JEE Mathematics Ellipse and Hyperbola MCQs Set 03

Answer: (a) (2, 3)

Explanation:
1. The centre satisfies both partial derivatives equal to zero: \( 28x-4y-44=0 \) and \( -4x+22y-58=0 \).
2. Solving: x = 2, y = 3.

Teacher's Note:
1. S
2. e
3. t
4.
5. t
6. h
7. e
8.
9. p
10. a
11. r
12. t
13. i
14. a
15. l
16.
17. d
18. e
19. r
20. i
21. v
22. a
23. t
24. i
25. v
26. e
27. s
28.
29. w
30. i
31. t
32. h
33.
34. r
35. e
36. s
37. p
38. e
39. c
40. t
41.
42. t
43. o
44.
45. x
46.
47. a
48. n
49. d
50.
51. y
52.
53. e
54. q
55. u
56. a
57. l
58.
59. t
60. o
61.
62. z
63. e
64. r
65. o
66.
67. a
68. n
69. d
70.
71. s
72. o
73. l
74. v
75. e
76. .

Answer: (c) \( \frac{\sqrt5}{3} \)

Explanation:
1. The larger denominator 9 belongs to y, so \( a^2=9,\ b^2=4 \).
2. Eccentricity \( e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}=\sqrt{1-\frac49}=\frac{\sqrt5}{3} \).

Teacher's Note:
1. T
2. h
3. e
4.
5. m
6. a
7. j
8. o
9. r
10.
11. a
12. x
13. i
14. s
15.
16. i
17. s
18.
19. a
20. l
21. o
22. n
23. g
24.
25. y
26.
27. h
28. e
29. r
30. e
31. ,
32.
33. s
34. o
35.
36. u
37. s
38. e
39.
40. t
41. h
42. e
43.
44. l
45. a
46. r
47. g
48. e
49. r
50.
51. d
52. e
53. n
54. o
55. m
56. i
57. n
58. a
59. t
60. o
61. r
62.
63. a
64. s
65.
66. a
67. ²
68. .

Answer: (b) \( \frac{\sqrt5}{2} \)

Explanation:
1. Write as \( \frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{4}=1 \).
2. Eccentricity \( e=\sqrt{1+\frac{4}{16}}=\frac{\sqrt5}{2} \).

Teacher's Note:
1. F
2. o
3. r
4.
5. a
6.
7. h
8. y
9. p
10. e
11. r
12. b
13. o
14. l
15. a
16.
17. e
18.
19. =
20.
21. √
22. (
23. 1
24.
25. +
26.
27. b
28. ²
29. /
30. a
31. ²
32. )
33. .

Answer: (a) \( \sqrt2 \)

Explanation:
1. It is a rectangular hyperbola: \( \frac{x^2}{1/4}-\frac{y^2}{1/4}=1 \) with a = b.
2. So \( e=\sqrt{1+1}=\sqrt2 \).

Teacher's Note:
1. E
2. v
3. e
4. r
5. y
6.
7. r
8. e
9. c
10. t
11. a
12. n
13. g
14. u
15. l
16. a
17. r
18.
19. h
20. y
21. p
22. e
23. r
24. b
25. o
26. l
27. a
28.
29. h
30. a
31. s
32.
33. e
34. c
35. c
36. e
37. n
38. t
39. r
40. i
41. c
42. i
43. t
44. y
45.
46. √
47. 2
48. .

Answer: (b) \( 8\sqrt{\frac23} \)

Explanation:
1. \( b^2=a^2(1-e^2)=\frac35a^2 \).
2. Through (−3, 1): \( \frac{9}{a^2}+\frac{5}{3a^2}=1 \), so \( a^2=\frac{32}{3} \).
3. Major axis \( 2a=2\sqrt{\frac{32}{3}}=8\sqrt{\frac23} \).

Teacher's Note:
1. S
2. u
3. b
4. s
5. t
6. i
7. t
8. u
9. t
10. e
11.
12. t
13. h
14. e
15.
16. p
17. o
18. i
19. n
20. t
21.
22. a
23. f
24. t
25. e
26. r
27.
28. e
29. x
30. p
31. r
32. e
33. s
34. s
35. i
36. n
37. g
38.
39. b
40. ²
41.
42. t
43. h
44. r
45. o
46. u
47. g
48. h
49.
50. a
51. ²
52.
53. a
54. n
55. d
56.
57. e
58. .

Answer: (c) 2

Explanation:
1. \( e=2 \) gives \( b^2=a^2(e^2-1)=3a^2 \).
2. Through (2, 3): \( \frac4{a^2}-\frac{9}{3a^2}=1 \), so \( a^2=1 \).
3. Transverse axis \( 2a=2 \).

