JEE Physics Gravitation MCQs Set 19

Answer: (a) \( \frac{GMm}{12R} \)

Explanation:
1. Total energy in a circular orbit of radius r is \( E=-\frac{GMm}{2r} \).
2. \( \Delta E=-\frac{GMm}{6R}+\frac{GMm}{4R}=\frac{GMm}{12R} \).

Teacher's Note:
1. T
2. h
3. e
4.
5. t
6. o
7. t
8. a
9. l
10.
11. e
12. n
13. e
14. r
15. g
16. y
17.
18. o
19. f
20.
21. a
22.
23. s
24. a
25. t
26. e
27. l
28. l
29. i
30. t
31. e
32.
33. i
34. s
35.
36. m
37. i
38. n
39. u
40. s
41.
42. i
43. t
44. s
45.
46. k
47. i
48. n
49. e
50. t
51. i
52. c
53.
54. e
55. n
56. e
57. r
58. g
59. y
60. ,
61.
62. s
63. o
64.
65. r
66. a
67. i
68. s
69. i
70. n
71. g
72.
73. t
74. h
75. e
76.
77. o
78. r
79. b
80. i
81. t
82.
83. c
84. o
85. s
86. t
87. s
88.
89. t
90. h
91. e
92.
93. d
94. i
95. f
96. f
97. e
98. r
99. e
100. n
101. c
102. e
103.
104. o
105. f
106.
107. t
108. h
109. e
110.
111. t
112. w
113. o
114.
115. t
116. o
117. t
118. a
119. l
120.
121. e
122. n
123. e
124. r
125. g
126. i
127. e
128. s
129. .

Answer: (b) \( mgR \)

Explanation:
1. Total energy at the surface: \( \frac12mv^2-\frac{GMm}{R} \); to reach infinity it must be zero.
2. \( KE=\frac{GMm}{R}=mgR \) since \( GM=gR^2 \).

Teacher's Note:
1. T
2. h
3. e
4.
5. m
6. i
7. n
8. i
9. m
10. u
11. m
12.
13. K
14. E
15.
16. e
17. q
18. u
19. a
20. l
21. s
22.
23. t
24. h
25. e
26.
27. m
28. a
29. g
30. n
31. i
32. t
33. u
34. d
35. e
36.
37. o
38. f
39.
40. t
41. h
42. e
43.
44. g
45. r
46. a
47. v
48. i
49. t
50. a
51. t
52. i
53. o
54. n
55. a
56. l
57.
58. p
59. o
60. t
61. e
62. n
63. t
64. i
65. a
66. l
67.
68. e
69. n
70. e
71. r
72. g
73. y
74.
75. a
76. t
77.
78. t
79. h
80. e
81.
82. s
83. t
84. a
85. r
86. t
87. i
88. n
89. g
90.
91. p
92. o
93. i
94. n
95. t
96. .

Answer: (c) 40 h

Explanation:
1. Kepler's third law: \( T^2\propto r^3 \), so \( T\propto r^{3/2} \).
2. \( T'=5\times4^{3/2}=5\times8=40 \) h.

Teacher's Note:
1. I
2. f
3.
4. t
5. h
6. e
7.
8. r
9. a
10. d
11. i
12. u
13. s
14.
15. i
16. s
17.
18. m
19. u
20. l
21. t
22. i
23. p
24. l
25. i
26. e
27. d
28.
29. b
30. y
31.
32. n
33. ,
34.
35. t
36. h
37. e
38.
39. t
40. i
41. m
42. e
43.
44. p
45. e
46. r
47. i
48. o
49. d
50.
51. i
52. s
53.
54. m
55. u
56. l
57. t
58. i
59. p
60. l
61. i
62. e
63. d
64.
65. b
66. y
67.
68. \
69. (
70.
71. n
72. ^
73. {
74. 3
75. /
76. 2
77. }
78.
79. \
80. )
81. .

Answer: (d) \( 7.5R \)

Explanation:
1. At collision the centres are \( R+2R=3R \) apart, so the centres approach by \( 12R-3R=9R \).
2. The centre of mass stays fixed, so distances covered are inversely proportional to masses: the smaller body covers \( \frac{5}{6}\times9R=7.5R \).

