JEE Mathematics Binomial Theorem for Positive Integral Index MCQs Set 04

Answer: (b) 9

Explanation:
1. f(1) = 10 + 192 + 5 = 207 = 9 × 23 and f(2) = 100 + 768 + 5 = 873 = 9 × 97.
2. Their gcd is 9, so no larger integer can work.
3. Check: \( 10^n=(1+9)^n\equiv1 \) and \( 4^{n+2}=(1+3)^{n+2}\equiv1+3(n+2) \) modulo 9, so f(n) ≡ 1 + 3 + 9(n+2) + 5 ≡ 0 modulo 9.

Teacher's Note:
1. T
2. e
3. s
4. t
5.
6. s
7. m
8. a
9. l
10. l
11.
12. v
13. a
14. l
15. u
16. e
17. s
18.
19. a
20. n
21. d
22.
23. t
24. a
25. k
26. e
27.
28. t
29. h
30. e
31. i
32. r
33.
34. g
35. c
36. d
37. .
38.
39. T
40. h
41. e
42. n
43.
44. c
45. o
46. n
47. f
48. i
49. r
50. m
51.
52. w
53. i
54. t
55. h
56.
57. b
58. i
59. n
60. o
61. m
62. i
63. a
64. l
65.
66. e
67. x
68. p
69. a
70. n
71. s
72. i
73. o
74. n
75. s
76.
77. o
78. f
79.
80. 1
81. 0
82. ^
83. n
84.
85. a
86. n
87. d
88.
89. 4
90. ^
91. n
92. .

Answer: (a) 1

Explanation:
1. \( 2^3=8=7+1 \), so \( 2^{60}=(2^3)^{20}=(7+1)^{20} \).
2. Every term except the last is a multiple of 7 and the last is 1. Remainder = 1.

Teacher's Note:
1. R
2. e
3. w
4. r
5. i
6. t
7. e
8.
9. t
10. h
11. e
12.
13. p
14. o
15. w
16. e
17. r
18.
19. a
20. s
21.
22. a
23.
24. p
25. o
26. w
27. e
28. r
29.
30. o
31. f
32.
33. a
34.
35. n
36. u
37. m
38. b
39. e
40. r
41.
42. j
43. u
44. s
45. t
46.
47. a
48. b
49. o
50. v
51. e
52.
53. a
54.
55. m
56. u
57. l
58. t
59. i
60. p
61. l
62. e
63.
64. o
65. f
66.
67. 7
68. .
69.
70. E
71. x
72. p
73. a
74. n
75. d
76.
77. b
78. i
79. n
80. o
81. m
82. i
83. a
84. l
85. l
86. y
87. .

Answer: (c) \( \frac18 \)

Explanation:
1. \( 3^{2n}=9^n=(8+1)^n \).
2. All terms except the last are multiples of 8, so the remainder is 1 and the fractional part is \( \frac18 \).

Teacher's Note:
1. W
2. r
3. i
4. t
5. i
6. n
7. g
8.
9. 9
10.
11. a
12. s
13.
14. 8
15.
16. +
17.
18. 1
19.
20. s
21. h
22. o
23. w
24. s
25.
26. 9
27. ^
28. n
29.
30. l
31. e
32. a
33. v
34. e
35. s
36.
37. r
38. e
39. m
40. a
41. i
42. n
43. d
44. e
45. r
46.
47. 1
48.
49. o
50. n
51.
52. d
53. i
54. v
55. i
56. s
57. i
58. o
59. n
60.
61. b
62. y
63.
64. 8
65. .

Answer: (b) \( 16\cdot{}^8C_4 \)

Explanation:
1. Put x = 1: \( 3^n=6561=3^8 \), so n = 8.
2. Constant term: \( \binom8r2^rx^{2r-8} \) gives r = 4, i.e. \( \binom84\cdot2^4=16\cdot{}^8C_4 \).

Teacher's Note:
1. T
2. h
3. e
4.
5. s
6. u
7. m
8.
9. o
10. f
11.
12. c
13. o
14. e
15. f
16. f
17. i
18. c
19. i
20. e
21. n
22. t
23. s
24.
25. i
26. s
27.
28. t
29. h
30. e
31.
32. v
33. a
34. l
35. u
36. e
37.
38. a
39. t
40.
41. x
42.
43. =
44.
45. 1
46. .
47.
48. T
49. h
50. e
51. n
52.
53. f
54. i
55. n
56. d
57.
58. t
59. h
60. e
61.
62. c
63. o
64. n
65. s
66. t
67. a
68. n
69. t
70.
71. t
72. e
73. r
74. m
75.
76. a
77. s
78.
79. u
80. s
81. u
82. a
83. l
84. .

