Official GSEB Solutions for Class 10 Mathematics: Chapter 01 વાસ્તવિક સંખ્યાઓ
Explore reliable textbook solutions for Chapter 01 વાસ્તવિક સંખ્યાઓ tailored for Class 10 learners. Utilizing these Mathematics answers ensures thorough preparation and strengthens foundational knowledge before final GSEB evaluations.
Chapter-wise Solutions for Mathematics: Chapter 01 વાસ્તવિક સંખ્યાઓ
View or download the dedicated Chapter 01 વાસ્તવિક સંખ્યાઓ solution resource below. Engaging with these textbook answers under focused study conditions ensures continuous academic progress and mastery of the 2026-27 curriculum for Mathematics.
Question 1. યુક્લિડની ભાગપ્રવિધિનો ઉપયોગ કરી ગુ.સા.અ. શોધોઃ
(1) 135 અને 225
(2) 196 અને 38220
(3) 867 અને 255
Answer:
(1) 135 અને 225
અહીં, 225 એ 135 થી મોટો છે.
\( 225 = 135 \times 1 + 90 \)
શેષ શૂન્ય ન હોવાથી, આપણે 135 અને 90 પર ભાગાકારની પ્રક્રિયા ફરીથી વાપરશું.
\( 135 = 90 \times 1 + 45 \)
શેષ હજુ પણ શૂન્ય ન હોવાથી, આપણે 90 અને 45 પર ભાગાકારની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરશું.
\( 90 = 45 \times 2 + 0 \)
હવે, શેષ શૂન્ય છે, તેથી ભાજક 45 એ આપણો જરૂરી ગુ.સા.અ. છે.
તેથી, ગુ.સા.અ. (135, 225) 45 છે.
(2) 196 અને 38220
અહીં, 38220 એ 196 થી મોટો છે.
\( 38220 = 196 \times 195 + 0 \)
હવે, શેષ શૂન્ય છે, તેથી ભાજક 196 એ આપણો જરૂરી ગુ.સા.અ. છે.
તેથી, ગુ.સા.અ. (196, 38220) 196 છે.
(3) 867 અને 255
અહીં, 867 એ 255 થી મોટો છે.
\( 867 = 255 \times 3 + 102 \)
શેષ શૂન્ય ન હોવાથી, આપણે 255 અને 102 પર ભાગાકારની પ્રક્રિયા ફરીથી વાપરશું.
\( 255 = 102 \times 2 + 51 \)
શેષ હજુ પણ શૂન્ય ન હોવાથી, આપણે 102 અને 51 પર ભાગાકારની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરશું.
\( 102 = 51 \times 2 + 0 \)
હવે, શેષ શૂન્ય છે, તેથી ભાજક 51 એ આપણો જરૂરી ગુ.સા.અ. છે.
તેથી, ગુ.સા.અ. (867, 255) 51 છે.
In simple words: ગુરુત્તમ સામાન્ય અવયવ (HCF) શોધવા માટે યુક્લિડની ભાગાકાર પ્રવિધિનો ઉપયોગ કરો. મોટા નંબરને નાના નંબર વડે ભાગો અને શેષ મળે ત્યાં સુધી પ્રક્રિયા ચાલુ રાખો. જ્યારે શેષ શૂન્ય બને, ત્યારે છેલ્લો ભાજક એ તમારો HCF હોય છે.
Exam Tip: યુક્લિડની ભાગાકાર પ્રવિધિમાં, હંમેશા શેષ શૂન્ય ન થાય ત્યાં સુધી ભાગાકારની ક્રિયા ફરીથી કરતા રહો, અને છેલ્લો ભાજક જ તમારો ગુ.સા.અ. બનશે.
Question 2. દર્શાવો કે, કોઈ પણ અયુગ્મ ધન પૂર્ણાંક સંખ્યા કોઈક પૂર્ણાક : q માટે, 6q + 1 અથવા 6q + 3 અથવા 6q + 5 હોય.
Answer:
ધારો કે \( a \) એ કોઈ એકી ધન પૂર્ણાંક સંખ્યા છે અને \( b = 6 \).
યુક્લિડના ભાગાકારના પૂર્વપ્રમેય મુજબ, આપણે \( a = 6q + r \) લખી શકીએ, જ્યાં \( q \) એક પૂર્ણાંક છે અને \( r \) ની કિંમત 0, 1, 2, 3, 4, અથવા 5 હોઈ શકે છે, કારણ કે \( 0 \le r < 6 \).
