JEE Mathematics Some Additional Topics MCQs Set 02

Answer: (a) −1 < x < 1

Explanation:
1. A binomial series \( (1+z)^n \) with n not a non-negative integer converges only for |z| < 1.
2. Here z = −x, so |x| < 1.

Teacher's Note:
1. N
2. o
3. n
4. -
5. i
6. n
7. t
8. e
9. g
10. e
11. r
12.
13. p
14. o
15. w
16. e
17. r
18. s
19.
20. g
21. i
22. v
23. e
24.
25. a
26. n
27.
28. i
29. n
30. f
31. i
32. n
33. i
34. t
35. e
36.
37. s
38. e
39. r
40. i
41. e
42. s
43.
44. t
45. h
46. a
47. t
48.
49. c
50. o
51. n
52. v
53. e
54. r
55. g
56. e
57. s
58.
59. o
60. n
61. l
62. y
63.
64. i
65. n
66. s
67. i
68. d
69. e
70.
71. |
72. z
73. |
74.
75. <
76.
77. 1
78. .

Answer: (c) −3 < x < 3

Explanation:
1. Write \( 3^{p/q}\left(1+\frac x3\right)^{p/q} \).
2. The series converges for |x/3| < 1, i.e. −3 < x < 3.

Teacher's Note:
1. F
2. a
3. c
4. t
5. o
6. r
7.
8. o
9. u
10. t
11.
12. t
13. h
14. e
15.
16. c
17. o
18. n
19. s
20. t
21. a
22. n
23. t
24.
25. s
26. o
27.
28. t
29. h
30. e
31.
32. b
33. r
34. a
35. c
36. k
37. e
38. t
39.
40. h
41. a
42. s
43.
44. t
45. h
46. e
47.
48. f
49. o
50. r
51. m
52.
53. (
54. 1
55.
56. +
57.
58. z
59. )
60.
61. w
62. i
63. t
64. h
65.
66. |
67. z
68. |
69.
70. <
71.
72. 1
73. .

Answer: (b) 7th term

Explanation:
1. Here n = 27/6 = 9/2. The coefficient of x^r is \( \frac{n(n-1)\cdots(n-r+1)}{r!} \).
2. The factors are 9/2, 7/2, 5/2, 3/2, 1/2, −1/2, ...; the first negative factor appears for r = 6 (the factor n − 5 = −1/2).
3. So the first negative term is the term with r = 6, the 7th term.

Teacher's Note:
1. T
2. h
3. e
4.
5. c
6. o
7. e
8. f
9. f
10. i
11. c
12. i
13. e
14. n
15. t
16.
17. f
18. i
19. r
20. s
21. t
22.
23. t
24. u
25. r
26. n
27. s
28.
29. n
30. e
31. g
32. a
33. t
34. i
35. v
36. e
37.
38. w
39. h
40. e
41. n
42.
43. a
44.
45. f
46. a
47. c
48. t
49. o
50. r
51.
52. n
53.
54. −
55.
56. k
57.
58. b
59. e
60. c
61. o
62. m
63. e
64. s
65.
66. n
67. e
68. g
69. a
70. t
71. i
72. v
73. e
74. .

Answer: (a) 36

Explanation:
1. \( (1-x)^{-3}=\sum\binom{r+2}{2}x^r \).
2. For r = 7: \( \binom92=36 \).

Teacher's Note:
1. T
2. h
3. e
4.
5. c
6. o
7. e
8. f
9. f
10. i
11. c
12. i
13. e
14. n
15. t
16.
17. o
18. f
19.
20. x
21. ^
22. r
23.
24. i
25. n
26.
27. (
28. 1
29.
30. −
31.
32. x
33. )
34. ^
35. (
36. −
37. 3
38. )
39.
40. i
41. s
42.
43. (
44. r
45.
46. +
47.
48. 1
49. )
50. (
51. r
52.
53. +
54.
55. 2
56. )
57. /
58. 2
59. .

Answer: (c) \( \frac{5\cdot7\cdot9\cdot11}{4!\,(\sqrt2)^{21}} \)

Explanation:
1. \( (2+x)^{-5/2}=2^{-5/2}\left(1+\frac x2\right)^{-5/2} \).
2. Coefficient of x⁴: \( 2^{-5/2}\binom{-5/2}{4}\frac1{2^4}=2^{-5/2}\cdot\frac{5\cdot7\cdot9\cdot11}{4!\,2^4}\cdot\frac1{2^4} \).
3. This equals \( \frac{5\cdot7\cdot9\cdot11}{4!\,2^{21/2}}=\frac{5\cdot7\cdot9\cdot11}{4!\,(\sqrt2)^{21}} \).