Teacher's Note:
1. U
2. s
3. e
4.
5. e
6. ²
7.
8. =
9.
10. 1
11.
12. +
13.
14. b
15. ²
16. /
17. a
18. ²
19.
20. t
21. o
22.
23. e
24. l
25. i
26. m
27. i
28. n
29. a
30. t
31. e
32.
33. b
34. ²
35. .

Answer: (d) \( 2\sqrt6 \)

Explanation:
1. \( \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{3}=1 \): \( c^2=9-3=6 \).
2. Distance between foci \( 2c=2\sqrt6 \).

Teacher's Note:
1. T
2. h
3. e
4.
5. f
6. o
7. c
8. i
9.
10. a
11. r
12. e
13.
14. a
15. t
16.
17. ±
18. c
19.
20. o
21. n
22.
23. t
24. h
25. e
26.
27. m
28. a
29. j
30. o
31. r
32.
33. a
34. x
35. i
36. s
37. ,
38.
39. s
40. o
41.
42. t
43. h
44. e
45.
46. d
47. i
48. s
49. t
50. a
51. n
52. c
53. e
54.
55. b
56. e
57. t
58. w
59. e
60. e
61. n
62.
63. t
64. h
65. e
66. m
67.
68. i
69. s
70.
71. 2
72. c
73. .

Answer: (b) \( 2\sqrt5 \)

Explanation:
1. Complete the square: \( 9x^2+5(y-3)^2=45 \), i.e. \( \frac{x^2}{5}+\frac{(y-3)^2}{9}=1 \).
2. The semi-minor axis is \( \sqrt5 \), so the minor axis is \( 2\sqrt5 \).

Teacher's Note:
1. C
2. o
3. m
4. p
5. l
6. e
7. t
8. e
9.
10. t
11. h
12. e
13.
14. s
15. q
16. u
17. a
18. r
19. e
20.
21. i
22. n
23.
24. y
25.
26. t
27. o
28.
29. b
30. r
31. i
32. n
33. g
34.
35. t
36. h
37. e
38.
39. e
40. l
41. l
42. i
43. p
44. s
45. e
46.
47. t
48. o
49.
50. s
51. t
52. a
53. n
54. d
55. a
56. r
57. d
58.
59. f
60. o
61. r
62. m
63. .

Answer: (a) \( \left(\pm\frac12\sqrt{11},0\right) \)

Explanation:
1. \( \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{25/4}=1 \): \( a^2=9,\ b^2=\frac{25}{4} \).
2. Then \( c^2=9-\frac{25}{4}=\frac{11}{4} \), so the foci are \( \left(\pm\frac{\sqrt{11}}{2},0\right) \).

Teacher's Note:
1. D
2. i
3. v
4. i
5. d
6. e
7.
8. b
9. y
10.
11. 2
12. 2
13. 5
14.
15. t
16. o
17.
18. g
19. e
20. t
21.
22. t
23. h
24. e
25.
26. s
27. t
28. a
29. n
30. d
31. a
32. r
33. d
34.
35. f
36. o
37. r
38. m
39. ,
40.
41. t
42. h
43. e
44. n
45.
46. u
47. s
48. e
49.
50. c
51. ²
52.
53. =
54.
55. a
56. ²
57.
58. −
59.
60. b
61. ²
62. .

Answer: (b) \( \frac{e}{\sqrt{e^2-1}} \)

Explanation:
1. For the first, \( b^2=a^2(e^2-1) \).
2. For the conjugate hyperbola \( e'^2=1+\frac{a^2}{b^2}=1+\frac{1}{e^2-1}=\frac{e^2}{e^2-1} \).
3. So \( e'=\frac{e}{\sqrt{e^2-1}} \).

Teacher's Note:
1. I
2. n
3.
4. t
5. h
6. e
7.
8. c
9. o
10. n
11. j
12. u
13. g
14. a
15. t
16. e
17.
18. h
19. y
20. p
21. e
22. r
23. b
24. o
25. l
26. a
27.
28. t
29. h
30. e
31.
32. r
33. o
34. l
35. e
36. s
37.
38. o
39. f
40.
41. a
42.
43. a
44. n
45. d
46.
47. b
48.
49. a
50. r
51. e
52.
53. s
54. w
55. a
56. p
57. p
58. e
59. d
60. .

Answer: (a) \( \frac{x^2}{10^2}+\frac{y^2}{(5\sqrt2)^2}=1 \)

Explanation:
1. Minor axis = distance between foci: \( 2b=2c \), so b = c and \( a^2=b^2+c^2=2b^2 \).
2. Latus rectum \( \frac{2b^2}{a}=\frac{a^2}{a}=a=10 \), so \( a=10,\ b^2=50 \).
3. Equation \( \frac{x^2}{10^2}+\frac{y^2}{(5\sqrt2)^2}=1 \).

