GSEB Class 11 Physics Solutions Chapter 4 સમતલમાં ગતિ

Question 1. નીચે આપેલી ભૌતિક રાશિઓમાંથી દર્શાવો કે કઈ દિશ રાશિ છે અને કઈ અદિશ રાશિ છે :
કદ, દ્રવ્યમાન, ઝડપ, પ્રવેગ, ઘનતા, મોલસંખ્યા, વેગ, કોણીય આવૃત્તિ, સ્થાનાંતર, કોણીય વેગ
Answer: અહીં આપેલી ભૌતિક રાશિઓમાંથી, નીચે મુજબ સદિશ અને અદિશ રાશિઓને વર્ગીકૃત કરી શકાય છે:
અદિશ રાશિઓ: કદ, ઝડપ, ઘનતા, મોલસંખ્યા, કોણીય આવૃત્તિ.
સદિશ રાશિઓ: પ્રવેગ, વેગ, સ્થાનાંતર, કોણીય વેગ.
In simple words: અદિશ રાશિઓ ફક્ત મૂલ્ય ધરાવે છે, જ્યારે સદિશ રાશિઓ મૂલ્ય અને દિશા બંને ધરાવે છે. કદ, ઝડપ, ઘનતા, મોલસંખ્યા અને કોણીય આવૃત્તિ અદિશ રાશિઓ છે, જ્યારે પ્રવેગ, વેગ, સ્થાનાંતર અને કોણીય વેગ સદિશ રાશિઓ છે.

🎯 Exam Tip: સદિશ અને અદિશ રાશિઓ વચ્ચેનો તફાવત યાદ રાખો, ખાસ કરીને તેમના ઉદાહરણો. આ મૂળભૂત ખ્યાલ ભૌતિકશાસ્ત્રના ઘણા વિષયો માટે મહત્વપૂર્ણ છે.

Question 2. નીચે આપેલ યાદીમાંથી બે અદિશ રાશિઓ ઓળખી બતાવો :
બળ, કોણીય વેગમાન, કાર્ય, વિદ્યુતપ્રવાહ, રેખીય વેગમાન, વિદ્યુતક્ષેત્ર, સરેરાશ વેગ, ચુંબકીય ચાકમાત્રા, સાપેક્ષ વેગ
Answer: આ યાદીમાંથી કાર્ય અને વિદ્યુતપ્રવાહ એ બે અદિશ રાશિઓ છે.
In simple words: કાર્ય અને વિદ્યુતપ્રવાહ બંને ભૌતિક રાશિઓ છે જેને સંપૂર્ણ રીતે સમજાવવા માટે ફક્ત મૂલ્યની જરૂર પડે છે, દિશાની નહીં.

🎯 Exam Tip: કાર્ય અને વિદ્યુતપ્રવાહના ગુણધર્મો અને ભૌતિકશાસ્ત્રમાં તેમના ઉપયોગોની સમીક્ષા કરો. સદિશ અને અદિશ રાશિઓના ઉદાહરણો સ્પષ્ટપણે ઓળખી શકાય તે માટે સમજો.

Question 3. નીચે આપેલ યાદીમાંથી ફક્ત સદિશ રાશિઓ ઓળખી બતાવો :
...આઘાત, સમય, પાવર, કુલ પથલંબાઈ, ઊર્જા, ગુરુત્વીય સ્થિતિમાન, ઘર્ષણાંક,
Answer: આ યાદીમાંથી, આઘાત એ સદિશ રાશિ છે.
આઘાતને વેગમાનમાં ફેરફાર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, જે બળ અને સમયના ગુણાકાર જેટલો હોય છે. કારણ કે બળ અને વેગમાન બંને સદિશ રાશિઓ છે, આઘાત પણ એક સદિશ રાશિ છે.
In simple words: આઘાત એ બળ અને સમયનો ગુણાકાર છે અને તે વેગમાનમાં થતા ફેરફારને દર્શાવે છે. બળ અને વેગમાન બંને સદિશ રાશિઓ હોવાથી, આઘાત પણ સદિશ રાશિ છે કારણ કે તેને દિશાની જરૂર પડે છે.

🎯 Exam Tip: આઘાતનો સિદ્ધાંત અને વેગમાન સાથેનો તેનો સંબંધ સમજો. સદિશ રાશિઓના ગુણધર્મોને સ્પષ્ટપણે ઓળખવાની પ્રેક્ટિસ કરો.

Question 4. કારણ સહિત જણાવો કે, અદિશ તથા સદિશ રાશિઓ સાથે નીચે દર્શાવેલ કઈ પ્રક્રિયાઓ અર્થપૂર્ણ છે?
(a) બે અદિશોનો સરવાળો
(b) સમાન પરિમાણના એક સદિશ અને એક અદિશનો સરવાળો
(c) એક સદિશનો એક અદિશ સાથે ગુણાકાર
(d) બે અદિશોનો ગુણાકાર
(e) બે સદિશોનો સરવાળો
(f) એક સદિશના ઘટકનો તે જ સિદિશ સાથે સરવાળો.
Answer:
(a) બે અદિશોનો સરવાળો: આ પ્રક્રિયા અર્થપૂર્ણ નથી. બે અદિશ રાશિઓનો સરવાળો ત્યારે જ અર્થપૂર્ણ બને છે જ્યારે તેઓ સમાન ભૌતિક રાશિઓ દર્શાવતી હોય. ઉદાહરણ તરીકે, \( (5 \text{ m} + 3 \text{ m}) \) નો સરવાળો શક્ય છે, પરંતુ \( (5 \text{ m} + 3 \text{ kg}) \) નો સરવાળો અર્થવિહીન છે.
(b) સમાન પરિમાણના એક સદિશ અને એક અદિશનો સરવાળો: આ પ્રક્રિયા અર્થપૂર્ણ નથી. સદિશ રાશિને અદિશ રાશિમાં ઉમેરી શકાતી નથી. ઉદાહરણ તરીકે, ઝડપ અને વેગ બંને સમાન પરિમાણ ધરાવે છે, પરંતુ વેગ દિશા ધરાવતો હોવાથી ઝડપ અને વેગનો સરવાળો શક્ય નથી.
(c) એક સદિશનો એક અદિશ સાથે ગુણાકાર: આ પ્રક્રિયા અર્થપૂર્ણ છે. ઉદાહરણ તરીકે, સદિશ રાશિ પ્રવેગ \( \vec{a} \) ને અદિશ રાશિ દળ \( m \) સાથે ગુણવાથી બળ નામની નવી ભૌતિક રાશિ \( \vec{F} = m \vec{a} \) મળે છે.
(d) બે અદિશોનો ગુણાકાર: આ પ્રક્રિયા અર્થપૂર્ણ છે. ઉદાહરણ તરીકે, આવૃત્તિ અને તરંગલંબાઈ બંને અદિશ રાશિઓનો ગુણાકાર કરતાં માધ્યમમાં તરંગની ઝડપ \( u = f \lambda \) મળે છે, જે અર્થપૂર્ણ છે.
(e) બે સદિશોનો સરવાળો: આ પ્રક્રિયા અર્થપૂર્ણ નથી. ફક્ત બે સમાન સદિશ ભૌતિક રાશિઓનો જ સરવાળો થઈ શકે છે. ઉદાહરણ તરીકે, બળ \( \vec{F} \) અને વેગ \( \vec{v} \) નો સરવાળો થઈ શકે નહિ.
(f) એક સદિશના ઘટકનો તે જ સદિશ સાથે સરવાળો: આ પ્રક્રિયા અર્થવિહીન છે, કારણ કે સદિશના ઘટકને તે દિશામાં ઉમેરવાથી કોઈ ઉપયોગી પરિણામ મળતું નથી.
In simple words: ભૌતિક રાશિઓનો સરવાળો કે ગુણાકાર કરતી વખતે, રાશિઓના પ્રકાર (સદિશ કે અદિશ) અને તેમના પરિમાણો સુસંગત હોવા જોઈએ. સમાન પ્રકારની અને સમાન પરિમાણ ધરાવતી રાશિઓનો જ સરવાળો થઈ શકે છે, જ્યારે સદિશનો અદિશ સાથે ગુણાકાર અર્થપૂર્ણ હોય છે.

🎯 Exam Tip: સદિશ અને અદિશ અંકગણિતના મૂળભૂત નિયમોને સારી રીતે સમજો. ખાસ કરીને કઈ પ્રક્રિયાઓ ભૌતિક રીતે શક્ય છે અને કઈ નથી તે સ્પષ્ટપણે યાદ રાખો.

Question 5. નીચેક કથનને ધ્યાનપૂર્વક વાંચો અને કારણ સહિત દર્શાવો કે તે ખરું છે કે ખોટું :
(a) કોઈ સદિશનું મૂલ્ય હંમેશાં અદિશ હોય છે.
(b) કોઈ સદિશનો દરેક ઘટક હંમેશાં અદિશ હોય છે.
(c) કોઈ કણ દ્વારા કપાયેલ અંતરની કુલ પથલંબાઈ હંમેશાં સ્થાનાંતર સદિશના મૂલ્ય જેટલી હોય છે.
(d) કોઈ કણની સરેરાશ ઝડપ (કુલ પથલંબાઈ ભાગ્યા તે પથ કાપવા લાગેલો સમય) સમાન સમયગાળામાં કણના સરેરાશ વેગના મૂલ્યથી વધારે કે તેના જેટલી હોય છે.
(e) ત્રણ સદિશો કે જે એક જ સમતલમાં નથી તેનો સરવાળો કદાપિ શૂન્ય સદિશ થતો નથી.
Answer:
(a) આ વિધાન સાચું છે, કારણ કે સદિશનું મૂલ્ય એક સંખ્યાત્મક કિંમત હોય છે અને તેને કોઈ દિશા હોતી નથી.
(b) આ વિધાન ખોટું છે, કારણ કે સદિશનો દરેક ઘટક પોતે પણ એક સદિશ રાશિ હોય છે.
(c) આ વિધાન ખોટું છે. પથલંબાઈ એ કણે ખરેખર કાપેલું કુલ અંતર દર્શાવે છે, જ્યારે સ્થાનાંતર એ અંતિમ અને પ્રારંભિક સ્થાન વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર દર્શાવે છે. આમ, પથલંબાઈ હંમેશાં સ્થાનાંતરના મૂલ્ય કરતાં વધારે અથવા તેના જેટલી હોય છે. જ્યારે કણ સુરેખ પથ પર એક જ દિશામાં ગતિ કરતો હોય ત્યારે પથલંબાઈ અને સ્થાનાંતર સમાન હોય છે.
(d) આપેલું વિધાન સાચું છે, કારણ કે પથલંબાઈ હંમેશાં સ્થાનાંતરના મૂલ્ય કરતાં વધારે અથવા તેના જેટલી હોય છે. તેથી, સરેરાશ ઝડપ સરેરાશ વેગના મૂલ્ય કરતાં વધારે કે તેના જેટલી હોય છે.
(e) આપેલું વિધાન સાચું છે. જો ત્રણ સદિશો એક જ સમતલમાં ન હોય, તો તેમનો સરવાળો ક્યારેય શૂન્ય થઈ શકતો નથી. શૂન્ય સદિશ પરિણામ મેળવવા માટે સદિશો એક જ સમતલમાં હોવા જરૂરી છે.
In simple words: સદિશનું મૂલ્ય અદિશ હોય છે, પરંતુ તેના ઘટકો સદિશ હોય છે. પથલંબાઈ હંમેશાં સ્થાનાંતરના મૂલ્યથી વધુ અથવા તેના જેટલી હોય છે. સરેરાશ ઝડપ સરેરાશ વેગના મૂલ્યથી વધુ કે તેના જેટલી હોય છે. ત્રણ બિન-સમતલીય સદિશોનો સરવાળો ક્યારેય શૂન્ય સદિશ આપતો નથી.

🎯 Exam Tip: સદિશના ગુણધર્મો, પથલંબાઈ અને સ્થાનાંતર વચ્ચેનો તફાવત, અને સદિશ સરવાળાના નિયમોને સારી રીતે સમજો. ખાસ કરીને સમતલીય અને બિન-સમતલીય સદિશોના સરવાળાની શરતો મહત્વની છે.

