GSEB Class 11 Physics Solutions Chapter 14 દોલનો

GSEB Solutions Class 11 Physics Chapter 14 छोलनो

 

Question 1. નીચેનામાંથી કયાં ઉદાહરણો આવર્તગતિ દર્શાવે છે?
(a) એક તરવૈયો એક નદીના એક કિનારેથી બીજા કિનારે અને ત્યાંથી પરતની સફર પૂર્ણ કરે છે.
(b) એક મુક્ત રીતે લટકાવેલ ગજિયા ચુંબકને તેની N - S દિશામાંથી સ્થાનાંતર આપી અને મુક્ત કરવામાં આવે છે.
(c) તેના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રને અનુલક્ષીને ચાકગતિ કરતો હાઇડ્રોજન પરમાણુ
(d) એક ધનુષમાંથી છોડેલું તીર
Answer:
(a) તરવૈયાની ગતિ આવર્તગતિ નથી. આ ગતિ આગળ-પાછળ થાય છે, પરંતુ તે ચોક્કસ સમયગાળામાં પુનરાવર્તિત થતી નથી.
(b) ચુંબકની ગતિ આવર્તગતિ છે. જ્યારે લટકાવેલા ચુંબકને તેની N - S દિશામાંથી સ્થાનાંતરિત કરીને મુક્ત કરવામાં આવે છે, ત્યારે તે તેના મધ્યમાન સ્થાનની આસપાસ દોલન કરે છે. આ દોલન ચોક્કસ સમયગાળો ધરાવે છે અને સરળ આવર્તગતિ કરે છે.
(c) હાઇડ્રોજન પરમાણુ આવર્તગતિ દર્શાવે છે. તે તેના દ્રવ્યમાન-કેન્દ્રની આસપાસ ભ્રમણ કરે છે અને નિશ્ચિત સમયગાળા પછી તેની ગતિ પુનરાવર્તિત થાય છે.
(d) તીરની ગતિ એ આવર્તગતિ નથી.
In simple words: આવર્તગતિ એટલે ગતિનું ચોક્કસ સમયગાળા પછી પુનરાવર્તન થવું. તરવૈયો અને તીરની ગતિ પુનરાવર્તિત નથી, જ્યારે ચુંબક અને હાઇડ્રોજન પરમાણુની ગતિ ચોક્કસ સમય પછી પુનરાવર્તિત થાય છે, તેથી તે આવર્તગતિ છે.

🎯 Exam Tip: આવર્તગતિ અને સરળ આવર્તગતિ વચ્ચેનો તફાવત સ્પષ્ટ રાખો. સરળ આવર્તગતિ એ એક વિશિષ્ટ પ્રકારની આવર્તગતિ છે જેમાં પુન:સ્થાપક બળ સ્થાનાંતરના સમપ્રમાણમાં હોય છે અને વિરુદ્ધ દિશામાં હોય છે.

 

Question 2. નીચેનામાંથી કયાં ઉદાહરણો એ (લગભગ) સરળ આવર્તગતિ દર્શાવે છે અને ક્યા આવર્ત દર્શાવે છે, પરંતુ સરળ આવર્તગતિ દર્શાવતા નથી?
(a) પૃથ્વીની ધરીને અનુલક્ષીને તેનું ભ્રમણ
(b) U-ટ્યૂબમાં દોલિત પારાના સ્તંભની ગતિ
(c) એક બૉલબેરિંગને એક લીસી વક્ર વાટકીની અંદર સૌથી નિમ્નતમ બિંદુથી થોડાક ઉપરના બિંદુ પરથી છોડી દેવામાં આવે ત્યારની ગતિ
(d) તેની સંતુલન સ્થિતિને અનુલક્ષીને બહુપરમાણ્વિક અણુના સામાન્ય કંપનો
Answer:
(a) પૃથ્વીની ગતિ આવર્તગતિ છે, પરંતુ સરળ આવર્ત-ગતિ નથી, કારણ કે તે કોઈ એક બિંદુ પાસે આગળ-પાછળની ગતિ કરતી નથી. તે ફક્ત નિયમિત અંતરાલે પુનરાવર્તિત થાય છે.
(b) પારાની ગતિ સરળ આવર્તગતિ છે. અહીં પારો તેના મધ્યમાન સ્થાનને અનુલક્ષીને ઉપર-નીચે તરફ ગતિ કરે છે, જે SHMની શરતોને પૂર્ણ કરે છે.
(c) બૉલબેરિંગની ગતિ સરળ આવર્તગતિ છે, કારણ કે તે વાટકીના નિમ્નતમ બિંદુને અનુલક્ષીને આગળ-પાછળ ગતિ કરે છે. આ ગતિમાં પુન:સ્થાપક બળ સ્થાનાંતરના સમપ્રમાણમાં હોય છે.
(d) બહુપરમાણ્વિક અણુઓનાં કંપનો આવર્તીય હોય છે, પરંતુ સરળ આવર્તગતિ નથી. આવા અણુઓ ઘણી બધી પ્રાકૃતિક આવૃત્તિઓ ધરાવે છે અને તેમની ગતિ આ સરળ આવર્તગતિઓના સંપાતીકરણને કારણે થાય છે. આથી તેમની પરિણામી ગતિ આવર્તીય હોય છે, પરંતુ સરળ આવર્તગતિ નથી.
In simple words: સરળ આવર્તગતિમાં વસ્તુ મધ્યમાન સ્થાનની આસપાસ દોલન કરે છે અને બળ સ્થાનાંતરના સમપ્રમાણમાં હોય છે. U-ટ્યૂબમાં પારો અને વાટકીમાં બૉલ આ શરતો પાળે છે. પૃથ્વીનું ભ્રમણ અને બહુપરમાણ્વિક અણુઓના કંપનો આવર્તીય છે પણ સરળ આવર્તગતિ નથી કારણ કે તેમાં બળ-સ્થાનાંતરનો સીધો રેખીય સંબંધ નથી અથવા મધ્યમાન સ્થાનની આસપાસ દોલન નથી.

🎯 Exam Tip: સરળ આવર્તગતિ (SHM) માટે, પદાર્થનું પ્રવેગ તેના સ્થાનાંતરના સમપ્રમાણમાં અને વિરુદ્ધ દિશામાં હોવું આવશ્યક છે. આ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીને ગતિ SHM છે કે નહીં તે ઓળખી શકાય છે.

 

Question 3. આકૃતિ 14.33 એ કોઈ કણની રેખીય ગતિ માટે x - tના ચાર આલેખોને દર્શાવે છે. કયા આલેખો આવર્તગતિ દર્શાવે છે? ગતિનો આવર્તકાળ (આવર્તગતિના કિસ્સામાં) શું છે?

ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): આકૃતિ 14.33 ચાર જુદા-જુદા x-t આલેખ દર્શાવે છે જે કણની રેખીય ગતિનું વર્ણન કરે છે. આ આલેખો સમય સાથે કણના સ્થાનમાં થતા ફેરફારને દર્શાવે છે. આ આલેખો દ્વારા કઈ ગતિ આવર્ત છે અને તેનો આવર્તકાળ શું છે તે ઓળખવાનું છે.
Answer:
(a) આકૃતિ (a) આવર્તગતિ દર્શાવતું નથી, કારણ કે તેની ગતિ પુનરાવર્તિત થતી નથી. તેમજ પદાર્થ પોતાના મધ્યમાન સ્થાને પાછો આવતો નથી.
(b) આકૃતિ (b) આવર્તીય ગતિ દર્શાવે છે, કારણ કે ચોક્કસ સમયને અંતરે વિધેય પુનરાવર્તિત થાય છે. આ ગતિનો આવર્તકાળ, \(T = 1 - (-1) = 2\) s છે.
(c) આકૃતિ (c) આવર્તગતિ દર્શાવતું નથી, કારણ કે x - t આલેખમાં સમયગાળા \((1 - 4)\), \((4 - 7)\), \((7 - 10)\) અને \((10 - 13)\)s દરમિયાન તેની પુનરાવર્તિત ગતિ એકસમાન નથી. આલેખ દર્શાવે છે કે સ્થાન એક જ પથ પર પુનરાવર્તન કરતું નથી.
(d) આકૃતિ (d) આવર્તીય ગતિ દર્શાવે છે. તેનો આવર્તકાળ, \(T = (1 - (-1)) = 2\) s છે.
In simple words: આવર્તગતિમાં કણનું સ્થાન ચોક્કસ સમયગાળા પછી ફરીથી એ જ રીતે પુનરાવર્તિત થાય છે. આકૃતિ (b) અને (d) માં, સ્થાન-સમય આલેખ ચોક્કસ અંતરાલ પછી સમાન પેટર્ન દર્શાવે છે, તેથી તે આવર્તગતિ છે અને તેમનો આવર્તકાળ 2 સેકન્ડ છે. આકૃતિ (a) અને (c) માં, ગતિ અનિયમિત હોવાથી આવર્તગતિ નથી.

🎯 Exam Tip: x-t આલેખમાં, જો આલેખનો આકાર અને ગતિની દિશા ચોક્કસ સમયગાળા પછી પુનરાવર્તિત થાય, તો તે આવર્તગતિ દર્શાવે છે. આવર્તકાળ એ એક પૂર્ણ ચક્ર માટે લાગતો સમય છે.

 

Question 4. નીચેના સમયનાં વિધેયોમાંથી કયા (a) સરળ આવર્તગતિ (b) આવર્ત પરંતુ સરળ આવર્તગતિ ન હોય અને (c) બિનઆવર્તગતિ દર્શાવે છે? આવર્તગતિના દરેક કિસ્સામાં આવર્તકાળ આપો. (કોઈ ધન અચળાંક w
Answer:
જે વિધેય પોતે સમયના નિયમિત અંતરાલો પર પુનરાવર્તન કરે છે, તેને આવર્તગતિ (Periodic motion) કહેવામાં આવે છે. જો આ વિધેયને \(A \sin (wt \pm \Phi)\) અથવા \(A \cos (wt \pm \Phi)\)ના સ્વરૂપમાં દર્શાવી શકાય તો તે વિધેય સરળ આવર્તગતિ દર્શાવે છે.

(a) \( \sin wt - \cos wt \)
\( = \sqrt{2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \sin wt - \frac{1}{\sqrt{2}} \cos wt \right) \)
\( = \sqrt{2} \left( \sin wt \cos\frac{\pi}{4} - \cos wt \sin\frac{\pi}{4} \right) \)
\( = \sqrt{2} \sin\left(wt - \frac{\pi}{4}\right) \) આમ, આ વિધેય સરળ આવર્તગતિ દર્શાવે છે. હવે, \( \omega = \frac{2 \pi}{T} \) પરથી સ.આ.ગ.નો આવર્તકાળ \( T = \frac{2 \pi}{\omega} \).

(b) \( \sin^3 wt \) \( \left( \because \sin 3\theta = 3 \sin \theta - 4 \sin^3\theta \right) \)
\( \sin^3 wt = \frac{1}{4}(3 \sin wt - \sin 3wt) \) અહીં, \( \sin wt \) અને \( \sin 3wt \) બંને વિધેયો સરળ આવર્તગતિ દર્શાવે છે, પરંતુ \( \sin^3 wt \) આ બંને વિધેયોનું સંયોજન હોવાથી તે સરળ આવર્તગતિ દર્શાવતું નથી. તે ફક્ત આવર્તગતિ દર્શાવે છે. તેનો આવર્તકાળ \( T = \frac{2 \pi}{\omega} \).

(c) \( 3 \cos \left(\frac{\pi}{4} - 2wt\right) \)
\( = 3 \cos \left(- \left(2wt - \frac{\pi}{4}\right)\right) \)
\( = 3 \cos \left(2wt - \frac{\pi}{4}\right) \left( \because \cos (-\theta) = \cos \theta \right) \) આ વિધેય સરળ આવર્તગતિ દર્શાવે છે. તેનો આવર્તકાળ \( T = \frac{2 \pi}{2 \omega} = \frac{\pi}{\omega} \).