આથી, \( a \) ની કિંમત \( 6q \), \( 6q + 1 \), \( 6q + 2 \), \( 6q + 3 \), \( 6q + 4 \) અથવા \( 6q + 5 \) હોઈ શકે છે.
પરંતુ, \( 6q \), \( 6q + 2 \) અને \( 6q + 4 \) એ બધી સંખ્યાઓ 2 વડે વિભાજ્ય છે. કારણ કે \( a \) એ એકી સંખ્યા છે, તેથી \( a \) એ \( 6q \), \( 6q + 2 \) કે \( 6q + 4 \) ના સ્વરૂપમાં હોઈ શકે નહીં.
તેથી, કોઈપણ એકી ધન પૂર્ણાંક સંખ્યા, કોઈક પૂર્ણાંક \( q \) માટે \( 6q + 1 \), \( 6q + 3 \) અથવા \( 6q + 5 \) ના સ્વરૂપમાં જ હોય છે.
In simple words: એકી ધન સંખ્યાને 6 વડે ભાગતા શેષ 1, 3 અથવા 5 જ મળે છે, જે દર્શાવે છે કે તે સંખ્યાઓ 6q + 1, 6q + 3 અથવા 6q + 5 ના રૂપમાં હોય છે.
Exam Tip: યુક્લિડના ભાગાકારના પૂર્વપ્રમેયને સાચો રીતે લાગુ કરો, જેમાં શેષ \( r \) હંમેશા ભાજક \( b \) કરતા ઓછો હોય છે \( (0 \le r < b) \). અયુગ્મ અને યુગ્મ સંખ્યાઓના ગુણધર્મોને સ્પષ્ટપણે અલગ પાડો.
Question 3. એક લશ્કરનું 616 સભ્યોનું જૂથ લશ્કરના બૅન્ડના 32 સભ્યોની પાછળ કૂચ કરી રહ્યું છે. બંને જૂથ સમાન સંખ્યાના સ્તંભમાં કૂચ કરી રહ્યાં છે. તેઓ જે સ્તંભમાં કુચ કરી રહ્યા છે તેવા કોઈ પણ સ્તંભમાં મહત્તમ કેટલા સભ્યો હશે?
Answer:
આ સમસ્યાનો ઉત્તર મેળવવા માટે, આપણે 616 અને 32નો ગુરુત્તમ સામાન્ય અવયવ (HCF) શોધવો પડશે.
અહીં, 616 એ 32 થી મોટો છે.
\( 616 = 32 \times 19 + 8 \)
\( 32 = 8 \times 4 + 0 \).
તેથી, ગુરુત્તમ સામાન્ય અવયવ (HCF) (616, 32) 8 છે.
તેથી, તેઓ 8 સ્તંભોમાં કૂચ કરી શકે છે, અને દરેક સ્તંભમાં મહત્તમ 8 સભ્યો હશે.
In simple words: સૌથી વધુ સભ્યો સાથે સમાન સ્તંભોમાં કૂચ કરવા માટે, આપણે કુલ સભ્યો અને બેન્ડ સભ્યોના HCF (ગુરુત્તમ સામાન્ય અવયવ) શોધીએ છીએ. આ કિસ્સામાં, HCF 8 છે, એટલે કે મહત્તમ 8 સભ્યો પ્રતિ સ્તંભ હશે.
Exam Tip: જ્યારે તમને "મહત્તમ સંખ્યા" અથવા "સૌથી મોટો માપ" જેવા શબ્દો દેખાય, ત્યારે HCF (ગુરુત્તમ સામાન્ય અવયવ) શોધવાનો પ્રયાસ કરો. શબ્દ સમસ્યાઓને ઉકેલવા માટે યુક્લિડની ભાગાકાર પ્રવિધિનો ઉપયોગ કરો.
Question 4. યુક્લિડના ભાગાકારના પૂર્વપ્રમેયનો ઉપયોગ કરી દર્શાવો કે, કોઈ પણ ધન પૂર્ણાકનો વર્ગ કોઈક પૂર્ણાંક m માટે, 3m અથવા 3m + 1 સ્વરૂપમાં હોય.