Question 6. નીચે દર્શાવેલ અસમતાઓ ભૌમિતિક કે અન્ય કોઈ રીતે સાબિત કરો :
(a) \( |\vec{a} + \vec{b}| \leq |\vec{a}| + |\vec{b}| \)
(b) \( |\vec{a} + \vec{b}| \geq ||\vec{a}| - |\vec{b}|| \)
(c) \( |\vec{a} - \vec{b}| \leq |\vec{a}| + |\vec{b}| \)
(d) \( |\vec{a} - \vec{b}| \geq ||\vec{a}| - |\vec{b}|| \)
તેમાં સમતાનું ચિહ્ન ક્યારે લાગુ પડે છે?
Answer:

ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): આ આકૃતિ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ OPSQ દર્શાવે છે, જ્યાં \( \vec{a} \) અને \( \vec{b} \) બે સદિશો છે. \( \vec{OS} \) એ \( \vec{a} \) અને \( \vec{b} \) ના સરવાળાનો પરિણામી સદિશ છે, જે સદિશ સરવાળાના ત્રિકોણ અને સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના નિયમોને સમજાવે છે.
આકૃતિમાં દર્શાવેલ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ OPSQ માં બે સદિશો \( \overrightarrow{O P} = \vec{a} \) અને \( \overrightarrow{O Q} = \vec{b} \) ધ્યાનમાં લો. સદિશ \( \overrightarrow{O S} \) એ સદિશો \( \overrightarrow{O P} \) અને \( \overrightarrow{O Q} \) ના સરવાળાનો પરિણામી સદિશ દર્શાવે છે.
આમ, \( OP = |\vec{a}| \), \( OQ = |\vec{b}| \) અને \( OS = |\vec{a} + \vec{b}| \).

(a) \( |\vec{a} + \vec{b}| \leq |\vec{a}| + |\vec{b}| \):
આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ, ત્રિકોણ OPS ને ધ્યાનમાં લો. આપણે જાણીએ છીએ કે, ત્રિકોણની કોઈ એક બાજુની લંબાઈ એ બીજી બે બાજુઓની લંબાઈના સરવાળા કરતાં ઓછી હોય છે.
\( OS < OP + PS \) (અહીં \( PS = OQ \) છે).
\( OS < OP + OQ \)
\( \implies |\vec{a} + \vec{b}| < |\vec{a}| + |\vec{b}| \) .......... (1)
જ્યારે સદિશો \( \vec{a} \) અને \( \vec{b} \) બંને એક જ સુરેખા પર અને એક જ દિશામાં હોય, ત્યારે
\( |\vec{a} + \vec{b}| = |\vec{a}| + |\vec{b}| \) .......... (2)
આમ, સમીકરણ (1) અને (2) પરથી કહી શકાય કે,
\( |\vec{a} + \vec{b}| \leq |\vec{a}| + |\vec{b}| \).
સમાનતાનું ચિહ્ન (\( = \)) ત્યારે લાગુ પડે છે જ્યારે \( \vec{a} \) અને \( \vec{b} \) સદિશો સમાન દિશામાં હોય.

(b) \( |\vec{a} + \vec{b}| \geq ||\vec{a}| - |\vec{b}|| \):
ત્રિકોણ OPS પરથી, આપણે જાણીએ છીએ કે ત્રિકોણની કોઈપણ બે બાજુઓનો સરવાળો ત્રીજી બાજુથી મોટો હોય છે.
\( OS + PS > OP \)
\( OS > OP - PS \)
(જો \( OP < PS \) હશે તો ઋણ મૂલ્ય ન મળે તે માટે \( (OP - PS) \) નું માનાંક લીધેલું છે.)
\( OS > |OP - OQ| \) (કારણ કે \( PS = OQ \))
\( \implies |\vec{a} + \vec{b}| > ||\vec{a}| - |\vec{b}|| \) .......... (3)
જો \( \vec{a} \) અને \( \vec{b} \) એક જ સુરેખા પર પરંતુ વિરુદ્ધ દિશામાં હોય, તો
\( |\vec{a} + \vec{b}| = ||\vec{a}| - |\vec{b}|| \) .......... (4)
સમીકરણ (3) અને (4) પરથી,
\( |\vec{a} + \vec{b}| \geq ||\vec{a}| - |\vec{b}|| \).
સમાનતાનું ચિહ્ન (\( = \)) ત્યારે લાગુ પડે છે જ્યારે \( \vec{a} \) અને \( \vec{b} \) સદિશો પરસ્પર વિરુદ્ધ દિશામાં હોય.

(c) \( |\vec{a} - \vec{b}| \leq |\vec{a}| + |\vec{b}| \):

ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): આ આકૃતિ સદિશોના બાદબાકીના નિયમને સમજાવે છે. \( \overrightarrow{OP} = \vec{a} \) અને \( \overrightarrow{OT} = \vec{PR} = -\vec{b} \) છે. પરિણામી સદિશ \( \overrightarrow{OR} = \vec{a} - \vec{b} \) છે, જે ત્રિકોણ ORP માં બાદબાકી દર્શાવે છે.
આપેલી આકૃતિમાં, \( \overrightarrow{O P} = \vec{a} \), \( \overrightarrow{O T} = \overrightarrow{P R} = -\vec{b} \) અને \( \overrightarrow{O R} = \vec{a} - \vec{b} \).
ત્રિકોણ ORP પરથી,
\( OR < OP + PR \)
\( \implies |\vec{a} - \vec{b}| < |\vec{a}| + |-\vec{b}| \)
\( |\vec{a} - \vec{b}| < |\vec{a}| + |\vec{b}| \) .......... (5)
જો બંને સદિશો એક જ સુરેખા પર પરંતુ વિરુદ્ધ દિશામાં હોય, તો
\( |\vec{a} - \vec{b}| = |\vec{a}| + |\vec{b}| \) .......... (6)
સમીકરણ (5) અને (6) પરથી,
\( |\vec{a} - \vec{b}| \leq |\vec{a}| + |\vec{b}| \).
સમાનતાનું ચિહ્ન (\( = \)) ત્યારે લાગુ પડે છે જ્યારે \( \vec{a} \) અને \( \vec{b} \) સદિશો પરસ્પર વિરુદ્ધ દિશામાં હોય.

(d) \( |\vec{a} - \vec{b}| \geq ||\vec{a}| - |\vec{b}|| \):
ત્રિકોણ OPR પરથી,
\( OR + PR > OP \)
\( OR > |OP - PR| \)
\( OR > |OP - OT| \) (કારણ કે \( PR = OT \))
\( \implies |\vec{a} - \vec{b}| > ||\vec{a}| - |-\vec{b}|| \)
\( |\vec{a} - \vec{b}| > ||\vec{a}| - |\vec{b}|| \) .......... (7)
જો \( \vec{a} \) અને \( \vec{b} \) એક જ સુરેખા પર અને એક જ દિશામાં હોય, તો
\( |\vec{a} - \vec{b}| = ||\vec{a}| - |\vec{b}|| \) .......... (8)
સમીકરણ (7) અને (8) પરથી,
\( |\vec{a} - \vec{b}| \geq ||\vec{a}| - |\vec{b}|| \).
સમાનતાનું ચિહ્ન (\( = \)) ત્યારે લાગુ પડે છે જ્યારે \( \vec{a} \) અને \( \vec{b} \) સદિશો સમાન દિશામાં હોય.
In simple words: આ અસમતાઓ સદિશ સરવાળા અને બાદબાકીના ભૌમિતિક ગુણધર્મો દર્શાવે છે. પ્રથમ બે ત્રિકોણ અસમતાઓ છે જે દર્શાવે છે કે પરિણામી સદિશનું મૂલ્ય ઘટક સદિશોના મૂલ્યોના સરવાળા કે તફાવત સાથે કેવી રીતે સંબંધિત છે. સમાનતા ત્યારે થાય છે જ્યારે સદિશો એક જ દિશામાં હોય (સરવાળા માટે) અથવા વિરુદ્ધ દિશામાં હોય (બાદબાકી માટે).

🎯 Exam Tip: સદિશ અંકગણિતના ત્રિકોણ નિયમ અને સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ નિયમ પર ભાર મૂકો. આ અસમતાઓ સદિશોના સંયોજનના મહત્તમ અને લઘુત્તમ મૂલ્યોને સમજવા માટે મૂળભૂત છે.

Question 7. \( \vec{a}+\vec{b}+\vec{c}+\vec{d} = 0 \) વિધાનોમાંથી કયું ખરું છે :
(a) \( \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} \) તથા \( \vec{d} \) દરેક શૂન્ય સદિશ છે.
(b) \( (\vec{a}+\vec{c}) \)નું મૂલ્ય \( (\vec{b}+\vec{d}) \)ના મૂલ્ય જેટલું છે.
(c) \( \vec{a} \) નું માન \( \vec{b}, \vec{c} \) તથા \( \vec{d} \)ના માનના સરવાળાથી ક્યારેય વધારે ન હોઈ શકે.
(d) જો \( \vec{a} \) અને \( \vec{d} \) એક રેખસ્થ ન હોય, તો \( \vec{b}+\vec{c} \) એ \( \vec{a} \) અને \( \vec{d} \) વડે બનતા સમતલમાં હશે અને જો \( \vec{a} \) અને \( \vec{d} \) એક રેખસ્થ હોય, તો \( \vec{a} \) અને \( \vec{d} \) ની રેખામાં હશે.
Answer:
(a) આ વિધાન સાચું નથી. આપેલા ચારેય સદિશોનું શૂન્ય હોવું જરૂરી નથી. \( \vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d} \) અને તે ચારેય અશૂન્ય સદિશોનો સરવાળો શૂન્ય જુદી જુદી ઘણી રીતે મળી શકે છે. દા.ત., કોઈ પણ ત્રણ સદિશોનો સરવાળો એ ચોથા સદિશના મૂલ્ય જેટલો અને વિરુદ્ધ દિશામાં હોય તો આપણને પરિણામી શૂન્ય સદિશ મળી શકે છે.
(b) આપેલ વિધાન સાચું છે. કારણ કે,
\( \vec{a}+\vec{b}+\vec{c}+\vec{d} = 0 \)
\( \implies \vec{a}+\vec{c} = -(\vec{b}+\vec{d}) \)
\( \implies |\vec{a}+\vec{c}| = |-(\vec{b}+\vec{d})| \)
આમ, \( (\vec{a}+\vec{c}) \) નું મૂલ્ય \( (\vec{b}+\vec{d}) \) ના મૂલ્ય જેટલું છે.
(c) આપેલ વિધાન સાચું છે. કારણ કે,
\( \vec{a}+\vec{b}+\vec{c}+\vec{d} = 0 \)
\( \implies \vec{a} = -(\vec{b}+\vec{c}+\vec{d}) \)
\( \implies |\vec{a}| = |\vec{b}+\vec{c}+\vec{d}| \)
આમ, \( \vec{a} \) નું મૂલ્ય \( \vec{b}, \vec{c} \) અને \( \vec{d} \) ના સરવાળાના મૂલ્યથી વધારે ન હોઈ શકે. સદિશ \( \vec{a} \) નું મૂલ્ય સદિશો \( \vec{b}, \vec{c} \) અને \( \vec{d} \) ના સરવાળાના મૂલ્ય કરતાં ક્યારેય વધારે ન હોઈ શકે. તેથી આપેલ વિધાન સત્ય છે.
(d) આપેલ વિધાન સાચું છે, કારણ કે \( (\vec{b}+\vec{c}) \), \( \vec{a} \) અને \( \vec{d} \) નો સરવાળો ત્યારે જ શૂન્ય થાય, જ્યારે \( \vec{b}+\vec{c} \) એ \( \vec{a} \) અને \( \vec{d} \) વડે બનતા સમતલમાં હોય. જો \( \vec{a} \) અને \( \vec{d} \) એક રેખસ્થ હોય, તો \( \vec{b}+\vec{c} \) એ \( \vec{a} \) અને તેની રેખામાં હશે. આ પરિસ્થિતિમાં જ \( \vec{a}+\vec{b}+\vec{c}+\vec{d} = 0 \) થાય.
In simple words: જો ચાર સદિશોનો સરવાળો શૂન્ય હોય, તો તેનો અર્થ એ નથી કે દરેક સદિશ શૂન્ય છે; તેનો અર્થ એ છે કે તેઓ એક બંધ બહુકોણ બનાવે છે. આ સ્થિતિમાં, બે સદિશોનો સરવાળો અન્ય બે સદિશોના સરવાળાના મૂલ્ય જેટલો હશે. ઉપરાંત, એક સદિશનું મૂલ્ય અન્ય ત્રણ સદિશોના સરવાળાના મૂલ્યથી વધુ હોઈ શકતું નથી.

🎯 Exam Tip: સદિશ સરવાળાના ભૌમિતિક અર્થઘટન પર ધ્યાન કેન્દ્રિત કરો, ખાસ કરીને જ્યારે પરિણામી સદિશ શૂન્ય હોય. સદિશની સમાનતા અને ઘટકોના વિશ્લેષણના નિયમો યાદ રાખો.

