UP Board Solutions Class 8 Maths Chapter 17 Cartesian Tal

कार्तीय तल

Exercise 17-A

Question 1. नीचे दिए चित्र को देखकर रिक्त स्थानों में लिखिए।
(i) बिन्दु M, X- अक्ष की दिशा में अंकित है।
(ii) बिन्दु M से Y- अक्ष पर लम्बे पाद की मूल बिन्दु से दूरी ....... इकाई है।
(iii) बिन्दु N, Y- अक्ष की दिशा में अंकित है। बिन्दु N से Y- अक्ष पर लम्बपाद की मूल बिन्दु से दूरी ....... इकाई है।
(iv) बिन्दु T........ चतुर्थांश में अंकित है।
(v) बिन्दु T से x- अक्ष पर लम्ब पाद की मूल बिन्दु से दूरी इकाई है।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र एक कार्तीय तल को दर्शाता है जिसमें X-अक्ष और Y-अक्ष खींचे गए हैं। इस ग्राफ पर कुछ बिन्दु जैसे M, N और T अंकित हैं, जिनकी स्थिति अक्षों के सापेक्ष दर्शाई गई है। बिन्दु M धनात्मक X और Y की ओर है, बिन्दु N ऋणात्मक X और Y की ओर है, और बिन्दु T धनात्मक X और ऋणात्मक Y की ओर है, जिससे विभिन्न चतुर्थांशों में बिंदुओं की स्थिति स्पष्ट होती है।
Answer:
(i) ऋणात्मक
(ii) 3
(iii) ऋणात्मक
(iv) चतुर्थ
(v) 4, -4
In simple words: यह प्रश्न कार्तीय तल पर बिंदुओं की स्थिति और उनके निर्देशांकों को पहचानने की आपकी क्षमता का परीक्षण करता है। X-अक्ष और Y-अक्ष के सापेक्ष बिंदुओं की दिशा और दूरी निर्धारित करना महत्वपूर्ण है।

🎯 Exam Tip: कार्तीय तल पर बिंदुओं को सही ढंग से पहचानना और उनके भुज तथा कोटि को समझना महत्वपूर्ण है। चतुर्थांशों को याद रखें (प्रथम, द्वितीय, तृतीय, चतुर्थ) और अक्षों पर बिंदुओं की दूरी की गणना करना सीखें।

Question 2. निम्नांकित चित्र में अंकित बिन्दुओं को देखकर रिक्त स्थानों को भरिए :
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): इस कार्तीय तल के चित्र में X-अक्ष और Y-अक्ष के साथ-साथ बिन्दु P, Q, R और S अंकित किए गए हैं। प्रत्येक बिन्दु विभिन्न चतुर्थांशों में स्थित है, जैसे P पहले में, Q दूसरे में, R तीसरे में और S चौथे में। छात्र को इन बिंदुओं के निर्देशांकों को ग्राफ से पढ़कर रिक्त स्थान भरने हैं।
(i) बिन्दु P का भुज और कोटि ... है अतः P के निर्देशांक हैं।
(ii) बिन्दु Q का भुज और कोटि ... है अतः Q के निर्देशांक हैं।
(iii) बिन्दु R का x- निर्देशांक और y- निर्देशांक है, अतः R के निर्देशांक .............. हैं।
(iv) बिन्दु S का x- निर्देशांक और y- निर्देशांक ..... है, अतः S के निर्देशांक ............. हैं ।
Answer:
(i) 2, 1, निर्देशांक (2, 1)
(ii) -3, 2, निर्देशांक (-3, 2)
(iii) -5, -3, निर्देशांक (-5, -3)
(iv) 3, -2, निर्देशांक (3, -2)
In simple words: इस प्रश्न में आपको दिए गए ग्राफ से विभिन्न बिंदुओं (P, Q, R, S) के भुज (x-निर्देशांक) और कोटि (y-निर्देशांक) को पहचानना और उनके पूर्ण निर्देशांक युग्म को लिखना है।

