GSEB Class 11 Physics Solutions Chapter 11 દ્રવ્યના ઉષ્મીય ગુણધર્મો

 

Question 1. નીયૉન અને કાર્બન ડાયૉક્સાઇડનાં ત્રિબિંદુ અનુક્રમે 24.57 K અને 216.55 K છે. આ તાપમાન મૂલ્યોને સેલ્સિયસ અને ફેરનહીટ માપક્રમમાં દર્શાવો.
Answer: The triple points for Neon and Carbon Dioxide are provided as 24.57 K and 216.55 K, respectively. We are asked to convert these temperatures to both the Celsius and Fahrenheit scales.

The standard conversion formulas are used:
(i) For Celsius: \( t_C = T - 273.15 \)
(ii) For Fahrenheit: \( t_F = 32 + \frac{9}{5} t_C \)

For Neon (Triple Point = 24.57 K):
* In Celsius Scale:
\( t_C = 24.57 - 273.15 = -248.58^\circ\mathrm{C} \)

* In Fahrenheit Scale:
\( t_F = 32 + \frac{9}{5} (-248.58) \)
\( t_F = 32 - 447.444 \)
\( t_F = -415.44^\circ\mathrm{F} \)

For Carbon Dioxide (Triple Point = 216.55 K):
* In Celsius Scale:
\( t_C = 216.55 - 273.15 = -56.60^\circ\mathrm{C} \)

* In Fahrenheit Scale:
\( t_F = 32 + \frac{9}{5} (-56.60) \)
\( t_F = 32 - 101.88 \)
\( t_F = -69.88^\circ\mathrm{F} \)

In simple words: This question asks to convert given Kelvin temperatures (triple points of Neon and Carbon Dioxide) into Celsius and Fahrenheit scales using standard conversion formulas.

🎯 Exam Tip: Remember the correct conversion formulas between Kelvin, Celsius, and Fahrenheit. Pay attention to negative values, especially when multiplying or subtracting.

 

Question 2. બે નિરપેક્ષ માપક્રમ A અને B પર પાણીનું ત્રિબિંદુ 200 A અને 350 B દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરેલ છે, તો TA અને TB વચ્ચે શું સંબંધ હોઈ શકે? પાણીનું ત્રિબિંદુ આગળનું તાપમાન 273.16 K છે.
Answer: Two absolute temperature scales, A and B, define the triple point of water as 200 A and 350 B, respectively. The triple point of water on the Kelvin scale is 273.16 K. We need to establish the relationship between a temperature measured as \( T_A \) on scale A and \( T_B \) on scale B.

Since all three scales represent the same physical phenomenon (the triple point of water) with different numerical values, the ratio of any temperature to the triple point temperature must be consistent across these scales.

Therefore, for any temperature T, we can write:
\( \frac{\text{Temperature on Scale A}}{\text{Triple point on Scale A}} = \frac{\text{Temperature on Scale B}}{\text{Triple point on Scale B}} \)

\( \implies \frac{T_A}{200} = \frac{T_B}{350} \)

To find the relationship between \( T_A \) and \( T_B \):

\( \implies T_A = \frac{200}{350} T_B \)

Simplifying the fraction:

\( \implies T_A = \frac{4}{7} T_B \)

In simple words: If different temperature scales assign different numbers to the same reference point (like water's triple point), we can find a conversion ratio between them. Here, scale A and scale B are related such that a temperature on scale A is 4/7ths of the same temperature on scale B.

🎯 Exam Tip: Understand the concept of absolute temperature scales and how reference points (like the triple point of water) are used to relate them. The ratio of temperatures to their respective triple points remains constant across absolute scales.

 

Question 3. કેટલાક થરમૉમિટરનો વિદ્યુતીય અવરોધ ઓહ્મમાં તાપમાન સાથે નીચે દર્શાવેલ અંદાજિત નિયમ અનુસાર બદલાય છે : R = Ro [1 + α(Τ – Το)] પાણીના ત્રિબિંદુ(273.16 K)એ થરમૉમિટરનો અવરોધ 101,6 Ω અને સીસાના સામાન્ય ગલનબિંદુ (600.5 K) પર અવરોધ 165.5 Ω છે, તો થરમૉમિટરનો અવરોધ 123.4 Ω હોય ત્યારે તેનું તાપમાન કેટલું હશે?
Answer: The electrical resistance of a specific thermometer changes with temperature according to the approximate relation: \( R = R_0 [1 + \alpha(T - T_0)] \). We are given that the thermometer's resistance at the triple point of water (273.16 K) is 101.6 \(\Omega\), and at the normal melting point of lead (600.5 K) it is 165.5 \(\Omega\). The task is to determine the temperature when the thermometer's resistance is 123.4 \(\Omega\).

Given values:
* Initial resistance \( R_0 = 101.6 \, \Omega \) at reference temperature \( T_0 = 273.16 \, \text{K} \).
* For Case 1: Resistance \( R_1 = 165.5 \, \Omega \) at temperature \( T_1 = 600.5 \, \text{K} \).
* For Case 2: Resistance \( R_2 = 123.4 \, \Omega \), and we need to find the corresponding temperature \( T_2 \).

First, we use the data from Case 1 to find the temperature coefficient of resistance \( \alpha \):
\( R_1 = R_0 [1 + \alpha(T_1 - T_0)] \)
\( 165.5 = 101.6 [1 + \alpha(600.5 - 273.16)] \)
\( 165.5 = 101.6 + 101.6 \cdot \alpha \cdot (327.34) \)

\( \implies 165.5 - 101.6 = 101.6 \cdot \alpha \cdot 327.34 \)

\( \implies 63.9 = 33257.74 \cdot \alpha \)

\( \implies \alpha = \frac{63.9}{33257.74} \)
\( \alpha \approx 0.001921 \, \mathrm{K}^{-1} \approx 1.921 \times 10^{-3} \, \mathrm{K}^{-1} \)

Now, using this \( \alpha \) value, we find \( T_2 \) for Case 2:
\( R_2 = R_0 [1 + \alpha(T_2 - T_0)] \)
\( 123.4 = 101.6 [1 + (1.921 \times 10^{-3})(T_2 - 273.16)] \)
\( 123.4 = 101.6 + 101.6 \cdot (1.921 \times 10^{-3})(T_2 - 273.16) \)

\( \implies 123.4 - 101.6 = 195.17 \times 10^{-3} (T_2 - 273.16) \)

\( \implies 21.8 = 195.17 \times 10^{-3} (T_2 - 273.16) \)

\( \implies T_2 - 273.16 = \frac{21.8}{195.17 \times 10^{-3}} \)
\( T_2 - 273.16 = \frac{21.8}{0.19517} \)
\( T_2 - 273.16 \approx 111.7 \)

\( \implies T_2 = 111.7 + 273.16 \)
\( T_2 = 384.86 \, \text{K} \)

In simple words: We are given a formula for how a thermometer's electrical resistance changes with temperature. Using two known temperature-resistance pairs, we first calculate a constant called the temperature coefficient. Then, we use this constant and the given resistance to find the unknown temperature.

🎯 Exam Tip: This problem involves applying a linear temperature-resistance relationship. Ensure correct substitution of values and careful algebraic manipulation to solve for the unknown coefficient and then the final temperature.

 

Question 4. નીચેનાના જવાબ આપો :
(a) આધુનિક થરમૉમેટ્રીમાં પાણીનું ત્રિબિંદુ પ્રમાણિત નિયત- બિંદુ છે. શા માટે? બરફનું ગલનબિંદુ અને પાણીના ઉત્કલનબિંદુને પ્રમાણભૂત નિયતબિંદુ સ્વીકારવામાં (જેમ મૂળ સેલ્સિયસ માપક્રમમાં સ્વીકારેલ) ખોટું શું છે?
(b) ઉપર દર્શાવ્યા મુજબ મૂળ સેલ્સિયસ માપક્રમમાં બે નિયતબિંદુઓને અનુરૂપ નક્કી કરેલ સંખ્યાઓ અનુક્રમે 0°C અને 100°C છે. નિરપેક્ષ માપક્રમ પર બેમાંથી એક નિયતબિંદુ પાણી માટેનું ત્રિબિંદુ લેવામાં આવે છે. જેમાં કેલ્વિન પ્રમાણભૂત માપક્રમ પર તેને અનુરૂપ સંખ્યા 273.16K નક્કી કરેલ છે. આ માપક્રમ પર (કેલ્વિન) બીજું નિયતબિંદુ શું હશે?
(c) નિરપેક્ષ તાપમાન (કેલ્વિન માપક્રમ) નો સેલ્સિયસ માપક્રમ તાપમાન tc સાથેનો સંબંધ નીચે મુજબ છેઃ tc = T - 273.15 શા માટે આપણે આ સંબંધમાં 273.16ને બદલે 273.15 લીધા છે?
(d) નિરપેક્ષ માપક્રમ પર પાણીના ત્રિબિંદુ માટે એવું કયું તાપમાન છે કે જેના માટે એકમ ગાળાનું પરિમાણ, ફેરનહીટ માપક્રમ પરના એકમ ગાળાના પરિમાણ જેટલું જ હશે?
Answer:
(a) The triple point of water is adopted as a standard fixed point in modern thermometry because it occurs at a unique temperature and pressure, providing a precise and reproducible reference. In contrast, the melting point of ice and the boiling point of water (used in the original Celsius scale) are dependent on atmospheric pressure and can also be affected by impurities. If pressure changes or impurities are present, these points are no longer fixed, making them less reliable as standard reference points. This is why using them as standard reference points is problematic.

(b) The Kelvin absolute scale, like the Celsius scale, has two defined fixed points. If the triple point of water corresponds to 273.16 K, the other fixed point on the Kelvin scale is absolute zero. Absolute zero (0 K) is chosen as the second fixed point because at this temperature, the pressure and volume of an ideal gas theoretically become zero.

(c) The relationship between absolute temperature (Kelvin scale) T and Celsius temperature \( t_C \) is given as \( t_C = T - 273.15 \). The value 273.15 is used instead of 273.16 because 273.15 K represents absolute zero on this scale, which corresponds to \( 0^\circ\mathrm{C} \). If 273.16 were used, then the triple point of water (273.16 K) would correspond to \( 0^\circ\mathrm{C} \), which contradicts the experimental fact that the triple point of water is \( 0.01^\circ\mathrm{C} \). Thus, \( t_C = T - 273.15 \) accurately aligns the Kelvin and Celsius scales, making \( 0^\circ\mathrm{C} \) equivalent to 273.15 K.

(d) To find a temperature on the absolute scale where its unit interval is equivalent to that of the Fahrenheit scale, we establish a relationship between Fahrenheit ( \( t_F \) ) and Kelvin ( \( T_K \) ) using the given conversion formulas: \( \frac{t_F - 32}{180} = \frac{t_C}{100} \) and \( t_C = T_K - 273.15 \).