Answer: (c) \( 2^{12} \)

Explanation:
1. Put x = y = 1: \( \left(1+\frac13+\frac23\right)^{12}=2^{12} \).

Teacher's Note:
1. P
2. u
3. t
4.
5. e
6. v
7. e
8. r
9. y
10.
11. v
12. a
13. r
14. i
15. a
16. b
17. l
18. e
19.
20. e
21. q
22. u
23. a
24. l
25.
26. t
27. o
28.
29. 1
30.
31. t
32. o
33.
34. g
35. e
36. t
37.
38. t
39. h
40. e
41.
42. s
43. u
44. m
45.
46. o
47. f
48.
49. c
50. o
51. e
52. f
53. f
54. i
55. c
56. i
57. e
58. n
59. t
60. s
61. .

Answer: (a) \( 2^{18} \)

Explanation:
1. There are 20 coefficients, symmetric about the middle, so the last ten equal the first ten.
2. Their sum is half of \( 2^{19} \), i.e. \( 2^{18} \).

Teacher's Note:
1. W
2. i
3. t
4. h
5.
6. a
7. n
8.
9. o
10. d
11. d
12.
13. i
14. n
15. d
16. e
17. x
18.
19. t
20. h
21. e
22.
23. b
24. i
25. n
26. o
27. m
28. i
29. a
30. l
31.
32. c
33. o
34. e
35. f
36. f
37. i
38. c
39. i
40. e
41. n
42. t
43. s
44.
45. s
46. p
47. l
48. i
49. t
50.
51. i
52. n
53. t
54. o
55.
56. t
57. w
58. o
59.
60. e
61. q
62. u
63. a
64. l
65.
66. h
67. a
68. l
69. v
70. e
71. s
72. .

Answer: (b) \( 2^{n-1}-1 \)

Explanation:
1. Sum of even-indexed coefficients \( =2^{n-1} \), which includes the constant term 1 (r = 0).
2. Excluding it gives \( 2^{n-1}-1 \).

Teacher's Note:
1. T
2. h
3. e
4.
5. s
6. u
7. m
8.
9. o
10. f
11.
12. e
13. v
14. e
15. n
16. -
17. p
18. o
19. s
20. i
21. t
22. i
23. o
24. n
25.
26. b
27. i
28. n
29. o
30. m
31. i
32. a
33. l
34.
35. c
36. o
37. e
38. f
39. f
40. i
41. c
42. i
43. e
44. n
45. t
46. s
47.
48. i
49. s
50.
51. 2
52. ^
53. (
54. n
55. −
56. 1
57. )
58. .
59.
60. R
61. e
62. m
63. o
64. v
65. e
66.
67. t
68. h
69. e
70.
71. r
72.
73. =
74.
75. 0
76.
77. t
78. e
79. r
80. m
81. .

Answer: (b) −1

Explanation:
1. Put x = 1: \( (1+1-3)^{2163}=(-1)^{2163}=-1 \).

Teacher's Note:
1. S
2. u
3. b
4. s
5. t
6. i
7. t
8. u
9. t
10. e
11.
12. x
13.
14. =
15.
16. 1
17.
18. a
19. n
20. d
21.
22. u
23. s
24. e
25.
26. t
27. h
28. a
29. t
30.
31. a
32. n
33.
34. o
35. d
36. d
37.
38. p
39. o
40. w
41. e
42. r
43.
44. o
45. f
46.
47. −
48. 1
49.
50. i
51. s
52.
53. −
54. 1
55. .

Answer: (d) \( \frac12(3^{40}+1) \)

Explanation:
1. Integral powers of x come from even r in \( \binom{40}r(2\sqrt x)^r \).
2. Sum of even-r terms at x = 1: \( \frac{(1+2)^{40}+(1-2)^{40}}2=\frac{3^{40}+1}2 \).

