JEE Mathematics Statistics MCQs Set 02

Answer: (a) 10.1

Explanation:
1. The mean of the numbers is \(1+50d\), so the deviations are \(\pm d,\pm 2d,\ldots,\pm 50d\).
2. Sum of absolute deviations \(=2d(1+2+\cdots+50)=2550d\).
3. Mean deviation \(=\dfrac{2550d}{101}=255\Rightarrow d=\dfrac{101}{10}=10.1\).

Teacher's Note:
1. M
2. e
3. a
4. n
5.
6. d
7. e
8. v
9. i
10. a
11. t
12. i
13. o
14. n
15.
16. o
17. f
18.
19. a
20. n
21.
22. A
23. P
24.
25. a
26. b
27. o
28. u
29. t
30.
31. i
32. t
33. s
34.
35. m
36. e
37. a
38. n
39.
40. i
41. s
42.
43. t
44. h
45. e
46.
47. a
48. v
49. e
50. r
51. a
52. g
53. e
54.
55. o
56. f
57.
58. t
59. h
60. e
61.
62. d
63. i
64. s
65. t
66. a
67. n
68. c
69. e
70. s
71.
72. o
73. f
74.
75. t
76. e
77. r
78. m
79. s
80.
81. f
82. r
83. o
84. m
85.
86. t
87. h
88. e
89.
90. m
91. i
92. d
93. d
94. l
95. e
96.
97. t
98. e
99. r
100. m
101. .

Answer: (b) 2.8

Explanation:
1. The sum of all five is \(25\), so the other two observations add up to \(25-9=16\).
2. \(\sum x^2=5(12.4+25)=187\), so the other two have squares adding to \(187-41=146\).
3. \(xy=\dfrac{16^2-146}{2}=55\), so the two observations are \(5\) and \(11\).
4. Data: \(1,2,5,6,11\); mean deviation \(=\dfrac{4+3+0+1+6}{5}=2.8\).

Teacher's Note:
1. U
2. s
3. e
4.
5. s
6. u
7. m
8.
9. a
10. n
11. d
12.
13. s
14. u
15. m
16.
17. o
18. f
19.
20. s
21. q
22. u
23. a
24. r
25. e
26. s
27.
28. t
29. o
30.
31. r
32. e
33. c
34. o
35. v
36. e
37. r
38.
39. t
40. h
41. e
42.
43. m
44. i
45. s
46. s
47. i
48. n
49. g
50.
51. v
52. a
53. l
54. u
55. e
56. s
57. ,
58.
59. t
60. h
61. e
62. n
63.
64. c
65. o
66. m
67. p
68. u
69. t
70. e
71.
72. t
73. h
74. e
75.
76. d
77. e
78. v
79. i
80. a
81. t
82. i
83. o
84. n
85. s
86.
87. d
88. i
89. r
90. e
91. c
92. t
93. l
94. y
95. .

Answer: (c) 74

Explanation:
1. Total wages \(=100\times 60=6000\); day shift gets \(70\times 54=3780\).
2. Night shift total \(=6000-3780=2220\) for 30 workers.
3. Mean \(=\dfrac{2220}{30}=74\).

Teacher's Note:
1. C
2. o
3. m
4. b
5. i
6. n
7. e
8. d
9.
10. m
11. e
12. a
13. n
14.
15. i
16. s
17.
18. t
19. h
20. e
21.
22. w
23. e
24. i
25. g
26. h
27. t
28. e
29. d
30.
31. m
32. e
33. a
34. n
35.
36. o
37. f
38.
39. t
40. h
41. e
42.
43. g
44. r
45. o
46. u
47. p
48.
49. m
50. e
51. a
52. n
53. s
54. .

Answer: (a) increases by 1

Explanation:
1. Exactly \(n\) observations lie below the median and \(n\) lie at or above it.
2. Total change \(=5n-3n=2n\).
3. Change in mean \(=\dfrac{2n}{2n}=1\), an increase of 1.

Teacher's Note:
1. C
2. o
3. u
4. n
5. t
6.
7. h
8. o
9. w
10.
11. m
12. a
13. n
14. y
15.
16. o
17. b
18. s
19. e
20. r
21. v
22. a
23. t
24. i
25. o
26. n
27. s
28.
29. g
30. e
31. t
32.
33. e
34. a
35. c
36. h
37.
38. c
39. h
40. a
41. n
42. g
43. e
44.
45. a
46. n
47. d
48.
49. d
50. i
51. v
52. i
53. d
54. e
55.
56. t
57. h
58. e
59.
60. n
61. e
62. t
63.
64. c
65. h
66. a
67. n
68. g
69. e
70.
71. b
72. y
73.
74. t
75. h
76. e
77.
78. n
79. u
80. m
81. b
82. e
83. r
84.
85. o
86. f
87.
88. o
89. b
90. s
91. e
92. r
93. v
94. a
95. t
96. i
97. o
98. n
99. s
100. .

