GSEB Class 10 Maths Solutions Chapter 9 ત્રિકોણમિતિના ઉપયોગો Exercise 9.1

Question 1. સર્કસના તંબુમાં, જમીન સાથે શિરોલંબ સ્થિતિમાં રહેલા થાંભલાની ટોચથી જમીન સાથે ખેંચીને બાંધેલા 20 મી લાંબા દોરડા પર એક કલાકાર ચડી રહ્યો છે. જો દોરડું જમીન સાથે 30° માપનો ખૂણો બનાવે, તો થાંભલાની ઊંચાઈ શોધો. (જુઓ આકૃતિ).
Answer: અહીં, AB થાંભલો અને AC દોરડું **બતાવે** છે. આથી \(\triangle\) ABCમાં, \(\angle B = 90^\circ\); \(\angle C = 30^\circ\) અને AC = 20 મી **છે**. **આથી**, \(\sin C = \frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}\)
\( \implies \) \(\sin 30^\circ = \frac{\mathrm{AB}}{20}\)
\( \implies \) \(\frac{1}{2}=\frac{\mathrm{AB}}{20}\)
\( \implies \) \( \mathrm{AB} = 10 \)
આમ, થાંભલાની ઊંચાઈ 10 મી **હોય** છે.

In simple words: દોરડાની લંબાઈ અને ખૂણાનો ઉપયોગ કરીને, આપણે થાંભલાની ઊંચાઈ શોધી શકીએ. ત્રિકોણમિતિનો ઉપયોગ કરીને આ ગણતરી થાય છે.

Exam Tip: જ્યારે તમને ખૂણો અને કર્ણની લંબાઈ આપવામાં આવે, ત્યારે લંબ શોધવા માટે હંમેશા sine ગુણોત્તરનો ઉપયોગ કરો.

Question 2. વાવાઝોડાને કારણે એક ઝાડ એ રીતે ભાંગીને વળી જાય છે, જેથી તેની ટોચ, જમીન સાથે 30° માપનો ખૂણો બનાવે તે રીતે જમીનને સ્પર્શે છે. ઝાડની જમીનને સ્પર્શતી ટોચ અને ઝાડના થડ વચ્ચેનું અંતર 8 મી હોય, તો ઝાડની ઊંચાઈ શોધો.
Answer: અહીં, ઝાડ AC એ B સ્થાનેથી **તુટીને** એવી રીતે **ઢળી પડે** છે કે તેની ટોચ C જમીનને D બિંદુએ સ્પર્શે છે. આથી \(\triangle\) ABDમાં, \(\angle A = 90^\circ\); \(\angle D = 30^\circ\); AD = 8 મી અને BC = BD **છે**. **ત્યારબાદ**, \(\tan D = \frac{\mathrm{BA}}{\mathrm{AD}}\)
\( \implies \) \(\tan 30^\circ = \frac{\mathrm{BA}}{8}\)
\( \implies \) \(\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\mathrm{BA}}{8}\)
\( \implies \) \( \mathrm{BA} = \frac{8}{\sqrt{3}} \) મી
વળી, \(\cos D = \frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{BD}}\)
\( \implies \) \(\cos 30^\circ = \frac{8}{\mathrm{BD}}\)
\( \implies \) \(\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{8}{\mathrm{BD}}\)
\( \implies \) \( \mathrm{BD} = \frac{16}{\sqrt{3}} \) મી
હવે, ઝાડની ઊંચાઈ = AC = BA + BC = BA + BD
\( \implies \) \( \text{ઊંચાઈ} = \frac{8}{\sqrt{3}}+\frac{16}{\sqrt{3}} \)
\( \implies \) \( = \frac{24}{\sqrt{3}} \)
\( \implies \) \( = \frac{24}{\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} \)
\( \implies \) \( = \frac{24\sqrt{3}}{3} \)
\( \implies \) \( = 8\sqrt{3} \) મી
આમ, ઝાડની કુલ ઊંચાઈ \( 8\sqrt{3} \) મી **મળે** છે.

In simple words: ઝાડ તૂટ્યા પછી તેનો ભાગ જમીનને સ્પર્શે છે. આપણે ખૂણા અને અંતરનો ઉપયોગ કરીને ઝાડની મૂળ ઊંચાઈ શોધી શકીએ છીએ, જેમાં તૂટેલા અને ઊભા બંને ભાગનો સમાવેશ થાય છે.

Exam Tip: ઝાડની કુલ ઊંચાઈ શોધવા માટે ઊભા ભાગની ઊંચાઈ અને તૂટીને જમીન પર આવેલા ભાગની લંબાઈનો સરવાળો કરો.

Question 3. એક ઠેકેદારે બાળકોને રમવા માટે, બગીચામાં બે લપસણી લગાવવાની છે. આ માટે તે 5 વર્ષથી ઓછી ઉંમરનાં બાળકો માટે જમીનથી ઉપરનો છેડો 1.5 મી રહે અને જમીન સાથે 30નો ખૂણો બનાવે તેવી અને તેનાથી વધારે ઉંમરનાં બાળકો માટે 3 મીની ઊંચાઈથી સીધો ઢાળ હોય તથા જમીન સાથે છે 60નો ખૂણો બનાવતી હોય તેવી લપસણીઓ પસંદ કરે છે, તો બંને લપસણીઓની લંબાઈ શોધો.
Answer: અહીં, AC એ 5 વર્ષથી **નાના** બાળકો માટેની લપસણી **જણાવે** છે. આથી \(\triangle\) ABCમાં, \(\angle B = 90^\circ\); \(\angle C = 30^\circ\) અને \( AB = 1.5 \) મી **છે**. **પછી**, \(\sin C = \frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}\)
\( \implies \) \(\sin 30^\circ = \frac{1.5}{\mathrm{AC}}\)
\( \implies \) \(\frac{1}{2}=\frac{1.5}{\mathrm{AC}}\)
\( \implies \) \( \mathrm{AC} = 3 \) મી
તે જ રીતે, DF એ 5 વર્ષથી વધારે ઉંમરનાં બાળકો માટેની લપસણી દર્શાવે છે. આથી \(\triangle\) DEFમાં, \(\angle E = 90^\circ\); \(\angle F = 60^\circ\) અને \( DE = 3 \) મી **છે**. **હવે**, \(\sin F = \frac{\mathrm{DE}}{\mathrm{DF}}\)
\( \implies \) \(\sin 60^\circ = \frac{3}{\mathrm{DF}}\)
\( \implies \) \(\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3}{\mathrm{DF}}\)
\( \implies \) \( \mathrm{DF} = \frac{3 \times 2}{\sqrt{3}} \)
\( \implies \) \( \mathrm{DF} = \frac{6}{\sqrt{3}} \)
\( \implies \) \( \mathrm{DF} = \frac{6}{\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} \)
\( \implies \) \( = \frac{6\sqrt{3}}{3} \)
\( \implies \) \( = 2\sqrt{3} \) મી
આમ, 5 વર્ષથી **નાના** બાળકો માટેની લપસણીની લંબાઈ 3મી અને તેનાથી **મોટા** બાળકો માટેની લપસણીની લંબાઈ \( 2\sqrt{3} \) મી **પ્રાપ્ત થાય** છે.