Substituting \( t_C \) in the first equation, we get:
\( \frac{t_F - 32}{180} = \frac{T_K - 273.15}{100} \) ............ (1)

For a unit interval (a change of 1 K on the absolute scale, i.e., \( T'_K - T_K = 1 \, \text{K} \)), we can find the equivalent change on the Fahrenheit scale. Let \( t'_F \) be the new Fahrenheit temperature and \( t_F \) be the initial one for a change \( T'_K - T_K \).
\( \frac{t'_F - 32}{180} = \frac{T'_K - 273.15}{100} \) ............ (2)

Subtracting equation (1) from equation (2):
\( \frac{t'_F - t_F}{180} = \frac{T'_K - T_K}{100} \)

\( \implies t'_F - t_F = \frac{180}{100} (T'_K - T_K) \)

For a unit interval on the absolute (Kelvin) scale, \( T'_K - T_K = 1 \, \text{K} \).
\( t'_F - t_F = \frac{180}{100} \times 1 = \frac{9}{5} \)

This means a 1 K change is equivalent to a \( \frac{9}{5} \) or \( 1.8^\circ\mathrm{F} \) change. The question asks for a temperature value on a scale where the unit interval is equivalent to that of the Fahrenheit scale. The value of water's triple point (273.16 K) on such a scale would be:
\( 273.16 \times \frac{9}{5} = 491.69 \)

In simple words:
(a) Water's triple point is a better reference because it's fixed and unique, unlike melting/boiling points which change with pressure and impurities.
(b) On the Kelvin scale, the second fixed point is absolute zero (0 K), where gas properties like pressure and volume become zero.
(c) We use 273.15 in the Celsius-Kelvin conversion because it correctly places absolute zero at \( -273.15^\circ\mathrm{C} \) and the water triple point at \( 0.01^\circ\mathrm{C} \). Using 273.16 would incorrectly make the water triple point \( 0^\circ\mathrm{C} \).
(d) A 1 Kelvin change is equivalent to a 9/5 Fahrenheit change. The calculation \( 273.16 \times \frac{9}{5} \) gives the temperature of water's triple point if the absolute scale's unit interval were numerically equal to the Fahrenheit unit interval.

🎯 Exam Tip:
(a) For fixed points, emphasize independence from external factors like pressure and impurities.
(b) The definition of absolute zero is crucial for the Kelvin scale.
(c) Precision matters: \( 273.15 \) vs \( 273.16 \) arises from defining \( 0^\circ\mathrm{C} \) at \( 273.15 \, \text{K} \), not the triple point.
(d) Understand the relationship between the size of unit intervals on different temperature scales. \( \Delta T_F = \frac{9}{5} \Delta T_C = \frac{9}{5} \Delta T_K \). The value \( 273.16 \times \frac{9}{5} \) converts the Kelvin triple point to a value on a scale where a 1 K interval is numerically equivalent to a 1 \(^\circ\mathrm{F} \) interval.

 

Question 5. બે આદર્શ વાયુ, થરમૉમિટર A અને Bમાં અનુક્રમે ઑક્સિજન અને હાઇડ્રોજનનો ઉપયોગ કરવામાં આવ્યો છે. મળતાં અવલોકનો નીચે મુજબ છે :

તાપમાન	દબાણ થરમૉમિટર A	દબાણ થરમૉમિટર B
પાણીનું ત્રિબિંદુ	\( 1.250 \times 10^5 \, \mathrm{Pa} \)	\( 0.200 \times 10^5 \, \mathrm{Pa} \)
સલ્ફરનું સામાન્ય ગલનબિંદુ	\( 1.797 \times 10^5 \, \mathrm{Pa} \)	\( 0.287 \times 10^5 \, \mathrm{Pa} \)

(a) સલ્ફરનું સામાન્ય ગલનબિંદુનું નિરપેક્ષ તાપમાન, થરમૉમિટર A અને Bના વાંચન મુજબ શું હશે?
(b) થરમૉમિટર A અને Bના જવાબમાં થોડો તફાવત હોવાનું કારણ તમારા મંતવ્ય મુજબ શું હોઈ શકે? (બંને થરમૉમિટરને વાંચનાંકો વચ્ચેની વિસંગતતા ઘટાડવા માટે આ પ્રયોગમાં કઈ પદ્ધતિ (કાર્યપ્રણાલી) અપનાવવી જોઈએ?)
Answer:
(a) For a constant volume gas thermometer, the absolute temperature (T) of a substance is determined by the formula: \( T = T_{tr} \times \frac{P}{P_{tr}} \), where \( T_{tr} \) is the triple point temperature of water (273.16 K), P is the pressure inside the gas bulb at temperature T, and \( P_{tr} \) is the pressure at the triple point of water.

The relationship between pressure (P) and absolute temperature (T) for an ideal gas at constant volume is \( P \propto T \).

We are given the triple point of water \( T_{tr} = 273.16 \, \text{K} \).

For Thermometer A (using Oxygen):
* Pressure at triple point of water \( P_{trA} = 1.250 \times 10^5 \, \mathrm{Pa} \)
* Pressure at normal melting point of sulfur \( P_A = 1.797 \times 10^5 \, \mathrm{Pa} \)
* Absolute temperature of sulfur's melting point \( T_A = 273.16 \times \frac{P_A}{P_{trA}} \)
\( T_A = 273.16 \times \frac{1.797 \times 10^5}{1.250 \times 10^5} \)
\( T_A \approx 273.16 \times 1.4376 \approx 392.69 \, \text{K} \)

For Thermometer B (using Hydrogen):
* Pressure at triple point of water \( P_{trB} = 0.200 \times 10^5 \, \mathrm{Pa} \)
* Pressure at normal melting point of sulfur \( P_B = 0.287 \times 10^5 \, \mathrm{Pa} \)
* Absolute temperature of sulfur's melting point \( T_B = 273.16 \times \frac{P_B}{P_{trB}} \)
\( T_B = 273.16 \times \frac{0.287 \times 10^5}{0.200 \times 10^5} \)
\( T_B \approx 273.16 \times 1.435 \approx 391.98 \, \text{K} \)

(b) The discrepancy between the temperature readings \( T_A \) and \( T_B \) obtained from thermometers A and B arises because both oxygen and hydrogen are not perfectly ideal gases. Real gases deviate from ideal gas behavior, especially at higher pressures.

To reduce this discrepancy and make the readings closer to the actual absolute temperature, the observations from both thermometers A and B should be taken at very low pressures. At sufficiently low pressures, real gases behave more like ideal gases, leading to more accurate temperature measurements.

(Note: Real gas thermometers A and B are not truly ideal gas thermometers. An "ideal gas thermometer" is essentially a constant volume gas thermometer that operates with gases at very low pressures, and its operational temperature is well above the gas's liquefaction temperature.)

In simple words:
(a) We calculate the temperature of sulfur's melting point using pressure readings from two different gas thermometers (Oxygen and Hydrogen), applying the formula for constant volume gas thermometers.
(b) The slight difference in readings between the two thermometers happens because real gases (oxygen and hydrogen) are not perfectly ideal. To get more accurate results, measurements should be taken at very low pressures, where gases behave more ideally.

🎯 Exam Tip:
(a) Memorize the formula for constant volume gas thermometers.
(b) Understand the difference between ideal and real gases, and how this affects thermometry. Low pressure conditions are crucial for real gases to approximate ideal gas behavior.

 

Question 6. 1 m લાંબી સ્ટીલની માપપટ્ટીનું 27.0°C તાપમાને ચોકસાઈપૂર્વક અંકન કરેલ છે. ગરમ દિવસે જ્યારે તાપમાન 45°C હોય ત્યારે સ્ટીલના એક સળિયાની લંબાઈ આ માપપટ્ટી વડે માપતાં તે 63.0 cm મળે છે, તો આ દિવસે સળિયાની વાસ્તવિક લંબાઈ શું હશે? આ જ સ્ટીલના સળિયાની લંબાઈ 27.0°C તાપમાનવાળા દિવસે કેટલી હશે? સ્ટીલ માટે રેખીય પ્રસરણાંક = \( 1.20 \times 10^{-5} \mathrm{K}^{-1} \)
Answer: A steel measuring tape, 1 meter long, is accurately calibrated at \( 27.0^\circ\mathrm{C} \). On a hot day, when the ambient temperature is \( 45^\circ\mathrm{C} \), the length of a steel rod measured using this tape is \( 63.0 \, \mathrm{cm} \). We need to determine the actual length of the rod on this hot day and its length on a day when the temperature is \( 27.0^\circ\mathrm{C} \). The coefficient of linear expansion for steel is \( 1.20 \times 10^{-5} \, \mathrm{K}^{-1} \).

Given:
* Calibration temperature \( T_1 = 27.0^\circ\mathrm{C} \)
* Measurement temperature \( T_2 = 45.0^\circ\mathrm{C} \)
* Linear expansion coefficient for steel \( \alpha = 1.20 \times 10^{-5} \, \mathrm{K}^{-1} = 1.20 \times 10^{-5} \, ^\circ\mathrm{C}^{-1} \)
* Measured length of the rod at \( 45^\circ\mathrm{C} = 63.0 \, \mathrm{cm} \)

Step 1: Calculate the effective length of 1 cm on the tape at \( 45^\circ\mathrm{C} \).
At \( 27^\circ\mathrm{C} \), let the length of 1 cm mark on the tape be \( L_0 = 1 \, \mathrm{cm} \).
When the temperature rises to \( 45^\circ\mathrm{C} \), this mark expands to \( L' \).
The formula for linear expansion is \( L' = L_0 (1 + \alpha \Delta T) \).
Here, \( \Delta T = T_2 - T_1 = 45^\circ\mathrm{C} - 27^\circ\mathrm{C} = 18^\circ\mathrm{C} \).
\( L' = 1 \, \mathrm{cm} \times [1 + (1.20 \times 10^{-5} \, ^\circ\mathrm{C}^{-1}) \times 18^\circ\mathrm{C}] \)
\( L' = 1 \times [1 + 0.000216] = 1.000216 \, \mathrm{cm} \)
This means that at \( 45^\circ\mathrm{C} \), what the tape indicates as 1 cm is actually 1.000216 cm long.

Step 2: Calculate the actual length of the rod at \( 45^\circ\mathrm{C} \).
The rod's measured length at \( 45^\circ\mathrm{C} \) is \( 63.0 \, \mathrm{cm} \).
The actual length of the rod (True Value) at \( 45^\circ\mathrm{C} \) is given by:
Actual length \( = \text{Measured Value} \times \frac{\text{Actual length of 1 cm mark on tape}}{\text{Calibrated length of 1 cm mark on tape}} \)
Actual length \( = 63.0 \, \mathrm{cm} \times 1.000216 = 63.013608 \, \mathrm{cm} \).

