NCERT Solutions for Class 9 Maths: Chapter 20 आंकड़े
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Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 20 Statistics Ex 20.3 (सांख्यिकी)
Question 1. निम्नलिखित आँकड़ों के लिए आयत-चित्र बनाइयेः
| मासिक स्कूल फीस (Rs. में) | 30-60 | 60-90 | 90-120 | 120-150 | 150-180 | 180-210 | 210-240 |
| स्कूलों की संख्या | 5 | 12 | 14 | 18 | 10 | 9 | 4 |
Answer: हलः
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह आयत-चित्र मासिक स्कूल फीस (Rs. में) और स्कूलों की संख्या के बीच संबंध दर्शाता है। क्षैतिज अक्ष (X-अक्ष) मासिक स्कूल फीस को विभिन्न वर्गों में दिखाता है, जबकि ऊर्ध्वाधर अक्ष (Y-अक्ष) प्रत्येक फीस वर्ग में स्कूलों की संख्या को प्रदर्शित करता है। यह चित्र विभिन्न फीस श्रेणियों में स्कूलों के वितरण को स्पष्ट रूप से प्रस्तुत करता है।
In simple words: एक आयत-चित्र या हिस्टोग्राम वह ग्राफ होता है जो वर्गीकृत डेटा को आयतों का उपयोग करके दिखाता है, जहाँ आयतों की चौड़ाई वर्ग अंतराल और ऊँचाई बारंबारता दर्शाती है। यह ग्राफ मासिक स्कूल फीस के आधार पर स्कूलों की संख्या का वितरण दिखाता है।
🎯 Exam Tip: आयत-चित्र बनाते समय, वर्ग अंतरालों की निरंतरता और बारंबारता के सही पैमाने को सुनिश्चित करना महत्वपूर्ण है ताकि डेटा का सही प्रतिनिधित्व हो सके।
बारंबारता सारणी
| आयु (वर्षो में) | अनपढ़ व्यक्तियों की संख्या |
| 9.5-16.5 | 175 |
| 16.5-23.5 | 325 |
| 23.5-30.5 | 100 |
| 30.5-37.5 | 150 |
| 37.5-44.5 | 250 |
| 44.5-51.5 | 400 |
| 51.5-58.5 | 525 |
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह आयत-चित्र विभिन्न आयु वर्गों में अनपढ़ व्यक्तियों की संख्या को प्रदर्शित करता है। क्षैतिज अक्ष (X-अक्ष) आयु वर्ग (वर्षों में) को और ऊर्ध्वाधर अक्ष (Y-अक्ष) अनपढ़ व्यक्तियों की संख्या को दर्शाता है। यह ग्राफ दिखाता है कि किस आयु वर्ग में अनपढ़ व्यक्तियों की संख्या कितनी है।
Question 2. निम्नलिखित आँकड़ों के लिए एक आयत-चित्र बनाइये:
| आयु (वर्षों में) | 10-16 | 17-23 | 24-30 | 31-37 | 38-44 | 45-51 | 52-58 |
| अनपढ़ व्यक्तियों की संख्या | 175 | 325 | 100 | 150 | 250 | 400 | 525 |
Answer: हलः
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह आयत-चित्र आयु के विभिन्न वर्गों में अनपढ़ व्यक्तियों की संख्या का वितरण दर्शाता है। क्षैतिज अक्ष पर आयु (वर्षों में) को वर्ग अंतरालों के रूप में दिखाया गया है, जबकि ऊर्ध्वाधर अक्ष पर अनपढ़ व्यक्तियों की संख्या को दर्शाया गया है। यह आलेख दिखाता है कि आयु के किस वर्ग में कितने अनपढ़ व्यक्ति हैं।