Teacher's Note:
1. W
2. i
3. t
4. h
5.
6. n
7. o
8.
9. e
10. x
11. t
12. e
13. r
14. n
15. a
16. l
17.
18. f
19. o
20. r
21. c
22. e
23.
24. t
25. h
26. e
27.
28. c
29. e
30. n
31. t
32. r
33. e
34.
35. o
36. f
37.
38. m
39. a
40. s
41. s
42.
43. d
44. o
45. e
46. s
47.
48. n
49. o
50. t
51.
52. m
53. o
54. v
55. e
56. ,
57.
58. s
59. o
60.
61. t
62. h
63. e
64.
65. l
66. i
67. g
68. h
69. t
70. e
71. r
72.
73. b
74. o
75. d
76. y
77.
78. m
79. o
80. v
81. e
82. s
83.
84. f
85. u
86. r
87. t
88. h
89. e
90. r
91. .

Answer: (a) \( \left(\frac{gR^2}{R+x}\right)^{1/2} \)

Explanation:
1. \( \frac{mv^2}{R+x}=\frac{GMm}{(R+x)^2} \), so \( v^2=\frac{GM}{R+x} \).
2. Using \( GM=gR^2 \): \( v=\sqrt{\frac{gR^2}{R+x}} \).

Teacher's Note:
1. R
2. e
3. p
4. l
5. a
6. c
7. e
8.
9. G
10. M
11.
12. b
13. y
14.
15. \
16. (
17.
18. g
19. R
20. ^
21. 2
22.
23. \
24. )
25.
26. w
27. h
28. e
29. n
30. e
31. v
32. e
33. r
34.
35. t
36. h
37. e
38.
39. a
40. n
41. s
42. w
43. e
44. r
45.
46. i
47. s
48.
49. t
50. o
51.
52. b
53. e
54.
55. g
56. i
57. v
58. e
59. n
60.
61. i
62. n
63.
64. t
65. e
66. r
67. m
68. s
69.
70. o
71. f
72.
73. g
74.
75. a
76. n
77. d
78.
79. R
80. .

Answer: (b) \( \frac12mgR \)

Explanation:
1. \( \Delta U=-\frac{GMm}{2R}+\frac{GMm}{R}=\frac{GMm}{2R} \).
2. With \( GM=gR^2 \): \( \Delta U=\frac12mgR \).

Teacher's Note:
1. T
2. h
3. e
4.
5. f
6. o
7. r
8. m
9. u
10. l
11. a
12.
13. m
14. g
15. h
16.
17. h
18. o
19. l
20. d
21. s
22.
23. o
24. n
25. l
26. y
27.
28. f
29. o
30. r
31.
32. s
33. m
34. a
35. l
36. l
37.
38. h
39. e
40. i
41. g
42. h
43. t
44. s
45. .
46.
47. F
48. o
49. r
50.
51. h
52. e
53. i
54. g
55. h
56. t
57. s
58.
59. c
60. o
61. m
62. p
63. a
64. r
65. a
66. b
67. l
68. e
69.
70. w
71. i
72. t
73. h
74.
75. R
76.
77. u
78. s
79. e
80.
81. t
82. h
83. e
84.
85. p
86. o
87. t
88. e
89. n
90. t
91. i
92. a
93. l
94.
95. e
96. n
97. e
98. r
99. g
100. y
101.
102. o
103. f
104.
105. t
106. h
107. e
108.
109. i
110. n
111. v
112. e
113. r
114. s
115. e
116.
117. s
118. q
119. u
120. a
121. r
122. e
123.
124. l
125. a
126. w
127. .

Answer: (c) \( R^{(n+1)/2} \)

Explanation:
1. \( \frac{mv^2}{R}=\frac{k}{R^n} \), so \( v\propto R^{(1-n)/2} \).
2. \( T=\frac{2\pi R}{v}\propto R^{1-\frac{1-n}{2}}=R^{(n+1)/2} \). (For n = 2 this gives \( R^{3/2} \), as expected.)