(d) \( \cos wt + \cos 3wt + \cos 5wt \) અહીં, \( \cos wt \), \( \cos 3wt \) અને \( \cos 5wt \) સરળ આવર્તગતિ દર્શાવે છે, પરંતુ તેમનું સંયોજન સરળ આવર્તગતિ દર્શાવતું નથી. તે ફક્ત આવર્તગતિ છે. આ આવર્તગતિનો આવર્તકાળ \( T = \frac{2 \pi}{\omega} \).

(e) \( \exp(- w^2t^2) \) આ ચરઘાંતાકીય વિધેય છે. જેમાં \( t \) વધતાં વિધેયનું મૂલ્ય ઘટે છે અને \( t \to \infty \) થાય ત્યારે તે શૂન્ય થાય છે. આ વિધેય પુનરાવર્તિત વિધેય નથી. એટલે કે તે બિનઆવર્તીય ગતિ છે.

(f) \( 1 + wt + w^2t^2 \) આ વિધેયમાં \( t \) વધતા, વિધેયનું મૂલ્ય વધે છે. \( t \to \infty \) થાય ત્યારે તેનું મૂલ્ય પણ અનંત થાય છે. આમ, આ પુનરાવર્તિત વિધેય નથી. એટલે કે તે બિનઆવર્તીય ગતિ છે.
In simple words: સરળ આવર્તગતિ (SHM) એ \( \sin(wt+\Phi) \) અથવા \( \cos(wt+\Phi) \) સ્વરૂપમાં દર્શાવી શકાય છે. આવર્તગતિ ચોક્કસ સમય પછી પોતાને પુનરાવર્તિત કરે છે. (a) અને (c) SHM છે, જ્યારે (b) અને (d) આવર્તગતિ છે પણ SHM નથી. (e) અને (f) સમય સાથે સતત બદલાતા હોવાથી તે બિનઆવર્તીય ગતિ છે.

🎯 Exam Tip: કોઈ વિધેય સરળ આવર્તગતિ (SHM) દર્શાવે છે કે નહીં તે નક્કી કરવા માટે, તેને \( A \sin(\omega t + \phi) \) અથવા \( A \cos(\omega t + \phi) \) ના સ્વરૂપમાં રૂપાંતરિત કરવાનો પ્રયાસ કરો. જો શક્ય હોય, તો તે SHM છે; નહિંતર, તે ફક્ત આવર્તગતિ હોઈ શકે છે.

 

Question 5. એક કણ 10 cm દૂર એવાં બે બિંદુઓ, A અને Bની વચ્ચે રેખીય સરળ આવર્તગતિ કરે છે. Aથી Bની દિશાને ધન લો અને વેગ, પ્રવેગ અને બળની સંજ્ઞા આપો. જ્યારે તે કણ
(a) A છેડા પર હોય
(b) B છેડા પર હોય
(c) ABના મધ્યબિંદુ પર A તરફ જતી દિશામાં
(d) Bથી 2 cm દૂર A તરફ જતાં
(e) Aથી 3 cm દૂર B તરફ જતાં અને
(f) Bથી 4 cm દૂર A તરફ જતાં
Answer:
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): આકૃતિ 14.34 એક કણની રેખીય સરળ આવર્તગતિ દર્શાવે છે જે A અને B બિંદુઓ વચ્ચે 10 cm ના અંતરે થાય છે. મધ્યબિંદુ O ને સંદર્ભ બિંદુ તરીકે લેવામાં આવે છે. A થી B દિશાને ધન (+ve) અને B થી A દિશાને ઋણ (-ve) તરીકે દર્શાવવામાં આવી છે. વિવિધ સ્થિતિઓમાં કણના વેગ, પ્રવેગ અને બળની સંજ્ઞાઓ નક્કી કરવાની છે.
યાદ રાખો કે, સરળ આવર્તગતિ કરતાં કણ પર લાગતું બળ અને પ્રવેગ હંમેશાં મધ્યમાન સ્થાન (O) તરફ હોય છે. આકૃતિમાં Aથી B તરફની દિશાને ધન લેવામાં આવી છે.

ક્રમ	કણનું સ્થાન	વેગ	પ્રવેગ	બળ
(a)	A છેડા પર	શૂન્ય	ધન (Aથી O તરફ)	ધન (Aથી O તરફ)
(b)	B છેડા પર	શૂન્ય	ઋણ (Bથી O તરફ)	ઋણ (Bથી O તરફ)
(c)	ABના મધ્યબિંદુ (O) પર A તરફ જતી દિશામાં	ઋણ, મહત્તમ (Oથી A તરફ)	શૂન્ય	શૂન્ય
(d)	Bથી 2 cm દૂર, (C) A તરફ જતાં	ઋણ (Cથી O તરફ)	ઋણ (Cથી O તરફ)	ઋણ (Cથી O તરફ)
(e)	Aથી 3 cm દૂર, (D) B તરફ જતાં	ધન (Dથી O તરફ)	ધન (Dથી O તરફ)	ધન (Dથી O તરફ)
(f)	Bથી 4 cm દૂર, (E) A તરફ જતાં	ઋણ (Eથી A તરફ)	ઋણ (Eથી O તરફ)	ઋણ (Eથી O તરફ)

In simple words: SHMમાં, છેડાના બિંદુઓ પર વેગ શૂન્ય હોય છે, અને પ્રવેગ તથા બળ મધ્યમાન સ્થાન તરફ મહત્તમ હોય છે. મધ્યમાન સ્થાન પર વેગ મહત્તમ હોય છે અને પ્રવેગ તથા બળ શૂન્ય હોય છે. દિશા નક્કી કરતી વખતે, ગતિની દિશા અને બળ/પ્રવેગની દિશાનું ધ્યાન રાખવું.

🎯 Exam Tip: SHMમાં વેગ હંમેશા ગતિની દિશામાં હોય છે, જ્યારે પ્રવેગ અને પુન:સ્થાપક બળ હંમેશા મધ્યમાન સ્થાન તરફ નિર્દેશ કરે છે. આ નિયમ યાદ રાખવાથી દિશાઓ અને સંજ્ઞાઓ સરળતાથી નક્કી કરી શકાય છે.

 

Question 6. નીચેના અને સ્થાનાંતર x વચ્ચેના નીચેના સંબંધોમાંથી કયા સરળ આવર્તગતિ ધરાવે છે?
(a) \( a = 0.7x \)
(b) \( a = -200x^2 \)
(c) \( a = -10x \)
(d) \( a = 100x^3 \)
Answer:
સરળ આવર્તગતિમાં પ્રવેગ સ્થાનાંતરના સમપ્રમાણમાં અને વિરુદ્ધ દિશામાં હોય છે, એટલે કે \( a = -\omega^2 x \) ના સ્વરૂપમાં હોય છે. આપેલા સમીકરણોમાં સમીકરણ (c) આ સમીકરણને સંતોષે છે. આથી તે સરળ આવર્તગતિ દર્શાવે છે.
In simple words: સરળ આવર્તગતિ (SHM) માટે, પદાર્થનો પ્રવેગ હંમેશા તેના સ્થાનાંતરના સમપ્રમાણમાં હોવો જોઈએ, પરંતુ વિરુદ્ધ દિશામાં હોવો જોઈએ. એટલે કે, \( a \propto -x \). વિકલ્પ (c) \( a = -10x \) આ શરતને પૂર્ણ કરે છે.

🎯 Exam Tip: SHMની મૂળભૂત શરત છે કે પ્રવેગ \( a \propto -x \), જ્યાં \( x \) સ્થાનાંતર છે. કોઈપણ સમીકરણ જે આ સ્વરૂપમાં ન હોય તે SHM નથી.

 

Question 7. સરળ આવર્તગતિ કરતા કણની ગતિને સ્થાનાંતર વિધેય \( x(t) = A \cos (wt + \Phi) \) દ્વારા વર્ણવવામાં આવે છે.
જો કણનું પ્રારંભિક (t = 0) સ્થાન 1 cm હોય અને તેનો પ્રારંભિક વેગ w cm/s હોય, તો તેનો કંપવિસ્તાર અને પ્રારંભિક કળા શોધો. કણની કોણીય આવૃત્તિ એ \( \pi s^{-1} \) છે. જો cosine વિધેયના સ્થાને સ.આ.ગ.ને વર્ણવવા માટે આપણે sine વિધેય \( x = B \sin (w t + \alpha) \) પસંદ કરીએ, તો ઉપર્યુક્ત પ્રારંભિક શરતો સાથે કણનો કંપવિસ્તાર અને પ્રારંભિક કળા શું થશે?
Answer:
(a) \( t = 0 \) સમયે \( x = 1 \text{ cm} \), \( u = w \text{ cm s}^{-1} \), \( \omega = \pi s^{-1} \) \( x = A \cos (wt + \Phi) \) \( \implies 1 = A \cos (w (0) + \Phi) \)
\( \implies A \cos \Phi = 1 \quad \dots(1) \)
કણનો વેગ \( v = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt} (A \cos (wt + \Phi)) \)
\( \therefore v = -A \omega \sin (wt + \Phi) \)
\( t = 0 \) સમયે \( u = w \) છે.
\( \therefore w = -A \omega \sin (w(0) + \Phi) \)
\( \implies -1 = A \sin \Phi \quad \dots(2) \)
સમીકરણ (1) અને (2)નો વર્ગ કરી સરવાળો કરતાં,
\( A^2 (\cos^2\Phi + \sin^2\Phi) = 1^2 + (-1)^2 \)
\( \therefore A^2 = 2 \)
\( \therefore A = \sqrt{2} \text{ cm} \)
સમીકરણ (2)ને (1) વડે ભાગતાં,
\( \frac{\sin \Phi}{\cos \Phi} = \frac{-1}{1} \)
\( \therefore \tan \Phi = -1 \)
\( \therefore \Phi = \tan^{-1}(-1) = \frac{3\pi}{4} \text{ અથવા } \frac{7\pi}{4} \text{ rad} \)
(b) \( t = 0 \) સમયે \( x = 1 \text{ cm} \), પ્રારંભિક વેગ \( u = w \text{ cm s}^{-1} \) અને \( \omega = \pi s^{-1} \)
\( x = B \sin (wt + \alpha) \)
\( \implies 1 = B \sin (\omega(0) + \alpha) \)
\( \implies B \sin \alpha = 1 \quad \dots(3) \)
વેગ \( v = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(B \sin (wt + \alpha)) \)
\( = +B \omega \cos (wt + \alpha) \)
\( t = 0 \) સમયે \( v = w \text{ cm s}^{-1} \) છે.
\( \therefore \omega = +B \omega \cos (\omega(0) + \alpha) \)
\( \implies B \cos \alpha = 1 \quad \dots(4) \)
સમીકરણ (3) અને (4) પરથી,
\( B^2(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha) = 1^2 + 1^2 \)
\( \therefore B^2 = 2 \implies B = \sqrt{2} \text{ cm} \)
સમીકરણ (3) અને (4)નો ગુણોત્તર લેતાં,
\( \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{1}{1} = 1 \)
\( \therefore \tan \alpha = 1 \)
\( \therefore \alpha = \tan^{-1}(1) \)
\( \therefore \alpha = \frac{\pi}{4} \text{ અથવા } \frac{5\pi}{4} \text{ rad} \)
In simple words: કંપવિસ્તાર અને પ્રારંભિક કળા શોધવા માટે, આપેલા સ્થાનાંતર અને વેગના સમીકરણોમાં \( t=0 \) મૂકીને બે સમીકરણો મેળવો. પછી તેમને વર્ગ કરીને ઉમેરો અને ભાગો, જેથી કંપવિસ્તાર અને કળા સરળતાથી મળી શકે. Cosine અને Sine વિધેય માટે પ્રારંભિક કળાઓ અલગ-અલગ હોય છે, પરંતુ કંપવિસ્તાર સમાન રહે છે.