🎯 Exam Tip: कार्तीय तल पर किसी भी बिंदु के निर्देशांक \((x, y)\) के रूप में लिखे जाते हैं, जहाँ \(x\) भुज और \(y\) कोटि है। ग्राफ पर क्षैतिज दूरी \(x\) और ऊर्ध्वाधर दूरी \(y\) को ध्यान से पढ़ें।

Question 3. निम्नलिखित बिन्दु किन चतुर्थाशों में स्थित हैं?
(i) (-3,-7)
(ii) (-5, 7)
(iii) (2,-10)
(iv) (5,9)
(v) (-6, 5)
(vi) (-7,-5)
Answer:
(i) तृतीय
(ii) द्वितीय
(iii) चतुर्थ
(iv) प्रथम
(v) द्वितीय
(vi) तृतीय
In simple words: इस प्रश्न में आपको दिए गए निर्देशांकों के आधार पर यह पहचानना है कि प्रत्येक बिन्दु कार्तीय तल के किस चतुर्थांश (Quadrant) में स्थित है। यह x और y निर्देशांकों के चिह्नों (धनात्मक या ऋणात्मक) पर निर्भर करता है।

🎯 Exam Tip: चतुर्थांशों के चिह्नों को याद रखें: प्रथम \((+,+)\), द्वितीय \((-,\text{+})\), तृतीय \((-,-)\), चतुर्थ \((+,-)\)। अक्षों पर स्थित बिंदु किसी चतुर्थांश में नहीं होते हैं।

Question 4. निम्नलिखित बिन्दुओं को ग्राफ पेपर पर अंकित कीजिए :
(i) (7, 5)
(ii) (7,0)
(iii) (-3,-6)
(iv) (0,-4)
(v) (-6,-7)
(vi) (10,-5)
(vii) (0, 0)
Answer: विद्यार्थी स्वयं करें ।
In simple words: इस प्रश्न में आपको दिए गए सभी निर्देशांक बिंदुओं को एक ग्राफ पेपर पर सटीक रूप से पहचान कर अंकित करना है, जिससे आपको कार्तीय तल पर बिंदुओं को प्लॉट करने का अभ्यास मिलेगा।

🎯 Exam Tip: ग्राफ पेपर पर बिंदुओं को अंकित करते समय, x-अक्ष पर भुज और y-अक्ष पर कोटि को सही पैमाने पर मापें। मूल बिंदु \((0,0)\) को विशेष रूप से ध्यान दें।

Exercise 17-B

Question 1. किसी समबाहु त्रिभुज की भुजा की लम्बाई x सेमी है। त्रिभुज की भुजा और परिमाप के संबंध का ग्राफ खीचिए ।
Answer: त्रिभुज की भुजा = x सेमी । त्रिभुज का परिमाप = 3x सेमी ।
In simple words: यह प्रश्न एक समबाहु त्रिभुज के भुजा की लंबाई (x) और उसके परिमाप (3x) के बीच के सीधा संबंध को ग्राफ के माध्यम से दर्शाने के लिए कहता है।

🎯 Exam Tip: ग्राफ खींचते समय, x-अक्ष पर भुजा की लंबाई और y-अक्ष पर परिमाप को दर्शाएँ। समबाहु त्रिभुज का परिमाप उसकी भुजा का तीन गुना होता है, इसलिए यह एक सीधी रेखा का ग्राफ होगा।

Question 2. एक आयत की लम्बाई उसकी चौड़ाई से दुगुनी है। आयत के क्षेत्रफल और चौड़ाई के सम्बन्ध का ग्राफ खीचिए ।
Answer:
आयत की चौड़ाई = x सेमी
तो आयत की लं० = 3x सेमी
आयत का क्षेत्रफल = 2x x x= 2x\(^2\)
In simple words: यह प्रश्न एक आयत की चौड़ाई (x) और उसके क्षेत्रफल के संबंध को ग्राफ पर दर्शाने के लिए है। दिए गए उत्तर के अनुसार, आयत की चौड़ाई x सेमी और लंबाई 3x सेमी मानी गई है, जिसका क्षेत्रफल \(2x^2\) सेमी\(^2\) है।