In simple words: જુદી જુદી વય જૂથના બાળકો માટે બે લપસણીઓ બનાવવામાં આવી છે. આપણે દરેક લપસણીની ઊંચાઈ અને ખૂણાનો ઉપયોગ કરીને તેમની લંબાઈ શોધી શકીએ છીએ.

Exam Tip: લપસણીની લંબાઈ એ ત્રિકોણમાં કર્ણની લંબાઈ હોય છે. ઊંચાઈ અને ખૂણાનો ઉપયોગ કરીને sine ગુણોત્તરનો ઉપયોગ કરી શકાય છે.

Question 4. ટાવરના પાયાથી 30 મી દૂર રહેલા જમીન પરના એક બિંદથી ટાવરની ટોચના ઉસેધકોણનું માપ 30° છે, તો ટાવરની ઊંચાઈ શોધો.
Answer: અહીં, AB એ ટાવર **સૂચવે** છે. જેમાં A એ ટાવરની ટોચ છે અને બિંદુ C એ **જોવાનું** બિંદુ છે. આથી \(\triangle\) ABCમાં, \(\angle B = 90^\circ\); \(\angle C = 30^\circ\) અને \( BC = 30 \) મી **આપેલ** છે. **તેથી**, \(\cot C = \frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AB}}\)
\( \implies \) \(\cot 30^\circ = \frac{30}{\mathrm{AB}}\)
\( \implies \) \(\sqrt{3} = \frac{30}{\mathrm{AB}}\)
\( \implies \) \( \mathrm{AB} = \frac{30}{\sqrt{3}} \)
\( \implies \) \( \mathrm{AB} = \frac{30}{\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} \)
\( \implies \) \( = \frac{30\sqrt{3}}{3} \)
\( \implies \) \( = 10\sqrt{3} \) મી
આમ, ટાવરની ઊંચાઈ \( 10\sqrt{3} \) મી **હોય** છે.

In simple words: જમીન પરના એક બિંદુથી ટાવરની ટોચનો ઉત્સેધકોણ 30° છે અને તે બિંદુ ટાવરના પાયાથી 30 મીટર દૂર છે. આપણે ત્રિકોણમિતિનો ઉપયોગ કરીને ટાવરની ઊંચાઈ સરળતાથી ગણી શકીએ છીએ.

Exam Tip: ટાવરની ઊંચાઈ (લંબ) અને પાયાથી અંતર (પાયો) વચ્ચેનો સંબંધ શોધવા માટે tangent અથવા cotangent ગુણોત્તરનો ઉપયોગ કરો.

Question 5. 60 મીની ઊંચાઈ પર ઊડી રહેલ છે. આ પતંગની દોરીનો એક છેડો ક્ષણભર માટે જમાન પરના એક બિંદુ સાથે બાંધેલ છે. આ સ્થિતિમાં દોરીનો જમીન સાથેનો ખૂણો 60° છે. જો દોરીમાં કોઈ ઢીલ નથી તેવું માની લેવામાં આવે, તો દોરીની લંબાઈ શોધો.
Answer: અહીં, A પતંગનું સ્થાન અને AC ઢીલ વગરની દોરી **જણાવે** છે. ધારો કે, AB એ સમથળ જમીનને લંબ **દર્શાવે** છે. આથી \(\triangle\) ABCમાં, \(\angle B = 90^\circ\); \(\angle C = 60^\circ\) અને \( AB = 60 \) મી **છે**. **પછી**, \(\sin C = \frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}\)
\( \implies \) \(\sin 60^\circ = \frac{60}{\mathrm{AC}}\)
\( \implies \) \(\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{60}{\mathrm{AC}}\)
\( \implies \) \( \mathrm{AC} = \frac{60 \times 2}{\sqrt{3}} \)
\( \implies \) \( \mathrm{AC} = \frac{120}{\sqrt{3}} \)
\( \implies \) \( \mathrm{AC} = \frac{120}{\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} \)
\( \implies \) \( = \frac{120\sqrt{3}}{3} \)
\( \implies \) \( = 40\sqrt{3} \) મી
આમ, દોરીની લંબાઈ \( 40\sqrt{3} \) મી **મળશે**.

In simple words: પતંગ જમીનથી 60 મીટર ઉપર ઊડી રહી છે અને દોરી જમીન સાથે 60° નો ખૂણો બનાવે છે. દોરીની લંબાઈ શોધવા માટે આપણે સાઈન (sine) ગુણોત્તરનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.

Exam Tip: 'ઢીલ નથી' નો અર્થ છે કે દોરી સીધી છે અને તે કાટકોણ ત્રિકોણનો કર્ણ બને છે. પતંગની ઊંચાઈ એ કાટકોણ ત્રિકોણનો લંબ છે.

