JEE Mathematics Binomial Theorem for Positive Integral Index MCQs Set 03

Answer: (c) 19

Explanation:
1. Since \( 1+3x+3x^2+x^3=(1+x)^3 \), the expression equals \( (1+x)^{18} \).
2. It has 18 + 1 = 19 terms.

Teacher's Note:
1. S
2. p
3. o
4. t
5.
6. a
7.
8. h
9. i
10. d
11. d
12. e
13. n
14.
15. p
16. e
17. r
18. f
19. e
20. c
21. t
22.
23. c
24. u
25. b
26. e
27.
28. b
29. e
30. f
31. o
32. r
33. e
34.
35. e
36. x
37. p
38. a
39. n
40. d
41. i
42. n
43. g
44. .
45.
46. P
47. o
48. w
49. e
50. r
51. s
52.
53. o
54. f
55.
56. a
57.
58. b
59. i
60. n
61. o
62. m
63. i
64. a
65. l
66.
67. g
68. i
69. v
70. e
71.
72. o
73. n
74. e
75.
76. m
77. o
78. r
79. e
80.
81. t
82. e
83. r
84. m
85.
86. t
87. h
88. a
89. n
90.
91. t
92. h
93. e
94.
95. i
96. n
97. d
98. e
99. x
100. .

Answer: (b) 153

Explanation:
1. Distinct terms correspond to non-negative solutions of a + b + c = 16.
2. Their number is \( \binom{18}{2}=153 \).

Teacher's Note:
1. C
2. o
3. u
4. n
5. t
6.
7. m
8. o
9. n
10. o
11. m
12. i
13. a
14. l
15. s
16.
17. w
18. i
19. t
20. h
21.
22. t
23. h
24. e
25.
26. s
27. t
28. a
29. r
30. s
31. -
32. a
33. n
34. d
35. -
36. b
37. a
38. r
39. s
40.
41. f
42. o
43. r
44. m
45. u
46. l
47. a
48.
49. \
50. (
51.
52. \
53. b
54. i
55. n
56. o
57. m
58. {
59. n
60. +
61. 2
62. }
63. {
64. 2
65. }
66.
67. \
68. )
69.
70. f
71. o
72. r
73.
74. t
75. h
76. r
77. e
78. e
79.
80. v
81. a
82. r
83. i
84. a
85. b
86. l
87. e
88. s
89. .

Answer: (a) 97

Explanation:
1. General term \( \binom{100}{r}5^{r/8}2^{(100-r)/6} \) is rational only if 8 divides r and 6 divides 100 − r.
2. r = 16, 40, 64, 88 give 4 rational terms out of 101.
3. Irrational terms = 101 − 4 = 97.

Teacher's Note:
1. R
2. a
3. t
4. i
5. o
6. n
7. a
8. l
9.
10. t
11. e
12. r
13. m
14. s
15.
16. n
17. e
18. e
19. d
20.
21. b
22. o
23. t
24. h
25.
26. e
27. x
28. p
29. o
30. n
31. e
32. n
33. t
34. s
35.
36. t
37. o
38.
39. b
40. e
41.
42. i
43. n
44. t
45. e
46. g
47. e
48. r
49. s
50. .
51.
52. S
53. o
54. l
55. v
56. e
57.
58. t
59. h
60. e
61.
62. t
63. w
64. o
65.
66. d
67. i
68. v
69. i
70. s
71. i
72. b
73. i
74. l
75. i
76. t
77. y
78.
79. c
80. o
81. n
82. d
83. i
84. t
85. i
86. o
87. n
88. s
89.
90. t
91. o
92. g
93. e
94. t
95. h
96. e
97. r
98. .

Answer: (b) 2n

Explanation:
1. The expression equals \( \left(x-\frac1x\right)^{2n} \), which has 2n + 1 terms.
2. Exactly one of them (the middle term) is independent of x, so 2n terms depend on x.

Teacher's Note:
1. R
2. e
3. w
4. r
5. i
6. t
7. e
8.
9. a
10. s
11.
12. a
13.
14. p
15. e
16. r
17. f
18. e
19. c
20. t
21.
22. s
23. q
24. u
25. a
26. r
27. e
28.
29. f
30. i
31. r
32. s
33. t
34. .
35.
36. S
37. u
38. b
39. t
40. r
41. a
42. c
43. t
44.
45. t
46. h
47. e
48.
49. s
50. i
51. n
52. g
53. l
54. e
55.
56. c
57. o
58. n
59. s
60. t
61. a
62. n
63. t
64.
65. m
66. i
67. d
68. d
69. l
70. e
71.
72. t
73. e
74. r
75. m
76. .

