GSEB Class 11 Physics Solutions Chapter 13 ગતિવાદ

 

Question 1. STPએ ઑક્સિજન વાયુના મોલર કદ અને તેના દ્વારા ઘેરેલ વાસ્તવિક કદનો ગુણોત્તર શોધો. ઑક્સિજનના અણુનો વ્યાસ 3 Å લો.
Answer:
આ પ્રશ્નનો ઉકેલ મેળવવા માટે, સૌપ્રથમ ઑક્સિજન અણુનો વ્યાસ d = 3 Å ને મીટરમાં રૂપાંતરિત કરીએ, જેથી ત્રિજ્યા r = \(\frac{3}{2}\) Å = 1.5 Å = \(1.5 \times 10^{-10}\) m મળે.
1 મોલ ઑક્સિજન અણુઓનું કદ એ ઑક્સિજનનું મોલર કદ કહેવાય છે.
તેથી, ઑક્સિજન વાયુનું મોલર કદ \(V_{\text{મોલર}}\) = (એક અણુનું કદ) \(\times\) (NA)
= \(\left(\frac{4}{3}\pi r^3\right) \times N_A\)
= \(\frac{4}{3} \times 3.14 \times (1.5 \times 10^{-10})^3 \times 6.023 \times 10^{23}\)
= \(8.51 \times 10^{-6} \text{m}^3\)
STP પર 1 મોલ ઑક્સિજન વાયુનું કદ 22.4 L હોય છે, જે ઑક્સિજન વાયુનું વાસ્તવિક કદ ગણાય છે.
આથી, ઑક્સિજન વાયુનું વાસ્તવિક કદ \(V_{\text{વાસ્તવિક}}\) = 22.4 L
= \(22.4 \times 10^3 \text{cm}^3\)
= \(22.4 \times 10^{-3} \text{m}^3\)
આથી, મોલર કદ અને વાસ્તવિક કદનો ગુણોત્તર આ પ્રમાણે થશે:
\(\frac{V_{\text{મોલર}}}{V_{\text{વાસ્તવિક}}} = \frac{8.51 \times 10^{-6}}{22.4 \times 10^{-3}}\)
= \(0.3799 \times 10^{-3}\)
= \(3.799 \times 10^{-4}\)
\(\approx 3.8 \times 10^{-4}\)
In simple words: The ratio of molar volume to actual volume for oxygen gas at STP is found by calculating the volume occupied by all molecules and dividing it by the total volume of the gas, resulting in a very small fraction of approximately 3.8 x 10^-4.

🎯 Exam Tip: Remember to convert units consistently (e.g., Angstroms to meters, liters to cubic meters) and use Avogadro's number for calculating the total volume of molecules when solving such problems.

 

Question 2. પ્રમાણભૂત તાપમાન અને દબાણે (STP : 1 વાતાવરણનું દબાણ અને તાપમાન 0°C) 1 મોલ જેટલા કોઈ પણ (આદર્શ) વાયુ દ્વારા ઘેરેલ કદને મોલર કદ કહે છે. દર્શાવો કે તે 22.4 લિટર છે.
Answer:
આ પ્રશ્નનો ઉકેલ મેળવવા માટે, આપણે આદર્શ વાયુ સમીકરણનો ઉપયોગ કરીશું.
આદર્શ વાયુ સમીકરણ PV = \(\mu\)RT પરથી, કદ V = \(\frac{\mu RT}{P}\) મળે છે.
અહીં આપેલી વિગતો:
દબાણ P = 1 atm = \(1.013 \times 10^5 \text{ N m}^{-2}\)
તાપમાન T = 0°C = 273 K
મોલની સંખ્યા \(\mu\) = 1 mol
વાયુ અચળાંક R = \(8.314 \text{ J mol}^{-1} \text{K}^{-1}\)
હવે, આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતાં:
V = \(\frac{1 \times 8.314 \times 273}{1.013 \times 10^5}\)
= \(2240 \times 10^{-5} \text{ m}^3\)
= \(22.4 \times 10^{-3} \text{ m}^3\)
= 22.4 લિટર (L)
આમ, સાબિત થાય છે કે પ્રમાણભૂત તાપમાન અને દબાણે 1 મોલ આદર્શ વાયુ દ્વારા ઘેરાયેલું કદ 22.4 લિટર છે.
In simple words: By applying the ideal gas law with the given conditions of standard temperature and pressure for one mole of gas, we can calculate the volume, which correctly demonstrates that it is 22.4 liters.

🎯 Exam Tip: When using the ideal gas equation, ensure all units (pressure, temperature, volume) are in their standard SI forms (Pascals, Kelvin, cubic meters) for accurate calculation of R and V.

 