🎯 Exam Tip: પ્રારંભિક કળા અને કંપવિસ્તાર શોધવા માટે, હંમેશા ગતિના સમીકરણમાં \( t=0 \) મૂકીને આપેલ શરતોનો ઉપયોગ કરો. યાદ રાખો કે \( \sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 \) નો ઉપયોગ કંપવિસ્તાર શોધવા માટે થાય છે અને \( \tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} \) નો ઉપયોગ કળા શોધવા માટે થાય છે.

 

Question 8. સ્પ્રિંગ બૅલેન્સમાં જે સ્કેલ છે તે 0થી 50 kg સુધીનો છે. સ્કેલની લંબાઈ 20 cm છે. આ કાંટા પર લટકાવવામાં આવેલ એક પદાર્થને સ્થાનાંતરિત કરીને મુક્ત કરવામાં આવે છે, તો તે 0.6sના આવર્તકાળ સાથે દોલિત થાય છે. આ પદાર્થનું દળ અને વજન કેટલું હશે?
Answer:
ઉકેલ: આપેલ છે: \( y = 20 \text{ cm} = 0.2 \text{ m} \), \( m = 50 \text{ kg} \), \( g = 9.8 \text{ m s}^{-2} \), \( T = 0.60 \text{ s} \) અહીં, સ્પ્રિંગના છેડે 50 kgનું દળ લટકાવતાં સ્પ્રિંગની લંબાઈમાં 20 cm જેટલો વધારો થાય છે.
સ્પ્રિંગ-અચળાંક, \( k = \frac{F}{y} = \frac{mg}{y} = \frac{50 \times 9.8}{0.2} \)
\( \therefore k = 2450 \text{ N m}^{-1} \) ધારો કે, પદાર્થનું દળ \( M \) છે અને તેને સ્પ્રિંગના છેડે લટકાવતાં તે દોલન કરે છે. દોલનનો આવર્તકાળ,
\( T = 2\pi\sqrt{\frac{M}{k}} \)
\( \therefore 0.60 = 2 \times 3.14\sqrt{\frac{M}{2450}} \)
\( \therefore M = \left(\frac{0.60}{2 \times 3.14}\right)^2 \times 2450 \)
\( \therefore M = 22.36 \text{ kg} \) પદાર્થનું વજન \( W = Mg = (22.36) (9.8) \)
\( \therefore W = 219.128 \text{ N} \approx 219 \text{ N} \)
In simple words: સ્પ્રિંગનો અચળાંક \( k \) શોધવા માટે તેના પર લાગતા બળ અને વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરો. પછી, દોલનના આવર્તકાળના સૂત્રમાં \( k \) અને આપેલ આવર્તકાળનો ઉપયોગ કરીને પદાર્થનું દળ \( M \) શોધો. છેલ્લે, વજન શોધવા માટે દળને ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ \( g \) વડે ગુણો.

🎯 Exam Tip: સ્પ્રિંગ-અચળાંક (\( k \)) અને આવર્તકાળ (\( T \)) વચ્ચેનો સંબંધ યાદ રાખવો મહત્વપૂર્ણ છે. ખાસ કરીને, \( T = 2\pi\sqrt{\frac{M}{k}} \) સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ગણતરીઓ ધ્યાનપૂર્વક કરો.

 

Question 9. આકૃતિ 14.35 એ બતાવ્યા પ્રમાણે 1200 Nm^-1નો સ્પ્રિંગ-અચળાંક ધરાવતી એક સ્પ્રિંગને એક સમક્ષિતિજ ટેબલ પર ગોઠવેલ છે. આ સ્પ્રિંગના મુક્ત છેડા પર 3 kg જેટલું દ્રવ્યમાન જોડેલ છે. આ દ્રવ્યમાનને એક બાજુ 2.0 cmના અંતર સુધી ખેંચીને મુક્ત કરવામાં આવે છે.
(i) દોલનની આવૃત્તિ, (ii) દ્રવ્યમાનનો મહત્તમ પ્રવેગ અને (iii) દ્રવ્યમાનની મહત્તમ ઝડપ શોધો.
Answer:
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): આકૃતિ 14.35 એક સમક્ષિતિજ ટેબલ પર ગોઠવેલી સ્પ્રિંગ-દ્રવ્યમાન પ્રણાલી દર્શાવે છે. સ્પ્રિંગનો એક છેડો દ્રઢ આધાર સાથે જોડાયેલ છે અને બીજા છેડે 3 kg દ્રવ્યમાન જોડાયેલ છે. આ દ્રવ્યમાનને તેની સંતુલન સ્થિતિથી 2.0 cm જેટલું ખેંચીને મુક્ત કરવામાં આવે છે, જે સરળ આવર્તગતિ ઉત્પન્ન કરે છે. આ પ્રણાલી માટે આવૃત્તિ, મહત્તમ પ્રવેગ અને મહત્તમ ઝડપની ગણતરી કરવાની છે.
ઉકેલ: આપેલ છે: \( k = 1200 \text{ N m}^{-1} \), \( m = 3 \text{ kg} \), \( A = 2.0 \text{ cm} = 2 \times 10^{-2} \text{ m} \)
(i) દોલનની આવૃત્તિ,
\( v = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}} = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{1200}{3.0}} \)
\( \therefore v = 3.18 \approx 3.2 \text{ s}^{-1} \)
(ii) દોલનની કોણીય આવૃત્તિ,
\( \omega = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{1200}{3}} = 20 \text{ s}^{-1} \)
પદાર્થનો મહત્તમ પ્રવેગ \( a_{max} = \omega^2 A \)
\( = (20)^2 \times 2 \times 10^{-2} \)
\( = 8 \text{ m s}^{-2} \)
(iii) પદાર્થની મહત્તમ ઝડપ, \( v_{max} = \omega A \)
\( = 20 \times 2 \times 10^{-2} \)
\( = 0.4 \text{ m s}^{-1} \)
In simple words: સ્પ્રિંગ-દ્રવ્યમાન પ્રણાલી માટે, પહેલા કોણીય આવૃત્તિ \( \omega = \sqrt{k/m} \) શોધો. પછી, આવૃત્તિ \( v = \omega / (2\pi) \), મહત્તમ પ્રવેગ \( a_{max} = \omega^2 A \) અને મહત્તમ ઝડપ \( v_{max} = \omega A \) ના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને મૂલ્યો ગણી શકાય છે.

🎯 Exam Tip: સ્પ્રિંગ-દ્રવ્યમાન પ્રણાલીમાં આવૃત્તિ, મહત્તમ પ્રવેગ અને મહત્તમ ઝડપ શોધવા માટેના સૂત્રો યાદ રાખવા જરૂરી છે. \( \omega \) અને \( A \) ની ગણતરીમાં એકમોનું યોગ્ય ધ્યાન રાખો.

 

Question 10. સ્વાધ્યાય પ્રશ્ન (9)માં, ચાલો આપણે જ્યારે સ્પ્રિંગ ખેંચાયેલી ના હોય ત્યારની દ્રવ્યમાનની સ્થિતિને \( x = 0 \) લઈએ અને ડાબાથી જમણી તરફની દિશાને X-અક્ષની ધન દિશા તરીકે લઈએ. દોલન કરતાં આ દ્રવ્યમાન આપણે જ્યારે સ્ટૉપવૉચ શરૂ કરીએ (\( t = 0 \)) તે ક્ષણે આ દ્રવ્યમાન
(a) મધ્યમાન સ્થાને
(b) મહત્તમ ખેંચાયેલી સ્થિતિ પર અને
(c) મહત્તમ સંકોચિત સ્થિતિ પર હોય તે દરેક કિસ્સા માટે xને tના વિધેય તરીકે દર્શાવો.
સ.આ.ગ. માટેનાં આ વિધેયો આવૃત્તિમાં, કંપવિસ્તારમાં અથવા પ્રારંભિક કળામાં બીજા કરતાં કેવી રીતે અલગ પડે છે?

 

Answer:
આપેલ છે: \( k = 1200 \text{ N m}^{-1} \), \( m = 3 \text{ kg} \), \( A = 2 \text{ cm} \) સ.આ.ગ.ની કોણીય આવૃત્તિ,
\( \omega = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{1200}{3}} \)
\( \therefore \omega = 20 \text{ rad s}^{-1} \)
(a) \( t = 0 \) સમયે પદાર્થ મધ્યમાન સ્થાનેથી ગતિની શરૂઆત કરે તે કિસ્સામાં સ.આ.ગ.નું સ્થાનાંતર,
\( x = A \sin \omega t \)
\( \therefore x = 2 \sin 20 t \text{ cm} \)
(b) \( t = 0 \) સમયે પદાર્થ મહત્તમ ખેંચાયેલ સ્થિતિ પર હોય એટલે કે દોલનપથના ધન અંતિમ સ્થાન \( (+A) \) પર હોય, તો તેની પ્રારંભિક કળા \( \frac{\pi}{2} \text{ rad} \) હોય છે.
\( \therefore x = A \sin \left(\omega t + \frac{\pi}{2}\right) \)
\( = 2 \sin \left(20t + \frac{\pi}{2}\right) \)
અથવા \( x = 2 \cos 20 t \text{ cm} \)
(c) \( t = 0 \) સમયે પદાર્થ મહત્તમ સંકોચિત સ્થિતિ પર હોય ત્યારે સ્થાનાંતર \( A \) ઋણ થશે અને ગતિની પ્રારંભિક કળા \( \frac{3\pi}{2} \text{ rad} \) હશે.
\( \therefore x = A \sin \left(\omega t + \frac{3\pi}{2}\right) \)
\( = 2 \sin \left(20t + \frac{3\pi}{2}\right) \)
અથવા \( x = -2 \cos 20 t \text{ cm} \)
In simple words: જ્યારે \( t=0 \) પર કણ મધ્યમાન સ્થાને હોય ત્યારે \( x(t) = A \sin(\omega t) \). જો કણ ધન મહત્તમ સ્થાનાંતર પર હોય, તો \( x(t) = A \cos(\omega t) \). જો કણ ઋણ મહત્તમ સ્થાનાંતર પર હોય, તો \( x(t) = -A \cos(\omega t) \). આવૃત્તિ અને કંપવિસ્તાર સમાન રહે છે, પરંતુ પ્રારંભિક કળા બદલાય છે.

🎯 Exam Tip: પ્રારંભિક કળા એ \( t=0 \) સમયે કણની સ્થિતિ અને ગતિની દિશા પર આધાર રાખે છે. \( \sin \theta = \cos (\theta - \pi/2) \) અને \( \cos \theta = \sin (\theta + \pi/2) \) જેવા ત્રિકોણમિતિના રૂપાંતરણો યાદ રાખવા ઉપયોગી છે.

 

Question 11. આકૃતિઓ 14.36 બે વર્તુળમય ગતિઓ દર્શાવે છે. પ્રત્યેક આકૃતિમાં વર્તુળની ત્રિજ્યા, પરિભ્રમણનો આવર્તકાળ, પ્રારંભિક સ્થિતિ અને પરિભ્રમણ દિશા (એટલે કે ઘડિયાળના કાંટાની ગતિની દિશામાં કે ઘડિયાળના કાંટાની ગતિની વિરુદ્ધ દિશામાં) દર્શાવવામાં આવેલ છે.
દરેક કિસ્સામાં, પરિભ્રમણ કરતાં કણ Pના ત્રિજ્યા સદિશના X-પ્રક્ષેપને અનુરૂપ સરળ આવર્તગતિ મેળવો.
Answer:
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): આકૃતિ 14.36 (a) અને (b) બે સંદર્ભ વર્તુળો દર્શાવે છે, જેમાંથી દરેક એક કણની વર્તુળાકાર ગતિનું નિરૂપણ કરે છે. દરેક આકૃતિમાં વર્તુળની ત્રિજ્યા, પરિભ્રમણનો આવર્તકાળ (T), \( t=0 \) સમયે કણની પ્રારંભિક સ્થિતિ (P) અને પરિભ્રમણની દિશા (ઘડિયાળના કાંટાની દિશામાં કે વિરુદ્ધ દિશામાં) દર્શાવવામાં આવી છે. આપણે આ વર્તુળાકાર ગતિના X-અક્ષ પરના પ્રક્ષેપને અનુરૂપ SHM સમીકરણ \( x(t) \) મેળવવાનું છે.

ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): આકૃતિ 14.37 (a) અને (b) સંદર્ભ વર્તુળનો ઉપયોગ કરીને કણની SHMનું વર્ણન દર્શાવે છે. આકૃતિ 14.37 (a) માં, કણ ઘડિયાળના કાંટાની વિરુદ્ધ દિશામાં ફરે છે, અને \( t=0 \) સમયે P પર હોય છે. તેનો X-અક્ષ પરનો પ્રક્ષેપ \( -x(t) \) તરીકે દર્શાવેલ છે. કણની X-અક્ષ પરના પ્રક્ષેપના સ્થાનનું સમીકરણ મેળવવા માટે ત્રિકોણમિતિનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે.
(a) આકૃતિ (a)માં દર્શાવ્યા મુજબ ધારો કે, કણ \( t = 0 \) સમયે P સ્થાને અને \( t = t \) સમયે \( P' \) સ્થાને છે. ત્રિજ્યાના સદિશ દ્વારા અંતરાતો કોણ \( \theta \),
\( \theta = \omega t = \frac{2\pi}{T} t \)
પરંતુ \( T = 2 \text{ s} \) છે.
\( \therefore \theta = \frac{2\pi}{2} t = \pi t \text{ rad} \)
આ કણનું X-અક્ષ પરનું સ્થાનાંતર એટલે \( OP' \)નો X-અક્ષ પરનો પ્રક્ષેપ,
\( -x(t) = OP' \cos\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) \) (સ્થાનાંતર Oથી ડાબી બાજુ છે.)
\( = 3 \sin \theta \)
\( \therefore x(t) = -3 \sin \pi t \text{ cm} \)
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): આકૃતિ 14.37 (b) માં, કણ ઘડિયાળના કાંટાની વિરુદ્ધ દિશામાં ફરે છે, અને \( t=0 \) સમયે P પર હોય છે. તેનો X-અક્ષ પરનો પ્રક્ષેપ \( -x(t) \) તરીકે દર્શાવેલ છે. કણની X-અક્ષ પરના પ્રક્ષેપના સ્થાનનું સમીકરણ મેળવવા માટે ત્રિકોણમિતિનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે.
(b) આકૃતિ (b)માં દર્શાવ્યા મુજબ ધારો કે, કણ \( t \) સમયમાં P સ્થાનથી \( P' \) સ્થાન પર જાય છે. આ સમય દરમિયાન ત્રિજ્યાના સદિશ દ્વારા અંતરાતો કોણ \( \theta \),
\( \theta = \omega t = \frac{2\pi}{T} t \)
પરંતુ \( T = 4 \text{ s} \) છે.
\( \therefore \theta = \frac{2\pi}{4} t = \frac{\pi}{2} t \text{ rad} \)
આ કણનું X-અક્ષ પરનું સ્થાનાંતર એટલે \( OP' \)નો X-અક્ષ પરનો પ્રક્ષેપ,
\( -x(t) = OP' \cos \theta \)
\( -x(t) = 2 \cos \frac{\pi}{2}t \)
\( \therefore x(t) = -2 \cos \frac{\pi}{2} t \text{ m} \)
In simple words: વર્તુળાકાર ગતિના X-અક્ષ પરના પ્રક્ષેપને સરળ આવર્તગતિ (SHM) તરીકે દર્શાવી શકાય છે. આપેલ આકૃતિઓ માટે, \( t=0 \) પરની કણની પ્રારંભિક સ્થિતિ અને ગતિની દિશાના આધારે, કોણીય સ્થાનાંતર \( \theta = \omega t \) શોધો. પછી, \( x(t) = A \cos(\theta + \phi) \) અથવા \( A \sin(\theta + \phi) \) નો ઉપયોગ કરીને SHM સમીકરણ મેળવો.

🎯 Exam Tip: સંદર્ભ વર્તુળ પદ્ધતિમાં, SHMનું સમીકરણ મેળવવા માટે કણની પ્રારંભિક સ્થિતિ અને કોણીય વેગ \( \omega = 2\pi/T \) નો ઉપયોગ કરો. X-પ્રક્ષેપ માટે, \( x(t) = R \cos(\omega t + \phi_0) \) અથવા \( R \sin(\omega t + \phi_0) \) નો ઉપયોગ થાય છે, જ્યાં \( R \) વર્તુળની ત્રિજ્યા છે.

 

Question 12. નીચેની પ્રત્યેક સરળ આવર્તગતિ માટે અનુરૂપ સંદર્ભ વર્તુળ દોરો. કણનું પ્રારંભિક (\( t = 0 \)) સ્થાન, વર્તુળની ત્રિજ્યા અને ભ્રમણ ગતિ કરતા કણની કોણીય ઝડપ દર્શાવો. સરળતા માટે ભ્રમણની દિશાને દરેક કિસ્સામાં ઘડિયાળના કાંટાની ગતિની વિરુદ્ધ લઈ શકાય છે. (x cmમાં છે અને t એ sમાં છે.)
(a) \( x = -2 \sin \left(3t + \frac{\pi}{3}\right) \)
(b) \( x = \cos\left(\frac{\pi}{6} - t\right) \)
(c) \( x = 3 \sin \left(2\pi t + \frac{\pi}{4}\right) \)
(d) \( x = 2 \cos \pi t \)
Answer:
ઉકેલ:
(a) \( x = -2 \sin \left(3t + \frac{\pi}{3}\right) \)
\( = 2 \cos \left(3t + \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{2}\right) \)
\( = 2 \cos \left(3t + \frac{5\pi}{6}\right) \)
\( x = A \cos (\omega t + \Phi_0) \) સાથે સરખાવતાં,
\( A = 2 \text{ cm} \), \( \omega = 3 \text{ rad s}^{-1} \), \( \Phi_0 = \frac{5\pi}{6} \)
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): આકૃતિ 14.38 (a) એ સમીકરણ \( x = 2 \cos \left(3t + \frac{5\pi}{6}\right) \) માટેનો સંદર્ભ વર્તુળ દર્શાવે છે. વર્તુળની ત્રિજ્યા 2 cm છે અને કોણીય ઝડપ \( \omega = 3 \text{ rad s}^{-1} \) છે. \( t=0 \) સમયે કણ \( \frac{5\pi}{6} \) કળા પર સ્થિત છે, જે X-અક્ષથી ઘડિયાળના કાંટાની વિરુદ્ધ દિશામાં માપવામાં આવે છે. આ બિંદુ P તરીકે દર્શાવેલ છે.

(b) \( x = \cos \left(\frac{\pi}{6} - t\right) \)
\( = \cos \left(-\left(t - \frac{\pi}{6}\right)\right) \)
\( = \cos \left(t - \frac{\pi}{6}\right) \left( \because \cos(-\theta) = \cos \theta \right) \)
\( x = A \cos (\omega t + \Phi_0) \) સાથે સરખાવતાં,
\( A = 1 \text{ cm} \), \( \omega = 1 \text{ rad s}^{-1} \), \( \Phi_0 = -\frac{\pi}{6} \text{ rad} \)
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): આકૃતિ 14.38 (b) એ સમીકરણ \( x = \cos \left(t - \frac{\pi}{6}\right) \) માટેનો સંદર્ભ વર્તુળ દર્શાવે છે. વર્તુળની ત્રિજ્યા 1 cm છે અને કોણીય ઝડપ \( \omega = 1 \text{ rad s}^{-1} \) છે. \( t=0 \) સમયે કણ \( -\frac{\pi}{6} \) કળા પર સ્થિત છે, જે X-અક્ષથી ઘડિયાળના કાંટાની વિરુદ્ધ દિશામાં માપવામાં આવે છે (અથવા ઘડિયાળના કાંટાની દિશામાં \( \frac{\pi}{6} \) ). આ બિંદુ P તરીકે દર્શાવેલ છે.

(c) \( x = 3 \sin \left(2\pi t + \frac{\pi}{4}\right) \)
\( = 3 \cos \left(2\pi t + \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{2}\right) \)
\( = 3 \cos \left(2\pi t - \frac{\pi}{4}\right) \)
\( x = A \cos (\omega t + \Phi_0) \) સાથે સરખાવતાં,
\( A = 3 \text{ cm} \), \( \omega = 2\pi \text{ rad s}^{-1} \), \( \Phi_0 = -\frac{\pi}{4} \text{ rad} \)
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): આકૃતિ 14.38 (c) એ સમીકરણ \( x = 3 \cos \left(2\pi t - \frac{\pi}{4}\right) \) માટેનો સંદર્ભ વર્તુળ દર્શાવે છે. વર્તુળની ત્રિજ્યા 3 cm છે અને કોણીય ઝડપ \( \omega = 2\pi \text{ rad s}^{-1} \) છે. \( t=0 \) સમયે કણ \( -\frac{\pi}{4} \) કળા પર સ્થિત છે, જે X-અક્ષથી ઘડિયાળના કાંટાની વિરુદ્ધ દિશામાં માપવામાં આવે છે (અથવા ઘડિયાળના કાંટાની દિશામાં \( \frac{\pi}{4} \) ). આ બિંદુ P તરીકે દર્શાવેલ છે.

(d) \( x = 2 \cos \pi t \)
\( x = A \cos (\omega t + \Phi_0) \) સાથે સરખાવતાં,
\( A = 2 \text{ cm} \), \( \omega = \pi \text{ rad s}^{-1} \), \( \Phi_0 = 0 \)
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): આકૃતિ 14.38 (d) એ સમીકરણ \( x = 2 \cos \pi t \) માટેનો સંદર્ભ વર્તુળ દર્શાવે છે. વર્તુળની ત્રિજ્યા 2 cm છે અને કોણીય ઝડપ \( \omega = \pi \text{ rad s}^{-1} \) છે. \( t=0 \) સમયે કણ \( \Phi_0 = 0 \) કળા પર સ્થિત છે, જે X-અક્ષ પર જ છે. આ બિંદુ P તરીકે દર્શાવેલ છે.
In simple words: દરેક સરળ આવર્તગતિ સમીકરણને \( x = A \cos(\omega t + \Phi_0) \) સ્વરૂપમાં રૂપાંતરિત કરો. \( A \) એ વર્તુળની ત્રિજ્યા, \( \omega \) એ કોણીય ઝડપ અને \( \Phi_0 \) એ \( t=0 \) પરની પ્રારંભિક કળા દર્શાવે છે, જે સંદર્ભ વર્તુળ પર કણની પ્રારંભિક સ્થિતિ P નક્કી કરે છે.

🎯 Exam Tip: સંદર્ભ વર્તુળ દોરતી વખતે, ત્રિજ્યા \( A \), કોણીય ઝડપ \( \omega \), અને ખાસ કરીને પ્રારંભિક કળા \( \Phi_0 \) નું યોગ્ય રીતે નિરૂપણ કરવું crucial છે. \( \Phi_0 \) એ \( t=0 \) સમયે X-અક્ષ સાથે બનાવતો ખૂણો દર્શાવે છે.