In simple words: दिए गए डेटा के लिए एक आयत-चित्र (हिस्टोग्राम) बनाने के लिए, आयु वर्गों को निरंतर बनाने की आवश्यकता होती है, और फिर प्रत्येक वर्ग की बारंबारता (अनपढ़ व्यक्तियों की संख्या) को ऊँचाई के रूप में दर्शाया जाता है।
🎯 Exam Tip: असतत वर्ग अंतरालों को आयत-चित्र बनाने से पहले सतत वर्ग अंतरालों में बदलना महत्वपूर्ण है। इसके लिए, वर्ग अंतरालों के बीच के अंतर के आधे को निचली सीमा से घटाया जाता है और ऊपरी सीमा में जोड़ा जाता है।
Question 3. एक प्रवेश परीक्षा में, 100 विद्यार्थियों द्वारा प्राप्त अंकों को निम्नलिखित सारणी में दर्शाया गया है। आँकड़ों को आयत-चित्र के रूप में निरूपित कीजिए।हलः
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह आयत-चित्र एक प्रवेश परीक्षा में 100 विद्यार्थियों द्वारा प्राप्त अंकों के वितरण को दर्शाता है। क्षैतिज अक्ष (X-अक्ष) पर प्राप्त अंकों को विभिन्न वर्गों में और ऊर्ध्वाधर अक्ष (Y-अक्ष) पर विद्यार्थियों की संख्या को दर्शाया गया है। यह आलेख दर्शाता है कि विभिन्न अंक श्रेणियों में कितने विद्यार्थी आते हैं।
In simple words: यह आयत-चित्र एक प्रवेश परीक्षा में विद्यार्थियों द्वारा प्राप्त अंकों के वितरण को दर्शाता है, जहाँ प्रत्येक अंक श्रेणी में विद्यार्थियों की संख्या को आयतों की ऊँचाई के रूप में दिखाया गया है।
🎯 Exam Tip: जब डेटा को आयत-चित्र में निरूपित किया जाता है, तो वर्ग अंतरालों का आकार और प्रत्येक वर्ग की बारंबारता का सही ढंग से प्रतिनिधित्व करना आवश्यक है ताकि वितरण की प्रवृत्ति स्पष्ट हो सके।
Question 4. निम्नलिखित आँकड़ों से एक बारंबारता बहुभुज बनाइये ।
| स्कोर | 32-34 | 35-37 | 38-40 | 41-43 | 44-46 | 47-49 |
| बारंबारता | 13 | 10 | 20 | 16 | 12 | 8 |
Answer: हलः
बारंबारता सारणी
| स्कोर | बारंबारता |
| 31.5-34.5 | 13 |
| 34.5-37.5 | 10 |
| 37.5-40.5 | 20 |
| 40.5-43.5 | 16 |
| 43.5-46.5 | 12 |
| 46.5-49.5 | 8 |
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र दिए गए स्कोर डेटा के लिए एक बारंबारता बहुभुज दर्शाता है। क्षैतिज अक्ष (X-अक्ष) पर स्कोर के वर्ग मध्य-बिंदुओं को दर्शाया गया है, और ऊर्ध्वाधर अक्ष (Y-अक्ष) पर बारंबारता को दर्शाया गया है। बिंदुओं को जोड़कर बनी रेखा डेटा के वितरण की प्रवृत्ति को दर्शाती है।
In simple words: बारंबारता बहुभुज बनाने के लिए, पहले असतत स्कोर अंतरालों को सतत अंतरालों में परिवर्तित किया जाता है, फिर प्रत्येक वर्ग के मध्य-बिंदुओं को बारंबारता के साथ प्लॉट किया जाता है और एक सीधी रेखा से जोड़ा जाता है।
🎯 Exam Tip: बारंबारता बहुभुज बनाने से पहले, वर्ग अंतरालों को निरंतर करना और प्रत्येक वर्ग का मध्य-बिंदु ज्ञात करना महत्वपूर्ण है। बहुभुज को बंद करने के लिए, चरम बिंदुओं पर काल्पनिक वर्ग मध्य-बिंदुओं को शून्य बारंबारता के साथ जोड़ा जाता है।
