GSEB Class 11 Maths Solutions Chapter 7 ક્રમચય અને સંચય Exercise 7.1

Question 1. નીચેની શરતો અનુસાર 1, 2, 3, 4 અને 5 અંકોનો ઉપયોગ કરી 3 અંકોની કેટલી સંખ્યા બનાવી શકાય?
(1) અંકોનું પુનરાવર્તન કરવાની અનુમતિ છે.
(2) અંકોનું પુનરાવર્તન કરવાની અનુમતિ નથી.
Answer:
(1) અહીં, 1, 2, 3, 4, 5 અંકોનો ઉપયોગ કરીને 3 અંકોની સંખ્યાઓ બનાવવાની છે. જેમાં અંકોનું પુનરાવર્તન કરી શકાય છે. એકમનું સ્થાન આપેલ 5 અંકો વડે 5 રીતે ભરી શકાય. દશકનું સ્થાન પણ 5 રીતે અને શતકનું સ્થાન 5 રીતે ભરી શકાય છે. આમ, આપેલ શરત પ્રમાણે \( 5 \times 5 \times 5 = 125 \) સંખ્યાઓ બનાવી શકાય છે.
(2) અહીં, 1, 2, 3, 4, 5 અંકોનો ઉપયોગ કરીને 3 અંકોની સંખ્યાઓ બનાવવાની છે. જેમાં અંકોનું પુનરાવર્તન કરી શકાતું નથી. એકમનું સ્થાન આપેલ 5 અંકો વડે 5 રીતે ભરી શકાય. ત્યારબાદ બાકી રહેલા 4 અંકો વડે દશકનું સ્થાન 4 રીતે અને પછી બાકી રહેલા 3 અંકો વડે શતકનું સ્થાન 3 રીતે ભરી શકાય છે. તેથી, આપેલ શરત પ્રમાણે \( 5 \times 4 \times 3 = 60 \) સંખ્યાઓ બનાવી શકાય છે.
In simple words: આપેલી શરતો અનુસાર, આપણે 1, 2, 3, 4, 5 અંકોનો ઉપયોગ કરીને 3 અંકોની સંખ્યાઓ બનાવવાની છે. જો અંકોનું પુનરાવર્તન કરી શકાય, તો 125 સંખ્યાઓ બને. જો અંકોનું પુનરાવર્તન ન કરી શકાય, તો 60 સંખ્યાઓ બને.

Exam Tip: પુનરાવર્તન મંજૂર હોય ત્યારે, દરેક સ્થાન માટે ઉપલબ્ધ વિકલ્પો સરખા રહે છે. પુનરાવર્તન મંજૂર ન હોય ત્યારે, દરેક નવા સ્થાન માટે ઉપલબ્ધ વિકલ્પો ઘટતા જાય છે.

Question 2. જો અંકોનું પુનરાવર્તન કરી શકાય, તો 1, 2, 3, 4, 5, 6 અંકો વડે 3 અંકોની કેટલી યુગ્મ સંખ્યાઓ બને?
Answer: અહીં 1, 2, 3, 4, 5, 6 અંકોનો ઉપયોગ કરીને 3 અંકોની યુગ્મ સંખ્યાઓ બનાવવાની છે. જેમાં અંકોનું પુનરાવર્તન કરી શકાય છે. સંખ્યા યુગ્મ બને તે માટે એકમનું સ્થાન 2, 4, 6 વડે 3 રીતે ભરી શકાય છે. દશકનું અને શતકનું સ્થાન આપેલ 6 અંકો વડે 6 રીતે ભરી શકાય છે. તેથી, આપેલી શરત પ્રમાણે \( 3 \times 6 \times 6 = 108 \) સંખ્યાઓ બને છે.
In simple words: આપણી પાસે 1 થી 6 સુધીના અંકો છે. આપણે 3 અંકોવાળી એવી યુગ્મ (બેકી) સંખ્યાઓ બનાવવાની છે જેમાં અંકોનું પુનરાવર્તન થઈ શકે. એકમનો અંક 2, 4, કે 6 હોવો જોઈએ (3 વિકલ્પો). બાકીના બંને સ્થાનો માટે 6-6 વિકલ્પો ઉપલબ્ધ છે. આમ કુલ 108 યુગ્મ સંખ્યાઓ બનાવી શકાય.

Exam Tip: યુગ્મ સંખ્યાઓ બનાવતી વખતે, સૌપ્રથમ એકમના અંકને ભરવાની રીતો નક્કી કરવી મહત્વપૂર્ણ છે.

Question 3. પુનરાવર્તન સિવાય અંગ્રેજી મૂળાક્ષરોના પ્રથમ 10 અક્ષરોના ઉપયોગથી 4 અક્ષરોવાળા કેટલા સંકેત બનાવી શકાય?
Answer: પ્રથમ અક્ષરનું સ્થાન અંગ્રેજી મૂળાક્ષરોના પ્રથમ 10 અક્ષરો વડે 10 રીતે ભરી શકાય છે. અક્ષરોનું પુનરાવર્તન ન થતું હોવાથી, બીજા અક્ષરનું સ્થાન બાકી રહેલા 9 અક્ષરો વડે 9 રીતે ભરી શકાય છે. આ જ રીતે આગળ વધતા, ત્રીજા અને ચોથા અક્ષરનું સ્થાન અનુક્રમે 8 અને 7 રીતે ભરી શકાય છે. આમ, આપેલ શરત પ્રમાણે \( 10 \times 9 \times 8 \times 7 = 5040 \) સંકેત બનાવી શકાય છે.
In simple words: અંગ્રેજીના પહેલા 10 અક્ષરોમાંથી 4 અક્ષરના સંકેતો બનાવવાના છે, જેમાં કોઈ અક્ષર ફરીથી વાપરી શકાય નહીં. પહેલા સ્થાન માટે 10 વિકલ્પ, બીજા માટે 9, ત્રીજા માટે 8 અને ચોથા માટે 7 વિકલ્પ મળે. કુલ 5040 સંકેત બનાવી શકાય છે.

