GSEB Class 11 Maths Solutions Chapter 4 ગાણિતિક અનુમાનનો સિદ્ધાંત Exercise 4.1

Question 1. \( 1 + 3 + 3^2 + \dots + 3^{n-1} = \frac{\left(3^n-1\right)}{2} \) n ∈ N માટે ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરી નીચેનાં વિધાનો સાબિત કરો:
Answer: અહીં, આપણે P (n) ને \( 1 + 3 + 3^2 + \dots + 3^{n-1} = \frac{\left(3^n-1\right)}{2} \) તરીકે લઈએ છીએ; જ્યાં \( n \in N \).
હવે, n = 1 માટે,
ડાબી બાજુ (LHS) = \( 1 \)
જમણી બાજુ (RHS) = \( \frac{3^1-1}{2}=\frac{2}{2} = 1 \)
માટે, n = 1 માટે ડાબી બાજુ (LHS) = જમણી બાજુ (RHS).
તેથી, P (1) સાચું છે.
હવે, ધારો કે, કોઈક \( k \in N \) માટે P (k) સાચું છે.
એટલે કે, \( 1 + 3 + 3^2 + \dots + 3^{k-1} = \frac{\left(3^k-1\right)}{2} \)........(1)
હવે, P (k + 1) સાચું સાબિત કરવા માટે, આપણે \( 1 + 3 + 3^2 + \dots + 3^{k-1} + 3^k = \frac{3^{k+1}-1}{2} \) સાબિત કરવું પડશે. તે માટે,
ડાબી બાજુ (LHS) = \( 1 + 3 + 3^2 + \dots + 3^{k-1} + 3^k \)
\( = \left(1 + 3 + 3^2 + \dots + 3^{k-1}\right) + 3^k \)
સમીકરણ (1) નો ઉપયોગ કરીને,
\( = \frac{3^k-1}{2} + 3^k \)
\( = \frac{3^k-1+2 \cdot 3^k}{2} \)
\( = \frac{3^k(1+2)-1}{2} \)
\( = \frac{3 \cdot 3^k-1}{2} \)
\( = \frac{3^{k+1}-1}{2} \)
\( = \) જમણી બાજુ (RHS).
માટે, P (k + 1) પણ સાચું છે.
આથી, ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંત અનુસાર, પ્રત્યેક \( n \in N \) માટે P (n) સાચું છે.
તેથી, \( 1 + 3 + 3^2 + \dots + 3^{n-1} = \frac{\left(3^n-1\right)}{2} \), \( \forall n \in N \).
In simple words: આપણે ગાણિતિક અનુમાનનો ઉપયોગ કરીને આપેલા સમીકરણને સાબિત કરીએ છીએ. પહેલા n=1 માટે તપાસીએ, પછી n=k માટે સાચું ધારીએ, અને અંતે n=k+1 માટે સાબિત કરીએ.

Exam Tip: ગાણિતિક અનુમાનના દાખલામાં ત્રણ મુખ્ય પગલાં યાદ રાખો: આધારભૂત પગલું (n=1), અનુમાનનું પગલું (n=k) અને અનુમાનજન્ય પગલું (n=k+1). દરેક પગલું સ્પષ્ટ રીતે દર્શાવવું જોઈએ.

Question 2. \( 1^3 + 2^3 + 3^3 + \dots + n^3 = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2 \)
Answer: અહીં, આપણે P (n) ને \( 1^3 + 2^3 + 3^3 + \dots + n^3 = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2 \) તરીકે લઈએ છીએ; જ્યાં \( n \in N \).
હવે, n = 1 માટે,
ડાબી બાજુ (LHS) = \( 1^3 = 1 \)
જમણી બાજુ (RHS) = \( \left(\frac{1(1+1)}{2}\right)^2 = \left(\frac{2}{2}\right)^2 = 1^2 = 1 \)
માટે, n = 1 માટે ડાબી બાજુ (LHS) = જમણી બાજુ (RHS).
તેથી, P (1) સાચું છે.
હવે, ધારો કે, કોઈક \( k \in N \) માટે P (k) સાચું છે.
એટલે કે, \( 1^3 + 2^3 + 3^3 + \dots + k^3 = \left(\frac{k(k+1)}{2}\right)^2 \)........(1)
હવે, P (k + 1) સાચું સાબિત કરવા માટે, આપણે \( 1^3 + 2^3 + 3^3 + \dots + k^3 + (k+1)^3 = \left(\frac{(k+1)((k+1)+1)}{2}\right)^2 = \left(\frac{(k+1)(k+2)}{2}\right)^2 \) સાબિત કરવું પડશે. તે માટે,
ડાબી બાજુ (LHS) = \( 1^3 + 2^3 + 3^3 + \dots + k^3 + (k+1)^3 \)
\( = \left(1^3 + 2^3 + 3^3 + \dots + k^3\right) + (k+1)^3 \)
સમીકરણ (1) નો ઉપયોગ કરીને,
\( = \left(\frac{k(k+1)}{2}\right)^2 + (k+1)^3 \)
\( = \frac{k^2(k+1)^2}{4} + (k+1)^3 \)
\( = (k+1)^2 \left(\frac{k^2}{4} + (k+1)\right) \)
\( = (k+1)^2 \left(\frac{k^2+4(k+1)}{4}\right) \)
\( = (k+1)^2 \left(\frac{k^2+4k+4}{4}\right) \)
\( = (k+1)^2 \left(\frac{(k+2)^2}{4}\right) \)
\( = \left(\frac{(k+1)(k+2)}{2}\right)^2 \)
\( = \) જમણી બાજુ (RHS).
માટે, P (k + 1) પણ સાચું છે.
આથી, ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંત અનુસાર, પ્રત્યેક \( n \in N \) માટે P (n) સાચું છે.
તેથી, \( 1^3 + 2^3 + 3^3 + \dots + n^3 = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2 \), \( \forall n \in N \).
In simple words: n ઘનના સરવાળાનું સૂત્ર ગાણિતિક અનુમાનનો ઉપયોગ કરીને સાબિત કર્યું છે. આપણે n=1 માટે તપાસ કરીએ, પછી n=k માટે સાચું માનીએ, અને અંતે n=k+1 માટે તેને સાબિત કરીએ.

Exam Tip: ઘન શ્રેણીના સરવાળાનું આ સૂત્ર યાદ રાખવું ગણતરીમાં મદદ કરી શકે છે, પરંતુ ગાણિતિક અનુમાન દ્વારા સાબિત કરવાના પગલાં યોગ્ય રીતે દર્શાવવા મહત્વપૂર્ણ છે.

Question 3. \( 1 + \frac{1}{(1+2)}+\frac{1}{(1+2+3)}+\dots+\frac{1}{(1+2+3+\dots+n)}=\frac{2 n}{n+1} \)
Answer: અહીં, આપણે P (n) ને \( 1 + \frac{1}{(1+2)}+\frac{1}{(1+2+3)}+\dots+\frac{1}{(1+2+3+\dots+n)}=\frac{2 n}{n+1} \) તરીકે લઈએ છીએ; જ્યાં \( n \in N \).
હવે, n = 1 માટે,
ડાબી બાજુ (LHS) = \( 1 \)
જમણી બાજુ (RHS) = \( \frac{2(1)}{1+1} = \frac{2}{2} = 1 \)
માટે, n = 1 માટે ડાબી બાજુ (LHS) = જમણી બાજુ (RHS).
તેથી, P (1) સાચું છે.
હવે, ધારો કે, કોઈક \( k \in N \) માટે P (k) સાચું છે.
એટલે કે, \( 1 + \frac{1}{(1+2)}+\frac{1}{(1+2+3)}+\dots+\frac{1}{(1+2+3+\dots+k)}=\frac{2 k}{k+1} \)........(1)
હવે, P (k + 1) સાચું સાબિત કરવા માટે, આપણે \( 1 + \frac{1}{(1+2)}+\frac{1}{(1+2+3)}+\dots+\frac{1}{(1+2+3+\dots+(k+1))}=\frac{2(k+1)}{(k+1)+1} = \frac{2(k+1)}{k+2} \) સાબિત કરવું પડશે. તે માટે,
ડાબી બાજુ (LHS) = \( 1 + \frac{1}{(1+2)}+\frac{1}{(1+2+3)}+\dots+\frac{1}{(1+2+3+\dots+k)}+\frac{1}{(1+2+3+\dots+(k+1))} \)
\( = \left(1 + \frac{1}{(1+2)}+\frac{1}{(1+2+3)}+\dots+\frac{1}{(1+2+3+\dots+k)}\right) + \frac{1}{(1+2+3+\dots+(k+1))} \)
સમીકરણ (1) નો ઉપયોગ કરીને,
\( = \frac{2k}{k+1} + \frac{1}{\frac{(k+1)((k+1)+1)}{2}} \) (કારણ કે \( 1+2+\dots+n = \frac{n(n+1)}{2} \))
\( = \frac{2k}{k+1} + \frac{1}{\frac{(k+1)(k+2)}{2}} \)
\( = \frac{2k}{k+1} + \frac{2}{(k+1)(k+2)} \)
\( = \frac{2k(k+2)+2}{(k+1)(k+2)} \)
\( = \frac{2k^2+4k+2}{(k+1)(k+2)} \)
\( = \frac{2(k^2+2k+1)}{(k+1)(k+2)} \)
\( = \frac{2(k+1)^2}{(k+1)(k+2)} \)
\( = \frac{2(k+1)}{k+2} \)
\( = \) જમણી બાજુ (RHS).
માટે, P (k + 1) પણ સાચું છે.
આથી, ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંત અનુસાર, પ્રત્યેક \( n \in N \) માટે P (n) સાચું છે.
તેથી, \( 1 + \frac{1}{(1+2)}+\frac{1}{(1+2+3)}+\dots+\frac{1}{(1+2+3+\dots+n)}=\frac{2 n}{n+1} \), \( \forall n \in N \).
In simple words: આપણને અપૂર્ણાંક શ્રેણીનું સમીકરણ આપેલું છે. આપણે n=1 માટે તેને સાચું બતાવીએ છીએ. પછી n=k માટે સાચું ધારીએ છીએ. છેલ્લે, n=k+1 માટે સાબિત કરીએ છીએ કે સમીકરણ સાચું છે.

