JEE Mathematics Miscellaneous Problems MCQs Set 02

Answer: (c) 0

Explanation:
1. Let \( f(x)=\log(x+\sqrt{1+x^2}) \). Then \( f(-x)=\log(\sqrt{1+x^2}-x)=\log\frac{1}{x+\sqrt{1+x^2}}=-f(x) \).
2. f is odd, so the integral over the symmetric interval [−2, 2] is 0.

Teacher's Note:
1. C
2. h
3. e
4. c
5. k
6.
7. w
8. h
9. e
10. t
11. h
12. e
13. r
14.
15. t
16. h
17. e
18.
19. i
20. n
21. t
22. e
23. g
24. r
25. a
26. n
27. d
28.
29. i
30. s
31.
32. o
33. d
34. d
35. .
36.
37. A
38. n
39.
40. o
41. d
42. d
43.
44. f
45. u
46. n
47. c
48. t
49. i
50. o
51. n
52.
53. i
54. n
55. t
56. e
57. g
58. r
59. a
60. t
61. e
62. s
63.
64. t
65. o
66.
67. z
68. e
69. r
70. o
71.
72. o
73. v
74. e
75. r
76.
77. a
78.
79. s
80. y
81. m
82. m
83. e
84. t
85. r
86. i
87. c
88.
89. i
90. n
91. t
92. e
93. r
94. v
95. a
96. l
97. .

Answer: (b) 2

Explanation:
1. Write as \( \frac1n\sum_{r=1}^n\sqrt{\frac nr}=\frac1n\sum\left(\frac rn\right)^{-1/2} \).
2. As a Riemann sum: \( \int_0^1x^{-1/2}dx=2 \).

Teacher's Note:
1. C
2. o
3. n
4. v
5. e
6. r
7. t
8.
9. t
10. h
11. e
12.
13. s
14. u
15. m
16.
17. t
18. o
19.
20. a
21.
22. d
23. e
24. f
25. i
26. n
27. i
28. t
29. e
30.
31. i
32. n
33. t
34. e
35. g
36. r
37. a
38. l
39. .
40.
41. T
42. h
43. e
44.
45. i
46. n
47. t
48. e
49. g
50. r
51. a
52. l
53.
54. o
55. f
56.
57. x
58. ^
59. (
60. −
61. 1
62. /
63. 2
64. )
65.
66. f
67. r
68. o
69. m
70.
71. 0
72.
73. t
74. o
75.
76. 1
77.
78. i
79. s
80.
81. 2
82. .

Answer: (a) 1

Explanation:
1. Combine: \( \frac{n^2+1-an^2-an}{n+1}=\frac{(1-a)n^2-an+1}{n+1} \).
2. For a finite limit the coefficient of n² must vanish: a = 1.
3. Then the limit of \( \frac{-n+1}{n+1} \) is −1, and −1 + 1 = 0 as required.

Teacher's Note:
1. T
2. h
3. e
4.
5. n
6. u
7. m
8. e
9. r
10. a
11. t
12. o
13. r
14.
15. d
16. e
17. g
18. r
19. e
20. e
21.
22. m
23. u
24. s
25. t
26.
27. d
28. r
29. o
30. p
31.
32. t
33. o
34.
35. m
36. a
37. t
38. c
39. h
40.
41. t
42. h
43. e
44.
45. d
46. e
47. n
48. o
49. m
50. i
51. n
52. a
53. t
54. o
55. r
56. .
57.
58. T
59. h
60. e
61. n
62.
63. e
64. v
65. a
66. l
67. u
68. a
69. t
70. e
71.
72. t
73. h
74. e
75.
76. l
77. i
78. m
79. i
80. t
81. .

Answer: (d) \( \frac1{\sqrt2} \)

Explanation:
1. At x = 3π/4, cos x < 0, so \( y=-\cos x \).
2. Then \( \frac{dy}{dx}=\sin x=\sin\frac{3\pi}{4}=\frac1{\sqrt2} \).

