JEE Mathematics Definite Integration MCQs Set 07

Answer: (a) 2

Explanation:
1. Write the sum as \( \frac1n\sum_{r=1}^n\frac1{\sqrt{r/n}} \).
2. As n → ∞ it becomes \( \int_0^1x^{-1/2}dx=2 \).

Teacher's Note:
1. R
2. e
3. w
4. r
5. i
6. t
7. e
8.
9. t
10. h
11. e
12.
13. s
14. u
15. m
16.
17. a
18. s
19.
20. (
21. 1
22. /
23. n
24. )
25. Σ
26. f
27. (
28. r
29. /
30. n
31. )
32.
33. s
34. o
35.
36. i
37. t
38.
39. b
40. e
41. c
42. o
43. m
44. e
45. s
46.
47. a
48. n
49.
50. i
51. n
52. t
53. e
54. g
55. r
56. a
57. l
58.
59. o
60. v
61. e
62. r
63.
64. [
65. 0
66. ,
67.
68. 1
69. ]
70. .

Answer: (b) \( \frac\pi2 \)

Explanation:
1. Factor n: \( \frac1n\sum\frac1{\sqrt{1-(r/n)^2}} \).
2. The limit is \( \int_0^1\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=\sin^{-1}1=\frac\pi2 \).

Teacher's Note:
1. A
2.
3. s
4. u
5. m
6.
7. w
8. i
9. t
10. h
11.
12. (
13. 1
14. /
15. n
16. )
17.
18. a
19. n
20. d
21.
22. r
23. /
24. n
25.
26. i
27. n
28. s
29. i
30. d
31. e
32.
33. i
34. s
35.
36. a
37.
38. R
39. i
40. e
41. m
42. a
43. n
44. n
45.
46. s
47. u
48. m
49.
50. f
51. o
52. r
53.
54. a
55. n
56.
57. i
58. n
59. t
60. e
61. g
62. r
63. a
64. l
65.
66. o
67. n
68.
69. [
70. 0
71. ,
72.
73. 1
74. ]
75. .

Answer: (b) e − 1

Explanation:
1. The limit is \( \int_0^1e^xdx=e-1 \).

Teacher's Note:
1. T
2. h
3. e
4.
5. s
6. u
7. m
8.
9. i
10. s
11.
12. a
13.
14. r
15. i
16. g
17. h
18. t
19. -
20. e
21. n
22. d
23. p
24. o
25. i
26. n
27. t
28.
29. R
30. i
31. e
32. m
33. a
34. n
35. n
36.
37. s
38. u
39. m
40.
41. o
42. f
43.
44. e
45. ˣ
46.
47. o
48. n
49.
50. [
51. 0
52. ,
53.
54. 1
55. ]
56. .

Answer: (c) \( \frac2\pi \)

Explanation:
1. The limit is \( \int_0^1\sin\frac{\pi x}2dx=\left[-\frac2\pi\cos\frac{\pi x}2\right]_0^1=\frac2\pi \).

Teacher's Note:
1. U
2. s
3. e
4.
5. x
6.
7. =
8.
9. r
10. /
11. n
12.
13. a
14. n
15. d
16.
17. i
18. n
19. t
20. e
21. g
22. r
23. a
24. t
25. e
26.
27. s
28. i
29. n
30. (
31. π
32. x
33. /
34. 2
35. )
36.
37. o
38. v
39. e
40. r
41.
42. [
43. 0
44. ,
45.
46. 1
47. ]
48. .

Answer: (a) \( \log_e5 \)

Explanation:
1. Write \( \frac1{n+r}=\frac1n\cdot\frac1{1+r/n} \) with r/n ranging up to 4.
2. The limit is \( \int_0^4\frac{dx}{1+x}=\ln5 \).

Teacher's Note:
1. T
2. h
3. e
4.
5. u
6. p
7. p
8. e
9. r
10.
11. l
12. i
13. m
14. i
15. t
16.
17. o
18. f
19.
20. t
21. h
22. e
23.
24. i
25. n
26. t
27. e
28. g
29. r
30. a
31. l
32.
33. i
34. s
35.
36. t
37. h
38. e
39.
40. l
41. a
42. s
43. t
44.
45. v
46. a
47. l
48. u
49. e
50.
51. o
52. f
53.
54. r
55. /
56. n
57. ,
58.
59. w
60. h
61. i
62. c
63. h
64.
65. i
66. s
67.
68. 4
69.
70. h
71. e
72. r
73. e
74. .