Question 5. निम्नलिखित आँकड़ों से एक बारंबारता बहुभुज बनाइये ।
| एक विद्यार्थी का मासिक जेब खर्च (Rs. में) | विद्यार्थियों की संख्या |
| 0-5 | 10 |
| 5-10 | 16 |
| 10-15 | 30 |
| 15-20 | 40 |
| 20-25 | 40 |
| 25-30 | 50 |
| 30-35 | 30 |
| 35-40 | 16 |
Answer: हलः
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह ग्राफ एक विद्यार्थी के मासिक जेब खर्च (Rs. में) और संबंधित विद्यार्थियों की संख्या को दर्शाने वाला एक बारंबारता बहुभुज है। क्षैतिज अक्ष (X-अक्ष) पर मासिक जेब खर्च के वर्ग मध्य-बिंदुओं को और ऊर्ध्वाधर अक्ष (Y-अक्ष) पर विद्यार्थियों की संख्या को दर्शाया गया है। यह बहुभुज विभिन्न जेब खर्च श्रेणियों में विद्यार्थियों के वितरण को दर्शाता है।
In simple words: बारंबारता बहुभुज बनाने के लिए, प्रत्येक वर्ग अंतराल के मध्य-बिंदु को उसकी संबंधित बारंबारता के साथ प्लॉट किया जाता है, और फिर इन बिंदुओं को सीधी रेखाओं से जोड़ दिया जाता है।
🎯 Exam Tip: जब वर्ग अंतराल सतत हों, तो आयत-चित्र के शीर्ष बिंदुओं के मध्य-बिंदुओं को जोड़कर भी बारंबारता बहुभुज बनाया जा सकता है। यह सुनिश्चित करें कि बहुभुज X-अक्ष पर बंद हो।
Question 6. निम्नलिखित आँकड़ों के लिए एक आयत-चित्र बनाइयेः
| वर्ग अन्तराल | बारंबारता |
| 50-54 | 4 |
| 55-59 | 9 |
| 60-64 | 17 |
| 65-69 | 22 |
| 70-74 | 18 |
| 75-79 | 8 |
| 80-84 | 2 |
Answer: हलः इसके लिए बारबारता सारणी है।
| वर्ग अन्तराल | बारंबारता |
| 49.5-54.5 | 4 |
| 54.5-59.5 | 9 |
| 59.5-64.5 | 17 |
| 64.5-69.5 | 22 |
| 69.5-74.5 | 18 |
| 74.5-79.5 | 8 |
| 79.5-84.5 | 2 |
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह आयत-चित्र दिए गए डेटा के लिए बनाया गया है, जहाँ असतत वर्ग अंतरालों को सतत अंतरालों में परिवर्तित किया गया है। क्षैतिज अक्ष पर सतत वर्ग अंतराल (49.5-84.5) और ऊर्ध्वाधर अक्ष पर बारंबारता (0-22) को दर्शाया गया है। यह आलेख बारंबारता वितरण की आकृति को दर्शाता है।
In simple words: असतत वर्ग अंतरालों को सतत बनाने के लिए, निचली सीमा से 0.5 घटाया जाता है और ऊपरी सीमा में 0.5 जोड़ा जाता है, फिर इन नए सतत अंतरालों का उपयोग करके आयत-चित्र बनाया जाता है।
🎯 Exam Tip: जब वर्ग अंतराल असतत हों (जैसे 50-54, 55-59), तो आयत-चित्र बनाने से पहले उन्हें सतत (जैसे 49.5-54.5, 54.5-59.5) बनाना अनिवार्य है, ताकि आयतें एक-दूसरे से सटी हुई हों।
Question 7. एक शहर में श्रमिकों के कुल घर का खर्च (Rs. में) का बंटन निम्नलिखित है:
| खर्च (Rs. में) | श्रमिकों की संख्या |
| 100-150 | 25 |
| 150-200 | 40 |
| 200-250 | 33 |
| 250-300 | 28 |
| 300-350 | 30 |
| 350-400 | 22 |
| 400-450 | 16 |
| 450-500 | 8 |
Answer: हलः उपरोक्त के लिए आयत चित्र बनाइये।
आयत चित्र