Question 6. 1.5 મી ઊંચો એક છોકરો એક 30 મી ઊંચી ઇમારતથી કોઈક અંતરે ઊભેલ છે. હવે જ્યારે તે ઇમારત તરફ ચાલવાનું શરૂ કરે છે ત્યારે કેટલાક સમય પછી તેની આંખથી ઇમારતની ટોચના ઉસેધકોણનું માપ 30થી વધીને 60° થાય છે, તો તે કેટલું અંતર ચાલ્યો હશે?
Answer: અહીં, AB ઇમારત **રજૂ કરે** છે. C એ છોકરાનું શરૂઆતનું સ્થાન અને D એ છોકરાનું અંતિમ સ્થાન **છે**. વળી, M અને N એ છોકરાની આંખોની બે જુદી જુદી **સ્થિતિઓ** દર્શાવે છે. ધારો કે, લંબાવેલ MN, ABP Pમાં **ભેગા થાય** છે. આથી \(\triangle\) APNમાં, \(\angle P = 90^\circ\); \(\angle N = 60^\circ\) અને \(\triangle\) APMમાં, \(\angle P = 90^\circ\) અને \(\angle M = 30^\circ\) **છે**. ઉપરાંત, \( CM = DN = BP = 1.5 \) મી અને \( AP = AB - BP = 30 - 1.5 = 28.5 \) મી **પ્રાપ્ત થાય** છે.
**\(\triangle\) APNમાં:**
\(\angle P = 90^\circ\)
\(\tan N = \frac{\mathrm{AP}}{\mathrm{PN}}\)
\( \implies \) \(\tan 60^\circ = \frac{28.5}{\mathrm{PN}}\)
\( \implies \) \(\sqrt{3} = \frac{28.5}{\mathrm{PN}}\)
\( \implies \) \( \mathrm{PN} = \frac{28.5}{\sqrt{3}} \) મી
**\(\triangle\) APMમાં:**
\(\angle P = 90^\circ\)
\(\tan M = \frac{\mathrm{AP}}{\mathrm{PM}}\)
\( \implies \) \(\tan 30^\circ = \frac{28.5}{\mathrm{PM}}\)
\( \implies \) \(\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{28.5}{\mathrm{PM}}\)
\( \implies \) \( \mathrm{PM} = 28.5\sqrt{3} \) મી
આથી છોકરાએ કાપેલ અંતર = CD = MN = PM – PN
\( \implies \) \( \text{અંતર} = 28.5\sqrt{3} - \frac{28.5}{\sqrt{3}} \)
\( \implies \) \( = 28.5 \left(\sqrt{3} - \frac{1}{\sqrt{3}}\right) \)
\( \implies \) \( = 28.5 \left(\frac{3-1}{\sqrt{3}}\right) \)
\( \implies \) \( = 28.5 \times \frac{2}{\sqrt{3}} \)
\( \implies \) \( = 28.5 \times \frac{2}{\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} \)
\( \implies \) \( = 28.5 \times \frac{2\sqrt{3}}{3} \)
\( \implies \) \( = 9.5 \times 2\sqrt{3} \)
\( \implies \) \( = 19\sqrt{3} \) મી
આમ, છોકરો ઇમારત તરફ \( 19\sqrt{3} \) મી અંતર **કાપ્યું** હશે.

In simple words: એક છોકરો ઇમારત તરફ ચાલે છે, જેથી ટોચનો ઉત્સેધકોણ 30° થી 60° થાય છે. આપણે તેના ચાલવાના અંતરને બે કાટકોણ ત્રિકોણની મદદથી શોધી શકીએ છીએ.

Exam Tip: છોકરાની આંખથી ઇમારતની ટોચ સુધીના ઉત્સેધકોણને ધ્યાનમાં લો, નહીં કે ઇમારતના પાયાથી. આ માટે ઇમારતની કુલ ઊંચાઈમાંથી છોકરાની ઊંચાઈ બાદ કરો.

Question 7. જમીન પર આવેલ એક બિંદુથી એક 20 મી ઊંચી ઇમારતની ટોચ પર રહેલ એક સંચાર ટાવરના તળિયા અને ટોચના ઉસેધકોણનાં જ માપ અનુક્રમે 45° અને 60° છે, તો ટાવરની ઊંચાઈ શોધો.
Answer: અહીં, AB સંચાર ટાવર, BC ઇમારત અને D **નિરીક્ષણનું** બિંદુ **જણાવે** છે. આથી \(\triangle\) BCDમાં, \(\angle C = 90^\circ\); \(\angle D = 45^\circ\) અને \( BC = 20 \) મી **છે**. **ઉપરાંત**, \(\triangle\) ACDમાં, \(\angle C = 90^\circ\) અને \(\angle D = 60^\circ\) **આપેલ** છે.
**\(\triangle\) BCDમાં:**
\(\angle C = 90^\circ\)
\(\tan D = \frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{CD}}\)
\( \implies \) \(\tan 45^\circ = \frac{20}{\mathrm{CD}}\)
\( \implies \) \( 1 = \frac{20}{\mathrm{CD}} \)
\( \implies \) \( \mathrm{CD} = 20 \) મી
**\(\triangle\) ACDમાં:**
\(\angle C = 90^\circ\)
\(\tan D = \frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{CD}}\)
\( \implies \) \(\tan 60^\circ = \frac{\mathrm{AC}}{20}\)
\( \implies \) \(\sqrt{3} = \frac{\mathrm{AC}}{20}\)
\( \implies \) \( \mathrm{AC} = 20\sqrt{3} \) મી
હવે, સંચાર ટાવરની ઊંચાઈ = AB = AC – BC
\( \implies \) \( \mathrm{AB} = 20\sqrt{3} – 20 \)
\( \implies \) \( \mathrm{AB} = 20(\sqrt{3} – 1) \) મી
આમ, સંચાર ટાવરની ઊંચાઈ \( 20(\sqrt{3} – 1) \) મી **મળશે**.

