GSEB Class 11 Physics Solutions Chapter 15 તરંગો

GSEB Solutions Class 11 Physics Chapter 15 તરંગો

 

Question 1. 2.5 kg દળની એક દોરી 200 Nના તણાવ હેઠળ છે. તણાવવાળી દોરીની લંબાઈ 20.0 m છે. જો દોરીના એક છેડે એક લંબગત આંચકો (Jerk) આપવામાં આવે, તો તે વિક્ષોભને બીજા છેડે પહોંચતાં કેટલો સમય લાગે?

Answer: દોરીનું દળ \(m = 2.5 \text{ kg}\) અને તણાવ \(T = 200 \text{ N}\) આપેલું છે. દોરીની લંબાઈ \(l = 20.0 \text{ m}\) છે. દોરીની રેખીય દળ-ઘનતા \(\mu\) ગણવા માટે, આપણે દળને લંબાઈ વડે ભાગીશું: \[\mu = \frac{m}{l} = \frac{2.5}{20} = 0.125 \text{ kg m}^{-1}\] દોરી પર વિક્ષોભની ઝડપ \((v)\) નીચેના સૂત્ર દ્વારા શોધી શકાય: \[v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}\] આપેલ મૂલ્યો દાખલ કરતા, \[v = \sqrt{\frac{200}{0.125}}\] \[\implies v = \sqrt{1600}\] \[\implies v = 40 \text{ m s}^{-1}\] વિક્ષોભને દોરીના બીજા છેડે પહોંચતા લાગતો સમય \((t)\) અંતરને ઝડપ વડે ભાગીને શોધી શકાય: \[t = \frac{\text{અંતર}}{\text{ઝડપ}} = \frac{20}{40} = 0.5 \text{ s}\] આમ, વિક્ષોભને બીજા છેડે પહોંચવા માટે 0.5 સેકન્ડનો સમય લાગશે.
In simple words: First, calculate the linear mass density of the string. Then, use the tension and linear mass density to find the wave speed. Finally, divide the string's length by the wave speed to get the time taken for the disturbance to travel.

🎯 Exam Tip: Remember the formulas for linear mass density \(\mu = m/L\) and wave speed on a string \(v = \sqrt{T/\mu}\). These are fundamental for solving such problems.

 

Question 2. 300 m ઊંચા ટાવરની ટોચ પરથી પડવા દીધેલો એક પથ્થર ટાવરના પાયા આગળના જળાશયના પાણીમાં ખાબકે છે. આ ખાબકવાનો અવાજ ટોચ પર ક્યારે સંભળાશે? હવામાં ધ્વનિની ઝડપ 340 m s\(^{-1}\) આપેલ છે. (\(g = 9.8 \text{ m s}^{-2}\))

Answer: આપણને આપેલ છે કે ટાવરની ઊંચાઈ \(d = 300 \text{ m}\), પથ્થરનો પ્રારંભિક વેગ \(v_0 = 0\), અને ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ \(g = 9.8 \text{ m s}^{-2}\) છે. હવામાં ધ્વનિની ઝડપ 340 m s\(^{-1}\) છે. ધારો કે પથ્થરને ટાવરની ટોચ પરથી પાણીમાં પડતા લાગતો સમય \(t_1\) છે. પાણીની સપાટીથી ટાવરની ટોચ સુધી ધ્વનિને પહોંચતા લાગતો સમય \(t_2\) છે. કુલ સમય \(t = t_1 + t_2\) પછી ટાવરની ટોચ પર ધ્વનિનો અવાજ સંભળાશે. પથ્થરને પાણીની સપાટી સુધી પહોંચતા લાગતો સમય \(t_1\) શોધવા માટે ગતિના સમીકરણનો ઉપયોગ કરીશું: \[d = v_0t_1 + \frac{1}{2}at_1^2\] અહીં, \(a = g\) છે. \[300 = (0) t_1 + \frac{1}{2}(9.8) t_1^2\] \[\implies 300 = 4.9 t_1^2\] \[\implies t_1^2 = \frac{300}{4.9} = 61.22\] \[\implies t_1 = \sqrt{61.22} \approx 7.82 \text{ s}\] ધ્વનિને પાણીની સપાટીથી ટાવરની ટોચ સુધી પહોંચતા લાગતો સમય \(t_2\) શોધવા માટે, અંતરને ધ્વનિની ઝડપ વડે ભાગીશું: \[t_2 = \frac{\text{અંતર}}{\text{ધ્વનિની ઝડપ}} = \frac{300}{340} \approx 0.88 \text{ s}\] કુલ સમય જ્યારે અવાજ સંભળાશે તે \((t)\) બંને સમયનો સરવાળો છે: \[t = t_1 + t_2 = 7.82 + 0.88 = 8.7 \text{ s}\] આમ, ટાવરની ટોચ પર પથ્થર પડ્યાના 8.7 સેકન્ડ પછી અવાજ સંભળાશે.
In simple words: First, calculate the time it takes for the stone to fall using equations of motion. Second, calculate the time it takes for the sound to travel back up. Add these two times to find the total time until the sound is heard.

🎯 Exam Tip: This problem combines kinematics with wave propagation. Be careful with unit conversions and using the correct equations for each part of the problem. Gravity acts on the stone, while sound travels at a constant speed in the air.

 

Question 3. સ્ટીલના એક તારની લંબાઈ 12.0m અને દળ 2.10 kg છે. તારમાં લંબગત તરંગની ઝડપ સૂકી હવામાં 20°C તાપમાને ધ્વનિની ઝડપ જેટલી એટલે કે 343 ms\(^{-1}\) જેટલી બને તે માટે તારમાં તણાવ કેટલો હોવો જોઈએ?

Answer: આપણને આપેલ છે કે તારમાં લંબગત તરંગની ઝડપ \((v)\) હવામાં ધ્વનિની ઝડપ જેટલી, એટલે કે \(v = 343 \text{ m s}^{-1}\) થવી જોઈએ. તારની લંબાઈ \(l = 12.0 \text{ m}\) અને તારનું દળ \(m = 2.10 \text{ kg}\) છે. સૌ પ્રથમ, તારની રેખીય દળ-ઘનતા \(\mu\) ગણીશું: \[\mu = \frac{m}{l} = \frac{2.10}{12.0} = 0.175 \text{ kg m}^{-1}\] સ્ટીલના તારમાં લંબગત તરંગની ઝડપ \((v)\) માટેનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે: \[v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}\] જ્યાં \(T\) એ તણાવ છે. તણાવ \(T\) શોધવા માટે, સૂત્રને ફરીથી ગોઠવીએ: \[T = v^2 \cdot \mu\] આપેલ મૂલ્યો દાખલ કરતા, \[T = (343)^2 (0.175)\] \[\implies T = (117649) (0.175)\] \[\implies T \approx 20588.575 \text{ N}\] તેથી, તારમાં જરૂરી તણાવ લગભગ \(2.06 \times 10^4 \text{ N}\) હોવો જોઈએ.
In simple words: First, calculate the linear mass density of the steel wire. Then, use the given target wave speed and the calculated linear mass density to determine the required tension in the wire.

🎯 Exam Tip: Understand the relationship between wave speed, tension, and linear mass density for a string. Squaring the wave speed equation is often needed to solve for tension. Ensure correct unit conversions.

 

Question 4. \(υ = \sqrt{\frac{\gamma P}{\rho}}\) નો ઉપયોગ કરી સમજાવો કે, શા માટે હવામાં ધ્વનિની ઝડપ (a) દબાણ પર આધારિત નથી. (b) તાપમાન સાથે વધે છે. (c) આર્દ્રતા (ભેજ – Humidity) સાથે વધે છે.

Answer:ધ્વનિની ઝડપ માટેનું સૂત્ર \(v = \sqrt{\frac{\gamma P}{\rho}}\) છે, જ્યાં \(P\) એ દબાણ, \(\rho\) એ ઘનતા અને \(\gamma\) એ વિશિષ્ટ ઉષ્મા ગુણોત્તર છે. (a) **દબાણની અસર:** હવાની ઘનતા \(\rho\) માટેનું સૂત્ર \(\rho = \frac{m}{V}\) છે, જ્યાં \(m\) એ દળ અને \(V\) એ કદ છે. આ મૂલ્યને ધ્વનિની ઝડપના સૂત્રમાં મૂકતા: \[v = \sqrt{\frac{\gamma P}{\frac{m}{V}}} = \sqrt{\frac{\gamma P V}{m}}\] આદર્શ વાયુ સમીકરણ (એક મોલ વાયુ માટે) અનુસાર, અચળ તાપમાને \(PV = RT\), જ્યાં \(R\) એ વાયુ અચળાંક અને \(T\) એ નિરપેક્ષ તાપમાન છે. આ મૂલ્યને ઉપરના સમીકરણમાં મૂકતા: \[v = \sqrt{\frac{\gamma R T}{m}} \quad \dots (1)\] આ સમીકરણ (1) પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે, \(\gamma\), \(R\), અને \(m\) અચળ હોવાથી, આપેલા તાપમાને ધ્વનિની ઝડપ દબાણ (P) પર આધારિત નથી. દબાણમાં થતા ફેરફાર સાથે ઘનતામાં પણ એવો જ ફેરફાર થાય છે કે જેથી \(P/\rho\) ગુણોત્તર સ્થિર રહે છે. (b) **તાપમાનની અસર:** સમીકરણ (1) પરથી, \(v = \sqrt{\frac{\gamma R T}{m}}\), તે સ્પષ્ટ છે કે ધ્વનિની ઝડપ \(v\) એ નિરપેક્ષ તાપમાન \(T\) ના વર્ગમૂળના સમપ્રમાણમાં છે \((v \propto \sqrt{T})\).
\[v \propto \sqrt{T}\] આમ, જેમ નિરપેક્ષ તાપમાન વધે છે, તેમ હવામાં ધ્વનિની ઝડપ પણ વધે છે. (c) **આર્દ્રતા (ભેજ - Humidity) ની અસર:** આર્દ્રતા એટલે હવામાં પાણીની વરાળની હાજરી. ભેજવાળી હવામાં પાણીની વરાળ હોય છે, જે હવાની ઘનતામાં ફેરફાર કરે છે. પાણીની વરાળ સૂકી હવા કરતાં હલકી હોય છે. જો ભેજવાળી હવાની ઘનતા \(\rho_m\) હોય, તો તેમાં ધ્વનિની ઝડપ \(v_m\) નીચે મુજબ હશે: \[v_m = \sqrt{\frac{\gamma P}{\rho_m}}\] જો સૂકી હવાની ઘનતા \(\rho_d\) હોય, તો તેમાં ધ્વનિની ઝડપ \(v_d\) નીચે મુજબ હશે: \[v_d = \sqrt{\frac{\gamma P}{\rho_d}}\] આ બંને ઝડપનો ગુણોત્તર લઈએ તો: \[\frac{v_m}{v_d} = \sqrt{\frac{\rho_d}{\rho_m}} \quad \dots (2)\] ભેજવાળી હવામાં પાણીની વરાળની હાજરીને કારણે તેની ઘનતા સૂકી હવા કરતાં ઓછી હોય છે, એટલે કે \(\rho_m < \rho_d\). સમીકરણ (2) પરથી, જો \(\rho_m < \rho_d\) હોય, તો \(\sqrt{\frac{\rho_d}{\rho_m}} > 1\).
\[\implies v_m > v_d\] આનો અર્થ એ થાય કે સૂકી હવા કરતાં ભેજવાળી હવામાં ધ્વનિની ઝડપ વધુ હોય છે. આમ, હવામાં આર્દ્રતા (ભેજ) વધતાં ધ્વનિની ઝડપ પણ વધે છે.
In simple words: Sound speed in air is not affected by pressure because changes in pressure are compensated by changes in density, keeping the ratio constant. It increases with temperature because temperature directly affects the motion of air molecules. It also increases with humidity because humid air is less dense than dry air, allowing sound to travel faster.

🎯 Exam Tip: Remember the basic relationships: \(P/\rho\) is constant at a given temperature, \(v \propto \sqrt{T}\), and humid air is less dense than dry air. Clearly explain each factor's influence on sound speed, relating it back to the core formula.

