GSEB Class 10 Maths Solutions Chapter 4 દ્વિઘાત સમીકરણ Exercise 4.4

Question 1. નીચે આપેલાં દ્વિઘાત સમીકરણનાં બીજનાં સ્વરૂપ શોધો. જો કે તેમને વાસ્તવિક બીજ હોય, તો તે શોધોઃ
(i) \( 2x^2 - 3x + 5 = 0 \)
(ii) \( 3x^2 - 4\sqrt{3}x + 4 = 0 \)
(iii) \( 2x^2 - 6x + 3 = 0 \)
Answer:
(i) આપેલ સમીકરણ \( ax^2 + bx + c = 0 \) સ્વરૂપનું છે, જ્યાં \( a = 2 \); \( b = -3 \) અને \( c = 5 \) છે. હવે, વિવેચક \( = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4(2)(5) = 9 - 40 = -31 \). અહીં, વિવેચક \( -31 < 0 \) છે. તેથી, આપેલ સમીકરણને વાસ્તવિક બીજ નથી.
In simple words: અહીં આપેલ સમીકરણ \( ax^2 + bx + c = 0 \) જેવું છે. જેમાં \( a=2 \), \( b=-3 \) અને \( c=5 \) છે. જ્યારે આપણે વિવેચક ગણીએ છીએ, જે \( b^2 - 4ac \) છે, ત્યારે તે \( -31 \) મળે છે, જે શૂન્ય કરતાં ઓછું છે. તેથી, આ સમીકરણના વાસ્તવિક ઉકેલ મળતા નથી.
(ii) આપેલ સમીકરણ \( ax^2 + bx + c = 0 \) સ્વરૂપનું છે, જ્યાં \( a = 3 \); \( b = -4\sqrt{3} \) અને \( c = 4 \) છે. હવે, વિવેચક \( = b^2 - 4ac = (-4\sqrt{3})^2 - 4(3)(4) = 48 - 48 = 0 \). આમ, આપેલ સમીકરણનાં બીજ વાસ્તવિક અને સમાન છે. દરેક બીજની કિંમત \( -\frac{b}{2a} \) છે. આમ, આપેલ સમીકરણનાં બીજ \( -\frac{-4\sqrt{3}}{2(3)} \), \( -\frac{-4\sqrt{3}}{2(3)} \) એટલે કે \( \frac{2}{\sqrt{3}}, \frac{2}{\sqrt{3}} \) છે.
In simple words: આ સમીકરણ પણ \( ax^2 + bx + c = 0 \) જેવું છે, જેમાં \( a=3 \), \( b=-4\sqrt{3} \) અને \( c=4 \) છે. વિવેચક \( b^2 - 4ac \) ગણતા, આપણને \( 48-48=0 \) મળે છે. જ્યારે વિવેચક શૂન્ય હોય, ત્યારે સમીકરણના ઉકેલ વાસ્તવિક અને એકસરખા હોય છે. દરેક ઉકેલ \( -\frac{b}{2a} \) સૂત્રથી મળે છે, જે \( \frac{2}{\sqrt{3}} \) છે.
(iii) આપેલ સમીકરણ \( ax^2 + bx + c = 0 \) સ્વરૂપનું છે, જ્યાં \( a = 2 \); \( b = -6 \) અને \( c = 3 \) છે. હવે, વિવેચક \( = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4(2)(3) = 36 - 24 = 12 \). આમ, સમીકરણનાં બીજ વાસ્તવિક અને ભિન્ન છે. સમીકરણના ઉકેલ નીચે મુજબ મળે છે:
\( x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \)
\( = \frac{-(-6) \pm \sqrt{12}}{2(2)} = \frac{6 \pm 2\sqrt{3}}{4} = \frac{3 \pm \sqrt{3}}{2} \)
આમ, આપેલ સમીકરણનાં બીજ \( \frac{3+\sqrt{3}}{2} \) અને \( \frac{3-\sqrt{3}}{2} \) છે.
In simple words: આ સમીકરણમાં \( a=2 \), \( b=-6 \) અને \( c=3 \) છે. વિવેચક \( b^2 - 4ac \) ની ગણતરી કરતા \( 12 \) મળે છે, જે શૂન્ય કરતાં મોટો છે. આનો અર્થ છે કે સમીકરણના ઉકેલ વાસ્તવિક અને અલગ-અલગ છે. ઉકેલ શોધવા માટે દ્વિઘાત સૂત્ર \( x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \) નો ઉપયોગ કરીએ, તો આપણને \( \frac{3+\sqrt{3}}{2} \) અને \( \frac{3-\sqrt{3}}{2} \) મળે છે.

