JEE Mathematics Matrices MCQs Set 03

Answer: (c) \( \begin{bmatrix}1&-4&8\\3&6&4\\2&2&10\end{bmatrix} \)

Explanation:
1. Add corresponding entries.
2. Row 1: (1 + 0, −2 − 2, 4 + 4) = (1, −4, 8); row 2: (3, 6, 4); row 3: (2, 2, 10).

Teacher's Note:
1. M
2. a
3. t
4. r
5. i
6. c
7. e
8. s
9.
10. o
11. f
12.
13. t
14. h
15. e
16.
17. s
18. a
19. m
20. e
21.
22. o
23. r
24. d
25. e
26. r
27.
28. a
29. r
30. e
31.
32. a
33. d
34. d
35. e
36. d
37.
38. e
39. n
40. t
41. r
42. y
43.
44. b
45. y
46.
47. e
48. n
49. t
50. r
51. y
52. .

Answer: (b) −7

Explanation:
1. \( A^2= \)\( \begin{bmatrix}1&0\\-8&49\end{bmatrix} \).
2. \( A^2-8A= \)\( \begin{bmatrix}-7&0\\0&-7\end{bmatrix} \)\( =-7I \), so k = −7.

Teacher's Note:
1. C
2. o
3. m
4. p
5. u
6. t
7. e
8.
9. A
10. ²
11.
12. a
13. n
14. d
15.
16. c
17. o
18. m
19. p
20. a
21. r
22. e
23.
24. w
25. i
26. t
27. h
28.
29. 8
30. A
31.
32. t
33. o
34.
35. f
36. i
37. n
38. d
39.
40. t
41. h
42. e
43.
44. m
45. u
46. l
47. t
48. i
49. p
50. l
51. e
52.
53. o
54. f
55.
56. I
57. .

Answer: (a) \( \frac25 \)

Explanation:
1. Singular means the determinant is 0.
2. Expanding: \( \lambda(2+3)-7(8-6)-2(-4-2)=5\lambda-14+12=5\lambda-2 \).
3. So λ = 2/5.

Teacher's Note:
1. A
2.
3. m
4. a
5. t
6. r
7. i
8. x
9.
10. i
11. s
12.
13. s
14. i
15. n
16. g
17. u
18. l
19. a
20. r
21.
22. e
23. x
24. a
25. c
26. t
27. l
28. y
29.
30. w
31. h
32. e
33. n
34.
35. i
36. t
37. s
38.
39. d
40. e
41. t
42. e
43. r
44. m
45. i
46. n
47. a
48. n
49. t
50.
51. v
52. a
53. n
54. i
55. s
56. h
57. e
58. s
59. .

Answer: (b) \( \begin{bmatrix}a^2+bc&ab+bd\\ac+dc&bc+d^2\end{bmatrix} \)

Explanation:
1. A square matrix can be multiplied by itself.
2. \( A^2= \)\( \begin{bmatrix}a\cdot a+b\cdot c&a\cdot b+b\cdot d\\c\cdot a+d\cdot c&c\cdot b+d\cdot d\end{bmatrix} \).

Teacher's Note:
1. S
2. q
3. u
4. a
5. r
6. i
7. n
8. g
9.
10. a
11.
12. m
13. a
14. t
15. r
16. i
17. x
18.
19. i
20. s
21.
22. m
23. a
24. t
25. r
26. i
27. x
28.
29. m
30. u
31. l
32. t
33. i
34. p
35. l
36. i
37. c
38. a
39. t
40. i
41. o
42. n
43. ,
44.
45. n
46. o
47. t
48.
49. s
50. q
51. u
52. a
53. r
54. i
55. n
56. g
57.
58. e
59. a
60. c
61. h
62.
63. e
64. n
65. t
66. r
67. y
68. .

Answer: (d) no real value of α exists

Explanation:
1. \( A^2= \)\( \begin{bmatrix}\alpha^2&0\\\alpha+1&1\end{bmatrix} \).
2. Equating with B: α² = 1 and α + 1 = 5. The first gives α = ±1 and the second α = 4, which cannot hold together.
3. Hence no value of α exists.

Teacher's Note:
1. B
2. o
3. t
4. h
5.
6. e
7. n
8. t
9. r
10. y
11.
12. e
13. q
14. u
15. a
16. t
17. i
18. o
19. n
20. s
21.
22. m
23. u
24. s
25. t
26.
27. h
28. o
29. l
30. d
31.
32. f
33. o
34. r
35.
36. t
37. h
38. e
39.
40. s
41. a
42. m
43. e
44.
45. α
46. .
47.
48. T
49. h
50. e
51. y
52.
53. c
54. o
55. n
56. t
57. r
58. a
59. d
60. i
61. c
62. t
63.
64. e
65. a
66. c
67. h
68.
69. o
70. t
71. h
72. e
73. r
74.
75. h
76. e
77. r
78. e
79. .

