GSEB Class 11 Physics Solutions Chapter 2 એકમ અને માપન

 

Question 1. ખાલી જગ્યા પૂરો:
(a) \( 1 \text{ cm}^3 = \text{ m}^3 \) જેટલું હશે.
(b) \( 2.0 \text{ cm} \) ત્રિજ્યા અને \( 10 \text{ cm} \) ઊંચાઈ ધરાવતા નક્કર નળાકારનું પૃષ્ઠ ક્ષેત્રફળ \( \text{ (mm)}^2 \) જેટલું હશે.
(c) \( 18 \text{ km h}^{-1} \) ની ઝડપે ગતિ કરતું એક વાહન \( 1 \text{ s} \) માં \( \text{ m} \) અંતર કાપશે.
(d) સીસાની સાપેક્ષ ધનતા \( 11.3 \) છે, તો તેની ધનતા \( \text{ g cm}^{-3} \) અથવા \( \text{ kgm}^{-3} \)
Answer:
(a) ઘનનું કદ \( V = l^3 = (1 \text{ cm})^3 = (10^{-2} \text{ m})^3 = 10^{-6}\text{m}^3 \)
(b) નળાકારની ત્રિજ્યા \( r = 2 \text{ cm} = 20 \text{ mm} \) નળાકારની ઊંચાઈ \( h = 10 \text{ cm} = 100 \text{ mm} \) નળાકારના પૃષ્ઠનું ક્ષેત્રફળ \( A = 2\pi r^2 + 2\pi rh \) \( = 2 \times 3.14 \times 20 (20 + 100) \) \( = 15072 \text{ mm}^2 = 1.5 \times 10^4 \text{mm}^2 \)
(c) વાહનની ઝડપ \( u = 18 \text{ km/h} = \frac{18 \times 1000 \text{ m}}{3600 \text{ s}} = 5 \text{ m s}^{-1} \) \( 1 \text{ s} \) માં કાપેલું અંતર \( ut = 5 \times 1 = 5 \text{ m} \)
(d) દ્રવ્યની સાપેક્ષ ઘનતા \( = \frac{\text{દ્રવ્યની ઘનતા}}{\text{પાણીની ઘનતા}} \) ∴ દ્રવ્યની ધનતા = દ્રવ્યની સાપેક્ષ ઘનતા \( \times \) પાણીની ઘનતા \( = 11.3 \times 1 \text{ g cm}^{-3} = 11.3 \text{ g cm}^{-3} \) \( = 11.3 \times 10^3 \text{ kg m}^{-3} = 1.13 \times 10^4 \text{ kg m}^{-3} \)
In simple words: This question involves basic unit conversions and formula applications. For part (a), convert cubic centimeters to cubic meters. For (b), calculate the surface area of a cylinder by converting dimensions to millimeters. For (c), convert the vehicle's speed from km/h to m/s to find the distance covered in one second. For (d), use the relative density to find the absolute density in both g cm⁻³ and kg m⁻³.

🎯 Exam Tip: Always pay close attention to the units given in the question and the units required in the answer. Careful unit conversion (e.g., cm to m, km/h to m/s) is crucial for accurate calculations in physics problems.

 

Question 2. એકમોના યોગ્ય પરિવર્તન દ્વારા ખાલી જગ્યા પૂરો :
(a) \( 1 \text{ kg m}^2 \text{ s}^{-2} = \text{ g cm}^2 \text{ s}^{-2} \)
(b) \( 1 \text{ m} = \text{ ly} \)
(c) \( 3.0 \text{ m s}^{-2} = \text{ km h}^{-2} \)
(d) \( G = 6.67 \times 10^{-11} \text{ N m}^2 \text{ (kg)}^{-2} = \text{ cm}^3 \text{s}^{-2}\text{g}^{-1} \)
Answer:
(a) \( 1 \text{ kg m}^2 \text{ s}^{-2} = 1 (10^3 \text{ g}) (10^2 \text{ cm})^2 \text{ s}^{-2} \) \( = 10^3 \text{ g} \times 10^4 \text{ cm}^2 \text{ s}^{-2} \) \( = 10^7 \text{ g cm}^2 \text{ s}^{-2} \)
(b) \( 1\text{ ly} (\text{પ્રકાશવર્ષ}) = 9.46 \times 10^{15} \text{ m} \) \( \implies 1 \text{ m} = \frac{1}{9.46 \times 10^{15}} \text{ ly} \) \( = 1.057 \times 10^{-16} \text{ ly} \approx 10^{-16} \text{ ly} \)
(c) \( 3.0 \text{ ms}^{-2} = 3 (10^{-3} \text{ km})(\frac{1}{3600}\text{h})^{-2} \) \( = 3 (10^{-3} \text{ km}) \times (3600)^2 \text{ h}^{-2} \) \( = 3 \times 10^{-3} \times 1.296 \times 10^7 \text{ km h}^{-2} \) \( = 3.888 \times 10^4 \text{ km h}^{-2} \) \( = 3.9 \times 10^4 \text{ km h}^{-2} \)
(d) \( G = 6.67 \times 10^{-11} \text{ N m}^2 \text{ kg}^{-2} \) Using \( \text{N} = \text{kg m s}^{-2} \), we get: \( G = 6.67 \times 10^{-11} \text{ (kg m s}^{-2}\text{) m}^2 \text{ kg}^{-2} \) \( = 6.67 \times 10^{-11} \text{ m}^3 \text{ s}^{-2} \text{ kg}^{-1} \) Now convert to cm and g: \( = 6.67 \times 10^{-11} (10^2 \text{ cm})^3 \text{ s}^{-2} (10^3 \text{ g})^{-1} \) \( = 6.67 \times 10^{-11} \times 10^6 \text{ cm}^3 \text{ s}^{-2} \times 10^{-3} \text{ g}^{-1} \) \( = 6.67 \times 10^{-11} \times 10^3 \text{ cm}^3 \text{ s}^{-2}\text{g}^{-1} \) \( = 6.67 \times 10^{-8} \text{ cm}^3 \text{ s}^{-2} \text{ g}^{-1} \)
In simple words: This problem requires extensive unit conversions across different systems (SI to CGS, SI to light-years, SI to km/h, and for the gravitational constant). For each part, systematically convert the base units (mass, length, time) to the desired system, ensuring all exponents are correctly applied during the conversion process.

🎯 Exam Tip: When converting units, break down complex units into their base components (e.g., Newton to kg m s⁻²). Then, convert each base unit individually (e.g., kg to g, m to cm, s to h). Always write down the conversion factors clearly to avoid errors, especially with powers.

 

Question 3. ઉષ્મા અથવા ઊર્જાનો એકમ કૅલરી છે અને તે લગભગ \( 4.2 \text{ J} \) બરાબર છે. જ્યાં, \( 1 \text{ J} = 1 \text{ kg m}^2 \text{s}^{-2} \). ધારો કે, એકમોની એક નવી પ્રણાલીનો ઉપયોગ કરીએ કે જેમાં દળનો એકમ \( \alpha \text{kg} \), લંબાઈનો એકમ \( \beta \text{m} \) અને સમયનો એકમ \( \gamma \text{s} \) હોય, તો દર્શાવો કે નવા એકમોના સંદર્ભે કૅલરીનું માન \( \alpha^{-1} \beta^{-2} \gamma^2 \) છે.
Answer: \( 1 \text{ કૅલરી} = 4.2 \text{ J} \), જયાં, \( 1\text{J} = 1 \text{ kg m}^2\text{s}^{-2} \). આ દર્શાવે છે કે ઊર્જાનું પારિમાણિક સૂત્ર \( [\text{ઊર્જા}] = [\text{ML}^2\text{T}^{-2}] \) છે. આથી, ઘાતાંક \( a = 1 \) (માસ), \( b = 2 \) (લંબાઈ) અને \( c = -2 \) (સમય) છે. SI એકમપદ્ધતિમાં, \( n_1 = 4.2 \) \( M_1 = 1 \text{ kg} \) \( L_1 = 1 \text{ m} \) \( T_1 = 1 \text{ s} \) નવી એકમપદ્ધતિમાં, \( n_2 = ? \) \( M_2 = \alpha \text{ kg} \) \( L_2 = \beta \text{ m} \) \( T_2 = \gamma \text{ s} \) એકમોના પરિવર્તન માટેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને: \( n_2 = n_1 \left[ \frac{M_1}{M_2} \right]^a \left[ \frac{L_1}{L_2} \right]^b \left[ \frac{T_1}{T_2} \right]^c \) \( = 4.2 \left[ \frac{1 \text{kg}}{\alpha \text{ kg}} \right]^1 \left[ \frac{1 \text{m}}{\beta \text{ m}} \right]^2 \left[ \frac{1 \text{s}}{\gamma \text{ s}} \right]^{-2} \) \( = 4.2 [\alpha^{-1}] [\beta^{-2}] [\gamma^{-(-2)}] \) \( = 4.2 \alpha^{-1} \beta^{-2} \gamma^2 \) આમ, નવા એકમોના સંદર્ભમાં \( 1 \text{ કૅલરી} = 4.2 \text{ J} = 4.2 \alpha^{-1} \beta^{-2} \gamma^2 \).
In simple words: To express the value of a physical quantity (like calorie) in a new system of units, we use the principle of dimensional homogeneity. By comparing the dimensions of energy (ML²T⁻²) and the conversion ratios for mass, length, and time, we can determine the new numerical value, which in this case is \( 4.2 \alpha^{-1} \beta^{-2} \gamma^2 \).

🎯 Exam Tip: This problem is a classic application of dimensional analysis for unit conversion. Remember the general formula \( n_2 = n_1 \left[ \frac{M_1}{M_2} \right]^a \left[ \frac{L_1}{L_2} \right]^b \left[ \frac{T_1}{T_2} \right]^c \) where \( a, b, c \) are the dimensions of the physical quantity with respect to mass, length, and time respectively.

 

Question 4. “સરખામણી માટેનાં માનકોની સ્પષ્ટતા કર્યા વગર કોઈ પારિમાણિક રાશિ 'મોટી' છે કે ‘નાની’ તેમ કહેવું અર્થહીન છે.” આ બાબતને ધ્યાનમાં રાખી નીચે આપેલ કથનોને જરૂરિયાત મુજબ ફરી લખો :
(a) પરમાણુઓ ખૂબ જ નાના પદાર્થ છે.
(b) જેટ પ્લેન ખૂબ ઝડપથી ચાલે છે.
(c) જ્યુપિટરનું દળ ઘણું વધુ છે.
(d) આ રૂમમાં રહેલી હવામાં અણુઓની સંખ્યા ખૂબ જ વધારે છે.
(e) ઇલેક્ટ્રૉન કરતાં પ્રોટોન વધુ દળદાર છે.
(f) પ્રકાશની ઝડપ કરતાં ધ્વનિની ઝડપ ખૂબ જ ઓછી છે.
Answer: આપેલ કથન સત્ય છે. માપન એ પ્રમાણભૂત માપન સાથેની સરખામણીની પ્રક્રિયા છે. તેના વગર કોઈ રાશિ ‘મોટી' છે કે ‘નાની’ તેનો અંદાજ મેળવી શકાતો નથી. દા. ત., 'પૃથ્વીનો વ્યાસ ખૂબ જ મોટો છે.' આ વિધાન અર્થવિહીન છે, પરંતુ 'પૃથ્વીનો વ્યાસ એ ફૂટબૉલના દડા કરતાં ખૂબ જ મોટો છે.' એ વિધાન અર્થપૂર્ણ છે.
(a) 'પરમાણુઓ ખૂબ જ નાના પદાર્થ છે.' આ વિધાન અર્થવિહીન છે. સુધારેલ કથન : પરમાણુઓ ટાંકણીના ટોચના અણીદાર ભાગ કરતાં પણ ખૂબ જ નાના છે.
(b) 'જેટ પ્લેન ખૂબ ઝડપથી ચાલે છે.' આ વિધાન અર્થવિહીન છે. સુધારેલ કથન : જેટ પ્લેન એ સુપરફાસ્ટ ટ્રેન કરતાં વધારે ઝડપથી ચાલે છે.
(c) 'જ્યુપિટરનું દળ ઘણું વધુ છે.' સુધારેલ કથન : જ્યુપિટરનું દળ પૃથ્વી કરતાં ઘણું વધારે છે.
(d) ‘આ રૂમમાં રહેલી હવામાં અણુઓની સંખ્યા ખૂબ જ વધારે છે.' સુધારેલ કથન : આ રૂમમાં રહેલી હવામાં અણુઓની સંખ્યા એ બલૂનની હવામાં રહેલા અણુઓની સંખ્યા જેટલી જ વધારે છે.
(e) ‘ઇલેક્ટ્રૉન કરતાં પ્રોટોન વધુ દળદાર છે.' આ કથન અર્થપૂર્ણ છે
(f) ‘પ્રકાશની ઝડપ કરતાં ધ્વનિની ઝડપ ખૂબ જ ઓછી છે.' આ કથન અર્થપૂર્ણ છે.
In simple words: When describing magnitudes (like 'small,' 'fast,' 'heavy,' 'many,' 'more,' 'less'), it's essential to provide a reference point for comparison. Without a standard reference, such statements lack specific meaning. Statements like "atoms are very small" become meaningful when compared to a recognizable object, such as the tip of a pin. Similarly, a jet plane's speed is better understood when compared to a high-speed train, Jupiter's mass to Earth's, or the number of air molecules in a room to those in a balloon. The assertions that protons are more massive than electrons and that the speed of sound is less than the speed of light are already meaningful as they imply a direct comparison.

🎯 Exam Tip: Questions involving comparative statements often test your understanding of relative magnitudes and the importance of a reference frame in physics. Focus on providing clear comparisons to common objects or established physical quantities to make statements meaningful.

