JEE Physics Motion In A Plane MCQs Set 21

Answer: (a) \( \tan^{-1}(2\pi) \)

Explanation:
1. Let the tangential acceleration be \( a_t \) and the radius \( R \). After half the circle, \( s=\pi R \).
2. \( v^2=2a_t s=2\pi R a_t \), so the centripetal acceleration is \( a_c=v^2/R=2\pi a_t \).
3. Velocity is along the tangent, so the angle with the total acceleration satisfies \( \tan\theta=a_c/a_t=2\pi \).

Teacher's Note:
1. T
2. a
3. n
4. g
5. e
6. n
7. t
8. i
9. a
10. l
11.
12. a
13. c
14. c
15. e
16. l
17. e
18. r
19. a
20. t
21. i
22. o
23. n
24.
25. i
26. s
27.
28. a
29. l
30. o
31. n
32. g
33.
34. t
35. h
36. e
37.
38. v
39. e
40. l
41. o
42. c
43. i
44. t
45. y
46.
47. a
48. n
49. d
50.
51. c
52. e
53. n
54. t
55. r
56. i
57. p
58. e
59. t
60. a
61. l
62.
63. a
64. c
65. c
66. e
67. l
68. e
69. r
70. a
71. t
72. i
73. o
74. n
75.
76. i
77. s
78.
79. p
80. e
81. r
82. p
83. e
84. n
85. d
86. i
87. c
88. u
89. l
90. a
91. r
92.
93. t
94. o
95.
96. i
97. t
98. .
99.
100. T
101. h
102. e
103.
104. a
105. n
106. g
107. l
108. e
109.
110. b
111. e
112. t
113. w
114. e
115. e
116. n
117.
118. v
119. e
120. l
121. o
122. c
123. i
124. t
125. y
126.
127. a
128. n
129. d
130.
131. t
132. o
133. t
134. a
135. l
136.
137. a
138. c
139. c
140. e
141. l
142. e
143. r
144. a
145. t
146. i
147. o
148. n
149.
150. i
151. s
152.
153. t
154. h
155. e
156. r
157. e
158. f
159. o
160. r
161. e
162.
163. t
164. a
165. n
166.
167. i
168. n
169. v
170. e
171. r
172. s
173. e
174.
175. o
176. f
177.
178. a
179. _
180. c
181.
182. /
183.
184. a
185. _
186. t
187. .

Answer: (b) \( 40\sqrt{3}\ \text{m} \)

Explanation:
1. Initial velocity \( \vec u=(10\sqrt3,\,10) \) m/s. At time t: \( \vec v=(10\sqrt3,\,10-10t) \).
2. Perpendicular means \( \vec u\cdot\vec v=0 \): \( 300+10(10-10t)=0 \), so t = 4 s.
3. \( x=10\sqrt3\times4=40\sqrt3 \) m.

Teacher's Note:
1. A
2.
3. d
4. o
5. t
6.
7. p
8. r
9. o
10. d
11. u
12. c
13. t
14.
15. e
16. q
17. u
18. a
19. l
20.
21. t
22. o
23.
24. z
25. e
26. r
27. o
28.
29. i
30. s
31.
32. t
33. h
34. e
35.
36. c
37. l
38. e
39. a
40. n
41. e
42. s
43. t
44.
45. t
46. e
47. s
48. t
49.
50. f
51. o
52. r
53.
54. p
55. e
56. r
57. p
58. e
59. n
60. d
61. i
62. c
63. u
64. l
65. a
66. r
67.
68. v
69. e
70. l
71. o
72. c
73. i
74. t
75. i
76. e
77. s
78. .
79.
80. T
81. h
82. e
83.
84. h
85. o
86. r
87. i
88. z
89. o
90. n
91. t
92. a
93. l
94.
95. v
96. e
97. l
98. o
99. c
100. i
101. t
102. y
103.
104. n
105. e
106. v
107. e
108. r
109.
110. c
111. h
112. a
113. n
114. g
115. e
116. s
117.
118. i
119. n
120.
121. p
122. r
123. o
124. j
125. e
126. c
127. t
128. i
129. l
130. e
131.
132. m
133. o
134. t
135. i
136. o
137. n
138. ,
139.
140. s
141. o
142.
143. x
144.
145. i
146. s
147.
148. s
149. i
150. m
151. p
152. l
153. y
154.
155. t
156. h
157. e
158.
159. h
160. o
161. r
162. i
163. z
164. o
165. n
166. t
167. a
168. l
169.
170. s
171. p
172. e
173. e
174. d
175.
176. t
177. i
178. m
179. e
180. s
181.
182. t
183. h
184. e
185.
186. t
187. i
188. m
189. e
190. .

Answer: (c) \( \theta_1=135^\circ,\ \theta_2=45^\circ \)

Explanation:
1. Take the centre as origin. A is at (0, -R); after T/4 the particle is at (R, 0).
2. Acceleration at T/4 points to the centre: direction (-1, 0). Average velocity is along the displacement (R, R): direction (1, 1). The angle between them is 135°.
3. Initial velocity is (v, 0) and final velocity is (0, v), so the change in velocity is (-v, v). Its angle with (-1, 0) is 45°.