[સૂચનઃ ધારો કે, કોઈ ધન પૂર્ણાક છે, તો તે 3q, 3q + 1 અથવા 3q + 2 સ્વરૂપમાં હોય. હવે, દરેકનો વર્ગ કરો અને દર્શાવો કે કે ફરીથી તેને 3m અથવા 3m + 1 સ્વરૂપમાં લખી શકાય.]
Answer:
ધારો કે \( a \) એ કોઈ એક ધન પૂર્ણાંક છે અને \( b = 3 \).
યુક્લિડના ભાગાકારના પૂર્વપ્રમેય મુજબ, \( a \) એ \( 3q \), \( 3q + 1 \) અથવા \( 3q + 2 \) ના સ્વરૂપમાં હોઈ શકે છે, જ્યાં \( q \) એક પૂર્ણાંક છે.
(1) જો \( a = 3q \) હોય, તો
\( a^2 = (3q)^2 \)
\( = 9q^2 \)
\( = 3(3q^2) \)
\( = 3m \)
અહીં, \( m = 3q^2 \) એક પૂર્ણાંક છે. તેથી, \( a^2 = 3m \).
(2) જો \( a = 3q + 1 \) હોય, તો
\( a^2 = (3q + 1)^2 \)
\( = (3q)^2 + 2(3q)(1) + (1)^2 \)
\( = 9q^2 + 6q + 1 \)
\( = 3(3q^2 + 2q) + 1 \)
\( = 3m + 1 \)
અહીં, \( m = 3q^2 + 2q \) એક પૂર્ણાંક છે. તેથી, \( a^2 = 3m + 1 \).
(3) જો \( a = 3q + 2 \) હોય, તો
\( a^2 = (3q + 2)^2 \)
\( = (3q)^2 + 2(3q)(2) + (2)^2 \)
\( = 9q^2 + 12q + 4 \)
\( = 9q^2 + 12q + 3 + 1 \)
\( = 3(3q^2 + 4q + 1) + 1 \)
\( = 3m + 1 \)
અહીં, \( m = 3q^2 + 4q + 1 \) એક પૂર્ણાંક છે. તેથી, \( a^2 = 3m + 1 \).
તેથી, કોઈપણ સંજોગોમાં, કોઈપણ ધન પૂર્ણાંકનો વર્ગ કોઈક પૂર્ણાંક \( m \) માટે \( 3m \) અથવા \( 3m + 1 \) ના સ્વરૂપમાં જ હોય છે.
In simple words: કોઈપણ ધન સંખ્યાનો વર્ગ જ્યારે 3 વડે ભાગવામાં આવે, ત્યારે શેષ 0 અથવા 1 જ હોય છે. આનો અર્થ એ કે તેનો વર્ગ 3m અથવા 3m + 1 સ્વરૂપમાં જ હોય છે.
Exam Tip: જ્યારે કોઈ સંખ્યાનો વર્ગ અથવા ઘન દર્શાવવાનો હોય, ત્યારે યુક્લિડના ભાગાકારના પૂર્વપ્રમેયનો ઉપયોગ કરો. વિવિધ સંભવિત શેષો માટે દરેક કેસને અલગથી દર્શાવો અને પછી સામાન્યીકરણ કરો.
Question 5. યુક્લિડનું ભાગાકારનું પૂર્વપ્રમેય વાપરીને દર્શાવો કે, કોઈ પણ ધન પૂર્ણાકનો ઘન 9m, 9m + 1 અથવા 9m + 8 સ્વરૂપનો હોય.
Answer:
ધારો કે \( a \) એ કોઈ એક ધન પૂર્ણાંક છે અને \( b = 3 \). યુક્લિડના ભાગાકારના પૂર્વપ્રમેય મુજબ, \( a \) એ \( 3q \), \( 3q + 1 \) અથવા \( 3q + 2 \) ના સ્વરૂપમાં હોઈ શકે છે, જ્યાં \( q \) એક પૂર્ણાંક છે.
(1) જો \( a = 3q \) હોય, તો
\( a^3 = (3q)^3 \)
\( = 27q^3 \)
\( = 9(3q^3) \)
\( = 9m \)
અહીં, \( m = 3q^3 \) એક પૂર્ણાંક છે. તેથી, \( a^3 = 9m \).