Exam Tip: વિવેચક (D) ની કિંમત 0 કરતાં ઓછી હોય તો વાસ્તવિક બીજ નથી, 0 હોય તો વાસ્તવિક અને સમાન બીજ છે, અને 0 કરતાં વધુ હોય તો વાસ્તવિક અને ભિન્ન બીજ છે. આ નિયમ યાદ રાખો.

Question 2. નીચેનાં દ્વિઘાત સમીકરણનાં બીજ સમાન હોય, તો kનું મૂલ્ય શોધો:
(i) \( 2x^2 + kx + 3 = 0 \)
(ii) \( kx (x - 2) + 6 = 0 \)
Answer:
(i) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણને પ્રમાણિત સ્વરૂપ \( ax^2 + bx + c = 0 \) સાથે સરખાવતા, અહીં, \( a = 2 \); \( b = k \) અને \( c = 3 \) મળે છે. હવે, વિવેચક \( = b^2 - 4ac = (k)^2 - 4(2)(3) = k^2 - 24 \). જો સમીકરણનાં બીજ સમાન હોય, તો વિવેચક \( = 0 \) થાય.
\( k^2 - 24 = 0 \)
\( k^2 = 24 \)
\( k = \pm \sqrt{24} \)
\( k = \pm 2\sqrt{6} \).
In simple words: આપણે આપેલ સમીકરણને \( ax^2 + bx + c = 0 \) સાથે સરખાવીએ છીએ. અહીં \( a=2 \), \( b=k \) અને \( c=3 \) મળે છે. બીજ સમાન હોવાથી, વિવેચક \( b^2 - 4ac \) શૂન્ય હોવો જોઈએ. આ ગણતરી કરતા \( k^2 - 24 = 0 \) મળે છે, જેને ઉકેલતા \( k = \pm 2\sqrt{6} \) મળે છે.
(ii) આપેલ સમીકરણ \( kx (x - 2) + 6 = 0 \) ને \( kx^2 - 2kx + 6 = 0 \) તરીકે લખી શકાય છે. અહીં, \( a = k \), \( b = -2k \) અને \( c = 6 \) છે. હવે, વિવેચક \( = b^2 - 4ac = (-2k)^2 - 4(k)(6) = 4k^2 - 24k \). જો સમીકરણનાં બીજ સમાન હોય, તો વિવેચક \( = 0 \) થાય.
\( 4k^2 - 24k = 0 \)
\( 4k (k - 6) = 0 \)
\( k = 0 \) અથવા \( k = 6 \).
પરંતુ, \( k = 0 \) શક્ય નથી, કારણ કે \( k = 0 \) માટે સમીકરણ દ્વિઘાત સમીકરણ રહે નહીં, પરંતુ \( 6 = 0 \) મળે છે, જે ખોટું છે. તેથી, \( k = 6 \).
In simple words: પહેલાં સમીકરણને \( kx^2 - 2kx + 6 = 0 \) સ્વરૂપમાં બદલો. પછી \( a=k \), \( b=-2k \) અને \( c=6 \) ને ઓળખો. બીજ સમાન હોવાથી, વિવેચક \( b^2 - 4ac \) ને શૂન્ય બરાબર મૂકો, એટલે કે \( 4k^2 - 24k = 0 \). આને ઉકેલતા \( k=0 \) અથવા \( k=6 \) મળે છે. \( k=0 \) શક્ય નથી કારણ કે તે સમીકરણને દ્વિઘાત રહેવા દેશે નહીં. તેથી, \( k=6 \) સાચો જવાબ છે.

Exam Tip: જ્યારે બીજ સમાન હોય ત્યારે વિવેચક (D) હંમેશા 0 હોય છે. આ શરતનો ઉપયોગ કરીને k જેવા અજ્ઞાત મૂલ્યો શોધી શકાય છે. ધ્યાન રાખો કે k નું મૂલ્ય 0 ન થાય જો તે દ્વિઘાત સમીકરણનો પ્રથમ ગુણાંક હોય.

