GSEB Class 11 Physics Solutions Chapter 3 સુરેખપથ પર ગતિ

Question 1. નીચે આપેલ ગતિનાં ઉદાહરણો પૈકી કયા ઉદાહરણમાં તંત્રને આશરે બિંદુવત્ પદાર્થ ગણી શકાય?
(a) બે સ્ટેશન વચ્ચે વગર ઝટકે (jerk) ગતિ કરતી ટ્રેન
(b) સરળતાથી કોઈ વર્તુળમાર્ગ પર સાઇકલ ચલાવતી વ્યક્તિના માથા પર બેઠેલ કોઈ વાંદરો
(c) જમીન પર અથડાઈને તીવ્ર વળાંક લેતો - સ્પિન થતો (Spining) ક્રિકેટનો દડો
(d) ટેબલની કિનારી પરથી ખસીને પડતું બીકર
Answer:
(a) જ્યારે બે સ્ટેશનો વચ્ચેનું અંતર ટ્રેનના પોતાના પરિમાણ કરતાં ઘણું વધારે હોય, ત્યારે ટ્રેનને બિંદુવત્ પદાર્થ તરીકે ગણી શકાય છે.
(b) જો વર્તુળાકાર પથની ત્રિજ્યા ઘણી મોટી હોય, તો સાઇકલ સવાર દ્વારા કાપેલું અંતર વાંદરાના પરિમાણ કરતાં વધુ હોય છે. આવા કિસ્સામાં, વાંદરાને બિંદુવત્ પદાર્થ ગણી શકાય. (પરંતુ જો વર્તુળાકાર પથની ત્રિજ્યા નાની હોય, તો કપાયેલું અંતર ઓછું થશે, અને આવા કિસ્સામાં વાંદરાને બિંદુવત્ પદાર્થ ગણી શકાશે નહીં.)
(c) જમીન પર અથડાઈને તીવ્ર વળાંક લેતો - સ્પિન થતો દડો લાંબા અંતર સુધી જઈ શકતો નથી. આવા કિસ્સામાં, કાપેલું અંતર તેના પરિમાણના સંબંધમાં નોંધપાત્ર ન હોવાથી તેને બિંદુવત્ પદાર્થ ગણી શકાશે નહીં.
(d) જ્યારે બીકર ટેબલ પરથી પડે છે, ત્યારે તે ટેબલની ઊંચાઈ જેટલું અંતર કાપે છે. બીકરે કાપેલું અંતર તેના પરિમાણની સરખામણીમાં મોટું હોવાથી તેને બિંદુવત્ પદાર્થ ગણી શકાશે નહીં.
In simple words: એક વસ્તુને બિંદુવત્ પદાર્થ ત્યારે ગણી શકાય જ્યારે તે કાપેલું અંતર તેના પોતાના કદ કરતાં ઘણું મોટું હોય. ટ્રેન અને વાંદરા (મોટા વર્તુળ પથ પર) માટે આ શરત સંતોષાય છે, જ્યારે ક્રિકેટનો દડો અને બીકર માટે નહીં.

🎯 Exam Tip: બિંદુવત્ પદાર્થની ધારણા ભૌતિકશાસ્ત્રમાં ગતિનું વિશ્લેષણ સરળ બનાવે છે. પરીક્ષામાં આવા કિસ્સાઓને ઓળખીને યોગ્ય રીતે સમજાવવું જરૂરી છે.

Question 2. બે બાળકો A અને B તેમની શાળા Oથી અનુક્રમે તેમના P અને Q ઘરે પરત ફરી રહ્યાં છે, જેનો સ્થાન-સમય (x - t) આલેખ આકૃતિ 3.30માં દર્શાવેલ છે. નીચે કૌંસમાં દર્શાવેલ સાચી નોંધ પસંદ કરો :
(a) (B/A), (A/B) કરતાં શાળાની નજીક રહે છે.
(b) (B/A), (A/B) કરતાં શાળાએથી વહેલી શરૂઆત કરે છે.
(c) (B/A), (A/B) કરતાં ઝડપથી ચાલે છે.
(d) A અને B એક જ/જુદા જુદા સમયે ઘરે પહોંચે છે.
(e) (A/B) રસ્તા પર (B/A)થી (એક વખત/બે વખત) આગળ નીકળી જાય છે.
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): આ આકૃતિ બાળકો A અને Bના સ્થાન-સમય (x-t) આલેખને દર્શાવે છે. O એ શાળાનું સ્થાન છે, P એ બાળક Aના ઘરનું સ્થાન છે, અને Q એ બાળક Bના ઘરનું સ્થાન છે. આલેખ સમય સાથે બાળકોનું અંતર કેવી રીતે બદલાય છે તે દર્શાવે છે.
Answer:
(a) આલેખમાં O એ શાળાનું સ્થાન છે, P એ બાળક Aના ઘરનું સ્થાન અને Q એ બાળક Bના ઘરનું સ્થાન દર્શાવે છે. OP અને OQ અનુક્રમે બાળક A અને Bના શાળાથી ઘર સુધીના અંતરને રજૂ કરે છે. આલેખ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે OP < OQ, જેનો અર્થ છે કે બાળક A શાળાની નજીક રહે છે.
(b) જ્યારે x = 0 હોય ત્યારે, બાળક A t = 0 સમયે અને બાળક B t = t સમયે શાળાએથી નીકળે છે. આ સૂચવે છે કે બાળક A એ બાળક B કરતાં t સમય વહેલો શાળાએથી પ્રસ્થાન કરે છે.
(c) x - t આલેખનો ઢાળ ઝડપ દર્શાવે છે. બાળક B માટેનો x - t આલેખનો ઢાળ બાળક A માટેના x - t આલેખના ઢાળ કરતાં વધુ હોવાથી, બાળક B એ બાળક A કરતાં વધુ ઝડપથી ચાલે છે.
(d) x - t આલેખ પરથી, બિંદુ P અને બિંદુ Q માટે સમય tનું મૂલ્ય સમાન મળે છે (જેમ કે આકૃતિમાં દર્શાવેલ છે), એટલે કે બાળક A અને B બંને એક જ સમયે ઘરે પહોંચે છે.
(e) બાળક A અને B માટેના x - t આલેખ એકબીજાને ફક્ત એક જ વાર છેદે છે. બાળક Bની ઝડપ બાળક A કરતાં વધુ હોવાથી, તેઓ એકબીજાને મળ્યા પછી બાળક B એ બાળક Aથી આગળ નીકળી જાય છે.
In simple words: આ સ્થાન-સમય આલેખ પરથી, બાળક A શાળાની નજીક રહે છે અને બાળક B કરતાં વહેલો નીકળે છે. બાળક B વધુ ઝડપથી ચાલે છે, અને બંને એક જ સમયે ઘરે પહોંચે છે. બાળક B એકવાર બાળક Aને ઓળંગી જાય છે.

🎯 Exam Tip: સ્થાન-સમય આલેખનું વિશ્લેષણ કરતી વખતે, ઢાળ ઝડપ દર્શાવે છે અને આલેખની સ્થિતિ અંતર અને પ્રારંભ સમય સૂચવે છે. છેદબિંદુઓ ઓવરટેકિંગ અથવા મળવાના ક્ષણો દર્શાવે છે.

Question 3. એક મહિલા સવારે 9:00 કલાકે પોતાના ઘરેથી 2.5 km દૂર આવેલા પોતાના કાર્યાલય પર 5 km h-1ની ઝડપે સીધી સડક પર ચાલીને જાય છે. ત્યાં તે સાંજે 5:00 કલાક સુધી રહે છે અને 25 km h-1ની ઝડપે ગતિ કરતી ઑટોરિક્ષામાં પોતાના ઘરે પરત ફરે છે. યોગ્ય સ્કેલમાપ પસંદ કરીને મહિલાની ગતિ માટે x - t આલેખ દોરો.
Answer:
ઉકેલ:
**ઘરથી ઑફિસની મુસાફરી :**
ઑફિસે જવા માટે લાગતો સમય \( t = \frac{\text{અંતર}}{\text{ઝડપ}} = \frac{2.5 \text{ km}}{5 \text{ km h}^{-1}} = \frac{1}{2}\text{h} \)
\( = 30 \text{ min} \)
મહિલા સવારે 9:00 AM કલાકે ઑફિસે જવા નીકળે છે અને 2.5 km જેટલું અંતર 30 મિનિટમાં કાપે છે, એટલે કે તે 9:30 AM કલાકે ઑફિસે પહોંચે છે.
હવે, તે 9:30 AMથી 5:00 PM સુધી ઑફિસમાં રોકાય છે.
**ઑફિસથી ઘરની મુસાફરી :**
ઘરે પાછા ફરવા માટે લાગતો સમય \( t' = \frac{\text{અંતર}}{\text{ઝડપ}} = \frac{2.5 \text{ km}}{25 \text{ km h}^{-1}} = \frac{1}{10}\text{h} \)
\( = 6 \text{ min} \)
એટલે કે મહિલા 5:00 PM કલાકે ઑફિસેથી નીકળીને 5:06 PM કલાકે ઘરે પહોંચે છે.
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): આ આલેખ એક મહિલાની x-t ગતિ દર્શાવે છે. તે 9 AM વાગ્યે ઘરથી નીકળીને 9:30 AM વાગ્યે 2.5 km દૂર ઓફિસ પહોંચે છે. પછી તે 5 PM વાગ્યા સુધી ઓફિસમાં રહે છે, અને 5:06 PM વાગ્યે ઘરે પાછી ફરે છે. આલેખમાં જુદા જુદા સમયગાળા માટે સ્થાનની સ્થિતિ દર્શાવવામાં આવી છે.
In simple words: મહિલા 9 AM વાગ્યે ઘરેથી નીકળી 30 મિનિટમાં ઓફિસ પહોંચે છે, ત્યાં 5 PM સુધી રહે છે અને પછી 6 મિનિટમાં રિક્ષામાં ઘરે પાછી ફરે છે. x-t આલેખ આ સમગ્ર ગતિને સ્થાન વિરુદ્ધ સમયના સંદર્ભમાં દર્શાવે છે.

🎯 Exam Tip: x-t આલેખ દોરતી વખતે, સમયગાળા અને અનુરૂપ અંતરની ગણતરી સ્પષ્ટપણે કરવી અને યોગ્ય સ્કેલ પસંદ કરવો મહત્ત્વપૂર્ણ છે. વિરામના સમયગાળાને આલેખમાં આડી રેખા તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.

Question 4. એક દારૂડિયો એક સાંકડી ગલીમાં 5 પગલાં આગળ ભરે છે અને 3 પગલાં પાછળ ભરે છે. ત્યારબાદ ફરીથી 5 પગલાં આગળ ભરે છે અને 3 પગલાં પાછળ ભરે છે અને આ રીતે તે ચાલતો રહે છે. તેનું દરેક પગલું 1 m લંબાઈનું અને તે માટે 1 s જેટલો સમય લે છે, તો તેની આ ગતિ માટે x - t આલેખ દોરો. આલેખીય રીતે કે અન્ય કોઈ રીતે નક્કી કરો કે તેની ગતિના પ્રારંભ બિંદુથી 13m દૂર આવેલા ખાડામાં તે કેટલા સમય બાદ પડશે.
Answer:
ઉકેલ:
ધારો કે, વ્યક્તિ (દારૂડિયો) \( t = 0 \) સમયે ચાલવાની શરૂઆત કરે છે. તે એક સેકન્ડમાં એક પગલું (1 m) આગળ અથવા પાછળ ભરે છે. આથી \( t = 5 \) sમાં તે 5 m જેટલું અંતર આગળ કાપે છે અને ત્યારબાદ \( t = 3 \) sમાં તે 3m જેટલું અંતર પાછળ કાપે છે.
આ રીતે જુદા જુદા સમયે વ્યક્તિના સ્થાન-યામ નીચે કોષ્ટકમાં દર્શાવેલ છે :

સમય	વ્યક્તિએ કાપેલું અંતર (m)	વ્યક્તિએ કાપેલું ચોખ્ખું અંતર x (m)
0	0	0
5	+ 5m	+ 5m
8	- 3m	\( 5-3=2\text{m} \)
13	+ 5m	\( 2+5=7\text{m} \)
16	- 3m	\( 7-3=4\text{m} \)
21	+ 5m	\( 4+5=9\text{m} \)
24	- 3m	\( 9-3=6\text{m} \)
29	+ 5m	\( 6+5=11\text{m} \)
32	- 3m	\( 11-3=8\text{m} \)
37	+ 5m	\( 8+5=13\text{m} \)

આમ, કોષ્ટક પરથી સ્પષ્ટ છે કે, \( t = 37 \) sના અંતે વ્યક્તિ 13m જેટલું અંતર કાપી ખાડામાં પડશે.
આ વ્યક્તિની ગતિ માટેનો x - t આલેખ નીચે મુજબ મળશે :
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): આ આલેખ એક વ્યક્તિની x-t ગતિ દર્શાવે છે, જેમાં તે 5 પગલાં આગળ અને 3 પગલાં પાછળ ભરે છે. આલેખ ઉપર-નીચે ઝીગ-ઝેગ પેટર્ન દર્શાવે છે, જે ચોખ્ખા સ્થાનાંતરમાં થતા ફેરફારોને સમય સાથે બતાવે છે. 37 સેકન્ડના સમયે તેનું સ્થાન 13m સુધી પહોંચે છે.
In simple words: દારૂડિયો 5 પગલાં આગળ અને 3 પગલાં પાછળની પેટર્નથી ચાલે છે, જેમાં દરેક પગલું 1m અને 1s લે છે. કોષ્ટક તેના સ્થાનને સમય સાથે દર્શાવે છે. આ આલેખ તેના સ્થાનમાં થતા ફેરફારને સમય સાથે બતાવે છે, અને ગણતરી દર્શાવે છે કે તે 37 સેકન્ડમાં ખાડામાં પડશે.