Question 8. ત્રણ છોકરીઓ \( r \) m ત્રિજ્યાવાળી વર્તુળાકાર રિંગમાં બરફની સપાટી પર સ્કેટિંગ કરી રહી છે. તે સપાટીની કિનારી પર બિંદુ Pથી સ્કેટિંગ શરૂ કરે છે તથા Pના વ્યાસાંત બિંદુ Q પર જુદા જુદા પથો પર થઈને આકૃતિ 4.41માં દર્શાવ્યા પ્રમાણે પહોંચે છે. દરેક છોકરીના સ્થાનાંતર સદિશનું માન કેટલું છે? કઈ છોકરી માટે તેનું માન તેની મૂળ સ્કેટની પથલંબાઈ જેટલું થશે?
Answer:

ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): આ આકૃતિ ત્રણ છોકરીઓ A, B, અને C દ્વારા વર્તુળાકાર પાથ પર P થી Q સુધી મુસાફરી દર્શાવે છે. P અને Q એ વ્યાસાંત બિંદુઓ છે. છોકરી A અને C વક્ર માર્ગે જાય છે જ્યારે છોકરી B સીધા માર્ગે જાય છે. સ્થાનાંતર એ P થી Q સુધીની સીધી રેખા છે.
દરેક છોકરીનું સ્થાનાંતર \( = \overrightarrow{PQ} \).
તેથી, દરેક છોકરીના સ્થાનાંતરનું મૂલ્ય, \( |\overrightarrow{PQ}| = \) વર્તુળાકાર રિંગનો વ્યાસ
\( = 2 \times \) ત્રિજ્યા
\( = 2 \times 200 = 400 \text{ m} \)
છોકરી B માટે, તેનું સ્થાનાંતરનું મૂલ્ય તેની મૂળ સ્કેટની પથલંબાઈ જેટલું થશે, કારણ કે તે સીધા માર્ગે વ્યાસ বরাবর ગતિ કરે છે.
In simple words: સ્થાનાંતર એ પ્રારંભિક અને અંતિમ બિંદુઓ વચ્ચેનું સૌથી ટૂંકું અંતર છે. અહીં, ત્રણેય છોકરીઓ P થી Q સુધી જાય છે, જે વર્તુળનો વ્યાસ છે, તેથી દરેકનું સ્થાનાંતર 400 m છે. છોકરી B સીધા માર્ગે ગતિ કરે છે, તેથી તેનું સ્થાનાંતર તેની પથલંબાઈ જેટલું જ હોય છે.

🎯 Exam Tip: સ્થાનાંતર અને પથલંબાઈ વચ્ચેનો તફાવત યાદ રાખો. સ્થાનાંતર એ સદિશ રાશિ છે જે ફક્ત પ્રારંભિક અને અંતિમ બિંદુઓ પર આધાર રાખે છે, જ્યારે પથલંબાઈ એ કણ દ્વારા કપાયેલ કુલ અંતર છે.

Question 9. કોઈ સાઇકલ-સવાર 1 km ત્રિજ્યાવાળા એક વર્તુળાકાર બગીચાના કેન્દ્ર Oથી ગતિ શરૂ કરે છે તથા બગીચાના કિનારા P સુધી પહોંચે છે. ત્યાંથી તે બગીચાના પરિઘ પર સાઇકલ ચલાવતા ચલાવતા QO માર્ગે (આકૃતિ 4.42માં દર્શાવ્યા મુજબ) કેન્દ્ર O પર પાછો આવે છે. જો આ ચક્કર કાપવા માટે તેને 10 મિનિટ જેટલો સમય લાગતો હોય, તો સાઇકલ-સવારનું (a) ચોખ્ખું સ્થાનાંતર (b) સરેરાશ વેગ તથા (c) સરેરાશ ઝડપ કેટલી હશે?
Answer:

ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): આ આકૃતિ એક સાયકલ સવારના માર્ગને દર્શાવે છે. સવાર કેન્દ્ર O થી P સુધી જાય છે, પછી પરિઘ પર Q સુધી જાય છે, અને અંતે Q થી O સુધી પાછો આવે છે. આ માર્ગ એક વર્તુળાકાર બગીચામાં દર્શાવેલ છે, જે ગતિના વિવિધ તબક્કાઓ સમજાવે છે.
(a) અહીં, સાઇકલ-સવારનું અંતિમ સ્થાન અને પ્રારંભિક સ્થાન એક જ હોવાથી તેનું ચોખ્ખું સ્થાનાંતર શૂન્ય થશે.
(b) સરેરાશ વેગ \( = \frac{\text{સ્થાનાંતર}}{\text{સમય}} \)
\( = \frac{0}{10 \text{ min}} = 0 \)
(c) વર્તુળાકાર બગીચાની ત્રિજ્યા \( r = 1 \text{ km} \), સમય \( t = 10 \text{ min} = \frac{10}{60} \text{ h} = \frac{1}{6} \text{ h} \)
સાઇકલ-સવારે કાપેલ કુલ અંતર:
\( = OP + PQ + QO \)
\( = r + \frac{2 \pi r}{4} + r \)
\( = 1 + \frac{2 \times 3.14 \times 1}{4} + 1 \)
\( = 1 + 1.57 + 1 = 3.57 \text{ km} \)
સરેરાશ ઝડપ \( = \frac{\text{કાપેલ કુલ અંતર}}{\text{સમય}} \)
\( = \frac{3.57 \text{ km}}{1/6 \text{ h}} = 21.43 \text{ km h}^{-1} \)
In simple words: સાઇકલ-સવાર જ્યાંથી શરૂ કરે છે ત્યાં જ પાછો ફરે છે, તેથી તેનું કુલ સ્થાનાંતર શૂન્ય છે અને સરેરાશ વેગ પણ શૂન્ય છે. તેણે કાપેલું કુલ અંતર, ત્રિજ્યા, પરિઘનો ચોથો ભાગ અને ફરી ત્રિજ્યાનો સરવાળો છે, જેનાથી સરેરાશ ઝડપ ગણાય છે.

🎯 Exam Tip: સ્થાનાંતર અને વેગ, તેમજ પથલંબાઈ અને ઝડપ વચ્ચેના તફાવતને સ્પષ્ટપણે સમજો. જો કોઈ વસ્તુ તેના પ્રારંભિક બિંદુ પર પાછી ફરે તો સ્થાનાંતર અને સરેરાશ વેગ હંમેશાં શૂન્ય હોય છે.

Question 10. એક ખુલ્લા મેદાનમાં એક કારચાલક એવો રસ્તો પકડે છે કે જે દરેક 500 મીટર અંતર બાદ તેની ડાબી પૂણે વળાંક લે છે. એક વળાંકથી શરૂ કરી, કારચાલકના ત્રીજા, છઠ્ઠા તથા આઠમા વળાંક ૫ાતી ૧૫ શોધો. આ દરેક સ્થિતિમાં કારચાલકની કુલ પથલંબાઈની તેના સ્થાનાંતરના માન સાથે તુલના કરો.
Answer:

ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): આ આકૃતિ એક કારચાલકના નિયમિત ષટ્કોણ આકારના પથને દર્શાવે છે. દરેક બાજુ 500 m છે. કાર A બિંદુથી શરૂ થાય છે અને D, A, અને C બિંદુઓ પર અનુક્રમે ત્રીજો, છઠ્ઠો અને આઠમો વળાંક લે છે. આકૃતિ 60° ના ખૂણા અને સદિશ સ્થાનાંતર દિશાઓ દર્શાવે છે.
આકૃતિમાં કારચાલકનો રસ્તો દર્શાવ્યો છે. કારચાલક બિંદુ Aથી મુસાફરીની શરૂઆત કરે છે અને તે નિયમિત ષટ્કોણ આકારના પથ પર મુસાફરી કરે છે. ષટ્કોણ ABCDEFA દરેક બાજુની લંબાઈ 500 m છે. નિયમિત ષટ્કોણમાં તેના કેન્દ્રથી કોઈ એક શિરોબિંદુ વચ્ચેનું અંતર એ ષટ્કોણની એક બાજુની લંબાઈ જેટલું હોય છે.

(a) કારચાલક બિંદુ A આગળથી શરૂઆત કરીને બિંદુ D આગળ ત્રીજો વળાંક લે છે. આ મુસાફરી દરમિયાન તેનો સ્થાનાંતર સદિશ \( \overrightarrow{A D} \) થશે. આ સ્થાનાંતરનું માન,
\( |\overrightarrow{AD}| = AO + OD = 500 \text{ m} + 500 \text{ m} = 1000 \text{ m} = 1 \text{ km} \)
આ સ્થાનાંતર સદિશ \( \overrightarrow{A D} \) એ પ્રારંભિક દિશા સાથે 60° ના ખૂણે છે.
બિંદુ Aથી D સુધીનું કુલ અંતર (કુલ પથલંબાઈ)
\( = AB + BC + CD \)
\( = 500 \text{ m} + 500 \text{ m} + 500 \text{ m} = 1500 \text{ m} = 1.5 \text{ km} \)

(b) કારચાલક છઠ્ઠો વળાંક બિંદુ A આગળ લે છે, એટલે કે તેનું અંતિમ સ્થાન અને પ્રારંભિક સ્થાન એક જ છે. આથી તેનું ચોખ્ખું સ્થાનાંતર શૂન્ય સદિશ \( (\overrightarrow{0}) \) થશે.
આ દરમિયાન તેણે કાપેલું કુલ અંતર,
\( = AB + BC + CD + DE + EF + FA \)
\( = 500 + 500 + 500 + 500 + 500 + 500 = 3000 \text{ m} = 3 \text{ km} \)

(c) કારચાલક તેનો આઠમો વળાંક બિંદુ C આગળ લે છે. બિંદુ A અને C વચ્ચેનો સ્થાનાંતર સદિશ \( \overrightarrow{A C} \) થશે. આ સ્થાનાંતરનું માન,
\( |\overrightarrow{AC}| = AR + RC \)
\( = AB \sin 60^\circ + BC \sin 60^\circ \)
\( = 500 \times \frac{\sqrt{3}}{2} + 500 \times \frac{\sqrt{3}}{2} \)
\( = 500\sqrt{3} = 866 \text{ m} \)
આ સ્થાનાંતર સદિશ \( \overrightarrow{A C} \), તેની પ્રારંભિક દિશા સાથે 30° ના ખૂણે છે.
કાપેલું કુલ અંતર
\( = AB + BC + CD + DE + EF + FA + AB + BC \)
\( = 500 + 500 + 500 + 500 + 500 + 500 + 500 + 500 = 4000 \text{ m} = 4 \text{ km} \)
આપેલ ત્રણેય કિસ્સામાં સ્થાનાંતરનું મૂલ્ય પથલંબાઈ કરતાં ઓછું છે.
In simple words: કારચાલક નિયમિત ષટ્કોણના માર્ગે ચાલે છે, જ્યાં દરેક બાજુ 500m છે. ત્રીજા વળાંકે (D પર), સ્થાનાંતર 1km અને પથલંબાઈ 1.5km છે. છઠ્ઠા વળાંકે (A પર પાછા), સ્થાનાંતર શૂન્ય છે જ્યારે પથલંબાઈ 3km છે. આઠમા વળાંકે (C પર), સ્થાનાંતર 866m અને પથલંબાઈ 4km છે. દરેક કિસ્સામાં, સ્થાનાંતરનું મૂલ્ય પથલંબાઈ કરતાં ઓછું હોય છે.

🎯 Exam Tip: સ્થાનાંતર અને પથલંબાઈની ગણતરી કરતી વખતે પ્રારંભિક અને અંતિમ બિંદુઓ તેમજ વાસ્તવિક માર્ગ વચ્ચેનો તફાવત યાદ રાખો. ષટ્કોણ જેવા નિયમિત બહુકોણ માટે, કેન્દ્રથી શિરોબિંદુ સુધીનું અંતર અને બાજુની લંબાઈનો સંબંધ જાણવો મદદરૂપ છે.

Question 11. એક મુસાફર એક નવા શહેરમાં સ્ટેશન પર ઊતરીને ટૅક્સિ કરે છે. સ્ટેશનથી સુરેખ રોડ પર તેની હૉટલ 10 km દૂર છે. ટૅક્સિ ડ્રાઇવર મુસાફરને 23 km લંબાઈના વાંકાચૂંકા માર્ગે 28 મિનિટમાં હૉટલ પર પહોંચાડે છે. તો (a) ટૅક્સિની સરેરાશ ઝડપ અને (b) સરેરાશ વેગનું મૂલ્ય કેટલું હશે? શું આ બંને સમાન હશે?
Answer:
સ્થાનાંતર \( = 10 \text{ km} \), કુલ પથલંબાઈ \( = 23 \text{ km} \)
સમય \( t = 28 \text{ minute} = \frac{28}{60} \text{ h} = \frac{7}{15} \text{ h} \)

(a) ટૅક્સિની સરેરાશ ઝડપ \( = \frac{\text{કુલ પથલંબાઈ}}{\text{સમય}} \)
\( = \frac{23 \text{ km}}{7/15 \text{ h}} = 49.3 \text{ km h}^{-1} \)

(b) ટૅક્સિના સરેરાશ વેગનું મૂલ્ય \( = \frac{\text{સ્થાનાંતર}}{\text{સમય}} \)
\( = \frac{10 \text{ km}}{7/15 \text{ h}} = 21.43 \text{ km h}^{-1} \)
આ દર્શાવે છે કે ટૅક્સિની સરેરાશ ઝડપ અને સરેરાશ વેગ સમાન નથી. જ્યારે ટૅક્સિ સુરેખ પથ પર એક જ દિશામાં ગતિ કરે તો જ સરેરાશ ઝડપ અને સરેરાશ વેગ સમાન થાય.
In simple words: મુસાફરે 10 km સીધું અંતર કાપવાનું હતું, પરંતુ ટૅક્સિ ડ્રાઇવરે 23 km નો વાંકોચૂકો રસ્તો 28 મિનિટમાં લીધો. સરેરાશ ઝડપ 49.3 km/h છે અને સરેરાશ વેગ 21.43 km/h છે; તેઓ સમાન નથી કારણ કે વાહન સુરેખ માર્ગે ગતિ કરતું નથી.

