JEE Mathematics Logarithms MCQs Set 01

Answer: (d) \( \frac{1}{2ab-1} \)

Explanation:
1. \( ab=\log_4 5\cdot\log_5 6=\log_4 6=\frac{\log 2+\log 3}{2\log 2} \).
2. So \( 2ab-1=\frac{\log 3}{\log 2}=\log_2 3 \).
3. Hence \( \log_3 2=\frac{1}{2ab-1} \).

Teacher's Note:
1. C
2. h
3. a
4. i
5. n
6.
7. t
8. h
9. e
10.
11. l
12. o
13. g
14. a
15. r
16. i
17. t
18. h
19. m
20. s
21.
22. w
23. i
24. t
25. h
26.
27. t
28. h
29. e
30.
31. c
32. h
33. a
34. n
35. g
36. e
37.
38. o
39. f
40.
41. b
42. a
43. s
44. e
45.
46. r
47. u
48. l
49. e
50. .
51.
52. T
53. h
54. e
55. n
56.
57. e
58. x
59. p
60. r
61. e
62. s
63. s
64.
65. l
66. o
67. g
68.
69. 3
70.
71. o
72. v
73. e
74. r
75.
76. l
77. o
78. g
79.
80. 2
81.
82. i
83. n
84.
85. t
86. e
87. r
88. m
89. s
90.
91. o
92. f
93.
94. a
95. b
96. .

Answer: (b) G.P.

Explanation:
1. Reciprocals are in A.P.: \( \log_x(ax),\ \log_x(bx),\ \log_x(cx) \), that is \( 1+\log_x a,\ 1+\log_x b,\ 1+\log_x c \).
2. So \( \log_x a,\ \log_x b,\ \log_x c \) are in A.P.
3. Hence a, b, c are in G.P.

Teacher's Note:
1. A
2.
3. h
4. a
5. r
6. m
7. o
8. n
9. i
10. c
11.
12. p
13. r
14. o
15. g
16. r
17. e
18. s
19. s
20. i
21. o
22. n
23.
24. b
25. e
26. c
27. o
28. m
29. e
30. s
31.
32. a
33. n
34.
35. A
36. .
37. P
38. .
39.
40. o
41. n
42.
43. t
44. a
45. k
46. i
47. n
48. g
49.
50. r
51. e
52. c
53. i
54. p
55. r
56. o
57. c
58. a
59. l
60. s
61. .
62.
63. L
64. o
65. g
66. s
67.
68. i
69. n
70.
71. A
72. .
73. P
74. .
75.
76. m
77. e
78. a
79. n
80.
81. t
82. h
83. e
84.
85. n
86. u
87. m
88. b
89. e
90. r
91. s
92.
93. a
94. r
95. e
96.
97. i
98. n
99.
100. G
101. .
102. P
103. .

Answer: (c) 25

Explanation:
1. Using the chain rule \( \log_5 a\cdot\log_a x=\log_5 x=2 \).
2. So \( x=5^2=25 \).

Teacher's Note:
1. T
2. h
3. e
4.
5. p
6. r
7. o
8. d
9. u
10. c
11. t
12.
13. o
14. f
15.
16. c
17. o
18. n
19. s
20. e
21. c
22. u
23. t
24. i
25. v
26. e
27. -
28. b
29. a
30. s
31. e
32.
33. l
34. o
35. g
36. a
37. r
38. i
39. t
40. h
41. m
42. s
43.
44. c
45. o
46. l
47. l
48. a
49. p
50. s
51. e
52. s
53.
54. t
55. o
56.
57. a
58.
59. s
60. i
61. n
62. g
63. l
64. e
65.
66. l
67. o
68. g
69. .
70.
71. T
72. h
73. e
74. n
75.
76. c
77. o
78. n
79. v
80. e
81. r
82. t
83.
84. t
85. o
86.
87. e
88. x
89. p
90. o
91. n
92. e
93. n
94. t
95. i
96. a
97. l
98.
99. f
100. o
101. r
102. m
103. .