Step 3: Calculate the length of the rod at \( 27^\circ\mathrm{C} \).
The actual length of the rod at \( 45^\circ\mathrm{C} \) is \( 63.013608 \, \mathrm{cm} \). We need to find its length when it is cooled back to \( 27^\circ\mathrm{C} \).
Let \( L_A \) be the actual length at \( 45^\circ\mathrm{C} \) and \( L_C \) be the length at the calibration temperature \( 27^\circ\mathrm{C} \).
\( L_A = L_C (1 + \alpha \Delta T_{C \to A}) \)
where \( \Delta T_{C \to A} = 45^\circ\mathrm{C} - 27^\circ\mathrm{C} = 18^\circ\mathrm{C} \).
\( L_C = \frac{L_A}{1 + \alpha \Delta T_{C \to A}} \)
\( L_C = \frac{63.013608 \, \mathrm{cm}}{1 + (1.20 \times 10^{-5} \times 18)} = \frac{63.013608}{1 + 0.000216} = \frac{63.013608}{1.000216} \)
\( L_C = 63.0 \, \mathrm{cm} \) (approx.)

Alternatively, using the concept of true length: The true length (TV) of the rod is related to its measured value (MV) by: \( \text{TV} = \text{MV} (1 + \alpha (T_{\text{measurement}} - T_{\text{calibration}})) \) At \( 45^\circ\mathrm{C} \), the true length of the rod is: \( \text{TV}_{45^\circ\mathrm{C}} = 63 \, \mathrm{cm} \times (1 + 1.2 \times 10^{-5} \times (45 - 27)) \) \( \text{TV}_{45^\circ\mathrm{C}} = 63 \times (1 + 1.2 \times 10^{-5} \times 18) \) \( \text{TV}_{45^\circ\mathrm{C}} = 63 \times (1 + 0.000216) = 63 \times 1.000216 = 63.013608 \, \mathrm{cm} \) To find the length of the rod at \( 27^\circ\mathrm{C} \), we consider its expansion from \( 27^\circ\mathrm{C} \) to \( 45^\circ\mathrm{C} \). Let \( L_{27} \) be the length at \( 27^\circ\mathrm{C} \). \( \text{TV}_{45^\circ\mathrm{C}} = L_{27} (1 + \alpha (45 - 27)) \) \( 63.013608 = L_{27} (1 + 1.2 \times 10^{-5} \times 18) \) \( 63.013608 = L_{27} (1.000216) \) \( L_{27} = \frac{63.013608}{1.000216} = 63.0 \, \mathrm{cm} \) Considering significant figures (63.0 cm has three significant figures), the actual length of the rod at \( 45^\circ\mathrm{C} \) is \( 63.014 \, \mathrm{cm} \) and its length at \( 27^\circ\mathrm{C} \) is \( 63.0 \, \mathrm{cm} \).

ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): આકૃતિ 11.41 ત્રણ સ્ટીલ સ્કેલની સ્થિતિ દર્શાવે છે. (a) 27°C તાપમાને માપપટ્ટીનું સાચું વાંચન (TV=SR) દર્શાવે છે. (b) 45°C તાપમાને માપપટ્ટીનું વિસ્તરણ દર્શાવે છે, જ્યાં વાસ્તવિક લંબાઈ (TV) અવલોકન (SR) કરતાં વધુ હોય છે. (c) 27°C થી ઓછા તાપમાને માપપટ્ટીનું સંકોચન દર્શાવે છે, જ્યાં વાસ્તવિક લંબાઈ (TV) અવલોકન (SR) કરતાં ઓછી હોય છે.

In simple words: When a measuring tape gets hot, it expands, so its markings become slightly farther apart. If you measure something with an expanded tape, the reading will be less than the actual length. We correct for this expansion to find the true length of the object on the hot day and then calculate its original length at the tape's calibration temperature.

🎯 Exam Tip: Remember to distinguish between the apparent length (measured by an expanded scale) and the true length. Apply the linear expansion formula carefully, considering the expansion of the measuring instrument itself. Pay attention to significant figures in the final answer.

 

Question 7. એક મોટા સ્ટીલના પૈડાને તે જ દ્રવ્યની બનેલી મોટી ધરી ઉપર બંધબેસતું કરવું છે. 27°C તાપમાને ધરીનો બહારનો વ્યાસ 8.70 cm અને પૈડાના કેન્દ્રમાં રહેલ છિદ્ર(હોલ)નો વ્યાસ 8.69 cm છે. સૂકા બરફ વડે ધરીને ઠંડી કરેલ છે. ધરીના કયા તાપમાને પૈડું તેના પર સરકવા લાગશે. જરૂરી તાપમાનના વિસ્તાર માટે સ્ટીલનો રેખીય પ્રસરણાંક અચળ રહે છે તેમ સ્વીકારો. \( \alpha_{\text{સ્ટીલ}} = 1.20 \times 10^{-5} \, \mathrm{K}^{-1} \)
Answer: A large steel wheel needs to be fitted onto a steel axle. At \( 27^\circ\mathrm{C} \), the axle's outer diameter is \( 8.70 \, \mathrm{cm} \), and the wheel's central hole has a diameter of \( 8.69 \, \mathrm{cm} \). To fit the wheel, the axle is cooled using dry ice. We need to find the temperature to which the axle must be cooled for the wheel to slide onto it. Assume the linear expansion coefficient of steel remains constant over the required temperature range, \( \alpha_{\text{steel}} = 1.20 \times 10^{-5} \, \mathrm{K}^{-1} \).

Given:
* Initial temperature \( T_1 = 27^\circ\mathrm{C} \)
* Initial diameter of axle \( L_{T_1} = 8.70 \, \mathrm{cm} \)
* Required diameter of axle \( L_{T_2} = 8.69 \, \mathrm{cm} \) (to match the wheel's hole)
* Coefficient of linear expansion for steel \( \alpha = 1.20 \times 10^{-5} \, \mathrm{K}^{-1} = 1.20 \times 10^{-5} \, ^\circ\mathrm{C}^{-1} \)

The change in length (diameter) due to temperature change is given by:
\( \Delta L = L_{T_2} - L_{T_1} = \alpha L_{T_1} (T_2 - T_1) \)

We need to find the final temperature \( T_2 \). Rearranging the formula:
\( T_2 - T_1 = \frac{L_{T_2} - L_{T_1}}{\alpha L_{T_1}} \)

Substituting the values:
\( T_2 - 27^\circ\mathrm{C} = \frac{8.69 \, \mathrm{cm} - 8.70 \, \mathrm{cm}}{(1.20 \times 10^{-5} \, ^\circ\mathrm{C}^{-1}) \times (8.70 \, \mathrm{cm})} \)

\( \implies T_2 - 27 = \frac{-0.01}{1.044 \times 10^{-4}} \)

\( \implies T_2 - 27 \approx -95.785 \)

\( \implies T_2 = 27 - 95.785 \)
\( T_2 \approx -68.78^\circ\mathrm{C} \)

Therefore, the axle must be cooled to approximately \( -68.78^\circ\mathrm{C} \) for the wheel to fit.

In simple words: To fit a wheel onto an axle, the axle needs to shrink. We calculate the exact temperature the axle must be cooled to, so its diameter becomes small enough to match the wheel's hole, using the concept of thermal contraction.

🎯 Exam Tip: Remember that thermal expansion and contraction apply to diameters as well as lengths. Pay close attention to the sign of the temperature change and length change. A decrease in length corresponds to a negative \(\Delta L\) and a negative \(\Delta T\) if the temperature is falling.

 

Question 8. તાંબાની એક તકતીમાં છિદ્ર પાડેલ છે. જેનો 27.0°C તાપમાને વ્યાસ 4.24 cm છે. આ તાંબાની તકતીને 227°C સુધી ગરમ કરવામાં આવે, તો છિદ્રના વ્યાસમાં થતો ફેરફાર કેટલો હશે? તાંબાનો રેખીય પ્રસરણાંક = \( 1.70 \times 10^{-5} \, \mathrm{K}^{-1} \)
Answer: A copper plate has a hole with a diameter of \( 4.24 \, \mathrm{cm} \) at \( 27.0^\circ\mathrm{C} \). The plate is heated to \( 227^\circ\mathrm{C} \). We need to calculate the change in the diameter of the hole. The coefficient of linear expansion for copper is \( 1.70 \times 10^{-5} \, \mathrm{K}^{-1} \).

Given:
* Initial temperature \( T_1 = 27.0^\circ\mathrm{C} \)
* Final temperature \( T_2 = 227^\circ\mathrm{C} \)
* Initial diameter \( L_{T_1} = 4.24 \, \mathrm{cm} \)
* Coefficient of linear expansion \( \alpha = 1.70 \times 10^{-5} \, \mathrm{K}^{-1} = 1.70 \times 10^{-5} \, ^\circ\mathrm{C}^{-1} \)

The change in diameter \( \Delta L \) is calculated using the linear expansion formula:
\( \Delta L = \alpha L_{T_1} (T_2 - T_1) \)
\( \Delta L = (1.70 \times 10^{-5} \, ^\circ\mathrm{C}^{-1}) \times (4.24 \, \mathrm{cm}) \times (227^\circ\mathrm{C} - 27^\circ\mathrm{C}) \)
\( \Delta L = (1.70 \times 10^{-5}) \times 4.24 \times 200 \)
\( \Delta L = 1441.6 \times 10^{-5} \, \mathrm{cm} \)
\( \Delta L = 0.014416 \, \mathrm{cm} \)
\( \Delta L \approx 1.44 \times 10^{-2} \, \mathrm{cm} \)

Since \( \Delta L \) is positive, the diameter of the hole increases by approximately \( 1.44 \times 10^{-2} \, \mathrm{cm} \).

In simple words: When a metal plate with a hole is heated, the hole also expands. We use the material's expansion coefficient and the temperature change to calculate how much the hole's diameter increases.

🎯 Exam Tip: Remember that a hole in a material expands or contracts in the same way as if it were a solid piece of that material. Always calculate the temperature difference correctly, and ensure units are consistent.

 

Question 9. 27 °C તાપમાને 1.8 m લાંબા પિત્તળના તારને બે દૃઢ આધારો વચ્ચે અલ્પ તણાવ સાથે જડિત કરેલ છે. જો તારને – 39 °C તાપમાન સુધી ઠંડો પાડવામાં આવે, તો તારમાં ઉદ્ભવતો તણાવ કેટલો હશે? તારનો વ્યાસ 2.0 mm છે. પિત્તળ માટે રેખીય પ્રસરણાંક \( 2.0 \times 10^{-5} \, \mathrm{K}^{-1} \) અને યંગ મૉડ્યુલસ = \( 0.91 \times 10^{11} \, \mathrm{Pa} \).
Answer: A 1.8 m long brass wire is fixed taut between two rigid supports at \( 27^\circ\mathrm{C} \). If the wire is cooled to \( -39^\circ\mathrm{C} \), we need to calculate the tension developed in it. The wire has a diameter of \( 2.0 \, \mathrm{mm} \). The coefficient of linear expansion for brass is \( 2.0 \times 10^{-5} \, \mathrm{K}^{-1} \), and its Young's modulus is \( 0.91 \times 10^{11} \, \mathrm{Pa} \).