 

Question 5. તમે એવું શીખ્યા છો કે એક પરિમાણમાં પ્રગામી તરંગ \(y = f (x, t)\) દ્વારા રજૂ કરાય છે. જ્યાં, \(x\) અને \(t\) એ \(x \pm ut\) વા સંયોજનરૂપે દેખાય છે. એટલે કે \(y = f (x \pm ut)\) શું આથી ઊલટું સત્ય છે? પુનાં નીચેનાં વિધેયો શક્ય રીતે પ્રગામી તરંગને રજૂ કરે છે કે કેમ તે ચકાસો :
(a) \((x – ut)^2\)
(b) \(\log [(x + ut) /x0]\)
(c) \(1 /(x + ut)\)

Answer: એક પરિમાણમાં પ્રગામી તરંગનું વિધેય સામાન્ય રીતે \(y = f (x \pm ut)\) દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે. જોકે, આ વિધાનનું વિરુદ્ધ સત્ય નથી; એટલે કે, \(x \pm ut\) ધરાવતું દરેક વિધેય પ્રગામી તરંગ દર્શાવે તે જરૂરી નથી. પ્રગામી તરંગ દર્શાવવા માટેની આવશ્યક શરત એ છે કે \(x\) અને \(t\) ના દરેક મૂલ્ય માટે વિધેયનું મૂલ્ય સીમિત (નિશ્ચિત) હોવું જોઈએ. આપેલા વિધેયોની ચકાસણી કરીએ: (a) \((x – ut)^2\): આ વિધેય \(x \to \infty\) અથવા \(t \to \infty\) જાય ત્યારે અનંત બને છે, તેથી તે સીમિત નથી. પરિણામે, તે પ્રગામી તરંગ દર્શાવતું નથી. (b) \(\log [(x + ut) /x_0]\): આ વિધેય \((x + ut) \to 0\) થાય ત્યારે અનંત (ઋણ અનંત) બને છે, તેથી તે સીમિત નથી. પરિણામે, તે પ્રગામી તરંગ દર્શાવતું નથી. (c) \(1 /(x + ut)\): આ વિધેય \((x + ut) \to 0\) થાય ત્યારે અનંત બને છે, તેથી તે સીમિત નથી. પરિણામે, તે પ્રગામી તરંગ દર્શાવતું નથી. ઉપરોક્ત ત્રણેય વિધેયો સીમિતતાની શરતનું પાલન કરતા નથી, તેથી તેમાંથી એક પણ પ્રગામી તરંગ દર્શાવતા નથી.
In simple words: While a progressive wave is often written as a function of \((x \pm ut)\), not all such functions represent progressive waves. The crucial condition is that the function must remain finite for all possible values of position and time. The given functions fail this condition, becoming infinite at certain points, so they are not progressive waves.

🎯 Exam Tip: Understand the mathematical condition for a function to represent a wave: it must be a function of \((x \pm vt)\) AND it must be finite for all values of \(x\) and \(t\). This distinction is important for conceptual questions.

 

Question 6. એક ચામાચીડિયું હવામાં \(1000 \text{ Hz}\) આવૃત્તિનો ધ્વનિ ઉત્પન્ન કરે છે. જો આ ધ્વનિ-તરંગ એક પાણીની સપાટીને મળતું હોય, તો
(a) પરાવર્તિત ધ્વનિની
(b) પારગમિત ધ્વનિની તરંગલંબાઈ કેટલી હશે? ધ્વનિની હવામાં ઝડપ \(340 \text{ m s}^{-1}\) અને પાણીમાં ઝડપ \(1486 \text{ m s}^{-1}\) છે.

Answer: આપણને આપેલ છે કે ધ્વનિની આવૃત્તિ \(\nu = 1000 \text{ kHz} = 10^6 \text{ Hz}\) છે. હવામાં ધ્વનિની ઝડપ \(v_a = 340 \text{ m s}^{-1}\) અને પાણીમાં ધ્વનિની ઝડપ \(v_w = 1486 \text{ m s}^{-1}\) છે. (a) **પરાવર્તિત ધ્વનિની તરંગલંબાઈ:** જ્યારે ધ્વનિ પાણીની સપાટી પરથી પરાવર્તિત થાય છે, ત્યારે માધ્યમ બદલાતું નથી (હવામાંથી હવા). તેથી, પરાવર્તિત ધ્વનિ હવામાં પ્રસરશે અને તેની ઝડપ હવામાં ધ્વનિની ઝડપ જેટલી જ રહેશે. હવામાં તરંગલંબાઈ \(\lambda_a\) શોધવા માટેનું સૂત્ર: \[\lambda_a = \frac{v_a}{\nu} = \frac{340}{10^6} = 3.4 \times 10^{-4} \text{ m}\] આમ, પરાવર્તિત ધ્વનિની તરંગલંબાઈ \(3.4 \times 10^{-4} \text{ m}\) હશે. (b) **પારગમિત ધ્વનિની તરંગલંબાઈ:** જ્યારે ધ્વનિ પાણીમાં પ્રવેશે છે (પારગમન), ત્યારે આવૃત્તિ \(\nu\) બદલાતી નથી, પરંતુ તેની ઝડપ \(v_w\) પાણીમાં બદલાય છે. પાણીમાં તરંગલંબાઈ \(\lambda_w\) શોધવા માટેનું સૂત્ર: \[\lambda_w = \frac{v_w}{\nu} = \frac{1486}{10^6} = 1486 \times 10^{-6} \text{ m}\] \[\implies \lambda_w = 1.49 \times 10^{-3} \text{ m}\] આમ, પારગમિત ધ્વનિની તરંગલંબાઈ \(1.49 \times 10^{-3} \text{ m}\) હશે.
In simple words: For reflected sound, the medium remains air, so use the speed of sound in air and the given frequency to find its wavelength. For transmitted sound, the medium changes to water, so use the speed of sound in water and the *same* frequency to find its wavelength in water. Frequency does not change when a wave enters a new medium.

🎯 Exam Tip: Remember that the frequency of a wave remains constant when it passes from one medium to another, but its speed and wavelength change. Use \(v = \lambda\nu\) to calculate wavelength in each medium.

 

Question 7. એક હૉસ્પિટલમાં પેશીમાંની ગાંઠ(ગ્રંથિ)નું સ્થાન નક્કી કરવા અલ્ટ્રાસૉનિક સ્કેનર વપરાય છે. જે ગાંઠમાં ધ્વનિની ઝડપ \(1.7 \text{ km s}^{-1}\) હોય તેમાં ધ્વનિની તરંગલંબાઈ કેટલી હશે? સ્કેનરની કાર્યવાહક (Operating) આવૃત્તિ \(4.2 \text{ MHz}\) છે.

Answer: આપણને આપેલ છે કે ગાંઠમાં ધ્વનિની ઝડપ \(v = 1.7 \text{ km s}^{-1}\) છે, જેને મીટર પ્રતિ સેકન્ડમાં રૂપાંતરિત કરતા \(v = 1.7 \times 10^3 \text{ m s}^{-1}\) થાય છે. સ્કેનરની કાર્યવાહક આવૃત્તિ \(\nu = 4.2 \text{ MHz}\) છે, જેને હર્ટ્ઝમાં રૂપાંતરિત કરતા \(\nu = 4.2 \times 10^6 \text{ Hz}\) થાય છે. ધ્વનિની તરંગલંબાઈ \(\lambda\) શોધવા માટેનું સૂત્ર: \[\lambda = \frac{v}{\nu}\] આપેલ મૂલ્યો દાખલ કરતા, \[\lambda = \frac{1.7 \times 10^3}{4.2 \times 10^6}\] \[\implies \lambda = \frac{1.7}{4.2 \times 10^3} = \frac{1.7}{4200}\] \[\implies \lambda \approx 0.00040476 \text{ m}\] આમ, ધ્વનિની તરંગલંબાઈ લગભગ \(4.1 \times 10^{-4} \text{ m}\) હશે.
In simple words: Convert the given speed and frequency to standard units (meters per second and Hertz). Then, divide the speed of sound in the tissue by the operating frequency to find the wavelength.

🎯 Exam Tip: Always pay attention to unit conversions (km/s to m/s, MHz to Hz). The basic wave equation \(v = \lambda\nu\) is crucial for these types of problems.

 

Question 8. એક દોરી પર લંબગત હાર્મોનિક તરંગ \(y (x, t) = 3.0 \sin (36t + 0.018x + \frac{\pi}{4})\) વડે રજૂ કરાય છે. જ્યાં, \(x\) અને \(y\) cmમાં અને \(t\) sમાં છે. \(X\)ની ધન દિશા ડાબેથી જમણી તરફ છે.
(a) આ પ્રગામી તરંગ છે કે સ્થિત-તરંગ છે? જો તે પ્રગામી હોય, તો ઝડપ કેટલી અને પ્રસરણની દિશા કઈ છે?
(b) તેના કંપવિસ્તાર અને આવૃત્તિ કેટલા છે?
(c) ઉદ્ગમ પાસે મૂળ (પ્રારંભિક) કળા કેટલી છે?
(d) તરંગમાં બે ક્રમિક શૃંગ વચ્ચેનું લઘુતમ અંતર કેટલું છે?

Answer: આપેલ તરંગનું સમીકરણ છે: \[y (x, t) = 3.0 \sin (36 t + 0.018 x + \frac{\pi}{4})\text{ cm}\] આ સમીકરણને સામાન્ય પ્રગામી તરંગ સમીકરણ \(y (x, t) = A \sin (\omega t + kx + \phi_0)\) સાથે સરખાવીશું, જે ઋણ X-દિશામાં ગતિ કરતા તરંગનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે. સરખામણી કરતા, આપણને મળે છે: \[A = 3.0 \text{ cm}\] \[\omega = 36 \text{ rad s}^{-1}\] \[k = 0.018 \text{ cm}^{-1}\] \[\phi_0 = \frac{\pi}{4} \text{ rad}\] (a) **પ્રગામી તરંગ છે કે સ્થિત-તરંગ? ઝડપ અને પ્રસરણની દિશા:** આપેલ સમીકરણ \(y (x, t) = A \sin (\omega t + kx + \phi_0)\) સ્વરૂપમાં હોવાથી, તે પ્રગામી તરંગ દર્શાવે છે. \((kx + \omega t)\) માં બંને પદોનો ગુણાકાર હકારાત્મક હોવાથી, તરંગ ઋણ X-દિશામાં (જમણીથી ડાબી તરફ) પ્રસરણ કરે છે. તરંગની ઝડપ \(v\) નીચે મુજબ શોધી શકાય: \[v = \frac{\omega}{k} = \frac{36}{0.018} = 2000 \text{ cm s}^{-1}\] \[\implies v = 20 \text{ m s}^{-1}\] આમ, આ પ્રગામી તરંગ છે, તેની ઝડપ \(20 \text{ m s}^{-1}\) છે અને તે ઋણ X-દિશામાં પ્રસરણ પામે છે. (b) **કંપવિસ્તાર અને આવૃત્તિ:** ઉપરોક્ત સરખામણી મુજબ, કંપવિસ્તાર \(A = 3.0 \text{ cm}\) છે. આવૃત્તિ \(\nu\) ને કોણીય આવૃત્તિ \(\omega\) પરથી શોધી શકાય: \[\omega = 2\pi\nu\] \[\implies \nu = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{36}{2 \times 3.14} = \frac{36}{6.28} \approx 5.73 \text{ Hz}\] આમ, કંપવિસ્તાર \(3.0 \text{ cm}\) અને આવૃત્તિ \(5.73 \text{ Hz}\) છે. (c) **ઉદ્ગમ પાસે મૂળ (પ્રારંભિક) કળા:** ઉપરોક્ત સરખામણી મુજબ, ઉદ્ગમ પાસે મૂળ (પ્રારંભિક) કળા \(\phi_0 = \frac{\pi}{4} \text{ rad}\) છે. (d) **બે ક્રમિક શૃંગ વચ્ચેનું લઘુતમ અંતર:** બે ક્રમિક શૃંગ વચ્ચેનું લઘુતમ અંતર એ તરંગલંબાઈ \(\lambda\) બરાબર હોય છે. તરંગલંબાઈને તરંગ-સંખ્યા \(k\) પરથી શોધી શકાય: \[k = \frac{2\pi}{\lambda}\] \[\implies \lambda = \frac{2\pi}{k} = \frac{2 \times 3.14}{0.018} = \frac{6.28}{0.018} \approx 348.8 \text{ cm}\] \[\implies \lambda \approx 3.48 \text{ m}\] આમ, તરંગમાં બે ક્રમિક શૃંગ વચ્ચેનું લઘુતમ અંતર \(3.48 \text{ m}\) છે.
In simple words: By comparing the given wave equation with the standard form, we can identify it as a progressive wave moving in the negative X-direction. Its speed, amplitude, frequency, and initial phase are extracted directly from the equation's coefficients. The wavelength, which is the distance between two successive crests, is found using the wave number.

🎯 Exam Tip: Be proficient in recognizing the standard forms of wave equations and extracting parameters like amplitude, angular frequency, wave number, and initial phase. Remember that the sign before \(kx\) indicates the direction of propagation (positive for -X, negative for +X). Also, unit consistency is vital (cm, s, rad).

 

Question 9. પ્રશ્ન (8)માં રજૂ કરેલ તરંગ માટે \(x = 0, 2\) અને \(4 \text{ cm}\) માટે સ્થાનાંતર \((y)\) વિરુદ્ધ \((t)\)ના આલેખ દોરો. આ આલેખોના આકાર કેવા છે? પ્રગામી તરંગમાં દોલન ગતિ એક બિંદુથી બીજા બિંદુએ કઈ બાબતોમાં જુદી પડે છેઃ કંપવિસ્તાર, આવૃત્તિ કે કળા?

