે. આખું તંત્ર પ્રવેગ \(a\) સાથે ગતિ કરે છે.

આ કિસ્સામાં, દોરીમાં ઉત્પન્ન થતું તણાવ બળ \(T_1\) એ પદાર્થ B ને પ્રવેગિત કરવા માટેનું બળ છે.
\(T_1 = m_B \times a = (20)(20) = 400\) N.
(ii) જયારે બળ \(F\) પદાર્થ B પર લગાડવામાં આવે છે:

ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): આકૃતિમાં, બળ \(F\) પદાર્થ B પર લાગુ પડે છે. પદાર્થ B અને A એક દોરી વડે જોડાયેલા છે, જેમાં \(T_2\) તણાવ ઉત્પન્ન થાય છે. આખું તંત્ર પ્રવેગ \(a\) સાથે ગતિ કરે છે.

આ કિસ્સામાં, દોરીમાં ઉત્પન્ન થતું તણાવ બળ \(T_2\) એ પદાર્થ A ને પ્રવેગિત કરવા માટેનું બળ છે.
\(T_2 = m_A \times a = (10)(20) = 200\) N.
In simple words: દોરીમાં તણાવ એ તે ભાગ પરના દળને પ્રવેગિત કરવા માટે જરૂરી બળ જેટલો હોય છે.

🎯 Exam Tip: આવા પ્રશ્નોમાં, સૌ પ્રથમ કુલ દળ અને લાગુ પડેલા બળનો ઉપયોગ કરીને તંત્રનો પ્રવેગ શોધો. પછી, દોરીમાંના તણાવને દરેક પદાર્થ પર લાગુ કરીને અલગ-અલગ કિસ્સાઓમાં તણાવ શોધો.

Question 16. 8 kg અને 12 kg દળના બે પદાર્થો ઘર્ષણ રહિત ગરગડી પરથી પસાર થતી એક ખેંચાય નહિ તેવી દોરીના એક-એક છેડે બાંધેલ છે. આ દળોને છોડી દેવામાં આવે (દોરીથી છોડ્યા વિના પડવા દઈએ), તો તેમનો પ્રવેગ અને દોરીમાંનો તણાવ શોધો.
Answer:
આપેલ માહિતી અનુસાર:
દળ \(m_1 = 8\) kg
દળ \(m_2 = 12\) kg
ગુરુત્વ પ્રવેગ \(g = 10\) m s\(^{-2}\)

ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): આકૃતિ એક ઘર્ષણ રહિત ગરગડી પરથી પસાર થતી દોરી સાથે જોડાયેલા બે દળો \(m_1\) અને \(m_2\) દર્શાવે છે. \(m_2\) દળ \(m_1\) કરતાં વધારે હોવાથી, \(m_2\) નીચે તરફ પ્રવેગ \(a\) સાથે ગતિ કરે છે અને \(m_1\) ઉપર તરફ પ્રવેગ \(a\) સાથે ગતિ કરે છે. દોરીમાં તણાવ \(T\) છે.

ભારે વજન ધરાવતા પદાર્થ \((m_2)\) માટે, ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ અનુસાર (અધોદિશામાં ગતિ કરે છે):
\(m_2g - T = m_2a\)
\(12 \times 10 - T = 12a\)
\(120 - T = 12a\) ....... (1)
હલકા પદાર્થ \((m_1)\) માટે, ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ અનુસાર (ઊર્ધ્વદિશામાં ગતિ કરે છે):
\(T - m_1g = m_1a\)
\(T - (8 \times 10) = 8a\)
\(T - 80 = 8a\) ....... (2)
સમીકરણ (1) અને (2)નો સરવાળો કરતા, તણાવ \(T\) રદ થશે:
\((120 - T) + (T - 80) = 12a + 8a\)
\(40 = 20a\)
\(a = \frac{40}{20} = 2\) m s\(^{-2}\).
હવે, પ્રવેગ \(a\) ની કિંમત સમીકરણ (2)માં મૂકતા, તણાવ \(T\) મળશે:
\(T - 80 = 8(2)\)
\(T - 80 = 16\)
\(T = 16 + 80 = 96\) N.
આથી, પદાર્થોનો પ્રવેગ 2 m s\(^{-2}\) અને દોરીમાં તણાવ 96 N હશે.
In simple words: બે અસમાન વજનવાળી વસ્તુઓ જ્યારે ગરગડી પરથી પસાર થતી દોરી સાથે જોડાયેલી હોય, ત્યારે ભારે વસ્તુ નીચે ખેંચાય અને હલકી વસ્તુ ઉપર જાય, જેના કારણે દોરીમાં તણાવ અને વસ્તુઓમાં પ્રવેગ ઉત્પન્ન થાય છે.

🎯 Exam Tip: આવા પ્રશ્નોમાં, દરેક દળ માટે ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણો બનાવવાનો અને પછી તે સમીકરણોને એકસાથે ઉકેલવાનો યોગ્ય અભિગમ અપનાવવો.

Question 17. નિર્દેશ-ફ્રેમમાં એક ન્યુક્લિયસ સ્થિર છે. જો તે બે નાના ન્યુક્લિયસોમાં વિભંજન પામે, તો દર્શાવો કે તે નીપજો વિરુદ્ધ દિશામાં જ ગતિ કરવા જોઈએ.
Answer:
ધારો કે, સ્થિર ન્યુક્લિયસનું દળ \(M\) છે. તેના વિભંજન પછી, તે બે નાના ન્યુક્લિયસો \(m_1\) અને \(m_2\) માં રૂપાંતરિત થાય છે, જેના વેગ અનુક્રમે \(\vec{v}_1\) અને \(\vec{v}_2\) છે.
પ્રારંભમાં ન્યુક્લિયસ સ્થિર હોવાથી, તેનું પ્રારંભિક વેગમાન \(\vec{p}_{\text{પ્રારંભિક}} = M \vec{v}_{\text{પ્રારંભિક}} = (m_1 + m_2)(0) = 0\).
વિભંજન પછી ન્યુક્લિયસનું કુલ વેગમાન \(\vec{p}_{\text{અંતિમ}} = m_1\vec{v}_1 + m_2\vec{v}_2\).
વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ અનુસાર, પ્રારંભિક વેગમાન અંતિમ વેગમાન બરાબર હોવું જોઈએ:
\(\vec{p}_{\text{પ્રારંભિક}} = \vec{p}_{\text{અંતિમ}}\)
\(0 = m_1\vec{v}_1 + m_2\vec{v}_2\)

\(m_1\vec{v}_1 = -m_2\vec{v}_2\)

\(\vec{v}_2 = -\frac{m_1}{m_2}\vec{v}_1\).
આ સમીકરણ દર્શાવે છે કે ન્યુક્લિયસોના વેગ \(\vec{v}_1\) અને \(\vec{v}_2\) એકબીજાથી વિરુદ્ધ દિશામાં હોય છે, કારણ કે જમણી બાજુએ ઋણ ચિહ્ન આવેલું છે. આથી, બંને નીપજ ન્યુક્લિયસો વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરશે.
In simple words: જ્યારે સ્થિર વસ્તુના બે ટુકડા થાય છે, ત્યારે વેગમાનના નિયમ મુજબ, ટુકડાઓ એકબીજાથી વિરુદ્ધ દિશામાં ફેંકાઈ જાય છે જેથી કુલ વેગમાન શૂન્ય રહે.

🎯 Exam Tip: વેગમાન સંરક્ષણના નિયમનો ઉપયોગ કરવો અને સદિશ સ્વરૂપમાં સમીકરણો લખવા જેથી ઋણ ચિહ્ન દ્વારા દિશાનો તફાવત સ્પષ્ટ થાય, એ આ પ્રશ્નના ઉકેલ માટે જરૂરી છે.

Question 18. 0.05 kg દળના બે બિલિયર્ડ બૉલ 6 m s-1ની ઝડપથી ગતિ કરતા કરતા અથડાય છે અને તેટલી જ ઝડપથી પાછા ફેંકાય (Rebound) છે. દરેક બૉલને બીજા વડે લગાડેલો આઘાત કેટલો હશે?
Answer:
આપેલ માહિતી અનુસાર:
દરેક બિલિયર્ડ બૉલનું દળ \(m = 0.05\) kg.
પ્રારંભિક ઝડપ \(|v| = 6\) m s\(^{-1}\).
બૉલ અથડાઈને તેટલી જ ઝડપથી પાછા ફેંકાય છે, એટલે કે વેગની દિશા ઉલટાય છે.

ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): આકૃતિ બિલિયર્ડ બૉલ A અને Bની અથડામણ પહેલાં અને પછીની સ્થિતિ દર્શાવે છે. અથડામણ પહેલાં, બૉલ A ધન X-દિશામાં અને બૉલ B ઋણ X-દિશામાં ગતિ કરે છે. અથડામણ પછી, બૉલ A ઋણ X-દિશામાં અને બૉલ B ધન X-દિશામાં ગતિ કરે છે, જે વેગની દિશામાં ફેરફાર દર્શાવે છે.

ચાલો ધન દિશામાં ગતિ કરતા બૉલ A માટે ગણતરી કરીએ.
અથડામણ પહેલાં બૉલ A નો વેગ: \(v_A = +6\) m s\(^{-1}\).
અથડામણ પહેલાં બૉલ A નું વેગમાન: \(p_i = m v_A = (0.05)(+6) = +0.3\) kg m s\(^{-1}\).
અથડામણ પછી બૉલ A નો વેગ: \(v'_A = -6\) m s\(^{-1}\) (દિશા ઉલટાઈ).
અથડામણ પછી બૉલ A નું વેગમાન: \(p_f = m v'_A = (0.05)(-6) = -0.3\) kg m s\(^{-1}\).
બૉલ A પર બૉલ B દ્વારા લાગતો આઘાત એ બૉલ A ના વેગમાનમાં થતા ફેરફાર જેટલો હોય છે:
આઘાત \((J_A) = p_f - p_i = (-0.3) - (+0.3) = -0.6\) kg m s\(^{-1}\).
હવે, ઋણ દિશામાં ગતિ કરતા બૉલ B માટે ગણતરી કરીએ.
અથડામણ પહેલાં બૉલ B નો વેગ: \(v_B = -6\) m s\(^{-1}\).
અથડામણ પહેલાં બૉલ B નું વેગમાન: \(p_i = m v_B = (0.05)(-6) = -0.3\) kg m s\(^{-1}\).
અથડામણ પછી બૉલ B નો વેગ: \(v'_B = +6\) m s\(^{-1}\) (દિશા ઉલટાઈ).
અથડામણ પછી બૉલ B નું વેગમાન: \(p_f = m v'_B = (0.05)(+6) = +0.3\) kg m s\(^{-1}\).
બૉલ B પર બૉલ A દ્વારા લાગતો આઘાત એ બૉલ B ના વેગમાનમાં થતા ફેરફાર જેટલો હોય છે:
આઘાત \((J_B) = p_f - p_i = (+0.3) - (-0.3) = +0.6\) kg m s\(^{-1}\).
દરેક બૉલ પરના બળના આઘાતનું મૂલ્ય 0.6 kg m s\(^{-1}\) છે, પરંતુ ન્યૂટનના ગતિના ત્રીજા નિયમ અનુસાર, બંને આઘાતની દિશા વિરુદ્ધ હોય છે.
In simple words: જ્યારે બે બૉલ અથડાઈને પાછા ફરે, ત્યારે દરેક બૉલના વેગમાનમાં ફેરફાર થાય છે. આ ફેરફાર જ બળનો આઘાત છે, જેનું મૂલ્ય સરખું હોય છે પણ દિશા વિરુદ્ધ હોય છે.