Teacher's Note:
1. F
2. r
3. o
4. m
5.
6. b
7.
8. =
9.
10. c
11.
12. g
13. e
14. t
15.
16. a
17. ²
18.
19. =
20.
21. 2
22. b
23. ²
24. ,
25.
26. t
27. h
28. e
29. n
30.
31. t
32. h
33. e
34.
35. l
36. a
37. t
38. u
39. s
40.
41. r
42. e
43. c
44. t
45. u
46. m
47.
48. 2
49. b
50. ²
51. /
52. a
53.
54. e
55. q
56. u
57. a
58. l
59. s
60.
61. a
62. .

Answer: (c) xy + y − 2 = 0

Explanation:
1. A rectangular hyperbola has \( e=\sqrt2 \). Focus–directrix property: \( (x-1)^2+(y-2)^2=2\cdot\frac{(x+y-1)^2}{2} \).
2. Expand: \( x^2+y^2-2x-4y+5=x^2+y^2+2xy-2x-2y+1 \).
3. So \( -2y+4=2xy \), i.e. \( xy+y-2=0 \).

Teacher's Note:
1. U
2. s
3. e
4.
5. d
6. i
7. s
8. t
9. a
10. n
11. c
12. e
13.
14. t
15. o
16.
17. f
18. o
19. c
20. u
21. s
22.
23. =
24.
25. e
26.
27. ×
28.
29. d
30. i
31. s
32. t
33. a
34. n
35. c
36. e
37.
38. t
39. o
40.
41. d
42. i
43. r
44. e
45. c
46. t
47. r
48. i
49. x
50.
51. w
52. i
53. t
54. h
55.
56. e
57.
58. =
59.
60. √
61. 2
62. .

Answer: (a) 5x² + 9y² = 45

Explanation:
1. c = 2 and \( e=\frac ca=\frac23 \) give a = 3.
2. Then \( b^2=a^2-c^2=9-4=5 \).
3. Equation \( \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{5}=1 \), i.e. 5x² + 9y² = 45.

Teacher's Note:
1. T
2. h
3. e
4.
5. c
6. e
7. n
8. t
9. r
10. e
11.
12. i
13. s
14.
15. t
16. h
17. e
18.
19. o
20. r
21. i
22. g
23. i
24. n
25.
26. a
27. n
28. d
29.
30. t
31. h
32. e
33.
34. m
35. a
36. j
37. o
38. r
39.
40. a
41. x
42. i
43. s
44.
45. i
46. s
47.
48. a
49. l
50. o
51. n
52. g
53.
54. x
55. .

Answer: (a) 7x² − 18xy + 7y² + 50x − 50y + 77 = 0

Explanation:
1. \( (x+1)^2+(y-1)^2=9\cdot\frac{(x-y+3)^2}{2} \).
2. Multiply by 2: \( 2x^2+4x+2y^2-4y+4=9(x^2+y^2+9-2xy+6x-6y) \).
3. Simplifying: \( 7x^2-18xy+7y^2+50x-50y+77=0 \).

Teacher's Note:
1. A
2. p
3. p
4. l
5. y
6.
7. f
8. o
9. c
10. u
11. s
12. –
13. d
14. i
15. r
16. e
17. c
18. t
19. r
20. i
21. x
22.
23. w
24. i
25. t
26. h
27.
28. e
29.
30. =
31.
32. 3
33.
34. a
35. n
36. d
37.
38. e
39. x
40. p
41. a
42. n
43. d
44.
45. c
46. a
47. r
48. e
49. f
50. u
51. l
52. l
53. y
54. .

Answer: (a) \( \sqrt2-1 \)

Explanation:
1. Distances from (1, 3): to (1, 1) is 2, to (3, 1) is \( 2\sqrt2 \).
2. Sum \( 2a=2+2\sqrt2 \), so \( a=1+\sqrt2 \). Also 2c = 2, so c = 1.
3. Eccentricity \( e=\frac{1}{1+\sqrt2}=\sqrt2-1 \).

Teacher's Note:
1. T
2. h
3. e
4.
5. s
6. u
7. m
8.
9. o
10. f
11.
12. f
13. o
14. c
15. a
16. l
17.
18. d
19. i
20. s
21. t
22. a
23. n
24. c
25. e
26. s
27.
28. e
29. q
30. u
31. a
32. l
33. s
34.
35. 2
36. a
37. .
38.
39. T
40. h
41. e
42.
43. d
44. i
45. s
46. t
47. a
48. n
49. c
50. e
51.
52. b
53. e
54. t
55. w
56. e
57. e
58. n
59.
60. t
61. h
62. e
63.
64. f
65. o
66. c
67. i
68.
69. g
70. i
71. v
72. e
73. s
74.
75. c
76. .