Question 3. બે અલગ તાપમાને 1.00 × 10-3 kg ઑક્સિજન વાયુ માટે PV/T વિરુદ્ધ Pનો આલેખ આકૃતિ 13.16માં દર્શાવ્યો છે.
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): આકૃતિ PV/T વિરુદ્ધ P (દબાણ) નો આલેખ દર્શાવે છે જેમાં બે અલગ તાપમાન T1 અને T2 પર ઑક્સિજન વાયુનું વર્તન બતાવેલ છે. આલેખમાં એક તૂટક રેખા પણ છે જે આદર્શ વાયુના વર્તનને રજૂ કરે છે. T2 તાપમાન પરની વક્રરેખા આદર્શ વાયુની તૂટક રેખાની વધુ નજીક છે, જ્યારે T1 તાપમાન પરની વક્રરેખા તેનાથી થોડી દૂર છે. આ દર્શાવે છે કે T2 તાપમાન T1 કરતાં વધારે છે, કારણ કે ઊંચા તાપમાને વાયુ આદર્શ વાયુ જેવું વર્તન કરે છે.
(a) તૂટક વક્ર શું દર્શાવે છે?
(b) શું સાચું છે : T₁ > T₂ કે T₁ < T₂ ?
(c) વક્રો y-અક્ષને જ્યાં મળે છે ત્યાં PV/Tનું મૂલ્ય શું છે?
(d) જો આપણે 1.00 × 10-3kg હાઇડ્રોજન માટે આવાં વક્રો મેળવ્યાં હોત, તો આ વક્રો y-અક્ષને જ્યાં મળે છે ત્યાં આપણને શું આ જ મૂલ્ય મળત? જો ના, તો હાઇડ્રોજનના કયા દળ માટે આપણને (આલેખના નીચા દબાણ અને ઊંચા તાપમાનવાળા વિસ્તારમાં)PV/Tનું એ જ મૂલ્ય મળે?
(H₂નું આણ્વિક દળ = 2.02 u, O₂નું આણ્વિક દળ = 32.0 u, R = 8.31 J mol-1 K-1)
Answer:
સૌપ્રથમ, H₂નું મોલર દળ 2.02 g/mol અને આણ્વિક દળ 2.02 u છે, જ્યારે O₂નું મોલર દળ 32.0 g/mol અને આણ્વિક દળ 32.0 u છે.
આપણને ખ્યાલ છે કે મોલર દળ \(6.02 \times 10^{23}\) અણુઓનું દળ સૂચવે છે, જ્યારે આણ્વિક દળ 1 અણુનું દળ દર્શાવે છે. પરમાણ્વીય દળ 1 પરમાણુનું દળ દર્શાવે છે. મોલર અને આણ્વિક દળના સંખ્યાત્મક મૂલ્યો સમાન હોઈ શકે છે, પરંતુ તેમનો અર્થ અને એકમો અલગ હોય છે.
(a) તૂટક રેખા P-અક્ષને સમાંતર છે, જે દર્શાવે છે કે દબાણ P બદલાય તોપણ \(\frac{PV}{T}\) અચળ રહે છે. આનો અર્થ એ થાય કે ઑક્સિજન વાયુ આદર્શ વાયુની જેમ વર્તે છે અને \(\frac{PV}{T} = \mu R\) (અચળ) સમીકરણનું પાલન કરે છે, જે આદર્શ વાયુનું વર્તન દર્શાવે છે.
(b) T₁ તાપમાન પર ઑક્સિજન વાયુ માટેનો \(\frac{PV}{T}\) વિરુદ્ધ P નો આલેખ, T₂ તાપમાનવાળા આલેખની તુલનામાં તૂટક સુરેખાની વધુ નજીક છે. આ સૂચવે છે કે ઑક્સિજન વાયુ T₂ તાપમાને આદર્શ વાયુની જેમ વધુ સારી રીતે વર્તે છે. જેમ જેમ વાયુનું તાપમાન વધારવામાં આવે છે, તેમ તેમ તેનું વર્તન આદર્શ વાયુના વર્તન જેવું થાય છે. આથી, T₁ < T₂ સાચું છે.
(c) T₁ અને T₂ તાપમાન પર મળેલા વક્રો y-અક્ષ પર એક સામાન્ય બિંદુએ મળે છે, જે તૂટક સુરેખા (આદર્શ વાયુ માટેનો \(\frac{PV}{T}\) વિરુદ્ધ P નો આલેખ) પણ રજૂ કરે છે.
તેથી y-અક્ષ પરના તે સામાન્ય બિંદુ પાસે \(\frac{PV}{T}\) નું મૂલ્ય \(\mu R\) જેટલું અચળ હોય છે.
\(\therefore \frac{PV}{T} = \mu R\)
આ ઉપરાંત, \(\mu = \frac{M}{M_0}\) હોવાથી,
\(\frac{PV}{T} = \frac{M}{M_0} \times R\)
જ્યાં, M = ઑક્સિજન વાયુનું કુલ દળ અને Mo = ઑક્સિજન વાયુનું મોલર દળ.
અહીં, M = \(1.00 \times 10^{-3} \text{ kg} = 1.00 \text{ g}\) આપેલ છે.
Mo = \(32.0 \text{ g mol}^{-1}\) છે.
\(\therefore \frac{PV}{T} = \frac{1.00 \text{ g}}{32.0 \text{ g mol}^{-1}} \times 8.314 \text{ J mol}^{-1} \text{K}^{-1}\)
= \(0.26 \text{ J K}^{-1}\)
(d) જો આપણે \(1.00 \times 10^{-3} \text{ kg}\) દળના હાઇડ્રોજન વાયુ માટે T₁ અને T₂ તાપમાને આવા વક્રો મેળવ્યાં હોત અને આ વક્રો y-અક્ષને જ્યાં મળે ત્યાં \(\frac{PV}{T}\) નું મૂલ્ય શોધ્યું હોત, તો તે \(0.26 \text{ J K}^{-1}\) જેટલું ન મળત, કારણ કે હાઇડ્રોજન વાયુનું મોલર દળ Mo અલગ છે.
હવે, જો \(\frac{PV}{T}\) નું મૂલ્ય ઑક્સિજન વાયુ માટે મળેલ મૂલ્ય જેટલું જ, એટલે કે \(0.26 \text{ J K}^{-1}\) જેટલું જોઈતું હોય, તો તેના માટે જરૂરી એવું હાઇડ્રોજન વાયુનું કુલ દળ ધારો કે M’ છે, તો \(\frac{PV}{T} = \mu R\) પરથી,
\(0.26 = \frac{M'}{2.02 \times 10^{-3} \text{ kg mol}^{-1}} \times 8.314 \text{ J mol}^{-1} \text{K}^{-1}\)
\(\therefore M' = \frac{0.26 \times 2.02 \times 10^{-3}}{8.314}\)
= \(0.0632 \times 10^{-3} \text{kg}\)
= \(6.32 \times 10^{-5} \text{kg}\)
In simple words: The dotted curve represents ideal gas behavior. T₂ is greater than T₁ because the gas behaves more ideally at higher temperatures. At the y-axis intercept, PV/T equals µR, which is 0.26 J K⁻¹ for oxygen. For hydrogen, the same value would not be obtained due to its different molar mass; to get 0.26 J K⁻¹, approximately 6.32 x 10⁻⁵ kg of hydrogen would be needed.

🎯 Exam Tip: For problems involving ideal gas behavior and deviations, understanding the relationship between PV/T, temperature, and molar mass is crucial. Remember that ideal gas behavior is approached at high temperatures and low pressures.

 

Question 4. 30 લિટર કદના ઑક્સિજનના બાટલાનું 27 °C તાપમાને પ્રારંભિક ગેજ દબાણ (Guage Pressure) 15 atm છે. બાટલામાંથી થોડો ઑક્સિજન પછી, માપનનું ગેજ દબાણ ઘટીને 11 atm અને તાપમાન ઘટીને 17°C થાય છે. બાટલામાંથી બહાર કાઢેલા ઑક્સિજનનું દળ શોધો. (R = 8.31 J mol-1 K-1, O2નું આણ્વિક દળ = 32 u)
Answer:
આ પ્રશ્નનો ઉકેલ મેળવવા માટે, આદર્શ વાયુ સમીકરણનો ઉપયોગ કરીશું અને ઑક્સિજનના પ્રારંભિક અને અંતિમ દળની ગણતરી કરીશું.
ઑક્સિજનનું આણ્વિક દળ = 32 u
\(\therefore\) O₂નું મોલર દળ = \(32 \text{ g mol}^{-1} = 32 \times 10^{-3} \text{ kg mol}^{-1}\)
બાટલાનું કદ \(V_1 = V_2 = V = 30 \text{ L} = 30 \times 10^{-3} \text{m}^3\) (આ કદ બદલાતું નથી).
પ્રારંભિક સ્થિતિ:
પ્રારંભિક દબાણ \(P_1 = 15 \text{ atm} = 15 \times 1.013 \times 10^5 \text{ N m}^{-2}\)
પ્રારંભિક તાપમાન \(T_1 = 27^\circ\text{C} = 300 \text{ K}\)
અંતિમ સ્થિતિ:
અંતિમ દબાણ \(P_2 = 11 \text{ atm} = 11 \times 1.013 \times 10^5 \text{ N m}^{-2}\)
અંતિમ તાપમાન \(T_2 = 17^\circ\text{C} = 290 \text{ K}\)
આદર્શ વાયુ સમીકરણ \(PV = \mu RT = \frac{M}{M_0} RT\) પરથી,
M = \(\frac{M_0 PV}{RT}\)
પ્રારંભિક દળ \(M_1 = \frac{M_0 P_1 V}{R T_1}\)
અંતિમ દળ \(M_2 = \frac{M_0 P_2 V}{R T_2}\)
બાટલામાંથી બહાર કાઢેલા ઑક્સિજનના દળને \(\Delta m\) વડે દર્શાવીએ, તો
\(\Delta m = M_1 - M_2\) (\(\because\) ઑક્સિજનનું પ્રારંભિક દળ \(M_1\) > અંતિમ દળ \(M_2\) છે.)
\(\Delta m = \frac{M_0 V}{R} \left(\frac{P_1}{T_1} - \frac{P_2}{T_2}\right)\)
= \(32 \times 10^{-3} \text{ kg mol}^{-1} \times \frac{30 \times 10^{-3} \text{ m}^3}{8.314 \text{ J mol}^{-1} \text{K}^{-1}} \times \left(\frac{15}{300} - \frac{11}{290}\right) \times 1.013 \times 10^5 \text{ N m}^{-2}\)
= 0.1408 kg
In simple words: To find the mass of oxygen removed, we calculate the initial and final mass of oxygen in the bottle using the ideal gas law with given pressure, volume, and temperature changes. The difference between the initial and final mass gives the mass of oxygen withdrawn, which is 0.1408 kg.