Answer: પ્રશ્ન (8) માં આપેલ પ્રગામી હાર્મોનિક તરંગનું સમીકરણ છે: \[y (x, t) = 3.0 \sin (36 t + 0.018x + \frac{\pi}{4})\text{ cm} \quad \dots (1)\] આ સમીકરણ પરથી, તરંગનો કંપવિસ્તાર \(A = 3.0 \text{ cm}\), કોણીય તરંગ-સંખ્યા \(k = 0.018 \text{ cm}^{-1}\), અને કોણીય આવૃત્તિ \(\omega = 36 \text{ rad s}^{-1}\) છે. તરંગનો આવર્તકાળ \(T\) નીચે મુજબ છે: \[T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{36} = \frac{\pi}{18} \text{ s}\] (i) \(x = 0\) માટે સ્થાનાંતર \((y)\) ના સમીકરણમાં \(x=0\) મૂકતા: \[y(0, t) = 3.0 \sin (36 t + 0.018 (0) + \frac{\pi}{4})\text{ cm}\] \[y(0, t) = 3 \sin (36 t + \frac{\pi}{4})\text{ cm} \quad \dots (2)\] (ii) \(x = 2 \text{ cm}\) માટે સ્થાનાંતર \((y)\) ના સમીકરણમાં \(x=2\) મૂકતા: \[y (2, t) = 3.0 \sin (36 t + 0.018 (2) + \frac{\pi}{4})\text{ cm}\] \[y (2, t) = 3 \sin (36 t + 0.036 + \frac{3.14}{4})\text{ cm}\] \[y (2, t) = 3 \sin (36 t + 0.821)\text{ cm} \quad \dots (3)\] (iii) \(x = 4 \text{ cm}\) માટે સ્થાનાંતર \((y)\) ના સમીકરણમાં \(x=4\) મૂકતા: \[y (4, t) = 3.0 \sin (36 t + 0.018 (4) + \frac{\pi}{4})\text{ cm}\] \[y (4, t) = 3.0 \sin (36 t + 0.857)\text{ cm} \quad \dots (4)\] સમીકરણો (2), (3), અને (4) માં \(t\) ના જુદા જુદા મૂલ્યો મૂકી સ્થાનાંતર \(y\) નું મૂલ્ય ગણી શકાય છે. નીચે આપેલ કોષ્ટકમાં \(x = 0\) માટે સ્થાનાંતરનાં મૂલ્યો આપેલ છે:

t (s)	0	T/8	2T/8	3T/8	4T/8	5T/8	6T/8	7T/8	8T = T
y (cm)	3/\(\sqrt{2}\)	3	3/\(\sqrt{2}\)	0	-3/\(\sqrt{2}\)	-3	-3/\(\sqrt{2}\)	0	3/\(\sqrt{2}\)

ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): આકૃતિ એક સાઈન વેવનો ગ્રાફ દર્શાવે છે, જે સમય (t) સાથે સ્થાનાંતર (y) કેવી રીતે બદલાય છે તે બતાવે છે. y-અક્ષ સ્થાનાંતર (cm માં) દર્શાવે છે અને t-અક્ષ સમય (s માં) દર્શાવે છે, જેમાં તરંગનો આવર્તકાળ T અને તેના ભાગો દર્શાવેલ છે. આ જ રીતે \(x = 2 \text{ cm}\) અને \(x = 4 \text{ cm}\) માટે \(y – t\) ના આલેખ દોરી શકાય છે. આ આલેખોના આકાર બધા જ સાઈન આકારના હશે. પ્રગામી તરંગમાં દોલન કરતી વખતે, કંપવિસ્તાર અને આવૃત્તિ બધા બિંદુઓ માટે સમાન રહે છે. જોકે, પ્રગામી તરંગમાં એક બિંદુથી બીજા બિંદુએ કળા જુદી પડે છે. સમીકરણ (2), (3) અને (4) માં જુદા જુદા પદો (\(\frac{\pi}{4}, 0.821, 0.857\)) તેની પ્રારંભિક કળામાં તફાવત દર્શાવે છે.
In simple words: The graphs for different positions will all be sine waves. For a progressive wave, all points oscillate with the same amplitude and frequency, but their phases differ depending on their position along the wave.

🎯 Exam Tip: When graphing wave motion, understand how position affects the phase of oscillation. Amplitude and frequency remain constant for a given progressive wave, but the phase shifts with position, leading to different starting points on the sine curve for different \(x\) values.

 

Question 10. પ્રગામી હાર્મોનિક તરંગ માટે \(y (x, t) = 2.0 \cos 2\pi (10t – 0.0080x + 0.35)\) છે. જ્યાં, \(x\) અને \(y\) cmમાં અને \(t\) sમાં છે. જે બે બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર (a) \(4 \text{ m}\) (b) \(0.5 \text{ m}\) (c) \(\frac{\lambda}{2}\) (d) \(\frac{3\lambda}{4}\) હોય, તેમને માટે દોલન ગતિનો કળા-તફાવત શોધો.

Answer: આપેલ તરંગનું સમીકરણ છે: \[y (x, t) = 2.0 \cos 2\pi (10t – 0.0080x + 0.35)\text{ cm}\] સમીકરણને વિસ્તૃત કરતા: \[y (x, t) = 2 \cos (2\pi \times 10 \times t - (2\pi \times 0.0080) x + 2\pi \times 0.35)\] આ સમીકરણને સામાન્ય પ્રગામી તરંગ સમીકરણ \(y = A \cos (\omega t – kx + \Phi_0)\) સાથે સરખાવતા, આપણે તરંગ-સંખ્યા \(k\) મેળવી શકીએ છીએ: \[k = 2\pi \times 0.0080\] આપણે જાણીએ છીએ કે તરંગ-સંખ્યા \(k = \frac{2\pi}{\lambda}\) હોય છે. તેથી, કળા-તફાવત \(\Delta\Phi\) અને પથ-તફાવત \(\Delta x\) વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે: \[\Delta\Phi = \frac{2\pi}{\lambda} \cdot \Delta x\] જ્યાં \(\frac{2\pi}{\lambda} = k\) હોવાથી, \(\Delta\Phi = k \cdot \Delta x\) (a) \(\Delta x = 4 \text{ m} = 400 \text{ cm}\) માટે કળા-તફાવત: \[\Delta\Phi = (2\pi \times 0.0080) \times 400\] \[\implies \Delta\Phi = 6.4 \pi \text{ rad}\] (b) \(\Delta x = 0.5 \text{ m} = 50 \text{ cm}\) માટે કળા-તફાવત: \[\Delta\Phi = (2\pi \times 0.0080) \times 50\] \[\implies \Delta\Phi = 0.8 \pi \text{ rad}\] (c) \(\Delta x = \frac{\lambda}{2}\) માટે કળા-તફાવત: \[\Delta\Phi = \frac{2\pi}{\lambda} \cdot \Delta x = \frac{2\pi}{\lambda} \times \frac{\lambda}{2}\] \[\implies \Delta\Phi = \pi \text{ rad}\] (d) \(\Delta x = \frac{3\lambda}{4}\) માટે કળા-તફાવત: \[\Delta\Phi = \frac{2\pi}{\lambda} \cdot \Delta x = \frac{2\pi}{\lambda} \times \frac{3\lambda}{4}\] \[\implies \Delta\Phi = \frac{3\pi}{2} \text{ rad}\]
In simple words: First, extract the wave number (\(k\)) from the given wave equation. Then, use the relationship \(\Delta\Phi = k \cdot \Delta x\) to calculate the phase difference for each specified path difference. Remember that for \(\Delta x\) expressed in terms of \(\lambda\), use \(\Delta\Phi = (2\pi/\lambda) \cdot \Delta x\).

🎯 Exam Tip: The key formula for phase difference is \(\Delta\Phi = k \cdot \Delta x = (2\pi/\lambda) \cdot \Delta x\). Ensure consistent units for \(k\) and \(\Delta x\) (both in cm\(^{-1}\) and cm, or m\(^{-1}\) and m) to get the phase difference in radians. Be careful with unit conversions for path difference if given in meters.

 

Question 11. એક દોરી(બંને છેડે જકડેલી)નું લંબગત સ્થાનાંતર \(y (x, t) = 0.06 \sin(\frac{2\pi}{3} x) \cos (120 \pi t)\) પરથી મળે છે. જ્યાં, \(x\) અને \(y\) mમાં અને \(t\) sમાં છે. દોરીની લંબાઈ \(1.5\text{m}\) અને દળ \(3.0 \times 10^{-2}\text{kg}\) છે. નીચેના પ્રશ્નોના ઉત્તર આપો :
(a) આ વિધેય પ્રગામી તરંગ કે સ્થિત-તરંગ રજૂ કરે છે?
(b) આ તરંગનું વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરતાં બે તરંગોના સંપાતપણા તરીકે અર્થઘટન કરો. દરેક તરંગની તરંગલંબાઈ, આવૃત્તિ અને ઝડપ કેટલા હશે?
(c) દોરીમાંનો તણાવ શોધો.

Answer: આપેલ દોરી પરના તરંગનું સમીકરણ છે: \[y (x, t) = 0.06 \sin(\frac{2\pi}{3} x) \cos (120 \pi t) \quad \dots (1)\] (a) **પ્રગામી તરંગ કે સ્થિત-તરંગ?** આપેલ સમીકરણ \((1)\) એ \(y = f(x)g(t)\) સ્વરૂપનું છે, જે સ્થિત-તરંગ (Standing Wave) નું લાક્ષણિક સમીકરણ છે. તેની તુલના સામાન્ય સ્થિત-તરંગ સમીકરણ \(y = 2A \sin(kx) \cos(\omega t)\) સાથે કરતા, તે સ્પષ્ટ થાય છે કે આ વિધેય સ્થિત-તરંગ રજૂ કરે છે. (b) **વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરતાં બે તરંગોનું સંપાતપણું, તરંગલંબાઈ, આવૃત્તિ અને ઝડપ:** એક સ્થિત-તરંગ એ સમાન કંપવિસ્તાર અને આવૃત્તિવાળા, પરંતુ વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરતા બે પ્રગામી તરંગોના સંપાતપણા (superposition) દ્વારા ઉત્પન્ન થાય છે. આ બે તરંગો નીચે મુજબ દર્શાવી શકાય: \[y_1 = A \sin(kx - \omega t)\] \[y_2 = A \sin(kx + \omega t)\] આપેલ સમીકરણ (1) માંથી, આપણે મેળવી શકીએ છીએ: \[2A = 0.06 \implies A = 0.03 \text{ m}\] \[k = \frac{2\pi}{3} \text{ m}^{-1}\] \[\omega = 120 \pi \text{ rad s}^{-1}\] તેથી, ઘટક તરંગોના સમીકરણો છે: \[y_1 = 0.03 \sin(\frac{2\pi}{3}x - 120 \pi t)\] \[y_2 = 0.03 \sin(\frac{2\pi}{3}x + 120 \pi t)\] **તરંગલંબાઈ \(\lambda\):** તરંગ-સંખ્યા \(k = \frac{2\pi}{\lambda}\) હોવાથી: \[\frac{2\pi}{3} = \frac{2\pi}{\lambda}\] \[\implies \lambda = 3 \text{ m}\] **આવૃત્તિ \(\nu\):** કોણીય આવૃત્તિ \(\omega = 2\pi\nu\) હોવાથી: \[120 \pi = 2\pi\nu\] \[\implies \nu = \frac{120 \pi}{2\pi} = 60 \text{ Hz}\] **ઝડપ \(v\):** તરંગની ઝડપ \(v = \frac{\omega}{k}\) અથવા \(v = \lambda\nu\) દ્વારા શોધી શકાય: \[v = \frac{120 \pi}{\frac{2\pi}{3}} = 120 \pi \times \frac{3}{2\pi} = 180 \text{ m s}^{-1}\] આમ, દરેક ઘટક તરંગની તરંગલંબાઈ 3 m, આવૃત્તિ 60 Hz, અને ઝડપ 180 m s\(^{-1}\) હશે. (c) **દોરીમાંનો તણાવ શોધો:** આપણને આપેલ છે કે દોરીનું દળ \(m = 3.0 \times 10^{-2} \text{ kg}\) અને લંબાઈ \(l = 1.5 \text{ m}\) છે. દોરીની રેખીય દળ-ઘનતા \(\mu\) નીચે મુજબ શોધી શકાય: \[\mu = \frac{m}{l} = \frac{3.0 \times 10^{-2}}{1.5} = 2 \times 10^{-2} \text{ kg m}^{-1}\] દોરીમાં તરંગની ઝડપ \(v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}\) ના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને, તણાવ \(T\) શોધી શકાય: \[T = v^2 \mu\] અહીં \(v = 180 \text{ m s}^{-1}\) છે. \[T = (180)^2 (2 \times 10^{-2})\] \[T = 32400 \times 0.02\] \[\implies T = 648 \text{ N}\] આમ, દોરીમાંનો તણાવ \(648 \text{ N}\) છે.
In simple words: (a) The given equation is a standing wave because it's a product of functions of \(x\) and \(t\). (b) A standing wave results from two progressive waves of equal amplitude and frequency traveling in opposite directions. From the given equation, extract the amplitude, wave number, and angular frequency, then calculate the wavelength, frequency, and speed of these component waves. (c) Finally, calculate the linear mass density of the string and use the wave speed to find the tension.

🎯 Exam Tip: Distinguish between progressive and standing waves based on their mathematical forms. For standing waves, remember the relationship between the standing wave's parameters and those of its constituent progressive waves. Also, ensure you can apply the formula \(T = v^2\mu\) accurately.

