GSEB Class 11 Physics Solutions Chapter 10 તરલના યાંત્રિક ગુણધર્મો

Chapter 10 તરલના યાંત્રિક ગુણધર્મો

Question 1. સમજાવો, શા માટે
(a) માનવમાં પગ આગળ લોહીનું દબાણ (Blood pressure), મગજ આગળ હોય તે કરતાં વધુ હોય છે.
(b) વાતાવરણની ઊંચાઈ 100 kmથી પણ વધુ હોવા છતાં લગભગ 6 kmની ઊંચાઈએ વાતાવરણનું દબાણ ઘટીને તેના દરિયાની સપાટી આગળના મૂલ્યનું લગભગ અડધું હોય છે.
(c) દબાણ એ બળ ભાગ્યા ક્ષેત્રફળ હોવા છતાં હાઇડ્રોસ્ટેટિક (દ્રવસ્થિત) દબાણ એ અદિશ રાશિ છે.

Answer:
(a) દબાણનું સૂત્ર \(P = \rho gh\) છે. મનુષ્યના શરીરમાં, હૃદયથી પગ તરફના રુધિર સ્તંભની ઊંચાઈ (h) હૃદયથી મગજ તરફના રુધિર સ્તંભની ઊંચાઈ કરતાં વધુ હોય છે. આથી, પગ પાસે રુધિરનું દબાણ મગજ પાસેના દબાણ કરતાં અધિક હોય છે.
(b) વાતાવરણનું દબાણ \(P = \rho gh\) સૂત્ર દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે, જ્યાં \(\rho\) એ હવાની ઘનતા છે. જેમ જેમ આપણે દરિયાની સપાટીથી ઊંચે જઈએ છીએ તેમ તેમ હવાની ઘનતા ઝડપથી ઓછી થાય છે. આશરે 6 kmની ઊંચાઈએ હવાની ઘનતા લગભગ અડધી થઈ જાય છે. પરિણામે, 6 km ઊંચાઈએ વાતાવરણનું દબાણ દરિયાની સપાટી પરના દબાણ કરતાં આશરે અડધું થઈ જાય છે.
(c) જ્યારે પ્રવાહી પર બળ પ્રયોગ કરવામાં આવે છે, ત્યારે હાઇડ્રોસ્ટેટિક દબાણ પ્રવાહીમાં બધી જ દિશામાં સમાન રીતે પ્રસરણ પામે છે. આ કારણોસર, તેની સાથે કોઈ વિશિષ્ટ દિશા સંકળાયેલી નથી. તેથી, દબાણ એ અદિશ રાશિ છે.
In simple words: દબાણ ઊંચાઈ પર આધાર રાખે છે, તેથી પગ પર દબાણ મગજ કરતાં વધુ હોય છે. હવાની ઘનતા ઘટવાથી ઊંચાઈ પર વાતાવરણનું દબાણ ઓછું થાય છે. દબાણ એ અદિશ રાશિ છે કારણ કે તે બધી દિશામાં સમાન રીતે કાર્ય કરે છે.

🎯 Exam Tip: હાઇડ્રોસ્ટેટિક દબાણના સિદ્ધાંતો અને વાતાવરણના દબાણ પર ઊંચાઈની અસરને સમજાવવા પર ધ્યાન કેન્દ્રિત કરો. અદિશ રાશિ તરીકે દબાણની પ્રકૃતિ સ્પષ્ટ કરો.

Question 2. સમજાવો, શા માટે
(a) પારાનો કાચ સાથેનો સંપર્કકોણ ગુરુકોણ છે, જ્યારે પાણીનો કાચ સાથેનો સંપર્કકોણ લઘુકોણ છે.
(b) સ્વચ્છ કાચની સપાટી પર પાણી ફેલાઈ જાય છે, જ્યારે તે જ સપાટી પર પારો બુંદો રચે છે. (બીજી રીતે કહીએ તો પાણી કાચને ભીંજવે છે, જ્યારે પારો કાચને ભીંજવતો નથી.)
(c) પ્રવાહીનું પૃષ્ઠતાણ સપાટીના ક્ષેત્રફળ પર આધારિત નથી.
(d) ડિટર્જન્ટ ઓગાળેલા પાણીને નાના સંપર્કકોણો હોય છે.
(e) બાહ્ય બળોની અસર હેઠળ ન હોય તેવું પ્રવાહી બુંદ હંમેશાં ગોળાકાર હોય છે.

Answer:
(a) જ્યારે પ્રવાહીને ઘન સપાટી પર મૂકવામાં આવે છે, ત્યારે પ્રવાહીની સપાટીના સ્પર્શક અને ઘન સપાટી વચ્ચે પ્રવાહીની અંદરના કોણને સંપર્કકોણ (\(\theta\)) કહેવાય છે. આ કોણ જુદા જુદા પ્રવાહીઓ અને ઘન પદાર્થોની જોડીઓ માટે અલગ અલગ હોય છે.
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): આકૃતિમાં પ્રવાહી, હવા અને ઘન સપાટીઓના આંતરફળના પૃષ્ઠતાણો અનુક્રમે \(S_{la}\), \(S_{sa}\) અને \(S_{sl}\) દર્શાવવામાં આવ્યા છે. આ ત્રણેય સપાટીઓ જ્યાં છેદે છે ત્યાં પરિણામી પૃષ્ઠતાણ બળ સંતુલિત હોય છે, જે \(S_{sl} + S_{la} \cos \theta = S_{sa}\) સંબંધ દર્શાવે છે.
\( \implies \cos \theta = \frac{S_{sa} - S_{sl}}{S_{la}} \)
ગ્લાસ-પારાના કિસ્સામાં \(S_{sa} < S_{sl}\) હોવાથી \(\cos \theta\) ઋણ બને છે, જે સૂચવે છે કે \(\theta > 90^\circ\) છે. આથી, સંપર્કકોણ ગુરુકોણ હોય છે. આવા કિસ્સાઓમાં, પારાના અણુઓ એકબીજા પ્રત્યે પ્રબળ આકર્ષણ ધરાવે છે, જ્યારે કાચના અણુઓ પ્રત્યે નિર્બળ આકર્ષણ દર્શાવે છે.
પાણી-ગ્લાસના કિસ્સામાં \(S_{sa} > S_{sl}\) હોવાથી \(\cos \theta\) ધન બને છે, જે સૂચવે છે કે \(\theta < 90^\circ\) છે. આથી, સંપર્કકોણ લઘુકોણ હોય છે. આવા કિસ્સાઓમાં, પ્રવાહીના અણુઓ અને ઘન અણુઓ વચ્ચે પ્રબળ આકર્ષણ જોવા મળે છે.
(b) પારા અને કાચ વચ્ચેનો સંપર્કકોણ ગુરુકોણ હોય છે (\(\theta > 90^\circ\)). જ્યારે સંપર્કકોણ ગુરુકોણ હોય, ત્યારે પારાના પોતાના અણુઓ વચ્ચેનું આકર્ષણ પ્રબળ હોય છે જ્યારે કાચના અણુઓ સાથેનું આકર્ષણ નિર્બળ હોય છે. આથી, પારો-કાચની સપાટી બનાવવા માટે વધુ ઊર્જાની જરૂર પડે છે અને પારો કાચને ભીંજવતો નથી, પરંતુ સપાટી પર ગોળાકાર બુંદો રચે છે.
ગ્લાસ અને પાણીના કિસ્સામાં, સંપર્કકોણ લઘુકોણ હોય છે. આ લઘુકોણ રચના માટે પાણી કાચ પર ફેલાઈ જાય છે. અહીં, પાણીના અણુઓ કાચના અણુઓ પ્રત્યે પ્રબળતાથી આકર્ષિત થાય છે, જેના પરિણામે \(\theta\) ઘટે છે અને તે લઘુકોણ બને છે. આથી, પાણી કાચની સપાટી પર ફેલાઈ જાય છે.
(c) પૃષ્ઠતાણ એ પ્રવાહીની ખુલ્લી સપાટી પર કલ્પિત એકમ લંબાઈની રેખાને લંબ અને સપાટીને સમાંતર લાગતું બળ છે. તે માત્ર પ્રવાહીના પ્રકાર અને તેના તાપમાન પર નિર્ભર કરે છે. તે સપાટીના ક્ષેત્રફળ પર આધાર રાખતું નથી.
(d) કપડાંમાં ઝીણા છિદ્રો હોય છે જે પાતળી કેશનળીઓ તરીકે કાર્ય કરે છે. કેશનળીમાં પ્રવાહીની ઊંચાઈ \(h = \frac{2 S \cos \theta}{a \rho g}\) સૂત્ર દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે. જો ડિટર્જન્ટનો સંપર્કકોણ \(\theta\) નાનો રાખવામાં આવે, તો \(\cos \theta\) નું મૂલ્ય મોટું મળે છે. આનાથી કેશનળીમાં પ્રવાહી વધુ ઊંચાઈ સુધી ચઢી શકે છે. એટલે કે, પાણી કપડાંના છિદ્રોમાં ઊંડે સુધી પ્રવેશી શકે છે અને તેમાં ભરાયેલા મેલને દૂર કરી શકે છે.
(e) પૃષ્ઠતાણના ગુણધર્મને લીધે, દરેક મુક્ત સપાટી ન્યૂનતમ ક્ષેત્રફળ ધારણ કરવાનો પ્રયાસ કરે છે. આપેલ કદ માટે, ગોળાકાર આકારની સપાટીનું ક્ષેત્રફળ ન્યૂનતમ હોય છે. આથી, જ્યાં સુધી કોઈ બાહ્ય બળ લાગુ ન પડે, ત્યાં સુધી પ્રવાહીનું બુંદ હંમેશાં ગોળાકાર આકાર ધારણ કરે છે.
In simple words: પારો કાચને ભીંજવતો નથી કારણ કે તેના અણુઓનું આકર્ષણ પોતામાં વધુ હોય છે, જ્યારે પાણી કાચને ભીંજવે છે કારણ કે તેના અણુઓનું આકર્ષણ કાચ પ્રત્યે વધુ હોય છે. પૃષ્ઠતાણ માત્ર પ્રવાહીના પ્રકાર અને તાપમાન પર આધાર રાખે છે. ડિટર્જન્ટ સંપર્કકોણ ઘટાડી કપડાં સાફ કરવામાં મદદ કરે છે. પ્રવાહી બુંદ ગોળાકાર હોય છે કારણ કે પૃષ્ઠતાણ તેને ન્યૂનતમ ક્ષેત્રફળમાં સંકોચે છે.

🎯 Exam Tip: સંપર્કકોણની વિભાવના અને પ્રવાહી-ઘન આંતરક્રિયાઓ પર તેની અસર સમજવી મહત્ત્વપૂર્ણ છે. કેશનળીની ક્રિયા અને ગોળાકાર બુંદોના કારણો પણ ધ્યાન પર લો.

Question 3. દરેક કથન સાથે આપેલ યાદીમાંના શબ્દ (શબ્દો) વાપરીને ખાલી જગ્યા પૂરો :
(a) પ્રવાહીઓના પૃષ્ઠતાણ સામાન્યતઃ તાપમાન સાથે __________ (વધે છે / ઘટે છે)
(b) વાયુઓની શ્યાનતા તાપમાન સાથે ____________ જ્યારે પ્રવાહીઓની શ્યાનતા તાપમાન સાથે __________ (વધે છે / ઘટે છે)
(c) આકાર સ્થિતિસ્થાપકતા અંક ધરાવતા ધન પદાર્થો માટે આકાર વિરુપક બળ ___________ ને સમપ્રમાણમાં, જ્યારે પ્રવાહીઓ માટે તે ____________ ને સમપ્રમાણમાં હોય છે. (આકાર-વિકૃતિ / આકાર-વિકૃતિના દર)
(d) સ્થાયી વહનમાંના તરલ માટે, સંકુચિત (સાંકડા) ભાગ આગળ વહનની ઝડપમાં વધારો __________ ને અનુસરે છે. (દળના સંરક્ષણ / બર્નુલીના સિદ્ધાંત)
(e) પવનની ટનલમાં વિમાનના નમૂના (મૉડેલ) માટે જે ઝડપે પ્રક્ષુબ્ધતા થાય તે, વાસ્તવિક વિમાન માટેની જે ઝડપે પ્રક્ષુબ્ધતા થાય તેના કરતાં ___________ હોય છે. (વધુ / ઓછી)

Answer:
(a) ઘટે છે
(b) વધે છે, ઘટે છે
(c) આકાર-વિકૃતિ, આકાર-વિકૃતિના દર
(d) દળના સંરક્ષણ
(e) વધુ
In simple words: પૃષ્ઠતાણ તાપમાન વધતા ઘટે છે. વાયુઓની શ્યાનતા વધે અને પ્રવાહીઓની ઘટે છે. ઘન પદાર્થોમાં આકાર વિરુપક બળ આકાર-વિકૃતિના સમપ્રમાણમાં હોય છે, જ્યારે પ્રવાહીમાં તે આકાર-વિકૃતિના દરના સમપ્રમાણમાં હોય છે. સાંકડા ભાગમાં તરલની ઝડપ દળ સંરક્ષણના નિયમને અનુસરીને વધે છે. વિમાનના મોડેલ માટે પ્રક્ષુબ્ધતાની ઝડપ વાસ્તવિક વિમાન કરતાં વધુ હોય છે.

