GSEB Class 11 Maths Solutions Chapter 8 દ્વિપદી પ્રમેય Exercise 8.1

પ્રશ્ન 1થી 5ની અભિવ્યક્તિઓનું વિસ્તરણ કરોઃ

Question 1. \( (1 – 2x)^5 \)
Answer: આપણે \( (1 – 2x)^5 \) ને \( (a + b)^n \) સાથે સરખાવીએ છીએ. અહીં \( a = 1 \), \( b = -2x \), અને \( n = 5 \). આ કિંમતોને દ્વિપદી પ્રમેયમાં મુકતા, આપણને મળે છે:
\( (1 - 2x)^5 = \binom{5}{0}(1)^5(-2x)^0 + \binom{5}{1}(1)^4(-2x)^1 + \binom{5}{2}(1)^3(-2x)^2 + \binom{5}{3}(1)^2(-2x)^3 + \binom{5}{4}(1)^1(-2x)^4 + \binom{5}{5}(1)^0(-2x)^5 \)
\( = 1 \cdot 1 \cdot 1 + 5 \cdot 1 \cdot (-2x) + 10 \cdot 1 \cdot (4x^2) + 10 \cdot 1 \cdot (-8x^3) + 5 \cdot 1 \cdot (16x^4) + 1 \cdot 1 \cdot (-32x^5) \)
\( = 1 - 10x + 40x^2 - 80x^3 + 80x^4 - 32x^5 \)
In simple words: આપણે \( (1 - 2x)^5 \) ને દ્વિપદી પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને વિસ્તૃત કરીએ છીએ. આપણે \( a=1 \), \( b=-2x \), અને \( n=5 \) મૂકીએ છીએ, પછી પદોની ગણતરી કરીએ છીએ અને સરળ બનાવીએ છીએ જેથી અંતિમ જવાબ \( 1 - 10x + 40x^2 - 80x^3 + 80x^4 - 32x^5 \) મળે.

Exam Tip: દ્વિપદી પ્રમેય લાગુ કરતી વખતે, ગુણાંક, ઘાત અને ચિહ્નોની કાળજીપૂર્વક ગણતરી કરવી મહત્વપૂર્ણ છે, ખાસ કરીને નકારાત્મક પદો સાથે વ્યવહાર કરતી વખતે.

Question 2. \( \left(\frac{x}{2} - \frac{2}{x}\right)^5 \)
Answer: આપણે \( \left(\frac{x}{2} - \frac{2}{x}\right)^5 \) ને \( (a + b)^n \) સાથે સરખાવીએ છીએ. અહીં \( a = \frac{x}{2} \), \( b = -\frac{2}{x} \), અને \( n = 5 \). આ કિંમતોને દ્વિપદી પ્રમેયમાં મુકતા, આપણને મળે છે:
\( \left(\frac{x}{2} - \frac{2}{x}\right)^5 = \binom{5}{0}\left(\frac{x}{2}\right)^5\left(-\frac{2}{x}\right)^0 + \binom{5}{1}\left(\frac{x}{2}\right)^4\left(-\frac{2}{x}\right)^1 + \binom{5}{2}\left(\frac{x}{2}\right)^3\left(-\frac{2}{x}\right)^2 + \binom{5}{3}\left(\frac{x}{2}\right)^2\left(-\frac{2}{x}\right)^3 + \binom{5}{4}\left(\frac{x}{2}\right)^1\left(-\frac{2}{x}\right)^4 + \binom{5}{5}\left(\frac{x}{2}\right)^0\left(-\frac{2}{x}\right)^5 \)
\( = 1 \cdot \frac{x^5}{32} \cdot 1 + 5 \cdot \frac{x^4}{16} \cdot \left(-\frac{2}{x}\right) + 10 \cdot \frac{x^3}{8} \cdot \frac{4}{x^2} + 10 \cdot \frac{x^2}{4} \cdot \left(-\frac{8}{x^3}\right) + 5 \cdot \frac{x}{2} \cdot \frac{16}{x^4} + 1 \cdot 1 \cdot \left(-\frac{32}{x^5}\right) \)
\( = \frac{x^5}{32} - \frac{10x^3}{16} + \frac{40x}{8} - \frac{80}{4x} + \frac{80}{2x^3} - \frac{32}{x^5} \)
\( = \frac{x^5}{32} - \frac{5x^3}{8} + 5x - \frac{20}{x} + \frac{40}{x^3} - \frac{32}{x^5} \)
In simple words: આપણે દ્વિપદી પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને \( \left(\frac{x}{2} - \frac{2}{x}\right)^5 \) ને વિસ્તૃત કરીએ છીએ. અહીં \( a = x/2 \), \( b = -2/x \), અને \( n = 5 \) લઈને પદોની ગણતરી કરીએ છીએ અને ઘાતાંક અને ગુણાકારના નિયમો લાગુ કરીને સરળ બનાવીએ છીએ.