Exam Tip: અપૂર્ણાંક શ્રેણીના દાખલામાં, છેદમાં આવતા સરવાળાના સૂત્રને (દા.ત., \( 1+2+...+n = \frac{n(n+1)}{2} \)) યોગ્ય રીતે ઉપયોગ કરવો ખૂબ જરૂરી છે.

Question 4. \( 1 \cdot 2 \cdot 3 + 2 \cdot 3 \cdot 4 + \dots + n(n+1)(n+2) = \frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{4} \)
Answer: અહીં, આપણે P (n) ને \( 1 \cdot 2 \cdot 3 + 2 \cdot 3 \cdot 4 + \dots + n(n+1)(n+2) = \frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{4} \) તરીકે લઈએ છીએ; જ્યાં \( n \in N \).
હવે, n = 1 માટે,
ડાબી બાજુ (LHS) = \( 1 \cdot 2 \cdot 3 = 6 \)
જમણી બાજુ (RHS) = \( \frac{1(1+1)(1+2)(1+3)}{4} = \frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4}{4} = 6 \)
માટે, n = 1 માટે ડાબી બાજુ (LHS) = જમણી બાજુ (RHS).
તેથી, P (1) સાચું છે.
હવે, ધારો કે, કોઈક \( k \in N \) માટે P (k) સાચું છે.
એટલે કે, \( 1 \cdot 2 \cdot 3 + 2 \cdot 3 \cdot 4 + \dots + k(k+1)(k+2) = \frac{k(k+1)(k+2)(k+3)}{4} \)........(1)
હવે, P (k + 1) સાચું સાબિત કરવા માટે, આપણે \( 1 \cdot 2 \cdot 3 + 2 \cdot 3 \cdot 4 + \dots + k(k+1)(k+2) + (k+1)(k+2)((k+1)+2) = \frac{(k+1)((k+1)+1)((k+1)+2)((k+1)+3)}{4} = \frac{(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)}{4} \) સાબિત કરવું પડશે. તે માટે,
ડાબી બાજુ (LHS) = \( 1 \cdot 2 \cdot 3 + 2 \cdot 3 \cdot 4 + \dots + k(k+1)(k+2) + (k+1)(k+2)(k+3) \)
\( = \left(1 \cdot 2 \cdot 3 + 2 \cdot 3 \cdot 4 + \dots + k(k+1)(k+2)\right) + (k+1)(k+2)(k+3) \)
સમીકરણ (1) નો ઉપયોગ કરીને,
\( = \frac{k(k+1)(k+2)(k+3)}{4} + (k+1)(k+2)(k+3) \)
\( = (k+1)(k+2)(k+3) \left(\frac{k}{4} + 1\right) \)
\( = (k+1)(k+2)(k+3) \left(\frac{k+4}{4}\right) \)
\( = \frac{(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)}{4} \)
\( = \) જમણી બાજુ (RHS).
માટે, P (k + 1) પણ સાચું છે.
આથી, ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંત અનુસાર, પ્રત્યેક \( n \in N \) માટે P (n) સાચું છે.
તેથી, \( 1 \cdot 2 \cdot 3 + 2 \cdot 3 \cdot 4 + \dots + n(n+1)(n+2) = \frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{4} \), \( \forall n \in N \).
In simple words: આપણે ત્રણ ક્રમિક સંખ્યાઓના ગુણાકારના સરવાળાનું સૂત્ર ગાણિતિક અનુમાનનો ઉપયોગ કરીને સાબિત કરીએ છીએ. n=1, n=k અને n=k+1 માટેના પગલાંને અનુસરીને, આપણે સાબિત કરીએ કે સમીકરણ સાચું છે.

Exam Tip: જ્યારે શ્રેણીમાં પદોનો ગુણાકાર હોય, ત્યારે \( (k+1) \) માં પદ ઉમેરતી વખતે સામાન્ય અવયવ લેવાથી ગણતરી સરળ બને છે.

Question 5. \( 1 \cdot 3 + 2 \cdot 3^2 + 3 \cdot 3^3 + \dots + n \cdot 3^n = \frac{(2n-1)3^{n+1}+3}{4} \)
Answer: અહીં, આપણે P (n) ને \( 1 \cdot 3 + 2 \cdot 3^2 + 3 \cdot 3^3 + \dots + n \cdot 3^n = \frac{(2n-1)3^{n+1}+3}{4} \) તરીકે લઈએ છીએ; જ્યાં \( n \in N \).
હવે, n = 1 માટે,
ડાબી બાજુ (LHS) = \( 1 \cdot 3^1 = 3 \)
જમણી બાજુ (RHS) = \( \frac{(2(1)-1)3^{1+1}+3}{4} = \frac{(1)3^2+3}{4} = \frac{9+3}{4} = \frac{12}{4} = 3 \)
માટે, n = 1 માટે ડાબી બાજુ (LHS) = જમણી બાજુ (RHS).
તેથી, P (1) સાચું છે.
હવે, ધારો કે, કોઈક \( k \in N \) માટે P (k) સાચું છે.
એટલે કે, \( 1 \cdot 3 + 2 \cdot 3^2 + 3 \cdot 3^3 + \dots + k \cdot 3^k = \frac{(2k-1)3^{k+1}+3}{4} \)........(1)
હવે, P (k + 1) સાચું સાબિત કરવા માટે, આપણે \( 1 \cdot 3 + 2 \cdot 3^2 + 3 \cdot 3^3 + \dots + k \cdot 3^k + ((k+1) \cdot 3^{k+1}) = \frac{(2(k+1)-1)3^{(k+1)+1}+3}{4} = \frac{(2k+1)3^{k+2}+3}{4} \) સાબિત કરવું પડશે. તે માટે,
ડાબી બાજુ (LHS) = \( 1 \cdot 3 + 2 \cdot 3^2 + 3 \cdot 3^3 + \dots + k \cdot 3^k + (k+1)3^{k+1} \)
\( = \left(1 \cdot 3 + 2 \cdot 3^2 + 3 \cdot 3^3 + \dots + k \cdot 3^k\right) + (k+1)3^{k+1} \)
સમીકરણ (1) નો ઉપયોગ કરીને,
\( = \frac{(2k-1)3^{k+1}+3}{4} + (k+1)3^{k+1} \)
\( = \frac{(2k-1)3^{k+1}+3 + 4(k+1)3^{k+1}}{4} \)
\( = \frac{3^{k+1}(2k-1+4(k+1))+3}{4} \)
\( = \frac{3^{k+1}(2k-1+4k+4)+3}{4} \)
\( = \frac{3^{k+1}(6k+3)+3}{4} \)
\( = \frac{3^{k+1} \cdot 3(2k+1)+3}{4} \)
\( = \frac{3^{k+2}(2k+1)+3}{4} \)
\( = \) જમણી બાજુ (RHS).
માટે, P (k + 1) પણ સાચું છે.
આથી, ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંત અનુસાર, પ્રત્યેક \( n \in N \) માટે P (n) સાચું છે.
તેથી, \( 1 \cdot 3 + 2 \cdot 3^2 + 3 \cdot 3^3 + \dots + n \cdot 3^n = \frac{(2n-1)3^{n+1}+3}{4} \), \( \forall n \in N \).
In simple words: અહીં, આપણે ગાણિતિક અનુમાનનો ઉપયોગ કરીને એક મિશ્ર શ્રેણીના સરવાળાના સૂત્રને સાબિત કરીએ છીએ. n=1 માટે તપાસ કરીએ, n=k માટે સાચું ધારીએ અને n=k+1 માટે સાબિત કરીએ.

Exam Tip: \( 3^{k+1} \) જેવા સામાન્ય અવયવોને યોગ્ય રીતે બહાર કાઢીને ગણતરી સરળ બનાવો. ગુણાકાર અને ઘાતાંકના નિયમોનું ધ્યાન રાખો.

Question 6. \( 1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + \dots + n(n+1) = \frac{n(n+1)(n+2)}{3} \)
Answer: અહીં, આપણે P (n) ને \( 1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + \dots + n(n+1) = \frac{n(n+1)(n+2)}{3} \) તરીકે લઈએ છીએ; જ્યાં \( n \in N \).
હવે, n = 1 માટે,
ડાબી બાજુ (LHS) = \( 1 \cdot 2 = 2 \)
જમણી બાજુ (RHS) = \( \frac{1(1+1)(1+2)}{3} = \frac{1 \cdot 2 \cdot 3}{3} = 2 \)
માટે, n = 1 માટે ડાબી બાજુ (LHS) = જમણી બાજુ (RHS).
તેથી, P (1) સાચું છે.
હવે, ધારો કે, કોઈક \( k \in N \) માટે P (k) સાચું છે.
એટલે કે, \( 1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + \dots + k(k+1) = \frac{k(k+1)(k+2)}{3} \)........(1)
હવે, P (k + 1) સાચું સાબિત કરવા માટે, આપણે \( 1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + \dots + k(k+1) + (k+1)((k+1)+1) = \frac{(k+1)((k+1)+1)((k+1)+2)}{3} = \frac{(k+1)(k+2)(k+3)}{3} \) સાબિત કરવું પડશે. તે માટે,
ડાબી બાજુ (LHS) = \( 1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + \dots + k(k+1) + (k+1)(k+2) \)
\( = \left(1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + \dots + k(k+1)\right) + (k+1)(k+2) \)
સમીકરણ (1) નો ઉપયોગ કરીને,
\( = \frac{k(k+1)(k+2)}{3} + (k+1)(k+2) \)
\( = (k+1)(k+2) \left(\frac{k}{3} + 1\right) \)
\( = (k+1)(k+2) \left(\frac{k+3}{3}\right) \)
\( = \frac{(k+1)(k+2)(k+3)}{3} \)
\( = \) જમણી બાજુ (RHS).
માટે, P (k + 1) પણ સાચું છે.
આથી, ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંત અનુસાર, પ્રત્યેક \( n \in N \) માટે P (n) સાચું છે.
તેથી, \( 1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + \dots + n(n+1) = \frac{n(n+1)(n+2)}{3} \), \( \forall n \in N \).
In simple words: આપણે ગાણિતિક અનુમાનનો ઉપયોગ કરીને ક્રમિક સંખ્યાઓના ગુણાકારના સરવાળાનું સૂત્ર સાબિત કરીએ છીએ. n=1, n=k, અને n=k+1 માટેના નિયમિત પગલાંઓનું પાલન કરીએ છીએ.