🎯 Exam Tip: આવા ક્રમિક ગતિના પ્રશ્નોમાં, દરેક પગલાની અસરને ચોખ્ખા સ્થાનાંતર પર ગણવી અને સમય સાથે તેને સંચિત કરવી મહત્વપૂર્ણ છે. x-t આલેખ દોરતી વખતે, સમય અને સ્થાન બંને અક્ષો પર યોગ્ય સ્કેલ રાખવાનું ધ્યાન રાખો.

Question 5. એક જૅટ પ્લેન 500 km h-1ની ઝડપે ઊડી રહ્યું છે અને તે જૅટ પ્લેનની સાપેક્ષે 1500 km h-1ની ઝડપે દહન-ઉત્પાદનો- (વાયુ)ને બહાર કાઢી રહ્યું છે. જમીન પર ઊભેલા કોઈ અવલોકનકારની સાપેક્ષે દહન-ઉત્પાદનોની ઝડપ કેટલી હશે?
Answer:
ઉકેલ:
ધારો કે, જૅટ પ્લેન ધન Y-દિશામાં ગતિ કરી રહ્યું છે.
જૅટ પ્લેનની ઝડપ \( v_j = 500 \text{ km h}^{-1} \)
જૅટ પ્લેનમાંથી નીકળતા દહનવાયુની જમીનની સાપેક્ષ ઝડપ \( v_c \) હોય, તો પ્લેનની સાપેક્ષે તે વાયુની ઝડપ \( v_{cj} = -1500 \text{ km h}^{-1} \) થશે.
\( v_{cj} = v_c - v_j = -1500 \text{ km h}^{-1} \)
\( v_c = v_{cj} + v_j = -1500 + 500 = -1000 \text{ km h}^{-1} \)
અહીં, ઋણ સંજ્ઞા સૂચવે છે કે દહનવાયુની ગતિ એ જૅટ પ્લેનની ગતિની વિરુદ્ધ દિશામાં છે. આથી જમીનની સાપેક્ષે ઝડપનું માન 1000 km h-1 થશે.
In simple words: જૅટ પ્લેન 500 km/hની ઝડપે આગળ વધે છે, અને તે 1500 km/hની ઝડપે ગેસ બહાર કાઢે છે. જમીન પર ઊભેલા વ્યક્તિને આ ગેસ 1000 km/hની ઝડપે પ્લેનની વિરુદ્ધ દિશામાં જતો દેખાશે, કારણ કે તેમની સાપેક્ષ ગતિ બાદ થાય છે.

🎯 Exam Tip: સાપેક્ષ વેગના દાખલાઓમાં, દિશાઓનું યોગ્ય નિર્ધારણ (ધન અને ઋણ) અને સંદર્ભ ફ્રેમ (જમીન, પ્લેન) સ્પષ્ટપણે વ્યાખ્યાયિત કરવી અનિવાર્ય છે. અંતિમ પરિણામમાં, ઋણ સંજ્ઞાનો અર્થ દિશા વિરુદ્ધ છે તે સમજાવવું જોઈએ.

Question 6. સુરેખ રાજમાર્ગ પર 126 km h-1 જેટલી ઝડપે દોડી રહેલી એક કાર 200 m અંતર કાપીને ઊભી રાખવી છે, તો કારનો નિયમિત પ્રતિપ્રવેગ કેટલો હોવો જોઈએ? કારને સ્થિર થવા માટે કેટલો સમય લાગશે?
Answer:
ઉકેલ:
કારનો અંતિમ વેગ \( v = 0 \),
કારનો પ્રારંભિક વેગ \( v_0 = 126 \text{ km h}^{-1} \)
\( = \frac{126 \times 1000}{3600} \text{ ms}^{-1} = 35 \text{ m s}^{-1} \)
રોકવાનું અંતર \( x = 200\text{m} \), પ્રવેગ \( a = ? \), સમય \( t = ? \)
\( v^2 = v_0^2 + 2ax \) સમીકરણમાં \( v = 0 \) મૂકતાં,
કારનો પ્રતિપ્રવેગ \( a = -\frac{v_0^2}{2x} = -\frac{(35)^2}{2 \times 200} = -3.06 \text{ m s}^{-2} \)
હવે, \( v = v_0 + at \) નો ઉપયોગ કરતાં,
\( t = \frac{v - v_0}{a} = \frac{0 - 35}{-3.06} = 11.44 \text{ s} \)
In simple words: 126 km/hની ઝડપથી ચાલતી કારને 200mમાં રોકવા માટે -3.06 m/s²નો પ્રતિપ્રવેગ આપવો પડશે અને તેને સંપૂર્ણપણે સ્થિર થવામાં લગભગ 11.44 સેકન્ડનો સમય લાગશે.

🎯 Exam Tip: ગતિના સમીકરણોનો ઉપયોગ કરતી વખતે, એકમોનું રૂપાંતરણ (જેમ કે km/h ને m/s માં) પ્રથમ અને સચોટ રીતે કરવું crucial છે. પ્રતિપ્રવેગ હંમેશા નકારાત્મક ચિહ્ન સાથે દર્શાવવામાં આવે છે.

Question 7. 400 m જેટલી સમાન લંબાઈ ધરાવતી બે ટ્રેનો A અને B બે સમાંતર રેલવે ટ્રેક પર 72 km h-1ની ઝડપે એક જ દિશામાં દોડી રહી છે. ટ્રેન A એ ટ્રેન B કરતાં આગળ છે. ટ્રેન Bનો ડ્રાઇવર ટ્રેન Aને ઓવરટેક કરવાનું વિચારે છે અને પોતાની ટ્રેનને 1 m s-2 જેટલી પ્રવેગિત કરે છે. જો 50s બાદ ટ્રેન Bનો ગાર્ડ ટ્રેન Aના ડ્રાઇવરની આગળ થઈ જાય છે, તો બંને ટ્રેન વચ્ચેનું પ્રારંભિક અંતર કેટલું હશે?
Answer:
ઉકેલ:
ધારો કે, ટ્રેન Aના ડ્રાઇવર અને ટ્રેન Bના ગાર્ડ વચ્ચેનું અંતર x છે.
બંને ટ્રેનો એકસમાન ઝડપ 72 km h-1થી એક જ દિશામાં આગળ વધી રહી છે.
પ્રારંભિક ઝડપ: \( v_A = v_B = 72 \text{ km h}^{-1} = 72 \times \frac{1000}{3600} \text{ m s}^{-1} = 20 \text{ m s}^{-1} \)
આથી ટ્રેન Bની ટ્રેન Aની સાપેક્ષે ઝડપ શૂન્ય થશે. \( v_{BA} = v_B - v_A = 0 \)
ટ્રેન Bનો ડ્રાઇવર \( a = 1 \text{ m s}^{-2} \) જેટલા પ્રવેગથી ટ્રેનને ગતિ કરાવી \( t = 50 \) sમાં x જેટલું અંતર કાપે છે.
આથી \( x = v_0t + \frac{1}{2}at^2 \) અનુસાર,
\( x = (0)(50) + \frac{1}{2}(1)(50)^2 \)
\( = 1250 \text{ m} \)
આમ, બંને ટ્રેનો વચ્ચેનું પ્રારંભિક અંતર 1250 m હશે.
In simple words: બે ટ્રેનો 72 km/hની ઝડપે એક જ દિશામાં ચાલી રહી છે, જ્યાં ટ્રેન A આગળ છે. ટ્રેન Bનો ડ્રાઇવર તેને 1 m/s²ના પ્રવેગથી ઓવરટેક કરવાનું શરૂ કરે છે. જો 50 સેકન્ડમાં ટ્રેન Bનો ગાર્ડ ટ્રેન Aના ડ્રાઇવરથી આગળ નીકળી જાય, તો શરૂઆતમાં બંને ટ્રેનો વચ્ચેનું અંતર 1250 મીટર હશે.

🎯 Exam Tip: સાપેક્ષ ગતિના દાખલાઓમાં, પ્રારંભિક સાપેક્ષ વેગ અને પ્રવેગની ગણતરી કરવી મહત્વપૂર્ણ છે. જો પ્રારંભિક સાપેક્ષ વેગ શૂન્ય હોય, તો ગતિનું સમીકરણ સરળ બને છે.

Question 8. એક દ્વિમાર્ગી રસ્તા (Two-lane road) પર કાર A 36 km h-1ની ઝડપે ગતિ કરે છે. એકબીજાની વિરુદ્ધ દિશામાં 54 km h-1 જેટલી સમાન ઝડપથી દોડતી કાર B અને C, કાર A સુધી પહોંચવાનો પ્રયત્ન કરે છે. કોઈ એક ક્ષણે AB તથા AC વચ્ચે સમાન અંતર 1 km છે. આ ક્ષણે કાર Bનો ડ્રાઇવર, કાર C એ કાર Aને ઓવરટેક કરે તે પહેલાં ઓવરટેક કરવાનું વિચારે છે,. તો અકસ્માત-નિવારણ માટે કાર Bનો લઘુતમ પ્રવેગ કેટલો હોવો જોઈએ?
Answer:
ઉકેલ:
કાર Aનો વેગ \( v_A = +36 \text{ km h}^{-1} \)
\( = 36 \times \frac{1000}{3600} = + 10 \text{ m s}^{-1} \)
કાર Bનો વેગ \( v_B = +54 \text{ km h}^{-1} \)
\( = 54 \times \frac{1000}{3600} = +15 \text{ m s}^{-1} \)
કાર Cનો વેગ \( v_C = -54 \text{ km h}^{-1} \)
\( = -54 \times \frac{1000}{3600} = -15 \text{ m s}^{-1} \)
કાર Aની સાપેક્ષે કાર Cનો વેગ \( v_{CA} = v_C - v_A \)
\( = -15 - 10 = -25 \text{ m s}^{-1} \)
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): આ આકૃતિ ત્રણ કાર A, B અને Cની ગતિ દર્શાવે છે. કાર A 36 km/hની ઝડપે, કાર B 54 km/hની ઝડપે સમાન દિશામાં અને કાર C 54 km/hની ઝડપે વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરી રહી છે. કાર A, B અને C વચ્ચેનું પ્રારંભિક અંતર 1 km છે.
કાર Aને ઓવરટેક કરવા માટે કાર Cને લાગતો સમય,
\( t = \frac{1 \text{ km}}{v_{CA}} = \frac{1000 \text{ m}}{25 \text{ m s}^{-1}} = 40\text{s} \)
કાર Bનો ડ્રાઇવર, કાર Aને કાર C કરતાં પહેલાં ઓવરટેક કરવા માગે છે, એટલે કે તેણે 40 s કરતાં ઓછા સમયમાં 1 km અંતર કાપવું પડે.
કાર Aની સાપેક્ષે કાર Bનો વેગ,
\( v_{BA} = v_B - v_A = 15 - 10 = 5 \text{ m s}^{-1} \)
હવે, \( x = v_{BA} t + \frac{1}{2}at^2 \) સમીકરણનો ઉપયોગ કરતાં,
\( 1000 = (5 \times 40) + \frac{1}{2}a(40)^2 \)
\( 1000 = 200 + 800a \)
\( a = \frac{1000-200}{800} = 1 \text{ m s}^{-2} \)
આમ, જો કાર Bનો લઘુતમ પ્રવેગ \( 1 \text{ m s}^{-2} \) હશે, તો તે કાર C પહેલાં કાર Aને ઓવરટેક કરશે.
In simple words: કાર A 36 km/hની ઝડપે ચાલે છે, જ્યારે કાર B અને C 54 km/hની ઝડપે, પરંતુ કાર C વિરુદ્ધ દિશામાં. કાર Cને કાર A સુધી પહોંચવામાં 40 સેકન્ડ લાગશે. અકસ્માત ટાળવા અને કાર Aને C પહેલાં ઓવરટેક કરવા માટે, કાર Bને ઓછામાં ઓછો 1 m/s²નો પ્રવેગ આપવો પડશે.