🎯 Exam Tip: Always ensure temperature is in Kelvin and pressure in Pascals when using the ideal gas law. Pay attention to the change in conditions (pressure and temperature) when calculating mass differences.

 

Question 5. એક તળાવની 40 m ઊંડાઈએથી 12 °C તાપમાને 1.0 cm³ કદનો હવાનો એક પરપોટો ઉપર તરફ આવે છે. જ્યારે તે સપાટી પર આવે છે ત્યારે તેનું તાપમાન 35 °C છે, તો તેનું કદ કેટલું હશે?
Answer:
આ પ્રશ્નનો ઉકેલ મેળવવા માટે, આપણે આદર્શ વાયુ સમીકરણનો ઉપયોગ કરીશું, જે વાયુના કદ, દબાણ અને તાપમાન વચ્ચેનો સંબંધ દર્શાવે છે.
જ્યારે પરપોટો તળાવની અંદર 40m ઊંડાઈએ હોય ત્યારે,
પ્રારંભિક કદ \(V_1 = 1.0 \text{ cm}^3 = 1.0 \times 10^{-6} \text{m}^3\)
પ્રારંભિક તાપમાન \(T_1 = 12^\circ\text{C} = 285 \text{ K}\)
પ્રારંભિક દબાણ \(P_1 = P_a + \rho gh\)
અહીં, \(P_a\) = વાતાવરણનું દબાણ = \(1.013 \times 10^5 \text{ N m}^{-2}\)
\(\rho\) = પાણીની ઘનતા = \(10^3 \text{ kg m}^{-3}\)
g = ગુરુત્વાકર્ષણનો પ્રવેગ = \(9.8 \text{ m s}^{-2}\)
h = ઊંડાઈ = 40 m
\(\therefore P_1 = 1.013 \times 10^5 + (10^3 \times 9.8 \times 40)\)
= \(1.013 \times 10^5 + 39.2 \times 10^4\)
= \(1.013 \times 10^5 + 3.92 \times 10^5\)
= \(4.93 \times 10^5 \text{ N m}^{-2}\)
જ્યારે પરપોટો તળાવની સપાટી પર આવે ત્યારે,
અંતિમ તાપમાન \(T_2 = 35^\circ\text{C} = 308 \text{ K}\)
અંતિમ દબાણ \(P_2 = P_a = 1 \text{ atm} = 1.013 \times 10^5 \text{ N m}^{-2}\)
અંતિમ કદ \(V_2\) = ?
આદર્શ વાયુ સમીકરણ \(\frac{P_1 V_1}{T_1} = \frac{P_2 V_2}{T_2}\) પરથી,
\(V_2 = \frac{P_1 V_1 T_2}{P_2 T_1}\)
= \(\frac{(4.93 \times 10^5) \times (1.0 \times 10^{-6}) \times 308}{(1.013 \times 10^5) \times 285}\)
= \(5.275 \times 10^{-6} \text{m}^3\)
\(\approx 5.3 \times 10^{-6} \text{m}^3\)
In simple words: As an air bubble rises from a depth of 40m to the surface, its temperature increases from 12°C to 35°C, and its pressure decreases significantly. Using the combined gas law, the initial pressure is calculated by adding atmospheric pressure to the hydrostatic pressure at depth. By applying the gas law, the bubble's final volume at the surface is found to be approximately 5.3 x 10^-6 m³.

🎯 Exam Tip: Remember to account for the hydrostatic pressure (ρgh) when calculating pressure at depth in a fluid. Also, ensure all temperatures are converted to Kelvin for gas law calculations.

 

Question 6. 27 °C તાપમાન અને 1 atm દબાણે 25.0 m³ની ક્ષમતાવાળા ઓરડામાં રહેલા (ઑક્સિજન, નાઇટ્રોજન, હવાની બાષ્પ અને બંધારણના બીજા વાયુઓ પણ સમાવીને) હવાના અણુઓની સંખ્યા ગણો. (પોલ્ટ્સમેનનો અચળાંક = 1.38 × 10-23 J molecule-1 K-1)
Answer:
આ પ્રશ્નનો ઉકેલ મેળવવા માટે, આપણે આદર્શ વાયુ સમીકરણ \(PV = Nk_BT\) નો ઉપયોગ કરીશું, જ્યાં N એ અણુઓની સંખ્યા છે.
આપેલી વિગતો:
ઓરડાનું કદ \(V = 25.0 \text{ m}^3\)
તાપમાન \(T = 27^\circ\text{C} = 300 \text{ K}\)
દબાણ \(P = 1 \text{ atm} = 1.013 \times 10^5 \text{ N m}^{-2}\)
પોલ્ટ્સમેનનો અચળાંક \(k_B = 1.38 \times 10^{-23} \text{ J molecule}^{-1} \text{K}^{-1}\)
આદર્શ વાયુ સમીકરણ \(PV = Nk_BT\) પરથી,
અણુઓની સંખ્યા \(N = \frac{PV}{k_BT}\)
= \(\frac{1.013 \times 10^5 \times 25}{1.38 \times 10^{-23} \times 300}\)
= \(6.10 \times 10^{26}\) molecules
In simple words: To determine the number of air molecules in a room, we use the ideal gas law \(PV = Nk_BT\) and substitute the given pressure, volume, temperature, and Boltzmann's constant. The calculation yields approximately \(6.10 \times 10^{26}\) molecules.

🎯 Exam Tip: Always remember to convert temperature to Kelvin and pressure to Pascals when applying the ideal gas equation. Boltzmann's constant is used for calculating the number of molecules, while the universal gas constant R is used for moles.