Exam Tip: સામાન્ય અવયવ \( (k+1)(k+2) \) ને બહાર કાઢીને ગણતરીને વધુ સરળ બનાવો. આનાથી બીજગણિતીય ભૂલો થવાની શક્યતા ઓછી થાય છે.

Question 7. \( 1 \cdot 3 + 3 \cdot 5 + 5 \cdot 7 + \dots + (2n-1)(2n+1) = \frac{n(4n^2+6n-1)}{3} \)
Answer: અહીં, આપણે P (n) ને \( 1 \cdot 3 + 3 \cdot 5 + 5 \cdot 7 + \dots + (2n-1)(2n+1) = \frac{n(4n^2+6n-1)}{3} \) તરીકે લઈએ છીએ; જ્યાં \( n \in N \).
હવે, n = 1 માટે,
ડાબી બાજુ (LHS) = \( 1 \cdot 3 = 3 \)
જમણી બાજુ (RHS) = \( \frac{1(4(1)^2+6(1)-1)}{3} = \frac{4+6-1}{3} = \frac{9}{3} = 3 \)
માટે, n = 1 માટે ડાબી બાજુ (LHS) = જમણી બાજુ (RHS).
તેથી, P (1) સાચું છે.
હવે, ધારો કે, કોઈક \( k \in N \) માટે P (k) સાચું છે.
એટલે કે, \( 1 \cdot 3 + 3 \cdot 5 + 5 \cdot 7 + \dots + (2k-1)(2k+1) = \frac{k(4k^2+6k-1)}{3} \)........(1)
હવે, P (k + 1) સાચું સાબિત કરવા માટે, આપણે \( 1 \cdot 3 + 3 \cdot 5 + 5 \cdot 7 + \dots + (2k-1)(2k+1) + (2(k+1)-1)(2(k+1)+1) = \frac{(k+1)(4(k+1)^2+6(k+1)-1)}{3} \) સાબિત કરવું પડશે. તે માટે,
ડાબી બાજુ (LHS) = \( 1 \cdot 3 + 3 \cdot 5 + 5 \cdot 7 + \dots + (2k-1)(2k+1) + (2k+1)(2k+3) \)
\( = \left(1 \cdot 3 + 3 \cdot 5 + 5 \cdot 7 + \dots + (2k-1)(2k+1)\right) + (2k+1)(2k+3) \)
સમીકરણ (1) નો ઉપયોગ કરીને,
\( = \frac{k(4k^2+6k-1)}{3} + (2k+1)(2k+3) \)
\( = \frac{k(4k^2+6k-1) + 3(2k+1)(2k+3)}{3} \)
\( = \frac{4k^3+6k^2-k + 3(4k^2+8k+3)}{3} \)
\( = \frac{4k^3+6k^2-k + 12k^2+24k+9}{3} \)
\( = \frac{4k^3+18k^2+23k+9}{3} \)
અંશને અવયવ પાડતા: \( (k+1)(4k^2+14k+9) \)
\( = \frac{(k+1)(4k^2+14k+9)}{3} \)
આપણે જાણીએ છીએ કે \( 4k^2+14k+9 = 4(k+1)^2+6(k+1)-1 \) છે.
\( = \frac{(k+1)\{4(k+1)^2+6(k+1)-1\}}{3} \)
\( = \) જમણી બાજુ (RHS).
માટે, P (k + 1) પણ સાચું છે.
આથી, ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંત અનુસાર, પ્રત્યેક \( n \in N \) માટે P (n) સાચું છે.
તેથી, \( 1 \cdot 3 + 3 \cdot 5 + 5 \cdot 7 + \dots + (2n-1)(2n+1) = \frac{n(4n^2+6n-1)}{3} \), \( \forall n \in N \).
In simple words: આપણે ગાણિતિક અનુમાનનો ઉપયોગ કરીને વિષમ સંખ્યાઓના ગુણાકારના સરવાળાનું સૂત્ર સાબિત કરીએ છીએ. n=1 માટે તપાસ કરીએ, n=k માટે સાચું ધારીએ અને n=k+1 માટે સાબિત કરીએ.

Exam Tip: \( 4k^3+18k^2+23k+9 \) જેવા બહુપદીના અવયવ પાડવા ક્યારેક મુશ્કેલ બની શકે છે. ઉકેલના બીજા ભાગ (RHS) ને જોઈને અનુમાન લગાવો કે \( (k+1) \) એક અવયવ હોઈ શકે છે.

Question 8. \( 1 \cdot 2 + 2 \cdot 2^2 + 3 \cdot 2^3 + \dots + n \cdot 2^n = (n-1)2^{n+1} + 2 \)
Answer: અહીં, આપણે P (n) ને \( 1 \cdot 2 + 2 \cdot 2^2 + 3 \cdot 2^3 + \dots + n \cdot 2^n = (n-1)2^{n+1} + 2 \) તરીકે લઈએ છીએ; જ્યાં \( n \in N \).
હવે, n = 1 માટે,
ડાબી બાજુ (LHS) = \( 1 \cdot 2^1 = 2 \)
જમણી બાજુ (RHS) = \( (1-1)2^{1+1} + 2 = 0 \cdot 2^2 + 2 = 0 + 2 = 2 \)
માટે, n = 1 માટે ડાબી બાજુ (LHS) = જમણી બાજુ (RHS).
તેથી, P (1) સાચું છે.
હવે, ધારો કે, કોઈક \( k \in N \) માટે P (k) સાચું છે.
એટલે કે, \( 1 \cdot 2 + 2 \cdot 2^2 + 3 \cdot 2^3 + \dots + k \cdot 2^k = (k-1)2^{k+1} + 2 \)........(1)
હવે, P (k + 1) સાચું સાબિત કરવા માટે, આપણે \( 1 \cdot 2 + 2 \cdot 2^2 + \dots + k \cdot 2^k + (k+1)2^{k+1} = ((k+1)-1)2^{(k+1)+1} + 2 = k \cdot 2^{k+2} + 2 \) સાબિત કરવું પડશે. તે માટે,
ડાબી બાજુ (LHS) = \( 1 \cdot 2 + 2 \cdot 2^2 + \dots + k \cdot 2^k + (k+1)2^{k+1} \)
\( = \left(1 \cdot 2 + 2 \cdot 2^2 + \dots + k \cdot 2^k\right) + (k+1)2^{k+1} \)
સમીકરણ (1) નો ઉપયોગ કરીને,
\( = (k-1)2^{k+1} + 2 + (k+1)2^{k+1} \)
\( = 2^{k+1}((k-1)+(k+1)) + 2 \)
\( = 2^{k+1}(2k) + 2 \)
\( = k \cdot 2 \cdot 2^{k+1} + 2 \)
\( = k \cdot 2^{k+2} + 2 \)
\( = \) જમણી બાજુ (RHS).
માટે, P (k + 1) પણ સાચું છે.
આથી, ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંત અનુસાર, પ્રત્યેક \( n \in N \) માટે P (n) સાચું છે.
તેથી, \( 1 \cdot 2 + 2 \cdot 2^2 + 3 \cdot 2^3 + \dots + n \cdot 2^n = (n-1)2^{n+1} + 2 \), \( \forall n \in N \).
In simple words: આપણે ગાણિતિક અનુમાનનો ઉપયોગ કરીને ઘાતાંકીય શ્રેણીના સરવાળાના સૂત્રને સાબિત કરીએ છીએ. n=1, n=k, અને n=k+1 માટેના નિયમિત પગલાંઓનું પાલન કરીએ છીએ.

Exam Tip: \( 2^{k+1} \) જેવા સામાન્ય અવયવોને યોગ્ય રીતે બહાર કાઢીને ગણતરી સરળ બનાવો. ગુણાકાર અને ઘાતાંકના નિયમોનું ધ્યાન રાખો, ખાસ કરીને \( 2 \cdot 2^{k+1} = 2^{k+2} \).

Question 9. \( \frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\dots+\frac{1}{2^n} = 1 - \frac{1}{2^n} \)
Answer: અહીં, આપણે P (n) ને \( \frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\dots+\frac{1}{2^n} = 1 - \frac{1}{2^n} \) તરીકે લઈએ છીએ; જ્યાં \( n \in N \).
હવે, n = 1 માટે,
ડાબી બાજુ (LHS) = \( \frac{1}{2} \)
જમણી બાજુ (RHS) = \( 1 - \frac{1}{2^1} = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \)
માટે, n = 1 માટે ડાબી બાજુ (LHS) = જમણી બાજુ (RHS).
તેથી, P (1) સાચું છે.
હવે, ધારો કે, કોઈક \( k \in N \) માટે P (k) સાચું છે.
એટલે કે, \( \frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\dots+\frac{1}{2^k}=1-\frac{1}{2^k} \)........(1)
હવે, P (k + 1) સાચું સાબિત કરવા માટે, આપણે \( \frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\dots+\frac{1}{2^k}+\frac{1}{2^{k+1}}=1-\frac{1}{2^{k+1}} \) સાબિત કરવું પડશે. તે માટે,
ડાબી બાજુ (LHS) = \( \frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\dots+\frac{1}{2^k}+\frac{1}{2^{k+1}} \)
\( = \left(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\dots+\frac{1}{2^k}\right) + \frac{1}{2^{k+1}} \)
સમીકરણ (1) નો ઉપયોગ કરીને,
\( = \left(1-\frac{1}{2^k}\right) + \frac{1}{2^{k+1}} \)
\( = 1 - \frac{1}{2^k} + \frac{1}{2^k \cdot 2} \)
\( = 1 + \frac{1}{2^k} \left(-1 + \frac{1}{2}\right) \)
\( = 1 + \frac{1}{2^k} \left(-\frac{1}{2}\right) \)
\( = 1 - \frac{1}{2^{k+1}} \)
\( = \) જમણી બાજુ (RHS).
માટે, P (k + 1) પણ સાચું છે.
આથી, ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંત અનુસાર, પ્રત્યેક \( n \in N \) માટે P (n) સાચું છે.
તેથી, \( \frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\dots+\frac{1}{2^n} = 1 - \frac{1}{2^n} \), \( \forall n \in N \).
In simple words: આપણે ગાણિતિક અનુમાનનો ઉપયોગ કરીને ગુણોત્તર શ્રેણીના સરવાળાનું સૂત્ર સાબિત કરીએ છીએ. n=1, n=k અને n=k+1 માટેના પગલાંઓનું પાલન કરીએ છીએ.