Answer: (c) no real values of λ, μ are possible

Explanation:
1. The product is \( \begin{bmatrix}2&4&2\mu+9\\1&2\lambda+5&\mu-3\lambda\end{bmatrix} \).
2. From the entries: 2μ + 9 = 1 gives μ = −4, and 2λ + 5 = −1 gives λ = −3.
3. The last entry would need μ − 3λ = −4 + 9 = 5, but it must equal 13: a contradiction. So no values exist.

Teacher's Note:
1. S
2. o
3. l
4. v
5. e
6.
7. f
8. o
9. r
10.
11. λ
12.
13. a
14. n
15. d
16.
17. μ
18.
19. f
20. r
21. o
22. m
23.
24. t
25. w
26. o
27.
28. e
29. n
30. t
31. r
32. i
33. e
34. s
35.
36. a
37. n
38. d
39.
40. t
41. e
42. s
43. t
44.
45. t
46. h
47. e
48.
49. r
50. e
51. m
52. a
53. i
54. n
55. i
56. n
57. g
58.
59. e
60. n
61. t
62. r
63. y
64.
65. f
66. o
67. r
68.
69. c
70. o
71. n
72. s
73. i
74. s
75. t
76. e
77. n
78. c
79. y
80. .

Answer: (b) \( \frac\pi2 \)

Explanation:
1. Each entry of AB has the form \( \cos\theta\cos\phi\cos(\theta-\phi) \) times a product of cos/sin of θ and φ.
2. For AB = 0 (with non-zero factors) we need cos(θ − φ) = 0, so |θ − φ| is an odd multiple of π/2; the smallest is π/2.

Teacher's Note:
1. T
2. h
3. e
4.
5. (
6. 1
7. ,
8.
9. 1
10. )
11.
12. e
13. n
14. t
15. r
16. y
17.
18. s
19. i
20. m
21. p
22. l
23. i
24. f
25. i
26. e
27. s
28.
29. t
30. o
31.
32. c
33. o
34. s
35.
36. θ
37.
38. c
39. o
40. s
41.
42. φ
43.
44. c
45. o
46. s
47. (
48. θ
49.
50. −
51.
52. φ
53. )
54. .

Answer: (b) λ ≠ 8

Explanation:
1. \( |A|=0(-\lambda+6)+4(-2+3)+1(4-\lambda)=8-\lambda \).
2. A is invertible when |A| ≠ 0, i.e. λ ≠ 8.

Teacher's Note:
1. T
2. h
3. e
4.
5. i
6. n
7. v
8. e
9. r
10. s
11. e
12.
13. e
14. x
15. i
16. s
17. t
18. s
19.
20. e
21. x
22. a
23. c
24. t
25. l
26. y
27.
28. w
29. h
30. e
31. n
32.
33. t
34. h
35. e
36.
37. d
38. e
39. t
40. e
41. r
42. m
43. i
44. n
45. a
46. n
47. t
48.
49. i
50. s
51.
52. n
53. o
54. n
55. -
56. z
57. e
58. r
59. o
60. .

Answer: (b) \( \begin{bmatrix}3&4&-2\\-1&-1&1\\-1&-2&1\end{bmatrix} \)

Explanation:
1. |A| = 1(1 + 2) − 0 + 2(0 − 1) = 1.
2. The adjoint (transpose of the cofactor matrix) is \( \begin{bmatrix}3&4&-2\\-1&-1&1\\-1&-2&1\end{bmatrix} \).
3. Since |A| = 1, the inverse equals this adjoint. Check: A times it gives I.

Teacher's Note:
1. W
2. i
3. t
4. h
5.
6. d
7. e
8. t
9. e
10. r
11. m
12. i
13. n
14. a
15. n
16. t
17.
18. 1
19.
20. t
21. h
22. e
23.
24. i
25. n
26. v
27. e
28. r
29. s
30. e
31.
32. e
33. q
34. u
35. a
36. l
37. s
38.
39. t
40. h
41. e
42.
43. a
44. d
45. j
46. o
47. i
48. n
49. t
50. .
51.
52. V
53. e
54. r
55. i
56. f
57. y
58.
59. b
60. y
61.
62. m
63. u
64. l
65. t
66. i
67. p
68. l
69. i
70. c
71. a
72. t
73. i
74. o
75. n
76. .

Answer: (c) 1

Explanation:
1. |A| = 1(0) + 1(0) + 1(3 − 2) = 1.
2. \( |\text{adj}A|=|A|^{n-1}=1^2=1 \).