🎯 Exam Tip: સાપેક્ષ વેગની ગણતરી કરતી વખતે, દિશાનું ધ્યાન રાખીને યોગ્ય સંજ્ઞાનો ઉપયોગ કરવો ખૂબ જ મહત્વપૂર્ણ છે. અકસ્માત નિવારણ જેવા પ્રશ્નોમાં, સમય મર્યાદા (અહીં 40 સેકન્ડ) ને ધ્યાનમાં રાખીને ગણતરી કરવી જોઈએ.

Question 9. બે શહેર A અને B નિયમિત બસસેવા દ્વારા એકબીજાથી જોડાયેલાં છે તથા પ્રત્યેક T મિનિટ પછી બંને બાજુ બસો દોડે છે. કોઈ એક વ્યક્તિ 20 km h-1ની ઝડપે સાઇકલ દ્વારા Aથી B તરફ જઈ રહી છે, ત્યારે તે નોંધે છે કે, પ્રત્યેક 18min પછી એક બસ તેની ગતિની દિશામાં તથા પ્રત્યેક 6min પછી તેની વિરુદ્ધ દિશામાં પસાર થાય છે. બસસેવા સમય T કેટલો હશે અને રસ્તા પર દોડતી બસની ઝડપ (અચળ ધારો) કેટલી હશે?
Answer:
ઉકેલ:
ધારો કે બસ \( u \text{ km/h} \) ની અચળ ઝડપથી દોડે છે.
સાઇકલસવારની ઝડપ \( = 20 \text{ km/h} \)
સાઇકલસવારની સાપેક્ષે શહેર Aથી શહેર B તરફ જતી બસનો સાપેક્ષ વેગ \( = (u - 20) \text{ km h}^{-1} \)
સાઇકલસવારની સાપેક્ષે શહેર Bથી શહેર A તરફ જતી બસનો સાપેક્ષ વેગ \( = (u + 20) \text{ km h}^{-1} \)
T સમયમાં બસે કાપેલું અંતર \( = uT \)
Aથી B તરફ જતી બસ 18min \( = \frac{18}{60}\text{h} \) સમયે સાઇકલને ક્રૉસ કરે છે.
આથી, સમય \( = \frac{\text{અંતર}}{\text{વેગ}} \) અનુસાર,
\( \frac{18}{60} = \frac{uT}{u-20} \) ... (1)
Bથી A તરફ જતી બસ 6min \( = \frac{6}{60}\text{h} \) સમયે સાઇકલને ક્રૉસ કરે છે.
\( \frac{6}{60} = \frac{uT}{u+20} \) ... (2)
સમીકરણ (1) અને (2)નો ગુણોત્તર લેતાં,
\( \frac{18/60}{6/60} = \frac{uT/(u-20)}{uT/(u+20)} \)
\( \implies 3 = \frac{u+20}{u-20} \)
\( \implies 3u - 60 = u + 20 \)
\( \implies 2u = 80 \)
\( \implies u = 40 \text{ km/h} \)
સમીકરણ (1)માં \( u = 40 \text{ km/h} \) મૂકતાં,
\( \frac{18}{60} = \frac{(40)T}{40-20} \)
\( \implies \frac{3}{10} = 2T \)
\( \implies T = \frac{3}{20}\text{h} = \frac{3}{20} \times 60 \text{ min} = 9 \text{ min} \)
In simple words: એક વ્યક્તિ 20 km/hની ઝડપે સાઇકલ ચલાવતી વખતે નોંધે છે કે તેની દિશામાં જતી બસો 18 મિનિટે અને વિરુદ્ધ દિશામાં જતી બસો 6 મિનિટે પસાર થાય છે. આ ગણતરી પરથી જાણવા મળે છે કે બસની ઝડપ 40 km/h છે અને બસસેવાનો સમય 9 મિનિટ છે.

🎯 Exam Tip: સાપેક્ષ ગતિના પ્રશ્નોમાં, ગતિની દિશા અને સમયના એકમોનું સુસંગત રૂપાંતરણ (મિનિટથી કલાકમાં) મહત્વપૂર્ણ છે. બે સમીકરણો બનાવીને તેમનો ગુણોત્તર લેવાથી અજ્ઞાત રાશિઓ શોધવામાં સરળતા રહે છે.

Question 10. કોઈ એક ખેલાડી 29.4 m s-1ની પ્રારંભિક ઝડપથી એક દડાને ઊર્ધ્વદિશામાં ફેંકે છે.
(a) દડાની ઊધ્વદિશાની ગતિ દરમિયાન પ્રવેગની દિશા કઈ હશે?
(b) તેની ગતિના મહત્તમ ઊંચાઈવાળા બિંદુએ દડાનો વેગ અને પ્રવેગ કેટલા હશે?
(c) દડાની મહત્તમ ઊંચાઈવાળા બિંદુએ સ્થાન x = 0 m અને t = 0 s તથા શિરોલંબ નીચે તરફની દિશાને x-અક્ષની ધન દિશા તરીકે પસંદ કરો. આ પસંદગીના સંદર્ભે દડાની ઊધ્વદિશાની ગતિ અને અધોદિશાની ગતિ માટે સ્થાન, વેગ અને પ્રવેગનાં ચિહ્નો દર્શાવો.
(d) દડો કેટલી મહત્તમ ઊંચાઈએ પહોંચશે અને કેટલા સમય બાદ ખેલાડીના હાથમાં પાછો આવશે? (\( g = 9.8 \text{ m s}^{-2} \) અને વાયુનો અવરોધ અવગણીએ છીએ.)
Answer:
ઉકેલ:
(a) દડો ગુરુત્વપ્રવેગની અસર હેઠળ ગતિ કરે છે. ગુરુત્વપ્રવેગની દિશા હંમેશાં શિરોલંબ-અધોદિશામાં હોય છે.
(b) દડાની ગતિની મહત્તમ ઊંચાઈએ તેનો વેગ શૂન્ય હોય છે. તેનો પ્રવેગ એ ગુરુત્વપ્રવેગ \( g = 9.8 \text{ m s}^{-2} \) જેટલો શિરોલંબ અધોદિશામાં હોય છે.
(c) દડાની મહત્તમ ઊંચાઈવાળા બિંદુએ \( x = 0 \text{ m} \) અને \( t = 0 \text{ s} \) તથા શિરોલંબ નીચે તરફની દિશાને ધન x-અક્ષ તરીકે પસંદ કરતાં,
દડાની ઊધ્વદિશાની ગતિ: આ પ્રકારની ગતિ માટે દડાનું સ્થાન ઋણ, તેનો વેગ ઋણ અને પ્રવેગ ધન થશે.
દડાની અધોદિશાની ગતિ: આ પ્રકારની ગતિ માટે દડાનું સ્થાન, વેગ અને પ્રવેગ ત્રણેય ધન થશે.
(d) દડાની ઊર્ધ્વદિશાની ગતિ માટે,
\( v_0 = 29.4 \text{ m s}^{-1} \), \( g = 9.8 \text{ m s}^{-2} \), \( v = 0 \)
જો દડાની મહત્તમ ઊંચાઈ h હોય, તો \( v^2 - v_0^2 = 2gh \) પરથી,
\( h = \frac{v^2 - v_0^2}{2g} = \frac{0 - (29.4)^2}{2 \times 9.8} = -44.1 \text{ m} \)
ઋણ નિશાની દર્શાવે છે કે, દડાએ ઊર્ધ્વદિશામાં અંતર કાપેલું છે. (એટલે કે ગતિ વિરુદ્ધ દિશામાં છે જો ધન દિશા નીચે તરફ લીધી હોય.)
જો દડો \( t \) સમયમાં મહત્તમ ઊંચાઈએ પહોંચતો હોય, તો \( v = v_0 + gt \)
\( t = \frac{v - v_0}{g} = \frac{0 - (29.4)}{-9.8} = \frac{29.4}{9.8} \)
\( \implies t = 3 \text{ s} \)
દડાને મહત્તમ ઊંચાઈએ પહોંચતાં 3s જેટલો સમય લાગે છે. તેટલો જ સમય તેને મહત્તમ ઊંચાઈએથી ખેલાડીના હાથમાં પાછો આવતા લાગશે.
આથી કુલ સમય \( = 3\text{s} + 3\text{s} = 6\text{s} \)
In simple words: ગુરુત્વાકર્ષણ બળ હંમેશા નીચે તરફ ખેંચતું હોવાથી દડાનો પ્રવેગ હંમેશા નીચેની દિશામાં હોય છે, ભલે દડો ઉપર જતો હોય. મહત્તમ ઊંચાઈ પર વેગ શૂન્ય હોય છે, પરંતુ પ્રવેગ ગુરુત્વાકર્ષણ જેટલો (9.8 m/s²) નીચે તરફ જ હોય છે. દડો 44.1 મીટર ઊંચે જશે અને ખેલાડીના હાથમાં પાછો આવવામાં કુલ 6 સેકન્ડ લાગશે.

🎯 Exam Tip: ઊર્ધ્વ ગતિમાં, ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ (g) હંમેશા નીચે તરફ કાર્ય કરે છે, ભલે પદાર્થ ઉપરની તરફ ગતિ કરતો હોય. મહત્તમ ઊંચાઈ પર વેગ શૂન્ય હોય છે, પરંતુ પ્રવેગ શૂન્ય હોતો નથી. સમપ્રમાણતાના કારણે ઉપર જવા અને નીચે આવવાનો સમય સમાન હોય છે.

Question 11. નીચે આપેલ કથનોને ધ્યાનપૂર્વક વાંચી ઉદાહરણ અને કારણ સહિત તે સાચાં છે કે ખોટાં તે દર્શાવો. કણની એક-પારિમાણિક ગતિમાં,
(a) કોઈ એક ક્ષણે તેની ઝડપ શૂન્ય હોવા છતાં તેનો પ્રવેગ અશૂન્ય હોઈ શકે છે.
(b) ઝડપ શૂન્ય હોવા છતાં તેનો વેગ અશૂન્ય હોઈ શકે.
(c) ઝડપ અચળ હોય, તો પ્રવેગ હંમેશાં શૂન્ય હોય.
(d) પ્રવેગ ધન મૂલ્ય માટે ગતિ વધતી હોય છે.
Answer:
ઉત્તર :
(a) આપેલ વિધાન સત્ય છે. જ્યારે દડાને ઊર્ધ્વદિશામાં ફેંકવામાં આવે ત્યારે તેની મહત્તમ ઊંચાઈએ તેનો વેગ શૂન્ય હોય છે, પરંતુ પ્રવેગ \( 9.8 \text{ m s}^{-2} \) જેટલો શિરોલંબ-અધોદિશામાં હોય છે.
(b) આપેલ વિધાન ખોટું છે, કારણ કે ઝડપ એ વેગનું માન દર્શાવે છે. આથી જ્યારે ઝડપ શૂન્ય હશે ત્યારે વેગ પણ શૂન્ય હશે.
(c) આપેલ વિધાન સત્ય છે. જ્યારે કણ સુરેખ પથ પર અચળ ઝડપથી એક જ દિશામાં ગતિ કરે ત્યારે તેના વેગનું મૂલ્ય અને દિશા બદલાતા નથી, એટલે કે તેનો પ્રવેગ શૂન્ય હોય છે.
(d) આપેલ વિધાન ખોટું છે, કારણ કે \( v = v_0 + at \) સમીકરણ અનુસાર જો કણનો પ્રવેગ ધન હશે; પરંતુ પ્રારંભિક વેગ ઋણ હશે, તો સમય સાથે કણનો વેગ ઘટતો જશે. પરંતુ જો \( v_0 \) અને \( a \) બંને ઋણ હશે તો સમયની સાથે કણનો વેગ વધે છે.
In simple words: ઝડપ શૂન્ય હોય ત્યારે પણ પ્રવેગ હોઈ શકે (જેમ કે ઉપર ફેંકેલા દડાના ટોચના બિંદુએ). ઝડપ શૂન્ય હોય તો વેગ પણ શૂન્ય જ હોય, કારણ કે ઝડપ એ વેગનું મૂલ્ય છે. અચળ ઝડપથી એક જ દિશામાં ગતિ એટલે શૂન્ય પ્રવેગ. ધન પ્રવેગ હંમેશા ગતિમાં વધારો કરે તે જરૂરી નથી, તે પ્રારંભિક વેગની દિશા પર આધાર રાખે છે.

🎯 Exam Tip: ઝડપ અને વેગ વચ્ચેનો તફાવત, તેમજ પ્રવેગની દિશા અને તેની અસરને સ્પષ્ટપણે સમજવી critical છે. "અચળ ઝડપ" નો અર્થ "શૂન્ય પ્રવેગ" થાય છે જો ગતિ સીધી રેખામાં હોય, પરંતુ જો ગતિની દિશા બદલાતી હોય (વર્તુળાકાર ગતિ), તો પ્રવેગ શૂન્ય ન પણ હોય.