Exam Tip: જ્યારે અપૂર્ણાંકવાળા પદો સાથે કામ કરો, ત્યારે ગુણાકાર અને ભાગાકાર કરતી વખતે ઘાતાંકોનું ધ્યાન રાખો જેથી ભૂલો ટાળી શકાય.

Question 3. \( (2x - 3)^6 \)
Answer: આપણે \( (2x - 3)^6 \) ને \( (a + b)^n \) સાથે સરખાવીએ છીએ. અહીં \( a = 2x \), \( b = -3 \), અને \( n = 6 \). આ કિંમતોને દ્વિપદી પ્રમેયમાં મુકતા, આપણને મળે છે:
\( (2x - 3)^6 = \binom{6}{0}(2x)^6(-3)^0 + \binom{6}{1}(2x)^5(-3)^1 + \binom{6}{2}(2x)^4(-3)^2 + \binom{6}{3}(2x)^3(-3)^3 + \binom{6}{4}(2x)^2(-3)^4 + \binom{6}{5}(2x)^1(-3)^5 + \binom{6}{6}(2x)^0(-3)^6 \)
\( = 1 \cdot (64x^6) \cdot 1 + 6 \cdot (32x^5) \cdot (-3) + 15 \cdot (16x^4) \cdot (9) + 20 \cdot (8x^3) \cdot (-27) + 15 \cdot (4x^2) \cdot (81) + 6 \cdot (2x) \cdot (-243) + 1 \cdot 1 \cdot (729) \)
\( = 64x^6 - 576x^5 + 2160x^4 - 4320x^3 + 4860x^2 - 2916x + 729 \)
In simple words: આપણે \( (2x - 3)^6 \) ને દ્વિપદી પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને વિસ્તૃત કરીએ છીએ. \( a=2x \), \( b=-3 \), અને \( n=6 \) મૂકીને, આપણે ગુણાંક અને ઘાતની ગણતરી કરીએ છીએ અને પછી બધા પદોને ભેગા કરીને સરળ બનાવીએ છીએ.

Exam Tip: ઉચ્ચ ઘાત માટે વિસ્તરણ કરતી વખતે, બાઈનોમિયલ ગુણાંકની કાળજીપૂર્વક ગણતરી કરો અને દરેક પદ માટે યોગ્ય ચિહ્ન જાળવી રાખો.

