JEE Mathematics Indefinite Integration MCQs Set 02

Answer: (d) x

Explanation:
1. \( \cot^4x=\cot^2x\csc^2x-\csc^2x+1 \), so \( \int\cot^4x\,dx=-\frac{\cot^3x}3+\cot x+x+c \).
2. Hence φ(x) = x + c. Since φ(π/2) = π/2, c = 0 and φ(x) = x.

Teacher's Note:
1. W
2. r
3. i
4. t
5. e
6.
7. c
8. o
9. t
10. ⁴
11. x
12.
13. u
14. s
15. i
16. n
17. g
18.
19. c
20. s
21. c
22. ²
23. x
24.
25. s
26. o
27.
28. t
29. h
30. a
31. t
32.
33. e
34. a
35. c
36. h
37.
38. p
39. a
40. r
41. t
42.
43. i
44. n
45. t
46. e
47. g
48. r
49. a
50. t
51. e
52. s
53.
54. d
55. i
56. r
57. e
58. c
59. t
60. l
61. y
62. .
63.
64. T
65. h
66. e
67.
68. c
69. u
70. b
71. i
72. c
73.
74. a
75. n
76. d
77.
78. l
79. i
80. n
81. e
82. a
83. r
84.
85. c
86. o
87. t
88.
89. t
90. e
91. r
92. m
93. s
94.
95. c
96. a
97. n
98. c
99. e
100. l
101. .

Answer: (b) \( \frac23(1+x^2)^{3/2}+k \)

Explanation:
1. Put t = x²: \( \int\sqrt{1+t}\,dt=\frac23(1+t)^{3/2}+k=\frac23(1+x^2)^{3/2}+k \).

Teacher's Note:
1. I
2. n
3. t
4. e
5. g
6. r
7. a
8. t
9. i
10. n
11. g
12.
13. w
14. i
15. t
16. h
17.
18. r
19. e
20. s
21. p
22. e
23. c
24. t
25.
26. t
27. o
28.
29. x
30. ²
31.
32. m
33. e
34. a
35. n
36. s
37.
38. t
39. r
40. e
41. a
42. t
43. i
44. n
45. g
46.
47. x
48. ²
49.
50. a
51. s
52.
53. t
54. h
55. e
56.
57. v
58. a
59. r
60. i
61. a
62. b
63. l
64. e
65.
66. o
67. f
68.
69. i
70. n
71. t
72. e
73. g
74. r
75. a
76. t
77. i
78. o
79. n
80. .

Answer: (a) \( 2\sqrt{x^2+2}+k \)

Explanation:
1. d(x² + 1) = d(x² + 2); with u = x² + 2: \( \int u^{-1/2}du=2\sqrt u+k=2\sqrt{x^2+2}+k \).

Teacher's Note:
1. T
2. h
3. e
4.
5. d
6. i
7. f
8. f
9. e
10. r
11. e
12. n
13. t
14. i
15. a
16. l
17.
18. o
19. f
20.
21. x
22. ²
23.
24. +
25.
26. 1
27.
28. e
29. q
30. u
31. a
32. l
33. s
34.
35. t
36. h
37. a
38. t
39.
40. o
41. f
42.
43. x
44. ²
45.
46. +
47.
48. 2
49. ,
50.
51. s
52. o
53.
54. i
55. n
56. t
57. e
58. g
59. r
60. a
61. t
62. e
63.
64. i
65. n
66.
67. u
68.
69. =
70.
71. x
72. ²
73.
74. +
75.
76. 2
77. .

Answer: (b) \( \frac12x^2+k \)

Explanation:
1. Let \( x=\cos\theta \): \( \sqrt{\frac{1-x}{1+x}}=\tan\frac\theta2 \), so \( 2\tan^{-1}(\cdot)=\theta=\cos^{-1}x \).
2. The integrand is cos(cos⁻¹x) = x, so the integral is \( \frac{x^2}2+k \).

Teacher's Note:
1. T
2. h
3. e
4.
5. h
6. a
7. l
8. f
9. -
10. a
11. n
12. g
13. l
14. e
15.
16. s
17. u
18. b
19. s
20. t
21. i
22. t
23. u
24. t
25. i
26. o
27. n
28.
29. t
30. u
31. r
32. n
33. s
34.
35. t
36. h
37. e
38.
39. e
40. x
41. p
42. r
43. e
44. s
45. s
46. i
47. o
48. n
49.
50. i
51. n
52. t
53. o
54.
55. c
56. o
57. s
58. (
59. c
60. o
61. s
62. ⁻
63. ¹
64. x
65. )
66.
67. =
68.
69. x
70. .

Answer: (c) \( x^x+k \)

Explanation:
1. Let y = xˣ: ln y = x ln x, so dy = xˣ(1 + ln x)dx.
2. The integral is \( \int dy=x^x+k \).