🎯 Exam Tip: અથડામણ પહેલાં અને પછી વેગમાનની ગણતરી કરતી વખતે વેગની દિશા માટે યોગ્ય ચિહ્નનો ઉપયોગ કરવો અને બળનો આઘાત વેગમાનના ફેરફાર બરાબર હોય છે તે નિયમ યાદ રાખવો.

Question 19. 100 kg દળની ગનમાંથી 0.020 kg દળનો એક શેલ ફોડવામાં આવે છે. ગનની નાળમાંથી બહાર આવતા શેલની ઝડપ 80 m s-1 હોય, તો ગન કેટલી ઝડપથી પાછી ફેંકાશે (recoil) ?
Answer:
આપેલ માહિતી અનુસાર:
ગનનું દળ \(m_1 = 100\) kg.
શેલનું દળ \(m_2 = 0.020\) kg.
શેલની ઝડપ \(v_2 = 80\) m s\(^{-1}\).
રિકોઇલ ગનનો વેગ \(v_1\) (શોધવાનો છે).
વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ અનુસાર, ગોળી છોડતા પહેલાં અને પછી તંત્રનું કુલ વેગમાન સમાન રહે છે.
ગોળી છોડતા પહેલાં, ગન અને શેલ બંને સ્થિર હતા, તેથી પ્રારંભિક કુલ વેગમાન શૂન્ય હતું.
પ્રારંભિક કુલ વેગમાન = અંતિમ કુલ વેગમાન
\(0 = m_1v_1 + m_2v_2\)

\(m_1v_1 = -m_2v_2\)

\(v_1 = -\frac{m_2v_2}{m_1}\)
\(v_1 = -\frac{0.020 \times 80}{100}\)
\(v_1 = -\frac{1.6}{100}\)
\(v_1 = -0.016\) m s\(^{-1}\).
ઋણ નિશાની દર્શાવે છે કે ગન શેલની ગતિની વિરુદ્ધ દિશામાં પાછી ફેંકાશે (રિકોઇલ થશે).
In simple words: બંદૂકમાંથી ગોળી છોડવામાં આવે ત્યારે, વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ, ગોળી એક દિશામાં જાય તો બંદૂક તેની વિરુદ્ધ દિશામાં પાછળ ખસે છે.

🎯 Exam Tip: વેગમાન સંરક્ષણનો નિયમ લાગુ પાડતી વખતે પ્રારંભિક વેગમાન શૂન્ય લેવું અને વેગની દિશાને દર્શાવવા માટે ઋણ ચિહ્નનો યોગ્ય રીતે ઉપયોગ કરવો.

Question 20. એક બૅટ્સમૅન એક બૉલનું તેની 54 km / hની પ્રારંભિક ઝડપમાં બદલાવ લાવ્યા સિવાય 45° ના કોણ જેટલું આવર્તન (Deflection) કરે છે. બૉલ પર લાગુ પાડેલ આઘાત કેટલો હશે? (બૉલનું દળ 0.15 kg છે.)
Answer:
આપેલ માહિતી અનુસાર:
બૉલનું દળ \(m = 0.15\) kg.
પ્રારંભિક ઝડપ \(v = 54\) km/h. તેને m/s માં રૂપાંતરિત કરીએ:
\(v = 54 \times \frac{1000}{3600} = 15\) m s\(^{-1}\).
બૉલની ઝડપમાં કોઈ બદલાવ આવતો નથી, તેથી અંતિમ ઝડપ પણ \(v = 15\) m s\(^{-1}\) હોય છે.
આવર્તન કોણ \(= 45^\circ\). આનો અર્થ એ કે બૉલ તેના મૂળ માર્ગથી 45° કોણે વિપરીત દિશામાં જાય છે. તેથી, બળનો કોણ \(\theta = 45^\circ\) થશે, અને \(F\) અને \(P\) વચ્ચેનો કોણ \(45/2 = 22.5^\circ\) થશે.

ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): આકૃતિ એક બૉલના વેગમાનમાં થતો ફેરફાર દર્શાવે છે. બૉલ \(p_i\) વેગમાન સાથે AO દિશામાંથી આવે છે અને બેટ સાથે અથડાઈને \(p_f\) વેગમાન સાથે OB દિશામાં પાછો ફરે છે. આ \(p_i\) અને \(p_f\) ને તેમના X અને Y ઘટકોમાં વિભાજિત કરવામાં આવ્યા છે, જ્યાં \(X\)-અક્ષ અને \(Y\)-અક્ષ બતાવેલ છે. આવર્તન કોણ \(\theta\) પણ દર્શાવેલ છે.

ધારો કે X-અક્ષ બેટની સપાટીને લંબ છે અને Y-અક્ષ સપાટીને સમાંતર છે. જો બોલનું આવર્તન 45° હોય, તો આવનાર અને જનાર વેગ વેક્ટર વચ્ચેનો કોણ 45° છે. તેથી, બેટને લંબ દિશા X-અક્ષ સાથે, આવનાર અને જનાર વેગ 22.5° નો કોણ બનાવશે.
પ્રારંભિક વેગમાન \(\vec{p}_i\) ને X અને Y ઘટકોમાં લખતા:
\(\vec{p}_i = p_{ix}\hat{i} + p_{iy}\hat{j} = (mv \cos 22.5^\circ)\hat{i} - (mv \sin 22.5^\circ)\hat{j}\).
અંતિમ વેગમાન \(\vec{p}_f\) ને X અને Y ઘટકોમાં લખતા:
\(\vec{p}_f = p_{fx}\hat{i} + p_{fy}\hat{j} = -(mv \cos 22.5^\circ)\hat{i} - (mv \sin 22.5^\circ)\hat{j}\).
બૉલ પર લાગુ પડેલો આઘાત એ વેગમાનમાં થયેલો ફેરફાર \(\Delta \vec{p} = \vec{p}_f - \vec{p}_i\) છે.
\(\Delta \vec{p} = (-(mv \cos 22.5^\circ)\hat{i} - (mv \sin 22.5^\circ)\hat{j}) - ((mv \cos 22.5^\circ)\hat{i} - (mv \sin 22.5^\circ)\hat{j})\)
\(\Delta \vec{p} = -2mv \cos 22.5^\circ \hat{i}\).
મૂલ્યો મુકતા:
\(\Delta \vec{p} = -2 \times (0.15) \times (15) \times \cos 22.5^\circ\)
\(\Delta \vec{p} = -4.5 \times 0.9239\) (નોંધ: \(\cos 22.5^\circ \approx 0.9239\))
\(\Delta \vec{p} \approx -4.157\) kg m s\(^{-1}\).
ઋણ નિશાની દર્શાવે છે કે બૉલ પરનો આઘાત -X-અક્ષની દિશામાં છે, એટલે કે બેટની સપાટીને લંબ અને અંદરની તરફ.
In simple words: બેટ બોલને તેની ગતિની દિશા બદલ્યા વિના એક ખૂણા પર વાળી દે, ત્યારે બેટ બોલ પર એક આઘાત લગાડે છે જે બોલના વેગમાનમાં ફેરફાર કરે છે, જે બેટની સપાટીને લંબ દિશામાં હોય છે.

🎯 Exam Tip: આવા પ્રશ્નોમાં વેગમાનના ઘટકોમાં વિભાજન કરવું અને વેગમાનમાં થતા ફેરફારને સદિશ સ્વરૂપમાં ગણતરી કરવી, સાથે જ દિશા માટે યોગ્ય ચિહ્નોનો ઉપયોગ કરવો, તે મહત્વપૂર્ણ છે.

 

Question 21. દોરીના એક છેડે બાંધેલા 0.25 kg દળના પથ્થરને સમક્ષિતિજ સમતલમાં 1.5m ત્રિજ્યાના વર્તુળમાં 40 rev/min (પરિભ્રમણ / મિનિટ)ની ઝડપથી ઘુમાવવામાં આવે છે. દોરીમાં તણાવ કેટલું હશે? જો દોરી મહત્તમ 200 Nનું તણાવ ખમી શકે તેમ હોય, તો કેટલી મહત્તમ ઝડપથી પથ્થરને ઘુમાવી શકાય?

Answer:

ઉકેલ:

ધારો કે, દરેક સિક્કાનું દળ \(m\) છે.
અહીં, સિક્કાની વર્તુળ ગતિ માટે,
જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ \( \le \) મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણબળ
હોય, તો જ સિક્કો તકતી સાથે ભ્રમણ ચાલુ રાખી શકે.

પથ્થરનું દળ \(m = 0.25\) kg છે.
ત્રિજ્યા \(r = 1.5\) m છે.
આવૃત્તિ \(v = 40 \text{ rev/min} = \frac{40}{60} \text{ rev/s} = \frac{2}{3} \text{ rps}\) છે.
કોણીય આવૃત્તિ \( \omega = 2\pi v = 2\pi \times \frac{2}{3} = \frac{4\pi}{3} \text{ rad s}^{-1} \) છે.
દોરીમાં ઉદ્ભવતું તણાવ એ કેન્દ્રગામી બળ જેટલું હોય છે.
\( T = mr\omega^2 \)
\( = 0.25 \times 1.5 \times \left(\frac{4\pi}{3}\right)^2 \)
\( = 0.25 \times 1.5 \times \frac{16\pi^2}{9} \)
\( \approx 6.6 \text{ N} \)
જો મહત્તમ તણાવ \(T_{\text{max}} = 200\) N હોય, તો મહત્તમ ઝડપ \(v_{\text{max}}\) શોધવા માટે:
\( T_{\text{max}} = \frac{mv_{\text{max}}^2}{r} \)
\( v_{\text{max}}^2 = \frac{T_{\text{max}} r}{m} \)
\( v_{\text{max}} = \sqrt{\frac{T_{\text{max}} r}{m}} \)
\( = \sqrt{\frac{200 \times 1.5}{0.25}} \)
\( = \sqrt{1200} \)
\( \approx 34.6 \text{ m s}^{-1} \)
In simple words: First, we calculate the angular velocity and then the tension in the string using the formula for centripetal force. Then, using the maximum allowable tension, we find the maximum possible speed the stone can have without breaking the string.