Teacher's Note:
1. R
2. e
3. m
4. o
5. v
6. e
7.
8. t
9. h
10. e
11.
12. m
13. o
14. d
15. u
16. l
17. u
18. s
19.
20. u
21. s
22. i
23. n
24. g
25.
26. t
27. h
28. e
29.
30. s
31. i
32. g
33. n
34.
35. o
36. f
37.
38. c
39. o
40. s
41.
42. x
43.
44. n
45. e
46. a
47. r
48.
49. t
50. h
51. e
52.
53. p
54. o
55. i
56. n
57. t
58. .

Answer: (d) −1

Explanation:
1. Expand: \( 2\sqrt5\sin x\cos x+4\sin^2x-6=\sqrt5\sin2x+2(1-\cos2x)-6 \).
2. This is \( \sqrt5\sin2x-2\cos2x-4 \), with maximum \( \sqrt{5+4}-4=-1 \).

Teacher's Note:
1. C
2. o
3. n
4. v
5. e
6. r
7. t
8.
9. t
10. o
11.
12. a
13.
14. s
15. i
16. n
17.
18. 2
19. x
20.
21. +
22.
23. b
24.
25. c
26. o
27. s
28.
29. 2
30. x
31.
32. f
33. o
34. r
35. m
36. .
37.
38. I
39. t
40. s
41.
42. m
43. a
44. x
45. i
46. m
47. u
48. m
49.
50. i
51. s
52.
53. √
54. (
55. a
56. ²
57.
58. +
59.
60. b
61. ²
62. )
63. .

Answer: (c) −2

Explanation:
1. On (−2, −1): [x] = −2, so the integrand is 2x; integral \( =[x^2]_{-2}^{-1}=1-4=-3 \).
2. On (−1, 0): |[x]| = 1: \( \int_{-1}^0x\,dx=-\frac12 \). On (0, 1): 0. On (1, 2): \( \int_1^2x\,dx=\frac32 \).
3. Total \( -3-\frac12+\frac32=-2 \).

Teacher's Note:
1. S
2. p
3. l
4. i
5. t
6.
7. t
8. h
9. e
10.
11. i
12. n
13. t
14. e
15. r
16. v
17. a
18. l
19.
20. w
21. h
22. e
23. r
24. e
25.
26. [
27. x
28. ]
29.
30. i
31. s
32.
33. c
34. o
35. n
36. s
37. t
38. a
39. n
40. t
41.
42. a
43. n
44. d
45.
46. i
47. n
48. t
49. e
50. g
51. r
52. a
53. t
54. e
55.
56. p
57. i
58. e
59. c
60. e
61.
62. b
63. y
64.
65. p
66. i
67. e
68. c
69. e
70. .

Answer: (b) \( -\frac12 \)

Explanation:
1. Series: \( \tan^{-1}x=x-\frac{x^3}{3}+\dots \) and \( \sin^{-1}x=x+\frac{x^3}{6}+\dots \).
2. Difference \( =-\frac{x^3}{2}+\dots \), so the limit is \( -\frac12 \).

Teacher's Note:
1. U
2. s
3. e
4.
5. t
6. h
7. e
8.
9. M
10. a
11. c
12. l
13. a
14. u
15. r
16. i
17. n
18.
19. s
20. e
21. r
22. i
23. e
24. s
25.
26. o
27. f
28.
29. b
30. o
31. t
32. h
33.
34. f
35. u
36. n
37. c
38. t
39. i
40. o
41. n
42. s
43.
44. u
45. p
46.
47. t
48. o
49.
50. x
51. ³
52. .

Answer: (a) \( -\frac38 \)

Explanation:
1. Differentiate: \( 2xy+x^2y'+3y^2y'=0 \); at (1, 1): \( 2+4y'=0 \), so \( y'=-\frac12 \).
2. Differentiate again: \( 2y+4xy'+x^2y''+6y(y')^2+3y^2y''=0 \). At (1, 1): \( 2-2+\frac32+4y''=0 \).
3. So \( y''=-\frac38 \).