Exam Tip: \( \frac{1}{2^{k+1}} \) ને \( \frac{1}{2^k \cdot 2} \) તરીકે લખવું ગણતરીમાં મદદ કરી શકે છે, જેથી સામાન્ય અવયવ \( \frac{1}{2^k} \) ને બહાર કાઢી શકાય.

Question 10. \( \frac{1}{2 \cdot 5}+\frac{1}{5 \cdot 8}+\frac{1}{8 \cdot 11}+\dots+\frac{1}{(3n-1)(3n+2)}=\frac{n}{6n+4} \)
Answer: અહીં, આપણે P (n) ને \( \frac{1}{2 \cdot 5}+\frac{1}{5 \cdot 8}+\frac{1}{8 \cdot 11}+\dots+\frac{1}{(3n-1)(3n+2)}=\frac{n}{6n+4} \) તરીકે લઈએ છીએ; જ્યાં \( n \in N \).
હવે, n = 1 માટે,
ડાબી બાજુ (LHS) = \( \frac{1}{2 \cdot 5}=\frac{1}{10} \)
જમણી બાજુ (RHS) = \( \frac{1}{6(1)+4}=\frac{1}{10} \)
માટે, n = 1 માટે ડાબી બાજુ (LHS) = જમણી બાજુ (RHS).
તેથી, P (1) સાચું છે.
હવે, ધારો કે, કોઈક \( k \in N \) માટે P (k) સાચું છે.
એટલે કે, \( \frac{1}{2 \cdot 5}+\frac{1}{5 \cdot 8}+\frac{1}{8 \cdot 11}+\dots+\frac{1}{(3k-1)(3k+2)}=\frac{k}{6k+4} \)........(1)
હવે, P (k + 1) સાચું સાબિત કરવા માટે, આપણે \( \frac{1}{2 \cdot 5}+\frac{1}{5 \cdot 8}+\frac{1}{8 \cdot 11}+\dots+\frac{1}{(3k-1)(3k+2)}+\frac{1}{(3(k+1)-1)(3(k+1)+2)}=\frac{k+1}{6(k+1)+4} \) સાબિત કરવું પડશે. તે માટે,
ડાબી બાજુ (LHS) = \( \frac{1}{2 \cdot 5}+\frac{1}{5 \cdot 8}+\frac{1}{8 \cdot 11}+\dots+\frac{1}{(3k-1)(3k+2)}+\frac{1}{(3k+2)(3k+5)} \)
\( = \left(\frac{1}{2 \cdot 5}+\frac{1}{5 \cdot 8}+\frac{1}{8 \cdot 11}+\dots+\frac{1}{(3k-1)(3k+2)}\right) + \frac{1}{(3k+2)(3k+5)} \)
સમીકરણ (1) નો ઉપયોગ કરીને,
\( = \frac{k}{6k+4} + \frac{1}{(3k+2)(3k+5)} \)
\( = \frac{k}{2(3k+2)} + \frac{1}{(3k+2)(3k+5)} \)
\( = \frac{1}{3k+2} \left(\frac{k}{2} + \frac{1}{3k+5}\right) \)
\( = \frac{1}{3k+2} \left(\frac{k(3k+5)+2}{2(3k+5)}\right) \)
\( = \frac{1}{3k+2} \left(\frac{3k^2+5k+2}{2(3k+5)}\right) \)
અંશને અવયવ પાડતા: \( 3k^2+5k+2 = (3k+2)(k+1) \)
\( = \frac{1}{3k+2} \left(\frac{(3k+2)(k+1)}{2(3k+5)}\right) \)
\( = \frac{k+1}{2(3k+5)} \)
\( = \frac{k+1}{6k+10} \)
\( = \frac{k+1}{6(k+1)+4} \)
\( = \) જમણી બાજુ (RHS).
માટે, P (k + 1) પણ સાચું છે.
આથી, ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંત અનુસાર, પ્રત્યેક \( n \in N \) માટે P (n) સાચું છે.
તેથી, \( \frac{1}{2 \cdot 5}+\frac{1}{5 \cdot 8}+\frac{1}{8 \cdot 11}+\dots+\frac{1}{(3n-1)(3n+2)}=\frac{n}{6n+4} \), \( \forall n \in N \).
In simple words: આપણે ગાણિતિક અનુમાનનો ઉપયોગ કરીને અપૂર્ણાંક શ્રેણીના સરવાળાના સૂત્રને સાબિત કરીએ છીએ. n=1, n=k અને n=k+1 માટેના પગલાંઓનું પાલન કરીએ છીએ.

Exam Tip: અપૂર્ણાંકોના સરવાળા કરતી વખતે સામાન્ય છેદ લેવો અને અંશમાં બહુપદીના અવયવ પાડવા મહત્વપૂર્ણ છે. \( (3k+2) \) જેવા સામાન્ય અવયવને રદ કરવાથી ગણતરી સરળ બને છે.

Question 11. \( \frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3}+\frac{1}{2 \cdot 3 \cdot 4}+\frac{1}{3 \cdot 4 \cdot 5}+\dots+\frac{1}{n(n+1)(n+2)}=\frac{n(n+3)}{4(n+1)(n+2)} \)
Answer: અહીં, આપણે P (n) ને \( \frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3}+\frac{1}{2 \cdot 3 \cdot 4}+\frac{1}{3 \cdot 4 \cdot 5}+\dots+\frac{1}{n(n+1)(n+2)}=\frac{n(n+3)}{4(n+1)(n+2)} \) તરીકે લઈએ છીએ; જ્યાં \( n \in N \).
હવે, n = 1 માટે,
ડાબી બાજુ (LHS) = \( \frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3}=\frac{1}{6} \)
જમણી બાજુ (RHS) = \( \frac{1(1+3)}{4(1+1)(1+2)} = \frac{4}{4 \cdot 2 \cdot 3} = \frac{4}{24} = \frac{1}{6} \)
માટે, n = 1 માટે ડાબી બાજુ (LHS) = જમણી બાજુ (RHS).
તેથી, P (1) સાચું છે.
હવે, ધારો કે, કોઈક \( k \in N \) માટે P (k) સાચું છે.
એટલે કે, \( \frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3}+\frac{1}{2 \cdot 3 \cdot 4}+\frac{1}{3 \cdot 4 \cdot 5}+\dots+\frac{1}{k(k+1)(k+2)}=\frac{k(k+3)}{4(k+1)(k+2)} \)........(1)
હવે, P (k + 1) સાચું સાબિત કરવા માટે, આપણે \( \frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3}+\frac{1}{2 \cdot 3 \cdot 4}+\dots+\frac{1}{k(k+1)(k+2)}+\frac{1}{(k+1)((k+1)+1)((k+1)+2)}=\frac{(k+1)((k+1)+3)}{4((k+1)+1)((k+1)+2)} = \frac{(k+1)(k+4)}{4(k+2)(k+3)} \) સાબિત કરવું પડશે. તે માટે,
ડાબી બાજુ (LHS) = \( \frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3}+\frac{1}{2 \cdot 3 \cdot 4}+\dots+\frac{1}{k(k+1)(k+2)}+\frac{1}{(k+1)(k+2)(k+3)} \)
\( = \left(\frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3}+\frac{1}{2 \cdot 3 \cdot 4}+\dots+\frac{1}{k(k+1)(k+2)}\right) + \frac{1}{(k+1)(k+2)(k+3)} \)
સમીકરણ (1) નો ઉપયોગ કરીને,
\( = \frac{k(k+3)}{4(k+1)(k+2)} + \frac{1}{(k+1)(k+2)(k+3)} \)
\( = \frac{1}{(k+1)(k+2)} \left(\frac{k(k+3)}{4} + \frac{1}{k+3}\right) \)
\( = \frac{1}{(k+1)(k+2)} \left(\frac{k(k+3)^2+4}{4(k+3)}\right) \)
\( = \frac{k(k^2+6k+9)+4}{4(k+1)(k+2)(k+3)} \)
\( = \frac{k^3+6k^2+9k+4}{4(k+1)(k+2)(k+3)} \)
\( = \frac{k^3+k^2+5k^2+5k+4k+4}{4(k+1)(k+2)(k+3)} \)
\( = \frac{k^2(k+1)+5k(k+1)+4(k+1)}{4(k+1)(k+2)(k+3)} \)
\( = \frac{(k+1)(k^2+5k+4)}{4(k+1)(k+2)(k+3)} \)
\( = \frac{(k+1)(k+1)(k+4)}{4(k+1)(k+2)(k+3)} \)
\( = \frac{(k+1)(k+4)}{4(k+2)(k+3)} \)
\( = \) જમણી બાજુ (RHS).
માટે, P (k + 1) પણ સાચું છે.
આથી, ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંત અનુસાર, પ્રત્યેક \( n \in N \) માટે P (n) સાચું છે.
તેથી, \( \frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3}+\frac{1}{2 \cdot 3 \cdot 4}+\frac{1}{3 \cdot 4 \cdot 5}+\dots+\frac{1}{n(n+1)(n+2)}=\frac{n(n+3)}{4(n+1)(n+2)} \), \( \forall n \in N \).
In simple words: આપણે ગાણિતિક અનુમાનનો ઉપયોગ કરીને અપૂર્ણાંક શ્રેણીના સરવાળાનું સૂત્ર સાબિત કરીએ છીએ. n=1, n=k અને n=k+1 માટેના પગલાંઓનું પાલન કરીએ છીએ.