 

Question 7. હીલિયમ પરમાણુ માટે (i) ઓરડાના તાપમાન (27°C), (ii) સૂર્યની સપાટી પરના તાપમાન (6000 K) (iii) 10 મિલિયન કેલ્વિન (તારાના કેન્દ્રનું લાક્ષણિક તાપમાન) માટે સરેરાશ ઉષ્મીય ઊર્જા ગણો. (પોલ્ટ્સમેનનો અચળાંક = 1.38 × 10- J molecule-1 K-1)
Answer:
આ પ્રશ્નનો ઉકેલ મેળવવા માટે, આપણે હીલિયમ પરમાણુની સરેરાશ ઉષ્મીય ઊર્જાની ગણતરી જુદા જુદા તાપમાને કરીશું.
આદર્શ વાયુના એક પરમાણુની સરેરાશ ઉષ્મીય ઊર્જાનું સૂત્ર \(\frac{3}{2}k_BT\) છે.
જ્યાં પોલ્ટ્સમેનનો અચળાંક \(k_B = 1.38 \times 10^{-23} \text{ J molecule}^{-1} \text{K}^{-1}\) છે.
(i) T = \(27^\circ\text{C} = 300 \text{ K}\) (ઓરડાનું તાપમાન)
હીલિયમ પરમાણુની સરેરાશ ઉષ્મીય ઊર્જા = \(\frac{3}{2}k_BT\)
= \(\frac{3}{2} \times 1.38 \times 10^{-23} \times 300\)
= \(6.21 \times 10^{-21} \text{ J}\)
(ii) T = 6000 K (સૂર્યની સપાટી પરનું તાપમાન)
હીલિયમ પરમાણુની સરેરાશ ઉષ્મીય ઊર્જા = \(\frac{3}{2}k_BT\)
= \(\frac{3}{2} \times 1.38 \times 10^{-23} \times 6000\)
= \(1.24 \times 10^{-19} \text{ J}\)
(iii) T = 10 મિલિયન કેલ્વિન = \(10 \times 10^6 \text{ K} = 10^7 \text{K}\) (તારાના કેન્દ્રનું લાક્ષણિક તાપમાન)
હીલિયમ પરમાણુની સરેરાશ ઉષ્મીય ઊર્જા = \(\frac{3}{2}k_BT\)
= \(\frac{3}{2} \times 1.38 \times 10^{-23} \times 10^7\)
= \(2.1 \times 10^{-16} \text{ J}\)
In simple words: The average thermal energy of a helium atom increases significantly with temperature. At room temperature (300 K), it's around 6.21 x 10⁻²¹ J. On the sun's surface (6000 K), it increases to about 1.24 x 10⁻¹⁹ J, and at the core of a star (10⁷ K), it reaches approximately 2.1 x 10⁻¹⁶ J.

🎯 Exam Tip: Remember the formula for average thermal energy of a monatomic gas, \( \frac{3}{2} k_B T \), and ensure temperature is always in Kelvin for calculations. This formula highlights the direct proportionality between average kinetic energy and absolute temperature.

 

Question 8. સમાન ક્ષમતાનાં ત્રણ વાયુપાત્રોમાં વાયુ સમાન તાપમાન અને દબાણે રહેલા છે. પહેલું પાત્ર નીયૉન (એક- પરમાણ્વિક) ધરાવે છે, બીજું પાત્ર ક્લોરિન (દ્વિ-પરમાણ્વિક) અને ત્રીજું યુરેનિયમ હેક્ઝાક્લોરાઇડ (બહુપરમાણ્વિક) ધરાવે છે. શું દરેક પાત્રમાં તદનુરૂપ સમાન સંખ્યાના અણુઓ હશે? શું ત્રણેય કિસ્સામાં અણુઓની સરેરાશ વર્ગીત ઝડપનું વર્ગમૂળ સમાન હશે? જો ના, તો કયા કિસ્સામાં \(v_{\mathrm{rms}}\) મહત્તમ હશે?
Answer:
આ પ્રશ્નનો ઉકેલ મેળવવા માટે, આપણે ઍવોગેડ્રોના અધિતર્ક અને વાયુઓના વર્ગીત સરેરાશ ઝડપના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીશું.
ઍવોગેડ્રોના અધિતર્ક મુજબ, સમાન તાપમાને અને દબાણે, સમાન કદ ધરાવતાં વાયુઓમાં અણુઓની સંખ્યા N સમાન હોય છે. આથી, ત્રણેય વાયુપાત્રોમાં સમાન સંખ્યાના અણુઓ હશે.
વર્ગીત સરેરાશ ઝડપનું વર્ગમૂળ (\(v_{\mathrm{rms}}\))નું સૂત્ર \(v_{\mathrm{rms}} = \sqrt{\frac{3k_BT}{m}}\) પરથી, અહીં \(v_{\mathrm{rms}} \propto \frac{1}{\sqrt{m}}\) છે.
ત્રણેય વાયુઓના એક અણુનું દળ m સમાન નથી. તેથી, ત્રણેય કિસ્સામાં અણુઓની \(v_{\mathrm{rms}}\) સમાન નહીં હોય.
આપેલ ત્રણ વાયુઓ પૈકી જે વાયુના એક અણુનું દળ લઘુતમ હશે, તે વાયુના અણુની \(v_{\mathrm{rms}}\) મહત્તમ હશે.
નીયૉન (Ne) એ એક-પરમાણ્વિક વાયુ છે, ક્લોરિન (\(Cl_2\)) દ્વિ-પરમાણ્વિક છે, અને યુરેનિયમ હેક્ઝાક્લોરાઇડ (\(UF_6\)) બહુ-પરમાણ્વિક છે.
આ ત્રણમાંથી, નીયૉન વાયુના એક અણુનું દળ સૌથી ઓછું હોય છે.
તેથી, નીયૉન વાયુના અણુની rms ઝડપ (\(v_{\mathrm{rms}}\)) મહત્તમ હશે.
In simple words: Yes, according to Avogadro's hypothesis, all three containers will have the same number of molecules since they have equal volume, temperature, and pressure. However, the root-mean-square speed (v_rms) will not be the same for all because v_rms is inversely proportional to the square root of the molecular mass. Neon, having the smallest molecular mass among the three, will have the maximum v_rms.

🎯 Exam Tip: Distinguish between Avogadro's law for the number of molecules and the kinetic theory of gases for molecular speeds. Remember that v_rms depends on both temperature and molecular mass, implying that lighter molecules move faster at the same temperature.

 