Teacher's Note:
1. A
2. v
3. e
4. r
5. a
6. g
7. e
8.
9. v
10. e
11. l
12. o
13. c
14. i
15. t
16. y
17.
18. i
19. s
20.
21. a
22. l
23. o
24. n
25. g
26.
27. t
28. h
29. e
30.
31. d
32. i
33. s
34. p
35. l
36. a
37. c
38. e
39. m
40. e
41. n
42. t
43.
44. v
45. e
46. c
47. t
48. o
49. r
50. ,
51.
52. w
53. h
54. i
55. l
56. e
57.
58. t
59. h
60. e
61.
62. c
63. h
64. a
65. n
66. g
67. e
68.
69. i
70. n
71.
72. v
73. e
74. l
75. o
76. c
77. i
78. t
79. y
80.
81. i
82. s
83.
84. t
85. h
86. e
87.
88. v
89. e
90. c
91. t
92. o
93. r
94.
95. d
96. i
97. f
98. f
99. e
100. r
101. e
102. n
103. c
104. e
105.
106. o
107. f
108.
109. t
110. h
111. e
112.
113. f
114. i
115. n
116. a
117. l
118.
119. a
120. n
121. d
122.
123. i
124. n
125. i
126. t
127. i
128. a
129. l
130.
131. v
132. e
133. l
134. o
135. c
136. i
137. t
138. i
139. e
140. s
141. .
142.
143. S
144. k
145. e
146. t
147. c
148. h
149. i
150. n
151. g
152.
153. t
154. h
155. e
156.
157. t
158. w
159. o
160.
161. p
162. o
163. s
164. i
165. t
166. i
167. o
168. n
169. s
170.
171. m
172. a
173. k
174. e
175. s
176.
177. t
178. h
179. e
180.
181. d
182. i
183. r
184. e
185. c
186. t
187. i
188. o
189. n
190. s
191.
192. e
193. a
194. s
195. y
196.
197. t
198. o
199.
200. r
201. e
202. a
203. d
204.
205. o
206. f
207. f
208. .

Answer: (d) \( \sqrt{\frac{2g}{a}} \)

Explanation:
1. The ring moves in a horizontal circle of radius x = a. Forces: weight mg and the normal reaction N (perpendicular to the wire).
2. If the tangent makes angle \( \phi \) with the horizontal: \( N\cos\phi=mg \) and \( N\sin\phi=m\omega^2x \), so \( \tan\phi=\omega^2x/g \).
3. Slope at x = a: \( \tan\phi=dy/dx=2x/a=2 \). Hence \( \omega^2a/g=2 \) and \( \omega=\sqrt{2g/a} \).

Teacher's Note:
1. F
2. o
3. r
4.
5. a
6.
7. s
8. m
9. o
10. o
11. t
12. h
13.
14. c
15. u
16. r
17. v
18. e
19. ,
20.
21. t
22. h
23. e
24.
25. h
26. o
27. r
28. i
29. z
30. o
31. n
32. t
33. a
34. l
35.
36. p
37. a
38. r
39. t
40.
41. o
42. f
43.
44. t
45. h
46. e
47.
48. n
49. o
50. r
51. m
52. a
53. l
54.
55. f
56. o
57. r
58. c
59. e
60.
61. s
62. u
63. p
64. p
65. l
66. i
67. e
68. s
69.
70. t
71. h
72. e
73.
74. c
75. e
76. n
77. t
78. r
79. i
80. p
81. e
82. t
83. a
84. l
85.
86. f
87. o
88. r
89. c
90. e
91.
92. a
93. n
94. d
95.
96. t
97. h
98. e
99.
100. v
101. e
102. r
103. t
104. i
105. c
106. a
107. l
108.
109. p
110. a
111. r
112. t
113.
114. b
115. a
116. l
117. a
118. n
119. c
120. e
121. s
122.
123. t
124. h
125. e
126.
127. w
128. e
129. i
130. g
131. h
132. t
133. .
134.
135. D
136. i
137. v
138. i
139. d
140. i
141. n
142. g
143.
144. t
145. h
146. e
147.
148. t
149. w
150. o
151.
152. e
153. q
154. u
155. a
156. t
157. i
158. o
159. n
160. s
161.
162. g
163. i
164. v
165. e
166. s
167.
168. t
169. h
170. e
171.
172. n
173. e
174. a
175. t
176.
177. r
178. e
179. l
180. a
181. t
182. i
183. o
184. n
185.
186. t
187. a
188. n
189. (
190. p
191. h
192. i
193. )
194.
195. =
196.
197. o
198. m
199. e
200. g
201. a
202.
203. s
204. q
205. u
206. a
207. r
208. e
209. d
210.
211. t
212. i
213. m
214. e
215. s
216.
217. x
218.
219. o
220. v
221. e
222. r
223.
224. g
225. .

Answer: (a) Total energy at P = total energy at A

Explanation:
1. The track is frictionless and the projectile motion is under gravity only, so mechanical energy is conserved throughout: total energy at P = total energy at A.
2. At P the particle still has horizontal velocity, so KE at P is positive but less than KE at B (B is the lowest point and has the maximum speed).
3. At P the KE is not zero, so the height at P is less than the height at A. The time from A to B is not equal to the time from B to P in general.