🎯 Exam Tip: આ પ્રશ્નો ભૌતિક ગુણધર્મો અને તેમના તાપમાન પરના આધારને સમજવા માટે છે. શ્યાનતા અને પૃષ્ઠતાણ સંબંધિત ખ્યાલો પર ધ્યાન આપો. ખાસ કરીને, બર્નુલીનો સિદ્ધાંત અને રેનોલ્ડ્સ સંખ્યાના સંબંધો યાદ રાખો.

Question 4. સમજાવો, શા માટે
(a) કાગળના ટુકડાને સમક્ષિતિજ રાખવા માટે તમારે તેની ઉપર ફૂંક મારવી પડે, નીચે નહિ.
(b) જ્યારે આપણે પાણીના નળને આપણી આંગળીઓથી બંધ કરવાનો પ્રયત્ન કરીએ છીએ ત્યારે આંગળીઓ વચ્ચેની જગ્યામાંથી પાણીની વેગવંત ધારો ધસી આવે છે.
(c) ઇન્જેક્શન આપવામાં ડૉકટર દ્વારા અંગૂઠાથી દાખવાતા દબાણ કરતાં સિરિંજની સોયનું પરિમાણ વહનના દરનું વધુ સારી રીતે નિયંત્રણ કરી શકે છે.
(d) પાત્રમાંના નાના છિદ્રમાંથી બહાર વહી આવતા તરલને પરિણામે પાત્ર પર વિરુદ્ધ દિશામાં ધક્કો લાગે છે.
(e) હવામાં સ્પિન થતો ક્રિકેટ બૉલ પરવલય ગતિપથને અનુસરતો નથી.

Answer:
(a) જ્યારે કાગળના ટુકડાની ઉપર ફૂંક મારવામાં આવે છે, ત્યારે તે વિસ્તારમાં હવાની ગતિ ઝડપી બને છે. બર્નુલીના સિદ્ધાંત મુજબ, ગતિ વધવાથી તે જગ્યાએ દબાણ ઘટે છે. કાગળના નીચેના ભાગમાં વાતાવરણનું દબાણ યથાવત રહે છે, જે ઉપરના ઘટતા દબાણ કરતાં વધુ હોય છે, તેથી કાગળનો ટુકડો સમક્ષિતિજ સ્થિતિમાં રહે છે.
(b) સાતત્યના સમીકરણ મુજબ, પ્રવાહીનો વેગ તેના વહન માર્ગના આડછેદના ક્ષેત્રફળના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે (\(Av = \text{અચળ}\)). જ્યારે આપણે આંગળીઓ વડે પાણીના નળને બંધ કરવાનો પ્રયાસ કરીએ છીએ, ત્યારે આંગળીઓ વચ્ચેનું ક્ષેત્રફળ ઘટે છે. આથી, તે સંકુચિત જગ્યામાંથી બહાર આવતા પાણીનો વેગ વધે છે.
(c) ઇન્જેક્શન આપતી વખતે, સિરિંજની સોયનું કદ વહનના દરને નિયંત્રિત કરવામાં, અંગૂઠા દ્વારા લાગુ પડતા દબાણ કરતાં વધુ અસરકારક હોય છે. બર્નુલીનું સમીકરણ \(P + \rho gh + \frac{1}{2} \rho v^2 = \text{અચળ}\) દર્શાવે છે કે દબાણ \(P\) ની ઘાત એક છે જ્યારે વેગ \(v\) ની ઘાત બે છે. આથી, વેગની અસર દબાણની અસર કરતાં વધુ પ્રભાવી હોય છે. તેથી, સોયના કદ દ્વારા વહનના દર પર વધુ સારું નિયંત્રણ મેળવી શકાય છે.
(d) જ્યારે કોઈ નાના છિદ્રમાંથી તરલ બહાર આવે છે, ત્યારે તેનો વેગ અને વેગમાન ખૂબ જ ઊંચા હોય છે. આ પ્રણાલી પર કોઈ બાહ્ય બળ લાગતું ન હોવાથી, વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ, પાત્રને પાછળની દિશામાં તેટલું જ વેગમાન પ્રાપ્ત થાય છે. આથી, પાત્ર પર વિરુદ્ધ દિશામાં ધક્કો લાગે છે.
(e) હવાની ગેરહાજરીમાં, સ્પિન થયેલો બોલ પરવલય માર્ગે ગતિ કરે છે. જોકે, હવાની હાજરીમાં, બોલ તેની સાથે હવાને પણ ઘસડીને આગળ વધે છે. જેમ જેમ બોલ આગળ વધે છે, તેમ તેની સાપેક્ષમાં હવા પાછળ તરફ ગતિ કરે છે. આના પરિણામે, બોલની ઉપરની સપાટી પર હવાનો વેગ વધુ હોય છે અને નીચેની સપાટી પર હવાનો વેગ ઓછો હોય છે. આ રીતે, બોલની ઉપર અને નીચેની સપાટીઓ વચ્ચે દબાણનો તફાવત સર્જાય છે, અને બોલ પર ઊર્ધ્વ દિશામાં ચોખ્ખું બળ લાગે છે. આ ઘટનાને મેગ્નસ અસર કહેવામાં આવે છે. આથી, સ્પિન કરીને ફેંકવામાં આવેલો દડો તેના અપેક્ષિત પરવલય ગતિપથથી ઊંચો રહી જાય છે.
In simple words: કાગળ પર ફૂંકવાથી ઉપર દબાણ ઘટતા તે સમક્ષિતિજ રહે છે. નળ પર આંગળી રાખવાથી ક્ષેત્રફળ ઘટતા પાણીનો વેગ વધે છે. ઇન્જેક્શનની સોયનો વ્યાસ દબાણ કરતાં વેગ પર વધુ નિયંત્રણ રાખે છે. છિદ્રમાંથી પાણી નીકળતા વેગમાન સંરક્ષણના કારણે પાત્ર પર ધક્કો લાગે છે. સ્પિનિંગ ક્રિકેટ બોલ હવામાં મેગ્નસ અસરને કારણે પરવલય ગતિપથથી ભટકે છે.

🎯 Exam Tip: બર્નુલીના સિદ્ધાંત અને સાતત્યના સમીકરણના વ્યવહારિક ઉપયોગો પર ધ્યાન કેન્દ્રિત કરો. મેગ્નસ અસર જેવા વાયુગતિકીના સિદ્ધાંતોને સમજો કારણ કે તે સ્પિન થતા બોલના ગતિપથને અસર કરે છે.

Question 5. ઊંચી એડીના બૂટ પહેરતી 50kgની એક છોકરી એક એડી પર સંતુલન જાળવે છે. બૂટની એડીનો વ્યાસ 1.0 cm છે. એડી વડે સમક્ષિતિજ તળિયા પર કેટલું દબાણ લાગે?

Answer:
ઉકેલ:
છોકરીનું દળ \(m = 50 \text{ kg}\)
એડીનો વ્યાસ \(D = 1.0 \text{ cm}\)
એડીની ત્રિજ્યા \(r = \frac{D}{2} = \frac{1}{2} \text{ cm}\).
\(r = 0.5 \times 10^{-2} \text{m}\)
દબાણ \(P = \frac{\text{બળ}}{\text{ક્ષેત્રફળ}} = \frac{mg}{\pi r^2}\)
\( \implies P = \frac{50 \times 9.8}{3.14 \times (0.5 \times 10^{-2})^2} \)
\( \implies P = 6.24 \times 10^6 \text{ Nm}^{-2} \)
In simple words: છોકરીના વજનને કારણે એડી દ્વારા જમીન પર લાગતું દબાણ શોધવા માટે, આપણે વજનને એડીના નાના વર્તુળાકાર ક્ષેત્રફળ વડે ભાગીએ છીએ, જે ખૂબ જ ઊંચું દબાણ દર્શાવે છે.

🎯 Exam Tip: દબાણના મૂળભૂત સૂત્ર \(P = F/A\) ને યાદ રાખો. ક્ષેત્રફળની ગણતરી કરતી વખતે એકમોને (cm માંથી m માં) યોગ્ય રીતે રૂપાંતરિત કરવાનું ભૂલશો નહીં.

Question 6. ટૉરિસેલીના બેરોમિટરમાં પારો વપરાયો હતો. પાસ્કલે 984 kg m⁻³ ધનતાનો ફ્રેંચ વાઇન વાપરીને તેની નકલ કરી. સામાન્ય વાતાવરણના દબાણ માટે વાઇનના સ્તંભની ઊંચાઈ કેટલી હશે?

Answer:
ઉકેલ:
પારાની ઘનતા \(\rho = 13.6 \times 10^3 \text{ kg m}^{-3}\)
વાઇનની ઘનતા \(\rho' = 984 \text{ kg m}^{-3}\)
76 cm પારાના સ્તંભનું દબાણ = \(h'\) ઊંચાઈના વાઇનના સ્તંભનું દબાણ
\( \rho gh = \rho' gh' \)
\( \implies h' = \frac{\rho \times h}{\rho'} = \frac{13.6 \times 10^3 \times 0.76}{984} \)
\( \implies h' = 10.5 \text{ m} \)
In simple words: વાતાવરણના દબાણને વાઇનના સ્તંભની ઊંચાઈમાં રૂપાંતરિત કરવા માટે, આપણે પારાના સ્તંભના દબાણ (\(\rho gh\)) ને વાઇનના સ્તંભના દબાણ (\(\rho' gh'\)) સાથે સરખાવવું પડશે, જેથી વાઇનનો કેટલો ઊંચો સ્તંભ સામાન્ય વાતાવરણ દબાણને સમતોલશે તે જાણી શકાય.

🎯 Exam Tip: પ્રવાહીના સ્તંભ દ્વારા લાગુ પડતા દબાણના સૂત્ર \(P = \rho gh\) નો ઉપયોગ સમજવો અગત્યનો છે. વિવિધ પ્રવાહીઓ માટે સમાન દબાણ જાળવવા માટે ઊંચાઈ કેવી રીતે બદલાય છે તે યાદ રાખો.

Question 7. એક ઊર્ધ્વ બાંધકામ \(10^8 \text{ Pa}\) નું મહત્તમ પ્રતિબળ સહન કરી શકે છે. આ બાંધકામ સમુદ્રની અંદરના તેલના કૂવા પર મૂકવા માટે યોગ્ય છે? સમુદ્રની ઊંડાઈ 3 km છે. સમુદ્રમાંના પ્રવાહોને અવગણો.

Answer:
ઉકેલ:
\(h = 3 \text{ km} = 3000 \text{ m}\)
સમુદ્રના પાણીની ઘનતા \(\rho = 1000 \text{ kg m}^{-3}\)
\(g = 9.8 \text{ m s}^{-2}\)
સમુદ્રની \(h\) ઊંડાઈએ દબાણ,
\(P = \rho gh\)
\( \implies P = 1000 \times 9.8 \times 3000 = 2.94 \times 10^7 \text{ Pa} \)
સમુદ્રની 3 km ઊંડાઈએ આ દબાણ \(2.94 \times 10^7 \text{ Pa}\) છે, જે બાંધકામની મહત્તમ સહનશીલતા \(10^8 \text{ Pa}\) કરતાં ઘણું ઓછું છે. આથી, આપેલ બાંધકામ સમુદ્રની અંદરના તેલના કૂવા પર ઉપયોગ માટે યોગ્ય છે.
In simple words: સમુદ્રની 3 કિમી ઊંડાઈએ પાણીનું દબાણ ગણીને, તેને બાંધકામની મહત્તમ સહનશક્તિ સાથે સરખાવવામાં આવે છે. જો પાણીનું દબાણ સહનશક્તિ કરતાં ઓછું હોય, તો બાંધકામ યોગ્ય ગણાશે.

🎯 Exam Tip: ઊંડાઈ સાથે દબાણના સૂત્ર \(P = \rho gh\) નો ઉપયોગ કરવાની પદ્ધતિ જાણો. આપેલા માળખાની તાકાતની તુલના પાણીના દબાણ સાથે યોગ્ય રીતે કરો.