Answer: (a) \( \log 2 \)

Explanation:
1. Write in primes: \( 3(4\log3-4\log2-\log5)+5(2\log5-3\log2-\log3)+7(4\log2-\log3-\log5) \).
2. Coefficient of log 3: 12 − 5 − 7 = 0. Coefficient of log 5: −3 + 10 − 7 = 0. Coefficient of log 2: −12 − 15 + 28 = 1.
3. The value is log 2.

Teacher's Note:
1. B
2. r
3. e
4. a
5. k
6.
7. e
8. v
9. e
10. r
11. y
12.
13. f
14. r
15. a
16. c
17. t
18. i
19. o
20. n
21.
22. i
23. n
24. t
25. o
26.
27. p
28. r
29. i
30. m
31. e
32.
33. f
34. a
35. c
36. t
37. o
38. r
39. s
40.
41. a
42. n
43. d
44.
45. c
46. o
47. l
48. l
49. e
50. c
51. t
52.
53. t
54. h
55. e
56.
57. c
58. o
59. e
60. f
61. f
62. i
63. c
64. i
65. e
66. n
67. t
68.
69. o
70. f
71.
72. e
73. a
74. c
75. h
76.
77. p
78. r
79. i
80. m
81. e
82. .
83.
84. O
85. n
86. l
87. y
88.
89. l
90. o
91. g
92.
93. 2
94.
95. s
96. u
97. r
98. v
99. i
100. v
101. e
102. s
103. .

Answer: (d) (−∞, −1] ∪ [1, +∞)

Explanation:
1. We need \( x\neq0 \) and \( \log_{10}x^2\ge0 \).
2. That gives \( x^2\ge1 \), i.e. x ≤ −1 or x ≥ 1.

Teacher's Note:
1. A
2.
3. s
4. q
5. u
6. a
7. r
8. e
9.
10. r
11. o
12. o
13. t
14.
15. i
16. s
17.
18. r
19. e
20. a
21. l
22.
23. o
24. n
25. l
26. y
27.
28. f
29. o
30. r
31.
32. a
33.
34. n
35. o
36. n
37. -
38. n
39. e
40. g
41. a
42. t
43. i
44. v
45. e
46.
47. a
48. r
49. g
50. u
51. m
52. e
53. n
54. t
55. .
56.
57. R
58. e
59. m
60. e
61. m
62. b
63. e
64. r
65.
66. x
67. ²
68.
69. i
70. s
71.
72. p
73. o
74. s
75. i
76. t
77. i
78. v
79. e
80.
81. f
82. o
83. r
84.
85. n
86. e
87. g
88. a
89. t
90. i
91. v
92. e
93.
94. x
95.
96. t
97. o
98. o
99. .

Answer: (a) A.P.

Explanation:
1. Let the common ratio be r, so \( a_{n+1}=a_nr \) and \( a_{n+2}=a_nr^2 \).
2. The logs are \( \log a_n,\ \log a_n+\log r,\ \log a_n+2\log r \), a constant difference log r.
3. So they are in A.P.

Teacher's Note:
1. T
2. a
3. k
4. i
5. n
6. g
7.
8. l
9. o
10. g
11. s
12.
13. t
14. u
15. r
16. n
17. s
18.
19. a
20.
21. G
22. .
23. P
24. .
25.
26. i
27. n
28. t
29. o
30.
31. a
32. n
33.
34. A
35. .
36. P
37. .
38.
39. T
40. h
41. e
42.
43. c
44. o
45. m
46. m
47. o
48. n
49.
50. d
51. i
52. f
53. f
54. e
55. r
56. e
57. n
58. c
59. e
60.
61. i
62. s
63.
64. t
65. h
66. e
67.
68. l
69. o
70. g
71.
72. o
73. f
74.
75. t
76. h
77. e
78.
79. c
80. o
81. m
82. m
83. o
84. n
85.
86. r
87. a
88. t
89. i
90. o
91. .

Answer: (b) \( (1+x)^{-1}+(1+y)^{-1}+(1+z)^{-1} \)

Explanation:
1. \( 1+x=\log_a a+\log_a bc=\log_a(abc) \), so \( (1+x)^{-1}=\log_{abc}a \).
2. Similarly the other two are \( \log_{abc}b \) and \( \log_{abc}c \).
3. Their sum is \( \log_{abc}(abc)=1 \).