Teacher's Note:
1. D
2. i
3. f
4. f
5. e
6. r
7. e
8. n
9. t
10. i
11. a
12. t
13. e
14.
15. i
16. m
17. p
18. l
19. i
20. c
21. i
22. t
23. l
24. y
25.
26. t
27. w
28. i
29. c
30. e
31.
32. a
33. n
34. d
35.
36. s
37. u
38. b
39. s
40. t
41. i
42. t
43. u
44. t
45. e
46.
47. t
48. h
49. e
50.
51. p
52. o
53. i
54. n
55. t
56.
57. a
58. n
59. d
60.
61. t
62. h
63. e
64.
65. f
66. i
67. r
68. s
69. t
70.
71. d
72. e
73. r
74. i
75. v
76. a
77. t
78. i
79. v
80. e
81. .

Answer: (a) \( \frac\pi4 \)

Explanation:
1. Sum \( \tan(x+y)=\frac{\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}}{1-\frac{bc}{(c+a)(a+b)}}=\frac{b(a+b)+c(c+a)}{(c+a)(a+b)-bc} \).
2. Using \( b^2+c^2=a^2 \): numerator \( =a(b+c)+a^2 \), denominator \( =a^2+a(b+c) \). The ratio is 1.
3. So the sum is π/4.

Teacher's Note:
1. C
2. o
3. m
4. b
5. i
6. n
7. e
8.
9. t
10. h
11. e
12.
13. i
14. n
15. v
16. e
17. r
18. s
19. e
20.
21. t
22. a
23. n
24. g
25. e
26. n
27. t
28. s
29.
30. a
31. n
32. d
33.
34. u
35. s
36. e
37.
38. P
39. y
40. t
41. h
42. a
43. g
44. o
45. r
46. a
47. s
48.
49. f
50. o
51. r
52.
53. t
54. h
55. e
56.
57. r
58. i
59. g
60. h
61. t
62.
63. a
64. n
65. g
66. l
67. e
68.
69. a
70. t
71.
72. A
73. .

Answer: (d) \( \frac\pi6 \)

Explanation:
1. \( \tan x\tan2x=1 \) (with both positive), so \( \frac{2\tan^2x}{1-\tan^2x}=1 \) giving \( 3\tan^2x=1 \).
2. tan x = 1/√3, x = π/6 (then tan 2x = √3 > 0, valid).

Teacher's Note:
1. C
2. o
3. m
4. b
5. i
6. n
7. e
8.
9. t
10. h
11. e
12.
13. l
14. o
15. g
16. s
17. ,
18.
19. s
20. o
21. l
22. v
23. e
24.
25. f
26. o
27. r
28.
29. t
30. a
31. n
32.
33. x
34. ,
35.
36. a
37. n
38. d
39.
40. c
41. h
42. e
43. c
44. k
45.
46. t
47. h
48. a
49. t
50.
51. b
52. o
53. t
54. h
55.
56. t
57. a
58. n
59. g
60. e
61. n
62. t
63. s
64.
65. a
66. r
67. e
68.
69. p
70. o
71. s
72. i
73. t
74. i
75. v
76. e
77. .

Answer: (c) \( \frac\pi3 \)

Explanation:
1. \( \frac{\tan A-\tan B}{\tan A+\tan B}=\frac{\sin(A-B)}{\sin(A+B)}=\frac{\sin(A-B)}{\sin C} \).
2. By the sine rule \( \frac{c-b}{c}=\frac{\sin C-\sin B}{\sin C} \). So \( \sin(A-B)=\sin C-\sin B=\sin(A+B)-\sin B \).
3. Hence \( \sin(A+B)-\sin(A-B)=\sin B \), i.e. \( 2\cos A\sin B=\sin B \), so \( \cos A=\frac12 \) and A = π/3.