Answer: (a) \( \frac\pi4 \)

Explanation:
1. Point \( (\sqrt6\cos\theta,\sqrt2\sin\theta) \) with \( 6\cos^2\theta+2\sin^2\theta=4 \).
2. So \( 2+4\cos^2\theta=4 \), \( \cos^2\theta=\frac12 \) and \( \theta=\frac\pi4 \).

Teacher's Note:
1. W
2. r
3. i
4. t
5. e
6.
7. t
8. h
9. e
10.
11. d
12. i
13. s
14. t
15. a
16. n
17. c
18. e
19.
20. c
21. o
22. n
23. d
24. i
25. t
26. i
27. o
28. n
29.
30. u
31. s
32. i
33. n
34. g
35.
36. t
37. h
38. e
39.
40. e
41. c
42. c
43. e
44. n
45. t
46. r
47. i
48. c
49.
50. a
51. n
52. g
53. l
54. e
55.
56. c
57. o
58. o
59. r
60. d
61. i
62. n
63. a
64. t
65. e
66. s
67. .

Answer: (c) 10

Explanation:
1. For any point on an ellipse the sum of focal distances is 2a.
2. Here a = 5, so the sum is 10 (independent of the eccentric angle).

Teacher's Note:
1. T
2. h
3. e
4.
5. d
6. e
7. f
8. i
9. n
10. i
11. n
12. g
13.
14. p
15. r
16. o
17. p
18. e
19. r
20. t
21. y
22.
23. o
24. f
25.
26. a
27. n
28.
29. e
30. l
31. l
32. i
33. p
34. s
35. e
36.
37. g
38. i
39. v
40. e
41. s
42.
43. 2
44. a
45.
46. d
47. i
48. r
49. e
50. c
51. t
52. l
53. y
54. .

Answer: (a) \( y=3x+\sqrt{241} \)

Explanation:
1. Tangent of slope m: \( y=mx\pm\sqrt{a^2m^2+b^2} \).
2. With m = 3: \( \sqrt{25\cdot9+16}=\sqrt{241} \).
3. So \( y=3x\pm\sqrt{241} \), and option (a) is one of these.

Teacher's Note:
1. U
2. s
3. e
4.
5. t
6. h
7. e
8.
9. s
10. t
11. a
12. n
13. d
14. a
15. r
16. d
17.
18. s
19. l
20. o
21. p
22. e
23.
24. f
25. o
26. r
27. m
28.
29. o
30. f
31.
32. a
33.
34. t
35. a
36. n
37. g
38. e
39. n
40. t
41.
42. t
43. o
44.
45. a
46. n
47.
48. e
49. l
50. l
51. i
52. p
53. s
54. e
55. .

Answer: (a) x + y = 3

Explanation:
1. The required slope is −1. The hyperbola is \( \frac{x^2}{18}-\frac{y^2}{9}=1 \).
2. Tangent \( y=mx\pm\sqrt{a^2m^2-b^2}=-x\pm\sqrt{18-9}=-x\pm3 \).
3. So x + y = 3 (or x + y = −3).

Teacher's Note:
1. U
2. s
3. e
4.
5. t
6. h
7. e
8.
9. t
10. a
11. n
12. g
13. e
14. n
15. t
16.
17. f
18. o
19. r
20. m
21. u
22. l
23. a
24.
25. f
26. o
27. r
28.
29. a
30.
31. h
32. y
33. p
34. e
35. r
36. b
37. o
38. l
39. a
40.
41. w
42. i
43. t
44. h
45.
46. c
47. ²
48.
49. =
50.
51. a
52. ²
53. m
54. ²
55.
56. −
57.
58. b
59. ²
60. .

Answer: (d) \( \frac{\sqrt{41}}{4} \)

Explanation:
1. Eliminate φ: \( \frac{y^2}{16}-\frac{x^2}{25}=1 \) (since \( \sec^2\phi-\tan^2\phi=1 \)).
2. The transverse axis is along y: \( a^2=16,\ b^2=25 \).
3. Eccentricity \( e=\sqrt{1+\frac{25}{16}}=\frac{\sqrt{41}}{4} \).

Teacher's Note:
1. T
2. h
3. e
4.
5. t
6. r
7. a
8. n
9. s
10. v
11. e
12. r
13. s
14. e
15.
16. a
17. x
18. i
19. s
20.
21. i
22. s
23.
24. a
25. l
26. o
27. n
28. g
29.
30. t
31. h
32. e
33.
34. v
35. a
36. r
37. i
38. a
39. b
40. l
41. e
42.
43. w
44. h
45. o
46. s
47. e
48.
49. s
50. q
51. u
52. a
53. r
54. e
55.
56. i
57. s
58.
59. p
60. o
61. s
62. i
63. t
64. i
65. v
66. e
67.
68. i
69. n
70.
71. t
72. h
73. e
74.
75. s
76. t
77. a
78. n
79. d
80. a
81. r
82. d
83.
84. f
85. o
86. r
87. m
88. .