Teacher's Note:
1. A
2. d
3. d
4.
5. 1
6.
7. t
8. o
9.
10. e
11. a
12. c
13. h
14.
15. o
16. f
17.
18. x
19. ,
20.
21. y
22. ,
23.
24. z
25.
26. t
27. o
28.
29. o
30. b
31. t
32. a
33. i
34. n
35.
36. l
37. o
38. g
39.
40. o
41. f
42.
43. a
44. b
45. c
46.
47. t
48. o
49.
50. d
51. i
52. f
53. f
54. e
55. r
56. e
57. n
58. t
59.
60. b
61. a
62. s
63. e
64. s
65. .
66.
67. R
68. e
69. c
70. i
71. p
72. r
73. o
74. c
75. a
76. l
77. s
78.
79. t
80. h
81. e
82. n
83.
84. a
85. d
86. d
87.
88. t
89. o
90.
91. l
92. o
93. g
94.
95. o
96. f
97.
98. a
99. b
100. c
101.
102. t
103. o
104.
105. b
106. a
107. s
108. e
109.
110. a
111. b
112. c
113. .

Answer: (b) 17

Explanation:
1. \( \log_{10}(0.2)^{25}=25(0.30103-1)=-17.47425 \).
2. So the number is \( 10^{-17.47425}=10^{-18}\times10^{0.52575}\approx3.4\times10^{-18} \).
3. There are 17 zeros after the decimal point before the digit 3.

Teacher's Note:
1. A
2.
3. n
4. u
5. m
6. b
7. e
8. r
9.
10. o
11. f
12.
13. t
14. h
15. e
16.
17. f
18. o
19. r
20. m
21.
22. k
23.
24. ×
25.
26. 1
27. 0
28. ^
29. (
30. −
31. n
32. )
33.
34. w
35. i
36. t
37. h
38.
39. 1
40.
41. ≤
42.
43. k
44.
45. <
46.
47. 1
48. 0
49.
50. h
51. a
52. s
53.
54. n
55.
56. −
57.
58. 1
59.
60. z
61. e
62. r
63. o
64. s
65.
66. a
67. f
68. t
69. e
70. r
71.
72. t
73. h
74. e
75.
76. d
77. e
78. c
79. i
80. m
81. a
82. l
83.
84. p
85. o
86. i
87. n
88. t
89. .
90.
91. F
92. i
93. n
94. d
95.
96. n
97.
98. f
99. r
100. o
101. m
102.
103. t
104. h
105. e
106.
107. l
108. o
109. g
110. a
111. r
112. i
113. t
114. h
115. m
116. .

Answer: (d) none of these

Explanation:
1. Since \( 10^3<6730.4<10^4 \), \( \log_{10}6730.4\approx3.83 \).
2. So the greatest integer part is 3, which is not among a, b, c.

Teacher's Note:
1. T
2. h
3. e
4.
5. i
6. n
7. t
8. e
9. g
10. e
11. r
12.
13. p
14. a
15. r
16. t
17.
18. o
19. f
20.
21. a
22.
23. b
24. a
25. s
26. e
27. -
28. 1
29. 0
30.
31. l
32. o
33. g
34. a
35. r
36. i
37. t
38. h
39. m
40.
41. i
42. s
43.
44. o
45. n
46. e
47.
48. l
49. e
50. s
51. s
52.
53. t
54. h
55. a
56. n
57.
58. t
59. h
60. e
61.
62. n
63. u
64. m
65. b
66. e
67. r
68.
69. o
70. f
71.
72. d
73. i
74. g
75. i
76. t
77. s
78.
79. b
80. e
81. f
82. o
83. r
84. e
85.
86. t
87. h
88. e
89.
90. d
91. e
92. c
93. i
94. m
95. a
96. l
97.
98. p
99. o
100. i
101. n
102. t
103. .
104.
105. H
106. e
107. r
108. e
109.
110. t
111. h
112. e
113. r
114. e
115.
116. a
117. r
118. e
119.
120. 4
121.
122. d
123. i
124. g
125. i
126. t
127. s
128. .

