JEE Mathematics Some Additional Topics MCQs Set 03

Answer: (c) 2e

Explanation:
1. The nth term is \( \frac{n+1}{n!}=\frac1{(n-1)!}+\frac1{n!} \).
2. Summing: e + e = 2e (each part sums to e).

Teacher's Note:
1. S
2. p
3. l
4. i
5. t
6.
7. (
8. n
9.
10. +
11.
12. 1
13. )
14. /
15. n
16. !
17.
18. i
19. n
20. t
21. o
22.
23. t
24. w
25. o
26.
27. e
28. x
29. p
30. o
31. n
32. e
33. n
34. t
35. i
36. a
37. l
38.
39. s
40. e
41. r
42. i
43. e
44. s
45. .

Answer: (b) \( \frac1{2e} \)

Explanation:
1. The rth term is \( \frac r{(2r+1)!}=\frac12\left[\frac1{(2r)!}-\frac1{(2r+1)!}\right] \).
2. Summing over r ≥ 1: \( \frac12\left[(\cosh1-1)-(\sinh1-1)\right]=\frac12(\cosh1-\sinh1)=\frac1{2e} \).

Teacher's Note:
1. W
2. r
3. i
4. t
5. e
6.
7. r
8.
9. a
10. s
11.
12. (
13. 2
14. r
15.
16. +
17.
18. 1
19.
20. −
21.
22. 1
23. )
24. /
25. 2
26.
27. t
28. o
29.
30. s
31. p
32. l
33. i
34. t
35.
36. t
37. h
38. e
39.
40. t
41. e
42. r
43. m
44.
45. i
46. n
47. t
48. o
49.
50. t
51. w
52. o
53.
54. e
55. v
56. e
57. n
58. /
59. o
60. d
61. d
62.
63. f
64. a
65. c
66. t
67. o
68. r
69. i
70. a
71. l
72.
73. s
74. e
75. r
76. i
77. e
78. s
79. .

Answer: (a) \( e^{a^2}-e^{b^2} \)

Explanation:
1. Split into two series: \( \left(a^2+\frac{a^4}{2!}+\cdots\right)-\left(b^2+\frac{b^4}{2!}+\cdots\right) \).
2. Each is \( e^{t}-1 \) with t = a² and t = b²; the difference is \( e^{a^2}-e^{b^2} \).

Teacher's Note:
1. T
2. h
3. e
4.
5. −
6. 1
7.
8. t
9. e
10. r
11. m
12. s
13.
14. c
15. a
16. n
17. c
18. e
19. l
20.
21. w
22. h
23. e
24. n
25.
26. s
27. u
28. b
29. t
30. r
31. a
32. c
33. t
34. i
35. n
36. g
37.
38. t
39. h
40. e
41.
42. t
43. w
44. o
45.
46. e
47. x
48. p
49. o
50. n
51. e
52. n
53. t
54. i
55. a
56. l
57.
58. s
59. e
60. r
61. i
62. e
63. s
64. .

Answer: (c) \( \log a-\log b \)

Explanation:
1. The series is \( -\ln(1-z) \) with \( z=\frac{a-b}a \).
2. So the sum is \( -\ln\frac ba=\ln a-\ln b \).

Teacher's Note:
1. R
2. e
3. c
4. o
5. g
6. n
7. i
8. s
9. e
10.
11. t
12. h
13. e
14.
15. s
16. e
17. r
18. i
19. e
20. s
21.
22. −
23. l
24. n
25. (
26. 1
27.
28. −
29.
30. z
31. )
32.
33. =
34.
35. z
36.
37. +
38.
39. z
40. ²
41. /
42. 2
43.
44. +
45.
46. z
47. ³
48. /
49. 3
50.
51. +
52.
53. .
54. .
55. .

Answer: (a) \( \frac x2\log\frac{1+x}{1-x} \)

Explanation:
1. \( \sum\frac{x^{2n-1}}{2n-1}=\frac12\ln\frac{1+x}{1-x} \) (the series for tanh⁻¹x).
2. Multiplying by x gives \( \frac x2\ln\frac{1+x}{1-x} \).

Teacher's Note:
1. F
2. a
3. c
4. t
5. o
6. r
7.
8. o
9. u
10. t
11.
12. x
13.
14. t
15. o
16.
17. o
18. b
19. t
20. a
21. i
22. n
23.
24. t
25. h
26. e
27.
28. s
29. t
30. a
31. n
32. d
33. a
34. r
35. d
36.
37. s
38. e
39. r
40. i
41. e
42. s
43.
44. f
45. o
46. r
47.
48. t
49. a
50. n
51. h
52. ⁻
53. ¹
54. x
55. .

Answer: (b) \( 1-\log_e2 \)

Explanation:
1. \( \frac1{2n(2n+1)}=\frac1{2n}-\frac1{2n+1} \).
2. The sum is \( \left(\frac12-\frac13\right)+\left(\frac14-\frac15\right)+\cdots=1-\ln2 \) (since \( \ln2=1-\frac12+\frac13-\cdots \)).