Question 9. કયા તાપમાને વાયુપાત્રમાં રહેલા આર્ગનની સરેરાશ વર્ગીત ઝડપનું વર્ગમૂળ, – 20°C તાપમાને રહેલા હીલિયમ વાયુના પરમાણુની rms ઝડપ જેટલું હશે? (Ar નું પરમાણ્વીય દળ = 39.9 u, Heનું પરમાણ્વીય દળ = 4.0 u)
Answer:
આ પ્રશ્નનો ઉકેલ મેળવવા માટે, આપણે આર્ગન અને હીલિયમ વાયુની વર્ગીત સરેરાશ ઝડપનું સૂત્ર વાપરીશું અને બંનેની ઝડપ સમાન કરીને અજ્ઞાત તાપમાન શોધીશું.
આપેલી વિગતો:
હીલિયમનું તાપમાન \(T_{\mathrm{He}} = -20^\circ\text{C} = 253 \text{ K}\)
હીલિયમનું મોલર દળ \((M_0)_{\mathrm{He}} = 4 \text{ g mol}^{-1}\)
આર્ગનનું મોલર દળ \((M_0)_{\mathrm{Ar}} = 39.9 \text{ g mol}^{-1}\)
આર્ગનનું તાપમાન \(T_{\mathrm{Ar}}\) = ?
વર્ગીત સરેરાશ ઝડપનું વર્ગમૂળ (\(v_{\mathrm{rms}}\))નું સૂત્ર \(v_{\mathrm{rms}} = \sqrt{\frac{3RT}{M_0}}\) પરથી,
અહીં, આર્ગન અને હીલિયમ બંને વાયુઓના પરમાણુઓની rms ઝડપ સમાન હોવાથી,
\((v_{\mathrm{rms}})_{\mathrm{Ar}} = (v_{\mathrm{rms}})_{\mathrm{He}}\)
\(\sqrt{\frac{3RT_{\mathrm{Ar}}}{(M_0)_{\mathrm{Ar}}}} = \sqrt{\frac{3RT_{\mathrm{He}}}{(M_0)_{\mathrm{He}}}}\)
બંને બાજુ વર્ગ કરતાં,
\(\frac{3RT_{\mathrm{Ar}}}{(M_0)_{\mathrm{Ar}}} = \frac{3RT_{\mathrm{He}}}{(M_0)_{\mathrm{He}}}\)
\(\frac{T_{\mathrm{Ar}}}{(M_0)_{\mathrm{Ar}}} = \frac{T_{\mathrm{He}}}{(M_0)_{\mathrm{He}}}\)
\(\therefore T_{\mathrm{Ar}} = T_{\mathrm{He}} \times \frac{(M_0)_{\mathrm{Ar}}}{(M_0)_{\mathrm{He}}}\)
= \(253 \times \frac{39.9}{4}\)
= \(2523.7 \text{ K}\)
\(\approx 2.52 \times 10^3 \text{ K}\)
In simple words: To have the same root-mean-square speed as helium at -20°C (253 K), argon would need to be at a much higher temperature. Using the formula \(v_{\mathrm{rms}} = \sqrt{\frac{3RT}{M_0}}\) and equating the speeds for both gases, we find that argon's temperature must be approximately 2523.7 K or 2.52 x 10³ K.

🎯 Exam Tip: For problems comparing the rms speeds of different gases, remember the inverse relationship with the square root of molar mass. Always ensure temperatures are converted to Kelvin before applying the rms speed formula.

 

Question 10. 2.0 atm અને 17°C તાપમાને નાઇટ્રોજન ધરાવતા વાયુપાત્રમાં નાઇટ્રોજનના અણુ માટે સરેરાશ મુક્તપથ અને અથડામણનો દર (આવૃત્તિ) શોધો. નાઇટ્રોજન અણુની ત્રિજ્યા આશરે 1.0 Å લો. અથડામણના સમયને અણુની બે ક્રમિક અથડામણો વચ્ચેના સમય સાથે સરખાવો. (N2ના એક અણુનું દળ = 28.0 u, બોલ્ટ્સમેનનો અચળાંક 1.38 × 10-23 J molecule-1K-1, R = 8.314 J mol-1K-1)
Answer:
આ પ્રશ્નનો ઉકેલ મેળવવા માટે, આપણે નાઇટ્રોજન અણુનો સરેરાશ મુક્તપથ, અથડામણનો દર અને અથડામણ સમયગાળાની ગણતરી કરીશું.
આપેલી વિગતો:
દબાણ \(P = 2.0 \text{ atm} = 2 \times 1.01 \times 10^5 \text{ N m}^{-2}\)
તાપમાન \(T = 17^\circ\text{C} = 290 \text{ K}\)
નાઇટ્રોજન અણુની ત્રિજ્યા \(r = 1.0 \text{ Å} = 1.0 \times 10^{-10} \text{m}\)
નાઇટ્રોજન વાયુના 1 અણુનું દળ = 28.0 u
નાઇટ્રોજન વાયુનું મોલર દળ \(M_0 = 28.0 \text{ gmol}^{-1} = 28 \times 10^{-3} \text{ kg mol}^{-1}\)
બોલ્ટ્સમેનનો અચળાંક \(k_B = 1.38 \times 10^{-23} \text{ J molecule}^{-1} \text{K}^{-1}\)
સરેરાશ મુક્તપથ (\(\lambda\)):
આદર્શ વાયુ સમીકરણ \(P = nk_BT\) પરથી, અણુઓની સંખ્યા ઘનતા \(n = \frac{P}{k_BT}\)
સરેરાશ મુક્તપથનું સૂત્ર \(\lambda = \frac{1}{\sqrt{2} \pi n d^2}\) માં મૂકતાં (અહીં \(d = 2r\)),
\(\lambda = \frac{k_BT}{\sqrt{2} \pi d^2 P}\)
\(= \frac{(1.38 \times 10^{-23}) \times 290}{1.4142 \times 3.14 \times (2 \times 10^{-10})^2 \times 2 \times 1.01 \times 10^5}\)
= \(1.11 \times 10^{-7} \text{m}\)
rms ઝડપ (\(v_{\mathrm{rms}}\)):
\(v_{\mathrm{rms}} = \sqrt{\frac{3RT}{M_0}}\)
\(= \sqrt{\frac{3 \times 8.314 \times 290}{28 \times 10^{-3}}}\)
= \(508.1 \text{ m s}^{-1}\)
\(\approx 5.1 \times 10^2 \text{ m s}^{-1}\)
અથડામણનો દર એટલે કે સંઘાત આવૃત્તિ (\(\nu\)):
\(\nu = \frac{v_{\mathrm{rms}}}{\lambda}\)
\(= \frac{5.1 \times 10^2}{1.11 \times 10^{-7}}\)
= \(4.59 \times 10^9 \text{ s}^{-1}\)
એક અથડામણ થવા માટેનો જરૂરી સમય (\(t\)):
\(t = \frac{d}{v_{\mathrm{rms}}}\)
\(= \frac{2 \times 10^{-10}}{5.1 \times 10^2}\)
= \(3.92 \times 10^{-13} \text{ s}\)
બે ક્રમિક અથડામણો વચ્ચેનો સમયગાળો (\(\tau\)):
\(\tau = \frac{1}{\text{અથડામણનો દર } \nu}\)
\(= \frac{1}{4.59 \times 10^9}\)
= \(2.17 \times 10^{-10} \text{ s}\)
હવે, અથડામણ સમયગાળા અને અથડામણ થવા માટેના જરૂરી સમયનો ગુણોત્તર:
\(\frac{\tau}{t} = \frac{2.17 \times 10^{-10} \text{ s}}{3.92 \times 10^{-13} \text{ s}} = 553\)
\(\therefore \tau = 553t\)
આમ, કોઈ અણુની બે ક્રમિક અથડામણો વચ્ચેનો સરેરાશ સમય, એક અથડામણ થવા માટેના જરૂરી સમય કરતાં આશરે 500 ગણો છે. આનો અર્થ એ થાય કે વાયુમાં અણુઓ મોટે ભાગે મુક્ત રીતે ગતિ કરે છે.
In simple words: For nitrogen gas at 2.0 atm and 17°C, the average mean free path is calculated to be approximately 1.11 x 10⁻⁷ m, and the collision rate is about 4.59 x 10⁹ s⁻¹. The time between two successive collisions (τ) is found to be roughly 553 times longer than the duration of a single collision (t), indicating that gas molecules spend most of their time moving freely between collisions.

🎯 Exam Tip: When calculating mean free path and collision frequency, ensure you correctly use the molecular diameter (2r) and the appropriate gas constant (Boltzmann's k_B for single molecules, R for moles). Pay attention to the relationship between \(v_{\mathrm{rms}}\), \(\lambda\), \(\nu\), and \(\tau\).