Answer: (b) \( -1+\sqrt5 \)

Explanation:
1. Write \( \frac r{\sqrt{n^2+r^2}}=\frac{r/n}{\sqrt{1+(r/n)^2}} \).
2. The limit is \( \int_0^2\frac{x\,dx}{\sqrt{1+x^2}}=\sqrt{1+x^2}\Big|_0^2=\sqrt5-1 \).

Teacher's Note:
1. D
2. i
3. v
4. i
5. d
6. e
7.
8. n
9. u
10. m
11. e
12. r
13. a
14. t
15. o
16. r
17.
18. a
19. n
20. d
21.
22. d
23. e
24. n
25. o
26. m
27. i
28. n
29. a
30. t
31. o
32. r
33.
34. b
35. y
36.
37. n
38.
39. t
40. o
41.
42. e
43. x
44. p
45. o
46. s
47. e
48.
49. r
50. /
51. n
52. .

Answer: (d) \( k^{-1}\cdot e^{-1} \)

Explanation:
1. Let L be the limit: \( \ln L=\lim\frac1n\sum_{r=1}^n\ln\frac{r}{kn}=\int_0^1\ln\frac xkdx=\int_0^1\ln x\,dx-\ln k=-1-\ln k \).
2. So L = 1/(ke).

Teacher's Note:
1. T
2. a
3. k
4. e
5.
6. t
7. h
8. e
9.
10. l
11. o
12. g
13. a
14. r
15. i
16. t
17. h
18. m
19.
20. t
21. o
22.
23. t
24. u
25. r
26. n
27.
28. t
29. h
30. e
31.
32. p
33. r
34. o
35. d
36. u
37. c
38. t
39.
40. i
41. n
42. t
43. o
44.
45. a
46.
47. s
48. u
49. m
50. ,
51.
52. t
53. h
54. e
55. n
56.
57. u
58. s
59. e
60.
61. a
62.
63. R
64. i
65. e
66. m
67. a
68. n
69. n
70.
71. s
72. u
73. m
74. .

Answer: (b) \( \frac{2^k}{k+1} \)

Explanation:
1. The numerator is \( 2^k\sum r^k \), so the expression is \( 2^k\cdot\frac1n\sum\left(\frac rn\right)^k \).
2. The limit is \( 2^k\int_0^1x^kdx=\frac{2^k}{k+1} \).

Teacher's Note:
1. F
2. a
3. c
4. t
5. o
6. r
7.
8. o
9. u
10. t
11.
12. 2
13. ^
14. k
15.
16. a
17. n
18. d
19.
20. r
21. e
22. c
23. o
24. g
25. n
26. i
27. s
28. e
29.
30. t
31. h
32. e
33.
34. R
35. i
36. e
37. m
38. a
39. n
40. n
41.
42. s
43. u
44. m
45.
46. o
47. f
48.
49. x
50. ^
51. k
52. .

Answer: (b) μ − b

Explanation:
1. φ(x) = f′(x), so the integral is f(λ) − f(a) = μ − b.

Teacher's Note:
1. T
2. h
3. e
4.
5. i
6. n
7. t
8. e
9. g
10. r
11. a
12. l
13.
14. o
15. f
16.
17. a
18.
19. d
20. e
21. r
22. i
23. v
24. a
25. t
26. i
27. v
28. e
29.
30. i
31. s
32.
33. t
34. h
35. e
36.
37. c
38. h
39. a
40. n
41. g
42. e
43.
44. i
45. n
46.
47. t
48. h
49. e
50.
51. f
52. u
53. n
54. c
55. t
56. i
57. o
58. n
59. .

Answer: (a) g(x) + g(π)

Explanation:
1. \( g(x+\pi)=g(\pi)+\int_\pi^{x+\pi}\cos^4t\,dt \).
2. Since cos⁴t has period π, the last integral equals g(x). So g(x + π) = g(x) + g(π).