Teacher's Note:
1. C
2. o
3. n
4. s
5. e
6. r
7. v
8. a
9. t
10. i
11. o
12. n
13.
14. o
15. f
16.
17. m
18. e
19. c
20. h
21. a
22. n
23. i
24. c
25. a
26. l
27.
28. e
29. n
30. e
31. r
32. g
33. y
34.
35. h
36. o
37. l
38. d
39. s
40.
41. f
42. o
43. r
44.
45. a
46.
47. s
48. m
49. o
50. o
51. t
52. h
53.
54. t
55. r
56. a
57. c
58. k
59.
60. a
61. n
62. d
63.
64. f
65. o
66. r
67.
68. f
69. r
70. e
71. e
72.
73. f
74. l
75. i
76. g
77. h
78. t
79. .
80.
81. T
82. h
83. e
84.
85. h
86. e
87. i
88. g
89. h
90. t
91.
92. r
93. e
94. a
95. c
96. h
97. e
98. d
99.
100. a
101. f
102. t
103. e
104. r
105.
106. l
107. e
108. a
109. v
110. i
111. n
112. g
113.
114. t
115. h
116. e
117.
118. t
119. r
120. a
121. c
122. k
123.
124. i
125. s
126.
127. a
128. l
129. w
130. a
131. y
132. s
133.
134. l
135. e
136. s
137. s
138.
139. t
140. h
141. a
142. n
143.
144. t
145. h
146. e
147.
148. s
149. t
150. a
151. r
152. t
153. i
154. n
155. g
156.
157. h
158. e
159. i
160. g
161. h
162. t
163.
164. u
165. n
166. l
167. e
168. s
169. s
170.
171. t
172. h
173. e
174.
175. e
176. x
177. i
178. t
179.
180. v
181. e
182. l
183. o
184. c
185. i
186. t
187. y
188.
189. i
190. s
191.
192. v
193. e
194. r
195. t
196. i
197. c
198. a
199. l
200. .

Answer: (b) \( v=u\cos\theta\sec\phi \)

Explanation:
1. The horizontal component of velocity is constant in projectile motion.
2. So \( v\cos\phi=u\cos\theta \).
3. Therefore \( v=u\cos\theta\,\sec\phi \).

Teacher's Note:
1. E
2. q
3. u
4. a
5. t
6. e
7.
8. t
9. h
10. e
11.
12. h
13. o
14. r
15. i
16. z
17. o
18. n
19. t
20. a
21. l
22.
23. c
24. o
25. m
26. p
27. o
28. n
29. e
30. n
31. t
32. s
33.
34. a
35. t
36.
37. t
38. h
39. e
40.
41. t
42. w
43. o
44.
45. i
46. n
47. s
48. t
49. a
50. n
51. t
52. s
53. .
54.
55. T
56. h
57. i
58. s
59.
60. s
61. i
62. m
63. p
64. l
65. e
66.
67. r
68. e
69. l
70. a
71. t
72. i
73. o
74. n
75.
76. a
77. l
78. s
79. o
80.
81. g
82. i
83. v
84. e
85. s
86.
87. t
88. h
89. e
90.
91. s
92. p
93. e
94. e
95. d
96.
97. a
98. t
99.
100. t
101. h
102. e
103.
104. t
105. o
106. p
107.
108. o
109. f
110.
111. t
112. h
113. e
114.
115. p
116. a
117. t
118. h
119. ,
120.
121. w
122. h
123. e
124. r
125. e
126.
127. p
128. h
129. i
130.
131. i
132. s
133.
134. z
135. e
136. r
137. o
138.
139. a
140. n
141. d
142.
143. v
144.
145. e
146. q
147. u
148. a
149. l
150. s
151.
152. u
153.
154. c
155. o
156. s
157.
158. t
159. h
160. e
161. t
162. a
163. .

Answer: (c) \( \frac{\sqrt{v_1^2+v_2^2}}{2} \)

Explanation:
1. Take the corner as origin. Lower end at \( (x,0) \), upper end at \( (0,y) \); the centre is at \( (x/2,\,y/2) \).
2. Differentiating, the centre has velocity components \( (v_1/2,\ v_2/2) \) (horizontal and vertical).
3. Speed \( =\frac12\sqrt{v_1^2+v_2^2} \).

Teacher's Note:
1. T
2. h
3. e
4.
5. t
6. w
7. o
8.
9. e
10. n
11. d
12. s
13.
14. m
15. o
16. v
17. e
18.
19. a
20. l
21. o
22. n
23. g
24.
25. p
26. e
27. r
28. p
29. e
30. n
31. d
32. i
33. c
34. u
35. l
36. a
37. r
38.
39. l
40. i
41. n
42. e
43. s
44. ,
45.
46. s
47. o
48.
49. t
50. h
51. e
52. i
53. r
54.
55. v
56. e
57. l
58. o
59. c
60. i
61. t
62. i
63. e
64. s
65.
66. a
67. r
68. e
69.
70. p
71. e
72. r
73. p
74. e
75. n
76. d
77. i
78. c
79. u
80. l
81. a
82. r
83. .
84.
85. T
86. h
87. e
88.
89. c
90. e
91. n
92. t
93. r
94. e
95.
96. i
97. s
98.
99. t
100. h
101. e
102.
103. m
104. i
105. d
106. p
107. o
108. i
109. n
110. t
111. ,
112.
113. s
114. o
115.
116. e
117. a
118. c
119. h
120.
121. o
122. f
123.
124. i
125. t
126. s
127.
128. v
129. e
130. l
131. o
132. c
133. i
134. t
135. y
136.
137. c
138. o
139. m
140. p
141. o
142. n
143. e
144. n
145. t
146. s
147.
148. i
149. s
150.
151. h
152. a
153. l
154. f
155.
156. o
157. f
158.
159. t
160. h
161. e
162.
163. c
164. o
165. r
166. r
167. e
168. s
169. p
170. o
171. n
172. d
173. i
174. n
175. g
176.
177. e
178. n
179. d
180.
181. v
182. e
183. l
184. o
185. c
186. i
187. t
188. y
189. .