 

Question 5. લંબાઈનો નવો એકમ એવી રીતે પસંદ કરવામાં આવે છે કે શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ 1 એકમ થાય. જો પ્રકાશને સૂર્ય અને પૃથ્વી વચ્ચેનું અંતર કાપતાં \( 8 \text{min} \) અને \( 20 \text{ s} \) લાગતા હોય, તો લંબાઈના નવા એકમ સંદર્ભે સૂર્ય અને પૃથ્વી વચ્ચેનું અંતર કેટલું થાય?
Answer: સમય \( = 8 \text{ min } 20 \text{ s} \)
\( = (8 \times 60 \text{ s}) + 20 \text{ s} = 480 \text{ s} + 20 \text{ s} = 500 \text{ s} \) શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપને નવા એકમમાં \( 1 \) એકમ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. પૃથ્વી અને સૂર્ય વચ્ચેનું અંતર = પ્રકાશની ઝડપ \( \times \) સમય \( = 1 \times 500 \) \( = 500 \) (લંબાઈના નવા એકમના સંદર્ભમાં)
In simple words: If the speed of light in a vacuum is defined as 1 unit of length per unit of time, and light takes 500 seconds to travel from the Sun to Earth, then the distance between the Sun and Earth, in this new unit of length, would simply be 500 units.

🎯 Exam Tip: This problem tests the basic relationship between distance, speed, and time. Pay attention to unit consistency and ensure all time values are converted to a single unit (seconds) before calculation. The new unit definition simplifies the speed to '1', making the distance numerically equal to the time taken.

 

Question 6. લંબાઈના માપન માટે નીચે આપેલ સાધનો પૈકી કયું સાધન વધુ સચોટ છે?
(a) વર્નિયર કેલિપર્સ જેના વર્નિયર માપમાં \( 20 \) વિભાગ છે.
(b) એક સ્ક્રૂગેજ જેનું પૅચઅંતર \( 1 \text{ mm} \) અને વર્તુળાકાર સ્કેલ પર \( 100 \) વિભાગ છે.
(c) એક પ્રકાશીય યંત્ર જે પ્રકાશની તરંગલંબાઈ સુધીની લંબાઈ માપી શકે છે.
Answer: જે સાધનની લઘુતમ માપ શક્તિ ઓછી હોય તે સાધન વડે લંબાઈનું સચોટ માપન કરી શકાય છે.
(a) વર્નિયર કેલિપર્સની લઘુતમ માપશક્તિ \( (\text{L.C.}) = \frac{\text{મુખ્ય સ્કેલના સૌથી નાના કાપાનું મૂલ્ય}}{\text{વર્નિયર સ્કેલના વિભાગોની સંખ્યા}} \) \( = \frac{1 \text{ mm}}{20} = 0.05 \text{ mm} = 0.005 \text{ cm} \)
(b) સ્ક્રૂગેજની લઘુતમ માપશક્તિ \( (\text{L.C.}) = \frac{\text{પૅચઅંતર}}{\text{વર્તુળાકાર સ્કેલ પરના વિભાગોની સંખ્યા}} \) \( = \frac{1.0 \text{ mm}}{100} = 0.01 \text{ mm} \) \( = \frac{0.1}{100} \text{ cm} = 0.001 \text{ cm} \)
(c) પ્રકાશીય યંત્રની લઘુતમ માપશક્તિ \( (\text{L.C.}) = \) દશ્યપ્રકાશની તરંગલંબાઈ \( = 4000 \text{ Å} = 4000 \times 10^{-8} \text{ cm} \) \( = 4 \times 10^{-5} \text{ cm} = 0.00004 \text{ cm} \) અહીં, સ્પષ્ટ છે કે પ્રકાશીય યંત્રની લઘુતમ માપશક્તિ સૌથી ઓછી હોવાથી તે લંબાઈનું વધુ સચોટતાપૂર્વક માપન કરી શકશે.
In simple words: The precision of a measuring instrument is determined by its least count (the smallest measurement it can make). A device with a smaller least count provides more accurate measurements. Comparing the least counts, the optical instrument (with a least count of \( 0.00004 \text{ cm} \)) is the most precise among the vernier callipers (\( 0.005 \text{ cm} \)) and the screw gauge (\( 0.001 \text{ cm} \)).

🎯 Exam Tip: Remember that "least count" is the key to determining the precision of an instrument. A smaller least count implies higher precision. Be prepared to calculate the least count for different instruments if given their specifications.

 

Question 7. એક વિદ્યાર્થી \( 100 \) મોટવણી ધરાવતા માઇક્રોસ્કોપ વડે માનવ-વાળ(Hair)ની જાડાઈ માપે છે. તે માઇક્રોસ્કોપનાં દશ્યક્ષેત્રમાં વાળની જાડાઈ \( 3.5 \text{ mm} \) છે, તો વાળના અદાજિત જાડાઈનું અનુમાન કરો.
Answer: માઈક્રોસ્કોપની મોટવણી \( = \frac{\text{અવલોકિત જાડાઈ}}{\text{સાચી જાડાઈ}} \) ∴ વાળની સાચી જાડાઈ \( = \frac{\text{વાળની અવલોકિત જાડાઈ}}{\text{માઈક્રોસ્કોપની મોટવણી}} \) \( = \frac{3.5 \text{ mm}}{100} = 0.035 \text{ mm} \)
In simple words: If a microscope magnifies an object 100 times, and the observed thickness of a hair through it is 3.5 mm, then the actual thickness of the hair is found by dividing the observed thickness by the magnification, resulting in 0.035 mm.

🎯 Exam Tip: This question involves understanding the concept of magnification. The true dimension of an object is obtained by dividing its observed dimension (through the magnifying instrument) by the magnification power of the instrument.

 

Question 8. નીચેના પ્રશ્નોના ઉત્તર આપો:
(a) તમને એક દોરી અને મીટરપટ્ટી આપેલ છે. તમે દોરીની જાડાઈ કેવી રીતે નક્કી કરશો?
(b) એક સ્ક્રૂગેજમાં પૅચઅંતર \( 1.0 \text{ mm} \) અને વર્તુળાકાર સ્કેલ પર \( 200 \) વિભાગ છે. શું તમે વિચારી શકો કે વર્તુળાકાર સ્કેલ પર વિભાગોની સંખ્યા સ્વેચ્છાએ વધારીને તેની સચોટતા વધારી શકાય?
(c) પાતળા બ્રાસના સળિયાનો વ્યાસ વર્નિયર કેલિપર્સ વડે માપવામાં આવે છે. ફક્ત \( 5 \) અવલોકનો દ્વારા મેળવેલ પરિણામની સરખામણીમાં \( 100 \) અવલોકનો વડે મેળવેલ વ્યાસનું અપેક્ષિત પરિણામ શા માટે વધુ વિશ્વસનીય હશે?
Answer:
(a) દોરીનો વ્યાસ (જાડાઈ) ખૂબ જ નાનો હોવાથી, મીટરપટ્ટીની મદદથી પ્રત્યક્ષ રીતે માપી શકાય નહિ. આથી આપણે પરોક્ષ રીતનો ઉપયોગ કરીશું. આપેલ દોરીને મીટરપટ્ટીની ‘l’ લંબાઈ પર એવી રીતે વીંટો કે જેથી તેના આંટાઓ એકબીજાના સંપર્કમાં રહે. ‘l’લંબાઈમાં રહેલા આંટાઓની સંખ્યા ગણો. ધારો કે, આંટાઓની સંખ્યા ‘n’ છે. આથી દોરીની જાડાઈ \( = \frac{l}{n} \)
(b) સ્ક્રૂગેજની લઘુતમ માપશક્તિ \( (\text{L.C.}) = \frac{\text{પૅચઅંતર}}{\text{વર્તુળાકાર સ્કેલ પરના વિભાગોની સંખ્યા}} \) સૈદ્ધાંતિક રીતે આપણે કહી શકીએ કે વર્તુળાકાર સ્કેલ પરના વિભાગોની સંખ્યા વધારતાં સ્ક્રૂગેજની લઘુતમ માપશક્તિ ઘટે છે અને તેના દ્વારા થતા માપનની સચોટતા વધે, પરંતુ માનવઆંખની વિભેદન શક્તિ (resolution) ઓછી હોવાથી તે ખૂબ જ નાનાં અંતરોનાં અવલોકનો સચોટતાપૂર્વક લઈ શકતી નથી.
(c) જ્યારે આપણે માપન કરીએ છીએ ત્યારે તેમાં ધન અથવા ઋણ અવ્યવસ્થિત ત્રુટિ (random error) ઉદ્ભવવાની શક્યતાઓ હોય છે. જ્યારે અવલોકનોની સંખ્યા વધુ હોય અને તેમનું સરેરાશ લેવાથી મોટા ભાગની ધન અને ઋણ ત્રુટિઓ એકબીજાને નાબૂદ કરે છે. પરિણામે અવ્યવસ્થિત ત્રુટિનું પ્રમાણ ઘટે છે અને માપન ચોકસાઈપૂર્વક મળે છે. આથી \( 5 \) અવલોકનો દ્વારા મેળવેલ પરિણામની સરખામણીમાં \( 100 \) અવલોકનો વડે મેળવેલ વ્યાસનું પરિણામ વધુ વિશ્વસનીય હશે.
In simple words: (a) To measure the thickness of a thin thread using a meter scale, wrap the thread tightly around the scale for a certain length, count the number of turns, and then divide the total length by the number of turns. (b) While increasing the number of divisions on a screw gauge's circular scale theoretically improves its least count and precision, practical limitations arise from the human eye's finite resolution, making it impossible to read extremely small divisions accurately. (c) Taking a larger number of observations (e.g., 100 instead of 5) for a measurement makes the result more reliable because random errors tend to cancel each other out when averaged over many readings, leading to a more precise final value.

🎯 Exam Tip: (a) This method is a common practical technique for measuring small dimensions. (b) Be aware of the distinction between theoretical precision and practical limitations. (c) A fundamental principle of experimental physics is that increasing the number of observations and averaging them helps minimize random errors, improving the accuracy and reliability of the result.

 

Question 9. એક મકાનનો ફોટોગ્રાફ \( 35 \text{ mm} \) ની સ્લાઇડ પર \( 1.75 \text{ cm}^2 \) ક્ષેત્રફળને આવરી લે છે. આ સ્લાઇડને એક પડદા પર પ્રોજેક્ટ કરતાં પડદા પર મકાનનું ક્ષેત્રફળ \( 1.55\text{m}^2 \) મળે છે, તો પ્રોજૅકટર અને પડદાની ગોઠવણીની રેખીય મોટવણી શું હશે?
Answer: વસ્તુ(મકાનનો ફોટોગ્રાફ)નું ક્ષેત્રફળ \( = 1.75 \text{ cm}^2 \) \( = 1.75 \times 10^{-4}\text{m}^2 \) પડદા પર છબીનું ક્ષેત્રફળ \( = 1.55 \text{ m}^2 \) ક્ષેત્રિય મોટવણી \( M_A = \frac{\text{છબીનું ક્ષેત્રફળ}}{\text{વસ્તુનું ક્ષેત્રફળ}} \) \( = \frac{1.55 \text{ m}^2}{1.75 \times 10^{-4}\text{ m}^2} = 8857.14 \) રેખીય મોટવણી \( M_L = \sqrt{\text{ક્ષેત્રિય મોટવણી}} \) \( = \sqrt{8857.14} = 94.1 \)
In simple words: When a photograph of a house on a slide (area \( 1.75 \text{ cm}^2 \)) is projected onto a screen (area \( 1.55 \text{ m}^2 \)), the area magnification is the ratio of the image area to the object area. The linear magnification is simply the square root of this area magnification.

🎯 Exam Tip: Remember the relationship between linear magnification (\( M_L \)) and area magnification (\( M_A \)): \( M_A = M_L^2 \). Ensure all area measurements are in consistent units (e.g., \( \text{m}^2 \)) before calculating the ratio.

 

Question 10. નીચે આપેલ સંખ્યાઓમાંથી સાર્થક અંકો નક્કી કરો :
(a) \( 0.007 \text{ m}^2 \)
(b) \( 2.64 \times 10^{24} \text{ kg} \)
(c) \( 0.2370 \text{ g cm}^{-3} \)
(d) \( 6.320 \text{ J} \)
(e) \( 6.032 \text{ N m}^{-2} \)
(f) \( 0.0006032 \text{ m}^2 \)
Answer:

સંખ્યા	સાર્થક અંકોની સંખ્યા	સાર્થક અંક
(a) \( 0.007 \text{ m}^2 \)	એક	7
(b) \( 2.64 \times 10^{24} \text{ kg} \)	ત્રણ	2, 6, 4
(c) \( 0.2370 \text{ g cm}^{-3} \)	ચાર	2, 3, 7, 0
(d) \( 6.320 \text{ J} \)	ચાર	6, 3, 2, 0
(e) \( 6.032 \text{ N m}^{-2} \)	ચાર	6, 0, 3, 2
(f) \( 0.0006032 \text{ m}^2 \)	ચાર	6, 0, 3, 2

In simple words: Significant figures indicate the precision of a measurement. Non-zero digits are always significant. Zeros between non-zero digits are significant. Leading zeros (before non-zero digits) are not significant. Trailing zeros after a decimal point are significant. When a number is expressed in scientific notation (\( a \times 10^b \)), the significant figures are determined by the digits in 'a'.

🎯 Exam Tip: Mastering the rules for significant figures is crucial for presenting calculated values with appropriate precision. Pay close attention to leading and trailing zeros, especially with decimal points, as they often cause confusion. Scientific notation simplifies identifying significant figures.