🎯 Exam Tip: Remember to convert units (like rev/min to rad/s or km/h to m/s) before applying formulas. Centripetal force and tension calculations are common, so be precise with your values and formulas.

 

Question 22. ઉપરના પ્રશ્ન (21)માં, જો એ મહત્તમ ઝડપ કરતાં વધુ ઝડપ આપતાં દોરી તૂટી પડે, તો તૂટ્યા બાદ પદાર્થનો ગતિપથ નીચેનામાંથી કઈ સાચી રીતે વર્ણવી શકાય?

(a) પથ્થર ત્રિજ્યાવર્તી દિશામાં બહાર ફેંકાય છે.
(b) દોરી તૂટે તે ક્ષણથી પથ્થર સ્પર્શકની દિશામાં ગતિ કરશે.
(c) પથ્થર સ્પર્શક સાથે એવા કોણે ગતિ કરશે કે જેનું માન પથ્થરની ઝડપ પર આધારિત હશે.
Answer: (b) દોરી તૂટે તે ક્ષણથી પથ્થર સ્પર્શકની દિશામાં ગતિ કરશે.

In simple words: When the string breaks, the centripetal force that kept the stone in a circular path is removed. The stone will then continue to move in the direction it was heading at that exact moment, which is tangential to the circle.

🎯 Exam Tip: This question tests understanding of circular motion and inertia. Recall that an object in circular motion has instantaneous velocity tangential to the path; once the centripetal force is gone, it flies off tangentially due to inertia.

 

Question 23. સમજાવો શા માટે,
(a) ખાલી અવકાશમાં ઘોડો ગાડીને ખેંચી અને દોડી શકતો નથી.
(b) ઝડપથી ગતિ કરતી બસ એકાએક અટકે ત્યારે મુસાફરો તેમની બેઠકથી આગળ તરફ ફેંકાય છે.
(c) ઘાસ કાપતા મશીનને ધકેલવા કરતાં ખેંચવાનું સહેલું છે.
(d) ક્રિકેટર કૅચ પકડવા દરમિયાન તેના હાથ પાછળ તરફ ખેંચે છે.

Answer:
(a) ઘોડો પૃથ્વી પર દોડે છે ત્યારે તે તેના પગથી જમીનને પાછળની તરફ દબાવે છે અને પૃથ્વી એ ઘોડા પર આગળની દિશા તરફ પ્રતિક્રિયા બળ લગાડે છે. આથી તે આગળની દિશા તરફ જઈ શકે છે. ખાલી અવકાશમાં કોઈ આધાર ન હોવાથી પ્રતિક્રિયા બળ લાગતું નથી. તેથી ઘોડો ખાલી અવકાશમાં દોડી શકતો નથી.
In simple words: A horse needs to push against a surface (like the ground) to move forward. In empty space, there's nothing to push against, so no reaction force is generated, making movement impossible.

🎯 Exam Tip: This part relates to Newton's Third Law of Motion (action-reaction pairs). Emphasize the necessity of a reaction force from an external surface for propulsion.

 

(b) આ ઘટના પદાર્થના જડત્વના ગુણધર્મને આભારી છે. જયારે ગતિમાન બસ એકાએક અટકી જાય છે ત્યારે બસની સીટ પર બેઠેલી વ્યક્તિનો શરીરનો નીચેનો ભાગ ગતિ કરતો અટકી જાય છે. પરંતુ જડત્વના ગુણધર્મ અનુસાર શરીરનો ઉપરનો ભાગ આગળની તરફ ગતિ કરવાનું ચાલુ રાખે છે. આથી વ્યક્તિ આગળની તરફ ધકેલાય છે.
In simple words: This is due to inertia. When a moving bus stops suddenly, your body's lower part stops with the bus, but your upper body tends to continue moving forward because of its inertia, causing you to lurch forward.

🎯 Exam Tip: This highlights Newton's First Law (Inertia). Explain that objects in motion tend to stay in motion unless acted upon by an external force.

 

(c)
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): આકૃતિ 5.51(a) ઘાસ કાપવાના મશીનને ખેંચતી વખતે લાગતા બળો દર્શાવે છે. આકૃતિ 5.51(b) મશીનને ધકેલતી વખતે લાગતા બળો દર્શાવે છે, જેમાં લંબ પ્રતિક્રિયા બળ અને ઘર્ષણ બળ અલગ રીતે કાર્ય કરે છે.
(a) આકૃતિ 5.51 (a)માં દર્શાવ્યા મુજબ,
\( N + F \sin \theta = mg \implies N = mg - F \sin \theta \)
(b) આકૃતિ 5.51 (b)માં દર્શાવ્યા મુજબ, \( N = mg + F \sin \theta \).
ઘાસ કાપતા મશીન અને જમીન વચ્ચે લાગતું ઘર્ષણબળ \(f_k \propto N\) હોય છે. અહીં, ઘાસ કાપતા મશીનને ખેંચવાના કિસ્સામાં લંબપ્રતિક્રિયા બળ (N) ઓછું હોવાથી, ઘર્ષણબળ (\(f_k\)) ઓછું લાગે છે. આથી તે સરળતાથી ખેંચી શકાય છે.
In simple words: When pulling a lawnmower, part of the pulling force acts upwards, reducing the effective weight and thus the friction. When pushing, part of the pushing force acts downwards, increasing the effective weight and friction, making it harder.

🎯 Exam Tip: This involves understanding force components and friction. Drawing free-body diagrams helps visualize how normal force changes with pushing versus pulling, directly impacting friction.

 

(d) જ્યારે ક્રિકેટર બૉલનો કૅચ કરે છે ત્યારે બૉલ વડે હાથ પર બળ લાગે છે. ક્રિકેટર જ્યારે બૉલનો કૅચ કરે છે ત્યારે તે તેનો હાથ આગળ લઈ જઈ મૅચ કરીને પાછળ કે નીચે તરફ લઈ જાય છે. આમ કરવાથી બૉલ અને હાથનો સંપર્કસમય વધે છે અને બળની અસર ઓછી થાય છે. જો આમ ન કરવામાં આવે, તો હાથના પંજાને ઈજા થવાની શક્યતા રહે છે.
In simple words: By moving their hands backward while catching a ball, a cricketer increases the time over which the ball's momentum changes. This reduces the average force exerted on the hands, preventing injury, as force is inversely proportional to time of impact for a given change in momentum.

🎯 Exam Tip: This illustrates the concept of impulse and momentum, \(F\Delta t = \Delta p\). A larger contact time \(\Delta t\) for the same change in momentum \(\Delta p\) means a smaller average force \(F\).

 

Question 24. આકૃતિ 5.52માં 0.04 kg દળના એક પદાર્થનો સ્થાન- સમય આલેખ દર્શાવેલ છે. આ ગતિ માટે યોગ્ય ભૌતિક સંદર્ભ જણાવો. પદાર્થને પ્રાપ્ત થતા બે ક્રમિક આઘાતો વચ્ચેનો સમયગાળો કેટલો છે? દરેક આઘાતનું મૂલ્ય શું છે?

Answer:

ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): આકૃતિ 5.52 એક કણનો સ્થાન-સમય આલેખ દર્શાવે છે. તે સ્પષ્ટપણે બતાવે છે કે કણ 0 થી 2 cm સુધી જાય છે અને પછી 2 cm થી 0 cm સુધી પાછો આવે છે, જે સમાંતર દીવાલો વચ્ચે અથડામણ સૂચવે છે.
આ x – t આલેખ દર્શાવે છે કે પદાર્થ 2 sમાં x = 0 સ્થાનેથી x = 2 cm સ્થાને અચળ ઝડપથી ગતિ કરે છે અને પાછો તે x = 0 સ્થાને એ જ અચળ ઝડપથી પાછો આવે છે. આ આલેખ દર્શાવે છે કે કોઈ દડો, 2 cmના અંતરે આવેલી બે સમાંતર દીવાલો વચ્ચે વારંવાર અથડાયા કરે છે.
t = 2 s પહેલા કણની ઝડપ,
\(v_1 = \) x – t આલેખનો ઢાળ
\( = \frac{(2-0) \text{ cm}}{(2-0) \text{ s}} = 1 \text{ cm s}^{-1} = 0.01 \text{ m s}^{-1} \)
t = 2 s બાદ કણની ઝડપ,
\(v_2 = \) x – t આલેખનો ઢાળ
\( = \frac{(0-2) \text{ cm}}{(4-2) \text{ s}} = -1 \text{ cm s}^{-1} = -0.01 \text{ m s}^{-1} \)
t = 2 s સમયે આઘાત = વેગમાનમાં ફેરફાર
\( = m(v_2 - v_1) \)
\( = 0.04(-0.01 - 0.01) \)
\( = 0.04(-0.02) \)
\( = -0.0008 \text{ kg m s}^{-1} \)
આઘાતનું મૂલ્ય \( = 8 \times 10^{-4} \text{ kg m s}^{-1} \).
અહીં, દર 2 sના સમય-અંતરાલે કણનો આઘાત \(8 \times 10^{-4} \text{ kg m s}^{-1}\) છે.
બે ક્રમિક આઘાતો વચ્ચેનો સમયગાળો 2 s છે.
In simple words: The graph shows a particle bouncing between two walls 2 cm apart. We calculate its velocity before and after each bounce to find the change in momentum, which gives us the impulse. The time between successive impulses is 2 seconds.

🎯 Exam Tip: For position-time graphs, the slope represents velocity. Changes in velocity signify an impulse. Impulse is equal to the change in momentum. Pay attention to signs for direction.