Answer: (a) n

Explanation:
1. Term \( \binom{4n-2}{k}i^kx^k \) is real and negative when \( i^k=-1 \), i.e. k = 2, 6, 10, ..., 4n − 2.
2. That gives n values of k.

Teacher's Note:
1. A
2.
3. t
4. e
5. r
6. m
7.
8. i
9. s
10.
11. r
12. e
13. a
14. l
15.
16. w
17. h
18. e
19. n
20.
21. k
22.
23. i
24. s
25.
26. e
27. v
28. e
29. n
30.
31. a
32. n
33. d
34.
35. n
36. e
37. g
38. a
39. t
40. i
41. v
42. e
43.
44. w
45. h
46. e
47. n
48.
49. k
50.
51. l
52. e
53. a
54. v
55. e
56. s
57.
58. r
59. e
60. m
61. a
62. i
63. n
64. d
65. e
66. r
67.
68. 2
69.
70. o
71. n
72.
73. d
74. i
75. v
76. i
77. s
78. i
79. o
80. n
81.
82. b
83. y
84.
85. 4
86. .
87.
88. C
89. o
90. u
91. n
92. t
93.
94. s
95. u
96. c
97. h
98.
99. k
100.
101. u
102. p
103.
104. t
105. o
106.
107. 4
108. n
109.
110. −
111.
112. 2
113. .

Answer: (d) 4

Explanation:
1. Odd powers of the root cancel, leaving \( 2[x^6+15x^4(x^2-1)+15x^2(x^2-1)^2+(x^2-1)^3] \).
2. It simplifies to \( 64x^6-96x^4+36x^2-2 \).
3. This has 4 terms.

Teacher's Note:
1. T
2. h
3. e
4.
5. t
6. w
7. o
8.
9. b
10. r
11. a
12. c
13. k
14. e
15. t
16. s
17.
18. a
19. r
20. e
21.
22. c
23. o
24. n
25. j
26. u
27. g
28. a
29. t
30. e
31. s
32. ,
33.
34. s
35. o
36.
37. t
38. h
39. e
40.
41. o
42. d
43. d
44. -
45. i
46. n
47. d
48. e
49. x
50. e
51. d
52.
53. t
54. e
55. r
56. m
57. s
58.
59. c
60. a
61. n
62. c
63. e
64. l
65. .
66.
67. S
68. i
69. m
70. p
71. l
72. i
73. f
74. y
75.
76. t
77. o
78.
79. a
80.
81. p
82. o
83. l
84. y
85. n
86. o
87. m
88. i
89. a
90. l
91.
92. a
93. n
94. d
95.
96. c
97. o
98. u
99. n
100. t
101. .

Answer: (c) 2n + 1

Explanation:
1. The lowest power of x is \( x^{-2n} \) and the highest is \( x^{2n} \), and every power in between that differs by 2 occurs.
2. The exponents are −2n, −2n + 2, ..., 2n, giving 2n + 1 distinct values.

Teacher's Note:
1. W
2. r
3. i
4. t
5. e
6.
7. t
8. h
9. e
10.
11. h
12. i
13. g
14. h
15. e
16. s
17. t
18.
19. a
20. n
21. d
22.
23. l
24. o
25. w
26. e
27. s
28. t
29.
30. p
31. o
32. w
33. e
34. r
35. s
36.
37. a
38. n
39. d
40.
41. c
42. o
43. u
44. n
45. t
46.
47. t
48. h
49. e
50.
51. e
52. x
53. p
54. o
55. n
56. e
57. n
58. t
59. s
60.
61. b
62. e
63. t
64. w
65. e
66. e
67. n
68.
69. t
70. h
71. e
72. m
73. .
74.
75. G
76. a
77. p
78. s
79.
80. o
81. f
82.
83. 2
84.
85. g
86. i
87. v
88. e
89.
90. 2
91. n
92.
93. +
94.
95. 1
96.
97. t
98. e
99. r
100. m
101. s
102. .