Teacher's Note:
1. C
2. o
3. n
4. v
5. e
6. r
7. t
8.
9. t
10. h
11. e
12.
13. t
14. a
15. n
16. g
17. e
18. n
19. t
20.
21. r
22. a
23. t
24. i
25. o
26.
27. t
28. o
29.
30. s
31. i
32. n
33. e
34. s
35.
36. a
37. n
38. d
39.
40. a
41. p
42. p
43. l
44. y
45.
46. t
47. h
48. e
49.
50. s
51. i
52. n
53. e
54.
55. r
56. u
57. l
58. e
59. .
60.
61. T
62. h
63. e
64.
65. r
66. e
67. l
68. a
69. t
70. i
71. o
72. n
73.
74. r
75. e
76. d
77. u
78. c
79. e
80. s
81.
82. t
83. o
84.
85. c
86. o
87. s
88.
89. A
90.
91. =
92.
93. 1
94. /
95. 2
96. .

Answer: (c) continuous but not differentiable at x = 2

Explanation:
1. At x = 2: left limit and right limit are both 0 and f(2) = 0, so f is continuous.
2. Left derivative: for x < 2, \( f=x(2-x) \), slope \( 2-2x=-2 \). Right derivative: for x > 2, \( f=x(x-2) \), slope \( 2x-2=2 \).
3. The one-sided derivatives differ, so it is not differentiable at x = 2.

Teacher's Note:
1. C
2. o
3. m
4. p
5. a
6. r
7. e
8.
9. t
10. h
11. e
12.
13. l
14. e
15. f
16. t
17.
18. a
19. n
20. d
21.
22. r
23. i
24. g
25. h
26. t
27.
28. d
29. e
30. r
31. i
32. v
33. a
34. t
35. i
36. v
37. e
38. s
39.
40. a
41. t
42.
43. t
44. h
45. e
46.
47. p
48. o
49. i
50. n
51. t
52.
53. w
54. h
55. e
56. r
57. e
58.
59. t
60. h
61. e
62.
63. m
64. o
65. d
66. u
67. l
68. u
69. s
70.
71. c
72. h
73. a
74. n
75. g
76. e
77. s
78. .

Answer: (a) neither continuous nor differentiable at x = 2

Explanation:
1. Left limit at x = 2: \( x^2\cdot1\to4 \). Value and right limit: \( g(2)=4\cdot2=8 \).
2. The left limit (4) differs from g(2) = 8, so g is discontinuous at x = 2 and hence not differentiable there.

Teacher's Note:
1. T
2. h
3. e
4.
5. g
6. r
7. e
8. a
9. t
10. e
11. s
12. t
13.
14. i
15. n
16. t
17. e
18. g
19. e
20. r
21.
22. f
23. u
24. n
25. c
26. t
27. i
28. o
29. n
30.
31. j
32. u
33. m
34. p
35. s
36.
37. a
38. t
39.
40. i
41. n
42. t
43. e
44. g
45. e
46. r
47. s
48. ,
49.
50. m
51. a
52. k
53. i
54. n
55. g
56.
57. t
58. h
59. e
60.
61. p
62. r
63. o
64. d
65. u
66. c
67. t
68.
69. d
70. i
71. s
72. c
73. o
74. n
75. t
76. i
77. n
78. u
79. o
80. u
81. s
82. .

Answer: (d) differentiable and continuous at x = 2

Explanation:
1. At x = 2: left value \( 8 \), \( \phi(2)=8 \), right limit \( 0+8=8 \): continuous.
2. Left derivative \( 3x^2=12 \); right derivative of \( 4(x-2)+2x^2 \) is \( 4+4x=12 \): equal, so differentiable at x = 2.
3. (It is discontinuous at x = 1, so option (b) is false.)

Teacher's Note:
1. C
2. h
3. e
4. c
5. k
6.
7. t
8. h
9. e
10.
11. v
12. a
13. l
14. u
15. e
16. ,
17.
18. t
19. h
20. e
21.
22. l
23. e
24. f
25. t
26.
27. a
28. n
29. d
30.
31. r
32. i
33. g
34. h
35. t
36.
37. l
38. i
39. m
40. i
41. t
42. s
43.
44. a
45. n
46. d
47.
48. t
49. h
50. e
51. n
52.
53. b
54. o
55. t
56. h
57.
58. d
59. e
60. r
61. i
62. v
63. a
64. t
65. i
66. v
67. e
68. s
69.
70. a
71. t
72.
73. x
74.
75. =
76.
77. 2
78. .