Answer: (b) 1

Explanation:
1. We need \( k>0 \). The equation is \( (\log_{16}x)^2=\log_{16}k \).
2. If \( \log_{16}k>0 \) there are two values of x; if it is negative there is none.
3. Exactly one solution needs \( \log_{16}k=0 \), i.e. k = 1 (then x = 1).

Teacher's Note:
1. A
2.
3. s
4. q
5. u
6. a
7. r
8. e
9.
10. e
11. q
12. u
13. a
14. l
15.
16. t
17. o
18.
19. a
20.
21. c
22. o
23. n
24. s
25. t
26. a
27. n
28. t
29.
30. h
31. a
32. s
33.
34. o
35. n
36. e
37.
38. r
39. o
40. o
41. t
42.
43. o
44. n
45. l
46. y
47.
48. w
49. h
50. e
51. n
52.
53. t
54. h
55. e
56.
57. c
58. o
59. n
60. s
61. t
62. a
63. n
64. t
65.
66. i
67. s
68.
69. z
70. e
71. r
72. o
73. .
74.
75. C
76. h
77. e
78. c
79. k
80.
81. t
82. h
83. e
84.
85. s
86. i
87. g
88. n
89.
90. o
91. f
92.
93. l
94. o
95. g
96.
97. k
98.
99. f
100. o
101. r
102.
103. t
104. h
105. e
106.
107. o
108. t
109. h
110. e
111. r
112.
113. c
114. a
115. s
116. e
117. s
118. .

Answer: (b) 2

Explanation:
1. Combine: \( \log_{0.5}(\sin x\cos x)=1 \), so \( \sin x\cos x=\frac12 \), i.e. \( \sin2x=1 \).
2. Both sin x and cos x must be positive, so \( x=2n\pi+\frac\pi4 \).
3. In \( [-2\pi,2\pi] \) these are \( \frac\pi4 \) and \( \frac\pi4-2\pi \), giving 2 solutions.

Teacher's Note:
1. T
2. h
3. e
4.
5. l
6. o
7. g
8. a
9. r
10. i
11. t
12. h
13. m
14.
15. n
16. e
17. e
18. d
19. s
20.
21. p
22. o
23. s
24. i
25. t
26. i
27. v
28. e
29.
30. a
31. r
32. g
33. u
34. m
35. e
36. n
37. t
38. s
39. ,
40.
41. w
42. h
43. i
44. c
45. h
46.
47. r
48. e
49. m
50. o
51. v
52. e
53. s
54.
55. s
56. o
57. l
58. u
59. t
60. i
61. o
62. n
63. s
64.
65. i
66. n
67.
68. t
69. h
70. e
71.
72. o
73. t
74. h
75. e
76. r
77.
78. q
79. u
80. a
81. d
82. r
83. a
84. n
85. t
86. s
87. .
88.
89. L
90. i
91. s
92. t
93.
94. t
95. h
96. e
97.
98. v
99. a
100. l
101. i
102. d
103.
104. a
105. n
106. g
107. l
108. e
109. s
110.
111. i
112. n
113.
114. t
115. h
116. e
117.
118. i
119. n
120. t
121. e
122. r
123. v
124. a
125. l
126. .

Answer: (b) \( 2n\pi+\frac\pi4,\ n\in Z \)

Explanation:
1. Write as \( \log\tan x\left(\frac{1}{\log\cos x}-\frac{1}{\log\sin x}\right)=0 \), using \( \log\cot x=-\log\tan x \).
2. Either \( \tan x=1 \) or \( \sin x=\cos x \); both give tan x = 1.
3. For the bases to be valid sin x, cos x must be positive, so only \( x=2n\pi+\frac\pi4 \).

Teacher's Note:
1. B
2. a
3. s
4. e
5. s
6.
7. o
8. f
9.
10. l
11. o
12. g
13. a
14. r
15. i
16. t
17. h
18. m
19. s
20.
21. m
22. u
23. s
24. t
25.
26. b
27. e
28.
29. p
30. o
31. s
32. i
33. t
34. i
35. v
36. e
37.
38. a
39. n
40. d
41.
42. n
43. o
44. t
45.
46. 1
47. .
48.
49. T
50. h
51. i
52. s
53.
54. r
55. e
56. m
57. o
58. v
59. e
60. s
61.
62. t
63. h
64. e
65.
66. t
67. h
68. i
69. r
70. d
71. -
72. q
73. u
74. a
75. d
76. r
77. a
78. n
79. t
80.
81. s
82. o
83. l
84. u
85. t
86. i
87. o
88. n
89. s
90.
91. o
92. f
93.
94. t
95. a
96. n
97.
98. x
99.
100. =
101.
102. 1
103. .