Answer: (d) 0.33 s

Explanation:
1. In the lift frame the effective gravity is \( g_{eff}=g+a=12 \) m/s² downward.
2. Relative to the floor, the vertical component of launch velocity is \( 4\sin30^\circ=2 \) m/s.
3. Time of flight \( =\frac{2\times2}{12}=\frac13 \) s \( \approx0.33 \) s.

Teacher's Note:
1. I
2. n
3.
4. a
5. n
6.
7. a
8. c
9. c
10. e
11. l
12. e
13. r
14. a
15. t
16. i
17. n
18. g
19.
20. l
21. i
22. f
23. t
24. ,
25.
26. w
27. o
28. r
29. k
30.
31. i
32. n
33.
34. t
35. h
36. e
37.
38. l
39. i
40. f
41. t
42.
43. f
44. r
45. a
46. m
47. e
48.
49. a
50. n
51. d
52.
53. r
54. e
55. p
56. l
57. a
58. c
59. e
60.
61. g
62.
63. b
64. y
65.
66. g
67.
68. p
69. l
70. u
71. s
72.
73. t
74. h
75. e
76.
77. l
78. i
79. f
80. t
81.
82. a
83. c
84. c
85. e
86. l
87. e
88. r
89. a
90. t
91. i
92. o
93. n
94. .
95.
96. T
97. h
98. e
99.
100. b
101. a
102. l
103. l
104.
105. r
106. e
107. t
108. u
109. r
110. n
111. s
112.
113. t
114. o
115.
116. t
117. h
118. e
119.
120. f
121. l
122. o
123. o
124. r
125.
126. w
127. h
128. e
129. n
130.
131. i
132. t
133. s
134.
135. r
136. e
137. l
138. a
139. t
140. i
141. v
142. e
143.
144. v
145. e
146. r
147. t
148. i
149. c
150. a
151. l
152.
153. d
154. i
155. s
156. p
157. l
158. a
159. c
160. e
161. m
162. e
163. n
164. t
165.
166. b
167. e
168. c
169. o
170. m
171. e
172. s
173.
174. z
175. e
176. r
177. o
178. .

Answer: (a) \( (R+H),\ H \)

Explanation:
1. The vertical motion is unaffected, so the maximum height stays H and the time of flight \( T=\frac{2u\sin\theta}{g} \) is unchanged.
2. Extra range \( =\frac12aT^2=\frac12\cdot\frac g4\cdot\frac{4u^2\sin^2\theta}{g^2}=\frac{u^2\sin^2\theta}{2g}=H \).
3. New range \( =R+H \), maximum height \( =H \).

Teacher's Note:
1. A
2.
3. h
4. o
5. r
6. i
7. z
8. o
9. n
10. t
11. a
12. l
13.
14. f
15. o
16. r
17. c
18. e
19.
20. c
21. h
22. a
23. n
24. g
25. e
26. s
27.
28. o
29. n
30. l
31. y
32.
33. t
34. h
35. e
36.
37. h
38. o
39. r
40. i
41. z
42. o
43. n
44. t
45. a
46. l
47.
48. m
49. o
50. t
51. i
52. o
53. n
54. ,
55.
56. s
57. o
58.
59. t
60. h
61. e
62.
63. t
64. i
65. m
66. e
67.
68. o
69. f
70.
71. f
72. l
73. i
74. g
75. h
76. t
77.
78. a
79. n
80. d
81.
82. t
83. h
84. e
85.
86. m
87. a
88. x
89. i
90. m
91. u
92. m
93.
94. h
95. e
96. i
97. g
98. h
99. t
100.
101. s
102. t
103. a
104. y
105.
106. t
107. h
108. e
109.
110. s
111. a
112. m
113. e
114. .
115.
116. T
117. h
118. e
119.
120. e
121. x
122. t
123. r
124. a
125.
126. r
127. a
128. n
129. g
130. e
131.
132. i
133. s
134.
135. h
136. a
137. l
138. f
139.
140. a
141.
142. T
143.
144. s
145. q
146. u
147. a
148. r
149. e
150. d
151. .

Answer: (b) 30 m/s

Explanation:
1. The trajectory is \( y=x\tan\theta-\frac{gx^2}{2u^2}(1+\tan^2\theta) \).
2. This is a quadratic in \( \tan\theta \); a real solution needs the discriminant to be non-negative, which gives \( u^2\ge g\left(y+\sqrt{x^2+y^2}\right) \).
3. \( u^2\ge10(40+50)=900 \), so \( u_{min}=30 \) m/s.