 

Question 25. આકૃતિ 5.53 એક સમક્ષિતિજ કન્વેયર (વહન કરાવતા) બેલ્ટ, જે 1 m s-2થી પ્રવેગિત થાય છે, તેના પર બેલ્ટની સાપેક્ષે ઊભેલો એક સ્થિર માણસ દર્શાવેલ છે. માણસ પર ચોખ્ખું (પરિણામી) બળ કેટલું હશે? જો માણસના બૂટ અને બેલ્ટ વચ્ચેનો સ્થિત ઘર્ષણાંક 0.2 હોય, તો બેલ્ટના કેટલા પ્રવેગ સુધી માણસ બેલ્ટની સાપેક્ષે સ્થિર ઊભો રહી શકે? (માણસનું દળ = 65 kg)

Answer:

ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): આકૃતિ 5.53 માં એક કન્વેયર બેલ્ટ પર ઊભેલા માણસને દર્શાવવામાં આવ્યો છે. માણસ બેલ્ટની સાપેક્ષે સ્થિર છે, તેથી માણસ બેલ્ટના પ્રવેગ સાથે જ પ્રવેગિત થાય છે અને ઘર્ષણ બળ કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે.
જ્યારે માણસ બેલ્ટની સાપેક્ષે સ્થિર છે,
માણસનો પ્રવેગ = બેલ્ટનો પ્રવેગ \(a = 1 \text{ m s}^{-2}\)
માણસનું દળ \(m = 65\) kg
માણસ પર લાગતું પરિણામી બળ,
\(F = ma = 65 \times 1 = 65 \text{ N}\)
હવે, સ્થિત ઘર્ષણાંક \(\mu_s = 0.2\).
સીમાંત ઘર્ષણબળ \(f_{s(\text{max})} = \mu_s R = \mu_s mg\)
જો માણસ બેલ્ટના મહત્તમ પ્રવેગ \(a_{\text{max}}\) સુધી સ્થિર રહી શકતો હોય, તો
\(F = ma_{\text{max}} = \mu_s mg\)
\(a_{\text{max}} = \mu_s g = (0.2)(10) = 2.0 \text{ m s}^{-2}\)
In simple words: The net force on the man is his mass times the belt's acceleration. For him to remain stable, this force must be less than or equal to the maximum static friction between his shoes and the belt. This condition allows us to calculate the maximum acceleration the belt can have before he slips.

🎯 Exam Tip: This problem combines Newton's Second Law with the concept of static friction. Remember that the static friction provides the necessary force for acceleration, and it has a maximum limit. Always check if the required force exceeds this limit.

 

Question 26. એક દોરીને છેડે બાંધેલો m દળનો પથ્થર R ત્રિજ્યાના ઊર્ધ્વવર્તુળમાં ભ્રમણ કરે છે. વર્તુળનાં ઉચ્ચતમ અને નિમ્રતમ બિંદુઓએ, અધોદિશામાં લાગતા ચોખ્ખા (પરિણામી) બળ માટે નીચેનામાંથી સાચો વિકલ્પ પસંદ કરો :
નિમ્નતમ બિંદુએ ઉચ્ચતમ બિંદુએ
(a) \(mg-T_1\) \(mg+T_2\)
(b) \(mg+T_1\) \(mg-T_2\)
(c) \(mg+T_1 - \frac{mv_1^2}{R}\) \(mg-T_2 + \frac{mv_2^2}{R}\)
(d) \(mg-T_1 - \frac{mv_1^2}{R}\) \(mg+T_2 + \frac{mv_2^2}{R}\)
\(T_1\) અને \(v_1\) નિમ્રતમ બિંદુએ તણાવ અને ઝડપ દર્શાવે છે.
\(T_2\) અને \(v_2\) અનુરૂપ મૂલ્યો ઉચ્ચતમ બિંદુએ દર્શાવે છે.

Answer: (a) \(mg-T_1\) \(mg+T_2\)

ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): આકૃતિ 5.54 ઊર્ધ્વ વર્તુળમાં ભ્રમણ કરતા પથ્થર પર લાગતા બળો દર્શાવે છે. નિમ્નતમ બિંદુએ, તણાવ બળ ઉપર તરફ અને વજન બળ નીચે તરફ હોય છે. ઉચ્ચતમ બિંદુએ, તણાવ અને વજન બળ બંને નીચે તરફ હોય છે.
ઉકેલ:
આકૃતિ પરથી સ્પષ્ટ છે કે, ન્યૂનતમ બિંદુએ પથ્થર પર લાગતું વજન બળ \(mg\) અને તણાવ \(T_1\), પરસ્પર વિરુદ્ધ દિશામાં છે.
∴ ચોખ્ખું બળ, \(F_L = T_1 - mg\) (ઉપર તરફ ગતિ માટે) અથવા \(F_L = mg - T_1\) (જો નીચે તરફના બળને ધન લઈએ).
ઉચ્ચતમ બિંદુએ પથ્થર પર લાગતું વજન બળ અને તણાવ \(T_2\) એક જ દિશામાં (નીચે તરફ) છે.
∴ ચોખ્ખું બળ \(F_U = mg + T_2\).
આમ, વિકલ્પ (a) સાચો છે.
In simple words: At the lowest point of the vertical circle, the tension acts upwards and gravity acts downwards. At the highest point, both tension and gravity act downwards. The net force for circular motion is the centripetal force.

🎯 Exam Tip: This question tests your ability to apply Newton's second law in circular motion at specific points. Clearly identify the direction of forces (tension, gravity) and define a positive direction for consistent sign conventions. Remember that centripetal force is always directed towards the center of the circle.

 

Question 28. 10-2 m² આડછેદનું ક્ષેત્રફળ ધરાવતી એક નળીમાં 15 ms-1ની ઝડપે સમક્ષિતિજ વહન કરતા પાણીના પ્રવાહમાંથી પાણી બહાર ધસી આવીને નજીકની ઊર્ધ્વ દીવાલને અથડાય છે. પાણીની અસરથી દીવાલ પર લાગતું બળ કેટલું હશે? પાણી પાછું ફેંકાતું (Rebound) નથી તેમ ધારો.

Answer:

ઉકેલ:
પાણીનો પ્રારંભિક વેગ \(v_0 = 15 \text{ m s}^{-1}\), અંતિમ વેગ \(v = 0\) (પાણી પાછું ફેંકાતું નથી તેમ ધારો), સમય \(t = 1\) s, આડછેદનું ક્ષેત્રફળ \(A = 10^{-2} \text{ m}^2\).
પાણીની ઘનતા \(\rho = 1000 \text{ kg m}^{-3}\).
નળીમાંથી બહાર આવતા પાણીનું દળ પ્રતિ સેકન્ડ:
દળ પ્રવાહ દર \( \frac{\text{Mass}}{\text{Time}} = \frac{\text{Volume}}{\text{Time}} \times \text{Density} \)
\( = \left( \frac{\text{Distance}}{\text{Time}} \times \text{Area} \right) \times \text{Density} \)
\( = \text{Velocity} \times \text{Area} \times \text{Density} \)
\( = Av\rho = (10^{-2}) \times 15 \times 1000 = 150 \text{ kg s}^{-1} \)
દીવાલ વડે પાણી પર લાગતું બળ એ વેગમાનમાં ફેરફારના દર જેટલું હોય છે.
\( F = \frac{\text{Change in momentum}}{\text{Time}} = \frac{m(v - v_0)}{t} \)
અહીં, \(\frac{m}{t}\) એ દળ પ્રવાહ દર છે.
\( F = (\frac{m}{t})(v - v_0) = 150 (0 - 15) = -2250 \text{ N} \)
પાણી વડે દીવાલ પર લાગતું બળ,
\( F' = -F = -(-2250) \text{ N} = 2250 \text{ N} \)
In simple words: The force exerted by the water on the wall is calculated by determining the mass flow rate of the water and then using the impulse-momentum theorem. Since the water does not rebound, its final velocity perpendicular to the wall is zero.

🎯 Exam Tip: This problem involves applying the concept of force as the rate of change of momentum. Remember to calculate the mass of water hitting the wall per second (mass flow rate) and correctly use the initial and final velocities. The negative sign indicates the direction of force.

 

Question 29. એક ટેબલ પર એક-એક રૂપિયાના દસ સિક્કાઓ ઉપરાઉપરી મૂકેલ છે. દરેક સિક્કાનું દળ m છે. નીચેના કિસ્સાઓમાં બળનાં માન અને દિશા જણાવોઃ
(a) નીચેથી ગણતાં 7મા સિક્કા પર તેનાથી ઉપરના બધા સિક્કાઓ વડે લાગતું બળ
(b) આઠમા સિક્કા વડે 7મા સિક્કા પર લાગતું બળ
(c) છઠ્ઠા સિક્કાનું 7મા સિક્કા પરનું પ્રતિક્રિયા બળ

Answer:
(a) 7મા સિક્કા પર લાગતું બળ એટલે તેની ઉપર રહેલા ત્રણ સિક્કાઓ (8મો, 9મો અને 10મો) વડે લાગતું બળ.
\(F = (3m)g = 3mg\) (અધોદિશામાં).
In simple words: The 7th coin supports the weight of all coins above it. Since there are three coins (8th, 9th, 10th) above it, the force is three times the weight of one coin, acting downwards.

🎯 Exam Tip: When dealing with stacked objects, remember that the force on any object in the stack is the sum of the weights of all objects above it, acting downwards.

 

(b) 8મા સિક્કા વડે 7મા સિક્કા પર લાગતું બળ એટલે 8માં સિક્કા તેમજ તેની પર રહેલા 9મા અને 10મા સિક્કા વડે લાગતું કુલ બળ.
(આ સમજૂતી ખોટી છે. 8મા સિક્કા વડે 7મા સિક્કા પર લાગતું બળ ફક્ત 8મા સિક્કાનું પોતાનું વજન અને તેના ઉપર રહેલા સિક્કાઓનું વજન હશે.)
ચાલો, સાચી સમજૂતી આપીએ:
8મા સિક્કા વડે 7મા સિક્કા પર લાગતું બળ એ 8મા સિક્કાનું વજન અને 8મા સિક્કા પર રહેલા સિક્કાઓ (9મો અને 10મો)નું વજન એમ કુલ ત્રણ સિક્કાના વજન જેટલું હશે.
\(F = (1m + 2m)g = 3mg\) (અધોદિશામાં).
In simple words: The 8th coin exerts a force on the 7th coin equal to its own weight plus the weight of all coins above it (the 9th and 10th coins). So, it's the weight of three coins, directed downwards.

🎯 Exam Tip: Be careful with wording. "Force by coin X on coin Y" means coin X is the *agent* exerting force. If coin X is above coin Y, it exerts its own weight plus the weight of everything on top of it, downwards.