Exam Tip: આવા જટિલ અપૂર્ણાંક શ્રેણીના દાખલામાં, સામાન્ય અવયવને યોગ્ય રીતે બહાર કાઢવા અને અંશમાં બહુપદીના અવયવ પાડવા પર વિશેષ ધ્યાન આપો.

Question 12. \( a + ar + ar^2 + \dots + ar^{n-1} = \frac{a(r^n-1)}{r-1} \)
Answer: અહીં, આપણે P (n) ને \( a + ar + ar^2 + \dots + ar^{n-1} = \frac{a(r^n-1)}{r-1} \) તરીકે લઈએ છીએ; જ્યાં \( n \in N \).
હવે, n = 1 માટે,
ડાબી બાજુ (LHS) = \( a \)
જમણી બાજુ (RHS) = \( \frac{a(r^1-1)}{r-1} = \frac{a(r-1)}{r-1} = a \)
માટે, n = 1 માટે ડાબી બાજુ (LHS) = જમણી બાજુ (RHS).
તેથી, P (1) સાચું છે.
હવે, ધારો કે, કોઈક \( k \in N \) માટે P (k) સાચું છે.
એટલે કે, \( a + ar + ar^2 + \dots + ar^{k-1} = \frac{a(r^k-1)}{r-1} \)........(1)
હવે, P (k + 1) સાચું સાબિત કરવા માટે, આપણે \( a + ar + ar^2 + \dots + ar^{k-1} + ar^k = \frac{a(r^{(k+1)}-1)}{r-1} \) સાબિત કરવું પડશે. તે માટે,
ડાબી બાજુ (LHS) = \( a + ar + ar^2 + \dots + ar^{k-1} + ar^k \)
\( = \left(a + ar + ar^2 + \dots + ar^{k-1}\right) + ar^k \)
સમીકરણ (1) નો ઉપયોગ કરીને,
\( = \frac{a(r^k-1)}{r-1} + ar^k \)
\( = \frac{ar^k-a + ar^k(r-1)}{r-1} \)
\( = \frac{ar^k-a + ar^{k+1}-ar^k}{r-1} \)
\( = \frac{ar^{k+1}-a}{r-1} \)
\( = \frac{a(r^{k+1}-1)}{r-1} \)
\( = \) જમણી બાજુ (RHS).
માટે, P (k + 1) પણ સાચું છે.
આથી, ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંત અનુસાર, પ્રત્યેક \( n \in N \) માટે P (n) સાચું છે.
તેથી, \( a + ar + ar^2 + \dots + ar^{n-1} = \frac{a(r^n-1)}{r-1} \), \( \forall n \in N \).
In simple words: આપણે ગુણોત્તર શ્રેણીના સરવાળાનું સૂત્ર ગાણિતિક અનુમાનનો ઉપયોગ કરીને સાબિત કરીએ છીએ. n=1 માટે તપાસીએ, n=k માટે સાચું ધારીએ, અને અંતે n=k+1 માટે સાબિત કરીએ.

Exam Tip: ગુણોત્તર શ્રેણીના સરવાળાના સૂત્રની સાબિતીમાં, સામાન્ય ગુણોત્તર (r) ને આધારે પદોને યોગ્ય રીતે ગોઠવવા અને છેદને સાફ કરવો એ મુખ્ય પગલું છે.

Question 13. \( \left(1 + \frac{3}{1}\right) \left(1 + \frac{5}{4}\right) \left(1 + \frac{7}{9}\right) \dots \left(1 + \frac{2n+1}{n^2}\right) = (n+1)^2 \)
Answer: અહીં, આપણે P (n) ને \( \left(1 + \frac{3}{1}\right) \left(1 + \frac{5}{4}\right) \left(1 + \frac{7}{9}\right) \dots \left(1 + \frac{2n+1}{n^2}\right) = (n+1)^2 \) તરીકે લઈએ છીએ; જ્યાં \( n \in N \).
હવે, n = 1 માટે,
ડાબી બાજુ (LHS) = \( \left(1 + \frac{3}{1}\right) = 1+3 = 4 \)
જમણી બાજુ (RHS) = \( (1+1)^2 = 2^2 = 4 \)
માટે, n = 1 માટે ડાબી બાજુ (LHS) = જમણી બાજુ (RHS).
તેથી, P (1) સાચું છે.
હવે, ધારો કે, કોઈક \( k \in N \) માટે P (k) સાચું છે.
એટલે કે, \( \left(1 + \frac{3}{1}\right) \left(1 + \frac{5}{4}\right) \left(1 + \frac{7}{9}\right) \dots \left(1 + \frac{2k+1}{k^2}\right) = (k+1)^2 \)........(1)
હવે, P (k + 1) સાચું સાબિત કરવા માટે, આપણે \( \left(1 + \frac{3}{1}\right) \left(1 + \frac{5}{4}\right) \dots \left(1 + \frac{2k+1}{k^2}\right) \left(1 + \frac{2(k+1)+1}{(k+1)^2}\right) = ((k+1)+1)^2 = (k+2)^2 \) સાબિત કરવું પડશે. તે માટે,
ડાબી બાજુ (LHS) = \( \left(1 + \frac{3}{1}\right) \left(1 + \frac{5}{4}\right) \dots \left(1 + \frac{2k+1}{k^2}\right) \left(1 + \frac{2k+3}{(k+1)^2}\right) \)
\( = \left[\left(1 + \frac{3}{1}\right) \left(1 + \frac{5}{4}\right) \dots \left(1 + \frac{2k+1}{k^2}\right)\right] \left(1 + \frac{2k+3}{(k+1)^2}\right) \)
સમીકરણ (1) નો ઉપયોગ કરીને,
\( = (k+1)^2 \left(1 + \frac{2k+3}{(k+1)^2}\right) \)
\( = (k+1)^2 \left(\frac{(k+1)^2+2k+3}{(k+1)^2}\right) \)
\( = (k+1)^2+2k+3 \)
\( = (k^2+2k+1)+2k+3 \)
\( = k^2+4k+4 \)
\( = (k+2)^2 \)
\( = \) જમણી બાજુ (RHS).
માટે, P (k + 1) પણ સાચું છે.
આથી, ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંત અનુસાર, પ્રત્યેક \( n \in N \) માટે P (n) સાચું છે.
તેથી, \( \left(1 + \frac{3}{1}\right) \left(1 + \frac{5}{4}\right) \left(1 + \frac{7}{9}\right) \dots \left(1 + \frac{2n+1}{n^2}\right) = (n+1)^2 \), \( \forall n \in N \).
In simple words: આપણે ગાણિતિક અનુમાનનો ઉપયોગ કરીને ગુણાકાર શ્રેણીના સમીકરણને સાબિત કરીએ છીએ. n=1, n=k અને n=k+1 માટેના પગલાંઓનું પાલન કરીએ છીએ.

Exam Tip: \( \left(1 + \frac{2k+3}{(k+1)^2}\right) \) જેવા પદોને સરળ કરવા માટે \( 1 \) ને \( \frac{(k+1)^2}{(k+1)^2} \) તરીકે લખવું ઉપયોગી છે.

Question 14. \( \left(1 + \frac{1}{1}\right) \left(1 + \frac{1}{2}\right) \left(1 + \frac{1}{3}\right) \dots \left(1 + \frac{1}{n}\right) = (n+1) \)
Answer: અહીં, આપણે P (n) ને \( \left(1 + \frac{1}{1}\right) \left(1 + \frac{1}{2}\right) \left(1 + \frac{1}{3}\right) \dots \left(1 + \frac{1}{n}\right) = (n+1) \) તરીકે લઈએ છીએ; જ્યાં \( n \in N \).
હવે, n = 1 માટે,
ડાબી બાજુ (LHS) = \( \left(1 + \frac{1}{1}\right) = 1+1 = 2 \)
જમણી બાજુ (RHS) = \( (1+1) = 2 \)
માટે, n = 1 માટે ડાબી બાજુ (LHS) = જમણી બાજુ (RHS).
તેથી, P (1) સાચું છે.
હવે, ધારો કે, કોઈક \( k \in N \) માટે P (k) સાચું છે.
એટલે કે, \( \left(1 + \frac{1}{1}\right) \left(1 + \frac{1}{2}\right) \left(1 + \frac{1}{3}\right) \dots \left(1 + \frac{1}{k}\right) = (k+1) \)........(1)
હવે, P (k + 1) સાચું સાબિત કરવા માટે, આપણે \( \left(1 + \frac{1}{1}\right) \left(1 + \frac{1}{2}\right) \dots \left(1 + \frac{1}{k}\right) \left(1 + \frac{1}{k+1}\right) = ((k+1)+1) = (k+2) \) સાબિત કરવું પડશે. તે માટે,
ડાબી બાજુ (LHS) = \( \left(1 + \frac{1}{1}\right) \left(1 + \frac{1}{2}\right) \dots \left(1 + \frac{1}{k}\right) \left(1 + \frac{1}{k+1}\right) \)
\( = \left[\left(1 + \frac{1}{1}\right) \left(1 + \frac{1}{2}\right) \dots \left(1 + \frac{1}{k}\right)\right] \left(1 + \frac{1}{k+1}\right) \)
સમીકરણ (1) નો ઉપયોગ કરીને,
\( = (k+1) \left(1 + \frac{1}{k+1}\right) \)
\( = (k+1) \left(\frac{k+1+1}{k+1}\right) \)
\( = (k+1) \left(\frac{k+2}{k+1}\right) \)
\( = k+2 \)
\( = \) જમણી બાજુ (RHS).
માટે, P (k + 1) પણ સાચું છે.
આથી, ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંત અનુસાર, પ્રત્યેક \( n \in N \) માટે P (n) સાચું છે.
તેથી, \( \left(1 + \frac{1}{1}\right) \left(1 + \frac{1}{2}\right) \left(1 + \frac{1}{3}\right) \dots \left(1 + \frac{1}{n}\right) = (n+1) \), \( \forall n \in N \).
In simple words: આપણે ગાણિતિક અનુમાનનો ઉપયોગ કરીને ગુણાકાર શ્રેણીના સમીકરણને સાબિત કરીએ છીએ. n=1, n=k અને n=k+1 માટેના પગલાંઓનું પાલન કરીએ છીએ.