 

Question 12.
(i) પ્રશ્ન (11)માં જણાવેલ દોરી પરના તરંગ માટે દોરી પરનાં બધાં બિંદુઓ એકસમાન (a) આવૃત્તિ (b) કળા (c) કંપવિસ્તારથી દોલનો કરે છે? તમારા ઉત્તરો સમજાવો.
(ii) એક છેડેથી \(0.375 \text{ m}\) દૂર આવેલા બિંદુએ કંપવિસ્તાર કેટલો હશે?

Answer: આપેલ દોરી પરના સ્થિત-તરંગનું સમીકરણ છે: \[y = 0.06 \sin(\frac{2\pi}{3} x) \cos (120 \pi t)\] (i) **દોરી પરનાં બિંદુઓની દોલન લાક્ષણિકતાઓ:** (a) **આવૃત્તિ:** સમીકરણમાં આવૃત્તિ નક્કી કરતું પદ \(\cos(120 \pi t)\) છે. આ પદ \(x\) (સ્થાન) પર આધારિત નથી. તેથી, દોરી પરનાં નિસ્યંદબિંદુઓ (nodes) સિવાયના બધા જ બિંદુઓ સમાન આવૃત્તિથી દોલનો કરશે. નિસ્યંદબિંદુઓ પર સ્થાનાંતર હંમેશા શૂન્ય હોય છે, તેથી ત્યાં કોઈ દોલન થતું નથી. (b) **કળા:** સમીકરણમાં કળા નક્કી કરતું પદ \(\cos(120 \pi t)\) છે. આ પદ પણ \(x\) (સ્થાન) પર આધારિત નથી. આમ, દોરી પરનાં નિસ્યંદબિંદુઓ સિવાયના બધા જ બિંદુઓ સમાન કળામાં દોલનો કરશે. આનો અર્થ એ થાય કે નિસ્યંદબિંદુઓ વચ્ચેના બધા કણો એકસાથે મહત્તમ સ્થાનાંતર મેળવશે અને એકસાથે શૂન્ય સ્થાનાંતર મેળવશે, પરંતુ અલગ દિશામાં. (c) **કંપવિસ્તાર:** આપેલ સ્થિત-તરંગનો કંપવિસ્તાર \(\text{A}(x) = 0.06 \sin(\frac{2\pi}{3} x)\) છે. આ કંપવિસ્તાર \(x\) (સ્થાન) પર આધારિત છે. તેથી, દોરી પરના દોલન કરતાં બધા જ બિંદુઓનો કંપવિસ્તાર સમાન રહેશે નહિ. નિસ્યંદબિંદુઓ પર કંપવિસ્તાર શૂન્ય હશે, અને પ્રસ્પંદબિંદુઓ (antinodes) પર મહત્તમ હશે. (ii) **એક છેડેથી \(0.375 \text{ m}\) દૂર આવેલા બિંદુએ કંપવિસ્તાર:** આપણે \(x = 0.375 \text{ m}\) પર કંપવિસ્તાર \(\text{A}(x)\) શોધીશું: \[\text{A}(x) = 0.06 \sin(\frac{2\pi}{3} x)\] \[\text{A}(0.375) = 0.06 \sin(\frac{2\pi}{3} \times 0.375)\] \[\text{A}(0.375) = 0.06 \sin(2\pi \times 0.125)\] \[\text{A}(0.375) = 0.06 \sin(0.25\pi)\] \[\text{A}(0.375) = 0.06 \sin(\frac{\pi}{4})\] આપણે જાણીએ છીએ કે \(\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}} \approx 0.707\). \[\text{A}(0.375) = 0.06 \times 0.707\] \[\implies \text{A}(0.375) \approx 0.042 \text{ m}\] આમ, એક છેડેથી \(0.375 \text{ m}\) દૂર આવેલા બિંદુએ કંપવિસ્તાર \(0.042 \text{ m}\) હશે.
In simple words: For a standing wave, all points (except nodes) oscillate with the same frequency and phase. However, their amplitudes vary with position, being zero at nodes and maximum at antinodes. To find the amplitude at a specific point, substitute the position into the amplitude function derived from the wave equation.

🎯 Exam Tip: Clearly differentiate between the characteristics of progressive and standing waves. For standing waves, frequency and phase (within a segment) are constant, but amplitude depends on position \((A(x))\). Remember that a node has zero amplitude, and an antinode has maximum amplitude.

 

Question 13. એક સ્થિતિસ્થાપક તરંગનું સ્થાનાંતર (લંબગત કે સંગત) દર્શાવવા માટે \(x\) અને \(t\) માં કેટલાંક વિધેયો નીચે આપેલાં છે. આમાંથી કયું વિધેય (i) પ્રગામી તરંગ (ii) સ્થિત-તરંગ (iii) એકેય તરંગ નહિ, રજૂ કરે છે?
(a) \(y = 2 \cos (3x) \sin (10t)\)
(b) \(y = 2\sqrt{x-v t}\)
(c) \(y = 3 \sin (5x – 0.5t) + 4 \cos (5x – 0.5t)\)
(d) \(y = \cos x \sin t + \cos 2x \sin 2t\)

Answer: તરંગોના પ્રકાર નક્કી કરવા માટે, આપણે દરેક આપેલ વિધેયની લાક્ષણિકતાઓની તપાસ કરીશું: (a) **\(y = 2 \cos (3x) \sin (10t)\):** આ વિધેય \(f(x) \cdot g(t)\) સ્વરૂપનું છે, એટલે કે તે \(x\) અને \(t\) ના સ્વતંત્ર વિધેયોનો ગુણાકાર છે. આ સ્વરૂપ સ્થિત-તરંગ (standing wave) નું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે. **તેથી, (a) સ્થિત-તરંગ રજૂ કરે છે.** (b) **\(y = 2\sqrt{x-v t}\):** આ વિધેય \(y = f(x - vt)\) સ્વરૂપનું છે, જે પ્રગામી તરંગની લાક્ષણિકતા દર્શાવે છે. જોકે, પ્રગામી તરંગ માટે, વિધેય દરેક \(x\) અને \(t\) ના મૂલ્યો માટે સીમિત હોવું જોઈએ. અહીં, જો \((x - vt)\) ઋણ થાય, તો વર્ગમૂળ અવાસ્તવિક (કાલ્પનિક) બની જાય છે, અને જો \((x - vt)\) શૂન્ય બને, તો વિધેયનું વિકલન અનંત બને છે. **તેથી, (b) એકેય તરંગ રજૂ કરતું નથી.** (c) **\(y = 3 \sin (5x – 0.5t) + 4 \cos (5x – 0.5t)\):** આ વિધેય બે પ્રગામી તરંગોના સંપાતપણા (superposition) તરીકે જોઈ શકાય છે, જે બંને \( (5x - 0.5t) \) સ્વરૂપના છે. એટલે કે, તે \(y = A_1 \sin(kx - \omega t) + A_2 \cos(kx - \omega t)\) સ્વરૂપનું છે. આ બે તરંગો સમાન દિશામાં પ્રસરતા હોવાથી, તેમનો સરવાળો પણ પ્રગામી તરંગ રજૂ કરે છે. **તેથી, (c) પ્રગામી તરંગ રજૂ કરે છે.** (d) **\(y = \cos x \sin t + \cos 2x \sin 2t\):** આ વિધેય બે પદોનો સરવાળો છે, અને દરેક પદ \(f(x) \cdot g(t)\) સ્વરૂપનું છે (\(\cos x \sin t\) અને \(\cos 2x \sin 2t\)). દરેક પદ પોતે એક સ્થિત-તરંગ દર્શાવે છે. બે સ્થિત-તરંગોનો સરવાળો પણ એક સ્થિત-તરંગ જ રજૂ કરશે. **તેથી, (d) સ્થિત-તરંગ રજૂ કરે છે.**
In simple words: A standing wave is identified by a function that separates into a product of a function of position only and a function of time only. A progressive wave is a function of \((x \pm vt)\) and must always be finite. If a function fits neither or becomes undefined, it's not a wave.

🎯 Exam Tip: To identify wave types from equations, look for functions of \((x \pm vt)\) (progressive) or products like \(f(x)g(t)\) (standing). Also, check for physical validity: the function must be finite and well-defined for all valid \(x\) and \(t\).

 

Question 14. બે દૃઢ આધાર વચ્ચે તણાવવાળી એક દોરી \(45 \text{ Hz}\) આવૃત્તિ સાથે તેના મૂળભૂત મોડમાં દોલનો કરે છે. દોરીનું દળ \(3.5 \times 10^{-2} \text{ kg}\) અને તેની રેખીય દળ-ધનતા \(4.0 \times 10^{-2} \text{ kg m}^{-1}\) છે. (1) દોરી પર લંબગત તરંગની ઝડપ કેટલી હશે? (ii) દોરીમાં તણાવ કેટલો હશે?

Answer: આપણને આપેલ છે કે દોરીનું દળ \(m = 3.5 \times 10^{-2} \text{ kg}\), રેખીય દળ-ઘનતા \(\mu = 4.0 \times 10^{-2} \text{ kg m}^{-1}\), અને આવૃત્તિ \(\nu = 45 \text{ Hz}\) છે. સૌ પ્રથમ, દોરીની લંબાઈ \(L\) શોધીશું: આપણે જાણીએ છીએ કે રેખીય દળ-ઘનતા \(\mu = \frac{m}{L}\) હોય છે. \[L = \frac{m}{\mu} = \frac{3.5 \times 10^{-2}}{4.0 \times 10^{-2}} = \frac{3.5}{4.0} = 0.875 \text{ m}\] આમ, દોરીની લંબાઈ \(0.875 \text{ m}\) છે. (i) **દોરી પર લંબગત તરંગની ઝડપ:** જ્યારે દોરી તેના મૂળભૂત મોડ (fundamental mode) માં દોલન કરે છે, ત્યારે તરંગલંબાઈ \(\lambda = 2L\) હોય છે. \[\lambda = 2 \times 0.875 = 1.75 \text{ m}\] દોરી પર તરંગની ઝડપ \(v\) શોધવા માટેનું સૂત્ર: \[v = \lambda\nu\] આપેલ મૂલ્યો દાખલ કરતા, \[v = (1.75) (45)\] \[\implies v = 78.75 \text{ m s}^{-1}\] આમ, દોરી પર લંબગત તરંગની ઝડપ \(78.75 \text{ m s}^{-1}\) હશે. (ii) **દોરીમાં તણાવ:** દોરીમાં તરંગની ઝડપ \((v)\) અને રેખીય દળ-ઘનતા \(\mu\) નો ઉપયોગ કરીને તણાવ \(T\) શોધી શકાય: \[v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}\] સૂત્રને તણાવ માટે ગોઠવતા: \[T = v^2 \mu\] આપેલ મૂલ્યો દાખલ કરતા, \[T = (78.75)^2 (4.0 \times 10^{-2})\] \[T = (6201.5625) (0.04)\] \[\implies T = 248.0625 \text{ N}\] આમ, દોરીમાંનો તણાવ લગભગ \(248.1 \text{ N}\) છે.
In simple words: First, calculate the length of the string using its mass and linear mass density. Then, for the fundamental mode, determine the wavelength (twice the string's length) and use it with the given frequency to find the wave speed. Finally, calculate the tension using the wave speed and linear mass density.

🎯 Exam Tip: Remember the relationship \(L = \lambda/2\) for the fundamental mode of a string fixed at both ends. Always derive the tension from the wave speed and linear mass density formula \(T = v^2\mu\). Ensure all units are consistent (SI units preferred).

 

Question 15. એક મીટર લાંબી એક છેડે ખુલ્લી અને બીજે છેડે ખસી શકે તેવો પિસ્ટન ધરાવતી એક નળી અચળ આવૃત્તિના ઉદ્ગમ (\(340 \text{ Hz}\) આવૃત્તિનો સ્વરકાંટો) સાથે નળીની લંબાઈ \(25.5 \text{ cm}\) અને \(79.3 \text{ cm}\) હોય ત્યારે અનુનાદ દર્શાવે છે. પ્રયોગના તાપમાને હવામાંથી ધ્વનિની ઝડપનો અંદાજ મેળવો. છેડા પરની અસરો અવગણ્ય છે.