 

(d) `x = 2 cos πt`
Answer: Comparing the given equation with \(x = A \cos (wt + \Phi_0)\), we find that the amplitude \(A = 2\) cm, the angular frequency \(\omega = \pi\) rad s\(^{-1}\), and the initial phase \(\Phi_0 = 0\).
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): આકૃતિ 14.38 (d) સંદર્ભ વર્તુળને દર્શાવે છે જ્યાં કણ \(P(t=0)\) સમયે X-અક્ષ પર છે અને ઘડિયાળના કાંટાની દિશામાં \(\omega = \pi\) rad/s ની કોણીય ઝડપ સાથે ફરે છે, જે એક સરળ આવર્ત ગતિનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે.
In simple words: This equation represents simple harmonic motion with an amplitude of 2 cm, an angular frequency of \(\pi\) radians per second, and no initial phase shift.
🎯 Exam Tip: For simple harmonic motion equations, clearly identify amplitude, angular frequency, and phase constant by comparing with standard forms like \(x = A \cos(wt + \Phi)\) or \(x = A \sin(wt + \Phi)\) for accurate analysis.

 

Question 13. આકૃતિ 14.39 (a) બતાવે છે કે k બળ-અચળાંકવાળી એક સ્પ્રિંગના એક છેડાને દઢ રીતે જકડેલ છે અને તેના મુક્ત છેડા સાથે m દ્રવ્યમાન જોડેલ છે. મુક્ત છેડા પર લગાડવામાં આવતું બળ F એ સ્પ્રિંગને ખેંચે છે. આકૃતિ 14.39 (b)માં આ જ સ્પ્રિંગ બંને છેડાથી મુક્ત છે અને દ્રવ્યમાન m બંને છેડા પર જોડેલ છે. આકૃતિ 14.39 (b)માંની સ્પ્રિંગના દરેક છેડાને એકસમાન બળ F દ્વારા ખેંચવામાં આવેલ છે. (a) આ બે કિસ્સાઓમાં સ્પ્રિંગનું મહત્તમ વિસ્તરણ કેટલું છે? (b) જો આકૃતિ (a)માંનું દ્રવ્યમાન અને આકૃતિ (b)નાં બે દ્રવ્યમાનોને જો મુક્ત કરવામાં આવે, તો દરેક કિસ્સામાં દોલનોનો આવર્તકાળ કેટલો થશે?
Answer:
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): આકૃતિ 14.39 બે ભિન્ન ગોઠવણીઓમાં સ્પ્રિંગ-દ્રવ્યમાન પ્રણાલીઓને દર્શાવે છે. આકૃતિ (a) માં, એક સ્પ્રિંગ એક છેડે નિશ્ચિત છે અને બીજા છેડે દ્રવ્યમાન 'm' જોડાયેલું છે, જેના પર બળ 'F' લાગુ પડે છે. આકૃતિ (b) માં, એ જ સ્પ્રિંગના બંને છેડે દ્રવ્યમાન 'm' જોડાયેલા છે, અને બંને છેડે બળ 'F' સમાનરૂપે લાગુ પડે છે. (a) આકૃતિ (a)માં દર્શાવ્યા પ્રમાણે, સ્પ્રિંગનો એક છેડો નિશ્ચિત આધાર સાથે બંધાયેલો છે. સ્પ્રિંગનું મહત્તમ વિસ્તરણ એ દળ m ના મહત્તમ સ્થાનાંતર જેટલું હોય છે. જ્યારે પદાર્થ પર બળ F લાગુ પડે છે અને મહત્તમ સ્થાનાંતર x હોય, તો \(F = kx\)
\( \implies \) સ્પ્રિંગનું મહત્તમ વિસ્તરણ \(x = \frac{F}{k}\) જ્યાં k સ્પ્રિંગ-અચળાંક છે. આકૃતિ (b)માં m દળ પર બળ F લાગુ પાડવામાં આવે ત્યારે, બીજું દળ m સ્થિર રહે છે. તેથી, આ કિસ્સામાં પણ સ્પ્રિંગનું મહત્તમ વિસ્તરણ \(x = \frac{F}{k}\) જ થશે. (b) આકૃતિ (a)માં, જ્યારે પદાર્થ પર બળ લાગુ પડે છે, ત્યારે સ્પ્રિંગમાં પુન:સ્થાપક બળ \(F = -kx\) ઉત્પન્ન થાય છે. અહીં, F અને -x પરસ્પર વિરુદ્ધ દિશામાં હોય છે, જેના પરિણામે પદાર્થ સરળ આવર્તગતિ કરશે. આ ગતિનો આવર્તકાળ, \(T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}\) આકૃતિ (b)માં, બે દ્રવ્યમાનને મધ્યબિંદુ O પર જોડેલા હોય તેવું માની શકાય છે. આ દરેક સ્પ્રિંગનો સ્પ્રિંગ-અચળાંક \(k' = 2k\) થશે, કારણ કે સ્પ્રિંગ માટે \(kl = \) અચળ હોય છે. આથી આ તંત્રના દોલનનો આવર્તકાળ, \(T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k'}} = 2\pi\sqrt{\frac{m}{2k}}\)
In simple words: For both scenarios, the maximum extension of the spring is the same. However, the oscillation period differs: for a single mass-spring system, it's \(2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}\), while for the dual-mass system, it's \(2\pi\sqrt{\frac{m}{2k}}\) due to an effective spring constant of \(2k\).
🎯 Exam Tip: When dealing with spring systems, remember that the effective spring constant changes based on how springs are connected (series/parallel) and how masses are attached, directly influencing the period of oscillation.

 

Question 14. એક એન્જિનના સિલિન્ડર હેડમાં પિસ્ટન 1.0 mનો સ્ટ્રોક (કંપવિસ્તાર કરતાં બમણી) ધરાવે છે. જો પિસ્ટન 200 rad/minની કોણીય આવૃત્તિ સાથે સરળ આવર્તગતિ કરે છે, તો તેની મહત્તમ ઝડપ કેટલી છે?
Answer: Given values are: Stroke length = 1.0 m, which is twice the amplitude. So, Amplitude \(A = \frac{1.0}{2}\) m \(= 0.5\) m. Angular frequency \(\omega = 200\) rad/min. First, convert angular frequency to rad/s: \(\omega = 200 \frac{\text{rad}}{\text{min}} = \frac{200}{60} \frac{\text{rad}}{\text{s}} = \frac{10}{3}\) rad/s. The maximum speed of the piston in simple harmonic motion is given by: \(v_{max} = A\omega\) Substituting the values: \(v_{max} = (0.5 \text{ m}) \times (\frac{10}{3} \text{ rad/s})\) \(v_{max} = \frac{5}{3} \text{ m/s} \approx 1.67\) m/s.
In simple words: The piston moves with a maximum speed of approximately 1.67 meters per second, calculated by multiplying its amplitude (half the stroke length) by its angular frequency.
🎯 Exam Tip: Always ensure units are consistent (e.g., convert minutes to seconds) when performing calculations in physics problems to avoid errors.

 

Question 15. ચંદ્રની સપાટી પર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ 1.7 m s-2 છે. એક સાદા લોલકનો પૃથ્વીની સપાટી પરનો આવર્તકાળ 3.5 s હોય, તો ચંદ્રની સપાટી પર આવર્તકાળ કેટલો હશે? (પૃથ્વીની સપાટી પર\(g = 9.8\) m s-2 છે.)
Answer: Given information: Gravitational acceleration on the Moon's surface, \(g_m = 1.7\) m s\(^{-2}\). Gravitational acceleration on Earth's surface, \(g = 9.8\) m s\(^{-2}\). Period of a simple pendulum on Earth, \(T = 3.5\) s. We need to find the period of the pendulum on the Moon, \(T_m\). The period of a simple pendulum is given by \(T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}\), where \(l\) is the length of the pendulum. For Earth: \(T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}\) For Moon: \(T_m = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g_m}}\) Taking the ratio of \(T_m\) to \(T\): \(\frac{T_m}{T} = \frac{2\pi\sqrt{\frac{l}{g_m}}}{2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}} = \sqrt{\frac{g}{g_m}}\) Now, substitute the given values: \(T_m = T \sqrt{\frac{g}{g_m}}\) \(T_m = 3.5 \text{ s} \times \sqrt{\frac{9.8 \text{ m s}^{-2}}{1.7 \text{ m s}^{-2}}}\) \(T_m = 3.5 \times \sqrt{5.7647}\) \(T_m = 3.5 \times 2.401\) \(T_m \approx 8.4\) s. Therefore, the period of the pendulum on the Moon's surface will be approximately 8.4 s.
In simple words: A simple pendulum will oscillate slower on the Moon with a period of approximately 8.4 seconds because the Moon's gravitational acceleration is much weaker than Earth's.
🎯 Exam Tip: Remember the relationship between the period of a simple pendulum and gravity; it's inversely proportional to the square root of gravitational acceleration. This principle is key for problems involving different planetary bodies.

 

Question 16. નીચેના પ્રશ્નોના જવાબ આપો : (a) SHMમાં કણનો આવર્તકાળ \(T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}\) એ બળ- અચળાંક k અને કણના દ્રવ્યમાન m પર આધાર રાખે છે. દ્રવ્યમાનથી સ્વતંત્ર છે? (b) નાના કોણનાં દોલનો માટે સાદા લોલકની ગતિ લગભગ સરળ આવર્ત છે. કંપનના મોટા ખૂણા માટે વધુ સંલગ્ન વિશ્વેષણ બતાવે છે કે T એ \(2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}\) થી મોટો છે. આ પરિણામને સમજવા માટે કોઈ ગુણાત્મક દલીલ વિચારો. (c) હાથ પર કાંડા ઘડિયાળ પહેરેલ માણસ એક ટાવરની ટોચ પરથી નીચે પડે છે. શું આ ઘડિયાળ મુક્તપતન દરમિયાન સાચો સમય બતાવશે? (d) ગુરુત્વાકર્ષણ હેઠળ મુક્તપતન કરતાં કૅબિનમાં જિડત કરેલ સાદા લોલકના દોલનની આવૃત્તિ કેટલી હશે?
Answer:(a) સાદા લોલક માટે, પુન:સ્થાપક બળ-અચળાંક \(k = \frac{mg}{l}\) હોય છે. આથી, આવર્તકાળનું સૂત્ર \(T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}\) માં \(k\) ની કિંમત મૂકતાં, દળ m છેદમાંથી રદ થઈ જાય છે. \(T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{\frac{mg}{l}}} = 2\pi\sqrt{\frac{ml}{mg}} = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}\) આમ, સાદા લોલકનો આવર્તકાળ દળ m થી સ્વતંત્ર છે. (b) સાદા લોલકમાં લોલકનો પ્રવેગ \(a = -g \sin\theta\) હોય છે. જો \(\theta\) નાનો હોય, તો \(\sin\theta \approx \theta\) થાય છે અને \(\implies a = -g\theta\). આ કિસ્સામાં ગતિ સરળ આવર્ત હોય છે. પરંતુ જો \(\theta\) મોટો હોય, તો \(\sin\theta < \theta\) થાય છે, જેને લીધે અસરકારક ગુરુત્વપ્રવેગનું મૂલ્ય ઘટે છે. આથી આવર્તકાળ \(T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}\) અનુસાર વધે છે, એટલે કે મોટા કંપવિસ્તાર માટે આવર્તકાળ \(2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}\) થી મોટો હોય છે. (c) હા, મુક્તપતન દરમિયાન કાંડા ઘડિયાળ સાચો સમય દર્શાવશે. આ પ્રકારની ઘડિયાળો સ્પ્રિંગની ક્રિયાપ્રણાલી પર કાર્યરત હોય છે, જેને ગુરુત્વપ્રવેગ સાથે કોઈ સંબંધ નથી. પરંતુ જો ઘડિયાળ લોલક પ્રકારની હોત, તો તે સમય દર્શાવત નહીં. (d) જ્યારે કૅબિન \(a\) જેટલા પ્રવેગથી નીચે ઊતરે ત્યારે લોલક પર આભાસી બળ ઉપરની તરફ લાગે છે. આથી લોલકનો અસરકારક ગુરુત્વપ્રવેગ \(g' = g-a\) થાય છે.
\( \implies \) લોલકનો આવર્તકાળ \(T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g-a}}\). આ કિસ્સામાં લોલકનાં દોલનો ધીમાં પડે છે. હવે, જો કૅબિન મુક્તપતન કરતી હોય, તો \(a = g\) થાય છે.
\( \implies \) \(T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g-g}} = 2\pi\sqrt{\frac{l}{0}} = \infty\). આથી લોલકની આવૃત્તિ \(\nu = \frac{1}{T} = \frac{1}{\infty} = 0\). એટલે કે લોલક દોલન કરશે નહિ.
In simple words: A simple pendulum's period is independent of mass but increases with larger oscillation angles. A spring-based wristwatch works normally during freefall, unlike a pendulum clock, which would stop oscillating as the effective gravity becomes zero.
🎯 Exam Tip: Differentiate between spring-based and pendulum-based timekeeping devices in varying gravitational conditions. For pendulums, the effective gravity `g-a` is crucial in non-inertial frames like a falling lift.