Teacher's Note:
1. C
2. h
3. e
4. c
5. k
6.
7. t
8. h
9. e
10.
11. a
12. n
13. s
14. w
15. e
16. r
17.
18. b
19. y
20.
21. p
22. u
23. t
24. t
25. i
26. n
27. g
28.
29. n
30.
31. =
32.
33. 2
34. ,
35.
36. w
37. h
38. i
39. c
40. h
41.
42. m
43. u
44. s
45. t
46.
47. r
48. e
49. p
50. r
51. o
52. d
53. u
54. c
55. e
56.
57. K
58. e
59. p
60. l
61. e
62. r
63. '
64. s
65.
66. t
67. h
68. i
69. r
70. d
71.
72. l
73. a
74. w
75. .

Answer: (d) \( d=2h \)

Explanation:
1. For small h: \( g_h=g\left(1-\frac{2h}{R}\right) \). At depth d: \( g_d=g\left(1-\frac dR\right) \).
2. Equal change: \( \frac{2h}{R}=\frac dR \), so \( d=2h \).

Teacher's Note:
1. A
2. b
3. o
4. v
5. e
6.
7. t
8. h
9. e
10.
11. s
12. u
13. r
14. f
15. a
16. c
17. e
18.
19. g
20.
21. f
22. a
23. l
24. l
25. s
26.
27. t
28. w
29. i
30. c
31. e
32.
33. a
34. s
35.
36. f
37. a
38. s
39. t
40.
41. a
42. s
43.
44. i
45. t
46.
47. d
48. o
49. e
50. s
51.
52. b
53. e
54. l
55. o
56. w
57. ,
58.
59. f
60. o
61. r
62.
63. t
64. h
65. e
66.
67. s
68. a
69. m
70. e
71.
72. c
73. h
74. a
75. n
76. g
77. e
78.
79. i
80. n
81.
82. d
83. i
84. s
85. t
86. a
87. n
88. c
89. e
90. .

Answer: (a) \( 6.67\times10^{-10}\ \text{J} \)

Explanation:
1. Work \( =\frac{GMm}{R}=\frac{6.67\times10^{-11}\times100\times0.01}{0.1} \).
2. \( =6.67\times10^{-10} \) J.

Teacher's Note:
1. C
2. o
3. n
4. v
5. e
6. r
7. t
8.
9. g
10. r
11. a
12. m
13. s
14.
15. a
16. n
17. d
18.
19. c
20. e
21. n
22. t
23. i
24. m
25. e
26. t
27. r
28. e
29. s
30.
31. t
32. o
33.
34. S
35. I
36.
37. u
38. n
39. i
40. t
41. s
42.
43. b
44. e
45. f
46. o
47. r
48. e
49.
50. s
51. u
52. b
53. s
54. t
55. i
56. t
57. u
58. t
59. i
60. n
61. g
62. .

Answer: (b) 110 km/s

Explanation:
1. \( v_e=\sqrt{\frac{2GM}{R}} \), so \( \frac{v_p}{v_E}=\sqrt{\frac{10}{1/10}}=\sqrt{100}=10 \).
2. \( v_p=110 \) km/s.

Teacher's Note:
1. E
2. s
3. c
4. a
5. p
6. e
7.
8. s
9. p
10. e
11. e
12. d
13.
14. s
15. c
16. a
17. l
18. e
19. s
20.
21. a
22. s
23.
24. \
25. (
26.
27. \
28. s
29. q
30. r
31. t
32. {
33. M
34. /
35. R
36. }
37.
38. \
39. )
40. .

Answer: (c) \( 2R \)

Explanation:
1. \( g'=g\left(\frac{R}{R+h}\right)^2=\frac g9 \), so \( \frac{R}{R+h}=\frac13 \).
2. \( R+h=3R \), so \( h=2R \).