 

(c) છઠ્ઠા સિક્કાનું 7મા સિક્કા પરનું પ્રતિક્રિયા બળ:
છઠ્ઠા સિક્કાની ઉપર આવેલા ચાર સિક્કાઓ (સિક્કો 7, 8, 9 અને 10) તેના પર \(4mg\) જેટલું બળ શિરોલંબ અધોદિશામાં લગાડે છે. આથી ન્યૂટનના ત્રીજા નિયમ અનુસાર છઠ્ઠા સિક્કા દ્વારા 7મા સિક્કા પર લાગતું પ્રતિક્રિયા બળ \(4mg\) જેટલું ઊર્ધ્વદિશામાં લાગશે.
(નોંધ: પ્રશ્નમાં "છઠ્ઠા સિક્કાનું 7મા સિક્કા પરનું પ્રતિક્રિયા બળ" પૂછ્યું છે. આનો અર્થ એમ થાય કે 7મો સિક્કો 6ઠા સિક્કા પર જેટલું બળ લગાડે છે, તેની વિરુદ્ધ દિશામાં 6ઠો સિક્કો 7મા સિક્કા પર પ્રતિક્રિયા બળ લગાડે છે. 7મા સિક્કા પર 8, 9, 10 સિક્કાનું વજન અને પોતાનું વજન લાગે છે. તેથી 7મા સિક્કા પર કુલ \(4mg\) જેટલું વજન લાગે છે. આથી 7મો સિક્કો 6ઠા સિક્કા પર \(4mg\) બળ નીચે તરફ લગાડે છે. તો 6ઠો સિક્કો 7મા સિક્કા પર \(4mg\) બળ ઉપર તરફ લગાડે.)
In simple words: The 7th coin experiences a total downward force from itself and the three coins above it (8th, 9th, 10th), summing to \(4mg\). According to Newton's Third Law, the 6th coin exerts an equal and opposite reaction force upwards on the 7th coin, which is \(4mg\).

🎯 Exam Tip: Newton's Third Law is crucial here. The reaction force exerted by the lower coin on the upper coin will be equal in magnitude and opposite in direction to the action force exerted by the upper coin (and all coins above it) on the lower coin.

 

Question 30. એક વિમાન તેની પાંખોને 15°એ ઢળતી રાખીને 720 km/hની ઝડપથી એક સમક્ષિતિજ સમતલમાં બંધગાળો (Loop) રચે છે, આ બંધગાળાની ત્રિજ્યા કેટલી હશે?

Answer:

ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): આકૃતિ 5.55 એક વિમાનને દર્શાવે છે જેની પાંખો ક્ષિતિજ સાથે \(\theta\) કોણ બનાવે છે. અહીં, પાંખો પર લાગતું ઉર્ધ્વગામી લિફ્ટ બળ \(N\) બે ઘટકોમાં વિભાજિત થાય છે: એક ઊભો ઘટક જે વજનને સમતોલે છે અને એક આડો ઘટક જે કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે.
ઉકેલ:
ઢોળાવનો કોણ \(\theta = 15^\circ\).
ઝડપ \(v = 720 \text{ km/h} = 720 \times \frac{1000}{3600} \text{ m s}^{-1} = 200 \text{ m s}^{-1}\).
ગુરુત્વપ્રવેગ \(g = 10 \text{ m s}^{-2}\).
વિમાન જ્યારે વર્તુળમાર્ગે બંધગાળો રચે છે ત્યારે તેની બહારની અને અંદરની પાંખો આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ સમક્ષિતિજ સાથે 15°ના ખૂણે ઢળતી રહે છે.
વિમાન (પાંખો) પર લાગતું ઉર્ધ્વગામી લિફ્ટ બળ \(N\) અને તેના ઘટકો આકૃતિમાં દર્શાવ્યા છે. વિમાનની ઊર્ધ્વદિશામાં કોઈ ગતિ નહિ હોવાથી,
\(N \cos \theta = mg\) ..........(1)
\(N\)નો સમક્ષિતિજ ઘટક \(N \sin \theta\) એ કેન્દ્રગામી બળ \(\frac{mv^2}{r}\) પૂરું પાડે છે.
\(N \sin \theta = \frac{mv^2}{r}\) ..........(2)
સમીકરણ (2) અને (1) પરથી,
\( \frac{N \sin \theta}{N \cos \theta} = \frac{mv^2/r}{mg} \)
\( \tan \theta = \frac{v^2}{rg} \)
\( r = \frac{v^2}{g \tan \theta} \)
\( = \frac{(200)^2}{10 \times \tan 15^\circ} \)
\( = \frac{40000}{10 \times 0.2679} \)
\( = \frac{40000}{2.679} \approx 14930 \text{ m} \approx 14.93 \text{ km} \)
In simple words: When an airplane banks, the lift force on its wings tilts. The horizontal component of this tilted lift provides the necessary centripetal force for the circular turn, while the vertical component balances gravity. By equating these forces, the radius of the turn can be calculated.

🎯 Exam Tip: This is a classic example of banked turns. Remember to resolve the lift force into horizontal and vertical components. The vertical component balances weight, and the horizontal component provides the centripetal force. The formula \( \tan \theta = \frac{v^2}{rg} \) is a key relationship for banked turns.

 

Question 31. એક ટ્રેન ઢોળાવ વગરના 30 m ત્રિજ્યાવાળા વર્તુળાકાર ટ્રેક પર 54 km/hની ઝડપથી દોડી રહી છે. ટ્રેનનું દળ \(10^6\) kg છે. આ હેતુ માટે કેન્દ્રગામી બળ કોના દ્વારા પૂરું પાડવામાં આવે છે – એન્જિન કે રેલ? રેલના પાટાનો ધસારો અટકાવવા માટે ઢોળાવનો કોણ કેટલો રાખવો પડે?

Answer:

ઉકેલ:
ઝડપ \(v = 54 \text{ km h}^{-1} = 54 \times \frac{1000}{3600} \text{ m s}^{-1} = 15 \text{ m s}^{-1}\).
ત્રિજ્યા \(r = 30\) m.
અહીં, કેન્દ્રગામી બળ એ રેલવેના પાટા (રેલ) દ્વારા ટ્રેનનાં પૈડાં તરફની બાજુ લાગે છે.
ન્યૂટનના ત્રીજા નિયમ અનુસાર આ બળ ટ્રેન દ્વારા સમાન અને વિરુદ્ધ દિશામાં રેલવેના પાટા પર લાગે છે. તેને લીધે પૈડાંની બહારની ધાર પર વધારે ધસારો પહોંચે છે.
રેલના પાટાનો ધસારો અટકાવવા માટે, ઢોળાવનો કોણ \(\theta\) આ પ્રમાણે હોવો જોઈએ:
\( \tan \theta = \frac{v^2}{rg} \)
\( = \frac{(15)^2}{30 \times 10} \)
\( = \frac{225}{300} = 0.75 \)
\( \theta = \tan^{-1}(0.75) \)
\( \theta \approx 36.86^\circ \approx 37^\circ \)
In simple words: On an unbanked curve, the centripetal force required for the train to turn is provided by the friction between the wheels and the rails. To prevent wear on the tracks, the track needs to be banked. The banking angle is calculated such that the normal force's horizontal component provides the necessary centripetal force, thus reducing reliance on friction.

🎯 Exam Tip: This problem connects centripetal force with practical engineering. On unbanked tracks, friction provides centripetal force, leading to wear. Banking eliminates the need for friction for centripetal force. The formula \( \tan \theta = \frac{v^2}{rg} \) is central to banking calculations.

 

Question 32. આકૃતિ 5.56માં દર્શાવ્યા મુજબ 50 kgનો એક માણસ 25 kg દળના એક બ્લૉકને બે જુદી જુદી રીતે ઊંચકી રહ્યો છે. બે કિસ્સાઓમાં માણસ વડે તળિયા પર કેટલું ક્રિયા બળ લાગશે? જો તળિયું 700 N લંબબળ વડે નમી પડતું હોય, તો માણસે બ્લૉકને ઊંચકવા કઈ રીત અપનાવવી જોઈએ કે જેથી તળિયું નમી પડે નહિ?

Answer:

ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): આકૃતિ 5.56 (a) માં, એક માણસ બ્લોકને ઉપર ખેંચી રહ્યો છે, જેનાથી માણસ પર નીચે તરફ બળ લાગે છે. આકૃતિ 5.56 (b) માં, માણસ બ્લોકને ઉપર ધકેલી રહ્યો છે, જેનાથી માણસ પર ઉપર તરફ બળ લાગે છે.
ઉકેલ:
બ્લૉકનું દળ \(m = 25\) kg.
માણસનું દળ \(M = 50\) kg.
ગુરુત્વપ્રવેગ \(g = 10 \text{ m s}^{-2}\).
બ્લૉકને ઊંચકવા માટે લગાવવું પડતું બળ \(F = mg = 25 \times 10 = 250 \text{ N}\).
માણસનું વજન બળ \(W = Mg = (50)(10) = 500 \text{ N}\).
તળિયું 700 N લંબબળ ખમી શકે છે.
આકૃતિ 5.56 (a)માં દર્શાવ્યા મુજબ વ્યક્તિ જ્યારે \(F\) બળથી બ્લૉકને ઉપરની તરફ ખેંચે છે ત્યારે ન્યૂટનના ત્રીજા નિયમ અનુસાર તેનું ક્રિયા બળ (\(F\)) તળિયા પર અધોદિશામાં લાગશે.
આથી માણસ દ્વારા તળિયા પર લાગતું કુલ ક્રિયા બળ = માણસનું વજન બળ + બ્લૉકને ખેંચવાનું બળ
\( = W + F = 500 + 250 = 750 \text{ N} \).
આકૃતિ 5.56 (b)માં દર્શાવ્યા મુજબ વ્યક્તિ જ્યારે \(F\) જેટલું બળ અધોદિશામાં લગાડીને બ્લૉક ઊંચકે છે ત્યારે ન્યૂટનના ત્રીજા નિયમ અનુસાર ક્રિયા બળ (\(F\)) ઊર્ધ્વદિશામાં લાગે છે.
આથી માણસ દ્વારા તળિયા પર લાગતું કુલ ક્રિયા બળ = માણસનું વજન બળ - બ્લૉકને ધકેલવાનું બળ
\( = W - F = 500 - 250 = 250 \text{ N} \).
તળિયું ફક્ત 700 N જેટલું લંબબળ ખમી શકે છે. આથી આકૃતિ 5.56 (b)માં દર્શાવેલી રીતથી વ્યક્તિએ બ્લૉક ઊંચકવો જોઈએ, કારણ કે આ કિસ્સામાં તળિયા પર લાગતું કુલ બળ 250 N છે જે 700 N થી ઓછું છે.

In simple words: The man needs to choose the method that minimizes the total downward force on the floor. When pulling the block upwards, the force he applies adds to his weight on the floor. When pushing the block up from below, the force he applies reduces his effective weight on the floor. Since the floor can only withstand 700 N, pushing the block up is the safer method (250 N total force), as pulling it would exert 750 N, causing the floor to break.

🎯 Exam Tip: This problem emphasizes Newton's Third Law in practical scenarios. Analyze the forces acting on the man and, consequently, on the floor. The key is to determine whether the applied force adds to or subtracts from the man's weight on the supporting surface.

 

Question 33. 40 kgનો એક વાંદરો એક દોરડું (આકૃતિ 5.57) કે જે મહત્તમ 600 Nનું તણાવ ખમી શકે છે તેના પર ચડે છે. નીચેનામાંથી કયા કિસ્સામાં દોરડું તૂટી જશે?