Answer: આપણને આપેલ છે કે સ્વરકાંટાની આવૃત્તિ \(\nu = 340 \text{ Hz}\) છે. પ્રથમ અનુનાદી લંબાઈ \(L_1 = 25.5 \text{ cm} = 0.255 \text{ m}\) છે. બીજી અનુનાદી લંબાઈ \(L_2 = 79.3 \text{ cm} = 0.793 \text{ m}\) છે. જે નળી એક છેડે ખુલ્લી અને બીજે છેડે પિસ્ટનથી બંધ હોય તે બંધનળી (closed organ pipe) તરીકે વર્તે છે. બંધનળી માટે અનુનાદ આવૃત્તિઓ નીચે મુજબ હોય છે: \[\nu = (n + \frac{1}{2})\frac{v}{2L} = (2n + 1)\frac{v}{4L}\] જ્યાં \(n = 0, 1, 2, \dots\) અને \(v\) એ હવામાં ધ્વનિની ઝડપ છે. ધારો કે \(L_1\) એ \(n\)મા મોડ માટે અનુનાદ ઉત્પન્ન કરે છે: \[\nu = (2n + 1)\frac{v}{4L_1} \quad \dots (1)\] અને \(L_2\) એ \((n+1)\)મા મોડ માટે અનુનાદ ઉત્પન્ન કરે છે: \[\nu = (2(n+1) + 1)\frac{v}{4L_2} = (2n + 3)\frac{v}{4L_2} \quad \dots (2)\] આવૃત્તિ \(\nu\) બંને કિસ્સામાં સમાન (340 Hz) હોવાથી, સમીકરણો (1) અને (2) ને સરખાવતા: \[(2n + 1)\frac{v}{4L_1} = (2n + 3)\frac{v}{4L_2}\] \[\frac{2n + 3}{2n + 1} = \frac{L_2}{L_1}\] આપેલ લંબાઈના મૂલ્યો દાખલ કરતા: \[\frac{2n + 3}{2n + 1} = \frac{0.793}{0.255} \approx 3.1098\] સરળતા માટે, આપણે લગભગ 3 લઈએ: \[\frac{2n + 3}{2n + 1} \approx 3\] \[\implies 2n + 3 = 3(2n + 1)\] \[\implies 2n + 3 = 6n + 3\] \[\implies 4n = 0\] \[\implies n = 0\] આનો અર્થ એ થાય કે પ્રથમ અનુનાદ \(L_1 = 25.5 \text{ cm}\) એ મૂળભૂત મોડ (\(n=0\)) માટે થયો હતો, અને બીજો અનુનાદ \(L_2 = 79.3 \text{ cm}\) એ પ્રથમ ઓવરટોન (\(n=1\)) અથવા ત્રીજા હાર્મોનિક માટે થયો હતો. \(n = 0\) નું મૂલ્ય સમીકરણ (1) માં મૂકતા: \[\nu = (2(0) + 1)\frac{v}{4L_1}\] \[340 = (1)\frac{v}{4 \times 0.255}\] \[v = 340 \times 4 \times 0.255\] \[\implies v = 346.8 \text{ m s}^{-1}\] આમ, પ્રયોગના તાપમાને હવામાં ધ્વનિની ઝડપનો અંદાજ \(346.8 \text{ m s}^{-1}\) છે.
In simple words: This setup is a closed organ pipe. Use the resonant frequencies formula for closed pipes and the two given lengths to find the mode numbers. Equate the frequency expressions for both resonances, solve for 'n', then substitute 'n' back into the frequency formula to calculate the speed of sound.

🎯 Exam Tip: For resonance in closed pipes, remember the formula for fundamental frequency and overtones: \(\nu = (2n+1)v/(4L)\). Solving for 'n' by comparing two resonance lengths is a common technique to then find the wave speed. Always convert lengths to meters for consistency.

 

Question 16. \(100 \text{ cm}\) લંબાઈનો સ્ટીલનો એક સળિયો તેના મધ્યમાંથી જકડેલો (Clamped) છે. સળિયાનાં સંગત દોલનોની મૂળભૂત આવૃત્તિ \(2.53 \text{ kHz}\) આપેલ છે. સ્ટીલમાં ધ્વનિની ઝડપ કેટલી હશે?

Answer: આપણને આપેલ છે કે સળિયાની લંબાઈ \(L = 100 \text{ cm} = 1 \text{ m}\) અને મૂળભૂત આવૃત્તિ \(\nu = 2.53 \text{ kHz} = 2.53 \times 10^3 \text{ Hz}\) છે. જ્યારે સળિયાને તેના મધ્યમાંથી જકડેલો હોય છે, ત્યારે મધ્યમાં એક નિસ્યંદબિંદુ (Node - N) ઉદ્ભવે છે અને સળિયાના બંને છેડે પ્રસ્પંદબિંદુઓ (Antinodes - A) ઉદ્ભવે છે, કારણ કે છેડા મુક્ત હોય છે.
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): આકૃતિ એક સળિયાના પ્રથમ હાર્મોનિક મોડ (મૂળભૂત આવૃત્તિ) માં થતા દોલનો દર્શાવે છે. સળિયાના મધ્યબિંદુ પર એક નિસ્યંદબિંદુ (N) છે, જ્યાં સ્થાનાંતર શૂન્ય છે, અને બંને છેડે પ્રસ્પંદબિંદુઓ (A) છે, જ્યાં સ્થાનાંતર મહત્તમ છે. આ સ્થિતિમાં, સળિયાની લંબાઈ \((L)\) અડધી તરંગલંબાઈ \((L = \frac{\lambda}{2})\) જેટલી હોય છે. આકૃતિ પરથી સ્પષ્ટ છે કે મૂળભૂત મોડમાં સળિયાની લંબાઈ તરંગલંબાઈ \(\lambda\) ના અડધા જેટલી હોય છે: \[L = \frac{\lambda}{2}\] \[\implies \lambda = 2L\] આપેલ લંબાઈનું મૂલ્ય દાખલ કરતા: \[\lambda = 2 \times 1 \text{ m} = 2 \text{ m}\] સ્ટીલમાં ધ્વનિની ઝડપ \(v\) શોધવા માટેનું સૂત્ર: \[v = \lambda\nu\] આપેલ મૂલ્યો દાખલ કરતા: \[v = (2 \text{ m}) (2.53 \times 10^3 \text{ Hz})\] \[\implies v = 5.06 \times 10^3 \text{ m s}^{-1}\] આમ, સ્ટીલમાં ધ્વનિની ઝડપ \(5.06 \times 10^3 \text{ m s}^{-1}\) હશે.
In simple words: When a rod is clamped at its center, the center becomes a node and the ends are antinodes. For the fundamental mode, the rod's length is half a wavelength. Calculate the wavelength from the length, then use the wavelength and given frequency to find the speed of sound in the steel rod.

🎯 Exam Tip: For a rod clamped at the center, the fundamental wavelength is twice the rod's length (\(\lambda = 2L\)). For a rod clamped at one end, the fundamental wavelength is four times the rod's length (\(\lambda = 4L\)). This distinction is vital.

 

Question 17. \(20 \text{ cm}\) લાંબી નળી એક છેડે બંધ છે. \(430 \text{ Hz}\)ના ઉદ્ગમ વડે નળીનો કયો હાર્મોનિક મોડ અનુનાદમાં ઉત્તેજિત થાય છે? જો બંને છેડા ખુલ્લા હોય, તો તે જ ઉદ્ગમ નળી સાથે અનુનાદમાં હશે? (હવામાં ધ્વનિની ઝડપ \(340 \text{ m s}^{-1}\) છે.)

Answer: આપણને આપેલ છે કે નળીની લંબાઈ \(L = 20 \text{ cm} = 0.2 \text{ m}\) છે. ઉદ્ગમની આવૃત્તિ \(\nu = 430 \text{ Hz}\) અને હવામાં ધ્વનિની ઝડપ \(v = 340 \text{ m s}^{-1}\) છે. **બંધનળી માટે:** નળી એક છેડે બંધ હોવાથી તે બંધનળી છે. બંધનળી માટે સામાન્ય મોડ્સ (natural frequencies) નીચે મુજબ હોય છે: \[\nu_n = (n + \frac{1}{2})\frac{v}{2L} = (2n + 1)\frac{v}{4L}\] જ્યાં \(n = 0, 1, 2, \dots\) છે. આપેલ મૂલ્યો દાખલ કરીને \(n\) શોધીશું: \[430 = (2n + 1)\frac{340}{4 \times 0.2}\] \[430 = (2n + 1)\frac{340}{0.8}\] \[430 = (2n + 1)425\] \[2n + 1 = \frac{430}{425} \approx 1.0117\] \[2n = 1.0117 - 1 = 0.0117\] \[n = \frac{0.0117}{2} \approx 0.0058\] આ મૂલ્ય \(n\) ને નજીકના પૂર્ણાંક \(n = 0\) તરીકે લઈ શકાય. આમ, બંધનળીનો \(n = 0\) મોડ, જે મૂળભૂત આવૃત્તિ (પ્રથમ હાર્મોનિક) છે, તે અનુનાદમાં ઉત્તેજિત થાય છે. **બંને છેડે ખુલ્લી નળી માટે:** જો નળી બંને છેડે ખુલ્લી હોય, તો તેની \(n\)મી અનુનાદ આવૃત્તિ \(\nu_n\) નીચે મુજબ હોય છે: \[\nu_n = \frac{nv}{2L}\] જ્યાં \(n = 1, 2, 3, \dots\) (પૂર્ણાંક સંખ્યા) છે. આપેલ મૂલ્યો દાખલ કરીને \(n\) શોધીશું: \[430 = \frac{n \times 340}{2 \times 0.2}\] \[430 = \frac{n \times 340}{0.4}\] \[430 = n \times 850\] \[n = \frac{430}{850} = \frac{43}{85} \approx 0.5058\] અહીં, \(n\) પૂર્ણાંક સંખ્યા નથી. આનો અર્થ એ થાય કે \(430 \text{ Hz}\) નો ઉદ્ગમ ખુલ્લી નળીમાં અનુનાદ ઉત્પન્ન કરી શકશે નહીં.
In simple words: For the closed pipe, calculate which harmonic mode corresponds to the given frequency using the closed pipe resonance formula. For the open pipe, use its resonance formula to see if an integer harmonic mode matches the frequency. If 'n' is not an integer for the open pipe, it won't resonate.

🎯 Exam Tip: Clearly differentiate between the resonance conditions for closed organ pipes \(( \nu_n = (2n+1)v/4L )\) and open organ pipes \(( \nu_n = nv/2L )\). Remember that 'n' must be an integer for open pipes and a non-negative integer for closed pipes' overtones (with 0 for fundamental).

 

Question 18. સિતારના બે તાર A અને B સ્વર ‘ગા’ ઉત્પન્ન કરવામાં થોડી સુમેળ ક્ષતિ(Out of Tune)ને લીધે \(6\text{Hz}\) આવૃત્તિનાં સ્પંદ ઉત્પન્ન કરે છે. A તારમાં તણાવ સહેજ ઘટાડતાં સ્પંદની આવૃત્તિ \(3\text{Hz}\) થાય છે. જો Aની મૂળ આવૃત્તિ \(324 \text{ Hz}\) હોય, તો Bની આવૃત્તિ કેટલી હશે?

Answer: આપણને આપેલ છે કે તાર Aની આવૃત્તિ \(\nu_A = 324 \text{ Hz}\) છે. પ્રારંભિક સ્પંદ આવૃત્તિ \(\Delta\nu_1 = 6 \text{ Hz}\) છે. સ્પંદ આવૃત્તિ માટેનું સૂત્ર \(\Delta\nu = |\nu_A - \nu_B|\) છે. \[|\nu_A - \nu_B| = 6 \text{ Hz}\] \[|324 - \nu_B| = 6\] આનો અર્થ એ થાય કે \(\nu_B\) કાં તો \(324 - 6 = 318 \text{ Hz}\) અથવા \(324 + 6 = 330 \text{ Hz}\) હોઈ શકે. હવે, જો તાર A માં તણાવ સહેજ ઘટાડવામાં આવે, તો તાર A ની આવૃત્તિ \(\nu_A\) ઘટશે, કારણ કે આવૃત્તિ તણાવના વર્ગમૂળના સમપ્રમાણમાં હોય છે \(( \nu \propto \sqrt{T} )\). સ્પંદની આવૃત્તિ હવે \(3 \text{ Hz}\) થાય છે (\(\Delta\nu_2 = 3 \text{ Hz}\)). આપણે બંને શક્યતાઓ ચકાસીએ: **કેસ 1: જો \(\nu_B = 330 \text{ Hz}\)** જો \(\nu_A\) ઘટે (દા.ત., \(323 \text{ Hz}\) થઈ જાય), તો નવી સ્પંદ આવૃત્તિ \(= |323 - 330| = 7 \text{ Hz}\). આ સ્પંદ આવૃત્તિ \(6 \text{ Hz}\) થી વધીને \(7 \text{ Hz}\) થઈ. પરંતુ આપણને આપેલ છે કે સ્પંદ આવૃત્તિ \(3 \text{ Hz}\) થાય છે. તેથી, \(\nu_B = 330 \text{ Hz}\) શક્ય નથી. **કેસ 2: જો \(\nu_B = 318 \text{ Hz}\)** જો \(\nu_A\) ઘટે (દા.ત., \(321 \text{ Hz}\) થઈ જાય), તો નવી સ્પંદ આવૃત્તિ \(= |321 - 318| = 3 \text{ Hz}\). આ સ્પંદ આવૃત્તિ \(6 \text{ Hz}\) થી ઘટીને \(3 \text{ Hz}\) થઈ. આ પરિણામ આપેલ શરત સાથે સુસંગત છે. તેથી, તાર Bની આવૃત્તિ \(\nu_B = 318 \text{ Hz}\) હોવી જોઈએ.
In simple words: First, calculate the two possible frequencies for string B using the initial beat frequency and string A's frequency. Then, consider that reducing tension in string A lowers its frequency. Test both possibilities for string B to see which one results in the beat frequency decreasing, as stated in the problem.

🎯 Exam Tip: In beat frequency problems, always consider two possibilities for the unknown frequency. The key to determining the correct one lies in how the beat frequency changes when one of the component frequencies is slightly altered (e.g., by changing tension). Remember \(\nu \propto \sqrt{T}\).