 

Question 11. એક લંબચોરસ પાતળી ધાતુની તક્તીની લંબાઈ, પહોળાઈ અને જાડાઈ અનુક્રમે \( 4.234 \text{ m} \), \( 1.005 \text{ m} \) અને \( 2.01 \text{ cm} \) છે. સાર્થક અંકોને ધ્યાનમાં રાખી તકતીનું ક્ષેત્રફળ અને કદ શોધો.
Answer: લંબાઈ \( l = 4.234\text{m} \), પહોળાઈ \( b = 1.005\text{m} \), જાડાઈ \( t = 2.01 \text{ cm} = 2.01 \times 10^{-2}\text{ m} = 0.0201\text{m} \) તકતીનું કુલ ક્ષેત્રફળ \( A = 2[(l \times b) + (b \times t) + (t \times l)] \) \( = 2[(4.234 \text{ m} \times 1.005 \text{ m}) + (1.005 \text{ m} \times 0.0201 \text{ m}) + (0.0201 \text{ m} \times 4.234 \text{ m})] \) \( = 2[4.25517 \text{ m}^2 + 0.0202005 \text{ m}^2 + 0.0851034 \text{ m}^2] \) \( = 2[4.3604739 \text{ m}^2] \) \( = 8.7209478\text{m}^2 \) આપેલ \( l \), \( b \) અને \( t \) માં સૌથી ઓછી સાર્થક અંકો ધરાવતી સંખ્યા \( t \) છે, જેમાં ત્રણ સાર્થક અંકો છે. આથી, ક્ષેત્રફળના મૂલ્યને ત્રણ અંકો સુધી round off કરતાં, તકતીનું ક્ષેત્રફળ \( = 8.72\text{m}^2 \) તકતીનું કદ \( V = l \times b \times t \) \( = 4.234 \text{ m} \times 1.005 \text{ m} \times 0.0201 \text{ m} \) \( = 0.0855289 \text{ m}^3 \) કારણ કે સૌથી ઓછી સાર્થક અંક ધરાવતી માપણી (જાડાઈ \( t \)) ત્રણ સાર્થક અંકો ધરાવે છે, આથી કદને પણ ત્રણ અંકો સુધી round off કરતાં, તકતીનું કદ \( = 0.0855\text{m}^3 \)
In simple words: To calculate the surface area and volume of a rectangular plate, first ensure all dimensions are in consistent units. Then, apply the formulas for surface area (\( 2(lb + bt + tl) \)) and volume (\( lbt \)). When presenting the final answer, round the results to the same number of significant figures as the least precise measurement used in the calculation. In this case, the thickness (2.01 cm) has three significant figures, so both the area and volume are rounded to three significant figures.

🎯 Exam Tip: Unit consistency is paramount in physics calculations. Always convert all quantities to a single system of units (e.g., SI units) before performing calculations. Remember the rules for significant figures in multiplication/division: the result should have the same number of significant figures as the measurement with the fewest significant figures.

 

Question 12. પ્રોવિઝન સ્ટોરની તુલા વડે માપેલ એક બૉક્સનું દળ \( 2.3 \text{ kg} \) મળે છે. હવે આ બૉક્સમાં \( 20.15\text{g} \) અને \( 20.17 \text{ g} \) દળના સોનાના બે ટુકડા મૂકવામાં આવે છે, તો
**(a) બૉક્સનું કુલ દળ કેટલું થશે?**
**(b) યોગ્ય સાર્થક અંક સુધી બંને ટુકડાના દળનો તફાવત કેટલો થાય?**
Answer: બૉક્સનું દળ \( m = 2.3 \text{ kg} \) સોનાના પહેલા ટુકડાનું દળ \( m_1 = 20.15 \text{ g} = 0.02015 \text{ kg} \) સોનાના બીજા ટુકડાનું દળ \( m_2 = 20.17 \text{ g} = 0.02017 \text{ kg} \)
(a) બૉક્સનું કુલ દળ \( M_{\text{total}} = m + m_1 + m_2 \) \( = 2.3 \text{ kg} + 0.02015 \text{ kg} + 0.02017 \text{ kg} \) \( = 2.34032 \text{ kg} \) અહીં, \( m \) માં દશાંશસ્થાન પછી સૌથી ઓછી સાર્થક સંખ્યા છે, જે એક છે. આથી ઉત્તરને દશાંશસ્થાન પછી એક અંક સુધી round off કરતાં, બૉક્સનું કુલ દળ \( = 2.3 \text{ kg} \).
(b) સોનાના બંને ટુકડાના દળનો તફાવત \( \Delta m = m_2 - m_1 \) \( = 20.17 \text{ g} - 20.15 \text{ g} \) \( = 0.02 \text{ g} \) અહીં, \( m_1 \) અને \( m_2 \) બંનેમાં દશાંશસ્થાન પછી બે સાર્થક અંકો છે અને મળેલ ઉત્તરમાં પણ દશાંશસ્થાન પછી બે સાર્થક અંકો છે. આથી દળનો તફાવત \( = 0.02 \text{ g} \).
In simple words: (a) To find the total mass, sum all masses after converting them to a consistent unit (kg). When adding or subtracting, the result should have the same number of decimal places as the measurement with the fewest decimal places. Since the box mass (2.3 kg) has one decimal place, the total mass is rounded to 2.3 kg. (b) For the mass difference, subtract the values. The result should maintain the same number of decimal places as the original values, which both have two decimal places after the decimal point in grams, so the difference is 0.02 g.

🎯 Exam Tip: For addition and subtraction, the rule for significant figures states that the final answer should have no more decimal places than the measurement with the fewest decimal places. Always convert all units to a common base (e.g., kg or g) before performing arithmetic operations.

 

Question 13. એક ભૌતિક રાશિ Pનો માપન યોગ્ય ચા; ચાર રાશિઓ \( a, b, c \) અને \( d \) સાથેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે : \( P = \frac{a^3b^2}{\sqrt{cd}} \). \( a, b, c \) અને \( d \) માં પ્રતિશત ત્રુટિ અનુક્રમે \( 1 \% \), \( 3 \% \), \( 4 \% \) અને \( 2 \% \) છે, તો Pમાં પ્રતિશત ત્રુટિ શોધો. જો ઉપર્યુક્ત સંબંધનો ઉપયોગ કરીને ગણતરી કરતાં Pનું મૂલ્ય \( 3.763 \) મળતું હોય, તો તમે આ પરિણામને કયા મૂલ્ય સુધી round off કરશો?
Answer:આપેલ છે કે: \( \frac{\Delta a}{a} \times 100 = 1 \% \) \( \frac{\Delta b}{b} \times 100 = 3 \% \) \( \frac{\Delta c}{c} \times 100 = 4 \% \) \( \frac{\Delta d}{d} \times 100 = 2 \% \) P ની પ્રતિશત ત્રુટિ શોધવા માટે, આપેલ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ: \( P = a^3 b^2 (c d)^{-1/2} \)
\( \frac{\Delta P}{P} \times 100 = \left(3 \frac{\Delta a}{a} \times 100\right) + \left(2 \frac{\Delta b}{b} \times 100\right) \) \( \quad + \left(\frac{1}{2} \frac{\Delta c}{c} \times 100\right) + \left(\frac{1}{2} \frac{\Delta d}{d} \times 100\right) \) \( = (3 \times 1 \%) + (2 \times 3 \%) + \left(\frac{1}{2} \times 4 \%\right) + \left(\frac{1}{2} \times 2 \%\right) \) \( = 3 \% + 6 \% + 2 \% + 1 \% \) \( = 12 \% \) Pના પરિણામની ત્રુટિ 12% છે. આ મૂલ્યમાં બે સાર્થક અંકો છે. આથી Pના મૂલ્યને બે સાર્થક અંકો સુધી round off કરતાં, P = 3.763 \( \approx \) 3.8
In simple words: To calculate the percentage error in a quantity P which depends on other quantities with exponents and roots, sum the percentage errors of individual quantities multiplied by their respective powers. For example, if P is proportional to \( a^3 \), its error contribution is \( 3 \times (\% \text{error in } a) \). For square roots, the power is 1/2. Once the total percentage error is calculated, the final value of P should be rounded to match the number of significant figures implied by the calculated error. Here, a 12% error in P means the error itself has two significant figures (0.12), so P is rounded to two significant figures.

🎯 Exam Tip: This problem emphasizes error propagation in calculations involving powers and divisions. Remember that percentage errors always add up. When rounding the final result, the number of significant figures should be consistent with the calculated percentage error, usually to the same number of significant figures as the least precise input or error calculation.

 

Question 14. મુદ્રણની ઘણી ત્રુટિઓ ધરાવતાં એક પુસ્તકમાં કણના સ્થાનાંતરનાં ચાર જુદાં જુદાં સૂત્રો આપેલ છે :
**(a) \( y = a \sin \frac{2\pi t}{T} \)**
**(b) \( y = a \sin vt \)**
**(c) \( y = \left(\frac{a}{T}\right) \sin \frac{t}{a} \)**
**(d) \( y = (a\sqrt{2}) \left(\sin \frac{2\pi t}{T} + \cos \frac{2\pi t}{T}\right) \)** **(અહીં \( a \) = કણનું મહત્તમ સ્થાનાંતર, \( v \) = કણની ઝડપ, \( T \) = આવર્તકાળ) પરિમાણને આધારે ખોટાં સૂત્રોને નાબૂદ કરો.**
Answer: આપેલા દરેક સમીકરણમાં LHSની ભૌતિક રાશિ સ્થાનાંતર (\( y \)) છે, જેનું પારિમાણિક સૂત્ર \( [y] = [\text{M}^0\text{LT}^0] \) છે.
(a) \( y = a \sin \frac{2\pi t}{T} \) \( [a \sin \frac{2\pi t}{T}] = [\text{L}] [\sin \frac{\text{T}}{\text{T}}] = [\text{L}] [\text{dimensionless}] = [\text{L}] \) અહીં, sine વિધેય પરિમાણ રહિત છે (કારણ કે \( \frac{2\pi t}{T} \) એ સમય અને આવર્તકાળનો ગુણોત્તર છે, જે પરિમાણ રહિત છે). આપેલ સમીકરણનું પરિમાણ 'y'ના પરિમાણ જેટલું હોવાથી તે પારિમાણિક દૃષ્ટિએ યથાર્થ છે.
(b) \( y = a \sin vt \) \( [a \sin vt] = [\text{L}] [\sin (\text{LT}^{-1} \text{ T})] = [\text{L}] [\sin (\text{L})] \) આપેલ સમીકરણમાં sine વિધેયનું આર્ગ્યુમેન્ટ \( vt \) માં લંબાઈનું પરિમાણ છે \( (L) \), જે પરિમાણ રહિત હોવું જોઈએ. આથી તે પારિમાણિક દૃષ્ટિએ ખોટું છે.
(c) \( y = \left(\frac{a}{T}\right) \sin \frac{t}{a} \) \( \left[\left(\frac{a}{T}\right) \sin \frac{t}{a}\right] = \left[\frac{\text{L}}{\text{T}}\right] \left[\sin \frac{\text{T}}{\text{L}}\right] \) અહીં, ગુણાકારમાં આવેલ \( \left(\frac{a}{T}\right) \) નો એકમ ઝડપનો છે, પરંતુ sine વિધેયનું આર્ગ્યુમેન્ટ \( \frac{t}{a} \) માં \( \frac{\text{T}}{\text{L}} \) નું પરિમાણ છે, જે પરિમાણ રહિત હોવું જોઈએ. આથી આપેલ સમીકરણ પારિમાણિક દૃષ્ટિએ ખોટું છે.
(d) \( y = (a\sqrt{2}) \left(\sin \frac{2\pi t}{T} + \cos \frac{2\pi t}{T}\right) \) \( [ (a\sqrt{2}) (\sin \frac{2\pi t}{T} + \cos \frac{2\pi t}{T}) ] = [\text{L}] [\text{dimensionless}] = [\text{L}] \) અહીં, sine અને cosine વિધેય બંનેના આર્ગ્યુમેન્ટ \( \frac{2\pi t}{T} \) પરિમાણ રહિત છે. ઉપરાંત, \( \sqrt{2} \) પણ પરિમાણ રહિત છે અને પદ \( a\sqrt{2} \) નું પરિમાણ \( [\text{L}] \) છે. આપેલ સમીકરણનું પારિમાણિક સૂત્ર એ \( y \) ના પારિમાણિક સૂત્ર જેવું હોવાથી, તે પારિમાણિક દૃષ્ટિએ યથાર્થ છે.
In simple words: Dimensional analysis checks the consistency of an equation by ensuring that the dimensions on both sides are the same. For trigonometric functions (sine, cosine), their arguments must be dimensionless. Based on this, formulas (a) and (d) are dimensionally correct as their arguments are dimensionless and the overall dimensions match displacement. Formulas (b) and (c) are dimensionally incorrect because their trigonometric arguments (vt and t/a, respectively) have dimensions, violating the rule that arguments of trigonometric functions must be dimensionless.

🎯 Exam Tip: Dimensional consistency is a powerful tool to quickly check the validity of physical equations. Remember that arguments of trigonometric functions, logarithms, and exponentials must always be dimensionless. Quantities being added or subtracted must also have the same dimensions.