Exam Tip: \( \left(1 + \frac{1}{k+1}\right) \) જેવા પદોને સરળ કરવા માટે, અપૂર્ણાંકને એકલ પદમાં રૂપાંતરિત કરવું ખૂબ જ મદદરૂપ છે: \( \frac{k+1+1}{k+1} = \frac{k+2}{k+1} \).

Question 15. \( 1^2 + 3^2 + 5^2 + \dots + (2n-1)^2 = \frac{n(2n-1)(2n+1)}{3} \)
Answer: અહીં, આપણે P (n) ને \( 1^2 + 3^2 + 5^2 + \dots + (2n-1)^2 = \frac{n(2n-1)(2n+1)}{3} \) તરીકે લઈએ છીએ; જ્યાં \( n \in N \).
હવે, n = 1 માટે,
ડાબી બાજુ (LHS) = \( 1^2 = 1 \)
જમણી બાજુ (RHS) = \( \frac{1(2(1)-1)(2(1)+1)}{3} = \frac{1 \cdot 1 \cdot 3}{3} = 1 \)
માટે, n = 1 માટે ડાબી બાજુ (LHS) = જમણી બાજુ (RHS).
તેથી, P (1) સાચું છે.
હવે, ધારો કે, કોઈક \( k \in N \) માટે P (k) સાચું છે.
એટલે કે, \( 1^2 + 3^2 + 5^2 + \dots + (2k-1)^2 = \frac{k(2k-1)(2k+1)}{3} \)........(1)
હવે, P (k + 1) સાચું સાબિત કરવા માટે, આપણે \( 1^2 + 3^2 + 5^2 + \dots + (2k-1)^2 + (2(k+1)-1)^2 = \frac{(k+1)(2(k+1)-1)(2(k+1)+1)}{3} = \frac{(k+1)(2k+1)(2k+3)}{3} \) સાબિત કરવું પડશે. તે માટે,
ડાબી બાજુ (LHS) = \( 1^2 + 3^2 + 5^2 + \dots + (2k-1)^2 + (2k+1)^2 \)
\( = \left(1^2 + 3^2 + 5^2 + \dots + (2k-1)^2\right) + (2k+1)^2 \)
સમીકરણ (1) નો ઉપયોગ કરીને,
\( = \frac{k(2k-1)(2k+1)}{3} + (2k+1)^2 \)
\( = (2k+1) \left(\frac{k(2k-1)}{3} + (2k+1)\right) \)
\( = (2k+1) \left(\frac{k(2k-1)+3(2k+1)}{3}\right) \)
\( = (2k+1) \left(\frac{2k^2-k+6k+3}{3}\right) \)
\( = (2k+1) \left(\frac{2k^2+5k+3}{3}\right) \)
અંશને અવયવ પાડતા: \( 2k^2+5k+3 = (2k+3)(k+1) \)
\( = (2k+1) \left(\frac{(k+1)(2k+3)}{3}\right) \)
\( = \frac{(k+1)(2k+1)(2k+3)}{3} \)
\( = \) જમણી બાજુ (RHS).
માટે, P (k + 1) પણ સાચું છે.
આથી, ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંત અનુસાર, પ્રત્યેક \( n \in N \) માટે P (n) સાચું છે.
તેથી, \( 1^2 + 3^2 + 5^2 + \dots + (2n-1)^2 = \frac{n(2n-1)(2n+1)}{3} \), \( \forall n \in N \).
In simple words: આપણે ગાણિતિક અનુમાનનો ઉપયોગ કરીને વિષમ સંખ્યાઓના વર્ગના સરવાળાનું સૂત્ર સાબિત કરીએ છીએ. n=1, n=k અને n=k+1 માટેના પગલાંઓનું પાલન કરીએ છીએ.

Exam Tip: \( (2k+1) \) જેવા સામાન્ય અવયવોને બહાર કાઢીને ગણતરી સરળ બનાવો. અંશમાં બહુપદીના અવયવ પાડતી વખતે કાળજી રાખો.

Question 17. Prove by the Principle of Mathematical Induction that for all \( n \in N \):
\( \frac{1}{3 \cdot 5}+\frac{1}{5 \cdot 7}+\frac{1}{7 \cdot 9}+\ldots+\frac{1}{(2n+1)(2 n+3)}=\frac{n}{3(2 n+3)} \)
Answer: Here, we consider the statement \( P(n) \) as \( \frac{1}{3 \cdot 5}+\frac{1}{5 \cdot 7}+\frac{1}{7 \cdot 9}+\ldots+\frac{1}{(2n+1)(2 n+3)}=\frac{n}{3(2 n+3)} \), where \( n \) is a natural number.
**Step 1: Base Case (for \( n=1 \))**
For \( n=1 \), the Left Hand Side (LHS) is \( \frac{1}{3 \cdot 5} = \frac{1}{15} \).
The Right Hand Side (RHS) is \( \frac{1}{3\{2(1)+3\}} = \frac{1}{3(2+3)} = \frac{1}{3(5)} = \frac{1}{15} \).
Since LHS equals RHS, the statement \( P(1) \) is true.
**Step 2: Inductive Hypothesis**
Next, we assume that the statement \( P(k) \) is true for some natural number \( k \). This means:
\( \frac{1}{3 \cdot 5}+\frac{1}{5 \cdot 7}+\frac{1}{7 \cdot 9}+\ldots+\frac{1}{(2 k+1)(2 k+3)}=\frac{k}{3(2 k+3)} \) ...........(1)
**Step 3: Inductive Step (for \( n=k+1 \))**
To prove that \( P(k+1) \) is true, we must show that:
\( \frac{1}{3 \cdot 5}+\frac{1}{5 \cdot 7}+\frac{1}{7 \cdot 9}+\ldots+\frac{1}{(2 k+1)(2 k+3)}+\frac{1}{(2 k+3)(2 k+5)}=\frac{k+1}{3(2 k+5)} \)
Starting with the LHS of \( P(k+1) \):
\( \text{LHS} = \left(\frac{1}{3 \cdot 5}+\frac{1}{5 \cdot 7}+\frac{1}{7 \cdot 9}+\ldots+\frac{1}{(2 k+1)(2 k+3)}\right)+\frac{1}{(2 k+3)(2 k+5)} \)
Using the inductive hypothesis from Equation (1), we substitute the sum of the first \( k \) terms:
\( \text{LHS} = \frac{k}{3(2 k+3)}+\frac{1}{(2 k+3)(2 k+5)} \)
Now, we take \( \frac{1}{(2k+3)} \) as a common factor:
\( \text{LHS} = \frac{1}{(2 k+3)}\left\{\frac{k}{3}+\frac{1}{(2 k+5)}\right\} \)
Combine the terms inside the curly brackets:
\( \text{LHS} = \frac{1}{(2 k+3)}\left\{\frac{k(2 k+5)+3}{3(2 k+5)}\right\} \)
Expand the numerator:
\( \text{LHS} = \frac{1}{(2 k+3)}\left\{\frac{2 k^2+5 k+3}{3(2 k+5)}\right\} \)
Factor the quadratic expression in the numerator (\( 2k^2+5k+3 = (k+1)(2k+3) \)):
\( \text{LHS} = \frac{1}{(2 k+3)}\frac{(k+1)(2 k+3)}{3(2 k+5)} \)
Cancel out the common term \( (2k+3) \):
\( \text{LHS} = \frac{k+1}{3(2 k+5)} \)
This is equal to the RHS of \( P(k+1) \).
Thus, \( P(k+1) \) is true.
**Conclusion:**
Since \( P(1) \) is true and \( P(k+1) \) is true whenever \( P(k) \) is true, by the Principle of Mathematical Induction, the statement \( P(n) \) holds for all natural numbers \( n \).
In simple words: We showed that the formula works for the first number, then assumed it works for any number \( k \). Using that assumption, we proved it also works for the next number, \( k+1 \). Because it works for the start and keeps working for the next one, it must work for all numbers.

Exam Tip: For proofs by induction involving series, remember to clearly separate the inductive hypothesis from the \( k+1 \) step. When manipulating the expression for \( P(k+1) \), ensure you explicitly use the assumption for \( P(k) \) to simplify. Factorization skills are often key in the final steps.

Question 18. Prove by the Principle of Mathematical Induction that for all \( n \in N \):
\( 1 + 2 + 3 + \ldots + n < \frac{1}{8}(2n + 1)^2 \)
Answer: Here, we consider the statement \( P(n) \): \( 1 + 2 + 3 + \ldots + n < \frac{1}{8}(2n + 1)^2 \) for all natural numbers \( n \).
**Step 1: Base Case (for \( n=1 \))**
For \( n=1 \), the Left Hand Side (LHS) is \( 1 \).
The Right Hand Side (RHS) is \( \frac{1}{8}\{2(1) + 1\}^2 = \frac{1}{8}(3)^2 = \frac{9}{8} \).
Since \( 1 < \frac{9}{8} \), we see that LHS is less than RHS, so \( P(1) \) is true.
**Step 2: Inductive Hypothesis**
Next, assume that the statement \( P(k) \) is true for some natural number \( k \). This means:
\( 1 + 2 + 3 + \ldots + k < \frac{1}{8}(2k + 1)^2 \) ...........(1)
**Step 3: Inductive Step (for \( n=k+1 \))**
To prove that \( P(k+1) \) is true, we must show that:
\( 1 + 2 + 3 + \ldots + k + (k + 1) < \frac{1}{8}(2k + 3)^2 \)
Starting with the LHS of \( P(k+1) \):
\( \text{LHS} = (1 + 2 + 3 + \ldots + k) + (k + 1) \)
Using the inductive hypothesis from Equation (1), we know that \( (1 + 2 + 3 + \ldots + k) < \frac{1}{8}(2k + 1)^2 \).
So, we can write:
\( \text{LHS} < \frac{1}{8}(2k + 1)^2 + (k + 1) \)
Now, we simplify the right side of this inequality:
\( = \frac{(2k + 1)^2 + 8(k + 1)}{8} \)
\( = \frac{4k^2 + 4k + 1 + 8k + 8}{8} \)
\( = \frac{4k^2 + 12k + 9}{8} \)
We need to show that this expression is less than \( \frac{1}{8}(2k + 3)^2 \).
Note that \( (2k+3)^2 = 4k^2 + 12k + 9 \).
Therefore, \( \frac{4k^2 + 12k + 9}{8} = \frac{1}{8}(2k + 3)^2 \).
So, \( 1 + 2 + 3 + \ldots + k + (k + 1) < \frac{1}{8}(2k + 3)^2 \).
Thus, \( P(k+1) \) is true.
**Conclusion:**
Since \( P(1) \) is true and \( P(k+1) \) is true whenever \( P(k) \) is true, by the Principle of Mathematical Induction, the statement \( P(n) \) holds for all natural numbers \( n \).
In simple words: We first checked if the inequality works for the first number. Then we assumed it works for any number \( k \). With that assumption, we proved it also works for the next number, \( k+1 \), showing that the sum of numbers up to \( k+1 \) is still smaller than the expected value. This means the inequality is true for all numbers.