Teacher's Note:
1. F
2. o
3. r
4.
5. a
6.
7. 3
8.
9. ×
10.
11. 3
12.
13. m
14. a
15. t
16. r
17. i
18. x
19. ,
20.
21. |
22. a
23. d
24. j
25.
26. A
27. |
28.
29. =
30.
31. |
32. A
33. |
34. ²
35. .

Answer: (b) I

Explanation:
1. Row 1 of A times the columns of A gives (16 − 3 − 12, −4 + 0 + 4, −16 + 4 + 12) = (1, 0, 0).
2. Similarly the other rows give (0, 1, 0) and (0, 0, 1), so A² = I.

Teacher's Note:
1. A
2.
3. m
4. a
5. t
6. r
7. i
8. x
9.
10. w
11. i
12. t
13. h
14.
15. A
16. ²
17.
18. =
19.
20. I
21.
22. i
23. s
24.
25. c
26. a
27. l
28. l
29. e
30. d
31.
32. i
33. n
34. v
35. o
36. l
37. u
38. t
39. o
40. r
41. y
42. .

Answer: (c) f(x) · f(y)

Explanation:
1. Multiply f(x) f(y): the top-left 2 × 2 block gives \( \cos x\cos y-\sin x\sin y=\cos(x+y) \) and \( \sin x\cos y+\cos x\sin y=\sin(x+y) \).
2. So f(x) f(y) = f(x + y).

Teacher's Note:
1. T
2. h
3. i
4. s
5.
6. i
7. s
8.
9. t
10. h
11. e
12.
13. r
14. o
15. t
16. a
17. t
18. i
19. o
20. n
21.
22. m
23. a
24. t
25. r
26. i
27. x
28. ,
29.
30. a
31. n
32. d
33.
34. r
35. o
36. t
37. a
38. t
39. i
40. n
41. g
42.
43. t
44. h
45. r
46. o
47. u
48. g
49. h
50.
51. y
52.
53. t
54. h
55. e
56. n
57.
58. x
59.
60. e
61. q
62. u
63. a
64. l
65. s
66.
67. r
68. o
69. t
70. a
71. t
72. i
73. n
74. g
75.
76. t
77. h
78. r
79. o
80. u
81. g
82. h
83.
84. x
85.
86. +
87.
88. y
89. .

Answer: (a) \( \begin{bmatrix}0\\0\\0\end{bmatrix} \)

Explanation:
1. Use 1 + ω = −ω², ω + ω² = −1 and 1 + ω² = −ω. Row 1 of A + B is (−ω², −1, −ω), and times (1, ω, ω²) gives \( -\omega^2-\omega-\omega^3=-(1+\omega+\omega^2)=0 \).
2. The other two rows work out the same way, so (A + B)C is the zero column.

Teacher's Note:
1. U
2. s
3. e
4.
5. 1
6.
7. +
8.
9. ω
10.
11. +
12.
13. ω
14. ²
15.
16. =
17.
18. 0
19.
20. a
21. n
22. d
23.
24. ω
25. ³
26.
27. =
28.
29. 1
30.
31. t
32. o
33.
34. s
35. i
36. m
37. p
38. l
39. i
40. f
41. y
42.
43. e
44. v
45. e
46. r
47. y
48.
49. e
50. n
51. t
52. r
53. y
54. .

Answer: (a) 0

Explanation:
1. The first row of A is (0, c, −b), and the columns of B are multiples of (a, b, c).
2. Entry: \( 0\cdot a^2+c\cdot ba-b\cdot ca=0 \). Every other entry is zero in the same way.
3. So AB = 0.

Teacher's Note:
1. A
2.
3. i
4. s
5.
6. s
7. k
8. e
9. w
10. -
11. s
12. y
13. m
14. m
15. e
16. t
17. r
18. i
19. c
20.
21. f
22. r
23. o
24. m
25.
26. a
27.
28. c
29. r
30. o
31. s
32. s
33.
34. p
35. r
36. o
37. d
38. u
39. c
40. t
41.
42. w
43. i
44. t
45. h
46.
47. (
48. a
49. ,
50.
51. b
52. ,
53.
54. c
55. )
56.
57. a
58. n
59. d
60.
61. B
62.
63. i
64. s
65.
66. t
67. h
68. e
69.
70. o
71. u
72. t
73. e
74. r
75.
76. p
77. r
78. o
79. d
80. u
81. c
82. t
83.
84. o
85. f
86.
87. (
88. a
89. ,
90.
91. b
92. ,
93.
94. c
95. )
96.
97. w
98. i
99. t
100. h
101.
102. i
103. t
104. s
105. e
106. l
107. f
108. ,
109.
110. s
111. o
112.
113. A
114. B
115.
116. v
117. a
118. n
119. i
120. s
121. h
122. e
123. s
124. .