Question 12. કોઈ એક દડાને 90mની ઊંચાઈ પરથી ફર્શ (Floor) પર પડતો મૂકવામાં આવે છે. ફર્શ સાથેના પ્રત્યેક સંઘાત દરમિયાન, દડો તેની મૂળ ઝડપના દસમા ભાગ જેટલી ઝડપ ગુમાવે છે. દડાની આ ગતિ માટે t = 0થી t = 12 s માટે ઝડપ સમયનો આલેખ દોરો.
Answer:
ઉકેલ :
દડો 90 m ઊંચાઈએથી મુક્તપતન કરે છે. આથી \( h = 90 \text{ m} \), \( v_0 = 0 \), \( g = 10 \text{ m s}^{-2} \)
(i) h ઊંચાઈએથી મુક્તપતન કરતા દડાને જમીન પર અથડાતાં લાગતો સમય,
\( h = v_0t + \frac{1}{2}gt^2 \)
\( \implies h = \frac{1}{2}gt^2 \) (કારણ કે \( v_0 = 0 \))
\( \implies t = \sqrt{\frac{2h}{g}} = \sqrt{\frac{2 \times 90}{9.8}} = \frac{30}{7} \approx 4.3 \text{ s} \)
જમીન પર સંઘાત થતાં પહેલાં દડાની ઝડપ,
\( u = v_0 + gt \)
\( \implies u = 0 + 9.8 \times 4.3 = 42 \text{ m s}^{-1} \)
આકૃતિ 3.34માં દડાની અધોદિશાની ગતિ OA રેખા દ્વારા દર્શાવેલ છે.
(ii) જમીન સાથે પ્રથમ સંઘાત થતાં દડો તેની 10% જેટલી ઝડપ ગુમાવે છે. સંઘાત બાદ દડાની ઝડપ,
\( v' = 42 - (42) \times \frac{1}{10} = 42 - 4.2 = 37.8 \text{ m s}^{-1} \)
(iii) જમીન સાથે સંઘાત બાદ દડો ઊછળીને પાછો ઊર્ધ્વદિશામાં ગતિ કરે છે. તેને મહત્તમ ઊંચાઈએ પહોંચવા માટે લાગતો સમય,
\( v = v' - gt' \) (જ્યાં \( v = 0 \) મહત્તમ ઊંચાઈએ)
\( \implies t' = \frac{v'}{g} = \frac{37.8}{9.8} \approx 3.9 \text{ s} \)
આમ, મહત્તમ ઊંચાઈએ પહોંચતાં લાગતો કુલ સમય
\( t'' = t + t' = 4.3 + 3.9 = 8.2 \text{ s} \)
આકૃતિમાં BC રેખા એ પ્રથમ સંઘાત બાદ દડાની ઊર્ધ્વદિશાની ગતિ દર્શાવે છે.
(iv) મહત્તમ ઊંચાઈએ પહોંચતાં દડાની ઝડપ શૂન્ય થાય છે અને ફરીથી પાછો અધોદિશામાં ગતિ કરવા લાગે છે. અધોદિશામાં ગતિ દરમિયાન તેની ઝડપ શૂન્યથી વધીને \( 37.8 \text{ m s}^{-1} \) (પ્રથમ સંઘાત બાદની ઝડપ જેટલી) થશે.
દડાને જમીન પર આવતા લાગતો સમય,
\( v = v_0 + gt''' \) પરથી, (જ્યાં \( v = 37.8 \text{ m s}^{-1} \) અને \( v_0 = 0 \))
\( 37.8 = 0 + 9.8 \times t''' \)
\( \implies t''' = \frac{37.8}{9.8} \approx 3.9 \text{ s} \)
આમ, શરૂઆતથી લઈને દડાને બીજી વાર જમીન સુધી આવતા લાગતો સમય \( = t + t'' + t''' \)
\( = 4.3 + 3.9 + 3.9 \)
\( = 12.1 \text{ s} \)
આકૃતિમાં દડાની આ અધોદિશાની ગતિ રેખા CD દ્વારા દર્શાવેલ છે. પ્રારંભથી લઈને બીજો સંઘાત થાય તે દરમિયાન દડાની ગતિનો ઝડપ-સમયનો આલેખ નીચે આકૃતિમાં દર્શાવેલ છે :
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): આ આલેખ 90mથી મુક્તપતન કરતા દડાની ઝડપ-સમયની ગતિ દર્શાવે છે. તે 4.3s પર જમીન પર અથડાય છે (ઝડપ 42 m/s), પછી 10% ઝડપ ગુમાવીને 37.8 m/sની ઝડપે ઉછળે છે, 3.9s પછી મહત્તમ ઊંચાઈએ પહોંચી ઝડપ શૂન્ય થાય છે, અને પછી ફરી 3.9sમાં નીચે આવે છે. CD રેખા બીજા સંઘાત સુધીની ગતિ દર્શાવે છે.
In simple words: 90mથી છોડેલો દડો 4.3 સેકન્ડમાં જમીન પર 42 m/sની ઝડપે અથડાય છે. 10% ઝડપ ગુમાવીને તે 37.8 m/sની ઝડપે પાછો ઉછળે છે અને 3.9 સેકન્ડમાં મહત્તમ ઊંચાઈએ પહોંચે છે. ત્યારબાદ તે ફરી 3.9 સેકન્ડમાં નીચે આવે છે, આમ કુલ 12.1 સેકન્ડનો સમય થાય છે.

🎯 Exam Tip: મુક્તપતન, અથડામણ અને ઉછાળો જેવા ક્રમિક ઘટનાઓના દાખલાઓમાં, દરેક તબક્કા માટે ગતિના સમીકરણોનો અલગથી ઉપયોગ કરવો. ઝડપમાં ઘટાડો અને સમયની ગણતરીમાં ચોકસાઈ રાખવી.

Question 13. ઉદાહરણ સહિત બંને કથનોનું તુલનાત્મક વિશ્લેષણ કરો.
(a) કોઈ એક સમયગાળામાં સ્થાનાંતરનું માન (જેને ઘણી વાર અંતર પણ કહે છે.) અને કોઈ કણ દ્વારા આટલા જ સમયગાળામાં કપાયેલ કુલ પથલંબાઈ
(b) કોઈ એક સમયગાળામાં સરેરાશ વેગનું માન અને એટલા જ સમયગાળા માટે સરેરાશ ઝડપ (આપેલ સમયગાળા માટે કણની સરેરાશ ઝડપને કુલ પથલંબાઈ અને સમયગાળાના ગુણોત્તર વડે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.) (a) અને (b) બંને માટે દર્શાવો કે બીજી રાશિ પ્રથમ રાશિ કરતાં મોટી કે તેના જેટલી જ છે. સમાનતાનું ચિહ્ન ક્યારે સાચું હશે? (સરળતા માટે ગતિને એક-પારિમાણિક ગતિ લો.)
Answer:
ઉત્તર :
(a) ધારો કે, એક કણ \( t \) સમયગાળામાં A સ્થાનેથી B સ્થાને અને ત્યારબાદ C સ્થાન પર જાય છે.
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): આ આકૃતિ એક કણની ગતિ દર્શાવે છે જે A થી B અને પછી C પર જાય છે. A એ પ્રારંભિક સ્થાન છે અને C એ અંતિમ સ્થાન છે. AB અને BC એ કણ દ્વારા કાપેલા માર્ગો છે, જ્યારે AC એ તેનું ચોખ્ખું સ્થાનાંતર દર્શાવે છે.
આ સમયગાળા \( t \) માં કણનું સ્થાનાંતર AC થશે.
આ સમયગાળામાં કણે કાપેલ કુલ પથલંબાઈ \( = \text{AB} + \text{BC} \) થશે.
આ કિસ્સામાં પથલંબાઈ એ સ્થાનાંતર કરતાં મોટી છે. પરંતુ જો કણ સીધો જ A સ્થાન પરથી ગતિ કરીને C સ્થાને જાય ત્યારે પથલંબાઈ અને સ્થાનાંતર (AC) બંને સરખા થશે.
(b) ઉપરના ઉદાહરણમાં, સરેરાશ વેગ \( = \frac{\text{સ્થાનાંતર}}{\text{સમયગાળો}} = \frac{\text{AC}}{t} \)
સરેરાશ ઝડપ \( = \frac{\text{કુલ પથલંબાઈ}}{\text{સમયગાળો}} = \frac{\text{AB + BC}}{t} \)
અહીં, \( \text{AB} + \text{BC} > \text{AC} \) હોવાથી સરેરાશ ઝડપ એ સરેરાશ વેગ કરતાં વધુ છે. (સરેરાશ ઝડપ > સરેરાશ વેગ)
જો કણ સુરેખ પથ પર ગતિ કરીને A પરથી C પર જાય, તો પથલંબાઈ અને સ્થાનાંતર સમાન થશે. આ કિસ્સામાં સરેરાશ ઝડપ અને સરેરાશ વેગ સરખા થશે. (સરેરાશ ઝડપ = સરેરાશ વેગ)
આમ, જો કણ સુરેખ પથ પર ચોક્કસ દિશામાં ગતિ કરતો હોય ત્યારે સમાનતાનું ચિહ્ન યોગ્ય છે.
In simple words: (a) પથલંબાઈ એ કણ દ્વારા ગતિ દરમિયાન કાપેલા કુલ માર્ગની લંબાઈ છે, જ્યારે સ્થાનાંતર એ પ્રારંભિક અને અંતિમ બિંદુઓ વચ્ચેનું સૌથી ટૂંકું અંતર છે. પથલંબાઈ હંમેશા સ્થાનાંતર કરતાં મોટી અથવા તેના જેટલી હોય છે. તે ફક્ત સીધી રેખામાં એક જ દિશામાં ગતિ કરે ત્યારે જ બંને સમાન હોય છે. (b) સરેરાશ ઝડપ એ કુલ પથલંબાઈ ભાગ્યા સમયગાળો છે, જ્યારે સરેરાશ વેગ એ કુલ સ્થાનાંતર ભાગ્યા સમયગાળો છે. સરેરાશ ઝડપ હંમેશા સરેરાશ વેગ જેટલી અથવા તેનાથી વધુ હોય છે. તે ત્યારે જ સમાન હોય છે જ્યારે ગતિ સીધી રેખામાં એક જ દિશામાં થાય છે.

🎯 Exam Tip: પથલંબાઈ અને સ્થાનાંતર, તેમજ સરેરાશ ઝડપ અને સરેરાશ વેગ વચ્ચેનો તફાવત, ભૌતિકશાસ્ત્રમાં મૂળભૂત ખ્યાલો છે. આ ખ્યાલોની સ્પષ્ટ સમજણ ઉદાહરણો સાથે આપવી પરીક્ષામાં સારા ગુણ મેળવવા માટે મદદરૂપ છે. યાદ રાખો કે પથલંબાઈ અને ઝડપ ક્યારેય ઋણ હોતા નથી, જ્યારે સ્થાનાંતર અને વેગ ઋણ હોઈ શકે છે.