Exam Tip: પુનરાવર્તન ન થતું હોય ત્યારે, દરેક આગળના સ્થાન માટે ઉપલબ્ધ વિકલ્પોની સંખ્યા એક-એક ઘટતી જાય છે.

Question 4. 0થી 9 અંકોનો ઉપયોગ કરીને 5 અંકોવાળા કેટલા ટેલિફોન નંબર બનાવી શકાય? દરેક નંબરની શરૂઆત સંખ્યા 67થી થાય છે તથા અંકોનું પુનરાવર્તન થતું નથી.
Answer: અહીં, 0 થી 9 એમ કુલ 10 અંકોનો ઉપયોગ કરીને 5 અંકોવાળા ટેલિફોન નંબર બનાવવાના છે. જેમાં અંકોનું પુનરાવર્તન થતું નથી અને પહેલો તથા બીજો અંક 6 અને 7 છે, તે માહિતી આપેલી છે. હવે, ત્રીજા અંકનું સ્થાન બાકી રહેલા 8 અંકો વડે 8 રીતે ભરી શકાય છે. પછી બાકી રહેલા અંકો વડે દશકનું અને શતકનું સ્થાન અનુક્રમે 7 અને 6 રીતે ભરી શકાય છે. આથી, આપેલ શરત પ્રમાણે \( 8 \times 7 \times 6 = 336 \) ટેલિફોન નંબર બનાવી શકાય છે.
In simple words: આપણે 0-9 અંકોનો ઉપયોગ કરીને 5 અંકોના ટેલિફોન નંબર બનાવવાના છે. નંબર 67 થી શરૂ થાય છે અને અંકોનું પુનરાવર્તન કરી શકાતું નથી. પહેલા બે અંક 6 અને 7 નક્કી હોવાથી, બાકીના 3 અંક માટે અનુક્રમે 8, 7 અને 6 વિકલ્પો રહે છે. કુલ 336 નંબર બનાવી શકાય.

Exam Tip: જ્યારે અમુક અંકો નિશ્ચિત હોય, ત્યારે બાકીના સ્થાનો માટે જ ઉપલબ્ધ અંકો અને પુનરાવર્તનના નિયમો લાગુ પડે છે.

Question 5. એક સિક્કો ત્રણ વખત ઉછાળવામાં આવે છે અને પરિણામ નોંધવામાં આવે છે. કેટલાં શક્ય પરિણામો હશે?
Answer: સિક્કાને એક વખત ઉછાળીએ ત્યારે છાપ (H) અથવા કાંટો (T) એમ 2 પરિણામો મળે છે. સિક્કાને ત્રણ વખત ઉછાળતાં, ગણતરીના મૂળભૂત સિદ્ધાંત અનુસાર \( 2 \times 2 \times 2 = 8 \) પરિણામો મળે છે.
In simple words: એક સિક્કાને એક વાર ઉછાળીએ તો 2 શક્ય પરિણામો (છાપ કે કાંટો) મળે છે. જો તેને ત્રણ વાર ઉછાળવામાં આવે, તો કુલ \( 2 \times 2 \times 2 \), એટલે કે 8 અલગ-અલગ પરિણામો મળી શકે છે.

Exam Tip: સિક્કાના ઉછાળવાના પ્રશ્નોમાં, દરેક ઉછાળ માટેના સ્વતંત્ર પરિણામોને ગુણીને કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા શોધી શકાય છે.

Question 6. ભિન્ન રંગોના 5 ધ્વજ આપેલ છે. એકની નીચે બીજો એવા 2 ધ્વજથી કેટલા સંકેત બનાવી શકાય?
Answer: અહીં, અલગ રંગોના 5 ધ્વજ આપેલા છે અને એકની નીચે બીજો એમ 2 ધ્વજથી સંકેત બનાવવાના છે. પહેલો ધ્વજ આપેલા 5 ધ્વજમાંથી 5 રીતે પસંદ કરી શકાય છે અને બીજો ધ્વજ બાકી રહેલા 4 ધ્વજમાંથી 4 રીતે પસંદ કરી શકાય છે. તેથી, ગણતરીના મૂળભૂત સિદ્ધાંત મુજબ \( 5 \times 4 = 20 \) સંકેત બનાવી શકાય છે.
In simple words: આપણી પાસે 5 અલગ-અલગ રંગના ધ્વજ છે. આપણે 2 ધ્વજનો ઉપયોગ કરીને સંકેત બનાવવાના છે, જ્યાં એક ધ્વજ બીજાની નીચે આવે. પહેલા ધ્વજ માટે 5 પસંદગીઓ છે. પછી, બાકીના 4 ધ્વજમાંથી બીજા ધ્વજ માટે 4 પસંદગીઓ છે. આ રીતે કુલ 20 સંકેતો બનાવી શકાય.

Exam Tip: જ્યારે વસ્તુઓનું પુનરાવર્તન ન થાય અને ક્રમ મહત્વનો હોય, ત્યારે તે ગોઠવણીના નિયમોનો ઉપયોગ થાય છે.