Teacher's Note:
1. T
2. a
3. k
4. e
5.
6. f
7. (
8. 1
9. )
10.
11. a
12. n
13. d
14.
15. f
16. (
17. −
18. 1
19. )
20.
21. o
22. f
23.
24. t
25. h
26. e
27.
28. r
29. o
30. o
31. t
32.
33. v
34. a
35. r
36. i
37. a
38. b
39. l
40. e
41.
42. a
43. n
44. d
45.
46. a
47. v
48. e
49. r
50. a
51. g
52. e
53.
54. t
55. h
56. e
57. m
58.
59. t
60. o
61.
62. i
63. s
64. o
65. l
66. a
67. t
68. e
69.
70. e
71. v
72. e
73. n
74.
75. t
76. e
77. r
78. m
79. s
80. .

Answer: (d) none of these

Explanation:
1. By symmetry \( 2\sum_{r=0}^{9}\binom{20}r+\binom{20}{10}=2^{20} \).
2. So \( \sum_{r=0}^{10}\binom{20}r=2^{19}+\frac12\binom{20}{10} \), which is not any of (a), (b), (c).

Teacher's Note:
1. U
2. s
3. e
4.
5. s
6. y
7. m
8. m
9. e
10. t
11. r
12. y
13.
14. o
15. f
16.
17. b
18. i
19. n
20. o
21. m
22. i
23. a
24. l
25.
26. c
27. o
28. e
29. f
30. f
31. i
32. c
33. i
34. e
35. n
36. t
37. s
38.
39. a
40. r
41. o
42. u
43. n
44. d
45.
46. t
47. h
48. e
49.
50. m
51. i
52. d
53. d
54. l
55. e
56.
57. t
58. e
59. r
60. m
61. .
62.
63. C
64. h
65. e
66. c
67. k
68.
69. e
70. a
71. c
72. h
73.
74. o
75. p
76. t
77. i
78. o
79. n
80.
81. a
82. g
83. a
84. i
85. n
86. s
87. t
88.
89. 2
90. ^
91. 1
92. 9
93.
94. +
95.
96. (
97. 1
98. /
99. 2
100. )
101. ·
102. 2
103. 0
104. C
105. 1
106. 0
107. .

Answer: (c) \( {}^{21}C_{17}-{}^{10}C_6 \)

Explanation:
1. Hockey-stick: \( \sum_{k=3}^{20}\binom k3=\binom{21}4 \) and the terms for k = 3 to 9 sum to \( \binom{10}4 \).
2. So the sum is \( \binom{21}4-\binom{10}4=\binom{21}{17}-\binom{10}6 \).

Teacher's Note:
1. U
2. s
3. e
4.
5. t
6. h
7. e
8.
9. h
10. o
11. c
12. k
13. e
14. y
15. -
16. s
17. t
18. i
19. c
20. k
21.
22. i
23. d
24. e
25. n
26. t
27. i
28. t
29. y
30.
31. t
32. w
33. i
34. c
35. e
36.
37. a
38. n
39. d
40.
41. s
42. u
43. b
44. t
45. r
46. a
47. c
48. t
49. .

Answer: (b) \( 2^{10} \)

Explanation:
1. Put x = i: \( (1+i)^{10}=(a_0-a_2+\cdots)+i(a_1-a_3+\cdots) \).
2. The required sum is \( |1+i|^{20}=(\sqrt2)^{20}=2^{10} \).

Teacher's Note:
1. S
2. u
3. b
4. s
5. t
6. i
7. t
8. u
9. t
10. i
11. n
12. g
13.
14. x
15.
16. =
17.
18. i
19.
20. s
21. e
22. p
23. a
24. r
25. a
26. t
27. e
28. s
29.
30. t
31. h
32. e
33.
34. r
35. e
36. a
37. l
38.
39. a
40. n
41. d
42.
43. i
44. m
45. a
46. g
47. i
48. n
49. a
50. r
51. y
52.
53. p
54. a
55. r
56. t
57. s
58. .
59.
60. T
61. h
62. e
63.
64. s
65. u
66. m
67.
68. o
69. f
70.
71. t
72. h
73. e
74. i
75. r
76.
77. s
78. q
79. u
80. a
81. r
82. e
83. s
84.
85. i
86. s
87.
88. t
89. h
90. e
91.
92. s
93. q
94. u
95. a
96. r
97. e
98. d
99.
100. m
101. o
102. d
103. u
104. l
105. u
106. s
107. .

Answer: (a) \( \frac12 \)

Explanation:
1. For k ≥ 1 the term is \( (-1)^k2^{k-1}\binom{10}k \), so the bracket is \( 1+\frac12\left[(1-2)^{10}-1\right]=1 \).
2. Hence the sum is \( \frac12 \).

