JEE Mathematics Properties and Solution of Triangles MCQs Set 01

Answer: (c) \( 4\Delta \)

Explanation:
1. \( a^2\sin2B+b^2\sin2A=2a^2\sin B\cos B+2b^2\sin A\cos A \).
2. Using \( a\sin B=b\sin A \): \( =2ab(\sin A\cos B+\cos A\sin B)=2ab\sin C \).
3. Since \( \Delta=\frac12ab\sin C \), the value is 4Δ.

Teacher's Note:
1. R
2. e
3. p
4. l
5. a
6. c
7. e
8.
9. o
10. n
11. e
12.
13. f
14. a
15. c
16. t
17. o
18. r
19.
20. u
21. s
22. i
23. n
24. g
25.
26. t
27. h
28. e
29.
30. s
31. i
32. n
33. e
34.
35. r
36. u
37. l
38. e
39. ,
40.
41. t
42. h
43. e
44. n
45.
46. c
47. o
48. m
49. b
50. i
51. n
52. e
53.
54. w
55. i
56. t
57. h
58.
59. t
60. h
61. e
62.
63. s
64. i
65. n
66. e
67.
68. a
69. d
70. d
71. i
72. t
73. i
74. o
75. n
76.
77. f
78. o
79. r
80. m
81. u
82. l
83. a
84. .

Answer: (c) \( \frac k2 \)

Explanation:
1. Use \( 2\cos^2\frac C2=1+\cos C \): the expression is \( \frac12[b+c+b\cos C+c\cos B] \).
2. Projection formula \( b\cos C+c\cos B=a \), so the expression is \( \frac{a+b+c}{2}=\frac k2 \).

Teacher's Note:
1. T
2. h
3. e
4.
5. p
6. r
7. o
8. j
9. e
10. c
11. t
12. i
13. o
14. n
15.
16. f
17. o
18. r
19. m
20. u
21. l
22. a
23.
24. a
25.
26. =
27.
28. b
29.
30. c
31. o
32. s
33.
34. C
35.
36. +
37.
38. c
39.
40. c
41. o
42. s
43.
44. B
45.
46. s
47. i
48. m
49. p
50. l
51. i
52. f
53. i
54. e
55. s
56.
57. t
58. h
59. e
60.
61. s
62. u
63. m
64. .
65.
66. T
67. h
68. e
69.
70. r
71. e
72. s
73. u
74. l
75. t
76.
77. i
78. s
79.
80. t
81. h
82. e
83.
84. s
85. e
86. m
87. i
88. -
89. p
90. e
91. r
92. i
93. m
94. e
95. t
96. e
97. r
98. .

Answer: (b) sin(B − C)

Explanation:
1. With \( b=2R\sin B,\ c=2R\sin C,\ a=2R\sin A \): \( \frac{4R^2(\sin^2B-\sin^2C)}{4R^2\sin A} \).
2. Since \( \sin^2B-\sin^2C=\sin(B+C)\sin(B-C) \) and \( \sin(B+C)=\sin A \), the value is \( \sin(B-C) \).

Teacher's Note:
1. U
2. s
3. e
4.
5. t
6. h
7. e
8.
9. s
10. i
11. n
12. e
13.
14. r
15. u
16. l
17. e
18.
19. a
20. n
21. d
22.
23. t
24. h
25. e
26.
27. i
28. d
29. e
30. n
31. t
32. i
33. t
34. y
35.
36. s
37. i
38. n
39. ²
40. B
41.
42. −
43.
44. s
45. i
46. n
47. ²
48. C
49.
50. =
51.
52. s
53. i
54. n
55. (
56. B
57.
58. +
59.
60. C
61. )
62.
63. s
64. i
65. n
66. (
67. B
68.
69. −
70.
71. C
72. )
73. .

Answer: (a) \( \frac{a+b}{a-b} \)

Explanation:
1. Napier's analogy: \( \tan\frac{A-B}{2}=\frac{a-b}{a+b}\cot\frac C2=\frac{a-b}{a+b}\tan\frac{A+B}{2} \).
2. So \( \cot\frac{A-B}{2}\tan\frac{A+B}{2}=\frac{a+b}{a-b} \).