Answer: (b) 7

Explanation:
1. A general term is \( \frac{6!}{a!b!c!}(\sqrt2)^b(\sqrt[3]3)^c \) with a + b + c = 6.
2. It is rational when b is even and c is a multiple of 3.
3. Valid (b, c): (0,0),(2,0),(4,0),(6,0),(0,3),(2,3),(0,6) so 7 terms.

Teacher's Note:
1. B
2. o
3. t
4. h
5.
6. r
7. a
8. d
9. i
10. c
11. a
12. l
13.
14. e
15. x
16. p
17. o
18. n
19. e
20. n
21. t
22. s
23.
24. m
25. u
26. s
27. t
28.
29. b
30. e
31.
32. i
33. n
34. t
35. e
36. g
37. e
38. r
39. s
40.
41. a
42. f
43. t
44. e
45. r
46.
47. s
48. i
49. m
50. p
51. l
52. i
53. f
54. i
55. c
56. a
57. t
58. i
59. o
60. n
61. .
62.
63. L
64. i
65. s
66. t
67.
68. t
69. h
70. e
71.
72. p
73. a
74. i
75. r
76. s
77.
78. (
79. b
80. ,
81.
82. c
83. )
84.
85. w
86. i
87. t
88. h
89.
90. b
91.
92. +
93.
94. c
95.
96. ≤
97.
98. 6
99. .

Answer: (c) 101

Explanation:
1. The general term is \( \binom{600}{r}7^{(600-r)/3}5^{r/2}x^r \).
2. The coefficient is an integer if 3 divides 600 − r and 2 divides r, i.e. r is a multiple of 6.
3. r = 0, 6, ..., 600 gives 101 terms.

Teacher's Note:
1. I
2. m
3. p
4. o
5. s
6. e
7.
8. b
9. o
10. t
11. h
12.
13. d
14. i
15. v
16. i
17. s
18. i
19. b
20. i
21. l
22. i
23. t
24. y
25.
26. c
27. o
28. n
29. d
30. i
31. t
32. i
33. o
34. n
35. s
36.
37. o
38. n
39.
40. r
41. .
42.
43. M
44. u
45. l
46. t
47. i
48. p
49. l
50. e
51. s
52.
53. o
54. f
55.
56. 6
57.
58. f
59. r
60. o
61. m
62.
63. 0
64.
65. t
66. o
67.
68. 6
69. 0
70. 0
71.
72. a
73. r
74. e
75.
76. 1
77. 0
78. 1
79.
80. i
81. n
82.
83. n
84. u
85. m
86. b
87. e
88. r
89. .

Answer: (b) \( p=\frac12,\ m=6 \)

Explanation:
1. The 4th term is \( \binom m3p^{m-3}x^{m-6} \). It is independent of x only if m = 6.
2. Then \( 20p^3=\frac52 \), so \( p^3=\frac18 \) and \( p=\frac12 \).

Teacher's Note:
1. A
2.
3. t
4. e
5. r
6. m
7.
8. t
9. h
10. a
11. t
12.
13. d
14. o
15. e
16. s
17.
18. n
19. o
20. t
21.
22. c
23. h
24. a
25. n
26. g
27. e
28.
29. w
30. i
31. t
32. h
33.
34. x
35.
36. f
37. o
38. r
39. c
40. e
41. s
42.
43. t
44. h
45. e
46.
47. p
48. o
49. w
50. e
51. r
52.
53. o
54. f
55.
56. x
57.
58. t
59. o
60.
61. b
62. e
63.
64. z
65. e
66. r
67. o
68. .
69.
70. U
71. s
72. e
73.
74. t
75. h
76. a
77. t
78.
79. t
80. o
81.
82. f
83. i
84. x
85.
86. m
87.
88. f
89. i
90. r
91. s
92. t
93. .

Answer: (a) a = 2, n = 4

Explanation:
1. na = 8 and \( \binom n2a^2=24 \).
2. Dividing: \( \frac{(n-1)a}{2}=3 \), so (n − 1)a = 6.
3. Subtracting from na = 8 gives a = 2, hence n = 4.

Teacher's Note:
1. U
2. s
3. e
4.
5. t
6. h
7. e
8.
9. t
10. w
11. o
12.
13. g
14. i
15. v
16. e
17. n
18.
19. c
20. o
21. e
22. f
23. f
24. i
25. c
26. i
27. e
28. n
29. t
30. s
31.
32. t
33. o
34.
35. f
36. o
37. r
38. m
39.
40. t
41. w
42. o
43.
44. e
45. q
46. u
47. a
48. t
49. i
50. o
51. n
52. s
53.
54. i
55. n
56.
57. a
58.
59. a
60. n
61. d
62.
63. n
64.
65. a
66. n
67. d
68.
69. d
70. i
71. v
72. i
73. d
74. e
75.
76. t
77. h
78. e
79. m
80. .