| खर्च (Rs. में) | श्रमिकों की संख्या |
| 100-150 | 25 |
| 150-200 | 40 |
| 200-250 | 33 |
| 250-300 | 28 |
| 300-350 | 30 |
| 350-400 | 22 |
| 400-450 | 16 |
| 450-500 | 8 |
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह आयत-चित्र एक शहर में श्रमिकों के कुल घर के खर्च (Rs. में) के वितरण को दर्शाता है। क्षैतिज अक्ष (X-अक्ष) पर खर्च की श्रेणियों (वर्ग अंतरालों) को और ऊर्ध्वाधर अक्ष (Y-अक्ष) पर श्रमिकों की संख्या को दर्शाया गया है। यह आलेख दिखाता है कि विभिन्न खर्च श्रेणियों में कितने श्रमिक आते हैं।
In simple words: दिया गया आयत-चित्र श्रमिकों की संख्या को उनके मासिक घर के खर्च के अनुसार प्रदर्शित करता है, जहाँ खर्च के वर्ग अंतरालों को आयतों की चौड़ाई और श्रमिकों की संख्या को उनकी ऊँचाई के रूप में दिखाया गया है।
🎯 Exam Tip: आयत-चित्र बनाते समय, यह सुनिश्चित करें कि सभी आयतें एक-दूसरे से सटी हुई हों क्योंकि यह एक सतत डेटा का प्रतिनिधित्व करता है। अक्षों को उचित रूप से लेबल करना और सही पैमाना चुनना महत्वपूर्ण है।
Question 8. निम्नलिखित आँकड़ों का बारंबारता बहुभुज बनाइये ।
| प्राप्तांक | 20-25 | 25-30 | 30-35 | 35-40 | 40-45 | 45-50 |
| विद्यार्थियों की संख्या | 5 | 8 | 15 | 6 | 4 | 2 |
Answer: हलः
| प्राप्तांक | 20-25 | 25-30 | 30-35 | 35-40 | 40-45 | 45-50 |
| विद्यार्थियों की संख्या | 5 | 8 | 15 | 6 | 4 | 2 |
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र दिए गए प्राप्तांकों के लिए एक बारंबारता बहुभुज है। क्षैतिज अक्ष (X-अक्ष) पर प्राप्तांकों के वर्ग मध्य-बिंदुओं को दर्शाया गया है, जबकि ऊर्ध्वाधर अक्ष (Y-अक्ष) पर विद्यार्थियों की संख्या को दर्शाया गया है। यह बहुभुज विद्यार्थियों के प्राप्तांकों के वितरण की प्रवृत्ति को दर्शाता है।
In simple words: बारंबारता बहुभुज बनाने के लिए, प्रत्येक वर्ग अंतराल के मध्य-बिंदु को उसकी बारंबारता के साथ प्लॉट किया जाता है और फिर इन बिंदुओं को सीधी रेखाओं से जोड़कर एक बंद आकृति बनाई जाती है।
🎯 Exam Tip: बारंबारता बहुभुज बनाने में, वर्ग के मध्य-बिंदुओं की सही गणना महत्वपूर्ण है। X-अक्ष पर पहले और अंतिम वर्ग के मध्य-बिंदु से आगे एक-एक काल्पनिक बिंदु को शून्य बारंबारता के साथ जोड़ने से बहुभुज बंद हो जाता है।
Question 9. नीचे दी गई सारणी में एक चिड़ियाघर के 840 पशु पक्षियों को इस प्रकार दर्शाया गया है: उपरोक्त आँकड़ों का दण्ड आलेख निरूपित कीजिए।
Answer: हलः
| जानवर | अन्य भूमि पर रहने वाले जानवर | पक्षी | पानी वाले जानवर | रेंगने वाले जीव |
| 120 | 345 | 165 | 135 | 75 |
दण्ड आलेख (Bar graph)