🎯 Exam Tip: સરેરાશ ઝડપ (પથલંબાઈ/સમય) અને સરેરાશ વેગ (સ્થાનાંતર/સમય) વચ્ચેનો તફાવત નિર્ણાયક છે. યાદ રાખો કે સરેરાશ ઝડપ હંમેશાં સરેરાશ વેગના મૂલ્ય કરતાં વધુ અથવા તેના જેટલી હોય છે, ખાસ કરીને જ્યારે ગતિ સીધી રેખામાં ન હોય.

Question 12. વરસાદ શિરોલંબ દિશામાં 30 m s-1ની ઝડપથી પડી રહ્યો છે. કોઈ સ્ત્રી ઉત્તરથી દક્ષિણ દિશા તરફ 10 ms-1ની ઝડપથી સાઇકલ ચલાવી રહી છે. તેને પોતાની છત્રી કઈ દિશામાં રાખવી જોઈએ?
Answer:

ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): આ આકૃતિ વરસાદ અને સ્ત્રીની સાયકલની ગતિની સાપેક્ષ દિશાઓ દર્શાવે છે. વરસાદ \( \overrightarrow{OC} \) સદિશ દ્વારા શિરોલંબ નીચે પડે છે અને સ્ત્રી \( \overrightarrow{OA} \) સદિશ દ્વારા ઉત્તરથી દક્ષિણ તરફ જાય છે. સ્ત્રીને વરસાદથી બચવા માટે \( \overrightarrow{OD} \) સદિશની દિશામાં છત્રી રાખવી જોઈએ, જે સાપેક્ષ વેગ દર્શાવે છે.
આકૃતિ 4.44માં વર્ણવેલ પરિસ્થિતિ દર્શાવેલ છે. વરસાદ શિરોલંબ અધોદિશામાં પડે છે, જે \( \overrightarrow{O C} \) સદિશ વડે દર્શાવેલ છે. સાઇકલ-સવાર ઉત્તરથી દક્ષિણ તરફ જાય છે, જે \( \overrightarrow{O A} \) સદિશ વડે દર્શાવેલ છે.
વરસાદનો વેગ, \( \overrightarrow{O C}=\vec{v}_{\mathrm{R}} = 30 \text{ m s}^{-1} \) (શિરોલંબ અધોદિશા).
સ્ત્રીનો વેગ, \( \overrightarrow{O A}=\vec{v}_{\mathrm{W}} = 10 \text{ m s}^{-1} \) (ઉત્તરથી દક્ષિણ તરફ).
વરસાદથી બચવા માટે સ્ત્રીએ, સ્ત્રીની સાપેક્ષે વરસાદનો વેગ \( (\vec{v}_{\mathrm{RW}}) \) જે દિશામાં હોય તે દિશામાં તેણીએ છત્રી પકડવી જોઈએ. \( \vec{v}_{\mathrm{RW}} = \vec{v}_{\mathrm{R}} - \vec{v}_{\mathrm{W}} \) ની દિશા નીચે મુજબ મેળવી શકાય.
\( \vec{v}_{\mathrm{RW}}=\vec{v}_{\mathrm{R}} - \vec{v}_{\mathrm{W}} \)
\( = \vec{v}_{\mathrm{R}} + (-\vec{v}_{\mathrm{W}}) \)
\( = \overrightarrow{O C} + \overrightarrow{O B} \) (આકૃતિમાં \( \overrightarrow{O B} = -\vec{v}_{\mathrm{W}} \) દર્શાવે છે.)
\( = \overrightarrow{O D} \)
આમ, સ્ત્રીને વરસાદથી બચવા માટે છત્રીને ઊર્ધ્વદિશા સાથે \( \theta \) ખૂણે દક્ષિણ દિશા તરફ ઢળતી રાખવી પડશે.
ત્રિકોણ ODC પરથી,
\( \tan \theta = \frac{CD}{OC} = \frac{OB}{OC} = \frac{10}{30} \)
\( \tan \theta = \frac{1}{3} \)
\( \implies \theta = \tan^{-1}(\frac{1}{3}) = 18.43^\circ \approx 18^\circ 26' \)
આમ, સ્ત્રીએ વરસાદથી બચવા માટે છત્રીને ઊર્ધ્વદિશા સાથે 18°26' કોણે દક્ષિણ દિશા તરફ ઢળતી રાખવી જોઈએ.
In simple words: વરસાદ શિરોલંબ નીચે પડે છે અને સ્ત્રી ઉત્તરથી દક્ષિણ તરફ સાયકલ ચલાવે છે. સ્ત્રીને વરસાદથી બચવા માટે, તેને વરસાદના સાપેક્ષ વેગની દિશામાં છત્રી રાખવી પડશે. આ માટે, છત્રીને ઊર્ધ્વદિશાથી દક્ષિણ તરફ આશરે 18.43° ના ખૂણે રાખવી જોઈએ.

🎯 Exam Tip: સાપેક્ષ વેગના ખ્યાલને સારી રીતે સમજો. જ્યારે કોઈ વ્યક્તિ ગતિમાં હોય ત્યારે વરસાદથી બચવા માટે છત્રી કયા ખૂણે રાખવી તે નક્કી કરવા માટે સદિશ સરવાળાનો ઉપયોગ થાય છે.

Question 13. એક માણસ સ્થિર પાણીમાં 4.0 km/hની ઝડપથી તરી શકે છે. 1 km પહોળાઈની નદીનું પાણી 3.0 km/hની અચળ ઝડપથી વહી રહ્યું હોય અને વ્યક્તિ આ વહેણને લંબરૂપે તરવાનો પ્રયત્ન કરતો હોય, તો જ્યારે તે નદીના બીજા કિનારે પહોંચશે ત્યારે તે નદીના વહેણ તરફ કેટલે દૂર પહોંચશે?
Answer:

ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): આ આકૃતિ નદી પાર કરવાનો પ્રયાસ કરતા માણસની ગતિ દર્શાવે છે. \( \overrightarrow{v_M} \) એ સ્થિર પાણીમાં માણસનો વેગ છે (નદીના પ્રવાહને લંબરૂપ). \( \overrightarrow{v_R} \) એ નદીના પાણીનો વેગ છે (પ્રવાહની દિશામાં). \( \vec{v} \) એ માણસનો પરિણામી વેગ છે. માણસ A થી C બિંદુ સુધી પહોંચે છે.
આકૃતિમાં \( \overrightarrow{v_{\mathrm{M}}} \) એ માણસની સ્થિર પાણીમાં વેગની દિશા અને \( \overrightarrow{v_{\mathrm{R}}} \) એ નદીના પાણીના વેગની દિશા દર્શાવે છે. \( \vec{v} \) એ પરિણામી વેગની દિશા દર્શાવે છે.
માણસ A સ્થાન આગળથી તરવાની શરૂઆત કરશે તો પાણીના વેગને કારણે તે સ્થાન B ને બદલે સ્થાન C આગળ પહોંચશે. એટલે \( \vec{v} \) જેટલા વેગથી AC જેટલું અંતર કાપવા માટે જેટલો સમય લાગશે તેટલો જ સમય એ AB જેટલું અંતર \( \overrightarrow{v_{\mathrm{M}}} \) જેટલા વેગથી કાપવા લાગશે.
નદી પાર કરવા માટે લાગતો સમય, \( t = \frac{AB}{v_{\mathrm{M}}} = \frac{1 \text{ km}}{4 \text{ km h}^{-1}} = \frac{1}{4} \text{ h} = 15 \text{ min} \)
નદીની વહેણની દિશામાં કાપેલું અંતર,
\( BC = v_R \times t = 3 \text{ km h}^{-1} \times \frac{1}{4} \text{ h} = 0.75 \text{ km} \)
In simple words: માણસ 1 km પહોળી નદીને પ્રવાહને લંબરૂપ 4 km/h ની ઝડપે તરવાનો પ્રયાસ કરે છે, જ્યારે નદી 3 km/h ની ઝડપે વહે છે. તેને નદી પાર કરવામાં 15 મિનિટ લાગશે. આ સમય દરમિયાન, નદીના પ્રવાહને કારણે તે તેના મૂળ સ્થાનથી 0.75 km નીચે તરફ પહોંચી જશે.

🎯 Exam Tip: નદી-નાવની સમસ્યાઓમાં સાપેક્ષ વેગનો સિદ્ધાંત લાગુ પડે છે. નદી પાર કરવા માટે લાગતો સમય અને પ્રવાહને કારણે થતું વિચલન અલગથી ગણવામાં આવે છે.

Question 14. એક બંદર (Harbour) પાસે હવા 72 km/h ઝડપથી વહી રહી છે. આ બંદરમાં ઊભેલી એક નૌકા ઉપર લગાવેલ ઝંડો N – E દિશામાં ફરકી રહ્યો છે. જો આ નૌકા ઉત્તર દિશામાં 51km/hની ઝડપથી ગતિ કરવાનું શરૂ કરે, તો નૌકા પર લગાવેલ ઝંડો કઈ દિશામાં ફરકશે?
Answer:

ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): આ આકૃતિ પવનનો વેગ \( (\overrightarrow{v_W}) \), નૌકાનો વેગ \( (\overrightarrow{v_B}) \), અને નૌકાને સાપેક્ષ પવનનો વેગ \( (\overrightarrow{v_{WB}}) \) દર્શાવે છે. \( \overrightarrow{v_W} \) ઉત્તર-પૂર્વ દિશામાં છે, \( \overrightarrow{v_B} \) ઉત્તર દિશામાં છે, અને \( \overrightarrow{v_{WB}} \) એ પરિણામી વેગ છે જે ઝંડાની દિશા નક્કી કરે છે.
નૌકા જ્યારે સ્થિર છે ત્યારે ઝંડો N – E દિશામાં ફરકે છે, એટલે કે પવનની દિશા N – E દિશામાં છે. નૌકા જ્યારે ઉત્તર દિશામાં ગતિ કરશે ત્યારે ઝંડો એ નૌકાની સાપેક્ષે જે પવનની દિશા હશે તે દિશામાં ફરકશે.
પવનનો વેગ \( \overrightarrow{O A}=\vec{v}_{\mathrm{W}} \)
\( = 72 \text{ km h}^{-1} \) (N – E દિશામાં)
નૌકાનો વેગ \( \overrightarrow{O B}=\vec{v}_{\mathrm{B}} = 51 \text{ km h}^{-1} \) (ઉત્તર દિશામાં)
નૌકાની સાપેક્ષે પવનનો વેગ, \( \vec{v}_{\mathrm{WB}}=\vec{v}_{\mathrm{W}} - \vec{v}_{\mathrm{B}} \)
\( = \vec{v}_{\mathrm{W}} + (-\vec{v}_{\mathrm{B}}) \)
\( = \overrightarrow{O A} + \overrightarrow{O C} \)
\( = \overrightarrow{O D} \)
આમ, નૌકા પરનો ઝંડો એ \( \overrightarrow{O D} \) સદિશની દિશામાં ફરકશે.
\( \overrightarrow{O D} \) ની દિશા:
આકૃતિ પરથી સ્પષ્ટ છે કે, \( \vec{v}_{\mathrm{W}} \) અને \( -\vec{v}_{\mathrm{B}} \) વચ્ચેનો ખૂણો \( \theta \)
\( \theta = 45^\circ + 90^\circ = 135^\circ \)
જો \( \vec{v}_{\mathrm{WB}} \) એ \( \vec{v}_{\mathrm{W}} \) સદિશ સાથે \( \beta \) કોણ બનાવતો હોય, તો
\( \tan \beta = \frac{v_{\mathrm{B}} \sin \theta}{v_{\mathrm{W}} + v_{\mathrm{B}} \cos \theta} \)
\( = \frac{51 \times \sin 135^\circ}{72 + (51 \times \cos 135^\circ)} \)
\( = \frac{51 \times \sin 45^\circ}{72 + (51 \times (-\cos 45^\circ))} \)
\( = \frac{51 \times \frac{1}{\sqrt{2}}}{72 - (51 \times \frac{1}{\sqrt{2}})} \)
\( = \frac{51 \times 0.707}{72 - (51 \times 0.707)} \)
\( = \frac{36.057}{72 - 36.057} = \frac{36.057}{35.943} \approx 1.0031 \)
\( \implies \beta = \tan^{-1} (1.0031) \approx 45.00^\circ \)
પૂર્વ (East) દિશા સાથેનો ખૂણો = 45.00° - 45° = 0° (લગભગ)
આમ, ઝંડો લગભગ પૂર્વ દિશામાં ફરકશે.
In simple words: જ્યારે નૌકા સ્થિર હોય છે, ત્યારે ઝંડો પવનની દિશામાં (ઉત્તર-પૂર્વ) ફરકે છે. જ્યારે નૌકા ઉત્તર તરફ ગતિ કરે છે, ત્યારે ઝંડો પવનના સાપેક્ષ વેગની દિશામાં ફરકશે. ગણતરી દર્શાવે છે કે છત્રીને ઉત્તર-પૂર્વ દિશાથી આશરે 45° ના ખૂણે રાખવી પડશે.