Teacher's Note:
1. R
2. e
3. m
4. e
5. m
6. b
7. e
8. r
9.
10. t
11. h
12. a
13. t
14.
15. d
16. i
17. s
18. t
19. a
20. n
21. c
22. e
23.
24. i
25. s
26.
27. m
28. e
29. a
30. s
31. u
32. r
33. e
34. d
35.
36. f
37. r
38. o
39. m
40.
41. t
42. h
43. e
44.
45. c
46. e
47. n
48. t
49. r
50. e
51.
52. o
53. f
54.
55. t
56. h
57. e
58.
59. e
60. a
61. r
62. t
63. h
64. ,
65.
66. n
67. o
68. t
69.
70. f
71. r
72. o
73. m
74.
75. t
76. h
77. e
78.
79. s
80. u
81. r
82. f
83. a
84. c
85. e
86. .

Answer: (d) \( -\frac{9Gm}{r} \)

Explanation:
1. Field is zero at distance x from m with \( \frac{Gm}{x^2}=\frac{4Gm}{(r-x)^2} \), giving \( r-x=2x \), so \( x=\frac r3 \).
2. \( V=-\frac{Gm}{r/3}-\frac{4Gm}{2r/3}=-\frac{3Gm}{r}-\frac{6Gm}{r}=-\frac{9Gm}{r} \).

Teacher's Note:
1. P
2. o
3. t
4. e
5. n
6. t
7. i
8. a
9. l
10.
11. i
12. s
13.
14. a
15.
16. s
17. c
18. a
19. l
20. a
21. r
22.
23. a
24. n
25. d
26.
27. a
28. d
29. d
30. s
31.
32. a
33. l
34. g
35. e
36. b
37. r
38. a
39. i
40. c
41. a
42. l
43. l
44. y
45. .
46.
47. I
48. t
49.
50. i
51. s
52.
53. n
54. o
55. t
56.
57. z
58. e
59. r
60. o
61.
62. w
63. h
64. e
65. r
66. e
67.
68. t
69. h
70. e
71.
72. f
73. i
74. e
75. l
76. d
77.
78. i
79. s
80.
81. z
82. e
83. r
84. o
85. .

Answer: (a) \( 6.4\times10^{10}\ \text{J} \)

Explanation:
1. Minimum energy \( =\frac{GMm}{R}=mgR \).
2. \( =1000\times10\times6.4\times10^6=6.4\times10^{10} \) J.

Teacher's Note:
1. U
2. s
3. e
4.
5. m
6. g
7. R
8.
9. f
10. o
11. r
12.
13. t
14. h
15. e
16.
17. m
18. i
19. n
20. i
21. m
22. u
23. m
24.
25. e
26. n
27. e
28. r
29. g
30. y
31.
32. t
33. o
34.
35. e
36. s
37. c
38. a
39. p
40. e
41.
42. f
43. r
44. o
45. m
46.
47. t
48. h
49. e
50.
51. s
52. u
53. r
54. f
55. a
56. c
57. e
58. .

Answer: (b) \( \frac{5GmM}{6R} \)

Explanation:
1. Orbit radius is \( R+2R=3R \), so the energy in orbit is \( -\frac{GMm}{6R} \).
2. Energy at the surface (at rest, ignoring rotation) \( =-\frac{GMm}{R} \).
3. Required energy \( =-\frac{GMm}{6R}+\frac{GMm}{R}=\frac{5GMm}{6R} \).

Teacher's Note:
1. R
2. e
3. m
4. e
5. m
6. b
7. e
8. r
9.
10. t
11. h
12. a
13. t
14.
15. t
16. h
17. e
18.
19. s
20. a
21. t
22. e
23. l
24. l
25. i
26. t
27. e
28.
29. a
30. l
31. s
32. o
33.
34. n
35. e
36. e
37. d
38. s
39.
40. k
41. i
42. n
43. e
44. t
45. i
46. c
47.
48. e
49. n
50. e
51. r
52. g
53. y
54.
55. i
56. n
57.
58. t
59. h
60. e
61.
62. o
63. r
64. b
65. i
66. t
67. ,
68.
69. n
70. o
71. t
72.
73. o
74. n
75. l
76. y
77.
78. t
79. h
80. e
81.
82. g
83. a
84. i
85. n
86.
87. i
88. n
89.
90. p
91. o
92. t
93. e
94. n
95. t
96. i
97. a
98. l
99.
100. e
101. n
102. e
103. r
104. g
105. y
106. .