Question 4. \( \left(\frac{x}{3}+\frac{1}{x}\right)^5 \)
Answer: આપણે \( \left(\frac{x}{3}+\frac{1}{x}\right)^5 \) ને \( (a + b)^n \) સાથે સરખાવીએ છીએ. અહીં \( a = \frac{x}{3} \), \( b = \frac{1}{x} \), અને \( n = 5 \). આ કિંમતોને દ્વિપદી પ્રમેયમાં મુકતા, આપણને મળે છે:
\( \left(\frac{x}{3} + \frac{1}{x}\right)^5 = \binom{5}{0}\left(\frac{x}{3}\right)^5\left(\frac{1}{x}\right)^0 + \binom{5}{1}\left(\frac{x}{3}\right)^4\left(\frac{1}{x}\right)^1 + \binom{5}{2}\left(\frac{x}{3}\right)^3\left(\frac{1}{x}\right)^2 + \binom{5}{3}\left(\frac{x}{3}\right)^2\left(\frac{1}{x}\right)^3 + \binom{5}{4}\left(\frac{x}{3}\right)^1\left(\frac{1}{x}\right)^4 + \binom{5}{5}\left(\frac{x}{3}\right)^0\left(\frac{1}{x}\right)^5 \)
\( = 1 \cdot \frac{x^5}{243} \cdot 1 + 5 \cdot \frac{x^4}{81} \cdot \frac{1}{x} + 10 \cdot \frac{x^3}{27} \cdot \frac{1}{x^2} + 10 \cdot \frac{x^2}{9} \cdot \frac{1}{x^3} + 5 \cdot \frac{x}{3} \cdot \frac{1}{x^4} + 1 \cdot 1 \cdot \frac{1}{x^5} \)
\( = \frac{x^5}{243} + \frac{5x^3}{81} + \frac{10x}{27} + \frac{10}{9x} + \frac{5}{3x^3} + \frac{1}{x^5} \)
In simple words: આપણે \( (x/3 + 1/x)^5 \) ને દ્વિપદી પ્રમેય દ્વારા વિસ્તૃત કરીએ છીએ. અહીં \( a=x/3 \), \( b=1/x \), અને \( n=5 \) લઈને, આપણે દરેક પદની ગણતરી કરીએ છીએ, ઘાતાંકને સરળ બનાવીએ છીએ અને તેમને ભેગા કરીએ છીએ.

Exam Tip: જ્યારે ઘાતાંકવાળા પદોને સરળ બનાવો, ત્યારે ખાતરી કરો કે x ના ઘાતાંકોને યોગ્ય રીતે ઉમેરો અથવા બાદ કરો.

Question 5. \( \left(x+\frac{1}{x}\right)^6 \)
Answer: આપણે \( \left(x+\frac{1}{x}\right)^6 \) ને \( (a + b)^n \) સાથે સરખાવીએ છીએ. અહીં \( a = x \), \( b = \frac{1}{x} \), અને \( n = 6 \). આ કિંમતોને દ્વિપદી પ્રમેયમાં મુકતા, આપણને મળે છે:
\( \left(x+\frac{1}{x}\right)^6 = \binom{6}{0}x^6\left(\frac{1}{x}\right)^0 + \binom{6}{1}x^5\left(\frac{1}{x}\right)^1 + \binom{6}{2}x^4\left(\frac{1}{x}\right)^2 + \binom{6}{3}x^3\left(\frac{1}{x}\right)^3 + \binom{6}{4}x^2\left(\frac{1}{x}\right)^4 + \binom{6}{5}x^1\left(\frac{1}{x}\right)^5 + \binom{6}{6}x^0\left(\frac{1}{x}\right)^6 \)
\( = 1 \cdot x^6 \cdot 1 + 6 \cdot x^5 \cdot \frac{1}{x} + 15 \cdot x^4 \cdot \frac{1}{x^2} + 20 \cdot x^3 \cdot \frac{1}{x^3} + 15 \cdot x^2 \cdot \frac{1}{x^4} + 6 \cdot x \cdot \frac{1}{x^5} + 1 \cdot 1 \cdot \frac{1}{x^6} \)
\( = x^6 + 6x^4 + 15x^2 + 20 + \frac{15}{x^2} + \frac{6}{x^4} + \frac{1}{x^6} \)
In simple words: આપણે \( (x + 1/x)^6 \) ને દ્વિપદી પ્રમેયની મદદથી વિસ્તૃત કરીએ છીએ. અહીં \( a=x \), \( b=1/x \), અને \( n=6 \) મૂકીને, આપણે દરેક પદનો ગુણાકાર કરીએ છીએ અને x ની ઘાતને યોગ્ય રીતે સંયોજિત કરીને સરળ બનાવીએ છીએ.

Exam Tip: x અને \( 1/x \) ના ઘાતાંકો રદ કરીને અથવા સંયોજિત કરીને દરેક પદમાં x ના યોગ્ય ઘાતાંકનું ધ્યાન રાખો.