Teacher's Note:
1. U
2. s
3. e
4.
5. N
6. a
7. p
8. i
9. e
10. r
11. '
12. s
13.
14. a
15. n
16. a
17. l
18. o
19. g
20. y
21.
22. a
23. n
24. d
25.
26. n
27. o
28. t
29. e
30.
31. t
32. h
33. a
34. t
35.
36. c
37. o
38. t
39. (
40. C
41. /
42. 2
43. )
44.
45. =
46.
47. t
48. a
49. n
50. (
51. (
52. A
53.
54. +
55.
56. B
57. )
58. /
59. 2
60. )
61. .

Answer: (b) 45°

Explanation:
1. \( x^2+\sqrt2x+1=0 \) has discriminant \( 2-4<0 \), so its roots are non-real conjugates.
2. A common root with a real-coefficient equation means both roots are common, so the equations are proportional: \( a:b:c=1:\sqrt2:1 \).
3. Then \( \cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=\frac{2a^2}{2\sqrt2a^2}=\frac1{\sqrt2} \) and C = 45°.

Teacher's Note:
1. N
2. o
3. n
4. -
5. r
6. e
7. a
8. l
9.
10. r
11. o
12. o
13. t
14. s
15.
16. c
17. o
18. m
19. e
20.
21. i
22. n
23.
24. c
25. o
26. n
27. j
28. u
29. g
30. a
31. t
32. e
33.
34. p
35. a
36. i
37. r
38. s
39. ,
40.
41. f
42. o
43. r
44. c
45. i
46. n
47. g
48.
49. p
50. r
51. o
52. p
53. o
54. r
55. t
56. i
57. o
58. n
59. a
60. l
61.
62. e
63. q
64. u
65. a
66. t
67. i
68. o
69. n
70. s
71. .
72.
73. T
74. h
75. e
76. n
77.
78. u
79. s
80. e
81.
82. t
83. h
84. e
85.
86. c
87. o
88. s
89. i
90. n
91. e
92.
93. r
94. u
95. l
96. e
97. .

Answer: (c) \( A>\frac\pi2 \)

Explanation:
1. Since \( \cos^2A\le1 \), \( b^2+c^2=a^2\cos^2A\le a^2 \) and equality is impossible for a genuine triangle with cos A ≠ ±1.
2. So \( b^2+c^2<a^2 \), which means \( \cos A<0 \) and \( A>\frac\pi2 \).

Teacher's Note:
1. C
2. o
3. m
4. p
5. a
6. r
7. e
8.
9. b
10. ²
11.
12. +
13.
14. c
15. ²
16.
17. w
18. i
19. t
20. h
21.
22. a
23. ²
24.
25. t
26. o
27.
28. d
29. e
30. c
31. i
32. d
33. e
34.
35. t
36. h
37. e
38.
39. n
40. a
41. t
42. u
43. r
44. e
45.
46. o
47. f
48.
49. a
50. n
51. g
52. l
53. e
54.
55. A
56. .

Answer: (c) \( a^2+b^2=c^2 \)

Explanation:
1. The roots of \( 6x^2-5x+1=0 \) are 1/2 and 1/3.
2. Then \( \tan\frac C2=\cot\frac{A+B}{2}=\frac{1-\tan\frac A2\tan\frac B2}{\tan\frac A2+\tan\frac B2}=\frac{1-\frac16}{\frac56}=1 \).
3. So C/2 = 45°, C = 90° and \( a^2+b^2=c^2 \).

Teacher's Note:
1. F
2. i
3. n
4. d
5.
6. t
7. a
8. n
9. (
10. C
11. /
12. 2
13. )
14.
15. f
16. r
17. o
18. m
19.
20. t
21. h
22. e
23.
24. s
25. u
26. m
27.
28. a
29. n
30. d
31.
32. p
33. r
34. o
35. d
36. u
37. c
38. t
39.
40. o
41. f
42.
43. t
44. h
45. e
46.
47. r
48. o
49. o
50. t
51. s
52. .
53.
54. T
55. h
56. e
57.
58. t
59. r
60. i
61. a
62. n
63. g
64. l
65. e
66.
67. t
68. u
69. r
70. n
71. s
72.
73. o
74. u
75. t
76.
77. t
78. o
79.
80. b
81. e
82.
83. r
84. i
85. g
86. h
87. t
88. -
89. a
90. n
91. g
92. l
93. e
94. d
95.
96. a
97. t
98.
99. C
100. .