Teacher's Note:
1. T
2. h
3. e
4.
5. m
6. i
7. n
8. i
9. m
10. u
11. m
12.
13. s
14. p
15. e
16. e
17. d
18.
19. c
20. o
21. r
22. r
23. e
24. s
25. p
26. o
27. n
28. d
29. s
30.
31. t
32. o
33.
34. a
35.
36. s
37. i
38. n
39. g
40. l
41. e
42.
43. (
44. r
45. e
46. p
47. e
48. a
49. t
50. e
51. d
52. )
53.
54. a
55. n
56. g
57. l
58. e
59.
60. o
61. f
62.
63. p
64. r
65. o
66. j
67. e
68. c
69. t
70. i
71. o
72. n
73. ,
74.
75. w
76. h
77. i
78. c
79. h
80.
81. i
82. s
83.
84. w
85. h
86. e
87. n
88.
89. t
90. h
91. e
92.
93. d
94. i
95. s
96. c
97. r
98. i
99. m
100. i
101. n
102. a
103. n
104. t
105.
106. i
107. s
108.
109. z
110. e
111. r
112. o
113. .
114.
115. T
116. h
117. e
118.
119. f
120. o
121. r
122. m
123. u
124. l
125. a
126.
127. u
128.
129. s
130. q
131. u
132. a
133. r
134. e
135. d
136.
137. =
138.
139. g
140. (
141. y
142.
143. +
144.
145. r
146. )
147.
148. i
149. s
150.
151. w
152. o
153. r
154. t
155. h
156.
157. r
158. e
159. m
160. e
161. m
162. b
163. e
164. r
165. i
166. n
167. g
168. .

Answer: (c) 1.0 s

Explanation:
1. Components at launch: \( v_x=10 \) m/s, \( v_{y0}=10 \) m/s.
2. Speed \( \sqrt{125} \): \( 100+v_y^2=125 \), so \( v_y=\pm5 \) m/s.
3. \( v_y=+5 \) at \( t=0.5 \) s and \( v_y=-5 \) at \( t=1.5 \) s. The interval is 1.0 s.

Teacher's Note:
1. T
2. h
3. e
4.
5. s
6. a
7. m
8. e
9.
10. s
11. p
12. e
13. e
14. d
15.
16. o
17. c
18. c
19. u
20. r
21. s
22.
23. t
24. w
25. i
26. c
27. e
28. ,
29.
30. o
31. n
32. c
33. e
34.
35. w
36. h
37. i
38. l
39. e
40.
41. r
42. i
43. s
44. i
45. n
46. g
47.
48. a
49. n
50. d
51.
52. o
53. n
54. c
55. e
56.
57. w
58. h
59. i
60. l
61. e
62.
63. f
64. a
65. l
66. l
67. i
68. n
69. g
70. ,
71.
72. w
73. i
74. t
75. h
76.
77. e
78. q
79. u
80. a
81. l
82.
83. a
84. n
85. d
86.
87. o
88. p
89. p
90. o
91. s
92. i
93. t
94. e
95.
96. v
97. e
98. r
99. t
100. i
101. c
102. a
103. l
104.
105. c
106. o
107. m
108. p
109. o
110. n
111. e
112. n
113. t
114. s
115. .
116.
117. T
118. h
119. e
120.
121. i
122. n
123. t
124. e
125. r
126. v
127. a
128. l
129.
130. i
131. s
132.
133. t
134. h
135. e
136.
137. t
138. i
139. m
140. e
141.
142. t
143. a
144. k
145. e
146. n
147.
148. f
149. o
150. r
151.
152. t
153. h
154. e
155.
156. v
157. e
158. r
159. t
160. i
161. c
162. a
163. l
164.
165. v
166. e
167. l
168. o
169. c
170. i
171. t
172. y
173.
174. t
175. o
176.
177. c
178. h
179. a
180. n
181. g
182. e
183.
184. f
185. r
186. o
187. m
188.
189. +
190. 5
191.
192. t
193. o
194.
195. -
196. 5
197.
198. m
199. /
200. s
201.
202. a
203. t
204.
205. 1
206. 0
207.
208. m
209. /
210. s
211. ²
212. .

Answer: (d) \( \frac{x}{2u} \)

Explanation:
1. Horizontal speed of A: \( u\sqrt3\cos30^\circ=\frac{3u}{2} \).
2. Horizontal speed of B (towards A): \( u\cos60^\circ=\frac u2 \).
3. Closing speed \( =\frac{3u}{2}+\frac u2=2u \), so \( t=\frac{x}{2u} \).

Teacher's Note:
1. H
2. o
3. r
4. i
5. z
6. o
7. n
8. t
9. a
10. l
11.
12. m
13. o
14. t
15. i
16. o
17. n
18. s
19.
20. a
21. r
22. e
23.
24. i
25. n
26. d
27. e
28. p
29. e
30. n
31. d
32. e
33. n
34. t
35.
36. o
37. f
38.
39. t
40. h
41. e
42.
43. v
44. e
45. r
46. t
47. i
48. c
49. a
50. l
51.
52. m
53. o
54. t
55. i
56. o
57. n
58. s
59. ,
60.
61. s
62. o
63.
64. o
65. n
66. l
67. y
68.
69. t
70. h
71. e
72.
73. h
74. o
75. r
76. i
77. z
78. o
79. n
80. t
81. a
82. l
83.
84. c
85. o
86. m
87. p
88. o
89. n
90. e
91. n
92. t
93. s
94.
95. m
96. a
97. t
98. t
99. e
100. r
101.
102. f
103. o
104. r
105.
106. t
107. h
108. e
109.
110. h
111. o
112. r
113. i
114. z
115. o
116. n
117. t
118. a
119. l
120.
121. g
122. a
123. p
124. .
125.
126. A
127. d
128. d
129.
130. t
131. h
132. e
133.
134. s
135. p
136. e
137. e
138. d
139. s
140.
141. b
142. e
143. c
144. a
145. u
146. s
147. e
148.
149. t
150. h
151. e
152. y
153.
154. a
155. p
156. p
157. r
158. o
159. a
160. c
161. h
162.
163. e
164. a
165. c
166. h
167.
168. o
169. t
170. h
171. e
172. r
173. .