Answer: (c) \( \frac12\sqrt{\frac{GM}{R}\left(1+2\sqrt2\right)} \)

Explanation:
1. Side of the square \( =\sqrt2R \). Two neighbours at distance \( \sqrt2R \) and one opposite at 2R.
2. Net force towards the centre: \( 2\cdot\frac{GM^2}{2R^2}\cos45^\circ+\frac{GM^2}{4R^2}=\frac{GM^2}{4R^2}\left(2\sqrt2+1\right) \).
3. \( \frac{Mv^2}{R}=\frac{GM^2}{4R^2}(1+2\sqrt2) \), so \( v=\frac12\sqrt{\frac{GM}{R}(1+2\sqrt2)} \).

Teacher's Note:
1. A
2. d
3. d
4.
5. t
6. h
7. e
8.
9. v
10. e
11. c
12. t
13. o
14. r
15.
16. c
17. o
18. m
19. p
20. o
21. n
22. e
23. n
24. t
25. s
26.
27. o
28. f
29.
30. t
31. h
32. e
33.
34. t
35. h
36. r
37. e
38. e
39.
40. g
41. r
42. a
43. v
44. i
45. t
46. a
47. t
48. i
49. o
50. n
51. a
52. l
53.
54. f
55. o
56. r
57. c
58. e
59. s
60.
61. a
62. l
63. o
64. n
65. g
66.
67. t
68. h
69. e
70.
71. l
72. i
73. n
74. e
75.
76. t
77. o
78.
79. t
80. h
81. e
82.
83. c
84. e
85. n
86. t
87. r
88. e
89. .

Answer: (d) \( -\frac{GM}{R} \)

Explanation:
1. The cavity centre is at R/2 from the centre. Potential of the full sphere inside: \( V=-\frac{GM(3R^2-r^2)}{2R^3} \), which at \( r=\frac R2 \) is \( -\frac{11GM}{8R} \).
2. The removed sphere has mass \( \frac M8 \) and radius \( \frac R2 \); its potential at its own centre is \( -\frac32\frac{G(M/8)}{R/2}=-\frac{3GM}{8R} \).
3. Remaining: \( -\frac{11GM}{8R}+\frac{3GM}{8R}=-\frac{GM}{R} \).

Teacher's Note:
1. U
2. s
3. e
4.
5. s
6. u
7. p
8. e
9. r
10. p
11. o
12. s
13. i
14. t
15. i
16. o
17. n
18. :
19.
20. c
21. o
22. m
23. p
24. l
25. e
26. t
27. e
28.
29. s
30. p
31. h
32. e
33. r
34. e
35.
36. m
37. i
38. n
39. u
40. s
41.
42. t
43. h
44. e
45.
46. r
47. e
48. m
49. o
50. v
51. e
52. d
53.
54. s
55. p
56. h
57. e
58. r
59. e
60. ,
61.
62. w
63. i
64. t
65. h
66.
67. t
68. h
69. e
70.
71. p
72. o
73. t
74. e
75. n
76. t
77. i
78. a
79. l
80.
81. i
82. n
83. s
84. i
85. d
86. e
87.
88. a
89.
90. u
91. n
92. i
93. f
94. o
95. r
96. m
97.
98. s
99. p
100. h
101. e
102. r
103. e
104.
105. i
106. n
107.
108. e
109. a
110. c
111. h
112.
113. c
114. a
115. s
116. e
117. .

Answer: (a) 2

Explanation:
1. The field of an infinite line mass at distance S is \( g=\frac{2GD}{S} \) (use Gauss's law with a cylinder).
2. Force \( =\frac{2GDM}{S} \), so n = 2.

Teacher's Note:
1. A
2.
3. l
4. i
5. n
6. e
7.
8. m
9. a
10. s
11. s
12.
13. g
14. i
15. v
16. e
17. s
18.
19. a
20.
21. f
22. i
23. e
24. l
25. d
26.
27. v
28. a
29. r
30. y
31. i
32. n
33. g
34.
35. a
36. s
37.
38. 1
39. /
40. r
41. ,
42.
43. i
44. n
45.
46. c
47. o
48. n
49. t
50. r
51. a
52. s
53. t
54.
55. t
56. o
57.
58. a
59.
60. p
61. o
62. i
63. n
64. t
65.
66. m
67. a
68. s
69. s
70. .