 

Question 19. સમજાવો શા માટે (અથવા કેવી રીતે) :
(a) ધ્વનિ-તરંગમાં સ્થાનાંતરનું નિસ્યંદબિંદુ એ દબાણનું પ્રસ્પંદબિંદુ છે.
(b) ચામાચીડિયા કોઈ ‘આંખ’ વિના અંતરાયોનાં અંતરો, દિશાઓ, પ્રકાર અને પરિમાણો જાણી શકે છે.
(c) વાયોલિનના સૂર અને સિતારના સૂરની એકસમાન આવૃત્તિ હોઈ શકે છે, તેમ છતાં આપણે તે બે સૂર વચ્ચેનો ભેદ પારખી શકીએ છીએ.

Answer:(a) **ધ્વનિ-તરંગમાં સ્થાનાંતરનું નિસ્યંદબિંદુ એ દબાણનું પ્રસ્પંદબિંદુ છે:** ધ્વનિ-તરંગો હવાના કણોના સંઘનન અને વિરલન (compression and rarefaction) દ્વારા પ્રસરણ પામે છે. * **સ્થાનાંતર નિસ્યંદબિંદુ (Displacement Node):** આ એવા બિંદુઓ છે જ્યાં હવાના કણોનું સ્થાનાંતર શૂન્ય હોય છે. એટલે કે, કણો પોતાની સંતુલન સ્થિતિમાંથી ખસતા નથી. * આવા બિંદુઓ પર, કણોની આસપાસની હવાના કણો મહત્તમ રીતે એકબીજાની નજીક (સંઘનન) અથવા એકબીજાથી દૂર (વિરલન) હોય છે. આના પરિણામે, તે બિંદુઓ પર દબાણમાં થતો ફેરફાર (વધારો અથવા ઘટાડો) મહત્તમ હોય છે. * **દબાણ પ્રસ્પંદબિંદુ (Pressure Antinode):** આ એવા બિંદુઓ છે જ્યાં દબાણમાં થતો ફેરફાર મહત્તમ હોય છે. આમ, ધ્વનિ-તરંગમાં જ્યાં સ્થાનાંતરનું નિસ્યંદબિંદુ હોય છે, ત્યાં દબાણનું પ્રસ્પંદબિંદુ હોય છે. તેવી જ રીતે, જ્યાં સ્થાનાંતરનું પ્રસ્પંદબિંદુ હોય છે, ત્યાં દબાણનું નિસ્યંદબિંદુ હોય છે. (b) **ચામાચીડિયા કોઈ ‘આંખ’ વિના અંતરાયોનાં અંતરો, દિશાઓ, પ્રકાર અને પરિમાણો જાણી શકે છે:** ચામાચીડિયા ઇકોલોકેશન (echolocation) નામની પ્રક્રિયાનો ઉપયોગ કરીને તેમના આસપાસના વાતાવરણને ઓળખે છે. તેઓ ખૂબ ઊંચી આવૃત્તિવાળા (અલ્ટ્રાસોનિક, \(>20 \text{ kHz}\)) ધ્વનિ-તરંગો ઉત્પન્ન કરે છે. * **અંતર:** આ તરંગો વસ્તુઓ સાથે અથડાઈને પાછા ફરે છે (પરાવર્તિત થાય છે). ચામાચીડિયું ધ્વનિ ઉત્પન્ન કરવા અને તેનો પડઘો સાંભળવા વચ્ચેના સમયગાળાનું માપન કરીને વસ્તુનું અંતર નક્કી કરી શકે છે. * **દિશા:** ચામાચીડિયા તેમના બે કાન વચ્ચે પડઘાના આગમનના સમયમાં થતા સૂક્ષ્મ તફાવતને પારખીને વસ્તુની દિશા નક્કી કરી શકે છે. * **પ્રકાર અને પરિમાણ:** પરાવર્તિત તરંગોની તીવ્રતા, આવૃત્તિમાં થતો ફેરફાર (ડોપ્લર અસર), અને તરંગની અન્ય લાક્ષણિકતાઓનો અભ્યાસ કરીને, ચામાચીડિયા વસ્તુનો પ્રકાર (દા.ત., જંતુ, દીવાલ) અને તેના પરિમાણ (આકાર અને કદ) વિશે માહિતી મેળવી શકે છે. (c) **વાયોલિનના સૂર અને સિતારના સૂરની એકસમાન આવૃત્તિ હોઈ શકે છે, તેમ છતાં આપણે તે બે સૂર વચ્ચેનો ભેદ પારખી શકીએ છીએ:** આપણે સંગીત વાદ્યોના સૂરને તેમની ગુણવત્તા (timbre) અથવા ટિમ્બર દ્વારા અલગ પાડી શકીએ છીએ. જ્યારે કોઈ વાદ્ય સૂર ઉત્પન્ન કરે છે, ત્યારે તે માત્ર મૂળભૂત આવૃત્તિ (fundamental frequency) જ નહીં, પરંતુ તેના ઘણા ઓવરટોન (overtones) અથવા હાર્મોનિક્સ (harmonics) પણ ઉત્પન્ન કરે છે, જે મૂળભૂત આવૃત્તિના પૂર્ણ ગુણાંક હોય છે. * દરેક વાદ્ય ઓવરટોનનું એક અનન્ય સંયોજન અને તેમની સાપેક્ષ તીવ્રતા ઉત્પન્ન કરે છે. આ ઓવરટોન્સના મિશ્રણ અને તેમની સંબંધિત તીવ્રતાના આધારે સૂરની ગુણવત્તા નક્કી થાય છે. * વાયોલિન અને સિતાર બંને એક જ મૂળભૂત આવૃત્તિનો સૂર ઉત્પન્ન કરી શકે છે, પરંતુ તેઓ દ્વારા ઉત્પન્ન થતા ઓવરટોન્સની સંખ્યા અને તીવ્રતા અલગ અલગ હોય છે. આ તફાવત જ આપણને બે સૂર વચ્ચેનો ભેદ પારખવામાં મદદ કરે છે, ભલે તેમની મૂળભૂત આવૃત્તિ સમાન હોય.
In simple words: (a) In a sound wave, zero particle displacement (displacement node) means maximum pressure variation (pressure antinode), and vice-versa. (b) Bats use high-frequency sound (echolocation) to map their surroundings by analyzing the time delay, direction, and characteristics of reflected echoes. (c) We distinguish sounds from different instruments with the same fundamental frequency by their 'timbre,' which is determined by the unique mix and intensity of overtones or harmonics they produce.

🎯 Exam Tip: (a) Understand the inverse relationship between displacement and pressure nodes/antinodes in a sound wave. (b) For bats, highlight the use of ultrasonics, time delay for distance, and binaural hearing for direction. (c) For musical instruments, emphasize the role of overtones/harmonics in creating unique timbre, allowing differentiation even with identical fundamental frequencies.

 

Question 20. રેલવે સ્ટેશનના પ્લૅટફૉર્મની બહારના સિગ્નલ આગળ સ્થિર ઊભેલી એક ટ્રેન સ્થિર હવામાં \(400 \text{ Hz}\) આવૃત્તિની સિસોટી (Whistle) વગાડે છે. પ્લૅટફૉર્મ પરના નિરીક્ષકને સિસોટીની આવૃત્તિ કેટલી જણાશે; જ્યારે
(a) ટ્રેન પ્લૅટફૉર્મ તરફ \(10 \text{ m s}^{-1}\)ની ઝડપથી આવતી હોય
(b) ટ્રેન પ્લૅટફૉર્મથી દૂર \(10 \text{ m s}^{-1}\)ની ઝડપથી જતી હોય? (\(340 \text{ m s}^{-1}\) લો.)

Answer: આપણને આપેલ છે: ઉદ્ગમ (ટ્રેન) ની મૂળ આવૃત્તિ \(\nu_0 = 400 \text{ Hz}\) હવામાં ધ્વનિની ઝડપ \(v = 340 \text{ m s}^{-1}\) નિરીક્ષક પ્લૅટફૉર્મ પર સ્થિર છે, તેથી નિરીક્ષકનો વેગ \(v_O = 0\). ડોપ્લર અસરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીશું: \[\nu = \nu_0 \left(\frac{v \pm v_O}{v \mp v_S}\right)\] જ્યાં \(\nu\) એ સંભળાતી આવૃત્તિ, \(v_O\) એ નિરીક્ષકનો વેગ, \(v_S\) એ ઉદ્ગમનો વેગ છે. ઉદ્ગમ (ટ્રેન) નિરીક્ષક તરફ ગતિ કરે ત્યારે \(v_S\) ઋણ લેવાય અને નિરીક્ષકથી દૂર ગતિ કરે ત્યારે \(v_S\) ધન લેવાય. (a) **ટ્રેન પ્લૅટફૉર્મ તરફ \(10 \text{ m s}^{-1}\)ની ઝડપથી આવતી હોય:** આ કિસ્સામાં, ઉદ્ગમ (ટ્રેન) નિરીક્ષક તરફ ગતિ કરે છે, તેથી \(v_S = -10 \text{ m s}^{-1}\) (ડોપ્લર અસરના સંકેત પ્રણાલી મુજબ). \[\nu = 400 \left(\frac{340 + 0}{340 - (-10)}\right)\] \[\nu = 400 \left(\frac{340}{340 + 10}\right)\] \[\nu = 400 \left(\frac{340}{330}\right)\] \[\implies \nu \approx 412.12 \text{ Hz}\] આમ, ટ્રેન પ્લૅટફૉર્મ તરફ આવતી હોય ત્યારે નિરીક્ષકને \(412.12 \text{ Hz}\) આવૃત્તિ સંભળાશે. (b) **ટ્રેન પ્લૅટફૉર્મથી દૂર \(10 \text{ m s}^{-1}\)ની ઝડપથી જતી હોય:** આ કિસ્સામાં, ઉદ્ગમ (ટ્રેન) નિરીક્ષકથી દૂર ગતિ કરે છે, તેથી \(v_S = +10 \text{ m s}^{-1}\) (ડોપ્લર અસરના સંકેત પ્રણાલી મુજબ). \[\nu = 400 \left(\frac{340 + 0}{340 + 10}\right)\] \[\nu = 400 \left(\frac{340}{350}\right)\] \[\implies \nu \approx 388.57 \text{ Hz}\] આમ, ટ્રેન પ્લૅટફૉર્મથી દૂર જતી હોય ત્યારે નિરીક્ષકને \(388.57 \text{ Hz}\) આવૃત્તિ સંભળાશે. દરેક કિસ્સામાં ધ્વનિની ઝડપ \(340 \text{ m s}^{-1}\) જ રહેશે.
In simple words: Use the Doppler effect formula for apparent frequency. When the train moves towards the stationary observer, the frequency heard will be higher. When it moves away, the frequency heard will be lower. Be careful with the signs for the source's velocity in the formula.

🎯 Exam Tip: Master the Doppler effect formula \(\nu = \nu_0 \left(\frac{v \pm v_O}{v \mp v_S}\right)\). Remember the sign conventions: \(v_O\) is positive if the observer moves towards the source, negative if away. \(v_S\) is positive if the source moves away from the observer, negative if towards. A stationary observer or source means their velocity is zero in the formula.

 

Question 21. એક સ્ટેશન-યાર્ડમાં ઊભેલી ટ્રેન હવામાં \(400 \text{ Hz}\) આવૃત્તિની સિસોટી વગાડે છે. યાર્ડથી સ્ટેશન તરફ પવન \(10 \text{ m s}^{-1}\)ની ઝડપથી ફૂંકાવાનું શરૂ થાય છે. સ્ટેશનના પ્લૅટફૉર્મ પર ઊભેલા નિરીક્ષકને સંભળાતા ધ્વનિની આવૃત્તિ, તરંગલંબાઈ અને વેગ કેટલા હશે? શું આ પરિસ્થિતિ હવા સ્થિર હોય અને નિરીક્ષક \(10 \text{ m s}^{-1}\)ની ઝડપથી યાર્ડ તરફ દોડતો હોય તે કિસ્સાના જેવી જ છે? (સ્થિર હવામાં ધ્વનિની ઝડપ \(340 \text{ m s}^{-1}\) લો.)