In simple words: એક ટાવર એક 20 મીટર ઊંચી ઇમારત પર છે. જમીન પરથી ઇમારત અને ટાવરની ટોચના ખૂણાઓ આપેલા છે. આપણે આ માહિતીનો ઉપયોગ કરીને ટાવરની ઊંચાઈ ગણી શકીએ છીએ.

Exam Tip: આ પ્રકારના દાખલામાં, સંચાર ટાવરની ઊંચાઈ શોધવા માટે ઇમારતની ટોચ સુધીના કુલ અંતર અને ઇમારતની ઊંચાઈ વચ્ચેનો તફાવત લો.

Question 8. એક ઊંચી બેઠક પર 1.6 મી ઊંચી એક પ્રતિમા ગોઠવેલ છે. જમીન પરના એક બિંદુએથી પ્રતિમાની ટોચના ઉન્સેધકોણનું માપ 60° અને બેઠકની ટોચના ઉસેધકોણનું માપ 45° છે, તો બેઠકની ઊંચાઈ શોધો.
Answer: અહીં AB એ પ્રતિમા, BC એ બેઠક અને D એ જમીન પરનું **અવલોકન** બિંદુ **છે**. આથી \(\triangle\) BCDમાં, \(\angle C = 90^\circ\); \(\angle D = 45^\circ\) **આપેલ** છે. **ઉપરાંત**, \(\triangle\) ACDમાં, \(\angle C = 90^\circ\) અને \(\angle D = 60^\circ\) **જણાવેલ** છે. વળી, AB = પ્રતિમાની ઊંચાઈ = 1.6 મી **છે**. ધારો કે, બેઠકની ઊંચાઈ \( BC = x \) મી **છે**.
**\(\triangle\) BCDમાં:**
\(\angle C = 90^\circ\)
\(\tan D = \frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{CD}}\)
\( \implies \) \(\tan 45^\circ = \frac{x}{\mathrm{CD}}\)
\( \implies \) \( 1 = \frac{x}{\mathrm{CD}} \)
\( \implies \) \( \mathrm{CD} = x \) મી
**\(\triangle\) ACDમાં:**
\(\angle C = 90^\circ\)
\(\tan D = \frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{CD}}\)
\( \implies \) \(\tan 60^\circ = \frac{\mathrm{AC}}{x}\)
\( \implies \) \(\sqrt{3} = \frac{\mathrm{AC}}{x}\)
\( \implies \) \( \mathrm{AC} = \sqrt{3}x \) મી
હવે, \( \mathrm{AB} = \mathrm{AC} - \mathrm{BC} \)
\( \implies \) \( 1.6 = \sqrt{3}x - x \)
\( \implies \) \( 1.6 = x (\sqrt{3} - 1) \)
\( \implies \) \( x = \frac{1.6}{\sqrt{3}-1} \)
\( \implies \) \( x = \frac{1.6}{\sqrt{3}-1} \times \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}+1} \)
\( \implies \) \( x = \frac{1.6(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3})^2 - 1^2} \)
\( \implies \) \( x = \frac{1.6(\sqrt{3}+1)}{3-1} \)
\( \implies \) \( x = \frac{1.6(\sqrt{3}+1)}{2} \)
\( \implies \) \( x = 0.8(\sqrt{3}+1) \) મી
આમ, બેઠકની ઊંચાઈ \( 0.8(\sqrt{3}+1) \) મી **હોય** છે.

In simple words: એક પ્રતિમા એક બેઠક પર મૂકવામાં આવી છે. જમીન પરથી પ્રતિમા અને બેઠકની ટોચના ઉત્સેધકોણના માપ આપેલા છે. આ માહિતીનો ઉપયોગ કરીને આપણે બેઠકની ઊંચાઈ શોધી શકીએ છીએ.

Exam Tip: બેઠકની ઊંચાઈ શોધવા માટે, બે જુદા જુદા ઉત્સેધકોણવાળા બે કાટકોણ ત્રિકોણ બનાવો અને તેમની ઊંચાઈ અને પાયા વચ્ચેનો સંબંધ શોધો.

Question 9. એક ટાવરના તળિયાથી એક ઇમારતની ટોચના ઉસેધકોણનું માપ 30° છે અને ઇમારતના તળિયાથી ટાવરની ટોચના ઉસેધકોણનું માપ 60° છે. જો ટાવરની ઊંચાઈ 50 મી હોય, તો ઈમારતની ઊંચાઈ શોધો.
Answer: અહીં, AB ટાવર અને CD ઇમારત **રજૂ કરે** છે. આથી \(\triangle\) ABDમાં, \(\angle B = 90^\circ\); \(\angle D = 60^\circ\) અને \( AB = 50 \) મી **છે**. **ઉપરાંત**, \(\triangle\) CDBમાં, \(\angle D = 90^\circ\) અને \(\angle B = 30^\circ\) **છે**.
**\(\triangle\) ABDમાં:**
\(\angle B = 90^\circ\)
\(\tan D = \frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BD}}\)
\( \implies \) \(\tan 60^\circ = \frac{50}{\mathrm{BD}}\)
\( \implies \) \(\sqrt{3} = \frac{50}{\mathrm{BD}}\)
\( \implies \) \( \mathrm{BD} = \frac{50}{\sqrt{3}} \) મી
**\(\triangle\) CDBમાં:**
\(\angle D = 90^\circ\)
\(\tan B = \frac{\mathrm{CD}}{\mathrm{BD}}\)
\( \implies \) \(\tan 30^\circ = \frac{\mathrm{CD}}{\left(\frac{50}{\sqrt{3}}\right)}\)
\( \implies \) \(\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\mathrm{CD}}{\frac{50}{\sqrt{3}}}\)
\( \implies \) \( \mathrm{CD} = \frac{1}{\sqrt{3}} \times \frac{50}{\sqrt{3}} \)
\( \implies \) \( \mathrm{CD} = \frac{50}{3} \) મી
આમ, ઇમારતની ઊંચાઈ \( \frac{50}{3} \) મી **મળશે**.