Answer: (c) 0

Explanation:
1. The terms are \( \log_{10}\tan1^\circ+\dots+\log_{10}\tan89^\circ \).
2. Pair r with 90 − r: \( \log\tan r^\circ+\log\cot r^\circ=\log1=0 \).
3. The middle term \( \log\tan45^\circ=0 \), so the sum is 0.

Teacher's Note:
1. P
2. a
3. i
4. r
5.
6. c
7. o
8. m
9. p
10. l
11. e
12. m
13. e
14. n
15. t
16. a
17. r
18. y
19.
20. a
21. n
22. g
23. l
24. e
25. s
26.
27. s
28. o
29.
30. t
31. h
32. a
33. t
34.
35. t
36. a
37. n
38.
39. t
40. i
41. m
42. e
43. s
44.
45. c
46. o
47. t
48.
49. e
50. q
51. u
52. a
53. l
54. s
55.
56. 1
57. .
58.
59. E
60. v
61. e
62. r
63. y
64.
65. p
66. a
67. i
68. r
69.
70. c
71. o
72. n
73. t
74. r
75. i
76. b
77. u
78. t
79. e
80. s
81.
82. z
83. e
84. r
85. o
86. .

Answer: (c) \( (-\infty,0)\cup\left(\frac85,+\infty\right) \)

Explanation:
1. The base is greater than 1, so \( |4-5x|>4 \).
2. Either \( 4-5x>4 \) giving x < 0, or \( 4-5x<-4 \) giving \( x>\frac85 \).

Teacher's Note:
1. F
2. o
3. r
4.
5. b
6. a
7. s
8. e
9.
10. g
11. r
12. e
13. a
14. t
15. e
16. r
17.
18. t
19. h
20. a
21. n
22.
23. 1
24.
25. t
26. h
27. e
28.
29. i
30. n
31. e
32. q
33. u
34. a
35. l
36. i
37. t
38. y
39.
40. k
41. e
42. e
43. p
44. s
45.
46. i
47. t
48. s
49.
50. d
51. i
52. r
53. e
54. c
55. t
56. i
57. o
58. n
59. .
60.
61. T
62. h
63. e
64. n
65.
66. s
67. p
68. l
69. i
70. t
71.
72. t
73. h
74. e
75.
76. m
77. o
78. d
79. u
80. l
81. u
82. s
83.
84. i
85. n
86. t
87. o
88.
89. t
90. w
91. o
92.
93. c
94. a
95. s
96. e
97. s
98. .

Answer: (a) \( \left(-\infty,-\frac52\right]\cup(0,\infty) \)

Explanation:
1. Domain: \( \frac{x+2}{x}>0 \) gives x < −2 or x > 0.
2. Base 0.2 is less than 1, so the inequality reverses: \( \frac{x+2}{x}\ge0.2 \), i.e. \( \frac{4x+10}{5x}\ge0 \), giving \( x\le-\frac52 \) or x > 0.
3. Intersection with the domain: \( (-\infty,-\tfrac52]\cup(0,\infty) \).

Teacher's Note:
1. R
2. e
3. v
4. e
5. r
6. s
7. e
8.
9. t
10. h
11. e
12.
13. i
14. n
15. e
16. q
17. u
18. a
19. l
20. i
21. t
22. y
23.
24. w
25. h
26. e
27. n
28.
29. t
30. h
31. e
32.
33. b
34. a
35. s
36. e
37.
38. l
39. i
40. e
41. s
42.
43. b
44. e
45. t
46. w
47. e
48. e
49. n
50.
51. 0
52.
53. a
54. n
55. d
56.
57. 1
58. .
59.
60. A
61. l
62. w
63. a
64. y
65. s
66.
67. i
68. n
69. t
70. e
71. r
72. s
73. e
74. c
75. t
76.
77. w
78. i
79. t
80. h
81.
82. t
83. h
84. e
85.
86. d
87. o
88. m
89. a
90. i
91. n
92.
93. o
94. f
95.
96. t
97. h
98. e
99.
100. l
101. o
102. g
103. a
104. r
105. i
106. t
107. h
108. m
109. .

