GSEB Class 11 Physics Solutions Chapter 12 થરોડાયનેમિક્સ

Gseb Solutions Class 11 Physics Chapter 12 થરોડાયનેમિऽસ

Gujarat Board Textbook Solutions Class 11 Physics Chapter 12 થરોડાયનેમિક્સ

Question 1. 3.0 લિટર પાણી 27°C થી 77°C સુધી ગરમ કરવા માટે ગીઝરમાંથી પસાર થાય છે. જો ગીઝર ગૅસ-બર્નર પર કાર્ય કરતું હોય અને દહન (Combustion) ઉષ્મા 4.0 x \(10^4\) J/g હોય, તો બળતણના વપરાશનો દર કેટલો હશે? પાણીની વિશિષ્ટ ઉષ્માધારિતા \(4.2 \frac{\mathrm{J}}{\mathrm{g}^{\circ} \mathrm{C}}\) છે.

Answer:

ગીઝરમાંથી પસાર થતા પાણીનો વહન દર, અથવા કદ-ફ્લક્સ (\( \frac{V}{\Delta t} \)), નીચે મુજબ છે:

\[ \frac{V}{\Delta t} = 3 \frac{\mathrm{L}}{\mathrm{min}} = 3 \times 10^{-3} \frac{\mathrm{m}^3}{\mathrm{~min}} \]
( કારણ કે \(1 \mathrm{~L} = 10^{-3} \mathrm{~m}^3\) )
પાણીની ઘનતા \(\rho = 10^3 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}^3}\)
ગીઝરમાંથી પસાર થતા પાણીનું દળ-ફ્લક્સ:
\( \frac{m}{\Delta t} = \rho \left( \frac{V}{\Delta t} \right) = 10^3 \times 3 \times 10^{-3} = 3 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{min}} \)
પાણીના તાપમાનમાં થતો વધારો:
\(\Delta T = 77^\circ\mathrm{C} - 27^\circ\mathrm{C} = 50^\circ\mathrm{C}\)
પાણીની વિશિષ્ટ ઉષ્માધારિતા:
\( s = 4.2 \frac{\mathrm{J}}{\mathrm{g}^{\circ} \mathrm{C}} \)
\( s = 4.2 \frac{\mathrm{J}}{10^{-3} \mathrm{~kg}{ }^{\circ} \mathrm{C}} = 4.2 \times 10^3 \frac{\mathrm{J}}{\mathrm{kg}{}^{\circ} \mathrm{C}} \)
ગૅસ-બર્નર દ્વારા પૂરી પડાતી ઉષ્માનો દર:
\( \frac{\Delta Q}{\Delta t} = \left( \frac{m}{\Delta t} \right) s \Delta T \)
\( = 3 \times 4.2 \times 10^3 \times 50 \)
\( = 63 \times 10^4 \frac{\mathrm{J}}{\mathrm{min}} \)
(આનો અર્થ એ છે કે ગૅસ-બર્નર દ્વારા 1 મિનિટમાં પૂરી પડાતી ઉષ્મા \( = 63 \times 10^4 \mathrm{~J} \))
વધુમાં, બળતણની દહન ઉષ્મા \( = 4.0 \times 10^4 \frac{\mathrm{J}}{\mathrm{g}} \)
\( = 4.0 \times 10^4 \frac{\mathrm{J}}{10^{-3} \mathrm{~kg}} \)
\( = 4.0 \times 10^7 \frac{\mathrm{J}}{\mathrm{kg}} \)
(આનો અર્થ એ છે કે 1 kg બળતણના દહનથી \(4.0 \times 10^7 \mathrm{~J}\) ઉષ્મા ઉત્પન્ન થાય છે.)
આથી, બળતણના વપરાશનો દર:
\( = \frac{63 \times 10^4 \frac{\mathrm{J}}{\mathrm{min}}}{4.0 \times 10^7 \frac{\mathrm{J}}{\mathrm{kg}}} \)
\( = 15.75 \times 10^{-3} \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{min}} \)
\( = 15.75 \frac{\mathrm{g}}{\mathrm{min}} \)
In simple words: To heat the water, the gas burner supplies heat at a certain rate. Knowing the heat of combustion of the fuel, we can determine how much fuel is consumed per minute to provide that required heat.

🎯 Exam Tip: Remember to convert all units to a consistent system (e.g., kg, J, min) before performing calculations. Pay close attention to the definition of specific heat capacity and heat of combustion.