Teacher's Note:
1. F
2. a
3. c
4. t
5. o
6. r
7.
8. o
9. u
10. t
11.
12. 2
13. ^
14. (
15. −
16. 5
17. /
18. 2
19. )
20.
21. f
22. i
23. r
24. s
25. t
26. ;
27.
28. e
29. a
30. c
31. h
32.
33. n
34. e
35. g
36. a
37. t
38. i
39. v
40. e
41.
42. s
43. i
44. g
45. n
46.
47. i
48. n
49.
50. t
51. h
52. e
53.
54. g
55. e
56. n
57. e
58. r
59. a
60. l
61. i
62. s
63. e
64. d
65.
66. b
67. i
68. n
69. o
70. m
71. i
72. a
73. l
74.
75. c
76. o
77. e
78. f
79. f
80. i
81. c
82. i
83. e
84. n
85. t
86.
87. c
88. a
89. n
90. c
91. e
92. l
93. s
94.
95. i
96. n
97.
98. p
99. a
100. i
101. r
102. s
103. .

Answer: (d) −2

Explanation:
1. \( \frac1{1+x}=\sum(-1)^kx^k \).
2. Coefficient of x⁵ in (1 + x²) times this: \( (-1)^5+(-1)^3=-2 \).

Teacher's Note:
1. M
2. u
3. l
4. t
5. i
6. p
7. l
8. y
9.
10. t
11. h
12. e
13.
14. s
15. e
16. r
17. i
18. e
19. s
20.
21. b
22. y
23.
24. 1
25.
26. a
27. n
28. d
29.
30. b
31. y
32.
33. x
34. ²
35.
36. s
37. e
38. p
39. a
40. r
41. a
42. t
43. e
44. l
45. y
46.
47. a
48. n
49. d
50.
51. a
52. d
53. d
54.
55. t
56. h
57. e
58.
59. c
60. o
61. e
62. f
63. f
64. i
65. c
66. i
67. e
68. n
69. t
70. s
71.
72. o
73. f
74.
75. x
76. ⁵
77. .

Answer: (c) a_p = a_q for all p, q ≥ 2

Explanation:
1. \( \frac{x(1+x)}{1-x}=(x+x^2)(1+x+x^2+\cdots)=x+2x^2+2x^3+\cdots \).
2. So a₁ = 1 and a_r = 2 for every r ≥ 2; hence a_p = a_q for p, q ≥ 2. a₁ + a₂ = 3 and a₁ − a₂ = −1.

Teacher's Note:
1. M
2. u
3. l
4. t
5. i
6. p
7. l
8. y
9.
10. o
11. u
12. t
13.
14. t
15. h
16. e
17.
18. g
19. e
20. o
21. m
22. e
23. t
24. r
25. i
26. c
27.
28. s
29. e
30. r
31. i
32. e
33. s
34.
35. a
36. n
37. d
38.
39. l
40. i
41. s
42. t
43.
44. t
45. h
46. e
47.
48. f
49. i
50. r
51. s
52. t
53.
54. f
55. e
56. w
57.
58. c
59. o
60. e
61. f
62. f
63. i
64. c
65. i
66. e
67. n
68. t
69. s
70. .

Answer: (b) \( \frac{e^3\cdot2^n}{n!} \)

Explanation:
1. \( e^{2x+3}=e^3\cdot e^{2x}=e^3\sum\frac{(2x)^n}{n!} \).
2. The coefficient is \( \frac{e^3\,2^n}{n!} \).

Teacher's Note:
1. S
2. e
3. p
4. a
5. r
6. a
7. t
8. e
9.
10. t
11. h
12. e
13.
14. c
15. o
16. n
17. s
18. t
19. a
20. n
21. t
22.
23. f
24. a
25. c
26. t
27. o
28. r
29.
30. e
31. ³
32.
33. a
34. n
35. d
36.
37. e
38. x
39. p
40. a
41. n
42. d
43.
44. e
45. ^
46. (
47. 2
48. x
49. )
50. .

Answer: (a) \( \frac{(\log_e10)^{10}}{10!} \)

Explanation:
1. \( 10^x=e^{x\ln10}=\sum\frac{(x\ln10)^r}{r!} \).
2. For r = 10 the coefficient is \( \frac{(\ln10)^{10}}{10!} \).

Teacher's Note:
1. W
2. r
3. i
4. t
5. e
6.
7. a
8. ^
9. x
10.
11. a
12. s
13.
14. e
15. ^
16. (
17. x
18.
19. l
20. n
21.
22. a
23. )
24. .

Answer: (a) \( \frac1{5!}x^3 \)

Explanation:
1. The series is \( \frac12+\frac x{3!}+\frac{x^2}{4!}+\frac{x^3}{5!}+\cdots \).
2. The fourth term is \( \frac{x^3}{5!} \).