In simple words: ટાવરના પાયાથી ઇમારતની ટોચનો ઉત્સેધકોણ 30° છે અને ઇમારતના પાયાથી ટાવરની ટોચનો ઉત્સેધકોણ 60° છે. જો ટાવર 50 મીટર ઊંચો હોય, તો આપણે ઇમારતની ઊંચાઈ ગણી શકીએ છીએ.

Exam Tip: જ્યારે બે ઊભી વસ્તુઓ એકબીજાથી ચોક્કસ અંતરે હોય, ત્યારે દરેકના પાયાથી બીજાની ટોચના ખૂણાઓ પર ધ્યાન આપો.

Question 10. એક 80 મી પહોળા માર્ગની બંને બાજુએ સમાન ઊંચાઈના બે સ્તંભ શિરોલંબ સ્થિતિમાં છે. માર્ગ પર વચ્ચે આવેલ કોઈ એક બિંદુએથી બંને સ્તંભની ટોચના ઉસેધકોણનાં માપ 60° અને 30° જણાય છે. તો દરેક સ્તંભની ઊંચાઈ શોધો તથા બંને સ્તંભનું નિરીક્ષણ બિંદુથી અંતર શોધો.
Answer: અહીં, AB અને CD સમાન ઊંચાઈના બે સ્તંભો **છે**. BD એ 80 મી પહોળો રસ્તો **છે** અને બિંદુ E એ રસ્તા પરનું **નિરીક્ષણનું** સ્થાન **છે**. આથી \(\triangle\) ABEમાં, \(\angle B = 90^\circ\) અને \(\angle E = 60^\circ\), **જ્યારે** \(\triangle\) CDEમાં, \(\angle D = 90^\circ\) અને \(\angle E = 30^\circ\) **છે**. **વળી**, BD = રસ્તાની પહોળાઈ = 80 મી. ધારો કે, \( BE = x \) મી **છે**. આથી \( DE = BD - BE = (80 - x) \) મી. ધારો કે, \( AB = CD = h \) મી.
**\(\triangle\) ABEમાં:**
\(\angle B = 90^\circ\)
\(\tan E = \frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BE}}\)
\( \implies \) \(\tan 60^\circ = \frac{h}{x}\)
\( \implies \) \(\sqrt{3} = \frac{h}{x}\)
\( \implies \) \( h = \sqrt{3}x \)
\( \implies \) \( x = \frac{h}{\sqrt{3}} \)............... (1)
**\(\triangle\) CDEમાં:**
\(\angle D = 90^\circ\)
\(\tan E = \frac{\mathrm{CD}}{\mathrm{DE}}\)
\( \implies \) \(\tan 30^\circ = \frac{h}{80-x}\)
\( \implies \) \(\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{h}{80-x}\)
\( \implies \) \( 80 - x = \sqrt{3}h \)............... (2)
(1) માંથી \( x \) ની કિંમત (2) માં મુકતાં:
\( 80 - \frac{h}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}h \)
\( 80 = \sqrt{3}h + \frac{h}{\sqrt{3}} \)
\( 80 = h \left( \sqrt{3} + \frac{1}{\sqrt{3}} \right) \)
\( 80 = h \left( \frac{3+1}{\sqrt{3}} \right) \)
\( 80 = h \left( \frac{4}{\sqrt{3}} \right) \)
\( h = \frac{80\sqrt{3}}{4} \)
\( h = 20\sqrt{3} \) મી
હવે, \( x = \frac{h}{\sqrt{3}} \) માં \( h \) ની કિંમત મુકતાં:
\( x = \frac{20\sqrt{3}}{\sqrt{3}} \)
\( x = 20 \) મી
અને \( 80 - x = 80 - 20 = 60 \) મી
આમ, દરેક સ્તંભની ઊંચાઈ \( 20\sqrt{3} \) મી **હોય** છે, નિરીક્ષણ સ્થાનનું નજીકના સ્તંભથી અંતર 20 મી **છે** અને તેનું બીજા સ્તંભથી અંતર 60 મી **હોય** છે.

In simple words: એક 80 મીટર પહોળા રસ્તાની બંને બાજુએ સમાન ઊંચાઈના બે સ્તંભો છે. રસ્તા પરના એક બિંદુથી સ્તંભોની ટોચના ઉત્સેધકોણ 60° અને 30° છે. આપણે સ્તંભોની ઊંચાઈ અને નિરીક્ષણ બિંદુથી તેમનું અંતર શોધી શકીએ છીએ.

Exam Tip: આવા દ્વિ-ત્રિકોણ સમસ્યાઓમાં, સામાન્ય બાજુને એક ચલ (દા.ત., h) તરીકે ધારીને બંને ત્રિકોણ માટે સમીકરણો બનાવો અને પછી તેમને ઉકેલો.