 

Question 2. અચળ દબાણે (અને ઓરડાના તાપમાને) રહેલા \(2.0 \times 10^{-2}\) kg નાઇટ્રોજનનું તાપમાન 45°C જેટલું વધારવા માટે કેટલી ઉષ્મા આપવી પડશે? (\(\mathrm{N}_2\) અણુભાર = 28; R = \(8.3 \mathrm{~J} \mathrm{~mol}^{-1} \mathrm{~K}^{-1}\))

Answer:

અહીં, દબાણ P સ્થિર (અચળ) છે.
તાપમાનનો ફેરફાર (વધારો) \(\Delta T = 45^\circ\mathrm{C} = 45 \mathrm{~K}\)
નાઇટ્રોજન વાયુનું દળ \(m = 2.0 \times 10^{-2} \mathrm{~kg}\)
નાઇટ્રોજનનો અણુભાર \(M = 28 \mathrm{~g} \mathrm{~mol}^{-1} = 28 \times 10^{-3} \mathrm{~kg} \mathrm{~mol}^{-1}\)
તેથી, નાઇટ્રોજન વાયુની મોલ-સંખ્યા \(\mu = \frac{m}{M} = \frac{2.0 \times 10^{-2} \mathrm{~kg}}{28 \times 10^{-3} \mathrm{~kg} \mathrm{~mol}^{-1}} = \frac{20}{28} \mathrm{~mol}\)
અચળ દબાણે નાઇટ્રોજન વાયુની મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્માધારિતા (\(C_p\)) નીચે મુજબ છે:
નાઇટ્રોજન વાયુ દ્વિપરમાણ્વિક છે અને rigid rotator નથી, તેથી \(C_p = \frac{7}{2} R = \left(\frac{7}{2} \times 8.3\right) \mathrm{~J} \mathrm{~mol}^{-1} \mathrm{~K}^{-1}\)
નાઇટ્રોજન વાયુને આપવી પડતી ઉષ્મા (\(\Delta Q\)) નીચે મુજબ છે:
\( \Delta Q = \mu C_p \Delta T \)
\( = \left(\frac{20}{28} \mathrm{~mol}\right) \times \left(\frac{7}{2} \times 8.3 \mathrm{~J} \mathrm{~mol}^{-1} \mathrm{~K}^{-1}\right) \times (45 \mathrm{~K}) \)
\( = 933.75 \mathrm{~J} \)
In simple words: To raise the temperature of nitrogen gas at constant pressure, we need to supply a specific amount of heat determined by its molar specific heat capacity at constant pressure, the number of moles, and the temperature change.

🎯 Exam Tip: Remember that for diatomic gases like nitrogen, \(C_p = \frac{7}{2}R\) when considering a rigid rotator, and ensure temperature is in Kelvin for calculations involving gas constants.

 

Question 3. સમજાવો :
(a) \(T_1\) અને \(T_2\) તાપમાન ધરાવતા બે પદાર્થોને તાપીય સંપર્કમાં લાવતાં સ્થાયી અવસ્થામાં તેમનું સરેરાશ તાપમાન \( \frac{(T_1+T_2)}{2} \) હોવું જરૂરી નથી.
(b) રાસાયણિક કે ન્યુક્લિઅર પ્લાન્ટમાં રહેલા કુલન્ટ (પ્લાન્ટના જુદા જુદા ભાગોને અતિશય ગરમ થતાં રોકે તેવું પ્રવાહી)ની વિશિષ્ટ ઉષ્મા વધુ હોવી જોઈએ.
(c) કાર ચલાવતી વખતે તેના ટાયરમાં દબાણ વધે છે.
(d) દરિયાકિનારે આવેલ બંદર (Harbour)નું વાતાવરણ સમાન અક્ષાંશ ધરાવતા રણમાં આવેલા શહેર કરતાં ગરમ (ઉષ્ણ) હોય છે.