Answer: (b) 8

Explanation:
1. The axial field of a ring at distance x is \( \frac{Gmx}{(R^2+x^2)^{3/2}} \), with \( x=2\sqrt2R \), \( x^2=8R^2 \).
2. Force on M \( =\frac{GMm\,x}{(9R^2)^{3/2}}=\frac{G\,(54\sqrt2m)\,m\,(2\sqrt2R)}{27R^3}=\frac{216}{27}\frac{Gm^2}{R^2}=8\frac{Gm^2}{R^2} \).

Teacher's Note:
1. T
2. h
3. e
4.
5. s
6. p
7. h
8. e
9. r
10. e
11.
12. a
13. c
14. t
15. s
16.
17. a
18. s
19.
20. a
21.
22. p
23. o
24. i
25. n
26. t
27.
28. m
29. a
30. s
31. s
32.
33. a
34. t
35.
36. i
37. t
38. s
39.
40. c
41. e
42. n
43. t
44. r
45. e
46.
47. f
48. o
49. r
50.
51. t
52. h
53. e
54.
55. r
56. i
57. n
58. g
59. ,
60.
61. a
62. n
63. d
64.
65. t
66. h
67. e
68.
69. r
70. i
71. n
72. g
73.
74. f
75. i
76. e
77. l
78. d
79.
80. o
81. n
82.
83. i
84. t
85. s
86.
87. a
88. x
89. i
90. s
91.
92. i
93. s
94.
95. t
96. h
97. e
98.
99. s
100. t
101. a
102. n
103. d
104. a
105. r
106. d
107.
108. f
109. o
110. r
111. m
112. u
113. l
114. a
115. .

Answer: (c) 7

Explanation:
1. At \( r=1.5R \), shell A (inside) acts as a point mass at the centre; shell B (outside) gives a constant potential \( -\frac{GM}{2R} \).
2. \( V=-\frac{4GM}{1.5R}-\frac{GM}{2R}=-\left(\frac83+\frac12\right)\frac{GM}{R}=-\frac{19}{6}\frac{GM}{R} \).
3. P = 19, q = 6, so |P - 2q| = |19 - 12| = 7.

Teacher's Note:
1. I
2. n
3. s
4. i
5. d
6. e
7.
8. a
9.
10. s
11. h
12. e
13. l
14. l
15.
16. t
17. h
18. e
19.
20. p
21. o
22. t
23. e
24. n
25. t
26. i
27. a
28. l
29.
30. i
31. s
32.
33. c
34. o
35. n
36. s
37. t
38. a
39. n
40. t
41.
42. a
43. n
44. d
45.
46. e
47. q
48. u
49. a
50. l
51. s
52.
53. t
54. h
55. e
56.
57. s
58. u
59. r
60. f
61. a
62. c
63. e
64.
65. v
66. a
67. l
68. u
69. e
70. ;
71.
72. o
73. u
74. t
75. s
76. i
77. d
78. e
79.
80. i
81. t
82.
83. b
84. e
85. h
86. a
87. v
88. e
89. s
90.
91. l
92. i
93. k
94. e
95.
96. a
97.
98. p
99. o
100. i
101. n
102. t
103.
104. m
105. a
106. s
107. s
108. .

Answer: (d) 2

Explanation:
1. At the highest point the velocity is perpendicular to r. Angular momentum: \( R_ev_0\sin60^\circ=r\,v \). Energy: \( \frac12v_0^2-\frac{GM}{R_e}=\frac12v^2-\frac{GM}{r} \), with \( GM=R_ev_0^2 \).
2. This gives \( 3R_e^2-8R_er+4r^2=0 \), so \( r=\frac32R_e \) (the other root \( \frac12R_e \) is below the surface).
3. Height \( =r-R_e=\frac{R_e}{2} \), so x = 2.