 

Question 15. એક વિદ્યાર્થી ભૌતિક વિજ્ઞાનમાં પ્રચલિત એવા કોઈ કણના ચલિત દળ (moving mass) \( m \) અને સ્થિર દળ (rest mass) \( m_0 \) તથા કણનો વેગ \( v \) અને પ્રકાશની ઝડપ \( c \) વચ્ચેના (આ સંબંધ પ્રથમ આલ્બર્ટ આઇન્સ્ટાઇનના વિશિષ્ટ સાપેક્ષતાના સિદ્ધાંતના પરિણામ સ્વરૂપે મળેલ હતો.) સંબંધને લગભગ સાચો યાદ રાખીને લખે છે, પરંતુ અચળાંક \( c \) ને ક્યાં મૂકવો તે ભૂલી જાય છે. તે \( m = \frac{m_0}{\left(1-v^2\right)^{1/2}} \) લખે છે. અનુમાન કરો કે, \( c \) ને ક્યાં મૂકવો હશે?
Answer: પરિમાણની સંકલ્પના અનુસાર સમાન પરિમાણો ધરાવતી ભૌતિક રાશિઓના જ સરવાળા અથવા બાદબાકી થઈ શકે છે. આપેલ સમીકરણમાં ‘1‘ એ પરિમાણ રહિત છે. એટલે કે, \( v^2 \) એ ‘1’માંથી બાદ થઈ શકે નહિ કારણ કે \( v^2 \) ના પરિમાણ \( [\text{L}^2\text{T}^{-2}] \) છે. પદ \( v^2 \) ને પરિમાણ રહિત બનાવવા માટે જો તેને \( c^2 \) (પ્રકાશની ઝડપનો વર્ગ) વડે ભાગવામાં આવે, તો પદ \( \frac{v^2}{c^2} \) પરિમાણ રહિત બને. આથી સાચું સૂત્ર નીચે મુજબ થશે : \( m = \frac{m_0}{\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)^{1/2}} \)
In simple words: For an equation involving subtraction or addition to be dimensionally correct, all terms must have the same dimensions. In the given equation \( m = \frac{m_0}{\left(1-v^2\right)^{1/2}} \), the term '1' is dimensionless, but \( v^2 \) has dimensions of \( [\text{L}^2\text{T}^{-2}] \). To make \( 1-v^2 \) dimensionally consistent, \( v^2 \) must be divided by another quantity with the same dimensions, which is \( c^2 \) (speed of light squared). Thus, the correct term should be \( \frac{v^2}{c^2} \).

🎯 Exam Tip: This question highlights a critical rule of dimensional analysis: only quantities with the same dimensions can be added or subtracted. When you see a dimensionless constant (like '1') combined with a dimensional quantity, look for a way to make the dimensional quantity dimensionless by dividing it by another quantity with identical dimensions.

 

Question 16. પરમાણ્વીય માપક્રમની લંબાઈનો સુવિધાજનક એકમ અઁસ્ટ્રોમ છે અને તેને Å : \( 1 \text{ Å} = 10^{-10} \text{ m} \) દ્વારા દર્શાવાય છે. હાઇડ્રોજન પરમાણુનો વિસ્તાર (ત્રિજ્યા તરીકે લો) \( 0.5 \text{ Å} \) છે, તો એક મોલ હાઇડ્રોજન પરમાણુઓનું આણ્વિક કદ \( \text{m}^3 \) માં કેટલું થશે?
Answer: હાઇડ્રોજન પરમાણુની ત્રિજ્યા, \( r = 0.5 \text{ Å} = 0.5 \times 10^{-10} \text{ m} \) એક પરમાણુનું કદ \( V_{\text{atom}} = \frac{4}{3}\pi r^3 \) \( = \frac{4}{3} \times 3.14 \times (0.5 \times 10^{-10} \text{ m})^3 \) \( = \frac{4}{3} \times 3.14 \times 0.125 \times 10^{-30} \text{ m}^3 \) \( = 0.5233 \times 10^{-30} \text{ m}^3 \) \( = 5.233 \times 10^{-31} \text{ m}^3 \) એક મોલમાં રહેલા પરમાણુઓની સંખ્યા \( N_A = 6.023 \times 10^{23} \) \( 1 \) મોલ હાઇડ્રોજન પરમાણુનું આણ્વિક કદ \( V_{\text{molar}} = N_A \times V_{\text{atom}} \) \( = 6.023 \times 10^{23} \times 5.233 \times 10^{-31} \text{ m}^3 \) \( = 3.1539 \times 10^{-7} \text{ m}^3 \) \( \approx 3 \times 10^{-7}\text{m}^3 \)
In simple words: To find the molar volume of hydrogen atoms, first calculate the volume of a single atom using its given radius and the formula for a sphere's volume. Then, multiply this single atom's volume by Avogadro's number (the number of atoms in one mole). Ensure all units are consistent (convert Ångstrom to meters) for the calculation to yield the volume in cubic meters.

🎯 Exam Tip: Remember Avogadro's number and the formula for the volume of a sphere. Pay attention to unit conversions (Ångstrom to meters). Such problems often combine basic geometry, Avogadro's constant, and unit conversion skills.

 

Question 17. એક મોલ આદર્શ વાયુ પ્રમાણભૂત તાપમાને અને દબાણે \( 22.4 \text{ L} \) જગ્યા (મોલર કદ) રોકે છે, તો \( 1 \) મોલ હાઇડ્રોજન વાયુ માટે મોલર કદ અને પરમાણ્વિક કદનો ગુણોત્તર શું થશે? શા માટે આ ગુણોત્તર ઘણો મોટો છે? (હાઇડ્રોજન અણુનું પરિમાણ (ત્રિજ્યા) \( 1 \text{ Å} \) જેટલું લો.)
Answer: હાઇડ્રોજન અણુની ત્રિજ્યા \( r = 1\text{Å} = 1 \times 10^{-10} \text{ m} \) \( 1 \) મોલ આદર્શ વાયુનું કદ (મોલર કદ) \( V_{\text{molar}} \) \( = 22.4 \text{ litre} = 22.4 \times 10^{-3} \text{ m}^3 \) એક મોલ હાઇડ્રોજન પરમાણુનું પરમાણ્વિક કદ \( V_{\text{atomic}} \) \( = N_A \times \frac{4}{3}\pi r^3 \) \( = 6.023 \times 10^{23} \times \frac{4}{3} \times 3.14 \times (1 \times 10^{-10} \text{ m})^3 \) \( = 6.023 \times 10^{23} \times 4.186 \times 10^{-30} \text{ m}^3 \) \( = 25.22 \times 10^{-7}\text{m}^3 \) મોલર કદ અને પરમાણ્વિક કદનો ગુણોત્તર \( = \frac{V_{\text{molar}}}{V_{\text{atomic}}} \) \( = \frac{22.4 \times 10^{-3} \text{ m}^3}{25.22 \times 10^{-7} \text{ m}^3} \) \( = 0.888 \times 10^4 \) \( \approx 0.89 \times 10^4 \) અથવા \( \approx 10^4 \) આ ગુણોત્તર ઘણો મોટો છે કારણ કે, આદર્શ વાયુના મોલેક્યુલ્સ વચ્ચે ઘણું અંતર હોય છે, અને તેઓ એકબીજાના સંપર્કમાં હોતા નથી. આદર્શ વાયુ મોડેલમાં, પરમાણુઓનું કદ કુલ વાયુના કદની સરખામણીમાં નહિવત્ ગણવામાં આવે છે.
In simple words: First, calculate the volume of a single hydrogen atom using its radius, then multiply by Avogadro's number to get the atomic volume for one mole. Divide the given molar volume of an ideal gas by this calculated atomic volume. The ratio is very large (\( \approx 10^4 \)) because, in an ideal gas, molecules are far apart and occupy only a tiny fraction of the total volume; most of the volume is empty space between them.

🎯 Exam Tip: This problem connects the macroscopic properties of gases (molar volume) with the microscopic properties of atoms (atomic volume). The large ratio emphasizes the concept of empty space within a gas, a key characteristic of the ideal gas model.

 

Question 18. ઝડપથી ગતિ કરતી ટ્રેનની બારીમાંથી અવલોકન કરતાં નજીકના ઝાડ, વીજળીના થાંભલા વગેરે ટ્રેનની ગતિની વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરતા જણાય છે. જ્યારે દૂરના અંતરે આવેલ પર્વતની ટોચ, ચંદ્ર અને તારાઓ સ્થિર જણાય છે. સમજાવો.
Answer: પદાર્થ અને આંખને જોડતી રેખાને line of sight કહે છે. ગતિ કરતી ટ્રેનની બારીમાંથી નજીકની વસ્તુઓને જોતાં line of sightની દિશા ઝડપથી બદલાય છે અને સાપેક્ષ વેગને કારણે તે વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરતી જણાય છે, પરંતુ ચંદ્ર અને તારાઓ જેવા દૂરના પદાર્થોનું અવલોકન કરતાં, આંખ અને પદાર્થ વચ્ચેનું અંતર ખૂબ જ વધારે હોવાથી line of sightની દિશા લગભગ અચળ રહે છે. આથી દૂરની વસ્તુઓ સ્થિર જણાય છે. આ ઘટનાને ગતિશીલ દૃષ્ટિસ્થાન-ભેદ (motion parallax) કહેવામાં આવે છે.
In simple words: When observing from a moving train, nearby objects appear to move backward quickly due to the rapid change in the line of sight (the imaginary line connecting the observer's eye to the object). However, distant objects like mountains, the Moon, or stars appear stationary because the large distance to them means the change in the line of sight is negligible, creating an illusion of no relative motion. This phenomenon is known as parallax.

🎯 Exam Tip: This question is a conceptual one, testing your understanding of relative motion and the parallax effect. The key is that the apparent motion depends on the change in the observer's line of sight, which is significant for nearby objects but negligible for distant ones.

 

Question 19. તારા(Stars)નું અંતર માપવા માટે દૃષ્ટિસ્થાન-ભેદની રીતના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે. સૂર્યના આસપાસ પોતાની ભ્રમણ-કક્ષામાં છ મહિનાના સમય-અંતરાલમાં પૃથ્વીનાં બે સ્થાનોને જોડતી આધારરેખા AB છે એટલે કે આધારરેખા પૃથ્વીની કક્ષાના વ્યાસ \( \approx 3 \times 10^{11} \text{ m} \) જેટલી લગભગ છે. જોકે નજીક રહેલા બે તારા એટલા દૂર છે કે આટલી લાંબી આધારરેખા હોવા છતાં તેઓ \( 1'' \) (સેકન્ડ) જેટલો ચાપનો (Arc) દૃષ્ટિસ્થાન-ભેદ દર્શાવે છે. ખગોળીય સ્તર પર લંબાઈનો સુવિધાજનક એકમ પાર્સેક છે. પાર્સેક કોઈ પદાર્થનું અંતર સૂચવે છે કે જે પૃથ્વી અને સૂર્ય વચ્ચેના અંતર જેટલી આધારરેખાના બે છેડાઓએ આંતરેલ ખૂણો \( 1'' \) (Second Arc) બરાબર હોય. એક પાર્સેકનું મૂલ્ય મીટરમાં કેટલું થશે?
Answer: પાર્સેક એ લંબાઈનો એકમ છે. જે અંતરે પૃથ્વી અને સૂર્ય વચ્ચેના અંતર (1 AU) જેટલી આધારરેખાના બે છેડાઓએ આંતરેલ ખૂણો \( 1'' \) (second ચાપ) બરાબર હોય, તેને એક પાર્સેક અંતર કહે છે. દૃષ્ટિસ્થાન-ભેદ ખૂણાની વ્યાખ્યા અનુસાર, \( \theta = \frac{b}{D} \implies D = \frac{b}{\theta} \) અહીં, આધારરેખાની લંબાઈ \( b = 1 \text{ AU} = 1.496 \times 10^{11} \text{ m} \) (પૃથ્વી-સૂર્ય અંતર) દૃષ્ટિસ્થાન-ભેદ કોણ \( \theta = 1'' \) \( 1' = \frac{1}{60}^\circ \) અને \( 1'' = \frac{1}{60}' = \frac{1}{3600}^\circ \) \( = \frac{1}{3600} \times \frac{\pi}{180} \text{ rad} \) (કારણ કે \( 1^\circ = \frac{\pi}{180} \text{ rad} \)) \( = \frac{3.14159}{3600 \times 180} \text{ rad} \) \( = 4.848 \times 10^{-6} \text{ rad} \) \( \approx 4.85 \times 10^{-6} \text{ rad} \) ∴ \( 1 \text{ પાર્સેક} (D) = \frac{b}{\theta} = \frac{1.496 \times 10^{11} \text{ m}}{4.848 \times 10^{-6} \text{ rad}} \) \( = 3.085 \times 10^{16} \text{ m} \) ∴ \( 1 \text{ પાર્સેક} \approx 3.08 \times 10^{16} \text{ m} \)
In simple words: A parsec is defined as the distance at which an astronomical object subtends an angle of one arcsecond (1") with a baseline equal to the Earth-Sun distance (1 Astronomical Unit). To calculate its value in meters, use the formula \( D = \frac{b}{\theta} \), where 'b' is 1 AU and '\( \theta \)' is 1 arcsecond converted to radians.

🎯 Exam Tip: Understand the definition of a parsec and the parallax method. Crucially, remember how to convert arcseconds into radians (\( 1'' = \frac{\pi}{180 \times 3600} \text{ radians} \)). Astronomical distances often involve large numbers, so ensure correct handling of powers of 10.