Answer: (b) \( 2\sqrt3+\sqrt6 \)

Explanation:
1. \( a+b=2\sqrt3 \) and \( ab=2 \).
2. Cosine rule: \( c^2=a^2+b^2-2ab\cos60^\circ=(a+b)^2-2ab-ab=12-6=6 \), so \( c=\sqrt6 \).
3. Perimeter \( =2\sqrt3+\sqrt6 \).

Teacher's Note:
1. U
2. s
3. e
4.
5. t
6. h
7. e
8.
9. s
10. u
11. m
12.
13. a
14. n
15. d
16.
17. p
18. r
19. o
20. d
21. u
22. c
23. t
24.
25. o
26. f
27.
28. r
29. o
30. o
31. t
32. s
33.
34. i
35. n
36.
37. t
38. h
39. e
40.
41. c
42. o
43. s
44. i
45. n
46. e
47.
48. r
49. u
50. l
51. e
52. .

Answer: (a) \( \sqrt2(\sqrt3+1) \) cm

Explanation:
1. Sine rule: \( \frac{2\sqrt2}{\sin45^\circ}=4 \), so \( \sin B=\frac{2\sqrt3}{4}=\frac{\sqrt3}{2} \) and B = 60° or 120°.
2. Third side \( c=4\sin C \) with C = 75° or 15°: \( \sqrt6+\sqrt2 \) or \( \sqrt6-\sqrt2 \).
3. Largest \( =\sqrt6+\sqrt2=\sqrt2(\sqrt3+1) \).

Teacher's Note:
1. T
2. h
3. i
4. s
5.
6. i
7. s
8.
9. t
10. h
11. e
12.
13. a
14. m
15. b
16. i
17. g
18. u
19. o
20. u
21. s
22.
23. c
24. a
25. s
26. e
27.
28. o
29. f
30.
31. t
32. h
33. e
34.
35. s
36. i
37. n
38. e
39.
40. r
41. u
42. l
43. e
44. .
45.
46. C
47. o
48. m
49. p
50. u
51. t
52. e
53.
54. b
55. o
56. t
57. h
58.
59. p
60. o
61. s
62. s
63. i
64. b
65. l
66. e
67.
68. t
69. h
70. i
71. r
72. d
73.
74. s
75. i
76. d
77. e
78. s
79.
80. a
81. n
82. d
83.
84. t
85. a
86. k
87. e
88.
89. t
90. h
91. e
92.
93. l
94. a
95. r
96. g
97. e
98. r
99. .

Answer: (b) 2A

Explanation:
1. \( \cos A=\frac{100+144-64}{240}=\frac34 \) and \( \cos C=\frac{64+100-144}{160}=\frac18 \).
2. Also \( \cos2A=2\cdot\frac9{16}-1=\frac18 \), so \( \cos C=\cos2A \) and C = 2A (both angles are less than 90° for A, and C is acute).

Teacher's Note:
1. C
2. o
3. m
4. p
5. u
6. t
7. e
8.
9. c
10. o
11. s
12.
13. C
14.
15. a
16. n
17. d
18.
19. c
20. o
21. s
22.
23. 2
24. A
25.
26. w
27. i
28. t
29. h
30.
31. t
32. h
33. e
34.
35. c
36. o
37. s
38. i
39. n
40. e
41.
42. r
43. u
44. l
45. e
46. ;
47.
48. t
49. h
50. e
51. y
52.
53. a
54. r
55. e
56.
57. e
58. q
59. u
60. a
61. l
62. .

Answer: (b) a > b > c

Explanation:
1. Use \( \sin A=\frac{2t}{1+t^2} \): \( \sin A=\frac{60}{61}\approx0.984 \) and \( \sin B=\frac{1480}{1769}\approx0.837 \).
2. Also \( \tan\frac C2=\frac{1-\frac56\cdot\frac{20}{37}}{\frac56+\frac{20}{37}}=\frac25 \), so \( \sin C=\frac{20}{29}\approx0.690 \).
3. Sides are proportional to the sines: a > b > c. (2a = b + c fails: 1.97 ≠ 1.53.)