Question 11. નહેરના એક કિનારા પર ટીવીનો ટાવર શિરોલંબ ઊભો કરવામાં આવેલ છે. ટાવરની સામેના બીજા કિનારા પર રહેલા એક બિંદુથી . ટાવરની ટોચનો ઉલ્લેધકોણ 60° છે. ટાવરના તળિયા અને નિરીક્ષણ બિંને જોડતી રેખા પર આવેલ અને નિરીક્ષણ બિંદુથી 20 મી દૂર બીજા એક બિંદુથી ટાવરની ટોચના ઉસેધકોણનું માપ 30° છે (જુઓ આકૃતિ), તો ટાવરની ઊંચાઈ અને નહેરની પહોળાઈ શોધો.
Answer: અહીં, AB ટીવીનો ટાવર, BC એ નહેરની પહોળાઈ અને C તથા D એકબીજાથી 20 મી દૂર આવેલાં **અવલોકન** બિંદુઓ છે, જેથી D, C અને B એક જ રેખા પર **આવેલા** છે. આથી \(\triangle\) ABCમાં, \(\angle B = 90^\circ\) અને \(\angle C = 60^\circ\) **છે**. **ઉપરાંત**, \(\triangle\) ABDમાં, \(\angle B = 90^\circ\) અને \(\angle D = 30^\circ\) **છે**. તેમજ \( CD = 20 \) મી **છે**. ધારો કે, ટાવરની ઊંચાઈ \( AB = h \) મી અને નહેરની પહોળાઈ \( BC = x \) મી **છે**. આથી \( BD = BC + CD = (x + 20) \) મી **મળશે**.
**\(\triangle\) ABCમાં:**
\(\angle B = 90^\circ\)
\(\tan C = \frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BC}}\)
\( \implies \) \(\tan 60^\circ = \frac{h}{x}\)
\( \implies \) \(\sqrt{3} = \frac{h}{x}\)
\( \implies \) \( h = \sqrt{3}x \)............... (1)
**\(\triangle\) ABDમાં:**
\(\angle B = 90^\circ\)
\(\tan D = \frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BD}}\)
\( \implies \) \(\tan 30^\circ = \frac{h}{x+20}\)
\( \implies \) \(\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{h}{x+20}\)
\( \implies \) \( x+20 = \sqrt{3}h \)
\( \implies \) \( x = \sqrt{3}h - 20 \)............... (2)
(1) માંથી \( h \) ની કિંમત (2) માં મુકતાં:
\( x = \sqrt{3}(\sqrt{3}x) - 20 \)
\( x = 3x - 20 \)
\( 20 = 2x \)
\( x = 10 \) મી
હવે, \( h = \sqrt{3}x \) માં \( x \) ની કિંમત મુકતાં:
\( h = \sqrt{3}(10) \)
\( h = 10\sqrt{3} \) મી
આમ, ટાવરની ઊંચાઈ \( 10\sqrt{3} \) મી અને નહેરની પહોળાઈ 10 મી **હોય** છે.

In simple words: એક ટીવી ટાવર નહેરના એક કિનારે છે. બીજા કિનારેથી અને 20 મીટર દૂર બીજા બિંદુથી ટાવરની ટોચના ઉત્સેધકોણ આપેલા છે. આપણે ટાવરની ઊંચાઈ અને નહેરની પહોળાઈ શોધી શકીએ છીએ.

Exam Tip: ઉત્સેધકોણના બે જુદા જુદા બિંદુઓનો ઉપયોગ કરીને, તમે બે સમીકરણો બનાવી શકો છો જે ટાવરની ઊંચાઈ અને નહેરની પહોળાઈ બંને શોધવામાં મદદ કરશે.

Question 12. 7 મી ઊંચી ઇમારત પરથી એક કેબલ' ટાવરની ટોચનો ઉલ્લેધકોણ 60° અને ટાવરના તળિયાનો અવસેધકોણ 45° છે, તો ટાવરની ઊંચાઈ શોધો.
Answer: અહીં, AB એ 7 મી ઊંચી ઇમારત, CD એ ‘કેબલ' ટાવર **છે**. AE \( \perp \) CD **ખેંચો**, જેથી E એ CD પરનું બિંદુ **બને** છે. આથી ચતુષ્કોણ ABDE લંબચોરસ **બને** છે (આપેલ પરિસ્થિતિમાં ચોરસ પણ **બની શકે** છે). હવે, \( AB = 7 \) મી; \( \angle E = 90^\circ \); \( \angle B = 90^\circ \); \( \angle CAE = 60^\circ \) અને \( \angle EAD = 45^\circ \) **આપેલા** છે. આથી \( ED = AB = 7 \) મી, \( \angle EAD = \angle ADB \) (વ્યૂતક્રમ કોણ) અને \( AE = BD \) **પ્રાપ્ત થાય** છે.
**\(\triangle\) ABDમાં (કાટકોણ ત્રિકોણ B પર):**
\(\tan D = \frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BD}}\)
\( \implies \) \(\tan 45^\circ = \frac{7}{\mathrm{BD}}\)
\( \implies \) \( 1 = \frac{7}{\mathrm{BD}} \)
\( \implies \) \( \mathrm{BD} = 7 \) મી
આથી \( AE = 7 \) મી.
**\(\triangle\) CAEમાં (કાટકોણ ત્રિકોણ E પર):**
\(\tan A = \frac{\mathrm{CE}}{\mathrm{AE}}\)
\( \implies \) \(\tan 60^\circ = \frac{\mathrm{CE}}{7}\)
\( \implies \) \(\sqrt{3} = \frac{\mathrm{CE}}{7}\)
\( \implies \) \( \mathrm{CE} = 7\sqrt{3} \) મી
હવે, \( \mathrm{CD} = \mathrm{CE} + \mathrm{ED} \)
\( \implies \) \( \mathrm{CD} = 7\sqrt{3} + 7 \)
\( \implies \) \( \mathrm{CD} = 7(\sqrt{3} + 1) \) મી
આમ, ટાવરની ઊંચાઈ \( 7(\sqrt{3} + 1) \) મી **મળશે**.

In simple words: 7 મીટર ઊંચી ઇમારત પરથી એક કેબલ ટાવરની ટોચનો ઉત્સેધકોણ 60° અને તેના પાયાનો અવસેધકોણ 45° છે. આપણે ઇમારતની ઊંચાઈ અને ખૂણાઓનો ઉપયોગ કરીને ટાવરની ઊંચાઈ શોધી શકીએ છીએ.

Exam Tip: અવસેધકોણ હંમેશા ક્ષિતિજ રેખા સાથે બને છે. અહીં, ઇમારતની ટોચથી ટાવરના પાયાનો અવસેધકોણ એ જમીન પરના બિંદુથી ઇમારતની ટોચનો ઉત્સેધકોણ બરાબર હોય છે.