Question 3. જેની લંબાઈ, પહોળાઈ કરતાં બમણી હોય અને ક્ષેત્રફળ 800 મીટ હોય એવી લંબચોરસ આંબાવાડી બનાવવી શક્ય છે? જો તમારો જવાબ “હા” માં હોય, તો તેની લંબાઈ અને પહોળાઈ મેળવો.
Answer: માની લઈએ કે માગ્યા મુજબની આંબાવાડી બનાવવી શક્ય છે. ધારો કે તે આંબાવાડીની પહોળાઈ \( x \) મીટર છે. આથી આંબાવાડીની લંબાઈ \( 2x \) મીટર થશે. લંબચોરસ આંબાવાડીનું ક્ષેત્રફળ \( = \text{લંબાઈ} \times \text{પહોળાઈ} = 2x \times x = 2x^2 \text{ m}^2 \). માગ્યા મુજબ, આંબાવાડીનું ક્ષેત્રફળ \( 800 \text{ m}^2 \) છે.
\( 2x^2 = 800 \)
\( 2x^2 - 800 = 0 \)
\( x^2 - 400 = 0 \).
જો ઉપરોક્ત સમીકરણને વાસ્તવિક બીજ હોય, તો આંબાવાડી બનાવવાનું શક્ય થાય છે. અહીં, \( a = 1 \); \( b = 0 \) અને \( c = -400 \) છે. હવે, વિવેચક \( = b^2 - 4ac = (0)^2 - 4(1)(-400) = 0 + 1600 = 1600 \). વિવેચક \( 1600 > 0 \) છે. આમ, સમીકરણને વાસ્તવિક બીજ છે. તેથી, માગ્યા મુજબના માપવાળી આંબાવાડી બનાવવાનું શક્ય છે. હવે, \( x^2 - 400 = 0 \).
\( (x + 20)(x - 20) = 0 \)
\( x + 20 = 0 \) અથવા \( x - 20 = 0 \)
\( x = -20 \) અથવા \( x = 20 \).
પરંતુ, \( x \) એ આંબાવાડીની પહોળાઈ દર્શાવે છે. તેથી તે ઋણ ન હોઈ શકે, એટલે કે, \( x = -20 \) શક્ય નથી. તેથી, \( x = 20 \). આમ, પહોળાઈ \( x = 20 \) મીટર છે અને લંબાઈ \( 2x = 2(20) = 40 \) મીટર છે. આંબાવાડીની લંબાઈ \( 40 \) મીટર અને પહોળાઈ \( 20 \) મીટર રાખવી જોઈએ. નોંધ: અહીં, માગેલ બગીચાનો આકાર ચોરસ બને છે, પરંતુ આપણે જાણીએ છીએ કે, દરેક ચોરસ એ લંબચોરસ છે જ.
In simple words: ચાલો ધારીએ કે પહોળાઈ \( x \) મીટર છે, તો લંબાઈ \( 2x \) મીટર થશે. ક્ષેત્રફળ \( 2x^2 \) થાય છે, જે \( 800 \) મીટર વર્ગ આપેલું છે. આથી, \( 2x^2 = 800 \) બને છે, જે \( x^2 - 400 = 0 \) બરાબર છે. આ સમીકરણના ઉકેલો વાસ્તવિક છે, એટલે આવું આંબાવાડી બનાવવું શક્ય છે. ઉકેલતા, \( x = 20 \) અથવા \( x = -20 \) મળે છે. પહોળાઈ ઋણ ન હોઈ શકે, તેથી \( x = 20 \) મીટર છે. આથી, પહોળાઈ \( 20 \) મીટર અને લંબાઈ \( 40 \) મીટર હોવી જોઈએ.

Exam Tip: ભૌમિતિક સમસ્યાઓમાં, લંબાઈ કે પહોળાઈ જેવી માપ હંમેશા ધન હોવા જોઈએ. જો સમીકરણનો ઉકેલ ઋણ આવે તો તેને અવગણવો પડે છે, કારણ કે તે વાસ્તવિક પરિસ્થિતિમાં શક્ય નથી.

Question 4. બે મિત્રોની ઉંમરનો સરવાળો 20 વર્ષ છે. 4 વર્ષ પહેલાં તેમની ઉંમર દર્શાવતી સંખ્યાઓનો ગુણાકાર (વર્ષમાં) 48 હતો. શું આ પરિસ્થિતિ શક્ય છે? જો હોય, તો તેમની અત્યારની ઉંમર શોધો.
Answer: ધારો કે, બે મિત્રોની અત્યારની ઉંમર \( x \) વર્ષ અને \( (20 - x) \) વર્ષ છે. આથી ચાર વર્ષ પહેલાં તેઓની ઉંમર \( (x - 4) \) વર્ષ અને \( (20 - x - 4) = (16 - x) \) વર્ષ હતી. આપેલ માહિતી મુજબ,
\( (x-4)(16-x) = 48 \)
\( 16x - x^2 - 64 + 4x = 48 \)
\( -x^2 + 20x - 64 - 48 = 0 \)
\( -x^2 + 20x - 112 = 0 \)
\( x^2 - 20x + 112 = 0 \).
અહીં, \( a = 1 \); \( b = -20 \) અને \( c = 112 \) છે. હવે, વિવેચક \( = b^2 - 4ac = (-20)^2 - 4(1)(112) = 400 - 448 = -48 \). અહીં, વિવેચક \( -48 < 0 \) છે. તેથી, સમીકરણને વાસ્તવિક બીજ નથી. આમ, આપેલ પરિસ્થિતિ શક્ય નથી.
In simple words: ધારો કે એક મિત્રની ઉંમર \( x \) વર્ષ છે, તો બીજાની \( 20-x \) વર્ષ થશે. ચાર વર્ષ પહેલાં, તેમની ઉંમર \( (x-4) \) અને \( (16-x) \) હતી. તેમના ગુણાકારને \( 48 \) બરાબર મૂકતા, \( x^2 - 20x + 112 = 0 \) સમીકરણ મળે છે. આ સમીકરણનો વિવેચક \( b^2 - 4ac \) ગણતા, આપણને \( -48 \) મળે છે, જે શૂન્ય કરતાં ઓછું છે. તેથી, આ પરિસ્થિતિ શક્ય નથી કારણ કે ઉંમરના વાસ્તવિક ઉકેલ મળતા નથી.