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह दण्ड आलेख (बार ग्राफ) एक चिड़ियाघर में विभिन्न प्रकार के पशु-पक्षियों की संख्या को दर्शाता है। क्षैतिज अक्ष (X-अक्ष) पर जानवरों की श्रेणियां (जैसे जानवर, अन्य भूमि पर रहने वाले जानवर, पक्षी, पानी वाले जानवर, रेंगने वाले जीव) दर्शाई गई हैं, और ऊर्ध्वाधर अक्ष (Y-अक्ष) पर उनकी संख्या को दर्शाया गया है। प्रत्येक श्रेणी के लिए एक अलग दण्ड उसकी संख्या को प्रदर्शित करता है।
In simple words: दण्ड आलेख, जिसे बार ग्राफ भी कहते हैं, अलग-अलग श्रेणियों के डेटा को आयताकार दण्डों की ऊँचाई के माध्यम से तुलनात्मक रूप से प्रस्तुत करता है। इस आलेख में, प्रत्येक प्रकार के जानवर की संख्या को एक दण्ड से दर्शाया गया है।
🎯 Exam Tip: दण्ड आलेख बनाते समय, यह सुनिश्चित करें कि सभी दण्डों की चौड़ाई समान हो और उनके बीच समान दूरी हो। प्रत्येक दण्ड एक विशिष्ट श्रेणी का प्रतिनिधित्व करता है और उसकी ऊँचाई उस श्रेणी के मान को दर्शाती है।
Question 10. दिल्ली से चार शहरों की हवाई दूरी (किमी में) नीचे दी गई है: उपरोक्त आँकड़ों का दण्ड आलेख निरूपित कीजिए।
| शहर | कोलकाता | मुंबई | चेन्नई | हैदराबाद |
| दिल्ली से दूरी (किमी में) | 1340 | 1100 | 1700 | 1220 |
Answer: हलः
| शहर | कोलकाता | मुंबई | चेन्नई | हैदराबाद |
| दिल्ली से दूरी (किमी में) | 1340 | 1100 | 1700 | 1220 |
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह दण्ड आलेख दिल्ली से चार विभिन्न शहरों - कोलकाता, मुंबई, चेन्नई और हैदराबाद की हवाई दूरी (किमी में) को दर्शाता है। क्षैतिज अक्ष (X-अक्ष) पर शहरों के नाम दिए गए हैं, और ऊर्ध्वाधर अक्ष (Y-अक्ष) पर दिल्ली से किलोमीटर में दूरी को दर्शाया गया है। प्रत्येक शहर के लिए एक अलग दण्ड उसकी हवाई दूरी को प्रदर्शित करता है।
In simple words: यह दण्ड आलेख दिल्ली से चार शहरों की दूरी को ग्राफ के रूप में दिखाता है, जहाँ प्रत्येक शहर के लिए एक ऊर्ध्वाधर बार (दण्ड) उसकी दूरी को दर्शाता है।
🎯 Exam Tip: दण्ड आलेखों में, विभिन्न श्रेणियों के बीच स्पष्ट अंतर और तुलनात्मक विश्लेषण को दिखाने के लिए दण्डों के बीच उचित दूरी बनाए रखना महत्वपूर्ण है। Y-अक्ष पर पैमाने का चुनाव ऐसा होना चाहिए कि सभी मान स्पष्ट रूप से दिखाई दें।
Question 11. दिया है। वर्ष उपरोक्त आँकड़ों का दण्ड आलेख निरूपित कीजिए
Answer: हलः
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह दण्ड आलेख विभिन्न वर्षों के लिए कुछ मात्रात्मक डेटा (संभवतः विद्यार्थियों की संख्या या किसी अन्य माप) को दर्शाता है। क्षैतिज अक्ष (X-अक्ष) पर वर्ष (2001-02 से 2005-06) दिए गए हैं, और ऊर्ध्वाधर अक्ष (Y-अक्ष) पर संबंधित संख्यात्मक मानों को दर्शाया गया है। प्रत्येक वर्ष के लिए एक दण्ड उसकी मात्रा को प्रदर्शित करता है।
In simple words: यह प्रश्न एक दण्ड आलेख बनाने के लिए कहता है, लेकिन इसमें 'वर्ष' से संबंधित विशिष्ट संख्यात्मक आँकड़े स्पष्ट रूप से प्रदान नहीं किए गए हैं। दिए गए ग्राफ में संभवतः इसी अज्ञात डेटा को दर्शाया गया है।