Question 14. એક વ્યક્તિ સુરેખ માર્ગે 5 km h-1ની ઝડપે તેના ઘરેથી 2.5 km દૂર આવેલા માર્કેટમાં જાય છે. પરંતુ માર્કેટને બંધ જુએ છે, તે તરત જ 7.5 km h-1ની ઝડપે ઘરે પાછો ફરે છે, તો
(a) સરેરાશ વેગનું માન અને
(b) સમયગાળા (i) 0થી 30 min (ii) 0થી 50 min (iii) 0થી 40 min માટે વ્યક્તિની સરેરાશ ઝડપ કેટલી હશે ? (નોંધ : આ ઉદાહરણથી તમે પ્રભાવિત થશો કે સરેરાશ ઝડપને સરેરાશ વેગના માન તરીકે દર્શાવવા કરતાં કુલ પથલંબાઈ અને કુલ સમયગાળાના ગુણોત્તર સ્વરૂપે વ્યાખ્યાયિત કરવી કેમ વધુ યોગ્ય છે? થાકીને ઘરે પહોંચેલી વ્યક્તિને તેની સરેરાશ ઝડપ શૂન્ય છે, તેમ કહેવાનું મુનાસિબ નહિ માનો !)
Answer:
ઉકેલ:
(i) 0 - 30 minના સમયગાળા માટે :
\( t = 30 \text{ min} = \frac{1}{2}\text{ h} \)
વ્યક્તિની ઝડપ \( v = 5 \text{ km h}^{-1} \)
30 minમાં કાપેલું અંતર \( = \text{ઝડપ} \times \text{સમય} = 5 \text{ km h}^{-1} \times \frac{1}{2}\text{ h} = 2.5 \text{ km} \)
પ્રથમ 30 minમાં વ્યક્તિ 2.5 km જેટલું અંતર કાપીને માર્કેટ સુધી જાય છે. વ્યક્તિ એક જ દિશામાં ચાલતો હોવાથી કુલ પથલંબાઈ = સ્થાનાંતર = 2.5 km.
સરેરાશ વેગ \( = \frac{\text{સ્થાનાંતર}}{\text{સમય}} = \frac{2.5 \text{ km}}{1/2 \text{ h}} = 5 \text{ km h}^{-1} \)
સરેરાશ ઝડપ \( = \frac{\text{કુલ પથલંબાઈ}}{\text{સમય}} = \frac{2.5 \text{ km}}{1/2 \text{ h}} = 5 \text{ km h}^{-1} \)
(ii) 0 - 50 minના સમયગાળા માટે :
ઉપર સમજાવ્યા મુજબ પ્રથમ 30minમાં વ્યક્તિ 2.5 kmનું અંતર કાપી માર્કેટ પહોંચે છે. ત્યારબાદ તે 20 min માર્કેટથી ઘર તરફ 7.5 km/hની ઝડપે ચાલે છે.
આ સમયગાળા દરમિયાન તેણે કાપેલું અંતર \( = \text{ઝડપ} \times \text{સમય} \)
\( = 7.5 \text{ km h}^{-1} \times \frac{20}{60}\text{h} = 2.5 \text{ km} \) (વિરુદ્ધ દિશામાં)
આમ, પ્રથમ 50 minમાં વ્યક્તિનું
સ્થાનાંતર \( = 2.5 \text{ km} + (-2.5 \text{ km}) = 0 \)
કુલ પથલંબાઈ \( = 2.5 \text{ km} + 2.5 \text{ km} = 5 \text{ km} \)
આથી સરેરાશ વેગ \( = \frac{\text{સ્થાનાંતર}}{\text{સમય}} = \frac{0}{50/60 \text{ h}} = 0 \)
સરેરાશ ઝડપ \( = \frac{\text{કુલ પથલંબાઈ}}{\text{સમય}} = \frac{5}{50/60 \text{ h}} = 6 \text{ km h}^{-1} \)
(iii) 0 - 40 minના સમયગાળા માટે :
પ્રથમ 30 minમાં વ્યક્તિ 2.5 kmનું અંતર કાપી માર્કેટ સુધી જાય છે. ત્યારબાદ તે 10min માર્કેટથી ઘર તરફ 7.5 km h-1ની ઝડપે ચાલે છે.
આ 10minમાં તેણે કાપેલું અંતર \( = 7.5 \text{ km h}^{-1} \times \frac{10}{60}\text{h} = 1.25 \text{ km} \) (વિરુદ્ધ દિશામાં)
આમ, 40 minમાં વ્યક્તિનું
સ્થાનાંતર \( = 2.5 \text{ km} - 1.25 \text{ km} = 1.25 \text{ km} \)
કુલ પથલંબાઈ \( = 2.5 \text{ km} + 1.25 \text{ km} = 3.75 \text{ km} \)
સરેરાશ વેગ \( = \frac{\text{સ્થાનાંતર}}{\text{સમય}} = \frac{1.25 \text{ km}}{40/60 \text{ h}} = 1.875 \text{ km h}^{-1} \)
સરેરાશ ઝડપ \( = \frac{\text{કુલ પથલંબાઈ}}{\text{સમય}} = \frac{3.75 \text{ km}}{40/60 \text{ h}} = 5.625 \text{ km h}^{-1} \)
In simple words: (i) 30 મિનિટમાં, વ્યક્તિ 2.5 km માર્કેટ સુધી જાય છે. સરેરાશ વેગ અને ઝડપ બંને 5 km/h છે. (ii) 50 મિનિટમાં, વ્યક્તિ માર્કેટ જઈને પાછી ફરે છે, તેથી સ્થાનાંતર શૂન્ય અને સરેરાશ વેગ શૂન્ય છે; સરેરાશ ઝડપ 6 km/h છે. (iii) 40 મિનિટમાં, વ્યક્તિ માર્કેટ જઈને આંશિક રીતે પાછી ફરે છે. સ્થાનાંતર 1.25 km, સરેરાશ વેગ 1.875 km/h, પથલંબાઈ 3.75 km, અને સરેરાશ ઝડપ 5.625 km/h છે.

🎯 Exam Tip: જ્યારે ગતિ દિશા બદલે છે, ત્યારે સ્થાનાંતર અને વેગ શૂન્ય થઈ શકે છે, જ્યારે પથલંબાઈ અને ઝડપ ક્યારેય શૂન્ય થતી નથી (જ્યાં સુધી કુલ ગતિ શૂન્ય ન હોય). સમયના જુદા જુદા અંતરાલો માટે ગણતરી કરતી વખતે પ્રારંભિક અને અંતિમ બિંદુઓનું ધ્યાન રાખવું.

Question 15. સ્વાધ્યાય પ્રશ્ન 13 અને 14માં આપણે સરેરાશ ઝડપ અને સરેરાશ વેગ વચ્ચેનો તફાવત કાળજીપૂર્વક સ્પષ્ટ કર્યો. તાત્ક્ષણિક ઝડપ અને તાત્ક્ષણિક વેગ માટે આવા તફાવત પર વિચાર કરવો આવશ્યક નથી. તાત્ક્ષણિક ઝડપ હંમેશાં તાત્ક્ષણિક વેગના માન જેટલી હોય છે. શા માટે?
Answer:
ઉત્તર:
તાત્ક્ષણિક વેગ \( \vec{v} = \lim_{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta \vec{x}}{\Delta t} = \frac{d\vec{x}}{dt} \)
તાત્ક્ષણિક વેગને વ્યાખ્યાયિત કરવામાં સમયગાળો \( \Delta t \) ને અતિ સૂક્ષ્મ \( (\Delta t \rightarrow 0) \) લેવામાં આવે છે. આ અતિ સૂક્ષ્મ સમયગાળા દરમિયાન કણની ગતિની દિશા બદલાતી નથી. આ સૂક્ષ્મ સમયગાળા માટે સ્થાનાંતર અને પથલંબાઈ સમાન હોય છે. આથી તાત્ક્ષણિક ઝડપ હંમેશાં તાત્ક્ષણિક વેગના માન જેટલી હોય છે.
In simple words: તાત્ક્ષણિક ઝડપ અને તાત્ક્ષણિક વેગના મૂલ્ય હંમેશા સમાન હોય છે. કારણ કે ખૂબ જ નાના સમયગાળા માટે, કણની ગતિની દિશા બદલાતી નથી, જેથી કાપેલું અંતર અને સ્થાનાંતર સમાન બને છે.

🎯 Exam Tip: તાત્ક્ષણિક ઝડપ અને તાત્ક્ષણિક વેગ એ એક જ ક્ષણે કણની ગતિનું વર્ણન કરે છે. આ ખ્યાલ સરેરાશ ઝડપ અને સરેરાશ વેગ કરતાં અલગ છે, જ્યાં સમયગાળો મોટો હોઈ શકે છે અને દિશા બદલાઈ શકે છે.

Question 16. આકૃતિ 3.36માં દર્શાવેલ આલેખો (a)થી (d) ધ્યાનથી જુઓ અને કારણ સહિત જણાવો કે તે પૈકી કયો આલેખ એક-પારિમાણિક ગતિ કરતા કણ માટે શક્ય નથી?
Answer:
ઉત્તર:
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): આ આકૃતિમાં ચાર x-t, v-t અને ઝડપ-t આલેખો દર્શાવવામાં આવ્યા છે. (a) અને (b) સ્થાન-સમય અને વેગ-સમય આલેખ છે જે દર્શાવે છે કે કણ એક જ સમયે બે સ્થાનો અથવા બે વેગ ધરાવી શકે છે. (c) અને (d) ઝડપ-સમય અને પથલંબાઈ-સમય આલેખ છે જે દર્શાવે છે કે ઝડપ અને પથલંબાઈ ઋણ અથવા ઘટતી હોય છે. આ આલેખો એક-પારિમાણિક ગતિ માટે શક્ય નથી.
(a) જો આપણે સ્થાન-અક્ષ (x)ને સમાંતર રેખા દોરીએ, તો તે રેખા x - t આલેખને બે બિંદુઓએ છેદે છે, જે દર્શાવે છે કે કોઈ એક સમયે કણ બે જુદા જુદા સ્થાન ધરાવે છે, જે શક્ય નથી.
(b) જો વેગ-અક્ષ (v)ને સમાંતર રેખા દોરવામાં આવે, તો તે વર્તુળને બે જુદાં જુદાં બિંદુઓએ છેદે છે, જે દર્શાવે છે કે કોઈ એક સમયે કણને બે જુદા જુદા વેગ (ધન વેગ અને ઋણ વેગ) છે, જે શક્ય નથી.
(c) આ આલેખ દર્શાવે છે કે કોઈ સમયગાળા માટે કણની ઝડપ ઋણ છે, પરંતુ ઝડપ હંમેશાં ધન હોય છે. આથી આ આલેખ પણ શક્ય નથી.
(d) આ આલેખ દર્શાવે છે કે અમુક સમયબાદ કુલ પથલંબાઈ ઘટે છે અને કોઈ એક સમયે કુલ પથલંબાઈ શૂન્ય પણ થાય છે. પરંતુ કુલ પથલંબાઈ ક્યારેય સમય સાથે ઘટે નહિ કે શૂન્ય પણ થાય નહિ. આથી આ આલેખ પણ શક્ય નથી.
In simple words: એક-પારિમાણિક ગતિ માટે, કણ એક જ સમયે બે અલગ-અલગ સ્થાનો કે વેગ ધરાવી શકતો નથી. ઝડપ અને પથલંબાઈ ક્યારેય નકારાત્મક ન હોઈ શકે કે સમય સાથે ઘટી ન શકે. આ નિયમોનું ઉલ્લંઘન કરતા કોઈપણ આલેખ ભૌતિક રીતે અશક્ય છે.

🎯 Exam Tip: આલેખોનું વિશ્લેષણ કરતી વખતે, એક-પારિમાણિક ગતિના મૂળભૂત ભૌતિક નિયમોને યાદ રાખવા જરૂરી છે: એક સમયે એક સ્થાન, ઝડપ અને પથલંબાઈ હંમેશા ધન અથવા શૂન્ય હોય છે, અને પથલંબાઈ ક્યારેય ઘટતી નથી. આ નિયમોના ભંગને ઓળખી શકાય તેવા ગેરકાયદેસર આલેખો સૂચવે છે.

Question 17. आककृति 3.37मां कणनी एक-पारिमाणिक सरल आवर्तगगति माटे x – t आलेख दर्शवेल छे. आलेख परथी एम केहवू साचू छे के, t < 0 माटे कण सुुरेख मागे अने t > 0 माटे परवलय मागे गति करे छे? जो ना, तो आ आलेख माटे योग्य भभौतिक संदर्भनो अभिप्राय आपो.
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र x (स्थिति) को y-अक्ष पर और t (समय) को x-अक्ष पर दर्शाता है. t < 0 के लिए, ग्राफ मूल-बिंदु से एक सीधी रेखा है जिसका ढलान धनात्मक है. t > 0 के लिए, ग्राफ एक परवलयिक वक्र है जो धनात्मक x-क्षेत्र में मूल-बिंदु से शुरू होकर नीचे की ओर मुड़ता है.
Answer: नहीं, दिया गया ग्राफ यह इंगित नहीं करता कि कण सीधी रेखा या परवलयिक पथ पर गति कर रहा है. एक x-t ग्राफ अलग-अलग समय पर कण द्वारा तय किए गए विस्थापन को दर्शाता है, लेकिन यह उसके वास्तविक प्रक्षेपवक्र के बारे में जानकारी प्रदान नहीं करता है. यह विशेष ग्राफ गुरुत्वाकर्षण के प्रभाव में मुक्त पतन करने वाली वस्तु की x-t गति का प्रतिनिधित्व करता है.
In simple words: The graph shows how position changes over time, not the actual path. It specifically represents an object falling freely under gravity, not necessarily straight or parabolic motion.

🎯 Exam Tip: Understanding the difference between a position-time graph and the actual path of motion is crucial. For free fall, the x-t graph is parabolic even if the path is linear.