Teacher's Note:
1. L
2. o
3. g
4. a
5. r
6. i
7. t
8. h
9. m
10. i
11. c
12.
13. d
14. i
15. f
16. f
17. e
18. r
19. e
20. n
21. t
22. i
23. a
24. t
25. i
26. o
27. n
28.
29. s
30. h
31. o
32. w
33. s
34.
35. t
36. h
37. a
38. t
39.
40. x
41. ˣ
42. (
43. 1
44.
45. +
46.
47. l
48. o
49. g
50.
51. x
52. )
53.
54. i
55. s
56.
57. t
58. h
59. e
60.
61. d
62. e
63. r
64. i
65. v
66. a
67. t
68. i
69. v
70. e
71.
72. o
73. f
74.
75. x
76. ˣ
77. .

Answer: (b) \( \sqrt[3]{\log_e(3y-2)} \)

Explanation:
1. \( y=\frac{e^{x^3}}3+c \). At (0, 1): 1 = 1/3 + c, so c = 2/3.
2. Then \( e^{x^3}=3y-2 \), giving \( x=\sqrt[3]{\log_e(3y-2)} \).

Teacher's Note:
1. U
2. s
3. e
4.
5. t
6. h
7. e
8.
9. p
10. o
11. i
12. n
13. t
14.
15. t
16. o
17.
18. f
19. i
20. x
21.
22. t
23. h
24. e
25.
26. c
27. o
28. n
29. s
30. t
31. a
32. n
33. t
34. ,
35.
36. t
37. h
38. e
39. n
40.
41. i
42. n
43. v
44. e
45. r
46. t
47.
48. t
49. h
50. e
51.
52. r
53. e
54. l
55. a
56. t
57. i
58. o
59. n
60. .

Answer: (b) \( \frac12\tan^{-1}x^2+k \)

Explanation:
1. Put t = x²: x dx = dt/2, so \( \frac12\int\frac{dt}{1+t^2}=\frac12\tan^{-1}x^2+k \).

Teacher's Note:
1. S
2. u
3. b
4. s
5. t
6. i
7. t
8. u
9. t
10. i
11. n
12. g
13.
14. t
15.
16. =
17.
18. x
19. ²
20.
21. l
22. e
23. a
24. v
25. e
26. s
27.
28. a
29.
30. s
31. t
32. a
33. n
34. d
35. a
36. r
37. d
38.
39. i
40. n
41. v
42. e
43. r
44. s
45. e
46.
47. t
48. a
49. n
50. g
51. e
52. n
53. t
54.
55. i
56. n
57. t
58. e
59. g
60. r
61. a
62. l
63. .

Answer: (a) \( \log_2e\cdot\sin^{-1}(2^x)+k \)

Explanation:
1. Let t = 2ˣ: dt = 2ˣ ln 2 dx, so \( \int\frac{dt}{\ln2\sqrt{1-t^2}}=\frac1{\ln2}\sin^{-1}t+k \).
2. Since 1/ln 2 = log₂e, the answer is log₂e · sin⁻¹(2ˣ) + k.

Teacher's Note:
1. T
2. h
3. e
4.
5. f
6. a
7. c
8. t
9. o
10. r
11.
12. l
13. n
14.
15. 2
16.
17. f
18. r
19. o
20. m
21.
22. d
23. i
24. f
25. f
26. e
27. r
28. e
29. n
30. t
31. i
32. a
33. t
34. i
35. n
36. g
37.
38. 2
39. ^
40. x
41.
42. m
43. u
44. s
45. t
46.
47. b
48. e
49.
50. d
51. i
52. v
53. i
54. d
55. e
56. d
57.
58. o
59. u
60. t
61. .

Answer: (c) \( \log_ex+2\tan^{-1}x+k \)

Explanation:
1. Write \( \frac{1+2x+x^2}{x(1+x^2)}=\frac1x+\frac{2}{1+x^2} \) (since 1 + x² over x(1 + x²) gives 1/x, and 2x over x(1 + x²) gives 2/(1 + x²)).
2. Integrating gives log x + 2 tan⁻¹x + k.

Teacher's Note:
1. S
2. p
3. l
4. i
5. t
6.
7. t
8. h
9. e
10.
11. n
12. u
13. m
14. e
15. r
16. a
17. t
18. o
19. r
20.
21. a
22. s
23.
24. (
25. 1
26.
27. +
28.
29. x
30. ²
31. )
32.
33. +
34.
35. 2
36. x
37.
38. t
39. o
40.
41. g
42. e
43. t
44.
45. t
46. w
47. o
48.
49. s
50. i
51. m
52. p
53. l
54. e
55.
56. f
57. r
58. a
59. c
60. t
61. i
62. o
63. n
64. s
65. .

Answer: (a) \( \frac27\log\left(x^{7/2}+\sqrt{x^7+1}\right)+c \)

Explanation:
1. Put u = x^{7/2}: du = (7/2) x^{5/2} dx, so \( \frac27\int\frac{du}{\sqrt{1+u^2}} \).
2. This equals \( \frac27\log(u+\sqrt{1+u^2})+c \).