Teacher's Note:
1. S
2. p
3. l
4. i
5. t
6.
7. i
8. n
9. t
10. o
11.
12. p
13. a
14. r
15. t
16. i
17. a
18. l
19.
20. f
21. r
22. a
23. c
24. t
25. i
26. o
27. n
28. s
29.
30. a
31. n
32. d
33.
34. c
35. o
36. m
37. p
38. a
39. r
40. e
41.
42. w
43. i
44. t
45. h
46.
47. t
48. h
49. e
50.
51. s
52. e
53. r
54. i
55. e
56. s
57.
58. o
59. f
60.
61. l
62. n
63.
64. 2
65. .

Answer: (b) x

Explanation:
1. The first series is ln(1 + x) = y, so x = eʸ − 1.
2. The second series is eʸ − 1 = x.

Teacher's Note:
1. T
2. h
3. e
4.
5. t
6. w
7. o
8.
9. s
10. e
11. r
12. i
13. e
14. s
15.
16. a
17. r
18. e
19.
20. i
21. n
22. v
23. e
24. r
25. s
26. e
27.
28. f
29. u
30. n
31. c
32. t
33. i
34. o
35. n
36. s
37.
38. o
39. f
40.
41. e
42. a
43. c
44. h
45.
46. o
47. t
48. h
49. e
50. r
51. .

Answer: (c) \( \log_e\frac4e \)

Explanation:
1. Write \( \frac1{n(n+1)}=\frac1n-\frac1{n+1} \).
2. Alternating sum \( =\sum\frac{(-1)^{n+1}}n-\sum\frac{(-1)^{n+1}}{n+1}=\ln2-(1-\ln2)=2\ln2-1=\ln\frac4e \).

Teacher's Note:
1. S
2. p
3. l
4. i
5. t
6.
7. i
8. n
9. t
10. o
11.
12. p
13. a
14. r
15. t
16. i
17. a
18. l
19.
20. f
21. r
22. a
23. c
24. t
25. i
26. o
27. n
28. s
29.
30. a
31. n
32. d
33.
34. u
35. s
36. e
37.
38. t
39. h
40. e
41.
42. s
43. e
44. r
45. i
46. e
47. s
48.
49. f
50. o
51. r
52.
53. l
54. n
55.
56. 2
57.
58. t
59. w
60. i
61. c
62. e
63. .

Answer: (c) \( A=\frac{19}7,\ B=\frac17 \)

Explanation:
1. Since 2x² + x − 6 = (2x − 3)(x + 2), we need 3x + 5 = A(x + 2) + B(2x − 3).
2. x = −2: −1 = −7B so B = 1/7. x = 3/2: 19/2 = (7/2)A so A = 19/7.

Teacher's Note:
1. S
2. u
3. b
4. s
5. t
6. i
7. t
8. u
9. t
10. e
11.
12. t
13. h
14. e
15.
16. r
17. o
18. o
19. t
20. s
21.
22. o
23. f
24.
25. t
26. h
27. e
28.
29. d
30. e
31. n
32. o
33. m
34. i
35. n
36. a
37. t
38. o
39. r
40.
41. f
42. a
43. c
44. t
45. o
46. r
47. s
48.
49. o
50. n
51. e
52.
53. a
54. t
55.
56. a
57.
58. t
59. i
60. m
61. e
62. .

Answer: (a) \( \frac{1-x}2 \)

Explanation:
1. Multiply by (1 + x): at x = −1, A = 1/2.
2. Then \( f(x)(1+x)=1-\frac12(1+x^2)=\frac{(1-x)(1+x)}2 \), so f(x) = (1 − x)/2.

Teacher's Note:
1. F
2. i
3. n
4. d
5.
6. A
7.
8. f
9. i
10. r
11. s
12. t
13.
14. a
15. n
16. d
17.
18. t
19. h
20. e
21. n
22.
23. s
24. o
25. l
26. v
27. e
28.
29. f
30. o
31. r
32.
33. t
34. h
35. e
36.
37. n
38. u
39. m
40. e
41. r
42. a
43. t
44. o
45. r
46.
47. o
48. f
49.
50. t
51. h
52. e
53.
54. q
55. u
56. a
57. d
58. r
59. a
60. t
61. i
62. c
63.
64. f
65. a
66. c
67. t
68. o
69. r
70. .

Answer: (b) \( 1-\frac1{2^{n+1}} \)

Explanation:
1. \( \frac1{(x-1)(x-2)}=\frac1{1-x}-\frac12\cdot\frac1{1-x/2} \).
2. Coefficient of xⁿ: \( 1-\frac12\cdot\frac1{2^n}=1-\frac1{2^{n+1}} \).