દ્વિપદી પ્રમેયનો ઉપયોગ કરી, નીચેનાની કિંમત શોધો : (પ્રશ્ન 6થી 9)

Question 6. \( (96)^3 \)
Answer: આપણે \( (96)^3 \) ને \( (100 - 4)^3 \) તરીકે લખી શકીએ છીએ, જેને \( (100 + (-4))^3 \) પણ કહી શકાય. દ્વિપદી પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા, આપણને મળે છે:
\( (96)^3 = (100 - 4)^3 = \binom{3}{0}(100)^3(-4)^0 + \binom{3}{1}(100)^2(-4)^1 + \binom{3}{2}(100)^1(-4)^2 + \binom{3}{3}(100)^0(-4)^3 \)
\( = 1 \cdot (10^6) \cdot 1 + 3 \cdot (10^4) \cdot (-4) + 3 \cdot (10^2) \cdot (16) + 1 \cdot 1 \cdot (-64) \)
\( = 1000000 - 120000 + 4800 - 64 \)
\( = 884736 \)
In simple words: \( (96)^3 \) શોધવા માટે, આપણે તેને \( (100 - 4)^3 \) તરીકે લખીએ છીએ. પછી, આપણે દ્વિપદી પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને તેને વિસ્તૃત કરીએ છીએ, બધા પદોનો સરવાળો અને બાદબાકી કરીને અંતિમ જવાબ 884736 મેળવીએ છીએ.

Exam Tip: જ્યારે મોટી સંખ્યાઓની ઘાત શોધો, ત્યારે તેને નજીકની 10 ની ઘાતમાં વિભાજીત કરીને (જેમ કે 100 - 4), ગણતરીને સરળ બનાવવા માટે દ્વિપદી પ્રમેયનો ઉપયોગ કરો.

Question 7. \( (102)^5 \)
Answer: આપણે \( (102)^5 \) ને \( (100 + 2)^5 \) તરીકે લખી શકીએ છીએ. દ્વિપદી પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા, આપણને મળે છે:
\( (102)^5 = (100 + 2)^5 = \binom{5}{0}(100)^5(2)^0 + \binom{5}{1}(100)^4(2)^1 + \binom{5}{2}(100)^3(2)^2 + \binom{5}{3}(100)^2(2)^3 + \binom{5}{4}(100)^1(2)^4 + \binom{5}{5}(100)^0(2)^5 \)
\( = 1 \cdot (10^{10}) \cdot 1 + 5 \cdot (10^8) \cdot 2 + 10 \cdot (10^6) \cdot 4 + 10 \cdot (10^4) \cdot 8 + 5 \cdot (10^2) \cdot 16 + 1 \cdot 1 \cdot 32 \)
\( = 10000000000 + 1000000000 + 40000000 + 800000 + 8000 + 32 \)
\( = 11040808032 \)
In simple words: \( (102)^5 \) શોધવા માટે, આપણે તેને \( (100 + 2)^5 \) તરીકે લખીએ છીએ. પછી, આપણે દ્વિપદી પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને દરેક પદનું વિસ્તરણ અને ગણતરી કરીએ છીએ, અને બધા પદોનો સરવાળો કરીને અંતિમ જવાબ 11040808032 મેળવીએ છીએ.

Exam Tip: દ્વિપદી વિસ્તરણ કરતી વખતે મોટી સંખ્યાઓની શક્તિઓ સાથે કામ કરતી વખતે ઝીરોની સંખ્યાનું ધ્યાન રાખો.

Question 8. \( (101)^4 \)
Answer: આપણે \( (101)^4 \) ને \( (100 + 1)^4 \) તરીકે લખી શકીએ છીએ. દ્વિપદી પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા, આપણને મળે છે:
\( (101)^4 = (100 + 1)^4 = \binom{4}{0}(100)^4(1)^0 + \binom{4}{1}(100)^3(1)^1 + \binom{4}{2}(100)^2(1)^2 + \binom{4}{3}(100)^1(1)^3 + \binom{4}{4}(100)^0(1)^4 \)
\( = 1 \cdot (10^8) \cdot 1 + 4 \cdot (10^6) \cdot 1 + 6 \cdot (10^4) \cdot 1 + 4 \cdot (10^2) \cdot 1 + 1 \cdot 1 \cdot 1 \)
\( = 100000000 + 4000000 + 60000 + 400 + 1 \)
\( = 104060401 \)
In simple words: \( (101)^4 \) શોધવા માટે, આપણે તેને \( (100 + 1)^4 \) તરીકે લખીએ છીએ. દ્વિપદી પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને દરેક પદનું વિસ્તરણ અને ગણતરી કરીએ છીએ, અને બધા પદોનો સરવાળો કરીને અંતિમ જવાબ 104060401 મેળવીએ છીએ.