Question 8. એક હાઇડ્રોલિક ઑટોમોબાઇલ લિફ્ટ મહત્તમ 3000 kg દળની કારને ઊંચકવા માટે બનાવેલી છે. આ વજન ઊંચકતા પિસ્ટનના આડછેદનું ક્ષેત્રફળ 425 cm² છે. નાનાપિસ્ટનને કેટલું મહત્તમ દબાણ કરવું પડશે?

Answer:
ઉકેલ:
ઊંચકવા માટેના મોટા પિસ્ટનનું આડછેદનું ક્ષેત્રફળ,
\(A = 425 \text{ cm}^2 = 425 \times 10^{-4} \text{ m}^2\)
મોટા પિસ્ટન દ્વારા ઊંચકાતું મહત્તમ વજન (બળ),
\(F = mg\)
\( \implies F = 3000 \times 9.8 \text{ N} \)
મહત્તમ દબાણ,
\(P = \frac{F}{A} = \frac{3000 \times 9.8}{425 \times 10^{-4}} = 6.92 \times 10^5 \text{ N m}^{-2}\)
હાઇડ્રોલિક સિદ્ધાંત મુજબ, પ્રવાહી દ્વારા દરેક દિશામાં એકસમાન દબાણ પ્રસરણ પામે છે. આથી, નાના પિસ્ટનને પણ \(6.92 \times 10^5 \text{ N m}^{-2}\) જેટલું દબાણ સહન કરવું પડશે.
In simple words: પાસ્કલના સિદ્ધાંત મુજબ, હાઇડ્રોલિક લિફ્ટમાં એક પિસ્ટન પર લાગુ પડતું દબાણ સમગ્ર પ્રવાહીમાં સમાન રીતે ફેલાય છે. કારનું વજન અને મોટા પિસ્ટનનું ક્ષેત્રફળ જાણીને, જરૂરી દબાણની ગણતરી કરી શકાય છે.

🎯 Exam Tip: પાસ્કલના સિદ્ધાંતને યાદ રાખો કે બંધ પ્રણાલીમાં પ્રવાહી પર લાગુ પડતું દબાણ સમાન રીતે પ્રસારિત થાય છે. દબાણ અને ક્ષેત્રફળના ગુણોત્તરનો ઉપયોગ કરીને બળની ગણતરી કરો.

Question 9. એક U-ટ્યૂબમાં પારા વડે જુદા પાડેલા પાણી અને મિથિલેટેડ સ્પિરિટ ભરેલા છે. એક ભુજમાં 10.0 cm પાણી અને બીજામાં 12.5 cm સ્પિરિટ વડે બે ભુજમાંના પારાના સ્તંભ એક લેવલમાં (સપાટી એક જ સમક્ષિતિજ સમતલમાં) આવે છે. સ્પિરિટનું વિશિષ્ટ ગુરુત્વ કેટલું હશે?

Answer:
ઉકેલ:

ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): આકૃતિ 10.44માં એક U-ટ્યુબ દર્શાવવામાં આવી છે જેમાં પારો પાણી અને સ્પિરિટને અલગ પાડે છે. પાણીનો સ્તંભ 10 cm છે અને સ્પિરિટનો સ્તંભ 12.5 cm છે, બંને પારાની સપાટીઓ એક જ સમતલમાં હોવાથી બિંદુ A (પાણી તરફ) અને બિંદુ B (સ્પિરિટ તરફ) પર દબાણ સમાન હોય છે.
આકૃતિ 10.44 માં દર્શાવ્યા મુજબ, પારો U-ટ્યૂબના બંને સ્તંભમાં સમાન ઊંચાઈએ છે. આનો અર્થ એ થાય કે બિંદુ A અને બિંદુ B આગળ દબાણ સમાન છે.
પાણીના સ્તંભને લીધે બિંદુ A આગળ દબાણ = સ્પિરિટના સ્તંભને લીધે બિંદુ B આગળ દબાણ
\(h_w \rho_w g = h_s \rho_s g\)
જ્યાં,
\(h_w = 10 \text{ cm}\)
\(h_s = 12.5 \text{ cm}\)
\(\rho_w = 1 \text{ g cm}^{-3}\)
\(\rho_s = ?\)
સ્પિરિટનું વિશિષ્ટ ગુરુત્વ \( = \frac{\rho_s}{\rho_w}\)
\( \implies \frac{\rho_s}{\rho_w} = \frac{h_w}{h_s} \)
\( \implies \frac{\rho_s}{\rho_w} = \frac{10}{12.5} \)
\( \implies \frac{\rho_s}{\rho_w} = 0.8 \)
In simple words: U-ટ્યુબમાં પારા દ્વારા અલગ કરાયેલા પાણી અને સ્પિરિટના સ્તંભો સમાન સ્તરે દબાણ ઉત્પન્ન કરે છે. આ સમાન દબાણના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરીને, આપણે પાણી અને સ્પિરિટના સ્તંભોની ઊંચાઈના ગુણોત્તર પરથી સ્પિરિટનું વિશિષ્ટ ગુરુત્વ શોધી શકીએ છીએ.

🎯 Exam Tip: તરલના દબાણના સિદ્ધાંતોનો ઉપયોગ કરતી વખતે, સમાન ઊંચાઈના બિંદુઓ પર દબાણ સમાન હોય છે તે યાદ રાખો. વિશિષ્ટ ગુરુત્વની ગણતરી માટે ઘનતાના ગુણોત્તરનો યોગ્ય રીતે ઉપયોગ કરો.

Question 10. પ્રશ્ન (9) માં જો વધારામાં 15.0 cm પાણી અને સ્પિરિટ અનુરૂપ ભુજાઓમાં રેડવામાં આવે, તો બે ભુજાઓમાં પારાના લેવલ (સપાટી) વચ્ચેનો તફાવત કેટલો હશે? (પારાનું વિશિષ્ટ ગુરુત્વ = 13.6)

Answer:
ઉકેલ:

ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): આકૃતિ 10.45, U-ટ્યુબમાં પ્રશ્ન 9 ની ગોઠવણી દર્શાવે છે, જેમાં હવે પાણી અને સ્પિરિટના સ્તંભોમાં 15 cm વધારાનું પ્રવાહી ઉમેરવામાં આવ્યું છે. આકૃતિમાં પાણી અને સ્પિરિટની કુલ ઊંચાઈઓ અને તેના કારણે પારાની સપાટીઓમાં ઉદ્ભવતો તફાવત દર્શાવ્યો છે.
આકૃતિ 10.45 માં દર્શાવ્યા મુજબ, પાણીના સ્તંભમાં 15 cm પાણી અને સ્પિરિટના સ્તંભમાં 15 cm સ્પિરિટ ઉમેરતાં,
પાણીના સ્તંભની કુલ ઊંચાઈ \(h_w = 10 + 15 = 25 \text{ cm}\)
સ્પિરિટના સ્તંભની કુલ ઊંચાઈ \(h_s = 12.5 + 15 = 27.5 \text{ cm}\)
પાણીને લીધે પારા પર દબાણ,
\(P_1 = h_w \rho_w g = 1 \times 25 \times g = 25g\)
સ્પિરિટને લીધે પારા પર દબાણ,
\(P_2 = \rho_s h_s g = 0.8 \times 27.5 \times g = 22g\)
અહીં, પાણીના સ્તંભમાં દબાણ વધુ હોવાથી પારો સ્પિરિટના સ્તંભમાં \(h\) જેટલો ઉપર ચડે છે.
દબાણનો તફાવત \(P_1 - P_2 = \rho_{Hg} g h\)
\(25g - 22g = 13.6 \times g \times h\)
\( \implies 3g = 13.6 \times g \times h \)
\( \implies h = \frac{3}{13.6} = 0.221 \text{ cm} \)
આમ, બંને સ્તંભમાં રહેલા પારાની સપાટીઓ વચ્ચેનો તફાવત \(0.221 \text{ cm}\) હશે.
In simple words: પ્રવાહી ઉમેર્યા પછી, બંને બાજુના કુલ દબાણની ગણતરી કરો. દબાણના તફાવતને પારાના સ્તંભના દબાણ તફાવત સાથે સરખાવો, જેનાથી બંને બાજુના પારાના સ્તર વચ્ચેનો તફાવત મળશે.

🎯 Exam Tip: U-ટ્યુબમાં પ્રવાહીના દબાણના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરતી વખતે, દરેક સ્તંભની કુલ ઊંચાઈ અને સંબંધિત ઘનતાઓને ધ્યાનમાં લો. દબાણના તફાવતને પારાના સ્તંભની ઊંચાઈ સાથે જોડવા માટે વિશિષ્ટ ગુરુત્વનો ઉપયોગ કરો.

Question 11. બર્નુલીનું સમીકરણ નદીમાંના ઢાળ પરથી પાણીના વહનનું વર્ણન કરવા માટે વાપરી શકાય? સમજાવો.

Answer:
ઉત્તર:
ઢાળ પરથી વહેતા પાણીનું વહન સામાન્ય રીતે પ્રક્ષુબ્ધ (turbulent) હોય છે. ઉપરાંત, ખડકો સાથે અથડાવાને કારણે તેમાં વમળો અને ઘૂમરીઓ રચાય છે. આવા કિસ્સામાં, પાણીનો પ્રવાહ ધારારેખી (streamline) હોતો નથી, જે બર્નુલીના સમીકરણની લાગુ પડવાની મૂળભૂત શરત છે. તેથી, આ પરિસ્થિતિમાં બર્નુલીનું સમીકરણ વાપરી શકાતું નથી.
In simple words: ના, બર્નુલીનું સમીકરણ નદીના પ્રવાહ માટે વાપરી શકાય નહીં કારણ કે નદીમાં પાણીનું વહન પ્રક્ષુબ્ધ હોય છે, અને બર્નુલીનો સિદ્ધાંત માત્ર ધારારેખી પ્રવાહ માટે જ લાગુ પડે છે.

🎯 Exam Tip: બર્નુલીના સિદ્ધાંતની મર્યાદાઓ યાદ રાખો, ખાસ કરીને તે માત્ર આદર્શ પ્રવાહીના ધારારેખી પ્રવાહ માટે જ લાગુ પડે છે, જ્યાં શ્યાનતા અને પ્રક્ષુબ્ધતાની અસરોને અવગણવામાં આવે છે.

Question 12. જો બર્નુલીનું સમીકરણ લાગુ પાડવામાં નિરપેક્ષ દબાણને બદલે કોઈ ગેજ (Gauge) દબાણ વાપરે તો ફેર પડે? સમજાવો.

Answer:
ઉત્તર:
ના, જો બર્નુલીનું સમીકરણ લાગુ પાડવા માટેના બે બિંદુઓ વચ્ચે વાતાવરણના દબાણમાં કોઈ નોંધપાત્ર ફેરફાર ન હોય, તો નિરપેક્ષ દબાણને બદલે ગેજ દબાણનો ઉપયોગ કરવાથી કોઈ ફરક પડતો નથી. ગેજ દબાણ એ નિરપેક્ષ દબાણ અને વાતાવરણના દબાણ વચ્ચેનો તફાવત છે, અને જો વાતાવરણનું દબાણ બંને બિંદુઓ પર સમાન હોય, તો તે સમીકરણમાંથી રદ થઈ જાય છે.
In simple words: જો વાતાવરણનું દબાણ સ્થિર હોય, તો બર્નુલીના સમીકરણમાં નિરપેક્ષ દબાણની જગ્યાએ ગેજ દબાણ વાપરવાથી કોઈ ફરક પડતો નથી, કારણ કે વાતાવરણનું દબાણ બંને બાજુથી રદ થઈ જાય છે.

🎯 Exam Tip: નિરપેક્ષ દબાણ અને ગેજ દબાણ વચ્ચેનો તફાવત સમજવો અગત્યનો છે. બર્નુલીના સમીકરણમાં બંનેનો ઉપયોગ ક્યારે શક્ય છે તે યાદ રાખો (જ્યારે વાતાવરણનું દબાણ સમાન રહે).