 

Question 11. એક મીટર લાંબો પાઇપ – નળી (Bore) સમક્ષિતિજ રાખેલો છે, (તેનો એક છેડો બંધ કરેલો છે) જે 76 cm લાંબો પારાનો આડો સ્તંભ (Thread) ધરાવે છે અને તે 15 cm જેટલો હવાનો બંધ સ્તંભ રચે (Traps) છે. જો નળીને તેનો ખુલ્લો છેડો તળિયા (નીચે) તરફ રહે તેમ શિરોલંબ રાખીએ, તો શું થશે?
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): આકૃતિ એક પાઇપમાં હવા અને પારાની ગોઠવણી દર્શાવે છે. આકૃતિ (a) માં, પાઇપ સમક્ષિતિજ રાખેલ છે, જેમાં 76 cm પારો 15 cm હવાને એક છેડે બંધ કરે છે અને બાકીની હવા ખુલ્લા છેડા તરફ છે. આકૃતિ (b) માં, પાઇપને ઊભો રાખેલ છે જેમાં ખુલ્લો છેડો નીચે છે, ત્યારે પારો નીચે તરફ સરકે છે અને હવાનો સ્તંભ લાંબો થાય છે, જ્યારે પારાનો સ્તંભ ટૂંકો થાય છે.
Answer:
આ પ્રશ્નનો ઉકેલ મેળવવા માટે, આપણે બોઈલના નિયમનો ઉપયોગ કરીશું અને પારાના સ્તંભની હિલચાલને કારણે થતા દબાણ અને કદમાં થતા ફેરફારોનું વિશ્લેષણ કરીશું.
નળી જ્યારે સમક્ષિતિજ હોય ત્યારે:
આકૃતિ 13.17 (a) માં દર્શાવ્યા મુજબ જ્યારે નળી સમક્ષિતિજ હોય ત્યારે, 76 cm લંબાઈનો પારો નળીના બંધ છેડા આગળ 15 cm લંબાઈનો હવાનો સ્તંભ બંધ કરે છે અને બાકીનો 9 cm હવાનો સ્તંભ ખુલ્લા છેડા તરફ હોય છે.
ધારો કે, નળીના આડછેદનું ક્ષેત્રફળ A cm² છે.
આથી, બંધ હવાના સ્તંભનું કદ \(V_1 = (A \times 15) \text{ cm}^3\)
બંધ હવાના સ્તંભની અંદર દબાણ \(P_1 = 1 \text{ atm} = 76 \text{ cm of Hg}\)
નળી જ્યારે શિરોલંબ ઊર્ધ્વ હોય ત્યારે:
આકૃતિ 13.17 (b) માં દર્શાવ્યા મુજબ જ્યારે નળીનો ખુલ્લો છેડો તળિયા (નીચે) તરફ રહે તેમ નળીને શિરોલંબ ઊર્ધ્વ કરવામાં આવે છે ત્યારે, પારો નળીના ખુલ્લા છેડા તરફ ખસે છે અને ખુલ્લા છેડા તરફની હવા તથા થોડોક પારો બહાર નીકળી જાય છે.
નળીના ખુલ્લા છેડા પાસેના વાતાવરણના દબાણ (1 atm) ને સંતુલિત કરવા માટે ધારો કે h cm લંબાઈનો પારો નળીની બહાર નીકળી જાય છે.
તેથી હવે નળીના ખુલ્લા છેડા આગળ પારાના સ્તંભની ઊંચાઈ (76 - h) cm થશે અને બંધ હવાના સ્તંભની ઊંચાઈ (24 + h) cm થશે.
આ પરિસ્થિતિમાં બંધ હવાના સ્તંભ દ્વારા ઉદ્ભવતું દબાણ \(P_2\) હોય, તો
\(P_2 + (76 - h) = 1 \text{ atm}\)
= \(76 \text{ cm of Hg}\) (\(76 \text{ cm}\) ઊંચાઈના પારાના સ્તંભનું દબાણ) (\(\because\) નળીના નીચેના ખુલ્લા છેડા પાસેનું દબાણ, વાતાવરણના દબાણ 1 atm = \(76 \text{ cm of Hg}\) છે.)
\(\therefore P_2 = (76 - (76 - h)) \text{ cm of Hg}\)
= \(h \text{ cm of Hg}\)
અહીં બંધ હવાના સ્તંભનું કદ,
\(V_2 = A \times (24 + h) \text{ cm}^3\)
અહીં તાપમાન અચળ રહેતું હોવાથી, બોઈલના નિયમ અનુસાર,
\(P_1 V_1 = P_2 V_2\)
\(76 \times (15 \times A) = h \times (A \times (24 + h))\)
\(1140 = h(24 + h)\)
\(h^2 + 24h - 1140 = 0\)
આ દ્વિઘાત સમીકરણને ઉકેલતાં,
\(h = \frac{-24 \pm \sqrt{(24)^2 - 4 \times 1 \times (-1140)}}{2 \times 1}\)
\(h = \frac{-24 \pm \sqrt{576 + 4560}}{2}\)
\(h = \frac{-24 \pm \sqrt{5136}}{2}\)
\(h = \frac{-24 \pm 71.6}{2}\)
h = 23.8 cm અથવા h = -47.8 cm
પરંતુ ઊંચાઈ h ઋણ હોઈ શકે નહીં. તેથી h = 23.8 cm.
આમ, નળીને શિરોલંબ ઊર્ધ્વ રાખતાં પારાના સ્તંભની લંબાઈ ઘટીને \(76 - 23.8 = 52.2 \text{ cm}\) થશે અને બંધ હવાના સ્તંભની લંબાઈ \(24 + 23.8 = 47.8 \text{ cm}\) થશે.
In simple words: When the horizontal pipe with a trapped air column is turned vertical with the open end down, the mercury column shifts, and some mercury might exit. Applying Boyle's Law, the pressure of the trapped air changes due to the new mercury column height, and solving the resulting quadratic equation shows that the mercury column length reduces to 52.2 cm, while the trapped air column expands to 47.8 cm.

🎯 Exam Tip: Remember to correctly calculate the pressure exerted by the mercury column in both horizontal and vertical orientations relative to atmospheric pressure. The key is to apply Boyle's Law (\(P_1V_1 = P_2V_2\)) for the trapped air, ensuring consistent units and careful algebraic manipulation.