Exam Tip: દ્વિપદી ગુણાંકોને યાદ રાખવું અથવા ગણતરી કરવી અને 10 ના પાવર સાથે ગુણાકાર કરતી વખતે યોગ્ય સ્થાન કિંમત જાળવી રાખવી મહત્વપૂર્ણ છે.

Question 9. \( (99)^5 \)
Answer: આપણે \( (99)^5 \) ને \( (100 - 1)^5 \) તરીકે લખી શકીએ છીએ, જેને \( (100 + (-1))^5 \) પણ કહી શકાય. દ્વિપદી પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા, આપણને મળે છે:
\( (99)^5 = (100 - 1)^5 = \binom{5}{0}(100)^5(-1)^0 + \binom{5}{1}(100)^4(-1)^1 + \binom{5}{2}(100)^3(-1)^2 + \binom{5}{3}(100)^2(-1)^3 + \binom{5}{4}(100)^1(-1)^4 + \binom{5}{5}(100)^0(-1)^5 \)
\( = 1 \cdot (10^{10}) \cdot 1 + 5 \cdot (10^8) \cdot (-1) + 10 \cdot (10^6) \cdot 1 + 10 \cdot (10^4) \cdot (-1) + 5 \cdot (10^2) \cdot 1 + 1 \cdot 1 \cdot (-1) \)
\( = 10000000000 - 500000000 + 10000000 - 100000 + 500 - 1 \)
\( = 9509900499 \)
In simple words: \( (99)^5 \) શોધવા માટે, આપણે તેને \( (100 - 1)^5 \) તરીકે લખીએ છીએ. દ્વિપદી પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને, આપણે દરેક પદનું વિસ્તરણ કરીએ છીએ, નકારાત્મક ચિહ્નોનું ધ્યાન રાખીએ છીએ, અને બધા પદોનો સરવાળો અને બાદબાકી કરીને 9509900499 નો અંતિમ જવાબ મેળવીએ છીએ.

Exam Tip: દ્વિપદી વિસ્તરણમાં નકારાત્મક પદો સાથે કામ કરતી વખતે, ગુણાકારના પરિણામે પદોનું ચિહ્ન યોગ્ય રીતે બદલાય છે તેની ખાતરી કરો.

Question 10. દ્વિપદી પ્રમેયનો ઉપયોગ કરી, \( (1.1)^{10000} \) અથવા 1000 પૈકી કઈ સંખ્યા મોટી છે, તે નક્કી કરો.
Answer: આપણે \( (1.1)^{10000} \) ને \( (1 + 0.1)^{10000} \) તરીકે લખી શકીએ છીએ. દ્વિપદી પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને, આપણે આનું વિસ્તરણ કરીએ છીએ:
\( (1 + 0.1)^{10000} = \binom{10000}{0}(1)^{10000}(0.1)^0 + \binom{10000}{1}(1)^{9999}(0.1)^1 + \text{બાકીના ધન પદો} \)
\( = 1 \cdot 1 \cdot 1 + 10000 \cdot 1 \cdot 0.1 + \text{બાકીના ધન પદો} \)
\( = 1 + 1000 + \text{બાકીના ધન પદો} \)
કારણ કે બાકીના પદો બધા ધન છે, તેથી,
\( (1.1)^{10000} = 1 + 1000 + \text{ધન પદોનો સરવાળો} > 1000 \).
તેથી, \( (1.1)^{10000} \) એ 1000 કરતાં મોટી સંખ્યા છે.
In simple words: આપણે \( (1.1)^{10000} \) ને \( (1 + 0.1)^{10000} \) તરીકે લખીએ છીએ. દ્વિપદી પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને, આપણે વિસ્તરણ કરીએ છીએ અને જોઈએ છીએ કે પ્રથમ બે પદોનો સરવાળો 1 + 1000 = 1001 થાય છે. બાકીના પદો પણ ધન હોવાથી, \( (1.1)^{10000} \) એ 1000 કરતાં મોટી છે.