Answer:
(a) જ્યારે \(T_1\) અને \(T_2\) તાપમાને રહેલા બે અલગ-અલગ પદાર્થોને તાપીય સંપર્કમાં લાવવામાં આવે છે, ત્યારે ઉષ્મા હંમેશાં ઊંચા તાપમાનવાળા પદાર્થથી નીચા તાપમાનવાળા પદાર્થ તરફ વહે છે, જ્યાં સુધી બંને પદાર્થોનું તાપમાન સમાન ન થાય.
સ્થાયી અવસ્થામાં બંને પદાર્થોનું સરેરાશ તાપમાન \( \frac{(T_1+T_2)}{2} \) ત્યારે જ શક્ય બને છે જો બંને પદાર્થોની ઉષ્માધારિતા \( S = \frac{\Delta Q}{\Delta T} \) (અથવા વિશિષ્ટ ઉષ્મા s અને દળ m નો ગુણાકાર) સમાન હોય. પ્રશ્નમાં આ શરતનો ઉલ્લેખ ન હોવાથી, સ્થાયી અવસ્થામાં બંને પદાર્થોનું સરેરાશ તાપમાન \( \frac{(T_1+T_2)}{2} \) હોવું આવશ્યક નથી.
મહત્ત્વની નોંધ:
જો \(m_1\) અને \(m_2\) દળવાળા તથા \(s_1\) અને \(s_2\) વિશિષ્ટ ઉષ્મા ધરાવતા બે પદાર્થો A અને B અનુક્રમે \(T_1\) અને \(T_2\) તાપમાને હોય અને તેમને સંપર્કમાં લાવવામાં આવે, તો કૅલરિમેટ્રીના સિદ્ધાંત અનુસાર:
(A પદાર્થ દ્વારા ગુમાવાતી ઉષ્મા) = (B પદાર્થ દ્વારા મેળવાતી ઉષ્મા)
\( m_1 s_1 (T_1 - T) = m_2 s_2 (T - T_2) \)
જ્યાં, \(T\) એ ઉષ્મીય સંતુલિત અવસ્થામાંનું તાપમાન છે.
\( \implies T = \frac{m_1 s_1 T_1 + m_2 s_2 T_2}{m_1 s_1 + m_2 s_2} \)
(1) જો બે પદાર્થો એક જ દ્રવ્યના હોય, તો \(s_1 = s_2\).
\( \implies T = \frac{m_1 T_1 + m_2 T_2}{m_1 + m_2} \)
(2) જો બે પદાર્થોના દળ સમાન હોય, તો \(m_1 = m_2\).
\( \implies T = \frac{s_1 T_1 + s_2 T_2}{s_1 + s_2} \)
(3) જો બે પદાર્થો એક જ દ્રવ્યના હોય અને તેમના દળ (દ્રવ્યમાન) એકસમાન હોય, તો \(m_1 = m_2\) અને \(s_1 = s_2\).
\( \implies T = \frac{T_1 + T_2}{2} \)
(b) રાસાયણિક અથવા ન્યુક્લિઅર પ્લાન્ટમાં શીતક (કુલન્ટ) વાપરવાનો મુખ્ય હેતુ પ્લાન્ટના વિવિધ ભાગોને અતિશય ગરમ થતા અટકાવવાનો છે.
આ માટે, શીતકનું પોતાનું તાપમાન ખૂબ વધારે ન વધવું જોઈએ અને તેણે વધુ ઉષ્માનું શોષણ પણ કરવું જોઈએ. જો શીતકની વિશિષ્ટ ઉષ્મા s ઊંચી હોય, તો \( \Delta Q = ms \Delta T \) સૂત્ર અનુસાર આપેલ દળ m અને શોષાયેલી ઉષ્મા \(\Delta Q\) માટે તેના તાપમાનમાં થતો વધારો \(\Delta T\) ઓછો હોય છે. પરિણામે, પ્લાન્ટના જુદા જુદા ભાગો અતિશય ગરમ થતા નથી.
(c) જ્યારે કાર માર્ગ પર ગતિ કરતી હોય છે, ત્યારે કારના ટાયર અને માર્ગ વચ્ચે ઘર્ષણ ઉત્પન્ન થાય છે. આ ઘર્ષણના કારણે કારના ટાયર ગરમ થાય છે. ટાયર ગરમ થતાં, તેની અંદર રહેલી હવાનું તાપમાન વધે છે.
ટાયરમાં રહેલી હવાનું કદ V અચળ રહેતું હોવાથી, ગે-લ્યુસેકના નિયમ \(P \propto T\) પરથી, ટાયરની અંદર હવાનું દબાણ થોડું વધે છે.
(d) સમાન અક્ષાંશવાળા રણમાં આવેલા શહેર અને દરિયાકિનારે આવેલા બંદર પૈકી, બંદર પાસે સાપેક્ષ આર્દ્રતા (ભેજ) વધુ હોય છે. આ કારણોસર દરિયાકિનારે આવેલા બંદર પાસે વધારે ભેજવાળી હવા હોવાથી ત્યાં ગરમાવો વધુ હોય છે.
In simple words: These explanations cover various thermodynamic principles, including heat transfer in thermal contact based on specific heat capacities, the role of coolants in preventing overheating due to high specific heat, the increase in tire pressure due to frictional heating and constant volume, and the warmer climate near coastal areas due to higher humidity.