 

Question 12. કોઈ ચોક્કસ સાધનમાંથી હાઇડ્રોજનના ભળવા – પ્રસરવા- (Diffusion)નો સરેરાશ દર 28.7 cm³s-1 છે. આ જ પરિસ્થિતિઓમાં બીજા વાયુ માટે ભળવાનો સરેરાશ દર 7.2 cm³s-1 માપવામાં આવે છે. આ વાયુ કયો હશે, તે શોધો. (સૂચન : ગ્રેહામના પ્રસરણના નિયમનો ઉપયોગ કરો : R₁ /R2 = (M2 / M₁)1/2, જ્યાં R₁, R₂ એ વાયુઓ 1 અને 2ના પ્રસરવાનો દર છે તથા M₁ અને M₂ અનુક્રમે તેમના મોલર દળ છે. આ નિયમ ગતિવાદ પરથી સીધો તરી આવે છે.)
Answer:
આ પ્રશ્નનો ઉકેલ મેળવવા માટે, આપણે ગ્રેહામના પ્રસરણના નિયમનો ઉપયોગ કરીશું.
અહીં આપેલી વિગતો:
હાઇડ્રોજનનો પ્રસરણ દર \(R_1 = 28.7 \text{ cm}^3\text{s}^{-1}\)
અજ્ઞાત વાયુનો પ્રસરણ દર \(R_2 = 7.2 \text{ cm}^3\text{s}^{-1}\)
હાઇડ્રોજનનું મોલર દળ \(M_1 = 2 \text{ g mol}^{-1}\)
અજ્ઞાત વાયુનું મોલર દળ \(M_2\) = ?
ગ્રેહામના પ્રસરણના નિયમ અનુસાર:
\(\frac{R_1}{R_2} = \sqrt{\frac{M_2}{M_1}}\)
સમીકરણના બંને બાજુ વર્ગ કરતાં:
\(\left(\frac{R_1}{R_2}\right)^2 = \frac{M_2}{M_1}\)
\(\therefore M_2 = \left(\frac{R_1}{R_2}\right)^2 \times M_1\)
\(= \left(\frac{28.7}{7.2}\right)^2 \times 2\)
\(= (3.986)^2 \times 2\)
\(= 15.888 \times 2\)
\(= 31.776 \text{ gmol}^{-1}\)
\(\approx 32 \text{ gmol}^{-1}\)
જે ઑક્સિજનનું મોલર દળ છે.
તેથી, બીજો વાયુ ઑક્સિજન હશે.
In simple words: To identify the unknown gas, Graham's Law of Diffusion is applied. By comparing the diffusion rates of hydrogen and the unknown gas, and knowing hydrogen's molar mass, we can calculate the unknown gas's molar mass. The calculated molar mass of approximately 32 g/mol matches that of oxygen, thus identifying the unknown gas.

🎯 Exam Tip: Remember Graham's Law states that the rate of diffusion/effusion of a gas is inversely proportional to the square root of its molar mass. Be careful with calculations and unit consistency when applying this law.

 

Question 13. સંતુલનમાં રહેલા એક વાયુની ધનતા અને દબાણ તેના કદમાં સમાન રીતે વહેંચાયેલા છે. આ ફક્ત તો જ શક્ય છે કે જ્યારે બહારની પરિસ્થિતિઓ અસર ન કરતી હોય. દા. ત., ગુરુત્વાકર્ષણ હેઠળ વાયુના સ્તંભની ઘનતા (અને દબાણ) એકધાર્યા (સમાન) હોતા નથી. તમે અપેક્ષા રાખતા હશો તેમ, તેની ઘનતા ઊંચાઈ સાથે ઘટે છે. ચોક્કસ અવલંબન એ જાણીતા વાતાવરણના નિયમ પરથી આપી શકાય છે, n2 = n₁ exp [- mg (h2 – h₁)/kBT] જ્યાં n2, n₁ અનુક્રમે ઊંચાઈઓ h₂ અને h₁ માટે સંખ્યા- ઘનતા છે. આ સમીકરણનો ઉપયોગ કરીને સંતુલનમાં રહેલા કલિલ દ્રાવણ- (Suspension)ના નળાકારીય સ્તંભના ઠારણ (Sedimentation) સંતુલન માટેનું સમીકરણ, n2 = n₁ exp [- mg Na (p – p') (h₂ – h₁) /(pRT)] મેળવો. જ્યાં, p એ કલિલ કણની અને p' તેની આસપાસના માધ્યમની ઘનતા છે. (NA ઍવોગેડ્રો આંક છે અને R એ સાર્વત્રિક વાયુ- અચળાંક છે.) (સૂચન : આર્કિમિડિઝના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરીને કલિલ કણ- (Suspended Particle)નું આભાસી (Apparent) વજન શોધો.)
Answer:
આ પ્રશ્નનો ઉકેલ મેળવવા માટે, આપણે વાતાવરણના નિયમનો ઉપયોગ કરીશું અને કલિલ કણો પર ગુરુત્વાકર્ષણ અને ઉત્પ્લાવક બળની અસરને ધ્યાનમાં લઈશું.
વાતાવરણના નિયમ પરથી,
\(n_2 = n_1 \exp\left[\frac{-mg(h_2-h_1)}{k_BT}\right]\) .......... (1)
જ્યાં \(n_2\) અને \(n_1\) અનુક્રમે ઊંચાઈઓ \(h_2\) અને \(h_1\) પર અણુઓની સંખ્યા-ઘનતા છે.
પ્રવાહી સ્તંભ (કલિલ દ્રાવણના સ્તંભ) ની અંદર, તરતા કણો માટે ઠારણ (અવસાદન) સંતુલનની અવસ્થામાં, કણોનું સાચું વજન \(mg\) નહીં પણ તેમનું દેખીતું (આભાસી) વજન ધ્યાનમાં લેવું જોઈએ.
ધારો કે, તરતા એક કણનું કદ V, કણની ઘનતા \(\rho\) તથા પ્રવાહી- (કલિલ દ્રાવણ) ની ઘનતા \(\rho'\) છે.
જો તરતા કણનું દળ \(m\) હોય અને તેના દ્વારા વિસ્થાપિત થયેલ પ્રવાહીનું (કલિલ દ્રાવણનું) દળ \(m'\) હોય, તો આર્કિમિડિઝના નિયમ અનુસાર:
તરતા એક કણનું દેખીતું (આભાસી) વજન = એક કણનું સાચું વજન - એક કણ દ્વારા વિસ્થાપિત થયેલ પ્રવાહીનું વજન
= \(mg - m'g\)
કદ = \(\frac{\text{દળ}}{\text{ઘનતા}}\) હોવાથી, \(m' = V\rho' = \frac{m}{\rho}\rho'\)
તેથી, દેખીતું વજન = \(mg - V\rho'g\)
= \(mg - \frac{m}{\rho}\rho'g\)
= \(mg\left[1 - \frac{\rho'}{\rho}\right]\)
સમીકરણ (1)માં, \(mg\) ના બદલે દેખીતું વજન \(mg\left[1 - \frac{\rho'}{\rho}\right]\) નો ઉપયોગ કરતાં,
\(n_2 = n_1 \exp\left[\frac{-mg\left(1 - \frac{\rho'}{\rho}\right)(h_2-h_1)}{k_BT}\right]\)
આપણે જાણીએ છીએ કે \(k_B = \frac{R}{N_A}\), જ્યાં \(N_A\) ઍવોગેડ્રો આંક છે.
\(n_2 = n_1 \exp\left[\frac{-mg\left(1 - \frac{\rho'}{\rho}\right)(h_2-h_1)}{\frac{R}{N_A}T}\right]\)
\(n_2 = n_1 \exp\left[\frac{-mgN_A\left(\frac{\rho-\rho'}{\rho}\right)(h_2-h_1)}{RT}\right]\)
આમ, માગેલું સૂત્ર સાબિત થાય છે.
In simple words: The derivation of the sedimentation equilibrium equation for a colloidal suspension begins with the atmospheric law, which describes density changes with height. For colloidal particles, the effective weight is their actual weight minus the buoyant force. By substituting this apparent weight and the relationship between Boltzmann's constant and the universal gas constant, the desired equation demonstrating how particle number density varies with height is obtained.