 

Question 17. M દ્રવ્યમાનનો બૉબ (ગોળો) ધરાવતાં એક સાદા લોલકને કારમાં લટકાવવામાં આવે છે. આ કાર નિયમિત ગતિ સાથે R ત્રિજ્યાના વર્તુળાકાર પથ પર ગતિ કરી રહી છે. જો લોલક તેની સંતુલન સ્થાનને અનુલક્ષીને ત્રિજ્યાવર્તી દિશામાં નાનાં દોલનો કરે, તો તેનો આવર્તકાળ શું હશે?
Answer: જ્યારે કાર વર્તુળાકાર પથ પર નિયમિત ગતિ કરે છે, ત્યારે કારમાં રહેલા લોલકનો ગોળો બે પ્રકારના પ્રવેગ હેઠળ દોલન કરે છે: (i) કેન્દ્રગામી પ્રવેગ \(a_c = \frac{v^2}{R}\), જે સમક્ષિતિજ દિશામાં હોય છે. (ii) ગુરુત્વાકર્ષણને લીધે પ્રવેગ \(g\), જે અધોદિશામાં હોય છે. આથી, લોલક પર લાગતો અસરકારક પ્રવેગ \(g'\) આ બંને પ્રવેગોનો સદિશ સરવાળો હશે: \(g' = \sqrt{g^2 + a_c^2}\) \(g' = \sqrt{g^2 + (\frac{v^2}{R})^2}\) \(g' = \sqrt{g^2 + \frac{v^4}{R^2}}\) લોલકનો આવર્તકાળ (\(T\)) નું સૂત્ર, જ્યાં \(g\) ને બદલે \(g'\) નો ઉપયોગ થશે: \(T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g'}}\) \(T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{\sqrt{g^2 + \frac{v^4}{R^2}}}}\)
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): આકૃતિ 14.40 એક કારમાં લટકાવેલા લોલકને દર્શાવે છે જે R ત્રિજ્યાના વર્તુળાકાર પથ પર ગતિ કરી રહી છે. લોલક પર ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ g નીચે તરફ અને કેન્દ્રગામી પ્રવેગ \(a_c\) આડી દિશામાં લાગુ પડે છે, જેના કારણે એક અસરકારક પ્રવેગ g' ઉદ્ભવે છે.
In simple words: When a simple pendulum is in a car moving in a circular path, it experiences both gravity and centrifugal acceleration. The combined effect, an 'effective gravity', alters the pendulum's oscillation period from the standard \(2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}\) to \(2\pi\sqrt{\frac{l}{\sqrt{g^2 + (v^2/R)^2}}}\).
🎯 Exam Tip: In problems involving non-inertial frames (like an accelerating car), remember to consider pseudo forces or effective gravity to accurately determine the period of oscillation for a pendulum.

 

Question 18. A પાયાનું ક્ષેત્રફળ અને h ઊંચાઈનો કૉર્કનો એક નળાકાર ટુકડો \(\rho_1\) ધનતા ધરાવતા પ્રવાહીમાં તરે છે. આ કૉર્કને સહેજ ડુબાડીને પછી મુક્ત કરવામાં આવે છે. બતાવો કે આ કૉર્ક ઉપર-નીચે સરળ આવર્તદોલનો કરશે જેનો આવર્તકાળ હશે, \(T = 2\pi\sqrt{\frac{h\rho}{\rho_1 g}}\) જ્યાં \(\rho\) એ કૉર્કની ધનતા છે. (પ્રવાહીની સ્નિગ્ધતાને કારણે થતાં અવમંદનો અવગણો.)
Answer: Given: Height of the cylindrical cork = \(h\) Area of cross-section of the cork = \(A\) Density of the liquid = \(\rho_1\) Density of the cork = \(\rho\)
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): આકૃતિ 14.41 માં, એક નળાકાર કૉર્ક પ્રવાહીમાં તરતો દર્શાવવામાં આવ્યો છે. સંતુલિત સ્થિતિમાં, કૉર્કનો અમુક ભાગ ડૂબેલો હોય છે. જ્યારે કૉર્કને \(y\) જેટલો નીચે દબાવવામાં આવે છે, ત્યારે તે વધુ પ્રવાહીનું વિસ્થાપન કરે છે, જેના કારણે પુન:સ્થાપક બળ ઉદ્ભવે છે જે તેને ઉપરની તરફ ધકેલે છે. ધારો કે, નળાકારને \(y\) જેટલો વધુ દબાવવામાં આવે છે. આનાથી \(yA\) કદનું વધારાનું પ્રવાહી વિસ્થાપિત થશે. આ વિસ્થાપિત પ્રવાહીનું દળ \(m_{disp} = (\text{Volume}) \times (\text{Density of liquid}) = (yA)\rho_1\). નળાકાર પર લાગતું ઉત્પ્લાવક બળ, જે પુન:સ્થાપક બળ તરીકે કાર્ય કરે છે, તે વિસ્થાપિત પ્રવાહીના વજન જેટલું હોય છે: \(F = m_{disp}g = (yA\rho_1)g\) આ બળ વિસ્થાપન \(y\) ના સમપ્રમાણમાં અને તેની વિરુદ્ધ દિશામાં હોય છે (ઉર્ધ્વ દિશામાં). આથી, નળાકાર સરળ આવર્તગતિ કરશે. આ બળને \(F = ky\) સાથે સરખાવતાં, આપણે પુન:સ્થાપક બળ-અચળાંક \(k = A\rho_1 g\) મેળવીએ છીએ. નળાકારનું દળ \(M = (\text{Total volume}) \times (\text{Density of cork}) = (Ah)\rho\). સરળ આવર્તગતિનો આવર્તકાળ \((T)\) નું સૂત્ર છે: \(T = 2\pi\sqrt{\frac{M}{k}}\) હવે, \(M\) અને \(k\) ની કિંમતો મૂકતાં: \(T = 2\pi\sqrt{\frac{Ah\rho}{A\rho_1 g}}\) \(T = 2\pi\sqrt{\frac{h\rho}{\rho_1 g}}\) આ રીતે, આ કૉર્ક ઉપર-નીચે સરળ આવર્તદોલનો કરશે અને તેનો આવર્તકાળ \(T = 2\pi\sqrt{\frac{h\rho}{\rho_1 g}}\) થશે.
In simple words: When a floating cork cylinder is slightly pushed down, the increased buoyant force acts as a restoring force, making it oscillate with simple harmonic motion. The period of this oscillation depends on the cork's height, its density, the liquid's density, and gravity.
🎯 Exam Tip: When dealing with floating objects undergoing SHM, identify the restoring force as the change in buoyant force due to displacement. The effective spring constant will be derived from this restoring force, and the mass used in the period formula is the total mass of the oscillating object.

 

Question 19. પારો ધરાવતી એક U-ટ્યૂબનો એક છેડો એક શોષક (સક્શન) પંપ અને બીજો છેડો વાતાવરણમાં છે. બે કૉલમ વચ્ચે નાનો દબાણ તફાવત જાળવવામાં આવે છે. બતાવો કે, જ્યારે સક્શન પંપ દૂર કરવામાં આવે છે, તો U-ટ્યૂબમાં પારાનો સ્તંભ સરળ આવર્તગતિ કરે છે.
Answer:
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): આકૃતિ 14.42 માં, એક U-આકારની ટ્યુબમાં પ્રવાહી સ્તંભ દર્શાવેલ છે. જ્યારે પ્રવાહી એક શાખામાં y જેટલું નીચે જાય છે, ત્યારે બીજી શાખામાં તે y જેટલું ઉપર આવે છે, જેના પરિણામે બંને શાખાઓ વચ્ચે 2y જેટલો ઊંચાઈનો તફાવત સર્જાય છે, જે પ્રવાહીના દોલનો સમજાવે છે. જ્યારે સક્શન પંપ દૂર કરવામાં આવે છે, ત્યારે U-ટ્યૂબની એક શાખામાં પ્રવાહી \(y\) જેટલું નીચે તરફ વિસ્થાપિત થાય છે. પરિણામે, બીજી શાખામાં પ્રવાહી \(y\) જેટલું ઉપર તરફ વિસ્થાપિત થાય છે. આથી, બંને શાખાઓમાં પ્રવાહીની મુક્ત સપાટીઓ વચ્ચેનો ઊંચાઈનો તફાવત \( = 2y\) થાય છે. આ \(2y\) ઊંચાઈના પ્રવાહીના સ્તંભને કારણે ઉદ્ભવતું દબાણ \(P = \rho g (2y)\), જ્યાં \(\rho\) એ પ્રવાહીની ઘનતા અને \(g\) ગુરુત્વપ્રવેગ છે. આ દબાણને કારણે ઉદ્ભવતું બળ \(F = PA\), જ્યાં \(A\) U-ટ્યૂબના આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે. \(F = \rho g (2y) A = (2\rho g A)y\) આ બળ વિસ્થાપન \(y\) ના સમપ્રમાણમાં અને તેની વિરુદ્ધ દિશામાં લાગતું હોવાથી, દોલનો સરળ આવર્ત પ્રકારનાં છે. આ બળને \(F = ky\) સાથે સરખાવતાં, આપણે \(k = 2\rho g A\) મેળવીએ છીએ. પ્રવાહીના દોલન કરતા સ્તંભનું દળ \(m = \rho \times (\text{Total volume}) = \rho \times (A \times 2L)\), જ્યાં \(2L\) એ U-ટ્યૂબમાં પ્રવાહી સ્તંભની કુલ લંબાઈ છે. સરળ આવર્તદોલકનો આવર્તકાળ, \(T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}\) \(T = 2\pi\sqrt{\frac{\rho (A \times 2L)}{2\rho g A}}\) \(T = 2\pi\sqrt{\frac{2\rho AL}{2\rho g A}}\) \(T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}\)
In simple words: When the suction pump is removed from a U-tube containing mercury, the unequal levels create a pressure difference, causing the mercury column to oscillate. This oscillation is simple harmonic because the restoring force is proportional to the displacement, with a period \(T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}\), where L is the length of the mercury column.
🎯 Exam Tip: For fluid oscillations in U-tubes, the restoring force is due to the hydrostatic pressure difference caused by the displacement. Remember that the mass oscillating is the total mass of the fluid column, and the spring constant is derived from the pressure force.