🎯 Exam Tip: સાપેક્ષ વેગની ગણતરી કરતી વખતે સદિશોના વિઘટન અને સરવાળાના નિયમોનો યોગ્ય રીતે ઉપયોગ કરો. ખાસ કરીને, પવન અને નૌકાની ગતિની દિશાઓને યોગ્ય રીતે ધ્યાનમાં લો.

Question 15. એક લાંબા હૉલની છત 25 m ઊંચી છે. 40 m s-1ની ઝડપથી ફેંકવામાં આવેલ દડો છતને અથડાયા વગર પસાર થઈ શકે તે રીતે કેટલું મહત્તમ સમક્ષિતિજ અંતર કાપશે ?
Answer:
\( v_0 = 40 \text{ m s}^{-1} \), \( h_{\text{max}} = 25 \text{ m} \), \( R = ? \)
ધારો કે, દડાને \( \theta_0 \) જેટલા પ્રક્ષિપ્ત કોણે ફેંકવામાં આવે છે જેથી તે 25 m જેટલી મહત્તમ ઊંચાઈ પ્રાપ્ત કરે.
મહત્તમ ઊંચાઈનું સૂત્ર છે:
\( h_{\text{max}} = \frac{v_0^2 \sin^2 \theta_0}{2g} \)
\( \implies \sin^2 \theta_0 = \frac{h_{\text{max}} \times 2g}{v_0^2} \)
\( \sin^2 \theta_0 = \frac{25 \times 2 \times 9.8}{(40)^2} = \frac{490}{1600} = 0.30625 \)
\( \implies \sin \theta_0 = \sqrt{0.30625} \approx 0.5534 \)
\( \implies \theta_0 = \sin^{-1} (0.5534) \approx 33.6^\circ \)
પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની સમક્ષિતિજ દિશામાં અવધિ (રેન્જ),
\( R = \frac{v_0^2 \sin 2\theta_0}{g} \)
\( = \frac{(40)^2 \sin (2 \times 33.6^\circ)}{9.8} \)
\( = \frac{1600 \sin (67.2^\circ)}{9.8} \)
\( = \frac{1600 \times 0.9219}{9.8} \)
\( = \frac{1475.04}{9.8} \approx 150.5 \text{ m} \)
આમ, દડો છતને અથડાયા વગર 150.5 m જેટલું મહત્તમ સમક્ષિતિજ અંતર કાપી શકે છે.
In simple words: દડો છતને અથડાયા વગર પસાર થાય તે માટે, તેની મહત્તમ ઊંચાઈ 25 m કરતાં વધુ ન હોવી જોઈએ. આપેલ પ્રારંભિક ઝડપ 40 m/s સાથે, આ શરતને પૂર્ણ કરતો પ્રક્ષેપણ કોણ શોધી શકાય છે. આ કોણ પર, દડો આશરે 150.5 m નું મહત્તમ સમક્ષિતિજ અંતર કાપશે.

🎯 Exam Tip: પ્રક્ષિપ્ત ગતિના સૂત્રો, ખાસ કરીને મહત્તમ ઊંચાઈ અને સમક્ષિતિજ રેન્જ માટેના સૂત્રો યાદ રાખો. આપેલ શરતોને આધારે યોગ્ય કોણની ગણતરી કરવી મહત્વપૂર્ણ છે.

Question 16. ક્રિકેટનો કોઈ ખેલાડી દડાને 100m જેટલા મહત્તમ સમક્ષિતિજ અંતર સુધી ફેંકી શકે છે. આ ખેલાડી આ જ દડાને જમીનથી ઉપર તરફ કેટલી ઊંચાઈ સુધી ફેંકી શકશે?
Answer:
મહત્તમ અવધિ \( R_{\text{max}} = 100 \text{ m} \)
જો પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થનો પ્રારંભિક વેગ \( v_0 \) હોય, તો મહત્તમ અવધિ,
\( R_{\text{max}} = \frac{v_0^2}{g} \)
\( \implies \frac{v_0^2}{g} = 100 \)
\( \implies v_0^2 = 100g \)
દડાની ઊર્ધ્વદિશાની ગતિ માટે,
\( v^2 - v_0^2 = -2gh \)
મહત્તમ ઊંચાઈએ \( v = 0 \) હોવાથી,
\( 0^2 - (100g) = -2gh \)
\( -100g = -2gh \)
\( h = \frac{100g}{2g} = 50 \text{ m} \)
આમ, ક્રિકેટર એ જ દડો 50mની ઊંચાઈ સુધી ફેંકી શકશે.
In simple words: જો કોઈ ખેલાડી દડાને 100 m સુધી મહત્તમ સમક્ષિતિજ અંતર સુધી ફેંકી શકે, તો આનો અર્થ એ થયો કે પ્રારંભિક વેગ માટે \( v_0^2/g = 100 \) છે. આ જ દડાને ઊર્ધ્વ દિશામાં ફેંકવામાં આવે ત્યારે તે 50 m જેટલી ઊંચાઈ સુધી જઈ શકે છે.

🎯 Exam Tip: મહત્તમ સમક્ષિતિજ રેન્જ અને મહત્તમ ઊર્ધ્વ ઊંચાઈ માટેના સૂત્રો યાદ રાખો. મહત્તમ રેન્જ \( (R_{\text{max}} = v_0^2/g) \) 45° ના ખૂણે થાય છે, જ્યારે ઊર્ધ્વ ઊંચાઈ \( (h = v_0^2/2g) \) સીધા ઉપર ફેંકવાથી મળે છે.

 

Question 17. 80 cm લાંબા દોરડાના છેડે એક પથ્થર બાંધેલ છે તેને અચળ ઝડપથી સમક્ષિતિજ વર્તુળાકાર ફેરવવામાં આવે છે. જો પથ્થર 25 secમાં 14 પરિભ્રમણ પૂરા કરતો હોય, તો પથ્થરના પ્રવેગનું માન તથા તેની દિશા શોધો.

Answer: ઉકેલ:
વર્તુળાકાર પથની ત્રિજ્યા \(r = 80 \text{ cm} = 0.8 \text{ m}\)
પથ્થરની કોણીય આવૃત્તિ \(\omega = 2\pi\nu\)
\(= 2 \times \frac{22}{7} \times \frac{14}{25} \text{ rps}\)
\(= \frac{88}{25} \text{ rad/s}\)
પથ્થરનો કેન્દ્રગામી પ્રવેગ \(a = \omega^2 r\)
\(= (\frac{88}{25})^2 (0.8)\)
\(= (3.52)^2 (0.8)\)
\(= (12.3904) (0.8)\)
\(\implies a = 9.91 \text{ m s}^{-2}\)
આ પ્રવેગની દિશા વર્તુળાકાર પથના દરેક બિંદુ પર વર્તુળના કેન્દ્ર તરફ નિર્દેશિત હોય છે.
In simple words: The stone's centripetal acceleration is calculated using its angular frequency and radius. Its magnitude is approximately 9.91 m/s², and its direction is always towards the center of the circular path.

🎯 Exam Tip: Remember that for uniform circular motion, the acceleration is always centripetal, directed towards the center, and its magnitude is constant. Pay attention to unit conversions (cm to m).

 

Question 18. એક વિમાન 900 km h\(^{-1}\) ની અચળ ઝડપથી ઊડી રહ્યું છે અને 1.00 km ત્રિજ્યાના સમક્ષિતિજ વર્તુળ બનાવે છે. તેના કેન્દ્રગામી પ્રવેગની ગુરુત્વીય પ્રવેગ સાથે સરખામણી કરો.

Answer: ઉકેલ:
વર્તુળાકાર ગતિપથની ત્રિજ્યા \(r = 1 \text{ km} = 1000 \text{ m}\)
વિમાનની ઝડપ \(v = 900 \text{ km h}^{-1} = \frac{900 \times 1000}{3600} \text{ m s}^{-1} = 250 \text{ m s}^{-1}\)
કેન્દ્રગામી પ્રવેગ \(a_c = \frac{v^2}{r} = \frac{(250)^2}{1000} = \frac{62500}{1000} = 62.5 \text{ m s}^{-2}\)
ગુરુત્વીય પ્રવેગ \(g = 9.8 \text{ m s}^{-2}\)
કેન્દ્રગામી પ્રવેગ અને ગુરુત્વીય પ્રવેગનો ગુણોત્તર:
\(\frac{a_c}{g} = \frac{62.5}{9.8} = 6.38\)
\(\implies a_c = 6.38 \times g\)
આમ, કેન્દ્રગામી પ્રવેગ \(a_c\) નું મૂલ્ય ગુરુત્વીય પ્રવેગ \(g\) ના 6.38 ગણા જેટલું છે.
In simple words: The airplane's centripetal acceleration is calculated from its speed and the turn radius. This acceleration is found to be approximately 6.38 times greater than the acceleration due to gravity.

🎯 Exam Tip: When comparing physical quantities, express their ratio to understand their relative magnitudes. Ensure consistent units throughout the calculation.

 

Question 19. નીચે આપેલ વિધાનોને ધ્યાનથી વાંચો અને કારણ સહિત દર્શાવો કે તે સાચાં છે કે ખોટાં :
(a) વર્તુળગતિમાં કોઈ કણનો ચોખ્ખો પ્રવેગ હંમેશાં વર્તુળાકાર પથની ત્રિજ્યાની દિશામાં કેન્દ્ર તરફ હોય છે.
(b) કોઈ બિંદુ પાસે કણનો વેગ હંમેશાં તે બિંદુ પાસેના પથની દિશામાં દોરેલા સ્પર્શકની દિશામાં હોય છે.
(c) નિયમિત વર્તુળગતિ કરતાં કણ માટે એક પરિભ્રમણ પર લીધેલ સરેરાશ પ્રવેગ O સદિશ હોય છે.

Answer: ઉકેલ:
(a) આ વિધાન અસત્ય છે. વાસ્તવમાં, કણ જ્યારે નિયમિત વર્તુળગતિ, એટલે કે અચળ ઝડપે ગતિ કરતો હોય, ત્યારે જ તેનો કુલ પ્રવેગ વર્તુળાકાર પથની ત્રિજ્યાની દિશામાં કેન્દ્ર તરફ હોય છે. અનિયમિત વર્તુળગતિમાં સ્પર્શીય પ્રવેગ પણ હોય છે.
(b) આપેલ નિવેદન સાચું છે, કારણ કે કણ વર્તુળાકાર પથ છોડે ત્યારે તે બિંદુ પર દોરેલા સ્પર્શકની દિશામાં વેગ ધરાવે છે, જે પથની દિશા સૂચવે છે.
(c) આ કથન સાચું છે. નિયમિત વર્તુળગતિમાં, વર્તુળના વ્યાસના વિરુદ્ધ છેડે આવેલાં બિંદુઓ પરના પ્રવેગ સદિશો મૂલ્યમાં સમાન પરંતુ દિશામાં વિરુદ્ધ હોય છે. પરિણામે, એક સંપૂર્ણ પરિભ્રમણ માટે સરેરાશ પ્રવેગ શૂન્ય સદિશ બને છે.
In simple words: (a) The statement is false because total acceleration in circular motion only points to the center for uniform speed. (b) This statement is true; velocity is always tangential to the path. (c) This statement is true as for uniform circular motion, accelerations at opposite points cancel out over a full revolution.

🎯 Exam Tip: Clearly distinguish between uniform and non-uniform circular motion when discussing acceleration. Tangential velocity is key for understanding instantaneous direction.

 

Question 20. એક કણનો સ્થાનસદિશ નીચે દર્શાવ્યા પ્રમાણે છે :
\(\vec{r} = 3.0t\hat{i} – 2.0 t^2\hat{j} + 4.0k\hat{m}\)
જ્યાં, t સેકન્ડમાં તથા દરેક સહગુણકનો એકમ એ રીતે છે કે જેથી ૪ મીટરમાં મળે.
(a) કણનો વેગ તથા પ્રવેગ મેળવો.
(b) t = 2.0 સેકન્ડે કણના વેગનું માન તથા દિશા શોધો.