Answer: (c) 15

Explanation:
1. General term \( \binom nr(-1)^rx^{3n-5r} \).
2. For x⁵: 5r = 3n − 5; for x¹⁰: 5r = 3n − 10. With n = 15, r = 8 and r = 7 respectively.
3. Coefficients are \( \binom{15}{8}(-1)^8+\binom{15}{7}(-1)^7=0 \) since \( \binom{15}8=\binom{15}7 \).

Teacher's Note:
1. F
2. i
3. n
4. d
5.
6. t
7. h
8. e
9.
10. r
11.
12. f
13. o
14. r
15.
16. e
17. a
18. c
19. h
20.
21. p
22. o
23. w
24. e
25. r
26.
27. a
28. n
29. d
30.
31. t
32. e
33. s
34. t
35.
36. w
37. h
38. e
39. t
40. h
41. e
42. r
43.
44. t
45. h
46. e
47.
48. t
49. w
50. o
51.
52. b
53. i
54. n
55. o
56. m
57. i
58. a
59. l
60.
61. c
62. o
63. e
64. f
65. f
66. i
67. c
68. i
69. e
70. n
71. t
72. s
73.
74. c
75. a
76. n
77. c
78. e
79. l
80. .
81.
82. T
83. h
84. e
85. y
86.
87. h
88. a
89. v
90. e
91.
92. o
93. p
94. p
95. o
96. s
97. i
98. t
99. e
100.
101. s
102. i
103. g
104. n
105. s
106.
107. a
108. n
109. d
110.
111. a
112. r
113. e
114.
115. e
116. q
117. u
118. a
119. l
120.
121. f
122. o
123. r
124.
125. n
126.
127. =
128.
129. 1
130. 5
131. .

Answer: (b) \( {}^{30}C_{25} \)

Explanation:
1. Since \( x^2+2+\frac1{x^2}=\frac{(1+x^2)^2}{x^2} \), the expression becomes \( x^{10}(1+x^2)^{30} \).
2. We need the coefficient of \( x^{10} \) in \( (1+x^2)^{30} \), i.e. of \( (x^2)^5 \).
3. It is \( \binom{30}{5}=\binom{30}{25} \).

Teacher's Note:
1. R
2. e
3. c
4. o
5. g
6. n
7. i
8. s
9. e
10.
11. t
12. h
13. e
14.
15. p
16. e
17. r
18. f
19. e
20. c
21. t
22.
23. s
24. q
25. u
26. a
27. r
28. e
29.
30. i
31. n
32.
33. t
34. h
35. e
36.
37. s
38. e
39. c
40. o
41. n
42. d
43.
44. f
45. a
46. c
47. t
48. o
49. r
50. .
51.
52. T
53. h
54. e
55. n
56.
57. i
58. t
59.
60. r
61. e
62. d
63. u
64. c
65. e
66. s
67.
68. t
69. o
70.
71. o
72. n
73. e
74.
75. b
76. i
77. n
78. o
79. m
80. i
81. a
82. l
83.
84. e
85. x
86. p
87. a
88. n
89. s
90. i
91. o
92. n
93. .

Answer: (a) \( {}^{18}C_{8} \)

Explanation:
1. The term containing \( a^8b^{10} \) is \( \binom{18}{8}a^8b^{10} \).
2. So the coefficient is \( {}^{18}C_8 \).

Teacher's Note:
1. T
2. h
3. e
4.
5. c
6. o
7. e
8. f
9. f
10. i
11. c
12. i
13. e
14. n
15. t
16.
17. o
18. f
19.
20. a
21. ^
22. r
23.
24. b
25. ^
26. (
27. n
28. -
29. r
30. )
31.
32. i
33. n
34.
35. (
36. a
37.
38. +
39.
40. b
41. )
42. ^
43. n
44.
45. i
46. s
47.
48. n
49. C
50. r
51. .

Answer: (c) 9

Explanation:
1. Coefficients are \( \binom{20}{m} \) and \( \binom{20}{m+2} \).
2. Equality needs m + (m + 2) = 20, so m = 9.