Given:
* Original length \( L = 1.8 \, \mathrm{m} \)
* Initial temperature \( T_1 = 27^\circ\mathrm{C} \)
* Final temperature \( T_2 = -39^\circ\mathrm{C} \)
* Diameter \( d = 2.0 \, \mathrm{mm} \implies \text{radius } r = 1.0 \, \mathrm{mm} = 1.0 \times 10^{-3} \, \mathrm{m} \)
* Cross-sectional area \( A = \pi r^2 = \pi (1.0 \times 10^{-3})^2 \, \mathrm{m}^2 \)
* Coefficient of linear expansion \( \alpha = 2.0 \times 10^{-5} \, \mathrm{K}^{-1} = 2.0 \times 10^{-5} \, ^\circ\mathrm{C}^{-1} \)
* Young's modulus \( Y = 0.91 \times 10^{11} \, \mathrm{Pa} \)

When the wire is cooled, it attempts to contract, but since it is fixed, tension develops. The strain is related to the thermal contraction.

The fractional change in length (strain) due to temperature change is given by:
\( \frac{\Delta L}{L} = \alpha \Delta T \)

Young's modulus is defined as:
\( Y = \frac{\text{Stress}}{\text{Strain}} = \frac{F/A}{\Delta L/L} \)

Therefore, the tension (Force) \( F \) can be expressed as:
\( F = Y A \frac{\Delta L}{L} \)
Substituting \( \frac{\Delta L}{L} = \alpha \Delta T \):
\( F = Y A \alpha \Delta T \)

The temperature change \( \Delta T = T_2 - T_1 = -39^\circ\mathrm{C} - 27^\circ\mathrm{C} = -66^\circ\mathrm{C} \).

Substituting the values:
\( F = (0.91 \times 10^{11} \, \mathrm{Pa}) \times (\pi (1.0 \times 10^{-3})^2 \, \mathrm{m}^2) \times (2.0 \times 10^{-5} \, ^\circ\mathrm{C}^{-1}) \times (-66^\circ\mathrm{C}) \)
\( F = 0.91 \times 10^{11} \times \pi \times 10^{-6} \times 2.0 \times 10^{-5} \times (-66) \)
\( F \approx 0.91 \times 3.14159 \times 2.0 \times (-66) \times 10^{(11 - 6 - 5)} \)
\( F \approx -377.2 \, \mathrm{N} \)

Rounded to two significant figures, \( F \approx -3.8 \times 10^2 \, \mathrm{N} \).
The negative sign indicates that the force is a tensile force, acting to prevent contraction (tension).

In simple words: When a tightly fixed brass wire is cooled, it tries to shrink, but the rigid supports prevent this. This attempt to shrink creates an internal pulling force, or tension, in the wire. We calculate this tension using the material's Young's modulus and its thermal expansion properties.

🎯 Exam Tip: In problems involving thermal stress or tension in fixed objects, remember to use both the thermal expansion formula for strain and Young's modulus for stress. The negative sign for force indicates tension (a restoring force opposing the desired contraction).

 

Question 10. 50 cm લંબાઈ અને 3.0 mm વ્યાસવાળા પિત્તળના સળિયાને તેટલી જ લંબાઈ અને તેટલા જ વ્યાસ ધરાવતા સ્ટીલના સળિયા સાથે જોડવામાં આવે છે. સંયુક્ત સળિયાની મૂળ લંબાઈ 40°C તાપમાને છે. જો તાપમાન 250°C કરવામાં આવે, તો આ લંબાઈમાં થતો ફેરફાર કેટલો હશે? શું જંક્શન પર ઉષ્મીય પ્રતિબળ ઉદ્ભવશે? સળિયાના છેડાઓ પ્રસરણ પામવા માટે મુક્ત છે. (પિત્તળ માટે રેખીય પ્રસરણાંક = \( 2.0 \times 10^{-5} \, \mathrm{K}^{-1} \), સ્ટીલ માટે રેખીય પ્રસરણાંક = \( 1.2 \times 10^{-5} \, \mathrm{K}^{-1} \)).
Answer: A brass rod and a steel rod, both \( 50 \, \mathrm{cm} \) long and \( 3.0 \, \mathrm{mm} \) in diameter, are joined end-to-end to form a composite rod. The initial temperature of this combined rod is \( 40^\circ\mathrm{C} \). If the temperature is raised to \( 250^\circ\mathrm{C} \), we need to calculate the total change in its length. We also need to determine if any thermal stress will develop at the junction, given that the ends of the rods are free to expand. The linear expansion coefficients are: \( \alpha_{\text{brass}} = 2.0 \times 10^{-5} \, \mathrm{K}^{-1} \) and \( \alpha_{\text{steel}} = 1.2 \times 10^{-5} \, \mathrm{K}^{-1} \).

Given:
* Initial lengths of both rods \( L_B = L_S = 50 \, \mathrm{cm} \)
* Initial temperature \( T_1 = 40^\circ\mathrm{C} \)
* Final temperature \( T_2 = 250^\circ\mathrm{C} \)
* Temperature change \( \Delta T = T_2 - T_1 = 250^\circ\mathrm{C} - 40^\circ\mathrm{C} = 210^\circ\mathrm{C} \)
* Linear expansion coefficient for brass \( \alpha_{\text{brass}} = 2.0 \times 10^{-5} \, \mathrm{K}^{-1} = 2.0 \times 10^{-5} \, ^\circ\mathrm{C}^{-1} \)
* Linear expansion coefficient for steel \( \alpha_{\text{steel}} = 1.2 \times 10^{-5} \, \mathrm{K}^{-1} = 1.2 \times 10^{-5} \, ^\circ\mathrm{C}^{-1} \)

Change in length of the brass rod (\( \Delta L_B \)):
\( \Delta L_B = \alpha_{\text{brass}} L_B \Delta T \)
\( \Delta L_B = (2.0 \times 10^{-5} \, ^\circ\mathrm{C}^{-1}) \times (50 \, \mathrm{cm}) \times (210^\circ\mathrm{C}) \)
\( \Delta L_B = 0.21 \, \mathrm{cm} \)

Change in length of the steel rod (\( \Delta L_S \)):
\( \Delta L_S = \alpha_{\text{steel}} L_S \Delta T \)
\( \Delta L_S = (1.2 \times 10^{-5} \, ^\circ\mathrm{C}^{-1}) \times (50 \, \mathrm{cm}) \times (210^\circ\mathrm{C}) \)
\( \Delta L_S = 0.126 \, \mathrm{cm} \approx 0.13 \, \mathrm{cm} \)

Total change in length of the composite rod (\( \Delta L \)):
Since the rods are joined end-to-end and are free to expand, the total change in length is the sum of their individual expansions.
\( \Delta L = \Delta L_B + \Delta L_S = 0.21 \, \mathrm{cm} + 0.13 \, \mathrm{cm} = 0.34 \, \mathrm{cm} \)

Thermal Stress at the Junction:
No thermal stress will develop at the junction because the ends of both rods are explicitly stated to be free to expand. Thermal stress only arises when expansion or contraction is constrained.

In simple words: We calculate how much each part of a two-material rod expands when heated. Since the rod is free to expand, the total expansion is simply the sum of individual expansions, and no internal stress builds up at the joint.

🎯 Exam Tip: When composite materials are free to expand, their individual expansions add up, and no thermal stress is generated at the interface. Thermal stress occurs only when expansion/contraction is restricted.

 

Question 11. ગ્લિસરીન માટે કદ-પ્રસરણાંક \( 49 \times 10^{-5} \, \mathrm{K}^{-1} \) છે. જો તેના તાપમાનમાં 30°Cનો વધારો કરવામાં આવે, તો તેની ધનતામાં થતો આંશિક ફેરફાર કેટલો હશે?
Answer: Glycerin has a coefficient of volume expansion of \( 49 \times 10^{-5} \, \mathrm{K}^{-1} \). If its temperature is increased by \( 30^\circ\mathrm{C} \), we need to determine the fractional change in its density.

Given:
* Coefficient of volume expansion \( \alpha_V = 49 \times 10^{-5} \, \mathrm{K}^{-1} = 49 \times 10^{-5} \, ^\circ\mathrm{C}^{-1} \)
* Change in temperature \( \Delta T = 30^\circ\mathrm{C} \)

The new volume \( V_2 \) after expansion is given by \( V_2 = V_1 (1 + \alpha_V \Delta T) \), where \( V_1 \) is the initial volume.
\( V_2 = V_1 (1 + (49 \times 10^{-5}) \times 30) \)
\( V_2 = V_1 (1 + 0.0147) \)
\( V_2 = 1.0147 \, V_1 \)

Density \( \rho = \frac{m}{V} \). Assuming the mass 'm' remains constant.
* Initial density \( \rho_1 = \frac{m}{V_1} \)
* Final density \( \rho_2 = \frac{m}{V_2} = \frac{m}{1.0147 V_1} = \frac{1}{1.0147} \frac{m}{V_1} \)
\( \rho_2 \approx 0.9855 \, \rho_1 \)

The fractional change in density is \( \frac{\rho_2 - \rho_1}{\rho_1} \):
\( \frac{\rho_2 - \rho_1}{\rho_1} = \frac{0.9855 \rho_1 - \rho_1}{\rho_1} = 0.9855 - 1 = -0.0145 \)

The negative sign indicates that the density decreases as the temperature increases, which is expected due to volume expansion.

In simple words: When glycerin is heated, its volume expands. Since its mass stays the same, the density (mass per unit volume) decreases. We calculate this fractional decrease in density based on its volume expansion coefficient and the temperature rise.

🎯 Exam Tip: Remember that density is inversely proportional to volume. An increase in temperature leads to an increase in volume (for most substances), which in turn causes a decrease in density. The fractional change in density is approximately \( -\alpha_V \Delta T \).

 

Question 12. 8.0 kg દળના ઍલ્યુમિનિયમના એક બ્લૉકમાં છિદ્ર પાડવા માટે 10kWના ડ્રિલમશીનનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે. 2.5 મિનિટમાં બ્લૉકના તાપમાનમાં કેટલો વધારો થશે? 50 % પાવર ડ્રિલમશીનને ગરમ થવામાં અથવા પરિસરમાં વ્યય થાય છે તેમ ધારો. ઍલ્યુમિનિયમની વિશિષ્ટ ઉષ્માધારિતા = \( 0.91 \, \mathrm{J \, g^{-1} \, K^{-1}} \).
Answer: A \( 10 \, \mathrm{kW} \) drilling machine is used to drill a hole in an \( 8.0 \, \mathrm{kg} \) aluminum block. We need to find the temperature rise of the block after \( 2.5 \, \mathrm{minutes} \), assuming that only \( 50\% \) of the machine's power is utilized to heat the block, with the rest dissipated as waste. The specific heat capacity of aluminum is \( 0.91 \, \mathrm{J \, g^{-1} \, K^{-1}} \).