Teacher's Note:
1. S
2. i
3. d
4. e
5. s
6.
7. a
8. r
9. e
10.
11. p
12. r
13. o
14. p
15. o
16. r
17. t
18. i
19. o
20. n
21. a
22. l
23.
24. t
25. o
26.
27. t
28. h
29. e
30.
31. s
32. i
33. n
34. e
35. s
36.
37. o
38. f
39.
40. t
41. h
42. e
43.
44. o
45. p
46. p
47. o
48. s
49. i
50. t
51. e
52.
53. a
54. n
55. g
56. l
57. e
58. s
59. .
60.
61. C
62. o
63. n
64. v
65. e
66. r
67. t
68.
69. h
70. a
71. l
72. f
73. -
74. a
75. n
76. g
77. l
78. e
79.
80. t
81. a
82. n
83. g
84. e
85. n
86. t
87. s
88.
89. t
90. o
91.
92. s
93. i
94. n
95. e
96. s
97. .

Answer: (b) \( \frac\pi3 \)

Explanation:
1. \( \tan\frac{A-B}{2}=\frac{a-b}{a+b}\cot\frac C2=\frac13\cot\frac C2 \).
2. With \( \frac{A-B}{2}=\frac\pi6 \): \( \frac{1}{\sqrt3}=\frac13\cot\frac C2 \), so \( \cot\frac C2=\sqrt3 \).
3. Hence C/2 = π/6 and C = π/3.

Teacher's Note:
1. A
2. p
3. p
4. l
5. y
6.
7. N
8. a
9. p
10. i
11. e
12. r
13. '
14. s
15.
16. a
17. n
18. a
19. l
20. o
21. g
22. y
23.
24. w
25. i
26. t
27. h
28.
29. a
30.
31. :
32.
33. b
34.
35. =
36.
37. 2
38.
39. :
40.
41. 1
42. .

Answer: (b) 9 cm

Explanation:
1. Area \( =\frac12bc\sin120^\circ=\frac{\sqrt3}{4}bc=\frac{9\sqrt3}{2} \), so bc = 18.
2. Cosine rule: \( a^2=b^2+c^2-2bc\cos120^\circ=(b-c)^2+3bc=27+54=81 \).
3. So a = 9 cm.

Teacher's Note:
1. U
2. s
3. e
4.
5. t
6. h
7. e
8.
9. a
10. r
11. e
12. a
13.
14. f
15. o
16. r
17. m
18. u
19. l
20. a
21.
22. t
23. o
24.
25. g
26. e
27. t
28.
29. b
30. c
31. ,
32.
33. t
34. h
35. e
36. n
37.
38. t
39. h
40. e
41.
42. c
43. o
44. s
45. i
46. n
47. e
48.
49. r
50. u
51. l
52. e
53.
54. w
55. r
56. i
57. t
58. t
59. e
60. n
61.
62. w
63. i
64. t
65. h
66.
67. (
68. b
69.
70. −
71.
72. c
73. )
74. ²
75. .

Answer: (c) \( \frac{8}{15} \)

Explanation:
1. \( a^2-(b-c)^2=2bc-2bc\cos A \) using the cosine rule.
2. So \( \frac12bc\sin A=2bc(1-\cos A) \), giving \( \sin A=4(1-\cos A) \).
3. Dividing, \( \tan\frac A2=\frac14 \), so \( \tan A=\frac{2\cdot\frac14}{1-\frac1{16}}=\frac{8}{15} \).

Teacher's Note:
1. R
2. e
3. w
4. r
5. i
6. t
7. e
8.
9. a
10. ²
11.
12. −
13.
14. (
15. b
16.
17. −
18.
19. c
20. )
21. ²
22.
23. w
24. i
25. t
26. h
27.
28. t
29. h
30. e
31.
32. c
33. o
34. s
35. i
36. n
37. e
38.
39. r
40. u
41. l
42. e
43.
44. a
45. n
46. d
47.
48. c
49. o
50. m
51. p
52. a
53. r
54. e
55.
56. w
57. i
58. t
59. h
60.
61. t
62. h
63. e
64.
65. a
66. r
67. e
68. a
69.
70. f
71. o
72. r
73. m
74. u
75. l
76. a
77. .