Answer: આપણને આપેલ છે: ઉદ્ગમની મૂળ આવૃત્તિ \(\nu_0 = 400 \text{ Hz}\) સ્થિર હવામાં ધ્વનિની ઝડપ \(v_{\text{air}} = 340 \text{ m s}^{-1}\) પવનની ઝડપ \(v_{\text{wind}} = 10 \text{ m s}^{-1}\) (યાર્ડથી સ્ટેશન તરફ, એટલે કે ઉદ્ગમથી નિરીક્ષક તરફ) ઉદ્ગમ (ટ્રેન) સ્થિર છે \((v_S = 0)\), નિરીક્ષક પણ સ્થિર છે \((v_O = 0)\). (i) **ધ્વનિનો વેગ:** પવન યાર્ડથી સ્ટેશન તરફ (ધ્વનિ પ્રસરણની દિશામાં) ફૂંકાય છે. તેથી, ધ્વનિની અસરકારક ઝડપ \(v'\) હવામાં ધ્વનિની ઝડપ અને પવનની ઝડપનો સરવાળો હશે: \[v' = v_{\text{air}} + v_{\text{wind}}\] \[v' = 340 + 10 = 350 \text{ m s}^{-1}\] આમ, નિરીક્ષકને સંભળાતા ધ્વનિનો વેગ \(350 \text{ m s}^{-1}\) હશે. (ii) **સંભળાતી આવૃત્તિ:** ઉદ્ગમ અને નિરીક્ષક બંને પ્લૅટફૉર્મ પર સ્થિર હોવાથી, તેમની વચ્ચે કોઈ સાપેક્ષ ગતિ નથી. પવન માધ્યમની ગતિમાં ફેરફાર કરે છે, પરંતુ ડોપ્લર અસર ત્યારે જ થાય છે જ્યારે ઉદ્ગમ અથવા નિરીક્ષક માધ્યમની સાપેક્ષે ગતિમાં હોય. ડોપ્લર અસરના સૂત્રમાં \(v_S = 0\) અને \(v_O = 0\) મૂકતા: \[\nu = \nu_0 \left(\frac{v' \pm v_O}{v' \mp v_S}\right) = \nu_0 \left(\frac{v'}{v'}\right) = \nu_0\] \[\implies \nu = 400 \text{ Hz}\] આમ, નિરીક્ષકને સંભળાતી આવૃત્તિ \(400 \text{ Hz}\) જ રહેશે, કારણ કે ઉદ્ગમ અને નિરીક્ષક વચ્ચે કોઈ સાપેક્ષ ગતિ નથી. (iii) **ધ્વનિની તરંગલંબાઈ:** ધ્વનિની તરંગલંબાઈ \(\lambda\) નીચે મુજબ શોધી શકાય: \[\lambda = \frac{v'}{\nu} = \frac{350}{400} = 0.875 \text{ m}\] આમ, ધ્વનિની તરંગલંબાઈ \(0.875 \text{ m}\) હશે. (iv) **બીજા કિસ્સા સાથે સરખામણી:** જો હવા સ્થિર હોય અને નિરીક્ષક \(10 \text{ m s}^{-1}\)ની ઝડપથી યાર્ડ તરફ (ઉદ્ગમ તરફ) દોડતો હોય: આ કિસ્સામાં, ઉદ્ગમ સ્થિર છે \((v_S = 0)\), નિરીક્ષક ઉદ્ગમ તરફ ગતિ કરે છે \((v_O = +10 \text{ m s}^{-1})\), અને હવામાં ધ્વનિની ઝડપ \(v_{\text{air}} = 340 \text{ m s}^{-1}\) છે. સંભળાતી આવૃત્તિ \(\nu'\) માટેનું સૂત્ર: \[\nu' = \nu_0 \left(\frac{v_{\text{air}} + v_O}{v_{\text{air}} - v_S}\right)\] \[\nu' = 400 \left(\frac{340 + 10}{340 - 0}\right)\] \[\nu' = 400 \left(\frac{350}{340}\right)\] \[\implies \nu' \approx 411.76 \text{ Hz}\] આ કિસ્સામાં ધ્વનિની ઝડપ માધ્યમ (હવા) ની સાપેક્ષે \(340 \text{ m s}^{-1}\) જ રહેશે. તરંગલંબાઈ \(\lambda = \frac{v_{\text{air}}}{\nu_0} = \frac{340}{400} = 0.85 \text{ m}\) રહેશે. **નિષ્કર્ષ:** બંને પરિસ્થિતિઓ અલગ છે. * પ્રથમ કિસ્સામાં, પવનને કારણે માધ્યમ (હવા) ગતિ કરે છે, જેનાથી ધ્વનિની અસરકારક ઝડપ બદલાય છે, પરંતુ ઉદ્ગમ અને નિરીક્ષક વચ્ચે સાપેક્ષ ગતિ ન હોવાથી આવૃત્તિમાં કોઈ ફેરફાર થતો નથી. * બીજા કિસ્સામાં, માધ્યમ સ્થિર છે, પરંતુ નિરીક્ષક માધ્યમની સાપેક્ષે ગતિ કરે છે, જેના કારણે ડોપ્લર અસર થાય છે અને સંભળાતી આવૃત્તિ બદલાય છે. તેથી, બંને પરિસ્થિતિઓ સમાન નથી.
In simple words: When wind blows, the effective speed of sound changes. But if the source and observer are stationary relative to the ground, the frequency heard remains the same. The wavelength, however, changes due to the altered effective speed. This situation is different from when the observer moves in still air, as moving the medium versus moving the observer through a still medium creates different Doppler effects.

🎯 Exam Tip: Distinguish between the motion of the medium (wind) and the motion of the source/observer relative to the medium. Wind changes the effective speed of sound. Doppler effect depends on relative motion between source/observer and the medium. The two scenarios are distinct because the relative velocities with respect to the *medium* are different, leading to different Doppler shifts.

Question 21. એક સ્ટેશન-યાર્ડમાં ઊભેલી ટ્રેન હવામાં 400 Hz આવૃત્તિની સિસોટી વગાડે છે. યાર્ડથી સ્ટેશન તરફ પવન 10 m s\(^{-1}\)ની ઝડપથી ફૂંકાવાનું શરૂ થાય છે. સ્ટેશનના પ્લૅટફૉર્મ પર ઊભેલા નિરીક્ષકને સંભળાતા ધ્વનિની આવૃત્તિ, તરંગલંબાઈ અને વેગ કેટલા હશે? શું આ પરિસ્થિતિ હવા સ્થિર હોય અને નિરીક્ષક 10 m s\(^{-1}\)ની ઝડપથી યાર્ડ તરફ દોડતો હોય તે કિસ્સાના જેવી જ છે? (સ્થિર હવામાં ધ્વનિની ઝડપ 340 m s\(^{-1}\) લો.)
Answer:Initial parameters are: source frequency \( \nu = 400 \) Hz, sound speed in still air \( v = 340 \) m s\(^{-1}\), observer speed \( v_O = 0 \), source speed \( v_S = 0 \), and wind speed \( u_W = 10 \) m s\(^{-1} \). (i) When the wind blows from the yard towards the platform, it is in the direction of sound propagation. Therefore, the effective speed of sound becomes the sum of the sound speed in still air and the wind speed. Effective sound speed \( v' = v + u_W \) \( = 340 + 10 \) \( = 350 \) m s\(^{-1} \). (ii) For an observer on the platform, since there is no relative motion between the sound source and the observer, the frequency remains the same as the source frequency. Observed frequency \( \nu_O = \nu \left(\frac{v+v_O}{v+v_S}\right) \) \( = 400 \left(\frac{350+0}{350+0}\right) \) \( = 400 \) Hz. Here, there is no relative motion between the source and observer, so the frequency will not change. (iii) The wavelength of the sound can be calculated using the effective sound speed and the frequency. Sound wavelength \( \lambda = \frac{v'}{\nu} = \frac{350}{400} \) \( \implies \lambda = 0.875 \) m. (iv) In a scenario where the air is still and the observer moves towards the source (train), the perceived frequency changes due to the Doppler effect. The speed of sound in still air \( v = 340 \) m s\(^{-1} \). The observer moves towards the source, so \( v_O = +10 \) m s\(^{-1} \) and the source is stationary, \( v_S = 0 \). Observed frequency \( \nu' = \nu \left(\frac{v+v_O}{v+v_S}\right) \) \( = 400 \left(\frac{340+10}{340+0}\right) = 400 \times \frac{350}{340} \) \( \implies \nu' = 411.8 \) Hz. The sound speed relative to the medium will remain \( 340 \) m s\(^{-1} \). This confirms that the two situations (wind blowing vs. observer moving) are distinct and yield different results.
In simple words: When wind blows, it changes the effective speed of sound for the observer. If the observer moves instead of the wind blowing, the perceived frequency changes due to their motion, but the sound's speed relative to the air remains constant.

🎯 Exam Tip: Understand the difference between the actual speed of sound, effective speed due to wind, and perceived frequency due to source/observer motion (Doppler effect).

Question 22. એક દોરી પર પ્રગામી હાર્મોનિક તરંગને \( y (x, t) = 7.5 \sin (0.0050x + 12t + \frac{\pi}{4}) \) cm વડે રજૂ કરાય છે.
(a) \( x = 1 \) cm આગળના બિંદુને \( t = 1 \) s સમયે દોલનના સ્થાનાંતર અને વેગ કેટલા હશે? આ વેગ તરંગના પ્રસરણના વેગ જેટલો છે?
(b) \( x = 1 \) cm બિંદુના \( t = 1 \) s, \( 5 \) s અને \( 11 \) s સમયોના લંબગત સ્થાનાંતર જેટલા જ સ્થાનાંતર ધરાવતા દોરી પરનાં બિંદુઓનાં સ્થાન શોધો.
Answer:The given equation for the progressive harmonic wave is \( y (x, t) = 7.5 \sin(0.005x + 12t + \frac{\pi}{4}) \) cm. Comparing this with the standard wave equation \( y (x, t) = a \sin (kx + \omega t + \phi_0) \), we find: Amplitude \( a = 7.5 \) cm Wave number \( k = 0.005 \) cm\(^{-1}\) Angular frequency \( \omega = 12 \) rad s\(^{-1}\) Initial phase \( \phi_0 = \frac{\pi}{4} \) rad. (a) To find the displacement at \( x = 1 \) cm and \( t = 1 \) s: \( y(1, 1) = 7.5 \sin ((0.005 \times 1) + 12 (1) + \frac{3.14}{4}) \) \( = 7.5 \sin (0.005 + 12 + 0.785) \) \( = 7.5 \sin (12.790) \) \( y(1, 1) = 7.5 \times 0.222 \) \( = 1.67 \) cm. To find the velocity of oscillation at any point, we differentiate \( y(x,t) \) with respect to \( t \): \( v' = \frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt} (7.5 \sin (0.005x + 12t + \frac{\pi}{4})) \) \( = 7.5 \times 12 \cos (0.005x + 12t + \frac{\pi}{4}) \) \( = 90 \cos (0.005x + 12t + \frac{\pi}{4}) \). At \( x = 1 \) cm and \( t = 1 \) s: \( v' = 90 \cos ((0.005 \times 1) + 12(1) + \frac{3.14}{4}) \) \( = 90 \cos (12.790) \) \( = 90 \times 0.9751 \) \( = 87.76 \) cm s\(^{-1} \). The wave propagation speed \( v = \frac{\omega}{k}=\frac{12}{0.005} = 2400 \) cm s\(^{-1} \). Since \( v' \neq v \), the oscillation velocity of the point is not equal to the wave propagation speed. (b) The wavelength \( \lambda \) can be found from the wave number \( k \): \( k = \frac{2\pi}{\lambda} \) \( 0.005 = \frac{2\pi}{\lambda} \) \( \lambda = \frac{2\pi}{0.005} = \frac{2 \times 3.14}{0.005} = 1256.6 \) cm \( = 12.6 \) m. Points separated by an integer multiple of the wavelength will have the same displacement at any given time. Therefore, at \( t = 1 \) s, \( 5 \) s, and \( 11 \) s, the points on the string having the same transverse displacement as \( x = 1 \) cm will be at positions \( x = 1 \pm n\lambda \), where \( n = 1, 2, 3, \ldots \). These positions are \( x = 1 \pm 12.6 \) m, \( x = 1 \pm 25.2 \) m, \( x = 1 \pm 37.8 \) m, and so on.
In simple words: We calculate the string's position and speed at a specific point and time. The speed of the string's particles is not the same as the wave's overall speed. Points that are a full wavelength apart will have the same displacement at any given time.

🎯 Exam Tip: Distinguish between the particle velocity (due to oscillation) and the wave velocity (propagation velocity). Remember that particles in a progressive wave oscillate, but the wave itself moves.

Question 23. એક નાનું ધ્વનિ-સ્પંદન (દા. ત., સિસોટીનો એક ક્ષણિક અવાજ) એક માધ્યમમાં પ્રસરણ પામે છે.
(a) શું સ્પંદનને નિશ્ચિત (i) આવૃત્તિ (ii) તરંગલંબાઈ (iii) પ્રસરણની ઝડપ છે?
(b) જો સ્પંદન ઉત્પન્ન થવાનો દર, દર 20 s પછી 1 નો હોય, તો (એટલે કે સિસોટી દર 20 s બાદ સેકન્ડના ખૂબ નાના ભાગ માટે વગાડાય છે.) શું સિસોટી વડે ઉત્પન્ન થતા સ્વરની આવૃત્તિ \( \frac{1}{20} \) અથવા \( 0.05 \) Hz છે?
Answer:(a) A sound pulse is a transient disturbance, often a superposition of multiple frequencies and wavelengths. Therefore, a pulse does not possess a definite frequency or wavelength. However, it travels through the medium with a definite speed, which is the characteristic speed of sound in that particular medium. (b) No, the value of \( \frac{1}{20} \) Hz or \( 0.05 \) Hz does not represent the frequency of the sound produced by the whistle. Instead, it indicates the repetition rate of the pulse, meaning how often the pulse is generated. The actual frequency of the sound within the pulse would be much higher, typically in the audible range for a whistle.
In simple words: A short sound "pulse" doesn't have a single pitch or wavelength; it's a mix of frequencies. It does, however, travel at the normal speed of sound. The rate at which you make these pulses is separate from the sound's actual frequency.