Teacher's Note:
1. U
2. s
3. e
4.
5. n
6. C
7. a
8.
9. =
10.
11. n
12. C
13. b
14.
15. i
16. m
17. p
18. l
19. i
20. e
21. s
22.
23. a
24.
25. +
26.
27. b
28.
29. =
30.
31. n
32.
33. w
34. h
35. e
36. n
37.
38. a
39.
40. d
41. i
42. f
43. f
44. e
45. r
46. s
47.
48. f
49. r
50. o
51. m
52.
53. b
54. .

Answer: (d) −30

Explanation:
1. Write \( (1-x+x^2)^5 \) and collect x³ from products: terms \( x^3 \) from three x's (one sign each) and from one x with one x².
2. Three factors give \( (-x)^3 \): \( \binom53(-1)^3=-10 \).
3. One x² and one (−x): \( \frac{5!}{1!\,1!\,3!}(x^2)(-x)=-20 \).
4. Total = −30.

Teacher's Note:
1. S
2. p
3. l
4. i
5. t
6.
7. x
8. ³
9.
10. i
11. n
12. t
13. o
14.
15. a
16. l
17. l
18.
19. p
20. o
21. s
22. s
23. i
24. b
25. l
26. e
27.
28. w
29. a
30. y
31. s
32.
33. u
34. s
35. i
36. n
37. g
38.
39. e
40. x
41. p
42. o
43. n
44. e
45. n
46. t
47. s
48.
49. 1
50.
51. a
52. n
53. d
54.
55. 2
56. .
57.
58. C
59. o
60. u
61. n
62. t
63.
64. a
65. r
66. r
67. a
68. n
69. g
70. e
71. m
72. e
73. n
74. t
75. s
76.
77. w
78. i
79. t
80. h
81.
82. m
83. u
84. l
85. t
86. i
87. n
88. o
89. m
90. i
91. a
92. l
93.
94. c
95. o
96. e
97. f
98. f
99. i
100. c
101. i
102. e
103. n
104. t
105. s
106. .

Answer: (a) 7

Explanation:
1. \( 2\binom n2=\binom n1+\binom n3 \).
2. This gives \( n(n-1)=n+\frac{n(n-1)(n-2)}6 \) and simplifies to \( n^2-9n+14=0 \).
3. So n = 2 or 7; n ≥ 3 is needed for a 4th term, hence n = 7.

Teacher's Note:
1. W
2. r
3. i
4. t
5. e
6.
7. t
8. h
9. e
10.
11. A
12. P
13.
14. c
15. o
16. n
17. d
18. i
19. t
20. i
21. o
22. n
23.
24. w
25. i
26. t
27. h
28.
29. b
30. i
31. n
32. o
33. m
34. i
35. a
36. l
37.
38. c
39. o
40. e
41. f
42. f
43. i
44. c
45. i
46. e
47. n
48. t
49. s
50.
51. a
52. n
53. d
54.
55. s
56. o
57. l
58. v
59. e
60.
61. t
62. h
63. e
64.
65. q
66. u
67. a
68. d
69. r
70. a
71. t
72. i
73. c
74. .
75.
76. R
77. e
78. j
79. e
80. c
81. t
82.
83. n
84.
85. =
86.
87. 2
88.
89. a
90. s
91.
92. i
93. t
94.
95. h
96. a
97. s
98.
99. n
100. o
101.
102. 4
103. t
104. h
105.
106. t
107. e
108. r
109. m
110. .

Answer: (a) \( {}^{16}C_{9} \)

Explanation:
1. Coefficient is \( \binom66+\binom76+\cdots+\binom{15}6 \).
2. By the hockey-stick identity this is \( \binom{16}7=\binom{16}9 \).

Teacher's Note:
1. A
2. d
3. d
4.
5. t
6. h
7. e
8.
9. b
10. i
11. n
12. o
13. m
14. i
15. a
16. l
17.
18. c
19. o
20. e
21. f
22. f
23. i
24. c
25. i
26. e
27. n
28. t
29. s
30.
31. a
32. l
33. o
34. n
35. g
36.
37. a
38.
39. c
40. o
41. l
42. u
43. m
44. n
45.
46. o
47. f
48.
49. P
50. a
51. s
52. c
53. a
54. l
55. '
56. s
57.
58. t
59. r
60. i
61. a
62. n
63. g
64. l
65. e
66. .
67.
68. T
69. h
70. e
71.
72. h
73. o
74. c
75. k
76. e
77. y
78. -
79. s
80. t
81. i
82. c
83. k
84.
85. i
86. d
87. e
88. n
89. t
90. i
91. t
92. y
93.
94. g
95. i
96. v
97. e
98. s
99.
100. o
101. n
102. e
103.
104. b
105. i
106. n
107. o
108. m
109. i
110. a
111. l
112.
113. c
114. o
115. e
116. f
117. f
118. i
119. c
120. i
121. e
122. n
123. t
124. .