Teacher's Note:
1. A
2.
3. p
4. e
5. r
6. i
7. o
8. d
9. i
10. c
11.
12. i
13. n
14. t
15. e
16. g
17. r
18. a
19. n
20. d
21.
22. l
23. e
24. t
25. s
26.
27. y
28. o
29. u
30.
31. s
32. h
33. i
34. f
35. t
36.
37. t
38. h
39. e
40.
41. l
42. i
43. m
44. i
45. t
46. s
47.
48. b
49. y
50.
51. o
52. n
53. e
54.
55. p
56. e
57. r
58. i
59. o
60. d
61. .

Answer: (b) \( \frac{(\log2-5)a+\frac72b}{a^2-b^2} \)

Explanation:
1. Replace x by 1/x: \( af(1/x)+bf(x)=x-5 \). Eliminating f(1/x): \( (a^2-b^2)f(x)=a\left(\frac1x-5\right)-b(x-5) \).
2. Integrate from 1 to 2: \( \int_1^2\left(\frac1x-5\right)dx=\ln2-5 \) and \( \int_1^2(x-5)dx=-\frac72 \).
3. So the integral is \( \frac{a(\ln2-5)+\frac72b}{a^2-b^2} \).

Teacher's Note:
1. U
2. s
3. e
4.
5. t
6. h
7. e
8.
9. s
10. u
11. b
12. s
13. t
14. i
15. t
16. u
17. t
18. i
19. o
20. n
21.
22. x
23.
24. t
25. o
26.
27. 1
28. /
29. x
30.
31. t
32. o
33.
34. g
35. e
36. t
37.
38. a
39.
40. s
41. e
42. c
43. o
44. n
45. d
46.
47. e
48. q
49. u
50. a
51. t
52. i
53. o
54. n
55.
56. a
57. n
58. d
59.
60. s
61. o
62. l
63. v
64. e
65.
66. t
67. h
68. e
69.
70. p
71. a
72. i
73. r
74. .

Answer: (d) none of these

Explanation:
1. Write \( \sqrt{\frac{2+x}{2-x}}=\frac{2+x}{\sqrt{4-x^2}} \).
2. The integral is \( 2\sin^{-1}\frac x2-\sqrt{4-x^2}\Big|_0^2=\pi+2 \), which is not among (a), (b), (c).

Teacher's Note:
1. R
2. a
3. t
4. i
5. o
6. n
7. a
8. l
9. i
10. s
11. e
12.
13. t
14. h
15. e
16.
17. s
18. u
19. r
20. d
21.
22. b
23. y
24.
25. m
26. u
27. l
28. t
29. i
30. p
31. l
32. y
33. i
34. n
35. g
36.
37. n
38. u
39. m
40. e
41. r
42. a
43. t
44. o
45. r
46.
47. a
48. n
49. d
50.
51. d
52. e
53. n
54. o
55. m
56. i
57. n
58. a
59. t
60. o
61. r
62.
63. b
64. y
65.
66. 2
67.
68. +
69.
70. x
71. .

Answer: (c) HP

Explanation:
1. \( a_{n+1}-a_n=\int_0^{\pi/2}\frac{\sin^2(n+1)x-\sin^2nx}{\sin x}dx=\int_0^{\pi/2}\sin(2n+1)x\,dx=\frac1{2n+1} \) (using sin²A − sin²B = sin(A + B) sin(A − B)).
2. The differences are 1/3, 1/5, 1/7, ..., whose reciprocals 3, 5, 7, ... are in AP, so the differences are in HP.

Teacher's Note:
1. U
2. s
3. e
4.
5. t
6. h
7. e
8.
9. i
10. d
11. e
12. n
13. t
14. i
15. t
16. y
17.
18. s
19. i
20. n
21. ²
22. A
23.
24. −
25.
26. s
27. i
28. n
29. ²
30. B
31.
32. =
33.
34. s
35. i
36. n
37. (
38. A
39.
40. +
41.
42. B
43. )
44.
45. s
46. i
47. n
48. (
49. A
50.
51. −
52.
53. B
54. )
55.
56. t
57. o
58.
59. c
60. a
61. n
62. c
63. e
64. l
65.
66. s
67. i
68. n
69.
70. x
71. .