🎯 Exam Tip: For such explanatory questions, focus on clearly stating the underlying physical principle (e.g., heat transfer, specific heat, gas laws, humidity effects) and then linking it to the observed phenomenon.

 

Question 4. ખસી શકે તેવો પિસ્ટન ધરાવતા એક નળાકાર પાત્રમાં પ્રમાણભૂત તાપમાન અને દબાણે 3 મોલ હાઇડ્રોજન રહેલો છે. નળાકાર પાત્રની દીવાલો ઉષ્મા અવાહક છે અને પિસ્ટન પર રેતીનો ઢગલો કરીને અવાહક બનાવ્યો છે. જો વાયુને તેના કદ કરતાં અડધા કદ સુધી સંકોચિત કરવામાં આવે, તો વાયુનું દબાણ કેટલા પ્રમાણમાં બદલાશે?

Answer:

અહીં, ઉષ્માનો વિનિમય (આપ-લે) થતો નથી. તેથી આ પ્રક્રિયા સમોષ્મી (adiabatic) છે.
સમોષ્મી પ્રક્રિયા માટે, દબાણ અને કદ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે:
\( P_1 V_1^\gamma = P_2 V_2^\gamma \)
\( \implies \frac{P_2}{P_1} = \left(\frac{V_1}{V_2}\right)^\gamma \)
પ્રશ્નમાં આપેલ છે કે \(V_2 = \frac{V_1}{2}\).
હાઇડ્રોજન વાયુ દ્વિપરમાણ્વિક હોવાથી, તેના માટે \(\gamma = \frac{C_p}{C_v} = \frac{7}{5} = 1.4\).
આથી,
\( \frac{P_2}{P_1} = \left(\frac{V_1}{\frac{V_1}{2}}\right)^{1.4} \)
\( \implies \frac{P_2}{P_1} = (2)^{1.4} \)
બંને બાજુ log લેતાં,
\( \log \left(\frac{P_2}{P_1}\right) = \log (2^{1.4}) \)
\( = 1.4 \log (2) \)
\( = 1.4 \times (0.3010) = 0.4214 \)
હવે, Antilog લેતાં,
\( \frac{P_2}{P_1} = \mathrm{Antilog} (0.4214) = 2.638 \)
આથી, \( \frac{P_2}{P_1} \approx 2.64 \)
\( \implies P_2 \approx 2.64 P_1 \)
આમ, હાઇડ્રોજન વાયુનું નવું દબાણ, પહેલાંના દબાણ કરતાં 2.64 ગણું થશે.
In simple words: When a gas is compressed adiabatically (no heat exchange), its pressure increases significantly. For hydrogen, being a diatomic gas, the adiabatic index allows us to calculate how much the pressure multiplies when the volume is halved.

🎯 Exam Tip: For adiabatic processes, remember the relationship \(PV^\gamma = \text{constant}\). Correctly identifying the value of \(\gamma\) for the given gas is crucial for accurate calculations.

 

Question 5. એક વાયુને સંતુલિત અવસ્થા Aથી સમોષ્મી રીતે સંતુલિત અવસ્થા B સુધી લઈ જવા માટે, તંત્ર પર થયેલ કાર્ય 22.3 J જેટલું છે. જો તંત્રને Aથી B સ્થિતિ સુધી એવી રીતે લઈ જવામાં આવે કે જેથી તેમાં શોષાયેલી ચોખ્ખી ઉષ્મા 9.35 cal હોય, તો બીજા કિસ્સામાં તંત્ર વડે કેટલું ચોખ્ખું કાર્ય થયું હશે? (\(1 \mathrm{~cal} = 4.19 \mathrm{~J}\))

Answer:

પ્રથમ કિસ્સામાં (સમોષ્મી પ્રક્રિયા વખતે):
ઉષ્માનો ફેરફાર \(\Delta Q = 0\) (સમોષ્મી પ્રક્રિયા માટે).
તંત્ર પર થયેલું કાર્ય \(\Delta W = -22.3 \mathrm{~J}\) (કારણ કે કાર્ય તંત્ર પર થાય છે).
થરમૉડાયનેમિક્સના પ્રથમ નિયમ \(\Delta Q = \Delta U + \Delta W\) પરથી, પ્રથમ કિસ્સામાં તંત્રની આંતરિક ઊર્જામાં થતો ફેરફાર:
\( \Delta U = \Delta Q - \Delta W \)
\( = 0 - (-22.3 \mathrm{~J}) = +22.3 \mathrm{~J} \)
બીજા કિસ્સામાં પ્રથમ અને બીજા બંને કિસ્સાઓની પ્રક્રિયાઓ વખતે તંત્રની પ્રારંભિક અને અંતિમ અવસ્થાઓ અનુક્રમે A અને B જ છે, જે બદલાતી નથી. તેથી તંત્રની આંતરિક ઊર્જામાં થતો ફેરફાર પ્રથમ કિસ્સામાં જે હતો તે જ બીજા કિસ્સામાં પણ રહેશે.
\(\implies \Delta U = +22.3 \mathrm{~J}\)
બીજા કિસ્સામાં, શોષાયેલી ઉષ્મા \(\Delta Q = 9.35 \mathrm{~cal}\)
ઉષ્માને જૂલમાં રૂપાંતરિત કરતા: \( = 9.35 \times 4.19 \mathrm{~J} = 39.2 \mathrm{~J} \)
થરમૉડાયનેમિક્સના પ્રથમ નિયમ \(\Delta Q = \Delta U + \Delta W\) પરથી, બીજા કિસ્સામાં તંત્ર વડે થતું કાર્ય:
\( \Delta W = \Delta Q - \Delta U \)
\( = 39.2 \mathrm{~J} - 22.3 \mathrm{~J} \)
\( = +16.9 \mathrm{~J} \)
આ કાર્ય \(\Delta W\) નું મૂલ્ય ધન મળે છે. તેથી તે તંત્ર વડે પરિસર પર થયેલું ચોખ્ખું કાર્ય સૂચવે છે.
In simple words: The first law of thermodynamics allows us to calculate changes in internal energy and work done. In an adiabatic process, there's no heat exchange, so internal energy change is directly related to work. If the initial and final states are the same, the change in internal energy is constant regardless of the path taken.

🎯 Exam Tip: Remember that internal energy is a state function, meaning its change depends only on the initial and final states, not the path. Pay attention to the sign convention for work done on or by the system and heat added or removed.

 

Question 6. એકસરખી ક્ષમતા ધરાવતાં બે નળાકાર પાત્રો A અને B ને એકબીજા સાથે સ્ટૉપકૉક (બંધ કરી શકાય તેવા કૉક) વડે જોડેલા છે. Aમાં વાયુ પ્રમાણભૂત તાપમાન અને દબાણે રહેલો છે. B સંપૂર્ણ રીતે ખાલી (Evacuated) છે. આખું તંત્ર તાપીય રીતે અલિપ્ત (અલગ) કરેલું છે. સ્ટૉપકૉકને અચાનક ખોલવામાં આવે, તો નીચેના પ્રશ્નોના ઉત્તર આપો:
(a) A અને Bમાં અંતિમ દબાણ કેટલું હશે?
(b) વાયુની આંતરિક ઊર્જામાં કેટલો ફેરફાર થયો હશે?
(c) વાયુના તાપમાનમાં કેટલો ફેરફાર થયો હશે?
(d) શું તંત્રની વચ્ચેની અવસ્થાઓ (અંતિમ સંતુલિત અવસ્થામાં સ્થિર થતાં પહેલાં) તેના P – V – T સપાટી પર હશે?