Answer: ઉકેલ:
આપેલ કણનો સ્થાન સદિશ: \(\vec{r} = 3.0 t\hat{i}-2.0 t^2\hat{j} + 4.0 k\hat{m}\)
(a) કણનો વેગ અને પ્રવેગ મેળવો:
કણનો વેગ: \(\vec{v} = \frac{d\vec{r}}{dt} = \frac{d}{dt} (3.0 t\hat{i}-2.0 t^2\hat{j} + 4.0k\hat{m})\)
\(= (3.0\hat{i}-4.0 t\hat{j}) \text{ ms}^{-1}\)
કણનો પ્રવેગ: \(\vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt} = \frac{d}{dt} (3.0\hat{i}-4.0 t\hat{j})\)
\(= (-4.0 \hat{j}) \text{ ms}^{-2}\)
(b) t = 2.0 સેકન્ડે કણના વેગનું માન તથા દિશા શોધો:
\(\vec{v} = 3.0 \hat{i} – 4.0 t\hat{j}\)
t = 2s સમये \(\vec{v} = 3.0\hat{i} – 4.0 (2)\hat{j}\)
\(= 3.0\hat{i}-8.0\hat{j} \text{ ms}^{-1}\)
વેગનું માન \(v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \sqrt{(3.0)^2 + (-8.0)^2} = \sqrt{9 + 64} = \sqrt{73}\)
\(\implies v = 8.54 \text{ m s}^{-1}\)
વેગની દિશા: \(\theta = \tan^{-1} (\frac{v_y}{v_x}) = \tan^{-1} (\frac{-8.0}{3.0})\)
\(= \tan^{-1} (-2.6667)\)
\(\implies \theta = -70^{\circ}\)
અહીં, \(\theta\) એ X-અક્ષ સાથે નીચેની તરફ 70°ના કોણે વેગની દિશા દર્શાવે છે.
In simple words: (a) The particle's velocity is found by differentiating its position vector, giving `\((3.0\hat{i}-4.0t\hat{j}) \text{ ms}^{-1}\)`. Differentiating velocity yields acceleration `\((-4.0\hat{j}) \text{ ms}^{-2}\)`. (b) At `\(t=2 \text{ s}\)`, the velocity is `\((3.0\hat{i}-8.0\hat{j}) \text{ ms}^{-1}\)`, with a magnitude of `\(8.54 \text{ m s}^{-1}\)` and a direction `\(70^{\circ}\)` below the positive x-axis.

🎯 Exam Tip: Remember that velocity is the time derivative of position, and acceleration is the time derivative of velocity. For vector quantities, always calculate both magnitude and direction.

 

Question 21. કોઈ કણ t = 0 સમયે ઊગમબિંદુથી 10.0ĵm/sના વેગથી ગતિ શરૂ કરે છે અને XY સમતલમાં તેનો અચળ પ્રવેગ (8.0î + 2.0j) ms-2 છે, તો (a) કયા સમયે તેનો x યામ 16m થશે? આ સમયે તેનો y યામ કેટલો હશે? (b) આ સમયે તેની ઝડપ કેટલી હશે?

Answer: ઉકેલ:
આપેલ છે: પ્રારંભિક વેગ \(\vec{v}_0 = 10.0\hat{j} \text{ ms}^{-1}\) અને અચળ પ્રવેગ \(\vec{a} = (8.0\hat{i} + 2.0\hat{j}) \text{ ms}^{-2}\)
(a) કણનું સ્થાન t સમયે, \(\vec{r} = \vec{v}_0t + \frac{1}{2}\vec{a}t^2\)
\(\vec{r} = 10.0\hat{j} t + \frac{1}{2} (8.0\hat{i} + 2.0\hat{j}) t^2\)
\(\vec{r} = (4.0 t^2)\hat{i} + (10.0t + 1.0 t^2) \hat{j}\)
સમીકરણોને સરખાવતા: \(x = 4.0 t^2\) અને \(y = 10.0 t + 1.0 t^2\)
જ્યારે \(x = 16 \text{ m}\) છે, ત્યારે \(16 = 4.0 t^2 \implies t^2 = 4 \implies t = 2 \text{ s}\)
આ સમયે y-યામ: \(y = 10.0 (2) + 1.0 (2)^2 = 20 + 4 = 24 \text{ m}\)
(b) આ સમયે કણની ઝડપ કેટલી હશે?
t સમયે કણનો વેગ: \(\vec{v} = \frac{d\vec{r}}{dt} = \frac{d}{dt} ((4.0 t^2) \hat{i} + (10.0 t + 1.0 t^2)\hat{j})\)
\(\vec{v} = 8.0 t \hat{i} + (10.0 + 2.0 t)\hat{j}\)
t = 2 s સમये \(\vec{v} = 8.0 (2)\hat{i} + (10.0 + 2.0 (2))\hat{j}\)
\(\vec{v} = 16.0\hat{i} + 14.0\hat{j} \text{ ms}^{-1}\)
ઝડપ \(v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \sqrt{(16.0)^2 + (14.0)^2} = \sqrt{256 + 196} = \sqrt{452}\)
\(\implies v = 21.26 \text{ m s}^{-1}\)
In simple words: (a) The particle's x-coordinate will be 16m at `\(t=2 \text{ s}\)`, at which point its y-coordinate will be 24m. (b) At `\(t=2 \text{ s}\)`, the particle's speed will be `\(21.26 \text{ m s}^{-1}\)`.

🎯 Exam Tip: For constant acceleration, kinematic equations in vector form are crucial. Remember to calculate both x and y components of position and velocity separately before finding magnitude.

 

Question 22. \(\hat{i}\) તથા \(\hat{j}\) અનુક્રમે X અને Y અક્ષ પરના એકમ સંદેશ છે. સદિશો \(\hat{i} + \hat{j}\) તથા \(\hat{i}– \hat{j}\) નાં મૂલ્યો અને દિશા કઈ 2\(\hat{i}\) + 3\(\hat{j}\) નાં \(\hat{i} + \hat{j}\) તથા \(\hat{i} – \hat{j}\)ની દિશાઓમાં ઘટક શોધો. (તમે આલેખીય રીતનો ઉપયોગ કરી શકો છો.)

Answer: ઉકેલ:
(a) સદિશો \(\hat{i} + \hat{j}\) તથા \(\hat{i}– \hat{j}\) નાં મૂલ્યો અને દિશા:

ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): આ આકૃતિમાં એકમ સદિશો \(\hat{i}\) અને \(\hat{j}\) ને X અને Y અક્ષ પર દર્શાવવામાં આવ્યા છે. વિવિધ સદિશોના સરવાળા અને બાદબાકીથી મળતા પરિણામી સદિશોના મૂલ્યો અને દિશાઓ શોધવા માટે સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના નિયમનો ઉપયોગ કરવામાં આવ્યો છે.
સદિશ સરવાળાના ત્રિકોણના નિયમનો ઉપયોગ કરીને:
\(\overrightarrow{OD} = \hat{i} + \hat{j}\)
મૂલ્ય: \(|\hat{i} + \hat{j}| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}\)
દિશા: X-અક્ષ સાથે ખૂણો \(\theta_1 = \tan^{-1}(\frac{1}{1}) = 45^{\circ}\) (પૂર્વ દિશા સાથે).

\(\overrightarrow{OE} = \hat{i} - \hat{j}\)
મૂલ્ય: \(|\hat{i} - \hat{j}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}\)
દિશા: X-અક્ષ સાથે ખૂણો \(\theta_2 = \tan^{-1}(\frac{-1}{1}) = -45^{\circ}\) (દક્ષિણ દિશા તરફ).
(b) સદિશ \(2\hat{i} + 3\hat{j}\) નાં \(\hat{i} + \hat{j}\) તથા \(\hat{i} – \hat{j}\)ની દિશાઓમાં ઘટક શોધો:
ધારો કે \(\vec{A} = 2\hat{i} + 3\hat{j}\), \(\vec{B} = \hat{i}+\hat{j}\) અને \(\vec{C} = \hat{i}-\hat{j}\)
સદિશ \(\vec{A}\) નો \(\vec{B}\) ની દિશામાં ઘટક:
ઘટક \(= (\frac{\vec{A} \cdot \vec{B}}{|\vec{B}|^2}) \vec{B}\)
\(= (\frac{(2\hat{i} + 3\hat{j}) \cdot (\hat{i}+\hat{j})}{(\sqrt{1^2+1^2})^2}) (\hat{i} + \hat{j})\)
\(= (\frac{(2)(1) + (3)(1)}{(\sqrt{2})^2}) (\hat{i} + \hat{j})\)
\(= (\frac{2+3}{2}) (\hat{i} + \hat{j}) = \frac{5}{2} (\hat{i} + \hat{j})\)
આ ઘટકનું મૂલ્ય \(= |\frac{5}{2} (\hat{i} + \hat{j})| = \frac{5}{2} \sqrt{1^2+1^2} = \frac{5\sqrt{2}}{2}\)

સદિશ \(\vec{A}\) નો \(\vec{C}\) ની દિશામાં ઘટક:
ઘટક \(= (\frac{\vec{A} \cdot \vec{C}}{|\vec{C}|^2}) \vec{C}\)
\(= (\frac{(2\hat{i} + 3\hat{j}) \cdot (\hat{i}-\hat{j})}{(\sqrt{1^2+(-1)^2})^2}) (\hat{i}-\hat{j})\)
\(= (\frac{(2)(1) + (3)(-1)}{(\sqrt{2})^2}) (\hat{i}-\hat{j})\)
\(= (\frac{2-3}{2}) (\hat{i}-\hat{j}) = -\frac{1}{2} (\hat{i}-\hat{j})\)
આ ઘટકનું મૂલ્ય \(= |-\frac{1}{2} (\hat{i} - \hat{j})| = \frac{1}{2} \sqrt{1^2+(-1)^2} = \frac{\sqrt{2}}{2}\)
In simple words: (a) The vector `\(\hat{i} + \hat{j}\)` has a magnitude of `\(\sqrt{2}\)` and is directed at `\(45^{\circ}\)` with the x-axis. The vector `\(\hat{i} - \hat{j}\)` also has a magnitude of `\(\sqrt{2}\)` but is directed at `\(-45^{\circ}\)` with the x-axis. (b) The component of `\(2\hat{i} + 3\hat{j}\)` along `\(\hat{i} + \hat{j}\)` is `\(\frac{5}{2}(\hat{i} + \hat{j})\)` with magnitude `\(\frac{5\sqrt{2}}{2}\)`. The component along `\(\hat{i} - \hat{j}\)` is `\(-\frac{1}{2}(\hat{i} - \hat{j})\)` with magnitude `\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)`.

🎯 Exam Tip: To find the component of vector \(\vec{A}\) along vector \(\vec{B}\), use the formula \((\frac{\vec{A} \cdot \vec{B}}{|\vec{B}|^2}) \vec{B}\). Remember that unit vectors \(\hat{i}\) and \(\hat{j}\) are orthogonal.

 

Question 23. અવકાશમાં કોઈ સ્વૈચ્છિક ગતિ માટે નીચે આપેલા સંબંધો પૈકી કયો સાચો છે ?
(a) \(\vec{v}_{av} = \frac{\vec{v}(t_1) + \vec{v}(t_2)}{2}\)
(b) \(\vec{v}_{av} = \frac{\vec{r}(t_2)-\vec{r}(t_1)}{t_2-t_1}\)
(c) \(\vec{v}(t) = \vec{v}(0) + \vec{a}(t)\)
(d) \(\vec{r}(t) = \vec{r}(0) + \vec{v}(0) t + \frac{1}{2}\vec{a}t^2\)
(e) \(\vec{a}_{av} = \frac{\vec{v}(t_2)-\vec{v}(t_1)}{t_2-t_1}\)

Answer:
કોઈપણ સ્વૈચ્છિક ગતિ માટે, જ્યાં કણનો પ્રવેગ નિયમિત ન પણ હોય, ત્યાં આપેલા સંબંધોમાંથી વિકલ્પ (a), (c) અને (d) અયોગ્ય છે. આનું કારણ એ છે કે આ સમીકરણો ફક્ત નિયમિત પ્રવેગી ગતિ માટે જ લાગુ પડે છે. ફક્ત વિકલ્પ (b) અને (e) એ સ્વૈચ્છિક ગતિના કિસ્સામાં સચોટ સંબંધો દર્શાવે છે.
In simple words: For arbitrary motion, only the definitions of average velocity `\(\vec{v}_{av} = \frac{\Delta\vec{r}}{\Delta t}\)` and average acceleration `\(\vec{a}_{av} = \frac{\Delta\vec{v}}{\Delta t}\)` are always true. The other options are only valid for motion with constant acceleration.

🎯 Exam Tip: Differentiate between instantaneous and average quantities. Equations like `\(\vec{v} = \vec{u} + \vec{a}t\)` and `\(\vec{s} = \vec{u}t + \frac{1}{2}\vec{a}t^2\)` are specific to constant acceleration. Definitions of average velocity and acceleration are universally applicable.