Teacher's Note:
1. U
2. s
3. e
4.
5. b
6. o
7. t
8. h
9.
10. c
11. o
12. n
13. s
14. e
15. r
16. v
17. a
18. t
19. i
20. o
21. n
22.
23. l
24. a
25. w
26. s
27. :
28.
29. a
30. n
31. g
32. u
33. l
34. a
35. r
36.
37. m
38. o
39. m
40. e
41. n
42. t
43. u
44. m
45.
46. a
47. n
48. d
49.
50. e
51. n
52. e
53. r
54. g
55. y
56.
57. a
58. t
59.
60. t
61. h
62. e
63.
64. a
65. p
66. o
67. g
68. e
69. e
70. ,
71.
72. w
73. h
74. e
75. r
76. e
77.
78. t
79. h
80. e
81.
82. r
83. a
84. d
85. i
86. a
87. l
88.
89. v
90. e
91. l
92. o
93. c
94. i
95. t
96. y
97.
98. i
99. s
100.
101. z
102. e
103. r
104. o
105. .

Answer: (a) 6

Explanation:
1. Distances from the centre of mass are inversely proportional to masses: \( r_B=\frac{m_Ad}{m_A+m_B} \), \( r_A=\frac{m_Bd}{m_A+m_B} \). Both stars have the same angular velocity.
2. \( \frac{L_A}{L_B}=\frac{m_Ar_A^2}{m_Br_B^2}=\frac{m_Am_B^2}{m_Bm_A^2}=\frac{m_B}{m_A}=5 \).
3. \( \frac{L_{tot}}{L_B}=1+5=6 \).

Teacher's Note:
1. B
2. o
3. t
4. h
5.
6. s
7. t
8. a
9. r
10. s
11.
12. s
13. h
14. a
15. r
16. e
17.
18. t
19. h
20. e
21.
22. s
23. a
24. m
25. e
26.
27. a
28. n
29. g
30. u
31. l
32. a
33. r
34.
35. v
36. e
37. l
38. o
39. c
40. i
41. t
42. y
43. ,
44.
45. s
46. o
47.
48. e
49. a
50. c
51. h
52.
53. a
54. n
55. g
56. u
57. l
58. a
59. r
60.
61. m
62. o
63. m
64. e
65. n
66. t
67. u
68. m
69.
70. i
71. s
72.
73. p
74. r
75. o
76. p
77. o
78. r
79. t
80. i
81. o
82. n
83. a
84. l
85.
86. t
87. o
88.
89. \
90. (
91.
92. m
93. r
94. ^
95. 2
96.
97. \
98. )
99. .

Answer: (b) 4 units

Explanation:
1. Semi-major axis \( a=\frac{3+5}{2}=4 \).
2. The sum of the distances of any point of the ellipse from the two foci is 2a. At the end of the minor axis the two distances are equal, so each is a = 4 units.

Teacher's Note:
1. T
2. h
3. e
4.
5. e
6. n
7. d
8.
9. o
10. f
11.
12. t
13. h
14. e
15.
16. m
17. i
18. n
19. o
20. r
21.
22. a
23. x
24. i
25. s
26.
27. i
28. s
29.
30. e
31. q
32. u
33. i
34. d
35. i
36. s
37. t
38. a
39. n
40. t
41.
42. f
43. r
44. o
45. m
46.
47. b
48. o
49. t
50. h
51.
52. f
53. o
54. c
55. i
56. ,
57.
58. a
59. n
60. d
61.
62. i
63. t
64. s
65.
66. d
67. i
68. s
69. t
70. a
71. n
72. c
73. e
74.
75. i
76. s
77.
78. t
79. h
80. e
81.
82. s
83. e
84. m
85. i
86. -
87. m
88. a
89. j
90. o
91. r
92.
93. a
94. x
95. i
96. s
97. .