Answer:

ધારો કે, A અને B બંને નળાકાર પાત્રોનાં કદ V જેટલા એકસરખા છે.
(a) A નળાકારમાં રહેલા વાયુનું દબાણ \(P_1 = P = 1 \mathrm{~atm}\) અને કદ \(V_1 = V\) છે.
જ્યારે સ્ટૉપકૉકને અચાનક ઝડપથી ખોલવામાં આવે છે, ત્યારે વાયુને પહેલાં કરતાં બમણું કદ (\(V_2 = 2V\)) પ્રાપ્ત થાય છે.
આખું તંત્ર તાપીય રીતે અલિપ્ત (અલગ) કરેલું હોવાથી, આ પ્રક્રિયા દરમિયાન સમગ્ર તંત્રનું તાપમાન બદલાશે નહીં, એટલે કે આ પ્રક્રિયા સમતાપી હશે.
સમતાપી પ્રક્રિયા માટે બૉઇલના નિયમ પરથી:
\( P_1 V_1 = P_2 V_2 \)
\( \implies P_2 = \frac{P_1 V_1}{V_2} \)
\( = \frac{PV}{2V} \)
\( = \frac{P}{2} = \frac{1 \mathrm{~atm}}{2} = 0.5 \mathrm{~atm} \)
આમ, A અને B બંને પાત્રોમાં વાયુનું અંતિમ દબાણ 0.5 atm જેટલું થશે.
(b) આ એક સમતાપી પ્રક્રિયા છે, જે મુક્ત પ્રસરણનો કિસ્સો છે.
વાયુના મુક્ત પ્રસરણના કિસ્સામાં વાયુ વડે કે વાયુ ઉપર કોઈ કાર્ય થતું નથી, અર્થાત્ \(\Delta W = 0\).
વળી, સમગ્ર તંત્ર તાપીય રીતે પરિસરથી અલિપ્ત (અલગ) કરેલું હોવાથી ઉષ્માનો વિનિમય પણ થતો નથી, અર્થાત્ \(\Delta Q = 0\).
થરમૉડાયનેમિક્સના પ્રથમ નિયમ \(\Delta Q = \Delta U + \Delta W\) પરથી:
\( \Delta U = \Delta Q - \Delta W \)
\( = 0 - 0 = 0 \)
આથી, વાયુની આંતરિક ઊર્જામાં કોઈ ફેરફાર થતો નથી.
(c) અહીં, વાયુના મુક્ત પ્રસરણ વખતે વાયુ વડે કે વાયુ પર કાર્ય થતું નથી અને સમગ્ર તંત્ર તાપીય રીતે અલગ કરેલું હોવાથી, વાયુના તાપમાનમાં કોઈ ફેરફાર થતો નથી, અર્થાત્ \(\Delta T = 0\).
(d) ના.
વાયુનું મુક્ત પ્રસરણ હંમેશાં ઝડપી અને અનિયંત્રિત હોય છે. તેથી, વાયુ (તંત્ર) વચગાળાની અસંતુલિત અવસ્થાઓમાંથી પસાર થાય છે, એટલે કે વાયુની વચગાળાની અવસ્થાઓ વાયુ-સમીકરણને અનુસરતી નથી. આથી, વાયુની આવી (અસંતુલિત) અવસ્થાઓ P-V-T સપાટી પર દર્શાવી શકાતી નથી.
In simple words: When a gas undergoes free expansion into a vacuum while thermally isolated, it experiences no change in internal energy or temperature because no work is done and no heat is exchanged. The final pressure is simply halved if the volume doubles. The intermediate states of such a rapid, irreversible process cannot be plotted on a P-V-T surface as they are non-equilibrium states.

🎯 Exam Tip: For free expansion of an ideal gas, always remember that \(\Delta Q = 0\), \(\Delta W = 0\), and thus \(\Delta U = 0\), implying \(\Delta T = 0\). Also, recognize that non-equilibrium states cannot be represented on state diagrams like P-V-T surfaces.

 

Question 7. એક વરાળયંત્ર એક મિનિટમાં \(5.4 \times 10^8 \mathrm{~J}\) કાર્ય આપે છે અને તેના બૉઇલરમાંથી એક મિનિટમાં \(3.6 \times 10^9 \mathrm{~J}\) ઉષ્મા ખેંચી પાડે છે. એન્જિનની કાર્યક્ષમતા કેટલી હશે? એક મિનિટમાં કેટલી ઉષ્મા વેડફાતી હશે?