 

Question 20. આપણા સૂર્યમંડળમાં નજીકનો તારો \( 4.29 \) પ્રકાશવર્ષ દૂર છે. પાર્સેકમાં આ અંતર કેટલું થશે? સૂર્યની આસપાસ પોતાની ભ્રમણ-કક્ષામાં છ મહિનામાં સમય-અંતરાલે પૃથ્વીનાં બે સ્થાનો પરથી આ તારા(આલ્ફા સેન્ટૉરી નામ ધરાવતો)ને જોવામાં આવે, તો તે કેટલો કોણ (દૃષ્ટિસ્થાન-ભેદ કોણ) આંતરશે?
Answer: \( 1 \text{ પ્રકાશવર્ષ} (\text{ly}) = 9.46 \times 10^{15}\text{m} \) \( 1 \text{ parsec} = 3.08 \times 10^{16}\text{m} \) ∴ \( 1 \text{m} = \frac{1}{3.08 \times 10^{16}} \text{ parsec} \) પૃથ્વી અને તારા વચ્ચેનું અંતર \( D = 4.29 \text{ પ્રકાશવર્ષ} \) \( = 4.29 \times 9.46 \times 10^{15} \text{ m} \) \( = \frac{4.29 \times 9.46 \times 10^{15} \text{ m}}{3.08 \times 10^{16} \text{ m/parsec}} \) \( = 1.317 \text{ parsec} \) \( \approx 1.32 \text{ parsec} \) સૂર્યની આસપાસ છ મહિનાના સમય-અંતરાલમાં પૃથ્વીના બે સ્થાનો વચ્ચેની આધારરેખા \( b \) એ પૃથ્વીની કક્ષાનો વ્યાસ છે. આધારરેખા \( b = 2\text{AU} \) (જ્યાં \( 1 \text{ AU} = 1.496 \times 10^{11} \text{ m} \)) \( = 2 \times 1.496 \times 10^{11} \text{ m} \) \( = 2.992 \times 10^{11} \text{ m} \) તારા અને પૃથ્વી વચ્ચેનું અંતર \( D = 4.29 \times 9.46 \times 10^{15} \text{ m} = 4.05834 \times 10^{16} \text{ m} \) દૃષ્ટિસ્થાન-ભેદ કોણ \( \theta = \frac{b}{D} \) \( = \frac{2.992 \times 10^{11} \text{ m}}{4.05834 \times 10^{16} \text{ m}} \) \( = 0.07372 \times 10^{-4} \text{ rad} \) \( = 7.372 \times 10^{-5} \text{ rad} \) \( 1 \text{ rad} = \frac{180^\circ}{\pi} \times 3600 \text{ arcseconds} \) \( \theta = 7.372 \times 10^{-5} \times \frac{180}{\pi} \times 3600 \text{ arcseconds} \) \( = 7.372 \times 10^{-5} \times 206265 \text{ arcseconds} \) \( = 15.21 \text{ arcseconds} \) \( \approx 15.2 \text{ arcseconds} \)
In simple words: First, convert the star's distance from light-years to parsecs by using the conversion factor between these units. Then, to find the parallax angle, consider the baseline as the diameter of Earth's orbit (2 AU) and divide it by the star's distance. Convert the resulting angle from radians to arcseconds for a standard astronomical measurement.

🎯 Exam Tip: This problem requires conversions between different astronomical units (light-years to meters, then to parsecs) and the application of the parallax formula. Ensure accurate unit conversions and proper handling of large exponential numbers. Pay attention to the baseline used for parallax (2 AU for observations six months apart).

 

ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): આકૃતિ 2.8 સૂર્ય, પૃથ્વી અને દૂરના તારા વચ્ચેના દૃષ્ટિસ્થાન-ભેદને દર્શાવે છે. પૃથ્વી સૂર્યની આસપાસ ભ્રમણ કરતી હોવાથી, છ મહિનાના અંતરાલ પર બે જુદા જુદા અવલોકન બિંદુઓ (A અને B) મળે છે. આ A અને B ને જોડતી રેખા તારા પર \( \theta \) કોણ આંતરે છે, જે દૃષ્ટિસ્થાન-ભેદ કોણ છે. આધારરેખા (\( b \)) એ પૃથ્વીની કક્ષાનો વ્યાસ છે, અને \( D \) પૃથ્વીથી તારા સુધીનું અંતર છે.

 

Question 21. ભૌતિક રાશિઓના માપનમાં સચોટતા હોવી તે વિજ્ઞાનની આવશ્યકતા છે. ઉદાહરણ તરીકે કોઈ વિમાનની ઝડપ નક્કી કરવા માટે ખૂબ જ સૂક્ષ્મ સમય-અંતરાલોએ તેનાં સ્થાન નક્કી કરવા માટે એક ચોક્કસ પદ્ધતિ હોવી જોઈએ. બીજા વિશ્વયુદ્ધમાં રડારની શોધ પાછળ આ જ પ્રયોજન હતું. આધુનિક વિજ્ઞાનમાં એવાં જુદાં જુદાં ઉદાહરણો વિશે વિચારો જેમાં લંબાઈ, સમય, દ્રવ્યમાન વગેરેના સચોટ માપનની આવશ્યકતા હોય છે. જોકે આ ઉપરાંત શક્ય હોય ત્યાં, સચોટતાના માત્રાત્મક વિચારો આપી શકો છો.
Answer: અનેક ભૌતિક રાશિઓનું ચોકસાઈપૂર્વક માપન કરવું જરૂરી છે. તેનાં કેટલાંક ઉદાહરણો નીચે મુજબ છે :
(1) GPS (ગ્લોબલ પોઝિશનિંગ સિસ્ટમ) પદ્ધતિ દ્વારા ગતિ કરતાં વાહનની ઝડપ અથવા સ્થાન જાણી શકાય છે. આ માટે GPS સાધન દ્વારા મોકલાતાં તરંગો અને સૅટેલાઇટ દ્વારા મેળવાતા તરંગો વચ્ચેનો સમયગાળો ચોકસાઈપૂર્વક માપવો જરૂરી છે, જેમાં સમય માપન માટે પરમાણુ ઘડિયાળોનો ઉપયોગ થાય છે.
(2) માનવસર્જિત સૅટેલાઇટને અવકાશમાં સફળતાપૂર્વક તરતો મૂકવા માટે તેની પ્રક્ષિપ્ત ગતિનો પથ તથા સમયગાળાનું માપન ચોકસાઈભર્યું હોવું જરૂરી છે. સેટેલાઇટની સ્થિતિ અને વેગનું નિયમન કરવા માટે ઉચ્ચ સચોટતાવાળા માપનો આવશ્યક છે.
(3) અલ્ટ્રાસૉનિક તરંગોની મદદથી દરિયાના પેટાળમાં રહેલી સબમરીનનું સ્થાન જાણી શકાય છે. આ માટે ઉત્સર્જિત તરંગો અને સબમરીનથી પરાવર્તિત થતા તરંગો વચ્ચેનો સમયગાળો ચોકસાઈપૂર્વક માપી તેનું સ્થાન નક્કી કરી શકાય છે. આ સિદ્ધાંત SONAR (Sound Navigation and Ranging) માં ઉપયોગી છે.
In simple words: Precision in physical measurements is fundamental to scientific progress. Examples include GPS systems requiring precise time measurements for location tracking, successful satellite launches depending on accurate trajectory and timing, and sonar using precise time delays for underwater object detection. These demonstrate how accurate measurement of quantities like length, time, and mass is critical for technological advancements and understanding the physical world.

🎯 Exam Tip: This question tests your general understanding of why precise measurements are important in physics and technology. Be ready to provide specific examples and briefly explain how precision in length, time, or mass measurements enables those applications.

 

Question 22. જે રીતે વિજ્ઞાનમાં સચોટ માપન જરૂરી છે તેવી જ રીતે અલ્પવિકસિત વિચારો તથા સામાન્ય માપનો દ્વારા રાશિનો સામાન્ય અંદાજ લગાવવો તેટલું જ મહત્ત્વનું છે. નીચે આપેલા અનુમાન લગાવી શકાય તે માટેના ઉપાયો વિચારો (જ્યાં અનુમાન મેળવવાનું અઘરું લાગે ત્યાં રાશિઓની મહત્તમ મર્યાદા (upper bound) મેળવવાનો પ્રયત્ન કરો) :
(a) વર્ષાઋતુના સમયમાં ભારત ઉપર છવાયેલ વરસાદી વાદળોનું કુલ દ્રવ્યમાન
(b) કોઈ હાથીનું દ્રવ્યમાન
(c) કોઈ આંધી દરમિયાન પવનની ઝડપ
(d) તમારા માથાના વાળની સંખ્યા
(e) તમારા વર્ગખંડમાં વાયુના અણુઓની સંખ્યા
Answer:
(a) વર્ષાઋતુના સમયમાં ભારત ઉપર છવાયેલ વરસાદી વાદળોનું કુલ દ્રવ્યમાન વાદળોનું કુલ દ્રવ્યમાન અંદાજવા માટે, આપણે ભારતમાં સરેરાશ વાર્ષિક વરસાદને આશરે 1 મીટર તરીકે લઈ શકીએ. ભારતનો કુલ ભૌગોલિક વિસ્તાર (\(A\)) લગભગ \(3.3 \times 10^6 \text{ km}^2\) છે, જે \(3.3 \times 10^{12} \text{ m}^2\) બરાબર થાય છે. વરસાદી પાણીનું કુલ કદ (\(V\)) આ વિસ્તાર અને વરસાદની ઊંડાઈ (\(h = 1 \text{ m}\)) ના ગુણાકારથી ગણી શકાય છે, જે \(V = A \times h = 3.3 \times 10^{12} \text{ m}^3\) થાય છે. પાણીની ઘનતા (\(\rho\)) \(10^3 \text{ kg m}^{-3}\) હોવાથી, વાદળોનું કુલ દ્રવ્યમાન (\(m\)) \(m = V \times \rho = 3.3 \times 10^{12} \text{ m}^3 \times 10^3 \text{ kg m}^{-3} = 3.3 \times 10^{15} \text{ kg}\) થશે.
In simple words: This calculation estimates the total weight of monsoon clouds over India by multiplying the country's area by average rainfall depth and water density.
(b) કોઈ હાથીનું દ્રવ્યમાન હાથીનું દ્રવ્યમાન નક્કી કરવા માટે, આર્કિમિડિઝના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરીને પરોક્ષ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરી શકાય છે. સૌપ્રથમ, નદીમાં એક હોડી મૂકો અને પાણીનું સ્તર (h₁) જ્યાં તે હોડીની બાજુને સ્પર્શે છે ત્યાં ચિહ્નિત કરો. પછી, હાથીને હોડીમાં ચડાવો. હાથીના વજનને કારણે, હોડી વધુ ઊંડે ડૂબી જશે. નવા પાણીના સ્તર (h₂) ને ચિહ્નિત કરો. આ બે નિશાનો વચ્ચેનો તફાવત, \(h = h_2 - h_1\), હોડી કેટલા ઊંડે ડૂબી તે દર્શાવે છે. જો હોડીનો આડછેદ વિસ્તાર A હોય, તો હાથી દ્વારા વિસ્થાપિત પાણીનું કદ \(V = A \times h\) છે. આર્કિમિડિઝના સિદ્ધાંત મુજબ, હાથીનું દ્રવ્યમાન વિસ્થાપિત પાણીના દ્રવ્યમાન જેટલું હોય છે, જે \(m = A \times h \times \rho\) તરીકે ગણી શકાય છે, જ્યાં \(\rho\) પાણીની ઘનતા છે.
In simple words: An elephant's weight can be found using a boat and water displacement, by measuring how much deeper the boat sinks when the elephant is on board.
(c) કોઈ આંધી દરમિયાન પવનની ઝડપ આંધી દરમિયાન પવનની ઝડપનો અંદાજ કાઢવા માટે, હવા ભરેલો ફુગ્ગો વાપરી શકાય છે. શાંત સ્થિતિમાં, કલ્પના કરો કે ફુગ્ગો જમીનથી 'h' ઊંચાઈએ (બિંદુ A) છે. જ્યારે પવન ફૂંકાય છે, ત્યારે ફુગ્ગો 't' સમયમાં બિંદુ A થી બિંદુ B સુધી આડી ગતિ કરે છે, જેમાં 'x' આડું વિસ્થાપન થાય છે. રેખા ગણિત મુજબ, પ્રારંભિક અને અંતિમ સ્થિતિને જોડતી રેખા દ્વારા ઊભી સાથે બનતા ખૂણા (\(\theta\))નો સ્પર્શક \(\tan \theta = \frac{x}{h}\) દ્વારા આપવામાં આવે છે, જેનો અર્થ થાય છે \(x = h \tan \theta\). તેથી, પવનની ઝડપ (\(v\)) નો અંદાજ \(v = \frac{x}{t} = \frac{h \tan \theta}{t}\) તરીકે લગાવી શકાય છે.
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र एक गुब्बारे की गति को दर्शाता है। गुब्बारा 'A' बिंदु पर जमीन से 'h' ऊँचाई पर है। हवा चलने पर, यह 't' समय में 'B' बिंदु पर चला जाता है, जिससे क्षैतिज विस्थापन 'x' होता है। गुब्बारे की प्रारंभिक स्थिति और अंतिम स्थिति को जोड़ने वाली रेखा जमीन के साथ 'θ' कोण बनाती है।
In simple words: Wind speed during a storm can be estimated by observing how far a balloon travels horizontally in a certain time, using its height and the angle of displacement.
(d) તમારા માથાના વાળની સંખ્યા માથા પરના વાળની સંખ્યાનો અંદાજ કાઢવા માટે, આપણે ધારી શકીએ કે વાળની વૃદ્ધિ માથાની ચામડી પર સમાનરૂપે વહેંચાયેલી છે. એક પદ્ધતિ એ છે કે નાના વિસ્તારમાં, જેમ કે \(1 \text{ cm}^2\) માં, વાળની સંખ્યા ગણવી. આ ગણતરીને માથાની કુલ સપાટીના વિસ્તાર સાથે ગુણીને, વાળની કુલ સંખ્યાનો આશરે અંદાજ મેળવી શકાય છે. સામાન્ય રીતે, આ સંખ્યા \(10^5\) ના ક્રમની હોય છે.
In simple words: To estimate the number of hairs on a head, count the hairs in a small area and multiply by the total scalp area, assuming uniform distribution.
(e) તમારા વર્ગખંડમાં વાયુના અણુઓની સંખ્યા વર્ગખંડમાં વાયુના અણુઓની સંખ્યાનો અંદાજ કાઢવા માટે, સૌપ્રથમ રૂમની લંબાઈ, પહોળાઈ અને ઊંચાઈ માપીને તેનું કુલ કદ (\(V\)) નક્કી કરો. સામાન્ય તાપમાન અને દબાણ (NTP) પર, એક મોલ હવા \(22.4 \text{ લિટર}\) (અથવા \(22.4 \times 10^{-3} \text{ m}^3\)) જગ્યા રોકે છે અને તેમાં એવોગેડ્રો નંબર જેટલા અણુઓ હોય છે, જે \(6.023 \times 10^{23}\) અણુઓ છે. જો વર્ગખંડનું કદ, ઉદાહરણ તરીકે, \(200 \text{ m}^3\) હોય, તો વર્ગખંડમાં અણુઓની કુલ સંખ્યા આ રીતે ગણી શકાય: અણુઓની સંખ્યા \( = \frac{6.023 \times 10^{23} \text{ અણુઓ}}{22.4 \times 10^{-3} \text{ m}^3} \times 200 \text{ m}^3 \) \( = 53.77 \times 10^{26} \text{ અણુઓ} \) આ આશરે \(10^{28}\) અણુઓ છે.
In simple words: The number of air molecules in a room is estimated by calculating the room's volume and using the known number of molecules per unit volume at standard conditions.