Answer: (c) 2

Explanation:
1. \( F_1=\frac{GMm}{4R^2} \). The removed mass is \( \frac M8 \), at distance \( 2R-\frac R2=\frac{3R}{2} \): \( F_{cav}=\frac{G(M/8)m}{9R^2/4}=\frac{GMm}{18R^2} \).
2. \( F_2=\frac{GMm}{R^2}\left(\frac14-\frac1{18}\right)=\frac{7}{36}\frac{GMm}{R^2} \), so \( \frac{F_2}{F_1}=\frac79 \).
3. p = 7, q = 9, |p - q| = 2.

Teacher's Note:
1. T
2. r
3. e
4. a
5. t
6.
7. t
8. h
9. e
10.
11. c
12. a
13. v
14. i
15. t
16. y
17.
18. a
19. s
20.
21. a
22.
23. n
24. e
25. g
26. a
27. t
28. i
29. v
30. e
31.
32. m
33. a
34. s
35. s
36.
37. a
38. n
39. d
40.
41. a
42. d
43. d
44.
45. i
46. t
47. s
48.
49. f
50. o
51. r
52. c
53. e
54.
55. b
56. y
57.
58. s
59. u
60. p
61. e
62. r
63. p
64. o
65. s
66. i
67. t
68. i
69. o
70. n
71. .

Answer: (d) 2

Explanation:
1. Acceleration is g/4 at distance 2R from the centre.
2. Energy: \( \frac12v^2-\frac{GM}{R}=-\frac{GM}{2R} \), so \( v^2=\frac{GM}{R} \).
3. \( v_{esc}^2=\frac{2GM}{R}=2v^2 \), so N = 2.

Teacher's Note:
1. T
2. h
3. e
4.
5. i
6. n
7. v
8. e
9. r
10. s
11. e
12.
13. s
14. q
15. u
16. a
17. r
18. e
19.
20. l
21. a
22. w
23.
24. l
25. o
26. c
27. a
28. t
29. e
30. s
31.
32. t
33. h
34. e
35.
36. t
37. u
38. r
39. n
40. i
41. n
42. g
43.
44. p
45. o
46. i
47. n
48. t
49. ,
50.
51. a
52. n
53. d
54.
55. c
56. o
57. n
58. s
59. e
60. r
61. v
62. a
63. t
64. i
65. o
66. n
67.
68. o
69. f
70.
71. e
72. n
73. e
74. r
75. g
76. y
77.
78. t
79. h
80. e
81. n
82.
83. g
84. i
85. v
86. e
87. s
88.
89. v
90.
91. i
92. n
93.
94. t
95. e
96. r
97. m
98. s
99.
100. o
101. f
102.
103. G
104. M
105. /
106. R
107. .

Answer: (a) 7

Explanation:
1. Zero tension means the two masses accelerate equally. Near mass (at 3l, taking direction towards M as positive): \( a_1=\frac{GM}{9l^2}-\frac{Gm}{l^2} \). Far mass (at 4l): \( a_2=\frac{GM}{16l^2}+\frac{Gm}{l^2} \).
2. \( a_1=a_2 \): \( GM\left(\frac19-\frac1{16}\right)=\frac{2Gm}{1}\cdot1 \), i.e. \( \frac{7M}{144}=2m \).
3. \( m=\frac{7M}{288} \), so k = 7.

Teacher's Note:
1. F
2. o
3. r
4.
5. t
6. w
7. o
8.
9. m
10. a
11. s
12. s
13. e
14. s
15.
16. j
17. o
18. i
19. n
20. e
21. d
22.
23. b
24. y
25.
26. a
27.
28. r
29. o
30. d
31. ,
32.
33. t
34. h
35. e
36.
37. t
38. e
39. n
40. s
41. i
42. o
43. n
44.
45. v
46. a
47. n
48. i
49. s
50. h
51. e
52. s
53.
54. o
55. n
56. l
57. y
58.
59. i
60. f
61.
62. t
63. h
64. e
65. i
66. r
67.
68. f
69. r
70. e
71. e
72. -
73. f
74. a
75. l
76. l
77.
78. a
79. c
80. c
81. e
82. l
83. e
84. r
85. a
86. t
87. i
88. o
89. n
90. s
91.
92. a
93. r
94. e
95.
96. e
97. q
98. u
99. a
100. l
101. .