Answer: (a) \( y=2x-5x^2 \)

Explanation:
1. Here \( u_x=1 \) and \( u_y=2 \), so \( x=t \) and \( y=2t-5t^2 \).
2. Eliminating t: \( y=2x-5x^2 \).

Teacher's Note:
1. W
2. r
3. i
4. t
5. e
6.
7. x
8.
9. a
10. n
11. d
12.
13. y
14.
15. s
16. e
17. p
18. a
19. r
20. a
21. t
22. e
23. l
24. y
25.
26. a
27. s
28.
29. f
30. u
31. n
32. c
33. t
34. i
35. o
36. n
37. s
38.
39. o
40. f
41.
42. t
43. i
44. m
45. e
46.
47. a
48. n
49. d
50.
51. e
52. l
53. i
54. m
55. i
56. n
57. a
58. t
59. e
60.
61. t
62. .
63.
64. T
65. h
66. e
67.
68. c
69. o
70. e
71. f
72. f
73. i
74. c
75. i
76. e
77. n
78. t
79.
80. o
81. f
82.
83. x
84.
85. s
86. q
87. u
88. a
89. r
90. e
91. d
92.
93. i
94. s
95.
96. g
97.
98. d
99. i
100. v
101. i
102. d
103. e
104. d
105.
106. b
107. y
108.
109. 2
110.
111. u
112. _
113. x
114.
115. s
116. q
117. u
118. a
119. r
120. e
121. d
122. .

Answer: (b) \( \frac12\sin^{-1}\left[\frac{3\sqrt3+4}{10}\right] \)

Explanation:
1. Let the distance to the mark be R and \( u^2/g=K \). Then \( K\sin60^\circ=R-6 \) and \( K\sin90^\circ=R+9 \).
2. So \( K=R+9 \) and \( \frac{\sqrt3}{2}(R+9)=R-6 \), giving \( R=\frac{12+9\sqrt3}{2-\sqrt3} \approx 102.96 \) m and \( K\approx111.96 \) m.
3. \( \sin2\theta=R/K\approx0.9196=\frac{3\sqrt3+4}{10} \) (checked numerically), so \( \theta=\frac12\sin^{-1}\left[\frac{3\sqrt3+4}{10}\right] \).

Teacher's Note:
1. R
2. a
3. n
4. g
5. e
6.
7. i
8. s
9.
10. K
11.
12. s
13. i
14. n
15. (
16. 2
17.
18. t
19. h
20. e
21. t
22. a
23. )
24. ,
25.
26. s
27. o
28.
29. t
30. h
31. e
32.
33. t
34. w
35. o
36.
37. t
38. r
39. i
40. a
41. l
42.
43. s
44. h
45. o
46. t
47. s
48.
49. g
50. i
51. v
52. e
53.
54. t
55. w
56. o
57.
58. e
59. q
60. u
61. a
62. t
63. i
64. o
65. n
66. s
67.
68. i
69. n
70.
71. t
72. h
73. e
74.
75. t
76. w
77. o
78.
79. u
80. n
81. k
82. n
83. o
84. w
85. n
86. s
87.
88. R
89.
90. a
91. n
92. d
93.
94. K
95. .
96.
97. D
98. i
99. v
100. i
101. d
102. i
103. n
104. g
105.
106. t
107. h
108. e
109.
110. t
111. a
112. r
113. g
114. e
115. t
116.
117. r
118. a
119. n
120. g
121. e
122.
123. b
124. y
125.
126. t
127. h
128. e
129.
130. m
131. a
132. x
133. i
134. m
135. u
136. m
137.
138. r
139. a
140. n
141. g
142. e
143.
144. g
145. i
146. v
147. e
148. s
149.
150. s
151. i
152. n
153.
154. o
155. f
156.
157. t
158. w
159. i
160. c
161. e
162.
163. t
164. h
165. e
166.
167. r
168. e
169. q
170. u
171. i
172. r
173. e
174. d
175.
176. a
177. n
178. g
179. l
180. e
181. .

Answer: (c) 20 m

Explanation:
1. On landing the speed is 10 m/s and the velocity makes 60° with the horizontal.
2. The component of g perpendicular to the velocity is \( g\cos60^\circ=5 \) m/s².
3. \( r=\frac{v^2}{a_\perp}=\frac{100}{5}=20 \) m.

Teacher's Note:
1. T
2. h
3. e
4.
5. r
6. a
7. d
8. i
9. u
10. s
11.
12. o
13. f
14.
15. c
16. u
17. r
18. v
19. a
20. t
21. u
22. r
23. e
24.
25. i
26. s
27.
28. v
29.
30. s
31. q
32. u
33. a
34. r
35. e
36. d
37.
38. d
39. i
40. v
41. i
42. d
43. e
44. d
45.
46. b
47. y
48.
49. t
50. h
51. e
52.
53. c
54. o
55. m
56. p
57. o
58. n
59. e
60. n
61. t
62.
63. o
64. f
65.
66. a
67. c
68. c
69. e
70. l
71. e
72. r
73. a
74. t
75. i
76. o
77. n
78.
79. p
80. e
81. r
82. p
83. e
84. n
85. d
86. i
87. c
88. u
89. l
90. a
91. r
92.
93. t
94. o
95.
96. t
97. h
98. e
99.
100. v
101. e
102. l
103. o
104. c
105. i
106. t
107. y
108. .
109.
110. A
111. t
112.
113. t
114. h
115. e
116.
117. t
118. o
119. p
120.
121. o
122. f
123.
124. t
125. h
126. e
127.
128. p
129. a
130. t
131. h
132.
133. t
134. h
135. i
136. s
137.
138. c
139. o
140. m
141. p
142. o
143. n
144. e
145. n
146. t
147.
148. i
149. s
150.
151. g
152.
153. a
154. n
155. d
156.
157. t
158. h
159. e
160.
161. r
162. a
163. d
164. i
165. u
166. s
167.
168. i
169. s
170.
171. s
172. m
173. a
174. l
175. l
176. e
177. s
178. t
179. .