🎯 Exam Tip: When estimating large-scale physical quantities, always break down the problem into smaller, measurable parameters like area, depth, and density, and ensure consistent units. Indirect measurement methods, especially those utilizing fundamental principles like Archimedes' principle, are valuable for estimating quantities that are difficult to measure directly. Dimensional analysis is a powerful tool to check the validity of physical equations. Ensure all terms in an equation have consistent dimensions. Estimation techniques often involve simplifying assumptions (like uniform distribution) to make complex counts manageable. Clearly state these assumptions. For estimations involving large numbers of particles, Avogadro's number and molar volume are essential constants to utilize.

 

Question 23. સૂર્ય એક ગરમ પ્લાઝ્મા (આયનીકૃત દ્રવ્ય) છે જેની અંદરના ગર્ભ(Core)નું તાપમાન \(10^7 \text{ K}\)થી વધારે અને બાહ્ય પૃષ્ઠનું તાપમાન \(6000 \text{ K}\) છે. આટલા ઊંચા તાપમાને કોઈ પણ પદાર્થ ઘન કે પ્રવાહી અવસ્થામાં રહી શકે નહિ. સૂર્યની દળ-ઘનતા, ઘન અને પ્રવાહી અથવા વાયુની ઘનતાઓમાંથી કયા વિસ્તારમાં હોવાની તમને ધારણા છે? તમારું અનુમાન સાચું છે તેની ચકાસણી નીચે આપેલ માહિતી પરથી નક્કી કરી શકો છો. સૂર્યનું દળ \(M = 2.0 \times 10^{30} \text{ kg}\), સૂર્યની ત્રિજ્યા \(R = 7.0 \times 10^8 \text{ m}\).
Answer:સૂર્યની ઘનતાની ગણતરી કરવા માટે, આપેલ દળ \(M = 2.0 \times 10^{30} \text{ kg}\) અને ત્રિજ્યા \(R = 7.0 \times 10^8 \text{ m}\)નો ઉપયોગ કરીએ છીએ. સૌપ્રથમ, ગોળાના કદના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને સૂર્યનું કદ (\(V\)) ગણો: \( V = \frac{4}{3}\pi R^3 \) \( V = \frac{4}{3} \times 3.14 \times (7.0 \times 10^8 \text{ m})^3 \) \( V = 1.436 \times 10^{27} \text{ m}^3 \) હવે, \(\rho = \frac{M}{V}\) સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ઘનતા (\(\rho\)) ગણો: \( \rho = \frac{2.0 \times 10^{30} \text{ kg}}{1.436 \times 10^{27} \text{ m}^3} \) \( \rho = 1392.8 \text{ kg m}^{-3} \) આશરે, \( \rho \approx 1.4 \times 10^3 \text{ kg m}^{-3} \). આ ગણતરી કરેલી ઘનતા ઘન અથવા પ્રવાહી પદાર્થોની ઘનતા સાથે તુલનાત્મક છે, અને તે સામાન્ય વાયુ ઘનતા કરતાં નોંધપાત્ર રીતે વધુ છે. આ ઉચ્ચ ઘનતા સૂર્યની અંદરના પ્રચંડ ગુરુત્વાકર્ષણ બળોને કારણે છે, જે આંતરિક સ્તરોને સંકુચિત કરે છે.
In simple words: Despite being extremely hot plasma, the Sun's immense gravity compresses its matter to a density similar to solids or liquids, far denser than typical gases.

🎯 Exam Tip: Remember that extreme conditions like those in stars (high temperature, immense gravity) can lead to matter existing in states with densities far different from everyday observations.

 

Question 24. જ્યારે જ્યુપિટર (ગુરુ) ગ્રહ પૃથ્વીથી \(824.7 \text{ મિલિયન કિલોમીટર}\) દૂર હોય છે ત્યારે તેના કોણીય વ્યાસનું માપ \(35.72''\) (આર્ક સેકન્ડ) છે, તો જ્યુપિટરનો વ્યાસ શોધો.
Answer:ગુરુ અને પૃથ્વી વચ્ચેનું અંતર (\(D\)) \(824.7 \text{ મિલિયન km}\) એટલે કે \(824.7 \times 10^6 \text{ km}\) આપેલું છે. ગુરુનો કોણીય વ્યાસ (\(\alpha\)) \(35.72''\) છે. સૌપ્રથમ, કોણીય વ્યાસને આર્ક સેકન્ડમાંથી રેડિયનમાં રૂપાંતરિત કરો: \( \alpha = 35.72'' \) \( \alpha = \frac{35.72}{3600} \text{ ડિગ્રી} \) \( \alpha = \frac{35.72}{3600} \times \frac{\pi}{180} \text{ રેડિયન} \) હવે, ગુરુનો રેખીય વ્યાસ (\(d\)) શોધવા માટે \(d = D \times \alpha\) સંબંધનો ઉપયોગ કરો: \( d = 824.7 \times 10^6 \text{ km} \times \left( \frac{35.72}{3600} \times \frac{\pi}{180} \right) \text{ રેડિયન} \) \( d = 1.428 \times 10^5 \text{ km} \)
In simple words: Jupiter's actual size can be determined by measuring its apparent angular size from Earth and knowing the distance to the planet.

🎯 Exam Tip: The small-angle approximation (\(d = D\alpha\)) is frequently used in astronomy to convert angular measurements into linear distances or sizes, provided the angle is in radians.

 

Question 25. વરસાદમાં એક વ્યક્તિ \(v\) ઝડપથી ચાલી રહી છે. તેણે તેની છત્રી શિરોલંબ દિશા સાથે આગળ તરફ \(\theta\) કોણે નમાવી રાખેલ છે. એક વિદ્યાર્થી \(\theta\) અને \(v\) વચ્ચેનો સંબંધ \(\tan \theta = u\) મેળવે છે અને તે અપેક્ષા મુજબ \(v \to 0\), \(\theta \to 0\)ની મર્યાદામાં આ સંબંધને ચકાસે છે. (આપણે ધારી લઈએ કે પવન પ્રબળ નથી અને વરસાદ શિરોલંબ પડી રહ્યો છે.) તમે વિચારી શકો કે આ સંબંધ સાચો હોઈ શકે? જો નથી તો આવા કારણનું અનુમાન કરો.
Answer:ચાલો આપણે સૂચવેલા સંબંધ, \( \tan \theta = v \), ની પારિમાણિક સુસંગતતાનું વિશ્લેષણ કરીએ. ત્રિકોણમિતીય વિધેયો, જેમ કે \( \tan \theta \), પરિમાણ રહિત હોય છે. તેથી, \( \tan \theta \) માટેનું પારિમાણિક સૂત્ર \( [M^0 L^0 T^0] \) છે. વેગ (\(v\)) નું પરિમાણ \( [LT^{-1}] \) છે. સમીકરણ \( \tan \theta = v \) ની બંને બાજુના પરિમાણ સમાન ન હોવાથી (\( [M^0 L^0 T^0] \neq [LT^{-1}] \)), આપેલું સમીકરણ પારિમાણિક દૃષ્ટિએ ખોટું છે. સંબંધને પારિમાણિક રીતે સુસંગત બનાવવા માટે, જમણી બાજુ પણ પરિમાણ રહિત હોવી જોઈએ. આ \(v\) ને વેગના પરિમાણવાળી બીજી રાશિ, જેમ કે વરસાદની ઝડપ (\(u\)), વડે ભાગીને પ્રાપ્ત કરી શકાય છે. તે કિસ્સામાં, પારિમાણિક રીતે સાચો સંબંધ \( \tan \theta = \frac{v}{u} \) હશે.
In simple words: The relationship \( \tan \theta = v \) is incorrect because the tangent of an angle is dimensionless, while velocity has dimensions, making the equation dimensionally inconsistent.

🎯 Exam Tip: Always perform dimensional analysis to check the correctness of physical formulas; if dimensions don't match on both sides, the formula is incorrect.

 

Question 26. એવો દાવો કરવામાં આવે છે કે, જો કોઈ પણ જાતની ખલેલ વગર 100 વર્ષ સુધી બે સિઝિયમ ઘડિયાળોને ચલાવવામાં આવે, તો તેમના સમયમાં માત્ર \(0.02 \text{ s}\)નો તફાવત જોવા મળે છે. \(1 \text{ s}\)નો સમય અંતરાલ માપવા માટે પ્રમાણભૂત ઘડિયાળોની ચોકસાઈ શું સૂચવે છે?
Answer:આપેલ કુલ સમયગાળો \(T = 100 \text{ વર્ષ}\) છે, સૌપ્રથમ તેને સેકન્ડમાં રૂપાંતરિત કરો: \( T = 100 \times 365.25 \text{ દિવસ/વર્ષ} \times 24 \text{ કલાક/દિવસ} \times 60 \text{ મિનિટ/કલાક} \times 60 \text{ સેકન્ડ/મિનિટ} \) \( T = 3.15576 \times 10^9 \text{ સેકન્ડ} \) (આશરે \(3.16 \times 10^9 \text{ s}\)) આ સમયગાળા દરમિયાન જોવા મળતો કુલ સમય તફાવત (\( \Delta t \)) \(0.02 \text{ s}\) છે. \(1\)-સેકન્ડના અંતરાલને માપવા માટેની ચોકસાઈ શોધવા માટે, આપણે ભિન્ન ત્રુટિની ગણતરી કરીએ છીએ: ભિન્ન ત્રુટિ \( = \frac{\Delta t}{T} = \frac{0.02 \text{ s}}{3.15576 \times 10^9 \text{ s}} \) ભિન્ન ત્રુટિ \( \approx 0.63 \times 10^{-11} \) આ સૂચવે છે કે પ્રમાણભૂત ઘડિયાળો \(1\)-સેકન્ડના સમય અંતરાલને આશરે \(10^{11}\) માં 1 ભાગની ચોકસાઈ સાથે માપી શકે છે. વૈકલ્પિક રીતે, તેનો અર્થ એ છે કે \(1\) સેકન્ડનો વિચલન માત્ર \(10^{11}\) સેકન્ડ પછી જ થશે.
In simple words: The incredible stability of cesium clocks means they are extremely accurate, with an error of less than one part in a hundred billion for each second measured over a century.

🎯 Exam Tip: Precision and accuracy are critical in scientific measurements. Understanding the fractional error helps quantify the reliability of a measuring instrument over long durations.

 

Question 27. સોડિયમ પરમાણુની સરેરાશ દળ-ધનતાનો અંદાજ કરો. ધારી લો કે તેનું પરિમાણ (ત્રિજ્યા) \(2.5 \text{ Å}\) જેટલું છે. (ઍવોગેડ્રો અંક અને સોડિયમના પરમાણ્વીય દળનાં જાણીતાં મૂલ્યોનો ઉપયોગ કરો.) સોડિયમના સ્ફટિક સ્વરૂપની ધનતા \(970 \text{ kg m}^{-3}\) સાથે તેની સરખામણી કરો. શું બંને ઘનતાનું માન સમાન ક્રમનું છે? જો હા તો શા માટે?
Answer:સોડિયમ પરમાણુની ત્રિજ્યા \(R = 2.5 \text{ Å} = 2.5 \times 10^{-10} \text{ m}\) આપેલ છે. સૌપ્રથમ, એક સોડિયમ પરમાણુનું કદ (\(V\)) ગણો: \( V = \frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{4}{3} \times 3.14 \times (2.5 \times 10^{-10} \text{ m})^3 \) \( V = 6.542 \times 10^{-29} \text{ m}^3 \) હવે, એક સોડિયમ પરમાણુનું દળ (\(m\)) શોધો. સોડિયમનું પરમાણુ દળ \(23 \text{ g/mol}\) (\(23 \times 10^{-3} \text{ kg/mol}\)) છે, અને એવોગેડ્રો અંક \(N_A = 6.023 \times 10^{23} \text{ પરમાણુ/mol}\) છે. \( m = \frac{\text{પરમાણુ દળ}}{\text{એવોગેડ્રો અંક}} = \frac{23 \times 10^{-3} \text{ kg/mol}}{6.023 \times 10^{23} \text{ પરમાણુ/mol}} \) \( m = 3.818 \times 10^{-26} \text{ kg/પરમાણુ} \) હવે, સોડિયમ પરમાણુની સરેરાશ ઘનતા (\(\rho\)) ગણો: \( \rho = \frac{m}{V} = \frac{3.818 \times 10^{-26} \text{ kg}}{6.542 \times 10^{-29} \text{ m}^3} \) \( \rho = 0.5836 \times 10^3 \text{ kg m}^{-3} \) \( \rho \approx 0.58 \times 10^3 \text{ kg m}^{-3} \) સોડિયમની સ્ફટિક ઘન સ્વરૂપમાં ઘનતા \(970 \text{ kg m}^{-3}\) આપેલ છે, જે આશરે \(0.97 \times 10^3 \text{ kg m}^{-3}\) છે. બંને ઘનતાઓની તુલના કરતા: સોડિયમ પરમાણુની ઘનતા \( \approx 0.58 \times 10^3 \text{ kg m}^{-3} \) ઘન સોડિયમની ઘનતા \( \approx 0.97 \times 10^3 \text{ kg m}^{-3} \) બંને ઘનતા સમાન ક્રમની (\(10^3 \text{ kg m}^{-3}\)) છે. આ સમાનતા અપેક્ષિત છે કારણ કે ઘન અવસ્થામાં, પરમાણુઓ એકબીજાની નજીકથી ગોઠવાયેલા હોય છે, એટલે કે આંતર-પરમાણુ અંતર ખૂબ નાનું હોય છે, અને ઘનની કુલ ઘનતા મોટાભાગે વ્યક્તિગત પરમાણુઓની ઘનતા દ્વારા નક્કી થાય છે.
In simple words: A sodium atom's calculated density is similar to that of solid sodium, which is expected because atoms in a solid are packed closely together, making the atomic density a good indicator of the bulk density.