Question 18. मार्ग पर 30 km h-1 नीजड़पे दौड़ती पुुललिसवानमाथी, तेनी ज दिदिशामां 192 km h-1 ज़ाडप जाडग रह्या चोरनी कार पर गोली छोडवामां आवे छे. जो बबंदूकनी नडळीमाथी नीकळती गोलीनी ઝડप 150 m s-1 होय, तो गोली चोरनी कारने कई ઝડપે અથડાશે? (नोंध ः गोलीनी ते ઝડપ ननक्की करो के जे चोरनी कारने नुकसान पहोचाडी शके !)
Answer: मान लीजिए गोली का वेग \(v_B = 150 \text{ m/s}\) है. पुलिस वैन का वेग \(v_P = 30 \text{ km/h}\), जिसे \(\frac{30 \times 1000}{3600} = 8.33 \text{ m/s}\) में परिवर्तित किया जाता है. चोर की कार का वेग \(v_T = 192 \text{ km/h}\), जिसे \(\frac{192 \times 1000}{3600} = 53.33 \text{ m/s}\) में परिवर्तित किया जाता है. चूंकि गोली पुलिस वैन से चलाई जाती है, इसलिए जमीन के सापेक्ष उसकी गति गोली के थूथन वेग और पुलिस वैन के वेग का योग है. इसलिए, जमीन के सापेक्ष गोली का वेग \(v_{BG} = v_B + v_P = 150 + 8.33 = 158.33 \text{ m/s}\) है. चोर की कार से गोली के टकराने की गति ज्ञात करने के लिए, हम चोर की कार के सापेक्ष गोली के सापेक्ष वेग की गणना करते हैं: \(v_{BT} = v_{BG} - v_T = (158.33 - 53.33) \text{ m/s} = 105 \text{ m/s}\). अतः, गोली चोर की कार से 105 m/s की गति से टकराएगी.
In simple words: The bullet's speed relative to the ground is the sum of its own speed and the police van's speed. Then, the bullet's speed relative to the thief's car is calculated by subtracting the car's speed from the bullet's ground speed. This gives the impact speed.

🎯 Exam Tip: Remember to convert all velocities to a consistent unit (like m/s) before performing calculations. Relative velocity calculations are key for such problems.

Question 19. नीचे आककृति 3.38मां आपेल आलेखो माटे योग्य परिरिसथितति सूुचवो :
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): इस चित्र में तीन उप-ग्राफ (a), (b), (c) हैं. (a) x-t ग्राफ: y-अक्ष पर x (स्थिति), x-अक्ष पर t (समय). ग्राफ एक क्षैतिज रेखा (PQ) दिखाता है, फिर एक रैखिक रूप से बढ़ती रेखा (QR), फिर एक घटता हुआ वक्र (RS), फिर एक और क्षैतिज रेखा (ST). (b) v-t ग्राफ: y-अक्ष पर v (वेग), x-अक्ष पर t (समय). ग्राफ एक वेग दिखाता है जो धनात्मक से शुरू होता है, शून्य तक घटता है, ऋणात्मक हो जाता है, फिर शून्य तक वापस बढ़ता है, फिर से धनात्मक हो जाता है. यह दोलन करता है. (c) a-t ग्राफ: y-अक्ष पर a (त्वरण), x-अक्ष पर t (समय). ग्राफ एक प्रारंभिक स्थिर धनात्मक त्वरण दिखाता है, फिर यह शून्य तक गिर जाता है.
Answer:(a) यह ग्राफ एक ऐसी स्थिति को दर्शाता है जहां वस्तु PQ समय अंतराल के दौरान स्थिर रहती है क्योंकि उसकी स्थिति का मान नहीं बदलता है. QR अंतराल के दौरान, वस्तु की स्थिति रैखिक रूप से बढ़ती है, जो एक स्थिर अधिकतम वेग को इंगित करती है. इसके बाद, स्थिति का मान S समय तक घटकर शून्य हो जाता है. ST अंतराल में, स्थिति विपरीत दिशा में बढ़ती है, अंततः एक स्थिर मान पर रुक जाती है, जिसका अर्थ है कि वस्तु फिर से आराम की स्थिति में आ जाती है. एक उदाहरण यह हो सकता है कि एक चिकनी सतह पर एक गेंद को आराम से रखा जाता है जिसे किक मारा जाता है, एक दीवार से कम गति से उछलती है, और फिर एक विपरीत दीवार की ओर बढ़ती है जहां वह रुक जाती है. (b) यह ग्राफ दर्शाता है कि वस्तु का वेग समय-समय पर धनात्मक से ऋणात्मक और फिर से धनात्मक में बदल जाता है. यह पैटर्न दोलन गति का सुझाव देता है जहां वस्तु समय-समय पर अपनी गति की दिशा बदलती है. उदाहरण के लिए, जब एक गेंद को प्रारंभिक वेग से ऊपर की ओर फेंका जाता है, तो उसका वेग धनात्मक होता है. जब वह अपनी अधिकतम ऊंचाई पर पहुंचती है और नीचे गिरने लगती है, तो उसका वेग ऋणात्मक हो जाता है. जब वह जमीन से उछलकर फिर से ऊपर की ओर बढ़ती है, तो हर बार उछलने पर उसका वेग घटता जाता है, और अंततः आराम की स्थिति में आने पर शून्य हो जाता है. (c) त्वरण-समय (a-t) ग्राफ दर्शाता है कि प्रारंभ में, वस्तु स्थिर वेग (शून्य त्वरण) से चलती है. फिर, बहुत कम अवधि के लिए, उसका त्वरण अधिकतम मान तक बढ़ जाता है और उसके बाद शून्य हो जाता है, जिसके बाद वस्तु स्थिर वेग से चलना फिर से शुरू कर देती है. एक व्यावहारिक उदाहरण एक गेंद है जो स्थिर वेग से चल रही है और उसे एक बल्ले से मारा जाता है; त्वरण बहुत कम समय के लिए चरम पर होता है और फिर शून्य पर वापस आ जाता है क्योंकि गेंद एक नए स्थिर वेग से अपनी गति जारी रखती है.
In simple words: Each graph represents a specific motion. (a) shows an object moving with constant velocity, then stopping, then reversing. (b) shows an object whose velocity changes direction, like a bouncing ball. (c) shows an object accelerating for a short time, then returning to constant velocity, like a ball hit by a bat.

🎯 Exam Tip: Be able to interpret the slope and area under various motion graphs (x-t, v-t, a-t) to describe an object's motion and identify physical scenarios.

Question 20. आककृति 3.39मां एक-पारिमाणिक सरल आवर्तगगति माटेनो x – t आलेख दर्शवेल छे. (आ गति वििषेशेनो वििगतवार अभ्यास तमे प्रकरण 14मां करशो.) समय t = 0.3 s, 1.2 s, – 1.2 s माटे कणनां स्थान, वेग अने प्रवेगनां चिचचन्न्हो शुुं होइ शके?
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र सरल आवर्त गति का प्रतिनिधित्व करने वाला एक ज्यावक्रीय वक्र दिखाते हुए एक x-t ग्राफ दर्शाता है. x-अक्ष समय (t) है और y-अक्ष स्थिति (x) है. वक्र t < 0 पर एक ऋणात्मक x-मान से शुरू होता है, t=0 पर x=0 से होकर गुजरता है, एक धनात्मक अधिकतम तक पहुंचता है, फिर से x=0 को पार करता है और एक ऋणात्मक न्यूनतम तक पहुंचता है, और इसी तरह. - t = 0.3 s पर: x ऋणात्मक है, और ढलान (वेग) ऋणात्मक है. वक्र ऊपर की ओर अवतल है, जिसका अर्थ है कि त्वरण धनात्मक है. - t = 1.2 s पर: x धनात्मक है, और ढलान (वेग) धनात्मक है. वक्र नीचे की ओर अवतल है, जिसका अर्थ है कि त्वरण ऋणात्मक है. - t = -1.2 s पर: x ऋणात्मक है, और ढलान (वेग) धनात्मक है. वक्र ऊपर की ओर अवतल है, जिसका अर्थ है कि त्वरण धनात्मक है.
Answer: सरल आवर्त गति कर रहे एक कण के लिए, त्वरण \(a = - \omega^2 x\) द्वारा दिया जाता है, जहाँ \(\omega\) कण की कोणीय आवृत्ति है. (i) \(t = 0.3 \text{ s}\) पर, ग्राफ से स्थिति \(x\) ऋणात्मक देखी जाती है. x-t ग्राफ का ढलान, जो वेग को दर्शाता है, वह भी ऋणात्मक है. हालांकि, त्वरण सूत्र \(a = - \omega^2 x\) के अनुसार, चूंकि \(x\) ऋणात्मक है, त्वरण \(a\) धनात्मक होगा. इसलिए, \(t = 0.3 \text{ s}\) पर, \(x < 0\), \(u < 0\), और \(a > 0\). (ii) \(t = 1.2 \text{ s}\) पर, स्थिति \(x\) धनात्मक है. x-t ग्राफ का ढलान (वेग) भी धनात्मक है. \(a = - \omega^2 x\) का उपयोग करते हुए, चूंकि \(x\) धनात्मक है, त्वरण \(a\) ऋणात्मक होगा. तो, \(t = 1.2 \text{ s}\) पर, \(x > 0\), \(u > 0\), और \(a < 0\). (iii) \(t = -1.2 \text{ s}\) पर, स्थिति \(x\) ऋणात्मक है. x-t ग्राफ का ढलान (वेग) धनात्मक है. त्वरण सूत्र \(a = - \omega^2 x\) को लागू करने पर, \(x\) के ऋणात्मक होने के साथ, त्वरण \(a\) धनात्मक होगा. इस प्रकार, \(t = -1.2 \text{ s}\) पर, \(x < 0\), \(u > 0\), और \(a > 0\).
In simple words: For SHM, acceleration is opposite to displacement. So, if displacement (x) is positive, acceleration is negative, and vice versa. Velocity is determined by the slope of the x-t graph. We use these rules to find the signs at specific times.

🎯 Exam Tip: In SHM, remember the relationship \(a = - \omega^2 x\). This means acceleration is always in the opposite direction to displacement. The sign of velocity comes from the slope of the x-t graph.

Question 21. एक-पारिमाणिक गति करता कण माटेनो x – t आलेख दर्शवेल छे, जयां ुुण समान समयवगगाळा ददाववेल छे. कया समयवगगाळा माटे सरेराश ઝડप सथी वधुु अने कया माटे ते सथी ओछी हशे? दरेक समयगगाळाने अनुुूप सरेराश वेेगनां चिनह आपो.
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र x (स्थिति) को y-अक्ष पर और t (समय) को x-अक्ष पर दर्शाता है. ग्राफ में तीन खंड हैं जो तीन समान समय अंतरालों (1, 2, 3) के अनुरूप हैं. - अंतराल 1: वक्र x=0 से शुरू होता है, तेजी से बढ़ता है, फिर एक धनात्मक x-मान पर सपाट हो जाता है. औसत ढलान धनात्मक है. - अंतराल 2: वक्र धनात्मक x-मान से शुरू होता है जहां अंतराल 1 समाप्त हुआ था, और बढ़ता रहता है, लेकिन ढलान अंतराल 1 के प्रारंभिक भाग की तुलना में कम खड़ी है. औसत ढलान धनात्मक है. - अंतराल 3: वक्र धनात्मक x-मान से शुरू होता है जहां अंतराल 2 समाप्त हुआ था, और तेजी से घटता है, x-अक्ष को पार करता है और ऋणात्मक x-क्षेत्र में चला जाता है. औसत ढलान ऋणात्मक है और परिमाण में सबसे खड़ी है.
Answer: बहुत छोटे समय अंतरालों के लिए, x-t ग्राफ का ढलान कण की औसत गति का प्रतिनिधित्व करता है. जैसा कि ग्राफ में दिखाया गया है, वक्र का ढलान अंतराल 3 में अधिकतम है और अंतराल 2 में न्यूनतम है. इसलिए, कण की औसत गति अंतराल 3 में उच्चतम और अंतराल 2 में सबसे कम होगी. औसत वेग के संबंध में, ग्राफ का ढलान अंतराल 1 और 2 में धनात्मक है, और अंतराल 3 में ऋणात्मक है. परिणामस्वरूप, कण का औसत वेग अंतराल 1 और 2 में धनात्मक होगा, और अंतराल 3 में ऋणात्मक होगा.
In simple words: The steepness of the x-t graph (slope) tells us the speed. The steepest slope (interval 3) means highest average speed, and the least steep (interval 2) means lowest. The sign of the slope tells us the direction and thus the sign of average velocity.

🎯 Exam Tip: The slope of an x-t graph gives velocity. A steeper slope implies greater speed. The sign of the slope indicates the direction of motion (positive or negative velocity).