Question 13. 1.5 m લંબાઈ અને 1.0 cm ત્રિજ્યા ધરાવતી એક સમક્ષિતિજ નળીમાંથી ગ્લિસરીનનું સ્થાયી વહન થઈ રહ્યું છે. જો એક છેડે એકત્રિત કરાતા ગ્લિસરીનનો જથ્થો \(4.0 \times 10^{-3} \text{ kg s}^{-1}\) હોય, તો નળીના બે છેડે દબાણ-તફાવત કેટલો હશે ? (ગ્લિસરીનની ધનતા = \(1.3 \times 10^3 \text{ kg m}^{-3}\) અને ગ્લિસરીનની શ્યાનતા = \(0.83 \text{ Pa s}\))

Answer:
ઉકેલ:
લંબાઈ \(l = 1.5 \text{ m}\)
ત્રિજ્યા \(r = 1 \text{ cm} = 10^{-2} \text{ m}\)
ગ્લિસરીનની ઘનતા \(\rho = 1.3 \times 10^3 \text{ kg m}^{-3}\)
ગ્લિસરીનની શ્યાનતા \(\eta = 0.83 \text{ Ns m}^{-2}\)
એક સેકન્ડમાં એકત્રિત થતું દળ \( = 4.0 \times 10^{-3} \text{ kg}\)
\( \implies \) એક સેકન્ડમાં બહાર આવતા ગ્લિસરીનનું કદ,
\(Q = \frac{\text{એક સેકન્ડમાં ભેગું થતું દળ}}{\rho}\)
\( \implies Q = \frac{4 \times 10^{-3}}{1.3 \times 10^3} = 3.07 \times 10^{-6} \text{ m}^3 \text{ s}^{-1} \)
વહેતા પ્રવાહીનું કદ (પોઈઝ્યુઇલના સૂત્ર મુજબ),
\(Q = \frac{\pi P r^4}{8 \eta l}\)
\( \implies P = \frac{8 \eta l Q}{\pi r^4}\)
\( \implies P = \frac{8 \times 1.5 \times 0.83 \times 3.07 \times 10^{-6}}{3.14 \times (10^{-2})^4} \)
\( \implies P = 9.8 \times 10^2 \text{ Pa} \)
In simple words: પોઈઝ્યુઇલના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને, ગ્લિસરીનના પ્રવાહનો દર, પાઇપની લંબાઈ, ત્રિજ્યા અને શ્યાનતા પરથી દબાણનો તફાવત શોધી શકાય છે.

🎯 Exam Tip: પોઈઝ્યુઇલના સૂત્રને યાદ રાખો, જે શ્યાનતાવાળા પ્રવાહીના સ્થાયી પ્રવાહમાં દબાણ તફાવત, નળીની લંબાઈ, ત્રિજ્યા અને પ્રવાહ દરને સંબંધિત કરે છે. એકમોને SI એકમોમાં રૂપાંતરિત કરવાનું ભૂલશો નહીં.

Question 14. પવનની ટનલમાં એક નમૂના(Model)ના વિમાન પરના પ્રયોગમાં પાંખની ઉપર અને નીચેની સપાટીઓ આગળ વહનની ઝડપ અનુક્રમે 70 m s⁻¹ અને 63 m s⁻¹ છે. જો પાંખનું ક્ષેત્રફળ 2.5 m² હોય, તો પાંખ પર (Lift) કેટલો હશે? હવાની ધનતા \(1.3 \text{ kg m}^{-3}\) લો.

Answer:
ઉકેલ:
હવાની ઘનતા \(\rho = 1.3 \text{ kg m}^{-3}\)
પાંખનું કુલ ક્ષેત્રફળ \(A = 2.5 \text{ m}^2\)
પાંખની ઉપર પવનના વહનની ઝડપ \(v_1 = 70 \text{ m s}^{-1}\)
પાંખની નીચે પવનના વહનની ઝડપ \(v_2 = 63 \text{ m s}^{-1}\)
બર્નુલીના સમીકરણ અનુસાર,
\(P_1 + \frac{1}{2} \rho v_1^2 + \rho gh_1 = P_2 + \frac{1}{2} \rho v_2^2 + \rho gh_2\)
સમક્ષિતિજ વહન માટે, ઊંચાઈ સમાન હોય છે, તેથી \(h_1 = h_2\).
\( \implies P_1 + \frac{1}{2} \rho v_1^2 = P_2 + \frac{1}{2} \rho v_2^2 \)
\( \implies P_2 - P_1 = \frac{1}{2} \rho (v_1^2 - v_2^2) \)
\( \implies P_2 - P_1 = \frac{1}{2} \times 1.3 \times (70^2 - 63^2) \)
\( \implies P_2 - P_1 = 605.15 \text{ N m}^{-2} \)
પાંખ પર ઊર્ધ્વબળ (Lift) = પાંખ પર લાગતું ચોખ્ખું દબાણ \(\times\) પાંખનું ક્ષેત્રફળ
Lift \( = (P_2 - P_1) \times A \)
\( \implies \text{Lift} = 605.15 \times 2.5 \)
\( \implies \text{Lift} = 1512.875 \text{ N} \)
\( \implies \text{Lift} \approx 1512.9 \text{ N} \)
In simple words: વિમાનની પાંખ પર લાગતા લિફ્ટ બળની ગણતરી કરવા માટે બર્નુલીના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ થાય છે. પાંખની ઉપર અને નીચેની સપાટીઓ પરની હવાની ઝડપના તફાવતને કારણે દબાણનો તફાવત સર્જાય છે, જે લિફ્ટ બળ ઉત્પન્ન કરે છે.

🎯 Exam Tip: બર્નુલીના સમીકરણનો ઉપયોગ કરીને દબાણ તફાવત કેવી રીતે શોધવો તે સમજો. લિફ્ટ બળની ગણતરી કરતી વખતે દબાણ તફાવતને ક્ષેત્રફળ વડે ગુણવાનું યાદ રાખો. ઝડપના એકમોને m/s માં રૂપાંતરિત કરવાનું ભૂલશો નહીં.

Question 15. આકૃતિ 10.46 (a) અને (b) એક (અદબનીય) પ્રવાહીના સ્થાયી વહન અંગેની છે. બેમાંની કઈ આકૃતિ ખોટી છે? કેમ?

Answer:
ઉત્તર:

ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): આકૃતિ 10.46 (a) અને (b) બે અલગ અલગ પ્રવાહી વહન ટ્યુબ દર્શાવે છે. આકૃતિ (a) માં, સાંકડા ભાગમાં દબાણ વધારે બતાવવામાં આવ્યું છે, જ્યારે આકૃતિ (b) માં સાંકડા ભાગમાં વેગ વધારે દર્શાવવામાં આવ્યો છે. આકૃતિ (a) ખોટી છે કારણ કે તે બર્નુલીના સિદ્ધાંતનું ઉલ્લંઘન કરે છે.
આકૃતિ (a) ખોટી છે. સાતત્યના સમીકરણ અનુસાર, \(A v = \text{અચળ}\). આનો અર્થ એ છે કે જ્યાં આડછેદનું ક્ષેત્રફળ ઓછું હોય, ત્યાં પ્રવાહીના વહનની ઝડપ વધુ હોય છે. આકૃતિ 10.46 (b) માં દર્શાવ્યા મુજબ, સાંકડા ભાગમાં પ્રવાહીનો વેગ બીજા વિસ્તાર કરતાં વધુ હશે.
બર્નુલીના સમીકરણ અનુસાર, \(P + \frac{1}{2} \rho v^2 = \text{અચળ}\). આનો અર્થ એ થાય કે જ્યાં વેગ \(v\) વધુ હશે, ત્યાં દબાણ \(P\) ઓછું હશે. આકૃતિ (a) માં, સાંકડા ભાગના જોડાણ આગળ દબાણ વધુ દર્શાવેલું છે, જે બર્નુલીના સિદ્ધાંતથી વિરુદ્ધ છે. તેથી, આકૃતિ (a) ખોટી છે.
In simple words: આકૃતિ (a) ખોટી છે. સાતત્યના નિયમ મુજબ, જ્યાં પાઇપ સાંકડી હોય ત્યાં પ્રવાહીની ઝડપ વધે છે. બર્નુલીના સિદ્ધાંત મુજબ, ઝડપ વધે ત્યાં દબાણ ઘટે છે, પરંતુ આકૃતિ (a) માં સાંકડા ભાગમાં દબાણ વધતું બતાવ્યું છે, જે ખોટું છે.

🎯 Exam Tip: સાતત્યના સમીકરણ અને બર્નુલીના સિદ્ધાંતના મૂળભૂત નિયમોને યાદ રાખો. આ નિયમોનો ઉપયોગ કરીને પ્રવાહ ગતિશાસ્ત્રમાં દબાણ અને વેગના સંબંધોનું વિશ્લેષણ કરી શકાય છે.

Question 16. સ્પ્રે-પંપ (છંટકાવ માટે વપરાતો પંપ)ની નળાકાર નળીનો આડછેદ \(8.0 \text{ cm}^2\) છે. તેના એક છેડે \(1.0 \text{ mm}\) વ્યાસનાં 40 છિદ્રો છે. જો નળીની અંદર પ્રવાહી વહનની ઝડપ \(1.5 \text{ m min}^{-1}\) હોય, તો છિદ્રોમાંથી બહાર આવતા પ્રવાહીની ઝડપ કેટલી હશે?

Answer:
ઉકેલ:
નળાકાર નળીનું આડછેદનું ક્ષેત્રફળ,
\(A_1 = 8.0 \text{ cm}^2 = 8 \times 10^{-4} \text{ m}^2\)
નળીમાં પ્રવાહી વહનની ઝડપ,
\(u_1 = 1.5 \text{ m min}^{-1} = \frac{1.5}{60} \text{ m s}^{-1} = 0.025 \text{ m s}^{-1}\)
40 છિદ્રોના આડછેદનું કુલ ક્ષેત્રફળ,
એક છિદ્રની ત્રિજ્યા \(r = \frac{1.0 \text{ mm}}{2} = 0.5 \text{ mm} = 0.5 \times 10^{-3} \text{ m}\)
\(A_2 = 40 \times \pi r^2 = 40 \times 3.14 \times (0.5 \times 10^{-3})^2\)
\( \implies A_2 = 31.4 \times 10^{-6} \text{ m}^2 \)
સાતત્યના સમીકરણ અનુસાર,
\(A_1 u_1 = A_2 u_2\)
\( \implies \) છિદ્રોમાંથી બહાર આવતા પ્રવાહીની ઝડપ,
\(u_2 = u_1 \times \frac{A_1}{A_2}\)
\( \implies u_2 = 0.025 \times \frac{8 \times 10^{-4}}{31.4 \times 10^{-6}} \)
\( \implies u_2 = 0.637 \text{ m s}^{-1} \)
In simple words: સાતત્યના સમીકરણનો ઉપયોગ કરીને, પંપની નળીમાંથી પ્રવાહીનો પ્રવાહ દર છિદ્રોમાંથી બહાર આવતા પ્રવાહ દર જેટલો હોય છે. ક્ષેત્રફળ અને વેગના ગુણોત્તરને સમાન રાખીને છિદ્રોમાંથી બહાર આવતી પ્રવાહીની ઝડપ શોધી શકાય છે.

🎯 Exam Tip: સાતત્યના સમીકરણ \(A_1 v_1 = A_2 v_2\) ને યાદ રાખો. ક્ષેત્રફળ અને વેગના એકમોને SI પ્રણાલીમાં રૂપાંતરિત કરવાનું સુનિશ્ચિત કરો.

Question 17. એક U-આકારનો તાર સાબુના દ્રાવણમાં બોળી બહાર કાઢેલ છે. તાર અને હલકા સરકતા ભુજ (Slider) વચ્ચેની સાબુની પાતળી ફિલ્મ \(1.5 \times 10^{-2} \text{ N}\) વજનને ટેકવે છે. (જેમાં તે ભુજનું વજન પણ સમાવિષ્ટ છે.) સરકતા ભુજની લંબાઈ 30 cm છે, તો તે કપોટીનું પૃષ્ઠતાણ કેટલું હશે?

Answer:
ઉકેલ:
બળ \(F = 1.5 \times 10^{-2} \text{ N}\)
સરકતા ભુજની લંબાઈ \(l = 30 \text{ cm} = 0.3 \text{ m}\)
સાબુની પાતળી ફિલ્મ (કપોટી) ને બે મુક્ત સપાટીઓ હોય છે, તેથી બળ \(F\) એ \(2l\) લંબાઈ પર લાગશે.
કપોટીનું પૃષ્ઠતાણ \(S = \frac{F}{2l}\)
\( \implies S = \frac{1.5 \times 10^{-2}}{2 \times 0.30} \)
\( \implies S = 2.5 \times 10^{-2} \text{ N m}^{-1} \)
In simple words: સાબુના ફિલ્મ પર લાગતા બળ અને તેની કુલ લંબાઈ (બે સપાટીઓને કારણે બમણી) નો ઉપયોગ કરીને પૃષ્ઠતાણની ગણતરી કરી શકાય છે.

🎯 Exam Tip: પૃષ્ઠતાણની વ્યાખ્યા \(S = F/l\) ને યાદ રાખો. સાબુના ફિલ્મની બે સપાટીઓ હોવાથી લંબાઈને \(2l\) તરીકે લેવાનું ભૂલશો નહીં.

Question 18. આકૃતિ 10.47 (a) પ્રવાહીની એક પાતળી કપોટી \(4.5 \times 10^{-2} \text{ N}\) વજનને લટકાવતી દર્શાવે છે. તે જ પ્રવાહીની તે જ તાપમાને પાતળી કપોટી આકૃતિ (b) અને (c)માં કેટલું વજન લટકાવતી હશે?