Answer: (d) \( t=\frac{\pi}{\omega} \)

Explanation:
1. \( \vec A\cdot\vec B=\cos\omega t\cos\frac{\omega t}2+\sin\omega t\sin\frac{\omega t}2=\cos\frac{\omega t}{2} \).
2. Orthogonal when \( \cos\frac{\omega t}2=0 \), i.e. \( \frac{\omega t}{2}=\frac\pi2 \), so \( t=\frac\pi\omega \).
3. At t = 0 the vectors are parallel (dot product 1), so t = 0 is not a solution.

Teacher's Note:
1. U
2. s
3. e
4.
5. t
6. h
7. e
8.
9. c
10. o
11. s
12. i
13. n
14. e
15.
16. o
17. f
18.
19. a
20.
21. d
22. i
23. f
24. f
25. e
26. r
27. e
28. n
29. c
30. e
31.
32. t
33. o
34.
35. s
36. i
37. m
38. p
39. l
40. i
41. f
42. y
43.
44. t
45. h
46. e
47.
48. d
49. o
50. t
51.
52. p
53. r
54. o
55. d
56. u
57. c
58. t
59. .
60.
61. O
62. r
63. t
64. h
65. o
66. g
67. o
68. n
69. a
70. l
71. i
72. t
73. y
74.
75. n
76. e
77. e
78. d
79. s
80.
81. t
82. h
83. e
84.
85. d
86. o
87. t
88.
89. p
90. r
91. o
92. d
93. u
94. c
95. t
96.
97. t
98. o
99.
100. v
101. a
102. n
103. i
104. s
105. h
106. ,
107.
108. n
109. o
110. t
111.
112. t
113. h
114. e
115.
116. v
117. e
118. c
119. t
120. o
121. r
122. s
123.
124. t
125. h
126. e
127. m
128. s
129. e
130. l
131. v
132. e
133. s
134. .

Answer: (a) 3.5

Explanation:
1. The trajectory \( y=x\tan\theta-\frac{gx^2}{2u^2\cos^2\theta} \) is identical only if \( g/u^2 \) is the same.
2. \( \frac{g_p}{3^2}=\frac{9.8}{5^2} \).
3. \( g_p=9.8\times\frac{9}{25}\approx3.5 \) m/s².

Teacher's Note:
1. F
2. o
3. r
4.
5. t
6. h
7. e
8.
9. s
10. a
11. m
12. e
13.
14. a
15. n
16. g
17. l
18. e
19. ,
20.
21. t
22. h
23. e
24.
25. s
26. h
27. a
28. p
29. e
30.
31. o
32. f
33.
34. t
35. h
36. e
37.
38. p
39. a
40. r
41. a
42. b
43. o
44. l
45. a
46.
47. d
48. e
49. p
50. e
51. n
52. d
53. s
54.
55. o
56. n
57. l
58. y
59.
60. o
61. n
62.
63. g
64.
65. d
66. i
67. v
68. i
69. d
70. e
71. d
72.
73. b
74. y
75.
76. u
77.
78. s
79. q
80. u
81. a
82. r
83. e
84. d
85. .
86.
87. E
88. q
89. u
90. a
91. l
92.
93. t
94. r
95. a
96. j
97. e
98. c
99. t
100. o
101. r
102. i
103. e
104. s
105.
106. t
107. h
108. e
109. r
110. e
111. f
112. o
113. r
114. e
115.
116. n
117. e
118. e
119. d
120.
121. e
122. q
123. u
124. a
125. l
126.
127. v
128. a
129. l
130. u
131. e
132. s
133.
134. o
135. f
136.
137. t
138. h
139. a
140. t
141.
142. r
143. a
144. t
145. i
146. o
147. .

Answer: (b) \( \tan^{-1}\frac12 \)

Explanation:
1. Maximum height \( H=\frac{u^2\sin^2\theta}{2g} \); horizontal distance to the top \( =\frac R2=\frac{u^2\sin\theta\cos\theta}{g} \).
2. \( \tan\alpha=\frac{H}{R/2}=\frac{\tan\theta}{2} \).
3. For \( \theta=45^\circ \): \( \alpha=\tan^{-1}\frac12 \).