Teacher's Note:
1. F
2. a
3. c
4. t
5. o
6. r
7.
8. o
9. u
10. t
11.
12. 1
13. /
14. 2
15.
16. f
17. r
18. o
19. m
20.
21. t
22. h
23. e
24.
25. p
26. o
27. w
28. e
29. r
30. s
31.
32. o
33. f
34.
35. 2
36.
37. s
38. o
39.
40. t
41. h
42. e
43.
44. b
45. r
46. a
47. c
48. k
49. e
50. t
51.
52. b
53. e
54. c
55. o
56. m
57. e
58. s
59.
60. (
61. 1
62.
63. −
64.
65. 2
66. )
67. ^
68. 1
69. 0
70. .
71.
72. T
73. r
74. e
75. a
76. t
77.
78. t
79. h
80. e
81.
82. f
83. i
84. r
85. s
86. t
87.
88. t
89. e
90. r
91. m
92.
93. s
94. e
95. p
96. a
97. r
98. a
99. t
100. e
101. l
102. y
103. .

Answer: (c) \( n\cdot2^{n-1} \)

Explanation:
1. Use \( r\binom nr=n\binom{n-1}{r-1} \).
2. Sum \( =n\cdot2^{n-1} \).

Teacher's Note:
1. A
2. b
3. s
4. o
5. r
6. b
7.
8. t
9. h
10. e
11.
12. f
13. a
14. c
15. t
16. o
17. r
18.
19. r
20.
21. i
22. n
23. t
24. o
25.
26. t
27. h
28. e
29.
30. b
31. i
32. n
33. o
34. m
35. i
36. a
37. l
38.
39. c
40. o
41. e
42. f
43. f
44. i
45. c
46. i
47. e
48. n
49. t
50.
51. a
52. n
53. d
54.
55. s
56. u
57. m
58.
59. a
60.
61. f
62. u
63. l
64. l
65.
66. r
67. o
68. w
69. .

Answer: (c) \( \frac12na_n \)

Explanation:
1. Replace r by n − r: \( S=\sum\frac{n-r}{{}^nC_{n-r}}=\sum\frac{n-r}{{}^nC_r} \).
2. Adding: \( 2S=n\sum\frac1{{}^nC_r}=na_n \).
3. So \( S=\frac12na_n \).

Teacher's Note:
1. U
2. s
3. e
4.
5. t
6. h
7. e
8.
9. s
10. y
11. m
12. m
13. e
14. t
15. r
16. y
17.
18. r
19.
20. t
21. o
22.
23. n
24.
25. −
26.
27. r
28.
29. a
30. n
31. d
32.
33. a
34. d
35. d
36.
37. t
38. h
39. e
40.
41. t
42. w
43. o
44.
45. f
46. o
47. r
48. m
49. s
50.
51. o
52. f
53.
54. t
55. h
56. e
57.
58. s
59. u
60. m
61. .

Answer: (c) a

Explanation:
1. Split: \( a\sum(-1)^{r-1}\binom nr-\sum(-1)^{r-1}r\binom nr \).
2. The first sum equals 1 (since \( \sum_{r=0}^n(-1)^r\binom nr=0 \)) and the second is \( n\sum(-1)^{r-1}\binom{n-1}{r-1}=0 \) for n ≥ 2.
3. So the total is a.

Teacher's Note:
1. S
2. e
3. p
4. a
5. r
6. a
7. t
8. e
9.
10. t
11. h
12. e
13.
14. s
15. e
16. r
17. i
18. e
19. s
20.
21. i
22. n
23. t
24. o
25.
26. t
27. w
28. o
29.
30. s
31. u
32. m
33. s
34.
35. a
36. n
37. d
38.
39. u
40. s
41. e
42.
43. a
44. l
45. t
46. e
47. r
48. n
49. a
50. t
51. i
52. n
53. g
54.
55. b
56. i
57. n
58. o
59. m
60. i
61. a
62. l
63.
64. i
65. d
66. e
67. n
68. t
69. i
70. t
71. i
72. e
73. s
74. .
75.
76. T
77. a
78. k
79. e
80.
81. n
82.
83. ≥
84.
85. 2
86. .

Answer: (b) \( \frac{(n+1)^n}{n!} \)

Explanation:
1. \( \frac{a_k}{a_{k-1}}=\frac{n-k+1}k \), so \( 1+\frac{a_k}{a_{k-1}}=\frac{n+1}k \).
2. Product over k = 1..n is \( \frac{(n+1)^n}{n!} \).