Given:
* Power of drilling machine \( P = 10 \, \mathrm{kW} = 10 \times 10^3 \, \mathrm{W} = 10^4 \, \mathrm{J/s} \)
* Time \( t = 2.5 \, \mathrm{min} = 2.5 \times 60 \, \mathrm{s} = 150 \, \mathrm{s} \)
* Mass of aluminum block \( m = 8.0 \, \mathrm{kg} = 8000 \, \mathrm{g} \)
* Specific heat capacity of aluminum \( s = 0.91 \, \mathrm{J \, g^{-1} \, K^{-1}} \)
* Efficiency for heating the block = \( 50\% \)

Total energy supplied by the drill:
\( E = P \times t = (10^4 \, \mathrm{J/s}) \times (150 \, \mathrm{s}) = 15 \times 10^5 \, \mathrm{J} \)

Energy absorbed by the aluminum block (\( \Delta Q \)):
Only \( 50\% \) of the supplied energy heats the block.
\( \Delta Q = 0.50 \times (15 \times 10^5 \, \mathrm{J}) = 7.5 \times 10^5 \, \mathrm{J} \)

Temperature rise (\( \Delta T \)):
The relationship between heat absorbed, mass, specific heat, and temperature change is \( \Delta Q = m s \Delta T \).
Rearranging for \( \Delta T \):
\( \Delta T = \frac{\Delta Q}{m s} \)
\( \Delta T = \frac{7.5 \times 10^5 \, \mathrm{J}}{(8000 \, \mathrm{g}) \times (0.91 \, \mathrm{J \, g^{-1} \, K^{-1}})} \)
\( \Delta T = \frac{7.5 \times 10^5}{7280} \)
\( \Delta T \approx 103.02 \, \mathrm{K} \)

Since a change in temperature in Kelvin is numerically equal to a change in Celsius, the temperature rise is approximately \( 103^\circ\mathrm{C} \).

In simple words: A drilling machine puts energy into an aluminum block, but only half of that energy actually heats the block. We calculate the total energy, then the useful energy, and finally use the block's mass and specific heat to find out how much its temperature rises.

🎯 Exam Tip: Remember to convert all units to a consistent system (e.g., SI units or grams for specific heat). Always account for energy losses or efficiency percentages as specified in the problem statement. The change in temperature in Kelvin is numerically equal to the change in Celsius.

 

Question 13. 2.5 kg દળના તાંબાના એક બ્લૉકને ભઠ્ઠીમાં 500°C તાપમાન સુધી ગરમ કરવામાં આવે છે. ત્યારબાદ તેને મોટા બરફના બ્લૉક ઉપર મૂકવામાં આવે છે. કેટલા મહત્તમ જથ્થાનો બરફ ઓગળશે? (તાંબાની વિશિષ્ટ ઉષ્માધારિતા = \( 0.39 \, \mathrm{J \, g^{-1} \, K^{-1}} \), પાણી માટે ગલન-ગુપ્ત ઉષ્મા = \( 335 \, \mathrm{J \, g^{-1}} \)).
Answer: A \( 2.5 \, \mathrm{kg} \) copper block is heated in a furnace to \( 500^\circ\mathrm{C} \). It is then placed on a large block of ice. We need to calculate the maximum amount of ice that will melt. The specific heat capacity of copper is \( 0.39 \, \mathrm{J \, g^{-1} \, K^{-1}} \), and the latent heat of fusion for water is \( 335 \, \mathrm{J \, g^{-1}} \).

When the hot copper block is placed on the ice, it will cool down from \( 500^\circ\mathrm{C} \) to \( 0^\circ\mathrm{C} \), transferring its heat to the ice.

Heat lost by the copper block (\( \Delta Q_{\text{copper}} \)):
* Mass of copper \( m_c = 2.5 \, \mathrm{kg} = 2500 \, \mathrm{g} \)
* Specific heat of copper \( s_c = 0.39 \, \mathrm{J \, g^{-1} \, K^{-1}} \)
* Temperature change \( \Delta T_c = 500^\circ\mathrm{C} - 0^\circ\mathrm{C} = 500 \, \mathrm{K} \)
\( \Delta Q_{\text{copper}} = m_c s_c \Delta T_c = (2500 \, \mathrm{g}) \times (0.39 \, \mathrm{J \, g^{-1} \, K^{-1}}) \times (500 \, \mathrm{K}) \)
\( \Delta Q_{\text{copper}} = 487500 \, \mathrm{J} \)

Heat absorbed by the ice (\( \Delta Q_{\text{ice}} \)):
This heat causes the ice to melt. Let 'm' be the mass of ice melted.
* Latent heat of fusion \( L_f = 335 \, \mathrm{J \, g^{-1}} \)
\( \Delta Q_{\text{ice}} = m L_f = m \times 335 \, \mathrm{J \, g^{-1}} \)

Applying the principle of calorimetry:
Heat lost by copper = Heat gained by ice
\( 487500 \, \mathrm{J} = m \times 335 \, \mathrm{J \, g^{-1}} \)

\( \implies m = \frac{487500}{335} \)
\( m \approx 1455.22 \, \mathrm{g} \)
Converting to kilograms: \( m \approx 1.455 \, \mathrm{kg} \)
Rounding to one decimal place, \( m \approx 1.5 \, \mathrm{kg} \).

In simple words: We calculate how much heat a hot copper block loses when it cools down to the melting point of ice. This lost heat is then absorbed by the ice, causing it to melt. By equating the heat lost and heat gained, we find the amount of ice that melts.

🎯 Exam Tip: Ensure units are consistent (grams for specific heat and latent heat). This problem involves calorimetry, where heat lost by one substance equals heat gained by another. Differentiate between specific heat (for temperature change) and latent heat (for phase change).

 

Question 14. ધાતુની વિશિષ્ટ ઉષ્માધારિતા શોધવાના પ્રયોગમાં 150°C તાપમાને રહેલા 0.20 kg દળવાળા ધાતુના બ્લૉકને તાંબાના કૅલોરિમિટરમાં મૂકવામાં આવે છે. (પાણીનો જળતુલ્યાંક 0.025 kg) જેમાં 150 cm³ પાણી 27 °C તાપમાને આવેલું છે. અંતિમ તાપમાન 40°C થાય છે. ધાતુની વિશિષ્ટ ઉષ્માધારિતાની ગણતરી કરો. જો પરિસરમાં વ્યય થતી ઉષ્માને અવગણવામાં ન આવે, તો કરેલ ગણતરી દ્વારા મળતો આપનો જવાબ ધાતુની વાસ્તવિક ઉષ્માધારિતાના મૂલ્યથી વધુ હશે કે ઓછો?
Answer: In an experiment to determine the specific heat capacity of a metal, a \( 0.20 \, \mathrm{kg} \) metal block at \( 150^\circ\mathrm{C} \) is placed into a copper calorimeter. The calorimeter contains \( 150 \, \mathrm{cm}^3 \) of water at \( 27^\circ\mathrm{C} \), and its water equivalent is \( 0.025 \, \mathrm{kg} \). The final temperature of the mixture is \( 40^\circ\mathrm{C} \). We need to calculate the specific heat capacity of the metal. Additionally, we need to consider if the calculated value would be higher or lower than the actual specific heat capacity if heat loss to the surroundings is ignored in the calculation.

Given:
* Mass of metal block \( m_{\text{metal}} = 0.20 \, \mathrm{kg} = 200 \, \mathrm{g} \)
* Initial temperature of metal block \( T_{\text{metal}, i} = 150^\circ\mathrm{C} \)
* Volume of water \( V_{\text{water}} = 150 \, \mathrm{cm}^3 \implies m_{\text{water}} = 150 \, \mathrm{g} \) (assuming density of water = 1 g/cm³)
* Initial temperature of water and calorimeter \( T_{\text{water}, i} = T_{\text{calorimeter}, i} = 27^\circ\mathrm{C} \)
* Water equivalent of calorimeter \( w_{\text{calorimeter}} = 0.025 \, \mathrm{kg} = 25 \, \mathrm{g} \)
* Final temperature of mixture \( T_f = 40^\circ\mathrm{C} \)
* Specific heat of water \( s_{\text{water}} = 1 \, \mathrm{cal \, g^{-1} \, ^\circ\mathrm{C}^{-1}} \)
* Mechanical equivalent of heat \( J = 4.2 \, \mathrm{J \, cal^{-1}} \)

Heat lost by the metal block (\( Q_{\text{lost}} \)):
Let 's' be the specific heat capacity of the metal in \( \mathrm{cal \, g^{-1} \, ^\circ\mathrm{C}^{-1}} \).
\( Q_{\text{lost}} = m_{\text{metal}} s (T_{\text{metal}, i} - T_f) = (200 \, \mathrm{g}) \times s \times (150^\circ\mathrm{C} - 40^\circ\mathrm{C}) \)
\( Q_{\text{lost}} = 200 s \times 110 = 22000 s \, \mathrm{cal} \) (Equation 1)

Heat gained by water and calorimeter (\( Q_{\text{gained}} \)):
\( Q_{\text{gained}} = (m_{\text{water}} s_{\text{water}} + w_{\text{calorimeter}} s_{\text{water}}) (T_f - T_{\text{water}, i}) \)
(The water equivalent 'w' is effectively a mass of water, so it uses water's specific heat.)
\( Q_{\text{gained}} = (150 \, \mathrm{g} \times 1 \, \mathrm{cal \, g^{-1} \, ^\circ\mathrm{C}^{-1}} + 25 \, \mathrm{g} \times 1 \, \mathrm{cal \, g^{-1} \, ^\circ\mathrm{C}^{-1}}) \times (40^\circ\mathrm{C} - 27^\circ\mathrm{C}) \)
\( Q_{\text{gained}} = (150 + 25) \times 13 = 175 \times 13 = 2275 \, \mathrm{cal} \) (Equation 2)

Applying the principle of calorimetry (assuming no heat loss to surroundings):
Heat lost by metal = Heat gained by water and calorimeter
\( Q_{\text{lost}} = Q_{\text{gained}} \)
\( 22000 s = 2275 \)

\( \implies s = \frac{2275}{22000} \)
\( s \approx 0.1034 \, \mathrm{cal \, g^{-1} \, ^\circ\mathrm{C}^{-1}} \)

Converting to \( \mathrm{J \, g^{-1} \, ^\circ\mathrm{C}^{-1}} \):
Using the mechanical equivalent of heat, \( 1 \, \mathrm{cal} = 4.2 \, \mathrm{J} \).
\( s = 0.1034 \, \mathrm{cal \, g^{-1} \, ^\circ\mathrm{C}^{-1}} \times 4.2 \, \mathrm{J \, cal^{-1}} \)
\( s \approx 0.4343 \, \mathrm{J \, g^{-1} \, ^\circ\mathrm{C}^{-1}} \)

Impact of ignoring heat loss to surroundings:
If heat loss to the surroundings is ignored, it implies that all the heat lost by the metal block is assumed to be absorbed solely by the water and calorimeter. However, in reality, some heat would also be lost to the surroundings. Therefore, the actual heat lost by the metal block would be greater than what was measured as gained by the water and calorimeter. Consequently, the calculated specific heat capacity 's' will be *less* than its true or actual value.

In simple words: We calculate the specific heat of an unknown metal by seeing how much heat it transfers to water and a calorimeter. If we assume no heat escapes to the surroundings, our calculated specific heat will be slightly lower than its real value, because some heat actually did escape, meaning the metal lost more heat than we accounted for.

🎯 Exam Tip: Clearly distinguish between heat lost and heat gained in calorimetry problems. Remember that water equivalent helps calculate heat capacity of the calorimeter. When heat loss to surroundings is ignored, the calculated specific heat of the hot object will always be underestimated.