Answer:
ઉકેલ:

ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): આકૃતિ 10.47 (a), (b), અને (c) સમાન લંબાઈના (40 cm) ત્રણ જુદા જુદા આકારોના પ્રવાહીના પાતળા ફિલ્મો દર્શાવે છે. આ ફિલ્મો એક જ પ્રવાહી અને સમાન તાપમાને હોવાથી, તેમનું પૃષ્ઠતાણ સમાન રહેશે. આકૃતિ (a) માં આપેલ વજનનો ઉપયોગ કરીને પૃષ્ઠતાણની ગણતરી કરી શકાય છે.
ફિલ્મની લંબાઈ \(l = 40 \text{ cm} = 0.4 \text{ m}\)
સાબુની ફિલ્મને બે મુક્ત સપાટીઓ હોય છે.
\( \implies \) પૃષ્ઠતાણ \(S = \frac{F}{2l}\)
\( \implies S = \frac{4.5 \times 10^{-2}}{2 \times 0.4} = 5.625 \times 10^{-2} \text{ N m}^{-1} \)
આકૃતિ (a), (b) અને (c)માં પ્રવાહી સમાન છે તેમજ તાપમાન પણ સમાન છે. આથી, આકૃતિ (b) અને (c)માં રહેલા પ્રવાહીનું પૃષ્ઠતાણ પણ \(5.625 \times 10^{-2} \text{ N m}^{-1}\) હશે. ત્રણેય આકૃતિમાં ફિલ્મની લંબાઈ \(l = 0.4 \text{ m}\) પણ સમાન છે. આથી, દરેક કિસ્સામાં વજનબળ પણ \(4.5 \times 10^{-2} \text{ N}\) હશે.
In simple words: પૃષ્ઠતાણ પ્રવાહીના પ્રકાર અને તાપમાન પર આધાર રાખે છે, આકાર પર નહીં. જો પ્રવાહી અને તાપમાન સમાન હોય, તો સમાન લંબાઈની ફિલ્મ પર લાગતું વજન પણ સમાન જ રહેશે, ભલે ફિલ્મનો આકાર અલગ હોય.

🎯 Exam Tip: પૃષ્ઠતાણની વ્યાખ્યા અને તે કયા પરિબળો પર આધાર રાખે છે તે સમજવું અગત્યનું છે. પૃષ્ઠતાણ પ્રવાહીની પ્રકૃતિ અને તાપમાન પર આધાર રાખે છે, પરંતુ સપાટીના આકાર પર નહીં.

Question 19. ઓરડાના તાપમાને 3.0 mm ત્રિજ્યાના પારાના બુંદની અંદરનું દબાણ કેટલું હશે? પારાનું તે તાપમાને (20°C) પૃષ્ઠતાણ \(4.65 \times 10^{-1} \text{ N m}^{-1}\) છે. વાતાવરણ દબાણ \(1.01 \times 10^5 \text{ Pa}\). બુંદની અંદરનું વધારાનું દબાણ જણાવો.

Answer:
ઉકેલ:
પારાનું પૃષ્ઠતાણ \(S = 4.65 \times 10^{-1} \text{ N m}^{-1}\)
પારાના બુંદની ત્રિજ્યા \(r = 3 \text{ mm} = 3 \times 10^{-3} \text{ m}\)
પ્રવાહીના બુંદની અંદર વધારાનું દબાણ,
\(P_i - P_o = \frac{2S}{r}\)
\( \implies P_i - P_o = \frac{2 \times 4.65 \times 10^{-1}}{3 \times 10^{-3}} \)
\( \implies P_i - P_o = 3.1 \times 10^2 \text{ N m}^{-2} \)
બુંદની અંદર કુલ દબાણ \(P = P_o + (P_i - P_o)\)
\( \implies P = 1.01 \times 10^5 + 3.1 \times 10^2 \)
\( \implies P = 101000 + 310 \)
\( \implies P = 101310 \text{ Pa} \)
\( \implies P = 1.0131 \times 10^5 \text{ Pa} \)
In simple words: પારાના બુંદની અંદરનું વધારાનું દબાણ તેની સપાટીના પૃષ્ઠતાણ અને ત્રિજ્યા પર આધાર રાખે છે. કુલ દબાણ શોધવા માટે વાતાવરણના દબાણમાં આ વધારાના દબાણને ઉમેરવામાં આવે છે.

🎯 Exam Tip: પ્રવાહી બુંદની અંદર વધારાના દબાણના સૂત્ર \((P_i - P_o = \frac{2S}{r})\) ને યાદ રાખો. કુલ દબાણની ગણતરી કરતી વખતે વાતાવરણના દબાણને ઉમેરવાનું ભૂલશો નહીં અને એકમોનું યોગ્ય રૂપાંતરણ કરો.

Question 20. સાબુના દ્રાવણનું 20 °C તાપમાને પૃષ્ઠતાણ \(2.50 \times 10^{-2} \text{ N m}^{-1}\) આપેલ છે. 5.00 mm ત્રિજ્યાના સાબુના દ્રાવણના પરપોટાની અંદરનું દબાણ કેટલું હશે? જો આ જ પરિમાણનો હવાનો પરપોટો પાત્રમાંના [સાપેક્ષ ઘનતા 1.2)ની અંદર 40.0 cm ઊંડાઈએ રચાય, તો તે પરપોટાની અંદરનું દબાણ કેટલું હશે? (1 વાતાવરણ દબાણ = \(1.01 \times 10^5 \text{ Pa}\), સાબુના દ્રાવણની સાપેક્ષ ઘનતા = 1.2)

Answer:
ઉકેલ:
સાબુના દ્રાવણનું પૃષ્ઠતાણ \(S = 2.5 \times 10^{-2} \text{ N m}^{-1}\)
પરપોટાની ત્રિજ્યા \(r = 5 \text{ mm} = 5 \times 10^{-3} \text{ m}\)
ઊંડાઈ \(h = 40 \text{ cm} = 0.4 \text{ m}\)
વાતાવરણ દબાણ \(P_o = 1.01 \times 10^5 \text{ Pa}\)
(i) સાબુના દ્રાવણના પરપોટાની અંદરનું વધારાનું દબાણ,
\(P = \frac{4S}{r}\)
\( \implies P = \frac{4 \times 2.5 \times 10^{-2}}{5 \times 10^{-3}} \)
\( \implies P = 20 \text{ Pa} \)
(ii) હવાના પરપોટાની અંદર વધારાનું દબાણ,
\(P' = \frac{2S}{r}\)
\( \implies P' = \frac{2 \times 2.5 \times 10^{-2}}{5 \times 10^{-3}} \)
\( \implies P' = 10 \text{ Pa} \)
(iii) સાબુના દ્રાવણની ઘનતા = સાપેક્ષ ઘનતા \(\times\) 1000
\( \implies \rho_{sol} = 1.2 \times 1000 = 1200 \text{ kg m}^{-3}\)
40 cm ઊંડાઈએ સાબુના દ્રાવણમાં હવાના પરપોટાની અંદરનું કુલ દબાણ = વાતાવરણનું દબાણ + 40 cm ઊંડાઈએ સાબુના દ્રાવણનું દબાણ + વધારાનું દબાણ
\(P_{total} = P_o + \rho_{sol} gh + P'\)
\( \implies P_{total} = 1.01 \times 10^5 + (0.4 \times 1200 \times 9.8) + 10 \)
\( \implies P_{total} = 101000 + 4704 + 10 \)
\( \implies P_{total} = 105714 \text{ Pa} \approx 1.06 \times 10^5 \text{ Pa} \)
In simple words: સાબુના પરપોટા અને હવાના પરપોટાની અંદરનું વધારાનું દબાણ તેમના પૃષ્ઠતાણ અને ત્રિજ્યા પર આધાર રાખે છે. પાણીની અંદરના હવાના પરપોટા માટે, કુલ દબાણ શોધવા માટે વાતાવરણનું દબાણ અને પ્રવાહી સ્તંભના દબાણને વધારાના દબાણમાં ઉમેરવામાં આવે છે.

🎯 Exam Tip: સાબુના પરપોટા (\(\frac{4S}{r}\)) અને હવાના પરપોટા (\(\frac{2S}{r}\)) માટે વધારાના દબાણના સૂત્રો વચ્ચેનો તફાવત યાદ રાખો. પ્રવાહીની અંદરના કુલ દબાણની ગણતરી કરતી વખતે હાઇડ્રોસ્ટેટિક દબાણ (\(\rho gh\)) ને ઉમેરવાનું ભૂલશો નહીં.

Question 21. 1.0 m² ક્ષેત્રફળનું ચોરસ તળિયું ધરાવતી એક ટાંકી મધ્યમાં એક ઊર્ધ્વ દીવાલ વડે વિભાજિત કરેલ છે. આ દીવાલના તળિયે એક નાના મિજાગરાવાળું 20 cm²ક્ષેત્રફળનું બારણું છે. ટાંકીના એક વિભાગમાં પાણી અને બીજામાં ઍસિડ (1.7 સાપેક્ષ ઘનતા ધરાવતો) બંને 4.0 mની ઊંચાઈ સુધી ભરેલ છે. આ બારણાને બંધ રાખવા માટે જરૂરી બળની ગણતરી કરો.

Answer:
ઉકેલ:

ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): આકૃતિ 10.48 એક ટાંકી દર્શાવે છે જે ઊભી દીવાલ વડે વિભાજિત છે, જેમાં એક બાજુ પાણી અને બીજી બાજુ ઍસિડ ( બંને 4m ઊંચાઈ સુધી) ભરેલા છે. તળિયે 20 cm² ક્ષેત્રફળનું એક નાનું બારણું છે. આકૃતિ પાણી અને ઍસિડ દ્વારા બારણા પર લાગુ પડતા દબાણના તફાવતને સમજવામાં મદદ કરે છે.
(a) પાણી ભરેલી ટાંકી માટે:
પાણીના સ્તંભની ઊંચાઈ \(h_w = 4 \text{ m}\)
પાણીની ઘનતા \(\rho_w = 10^3 \text{ kg m}^{-3}\)
તળિયે રહેલા બારણા પાસે પાણીમાં ઉદ્ભવતું દબાણ,
\(P_w = h_w \rho_w g = 4 \times 10^3 \times 9.8 = 39.2 \times 10^3 \text{ Pa}\)
(b) ઍસિડ ભરેલી ટાંકી માટે:
ઍસિડના સ્તંભની ઊંચાઈ \(h_a = 4 \text{ m}\)
ઍસિડની સાપેક્ષ ઘનતા \( = \frac{\rho_a}{\rho_w} = 1.7\)
\( \implies \rho_a = 1.7 \times \rho_w = 1.7 \times 10^3 \text{ kg m}^{-3}\)
તળિયે રહેલા બારણા પાસે ઍસિડમાં ઉદ્ભવતું દબાણ,
\(P_a = h_a \rho_a g = 4 \times 1.7 \times 10^3 \times 9.8 = 66.64 \times 10^3 \text{ Pa}\)
દબાણનો તફાવત \(\Delta P = P_a - P_w\)
\( \implies \Delta P = 66.64 \times 10^3 - 39.2 \times 10^3 = 27.44 \times 10^3 \text{ Pa}\)
બારણાનું ક્ષેત્રફળ \(A = 20 \text{ cm}^2 = 20 \times 10^{-4} \text{ m}^2\)
બારણાને બંધ રાખવા માટે બારણા પર પાણીની ટાંકી તરફથી લગાડવું પડતું જરૂરી બળ,
\(F = \Delta P \times A\)
\( \implies F = 27.44 \times 10^3 \times 20 \times 10^{-4} \)
\( \implies F = 54.88 \text{ N} \)
In simple words: બારણાને બંધ રાખવા માટે, પાણી અને ઍસિડ દ્વારા બારણા પર લાગુ પડતા દબાણનો તફાવત ગણવો પડે છે. આ દબાણ તફાવતને બારણાના ક્ષેત્રફળ વડે ગુણવાથી જરૂરી બળ મળશે.

🎯 Exam Tip: હાઇડ્રોસ્ટેટિક દબાણના સૂત્ર \(P = \rho gh\) નો ઉપયોગ કરો. સાપેક્ષ ઘનતાનો ઉપયોગ કરીને ઍસિડની ઘનતાની ગણતરી કરો. દબાણ તફાવત અને બળની ગણતરી કરતી વખતે એકમોનું ધ્યાન રાખો.