 

Question 24. નીચે દર્શાવેલ દરેક વિધાન ધ્યાનપુર્વક વાંચો અને કારણ તથા ઉદાહરણ સહિત દર્શાવો કે તે ખરું છે કે ખોટુંઃ અદિશ રાશિ તે છે કે જે
(a) કોઈ પ્રક્રિયામાં અચળ રહે છે.
(b) તે ક્યારેય ઋણ નથી હોતી.
(c) તે પરિમાણ રહિત હોય છે.
(d) અવકાશમાં એક બિંદુથી બીજા બિંદુ વચ્ચે બદલાતી નથી.
(e) તે દરેક અવલોકનકાર માટે એક મૂલ્ય હોય છે પછી ભલે તેના યામાક્ષોનાં નમન (Orientations) જુદાં હોય.

Answer: ઉકેલ:
(a) આપેલ વિધાન અસત્ય છે. ઉદાહરણ તરીકે, ગતિ-ઊર્જા એક અદિશ રાશિ હોવા છતાં, અસ્થિતિ સ્થાપક અથડામણ (inelastic collision) દરમિયાન તે અચળ રહેતી નથી.
(b) આ વિધાન ખોટું છે. ઉદાહરણ તરીકે, તાપમાન એક અદિશ રાશિ છે, તેમ છતાં તેનું મૂલ્ય ઋણાત્મક હોઈ શકે છે (જેમ કે -10°C).
(c) આપેલ વિધાન અસત્ય છે. કારણ કે દળ, ઘનતા અને ઊર્જા જેવી અદિશ રાશિઓ પરિમાણ ધરાવે છે, તે પરિમાણ રહિત નથી.
(d) આપેલ વિધાન ખોટું છે. ઉદાહરણ તરીકે, વાતાવરણમાં ઘનતા અને તાપમાન જેવી અદિશ રાશિઓ અવકાશમાં એક બિંદુથી બીજા બિંદુ સુધી બદલાતી રહે છે.
(e) આ વિધાન સાચું છે. ઉદાહરણ તરીકે, પદાર્થનું દળ એક અદિશ રાશિ છે જે અવલોકનકારના યામાક્ષોના નમન (ઓરિએન્ટેશન) પર આધાર રાખતી નથી અને દરેક અવલોકનકાર માટે તેનું મૂલ્ય સમાન રહે છે.
In simple words: (a) False: Scalars like kinetic energy are not always conserved. (b) False: Scalars like temperature can be negative. (c) False: Scalars like mass have dimensions. (d) False: Scalars like density vary in space. (e) True: Scalars are invariant under coordinate system rotation, having the same value for all observers.

🎯 Exam Tip: Understand the fundamental properties of scalar quantities: they have magnitude only, can be positive or negative (except for some like mass), have dimensions, and are independent of the observer's coordinate system orientation.

 

Question 25. કોઈ વિમાન પૃથ્વીથી 3400 mની ઊંચાઈએ ઊડી રહ્યું છે. જો પૃથ્વી પરના કોઈ અવલોકનબિંદુ પાસે વિમાન દ્વારા 10 secમાં કપાયેલ અંતર 30નો કોણ બનાવતું હોય, તો વિમાનની ઝડપ કેટલી હશે?

Answer: ઉકેલ:
ધારો કે, વિમાન અવલોકનબિંદુ Oથી 3400 mની ઊંચાઈએ ઊડે છે. આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ 10 sમાં તે AB જેટલું અંતર કાપે છે.

ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): આ આકૃતિ એક વિમાનને પૃથ્વીથી અમુક ઊંચાઈએ ઉડતું દર્શાવે છે. અવલોકનબિંદુ Oથી વિમાન દ્વારા 10 સેકન્ડમાં કપાયેલું અંતર AB છે. આ દૃશ્યમાં ત્રિકોણમિતિનો ઉપયોગ કરીને વિમાનની ઝડપની ગણતરી કરવામાં આવે છે, જેમાં ખૂણો અને ઊંચાઈ આપવામાં આવેલ છે.
આકૃતિ પરથી, ત્રિકોણ OAC માં, \(\tan \theta = \frac{AC}{OC}\)
અહીં, \(\theta = \frac{30^{\circ}}{2} = 15^{\circ}\) (કારણ કે AB અંતર O પર 30° ખૂણો બનાવે છે, તેથી એક તરફ 15°)
\(\therefore \tan 15^{\circ} = \frac{x}{3400}\)
\(\implies x = 3400 \times \tan 15^{\circ} = 3400 \times 0.2679\)
\(= 910.86 \text{ m}\)
વિમાન દ્વારા 10 s માં કપાયેલ કુલ અંતર \(AB = 2x = 2 \times 910.86 = 1821.72 \text{ m}\)
વિમાનની ઝડપ \(= \frac{\text{કાપેલ કુલ અંતર}}{\text{સમય}} = \frac{1821.72 \text{ m}}{10 \text{ s}}\)
\(\implies \text{વિમાનની ઝડપ} = 182.2 \text{ m s}^{-1}\)
In simple words: By using trigonometry with the given height and angle, the horizontal distance covered by the plane in 10 seconds is determined. Dividing this distance by the time yields the plane's speed, which is approximately `\(182.2 \text{ m s}^{-1}\)`.

🎯 Exam Tip: When an object covers an angle from a point, ensure to divide the total angle for symmetric calculations in a right-angled triangle. Unit consistency is vital.

 

Question 26. કોઈ દિશને માન તથા દિશા બંને હોય છે. શું અવકાશમાં તેને કોઈ સ્થાન હોય છે? શું સમય સાથે તે બદલાઈ શકે? શું અવકાશમાં જુદાં જુદાં સ્થાનો પાસે બે સમાન દિશો \(\vec{a}\) તથા \(\vec{b}\) સમાન ભૌતિક અસર દર્શાવશે? તમારા ઉત્તરના સમર્થનમાં ઉદાહરણ આપો.

Answer: ઉકેલ:
(i) અવકાશમાં, જો કોઈ સદિશ તેના મૂલ્ય અને દિશામાં ફેરફાર કર્યા વિના સ્થાન બદલે, તો તેને નિશ્ચિત સ્થાન હોતું નથી. જોકે, સ્થાન સદિશના કિસ્સામાં, તેનું ચોક્કસ સ્થાન હોય છે.
(ii) હા, સદિશ સમય સાથે બદલાઈ શકે છે. ઉદાહરણ તરીકે, પ્રવેગી ગતિમાં કણનો વેગ સદિશ સતત સમય સાથે બદલાતો રહે છે.
(iii) ના, અવકાશમાં જુદાં જુદાં સ્થાનો પર સમાન મૂલ્ય અને દિશા ધરાવતા બે સદિશો હંમેશાં સમાન ભૌતિક અસર ઉત્પન્ન કરતા નથી. ઉદાહરણ તરીકે, એક દઢ પદાર્થ પર બે જુદાં જુદાં બિંદુઓ પર સમાન બળ \(\vec{F}\) લાગુ પાડવાથી અલગ-અલગ ટોર્ક ઉત્પન્ન થઈ શકે છે.
In simple words: A vector may or may not have a fixed position, depending on whether it's a position vector or a free vector. Vectors can change with time (e.g., velocity in accelerated motion). Identical vectors at different locations might produce different physical effects (e.g., force causing different torques).

🎯 Exam Tip: Understand that vectors can be "free" (no fixed position) or "bound" (fixed position, like a position vector). The physical effect of a vector often depends on its point of application (e.g., force and torque).

 

Question 27. કોઈ રાશિને માન તથા દિશા બંને હોય છે. શું તેનો અર્થ એ થાય કે કોઈ રાશિ જેને માન અને દિશા બંને હોય, તે સદિશ જ હશે? કોઈ વસ્તુનું પરિભ્રમણ, ભ્રમણાક્ષની દિશા તથા કોણીય સ્થાન વડે દર્શાવી શકાય છે. શું તેનો અર્થ એ થાય કે કોઈ પણ પરિભ્રમણ એક સદિશ છે?

Answer: ઉકેલ:
કોઈપણ રાશિ કે જેને મૂલ્ય અને દિશા બંને હોય તે હંમેશાં સદિશ હોતી નથી. સદિશ બનવા માટે, રાશિએ સદિશ સરવાળાના નિયમોનું પણ પાલન કરવું જોઈએ. ઉદાહરણ તરીકે, વિદ્યુતપ્રવાહ દિશા અને મૂલ્ય બંને ધરાવે છે પરંતુ સદિશ સરવાળાના નિયમનું પાલન કરતો નથી, તેથી તે અદિશ રાશિ છે.
એ જ રીતે, દઢ પદાર્થનું તેના અક્ષની આસપાસનું પરિભ્રમણ સદિશ રાશિ તરીકે ગણી શકાતું નથી કારણ કે તે સદિશ સરવાળાના નિયમોનું પાલન કરતું નથી. જોકે, પદાર્થના સૂક્ષ્મ પરિભ્રમણને સદિશ તરીકે ગણી શકાય છે કારણ કે તે સદિશ સરવાળાના નિયમોનું પાલન કરે છે.
In simple words: Having magnitude and direction doesn't automatically make a quantity a vector; it must also obey vector addition rules. Electric current is a scalar because it doesn't follow vector addition. Similarly, large rotations are not vectors, but infinitesimal rotations are, as they adhere to vector addition.

🎯 Exam Tip: The crucial criterion for a quantity to be a vector is not just magnitude and direction, but also its adherence to the laws of vector addition (e.g., commutative law). This distinction explains why current and large rotations are not vectors.

 

Question 28.
(a) કોઈ વર્તુળાકાર લૂપમાં વાળેલ તારની લંબાઈ
(b) કોઈ સમતલ ક્ષેત્રફળ
(c) કોઈ ગોળા સાથે સદિશને સાંકળી શકાય? સમજાવો.

Answer: ઉકેલ:
(a) વર્તુળાકાર લૂપમાં વાળેલા તારની લંબાઈ સાથે કોઈ સદિશને સાંકળી શકાતો નથી, કારણ કે લંબાઈ એક અદિશ રાશિ છે.
(b) હા, સમતલ ક્ષેત્રફળ સાથે સદિશને સાંકળી શકાય છે, જેને ક્ષેત્રફળ સદિશ (\(\vec{A}\)) કહેવાય છે. આ સદિશની દિશા સમતલને લંબ રૂપે બહારની તરફ હોય છે.
(c) ગોળાના કદ સાથે કોઈ સદિશને જોડી શકાતો નથી, કારણ કે કદ એક અદિશ રાશિ છે. જોકે, ગોળાની સપાટીના ક્ષેત્રફળ સાથે ક્ષેત્રફળ સદિશને સાંકળી શકાય છે, જે સપાટીને લંબરૂપ દિશા દર્શાવે છે.
In simple words: (a) Length of a circular loop is a scalar, so no vector can be associated with it. (b) A flat area can be represented by an area vector whose direction is perpendicular to the plane. (c) Volume of a sphere is a scalar; however, its surface area can be represented by an area vector.

🎯 Exam Tip: Remember the distinction between scalar and vector quantities. Length and volume are scalars, while area can be a vector (area vector) with its direction defined as normal to the surface.

 

Question 29. બંદૂકમાંથી સમક્ષિતિજ સાથે 30° ના કોણે છોડેલી ગોળી જમીનને 3.0 km દૂર અથડાય છે. પ્રક્ષિપ્ત કોણનું મૂલ્ય ગોઠવીને આપણે 5.0 km દૂર આવેલા લક્ષ્ય પર ગોળી મારી શકીએ? ગણતરી કરીને જણાવો. હવાનો અવરોધ અવગણો.

Answer: ઉકેલ:
પ્રથમ કિસ્સામાં, પ્રક્ષેપણ કોણ \(\theta = 30^{\circ}\) અને સમક્ષિતિજ અવધિ \(R = 3.0 \text{ km} = 3000 \text{ m}\)
પ્રક્ષેપણ અવધિનું સૂત્ર: \(R = \frac{v_0^2 \sin 2\theta}{g}\)
\(3000 = \frac{v_0^2 \sin (2 \times 30^{\circ})}{g}\)
\(3000 = \frac{v_0^2 \sin 60^{\circ}}{g}\)
\(\frac{v_0^2}{g} = \frac{3000}{\sin 60^{\circ}} = \frac{3000}{\sqrt{3}/2} = 2000\sqrt{3}\)
મહત્તમ સમક્ષિતિજ અવધિ \((R_{max})\) માટે \(\theta = 45^{\circ}\) લેવામાં આવે છે. આ કિસ્સામાં, \(\sin (2 \times 45^{\circ}) = \sin 90^{\circ} = 1\)
\(\therefore R_{max} = \frac{v_0^2}{g}\)
\(R_{max} = 2000\sqrt{3} = 2000 \times 1.732 = 3464 \text{ m} = 3.46 \text{ km}\)
આમ, પ્રક્ષિપ્ત કોણને ગોઠવીને ગોળીને મહત્તમ 3.46 km દૂર સુધી જ ફેંકી શકાય છે. કારણ કે લક્ષ્ય 5.0 km અંતરે છે, તેથી આ લક્ષ્ય પર ગોળી મારી શકાશે નહીં.
In simple words: Given the initial range at `\(30^{\circ}\)`, we calculate `\(\frac{v_0^2}{g}\)`. Using this, the maximum possible range for the bullet is found to be `\(3.46 \text{ km}\)` (at `\(45^{\circ}\)`). Since the target is `\(5.0 \text{ km}\)` away, it's impossible to hit it by only adjusting the projection angle.