 

Question 20. V કદની એક ચૅમ્બરની ગ્રીવાના આડછેદનું ક્ષેત્રફળ A છે. જેમાં m દ્રવ્યમાનનો એક બૉલ ફિટ (ચુસ્ત) થઈ પણ ઘર્ષણ વિના ઉપર-નીચે ગતિ કરી શકે છે. (આકૃતિ 14.43) એમ બતાવો કે બૉલને થોડોક નીચે દબાવીને મુક્ત કરતાં તે સ.આ.ગ. કરે છે. હવાના દબાણ-કદ બદલાવને સમતાપી (Isothermal) ગણીને દોલનોના આવર્તકાળ માટેનું સૂત્ર મેળવો.
Answer:
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): આકૃતિ 14.43 માં, V કદની એક ચેમ્બર દર્શાવેલ છે જેમાં A આડછેદવાળી ગરદન છે અને તેમાં m દ્રવ્યમાનનો બૉલ ફિટ કરેલો છે. આકૃતિ 14.44 માં, બૉલને સંતુલન સ્થિતિ C પરથી D સ્થિતિમાં દબાવવામાં આવે છે, જે સિસ્ટમમાં દબાણ અને કદના ફેરફારોને દર્શાવે છે. પદ: \(V\) = ચૅમ્બરમાં રહેલી હવાનું કદ \(A\) = ચૅમ્બરની ગ્રીવાના આડછેદનું ક્ષેત્રફળ \(m\) = બૉલનું દળ પ્રારંભમાં, બૉલ C સ્થાને સંતુલિત સ્થિતિમાં છે. જ્યારે બૉલ પર સામાન્ય દબાણ લાગુ પડે છે, ત્યારે તે D સ્થાને જાય છે અને ત્યારબાદ ઉપર-નીચે દોલન કરે છે. બૉલ પર દબાણ લગાડતાં તે \(y\) જેટલું સ્થાનાંતર નીચેની તરફ કરે છે. આથી ચૅમ્બરમાંની હવાના કદમાં ફેરફાર \(\Delta V = Ay\) જેટલો થાય છે. જો હવામાં દબાણમાં થતો ફેરફાર \(\Delta P\) હોય, તો હવાનો બલ્ક મૉડ્યુલસ (\(B\)) નીચે મુજબ છે: \(B = -\frac{\Delta P}{(\Delta V/V)}\)
\( \implies \) \(B = -\frac{\Delta P}{(Ay/V)}\)
\( \implies \) \(\Delta P = -\frac{BA}{V}y\) ઋણ નિશાની દર્શાવે છે કે દબાણ વધતા હવાના કદમાં ઘટાડો થાય છે. પુન:સ્થાપક બળ \(F = \Delta P \times A\) \(F = (-\frac{BA}{V}y)A\) \(F = -\frac{BA^2}{V}y\) અહીં, \(F \propto y\) અને તે વિરુદ્ધ દિશામાં લાગે છે. આથી બૉલ સરળ આવર્તગતિ કરશે. આ પુન:સ્થાપક બળને \(F = -ky\) સાથે સરખાવતાં, \(k = \frac{BA^2}{V}\) દોલનનો આવર્તકાળ, \(T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}} = 2\pi\sqrt{\frac{m}{\frac{BA^2}{V}}}\)
\( \implies \) \(T = 2\pi\sqrt{\frac{mV}{BA^2}}\) • જો હવામાં ફેરફાર સમતાપી (isothermal) હોય, તો બલ્ક મૉડ્યુલસ \(B = P\) (જ્યાં P એ હવાનું દબાણ છે).
\( \implies \) \(T = 2\pi\sqrt{\frac{mV}{PA^2}}\) (સમતાપી ફેરફાર માટે) • જો હવામાં ફેરફાર સમોષ્મી (adiabatic) હોય, તો બલ્ક મૉડ્યુલસ \(B = \gamma P\) (જ્યાં \(\gamma\) એ હવા માટે વિશિષ્ટ ઉષ્માનો ગુણોત્તર છે).
\( \implies \) \(T = 2\pi\sqrt{\frac{mV}{\gamma PA^2}}\) (સમોષ્મી ફેરફાર માટે)
In simple words: When a ball in a chamber's neck is slightly displaced, the change in air volume creates a restoring pressure force, causing the ball to undergo simple harmonic motion. Assuming an isothermal process, the period of oscillation is derived using the air pressure as the bulk modulus.
🎯 Exam Tip: For problems involving gas compression/expansion and SHM, recall the formula for bulk modulus and its relation to pressure for isothermal and adiabatic processes. This will help you correctly derive the effective spring constant for the system.

 

Question 21. 3000 kgના વાહનમાં તમે સવારી કરી રહ્યાં છો. એમ ધારીને કે તમે તેની સસ્પેન્શન સિસ્ટમનાં દોલનોની લાક્ષણિકતાની તપાસ કરી રહ્યાં છો. આ સસ્પેન્શન 15 cm દબાય છે, જ્યારે સમગ્ર વાહન તેના પર મૂકવામાં આવે છે. ઉપરાંત એક સંપૂર્ણ દોલન દરમિયાન કંપવિસ્તારમાં 50 % જેટલો ઘટાડો થાય છે. (a) સ્પ્રિંગ-અચળાંક અને (b) દરેક પૈડું 750 kgને આધાર આપે છે, અવમંદન (સ્પ્રિંગ અને એક પૈડાના આંચકા શોષક તંત્ર માટે અવમંદન અચળાંક b શોધો.
Answer: Given data: Mass of the vehicle \(M = 3000\) kg. Compression of suspension \(x = 15\) cm \( = 0.15\) m. Assuming each wheel supports an equal share of the vehicle's mass, the mass supported by each wheel \(m_{wheel} = \frac{3000}{4} = 750\) kg. (a) To find the spring constant \(k\): When the vehicle is placed on the suspension, the compression is due to the weight it supports. For a single wheel, the force is \(F = m_{wheel} g\). Using Hooke's Law, \(F = kx\), so \(m_{wheel} g = kx\).
\( \implies \) \(k = \frac{m_{wheel} g}{x}\) \(k = \frac{750 \text{ kg} \times 9.8 \text{ m s}^{-2}}{0.15 \text{ m}}\) \(k = \frac{7350}{0.15} = 49000 \text{ N m}^{-1}\) Thus, \(k \approx 4.9 \times 10^4 \text{ N m}^{-1}\). (b) To find the damping constant \(b\): For damped oscillations, the amplitude at time \(t\) is given by \(A(t) = A_0 e^{-\frac{bt}{2m}}\). It is given that the amplitude decreases by 50% in one complete oscillation. This means after one period \(T\), the amplitude becomes \(A_0/2\). So, \(\frac{A_0}{2} = A_0 e^{-\frac{bT}{2m}}\) \(\frac{1}{2} = e^{-\frac{bT}{2m}}\) Taking the natural logarithm on both sides: \(\ln(\frac{1}{2}) = -\frac{bT}{2m}\) \(-\ln(2) = -\frac{bT}{2m}\) \(\ln(2) = \frac{bT}{2m}\) So, \(b = \frac{2m \ln(2)}{T}\). First, calculate the period \(T\) for one wheel: \(T = 2\pi\sqrt{\frac{m_{wheel}}{k}}\) \(T = 2\pi\sqrt{\frac{750 \text{ kg}}{49000 \text{ N m}^{-1}}}\) \(T = 2\pi\sqrt{0.0153}\) \(T = 2\pi \times 0.1237 \approx 0.777\) s. Now, substitute \(T\) into the equation for \(b\): \(b = \frac{2 \times 750 \text{ kg} \times \ln(2)}{0.777 \text{ s}}\) \(b = \frac{1500 \times 0.693}{0.777}\) \(b = \frac{1039.5}{0.777} \approx 1337.8 \text{ kg s}^{-1}\). Thus, the damping constant \(b \approx 1337.8\) kg s\(^{-1}\).
In simple words: For a 3000 kg vehicle, each wheel's suspension has a spring constant of approximately \(4.9 \times 10^4\) N/m. Given a 50% amplitude reduction in one oscillation, the damping constant for each wheel's shock absorber system is about 1337.8 kg/s.
🎯 Exam Tip: In damped oscillation problems, carefully distinguish between the mass of the entire system and the mass acting on a single spring. Also, correctly use the formula for amplitude decay \(A(t) = A_0 e^{-\frac{bt}{2m}}\) and calculate the period \(T\) first to find the damping constant \(b\).

 

Question 22. બતાવો કે, રેખીય સ.આ.ગ.માં કણના દોલનની કોઈ પણ અવિધ માટે સરેરાશ ગતિ-ઊર્જા એ તે તે જ અવિધ માટેની સરેરાશ સ્થિતિ-ઊર્જાને સમાન હોય છે.
Answer: ધારો કે, \(m\) દળનો કણ સરળ આવર્તગતિ (SHM) કરે છે. આ ગતિનો કંપવિસ્તાર \(A\) અને કોણીય આવૃત્તિ \(\omega\) છે. \(t\) સમયે કણનું સ્થાનાંતર, \(y = A \sin wt\) કણનો વેગ, \(v = \frac{dy}{dt} = A\omega \cos wt\) કણની ગતિ-ઊર્જા \(K = \frac{1}{2}mv^2\) \(K = \frac{1}{2}m(A\omega \cos wt)^2\) \(K = \frac{1}{2}mA^2\omega^2 \cos^2 wt\) કણની સ્થિતિ-ઊર્જા \(U = \frac{1}{2}ky^2\) આપણને ખબર છે કે \(k = m\omega^2\). \(U = \frac{1}{2}(m\omega^2)(A \sin wt)^2\) \(U = \frac{1}{2}mA^2\omega^2 \sin^2 wt\) એક આવર્તકાળ દરમિયાન કણની સરેરાશ ગતિ-ઊર્જા (\(K_{av}\)): \(K_{av} = \frac{1}{T}\int_{0}^{T} K dt = \frac{1}{T}\int_{0}^{T} \frac{1}{2}mA^2\omega^2 \cos^2 wt dt\) \(K_{av} = \frac{1}{2T}mA^2\omega^2\int_{0}^{T} \cos^2 wt dt\) We know that \(\cos^2 wt = \frac{1+\cos 2wt}{2}\). \(K_{av} = \frac{1}{2T}mA^2\omega^2\int_{0}^{T} \frac{1+\cos 2wt}{2} dt\) \(K_{av} = \frac{mA^2\omega^2}{4T}\left[t + \frac{\sin 2wt}{2\omega}\right]_{0}^{T}\) \(K_{av} = \frac{mA^2\omega^2}{4T}\left[T + \frac{\sin 2\omega T}{2\omega} - (0 + \frac{\sin 0}{2\omega})\right]\) Since \(T = \frac{2\pi}{\omega}\), then \(2\omega T = 2\omega (\frac{2\pi}{\omega}) = 4\pi\). So, \(\sin 2\omega T = \sin 4\pi = 0\). \(K_{av} = \frac{mA^2\omega^2}{4T}[T + 0 - 0]\) \(K_{av} = \frac{mA^2\omega^2}{4T}T = \frac{1}{4}mA^2\omega^2\) (Equation 1) એક આવર્તકાળ દરમિયાન કણની સરેરાશ સ્થિતિ-ઊર્જા (\(U_{av}\)): \(U_{av} = \frac{1}{T}\int_{0}^{T} U dt = \frac{1}{T}\int_{0}^{T} \frac{1}{2}mA^2\omega^2 \sin^2 wt dt\) \(U_{av} = \frac{1}{2T}mA^2\omega^2\int_{0}^{T} \sin^2 wt dt\) We know that \(\sin^2 wt = \frac{1-\cos 2wt}{2}\). \(U_{av} = \frac{1}{2T}mA^2\omega^2\int_{0}^{T} \frac{1-\cos 2wt}{2} dt\) \(U_{av} = \frac{mA^2\omega^2}{4T}\left[t - \frac{\sin 2wt}{2\omega}\right]_{0}^{T}\) \(U_{av} = \frac{mA^2\omega^2}{4T}\left[T - \frac{\sin 2\omega T}{2\omega} - (0 - \frac{\sin 0}{2\omega})\right]\) As before, \(\sin 2\omega T = 0\). \(U_{av} = \frac{mA^2\omega^2}{4T}[T - 0 - 0]\) \(U_{av} = \frac{mA^2\omega^2}{4T}T = \frac{1}{4}mA^2\omega^2\) (Equation 2) સમીકરણ (1) અને (2) પરથી, \(K_{av} = U_{av}\) આમ, સરળ આવર્તગતિમાં કણની સરેરાશ ગતિ-ઊર્જા અને સરેરાશ સ્થિતિ-ઊર્જા એક આવર્તકાળ દરમિયાન સમાન હોય છે.
In simple words: For any simple harmonic motion, the average kinetic energy over one full oscillation is exactly equal to the average potential energy over the same period. This shows an equal distribution of energy forms over time in SHM.
🎯 Exam Tip: To prove the equality of average kinetic and potential energy in SHM, remember to use integration over one period and apply trigonometric identities for \(\sin^2\theta\) and \(\cos^2\theta\). Also, clearly define the displacement, velocity, and energy equations.