Teacher's Note:
1. U
2. s
3. e
4.
5. p
6. a
7. r
8. t
9. i
10. a
11. l
12.
13. f
14. r
15. a
16. c
17. t
18. i
19. o
20. n
21. s
22.
23. s
24. o
25.
26. e
27. a
28. c
29. h
30.
31. p
32. a
33. r
34. t
35.
36. i
37. s
38.
39. a
40.
41. g
42. e
43. o
44. m
45. e
46. t
47. r
48. i
49. c
50.
51. s
52. e
53. r
54. i
55. e
56. s
57. .

Answer: (c) 21

Explanation:
1. \( \frac1{1+2x}=1-2x+4x^2-8x^3+16x^4 \) and \( \frac1{1-x^2}=1+x^2+x^4 \).
2. Coefficient of x⁴: 16 + 4 + 1 = 21.

Teacher's Note:
1. M
2. u
3. l
4. t
5. i
6. p
7. l
8. y
9.
10. t
11. h
12. e
13.
14. t
15. w
16. o
17.
18. s
19. e
20. r
21. i
22. e
23. s
24.
25. a
26. n
27. d
28.
29. a
30. d
31. d
32.
33. t
34. h
35. e
36.
37. p
38. r
39. o
40. d
41. u
42. c
43. t
44. s
45.
46. g
47. i
48. v
49. i
50. n
51. g
52.
53. x
54. ⁴
55. .

Answer: (a) \( \frac1{1+a} \)

Explanation:
1. Each term is \( \frac1{n+a}-\frac1{n+1+a} \).
2. The sum telescopes to \( \frac1{1+a}-0=\frac1{1+a} \).

Teacher's Note:
1. T
2. e
3. l
4. e
5. s
6. c
7. o
8. p
9. i
10. n
11. g
12.
13. s
14. e
15. r
16. i
17. e
18. s
19. :
20.
21. o
22. n
23. l
24. y
25.
26. t
27. h
28. e
29.
30. f
31. i
32. r
33. s
34. t
35.
36. t
37. e
38. r
39. m
40.
41. s
42. u
43. r
44. v
45. i
46. v
47. e
48. s
49. .

Answer: (c) \( \frac12+\frac14(\sqrt6+\sqrt2) \)

Explanation:
1. Multiply by the conjugate: \( \frac1{(1+\sqrt2)-\sqrt3}=\frac{(1+\sqrt2)+\sqrt3}{(1+\sqrt2)^2-3}=\frac{1+\sqrt2+\sqrt3}{2\sqrt2} \).
2. Multiply by √2/√2: \( \frac{\sqrt2+2+\sqrt6}{4}=\frac12+\frac14(\sqrt6+\sqrt2) \).

Teacher's Note:
1. R
2. a
3. t
4. i
5. o
6. n
7. a
8. l
9. i
10. s
11. e
12.
13. i
14. n
15.
16. t
17. w
18. o
19.
20. s
21. t
22. e
23. p
24. s
25. :
26.
27. f
28. i
29. r
30. s
31. t
32.
33. r
34. e
35. m
36. o
37. v
38. e
39.
40. √
41. 3
42. ,
43.
44. t
45. h
46. e
47. n
48.
49. √
50. 2
51. .

Answer: (a) \( \frac1{70}(3\sqrt{10}+2\sqrt5) \)

Explanation:
1. Simplify: √40 = 2√10, √20 = 2√5, √80 = 4√5, so the denominator is \( 3\sqrt{10}-2\sqrt5 \) (since 2√5 − 4√5 = −2√5).
2. Rationalise: \( \frac{3\sqrt{10}+2\sqrt5}{90-20}=\frac{3\sqrt{10}+2\sqrt5}{70} \).

Teacher's Note:
1. R
2. e
3. d
4. u
5. c
6. e
7.
8. e
9. a
10. c
11. h
12.
13. s
14. u
15. r
16. d
17.
18. t
19. o
20.
21. a
22.
23. m
24. u
25. l
26. t
27. i
28. p
29. l
30. e
31.
32. o
33. f
34.
35. √
36. 1
37. 0
38.
39. o
40. r
41.
42. √
43. 5
44.
45. a
46. n
47. d
48.
49. u
50. s
51. e
52.
53. t
54. h
55. e
56.
57. c
58. o
59. n
60. j
61. u
62. g
63. a
64. t
65. e
66. .

Answer: (b) \( \sqrt{x+1}+\sqrt{x-1} \)

Explanation:
1. \( (\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1})^2=(x+1)+(x-1)+2\sqrt{x^2-1}=2x+2\sqrt{x^2-1} \).

Teacher's Note:
1. W
2. r
3. i
4. t
5. e
6.
7. t
8. h
9. e
10.
11. e
12. x
13. p
14. r
15. e
16. s
17. s
18. i
19. o
20. n
21.
22. a
23. s
24.
25. a
26.
27. p
28. e
29. r
30. f
31. e
32. c
33. t
34.
35. s
36. q
37. u
38. a
39. r
40. e
41.
42. o
43. f
44.
45. a
46.
47. s
48. u
49. m
50.
51. o
52. f
53.
54. t
55. w
56. o
57.
58. s
59. u
60. r
61. d
62. s
63. .