(2) જો \( a = 3q + 1 \) હોય, તો
\( a^3 = (3q + 1)^3 \)
\( = (3q)^3 + 3(3q)^2(1) + 3(3q)(1)^2 + (1)^3 \)
\( = 27q^3 + 27q^2 + 9q + 1 \)
\( = 9(3q^3 + 3q^2 + q) + 1 \)
\( = 9m + 1 \)
અહીં, \( m = 3q^3 + 3q^2 + q \) એક પૂર્ણાંક છે. તેથી, \( a^3 = 9m + 1 \).
(3) જો \( a = 3q + 2 \) હોય, તો
\( a^3 = (3q + 2)^3 \)
\( = (3q)^3 + 3(3q)^2(2) + 3(3q)(2)^2 + (2)^3 \)
\( = 27q^3 + 54q^2 + 36q + 8 \)
\( = 9(3q^3 + 6q^2 + 4q) + 8 \)
\( = 9m + 8 \)
અહીં, \( m = 3q^3 + 6q^2 + 4q \) એક પૂર્ણાંક છે. તેથી, \( a^3 = 9m + 8 \).
તેથી, કોઈપણ સંજોગોમાં, કોઈપણ ધન પૂર્ણાંકનો ઘન કોઈક પૂર્ણાંક \( m \) માટે \( 9m \), \( 9m + 1 \) અથવા \( 9m + 8 \) ના સ્વરૂપમાં જ હોય છે.
In simple words: કોઈપણ ધન પૂર્ણાંકનો ઘન જ્યારે 9 વડે ભાગવામાં આવે, ત્યારે શેષ 0, 1 અથવા 8 જ હોય છે. આનો અર્થ એ છે કે તેનો ઘન 9m, 9m + 1 અથવા 9m + 8 સ્વરૂપમાં જ હોય છે.
Exam Tip: યુક્લિડના ભાગાકારના પૂર્વપ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને કોઈપણ ધન પૂર્ણાંકના વર્ગ અથવા ઘનનું સ્વરૂપ દર્શાવતી વખતે, \( (a+b)^2 \) અને \( (a+b)^3 \) જેવા બીજગણિતીય વિસ્તરણ સૂત્રોને સાચો રીતે લાગુ કરવાનું યાદ રાખો.
Free study material for Mathematics
Free GSEB Textbook Explanations: Class 10 Mathematics Chapter 01 વાસ્તવિક સંખ્યાઓ
Official GSEB Solutions for Chapter 01 વાસ્તવિક સંખ્યાઓ
Access structured GSEB textbook solutions for Chapter 01 વાસ્તવિક સંખ્યાઓ. Designed in alignment with the latest academic curriculum for Class 10 Mathematics, these answers cover all end-of-chapter exercises to support daily learning and homework completion.
Step-by-Step Explanations for Chapter 01 વાસ્તવિક સંખ્યાઓ
Each solution includes detailed reasoning to foster genuine comprehension of Chapter 01 વાસ્તવિક સંખ્યાઓ concepts. Reviewing these step-by-step breakdowns allows learners to master both analytical and descriptive questions expected in school evaluations.
Next Steps in Your Mathematics Revision
These resources act as an effective roadmap for daily homework tasks and independent study. Supplement your review of Chapter 01 વાસ્તવિક સંખ્યાઓ with official sample papers and interactive practice tests available on our platform free of charge.
FAQs
The complete and updated GSEB Class 10 Maths Solutions Chapter 1 વાસ્તવિક સંખ્યાઓ Exercise 1.1 is available for free on StudiesToday.com. These solutions for Class 10 Mathematics are as per latest GSEB curriculum.
Yes, our experts have revised the GSEB Class 10 Maths Solutions Chapter 1 વાસ્તવિક સંખ્યાઓ Exercise 1.1 as per 2026 exam pattern. All textbook exercises have been solved and have added explanation about how the Mathematics concepts are applied in case-study and assertion-reasoning questions.
Toppers recommend using GSEB language because GSEB marking schemes are strictly based on textbook definitions. Our GSEB Class 10 Maths Solutions Chapter 1 વાસ્તવિક સંખ્યાઓ Exercise 1.1 will help students to get full marks in the theory paper.
Yes, we provide bilingual support for Class 10 Mathematics. You can access GSEB Class 10 Maths Solutions Chapter 1 વાસ્તવિક સંખ્યાઓ Exercise 1.1 in both English and Hindi medium.
Yes, you can download the entire GSEB Class 10 Maths Solutions Chapter 1 વાસ્તવિક સંખ્યાઓ Exercise 1.1 in printable PDF format for offline study on any device.