Exam Tip: When proving inequalities by induction, be precise in your algebraic steps. After applying the inductive hypothesis, sometimes you need to show an intermediate inequality to reach the desired form for \( P(k+1) \).

Question 19. Prove by the Principle of Mathematical Induction that for all \( n \in N \):
\( n(n+1)(n+5) \) is a multiple of 3.
Answer: Here, we consider the statement \( P(n) \): \( n(n+1)(n+5) \) is a multiple of 3 for all natural numbers \( n \). This implies that \( n(n+1)(n+5) = 3m \), where \( m \) is some integer.
**Step 1: Base Case (for \( n=1 \))**
For \( n=1 \), the expression is \( 1(1+1)(1+5) = 1 \cdot 2 \cdot 6 = 12 \).
Since 12 is a multiple of 3 (\( 12 = 3 \cdot 4 \)), the statement \( P(1) \) is true.
**Step 2: Inductive Hypothesis**
Next, assume that the statement \( P(k) \) is true for some natural number \( k \). This means:
\( k(k+1)(k+5) \) is a multiple of 3.
So, we can write \( k(k+1)(k+5) = 3a \) for some integer \( a \).
Expanding this, we get \( k(k^2 + 6k + 5) = 3a \), which simplifies to \( k^3 + 6k^2 + 5k = 3a \).
From this, we can express \( k^3 \) as \( k^3 = 3a - 6k^2 - 5k \) ...........(1)
**Step 3: Inductive Step (for \( n=k+1 \))**
To prove that \( P(k+1) \) is true, we must show that:
\( (k+1)(k+1+1)(k+1+5) \) is a multiple of 3.
This means \( (k+1)(k+2)(k+6) \) must be a multiple of 3.
Let's expand the expression for \( P(k+1) \):
\( (k+1)(k+2)(k+6) \)
\( = (k+1)(k^2 + 8k + 12) \)
\( = k(k^2 + 8k + 12) + 1(k^2 + 8k + 12) \)
\( = k^3 + 8k^2 + 12k + k^2 + 8k + 12 \)
\( = k^3 + 9k^2 + 20k + 12 \)
Now, substitute the value of \( k^3 \) from Equation (1):
\( = (3a - 6k^2 - 5k) + 9k^2 + 20k + 12 \)
\( = 3a + 3k^2 + 15k + 12 \)
Factor out 3 from this expression:
\( = 3(a + k^2 + 5k + 4) \)
Let \( b = a + k^2 + 5k + 4 \). Since \( a \) and \( k \) are integers, \( b \) will also be an integer.
So, \( (k+1)(k+2)(k+6) = 3b \).
This shows that \( (k+1)(k+2)(k+6) \) is a multiple of 3.
Thus, \( P(k+1) \) is true.
**Conclusion:**
Since \( P(1) \) is true and \( P(k+1) \) is true whenever \( P(k) \) is true, by the Principle of Mathematical Induction, the statement \( P(n) \) holds for all natural numbers \( n \).
In simple words: We checked if the number formed by \( n(n+1)(n+5) \) can be divided by 3 for the first number. Then we assumed it works for any number \( k \). After that, we used that assumption to show it also works for the next number, \( k+1 \), proving it always creates a number divisible by 3.

Exam Tip: For divisibility proofs, clearly state the inductive hypothesis as \( P(k) = M \cdot a \). In the inductive step, expand \( P(k+1) \) and substitute the expression for \( P(k) \) to factor out the divisor (e.g., 3 in this case).

Question 20. Prove by the Principle of Mathematical Induction that for all \( n \in N \):
\( 10^{2n-1} + 1 \) is divisible by 11.
Answer: Here, we consider the statement \( P(n) \): \( 10^{2n-1} + 1 \) is divisible by 11 for all natural numbers \( n \). This implies that \( 10^{2n-1} + 1 = 11m \) for some integer \( m \).
**Step 1: Base Case (for \( n=1 \))**
For \( n=1 \), the expression is \( 10^{2(1)-1} + 1 = 10^1 + 1 = 10 + 1 = 11 \).
Since 11 is divisible by 11, the statement \( P(1) \) is true.
**Step 2: Inductive Hypothesis**
Next, assume that the statement \( P(k) \) is true for some natural number \( k \). This means:
\( 10^{2k-1} + 1 \) is divisible by 11.
So, we can write \( 10^{2k-1} + 1 = 11a \) for some integer \( a \).
From this, we get \( 10^{2k-1} = 11a - 1 \).
Multiplying by \( 10^2 \), we get \( 10^{2k-1} \cdot 10^2 = (11a-1) \cdot 100 \).
\( 10^{2k+1} = 1100a - 100 \).
Alternatively, from \( 10^{2k-1} = 11a - 1 \), we can find \( 10^{2k} \).
\( 10^{2k} = 10 \cdot 10^{2k-1} = 10 (11a - 1) \) ...........(1)
**Step 3: Inductive Step (for \( n=k+1 \))**
To prove that \( P(k+1) \) is true, we must show that:
\( 10^{2(k+1)-1} + 1 \) is divisible by 11.
This means \( 10^{2k+2-1} + 1 = 10^{2k+1} + 1 \) must be divisible by 11.
Let's examine the expression for \( P(k+1) \):
\( 10^{2k+1} + 1 = 10^{2k} \cdot 10^1 + 1 \)
Substitute \( 10^{2k} \) from Equation (1):
\( = 10(11a - 1) \cdot 10 + 1 \)
\( = 100(11a - 1) + 1 \)
\( = 1100a - 100 + 1 \)
\( = 1100a - 99 \)
Factor out 11 from this expression:
\( = 11(100a - 9) \)
Let \( b = 100a - 9 \). Since \( a \) is an integer, \( b \) will also be an integer.
So, \( 10^{2k+1} + 1 = 11b \).
This shows that \( 10^{2k+1} + 1 \) is divisible by 11.
Thus, \( P(k+1) \) is true.
**Conclusion:**
Since \( P(1) \) is true and \( P(k+1) \) is true whenever \( P(k) \) is true, by the Principle of Mathematical Induction, the statement \( P(n) \) holds for all natural numbers \( n \).
In simple words: We checked if the pattern \( 10^{2n-1} + 1 \) can be divided evenly by 11 for the first number. Then we assumed it works for any number \( k \). Using that, we showed it also works for the next number, \( k+1 \), confirming it will always be divisible by 11.

Exam Tip: In divisibility proofs, the key is to strategically use the inductive hypothesis. Often, you might need to rewrite the \( k+1 \) term to isolate the \( k \) term, then substitute and factor out the divisor. Be careful with exponent manipulation.

Question 21. Prove by the Principle of Mathematical Induction that for all \( n \in N \):
\( x^{2n} - y^{2n} \) is divisible by \( x + y \).
Answer: Here, we consider the statement \( P(n) \): \( x^{2n} - y^{2n} \) is divisible by \( (x + y) \) for all natural numbers \( n \).
**Step 1: Base Case (for \( n=1 \))**
For \( n=1 \), the expression is \( x^{2(1)} - y^{2(1)} = x^2 - y^2 \).
We know that \( x^2 - y^2 = (x - y)(x + y) \).
Since \( (x - y)(x + y) \) is clearly divisible by \( (x + y) \), the statement \( P(1) \) is true.
**Step 2: Inductive Hypothesis**
Next, assume that the statement \( P(k) \) is true for some natural number \( k \). This means:
\( x^{2k} - y^{2k} \) is divisible by \( (x + y) \).
So, we can write \( x^{2k} - y^{2k} = m(x + y) \) for some polynomial \( m \) in \( x \) and \( y \) ...........(1)
**Step 3: Inductive Step (for \( n=k+1 \))**
To prove that \( P(k+1) \) is true, we must show that:
\( x^{2(k+1)} - y^{2(k+1)} \) is divisible by \( (x + y) \).
Let's examine the expression for \( P(k+1) \):
\( x^{2(k+1)} - y^{2(k+1)} = x^{2k+2} - y^{2k+2} \)
\( = x^{2k}x^2 - y^{2k}y^2 \)
To use the inductive hypothesis, we can add and subtract a term:
\( = x^{2k}x^2 - x^{2k}y^2 + x^{2k}y^2 - y^{2k}y^2 \)
Group the terms and factor:
\( = x^{2k}(x^2 - y^2) + y^2(x^{2k} - y^{2k}) \)
We know \( (x^2 - y^2) = (x - y)(x + y) \). And from Equation (1), \( (x^{2k} - y^{2k}) = m(x + y) \). Substitute these into the expression:
\( = x^{2k}(x - y)(x + y) + y^2 m(x + y) \)
Now, we can factor out \( (x + y) \) from the entire expression:
\( = (x + y) [x^{2k}(x - y) + y^2 m] \)
Let \( Q = x^{2k}(x - y) + y^2 m \). Since \( x, y \) are variables and \( m \) is a polynomial, \( Q \) will also be a polynomial in \( x \) and \( y \).
So, \( x^{2(k+1)} - y^{2(k+1)} = (x + y)Q \).
This shows that \( x^{2(k+1)} - y^{2(k+1)} \) is divisible by \( (x + y) \).
Thus, \( P(k+1) \) is true.
**Conclusion:**
Since \( P(1) \) is true and \( P(k+1) \) is true whenever \( P(k) \) is true, by the Principle of Mathematical Induction, the statement \( P(n) \) holds for all natural numbers \( n \).
In simple words: We checked if the pattern \( x^{2n} - y^{2n} \) can be divided by \( x+y \) for the first number. Then we assumed it works for any number \( k \). By adding and subtracting clever terms, we showed it also works for the next number, \( k+1 \), proving it is always divisible by \( x+y \).