Answer: (c) [2, +∞)

Explanation:
1. Domain: x > 1. Let \( L=\log_{0.2}(x-1) \).
2. Since \( 0.04=0.2^2 \), \( \log_{0.04}(x-1)=\frac L2 \).
3. So \( \frac L2\ge L \) gives \( L\le0 \).
4. As the base 0.2 < 1, \( L\le0 \) means \( x-1\ge1 \), i.e. x ≥ 2.

Teacher's Note:
1. C
2. o
3. n
4. v
5. e
6. r
7. t
8.
9. b
10. o
11. t
12. h
13.
14. l
15. o
16. g
17. s
18.
19. t
20. o
21.
22. b
23. a
24. s
25. e
26.
27. 0
28. .
29. 2
30.
31. f
32. i
33. r
34. s
35. t
36. .
37.
38. R
39. e
40. m
41. e
42. m
43. b
44. e
45. r
46.
47. t
48. h
49. e
50.
51. r
52. e
53. v
54. e
55. r
56. s
57. a
58. l
59.
60. o
61. f
62.
63. t
64. h
65. e
66.
67. i
68. n
69. e
70. q
71. u
72. a
73. l
74. i
75. t
76. y
77.
78. f
79. o
80. r
81.
82. a
83.
84. b
85. a
86. s
87. e
88.
89. b
90. e
91. l
92. o
93. w
94.
95. 1
96. .

Answer: (b) \( \left(0,\frac{\sqrt5-1}{2}\right] \)

Explanation:
1. We need \( 0<\cos x<1 \) and \( \sin x>0 \).
2. Since the base is below 1, the inequality reverses: \( \sin x\le\cos^2x=1-\sin^2x \).
3. So \( s^2+s-1\le0 \) with \( s=\sin x>0 \), giving \( 0<s\le\frac{\sqrt5-1}{2} \).

Teacher's Note:
1. V
2. a
3. l
4. i
5. d
6. i
7. t
8. y
9.
10. c
11. o
12. n
13. d
14. i
15. t
16. i
17. o
18. n
19. s
20.
21. o
22. n
23.
24. t
25. h
26. e
27.
28. b
29. a
30. s
31. e
32.
33. f
34. i
35. x
36.
37. t
38. h
39. e
40.
41. s
42. i
43. g
44. n
45. s
46.
47. o
48. f
49.
50. s
51. i
52. n
53.
54. x
55.
56. a
57. n
58. d
59.
60. c
61. o
62. s
63.
64. x
65. .
66.
67. T
68. h
69. e
70. n
71.
72. r
73. e
74. d
75. u
76. c
77. e
78.
79. t
80. o
81.
82. a
83.
84. q
85. u
86. a
87. d
88. r
89. a
90. t
91. i
92. c
93.
94. i
95. n
96.
97. s
98. i
99. n
100.
101. x
102. .

Answer: (d) none of these

Explanation:
1. The inequality means \( \sin x+2\sqrt2\cos x\ge3 \).
2. The maximum of the left side is \( \sqrt{1+8}=3 \), so equality must hold.
3. This happens once in every period, hence exactly 2 values of x in \( [-2\pi,2\pi] \), which is none of the listed options.

Teacher's Note:
1. T
2. h
3. e
4.
5. e
6. x
7. p
8. r
9. e
10. s
11. s
12. i
13. o
14. n
15.
16. a
17.
18. s
19. i
20. n
21.
22. x
23.
24. +
25.
26. b
27.
28. c
29. o
30. s
31.
32. x
33.
34. n
35. e
36. v
37. e
38. r
39.
40. e
41. x
42. c
43. e
44. e
45. d
46. s
47.
48. t
49. h
50. e
51.
52. a
53. m
54. p
55. l
56. i
57. t
58. u
59. d
60. e
61. .
62.
63. S
64. o
65.
66. t
67. h
68. e
69.
70. i
71. n
72. e
73. q
74. u
75. a
76. l
77. i
78. t
79. y
80.
81. r
82. e
83. d
84. u
85. c
86. e
87. s
88.
89. t
90. o
91.
92. a
93. n
94.
95. e
96. q
97. u
98. a
99. t
100. i
101. o
102. n
103.
104. w
105. i
106. t
107. h
108.
109. o
110. n
111. e
112.
113. s
114. o
115. l
116. u
117. t
118. i
119. o
120. n
121.
122. p
123. e
124. r
125.
126. p
127. e
128. r
129. i
130. o
131. d
132. .