Answer:

ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): આકૃતિ 5.58 વાંદરો ઉપર તરફ પ્રવેગિત થાય ત્યારે દોરડામાં તણાવ અને બળોની દિશા દર્શાવે છે. આકૃતિ 5.59 વાંદરો નીચે તરફ પ્રવેગિત થાય ત્યારે દોરડામાં તણાવ અને બળોની દિશા દર્શાવે છે.
ઉત્તર:
વાંદરાનું દળ \(m = 40\) kg.
દોરડામાં મહત્તમ તણાવ \(T_{\text{max}} = 600\) N.
અહીં, દરેક કિસ્સામાં દોરડામાં ઉદ્ભવતું તણાવ એટલે વાંદરાનું આભાસી વજન.
(a) વાંદરો \(a = 6 \text{ m s}^{-2}\) ના પ્રવેગથી ઉપર ચડે ત્યારે દોરીમાંનું તણાવ \(T\) ઊર્ધ્વદિશામાં અને વાંદરાનું વજન અધોદિશામાં હોવાથી, પરિણામી બળ,
\(F = ma = T - mg\)
\(T = m(g+a) = 40(10+6) = 40 \times 16 = 640 \text{ N}\).
અહીં, \(T > T_{\text{max}}\) (640 N > 600 N) હોવાથી દોરડું તૂટી જશે.
(b) વાંદરો \(a = 4 \text{ m s}^{-2}\) ના પ્રવેગથી નીચે ઊતરે ત્યારે પરિણામી બળ,
\(F = ma = mg - T\)
\(T = m(g-a) = 40(10-4) = 40 \times 6 = 240 \text{ N}\).
અહીં, \(T < T_{\text{max}}\) (240 N < 600 N) હોવાથી દોરડું તૂટશે નહિ.
(c) વાંદરો નિયમિત ઝડપ \(v = 5 \text{ m s}^{-1}\) થી ઉપર ચડે છે. આથી તેનો પ્રવેગ \(a = 0\) છે. પરિણામી બળ
\(F = ma = 0\)
\(T = mg = (40)(10) = 400 \text{ N}\).
અહીં, \(T < T_{\text{max}}\) (400 N < 600 N) હોવાથી દોરડું તૂટશે નહિ.
(d) વાંદરો દોરડા પર ગુરુત્વાકર્ષણની અસર હેઠળ મુક્તપતન કરે ત્યારે \(a = g\) હોવાથી,
\(T = m(g-a) = m(g-g) = 0 \text{ N}\).
અહીં, \(T < T_{\text{max}}\) (0 N < 600 N) હોવાથી દોરડું તૂટશે નહિ.
In simple words: The rope will break if the tension in it exceeds its maximum capacity (600 N). Tension increases when the monkey accelerates upwards and decreases when it accelerates downwards or moves at a constant velocity. Only when the monkey accelerates upwards at 6 m/s² does the tension (640 N) exceed the maximum, causing the rope to snap.

🎯 Exam Tip: This problem involves applying Newton's Second Law to an elevator-type scenario. Remember that apparent weight (and thus tension) increases with upward acceleration and decreases with downward acceleration. In free fall, tension becomes zero.

 

Question 34. દળના બે પદાર્થો A અને B, ટેબલ પર એકબીજાની સાથે સંપર્કમાં અને દીવાલને અડીને રહેલા છે (આકૃતિ 5.60) પદાર્થો અને ટેબલ વચ્ચેનો ઘર્ષણાંક 0.15 છે. 200 Nનું એક બળ A પર સમક્ષિતિજ લગાડવામાં આવે છે. (a) દીવાલનું પ્રતિક્રિયા બળ (b) A અને B વચ્ચે ક્રિયા-પ્રતિક્રિયા બળો શોધો, જ્યારે દીવાલને દૂર કરવામાં આવે ત્યારે શું થાય? જ્યારે પદાર્થો ગતિમાં હોય ત્યારે (b)ના જવાબમાં ફેરફાર થશે? \(\mu_s\) અને \(\mu_k\) વચ્ચેનો તફાવત અવગણો.

Answer:

ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): આકૃતિ 5.60 માં, બે બ્લોક A અને B એક દીવાલ સામે ટેબલ પર સંપર્કમાં છે, અને બ્લોક A પર 200 N બળ લાગુ પડે છે. આકૃતિ 5.61 માં, દીવાલ દૂર કર્યા પછી બ્લોક A અને B પર લાગતા બળો દર્શાવ્યા છે.
ઉકેલ:
પદાર્થ Aનું દળ \(m_A = 5\) kg.
પદાર્થ Bનું દળ \(m_B = 10\) kg.
ઘર્ષણાંક \(\mu = 0.15\).
લાગુ પાડેલ બળ \(F = 200\) N.
(a) પદાર્થ A અને B ટેબલની સપાટી સાથે સંપર્કમાં હોવાથી લાગતું ઘર્ષણબળ,
\(f = \mu (m_A + m_B) g = 0.15 (5 + 10) 10 = 0.15 \times 150 = 22.5 \text{ N}\).
આ ઘર્ષણબળ ડાબી તરફ લાગે છે.
તંત્ર પર \(F = 200\) N બળ લગાડતાં, દીવાલ પર લાગતું ચોખ્ખું બળ,
\(F' = F - f = 200 - 22.5 = 177.5 \text{ N}\) (જે જમણી તરફ લાગે છે).
આથી દીવાલનું પ્રતિક્રિયા બળ = \(177.5 \text{ N}\) (જે ડાબી તરફ છે).
In simple words: The force exerted on the wall is the net force applied to the system (200 N) minus the friction opposing the motion. The wall then exerts an equal and opposite reaction force.

🎯 Exam Tip: To find the reaction force from the wall, consider the entire system (both blocks) and calculate the net force acting on it. The wall's reaction will oppose this net force. Remember to account for friction.

 

(b) પદાર્થ A પર લાગતું ઘર્ષણબળ \(f_A = \mu m_A g = 0.15 \times 5 \times 10 = 7.5 \text{ N}\) (જે ડાબી તરફ લાગે છે).
પદાર્થ A દ્વારા પદાર્થ B પર લાગતું ચોખ્ખું બળ (ક્રિયા બળ),
\(F_{AB} = F - f_A = 200 - 7.5 = 192.5 \text{ N}\) (જે જમણી તરફ લાગે છે).
આથી ન્યૂટનના ત્રીજા નિયમ અનુસાર પદાર્થ B દ્વારા પદાર્થ A પર લાગતું પ્રતિક્રિયા બળ \(F_{BA}\) એ \(F_{AB}\)ની વિરુદ્ધ દિશામાં લાગશે.
\(F_{BA} = 192.5 \text{ N}\) (જે ડાબી તરફ લાગે છે).
જ્યારે દીવાલ દૂર કરવામાં આવે ત્યારે પદાર્થ A અને Bનું બનેલું તંત્ર એ ચોખ્ખા બળ \(F\)ની અસર હેઠળ પ્રવેગી ગતિ કરશે.
∴ પ્રવેગ \(a = \frac{\text{ચોખ્ખું બળ (F)}}{\text{કુલ દળ}} = \frac{177.5}{5+10} = \frac{177.5}{15} \approx 11.83 \text{ m s}^{-2}\).
પદાર્થ A દ્વારા ઉત્પન્ન થતું બળ \(F' = m_A a = 5 \times 11.83 = 59.15 \text{ N}\).
દીવાલને દૂર કરતાં પદાર્થ B પર A દ્વારા લાગતું પરિણામી બળ,
\(F_{BA} = F_{AB} - F' = 192.5 - 59.15 = 133.35 \text{ N}\) (જે જમણી તરફ લાગે છે).
આથી પદાર્થ B નો A પરનો પ્રત્યાઘાત \(F_{AB} = 133.35 \text{ N}\) (જે ડાબી તરફ લાગશે). આમ, દીવાલ દૂર કરવાથી (b)ના જવાબો બદલાય છે.
In simple words: When the wall is present, the force between A and B is the force applied on A minus the friction on A. When the wall is removed, the system accelerates, and the force between A and B becomes the force needed to accelerate B. This changes the interaction forces between the blocks because they are no longer static.

🎯 Exam Tip: Analyze the system in two parts: first, when it's static against the wall, and second, when the wall is removed and the blocks accelerate. The forces of interaction change dramatically. Newton's Third Law still applies, but the magnitudes will differ due to acceleration.

Question 35. एक लंबी ट्रॉली पर 15 kg द्रव्यमान का एक ब्लॉक रखा हुआ है। ब्लॉक और ट्रॉली के बीच का स्थैतिक घर्षण गुणांक 0.18 है। ट्रॉली स्थिर स्थिति से 20 सेकंड तक 0.5 m s^-2 के त्वरण से गति करती है, और फिर नियत वेग से गति करती है। (a) जमीन पर स्थिर प्रेक्षक और (b) ट्रॉली के साथ गतिशील प्रेक्षक के लिए ब्लॉक की गति की चर्चा करें।

Answer: दिए गए मान हैं: ब्लॉक का द्रव्यमान \(m = 15 \text{ kg}\), स्थैतिक घर्षण गुणांक \( \mu_s = 0.18 \), ट्रॉली का त्वरण \(a = 0.5 \text{ m s}^{-2}\), और त्वरण का समय \(t = 20 \text{ s}\)।
(a) ट्रॉली की गति के कारण ब्लॉक पर लगने वाला बल \(F\) की गणना न्यूटन के दूसरे नियम से की जाती है: \(F = ma = 15 \text{ kg} \times 0.5 \text{ m s}^{-2} = 7.5 \text{ N}\)। ब्लॉक पर लगने वाला अधिकतम स्थैतिक घर्षण बल \(f_{s(\text{max})}\) इस प्रकार है: \(f_{s(\text{max})} = \mu_s mg = 0.18 \times 15 \text{ kg} \times 10 \text{ m s}^{-2} = 27 \text{ N}\)। चूंकि अधिकतम स्थैतिक घर्षण बल \(f_{s(\text{max})}\) ब्लॉक पर ट्रॉली द्वारा लगाए गए बल \(F\) से अधिक है (\(27 \text{ N} > 7.5 \text{ N}\)), ब्लॉक ट्रॉली के सापेक्ष गति नहीं करेगा। इसलिए, जमीन पर खड़े एक स्थिर प्रेक्षक को ब्लॉक ट्रॉली के सापेक्ष स्थिर दिखाई देगा। ब्लॉक ट्रॉली की त्वरित गति के दौरान भी स्थिर रहेगा। जब ट्रॉली एक नियत वेग से गति करती है, तो उसका त्वरण शून्य होता है, और इस स्थिति में ब्लॉक पर केवल घर्षण बल ही कार्य करता है।
(b) यदि प्रेक्षक त्वरित ट्रॉली में है, तो वह एक अजड़त्वीय निर्देश-फ्रेम में है, जहाँ न्यूटन के गति के नियम सीधे लागू नहीं होते हैं। हालांकि, जब ट्रॉली एक नियत वेग से गति करती है, तो प्रेक्षक को ब्लॉक उसके सापेक्ष स्थिर प्रतीत होगा, क्योंकि कोई सापेक्ष त्वरण नहीं होता है।