🎯 Exam Tip: The order of magnitude of density calculations can reveal important physical insights, such as the packing efficiency of atoms in solids.

 

Question 28. ન્યુક્લિયર માપક્રમ પર લંબાઈનો અનુકૂળ એકમ ફર્મી છે. \(1 \text{ fm} = 10^{-15} \text{ m}\) છે. ન્યુક્લિયસનું પરિમાણ નીચે આપેલ આનુભાવિક સમીકરણને સામાન્ય રીતે અનુસરે છે. \(r = r_0 A^{\frac{1}{3}}\) જ્યાં, ન્યુક્લિયસની ત્રિજ્યા, A તેનો પરમાણુ-દળાંક અને \(r_0\) અચળાંક છે, જે લગભગ \(1.2 \text{ fm}\) જેટલો છે. દર્શાવો કે આ નિયમ સૂચવે છે કે, વિભિન્ન ન્યુક્લિયસોની દળ-ધનતા લગભગ અચળ હોય છે. સોડિયમના ન્યુક્લિયસ માટે દળ-ધનતાની ગણતરી કરો. સ્વાધ્યાય (27)માં મેળવેલ સોડિયમ પરમાણુની દળ-ધનતા સાથે તેની સરખામણી કરો.
Answer:ધારો કે ન્યુક્લિયોન (પ્રોટોન અથવા ન્યુટ્રૉન)નું સરેરાશ દળ \(m\) છે. જો ન્યુક્લિયસમાં A ન્યુક્લિયોન હોય, તો તેનું કુલ દળ \(M = A \times m\) થશે. ન્યુક્લિયસની ત્રિજ્યા \(r = r_0 A^{\frac{1}{3}}\) દ્વારા આપવામાં આવે છે. ન્યુક્લિયસનું કદ (ગોળાકાર આકાર ધારીને) \(V = \frac{4}{3}\pi r^3\) છે. \(r\) માટેનો અભિવ્યક્તિ કદના સૂત્રમાં બદલતા: \( V = \frac{4}{3}\pi (r_0 A^{\frac{1}{3}})^3 = \frac{4}{3}\pi r_0^3 A \) હવે, ન્યુક્લિયસની દળ-ઘનતા (\(\rho\)) ગણો: \( \rho = \frac{\text{દળ}}{\text{કદ}} = \frac{A \times m}{\frac{4}{3}\pi r_0^3 A} = \frac{3m}{4\pi r_0^3} \) ચूंकि \(m\) (ન્યુક્લિયોનનું દળ) અને \(r_0\) (અચળાંક) બધા ન્યુક્લિયસ માટે આશરે સ્થિર હોય છે, આ સૂત્ર દર્શાવે છે કે ન્યુક્લિયસની દળ-ઘનતા (\(\rho\)) જુદા જુદા ન્યુક્લિયસમાં લગભગ સ્થિર હોય છે. સોડિયમ ન્યુક્લિયસ માટે દળ-ઘનતાની ગણતરી કરવા માટે: \(m \approx 1.67 \times 10^{-27} \text{ kg}\) (ન્યુક્લિયોનનું દળ) અને \(r_0 = 1.2 \times 10^{-15} \text{ m}\) નો ઉપયોગ કરો. \( \rho = \frac{3 \times 1.67 \times 10^{-27} \text{ kg}}{4 \times 3.14 \times (1.2 \times 10^{-15} \text{ m})^3} \) \( \rho \approx 2.30 \times 10^{17} \text{ kg m}^{-3} \) આમ, સોડિયમ ન્યુક્લિયસની દળ-ઘનતા (અથવા કોઈપણ ન્યુક્લિયસની) આશરે \(2.3 \times 10^{17} \text{ kg m}^{-3}\) છે. સ્વાધ્યાય (27) પરથી, સોડિયમ પરમાણુની દળ-ઘનતા આશરે \(0.58 \times 10^3 \text{ kg m}^{-3}\) હતી. ન્યુક્લિયર ઘનતાની પરમાણુ ઘનતા સાથે સરખામણી કરતા: ગુણોત્તર \( = \frac{\text{ન્યુક્લિયર ઘનતા}}{\text{પરમાણુ ઘનતા}} = \frac{2.3 \times 10^{17} \text{ kg m}^{-3}}{0.58 \times 10^3 \text{ kg m}^{-3}} \) ગુણોત્તર \( \approx 3.96 \times 10^{14} \approx 4 \times 10^{14} \) આ દર્શાવે છે કે ન્યુક્લિયર ઘનતા પરમાણુ ઘનતા કરતાં આશરે \(10^{14}\) થી \(10^{15}\) ગણી વધારે છે. આ વિશાળ તફાવત એ હકીકતને પ્રકાશિત કરે છે કે પરમાણુનો મોટાભાગનો કદ ખાલી જગ્યા છે, અને તેનું લગભગ તમામ દળ નાના, ગાઢ ન્યુક્લિયસમાં કેન્દ્રિત છે.
In simple words: The density of all atomic nuclei is remarkably constant and extremely high, vastly exceeding that of individual atoms, showing that nearly all an atom's mass is in its tiny nucleus.

🎯 Exam Tip: The empirical nuclear radius formula \(r = r_0 A^{\frac{1}{3}}\) is key to understanding why nuclear density is approximately constant, as the volume scales linearly with the mass number, cancelling out the mass dependence in the density calculation.

 

Question 29. લેસર (LASER) પ્રકાશનો અત્યંત તીવ્ર, એકદીશ કિરણપુંજની અને સુસંગતતાના આ ગુણોનો ઉપયોગ લાંબાં અંતરોના માપન માટે કરવામાં આવે છે. લેસરનો પ્રકાશીય સ્ત્રોત તરીકે ઉપયોગ કરીને પૃથ્વીથી ચંદ્રનું અંતર ખૂબ જ સચોટતાપૂર્વક મપાઈ ચૂક્યું છે. લેસર પ્રકાશીય પુંજ ચંદ્રની સપાટીથી પરાવર્તન પામી \(2.56 \text{ s}\)માં પાછો આવે છે. પૃથ્વીની ફરતે ચંદ્રની કક્ષા(Lunar Orbit)ની ત્રિજ્યા કેટલી હશે?
Answer:શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ (\(c\)) આશરે \(3 \times 10^8 \text{ m s}^{-1}\) છે. લેસર કિરણને પૃથ્વીથી ચંદ્ર સુધી મુસાફરી કરવા અને પરાવર્તન પછી પાછા આવવા માટે લાગતો કુલ સમય (\(t'\)) \(2.56 \text{ s}\) છે. પ્રકાશ કિરણને પૃથ્વીથી ચંદ્ર સુધી એકતરફી મુસાફરી કરવા માટે લાગતો સમય (\(t\)) કુલ સમયનો અડધો છે: \( t = \frac{t'}{2} = \frac{2.56 \text{ s}}{2} = 1.28 \text{ s} \) પૃથ્વીની ફરતે ચંદ્રની કક્ષાની ત્રિજ્યા (જે પૃથ્વી-ચંદ્ર અંતર, D છે) \(D = c \times t\) સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ગણી શકાય છે: \( D = 3 \times 10^8 \text{ m s}^{-1} \times 1.28 \text{ s} \) \( D = 3.84 \times 10^8 \text{ m} \)
In simple words: Lasers can precisely measure the Earth-Moon distance by timing how long it takes for a light pulse to travel to the Moon and return.

🎯 Exam Tip: For distance measurements using light, remember that the total time recorded for an echo must be halved to find the one-way travel time for calculating distance.

 

Question 30. પાણીની નીચે રહેલી વસ્તુઓને શોધવા માટે તેમજ તેમનાં સ્થાન નક્કી કરવા માટે SONAR (Sound Navigation and Ranging)માં અલ્ટ્રાસૉનિક તરંગોનો ઉપયોગ થાય છે. એક સબમરીન SONARથી સુસજ્જ છે. જેના દ્વારા ઉત્પન્ન થતાં સંશોધક તરંગ (Probe Wave) અને દુશ્મન સબમરીન પરથી પરાવર્તિત તેના પ્રતિધ્વનિની પ્રાપ્તિ વચ્ચેનો સમય વિલંબ \(77.0 \text{ s}\) છે, તો શત્રુની સબમરીન કેટલી દૂર હશે? પાણીમાં ધ્વનિની ઝડપ \(v = 1450 \text{ m s}^{-1}\).
Answer:પાણીમાં ધ્વનિની ઝડપ (\(v\)) \(1450 \text{ m s}^{-1}\) છે. અલ્ટ્રાસૉનિક તરંગ મોકલવા અને દુશ્મન સબમરીન પરથી તેનો પડઘો પાછો મેળવવા વચ્ચેનો કુલ સમય વિલંબ (\(t'\)) \(77.0 \text{ s}\) છે. આ સમય વિલંબ ધ્વનિ તરંગના સબમરીન સુધી જવા અને પાછા આવવાના સમયનો હિસાબ આપે છે. તેથી, સબમરીન સુધી ધ્વનિને પહોંચવા માટેનો એકતરફી સમય (\(t\)) કુલ વિલંબનો અડધો છે: \( t = \frac{t'}{2} = \frac{77.0 \text{ s}}{2} = 38.5 \text{ s} \) દુશ્મન સબમરીનનું અંતર (\(d\)) \(d = v \times t\) સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ગણી શકાય છે: \( d = 1450 \text{ m s}^{-1} \times 38.5 \text{ s} \) \( d = 55825 \text{ m} \) આને કિલોમીટરમાં રૂપાંતરિત કરતા, \( d = 55.825 \text{ km} \), જે \(55.8 \text{ km}\) સુધી ગોળાકાર કરી શકાય છે.
In simple words: SONAR determines an underwater object's distance by sending sound waves and measuring the time it takes for the echo to return, using the speed of sound in water.

🎯 Exam Tip: In echo-location problems (like SONAR or radar), the total time for the signal to travel to the object and back must be divided by two to get the single-trip travel time for distance calculation.

 

Question 31. આપણા વિશ્વમાં આધુનિક ખગોળવિદો દ્વારા શોધાયેલ સૌથી દૂરનો પદાર્થ એટલો દૂર છે કે તેના દ્વારા ઉત્સર્જાયેલ પ્રકાશને પૃથ્વી સુધી પહોંચવા માટે અરબો વર્ષ લાગે છે. આ પદાર્થો(જેને ક્વાસાર ‘Quasar' કહે છે.)નાં કેટલાંય રહસ્યમય લક્ષણો છે, જેને આજ સુધી સંતોષકારક રીતે સમજાવી શકાયાં નથી. આવા એક Quasarમાંથી ઉત્સર્જાતા પ્રકાશને આપણા સુધી પહોંચવા \(3.0 \text{ અબજ વર્ષ (Billion Year)}\) લાગે છે, તો તેનું અંતર kmમાં નક્કી કરો.
Answer:ક્વાસારમાંથી પ્રકાશને પૃથ્વી સુધી પહોંચવા માટે લાગતો સમય (\(t\)) \(3.0 \text{ અબજ વર્ષ}\) છે. આ સમયને સેકન્ડમાં રૂપાંતરિત કરો: \( t = 3.0 \times 10^9 \text{ વર્ષ} \times 365.25 \text{ દિવસ/વર્ષ} \times 24 \text{ કલાક/દિવસ} \times 60 \text{ મિનિટ/કલાક} \times 60 \text{ સેકન્ડ/મિનિટ} \) \( t = 9.467 \times 10^{16} \text{ સેકન્ડ} \) પ્રકાશની ઝડપ (\(c\)) \(3 \times 10^8 \text{ m s}^{-1}\) છે. પૃથ્વીથી ક્વાસારનું અંતર (\(d\)) \(d = c \times t\) સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ગણી શકાય છે: \( d = 3 \times 10^8 \text{ m s}^{-1} \times 9.467 \times 10^{16} \text{ s} \) \( d = 2.8401 \times 10^{25} \text{ m} \) આને કિલોમીટરમાં રૂપાંતરિત કરતા: \( d = 2.8401 \times 10^{22} \text{ km} \) આમ, ક્વાસાર આશરે \(2.84 \times 10^{22} \text{ km}\) દૂર છે.
In simple words: The immense distances to Quasars are calculated by multiplying the speed of light by the billions of years it takes for their light to reach Earth.

🎯 Exam Tip: When dealing with astronomical distances over vast timescales, ensure all time units are converted consistently (e.g., years to seconds) to match the speed of light in m/s.