🎯 Exam Tip: Understand that a "pulse" is a transient phenomenon, a superposition of multiple frequencies, and therefore does not have a single, well-defined frequency or wavelength, unlike a continuous wave. Its speed, however, is determined by the medium.

Question 24. રેખીય દળ-ધનતા \( 8.0 \times 10^{-3} \) kg m\(^{-1}\) હોય તેવી એક લાંબી દોરીનો એક છેડો \( 256 \) Hzની આવૃત્તિના વિદ્યુતચાલિત સ્વરકાંટા સાથે જોડેલ છે. બીજો છેડો એક ગરગડી પરથી પસાર થઈ \( 90 \) kg દળ ધરાવતા એક પલ્લા સાથે બાંધેલ છે. ગરગડી આગળનું દોરીનું બિંદુ ત્યાં આવતી બધી ઊર્જાને શોષી લે છે. તેથી ત્યાં પરાવર્તિત તરંગનો કંપવિસ્તાર અવગણ્ય છે. \( t = 0 \) સમયે દોરીના ડાબા છેડા (સ્વરકાંટા બાજુનો છેડો) \( x = 0 \)નું લંબગત સ્થાનાંતર (y = 0) શૂન્ય છે અને તે ધન Y-દિશામાં ગતિ કરે છે. તરંગનો કંપવિસ્તાર \( 5 \) cm છે. દોરીમાં તરંગને રજૂ કરતા લંબગત સ્થાનાંતર yને x અને tના વિધેય તરીકે લખો.
Answer:The following parameters are given: Linear mass density \( \mu = 8.0 \times 10^{-3} \) kg m\(^{-1}\) Frequency of the tuning fork \( \nu = 256 \) Hz Mass of the pan \( m = 90 \) kg Amplitude of the wave \( a = 5 \) cm \( = 0.05 \) m. First, calculate the tension \( T \) in the string, which is due to the weight of the pan: \( T = mg = 90 \times 9.8 = 882 \) N. Next, find the speed of the wave \( v \) on the string using the formula \( v = \sqrt{\frac{T}{\mu}} \): \( v = \sqrt{\frac{882}{8.0 \times 10^{-3}}} = \sqrt{110250} \approx 332.0 \) m s\(^{-1} \). Now, calculate the angular frequency \( \omega \) from the given frequency \( \nu \): \( \omega = 2\pi\nu = 2 \times 3.14 \times 256 \approx 1608 \) rad s\(^{-1} \). Then, calculate the wave number \( k \) from \( \omega \) and \( v \): \( k = \frac{\omega}{v} = \frac{1608}{332.0} \approx 4.84 \) m\(^{-1} \). The general equation for a progressive wave moving in the positive x-direction is \( y(x, t) = a \sin(\omega t - kx + \phi_0) \). Given that at \( t = 0 \) and \( x = 0 \), the displacement \( y = 0 \) and the motion is in the positive Y-direction. Substituting \( x = 0 \) and \( t = 0 \) into the equation: \( 0 = a \sin(\phi_0) \implies \sin(\phi_0) = 0 \). This means \( \phi_0 = 0 \) or \( \phi_0 = \pi \). Since the wave moves in the positive Y-direction at \( t = 0, x = 0 \), its velocity \( \frac{dy}{dt} \) must be positive. \( \frac{dy}{dt} = a\omega \cos(\omega t - kx + \phi_0) \). At \( t = 0, x = 0 \): \( \frac{dy}{dt} = a\omega \cos(\phi_0) \). For \( \frac{dy}{dt} \) to be positive, \( \cos(\phi_0) \) must be positive. This requires \( \phi_0 = 0 \). Substituting the values of \( a, \omega, k \), and \( \phi_0 \) into the wave equation: \( y(x, t) = 0.05 \sin(1608t - 4.84x) \) m.
In simple words: We need to find the wave's speed, angular frequency, and wave number based on the string's properties and the source's frequency. Then, using the given amplitude and initial conditions, we write the full equation describing the wave's motion on the string.

🎯 Exam Tip: Remember the key formulas for wave speed on a string (related to tension and linear density) and the relationships between frequency, angular frequency, wavelength, and wave number. Initial conditions are crucial for determining the phase constant.

Question 25. એક સબમરીનમાં રાખેલી સોનાર (SONAR) પદ્ધતિ \( 40.0 \) kHz પર કાર્યાન્વિત થાય છે. એક દુશ્મન સબમરીન SONAR તરફ \( 360 \) km h\(^{-1}\)ની ઝડપથી ગતિ કરી રહી છે. બીજી સબમરીનથી પરાવર્તિત થતા ધ્વનિ-તરંગની આવૃત્તિ કેટલી હશે? (પાણીમાં ધ્વનિની ઝડપ \( 1450 \) m s\(^{-1}\) લો.)
Answer:The SONAR system operates at a frequency of \( \nu_S = 40.0 \) kHz \( = 40.0 \times 10^3 \) Hz. The speed of sound in water is \( v = 1450 \) m s\(^{-1} \). The speed of the enemy submarine is \( v_{sub} = 360 \) km h\(^{-1} \). Converting the submarine's speed to m/s: \( v_{sub} = 360 \times \frac{1000}{3600} = 100 \) m s\(^{-1} \). This problem involves two stages of the Doppler effect: **1. Frequency observed by the enemy submarine (acting as an observer):** In this stage, the SONAR is the source, and the enemy submarine is the observer. Source speed \( v_{source} = 0 \) (SONAR is stationary). Observer speed \( v_{observer} = 100 \) m s\(^{-1} \) (submarine is moving towards the SONAR). The apparent frequency \( \nu' \) heard by the submarine is given by: \( \nu' = \nu_S \left(\frac{v + v_{observer}}{v - v_{source}}\right) \) \( = 40 \times 10^3 \left(\frac{1450 + 100}{1450 - 0}\right) \) \( = 40 \times 10^3 \left(\frac{1550}{1450}\right) \) \( \approx 42.758 \times 10^3 \) Hz \( = 42.758 \) kHz. **2. Frequency reflected by the submarine (acting as a source) and observed by the SONAR:** In this stage, the submarine is the source, emitting sound at frequency \( \nu' \). The SONAR is the observer. Source speed \( v_{source} = 100 \) m s\(^{-1} \) (submarine is moving towards the SONAR). Observer speed \( v_{observer} = 0 \) (SONAR is stationary). The frequency \( \nu'' \) observed by the SONAR is given by: \( \nu'' = \nu' \left(\frac{v - v_{observer}}{v - v_{source}}\right) \) \( = 42.758 \times 10^3 \left(\frac{1450 - 0}{1450 - 100}\right) \) \( = 42.758 \times 10^3 \left(\frac{1450}{1350}\right) \) \( \approx 45.92 \times 10^3 \) Hz \( = 45.92 \) kHz. Thus, the frequency of the sound wave reflected by the enemy submarine and observed back at the SONAR is approximately \( 45.92 \) kHz.
In simple words: Sound from the SONAR hits the enemy submarine, which is moving towards it, making the submarine hear a higher frequency. The submarine then reflects this higher-frequency sound back. Since the submarine is still moving towards the SONAR, the SONAR hears an even higher frequency.

🎯 Exam Tip: Doppler effect problems involving reflection require a two-stage calculation. First, find the frequency observed by the reflector (which acts as an observer). Second, use this new frequency as the source frequency from the reflector (which now acts as a source) to calculate the frequency observed back at the original source. Pay close attention to relative directions of motion for observers and sources.

Question 26. ભૂકંપ પૃથ્વીની અંદરના ભાગમાં ધ્વનિ-તરંગો ઉત્પન્ન કરે છે. વાયુ કરતાં જુદી બાબત એ છે કે, પૃથ્વી લંબગત (S) અને સંગત (P) બંને તરંગો અનુભવે છે. S તરંગની લાક્ષણિક ઝડપ 4 km s\(^{-1}\) અને P તરંગની ઝડપ 8 km s\(^{-1}\) છે. સિસ્મોગ્રાફ ભૂકંપથી આવતા S અને P તરંગોને નોંધે છે. એક ભૂકંપમાં પ્રથમ P તરંગ, પ્રથમ S તરંગ કરતાં 4 min વહેલું આવી પહોંચે છે. તરંગો સુરેખામાં ગતિ કરતાં ધારી લઈને ભૂકંપ કેટલા અંતરે થયો તે શોધો.
Answer:Given: Speed of S-wave \( v_S = 4.0 \) km s\(^{-1}\) Speed of P-wave \( v_P = 8.0 \) km s\(^{-1}\) Time difference in arrival \( \Delta t = 4 \) minutes \( = 4 \times 60 = 240 \) seconds. Let \( d \) be the distance from the earthquake's epicenter to the seismograph. Let \( t_P \) be the time taken by the P-wave to travel the distance \( d \). Then, \( t_S \) (time taken by the S-wave) = \( t_P + \Delta t = t_P + 240 \) s. Using the formula distance = speed \( \times \) time: For P-wave: \( d = v_P \times t_P \implies d = 8.0 \times t_P \ldots (1) \) For S-wave: \( d = v_S \times t_S \implies d = 4.0 \times (t_P + 240) \ldots (2) \) Equating (1) and (2): \( 8.0 \times t_P = 4.0 \times (t_P + 240) \) Divide both sides by 4.0: \( 2 \times t_P = t_P + 240 \) \( 2t_P - t_P = 240 \) \( t_P = 240 \) seconds. Now, substitute \( t_P \) back into equation (1) to find the distance \( d \): \( d = 8.0 \times 240 \) \( d = 1920 \) km. Thus, the earthquake occurred at a distance of \( 1920 \) km from the seismograph.
In simple words: Faster P-waves arrive before slower S-waves from an earthquake. By knowing their speeds and the time difference in their arrival, we can calculate how far away the earthquake happened.

🎯 Exam Tip: This is a classic application of kinematics and wave properties. Ensure you correctly set up the time difference equation and use consistent units (e.g., convert minutes to seconds).

Question 27. એક ગુફામાં ચામાચીડિયું અલ્ટ્રાસૉનિક સ્પંદનો દ્વારા દિશાઓની જાણકારી મેળવતાં હળવેથી અને ઝડપથી પસાર થાય છે. ચામાચીડિયા દ્વારા ઉત્સર્જિત ધ્વનિની આવૃત્તિ \( 40 \) kHz ધારો. એક સપાટ દીવાલની સપાટી તરફની એક ત્વરિત તરાપમાં ચામાચીડિયું હવામાં ધ્વનિની ઝડપના \( 0.03 \) ગણી ઝડપે ગતિ કરે છે. દીવાલ પરથી પરાવર્તન થઈને કેટલી આવૃત્તિ ચામાચીડિયાને સંભળાશે?
Answer:Given: Emitted frequency of the bat \( \nu_S = 40 \) kHz \( = 40 \times 10^3 \) Hz. Speed of the bat \( v_{bat} = 0.03v \), where \( v \) is the speed of sound in air. This problem involves two stages of the Doppler effect: **Stage 1: Frequency observed by the stationary wall (wall acts as observer).** The bat (source) is moving towards the wall (observer). Source speed \( v_{source} = v_{bat} = 0.03v \). Observer speed \( v_{observer} = 0 \) (wall is stationary). The apparent frequency \( \nu' \) of the sound waves reaching the wall is: \( \nu' = \nu_S \left(\frac{v - v_{observer}}{v - v_{source}}\right) \) (using \( v - v_{source} \) in denominator as source approaches observer) \( = 40 \times 10^3 \left(\frac{v - 0}{v - 0.03v}\right) \) \( = 40 \times 10^3 \left(\frac{v}{0.97v}\right) = \frac{40 \times 10^3}{0.97} \) \( \approx 41.237 \times 10^3 \) Hz \( \approx 41.24 \) kHz. **Stage 2: Frequency observed by the bat (bat acts as observer) after reflection from the wall.** Now, the wall acts as a stationary source, emitting sound at frequency \( \nu' \). The bat acts as an observer, moving towards the wall. Source speed \( v_{source} = 0 \) (wall is stationary). Observer speed \( v_{observer} = v_{bat} = 0.03v \) (bat is moving towards the source). The frequency \( \nu'' \) heard by the bat is: \( \nu'' = \nu' \left(\frac{v + v_{observer}}{v - v_{source}}\right) \) (using \( v + v_{observer} \) in numerator as observer approaches source) \( = 41.237 \times 10^3 \left(\frac{v + 0.03v}{v - 0}\right) \) \( = 41.237 \times 10^3 \left(\frac{1.03v}{v}\right) \) \( = 41.237 \times 10^3 \times 1.03 \) \( \approx 42.47 \times 10^3 \) Hz \( = 42.47 \) kHz. Therefore, the frequency heard by the bat after the sound is reflected from the wall is approximately \( 42.47 \) kHz.
In simple words: The bat sends out sound. Because it's flying towards the wall, the wall "hears" a slightly higher pitch. The wall then echoes this higher pitch back. Since the bat is still flying towards the echo, it hears an even higher pitch than what it originally sent out.

🎯 Exam Tip: This is a standard Doppler radar-like problem. Break it into two distinct Doppler shifts: source to reflector, and reflector to observer. Remember that the reflector (wall) becomes a new, stationary source emitting the frequency it *received*.