Exam Tip: જ્યારે બે સંખ્યાઓની સરખામણી કરો, ત્યારે દ્વિપદી વિસ્તરણના માત્ર પ્રથમ કેટલાક પદોની ગણતરી કરીને પણ ઝડપથી તારણ કાઢી શકાય છે, જો બાકીના પદોનું ચિહ્ન જાણીતું હોય.

Question 11. \( (a + b)^4 – (a – b)^4 \) શોધો. તે પરથી \( (\sqrt{3} + \sqrt{2})^4 – (\sqrt{3} – \sqrt{2})^4 \)નું મૂલ્ય શોધો.
Answer:
પ્રથમ, આપણે \( (a + b)^4 – (a – b)^4 \) શોધીએ છીએ:
\( (a + b)^4 = \binom{4}{0}a^4b^0 + \binom{4}{1}a^3b^1 + \binom{4}{2}a^2b^2 + \binom{4}{3}a^1b^3 + \binom{4}{4}a^0b^4 \)
\( (a + b)^4 = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4 \)
અને
\( (a - b)^4 = \binom{4}{0}a^4(-b)^0 + \binom{4}{1}a^3(-b)^1 + \binom{4}{2}a^2(-b)^2 + \binom{4}{3}a^1(-b)^3 + \binom{4}{4}a^0(-b)^4 \)
\( (a - b)^4 = a^4 - 4a^3b + 6a^2b^2 - 4ab^3 + b^4 \)
હવે, આપણે બાદબાકી કરીએ છીએ:
\( (a + b)^4 – (a – b)^4 = (a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4) - (a^4 - 4a^3b + 6a^2b^2 - 4ab^3 + b^4) \)
\( = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4 - a^4 + 4a^3b - 6a^2b^2 + 4ab^3 - b^4 \)
\( = 8a^3b + 8ab^3 = 8ab(a^2 + b^2) \)

હવે, આપણે \( (\sqrt{3} + \sqrt{2})^4 – (\sqrt{3} – \sqrt{2})^4 \) નું મૂલ્ય શોધીએ છીએ. ઉપરના સૂત્રમાં \( a = \sqrt{3} \) અને \( b = \sqrt{2} \) મુકતા, આપણને મળે છે:
\( (\sqrt{3} + \sqrt{2})^4 – (\sqrt{3} – \sqrt{2})^4 = 8(\sqrt{3})(\sqrt{2})((\sqrt{3})^2 + (\sqrt{2})^2) \)
\( = 8\sqrt{6}(3 + 2) \)
\( = 8\sqrt{6}(5) \)
\( = 40\sqrt{6} \)
In simple words: પહેલા આપણે દ્વિપદી વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરીને \( (a + b)^4 \) અને \( (a - b)^4 \) શોધીએ છીએ, પછી તેમની બાદબાકી કરીને \( 8ab(a^2 + b^2) \) મેળવીએ છીએ. પછી, આ સૂત્રમાં \( a = \sqrt{3} \) અને \( b = \sqrt{2} \) મૂકીને ગણતરી કરીએ છીએ, જેથી અંતિમ જવાબ \( 40\sqrt{6} \) મળે છે.

Exam Tip: જ્યારે \( (a+b)^n - (a-b)^n \) જેવા અભિવ્યક્તિઓનું મૂલ્યાંકન કરો, ત્યારે વિસ્તરણ પછીના ઘણા પદો રદ થઈ જશે તે ધ્યાનમાં રાખો, જે ગણતરીને સરળ બનાવે છે.