Answer: (d) 3

Explanation:
1. \( \frac{{}^nC_r}{{}^nC_{r-1}}=\frac{n-r+1}{r}=\frac{84}{36}=\frac73 \) and \( \frac{{}^nC_{r+1}}{{}^nC_r}=\frac{n-r}{r+1}=\frac{126}{84}=\frac32 \).
2. Solving: \( 3n-10r=-3 \) and \( 2n-5r=3 \), giving n = 9 and r = 3 (check: 9C2 = 36, 9C3 = 84, 9C4 = 126).

Teacher's Note:
1. U
2. s
3. e
4.
5. r
6. a
7. t
8. i
9. o
10. s
11.
12. o
13. f
14.
15. c
16. o
17. n
18. s
19. e
20. c
21. u
22. t
23. i
24. v
25. e
26.
27. b
28. i
29. n
30. o
31. m
32. i
33. a
34. l
35.
36. c
37. o
38. e
39. f
40. f
41. i
42. c
43. i
44. e
45. n
46. t
47. s
48.
49. t
50. o
51.
52. f
53. i
54. n
55. d
56.
57. n
58.
59. a
60. n
61. d
62.
63. r
64. .

Answer: (b) 2

Explanation:
1. \( f(x)=2^x+x^2-1 \) has f(0) = 0.
2. f(−1) = 0.5 > 0 and f(−0.5) ≈ −0.04 < 0, so there is another root between −1 and −0.5.
3. For x > 0, f is increasing and positive, so there are no more roots. Total 2.

Teacher's Note:
1. T
2. e
3. s
4. t
5.
6. t
7. h
8. e
9.
10. s
11. i
12. g
13. n
14.
15. o
16. f
17.
18. f
19.
20. a
21. t
22.
23. a
24.
25. f
26. e
27. w
28.
29. p
30. o
31. i
32. n
33. t
34. s
35.
36. t
37. o
38.
39. l
40. o
41. c
42. a
43. t
44. e
45.
46. s
47. i
48. g
49. n
50.
51. c
52. h
53. a
54. n
55. g
56. e
57. s
58. .

Answer: (a) 6

Explanation:
1. \( x^2=k\left(y-\frac3k\right) \): vertex \( \left(0,\frac3k\right) \) and \( 4a=k \), so the focus is \( \left(0,\frac3k+\frac k4\right) \).
2. Setting \( \frac3k+\frac k4=2 \): \( k^2-8k+12=0 \), k = 2 or 6. Since k ≠ 2, k = 6.

Teacher's Note:
1. W
2. r
3. i
4. t
5. e
6.
7. t
8. h
9. e
10.
11. p
12. a
13. r
14. a
15. b
16. o
17. l
18. a
19.
20. i
21. n
22.
23. s
24. t
25. a
26. n
27. d
28. a
29. r
30. d
31.
32. f
33. o
34. r
35. m
36.
37. t
38. o
39.
40. l
41. o
42. c
43. a
44. t
45. e
46.
47. t
48. h
49. e
50.
51. f
52. o
53. c
54. u
55. s
56. .
57.
58. E
59. x
60. c
61. l
62. u
63. d
64. e
65.
66. t
67. h
68. e
69.
70. v
71. a
72. l
73. u
74. e
75.
76. t
77. h
78. e
79.
80. q
81. u
82. e
83. s
84. t
85. i
86. o
87. n
88.
89. r
90. u
91. l
92. e
93. s
94.
95. o
96. u
97. t
98. .