Answer: (b) \( -2\cdot{}^9C_2\cdot{}^7C_3 \)

Explanation:
1. Multinomial coefficient \( \frac{9!}{1!\,3!\,4!\,1!} \) for the exponents 1, 3, 4, 1 and the sign of \( (-z) \) gives a factor −1.
2. Value \( -2520=-2\times36\times35=-2\cdot{}^9C_2\cdot{}^7C_3 \).

Teacher's Note:
1. U
2. s
3. e
4.
5. t
6. h
7. e
8.
9. m
10. u
11. l
12. t
13. i
14. n
15. o
16. m
17. i
18. a
19. l
20.
21. t
22. h
23. e
24. o
25. r
26. e
27. m
28.
29. a
30. n
31. d
32.
33. r
34. e
35. m
36. e
37. m
38. b
39. e
40. r
41.
42. t
43. h
44. e
45.
46. n
47. e
48. g
49. a
50. t
51. i
52. v
53. e
54.
55. s
56. i
57. g
58. n
59.
60. f
61. r
62. o
63. m
64.
65. t
66. h
67. e
68.
69. −
70. z
71.
72. t
73. e
74. r
75. m
76. .

Answer: (a) 4

Explanation:
1. Since \( 1+x+x^2+x^3=\frac{1-x^4}{1-x} \), the product is \( (1-x)(1-x^4)^4 \).
2. Expand: \( (1-x)(1-4x^4+6x^8-4x^{12}+x^{16}) \).
3. x¹³ arises from \( -x\cdot(-4x^{12})=4x^{13} \).

Teacher's Note:
1. S
2. u
3. m
4.
5. t
6. h
7. e
8.
9. g
10. e
11. o
12. m
13. e
14. t
15. r
16. i
17. c
18.
19. s
20. e
21. r
22. i
23. e
24. s
25.
26. t
27. o
28.
29. c
30. a
31. n
32. c
33. e
34. l
35.
36. f
37. a
38. c
39. t
40. o
41. r
42. s
43.
44. o
45. f
46.
47. (
48. 1
49.
50. −
51.
52. x
53. )
54. .
55.
56. T
57. h
58. e
59. n
60.
61. o
62. n
63. l
64. y
65.
66. a
67.
68. f
69. e
70. w
71.
72. t
73. e
74. r
75. m
76. s
77.
78. a
79. r
80. e
81.
82. n
83. e
84. e
85. d
86. e
87. d
88. .

Answer: (c) 0

Explanation:
1. General term \( \binom{12}r(-1)^rx^{24-3r}y^{2r-12} \).
2. x⁶ requires r = 6, which makes the power of y equal to 0, not −2.
3. So no such term exists: the coefficient is 0.

Teacher's Note:
1. F
2. i
3. x
4.
5. r
6.
7. f
8. r
9. o
10. m
11.
12. t
13. h
14. e
15.
16. p
17. o
18. w
19. e
20. r
21.
22. o
23. f
24.
25. x
26. ,
27.
28. t
29. h
30. e
31. n
32.
33. c
34. h
35. e
36. c
37. k
38.
39. w
40. h
41. e
42. t
43. h
44. e
45. r
46.
47. t
48. h
49. e
50.
51. p
52. o
53. w
54. e
55. r
56.
57. o
58. f
59.
60. y
61.
62. m
63. a
64. t
65. c
66. h
67. e
68. s
69. .
70.
71. A
72.
73. m
74. i
75. s
76. m
77. a
78. t
79. c
80. h
81.
82. m
83. e
84. a
85. n
86. s
87.
88. t
89. h
90. e
91.
92. c
93. o
94. e
95. f
96. f
97. i
98. c
99. i
100. e
101. n
102. t
103.
104. i
105. s
106.
107. z
108. e
109. r
110. o
111. .