Question 15.

ગૅસ	મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્માધારિતા (\(C_v\)) (cal mol\(^{-1}\)K\(^{-1}\))
હાઇડ્રોજન	4.87
નાઇટ્રોજન	4.97
ઑક્સિજન	5.02
નાઇટ્રિક ઑક્સાઇડ	4.99
કાર્બન મોનૉક્સાઇડ	5.01
ક્લોરિન	6.17

આ વાયુઓ માટે આપેલ મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્માધારિતાઓ એક-પરમાણ્વિક વાયુની મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્માધારિતાથી સ્પષ્ટ રીતે જુદી છે. પ્રતિકાત્મક રીતે એક-પરમાણ્વિક વાયુની મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્માધારિતા 2.92 cal/mol K છે. આ તફાવતનું સ્પષ્ટીકરણ કરો. ક્લોરિન માટે આ મૂલ્ય વધુ (બાકીના કરતાં) છે. તે માટે તમે શું નિષ્કર્ષ તારવશો?
Answer:કોષ્ટકમાં સૂચિબદ્ધ બધા વાયુઓ દ્વિ-પરમાણ્વિક (Diatomic) છે. દ્વિ-પરમાણ્વિક વાયુઓના અણુઓ રેખીય ગતિ, ચાકગતિ અને દોલન ગતિ કરી શકે છે, જ્યારે એક-પરમાણ્વિક (Monoatomic) વાયુઓના અણુઓ માત્ર રેખીય ગતિ કરી શકે છે. તેથી, 1 mol દ્વિ-પરમાણ્વિક વાયુઓના તાપમાનમાં 1 K નો વધારો કરવા માટે જરૂરી ઉષ્મા, 1 mol એક-પરમાણ્વિક વાયુઓના તાપમાનમાં 1 K નો વધારો કરવા માટે જરૂરી ઉષ્મા કરતાં વધુ હોય છે.
\( \implies \) દ્વિ-પરમાણ્વિક વાયુઓની મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્માધારિતા એક-પરમાણ્વિક વાયુઓ કરતાં વધારે હોય છે. અચળ કદે દ્વિ-પરમાણ્વિક વાયુની મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્માધારિતા \(C_v = \frac{5}{2} R = \frac{5}{2} \times 1.985 \text{ cal mol}^{-1} \text{ K}^{-1}\) \( = 4.9625 \text{ cal mol}^{-1} \text{ K}^{-1}\) \( \approx 5 \text{ cal mol}^{-1} \text{ K}^{-1}\) (એક-પરમાણ્વિક વાયુની અચળ કદે મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્માધારિતા \(C_v = \frac{3}{2} R\) છે.) આમ, કોષ્ટકમાં ક્લોરિન સિવાયના બધા વાયુઓની અચળ કદે મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્માધારિતા આશરે 5 cal mol\(^{-1}\) K\(^{-1}\) જેટલી છે. ક્લોરિન વાયુ (\(Cl_2\))નો અણુ ઓરડાના તાપમાને પણ, રેખીય અને ચાકગતિ ઉપરાંત દોલન ગતિ પણ ધરાવે છે. જેના કારણે ક્લોરિન માટે \(C_v = \frac{7}{2} R\) મુજબ \(C_v\) નું મૂલ્ય અન્ય વાયુઓ કરતાં વધુ હોય છે.
In simple words: Diatomic gases, like those in the table, have more ways to move (linear, rotational, vibrational) compared to monatomic gases (only linear), requiring more energy to raise their temperature. This explains why their molar specific heat is higher. Chlorine's specific heat is even higher because it also exhibits vibrational motion at room temperature.

🎯 Exam Tip: When explaining differences in molar specific heat, focus on the degrees of freedom (translational, rotational, vibrational) available to the molecules, as these directly correlate with the energy required to raise the temperature of the gas.

Question 16.101 °F તાપમાન ધરાવતા એક બાળકને ઍન્ટિપાઇરિન (તાવ ઘટાડવા માટેની દવા) આપવામાં આવે છે. જેને કારણે તેના શરીરમાં પરસેવાનો બાષ્પાયનનો સરેરાશ દર વધે છે. જો 20 મિનિટમાં તાવ 98°F સુધી નીચે આવી જાય છે, તો દવા દ્વારા થતાં વધારાના બાષ્પાયનનો દર કેટલો હશે? એમ સ્વીકારો કે ઉષ્માવ્યયનો એકમાત્ર રસ્તો બાષ્પાયન છે. બાળકનું દ્રવ્યમાન 30 kg છે. માનવશરીરની વિશિષ્ટ ઉષ્માધારિતા આશરે પાણીની વિશિષ્ટ ઉષ્માધારિતા જેટલી જ છે. આ તાપમાને પાણીની બાષ્પાયન-ગુપ્ત ઉષ્મા 580 cal g\(^{-1}\) છે.
Answer:બાળકનું દ્રવ્યમાન \(m = 30 \text{ kg}\) બાળકના તાપમાનમાં થતો ઘટાડો \(\Delta T = 101 - 98 = 3^\circ \text{F}\)
\( = 3 \times \frac{5}{9} ^\circ \text{C}\)
\( = \frac{5}{3} ^\circ \text{C}\) માનવશરીરની વિશિષ્ટ ઉષ્માધારિતા પાણીની વિશિષ્ટ ઉષ્માધારિતા જેટલી છે: \(s = 1 \text{ cal g}^{-1} {}^\circ \text{C}^{-1}\)
\( = 1 \frac{\text{cal}}{10^{-3} \text{ kg } {}^\circ \text{C}}\)
\( = 10^3 \text{ cal kg}^{-1} {}^\circ \text{C}^{-1}\) 20 minમાં બાળકે ગુમાવેલ ઉષ્મા \(\Delta Q\) \( = ms\Delta T\) \( = 30 \text{ kg} \times 10^3 \text{ cal kg}^{-1} {}^\circ \text{C}^{-1} \times \frac{5}{3} ^\circ \text{C}\) \( = 5000 \text{ cal}\) બાળકના શરીરમાંથી 20 minમાં બાષ્પીભવન પામેલ પાણીનું દળ જો \(m'\) હોય, તો \(\Delta Q = m'L_v\) સૂત્ર પરથી, \(m' = \frac{\Delta Q}{L_v} = \frac{5000 \text{ cal}}{580 \text{ cal g}^{-1}}\) \( = 86.2 \text{ g}\)
\( \implies \) વધારાનો બાષ્પીભવનનો દર \( = \frac{m'}{t}\)
\( = \frac{86.2 \text{ g}}{20 \text{ min}}\) \( = 4.31 \text{ g min}^{-1}\)
In simple words: To reduce fever, a child's body releases heat through increased sweating and evaporation. The calculation shows that if a child's temperature drops from 101°F to 98°F in 20 minutes, an additional 86.2 grams of water must have evaporated from their body. This means the additional evaporation rate is 4.31 grams per minute.

🎯 Exam Tip: Pay close attention to unit conversions (Fahrenheit to Celsius, kg to g) and ensure all given values are used correctly in the heat transfer formula \(Q = ms\Delta T\) and the latent heat formula \(Q = mL_v\).

Question 17.થરમોકોલના આઇસબૉક્સમાં ઉનાળાની ઋતુમાં ઓછી માત્રામાં રાંધેલા ખોરાકને સાચવવાની રીત સસ્તી અને કાર્યક્ષમ છે. 30 cm બાજુવાળા સમઘન આઇસબૉક્સની જાડાઈ 5.0 cm છે. જો 4.0 kg બરફને તેમાં મૂકવામાં આવે, તો 6 કલાક બાદ તેમાં બાકી રહેલા બરફના જથ્થાનો અંદાજ મેળવો. બહારનું તાપમાન 45 °C છે. થરમોકોલની ઉષ્માવાહકતા 0.01 J s\(^{-1}\) m\(^{-1}\) K\(^{-1}\) છે. (પાણીની ગલન-ગુપ્ત ઉષ્મા = 335 \(\times\) 10\(^3\) J kg\(^{-1}\))
Answer:સમઘન આઇસબૉક્સની દરેક બાજુની લંબાઈ, \(l = 30 \text{ cm} = 0.3 \text{ m}\)
\( \implies \) આઇસબૉક્સનું કુલ પૃષ્ઠ ક્ષેત્રફળ \(A = 6l^2\) \( = 6 \times (0.3)^2\) \( = 0.54 \text{ m}^2\) આઇસબૉક્સની દરેક બાજુ / સપાટીની જાડાઈ, \(\Delta x = 5 \text{ cm} = 0.05 \text{ m}\) તાપમાનનો તફાવત \(\Delta T = 45 - 0 = 45^\circ \text{C} = 45 \text{ K}\) થરમોકોલ દ્રવ્યની ઉષ્માવાહકતા \(K = 0.01 \text{ J s}^{-1} \text{ m}^{-1} \text{ K}^{-1}\) પાણીની ગલન-ગુપ્ત ઉષ્મા \(L_f = 335 \times 10^3 \text{ J kg}^{-1}\) સમય \(t = 6 \text{ hr} = 6 \times 3600 \text{ s}\) આપેલા ‘\(t\)’ સમયમાં ઓગળેલા બરફનું દ્રવ્યમાન જો \(m\) હોય, તો \(Q = mL_f\) પણ \(Q = KA \frac{\Delta T}{\Delta x} t\) છે.
\( \implies mL_f = KA \frac{\Delta T}{\Delta x} t\) થાય.
\( \implies m = \frac{KA}{L_f} \frac{\Delta T}{\Delta x} t\) \( = \frac{0.01 \times 0.54}{335 \times 10^3} \times \frac{45}{0.05} \times (6 \times 3600)\) \( = 0.313 \text{ kg}\)
\( \implies \) 6 hr બાદ આઇસબૉક્સમાં ઓગળ્યા વગર બાકી રહેલો બરફનો જથ્થો (દળ) \( = 4 - 0.313\) \( = 3.687 \text{ kg}\)
In simple words: An icebox works by preventing heat from entering. We calculated how much heat flows into the icebox over 6 hours due to the temperature difference. This heat then melts a certain amount of ice. Starting with 4 kg of ice, after 6 hours, approximately 0.313 kg melts, leaving 3.687 kg of ice remaining.

🎯 Exam Tip: Remember to use consistent units (SI units are recommended) for all parameters in heat transfer calculations. The key is applying Fourier's Law of Heat Conduction (\(Q = KA\frac{\Delta T}{\Delta x}t\)) and the latent heat formula for melting (\(Q = mL_f\)).