In simple words: जब ट्रॉली त्वरित होती है, तो ब्लॉक पर लगने वाला बल अधिकतम घर्षण बल से कम होता है, इसलिए यह ट्रॉली के सापेक्ष स्थिर रहता है। जमीन पर खड़े व्यक्ति को यह स्थिर दिखता है। लेकिन ट्रॉली के अंदर के प्रेक्षक के लिए, यह एक अजड़त्वीय फ्रेम है।

🎯 Exam Tip: जड़त्वीय और अजड़त्वीय फ्रेमों में गति का विश्लेषण करते समय घर्षण बल और आभासी बलों की अवधारणा को स्पष्ट रूप से समझना महत्वपूर्ण है।

Question 36. आकृति 5.63 में दर्शाया गया है कि एक ट्रक का पिछला भाग खुला है और उसमें 40 kg द्रव्यमान का एक बक्सा खुले सिरे से 5m दूर रखा है। बक्से और निचली सतह के बीच का घर्षण गुणांक 0.15 है। एक सीधे रास्ते पर ट्रक स्थिर स्थिति से शुरू करके 2 m s^-2 के त्वरण से गति करता है। प्रारंभिक बिंदु से कितनी दूरी पर बक्सा ट्रक से गिर जाएगा? (बक्से का आकार नगण्य मानो।)

ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र एक ट्रक को दर्शाता है जिसके पीछे एक बक्सा रखा हुआ है। ट्रक दाईं ओर त्वरित हो रहा है, और बक्से पर घर्षण बल बाईं ओर लग रहा है। बक्सा ट्रक के खुले सिरे से कुछ दूरी पर है।

Answer: दिए गए मान हैं: बक्से का द्रव्यमान \(m = 40 \text{ kg}\), ट्रक का त्वरण \(a = 2 \text{ m s}^{-2}\), घर्षण गुणांक \( \mu = 0.15 \), और बक्से से ट्रक के खुले सिरे तक की दूरी \(x = 5 \text{ m}\)।
बक्से की गति को घर्षण बल द्वारा रोका जाता है। घर्षण बल \(f = \mu mg = 0.15 \times 40 \text{ kg} \times 10 \text{ m s}^{-2} = 60 \text{ N}\)।
ट्रक के आगे की ओर त्वरण के कारण बक्से पर लगने वाला बल \(F = ma = 40 \text{ kg} \times 2 \text{ m s}^{-2} = 80 \text{ N}\)।
बक्से पर पीछे की ओर लगने वाला शुद्ध बल \(F'\) है: \(F' = F - f = ma - \mu mg\)।
\(F' = 40 \text{ kg} (2 \text{ m s}^{-2} - (0.15 \times 10 \text{ m s}^{-2})) = 40 (2 - 1.5) \text{ N} = 40 \times 0.5 \text{ N} = 20 \text{ N}\)।
इस शुद्ध बल के कारण बक्सा पीछे की ओर त्वरित गति करेगा, जिसका त्वरण \(a'\) होगा: \(a' = \frac{F'}{m} = \frac{20 \text{ N}}{40 \text{ kg}} = 0.5 \text{ m s}^{-2}\)।
बक्से को ट्रक के खुले सिरे तक 5m की दूरी तय करने में लगने वाला समय \(t\) की गणना निम्न सूत्र से की जा सकती है: \(x = v_0 t + \frac{1}{2} a't^2\)। चूंकि बक्सा शुरू में स्थिर है, \(v_0 = 0\)।
\(5 = 0 + \frac{1}{2} (0.5) t^2 \implies t^2 = \frac{5 \times 2}{0.5} = 20 \implies t = \sqrt{20} \text{ s}\)।
इस समय \(t\) में ट्रक द्वारा तय की गई दूरी \(x'\) है: \(x' = v_0 t + \frac{1}{2} at^2\)। चूंकि ट्रक भी स्थिर स्थिति से शुरू हुआ है, \(v_0 = 0\)।
\(x' = 0 + \frac{1}{2} (2 \text{ m s}^{-2}) (\sqrt{20} \text{ s})^2 = \frac{1}{2} \times 2 \times 20 \text{ m} = 20 \text{ m}\)।
अतः, ट्रक प्रारंभिक बिंदु से 20 m की दूरी तय करने के बाद बक्सा ट्रक से गिर जाएगा।

In simple words: जब ट्रक गति करता है, तो बक्से पर पीछे की ओर एक शुद्ध बल लगता है। बक्सा इस बल के कारण पीछे हटता है और ट्रक से गिर जाता है। गिरने में लगने वाले समय के दौरान ट्रक जितनी दूरी तय करता है, वही गिरने का बिंदु होता है।

🎯 Exam Tip: ऐसे प्रश्नों में, सापेक्ष त्वरण और गति के समीकरणों का उपयोग करके बक्से के गिरने का समय और ट्रक द्वारा तय की गई दूरी की गणना करना महत्वपूर्ण है। सुनिश्चित करें कि आप घर्षण बल को सही ढंग से शामिल करें।

Question 37. 15 cm त्रिज्या की एक डिस्क 33\( \frac{1}{3} \) rev/min की गति से घूम रही है। रिकॉर्ड (डिस्क) के केंद्र से दो सिक्के 4 cm और 14 cm दूर रखे गए हैं। यदि सिक्के और रिकॉर्ड के बीच का घर्षण गुणांक 0.15 है, तो कौन सा सिक्का रिकॉर्ड के साथ घूमना जारी रखेगा?

Answer: दिए गए मान हैं: डिस्क की त्रिज्या \(R = 15 \text{ cm}\) (यह कुल डिस्क की त्रिज्या है, सिक्कों की स्थिति के लिए अलग त्रिज्याएँ हैं), घर्षण गुणांक \( \mu_s = 0.15 \)।
डिस्क की कोणीय गति \( \nu = 33\frac{1}{3} \text{ rev/min} = \frac{100}{3} \text{ rev/min} \)। इसे सेकंड प्रति रोटेशन (rps) में बदलने पर: \( \nu = \frac{100/3}{60} \text{ rps} = \frac{100}{180} \text{ rps} = \frac{5}{9} \text{ rps} \)।
कोणीय आवृत्ति \(\omega\) की गणना: \( \omega = 2\pi\nu = 2\pi \times \frac{5}{9} = \frac{10\pi}{9} \text{ rad s}^{-1} \)।
किसी सिक्के को डिस्क के साथ घूमने के लिए, आवश्यक अभिकेन्द्रीय बल अधिकतम स्थैतिक घर्षण बल से कम या उसके बराबर होना चाहिए।
अर्थात, \( \frac{mv^2}{r} \le f_{s(\text{max})} \)। यहाँ, \(v = r\omega\), इसलिए \( \frac{m(r\omega)^2}{r} \le \mu_s mg \implies mr\omega^2 \le \mu_s mg \)।
इससे \( r\omega^2 \le \mu_s g \implies r \le \frac{\mu_s g}{\omega^2} \)।
मान रखने पर: \( r \le \frac{0.15 \times 10}{(\frac{10\pi}{9})^2} = \frac{1.5}{\frac{100\pi^2}{81}} = \frac{1.5 \times 81}{100\pi^2} \approx \frac{121.5}{100 \times (3.14159)^2} \approx \frac{121.5}{986.96} \approx 0.123 \text{ m} \)।
\( r \le 12.3 \text{ cm} \)।
इसका मतलब है कि केवल वही सिक्के डिस्क के साथ घूमना जारी रखेंगे जिनकी केंद्र से दूरी 12.3 cm या उससे कम है।
पहला सिक्का 4 cm की दूरी पर रखा गया है, जो 12.3 cm से कम है।
दूसरा सिक्का 14 cm की दूरी पर रखा गया है, जो 12.3 cm से अधिक है।
अतः, केंद्र के पास रखा 4 cm दूरी वाला सिक्का डिस्क के साथ घूमता रहेगा, जबकि 14 cm दूरी वाला सिक्का डिस्क से बाहर फेंक दिया जाएगा।

In simple words: डिस्क पर रखे सिक्के को अभिकेन्द्रीय बल चाहिए ताकि वह घूमता रहे, जो घर्षण बल से मिलता है। यदि सिक्के की दूरी इतनी बढ़ जाती है कि घर्षण बल आवश्यक अभिकेन्द्रीय बल प्रदान नहीं कर पाता, तो सिक्का बाहर निकल जाता है।

🎯 Exam Tip: वृत्ताकार गति में अभिकेन्द्रीय बल और घर्षण बल के बीच के संबंध को समझना महत्वपूर्ण है। अधिकतम दूरी की गणना करते समय कोणीय गति को रेडियन प्रति सेकंड में परिवर्तित करना न भूलें।

Question 38. आपने सर्कस में 'मौत का कुआँ' (एक खोखले गोलाकार चैंबर जिसमें छेद होते हैं ताकि दर्शक बाहर से देख सकें) में ऊर्ध्वाधर लूप में मोटरसाइकिल चलाने वाले व्यक्ति को देखा होगा। जब मोटरसाइकिल चलाने वाला व्यक्ति उच्चतम बिंदु पर होता है, तो वह नीचे आधार न होने के बावजूद क्यों नहीं गिरता? यदि चैंबर की त्रिज्या 25 m है, तो उच्चतम बिंदु पर ऊर्ध्वाधर लूप बनाने के लिए न्यूनतम गति कितनी होनी चाहिए?