Answer:

અહીં,
1 મિનિટમાં મળતું કાર્ય \(W = 5.4 \times 10^8 \mathrm{~J}\)
1 મિનિટમાં બૉઇલરમાંથી શોષાતી ઉષ્મા \(Q_1 = 3.6 \times 10^9 \mathrm{~J}\)
વરાળયંત્રની કાર્યક્ષમતા (\(\eta\)) નીચે મુજબ છે:
\( \eta = \frac{W}{Q_1} \)
\( = \frac{5.4 \times 10^8}{3.6 \times 10^9} \)
\( = \frac{5.4}{36} = \frac{3}{20} \)
\( = 0.15 = 15\% \)
1 મિનિટમાં વેડફાતી ઉષ્મા \(Q_{\text{lost}} = Q_1 - W\)
\( = 3.6 \times 10^9 \mathrm{~J} - 5.4 \times 10^8 \mathrm{~J} \)
\( = (36 \times 10^8) \mathrm{~J} - (5.4 \times 10^8) \mathrm{~J} \)
\( = (36 - 5.4) \times 10^8 \mathrm{~J} \)
\( = 30.6 \times 10^8 \mathrm{~J} \)
\( \approx 3.1 \times 10^9 \mathrm{~J} \)
In simple words: The efficiency of a heat engine is the ratio of the work output to the heat input. The difference between the heat input and the work output represents the wasted heat, which is typically expelled to the environment.

🎯 Exam Tip: Ensure that all energy units are consistent before calculating efficiency or wasted heat. Express efficiency as a fraction or percentage, and clearly state the definition of efficiency for a heat engine.

 

Question 8. એક ઇલેક્ટ્રિક હીટર, તંત્રને 100 W ના દરથી ઉષ્મા પૂરી પાડે છે. જો તંત્ર એક સેકન્ડમાં 75 J ના દરથી કાર્ય કરતું હોય, તો તેની આંતરિક ઊર્જામાં ફેરફારનો દર કેટલો હશે?

Answer:

ઇલેક્ટ્રિક હીટર વડે તંત્રને પૂરી પડાતી ઉષ્માનો દર:
\( \frac{\Delta Q}{\Delta t} = 100 \mathrm{~W} = 100 \mathrm{~J} \mathrm{~s}^{-1} \)
તંત્ર દ્વારા થતા કાર્યનો દર:
\( \frac{\Delta W}{\Delta t} = 75 \mathrm{~J} \mathrm{~s}^{-1} \)
તંત્રની આંતરિક ઊર્જામાં થતા ફેરફારનો દર \( \frac{\Delta U}{\Delta t} = ? \)
થરમૉડાયનેમિક્સના પ્રથમ નિયમ \(\Delta Q = \Delta U + \Delta W\) પરથી:
\( \Delta U = \Delta Q - \Delta W \)
આથી, આંતરિક ઊર્જામાં ફેરફારનો દર:
\( \frac{\Delta U}{\Delta t} = \frac{\Delta Q}{\Delta t} - \frac{\Delta W}{\Delta t} \)
\( = 100 \mathrm{~J} \mathrm{~s}^{-1} - 75 \mathrm{~J} \mathrm{~s}^{-1} \)
\( = 25 \mathrm{~J} \mathrm{~s}^{-1} \)
\( = 25 \mathrm{~W} \)
In simple words: The first law of thermodynamics states that the change in a system's internal energy equals the heat added to it minus the work done by it. By knowing the rates of heat supply and work done, we can calculate the rate of change of internal energy.

🎯 Exam Tip: Remember to use power (rate of energy transfer) for all quantities (\(\frac{\Delta Q}{\Delta t}\), \(\frac{\Delta W}{\Delta t}\), \(\frac{\Delta U}{\Delta t}\)) when calculating the rate of change of internal energy. Ensure units are consistent (Watts or J/s).

 

Question 9. આકૃતિ 12.35માં દર્શાવ્યા મુજબ એક થરમૉડાયનેમિક તંત્રને તેની પ્રારંભિક અવસ્થાથી વચગાળાની (Intermediate) અવસ્થા E સુધી રેખીય પ્રક્રિયા દ્વારા લઈ જવામાં આવે છે. ત્યારબાદ તેનું કદ E થી F સુધી સમદાબ પ્રક્રિયા દ્વારા ઘટાડીને મૂળ મૂલ્ય સુધી લાવવામાં આવે છે. વાયુ દ્વારા D થી E અને પછી E થી F સુધીમાં થયેલ કુલ કાર્ય ગણો.