Question 18.0.15 m² તળિયા(પાયા)નું ક્ષેત્રફળ ધરાવતા પિત્તળના બૉઇલરના તળિયા(પાયા)ની જાડાઈ 1.0 cm છે. તેને ગૅસ-સ્ટવ પર મૂકતાં તેમાં 6.0 kg/minના દરથી પાણી ઉકાળે છે. બૉઇલરના સંપર્કમાં રહેલી જ્યોતના તાપમાનનું અનુમાન કરો. પિત્તળની ઉષ્માવાહકતા 109 J s\(^{-1}\) m\(^{-1}\) K\(^{-1}\), પાણીની બાષ્પાયન-ગુપ્ત ઉષ્મા 2256 \(\times\) 10\(^3\) J kg\(^{-1}\).
Answer:ધારો કે, બૉઇલરના તળિયાના સંપર્કમાં રહેલ જ્યોતનું તાપમાન \(T_1\) છે અને બૉઇલરની અંદરના પાણીનું તાપમાન 100°C છે. જ્યોત દ્વારા મળતી ઉષ્મા પાણીમાં દાખલ થાય છે. તેથી તે ઉષ્મા માત્ર પાણીને ઉકાળવા માટે જ વપરાય છે. અર્થાત્ બૉઇલરની અંદર પાણી ઊકળે છે. તેથી તેમાંનું 100°C તાપમાનવાળું પાણી 100°C તાપમાનવાળી વરાળમાં ફેરવાય છે. બૉઇલરના તળિયાનું ક્ષેત્રફળ \(A = 0.15 \text{ m}^2\), તળિયાની જાડાઈ \(\Delta x = 1.0 \text{ cm} = 10^{-2} \text{m}\), બૉઇલરની અંદર ઊકળતા પાણીનો દર \( = \frac{m}{t} = \frac{6 \text{ kg}}{\text{min}} = \frac{6 \text{ kg}}{60 \text{ s}} = 0.1 \text{ kg s}^{-1}\) અહીં, જ્યોત દ્વારા પૂરી પડાતી ઉષ્મા માત્ર પાણીને ઉકાળવા માટે જ વપરાતી હોવાથી, \(Q = mL_v\) પણ, \(Q = \frac{KA(T_1 - T_2)}{\Delta x} t\) છે.
\( \implies \frac{KA(T_1 - T_2)}{\Delta x} t = mL_v\)
\( \implies (T_1 - T_2) = \frac{m}{t} \times \frac{\Delta x L_v}{KA}\) \( = 0.1 \times \frac{10^{-2} \times 2256 \times 10^3}{109 \times 0.15}\) \( = \frac{2256}{16.35}\) \( = 137.98^\circ \text{C}\)
\( \implies T_1 = T_2 + 137.98\) \( = 100 + 137.98\) \( = 237.98^\circ \text{C}\)
In simple words: The gas stove heats the brass boiler, causing water to boil at 100°C and turn into steam. By equating the heat supplied by the flame (through conduction) to the heat required to vaporize the water, we can calculate the temperature difference across the boiler's base. Adding this difference to the water's boiling temperature (100°C) gives us the estimated temperature of the flame in contact with the boiler, which is approximately 237.98°C.

🎯 Exam Tip: This problem combines heat conduction with latent heat. Ensure you correctly relate the rate of heat flow (\(Q/t\)) to the rate of mass vaporization (\(m/t\)), and use the specific latent heat of vaporization for water.

Question 19.સ્પષ્ટતા કરો શા માટેઃ (a) વધુ પરાવર્તકતા ધરાવતો પદાર્થ ઓછો ઉત્સર્જક હોય છે. (b) ખૂબ ઠંડીના દિવસોમાં પિત્તળનું ટમ્બલર લાકડાની ટ્રે કરતાં વધુ ઠંડું લાગે છે. (c) આદર્શ કાળા પદાર્થના વિકિરણ માટે જેનું અંકન કરવામાં આવ્યું છે, તેવું ઑપ્ટિકલ પાયરોમિટર (ઊંચા તાપમાન માપવા માટે) ખુલ્લામાં રાખેલ ગરમ લાલચોળ લોખંડના ટુકડાનું તાપમાન નીચું દર્શાવે છે. પરંતુ તે જ લોખંડના ટુકડાને ભઠ્ઠીમાં મૂકેલ હોય ત્યારે તાપમાનનું સાચું મૂલ્ય માપે છે. (d) પૃથ્વી તેના વાતાવરણ વગર પ્રતિકૂળ રીતે ઠંડી થઈ જાય છે. (e) બિલ્ડિંગને હૂંફાળું રાખવા માટેનાં ગરમ પાણીના ભ્રમણ પર આધારિત તાપમંત્રો કરતાં, વરાળ પરિભ્રમણ પર આધારિત તાપમંત્રો વધુ કાર્યક્ષમ હોય છે.
Answer:(a) કિર્ચીફના નિયમ મુજબ, જે પદાર્થ ગરમીનું સારું શોષણ કરે છે તે સારો ઉત્સર્જક પણ હોય છે. ઊંચી પરાવર્તકતા ધરાવતો પદાર્થ ઓછી શોષકતા દર્શાવે છે. તેથી, જે પદાર્થ ઉષ્માનું વધુ પરાવર્તન કરે છે તે ઓછો ઉત્સર્જક હોય છે. (b) પિત્તળ એ ઉષ્માનો સારો સુવાહક છે, જ્યારે લાકડું ઉષ્માનો અવાહક છે. ખૂબ ઠંડીના દિવસોમાં, જ્યારે પિત્તળના ટમ્બલરને સ્પર્શ કરવામાં આવે છે, ત્યારે શરીરની ગરમી ઝડપથી ટમ્બલરમાં વહન પામે છે, જેના કારણે તે લાકડાની ટ્રે કરતાં વધુ ઠંડું અનુભવાય છે, જે ઉષ્માનું ઓછું વહન કરે છે. (c) સ્ટિફન-બોલ્ટ્સમૅનના નિયમ મુજબ, ગરમ પદાર્થ દ્વારા ઉત્સર્જિત થતી ઉષ્મા તેની સપાટીના તાપમાનના ચોથા ઘાતના સમપ્રમાણમાં હોય છે. જ્યારે લાલચોળ લોખંડનો ટુકડો ખુલ્લામાં હોય છે, ત્યારે તે આસપાસના વાતાવરણમાં ઉષ્મા ગુમાવે છે, જેના કારણે તે ભઠ્ઠીમાં હોય તેના કરતાં ઓછું તાપમાન દર્શાવે છે જ્યાં તે વાતાવરણથી અલગ પડે છે અને વાસ્તવિક તાપમાન માપે છે. આથી, ઑપ્ટિકલ પાયરોમિટર ખુલ્લામાં રાખેલ લોખંડના ટુકડાનું તાપમાન નીચું દર્શાવે છે. (d) સૂર્ય દ્વારા ઉત્સર્જિત વિકિરણ ઊર્જા પૃથ્વીના વાતાવરણ દ્વારા શોષાય છે. વાતાવરણમાં રહેલા ગ્રીનહાઉસ વાયુઓ આ શોષાયેલી ઊર્જાને ફરીથી ઉત્સર્જિત કરીને પૃથ્વી તરફ પાછી મોકલે છે, જેને ગ્રીનહાઉસ અસર કહેવાય છે. જો પૃથ્વી પર વાતાવરણ ન હોય, તો આ શોષાયેલી ઉષ્મા અવકાશમાં પાછી ફરશે અને પૃથ્વી ખૂબ ઠંડી પડી જશે. (e) 100°C તાપમાનવાળી વરાળમાં 100°C તાપમાનવાળા પાણી કરતાં વધુ ઉષ્મા હોય છે, કારણ કે વરાળમાં પાણીની બાષ્પાયન-ગુપ્ત ઉષ્મા પણ સમાયેલી હોય છે (લગભગ 540 cal/g). તેથી, ઇમારતોને ગરમ રાખવા માટે ગરમ પાણીના ભ્રમણ કરતાં વરાળ પરિભ્રમણ પર આધારિત હીટિંગ સિસ્ટમ વધુ કાર્યક્ષમ હોય છે.
In simple words: (a) Objects that reflect more heat absorb less, and thus emit less (Kirchhoff's Law). (b) Brass feels colder than wood on a cold day because it conducts heat away from your hand faster. (c) An optical pyrometer reads lower temperatures for open hot objects because they lose heat to the surroundings, unlike in a furnace. (d) Earth would be much colder without an atmosphere because the greenhouse effect traps solar heat. (e) Steam heating is more efficient than hot water because steam carries a large amount of latent heat that it releases upon condensation, providing more warmth.

🎯 Exam Tip: For these types of conceptual questions, provide clear, concise explanations rooted in fundamental physics principles like Kirchhoff's Law, heat conduction, radiation (Stefan-Boltzmann), latent heat, and the greenhouse effect. Use examples to illustrate your points effectively.

Question 20.એક પદાર્થ 80°Cથી 50°C સુધી ઠંડો થવા માટે 5 min લે છે. તેને 60°Cથી 30°C સુધી ઠંડો પાડવા માટે લાગતો સમય શોધો. પરિસરનું તાપમાન 20 °C છે.
Answer:રીત 1 (અંદાજિત રીત – સાદી રીત) : ન્યૂટનના શીતનના નિયમનું અંદાજિત સૂત્ર \(\frac{dT}{dt} = -K(T_{av} - T_s)\) માં \(T_{av} = \frac{T_1+T_2}{2}\) વાપરતાં, પ્રથમ પરિસ્થિતિ : 5 minમાં પદાર્થ 80°Cથી 50°C સુધી ઠંડો પડે છે.
\( \implies \frac{50-80}{5} = -K(\frac{80+50}{2}-20)\)
\( \implies \frac{-30}{5} = -K(65 - 20)\)
\( \implies -6 = -K(45)\)
\( \implies K = \frac{6}{45}\)
\( \implies K = \frac{2}{15}\) બીજી પરિસ્થિતિ : \(t\) min માં પદાર્થ 60°Cથી 30°C સુધી ઠંડો પડે છે.
\( \implies \frac{30-60}{t} = -K(\frac{60+30}{2}-20)\)
\( \implies \frac{-30}{t} = -K(45 - 20)\) (કારણ કે \(K = \frac{2}{15}\) છે.)
\( \implies \frac{-30}{t} = -\frac{2}{15}(25)\)
\( \implies t = \frac{30 \times 15}{2 \times 25}\) \( = 9 \text{ min}\) રીત 2 (સચોટ રીત) : ન્યૂટનના શીતનના નિયમનું સચોટ સૂત્ર \(t = \frac{1}{K} \log_e \frac{(T_1-T_s)}{(T_2-T_s)}\) સૂત્ર વાપરતાં. પ્રથમ પરિસ્થિતિમાં : \(T_1 = 80^\circ \text{C}, T_2 = 50^\circ \text{C}, T_s = 20^\circ \text{C}\), સમય \(t = 5 \text{ min}\)
\( \implies 5 = \frac{1}{K} \log_e \frac{(80-20)}{(50-20)}\)
\( \implies 5 = \frac{1}{K} \log_e (2)\) ............ (1) બીજી પરિસ્થિતિમાં : \(T_1 = 60^\circ \text{C}, T_2 = 30^\circ \text{C}, T_s = 20^\circ \text{C}\), સમય \(t' = ?\)
\( \implies t' = \frac{1}{K} \log_e \frac{(60-20)}{(30-20)}\)
\( \implies t' = \frac{1}{K} \log_e(4)\) ............ (2) સમીકરણ (2)ને સમીકરણ (1) વડે ભાગતાં, \(\frac{t'}{5} = \frac{\log_e 4}{\log_e 2}\) \( = \frac{2.303 \times \log_{10} 4}{2.303 \times \log_{10} 2}\) \( = \frac{\log_{10} 4}{\log_{10} 2}\) \( = \frac{0.6021}{0.3010}\) \( = 2\)
\( \implies t' = 2 \times 5\) \( = 10 \text{ min}\)
In simple words: This problem asks for the time it takes for an object to cool from 60°C to 30°C, given its cooling time from 80°C to 50°C and the surrounding temperature. Using Newton's Law of Cooling, we can set up two equations based on the temperature ranges. By solving for the cooling constant K and then applying it to the second scenario, we find the object takes 10 minutes to cool from 60°C to 30°C.