Teacher's Note:
1. U
2. s
3. e
4.
5. t
6. h
7. e
8.
9. r
10. a
11. t
12. i
13. o
14.
15. o
16. f
17.
18. c
19. o
20. n
21. s
22. e
23. c
24. u
25. t
26. i
27. v
28. e
29.
30. b
31. i
32. n
33. o
34. m
35. i
36. a
37. l
38.
39. c
40. o
41. e
42. f
43. f
44. i
45. c
46. i
47. e
48. n
49. t
50. s
51. .
52.
53. E
54. a
55. c
56. h
57.
58. b
59. r
60. a
61. c
62. k
63. e
64. t
65.
66. r
67. e
68. d
69. u
70. c
71. e
72. s
73.
74. t
75. o
76.
77. (
78. n
79.
80. +
81.
82. 1
83. )
84. /
85. k
86. .

Answer: (a) 5(2n − 9) with n = 10, i.e. 55

Explanation:
1. \( \frac{{}^{10}C_r}{{}^{10}C_{r-1}}=\frac{11-r}{r} \), so each term is 11 − r.
2. Sum for r = 1..10 is 10 + 9 + ... + 1 = 55.

Teacher's Note:
1. T
2. h
3. e
4.
5. r
6. a
7. t
8. i
9. o
10.
11. o
12. f
13.
14. c
15. o
16. n
17. s
18. e
19. c
20. u
21. t
22. i
23. v
24. e
25.
26. b
27. i
28. n
29. o
30. m
31. i
32. a
33. l
34.
35. c
36. o
37. e
38. f
39. f
40. i
41. c
42. i
43. e
44. n
45. t
46. s
47.
48. i
49. s
50.
51. (
52. n
53.
54. −
55.
56. r
57.
58. +
59.
60. 1
61. )
62. /
63. r
64. ,
65.
66. w
67. h
68. i
69. c
70. h
71.
72. c
73. a
74. n
75. c
76. e
77. l
78. s
79.
80. w
81. i
82. t
83. h
84.
85. r
86. .

Answer: (a) \( n\cdot2^{2n-1} \)

Explanation:
1. \( r\binom{2n}r=2n\binom{2n-1}{r-1} \).
2. Sum \( 2n\sum_{j=0}^{n-1}\binom{2n-1}j=2n\cdot2^{2n-2}=n\cdot2^{2n-1} \) (half of the row sum).

Teacher's Note:
1. U
2. s
3. e
4.
5. r
6. ·
7. C
8. (
9. 2
10. n
11. ,
12.
13. r
14. )
15.
16. =
17.
18. 2
19. n
20. ·
21. C
22. (
23. 2
24. n
25. −
26. 1
27. ,
28.
29. r
30. −
31. 1
32. )
33.
34. a
35. n
36. d
37.
38. n
39. o
40. t
41. e
42.
43. t
44. h
45. e
46.
47. h
48. a
49. l
50. f
51. -
52. r
53. o
54. w
55.
56. s
57. u
58. m
59.
60. o
61. f
62.
63. a
64. n
65.
66. o
67. d
68. d
69.
70. i
71. n
72. d
73. e
74. x
75.
76. i
77. s
78.
79. 2
80. ^
81. (
82. 2
83. n
84. −
85. 2
86. )
87. .

Answer: (b) 0

Explanation:
1. \( \sum(-1)^{r-1}r\binom{20}r=20\sum(-1)^{r-1}\binom{19}{r-1}=20(1-1)^{19}=0 \).

Teacher's Note:
1. R
2. e
3. d
4. u
5. c
6. e
7.
8. r
9. ·
10. n
11. C
12. r
13.
14. t
15. o
16.
17. n
18. ·
19. (
20. n
21. −
22. 1
23. )
24. C
25. (
26. r
27. −
28. 1
29. )
30. ,
31.
32. t
33. h
34. e
35. n
36.
37. u
38. s
39. e
40.
41. t
42. h
43. a
44. t
45.
46. a
47. l
48. t
49. e
50. r
51. n
52. a
53. t
54. i
55. n
56. g
57.
58. r
59. o
60. w
61.
62. s
63. u
64. m
65. s
66.
67. v
68. a
69. n
70. i
71. s
72. h
73. .