Teacher's Note:
1. T
2. h
3. e
4.
5. p
6. o
7. w
8. e
9. r
10.
11. x
12. ^
13. (
14. 7
15. /
16. 2
17. )
18.
19. i
20. s
21.
22. t
23. h
24. e
25.
26. n
27. a
28. t
29. u
30. r
31. a
32. l
33.
34. s
35. u
36. b
37. s
38. t
39. i
40. t
41. u
42. t
43. i
44. o
45. n
46.
47. b
48. e
49. c
50. a
51. u
52. s
53. e
54.
55. i
56. t
57. s
58.
59. d
60. e
61. r
62. i
63. v
64. a
65. t
66. i
67. v
68. e
69.
70. m
71. a
72. t
73. c
74. h
75. e
76. s
77.
78. t
79. h
80. e
81.
82. n
83. u
84. m
85. e
86. r
87. a
88. t
89. o
90. r
91. .

Answer: (b) \( \frac52\sqrt{1+x^{4/5}}+k \)

Explanation:
1. Put u = x^{4/5}: du = (4/5) x^{−1/5} dx, so the integral is \( \frac54\int\frac{du}{\sqrt{1+u}}=\frac54\cdot2\sqrt{1+u}+k \).
2. This equals \( \frac52\sqrt{1+x^{4/5}}+k \).

Teacher's Note:
1. T
2. h
3. e
4.
5. s
6. u
7. b
8. s
9. t
10. i
11. t
12. u
13. t
14. i
15. o
16. n
17.
18. u
19.
20. =
21.
22. x
23. ^
24. (
25. 4
26. /
27. 5
28. )
29.
30. m
31. a
32. k
33. e
34. s
35.
36. x
37. ^
38. (
39. −
40. 1
41. /
42. 5
43. )
44.
45. d
46. x
47.
48. a
49.
50. c
51. o
52. n
53. s
54. t
55. a
56. n
57. t
58.
59. m
60. u
61. l
62. t
63. i
64. p
65. l
66. e
67.
68. o
69. f
70.
71. d
72. u
73. .

Answer: (b) −cos x − x sin x

Explanation:
1. For π/2 < x < π, cos x < 0, so |cos x| = −cos x and the function is −x cos x.
2. By parts: \( -\int x\cos x\,dx=-(x\sin x+\cos x)=-x\sin x-\cos x \).

Teacher's Note:
1. R
2. e
3. m
4. o
5. v
6. e
7.
8. t
9. h
10. e
11.
12. m
13. o
14. d
15. u
16. l
17. u
18. s
19.
20. u
21. s
22. i
23. n
24. g
25.
26. t
27. h
28. e
29.
30. s
31. i
32. g
33. n
34.
35. o
36. f
37.
38. c
39. o
40. s
41. i
42. n
43. e
44.
45. i
46. n
47.
48. t
49. h
50. e
51.
52. s
53. e
54. c
55. o
56. n
57. d
58.
59. q
60. u
61. a
62. d
63. r
64. a
65. n
66. t
67. .

Answer: (a) \( \frac12\log(\sec x^2+\tan x^2)+k \)

Explanation:
1. Put t = x²: x dx = dt/2.
2. Then \( \frac12\int\sec t\,dt=\frac12\log(\sec t+\tan t)+k \).

Teacher's Note:
1. T
2. h
3. e
4.
5. s
6. u
7. b
8. s
9. t
10. i
11. t
12. u
13. t
14. i
15. o
16. n
17.
18. t
19.
20. =
21.
22. x
23. ²
24.
25. r
26. e
27. d
28. u
29. c
30. e
31. s
32.
33. i
34. t
35.
36. t
37. o
38.
39. t
40. h
41. e
42.
43. s
44. t
45. a
46. n
47. d
48. a
49. r
50. d
51.
52. i
53. n
54. t
55. e
56. g
57. r
58. a
59. l
60.
61. o
62. f
63.
64. s
65. e
66. c
67.
68. t
69. .

Answer: (b) \( \frac12\left\{\log\frac{\varphi(x)}{f(x)}\right\}^2+k \)

Explanation:
1. Let \( t=\log\frac{\varphi}{f} \). Then \( dt=\left(\frac{\varphi'}{\varphi}-\frac{f'}f\right)dx=\frac{f\varphi'-f'\varphi}{f\varphi}dx \).
2. The integral is \( \int t\,dt=\frac{t^2}2+k=\frac12\left\{\log\frac\varphi f\right\}^2+k \).

Teacher's Note:
1. T
2. h
3. e
4.
5. f
6. i
7. r
8. s
9. t
10.
11. f
12. a
13. c
14. t
15. o
16. r
17.
18. i
19. s
20.
21. e
22. x
23. a
24. c
25. t
26. l
27. y
28.
29. t
30. h
31. e
32.
33. d
34. e
35. r
36. i
37. v
38. a
39. t
40. i
41. v
42. e
43.
44. o
45. f
46.
47. l
48. o
49. g
50. (
51. φ
52. /
53. f
54. )
55. ,
56.
57. s
58. o
59.
60. t
61. h
62. e
63.
64. i
65. n
66. t
67. e
68. g
69. r
70. a
71. l
72.
73. i
74. s
75.
76. ∫
77.
78. t
79.
80. d
81. t
82. .