Answer: (d) \(\bar X+5,\ \text{M.D.}\)

Explanation:
1. Adding a constant to every observation adds the same constant to the mean: new mean \(=\bar X+5\).
2. Each deviation \(x_i+5-(\bar X+5)=x_i-\bar X\) is unchanged, so the mean deviation stays M.D.

Teacher's Note:
1. M
2. e
3. a
4. s
5. u
6. r
7. e
8. s
9.
10. o
11. f
12.
13. d
14. i
15. s
16. p
17. e
18. r
19. s
20. i
21. o
22. n
23.
24. d
25. o
26.
27. n
28. o
29. t
30.
31. c
32. h
33. a
34. n
35. g
36. e
37.
38. w
39. h
40. e
41. n
42.
43. e
44. v
45. e
46. r
47. y
48.
49. v
50. a
51. l
52. u
53. e
54.
55. i
56. s
57.
58. s
59. h
60. i
61. f
62. t
63. e
64. d
65.
66. b
67. y
68.
69. t
70. h
71. e
72.
73. s
74. a
75. m
76. e
77.
78. a
79. m
80. o
81. u
82. n
83. t
84. .

Answer: (b) Statements I and II are both true

Explanation:
1. Mean and mode are transformed by the same linear map \(x\mapsto -x-a\), so they become \(-\bar x-a\) and \(-M-a\): Statement II is true.
2. Variance is multiplied by \((-1)^2=1\) and is unaffected by the shift, so it remains \(\sigma^2\): Statement I is true.

Teacher's Note:
1. F
2. o
3. r
4.
5. \
6. (
7. y
8. =
9. p
10. x
11. +
12. q
13. \
14. )
15. :
16.
17. m
18. e
19. a
20. n
21.
22. a
23. n
24. d
25.
26. m
27. o
28. d
29. e
30.
31. t
32. r
33. a
34. n
35. s
36. f
37. o
38. r
39. m
40.
41. a
42. s
43.
44. \
45. (
46. p
47. \
48. c
49. d
50. o
51. t
52. \
53. t
54. e
55. x
56. t
57. {
58. v
59. a
60. l
61. u
62. e
63. }
64. +
65. q
66. \
67. )
68. ,
69.
70. a
71. n
72. d
73.
74. v
75. a
76. r
77. i
78. a
79. n
80. c
81. e
82.
83. a
84. s
85.
86. \
87. (
88. p
89. ^
90. 2
91. \
92. s
93. i
94. g
95. m
96. a
97. ^
98. 2
99. \
100. )
101. .

Answer: (a) 41

Explanation:
1. Wrong total \(=20\times40=800\).
2. Correct total \(=800-33+53=820\).
3. Correct mean \(=\dfrac{820}{20}=41\).

Teacher's Note:
1. C
2. o
3. r
4. r
5. e
6. c
7. t
8.
9. t
10. h
11. e
12.
13. t
14. o
15. t
16. a
17. l
18.
19. f
20. i
21. r
22. s
23. t
24. ,
25.
26. t
27. h
28. e
29. n
30.
31. d
32. i
33. v
34. i
35. d
36. e
37.
38. b
39. y
40.
41. t
42. h
43. e
44.
45. n
46. u
47. m
48. b
49. e
50. r
51.
52. o
53. f
54.
55. o
56. b
57. s
58. e
59. r
60. v
61. a
62. t
63. i
64. o
65. n
66. s
67. .

Answer: (a) 4

Explanation:
1. Total \(=35\), and the four known values add to \(31\), so the missing value is \(4\).
2. Deviations from the mean \(7\): \(-1,0,1,3,-3\); squares sum to \(1+0+1+9+9=20\).
3. Variance \(=\dfrac{20}{5}=4\).