Teacher's Note:
1. S
2. u
3. b
4. t
5. r
6. a
7. c
8. t
9.
10. 1
11.
12. a
13. n
14. d
15.
16. x
17.
18. f
19. r
20. o
21. m
22.
23. t
24. h
25. e
26.
27. s
28. e
29. r
30. i
31. e
32. s
33.
34. o
35. f
36.
37. e
38. ˣ
39.
40. a
41. n
42. d
43.
44. d
45. i
46. v
47. i
48. d
49. e
50.
51. b
52. y
53.
54. x
55. ²
56. .

Answer: (c) \( \frac12\log_e6\cdot\log_e\frac32 \)

Explanation:
1. \( 3^x-2^x=x\ln\frac32+\frac{x^2}2(\ln^23-\ln^22)+\cdots \).
2. Dividing by x², the constant term is \( \frac12(\ln3-\ln2)(\ln3+\ln2)=\frac12\ln\frac32\cdot\ln6 \).

Teacher's Note:
1. T
2. h
3. e
4.
5. c
6. o
7. n
8. s
9. t
10. a
11. n
12. t
13.
14. t
15. e
16. r
17. m
18.
19. c
20. o
21. m
22. e
23. s
24.
25. f
26. r
27. o
28. m
29.
30. t
31. h
32. e
33.
34. x
35. ²
36.
37. t
38. e
39. r
40. m
41.
42. o
43. f
44.
45. t
46. h
47. e
48.
49. n
50. u
51. m
52. e
53. r
54. a
55. t
56. o
57. r
58. .
59.
60. U
61. s
62. e
63.
64. a
65. ²
66.
67. −
68.
69. b
70. ²
71.
72. =
73.
74. (
75. a
76.
77. −
78.
79. b
80. )
81. (
82. a
83.
84. +
85.
86. b
87. )
88. .

Answer: (d) \( -\frac83 \)

Explanation:
1. \( e^{-x}=1-x+\frac{x^2}2-\frac{x^3}6 \) and \( \frac1{1+x}=1-x+x^2-x^3 \).
2. Coefficient of x³ = 1·(−1) + (−1)·1 + (1/2)·(−1) + (−1/6)·1 = −1 − 1 − 1/2 − 1/6 = −8/3.

Teacher's Note:
1. M
2. u
3. l
4. t
5. i
6. p
7. l
8. y
9.
10. t
11. h
12. e
13.
14. t
15. w
16. o
17.
18. s
19. e
20. r
21. i
22. e
23. s
24.
25. a
26. n
27. d
28.
29. c
30. o
31. l
32. l
33. e
34. c
35. t
36.
37. t
38. h
39. e
40.
41. x
42. ³
43.
44. t
45. e
46. r
47. m
48. s
49. .

Answer: (a) \( -\frac13 \)

Explanation:
1. \( \log_e(1-x)=-x-\frac{x^2}2-\frac{x^3}3-\cdots \), so the numerator is \( -\frac{x^2}2-\frac{x^3}3-\cdots \).
2. Dividing by x³: \( -\frac1{2x}-\frac13-\frac x4-\cdots \). The constant term is −1/3.

Teacher's Note:
1. E
2. x
3. p
4. a
5. n
6. d
7.
8. t
9. h
10. e
11.
12. l
13. o
14. g
15. a
16. r
17. i
18. t
19. h
20. m
21.
22. a
23. n
24. d
25.
26. d
27. i
28. v
29. i
30. d
31. e
32.
33. t
34. e
35. r
36. m
37.
38. b
39. y
40.
41. t
42. e
43. r
44. m
45. .

Answer: (b) \( -\frac1n\log_{10}e \)

Explanation:
1. \( \log_{10}(1-x)=\log_{10}e\cdot\ln(1-x)=-\log_{10}e\sum\frac{x^n}n \).
2. The coefficient is \( -\frac1n\log_{10}e \).

Teacher's Note:
1. C
2. o
3. n
4. v
5. e
6. r
7. t
8.
9. t
10. o
11.
12. n
13. a
14. t
15. u
16. r
17. a
18. l
19.
20. l
21. o
22. g
23. a
24. r
25. i
26. t
27. h
28. m
29. s
30.
31. u
32. s
33. i
34. n
35. g
36.
37. l
38. o
39. g
40. ₁
41. ₀
42. y
43.
44. =
45.
46. l
47. o
48. g
49. ₁
50. ₀
51. e
52.
53. ·
54.
55. l
56. n
57.
58. y
59. .

Answer: (a) \( \frac32 \)

Explanation:
1. \( \ln(1+x)=x-\frac{x^2}2+\cdots \) and \( (1-x)^{-2}=1+2x+3x^2+\cdots \).
2. Coefficient of x²: 1·2 + (−1/2)·1 = 3/2.