🎯 Exam Tip: यदि प्रश्न में 'उपरोक्त आँकड़ों' का उल्लेख हो और डेटा स्पष्ट रूप से न दिया गया हो, तो सुनिश्चित करें कि आप संदर्भित डेटा को पहचान लें या यदि डेटा अनुपलब्ध हो, तो यह उल्लेख करें। हमेशा ग्राफ के अक्षों को सही ढंग से लेबल करें।
Question 12. दिया है: उपरोक्त आँकड़ों का दण्ड आलेख निरूपित कीजिए
| वर्ष | 2002 | 2003 | 2004 | 2005 | 2006 |
| ऋण से आय | 28 | 33 | 55 | 55 | 80 |
Answer: हलः
दण्ड आलेख -
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह दण्ड आलेख विभिन्न वर्षों (2002-2006) में 'ऋण से आय' के मूल्यों को दर्शाता है। क्षैतिज अक्ष (X-अक्ष) पर वर्ष और ऊर्ध्वाधर अक्ष (Y-अक्ष) पर 'ऋण से आय' के संख्यात्मक मान (0-80 के पैमाने पर) प्रदर्शित किए गए हैं। प्रत्येक वर्ष के लिए एक दण्ड उसके संबंधित 'ऋण से आय' के स्तर को प्रदर्शित करता है।
In simple words: यह दण्ड आलेख वर्षों के हिसाब से ऋण से होने वाली आय में बदलाव को दिखाता है, जहाँ हर साल के लिए एक खड़ा बार (दण्ड) आय के मूल्य को दर्शाता है।
🎯 Exam Tip: दण्ड आलेखों में Y-अक्ष पर पैमाने का चुनाव महत्वपूर्ण होता है ताकि डेटा के सबसे छोटे और सबसे बड़े मान दोनों स्पष्ट रूप से प्रदर्शित हो सकें। अक्षों पर सही लेबल और इकाइयां अवश्य लिखें।
Question 13. दिया है:
| वर्ष | 2005 | 2006 | 2007 | 2008 | 2009 | 2010 |
| विद्यार्थियों की संख्या | 1400 | 1600 | 1250 | 1000 | 2000 | 2200 |
Answer: हलः
दण्ड आलेख
| वर्ष | 2005 | 2006 | 2007 | 2008 | 2009 | 2010 |
| विद्यार्थियों की संख्या | 1400 | 1600 | 1250 | 1000 | 2000 | 2200 |
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह दण्ड आलेख विभिन्न वर्षों (2005-2010) में विद्यार्थियों की संख्या को दर्शाता है। क्षैतिज अक्ष (X-अक्ष) पर वर्ष और ऊर्ध्वाधर अक्ष (Y-अक्ष) पर विद्यार्थियों की संख्या को दर्शाया गया है, जिसका पैमाना 1000 से 2200 तक है। प्रत्येक वर्ष के लिए एक दण्ड उस वर्ष में विद्यार्थियों की कुल संख्या को प्रदर्शित करता है, जिससे छात्रों की संख्या में रुझान का पता चलता है।
In simple words: यह दण्ड आलेख 2005 से 2010 तक के प्रत्येक वर्ष में विद्यार्थियों की संख्या को दर्शाता है, जहाँ प्रत्येक वर्ष के लिए एक खड़ा बार (दण्ड) उस वर्ष में विद्यार्थियों की कुल संख्या को प्रस्तुत करता है।
🎯 Exam Tip: जब Y-अक्ष पर बड़े संख्यात्मक मानों को दर्शाना हो, तो एक उचित 'किंग' या 'ब्रेक' का उपयोग करना चाहिए ताकि ग्राफ के निचले हिस्से को अनावश्यक रूप से खाली दिखाने से बचा जा सके और डेटा अधिक स्पष्ट रूप से प्रस्तुत हो।
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