Teacher's Note:
1. F
2. i
3. n
4. d
5.
6. t
7. h
8. e
9.
10. m
11. i
12. s
13. s
14. i
15. n
16. g
17.
18. v
19. a
20. l
21. u
22. e
23.
24. f
25. r
26. o
27. m
28.
29. t
30. h
31. e
32.
33. m
34. e
35. a
36. n
37. ,
38.
39. t
40. h
41. e
42. n
43.
44. u
45. s
46. e
47.
48. v
49. a
50. r
51. i
52. a
53. n
54. c
55. e
56.
57. =
58.
59. m
60. e
61. a
62. n
63.
64. o
65. f
66.
67. s
68. q
69. u
70. a
71. r
72. e
73. d
74.
75. d
76. e
77. v
78. i
79. a
80. t
81. i
82. o
83. n
84. s
85. .

Answer: (d) 14

Explanation:
1. Since \(0 \lt y \lt x \lt 2y\): \(x-y \lt y \lt x \lt 2x+y\), so the sorted order is \(x-y,\ y,\ x,\ 2x+y\).
2. Median \(=\dfrac{x+y}{2}=10\Rightarrow x+y=20\). Range \(=(2x+y)-(x-y)=x+2y=28\).
3. Hence \(y=8,\ x=12\) and the numbers are \(4,8,12,32\).
4. Mean \(=\dfrac{4+8+12+32}{4}=14\).

Teacher's Note:
1. F
2. i
3. x
4.
5. t
6. h
7. e
8.
9. o
10. r
11. d
12. e
13. r
14.
15. o
16. f
17.
18. t
19. h
20. e
21.
22. n
23. u
24. m
25. b
26. e
27. r
28. s
29.
30. f
31. i
32. r
33. s
34. t
35. ;
36.
37. m
38. e
39. d
40. i
41. a
42. n
43.
44. a
45. n
46. d
47.
48. r
49. a
50. n
51. g
52. e
53.
54. t
55. h
56. e
57. n
58.
59. g
60. i
61. v
62. e
63.
64. t
65. w
66. o
67.
68. s
69. i
70. m
71. p
72. l
73. e
74.
75. e
76. q
77. u
78. a
79. t
80. i
81. o
82. n
83. s
84. .

Answer: (b) 14.0

Explanation:
1. Original total \(=16\times16=256\).
2. After deleting 16 and adding \(3+4+5=12\): total \(=256-16+12=252\) with \(16-1+3=18\) observations.
3. New mean \(=\dfrac{252}{18}=14\).

Teacher's Note:
1. T
2. r
3. a
4. c
5. k
6.
7. b
8. o
9. t
10. h
11.
12. t
13. h
14. e
15.
16. t
17. o
18. t
19. a
20. l
21.
22. a
23. n
24. d
25.
26. t
27. h
28. e
29.
30. c
31. o
32. u
33. n
34. t
35.
36. w
37. h
38. e
39. n
40.
41. o
42. b
43. s
44. e
45. r
46. v
47. a
48. t
49. i
50. o
51. n
52. s
53.
54. a
55. r
56. e
57.
58. r
59. e
60. m
61. o
62. v
63. e
64. d
65.
66. o
67. r
68.
69. a
70. d
71. d
72. e
73. d
74. .

Answer: (a) 833

Explanation:
1. The numbers are \(2k\), \(k=1,\ldots,50\), so variance \(=4\times\) variance of \(1,2,\ldots,50\).
2. Variance of the first \(n\) natural numbers \(=\dfrac{n^2-1}{12}=\dfrac{2499}{12}\).
3. Required variance \(=4\cdot\dfrac{2499}{12}=833\).

Teacher's Note:
1. S
2. c
3. a
4. l
5. i
6. n
7. g
8.
9. d
10. a
11. t
12. a
13.
14. b
15. y
16.
17. 2
18.
19. m
20. u
21. l
22. t
23. i
24. p
25. l
26. i
27. e
28. s
29.
30. t
31. h
32. e
33.
34. v
35. a
36. r
37. i
38. a
39. n
40. c
41. e
42.
43. b
44. y
45.
46. 4
47. ;
48.
49. u
50. s
51. e
52.
53. t
54. h
55. e
56.
57. f
58. o
59. r
60. m
61. u
62. l
63. a
64.
65. (
66. n
67. ^
68. 2
69. -
70. 1
71. )
72. /
73. 1
74. 2
75.
76. f
77. o
78. r
79.
80. 1
81. .
82. .
83. n
84. .

Answer: (a) 60

Explanation:
1. The sum of percentages in the three subjects is \(240\).
2. The fourth subject's percentage is at least \(0\), so the average of four is at least \(\dfrac{240}{4}=60\).
3. Hence \(K=60\).