Question 12. \( (x + 1)^6 + (x – 1)^6 \) શોધો. તે પરથી અથવા અન્ય રીતે \( (\sqrt{2} + 1)^6 + (\sqrt{2} – 1)^6 \) મેળવો.
Answer:
પ્રથમ, આપણે \( (x + 1)^6 + (x – 1)^6 \) શોધીએ છીએ:
\( (x + 1)^6 = \binom{6}{0}x^6 + \binom{6}{1}x^5 + \binom{6}{2}x^4 + \binom{6}{3}x^3 + \binom{6}{4}x^2 + \binom{6}{5}x^1 + \binom{6}{6}x^0 \)
\( = x^6 + 6x^5 + 15x^4 + 20x^3 + 15x^2 + 6x + 1 \)
અને
\( (x - 1)^6 = \binom{6}{0}x^6 - \binom{6}{1}x^5 + \binom{6}{2}x^4 - \binom{6}{3}x^3 + \binom{6}{4}x^2 - \binom{6}{5}x^1 + \binom{6}{6}x^0 \)
\( = x^6 - 6x^5 + 15x^4 - 20x^3 + 15x^2 - 6x + 1 \)
હવે, આપણે સરવાળો કરીએ છીએ:
\( (x + 1)^6 + (x – 1)^6 = (x^6 + 6x^5 + 15x^4 + 20x^3 + 15x^2 + 6x + 1) + (x^6 - 6x^5 + 15x^4 - 20x^3 + 15x^2 - 6x + 1) \)
\( = 2x^6 + 30x^4 + 30x^2 + 2 \)
\( = 2(x^6 + 15x^4 + 15x^2 + 1) \) (સમીકરણ 1)

હવે, આપણે \( (\sqrt{2} + 1)^6 + (\sqrt{2} – 1)^6 \) નું મૂલ્ય શોધીએ છીએ. સમીકરણ (1) માં \( x = \sqrt{2} \) મૂકતા, આપણને મળે છે:
\( (\sqrt{2} + 1)^6 + (\sqrt{2} – 1)^6 = 2((\sqrt{2})^6 + 15(\sqrt{2})^4 + 15(\sqrt{2})^2 + 1) \)
\( = 2(8 + 15 \cdot 4 + 15 \cdot 2 + 1) \)
\( = 2(8 + 60 + 30 + 1) \)
\( = 2(99) \)
\( = 198 \)
In simple words: પહેલા આપણે \( (x + 1)^6 \) અને \( (x - 1)^6 \) ને દ્વિપદી પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને વિસ્તૃત કરીએ છીએ. પછી, આપણે આ બે વિસ્તરણનો સરવાળો કરીએ છીએ, જે \( 2(x^6 + 15x^4 + 15x^2 + 1) \) આપે છે. અંતે, આ સૂત્રમાં \( x = \sqrt{2} \) મૂકીને ગણતરી કરીએ છીએ, જેથી આપણને 198 મળે છે.

Exam Tip: \( (a+b)^n + (a-b)^n \) ના વિસ્તરણમાં, વૈકલ્પિક પદો રદ થઈ જાય છે, જે ગણતરીને સરળ બનાવે છે. યાદ રાખો કે \( (\sqrt{a})^n \) ની ગણતરી યોગ્ય રીતે કરવી.