Teacher's Note:
1. T
2. h
3. e
4.
5. e
6. l
7. e
8. v
9. a
10. t
11. i
12. o
13. n
14.
15. a
16. n
17. g
18. l
19. e
20.
21. o
22. f
23.
24. t
25. h
26. e
27.
28. t
29. o
30. p
31.
32. a
33. s
34.
35. s
36. e
37. e
38. n
39.
40. f
41. r
42. o
43. m
44.
45. t
46. h
47. e
48.
49. l
50. a
51. u
52. n
53. c
54. h
55.
56. p
57. o
58. i
59. n
60. t
61.
62. i
63. s
64.
65. g
66. i
67. v
68. e
69. n
70.
71. b
72. y
73.
74. t
75. a
76. n
77. (
78. a
79. l
80. p
81. h
82. a
83. )
84.
85. =
86.
87. (
88. t
89. a
90. n
91.
92. t
93. h
94. e
95. t
96. a
97. )
98. /
99. 2
100. ,
101.
102. a
103.
104. h
105. a
106. n
107. d
108. y
109.
110. r
111. e
112. s
113. u
114. l
115. t
116. .
117.
118. I
119. t
120.
121. i
122. s
123.
124. a
125. l
126. w
127. a
128. y
129. s
130.
131. s
132. m
133. a
134. l
135. l
136. e
137. r
138.
139. t
140. h
141. a
142. n
143.
144. t
145. h
146. e
147.
148. a
149. n
150. g
151. l
152. e
153.
154. o
155. f
156.
157. p
158. r
159. o
160. j
161. e
162. c
163. t
164. i
165. o
166. n
167. .

Answer: (c) \( \frac{a}{\sqrt{v^2-v_1^2}} \)

Explanation:
1. For A to catch B, A's velocity component perpendicular to AB must equal \( v_1 \) (so that they stay at the same distance from line AB).
2. So the component along AB is \( \sqrt{v^2-v_1^2} \).
3. Along AB, A covers the distance a: \( t=\frac{a}{\sqrt{v^2-v_1^2}} \).

Teacher's Note:
1. I
2. n
3.
4. p
5. u
6. r
7. s
8. u
9. i
10. t
11.
12. p
13. r
14. o
15. b
16. l
17. e
18. m
19. s
20. ,
21.
22. t
23. h
24. e
25.
26. p
27. u
28. r
29. s
30. u
31. e
32. r
33.
34. m
35. u
36. s
37. t
38.
39. m
40. a
41. t
42. c
43. h
44.
45. t
46. h
47. e
48.
49. t
50. a
51. r
52. g
53. e
54. t
55. '
56. s
57.
58. m
59. o
60. t
61. i
62. o
63. n
64.
65. i
66. n
67.
68. o
69. n
70. e
71.
72. d
73. i
74. r
75. e
76. c
77. t
78. i
79. o
80. n
81.
82. a
83. n
84. d
85.
86. u
87. s
88. e
89.
90. t
91. h
92. e
93.
94. r
95. e
96. s
97. t
98.
99. o
100. f
101.
102. i
103. t
104. s
105.
106. s
107. p
108. e
109. e
110. d
111.
112. i
113. n
114.
115. t
116. h
117. e
118.
119. o
120. t
121. h
122. e
123. r
124. .
125.
126. R
127. e
128. s
129. o
130. l
131. v
132. e
133.
134. t
135. h
136. e
137.
138. v
139. e
140. l
141. o
142. c
143. i
144. t
145. y
146.
147. a
148. l
149. o
150. n
151. g
152.
153. a
154. n
155. d
156.
157. p
158. e
159. r
160. p
161. e
162. n
163. d
164. i
165. c
166. u
167. l
168. a
169. r
170.
171. t
172. o
173.
174. t
175. h
176. e
177.
178. l
179. i
180. n
181. e
182.
183. j
184. o
185. i
186. n
187. i
188. n
189. g
190.
191. t
192. h
193. e
194.
195. s
196. t
197. a
198. r
199. t
200. i
201. n
202. g
203.
204. p
205. o
206. i
207. n
208. t
209. s
210. .

Answer: (d) \( 18\hat i+13\hat j-2\hat k \)

Explanation:
1. \( \vec v=\vec\omega\times\vec r \).
2. \( \hat i:\ (-6)(1)-(6)(-4)=18 \); \( \hat j:\ (6)(3)-(5)(1)=13 \); \( \hat k:\ (5)(-4)-(-6)(3)=-2 \).
3. So \( \vec v=18\hat i+13\hat j-2\hat k \) m/s.

Teacher's Note:
1. L
2. i
3. n
4. e
5. a
6. r
7.
8. v
9. e
10. l
11. o
12. c
13. i
14. t
15. y
16.
17. i
18. s
19.
20. t
21. h
22. e
23.
24. c
25. r
26. o
27. s
28. s
29.
30. p
31. r
32. o
33. d
34. u
35. c
36. t
37.
38. o
39. f
40.
41. a
42. n
43. g
44. u
45. l
46. a
47. r
48.
49. v
50. e
51. l
52. o
53. c
54. i
55. t
56. y
57.
58. a
59. n
60. d
61.
62. p
63. o
64. s
65. i
66. t
67. i
68. o
69. n
70. ,
71.
72. i
73. n
74.
75. t
76. h
77. a
78. t
79.
80. o
81. r
82. d
83. e
84. r
85. .
86.
87. R
88. e
89. v
90. e
91. r
92. s
93. i
94. n
95. g
96.
97. t
98. h
99. e
100.
101. o
102. r
103. d
104. e
105. r
106.
107. c
108. h
109. a
110. n
111. g
112. e
113. s
114.
115. t
116. h
117. e
118.
119. s
120. i
121. g
122. n
123.
124. o
125. f
126.
127. e
128. v
129. e
130. r
131. y
132.
133. c
134. o
135. m
136. p
137. o
138. n
139. e
140. n
141. t
142. .