🎯 Exam Tip: When using Newton's Law of Cooling, ensure you correctly identify the average temperature for the approximate method or the initial and final temperatures for the accurate method. Pay attention to the ambient temperature, which is constant.

Question 21.કાર્બન ડાયૉક્સાઇડ માટેનો P – T ડાયાગ્રામ અથવા ફેઝ ડાયાગ્રામ નીચે મુજબ છે. તો તેના પર આધારિત નીચેના પ્રશ્નોના જવાબ આપો :
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): આ આકૃતિ કાર્બન ડાયૉક્સાઇડનો P-T ફેઝ ડાયાગ્રામ દર્શાવે છે, જે વિવિધ તાપમાન અને દબાણે CO2ની અવસ્થાઓ સમજાવે છે. તેમાં BO રેખા ઉધ્વીકરણ (સબ્લિમેશન), AO રેખા ઠારણ (ફ્યુઝન) અને CO રેખા બાષ્પયન (વેપરાઈઝેશન) ને રજૂ કરે છે. O ત્રિબિંદુ દર્શાવે છે જ્યાં ત્રણેય અવસ્થાઓ સહઅસ્તિત્વ ધરાવે છે, અને C ક્રાંતિબિંદુ દર્શાવે છે. (a) કયા તાપમાને અને દબાણે CO2ની ધન, પ્રવાહી અને વાયુ અવસ્થાઓ સંતુલિત સ્થિતિમાં સહઅસ્તિત્વમાં હશે? (b) દબાણના ઘટાડા સાથે CO2નાં ગલનબિંદુ અને ઉત્કલનબિંદુ પર શું અસર થશે? (c) CO2 માટે ક્રાંતિક તાપમાન અને દબાણ શું છે? તેનું મહત્ત્વ શું છે? (d) (i) – 70°C તાપમાને અને 1 વાતાવરણ દબાણે (ii) – 60°C તાપમાને અને 10 વાતાવરણ દબાણે (iii) 15 °C તાપમાને અને 56 વાતાવરણ દબાણે CO2, ઘન, પ્રવાહી અને વાયુ પૈકી કઈ અવસ્થામાં હશે?
Answer:(a) CO2 માટે ત્રિબિંદુ તાપમાન -56.6 °C છે અને ત્રિબિંદુ દબાણ 5.11 atm છે. આ બિંદુએ CO2ની ઘન, પ્રવાહી અને વાયુ અવસ્થાઓ સંતુલિત સ્થિતિમાં સહઅસ્તિત્વ ધરાવે છે. (b) P-T ડાયાગ્રામ પર ફ્યુઝન વક્ર (AO) અને બાષ્પાયન વક્ર (CO) પરથી સ્પષ્ટ છે કે, દબાણ ઘટતાં CO2ના ગલનબિંદુ અને ઉત્કલનબિંદુ બંનેમાં ઘટાડો થશે. (c) CO2 માટે ક્રાંતિક દબાણ \(P_c = 73.0 \text{ atm}\) છે અને ક્રાંતિક તાપમાન \(T_c = 31.1 ^\circ \text{C}\) છે. આ ક્રાંતિક તાપમાન \(T_c\)થી ઊંચા તાપમાને, CO2 પર દબાણ ગમે તેટલું વધારવામાં આવે તો પણ તેનું પ્રવાહીકરણ થતું નથી. (d) (i) – 70°C તાપમાને અને 1 વાતાવરણ દબાણે: વાયુ અવસ્થામાં (ii) – 60°C તાપમાને અને 10 વાતાવરણ દબાણે: ઘન અવસ્થામાં (iii) 15 °C તાપમાને અને 56 વાતાવરણ દબાણે: પ્રવાહી અવસ્થામાં
In simple words: (a) All three states of CO2 (solid, liquid, gas) coexist at its triple point: -56.6°C and 5.11 atm. (b) As pressure decreases, both the melting and boiling points of CO2 drop. (c) Above CO2's critical temperature (31.1°C) and critical pressure (73.0 atm), it cannot be liquefied, regardless of how much pressure is applied. (d) By looking at the phase diagram, we can determine the state of CO2 at given temperature and pressure points: at -70°C and 1 atm it's a gas, at -60°C and 10 atm it's a solid, and at 15°C and 56 atm it's a liquid.

🎯 Exam Tip: Understanding a P-T (phase) diagram is crucial. Identify the triple point (all phases coexist), critical point (beyond which liquid and gas are indistinguishable), and the solid, liquid, and gas regions. The slopes of the phase boundary lines indicate how melting/boiling points change with pressure.

Question 22.નીચેની આકૃતિમાં દર્શાવેલ CO2ના P – T ડાયાગ્રામને અથવા ફેઝ ડાયાગ્રામને આધારે નીચેના પ્રશ્નોના જવાબ આપો :
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): આ આકૃતિ કાર્બન ડાયૉક્સાઇડનો P-T ફેઝ ડાયાગ્રામ દર્શાવે છે, જે વિવિધ તાપમાન અને દબાણે CO2ની અવસ્થાઓ સમજાવે છે. તેમાં BO રેખા ઉધ્વીકરણ (સબ્લિમેશન), AO રેખા ઠારણ (ફ્યુઝન) અને CO રેખા બાષ્પયન (વેપરાઈઝેશન) ને રજૂ કરે છે. O ત્રિબિંદુ દર્શાવે છે જ્યાં ત્રણેય અવસ્થાઓ સહઅસ્તિત્વ ધરાવે છે, અને C ક્રાંતિબિંદુ દર્શાવે છે. (a) 1 વાતાવરણ દબાણે અને – 60°C તાપમાને CO2નું સમતાપી સંકોચન કરવામાં આવે છે. શું તે પ્રવાહી અવસ્થામાં ફેરવાશે? (b) CO2નું દબાણ 4 વાતાવરણ જેટલું અચળ રાખીને તેનું ઓરડાના તાપમાન સુધી ઠારણ કરાવવામાં આવે તો શું થાય? (c) 10 વાતાવરણ દબાણે અને – 65 °C તાપમાને આપેલ જથ્થાના ધન CO2નું દબાણ અચળ રાખી ઓરડાના તાપમાને તેને ગરમ કરતાં થતાં ગુણાત્મક ફેરફારોનું વર્ણન કરો. (d) CO2ને 70°C સુધી ગરમ કરી ત્યારબાદ તેનું સમતાપી સંકોચન કરવામાં આવે છે. અવલોકન માટે તમે તેના કયા ગુણધર્મોમાં ફેરફારની અપેક્ષા રાખશો?
Answer:(a) ના. 1 atm દબાણે અને – 60 °C તાપમાને CO2 વાયુ અવસ્થામાં છે. જો તેનું સમતાપી સંકોચન કરવામાં આવે (એટલે કે તાપમાન અચળ રાખી દબાણ વધારવામાં આવે), તો તે પ્રવાહી અવસ્થામાં ફેરવાયા વગર સીધો ધન અવસ્થામાં રૂપાંતરણ પામે છે (સબ્લિમેશન વક્ર BO ની નીચેનો વિસ્તાર). (b) 4 atm દબાણે અને ઓરડાના તાપમાન કરતાં ઊંચા તાપમાને CO2 વાયુ સ્વરૂપે હશે. જો તેનું દબાણ (4 atm) અચળ રાખી તેનું તાપમાન ઘટાડીને ઓરડાના તાપમાન સુધી તેને ઠંડું પાડવામાં આવે, તો તે પ્રવાહી અવસ્થામાં ફેરવાયા વગર સીધો ધન અવસ્થામાં રૂપાંતરણ પામશે (O બિંદુ નીચે, સબ્લિમેશન વક્ર BO ઓળંગતી વખતે). (c) 10 atm દબાણે અને – 65 °C તાપમાને આપેલ CO2નો જથ્થો ઘન અવસ્થામાં છે. જો અચળ દબાણે તેનું તાપમાન વધારીને, ઓરડાના તાપમાન સુધી તેને લઈ જવામાં આવે, તો તે પહેલાં પ્રવાહી સ્વરૂપમાં ફેરવાશે અને ત્યારબાદ વાયુ સ્વરૂપમાં. આ સ્થિતિમાં 10 atm દબાણે CO2નું ઠારણબિંદુ અને ઉત્કલનબિંદુ શોધી શકાય છે: 10 atm દબાણે તાપમાન-અક્ષને સમાંતર એક સુરેખા દોરો. ત્યારબાદ આ સુરેખાના ફ્યુઝન (ઠારણ) અને બાષ્પયન (વેપરાઇઝેશન) વક્રનાં છેદનબિંદુઓ અનુક્રમે CO2ના 10 atm દબાણે ઠારણબિંદુ અને ઉત્કલનબિંદુ આપશે. (d) 70°C તાપમાન, તેના ક્રાંતિ તાપમાન 31.1 °C કરતાં ખૂબ વધુ છે. જો તેનું સમતાપી સંકોચન કરવામાં આવે (એટલે કે તેનું તાપમાન અચળ રાખી દબાણ વધારવામાં આવે), તો તે ચોક્કસ અવસ્થા-રૂપાંતરણ પામીને પ્રવાહી અવસ્થામાં ફેરવાતો નથી. આમ છતાં, જેમ જેમ તેનું દબાણ વધારવામાં આવે તેમ તેમ, તે (CO2) આદર્શ વાયુ વર્તણૂકથી દૂર ને દૂર જવા લાગે છે, જેના દબાણ અને કદ ગુણધર્મોમાં નોંધપાત્ર ફેરફાર જોવા મળશે.
In simple words: (a) No, at -60°C and 1 atm, CO2 is a gas and will solidify without becoming liquid if isothermally compressed. (b) Cooling CO2 at 4 atm from high temperature to room temperature will cause it to solidify directly from gas without forming liquid. (c) Heating solid CO2 at -65°C and 10 atm to room temperature will first melt it into liquid, then vaporize it into gas. (d) At 70°C (above critical temperature), CO2 won't liquefy during isothermal compression, but its behavior will deviate significantly from an ideal gas, affecting its pressure-volume relationship.

🎯 Exam Tip: For phase diagram analysis, always locate the given temperature and pressure point on the diagram. Then, follow the specified process (e.g., isothermal compression, isobaric cooling/heating) to trace the path and determine the phase changes or final state. Critical point and triple point locations are key for understanding phase behavior.