Answer: (c) 4

Explanation:
1. Groups of four in A.P. from 1 to 12 that partition the set: {1,2,3,4},{5,6,7,8},{9,10,11,12}; {1,4,7,10},{2,5,8,11},{3,6,9,12}; {1,2,3,4},{5,7,9,11},{6,8,10,12}; and {9,10,11,12},{1,3,5,7},{2,4,6,8}.
2. Enumerating all partitions by computer confirms exactly 4 ways.

Teacher's Note:
1. L
2. i
3. s
4. t
5.
6. t
7. h
8. e
9.
10. p
11. o
12. s
13. s
14. i
15. b
16. l
17. e
18.
19. c
20. o
21. m
22. m
23. o
24. n
25.
26. d
27. i
28. f
29. f
30. e
31. r
32. e
33. n
34. c
35. e
36. s
37.
38. a
39. n
40. d
41.
42. c
43. h
44. e
45. c
46. k
47.
48. w
49. h
50. i
51. c
52. h
53.
54. c
55. o
56. m
57. b
58. i
59. n
60. a
61. t
62. i
63. o
64. n
65. s
66.
67. p
68. a
69. r
70. t
71. i
72. t
73. i
74. o
75. n
76.
77. t
78. h
79. e
80.
81. s
82. e
83. t
84. .

Answer: (b) 3

Explanation:
1. Three planes through the origin share a common line when the determinant of coefficients is zero.
2. The determinant \( \begin{vmatrix}2&-3&-7\\\lambda&-14&-13\\8&-31&-33\end{vmatrix}=118\lambda-354 \).
3. So \( \lambda=3 \).

Teacher's Note:
1. A
2.
3. z
4. e
5. r
6. o
7.
8. d
9. e
10. t
11. e
12. r
13. m
14. i
15. n
16. a
17. n
18. t
19.
20. o
21. f
22.
23. t
24. h
25. e
26.
27. c
28. o
29. e
30. f
31. f
32. i
33. c
34. i
35. e
36. n
37. t
38.
39. m
40. a
41. t
42. r
43. i
44. x
45.
46. g
47. i
48. v
49. e
50. s
51.
52. n
53. o
54. n
55. -
56. t
57. r
58. i
59. v
60. i
61. a
62. l
63.
64. c
65. o
66. m
67. m
68. o
69. n
70.
71. s
72. o
73. l
74. u
75. t
76. i
77. o
78. n
79. s
80. .

Answer: (a) 2

Explanation:
1. Let the integral be I. Replacing t by 4 − t: \( I=\int_0^4\frac{f(4-t)}{f(4-t)+f(t)}dt \).
2. Adding: \( 2I=\int_0^41\,dt=4 \), so I = 2.

Teacher's Note:
1. U
2. s
3. e
4.
5. t
6. h
7. e
8.
9. p
10. r
11. o
12. p
13. e
14. r
15. t
16. y
17.
18. t
19. h
20. a
21. t
22.
23. t
24. h
25. e
26.
27. i
28. n
29. t
30. e
31. g
32. r
33. a
34. l
35.
36. o
37. f
38.
39. f
40. (
41. a
42.
43. −
44.
45. t
46. )
47.
48. e
49. q
50. u
51. a
52. l
53. s
54.
55. t
56. h
57. e
58.
59. i
60. n
61. t
62. e
63. g
64. r
65. a
66. l
67.
68. o
69. f
70.
71. f
72. (
73. t
74. )
75. .
76.
77. A
78. d
79. d
80.
81. t
82. h
83. e
84.
85. t
86. w
87. o
88.
89. f
90. o
91. r
92. m
93. s
94. .

Answer: (d) 8

Explanation:
1. f even implies f″ even. So \( x^3f(x) \) and \( xf''(x) \) are odd functions and integrate to 0 over [−2, 2].
2. The remaining integral is \( \int_{-2}^22\,dx=8 \).