Exam Tip: ઉંમર સંબંધિત પ્રશ્નોમાં, હંમેશા એ તપાસો કે દ્વિઘાત સમીકરણના વાસ્તવિક ઉકેલ મળે છે કે નહીં. જો વિવેચક ઋણ આવે, તો પરિસ્થિતિ શક્ય નથી.

Question 5. જેની પરિમિતિ 80 મી અને ક્ષેત્રફળ 400 મી॰ હોય, તેવો છે લંબચોરસ બગીચો બનાવવાનું શક્ય છે? જો તે શક્ય હોય, તો તેની લંબાઈ અને પહોળાઈ શોધો.
Answer: ધારો કે, લંબચોરસ બગીચાની લંબાઈ \( x \) મીટર છે. લંબચોરસ બગીચાની પરિમિતિ \( = 2 (\text{લંબાઈ} + \text{પહોળાઈ}) \).
\( 80 = 2 (x + \text{પહોળાઈ}) \)
\( 40 = x + \text{પહોળાઈ} \)
તેથી, પહોળાઈ \( = (40 - x) \) મીટર. હવે, લંબચોરસ બગીચાનું ક્ષેત્રફળ \( = \text{લંબાઈ} \times \text{પહોળાઈ} \).
\( 400 = x (40 - x) \)
\( 400 = 40x - x^2 \)
\( x^2 - 40x + 400 = 0 \).
અહીં, \( a = 1 \); \( b = -40 \) અને \( c = 400 \) છે. હવે, વિવેચક \( = b^2 - 4ac = (-40)^2 - 4(1)(400) = 1600 - 1600 = 0 \). અહીં, વિવેચક \( = 0 \) છે. તેથી, સમીકરણનાં બીજ વાસ્તવિક અને સમાન છે. આથી, આપેલ માપ મુજબનો લંબચોરસ બગીચો બનાવવાનું શક્ય છે.
\( x^2 - 40x + 400 = 0 \)
\( x^2 - 20x - 20x + 400 = 0 \)
\( x (x - 20) - 20 (x - 20) = 0 \)
\( (x - 20) (x - 20) = 0 \)
\( x - 20 = 0 \) અથવા \( x - 20 = 0 \)
\( x = 20 \) અથવા \( x = 20 \).
આમ, માગ્યા મુજબના લંબચોરસ બગીચાની લંબાઈ \( = x = 20 \) મીટર અને પહોળાઈ \( = 40 - x = 40 - 20 = 20 \) મીટર છે. નોંધ: અહીં, માગેલ બગીચાનો આકાર ચોરસ બને છે, પરંતુ આપણે જાણીએ છીએ કે, દરેક ચોરસ એ લંબચોરસ છે જ.
In simple words: બગીચાની પરિમિતિ \( 80 \) મીટર અને ક્ષેત્રફળ \( 400 \) મીટર વર્ગ છે. જો લંબાઈ \( x \) હોય, તો પહોળાઈ \( (40-x) \) થશે. ક્ષેત્રફળ \( x(40-x) = 400 \) પરથી સમીકરણ \( x^2 - 40x + 400 = 0 \) મળે છે. આનો વિવેચક શૂન્ય છે, એટલે કે વાસ્તવિક અને સમાન ઉકેલ મળે છે. આનો અર્થ છે કે આવો બગીચો બનાવવો શક્ય છે, અને તેની લંબાઈ \( 20 \) મીટર અને પહોળાઈ પણ \( 20 \) મીટર છે. એટલે કે, બગીચો ચોરસ આકારનો છે, જે લંબચોરસ પણ ગણાય.

Exam Tip: ક્ષેત્રફળ અને પરિમિતિ આધારિત પ્રશ્નોમાં, દ્વિઘાત સમીકરણ બનાવ્યા પછી, તેના વિવેચકને તપાસો. જો D \( \ge 0 \) હોય, તો જ ઉકેલ શક્ય છે. સમીકરણ ઉકેલતી વખતે, લંબાઈ અને પહોળાઈ હંમેશા ધન જ હોવી જોઈએ.