Question 22. આકૃતિ 10.49 (a)માં દર્શાવ્યા મુજબ એક મેનોમિટર એક બંધપાત્રમાંના વાયુનું દબાણ માપે છે. જ્યારે એક પંપ કેટલાક વાયુને બહાર કાઢે છે, ત્યારે મેનોમિટર આકૃતિ 10.49 માં જબ દબાણ માપે છે. મેનોમિટરમાં વપરાયેલ પ્રવાહી પારો છે અને વાતાવરણનું દબાણ પારાના 76 cm જેટલું છે.

 

Question 22.આકૃતિ 10.49 (a)માં દર્શાવ્યા મુજબ એક મેનોમિટર એક બંધપાત્રમાંના વાયુનું દબાણ માપે છે. જ્યારે એક પંપ કેટલાક વાયુને બહાર કાઢે છે, ત્યારે મેનોમિટર આકૃતિ 10.49 માં જબ દબાણ માપે છે. મેનોમિટરમાં વપરાયેલ પ્રવાહી પારો છે અને વાતાવરણનું દબાણ પારાના 76 cm જેટલું છે. (i) બંધપાત્રમાંના વાયુનું નિરપેક્ષ દબાણ અને ગેજ (Gauge) દબાણ કિસ્સા (a) અને (b) માટે પારાના cmના એકમોમાં જણાવો. (ii) કિસ્સા (b)માં જો 13.6 cm પાણી (પારા સાથે ન ભળતું) મેનોમિટરના જમણા ભુજમાં રેડવામાં આવે, તો સ્તંભની સપાટીઓ (Levels) કેવી બદલાશે?
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): આકૃતિ 10.49 માં મેનોમિટર દ્વારા વાયુનું દબાણ માપવાના બે કિસ્સાઓ દર્શાવ્યા છે. આકૃતિ (a) માં વાયુ દ્વારા લગાવવામાં આવતું દબાણ વાતાવરણીય દબાણ કરતાં વધારે છે, જ્યાં પારાનો સ્તંભ વાયુની બાજુએ 20 cm ઉપર છે. આકૃતિ (b) માં વાયુ દ્વારા લગાવવામાં આવતું દબાણ વાતાવરણીય દબાણ કરતાં ઓછું છે, જ્યાં પારાનો સ્તંભ વાયુની બાજુએ 18 cm નીચે છે.
Answer:આપેલ છે કે વાતાવરણનું દબાણ \( P_a = 76 \text{ cm of Hg} \). પારાની ઘનતાને \( \rho' \) વડે દર્શાવવામાં આવે છે. (i) કિસ્સા (a) માટે: બિંદુ A પર વાતાવરણનું દબાણ \( P_A = 76 \text{ cm of Hg} \) છે. તેથી, બિંદુ B પરનું નિરપેક્ષ દબાણ \( P_B = P_A + h \) થશે. \[ P_B = 76 \text{ cm of Hg} + 20 \text{ cm of Hg} \] \[ P_B = 96 \text{ cm of Hg} \] બિંદુઓ B અને C એક જ સમક્ષિતિજ સ્તરે આવેલા હોવાથી, તેમના દબાણ સમાન હશે. આથી, વાયુનું નિરપેક્ષ દબાણ \( = P_B = 96 \text{ cm of Hg} \). વાયુનું ગેજ દબાણ \( = h = 20 \text{ cm of Hg} \). કિસ્સા (b) માટે: બિંદુ A પર વાતાવરણનું દબાણ \( P_A = 76 \text{ cm of Hg} \) છે. બિંદુ B પરનું દબાણ બિંદુ A પરના દબાણ સમાન છે, એટલે કે \( P_B = P_A = 76 \text{ cm of Hg} \). બિંદુ C પરનું નિરપેક્ષ દબાણ \( P_C = 76 \text{ cm of Hg} + h \) છે. પરંતુ, આપણને ઉલટો તફાવત 18 cm આપેલ છે, એટલે કે ગેસ પ્રેશર ઓછું છે. આથી, વાયુનું નિરપેક્ષ દબાણ \( = P_A - 18 \text{ cm of Hg} \) \[ = 76 \text{ cm of Hg} - 18 \text{ cm of Hg} \] \[ = 58 \text{ cm of Hg} \] વાયુનું ગેજ દબાણ \( = 58 \text{ cm of Hg} - P_a \) \[ = 58 \text{ cm of Hg} - 76 \text{ cm of Hg} \] \[ = -18 \text{ cm of Hg} \] (ii) કિસ્સા (b)માં, જ્યારે મેનોમિટરના જમણા સ્તંભમાં 13.6 cm પાણી ઉમેરવામાં આવે છે, ત્યારે દબાણ માટે નીચે મુજબ ગણતરી થશે: જળસ્તંભનું દબાણ \( \rho g h = \rho' g h' \) જ્યાં \( \rho \) પાણીની ઘનતા છે અને \( \rho' \) પારાની ઘનતા છે. \[ h' = \frac{\rho h}{\rho'} \] પારાની સાપેક્ષ ઘનતા 13.6 છે, એટલે કે \( \rho' = 13.6 \rho \). \[ h' = \frac{\rho \times 13.6 \text{ cm}}{13.6 \rho} = 1 \text{ cm of Hg} \] હવે, બિંદુ A પર દબાણ \( P_A = P_A(\text{original}) + h' \) \[ P_A = 76 \text{ cm of Hg} + 1 \text{ cm of Hg} \] \[ \therefore P_A = 77 \text{ cm of Hg} \] જો બંને સ્તંભોમાં પારાની ઊંચાઈનો તફાવત \( H_1 \) હોય, તો બિંદુ B પર દબાણ \( P_B = 58 + H_1 \) થશે. પરંતુ, \( P_A = P_B \) હોવાથી, \[ 77 = 58 + H_1 \] \[ \therefore H_1 = 77 - 58 \] \[ H_1 = 19 \text{ cm of Hg} \]
In simple words: મેનોમિટરના કિસ્સામાં, વાયુનું દબાણ પારાના સ્તંભની ઊંચાઈ પરથી નક્કી થાય છે. જ્યારે પાણી ઉમેરવામાં આવે, ત્યારે તે પારાના સ્તંભમાં દબાણનો ફેરફાર લાવે છે, જેના પરિણામે પારાના સ્તરો વચ્ચેનો તફાવત બદલાય છે.

🎯 Exam Tip: આવા પ્રશ્નોમાં ગેજ અને નિરપેક્ષ દબાણ વચ્ચેનો તફાવત સ્પષ્ટ કરવો મહત્ત્વપૂર્ણ છે અને એકમોની સુસંગતતા જાળવવી આવશ્યક છે.

 

Question 23.બે પાત્રોને તળિયાનાં સમાન ક્ષેત્રફળ, પરંતુ જુદા આકાર છે. બંને પાત્રોમાં સમાન ઊંચાઈ સુધી પાણી ભરવા માટે પ્રથમ પાત્રમાં બીજા કરતાં બમણાં કદનું પાણી જોઈએ છે. બે કિસ્સાઓમાં પાણી વડે તળિયા પર લગાડેલું બળ સમાન હશે? જો તેમ હોય, તો તે સમાન ઊંચાઈ સુધી પાણી ભરેલાં પાત્રો વજનમાપક પર કેમ જુદાં અવલોકનો દર્શાવે છે?
Answer:દબાણ માટેનું સૂત્ર \( P = \rho g h \) છે. તળિયા પર લાગતું બળ \( F = \text{દબાણ} \times \text{ક્ષેત્રફળ} \) આથી, \( F = \rho g h \times A \). બંને પાત્રોમાં પાણી સમાન ઊંચાઈ સુધી ભરવામાં આવે છે. આથી બંને પાત્રોના તળિયે લાગતું દબાણ સમાન રહેશે. બંને પાત્રોના તળિયાનું ક્ષેત્રફળ પણ સમાન હોવાથી, તેમના પર પાણીના દબાણને લીધે લાગતું બળ પણ સમાન થશે. પાણી દ્વારા પાત્રની દીવાલો (બાજુઓ) પર પણ બળ લાગે છે. જો પાત્રની બાજુઓ પાયાને બરાબર લંબ ન હોય, તો આ બળનો પાયાને લંબ ઘટક પણ મળે છે. પાણી દ્વારા પાત્રની બાજુઓ પર લાગતા બળનો આ લંબ ઘટક પ્રથમ પાત્રમાં બીજા પાત્ર કરતાં અલગ હશે. આથી, બંને કિસ્સાઓમાં પાયા પર લાગતું બળ સમાન હોવા છતાં, પાત્રોના વજન જુદા-જુદા હોઈ શકે છે. વજનમાપક ફક્ત નીચેના દબાણ જ નહીં, પણ પાત્ર અને પાણીના કુલ વજનનું માપન કરે છે.
In simple words: બે જુદા-જુદા આકારના પાત્રોમાં સમાન ઊંચાઈ સુધી પાણી ભરવામાં આવે તો, તળિયે લાગતું દબાણ અને બળ સમાન હોય છે. પરંતુ, પાત્રોના આકારને કારણે પાણીનો કુલ જથ્થો અને પાત્રની બાજુઓ પરના બળના ઘટકો જુદા હોઈ શકે છે, જેના કારણે વજનમાપક પર અલગ અવલોકનો મળે છે.

🎯 Exam Tip: આ પ્રશ્ન હાઇડ્રોસ્ટેટિક દબાણ અને કુલ વજન વચ્ચેના તફાવતને સમજાવે છે, જે પ્રવાહીની યાંત્રિક ગુણધર્મોના મૂળભૂત ખ્યાલો પૈકી એક છે. ડાયાગ્રામનું વિશ્લેષણ કરીને સમજાવવું વધુ સ્પષ્ટતા આપે છે.

 

Question 24.લોહી ચડાવવાની એક પ્રક્રિયામાં સોય 2000 Pa ગેજ દબાણ હોય તેવી શિરામાં દાખલ કરેલ છે. લોહી ભરેલું પાત્ર કેટલી ઊંચાઈએ મૂકવું જોઈએ કે જેથી લોહી શિરામાં દાખલ થવાની શરૂઆત થાય? (સંપૂર્ણ લોહીની ધનતા \( = 10.6 \times 10^3 \text{ kg m}^{-3} \))
Answer:આપેલ છે: ગેજ દબાણ \( P = 2000 \text{ Pa} \) લોહીની ધનતા \( \rho = 10.6 \times 10^3 \text{ kg m}^{-3} \) ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ \( g = 9.8 \text{ m s}^{-2} \) જો લોહી ભરેલા પાત્રની ઊંચાઈ \( h \) હોય, તો ગેજ દબાણનું સૂત્ર \( P = \rho g h \) છે. તેથી, ઊંચાઈ \( h \) શોધવા માટે: \[ h = \frac{P}{\rho g} \] \[ h = \frac{2000}{10.6 \times 10^3 \times 9.8} \] \[ h = \frac{2000}{103880} \] \[ h = 0.01925 \text{ m} \] \[ h \approx 0.02 \text{ m} \] આથી, લોહી ભરેલું પાત્ર રક્તવાહિનીથી લગભગ 0.02 m જેટલી ઊંચાઈએ મૂકવું જોઈએ જેથી લોહી શિરામાં દાખલ થવાની શરૂઆત થઈ શકે.
In simple words: લોહી શિરામાં દાખલ કરવા માટે, લોહીના પાત્રને શિરાના સ્તરથી અમુક ઊંચાઈ પર રાખવું પડે છે. આ ઊંચાઈ જરૂરી દબાણ પૂરું પાડે છે જેથી લોહી ગુરુત્વાકર્ષણ બળનો પ્રતિકાર કરીને શિરામાં પ્રવેશી શકે.

🎯 Exam Tip: દબાણના સૂત્ર \( P = \rho g h \) નો ઉપયોગ કરીને ઊંચાઈની ગણતરી કરવી સીધી છે. અહીં ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ (\(g\)) અને લોહીની ઘનતા (\(\rho\)) નાં મૂલ્યો યોગ્ય રીતે દાખલ કરવાં મહત્ત્વપૂર્ણ છે.