Teacher's Note:
1. M
2. u
3. l
4. t
5. i
6. p
7. l
8. y
9.
10. t
11. h
12. e
13.
14. t
15. w
16. o
17.
18. s
19. e
20. r
21. i
22. e
23. s
24.
25. a
26. n
27. d
28.
29. p
30. i
31. c
32. k
33.
34. o
35. u
36. t
37.
38. t
39. h
40. e
41.
42. x
43. ²
44.
45. t
46. e
47. r
48. m
49. s
50. .

Answer: (b) \( \frac1{(1-x)^5} \)

Explanation:
1. The general term is \( \binom{4+r}rx^r \), the coefficient of x^r in \( (1-x)^{-5} \).
2. So the sum is \( (1-x)^{-5} \).

Teacher's Note:
1. T
2. h
3. e
4.
5. c
6. o
7. e
8. f
9. f
10. i
11. c
12. i
13. e
14. n
15. t
16.
17. o
18. f
19.
20. x
21. ^
22. r
23.
24. i
25. n
26.
27. (
28. 1
29.
30. −
31.
32. x
33. )
34. ^
35. (
36. −
37. n
38. )
39.
40. i
41. s
42.
43. C
44. (
45. n
46.
47. +
48.
49. r
50.
51. −
52.
53. 1
54. ,
55.
56. r
57. )
58. .

Answer: (a) \( \frac1{(1+x^2)^3} \)

Explanation:
1. The general term is \( (-1)^r\binom{r+2}rx^{2r} \).
2. This is the expansion of \( (1+x^2)^{-3} \).

Teacher's Note:
1. A
2. l
3. t
4. e
5. r
6. n
7. a
8. t
9. i
10. n
11. g
12.
13. s
14. i
15. g
16. n
17. s
18.
19. w
20. i
21. t
22. h
23.
24. x
25. ²
26.
27. a
28. s
29.
30. t
31. h
32. e
33.
34. v
35. a
36. r
37. i
38. a
39. b
40. l
41. e
42.
43. g
44. i
45. v
46. e
47.
48. (
49. 1
50.
51. +
52.
53. x
54. ²
55. )
56.
57. r
58. a
59. i
60. s
61. e
62. d
63.
64. t
65. o
66.
67. a
68.
69. n
70. e
71. g
72. a
73. t
74. i
75. v
76. e
77.
78. p
79. o
80. w
81. e
82. r
83. .

Answer: (a) \( \sqrt2 \)

Explanation:
1. \( (1-z)^{-1/2}=1+\frac z2+\frac{1\cdot3}{2\cdot4}z^2+\cdots=\sum\frac{1\cdot3\cdots(2r-1)}{r!}\left(\frac z2\right)^r \).
2. With z/2 = 1/4, z = 1/2: the sum is \( \left(1-\frac12\right)^{-1/2}=\sqrt2 \).

Teacher's Note:
1. M
2. a
3. t
4. c
5. h
6.
7. t
8. h
9. e
10.
11. s
12. e
13. r
14. i
15. e
16. s
17.
18. w
19. i
20. t
21. h
22.
23. (
24. 1
25.
26. −
27.
28. z
29. )
30. ^
31. (
32. −
33. 1
34. /
35. 2
36. )
37.
38. w
39. r
40. i
41. t
42. t
43. e
44. n
45.
46. i
47. n
48.
49. t
50. e
51. r
52. m
53. s
54.
55. o
56. f
57.
58. z
59. /
60. 2
61. .

Answer: (c) \( \frac{16}{81} \)

Explanation:
1. The general term is \( (-1)^r\binom{r+3}r\left(\frac12\right)^r \), the expansion of \( (1+x)^{-4} \) at x = 1/2.
2. Sum \( =\left(\frac32\right)^{-4}=\frac{16}{81} \).

Teacher's Note:
1. R
2. e
3. c
4. o
5. g
6. n
7. i
8. s
9. e
10.
11. t
12. h
13. e
14.
15. b
16. i
17. n
18. o
19. m
20. i
21. a
22. l
23.
24. s
25. e
26. r
27. i
28. e
29. s
30.
31. f
32. o
33. r
34.
35. (
36. 1
37.
38. +
39.
40. x
41. )
42. ^
43. (
44. −
45. 4
46. )
47. .

Answer: (a) \( \frac12(e-e^{-1}) \)

Explanation:
1. The series is \( \sinh1=\frac{e-e^{-1}}2 \) (the sum of odd-factorial reciprocals), since 1 = 1/1! is its first term.

Teacher's Note:
1. T
2. h
3. i
4. s
5.
6. i
7. s
8.
9. t
10. h
11. e
12.
13. s
14. e
15. r
16. i
17. e
18. s
19.
20. o
21. f
22.
23. s
24. i
25. n
26. h
27.
28. x
29.
30. a
31. t
32.
33. x
34.
35. =
36.
37. 1
38. .