🎯 Exam Tip: This derivation requires a clear understanding of Archimedes' principle to calculate the apparent weight of suspended particles. Remember to correctly substitute Boltzmann's constant with the universal gas constant and Avogadro's number for the final form of the equation.

 

Question 14. કેટલાક ઘન અને પ્રવાહી દ્રવ્યોની ઘનતા નીચે આપેલી છે. તેમના પરમાણુઓના પરિમાણ (Size) વિશે અંદાજ આપો :

પદાર્થ	પરમાણ્વિક દળ (u)	ઘનતા (\(10^3\) kg m-3)
કાર્બન (ઘન)	12.01	2.22
સોનું	197.00	19.32
નાઇટ્રોજન (પ્રવાહી)	14.01	1.00
લિથિયમ	6.94	0.53
ફ્લોરિન (પ્રવાહી)	19.00	1.14

Answer:
આ પ્રશ્નનો ઉકેલ મેળવવા માટે, આપણે ધારીશું કે ઘન અથવા પ્રવાહી અવસ્થામાં અણુઓ એકબીજા સાથે ચુસ્તપણે ગોઠવાયેલા છે. આપણે અણુઓને ગોળાકાર માનીને તેમનું કદ ગણીશું.
ધારો કે, દરેક પરમાણુની ત્રિજ્યા r છે, તો દરેક પરમાણુનું કદ = \(\frac{4}{3}\pi r^3\) થાય.
જો 1 mol પરમાણુઓનું કદ V હોય, દળ \(M_0\) અને ઘનતા \(\rho\) હોય, તો
\(V = \frac{M_0}{\rho}\)
જ્યાં, \(M_0\) = 1 mol પરમાણુઓનું દળ = મોલર દળ.
1 મોલમાં \(N_A\) અણુઓ હોવાથી,
\(V = N_A \times \frac{4}{3}\pi r^3\)
\(\therefore N_A \times \frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{M_0}{\rho}\)
આ પરથી, ત્રિજ્યા r માટેનું સૂત્ર:
\(r = \left(\frac{3 M_0}{4 \pi \rho N_A}\right)^{\frac{1}{3}}\)
(i) કાર્બન માટે:
મોલર દળ \(M_0 = 12.01 \times 10^{-3} \text{ kg mol}^{-1}\)
ઘનતા \(\rho = 2.22 \times 10^3 \text{ kg m}^{-3}\)
\(N_A = 6.023 \times 10^{23} \text{ mol}^{-1}\)
\(\therefore r = \left[\frac{3 \times 12.01 \times 10^{-3}}{4 \times 3.14 \times 2.22 \times 10^3 \times 6.023 \times 10^{23}}\right]^{\frac{1}{3}}\)
= \(1.29 \times 10^{-10} \text{ m}\)
= \(1.29 \text{ Å}\)
\(\therefore\) કાર્બન પરમાણુનું પરિમાણ (Size) = કાર્બન પરમાણુની ત્રિજ્યા = \(1.29 \text{ Å}\)
(ii) સોના માટે:
મોલર દળ \(M_0 = 197.00 \times 10^{-3} \text{ kg mol}^{-1}\)
ઘનતા \(\rho = 19.32 \times 10^3 \text{ kg m}^{-3}\)
\(\therefore r = \left[\frac{3 \times 197.00 \times 10^{-3}}{4 \times 3.14 \times 19.32 \times 10^3 \times 6.023 \times 10^{23}}\right]^{\frac{1}{3}}\)
= \(1.59 \times 10^{-10} \text{ m}\)
= \(1.59 \text{ Å}\)
\(\therefore\) સોનાના પરમાણુનું પરિમાણ (Size) પરમાણુની ત્રિજ્યા = સોનાના \(1.59 \text{ Å}\)
(iii) નાઇટ્રોજન (પ્રવાહી) માટે:
મોલર દળ \(M_0 = 14.01 \times 10^{-3} \text{ kg mol}^{-1}\)
ઘનતા \(\rho = 1.00 \times 10^3 \text{ kg m}^{-3}\)
\(\therefore r = \left[\frac{3 \times 14.01 \times 10^{-3}}{4 \times 3.14 \times 1.00 \times 10^3 \times 6.023 \times 10^{23}}\right]^{\frac{1}{3}}\)
= \(1.77 \times 10^{-10} \text{ m}\)
= \(1.77 \text{ Å}\)
\(\therefore\) નાઇટ્રોજન (પ્રવાહી)ના પરમાણુનું પરિમાણ (Size) = નાઇટ્રોજન (પ્રવાહી)ના \(1.77 \text{ Å}\)
(iv) લિથિયમ માટે:
મોલર દળ \(M_0 = 6.94 \times 10^{-3} \text{ kg mol}^{-1}\)
ઘનતા \(\rho = 0.53 \times 10^3 \text{ kg m}^{-3}\)
\(\therefore r = \left[\frac{3 \times 6.94 \times 10^{-3}}{4 \times 3.14 \times 0.53 \times 10^3 \times 6.023 \times 10^{23}}\right]^{\frac{1}{3}}\)
= \(1.73 \times 10^{-10} \text{ m}\)
= \(1.73 \text{ Å}\)
\(\therefore\) લિથિયમ પરમાણુનું પરિમાણ (Size) = લિથિયમ પરમાણુની ત્રિજ્યા = \(1.73 \text{ Å}\)
(v) ફ્લોરિન (પ્રવાહી) માટે:
મોલર દળ \(M_0 = 19.00 \times 10^{-3} \text{ kg mol}^{-1}\)
ઘનતા \(\rho = 1.14 \times 10^3 \text{ kgm}^{-3}\)
\(\therefore r = \left[\frac{3 \times 19.00 \times 10^{-3}}{4 \times 3.14 \times 1.14 \times 10^3 \times 6.023 \times 10^{23}}\right]^{\frac{1}{3}}\)
= \(1.88 \times 10^{-10} \text{ m}\)
= \(1.88 \text{ Å}\)
\(\therefore\) ફ્લોરિન (પ્રવાહી)ના પરમાણુનું પરિમાણ (Size) = ફ્લોરિન (પ્રવાહી)ના પરમાણુની ત્રિજ્યા = \(1.88 \text{ Å}\)
In simple words: To estimate the atomic size, we assume atoms are spherical and tightly packed. By equating the molar volume (molar mass/density) to the total volume of Avogadro's number of atoms (each \(\frac{4}{3}\pi r^3\)), we derive a formula for the atomic radius. Applying this formula to carbon, gold, nitrogen, lithium, and fluorine with their respective molar masses and densities yields atomic radii ranging from 1.29 Å to 1.88 Å.

🎯 Exam Tip: When estimating atomic sizes, remember the assumption of close packing and spherical atoms. Ensure you correctly use molar mass, density, and Avogadro's number in the formula for atomic radius. Pay close attention to unit conversions for consistency.

I have reviewed the content from pages 15 and 16 of the provided PDF. As per your explicit directive to "Process and map ONLY the questions located between page 15 and page 16 of this PDF", I found no educational questions or answer blocks within this specified page range. The content on these pages primarily consists of website navigation elements, comment sections, and links, not instructional material that fits the defined "Question" and "Answer" formats. Therefore, no HTML snippets can be generated for questions from this particular range.