 

Question 25.બર્નુલીનું સમીકરણ સાધિત કરવામાં આપણે તરલ પર થયેલા કાર્યને તેની સ્થિતિ-ઊર્જા અને ગતિ-ઊર્જાના ફેરફાર સાથે સરખાવેલ છે. (a) ઊર્જા-વ્યય કરનારા બળની હાજરીમાં નળીમાં તરલ આગળ વધે તેમ દબાણ કેવી રીતે બદલાતું હશે? (b) શું તરલનો વેગ વધે તેમ ઊર્જા-વ્યય કરનારાં બળો મહત્ત્વનાં બને છે?
Answer:(a) ઊર્જા-વ્યય કરનારા બળોની હાજરીમાં, તરલની દબાણ-ઊર્જાનો કેટલોક ભાગ આ બળો સામે કાર્ય કરવામાં ખર્ચાઈ જાય છે. પરિણામે, જેમ તરલ નળીમાં આગળ વધે છે, તેમ તેના દબાણમાં નોંધપાત્ર ઘટાડો થાય છે. આનો અર્થ એ થાય છે કે બર્નુલીનું સમીકરણ, જે ઊર્જા સંરક્ષણ પર આધારિત છે, તે આવા કિસ્સાઓમાં સીધું લાગુ પાડી શકાતું નથી કારણ કે અમુક ઊર્જા ગુમાવાય છે.
(b) હા, તરલનો વેગ વધે તેમ ઊર્જા-વ્યય કરનારાં બળો વધુ મહત્ત્વના બને છે. જ્યારે તરલનો વેગ વધે છે, ત્યારે તેનો પ્રવાહ સ્થાયીતા ગુમાવીને પ્રક્ષુબ્ધ બને છે. પ્રક્ષુબ્ધ પ્રવાહમાં તરલના કણો અવ્યવસ્થિત ગતિ કરે છે, જેના કારણે આંતરિક ઘર્ષણ અને ઊર્જાનો વ્યય વધે છે. તેથી, ઊર્જા-વ્યય કરનારાં બળો, જેમ કે શ્યાનતા, આવા ઊંચા વેગવાળા પ્રવાહોમાં વધુ અસરકારક બની જાય છે.
In simple words: બર્નુલીનું સમીકરણ ઘર્ષણ જેવા ઊર્જા-વ્યય વગરના પ્રવાહ માટે છે. જો ઘર્ષણ હોય, તો તરલ આગળ વધતા દબાણ ઘટે છે. જેમ તરલનો વેગ વધે છે, તેમ ઘર્ષણ અને ઊર્જાનો વ્યય પણ વધે છે, કારણ કે પ્રવાહ અશાંત બની જાય છે.

🎯 Exam Tip: બર્નુલીના સિદ્ધાંતની મર્યાદાઓ અને ઊર્જા-વ્યય કરનારાં બળોની અસર સમજવી મહત્ત્વપૂર્ણ છે. પ્રવાહનો પ્રકાર (સ્તરીય કે પ્રક્ષુબ્ધ) અને તેની ઊર્જા પર થતી અસર પર ધ્યાન આપો.

 

Question 26.(a) વહન સ્તરીય જ રહે તે રીતે \( 2 \times 10^{-3} \text{m} \) ત્રિજ્યાની ધમનીમાંથી લોહીના વહનનો મહત્તમ સરેરાશ વેગ કેટલો હશે? (b) તેને અનુરૂપ વહન-દર કેટલો હશે? (લોહીની શ્યાનતા \( 2.084 \times 10^{-3} \text{ Pa s} \) લો.)
Answer:આપેલ છે: લોહીની ઘનતા \( \rho = 1.06 \times 10^3 \text{ kg m}^{-3} \) ધમનીની ત્રિજ્યા \( r = 2 \times 10^{-3} \text{ m} \) લોહીનો શ્યાનતા-ગુણાંક \( \eta = 2.084 \times 10^{-3} \text{ Pa s} \) ધારારેખી વહન માટે રેનોલ્ડ્સ નંબર \( \text{Re} = 2000 \) (a) ધારારેખી વહન માટે લોહીનો મહત્તમ સરેરાશ વેગ ક્રાંતિવેગથી વધુ હોવો ન જોઈએ. ક્રાંતિવેગ (\( v_c \)) માટેનું સૂત્ર: \[ v_c = \frac{\text{Re} \times \eta}{\rho \times D} \] જ્યાં \( D \) એ વ્યાસ છે, \( D = 2r \). \[ v_c = \frac{2000 \times 2.084 \times 10^{-3}}{1.06 \times 10^3 \times (2 \times 2 \times 10^{-3})} \] \[ v_c = \frac{4.168}{4.24} \] \[ v_c = 0.983 \text{ m s}^{-1} \] આથી, લોહીના વહનનો મહત્તમ સરેરાશ વેગ \( 0.983 \text{ m s}^{-1} \) હશે. (b) એકમ સમયમાં વહેતા લોહીનું કદ (\( Q \)): \[ Q = v_c \times \pi r^2 \] \[ Q = 0.983 \times 3.14 \times (2 \times 10^{-3})^2 \] \[ Q = 0.983 \times 3.14 \times 4 \times 10^{-6} \] \[ Q = 12.35 \times 10^{-6} \text{ m}^3 \text{ s}^{-1} \] \[ Q \approx 1.23 \times 10^{-5} \text{ m}^3 \text{ s}^{-1} \]
In simple words: લોહીનો પ્રવાહ ધમનીમાં સુચારુ રીતે (સ્તરીય પ્રવાહ) વહે તે માટે તેની એક મહત્તમ ઝડપ હોય છે. આ ઝડપ શ્યાનતા, ઘનતા અને ધમનીના વ્યાસ પર આધાર રાખે છે. આ ઝડપ પરથી પ્રતિ સેકન્ડ કેટલું લોહી વહે છે તે ગણી શકાય છે.

🎯 Exam Tip: રેનોલ્ડ્સ નંબરનું સૂત્ર, ક્રાંતિવેગની ગણતરી અને વહન-દર શોધવા માટેના સૂત્રો યાદ રાખવાં. એકમોની સાચી જાળવણી અને ગુણાકાર-ભાગાકારમાં ચોકસાઈ રાખવી જરૂરી છે.

 

Question 27.એક વિમાન અચળ ઝડપથી સમક્ષિતિજ ઉડ્ડયનમાં છે અને બેમાંની દરેક પાંખનું ક્ષેત્રફળ \( 25 \text{ m}^2 \) છે. જો પાંખની નીચેની સપાટીએ વેગ \( 180 \text{ km/h} \) અને ઉપરની સપાટીએ વેગ \( 234 \text{ km/h} \) હોય, તો વિમાનનું દળ શોધો. (હવાની ધનતા \( 1 \text{ kg m}^{-3} \) લો.)
Answer:આપેલ છે: હવાની ઘનતા \( \rho = 1.0 \text{ kg m}^{-3} \) પાંખોનું કુલ ક્ષેત્રફળ \( A = 2 \times 25 \text{ m}^2 = 50 \text{ m}^2 \) પાંખની નીચે હવાની ઝડપ \( v_1 = 180 \text{ km h}^{-1} \) આને મીટર પ્રતિ સેકન્ડમાં રૂપાંતરિત કરતા: \[ v_1 = \frac{180 \times 1000}{3600} = 50 \text{ m s}^{-1} \] પાંખની ઉપર હવાની ઝડપ \( v_2 = 234 \text{ km h}^{-1} \) આને મીટર પ્રતિ સેકન્ડમાં રૂપાંતરિત કરતા: \[ v_2 = \frac{234 \times 1000}{3600} = 65 \text{ m s}^{-1} \] જો પાંખોની નીચેની તરફનું દબાણ \( P_1 \) અને ઉપરની તરફનું દબાણ \( P_2 \) હોય, તો બર્નુલીના સમીકરણ અનુસાર (સમક્ષિતિજ વહન માટે \( h_1 = h_2 \) હોવાથી): \[ P_1 + \frac{1}{2} \rho v_1^2 = P_2 + \frac{1}{2} \rho v_2^2 \] દબાણનો તફાવત \( P_1 - P_2 = \frac{1}{2} \rho (v_2^2 - v_1^2) \) \[ P_1 - P_2 = \frac{1}{2} \times 1 \times (65^2 - 50^2) \] \[ P_1 - P_2 = \frac{1}{2} \times 1 \times (4225 - 2500) \] \[ P_1 - P_2 = \frac{1}{2} \times 1725 \] \[ P_1 - P_2 = 862.5 \text{ Pa} \] પાંખો પર ઊર્ધ્વગામી બળ (લિફ્ટ) \( F = (P_1 - P_2) \times A \) \[ F = 862.5 \times 50 \] \[ F = 43125 \text{ N} \] વિમાન સમક્ષિતિજ ઉડ્ડયનમાં હોવાથી, આ ઊર્ધ્વગામી બળ વિમાનના વજનબળ (\( mg \)) દ્વારા સંતુલિત થાય છે. આથી, \( mg = F \) \[ m = \frac{F}{g} \] \[ m = \frac{43125}{9.8} \] \[ m = 4400.5 \text{ kg} \] \[ m \approx 4401 \text{ kg} \]
In simple words: વિમાનની પાંખો પરનો ઊર્ધ્વગામી ધક્કો બર્નુલીના સિદ્ધાંત મુજબ ઉદ્ભવે છે, જ્યાં પાંખની ઉપરની અને નીચેની સપાટી પર હવાના વેગમાં તફાવત દબાણનો તફાવત સર્જે છે. આ દબાણનો તફાવત વિમાનને હવામાં તરતું રાખવા માટે પૂરતું બળ પૂરું પાડે છે, જેના આધારે વિમાનનું દળ શોધી શકાય છે.

🎯 Exam Tip: બર્નુલીના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરીને દબાણનો તફાવત ગણવો અને તેને કુલ ઊર્ધ્વગામી બળમાં રૂપાંતરિત કરવું મહત્ત્વપૂર્ણ છે. ઝડપના એકમોને \(\text{km/h}\) માંથી \(\text{m/s}\) માં યોગ્ય રીતે રૂપાંતરિત કરવાનું ભૂલશો નહીં.

 

Question 28.મિલિકનના ઑઇલ ડ્રોપ પ્રયોગમાં \( 2.0 \times 10^{-5} \text{m} \) ત્રિજ્યા અને \( 1.2 \times 10^3 \text{ kg m}^{-3} \) ઘનતા ધરાવતા બુંદ(Drop)નો અંતિમ (Terminal) વેગ કેટલો હશે? પ્રયોગના તાપમાને હવાની શ્યાનતા \( 1.8 \times 10^{-5} \text{ Pa s} \) લો. તે ઝડપે બુંદ પરનું શ્યાનતા બળ કેટલું હશે? (હવાને લીધે બુંદનું ઉત્પ્લાવન અવગણો.)
Answer:આપેલ છે: ઑઇલની ઘનતા \( \rho = 1.2 \times 10^3 \text{ kg m}^{-3} \) હવાની ઘનતા \( \sigma = 0 \) (કારણ કે ઉત્પ્લાવન અવગણવામાં આવે છે.) બુંદની ત્રિજ્યા \( a = 2 \times 10^{-5} \text{ m} \) ઑઇલનો શ્યાનતા-ગુણાંક \( \eta = 1.8 \times 10^{-5} \text{ Pa s} \) સ્ટોક્સના નિયમ પરથી ટર્મિનલ વેગ (\( v_t \)) શોધવા માટેનું સૂત્ર: \[ v_t = \frac{2}{9} \frac{a^2 g (\rho - \sigma)}{\eta} \] \[ v_t = \frac{2 \times (2 \times 10^{-5})^2 \times 9.8 \times (1.2 \times 10^3 - 0)}{9 \times 1.8 \times 10^{-5}} \] \[ v_t = \frac{2 \times 4 \times 10^{-10} \times 9.8 \times 1.2 \times 10^3}{16.2 \times 10^{-5}} \] \[ v_t = \frac{94.08 \times 10^{-7}}{16.2 \times 10^{-5}} \] \[ v_t = 5.807 \times 10^{-2} \text{ m s}^{-1} \] \[ v_t \approx 5.8 \text{ cm s}^{-1} \] બુંદ પર લાગતું શ્યાનતા બળ (\( F \)): \[ F = 6 \pi \eta a v_t \] \[ F = 6 \times 3.14 \times 1.8 \times 10^{-5} \times 2 \times 10^{-5} \times 5.807 \times 10^{-2} \] \[ F = 393.34 \times 10^{-12} \text{ N} \] \[ F \approx 3.93 \times 10^{-10} \text{ N} \]
In simple words: મિલિકનનો ઓઇલ ડ્રોપ પ્રયોગ બુંદના ટર્મિનલ વેગની ગણતરી માટે સ્ટોક્સના નિયમનો ઉપયોગ કરે છે. આ વેગ બુંદની ત્રિજ્યા, ઘનતા, પ્રવાહીની શ્યાનતા અને ગુરુત્વાકર્ષણ પર આધાર રાખે છે. તે જ સમયે, બુંદ પર શ્યાનતા બળ પણ લાગે છે.

🎯 Exam Tip: સ્ટોક્સના નિયમનું સૂત્ર અને શ્યાનતા બળનું સૂત્ર યાદ રાખવાં. આ પ્રયોગમાં ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ (\(g\)) અને ઘનતાના તફાવતની યોગ્ય રીતે ગણતરી કરવી મહત્ત્વપૂર્ણ છે.