Teacher's Note:
1. T
2. h
3. e
4.
5. l
6. e
7. a
8. s
9. t
10.
11. p
12. o
13. s
14. s
15. i
16. b
17. l
18. e
19.
20. a
21. v
22. e
23. r
24. a
25. g
26. e
27.
28. a
29. r
30. i
31. s
32. e
33. s
34.
35. w
36. h
37. e
38. n
39.
40. t
41. h
42. e
43.
44. n
45. e
46. w
47.
48. m
49. a
50. r
51. k
52.
53. i
54. s
55.
56. t
57. h
58. e
59.
60. s
61. m
62. a
63. l
64. l
65. e
66. s
67. t
68.
69. p
70. o
71. s
72. s
73. i
74. b
75. l
76. e
77. ,
78.
79. n
80. a
81. m
82. e
83. l
84. y
85.
86. z
87. e
88. r
89. o
90. .

Answer: (b) 50

Explanation:
1. Wrong total \(=4900\).
2. Correct items add to \(210\); the wrong readings add to \(110\), so the total increases by \(100\).
3. Correct mean \(=\dfrac{5000}{100}=50\).

Teacher's Note:
1. A
2. d
3. j
4. u
5. s
6. t
7.
8. t
9. h
10. e
11.
12. t
13. o
14. t
15. a
16. l
17.
18. b
19. y
20.
21. t
22. h
23. e
24.
25. d
26. i
27. f
28. f
29. e
30. r
31. e
32. n
33. c
34. e
35.
36. b
37. e
38. t
39. w
40. e
41. e
42. n
43.
44. t
45. r
46. u
47. e
48.
49. a
50. n
51. d
52.
53. w
54. r
55. o
56. n
57. g
58.
59. r
60. e
61. a
62. d
63. i
64. n
65. g
66. s
67. .

Answer: (b) 57

Explanation:
1. Total weight \(=7\times55=385\).
2. The six known weights add to \(328\).
3. Seventh weight \(=385-328=57\) kg.

Teacher's Note:
1. T
2. o
3. t
4. a
5. l
6.
7. =
8.
9. m
10. e
11. a
12. n
13.
14. t
15. i
16. m
17. e
18. s
19.
20. n
21. u
22. m
23. b
24. e
25. r
26.
27. o
28. f
29.
30. i
31. t
32. e
33. m
34. s
35. ;
36.
37. s
38. u
39. b
40. t
41. r
42. a
43. c
44. t
45.
46. t
47. h
48. e
49.
50. k
51. n
52. o
53. w
54. n
55.
56. p
57. a
58. r
59. t
60. .

Answer: (b) 16

Explanation:
1. By the Cauchy-Schwarz inequality, \((\sum x_i)^2\le n\sum x_i^2\).
2. \(6400\le 400n\Rightarrow n\ge16\).
3. Equality holds when all \(x_i=5\) (\(16\) observations of \(5\)), so the least \(n\) is \(16\).

Teacher's Note:
1. V
2. a
3. r
4. i
5. a
6. n
7. c
8. e
9.
10. c
11. a
12. n
13. n
14. o
15. t
16.
17. b
18. e
19.
20. n
21. e
22. g
23. a
24. t
25. i
26. v
27. e
28. ,
29.
30. w
31. h
32. i
33. c
34. h
35.
36. i
37. s
38.
39. e
40. x
41. a
42. c
43. t
44. l
45. y
46.
47. t
48. h
49. e
50.
51. C
52. a
53. u
54. c
55. h
56. y
57. -
58. S
59. c
60. h
61. w
62. a
63. r
64. z
65.
66. i
67. n
68. e
69. q
70. u
71. a
72. l
73. i
74. t
75. y
76. .

Answer: (c) 8

Explanation:
1. For a moderately asymmetrical distribution: Mode \(=3\,\text{Median}-2\,\text{Mean}\).
2. \(6\lambda=3K\lambda-18\lambda\Rightarrow 3K=24\Rightarrow K=8\).

Teacher's Note:
1. T
2. h
3. e
4.
5. e
6. m
7. p
8. i
9. r
10. i
11. c
12. a
13. l
14.
15. r
16. e
17. l
18. a
19. t
20. i
21. o
22. n
23.
24. M
25. o
26. d
27. e
28.
29. =
30.
31. 3
32.
33. M
34. e
35. d
36. i
37. a
38. n
39.
40. -
41.
42. 2
43.
44. M
45. e
46. a
47. n
48.
49. i
50. s
51.
52. t
53. h
54. e
55.
56. k
57. e
58. y
59. .