Answer: मौत के कुएँ में, मोटरसाइकिल-सवार और मोटरसाइकिल पर लगने वाला अभिलंब बल (N) और गुरुत्वाकर्षण बल (mg) मिलकर आवश्यक अभिकेन्द्रीय बल प्रदान करते हैं जो उन्हें वृत्ताकार मार्ग पर बनाए रखता है। उच्चतम बिंदु पर, अभिलंब बल (N) और गुरुत्वाकर्षण बल (mg) दोनों नीचे की ओर कार्य करते हैं। समीकरण इस प्रकार है: \( N + mg = \frac{mv^2}{r} \)।
सवार उच्चतम बिंदु पर नीचे नहीं गिरता क्योंकि उसकी गति इतनी पर्याप्त होती है कि गुरुत्वाकर्षण बल और (यदि आवश्यक हो) अभिलंब बल मिलकर उसे वृत्ताकार पथ पर बनाए रखने के लिए आवश्यक अभिकेन्द्रीय बल प्रदान करते हैं। न्यूनतम गति पर, अभिलंब बल शून्य हो जाता है (यानी, \(N = 0\))। इस स्थिति में, केवल गुरुत्वाकर्षण बल ही आवश्यक अभिकेन्द्रीय बल प्रदान करता है।
न्यूनतम गति \(v_{\text{min}}\) पर, \( mg = \frac{mv_{\text{min}}^2}{r} \)।
यहां से, \( v_{\text{min}}^2 = gr \implies v_{\text{min}} = \sqrt{gr} \)।
दिए गए मान हैं: चैंबर की त्रिज्या \(r = 25 \text{ m}\) और गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण \(g = 10 \text{ m s}^{-2}\)।
\( v_{\text{min}} = \sqrt{10 \text{ m s}^{-2} \times 25 \text{ m}} = \sqrt{250} \text{ m s}^{-1} \approx 15.8 \text{ m s}^{-1} \)।
इसलिए, उच्चतम बिंदु पर ऊर्ध्वाधर लूप बनाने के लिए न्यूनतम गति लगभग 15.8 m s^-1 होनी चाहिए।

In simple words: मौत के कुएँ में सवार उच्चतम बिंदु पर गुरुत्वाकर्षण और दीवार के अभिलंब बल से पर्याप्त अभिकेन्द्रीय बल प्राप्त करता है। यदि गति न्यूनतम हो, तो गुरुत्वाकर्षण बल अकेले ही उसे गिरने से बचाता है।

🎯 Exam Tip: ऊर्ध्वाधर वृत्ताकार गति में उच्चतम बिंदु पर अभिकेन्द्रीय बल के लिए समीकरण स्थापित करते समय अभिलंब बल और गुरुत्वाकर्षण बल दोनों की दिशा पर ध्यान दें। न्यूनतम गति की स्थिति में अभिलंब बल को शून्य मान लिया जाता है।

Question 39. 3 m त्रिज्या वाले और ऊर्ध्वाधर अक्ष के चारों ओर 200 rev/min की गति से घूमने वाले खोखले बेलन की अंदरूनी दीवार से सटा हुआ 70 kg का एक व्यक्ति खड़ा है। दीवार और उसके कपड़ों के बीच का घर्षण गुणांक 0.15 है। यदि फर्श अचानक हटा दिया जाए, तो व्यक्ति (गिरे बिना) दीवार से चिपका रह सके इसके लिए बेलन की न्यूनतम कोणीय गति कितनी होनी चाहिए?

Answer: दिए गए मान हैं: घर्षण गुणांक \( \mu = 0.15 \), बेलन की त्रिज्या \(r = 3 \text{ m}\), और व्यक्ति का द्रव्यमान \(m = 70 \text{ kg}\)।
बेलन की दीवार द्वारा व्यक्ति पर लगाया गया क्षैतिज अभिलंब बल \(N\) आवश्यक अभिकेन्द्रीय बल प्रदान करता है।
\( N = \frac{mv^2}{r} \), जहाँ \(v = r\omega\) है, तो \( N = m r \omega^2 \)।
दीवार और व्यक्ति के कपड़ों के बीच लगने वाला घर्षण बल \(f\) (ऊर्ध्वाधर ऊपर की दिशा में) व्यक्ति के वजन \(mg\) को संतुलित करता है।
व्यक्ति के गिरे बिना दीवार से चिपके रहने के लिए, घर्षण बल उसके वजन के बराबर या उससे अधिक होना चाहिए: \( f \ge mg \)।
स्थैतिक घर्षण बल का अधिकतम मान \( f_{s(\text{max})} = \mu N \)। इसलिए, \( \mu N \ge mg \)।
\( \mu (mr\omega^2) \ge mg \)।
दोनों तरफ \(m\) से भाग देने पर: \( \mu r\omega^2 \ge g \)।
इससे \( \omega^2 \ge \frac{g}{\mu r} \)।
व्यक्ति को गिरे बिना चिपके रहने के लिए आवश्यक न्यूनतम कोणीय गति \(\omega_{\text{min}}\) है:
\( \omega_{\text{min}} = \sqrt{\frac{g}{\mu r}} \)।
मान रखने पर: \( \omega_{\text{min}} = \sqrt{\frac{10 \text{ m s}^{-2}}{0.15 \times 3 \text{ m}}} = \sqrt{\frac{10}{0.45}} \text{ rad s}^{-1} = \sqrt{22.22} \text{ rad s}^{-1} \approx 4.71 \text{ rad s}^{-1} \)।
अतः, बेलन की न्यूनतम कोणीय गति लगभग 4.71 rad s^-1 होनी चाहिए।

In simple words: व्यक्ति को गिरने से बचाने के लिए, दीवार और व्यक्ति के बीच का घर्षण बल उसके वजन के बराबर या उससे अधिक होना चाहिए। यह घर्षण बल दीवार के अभिलंब बल पर निर्भर करता है, जो आवश्यक अभिकेन्द्रीय बल प्रदान करता है।

🎯 Exam Tip: यह सुनिश्चित करने के लिए कि व्यक्ति गिरे नहीं, घर्षण बल को वजन के बराबर सेट करें। फिर अभिलंब बल के लिए अभिकेन्द्रीय बल के सूत्र का उपयोग करें और न्यूनतम कोणीय गति के लिए हल करें।

Question 40. R त्रिज्या के एक पतले वृत्ताकार तार को उसके ऊर्ध्वाधर व्यास के चारों ओर ω कोणीय आवृत्ति से घुमाया जाता है। इस वृत्ताकार तार पर एक छोटी गेंद उसके निम्नतम बिंदु पर स्थिर रहे इसके लिए ω ≤ √(g/R) है, यह दिखाएं। ω = √(2g/R) के लिए केंद्र से गेंद को जोड़ने वाले त्रिज्या सदिश द्वारा निम्नतम दिशा के साथ बनाया गया कोण कितना होगा? घर्षण को नजरअंदाज करें।

ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र एक वृत्ताकार तार (रिंग) को दर्शाता है जो अपने ऊर्ध्वाधर व्यास के चारों ओर घूम रहा है। रिंग पर एक बिंदु P पर एक छोटी गेंद रखी है। केंद्र से P तक का त्रिज्या सदिश ऊर्ध्वाधर नीचे की ओर से θ कोण बनाता है, और अभिलंब बल N और गुरुत्वाकर्षण बल mg कोणीय वेग ω के साथ कार्य करते हुए दिखाए गए हैं।

Answer: मान लीजिए कि R त्रिज्या का एक वृत्ताकार तार उसके ऊर्ध्वाधर व्यास के चारों ओर \(\omega\) कोणीय आवृत्ति से घूम रहा है। तार पर एक छोटी गेंद P पर स्थित है। केंद्र O से गेंद P तक का त्रिज्या सदिश ऊर्ध्वाधर नीचे की ओर से \(\theta\) कोण बनाता है।
गेंद पर लगने वाले बल हैं: गुरुत्वाकर्षण बल \(mg\) (नीचे की ओर) और तार द्वारा लगाया गया अभिलंब बल \(N\) (त्रिज्या के अनुदिश, केंद्र की ओर)।
अभिलंब बल \(N\) के घटक हैं: \(N \cos\theta\) (ऊर्ध्वाधर ऊपर की ओर) और \(N \sin\theta\) (क्षैतिज, केंद्र की ओर)।
संतुलन में, ऊर्ध्वाधर घटक संतुलित होते हैं:
\( mg - N \cos\theta = 0 \implies mg = N \cos\theta \) ---- (1)
क्षैतिज घटक आवश्यक अभिकेन्द्रीय बल प्रदान करता है:
\( N \sin\theta = mr\omega^2 \) ---- (2)
जहाँ \(r\) गेंद की घूर्णन की त्रिज्या है, और \(r = R \sin\theta\)।
समीकरण (2) में \(r\) का मान रखने पर: \( N \sin\theta = m(R \sin\theta)\omega^2 \)।
यदि \( \sin\theta \ne 0 \) (यानी, गेंद निम्नतम बिंदु पर नहीं है), तो \( N = mR\omega^2 \)।
इस \(N\) के मान को समीकरण (1) में रखने पर:
\( mg = (mR\omega^2) \cos\theta \implies \cos\theta = \frac{g}{R\omega^2} \) ---- (3)
गेंद के निम्नतम बिंदु पर (अर्थात, \( \theta = 0^\circ \)) स्थिर रहने के लिए, \(\cos\theta\) का मान 1 के बराबर होना चाहिए (यानी, \( \cos0^\circ = 1 \))।
तो, \( 1 = \frac{g}{R\omega^2} \implies R\omega^2 = g \implies \omega^2 = \frac{g}{R} \implies \omega = \sqrt{\frac{g}{R}} \)।
यदि \(\omega \le \sqrt{\frac{g}{R}}\) है, तो \(\cos\theta \ge 1\) होगा, जो केवल \(\cos\theta = 1\) (यानी \(\theta = 0\)) पर ही संभव है। इसलिए, गेंद निम्नतम बिंदु पर स्थिर रहेगी।

अब, \(\omega = \sqrt{\frac{2g}{R}}\) के लिए कोण \(\theta\) ज्ञात करते हैं। समीकरण (3) में \(\omega\) का मान रखने पर:
\( \cos\theta = \frac{g}{R(\sqrt{\frac{2g}{R}})^2} = \frac{g}{R(\frac{2g}{R})} = \frac{g}{2g} = \frac{1}{2} \)।
तो, \( \cos\theta = \frac{1}{2} \implies \theta = 60^\circ \)।
अतः, जब \(\omega = \sqrt{\frac{2g}{R}}\) हो, तो केंद्र से गेंद को जोड़ने वाला त्रिज्या सदिश निम्नतम दिशा के साथ \(60^\circ\) का कोण बनाएगा।

In simple words: गेंद को वृत्ताकार तार के निम्नतम बिंदु पर रहने के लिए, उसकी कोणीय गति एक निश्चित सीमा से कम होनी चाहिए। यदि कोणीय गति इस सीमा से अधिक होती है, तो गेंद ऊपर की ओर उठ जाती है और एक नए संतुलन कोण पर स्थिर होती है।

🎯 Exam Tip: इस प्रकार के वृत्ताकार गति के प्रश्नों में ऊर्ध्वाधर और क्षैतिज बलों को घटकों में विभाजित करना और उन्हें संतुलित करना महत्वपूर्ण है। ध्यान दें कि अभिकेन्द्रीय बल हमेशा केंद्र की ओर होता है और इसे क्षैतिज घटक प्रदान करता है।