 

Question 23. 10 kg દ્રવ્યમાનની એક વર્તુળાકાર તકતી તેના કેન્દ્રથી જોડેલ તાર દ્વારા લટકાવવામાં આવેલ છે. આ તકતીને ઘુમાવીને તારમાં વળ ચડાવી તેને મુક્ત કરવામાં આવે છે. આ વળ (ટૉર્શનલ) દોલનોનો આવર્તકાળ 1.5s છે. આ તકતીની ત્રિજ્યા 15 cm છે. આ તારનો ટૉર્શનલ સ્પ્રિંગ-અચળાંક નક્કી કરો. (a એ ટૉર્શનલ સ્પ્રિંગ-અચળાંક છે, જે સંબંધ \(J = -\alpha\theta\) દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે. જ્યાં, J પુન:સ્થાપક બળ-યુગ્મ અને \(\theta\) એ વળ-કોણ છે.)
Answer: Given: Mass of the circular disc \(m = 10\) kg. Radius of the circular disc \(R = 15\) cm \( = 0.15\) m. Period of torsional oscillations \(T = 1.5\) s. We need to find the torsional spring constant \(\alpha\). The moment of inertia \(I\) of a circular disc about an axis passing through its center and perpendicular to its plane is given by: \(I = \frac{1}{2}mR^2\) \(I = \frac{1}{2} \times 10 \text{ kg} \times (0.15 \text{ m})^2\) \(I = 5 \text{ kg} \times 0.0225 \text{ m}^2 = 0.1125 \text{ kg m}^2\) The period of torsional oscillations is given by the formula: \(T = 2\pi\sqrt{\frac{I}{\alpha}}\) Squaring both sides: \(T^2 = (2\pi)^2 \frac{I}{\alpha}\) \(\alpha = \frac{4\pi^2 I}{T^2}\) Now substitute the values: \(\alpha = \frac{4 \times (3.14)^2 \times 0.1125 \text{ kg m}^2}{(1.5 \text{ s})^2}\) \(\alpha = \frac{4 \times 9.8596 \times 0.1125}{2.25}\) \(\alpha = \frac{4.43682}{2.25} \approx 1.972 \text{ N m rad}^{-1}\) \(\alpha \approx 2 \text{ N m rad}^{-1}\).
In simple words: For a 10 kg disc with a 15 cm radius oscillating torsionally with a period of 1.5 seconds, the torsional spring constant is found to be approximately 2 N m rad\(^{-1}\), which is calculated using the disc's moment of inertia and the oscillation period formula.
🎯 Exam Tip: For torsional oscillation problems, accurately calculate the moment of inertia for the given shape (e.g., disc, rod) and use the formula \(T = 2\pi\sqrt{\frac{I}{\alpha}}\) to find the torsional constant, ensuring consistent units.

 

Question 24. એક પદાર્થ 5 cmના કંપવિસ્તાર અને 0.2 sના આવર્તકાળ સાથે સરળ આવર્તગતિ કરે છે. જ્યારે સ્થાનાંતર (a) 5 cm (b) 3 cm (c ) 0 cm હોય, ત્યારે પદાર્થના પ્રવેગ અને વેગ શોધો.
Answer: Given: Amplitude \(A = 5\) cm \(= 0.05\) m. Period \(T = 0.2\) s. First, calculate the angular frequency \(\omega\): \(\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{0.2} = 10\pi\) rad s\(^{-1}\). The acceleration \(a\) of an oscillating particle is given by \(a = -\omega^2 y\). The velocity \(v\) of an oscillating particle is given by \(v = \omega\sqrt{A^2 - y^2}\). (a) When the displacement \(y = 5\) cm \(= 0.05\) m: Acceleration \(a = -\omega^2 y = -(10\pi)^2 \times 0.05\) \(a = -100\pi^2 \times 0.05 = -5\pi^2\) m s\(^{-2}\). Velocity \(v = \omega\sqrt{A^2 - y^2} = 10\pi\sqrt{(0.05)^2 - (0.05)^2}\) \(v = 10\pi\sqrt{0} = 0\) m s\(^{-1}\). (b) When the displacement \(y = 3\) cm \(= 0.03\) m: Acceleration \(a = -\omega^2 y = -(10\pi)^2 \times 0.03\) \(a = -100\pi^2 \times 0.03 = -3\pi^2\) m s\(^{-2}\). Velocity \(v = \omega\sqrt{A^2 - y^2} = 10\pi\sqrt{(0.05)^2 - (0.03)^2}\) \(v = 10\pi\sqrt{0.0025 - 0.0009} = 10\pi\sqrt{0.0016}\) \(v = 10\pi \times 0.04 = 0.4\pi\) m s\(^{-1}\). (c) When the displacement \(y = 0\) cm \(= 0\) m: Acceleration \(a = -\omega^2 y = -(10\pi)^2 \times 0 = 0\) m s\(^{-2}\). Velocity \(v = \omega\sqrt{A^2 - y^2} = 10\pi\sqrt{(0.05)^2 - (0)^2}\) \(v = 10\pi\sqrt{0.0025} = 10\pi \times 0.05 = 0.5\pi\) m s\(^{-1}\).
In simple words: For an object in SHM with a 5 cm amplitude and 0.2 s period, its acceleration and velocity vary with displacement: maximum acceleration and zero velocity at extreme points (y=5cm), zero acceleration and maximum velocity at the equilibrium position (y=0cm), and intermediate values elsewhere.
🎯 Exam Tip: Remember the key relationships for SHM: acceleration is maximum at extreme positions (\(y=\pm A\)) and zero at equilibrium (\(y=0\)), while velocity is zero at extreme positions and maximum at equilibrium. Always convert units to SI before calculation.

 

Question 25. કોઈ એક સ્પ્રિંગ સાથે જોડાયેલ દ્રવ્યમાન સમક્ષિતિજ સમતલમાં કોણીય વેગ w સાથે ઘર્ષણ કે અવમંદન રહિત દોલનો માટે મુક્ત છે. તેને \(t = 0\) એ, \(x_0\) અંતર સુધી ખેંચવામાં આવે છે અને કેન્દ્ર તરફ \(v_0\) વેગથી ધક્કો મારવામાં આવે છે. પ્રાચલો w, \(x_0\) અને \(v_0\) ના પદમાં પરિણામી દોલનોના કંપવિસ્તાર નક્કી કરો. (સૂચન : સમીકરણ \(x = A \cos (wt + \Phi)\) સાથે શરૂઆત કરો અને નોંધ કરો કે, પ્રારંભિક વેગ ઋણ છે.)
Answer: સરળ આવર્તગતિનું (SHM) સ્થાનાંતરનું સામાન્ય સૂત્ર છે: \(x(t) = A \cos(wt + \Phi)\) જ્યાં \(A\) કંપવિસ્તાર, \(\omega\) કોણીય આવૃત્તિ, અને \(\Phi\) પ્રારંભિક કળા છે. સમય \(t = 0\) પર, સ્થાનાંતર \(x = x_0\) છે. તેથી, \(x_0 = A \cos(w(0) + \Phi)\)
\( \implies \) \(x_0 = A \cos\Phi\) (Equation 1) કણનો વેગ, \(v(t) = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(A \cos(wt + \Phi))\) \(v(t) = -A\omega \sin(wt + \Phi)\) સમય \(t = 0\) પર, વેગ \(v = -v_0\) છે (કારણ કે કણને કેન્દ્ર તરફ ધક્કો મારવામાં આવે છે, જે ગતિની દિશાની વિરુદ્ધ છે જો \(x_0\) ધન હોય). તેથી, \(-v_0 = -A\omega \sin(w(0) + \Phi)\)
\( \implies \) \(v_0 = A\omega \sin\Phi\)
\( \implies \) \(\frac{v_0}{\omega} = A \sin\Phi\) (Equation 2) સમીકરણ (1) અને (2) નો વર્ગ કરીને તેમનો સરવાળો કરતાં: \((x_0)^2 + (\frac{v_0}{\omega})^2 = (A \cos\Phi)^2 + (A \sin\Phi)^2\) \((x_0)^2 + \frac{v_0^2}{\omega^2} = A^2 (\cos^2\Phi + \sin^2\Phi)\) Since \(\cos^2\Phi + \sin^2\Phi = 1\), \((x_0)^2 + \frac{v_0^2}{\omega^2} = A^2\)
\( \implies \) \(A = \sqrt{x_0^2 + \frac{v_0^2}{\omega^2}}\)
બીજી રીત (ઊર્જા સંરક્ષણનો ઉપયોગ કરીને): દોલનના કોઈપણ બિંદુએ કણની કુલ ઊર્જા, ગતિ-ઊર્જા અને સ્થિતિ-ઊર્જાના સરવાળા જેટલી હોય છે. કુલ યાંત્રિક ઊર્જા \(E = \frac{1}{2}kA^2\), જ્યાં \(k\) સ્પ્રિંગ-અચળાંક છે અને \(A\) કંપવિસ્તાર છે. જ્યારે કણ \(x_0\) અંતરે હોય અને તેનો વેગ \(v_0\) હોય, ત્યારે કુલ ઊર્જા: \(E = \frac{1}{2}mv_0^2 + \frac{1}{2}kx_0^2\) ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ, \(\frac{1}{2}kA^2 = \frac{1}{2}mv_0^2 + \frac{1}{2}kx_0^2\) \(kA^2 = mv_0^2 + kx_0^2\) \(A^2 = \frac{m v_0^2}{k} + x_0^2\) આપણને ખબર છે કે \(\omega^2 = \frac{k}{m}\), તેથી \(\frac{m}{k} = \frac{1}{\omega^2}\). \(A^2 = \frac{v_0^2}{\omega^2} + x_0^2\)
\( \implies \) \(A = \sqrt{x_0^2 + \frac{v_0^2}{\omega^2}}\)
In simple words: When a mass on a spring is pulled to \(x_0\) and pushed with initial velocity \(-v_0\), its amplitude for simple harmonic motion is determined by the combined effect of its initial displacement and initial velocity, specifically \(A = \sqrt{x_0^2 + \frac{v_0^2}{\omega^2}}\).
🎯 Exam Tip: To find the amplitude of SHM with initial displacement and velocity, use either the phase method (solving simultaneous equations for \(A \cos\Phi\) and \(A \sin\Phi\)) or the energy conservation method. Both approaches should yield the same result.

The provided content for page 29 consists solely of a list of navigation links to other solutions, a copyright notice, and a watermark. According to the "IGNORE AND SKIP" rules, I must completely disregard website headers, page headers, navigation menus, sidebars, related posts, footers, and mid-page text watermarks. Therefore, there is no content on page 29 that qualifies as a question or answer to be digitized into HTML snippets based on the given content processing rules.