Teacher's Note:
1. I
2. d
3. e
4. n
5. t
6. i
7. f
8. y
9.
10. o
11. d
12. d
13.
14. f
15. u
16. n
17. c
18. t
19. i
20. o
21. n
22. s
23.
24. i
25. n
26.
27. t
28. h
29. e
30.
31. i
32. n
33. t
34. e
35. g
36. r
37. a
38. n
39. d
40.
41. a
42. n
43. d
44.
45. d
46. r
47. o
48. p
49.
50. t
51. h
52. e
53. m
54. .

Answer: (c) 0

Explanation:
1. By the fundamental theorem \( f'(x)=|\cos x| \).
2. At x = π/2: \( |\cos\frac\pi2|=0 \).

Teacher's Note:
1. T
2. h
3. e
4.
5. d
6. e
7. r
8. i
9. v
10. a
11. t
12. i
13. v
14. e
15.
16. o
17. f
18.
19. a
20. n
21.
22. i
23. n
24. t
25. e
26. g
27. r
28. a
29. l
30.
31. w
32. i
33. t
34. h
35.
36. v
37. a
38. r
39. i
40. a
41. b
42. l
43. e
44.
45. u
46. p
47. p
48. e
49. r
50.
51. l
52. i
53. m
54. i
55. t
56.
57. i
58. s
59.
60. t
61. h
62. e
63.
64. i
65. n
66. t
67. e
68. g
69. r
70. a
71. n
72. d
73.
74. e
75. v
76. a
77. l
78. u
79. a
80. t
81. e
82. d
83.
84. t
85. h
86. e
87. r
88. e
89. .

Answer: (b) 1

Explanation:
1. Intersection: \( x-bx^2=\frac{x^2}{b} \) gives x = 0 and \( x=\frac{b}{1+b^2} \).
2. Area \( =\left(b+\frac1b\right)\frac{1}{6}\left(\frac{b}{1+b^2}\right)^3=\frac16\cdot\frac{b^2}{(1+b^2)^2} \).
3. The function \( \frac{b^2}{(1+b^2)^2}=\frac{1}{(b+1/b)^2} \) is maximum when \( b+\frac1b \) is minimum, i.e. b = 1.

Teacher's Note:
1. U
2. s
3. e
4.
5. t
6. h
7. e
8.
9. f
10. o
11. r
12. m
13. u
14. l
15. a
16.
17. f
18. o
19. r
20.
21. t
22. h
23. e
24.
25. a
26. r
27. e
28. a
29.
30. b
31. e
32. t
33. w
34. e
35. e
36. n
37.
38. t
39. w
40. o
41.
42. p
43. a
44. r
45. a
46. b
47. o
48. l
49. a
50. s
51. .
52.
53. M
54. a
55. x
56. i
57. m
58. i
59. s
60. i
61. n
62. g
63.
64. r
65. e
66. d
67. u
68. c
69. e
70. s
71.
72. t
73. o
74.
75. m
76. i
77. n
78. i
79. m
80. i
81. s
82. i
83. n
84. g
85.
86. b
87.
88. +
89.
90. 1
91. /
92. b
93. .

Answer: (c) (1, 1)

Explanation:
1. Complete the square: \( (y-1)^2=-8x+24=-8(x-3) \).
2. Vertex (3, 1), \( 4a=8 \), a = 2, opening to the left, so the focus is (3 − 2, 1) = (1, 1).

Teacher's Note:
1. T
2. h
3. e
4.
5. f
6. o
7. c
8. u
9. s
10.
11. i
12. s
13.
14. a
15.
16. u
17. n
18. i
19. t
20. s
21.
22. f
23. r
24. o
25. m
26.
27. t
28. h
29. e
30.
31. v
32. e
33. r
34. t
35. e
36. x
37.
38. a
39. l
40. o
41. n
42. g
43.
44. t
45. h
46. e
47.
48. a
49. x
50. i
51. s
52. ,
53.
54. o
55. n
56.
57. t
58. h
59. e
60.
61. s
62. i
63. d
64. e
65.
66. t
67. h
68. e
69.
70. p
71. a
72. r
73. a
74. b
75. o
76. l
77. a
78.
79. o
80. p
81. e
82. n
83. s
84. .