🎯 Exam Tip: The maximum range for a projectile occurs at a launch angle of `\(45^{\circ}\)` (ignoring air resistance). Use the relationship between range, initial velocity, and gravitational acceleration to solve such problems.

 

Question 30. એક ફાઇટર જેટ પ્લેન 1.5kmની ઊંચાઈ પર 720 km / hની ઝડપથી સમક્ષિતિજ દિશામાં ઊડી રહ્યું છે. જો તે વિમાન વિરોધી તોપની બરાબર ઉપરથી પસાર થતું હોય, તો શિરોલંબ દિશા સાથે તોપના નાળચાનો ખૂણો કેટલો હોવો જોઈએ કે જેથી 600 m s-1ની ઝડપથી છોડેલ ગોળો ફાઇટર પ્લેનને અથડાય? ફાઇટર પ્લેનના પાઇલૉટે લઘુતમ કેટલી ઊંચાઈએ પ્લેન ઉડાડવું જોઈએ કે જેથી તે ગોળાથી બચી શકે? (g= 10 m s-2)

Answer: ઉકેલ:
આપેલા દાખલાની પરિસ્થિતિ નીચે આકૃતિમાં દર્શાવેલ છે :

ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): આ આકૃતિમાં એક ફાઇટર જેટ પ્લેન સમક્ષિતિજ દિશામાં ઉડી રહ્યું છે જ્યારે જમીન પરથી એક તોપમાંથી ગોળો છોડવામાં આવે છે. આકૃતિ પ્લેન અને ગોળાની ગતિ દર્શાવે છે, અને ગણતરી માટેના જરૂરી વેગ ઘટકો અને ખૂણાઓ દર્શાવે છે, જેથી ગોળો પ્લેનને અથડાય તે પરિસ્થિતિ સમજાવી શકાય.
પ્લેનની ઝડપ \(v_{\text{plane}} = 720 \text{ km h}^{-1} = \frac{720 \times 1000}{3600} \text{ m s}^{-1} = 200 \text{ m s}^{-1}\)
ગોળાની પ્રારંભિક ઝડપ \(v_0 = 600 \text{ m s}^{-1}\)
પ્લેનની ઊંચાઈ \(y = 1.5 \text{ km} = 1500 \text{ m}\)

(a) ગોળો પ્લેનને અથડાય તે માટે, સમક્ષિતિજ દિશામાં પ્લેને કાપેલું અંતર અને ગોળાએ કાપેલું અંતર સમાન હોવું જોઈએ. જો તોપ શિરોલંબ સાથે \(\theta\) ખૂણો બનાવે તો:
\(v_{\text{plane}} \times t = (v_0 \sin \theta) \times t\)
\(\implies 200 = 600 \sin \theta\)
\(\sin \theta = \frac{200}{600} = \frac{1}{3}\)
\(\implies \theta = \sin^{-1}(\frac{1}{3}) = 19.5^{\circ}\)
આમ, ગોળો પ્લેનને અથડાય તે માટે તોપનું નાળચું શિરોલંબ દિશા સાથે `\(19.5^{\circ}\)` ના ખૂણે ગોઠવવું જોઈએ.

(b) પાઇલૉટે ગોળાથી બચવા માટે ઓછામાં ઓછી કેટલી ઊંચાઈએ પ્લેન ઉડાડવું જોઈએ?
`\(19.5^{\circ}\)` ના ખૂણે પ્રક્ષિપ્ત કરેલા ગોળાની મહત્તમ ઊંચાઈ \(h_{max}\) છે. જો ગોળો શિરોલંબ સાથે `\(\theta\)` ખૂણો બનાવતો હોય, તો સમક્ષિતિજ સાથેનો ખૂણો `\((90^{\circ}-\theta)\)` થશે.
\(h_{max} = \frac{v_0^2 \sin^2 (90^{\circ}-\theta)}{2g} = \frac{v_0^2 \cos^2 \theta}{2g}\)
\(= \frac{(600)^2 \cos^2 (19.5^{\circ})}{2 \times 10}\)
\(= \frac{360000 \times (0.9426)^2}{20}\)
\(= \frac{360000 \times 0.8885}{20} = 15993 \text{ m}\)
\(\approx 16000 \text{ m} = 16 \text{ km}\)
આમ, જો પાઇલૉટ ફાઇટર પ્લેનને ઓછામાં ઓછી 16 kmની ઊંચાઈએ ઉડાડે તો તે તોપના ગોળાથી બચી શકશે.
In simple words: (a) To hit the plane, the cannon must be aimed at `\(19.5^{\circ}\)` from the vertical, ensuring horizontal distances match. (b) To avoid the cannonball, the pilot must fly the plane at a minimum altitude of `\(16 \text{ km}\)`, which is the maximum height the cannonball can reach.

🎯 Exam Tip: For projectile motion problems involving interception, ensure both objects cover the same horizontal distance in the same time. The maximum height of a projectile is crucial for determining evasion strategies.

 

Question 31. એક સાઇકલ-સવાર 27 km/hની ઝડપથી સાઇકલ ચલાવી રહ્યો છે. જેવો તે રસ્તા પર 80 m ત્રિજ્યાના વર્તુળાકાર વળાંક પર પહોંચે તેવો તે, બ્રૂક લગાવી દરેક સેકન્ડે પોતાની ઝડપ 0.50 m / sના એકસમાન દરથી ઓછી કરે છે. વર્તુળાકાર પથ પર સાઇકલ-સવારના ચોખ્ખા પ્રવેગનું મૂલ્ય તથા દિશા શોધો.

Answer: ઉકેલ:
સાઇકલ-સવારની પ્રારંભિક ઝડપ \(v = 27 \text{ km h}^{-1} = \frac{27 \times 1000}{3600} \text{ m s}^{-1} = 7.5 \text{ m s}^{-1}\)
વર્તુળાકાર વળાંકની ત્રિજ્યા \(r = 80 \text{ m}\)
કેન્દ્રગામી પ્રવેગ \(a_c = \frac{v^2}{r} = \frac{(7.5)^2}{80} = \frac{56.25}{80} = 0.703 \text{ m s}^{-2}\)
બ્રેક લગાવવાથી ઝડપ 0.50 m/s ના એકસમાન દરથી ઓછી થાય છે, તેથી સ્પર્શીય પ્રવેગ \(a_T = 0.50 \text{ m s}^{-2}\) (વેગની વિરુદ્ધ દિશામાં).

ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): આ આકૃતિમાં એક સાયકલ સવારની વર્તુળાકાર ગતિ દરમિયાન લાગુ પડતા કેન્દ્રગામી પ્રવેગ (ac) અને સ્પર્શીય પ્રવેગ (aT) દર્શાવવામાં આવ્યા છે. આ બંને પ્રવેગ સદિશો પરસ્પર લંબ હોય છે, અને તેમનો પરિણામી ચોખ્ખો પ્રવેગ (a) તેમજ તેની દિશા (θ) આકૃતિમાં ગ્રાફિકલી રજૂ કરવામાં આવેલ છે.
કેન્દ્રગામી પ્રવેગ \(a_c\) અને સ્પર્શીય પ્રવેગ \(a_T\) પરસ્પર લંબ હોવાથી, ચોખ્ખો પ્રવેગ \(a\):
\(a = \sqrt{a_T^2 + a_c^2} = \sqrt{(0.50)^2 + (0.703)^2}\)
\(a = \sqrt{0.25 + 0.4942} = \sqrt{0.7442}\)
\(\implies a = 0.86 \text{ m s}^{-2}\)
જો ચોખ્ખો પ્રવેગ સ્પર્શીય પ્રવેગ સાથે \(\theta\) ખૂણો બનાવતો હોય, તો:
\(\tan \theta = \frac{a_c}{a_T} = \frac{0.703}{0.50} = 1.406\)
\(\implies \theta = \tan^{-1} (1.406) = 54.58^{\circ}\)
આમ, ચોખ્ખો પ્રવેગ `\(0.86 \text{ m s}^{-2}\)` મૂલ્યનો છે અને તેની દિશા સ્પર્શીય પ્રવેગની દિશા સાથે `\(54.58^{\circ}\)` નો ખૂણો બનાવે છે.
In simple words: The cyclist experiences a centripetal acceleration of `\(0.703 \text{ m s}^{-2}\)` and a tangential deceleration of `\(0.50 \text{ m s}^{-2}\)`. The net acceleration, found by vector addition of these perpendicular components, is `\(0.86 \text{ m s}^{-2}\)`. Its direction makes an angle of `\(54.58^{\circ}\)` with the tangential acceleration.

🎯 Exam Tip: For objects in circular motion with changing speed, remember to account for both centripetal (perpendicular to velocity) and tangential (parallel or anti-parallel to velocity) acceleration components. The net acceleration is their vector sum.

 

Question 32.
(a) દર્શાવો કે, કોઈ પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ X-અક્ષ તથા તેના વેગ સદિશ વચ્ચે બનતો ખૂણો સમયના પદમાં નીચે પ્રમાણે દર્શાવી શકાય છે :
\(\theta (t) = \tan^{-1} (\frac{v_{0 \mathrm{y}}-g t}{v_{0 \mathrm{x}}})\)
(b) સાબિત કરો કે પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થનો પ્રક્ષેપણ કોણ \(\theta_0 = \tan^{-1} (\frac{4 h_{\mathrm{m}}}{R})\) વડે અપાય છે. અહીં સંજ્ઞાઓને પ્રચલિત અર્થ છે.

Answer: ઉકેલ:
(a) દર્શાવો કે, કોઈ પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ X-અક્ષ તથા તેના વેગ સદિશ વચ્ચે બનતો ખૂણો સમયના પદમાં નીચે પ્રમાણે દર્શાવી શકાય છે :
આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ કોઈ પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થને પ્રારંભિક વેગ \(\vec{v}_0\) થી \(\theta_0\) કોણે પ્રક્ષિપ્ત કરવામાં આવે છે. \(v_{0x}\) અને \(v_{0y}\) એ \(\vec{v}_0\) ના અનુક્રમે X અને Y દિશાના ઘટકો છે.
ધારો કે, \(t\) સમયે પદાર્થ બિંદુ A આગળ છે. તેનો વેગ \(\vec{v}\) અને તે X-અક્ષ સાથે \(\theta\) કોણે છે. \(\vec{v}\) નો X-ઘટક અને Y-ઘટક નીચે મુજબ મળશે :
\(v_x = v_{0x}\) (પ્રક્ષિપ્ત ગતિમાં સમક્ષિતિજ ઘટક બદલાતો નથી.)
\(v_y = v_{0y} - gt\)
\(\tan\theta = \frac{v_y}{v_x}=\frac{v_{0y}-gt}{v_{0x}}\)
\(\implies \theta = \tan^{-1} (\frac{v_{0y}-gt}{v_{0x}})\)
(b) સાબિત કરો કે પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થનો પ્રક્ષેપણ કોણ \(\theta_0 = \tan^{-1} (\frac{4 h_{\mathrm{m}}}{R})\) વડે અપાય છે. અહીં સંજ્ઞાઓને પ્રચલિત અર્થ છે.
પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની મહત્તમ ઊંચાઈ: \(h_m = \frac{v_0^2 \sin^2 \theta_0}{2g}\)
પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની સમક્ષિતિજ અવધિ: \(R = \frac{v_0^2 \sin 2 \theta_0}{g} = \frac{v_0^2 (2 \sin \theta_0 \cos \theta_0)}{g}\)
હવે, \(\frac{h_m}{R}\) નો ગુણોત્તર લઈએ:
\(\frac{h_m}{R} = \frac{\frac{v_0^2 \sin^2 \theta_0}{2g}}{\frac{v_0^2 (2 \sin \theta_0 \cos \theta_0)}{g}}\)
\(\frac{h_m}{R} = \frac{\sin^2 \theta_0}{4 \sin \theta_0 \cos \theta_0} = \frac{\tan \theta_0}{4}\)
\(\implies \tan \theta_0 = \frac{4h_m}{R}\)
\(\implies \theta_0 = \tan^{-1}(\frac{4h_m}{R})\)
In simple words: (a) The angle `\(\theta\)` between the projectile's velocity vector and the x-axis at any time `\(t\)` can be derived using the constant horizontal velocity component and the time-dependent vertical velocity component. (b) The launch angle `\(\theta_0\)` can be expressed in terms of maximum height `\(h_m\)` and horizontal range `\(R\)` by deriving and comparing their respective formulas, ultimately showing `\(\theta_0 = \tan^{-1}(\frac{4h_m}{R})\)`.

🎯 Exam Tip: For projectile motion, recall the independent nature of horizontal and vertical components. Memorize the formulas for range and maximum height, and understand how to derive relationships between them using trigonometric identities.

There are no questions to process on page 29. The content on this page consists only of copyright and processing metadata, without any educational questions or answers.