Question 13. બતાવો કે, ધન પૂર્ણાંક n માટે \( 9^{n+1} – 8n – 9 \) એ 64 વડે વિભાજ્ય છે.
Answer: આપણે \( 9^{n+1} \) ને \( (1 + 8)^{n+1} \) તરીકે લખી શકીએ છીએ. દ્વિપદી પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા, આપણને મળે છે:
\( (1 + 8)^{n+1} = \binom{n+1}{0}(1)^{n+1}(8)^0 + \binom{n+1}{1}(1)^n(8)^1 + \binom{n+1}{2}(1)^{n-1}(8)^2 + \binom{n+1}{3}(1)^{n-2}(8)^3 + \ldots + \binom{n+1}{n+1}(1)^0(8)^{n+1} \)
\( = 1 \cdot 1 \cdot 1 + (n+1) \cdot 1 \cdot 8 + \binom{n+1}{2}8^2 + \binom{n+1}{3}8^3 + \ldots + \binom{n+1}{n+1}8^{n+1} \)
\( = 1 + 8(n+1) + 8^2\left\{\binom{n+1}{2} + \binom{n+1}{3}8 + \ldots + \binom{n+1}{n+1}8^{n-1}\right\} \)
\( = 1 + 8n + 8 + 64\left\{\binom{n+1}{2} + \binom{n+1}{3}8 + \ldots + \binom{n+1}{n+1}8^{n-1}\right\} \)
તેથી,
\( 9^{n+1} - 8n - 9 = 1 + 8n + 8 + 64\left\{\binom{n+1}{2} + \binom{n+1}{3}8 + \ldots + \binom{n+1}{n+1}8^{n-1}\right\} - 8n - 9 \)
\( = 64\left\{\binom{n+1}{2} + \binom{n+1}{3}8 + \ldots + \binom{n+1}{n+1}8^{n-1}\right\} \)
અહીં, કૌંસમાં રહેલું પદ \( \left\{\binom{n+1}{2} + \binom{n+1}{3}8 + \ldots + \binom{n+1}{n+1}8^{n-1}\right\} \) એ પૂર્ણાંક છે કારણ કે દ્વિપદી ગુણાંકો પૂર્ણાંકો હોય છે અને 8 ની ઘાત પણ પૂર્ણાંક હોય છે. તેથી, \( 9^{n+1} – 8n – 9 \) એ 64 વડે વિભાજ્ય છે.
In simple words: \( 9^{n+1} \) ને \( (1 + 8)^{n+1} \) તરીકે વિસ્તૃત કરીએ છીએ. વિસ્તરણના પ્રથમ બે પદોને અલગ કરીને, આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે બાકીના બધા પદોમાં 64 નો ગુણાકાર હોય છે. તેથી, \( 9^{n+1} – 8n – 9 \) એ 64 વડે ભાગી શકાય છે.

Exam Tip: દ્વિપદી પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને વિભાજ્યતા સાબિત કરવા માટે, અભિવ્યક્તિને \( (1+x)^n \) સ્વરૂપમાં લખો અને પછી \( x^2 \) ના ગુણાંકવાળા પદોને સામાન્ય કારક તરીકે બહાર કાઢો.

Question 14. સાબિત કરો: \( \sum_{r=0}^{n} 3^r \cdot {}^nC_r = 4^n \)
Answer: આપણે જાણીએ છીએ કે દ્વિપદી પ્રમેય અનુસાર,
\( (1+x)^n = \sum_{r=0}^{n} \binom{n}{r} 1^{n-r} x^r = \sum_{r=0}^{n} \binom{n}{r} x^r \)
આ સૂત્રમાં, \( x = 3 \) મૂકતા, આપણને મળે છે:
\( (1+3)^n = \sum_{r=0}^{n} \binom{n}{r} (3)^r \)
\( 4^n = \sum_{r=0}^{n} \binom{n}{r} 3^r \)
આમ, \( \sum_{r=0}^{n} 3^r \cdot {}^nC_r = 4^n \) સાબિત થાય છે.
In simple words: દ્વિપદી પ્રમેય કહે છે કે \( (1+x)^n \) એ \( \sum_{r=0}^{n} \binom{n}{r} x^r \) બરાબર છે. જો આપણે \( x \) ની જગ્યાએ 3 મૂકીએ, તો આપણને \( (1+3)^n \) મળે છે, જે \( 4^n \) છે. આ \( \sum_{r=0}^{n} \binom{n}{r} 3^r \) બરાબર હોવાથી, \( \sum_{r=0}^{n} 3^r \cdot {}^nC_r = 4^n \) સાબિત થાય છે.

Exam Tip: દ્વિપદી પ્રમેયના મૂળભૂત સૂત્રને યાદ રાખો \( (a+b)^n = \sum_{r=0}^{n} \binom{n}{r} a^{n-r}b^r \) અને તેનું \( (1+x)^n \) સ્વરૂપ, કારણ કે તે આવા સાબિતીઓ માટે પાયાનું છે.