Answer: (c) x = 5 or x = 1/5

Explanation:
1. Left side \( =\log_5x \) by the chain rule.
2. So \( \log_5x=\frac{1}{\log_5x} \), giving \( (\log_5x)^2=1 \).
3. Hence \( \log_5x=\pm1 \), i.e. x = 5 or x = 1/5.

Teacher's Note:
1. U
2. s
3. e
4.
5. t
6. h
7. e
8.
9. p
10. r
11. o
12. d
13. u
14. c
15. t
16.
17. r
18. u
19. l
20. e
21.
22. f
23. o
24. r
25.
26. l
27. o
28. g
29. s
30.
31. o
32. f
33.
34. d
35. i
36. f
37. f
38. e
39. r
40. e
41. n
42. t
43.
44. b
45. a
46. s
47. e
48. s
49.
50. a
51. n
52. d
53.
54. t
55. h
56. e
57.
58. r
59. e
60. c
61. i
62. p
63. r
64. o
65. c
66. a
67. l
68.
69. p
70. r
71. o
72. p
73. e
74. r
75. t
76. y
77. .
78.
79. R
80. e
81. m
82. e
83. m
84. b
85. e
86. r
87.
88. t
89. h
90. a
91. t
92.
93. b
94. o
95. t
96. h
97.
98. t
99. h
100. e
101.
102. r
103. o
104. o
105. t
106. s
107.
108. o
109. f
110.
111. t
112. h
113. e
114.
115. s
116. q
117. u
118. a
119. r
120. e
121. d
122.
123. e
124. q
125. u
126. a
127. t
128. i
129. o
130. n
131.
132. a
133. r
134. e
135.
136. v
137. a
138. l
139. i
140. d
141. .

Answer: (d) none of these

Explanation:
1. Base is below 1, so the condition is \( 0<\sin x<1 \).
2. Multiples \( \frac{k\pi}4 \) with k = 0 to 16: sin x lies in (0, 1) for k = 1, 3, 9, 11 only.
3. k = 2 and k = 10 give sin x = 1, which is excluded. So the count is 4, which is not among a, b, c.

Teacher's Note:
1. D
2. o
3.
4. n
5. o
6. t
7.
8. i
9. n
10. c
11. l
12. u
13. d
14. e
15.
16. a
17. n
18. g
19. l
20. e
21. s
22.
23. w
24. h
25. e
26. r
27. e
28.
29. s
30. i
31. n
32.
33. x
34.
35. e
36. q
37. u
38. a
39. l
40. s
41.
42. 1
43. ,
44.
45. b
46. e
47. c
48. a
49. u
50. s
51. e
52.
53. t
54. h
55. e
56.
57. l
58. o
59. g
60.
61. o
62. f
63.
64. 1
65.
66. i
67. s
68.
69. z
70. e
71. r
72. o
73. ,
74.
75. n
76. o
77. t
78.
79. p
80. o
81. s
82. i
83. t
84. i
85. v
86. e
87. .
88.
89. C
90. h
91. e
92. c
93. k
94.
95. e
96. a
97. c
98. h
99.
100. m
101. u
102. l
103. t
104. i
105. p
106. l
107. e
108.
109. o
110. f
111.
112. π
113. /
114. 4
115.
116. i
117. n
118.
119. t
120. h
121. e
122.
123. f
124. i
125. r
126. s
127. t
128.
129. a
130. n
131. d
132.
133. t
134. h
135. i
136. r
137. d
138.
139. h
140. a
141. l
142. f
143. -
144. c
145. y
146. c
147. l
148. e
149. s
150. .