🎯 Exam Tip: ग्राफ खींचते समय, x-अक्ष पर आयत की चौड़ाई और y-अक्ष पर क्षेत्रफल को दर्शाएँ। आयत का क्षेत्रफल चौड़ाई के वर्ग के समानुपाती होता है, जिससे एक परवलयिक ग्राफ बनेगा।

Question 3. 200 Rs. का प्रतिशत 3 वार्षिक ब्याज दर से साधारण ब्याज और वर्षों में समय के सम्बन्ध का ग्राफ खीचिए ।
Answer:
200 Rs. का 3% से 1 वर्ष का साधारण 6 Rs. है।
तो 2 वर्ष का साधारण 12 Rs. है।
3 वर्ष का साधारण 18 Rs. है ।
4 वर्ष का साधारण 24 Rs. होगा।
संबंध - इस प्रकार वर्ष ब्याज उस पर बढ़ता जाता है।
In simple words: इस प्रश्न में आपको 200 Rs. मूलधन पर 3% वार्षिक साधारण ब्याज की दर से समय (वर्षों में) और प्राप्त साधारण ब्याज के बीच के संबंध को ग्राफ पर दर्शाना है।

🎯 Exam Tip: साधारण ब्याज की गणना का सूत्र \((P \times R \times T)/100\) है। यहाँ, मूलधन और दर स्थिर हैं, इसलिए साधारण ब्याज समय के साथ रैखिक रूप से बढ़ता है। ग्राफ में x-अक्ष पर समय और y-अक्ष पर ब्याज को दर्शाएँ।

Question 4. एक बस 1 घंटे में 40 किमी की दूरी तय करती है। बस द्वारा चली गई दूरी और समय के संबंध का ग्राफ खीचिए-
Answer:
x अक्ष पर (समय घंटों में) और y अक्ष पर दूरी किलोमीटर (40 किमी०) में प्रदर्शित की जाएगी ।
In simple words: यह प्रश्न एक बस द्वारा तय की गई दूरी और लिए गए समय के बीच के संबंध को ग्राफ पर दर्शाने के लिए कहता है, जहाँ बस की गति स्थिर (40 किमी प्रति घंटा) है।

🎯 Exam Tip: जब गति स्थिर होती है, तो दूरी और समय के बीच एक सीधा आनुपातिक संबंध होता है, जिससे ग्राफ पर एक सीधी रेखा बनती है। x-अक्ष पर समय और y-अक्ष पर दूरी को प्लॉट करें।

Question 5. एक साइकिल सवार द्वारा नियत समय अन्तराल में तय की गई दूरी का निम्नवत् दूरी- समय, ग्राफ देखकर निम्नांकित प्रश्नों का उत्तर दीजिए ।
Answer:
(a)
• 2 बजे यात्रा की प्रारम्भिक स्थिति से दूरी = 2 किमी
• 3 बजे यात्रा की प्रारम्भिक स्थिति से दूरी = 2 किमी
• 4 बजे यात्रा की प्रारम्भिक स्थिति से दूरी = 3 किमी
• 5 बजे यात्रा की प्रारम्भिक स्थिति, से दूरी = 4 किमी
(b) उपर्युक्त ग्राफ से साइकिल सवार द्वारा यात्रा के दौरान आराम करने का समय अन्तराल = 1 घण्टा (2 बजे से 3 बजे के बीच)
In simple words: इस प्रश्न में आपको एक साइकिल सवार के दूरी-समय ग्राफ का विश्लेषण करके यात्रा के विभिन्न समय बिंदुओं पर तय की गई दूरी और आराम के समय अंतराल की पहचान करनी है।

🎯 Exam Tip: दूरी-समय ग्राफ में, एक क्षैतिज रेखा (फ्लैट सेगमेंट) यह दर्शाती है कि वस्तु स्थिर है या आराम कर रही है, क्योंकि समय बीतने पर भी दूरी नहीं बदल रही है। ऊर्ध्वाधर अक्ष पर दूरी और क्षैतिज अक्ष पर समय को ध्यान से पढ़ें।