Question 13. દરિયાની સપાટીથી 75 મી ઊંચી દીવાદાંડી પરથી અવલોકન કરતાં, દરિયામાં રહેલાં બે વહાણના અવસેધકોણનાં માપ 30° અને 45° માલૂમ પડે છે. જો એક વહાણ બીજાની બરાબર પાછળ હોય અને બંને વહાણ દીવાદાંડીની એક જ બાજુ પર આવેલ હોય, તો બંને વહાણ વચ્ચેનું અંતર શોધો.
Answer: અહીં, AB દીવાદાંડી બતાવે છે, અને C તથા D એ દીવાદાંડીની એક જ બાજુએ મળતા જહાજો છે. તેથી, ∠B = 90°, AB = 75 મીટર, ∠XAD = 30° અને ∠XAC = 45°. હવે, ∠ADB = ∠XAD = 30° અને ∠ACB = ∠XAC = 45° (યુગ્મ કોણ) △ ABDમાં, ∠B = 90° છે. tanD = \( \frac{AB}{BD} \) tan 30° = \( \frac{75}{BD} \)
\( \implies \) \( \frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{75}{BD} \)
\( \implies \) BD = \( 75\sqrt{3} \) મીટર. △ ABCમાં, ∠B = 90° છે. tan C = \( \frac{AB}{BC} \) tan 45 = \( \frac{75}{BC} \)
\( \implies \) 1 = \( \frac{75}{BC} \)
\( \implies \) BC = 75 મીટર. હવે, બંને જહાજો વચ્ચેનો ફરક DC = BD - BC છે. = \( 75\sqrt{3}-75 \) = \( 75 (\sqrt{3} - 1) \) મીટર. આથી, બંને જહાજો વચ્ચેનું અંતર \( 75(\sqrt{3} - 1) \) મીટર છે.
In simple words: પહેલાં, દીવાદાંડી અને જહાજોનું સ્થાન બતાવીએ છીએ. પછી, બે અલગ-અલગ ત્રિકોણ બનાવીને ટેન્જેન્ટ (tan) નો ઉપયોગ કરીને BD અને BC ની લંબાઈ શોધીએ છીએ. છેલ્લે, DC શોધવા માટે BD માંથી BC બાદ કરીએ છીએ.

Exam Tip: આવા પ્રશ્નોમાં અવસેધકોણ અને ઉન્નયનકોણની ઓળખ સ્પષ્ટ હોવી જરૂરી છે, અને Z-આકારથી બનતા યુગ્મકોણનો ઉપયોગ ધ્યાનપૂર્વક કરો.

Question 14. 1.2 મી ઊંચાઈવાળી એક છોકરીને, જમીનથી 88.2 મી ઊંચાઈ પર રહેલું પવનને કારણે સમક્ષિતિજ રેખામાં ગતિ કરતું એક બલૂન જોવા મળે છે. કોઈ એક સમયે છોકરીને તેના ઉસેધકોણનું માપ 60° મળે છે. થોડા સમય બાદ બલૂનના ઉન્સેધકોણનું માપ 30° થાય છે (જુઓ આકૃતિ), તો આ સમય દરમિયાન બલૂને કાપેલું અંતર શોધો.
Answer: અહીં, A અને B એ બલૂનના બે સ્થાનો છે. CD એ 1.2 મીટર ઊંચી છોકરી છે. DQ એ જમીન પરની સીધી રેખા છે અને CP એ છોકરીની આંખોમાંથી પસાર થતી આડી રેખા છે. AM ⊥ CP દોરો, જેથી M એ CP પરનું એક બિંદુ બને. આથી △ AMCમાં, ∠M = 90° અને ∠C = 60° છે; △ BPCમાં, ∠P = 90° અને ∠C = 30° છે; PQ = CD = 1.2 મીટર, BQ = 88.2 મીટર, અને તેથી BP = BQ - PQ = 88.2 - 1.2 = 87 મીટર. △ BPCમાં, ∠P = 90° છે. tan C = \( \frac{BP}{PC} \) tan 30° = \( \frac{87}{PC} \)
\( \implies \) \( \frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{87}{PC} \)
\( \implies \) PC = \( 87\sqrt{3} \) મીટર. △ AMCમાં, ∠M = 90° છે. tan C = \( \frac{AM}{MC} \) tan 60° = \( \frac{87}{MC} \)
\( \implies \) \( \sqrt{3}=\frac{87}{MC} \)
\( \implies \) MC = \( \frac{87}{\sqrt{3}} \) હવે, AB = MP (કેમ કે AMPB એક લંબચોરસ છે.) MP = PC - MC = \( 87\sqrt{3} - \frac{87}{\sqrt{3}} \) = \( 87 (\sqrt{3} - \frac{1}{\sqrt{3}}) \) = \( 87 (\frac{3-1}{\sqrt{3}}) \) = \( 87 \times \frac{2}{\sqrt{3}} \)
\( \implies \) \( 87 \times \frac{2\sqrt{3}}{3} \) = \( 29 \times 2 \times \sqrt{3} \) = \( 58\sqrt{3} \) મીટર. આથી, AB = \( 58\sqrt{3} \) મીટર. આમ, આપેલા સમય દરમિયાન બલૂને કાપેલું અંતર \( 58\sqrt{3} \) મીટર છે.
In simple words: પહેલાં, છોકરીની ઊંચાઈ અને બલૂનની ઊંચાઈનો ઉપયોગ કરીને ત્રિકોણની ઊંચાઈ BP શોધીએ. પછી, બંને અલગ-અલગ કોણ (60° અને 30°) માટે tan નો ઉપયોગ કરીને MC અને PC શોધીએ. છેલ્લે, MP શોધવા PC માંથી MC બાદ કરીએ, જે બલૂને કાપેલું અંતર છે.

Exam Tip: આવા દાખલાઓમાં છોકરીની ઊંચાઈને ધ્યાનમાં રાખીને બલૂનની ઊંચાઈમાંથી બાદ કરવાનું ભૂલશો નહીં.