Answer: (c) \( \frac\pi{12} \)

Explanation:
1. AB = h sin C and BC = h cos C, so the area gives \( p\,h=AB\cdot BC=h^2\sin C\cos C \).
2. With p = h/4: \( \sin C\cos C=\frac14 \), so \( \sin2C=\frac12 \).
3. 2C = 30° or 150°. AB < BC means C < 45°, so C = 15° = π/12.

Teacher's Note:
1. C
2. o
3. m
4. p
5. u
6. t
7. e
8.
9. t
10. h
11. e
12.
13. a
14. r
15. e
16. a
17.
18. i
19. n
20.
21. t
22. w
23. o
24.
25. w
26. a
27. y
28. s
29. ,
30.
31. t
32. h
33. e
34. n
35.
36. u
37. s
38. e
39.
40. t
41. h
42. e
43.
44. c
45. o
46. n
47. d
48. i
49. t
50. i
51. o
52. n
53.
54. A
55. B
56.
57. <
58.
59. B
60. C
61.
62. t
63. o
64.
65. s
66. e
67. l
68. e
69. c
70. t
71.
72. t
73. h
74. e
75.
76. a
77. c
78. u
79. t
80. e
81.
82. a
83. n
84. g
85. l
86. e
87. .

Answer: (a) 6

Explanation:
1. \( \cos C=\frac{1-\tan^2\frac C2}{1+\tan^2\frac C2}=\frac{1-\frac79}{1+\frac79}=\frac18 \).
2. Cosine rule: \( c^2=25+16-2\cdot5\cdot4\cdot\frac18=36 \), so c = 6.

Teacher's Note:
1. C
2. o
3. n
4. v
5. e
6. r
7. t
8.
9. t
10. a
11. n
12. (
13. C
14. /
15. 2
16. )
17.
18. t
19. o
20.
21. c
22. o
23. s
24.
25. C
26.
27. a
28. n
29. d
30.
31. a
32. p
33. p
34. l
35. y
36.
37. t
38. h
39. e
40.
41. c
42. o
43. s
44. i
45. n
46. e
47.
48. r
49. u
50. l
51. e
52. .

Answer: (b) \( \frac{60}{13} \)

Explanation:
1. \( 5^2+12^2=13^2 \), so the angle at A is a right angle.
2. Area \( =\frac12\cdot5\cdot12=30 \). The distance from A to BC is \( \frac{2\times30}{13}=\frac{60}{13} \).

Teacher's Note:
1. R
2. e
3. c
4. o
5. g
6. n
7. i
8. s
9. e
10.
11. t
12. h
13. e
14.
15. 5
16. -
17. 1
18. 2
19. -
20. 1
21. 3
22.
23. r
24. i
25. g
26. h
27. t
28.
29. t
30. r
31. i
32. a
33. n
34. g
35. l
36. e
37.
38. a
39. n
40. d
41.
42. f
43. i
44. n
45. d
46.
47. t
48. h
49. e
50.
51. a
52. l
53. t
54. i
55. t
56. u
57. d
58. e
59.
60. f
61. r
62. o
63. m
64.
65. t
66. h
67. e
68.
69. a
70. r
71. e
72. a
73. .

Answer: (c) \( \frac{33}{65} \)

Explanation:
1. \( \sin A=\frac45,\ \sin B=\frac{12}{13} \).
2. Since \( C=\pi-(A+B) \): \( \cos C=-\cos(A+B)=\sin A\sin B-\cos A\cos B=\frac{48}{65}-\frac{15}{65}=\frac{33}{65} \).

Teacher's Note:
1. U
2. s
3. e
4.
5. C
6.
7. =
8.
9. 1
10. 8
11. 0
12. °
13.
14. −
15.
16. (
17. A
18.
19. +
20.
21. B
22. )
23.
24. a
25. n
26. d
27.
28. t
29. h
30. e
31.
32. c
33. o
34. s
35. i
36. n
37. e
38.
39. o
40. f
41.
42. a
43.
44. s
45. u
46. m
47. .