Question 22. आककृति 3.41मां अचल दिदिशामां गति करता कण माटे ઝડप-समयनो आलेख दर्शावेल छे, जयां ुुण समान समयवगगाळा ददावव्या छे. कया समयवगगाळा माटे सरेराश प्रवेगनुु मान सथी वधुु हशे? कया समयगगाळा माटे सरेराश ઝડप सथी वधुु हशे? पदार्थनी अचल गतिनी दिदिशाने धन दिदिशा तरीकके पसंद करी, ुुणेय समयगगाळाने अनुुूप छ अने तनां चिनह जणावो. A, B, C अने D बिदुु पर प्रवेग शुुं हशे?
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र y-अक्ष पर गति और t-अक्ष पर समय के साथ एक गति-समय ग्राफ दर्शाता है. ग्राफ में तीन खंड हैं. - अंतराल 1: गति शून्य से बिंदु A पर अधिकतम मान तक बढ़ती है, फिर बिंदु B तक घट जाती है. - अंतराल 2: गति बिंदु B से बिंदु C पर न्यूनतम तक घटती है, फिर बिंदु D की ओर फिर से बढ़ती है. - अंतराल 3: गति बिंदु D से अधिकतम मान तक बढ़ती है, फिर थोड़ी घट जाती है.
Answer: बहुत छोटे समय अंतरालों के लिए, वेग-समय (v-t) ग्राफ का ढलान कण के औसत त्वरण का प्रतिनिधित्व करता है. (a) v-t ग्राफ का ढलान समय अंतराल 2 के दौरान परिमाण में उच्चतम है. इसलिए, कण का औसत त्वरण इस अंतराल के दौरान अधिकतम होगा. (b) ग्राफ से यह स्पष्ट है कि कण की औसत गति समय अंतराल 3 के दौरान अधिकतम है. (c) गति (v) तीनों समय अंतरालों में धनात्मक है. अंतराल 1 और 3 में, गति का मान बढ़ता है, जिसका अर्थ है कि ग्राफ का ढलान धनात्मक है. इस प्रकार, त्वरण (a) भी धनात्मक होगा. अंतराल 2 में, कण की गति घटती है, इसलिए त्वरण (a) ऋणात्मक होगा. (d) बिंदु A, B, C, और D पर, v-t ग्राफ का ढलान शून्य है. परिणामस्वरूप, इन सभी बिंदुओं पर कण का त्वरण शून्य होगा.
In simple words: The slope of the speed-time graph indicates acceleration. Interval 2 has the steepest slope, so maximum acceleration. Interval 3 shows the highest speed. The speed is always positive. Acceleration is positive when speed increases (intervals 1 & 3) and negative when speed decreases (interval 2). At peaks and troughs (A, B, C, D), acceleration is zero because the slope is zero.

🎯 Exam Tip: The slope of a v-t graph indicates acceleration. A zero slope means zero acceleration (constant velocity or instantaneous rest). The area under a v-t graph gives displacement. Speed is always non-negative.

Question 23. ुुचकी वाहन पोतानी स्थिर स्थितिमाथी 1 ms-2 जटेला अचल प्रवेग साथे सुुरेख मागे पर 10s सुुधधदी गति करे छे अने त्यारबाद ते नियमित वेगथी गति करे छे. वाहन दवारा nमी सेकंड(n = 1, 2, 3, ...)मां कपायेल अंतर विरुद्ध ुुं आलेख दोरो. प्रवेगी गति दरम्यान आवा आलेख माटे तमे शुुं धारो छो? एक सुुरेखा के परवलय?
Answer: समाधान: दिया गया प्रारंभिक वेग \(u_0 = 0\) और स्थिर त्वरण \(a = 1 \text{ m/s}^2\). \(n^{वें}\) सेकंड में वाहन द्वारा तय की गई दूरी सूत्र द्वारा दी गई है: \(d_n = u_0 + \frac{a}{2} (2n - 1)\) दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: \(d_n = 0 + \frac{1}{2}(2n - 1)\) \(d_n = \frac{1}{2}(2n - 1) \text{ m}\) उपरोक्त समीकरण में \(n = 1, 2, 3, \ldots, 10\) सेकंड प्रतिस्थापित करने पर, \(n^{वें}\) सेकंड में वाहन द्वारा तय की गई दूरी \(d_n\) नीचे सारणीबद्ध है:

n (s)	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
dn (m)	0.5	1.5	2.5	3.5	4.5	5.5	6.5	7.5	8.5	9.5

\(10^{वें}\) सेकंड के अंत में वाहन का वेग है: \(v_n = u_0 + at = 0 + (1 \times 10) = 10 \text{ m/s}\). \(d_n\) बनाम \(n\) का ग्राफ नीचे दिखाया गया है:
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र y-अक्ष पर दूरी dn (m) और x-अक्ष पर n (s) के साथ एक ग्राफ दिखाता है. ग्राफ में दो भाग होते हैं: - n=0 से n=10 तक: यह एक धनात्मक ढलान वाली सीधी रेखा है, जो समान रूप से त्वरित गति का प्रतिनिधित्व करती है. इसे "नियमित प्रवेग" (समान त्वरण) के रूप में लेबल किया गया है. - n=10 के बाद: यह एक क्षैतिज रेखा है, जो स्थिर वेग गति का प्रतिनिधित्व करती है. इसे "नियमित वेग = 10 m s-1" (समान वेग = 10 m/s) के रूप में लेबल किया गया है.
Answer: (Continued) ग्राफ से स्पष्ट है कि \(n = 1\) से \(n = 10 \text{ s}\) तक, ग्राफ समय-अक्ष की ओर ढलान वाली एक सीधी रेखा है, यह दर्शाता है कि इस अंतराल के दौरान वाहन त्वरित गति कर रहा है. \(10^{वें}\) सेकंड के बाद, ग्राफ समय-अक्ष के समानांतर एक सीधी रेखा बन जाता है, जिसका अर्थ है कि वाहन एक समान वेग से चल रहा है.
In simple words: The problem asks to plot distance covered in each second (\(d_n\)) against time (n). For constant acceleration, \(d_n\) increases linearly with n, resulting in a straight line. After acceleration stops, the speed becomes constant, so the distance covered in subsequent seconds will also be constant, shown by a horizontal line.

🎯 Exam Tip: For uniformly accelerated motion starting from rest, the distance covered in the \(n^{th}\) second is directly proportional to \((2n-1)\), resulting in a linear increase. For constant velocity, distance covered per second is constant.

Question 24. स्थिर लिफफ्ट(उपरथी खुुली होय तेवी)मां उभेलुुं एक बालक 49 m s-1 जटेली महत्तम प्रारंभिक ઝડपे एक दडाने ऊध्र्वदिदिशामां फेंके छे, तो दडाने तेना हाथमां पाछो आववा माटे केटलो समय लागशे? जो लिफफ्ट 5 m s-1 जटेली नियमित ઝડपे उपर तरफ गति करवानी शुुरुआत करे अने बालक फरीथी दडाने उपर तरफ ते ज महत्तम ઝડपे फेंके, तो केटला समय पछी दडो बालकना हाथमां परररररत आवशे?
Answer: समाधान: (i) जब लिफ्ट स्थिर हो: ऊपर की दिशा को धनात्मक x-अक्ष के रूप में लेने पर. प्रारंभिक वेग, \(u_0 = 49 \text{ m/s}\). गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण, \(a = g = -9.8 \text{ m/s}^2\). गेंद को लड़के के हाथ में वापस आने के लिए, उसका कुल विस्थापन \(d\) शून्य होना चाहिए. गति के समीकरण का उपयोग करते हुए: \(d = u_0t + \frac{1}{2}at^2\) \(d = 0\) रखने पर: \(0 = (49)t + \frac{1}{2}(-9.8)t^2\) \(0 = 49t - 4.9t^2\) \(4.9t^2 = 49t\) \(4.9t\) से भाग देने पर (यह मानते हुए कि \(t \neq 0\)): \(t = \frac{49}{4.9} = 10 \text{ s}\) इस प्रकार, गेंद 10 सेकंड के बाद लड़के के हाथ में वापस आ जाएगी. (ii) जब लिफ्ट गतिमान हो: यदि लिफ्ट \(5 \text{ m/s}\) की एक समान गति से ऊपर की ओर चलती है, तो लड़का और गेंद दोनों उसी गति से ऊपर की ओर चलते हैं. इसका मतलब है कि लड़के के सापेक्ष गेंद का सापेक्ष वेग अपरिवर्तित रहता है. इसलिए, लड़के के सापेक्ष गेंद का प्रारंभिक वेग \(49 \text{ m/s}\) ही रहता है. इस परिदृश्य में, गेंद अभी भी 10 सेकंड के बाद लड़के के हाथ में वापस आ जाएगी.
In simple words: Whether the lift is stationary or moving at a constant velocity, the ball's motion relative to the boy remains the same. The initial upward speed from the boy's hand and the downward acceleration due to gravity are unchanged in his frame of reference. So, the time to return to his hand is the same in both cases.

🎯 Exam Tip: Problems involving relative motion in uniformly moving frames (non-accelerating) should be approached by considering the motion relative to the frame. The time of flight of a projectile is independent of the uniform velocity of the reference frame.

Question 25. आककृति 3.43मां दर्शाव्या मुुजब समक्षािततिज लांबो पटटो 4 km h-1 ઝડपे गतिमां छे. आ पटटा पर एक बालकनां माता- पपिता एकबीजाथी 50 m दूुर बेठां छे अने बालक पटटानी सापेक्षे 9 km h-1 ઝડपे पटटा पर माता-पपितानी वच्चे आगळ-पाछळ दौडे छे. प्लॅटफफॉम उपर स्थिर उभेल अवलोकनकार माटे हशे? (a) पटटानी गतिनी दिदिशामां दौडता बालकनी ઝડप शुुं हशे? (b) पटटानी गतिनी वििरुदध दिदिशामां दौडता बालकनी ઝડप शुुं (c) (a) अने (b)मां बालकने लागतो समय शुुं हशे? जो बालकनी गतिनुुं अवलोकन तेनां माता के पपिता करता होय, तो उपरमाथी क्या प्रश्ननो जवाब परस्पर बदलइ जशे?
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र एक गतिशील बेल्ट को दर्शाता है जिस पर दो लोग (माता-पिता) 50 मीटर की दूरी पर बैठे हैं. एक लड़का उनके बीच दौड़ रहा है. एक तीर बेल्ट को दाईं ओर चलते हुए दिखाता है. बेल्ट के बाहर एक 'स्थिर अवलोकनकार' (स्थिर दर्शक) दिखाया गया है.
Answer: समाधान: जैसा कि चित्र में दर्शाया गया है, गतिशील बेल्ट बाएं से दाएं चल रही है. हम इस दिशा को धनात्मक X-अक्ष मानते हैं. जमीन के सापेक्ष बेल्ट की गति \(v_{BE} = 4 \text{ km/h}\) है. बेल्ट के सापेक्ष लड़के की गति \(v_{CB} = 9 \text{ km/h}\) है. (a) जब लड़का बेल्ट की गति की दिशा में दौड़ता है: इस स्थिति में, जमीन के सापेक्ष लड़के की गति (\(v_{CE}\)) बेल्ट के सापेक्ष उसकी गति और जमीन के सापेक्ष बेल्ट की गति का योग होगी. \(v_{CE} = v_{CB} + v_{BE}\) \(v_{CE} = (+9) + (+4) \text{ km/h}\) \(v_{CE} = 13 \text{ km/h}\) इसलिए, प्लेटफॉर्म पर खड़े एक स्थिर दर्शक के लिए, बेल्ट की गति की दिशा में दौड़ते हुए लड़के की गति 13 km/h दिखाई देगी. (b) जब लड़का बेल्ट की गति की विपरीत दिशा में दौड़ता है: इस परिदृश्य में, जमीन के सापेक्ष बेल्ट की गति \(v_{BE} = +4 \text{ km/h}\) है, और बेल्ट के सापेक्ष लड़के की गति \(v_{CB} = -9 \text{ km/h}\) है (ऋणात्मक क्योंकि वह विपरीत दिशा में चल रहा है). \(v_{CE} = v_{CB} + v_{BE}\) \(v_{CE} = (-9) + (+4) \text{ km/h}\) \(v_{CE} = -5 \text{ km/h}\) इस प्रकार, प्लेटफॉर्म पर खड़े एक स्थिर दर्शक के लिए, बेल्ट की गति की विपरीत दिशा में दौड़ते हुए लड़के की गति ऋणात्मक दिशा में 5 km/h दिखाई देगी. (c) लड़के द्वारा लिया गया समय: लड़का और उसके माता-पिता सभी गतिशील बेल्ट पर हैं, जिसका अर्थ है कि उनका संदर्भ फ्रेम समान है. इसलिए, उसके माता-पिता के सापेक्ष लड़के की गति 9 km/h होगी. माता-पिता के बीच की दूरी 50 m है. लड़के द्वारा बाएं से दाएं या दाएं से बाएं यात्रा करने में लिया गया समय (केस (a) या (b) में) होगा: \(t = \frac{\text{दूरी}}{\text{गति}}\) \(t = \frac{50 \text{ m}}{9 \text{ km/h}}\) इकाइयों को परिवर्तित करने पर: \(t = \frac{50 \text{ m}}{9 \times \frac{1000}{3600} \text{ m/s}} = \frac{50}{2.5} \text{ s} = 20 \text{ s}\) यदि लड़के की गति उसके माता-पिता द्वारा देखी जाती है, तो भाग (a) और (b) के उत्तर बदल जाएंगे (क्योंकि वे जमीन के सापेक्ष हैं), लेकिन भाग (c) का उत्तर अपरिवर्तित रहेगा, क्योंकि यह बेल्ट/माता-पिता के सापेक्ष है.
In simple words: The boy's speed relative to a stationary observer depends on whether he runs with or against the belt's motion. But his speed relative to his parents (who are also on the belt) is constant, so the time to travel between them is always the same, regardless of the belt's speed.