Question 15. એક સુરેખ માર્ગ ટાવર તરફ જાય છે. ટાવરની ટોચ પર રહેલ એક વ્યક્તિ, ટાવર તરફ અચળ ઝડપથી આવતી એક મોટરકારના અવસેધકોણનું માપ 30° નોંધે છે. 6 સેકન્ડ પછી આ કારના અવસેધકોણનું માપ 60° થાય છે, તો કારને ટાવર સુધી પહોંચતાં કેટલો સમય લાગશે?
Answer: અહીં, AB એ એક ટાવર છે. C એ મોટરકારનું પહેલું સ્થાન છે અને D એ મોટરકારનું 6 સેકન્ડ પછીનું બીજું સ્થાન છે. તેથી, ∠B = 90°, ∠XAC = 30° અને ∠XAD = 60°. ધારી લો કે, AB = h મીટર છે. હવે, ∠ACB = ∠XAC = 30° અને ∠ADB = ∠XAD = 60° (યુગ્મ કોણ) △ ABCમાં, ∠B = 90° છે. cot C = \( \frac{BC}{AB} \) cot 30° = \( \frac{BC}{h} \)
\( \implies \) \( \sqrt{3}=\frac{BC}{h} \)
\( \implies \) BC = \( \sqrt{3}h \) મીટર. △ ABDમાં, ∠B = 90° છે. cot D = \( \frac{BD}{AB} \) cot 60° = \( \frac{BD}{h} \)
\( \implies \) \( \frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{BD}{h} \)
\( \implies \) BD = \( \frac{h}{\sqrt{3}} \) મીટર. મોટરકારે 6 સેકન્ડમાં કાપેલું અંતર C થી D સુધીનું છે, જે = CD = BC - BD = \( \sqrt{3}h - \frac{h}{\sqrt{3}} \) = \( \frac{3h-h}{\sqrt{3}} = \frac{2h}{\sqrt{3}} \) મીટર. મોટરકારને ટાવર સુધી પહોંચવા માટે બાકી રહેલું અંતર BD = \( \frac{h}{\sqrt{3}} \) મીટર છે. જો \( \frac{2h}{\sqrt{3}} \) મીટર અંતર (CD) કાપવા 6 સેકન્ડ લાગતો હોય, તો \( \frac{h}{\sqrt{3}} \) મીટર અંતર (BD) કાપવા લાગતો સમય = \( 6 \times \frac{h}{\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{2h} \) = 3 સેકન્ડ. આથી, મોટરકારને તેના બીજા સ્થાનથી ટાવર સુધી પહોંચતા 3 સેકન્ડ લાગશે.
In simple words: પહેલાં, ટાવરની ઊંચાઈને 'h' ધારીને બે અલગ-અલગ ત્રિકોણ માટે cot નો ઉપયોગ કરીને BC અને BD શોધીએ. પછી, 6 સેકન્ડમાં કપાયેલું અંતર CD શોધીએ. છેલ્લે, બાકીના અંતર BD માટે કેટલો સમય લાગશે તે ત્રિરાશિથી ગણીએ.

Exam Tip: અવસેધકોણનું રૂપાંતર ઉન્નયનકોણમાં કરતી વખતે યુગ્મકોણની જોડીને યોગ્ય રીતે ઓળખવી અત્યંત મહત્વપૂર્ણ છે.

Question 16. ટાવરના તળિયામાંથી પસાર થતી રેખા પર તળિયાથી 4 મી અને 9 મી દૂર આવેલાં બે બિંદુથી ટાવરની ટોચના ઉર્સેધકોણનાં માપ કોટિકોણનાં માપ છે. સાબિત કરો કે, ટાવરની ઊંચાઈ 6 મી છે.
Answer: અહીં, AB એક ટાવર છે. C એ ટાવરના આધારથી 4 મીટર દૂર આવેલું નિરીક્ષણ બિંદુ છે અને D એ ટાવરના આધારથી 9 મીટર દૂર આવેલું બીજું નિરીક્ષણ બિંદુ છે. તેથી, △ ABCમાં, ∠B = 90° અને BC = 4 મીટર છે, તથા △ ABDમાં, ∠B = 90° અને BD = 9 મીટર છે. ધારી લો કે, ∠ACB = θ છે. હવે, ∠ACB અને ∠ADB એ પૂરક કોણ હોવાથી, ∠ADB = 90° – θ થાય છે. △ ABCમાં, ∠B = 90° છે. tan C = \( \frac{AB}{BC} \) tan θ = \( \frac{AB}{4} \) ........ (1) △ ABDમાં, ∠B = 90° છે. tan D = \( \frac{AB}{BD} \) tan (90° – θ) = \( \frac{AB}{9} \)
\( \implies \) cot θ = \( \frac{AB}{9} \) [કેમ કે tan (90° – θ) = cot θ] ........ (2) સમીકરણ (1) અને (2) નો ગુણાકાર કરતાં, tan θ cot θ = \( \frac{AB}{4} \times \frac{AB}{9} \)
\( \implies \) 1 = \( \frac{AB^{2}}{36} \) (કેમ કે tan θ cot θ = 1 છે). \( \implies \) AB\(^2\) = 36.
\( \implies \) AB = 6 (ટાવરની ઊંચાઈ ક્યારેય નકારાત્મક ન હોય). આથી, સાબિત થાય છે કે ટાવરની ઊંચાઈ 6 મીટર છે.
In simple words: પહેલાં, બે કાટકોણ ત્રિકોણ બનાવીએ અને તેમના ખૂણાઓને કોટિકોણ ધારીએ. પછી, દરેક ત્રિકોણ માટે tan ના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને AB ને 4 અને 9 ના સંદર્ભમાં લખીએ. અંતે, બંને સમીકરણોનો ગુણાકાર કરીને ટાવરની ઊંચાઈ AB ને 6 મીટર સાબિત કરીએ.

Exam Tip: કોટિકોણ એટલે બે ખૂણાનો સરવાળો 90° થાય. આ નિયમનો ઉપયોગ કરીને એક ખૂણાને θ અને બીજાને (90°-θ) તરીકે દર્શાવવા મહત્વપૂર્ણ છે.