Answer: (a) \( \frac a2 \)

Explanation:
1. Then \( A=\frac\pi4 \). Altitude \( h=\frac{a\sin B\sin C}{\sin A} \).
2. Since \( \sin\frac{5\pi}{8}=\cos\frac\pi8 \): \( \sin\frac\pi8\cos\frac\pi8=\frac12\sin\frac\pi4 \).
3. So \( h=a\cdot\frac{\frac12\sin\frac\pi4}{\sin\frac\pi4}=\frac a2 \).

Teacher's Note:
1. E
2. x
3. p
4. r
5. e
6. s
7. s
8.
9. t
10. h
11. e
12.
13. a
14. l
15. t
16. i
17. t
18. u
19. d
20. e
21.
22. u
23. s
24. i
25. n
26. g
27.
28. t
29. h
30. e
31.
32. s
33. i
34. n
35. e
36.
37. r
38. u
39. l
40. e
41. .
42.
43. T
44. h
45. e
46.
47. p
48. r
49. o
50. d
51. u
52. c
53. t
54.
55. s
56. i
57. n
58.
59. B
60.
61. c
62. o
63. s
64.
65. B
66.
67. h
68. a
69. l
70. v
71. e
72. s
73.
74. t
75. h
76. e
77.
78. s
79. i
80. n
81. e
82.
83. o
84. f
85.
86. 4
87. 5
88.
89. d
90. e
91. g
92. r
93. e
94. e
95. s
96. .

Answer: (c) \( \frac{\sqrt3+1}{2} \) cm²

Explanation:
1. The third angle is \( \frac{7\pi}{12} \) (105°). With the side c between A = 30° and B = 45°: \( \text{Area}=\frac{c^2\sin A\sin B}{2\sin C} \).
2. Substituting \( c^2=4+2\sqrt3 \), \( \sin105^\circ=\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4} \): \( \frac{(4+2\sqrt3)\cdot\frac12\cdot\frac{\sqrt2}{2}}{2\cdot\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}}=\frac{2+\sqrt3}{\sqrt3+1}=\frac{\sqrt3+1}{2} \).

Teacher's Note:
1. U
2. s
3. e
4.
5. t
6. h
7. e
8.
9. a
10. r
11. e
12. a
13.
14. f
15. o
16. r
17. m
18. u
19. l
20. a
21.
22. i
23. n
24.
25. t
26. e
27. r
28. m
29. s
30.
31. o
32. f
33.
34. o
35. n
36. e
37.
38. s
39. i
40. d
41. e
42.
43. a
44. n
45. d
46.
47. t
48. w
49. o
50.
51. a
52. d
53. j
54. a
55. c
56. e
57. n
58. t
59.
60. a
61. n
62. g
63. l
64. e
65. s
66. .

Answer: (c) \( \frac rR \)

Explanation:
1. Numerator \( =R(\sin2A+\sin2B+\sin2C)=4R\sin A\sin B\sin C \) and denominator \( =2R(\sin A+\sin B+\sin C)=8R\cos\frac A2\cos\frac B2\cos\frac C2 \).
2. Ratio \( =\frac{4R\cdot8\sin\frac A2\sin\frac B2\sin\frac C2\cos\frac A2\cos\frac B2\cos\frac C2}{8R\cos\frac A2\cos\frac B2\cos\frac C2}=4\sin\frac A2\sin\frac B2\sin\frac C2=\frac rR \).

Teacher's Note:
1. U
2. s
3. e
4.
5. t
6. h
7. e
8.
9. s
10. t
11. a
12. n
13. d
14. a
15. r
16. d
17.
18. f
19. o
20. r
21. m
22. u
23. l
24. a
25. s
26.
27. f
28. o
29. r
30.
31. t
32. h
33. e
34.
35. s
36. u
37. m
38.
39. o
40. f
41.
42. s
43. i
44. n
45. e
46. s
47.
48. a
49. n
50. d
51.
52. s
53. i
54. n
55.
56. 2
57. A
58. .
59.
60. R
61. e
62. c
63. a
64. l
65. l
66.
67. r
68.
69. =
70.
71. 4
72. R
73.
74. s
75. i
76. n
77. (
78. A
79. /
80. 2
81. )
82.
83. s
84. i
85. n
86. (
87. B
88. /
89. 2
90. )
91.
92. s
93. i
94. n
95. (
96. C
97. /
98. 2
99. )
100. .