🎯 Exam Tip: Remember to distinguish between relative velocities in different frames of reference. Time taken for a relative journey depends on the relative speed between the objects involved in that journey, not necessarily their speeds relative to a third, stationary observer.

Question 26. 200 mm ઊંચાઈના એક खडसनी टोच परथी बे पथ्थरने एकमाथी 15 m s-1 अने 30 m s-1 नी प्रारंभिक ઝડપथी ऊध्र्वदिदिशामां फेंकेवामां आवे छे. आककृति 3.44मां दर्शावेल आलेख प्रथम पथ्थरनी सापेक्षे बीजा पथ्थरना स्थानमां समय साथे थतां फेरफफारो दर्शावे छे, तेनी चकासणी करो. हवानो अवरोध अवगगणे अने स्वीकारो के जमीनने અથડાયा बाद बने पथ्थर उपरनी तरफ ઊछळता नथी. g = 10 m s-2 लो. आलेखमां रेखीय अने वक्रभाग माटेनां समीकरणो लखो.
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र x2-x1 (m) बनाम t (s) ग्राफ है. ग्राफ में दो भाग हैं: - t=0 से t=8 तक: यह मूल-बिंदु (0,0) से (8, 120) तक एक सीधी रेखा है, जो पहले पत्थर के सापेक्ष दूसरे पत्थर की सापेक्ष स्थिति को दर्शाती है. - t=8s के बाद: यह एक घटता हुआ वक्र बन जाता है.
Answer: समाधान: एक समान रूप से त्वरित गति करने वाली वस्तु के लिए, समय \(t\) पर उसकी स्थिति \(x\) सूत्र द्वारा दी जाती है: \(x = x_0 + u_0t + \frac{1}{2}at^2\). पहले पत्थर के लिए: प्रारंभिक स्थिति \(x_0 = 200 \text{ m}\) (चट्टान की ऊंचाई). प्रारंभिक वेग \(u_0 = 15 \text{ m/s}\). गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण \(a = g = -10 \text{ m/s}^2\) (ऊपर की ओर को धनात्मक लेने पर). समय \(t\) पर जमीन से पहले पत्थर की स्थिति है: \(x_1 = 200 + 15t + \frac{1}{2}(-10)t^2\) \[ x_1 = 200 + 15t - 5t^2 \quad (1) \] पहले पत्थर को जमीन से टकराने में लगने वाला समय ज्ञात करने के लिए, हम \(x_1 = 0\) रखते हैं: \(0 = 200 + 15t - 5t^2\) -5 से भाग देने पर: \(t^2 - 3t - 40 = 0\) द्विघात समीकरण का गुणनखंडन करने पर: \((t - 8)(t + 5) = 0\) इससे \(t = 8 \text{ s}\) या \(t = -5 \text{ s}\) प्राप्त होता है. चूंकि समय ऋणात्मक नहीं हो सकता, पहला पत्थर 8 सेकंड के बाद जमीन से टकराता है. दूसरे पत्थर के लिए: प्रारंभिक स्थिति \(x_0 = 200 \text{ m}\). प्रारंभिक वेग \(u_0 = 30 \text{ m/s}\). त्वरण \(a = g = -10 \text{ m/s}^2\). समय \(t\) पर जमीन से दूसरे पत्थर की स्थिति है: \(x_2 = 200 + 30t + \frac{1}{2}(-10)t^2\) \[ x_2 = 200 + 30t - 5t^2 \quad (2) \] दूसरे पत्थर को जमीन से टकराने में लगने वाला समय ज्ञात करने के लिए, हम \(x_2 = 0\) रखते हैं: \(0 = 200 + 30t - 5t^2\) -5 से भाग देने पर: \(t^2 - 6t - 40 = 0\) द्विघात समीकरण का गुणनखंडन करने पर: \((t - 10)(t + 4) = 0\) इससे \(t = 10 \text{ s}\) या \(t = -4 \text{ s}\) प्राप्त होता है. चूंकि समय ऋणात्मक नहीं हो सकता, दूसरा पत्थर 10 सेकंड के बाद जमीन से टकराता है. पहले पत्थर के सापेक्ष दूसरे पत्थर की स्थिति: समीकरण (1) और (2) से, \(x_2 - x_1 = (200 + 30t - 5t^2) - (200 + 15t - 5t^2)\) \[ x_2 - x_1 = 15t \] इस प्रकार, पहले पत्थर के सापेक्ष दूसरे पत्थर की स्थिति (\(x_2 - x_1\)) समय \(t\) के साथ \(t = 8 \text{ s}\) तक रैखिक रूप से बढ़ती है. \(t = 8 \text{ s}\) के बाद, दोनों पत्थरों के बीच की दूरी: \(x_2 - x_1 = 15(8) = 120 \text{ m}\). \(t = 8 \text{ s}\) के बाद, केवल दूसरा पत्थर ही 2 सेकंड तक गति में रहेगा, अर्थात \(t = 8 \text{ s}\) से लेकर \(t = 10 \text{ s}\) तक यह निम्नलिखित समीकरण के अनुसार गति करेगा: \[ x_2 = 200 + 30t - 5t^2 \] जो ग्राफ के वक्र भाग को दर्शाता है.
In simple words: First, we find when each stone hits the ground using motion equations. Then, we find the relative position of the second stone with respect to the first. For the first 8 seconds, this relative position increases linearly. After 8 seconds, the first stone has hit the ground, so the relative position calculation changes, and the graph becomes a curve as only the second stone is still in motion.

🎯 Exam Tip: When dealing with multiple objects in motion, calculate their individual motion first. For relative motion, use relative velocities and positions, especially when frames of reference are shared or change over time. Pay attention to the duration of each object's motion.

Question 27. आककृति 3.45मां ચોક્કસ દિदिशामां गति करता कण माटे ઝડપ-समय आलेख दर्शावेल छे. (a) t = 0 sथी t = 10 s (b) t = 2 sथी t = 6s माटे कण दवारा कपायेल अंतर शोघो. समयगगाळा (a) अने (b) माटे कणनी सरेराश ઝડप केटली हशे?
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र वेग (m/s) को y-अक्ष पर और समय (s) को x-अक्ष पर दर्शाते हुए एक वेग-समय ग्राफ है. ग्राफ में एक त्रिभुजाकार आकृति है जो t=0 से शुरू होकर t=5 पर अधिकतम वेग (12 m/s) तक बढ़ती है, और फिर t=10 पर वेग शून्य तक घट जाती है.
Answer: समाधान: (a) \(t = 0\) से \(t = 10 \text{ s}\) के दौरान कण द्वारा तय की गई दूरी: तय की गई दूरी = OAB त्रिभुज का क्षेत्रफल \(x = \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई}\) \(x = \frac{1}{2} \times \text{OB} \times \text{AC}\) \(x = \frac{1}{2} \times 10 \times 12\) \[ x = 60 \text{ m} \] \(t = 0\) से \(t = 10 \text{ s}\) के समय अंतराल के दौरान कण की औसत गति: औसत गति \( = \frac{\text{कुल तय की गई दूरी}}{\text{समय अंतराल}}\) औसत गति \( = \frac{60 \text{ m}}{10 \text{ s}}\) औसत गति \( = 6 \text{ m s}^{-1}\) (b) \(t = 2 \text{ s}\) से \(t = 6 \text{ s}\) के दौरान कण द्वारा तय की गई दूरी: यदि \(t = 2 \text{ s}\) से \(t = 5 \text{ s}\) के दौरान कण द्वारा तय की गई दूरी \(x_1\) और \(t = 5 \text{ s}\) से \(t = 6 \text{ s}\) के दौरान कण द्वारा तय की गई दूरी \(x_2\) हो, तो \(t = 2 \text{ s}\) से \(t = 6 \text{ s}\) तक कण द्वारा तय की गई कुल दूरी \(x = x_1 + x_2\) होगी. \(x_1\) की गणना: \(t = 0\) से \(t = 5 \text{ s}\) के दौरान कण का त्वरण, \(a_1\) = OA रेखा का ढलान \(a_1 = \frac{12 - 0}{5 - 0}\) \[ a_1 = 2.4 \text{ m s}^{-2} \] अब, \(t = 2 \text{ s}\) पर कण का वेग, \(u_1 = u_0 + a_1t\) \(u_1 = 0 + (2.4)(2)\) \[ u_1 = 4.8 \text{ m s}^{-1} \] अब, \(t = 2 \text{ s}\) से \(t = 5 \text{ s}\) तक, यानी \(t_1 = 5 - 2 = 3 \text{ s}\) के दौरान तय की गई दूरी, \(x_1 = u_1t_1 + \frac{1}{2}a_1t_1^2\) \(x_1 = (4.8)(3) + \frac{1}{2}(2.4)(3)^2\) \(x_1 = 14.4 + 10.8\) \[ x_1 = 25.2 \text{ m} \] \(x_2\) की गणना: \(t = 5 \text{ s}\) से \(t = 10 \text{ s}\) के दौरान कण का त्वरण, \(a_2 = \frac{0 - 12}{10 - 5} = -2.4 \text{ m s}^{-2}\) अब, \(t = 5 \text{ s}\) पर कण का वेग \(u_2 = 12 \text{ m s}^{-1}\) है. और \(t = 5 \text{ s}\) से \(t = 6 \text{ s}\) तक, यानी \(t_2 = 6 - 5 = 1 \text{ s}\) के दौरान तय की गई दूरी, \(x_2 = u_2t_2 + \frac{1}{2}a_2t_2^2\) \(x_2 = (12)(1) + \frac{1}{2}(-2.4)(1)^2\) \(x_2 = 12 - 1.2\) \[ x_2 = 10.8 \text{ m} \] कुल तय की गई दूरी: \(x = x_1 + x_2 = 25.2 + 10.8 = 36 \text{ m}\) \(t = 2 \text{ s}\) से \(t = 6 \text{ s}\) के दौरान कण की औसत गति, औसत गति \( = \frac{\text{कुल तय की गई दूरी}}{\text{समय अंतराल}}\) औसत गति \( = \frac{36 \text{ m}}{(6 - 2) \text{ s}} = \frac{36}{4}\) \[ \text{औसत गति} = 9 \text{ m s}^{-1} \]
In simple words: The distance traveled is the area under the speed-time graph. We calculate the area for the whole duration (0-10s) and then for a specific interval (2-6s). For the 2-6s interval, we break it into parts based on acceleration changes, calculate distances, and then sum them up, finally dividing by time for average speed.

🎯 Exam Tip: The area under the velocity-time graph gives displacement. If velocity is always positive (speed-time graph), the area gives total distance traveled. For non-uniform acceleration, break the motion into segments of uniform acceleration or constant velocity, then apply appropriate kinematic equations for each segment.

Question 28. आककृति 3.47मां एक-परिमाणामां गति करता कण माटे वेग-समय आलेख दर्शावेल छे. समयगगाळा t1थी t2 माटे नीचेनामांथी क्या समीकरणो कणनी गति वर्णवे छे : (a) x(t2) = x (t1) + ບ (t1) (t2 − t1) + (1/2) a (t2 – t1)2 (b) u (t2) = u (t1) + a (t2 – t1) (C) Uaverage = [x (t2) − x (t1)] / (t2 – t1) (d) aaverage = [u (t2) – v (t1)] / (t2 – t1) (e) x (t2) = x (t1) + Uaverage(t2 – t1) + (1/2) aaverage (t2 – t1)² (f) x (t2) − x (t1) = t-अक्ष अने रेखांकन करेली लाइन वडे u - t वक्र नीचे घेरातुुं क्षेततरफळ.
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र वेग (v) को y-अक्ष पर और समय (t) को x-अक्ष पर दर्शाते हुए एक वेग-समय ग्राफ है. ग्राफ एक वक्र है जो t1 से t2 के बीच वेग के बढ़ने को दर्शाता है, लेकिन यह एक सीधी रेखा नहीं है, जिसका अर्थ है कि त्वरण स्थिर नहीं है.
Answer: दिए गए v-t ग्राफ में, समय अंतराल \((t_2 - t_1)\) के दौरान ग्राफ का ढलान स्थिर नहीं है, जिसका अर्थ है कि कण स्थिर त्वरण के साथ गति नहीं कर रहा है. समीकरण (a), (b), और (e) स्थिर त्वरण के लिए गति के समीकरण हैं, इसलिए वे इस कण की गति का वर्णन नहीं करते हैं. समीकरण (c), (d), और (f) सही हैं.
In simple words: Since the v-t graph is a curve, the acceleration is not constant. Therefore, standard kinematic equations (which assume constant acceleration) are not applicable. Equations (c), (d), and (f) are general definitions that apply to any motion, not just constant acceleration, so they are correct.

🎯 Exam Tip: Distinguish between general definitions (like average velocity and acceleration) and kinematic equations. Kinematic equations \(v = u + at\), \(s = ut + \frac{1}{2}at^2\), \(v^2 = u^2 + 2as\) are only valid when acceleration is constant. Area under v-t graph always gives displacement.