Answer:
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): આકૃતિ 12.35 P-V આલેખ દર્શાવે છે જેમાં એક થર્મોડાયનેમિક પ્રક્રિયા D થી E અને પછી E થી F સુધી દર્શાવવામાં આવી છે. D થી E એ રેખીય પ્રક્રિયા છે જ્યાં દબાણ અને કદ બંને બદલાય છે, જ્યારે E થી F એ સમદાબ પ્રક્રિયા છે જ્યાં દબાણ સ્થિર રહે છે અને કદ ઘટે છે. આકૃતિના અક્ષો P (દબાણ N/\(\mathrm{m}^2\)) અને V (કદ \(\mathrm{m}^3\)) છે.
DE પ્રક્રિયામાં થતું કાર્ય (\(W_1\)): આ કાર્ય DEHGD ક્ષેત્રફળ દ્વારા રજૂ થાય છે (કારણ કે તંત્રનું કદ વધે છે).
ક્ષેત્રફળ = ADEF નું ક્ષેત્રફળ + લંબચોરસ EHGF નું ક્ષેત્રફળ
\( W_1 = \text{ક્ષેત્રફળ}( \triangle \text{ADE}) + \text{ક્ષેત્રફળ}(\text{DEHG}) \)
\( = \frac{1}{2} (600 - 300) \times (5 - 2) + 300 \times (5 - 2) \)
\( = \frac{1}{2} (300) \times (3) + 300 \times 3 \)
\( = 450 + 900 \)
\( = +1350 \mathrm{~J} \)
EF પ્રક્રિયામાં થતું કાર્ય (\(W_2\)): આ કાર્ય EFHG ક્ષેત્રફળ દ્વારા રજૂ થાય છે (કારણ કે તંત્રનું કદ ઘટે છે).
\( W_2 = -(300 \times (5 - 2)) \)
\( = -(300 \times 3) \)
\( = -900 \mathrm{~J} \)
D થી E અને પછી E થી F સુધીમાં થયેલું કુલ કાર્ય (\(W\)) નીચે મુજબ છે:
\( W = W_1 + W_2 \)
\( = 1350 \mathrm{~J} - 900 \mathrm{~J} \)
\( = +450 \mathrm{~J} \)
અહીં, સમગ્ર પ્રક્રિયા દરમિયાન થતું કુલ કાર્ય ધન છે. તેથી આ કાર્ય તંત્ર (વાયુ) દ્વારા થાય છે.
આમ, D થી E અને પછી E થી F સુધીમાં વાયુ દ્વારા થતું કુલ કાર્ય \(W = 450 \mathrm{~J}\) છે.
In simple words: In a P-V diagram, the work done by a gas is represented by the area under the process curve. For an expansion, work is positive, and for compression, it's negative. By calculating the areas for each segment of the process, we can find the total work done.

🎯 Exam Tip: When calculating work done from a P-V diagram, ensure you correctly identify whether work is done by the gas (expansion, positive work) or on the gas (compression, negative work). Break down complex paths into simpler geometric shapes (rectangles, triangles) to find the area accurately.

 

Question 10. એક રેફ્રિજરેટરમાં રાખેલ ખોરાકને 9°C તાપમાને સાચવવાનો છે. જો ઓરડાનું તાપમાન 36 °C હોય, તો રેફ્રિજરેટરનો પરફોર્મન્સ-ગુણાંક (કાર્યસિદ્ધિ-ગુણાંક) શોધો.

Answer:

ઓરડાનું તાપમાન (ગરમ જળાશયનું તાપમાન) \(T_1 = 36^\circ\mathrm{C}\)
\( T_1 = 36 + 273 = 309 \mathrm{~K} \)
રેફ્રિજરેટરનું અંદરનું તાપમાન (ઠંડા જળાશયનું તાપમાન) \(T_2 = 9^\circ\mathrm{C}\)
\( T_2 = 9 + 273 = 282 \mathrm{~K} \)
રેફ્રિજરેટરનો પરફોર્મન્સ-ગુણાંક (\(\alpha\)) નીચે મુજબ છે:
\( \alpha = \frac{T_2}{T_1 - T_2} \)
\( = \frac{282}{309 - 282} \)
\( = \frac{282}{27} \)
\( = 10.4 \)
In simple words: The coefficient of performance for a refrigerator indicates its efficiency, specifically how much heat it removes from the cold reservoir for a given amount of work done. It is calculated using the temperatures of the cold and hot reservoirs in Kelvin.

🎯 Exam Tip: Always convert temperatures from Celsius to Kelvin (\(\mathrm{K} = ^\circ\mathrm{C} + 273\)) when calculating the coefficient of performance or efficiency of thermodynamic cycles. The coefficient of performance is a dimensionless quantity.