 

Question 32. એ પ્રખ્યાત તથ્ય છે કે, સંપૂર્ણ સૂર્યગ્રહણ વખતે ચંદ્ર Disk સૂર્યની Diskને પૂરેપૂરી ઢાંકી દે છે. આ તથ્ય અને ઉદાહરણ (8) અને (4)નાં સૂચનોનો ઉપયોગ કરી ચંદ્રનો વ્યાસ શોધો.
Answer:જાણકારી મળે છે : ચંદ્રનો કોણીય વ્યાસ \( \alpha = 1920'' \) \( = 1920 \times 4.85 \times 10^{-6} \text{ rad} \) \( = 9.312 \times 10^{-3} \text{ rad} \) પૃથ્વી અને ચંદ્ર વચ્ચેનું અંતર \( D = 3.84 \times 10^8 \text{ m} \) સૂર્ય અને પૃથ્વી વચ્ચેનું અંતર \( S = 1.496 \times 10^{11} \text{ m} \) સૂર્યગ્રહણ દરમિયાન ચંદ્રની disc એ સૂર્યની discને સંપૂર્ણ રીતે ઢાંકી દે છે. આ સમય દરમિયાન સૂર્યનો અને ચંદ્રનો કોણીય વ્યાસ (\(\alpha\)) સમાન હોય છે.
**રીત 1:** ચંદ્રનો રેખીય વ્યાસ (\(d\)) તેના કોણીય વ્યાસ (\(\alpha\)) અને પૃથ્વીથી તેના અંતર (\(D\)) પરથી નાના-ખૂણાના અંદાજ (\(d = \alpha \times D\)) નો ઉપયોગ કરીને ગણી શકાય છે. આપેલ: ચંદ્રનો કોણીય વ્યાસ \( \alpha = 9.312 \times 10^{-3} \text{ rad} \) પૃથ્વી અને ચંદ્ર વચ્ચેનું અંતર \( D = 3.84 \times 10^8 \text{ m} \) \( d = (9.312 \times 10^{-3} \text{ rad}) \times (3.84 \times 10^8 \text{ m}) \) \( d = 3.5758 \times 10^6 \text{ m} \) આને કિલોમીટરમાં રૂપાંતરિત કરતા: \( d \approx 3576 \text{ km} \).
**રીત 2:**
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र एक सूर्यग्रहण की स्थिति को दर्शाता है। बिंदु A पृथ्वी पर सूर्य को देख रहा है और बिंदु B पृथ्वी पर चंद्रमा को देख रहा है। चंद्रमा (XY) सूर्य (AB) को ढक रहा है, और पृथ्वी पर प्रेक्षक (E) के लिए सूर्य और चंद्रमा के कोणीय व्यास (θ) समान दिखते हैं। D पृथ्वी-चंद्रमा की दूरी है और D+S पृथ्वी-सूर्य की दूरी है। પૂર્ણ સૂર્યગ્રહણ દરમિયાન, ચંદ્ર સૂર્યને સંપૂર્ણપણે ઢાંકી દે છે. આ સ્થિતિ સૂચવે છે કે પૃથ્વી પરથી દેખાતા સૂર્ય અને ચંદ્રના કોણીય કદ સમાન છે. સમાન ત્રિકોણની વિભાવનાનો ઉપયોગ કરીને (જેમ કે આકૃતિમાં દર્શાવેલ છે), આપણે તેમના રેખીય વ્યાસ અને અંતર વચ્ચેનો સંબંધ સ્થાપિત કરી શકીએ છીએ. ધારો કે \(d_{\text{Sun}}\) સૂર્યનો વ્યાસ છે, \(d_{\text{Moon}}\) ચંદ્રનો વ્યાસ છે. ધારો કે \(D_{\text{Earth-Sun}}\) પૃથ્વી-સૂર્ય અંતર છે, અને \(D_{\text{Earth-Moon}}\) પૃથ્વી-ચંદ્ર અંતર છે. ગ્રહણ દરમિયાન સૂર્ય, ચંદ્ર અને પૃથ્વી દ્વારા રચાયેલા સમાન ત્રિકોણમાંથી: \( \frac{d_{\text{Moon}}}{d_{\text{Sun}}} = \frac{D_{\text{Earth-Moon}}}{D_{\text{Earth-Sun}}} \) આનો અર્થ થાય છે: \( d_{\text{Moon}} = d_{\text{Sun}} \times \frac{D_{\text{Earth-Moon}}}{D_{\text{Earth-Sun}}} \) આપેલ: સૂર્યનો વ્યાસ (\(d_{\text{Sun}}\)) આશરે \(1.393 \times 10^9 \text{ m}\) છે. પૃથ્વી-ચંદ્ર અંતર (\(D_{\text{Earth-Moon}}\)) \( = 3.84 \times 10^8 \text{ m} \). પૃથ્વી-સૂર્ય અંતર (\(D_{\text{Earth-Sun}}\)) \( = 1.496 \times 10^{11} \text{ m} \). (નોંધ: સૂર્યનો વ્યાસ સંદર્ભમાંથી છે, પ્રશ્નમાં આપેલ નથી, પરંતુ ગણતરીમાં ઉપયોગમાં લેવાય છે). \( d_{\text{Moon}} = (1.393 \times 10^9 \text{ m}) \times \frac{3.84 \times 10^8 \text{ m}}{1.496 \times 10^{11} \text{ m}} \) \( d_{\text{Moon}} \approx 3.576 \times 10^6 \text{ m} \) આને કિલોમીટરમાં રૂપાંતરિત કરતા: \( d_{\text{Moon}} \approx 3576 \text{ km} \).
In simple words: During a total solar eclipse, the Moon's size can be found because its angular diameter perfectly matches the Sun's, allowing calculations based on their distances and the known Sun's size.

🎯 Exam Tip: The phenomenon of total solar eclipse provides a natural experiment to apply geometrical principles (like similar triangles or small-angle approximation) for calculating astronomical sizes.

 

Question 33. આ શતાબ્દીના મહાન વૈજ્ઞાનિક (પી. એ. એમ. ડિરાક) પ્રકૃતિના મૂળભૂત અચળાંકોનાં મૂલ્યો સાથે રમત રમીને આનંદ મેળવી રહ્યા હતા. ત્યારે તેમાં એમણે એક રોચક અવલોકન કર્યું. પરમાણ્વીય ભૌતિકના મૂળ અચળાંકો (જેમ કે, ઇલેક્ટ્રૉનનું દળ, પ્રોટોનનું દળ) તથા ગુરુત્વીય અચળાંક G પરથી તેમને માલૂમ પડ્યું કે તે એક એવી સંખ્યા સુધી પહોંચી ગયા છે, જેને સમયનું પરિમાણ હતું. સાથે સાથે તે ખૂબ જ મોટી સંખ્યા હતી. જેનું માન વિશ્વના વર્તમાન અંદાજિત આયુષ્ય 15 અબજ વર્ષ (~ 15 B.Y.)ની નજીક હતું. આ પુસ્તકમાં આપેલ મૂળભૂત અચળાંકોને આધારે પ્રયત્ન કરો કે આ સંખ્યા (અથવા આવી જ કોઈ સંખ્યા ~) બનાવી શકો છો? જો વિશ્વનું આયુષ્ય અને આ સંખ્યાની સરખામણી આકસ્મિક હોય તો મૂળભૂત અચળાંકોની અચળતા અંગે તે શું દર્શાવે છે?
Answer:પી.એ.એમ. ડિરાકનું અવલોકન મોટી સંખ્યાની ધારણાનો સંદર્ભ આપે છે, જ્યાં મૂળભૂત અચળાંકોના કેટલાક ગુણોત્તર બ્રહ્માંડની ઉંમર સાથે તુલનાત્મક મૂલ્યો આપે છે. ચાલો આપણે આપેલ મૂળભૂત અચળાંકો-ઇલેક્ટ્રોનનો ચાર્જ (\(e\)), પ્રકાશની ઝડપ (\(c\)), ઇલેક્ટ્રોનનું દળ (\(m_e\)), પ્રોટોનનું દળ (\(m_p\)), ગુરુત્વાકર્ષણ અચળાંક (\(G\)) અને મુક્ત અવકાશની પરમિટિવિટી (\(\varepsilon_0\))નો ઉપયોગ કરીને સમયના પરિમાણ સાથેની એક રાશિ બનાવીએ. નીચે આપેલ અભિવ્યક્તિનો વિચાર કરો: \[ \tau = \frac{(\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0})^2}{m_p m_e^2 c^3 G} \] સૌપ્રથમ, આ અભિવ્યક્તિના પરિમાણોની ચકાસણી કરીએ. આપણે જાણીએ છીએ: - પદ \( \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0} \) ના પરિમાણ \( [ML^3T^{-2}] \) છે (કુલમ્બના નિયમ પરથી, \(F = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q_1q_2}{r^2} \implies \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0} = Fr^2\)). - દળ (\(m_e, m_p\)) નું પરિમાણ \( [M] \) છે. - પ્રકાશની ઝડપ (\(c\)) નું પરિમાણ \( [LT^{-1}] \) છે. - ગુરુત્વાકર્ષણ અચળાંક (\(G\)) નું પરિમાણ \( [M^{-1}L^3T^{-2}] \) છે. હવે, આ પરિમાણોને \(\tau\) માટેની અભિવ્યક્તિમાં બદલતા: \[ [\tau] = \frac{([ML^3T^{-2}])^2}{[M][M]^2[LT^{-1}]^3[M^{-1}L^3T^{-2}]} \] \[ [\tau] = \frac{[M^2L^6T^{-4}]}{[M^3][L^3T^{-3}][M^{-1}L^3T^{-2}]} \] \[ [\tau] = \frac{[M^2L^6T^{-4}]}{[M^{3-1}L^{3+3}T^{-3-2}]} \] \[ [\tau] = \frac{[M^2L^6T^{-4}]}{[M^2L^6T^{-5}]} \] \[ [\tau] = [T] \] આ અભિવ્યક્તિ ખરેખર સમયનું પરિમાણ ધરાવે છે. હવે, અચળાંકોના પ્રમાણભૂત મૂલ્યોનો ઉપયોગ કરીને \(\tau\) નું સંખ્યાત્મક મૂલ્ય ગણીએ: - ઇલેક્ટ્રોનનો ચાર્જ \( e = 1.602 \times 10^{-19} \text{ C} \) - ઇલેક્ટ્રોનનું દળ \( m_e = 9.109 \times 10^{-31} \text{ kg} \) - પ્રોટોનનું દળ \( m_p = 1.672 \times 10^{-27} \text{ kg} \) - પ્રકાશની ઝડપ \( c = 2.998 \times 10^8 \text{ m s}^{-1} \) - ગુરુત્વાકર્ષણ અચળાંક \( G = 6.674 \times 10^{-11} \text{ N m}^2 \text{ kg}^{-2} \) - \( \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} = 8.987 \times 10^9 \text{ N m}^2 \text{ C}^{-2} \) આ મૂલ્યોને \(\tau\) માટેની અભિવ્યક્તિમાં બદલતા: \[ \tau = \frac{((8.987 \times 10^9) \times (1.602 \times 10^{-19})^2)^2}{(1.672 \times 10^{-27}) \times (9.109 \times 10^{-31})^2 \times (2.998 \times 10^8)^3 \times (6.674 \times 10^{-11})} \] \[ \tau \approx 2.13 \times 10^{16} \text{ s} \] આને વર્ષોમાં રૂપાંતરિત કરવા માટે, યાદ રાખો કે \( 1 \text{ વર્ષ} \approx 3.156 \times 10^7 \text{ s} \). \[ \tau = \frac{2.13 \times 10^{16} \text{ s}}{3.156 \times 10^7 \text{ s/વર્ષ}} \] \[ \tau \approx 0.675 \times 10^9 \text{ વર્ષ} \] \[ \tau \approx 0.675 \text{ અબજ વર્ષ} \] \(\tau\) નું ગણતરી કરેલ મૂલ્ય આશરે \(0.675 \text{ અબજ વર્ષ}\) છે. બ્રહ્માંડની વર્તમાન અંદાજિત ઉંમર લગભગ \(15 \text{ અબજ વર્ષ}\) છે. આ તારવેલ સમય અચળાંક બ્રહ્માંડની ઉંમર કરતાં નોંધપાત્ર રીતે નાનો છે, લગભગ 22 ગણો. આ સૂચવે છે કે આ તુલના સીધી રીતે મેળ ખાતી નથી. જો, કલ્પનાત્મક રીતે, આ સંખ્યા બ્રહ્માંડની ઉંમરની ખૂબ નજીક હોત, અને જો આ માત્ર સંયોગ હોત, તો તે મૂળભૂત અચળાંકોના સ્વભાવ વિશે ગહન પ્રશ્નો ઉભા કરત-ખાસ કરીને, શું તેઓ બ્રહ્માંડના ઇતિહાસ દરમિયાન ખરેખર સ્થિર છે કે સમય સાથે બદલાય છે. જોકે, કદમાં નોંધપાત્ર તફાવતને જોતા, અચળાંકોનું આ વિશિષ્ટ સંયોજન બ્રહ્માંડની ઉંમર અંગે ડિરાકની મોટી સંખ્યાની ધારણાને તેના સરળ સ્વરૂપમાં સીધો સમર્થન કરતું નથી.
In simple words: Combining fundamental constants yields a time value of about 0.675 billion years, which is significantly less than the universe's age, suggesting no simple direct link or supporting the idea of constant physical laws.

🎯 Exam Tip: When constructing physical quantities from fundamental constants, always perform dimensional analysis first to ensure the resulting quantity has the expected dimensions. The "large number hypothesis" is an advanced concept exploring potential relationships between cosmological and atomic scales.