Answer: (a) sin A + sin B + sin C

Explanation:
1. \( a=2R\sin A \) etc., so \( 2s=2R(\sin A+\sin B+\sin C) \).
2. Hence \( \frac sR=\sin A+\sin B+\sin C \).

Teacher's Note:
1. S
2. u
3. b
4. s
5. t
6. i
7. t
8. u
9. t
10. e
11.
12. a
13.
14. =
15.
16. 2
17. R
18.
19. s
20. i
21. n
22.
23. A
24.
25. a
26. n
27. d
28.
29. s
30. i
31. m
32. i
33. l
34. a
35. r
36. l
37. y
38.
39. f
40. o
41. r
42.
43. b
44.
45. a
46. n
47. d
48.
49. c
50. .

Answer: (d) 2 : 1

Explanation:
1. For side a: \( R=\frac{a}{\sqrt3} \) and \( r=\frac{a}{2\sqrt3} \).
2. So R : r = 2 : 1.

Teacher's Note:
1. I
2. n
3.
4. a
5. n
6.
7. e
8. q
9. u
10. i
11. l
12. a
13. t
14. e
15. r
16. a
17. l
18.
19. t
20. r
21. i
22. a
23. n
24. g
25. l
26. e
27.
28. t
29. h
30. e
31.
32. c
33. e
34. n
35. t
36. r
37. o
38. i
39. d
40. ,
41.
42. c
43. i
44. r
45. c
46. u
47. m
48. c
49. e
50. n
51. t
52. r
53. e
54.
55. a
56. n
57. d
58.
59. i
60. n
61. c
62. e
63. n
64. t
65. r
66. e
67.
68. c
69. o
70. i
71. n
72. c
73. i
74. d
75. e
76. ,
77.
78. a
79. n
80. d
81.
82. R
83.
84. =
85.
86. 2
87. r
88. .

Answer: (d) 16 : 7

Explanation:
1. Take sides 4, 5, 6: \( s=7.5 \), \( \Delta=\sqrt{7.5\times3.5\times2.5\times1.5}=\frac{15\sqrt7}{4} \).
2. R = \( \frac{abc}{4\Delta}=\frac{120}{15\sqrt7}=\frac{8}{\sqrt7} \) and r = \( \frac\Delta s=\frac{\sqrt7}{2} \).
3. So \( \frac Rr=\frac{16}{7} \).

Teacher's Note:
1. C
2. o
3. m
4. p
5. u
6. t
7. e
8.
9. R
10.
11. =
12.
13. a
14. b
15. c
16. /
17. (
18. 4
19. Δ
20. )
21.
22. a
23. n
24. d
25.
26. r
27.
28. =
29.
30. Δ
31. /
32. s
33.
34. w
35. i
36. t
37. h
38.
39. c
40. o
41. n
42. v
43. e
44. n
45. i
46. e
47. n
48. t
49.
50. s
51. i
52. d
53. e
54.
55. l
56. e
57. n
58. g
59. t
60. h
61. s
62. .

Answer: (a) \( \frac s\Delta \)

Explanation:
1. \( \alpha=\frac{2\Delta}{a} \), so \( \frac1\alpha=\frac{a}{2\Delta} \) and similarly for the others.
2. Sum \( =\frac{a+b+c}{2\Delta}=\frac{2s}{2\Delta}=\frac s\Delta \).

Teacher's Note:
1. E
2. a
3. c
4. h
5.
6. a
7. l
8. t
9. i
10. t
11. u
12. d
13. e
14.
15. i
16. s
17.
18. t
19. w
20. i
21. c
22. e
23.
24. t
25. h
26. e
27.
28. a
29. r
30. e
31. a
32.
33. d
34. i
35. v
36. i
37. d
38. e
39. d
40.
41. b
42. y
43.
44. t
45. h
46. e
47.
48. c
49. o
50. r
51. r
52. e
53. s
54. p
55. o
56. n
57. d
58. i
59. n
60. g
61.
62. s
63. i
64. d
65. e
66. .