Exam Tip: For divisibility proofs involving algebraic expressions, the common technique of adding and subtracting a term (e.g., \( x^{2k}y^2 \)) is often crucial. This allows you to create factors that include \( (x+y) \) and use the inductive hypothesis effectively.

Question 22. Prove by the Principle of Mathematical Induction that for all \( n \in N \):
\( 3^{2n+2} - 8n - 9 \) is divisible by 8.
Answer: Here, we consider the statement \( P(n) \): \( 3^{2n+2} - 8n - 9 \) is divisible by 8 for all natural numbers \( n \). This implies that \( 3^{2n+2} - 8n - 9 = 8m \) for some integer \( m \).
**Step 1: Base Case (for \( n=1 \))**
For \( n=1 \), the expression is \( 3^{2(1)+2} - 8(1) - 9 \).
\( = 3^{4} - 8 - 9 \)
\( = 81 - 17 \)
\( = 64 \)
Since 64 is divisible by 8 (\( 64 = 8 \cdot 8 \)), the statement \( P(1) \) is true.
**Step 2: Inductive Hypothesis**
Next, assume that the statement \( P(k) \) is true for some natural number \( k \). This means:
\( 3^{2k+2} - 8k - 9 \) is divisible by 8.
So, we can write \( 3^{2k+2} - 8k - 9 = 8a \) for some integer \( a \).
From this, we get \( 3^{2k+2} = 8a + 8k + 9 \) ...........(1)
**Step 3: Inductive Step (for \( n=k+1 \))**
To prove that \( P(k+1) \) is true, we must show that:
\( 3^{2(k+1)+2} - 8(k+1) - 9 \) is divisible by 8.
This means \( 3^{2k+4} - 8k - 8 - 9 \) must be divisible by 8.
Let's examine the expression for \( P(k+1) \):
\( 3^{2k+4} - 8k - 8 - 9 \)
We can rewrite \( 3^{2k+4} \) as \( 3^{2k+2} \cdot 3^2 \):
\( = 3^{2k+2} \cdot 9 - 8k - 17 \)
Now, substitute \( 3^{2k+2} = 8a + 8k + 9 \) from Equation (1):
\( = (8a + 8k + 9) \cdot 9 - 8k - 17 \)
\( = 72a + 72k + 81 - 8k - 17 \)
Combine like terms:
\( = 72a + (72k - 8k) + (81 - 17) \)
\( = 72a + 64k + 64 \)
Factor out 8 from this expression:
\( = 8(9a + 8k + 8) \)
Let \( b = 9a + 8k + 8 \). Since \( a \) and \( k \) are integers, \( b \) will also be an integer.
So, \( 3^{2k+4} - 8(k+1) - 9 = 8b \).
This shows that \( 3^{2(k+1)+2} - 8(k+1) - 9 \) is divisible by 8.
Thus, \( P(k+1) \) is true.
**Conclusion:**
Since \( P(1) \) is true and \( P(k+1) \) is true whenever \( P(k) \) is true, by the Principle of Mathematical Induction, the statement \( P(n) \) holds for all natural numbers \( n \).
In simple words: We checked if the expression \( 3^{2n+2} - 8n - 9 \) can be divided by 8 for the first number. Then we assumed it works for any number \( k \). By replacing the \( 3^{2k+2} \) term and simplifying, we showed it also works for the next number, \( k+1 \), proving it is always divisible by 8.

Exam Tip: For divisibility proofs with exponents, carefully break down \( 3^{2k+4} \) into \( 3^{2k+2} \cdot 3^2 \) to enable substitution using the inductive hypothesis. Ensure all remaining terms are multiples of the divisor (8 in this case) after substitution and simplification.

Question 23. Prove by the Principle of Mathematical Induction that for all \( n \in N \):
\( 41^n - 14^n \) is a multiple of 27.
Answer: Here, we consider the statement \( P(n) \): \( 41^n - 14^n \) is a multiple of 27 for all natural numbers \( n \). This implies that \( 41^n - 14^n = 27m \) for some integer \( m \).
**Step 1: Base Case (for \( n=1 \))**
For \( n=1 \), the expression is \( 41^1 - 14^1 = 41 - 14 = 27 \).
Since 27 is a multiple of 27 (\( 27 = 27 \cdot 1 \)), the statement \( P(1) \) is true.
**Step 2: Inductive Hypothesis**
Next, assume that the statement \( P(k) \) is true for some natural number \( k \). This means:
\( 41^k - 14^k \) is a multiple of 27.
So, we can write \( 41^k - 14^k = 27a \) for some integer \( a \).
From this, we get \( 41^k = 14^k + 27a \) ...........(1)
**Step 3: Inductive Step (for \( n=k+1 \))**
To prove that \( P(k+1) \) is true, we must show that:
\( 41^{k+1} - 14^{k+1} \) is a multiple of 27.
Let's examine the expression for \( P(k+1) \):
\( 41^{k+1} - 14^{k+1} = 41^k \cdot 41 - 14^k \cdot 14 \)
Substitute \( 41^k = 14^k + 27a \) from Equation (1):
\( = (14^k + 27a) \cdot 41 - 14^k \cdot 14 \)
Expand the first term:
\( = 14^k \cdot 41 + 27a \cdot 41 - 14^k \cdot 14 \)
Group terms with \( 14^k \):
\( = 14^k(41 - 14) + 27a \cdot 41 \)
\( = 14^k(27) + 27a \cdot 41 \)
Factor out 27 from this expression:
\( = 27(14^k + 41a) \)
Let \( b = 14^k + 41a \). Since \( a \) and \( k \) are integers, \( b \) will also be an integer.
So, \( 41^{k+1} - 14^{k+1} = 27b \).
This shows that \( 41^{k+1} - 14^{k+1} \) is a multiple of 27.
Thus, \( P(k+1) \) is true.
**Conclusion:**
Since \( P(1) \) is true and \( P(k+1) \) is true whenever \( P(k) \) is true, by the Principle of Mathematical Induction, the statement \( P(n) \) holds for all natural numbers \( n \).
In simple words: We checked if the expression \( 41^n - 14^n \) is a multiple of 27 for the first number. Then we assumed it works for any number \( k \). By carefully substituting and factoring, we showed it also works for the next number, \( k+1 \), proving it always produces a multiple of 27.

Exam Tip: In divisibility proofs, the substitution of the inductive hypothesis often happens by rewriting one of the base terms (e.g., \( 41^k \)). Look for opportunities to factor out the desired divisor (27) after substitution and expansion.

Question 24. Prove by the Principle of Mathematical Induction that for all \( n \in N \):
\( (2n + 7) < (n + 3)^2 \)
Answer: Here, we consider the statement \( P(n) \): \( (2n + 7) < (n + 3)^2 \) for all natural numbers \( n \).
**Step 1: Base Case (for \( n=1 \))**
For \( n=1 \), the Left Hand Side (LHS) is \( 2(1) + 7 = 9 \).
The Right Hand Side (RHS) is \( (1 + 3)^2 = 4^2 = 16 \).
Since \( 9 < 16 \), the statement \( P(1) \) is true.
**Step 2: Inductive Hypothesis**
Next, assume that the statement \( P(k) \) is true for some natural number \( k \). This means:
\( (2k + 7) < (k + 3)^2 \) ...........(1)
**Step 3: Inductive Step (for \( n=k+1 \))**
To prove that \( P(k+1) \) is true, we must show that:
\( (2(k+1) + 7) < ((k+1) + 3)^2 \)
This simplifies to \( (2k + 2 + 7) < (k + 4)^2 \), or \( (2k + 9) < (k + 4)^2 \).
Starting with the LHS of \( P(k+1) \):
\( \text{LHS} = 2k + 9 \)
We can rewrite this using the term from \( P(k) \):
\( = (2k + 7) + 2 \)
Using the inductive hypothesis from Equation (1), we know that \( (2k + 7) < (k + 3)^2 \).
So, we can write:
\( (2k + 9) < (k + 3)^2 + 2 \)
Now, we need to show that \( (k + 3)^2 + 2 < (k + 4)^2 \).
Let's expand both sides:
\( (k^2 + 6k + 9) + 2 < k^2 + 8k + 16 \)
\( k^2 + 6k + 11 < k^2 + 8k + 16 \)
Subtract \( k^2 \) from both sides:
\( 6k + 11 < 8k + 16 \)
Subtract \( 6k \) from both sides:
\( 11 < 2k + 16 \)
Subtract 16 from both sides:
\( -5 < 2k \)
Since \( k \) is a natural number, \( k \ge 1 \), so \( 2k \ge 2 \). Therefore, \( -5 < 2k \) is always true for \( k \in N \).
Thus, we have shown that \( (2k + 9) < (k + 3)^2 + 2 < (k + 4)^2 \).
This means \( (2k + 9) < (k + 4)^2 \).
Thus, \( P(k+1) \) is true.
**Conclusion:**
Since \( P(1) \) is true and \( P(k+1) \) is true whenever \( P(k) \) is true, by the Principle of Mathematical Induction, the statement \( P(n) \) holds for all natural numbers \( n \).
In simple words: We checked if the inequality works for the first number. Then we assumed it works for any number \( k \). By using that assumption and showing that the expression for \( k+1 \) is less than what's required, we proved the inequality is true for all numbers.

Exam Tip: For proofs of inequalities by induction, after applying the inductive hypothesis, you often need to prove a secondary inequality to connect the current expression to the desired RHS for \( P(k+1) \). Show these additional steps clearly, often by comparing the two expressions algebraically.