 

Question 29.પારાનો સોડાલાઇમ કાચ સાથેનો સંપર્કકોણ \( 140^\circ \) છે. આવા કાચની \( 1.00 \text{ mm} \) ત્રિજ્યાની એક પાતળી નળી પારો ભરેલા પાત્રમાં બોળેલી છે. બહારની પ્રવાહી સપાટીની સાપેક્ષે નળીમાં પારો કેટલા પ્રમાણમાં નીચે ઊતરશે? પ્રયોગના તાપમાને પારાનું પૃષ્ઠતાણ \( 0.465 \text{ N m}^{-1} \) છે. પારાની ઘનતા \( = 13.6 \times 10^3 \text{ kg m}^{-3} \).
Answer:આપેલ છે: સંપર્કકોણ \( \theta = 140^\circ \) નળીની ત્રિજ્યા \( a = 1 \text{ mm} = 1 \times 10^{-3} \text{ m} \) પૃષ્ઠતાણ \( S = 0.465 \text{ N m}^{-1} \) પારાની ઘનતા \( \rho = 13.6 \times 10^3 \text{ kg m}^{-3} \) ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ \( g = 9.8 \text{ m s}^{-2} \) કેશનળીમાં પ્રવાહીની ઊંચાઈ (\( h \)) માટેનું સૂત્ર: \[ h = \frac{2 S \cos \theta}{a \rho g} \] \[ h = \frac{2 \times 0.465 \times \cos 140^\circ}{(1 \times 10^{-3}) \times (13.6 \times 10^3) \times 9.8} \] અહીં, \( \cos 140^\circ = -0.766 \) \[ h = \frac{2 \times 0.465 \times (-0.766)}{133.28} \] \[ h = \frac{-0.71314}{133.28} \] \[ h = -0.00535 \text{ m} \] \[ h = -5.35 \times 10^{-3} \text{ m} \] \[ h = -5.35 \text{ mm} \] ઋણ નિશાની સૂચવે છે કે પારો સાંકડી નળીમાં ઉપર ચડવાને બદલે \( 5.35 \text{ mm} \) જેટલો નીચે ઊતરશે.
In simple words: પારા અને કાચ વચ્ચેના ઉચ્ચ સંપર્કકોણ (140°) ને કારણે પારો કાચની કેશનળીમાં ઉપર ચડવાને બદલે નીચે ઉતરે છે. પૃષ્ઠતાણ અને ઘનતાના આધારે કેટલો પારો નીચે ઊતરશે તે ગણી શકાય છે.

🎯 Exam Tip: કેશનળીની ઊંચાઈ અથવા નીચાઈના સૂત્રમાં \(\cos \theta \) ના ચિહ્નની યોગ્ય ગણતરી કરવી નિર્ણાયક છે. સંપર્કકોણ \( \theta > 90^\circ \) હોય ત્યારે પારો નીચે ઊતરે છે, અને \( \cos \theta \) નકારાત્મક હોય છે.

 

Question 30.\( 3.0 \text{ mm} \) અને \( 6.0 \text{ mm} \) વ્યાસનાં બે નાનાં છિદ્રો એકબીજા સાથે જોડીને એક U-ટ્યૂબ રચેલ છે, જે બંને છેડે ખુલ્લી છે. જો U-ટ્યૂબમાં પાણી રાખેલ હોય, તો ટ્યૂબના બે ભુજમાં સપાટીઓ વચ્ચેનો તફાવત કેટલો હશે? પ્રયોગના તાપમાને પાણીનું પૃષ્ઠતાણ \( 7.3 \times 10^{-2} \text{N m}^{-1} \) છે. સંપર્કકોણ શૂન્ય અને પાણીની ઘનતા \( 1.0 \times 10^3 \text{kgm}^{-3} \) લો. (\( g = 9.8 \text{ m s}^{-2} \))
Answer:આપેલ છે: પાણીનું પૃષ્ઠતાણ \( S = 7.3 \times 10^{-2} \text{ N m}^{-1} \) પાણીની ઘનતા \( \rho = 1 \times 10^3 \text{ kg m}^{-3} \) સંપર્કકોણ \( \theta = 0^\circ \) (\( \cos 0^\circ = 1 \)) ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ \( g = 9.8 \text{ m s}^{-2} \) \( 3.0 \text{ mm} \) વ્યાસની ટ્યૂબ માટે: ટ્યૂબની ત્રિજ્યા \( a_1 = \frac{3 \text{ mm}}{2} = 1.5 \text{ mm} = 1.5 \times 10^{-3} \text{ m} \) ધારો કે, આ ટ્યૂબમાં પાણી \( h_1 \) ઊંચાઈ સુધી ચડે છે. \[ h_1 = \frac{2 S \cos \theta}{a_1 \rho g} \] \[ h_1 = \frac{2 \times 7.3 \times 10^{-2} \times \cos 0^\circ}{1.5 \times 10^{-3} \times 1 \times 10^3 \times 9.8} \] \[ h_1 = \frac{2 \times 7.3 \times 10^{-2} \times 1}{1.5 \times 9.8} \] \[ h_1 = \frac{0.146}{14.7} \] \[ h_1 = 0.00993 \text{ m} \] \[ h_1 = 9.93 \text{ mm} \] \( 6.0 \text{ mm} \) વ્યાસની ટ્યૂબ માટે: ટ્યૂબની ત્રિજ્યા \( a_2 = \frac{6 \text{ mm}}{2} = 3 \text{ mm} = 3 \times 10^{-3} \text{ m} \) ધારો કે, આ ટ્યૂબમાં પાણી \( h_2 \) ઊંચાઈ સુધી ચડે છે. \[ h_2 = \frac{2 S \cos \theta}{a_2 \rho g} \] \[ h_2 = \frac{2 \times 7.3 \times 10^{-2} \times \cos 0^\circ}{3 \times 10^{-3} \times 1 \times 10^3 \times 9.8} \] \[ h_2 = \frac{0.146}{3 \times 9.8} \] \[ h_2 = \frac{0.146}{29.4} \] \[ h_2 = 0.00496 \text{ m} \] \[ h_2 = 4.96 \text{ mm} \] બંને ટ્યૂબમાં પાણીની સપાટીઓ વચ્ચેનો તફાવત: \[ \Delta h = h_1 - h_2 \] \[ \Delta h = 9.93 \text{ mm} - 4.96 \text{ mm} \] \[ \Delta h = 4.97 \text{ mm} \] \[ \Delta h \approx 5 \text{ mm} \]
In simple words: કેશનળીમાં પ્રવાહી ઉપર ચડે છે અને આ ચડવાની ઊંચાઈ નળીની ત્રિજ્યા પર આધાર રાખે છે. નાની ત્રિજ્યાવાળી નળીમાં પાણી વધુ ઊંચું ચડે છે. તેથી, બે જુદી-જુદી ત્રિજ્યાવાળી નળીઓમાં પાણીની સપાટીઓ વચ્ચે તફાવત જોવા મળશે.

🎯 Exam Tip: કેશનળીની ઊંચાઈના સૂત્ર \( h = \frac{2 S \cos \theta}{a \rho g} \) નો ઉપયોગ કરતી વખતે, દરેક નળી માટે ત્રિજ્યાને ધ્યાનથી દાખલ કરવી અને છેલ્લે ઊંચાઈના તફાવતની ગણતરી કરવી. \(\cos 0^\circ = 1\) ધ્યાનમાં રાખવું.

 

Question 31.(a) એ જાણીતું છે કે હવાની ઘનતા \( \rho \), ઊંચાઈ \( y \) સાથે \( \rho = \rho_0 e^{-y/y_0} \) મુજબ ઘટે છે. જ્યાં \( \rho_0 = 1.25 \text{ kg m}^{-3} \) એ દરિયાની સપાટી આગળ ઘનતા છે અને \( y_0 \) એ અચળાંક છે. ઘનતાના આ ફેરફારને વાતાવરણનો નિયમ કહે છે. વાતાવરણનું તાપમાન અચળ ધારીને (સમતાપી સ્થિતિ) આ નિયમ તારવો. \( g \) નું મૂલ્ય પણ અચળ ધારો. (b) \( 400 \text{ kg} \) નો પોષ (Payload) ઊંચકવા માટે \( 1425 \text{ m}^3 \) કદનું મોટું He બલૂન વપરાય છે. બલૂન ઊંચે ચડે તેમ ત્રિજ્યાને અચળ રાખતું ધારી લો. તે કેટલું ઊંચે ચડશે? (\( y_0 = 8000 \text{ m} \) અને \( \rho_{He} = 0.18 \text{ kgm}^{-3} \))
Answer:(a) ધારો કે, દરિયાની સપાટીથી \( y \) ઊંચાઈએ હવાની ઘનતા \( \rho \) છે. ઊંચાઈ સાથે ઘનતાના ઘટાડાનો દર તે ઊંચાઈએ ઘનતાના સમપ્રમાણમાં છે. \[ \frac{d\rho}{dy} \propto -\rho \] \[ \frac{d\rho}{dy} = -k\rho \] જ્યાં, \( k \) એક અચળાંક છે. ઋણ ચિહ્ન દર્શાવે છે કે ઊંચાઈ વધતા હવાની ઘનતા ઘટે છે. સમીકરણને નીચે મુજબ લખી શકાય: \[ \frac{d\rho}{\rho} = -k dy \] ઊંચાઈ 0 થી \( y \) સુધી અને ઘનતા \( \rho_0 \) થી \( \rho \) સુધી સંકલન કરતા: \[ \int_{\rho_0}^{\rho} \frac{d\rho}{\rho} = \int_{0}^{y} -k dy \] \[ [\ln \rho]_{\rho_0}^{\rho} = -k [y]_{0}^{y} \] \[ \ln \rho - \ln \rho_0 = -ky \] \[ \ln \left(\frac{\rho}{\rho_0}\right) = -ky \] \[ \frac{\rho}{\rho_0} = e^{-ky} \] \[ \rho = \rho_0 e^{-ky} \] આ સમીકરણને આપેલ સૂત્ર \( \rho = \rho_0 e^{-y/y_0} \) સાથે સરખાવતા, આપણે મેળવી શકીએ કે \( k = 1/y_0 \). આથી, \( \rho = \rho_0 e^{-y/y_0} \). (b) બલૂન તેટલી ઊંચાઈએ જઈ શકશે જ્યાં બલૂનની ઘનતા હવાની ઘનતા જેટલી હશે. બલૂનનું કદ \( V = 1425 \text{ m}^3 \) બલૂનમાં He વાયુનું દળ \( = 1425 \text{ m}^3 \times 0.18 \text{ kg m}^{-3} = 256.5 \text{ kg} \) બલૂનનું Payload સાથેનું કુલ દળ \( M = 400 \text{ kg} + 256.5 \text{ kg} = 656.5 \text{ kg} \) બલૂનની ઘનતા \( \rho_{\text{balloon}} = \frac{M}{V} = \frac{656.5}{1425} = 0.46 \text{ kg m}^{-3} \) આપેલ છે કે \( y_0 = 8000 \text{ m} \) અને દરિયાઈ સપાટી પર હવાની ઘનતા \( \rho_0 = 1.25 \text{ kg m}^{-3} \). જ્યારે બલૂન સંતુલન અવસ્થામાં હોય, ત્યારે બલૂનની ઘનતા હવાના તે સ્તરની ઘનતા જેટલી થશે, એટલે કે \( \rho = \rho_{\text{balloon}} = 0.46 \text{ kg m}^{-3} \). હવે, \( \rho = \rho_0 e^{-y/y_0} \) સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: \[ 0.46 = 1.25 \times e^{-y/8000} \] \[ e^{-y/8000} = \frac{0.46}{1.25} \] \[ e^{-y/8000} = 0.368 \] બંને બાજુએ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા: \[ \frac{-y}{8000} = \ln(0.368) \] \[ \frac{-y}{8000} = -0.999 \approx -1 \] \[ y = 8000 \times 1 \] \[ y = 8000 \text{ m} \] \[ y = 8.0 \text{ km} \] આથી, બલૂન આશરે 8.0 km ઊંચાઈ સુધી ચડશે.
In simple words: હવાની ઘનતા ઊંચાઈ સાથે ઘટે છે, જેને એક ગાણિતિક સૂત્રથી દર્શાવવામાં આવે છે. બલૂન ત્યારે તરતું રહે છે જ્યાં તેની કુલ ઘનતા આસપાસની હવાની ઘનતા જેટલી હોય. આ સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરીને બલૂન કેટલી ઊંચાઈ સુધી પહોંચશે તે ગણી શકાય છે.

🎯 Exam Tip: ઘનતાના સમીકરણ \( \rho = \rho_0 e^{-y/y_0} \) નો ઉપયોગ કરીને ઊંચાઈની ગણતરી કરવી. લોગેરિધમનો યોગ્ય ઉપયોગ અને He બલૂનના કુલ દળની ગણતરીમાં ચોકસાઈ રાખવી.